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若 Rp 为空集时，Rn 为全连续变量设计问题； 若 Rp-n 为空集时，Rn 为全离散变量设计问题。
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§6.2 离散变量优化设计 的基本概念(续2）
二. 整型变量和连续变量的离散化：—— 是均匀离散
1、整型变量的离散：
整型变量可看作为是离散间隔恒定为 1 的离散变量。是离散变量 的特例。
2、连续变量的离散化：
§6.1 引言
一. 变量类型：
工程实际问题中不是单一的连续变量，经常是各种类型变量的混 合。有：
连续变量
确定型
整型变量
离散变量
不确定型
随机变量 混合变量
所以需要相应的优化方法。
3
§6.1 引言 （续）
二. 工程实际设计的需要：
b
例： 决定修建一条防洪堤坝。根据 历年的水文资料，台风的年最大风速：
x(1) 是圆整后最近的离散点， 但不可行；
x(2) 是最近的可行离散点，但 不是离散最优点；
0
x(3) 是离散最优点。
● X(3)
● X(2)
● x*
● X(1)
x1
5
§6.2 离散变量优化设计
的基本概念
一. 设计空间：
qij-1
●
1、一维离散设计空间：
在 xi 坐标轴上有若干个相距一定间隔的离 散点，组成的集合称为一维离散设计空间。
N 个设计变量中有 P 个离散变量，此外有个N-P 连续变量。 N-P 维连续设计空间: 4、N 维设计空间：
RnRpRpn
其中：离散设计空间为： X D x 1 ,x 2 , ,x pT R p 连续设计空间为： X C x p 1 ,x p 2 , ,x n T R n p
有时为了提高优化设计计算效率，将连续变量转化为拟离散变量。
方法：
i
xiu li
xil 1
i p 1，p 2，，n
其中： xiu，xil 为连续变量xi的上、下界，
li 为欲取离散值的个数。
xi坐标轴上的第j个拟离散点为：xij，
其相邻两个拟离散点为：xij i，xij，xij i
8
§6.3 离散变量优化设计 的数学模型
注：设计空间有离散空间部分。 但约束面不离散，也不一定分布有离散点。 K-T 条件不再适用。
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§6.4 离散变量优化设计的 最优解及收敛条件
一、离散单位邻域 UN(x) 和坐标邻域 UC(x) ：
UNxx
xi i，xi，xi xi i，xi，xi
i i
i 1,2,, p
i
p1,
p2,,n
其中： i，i 是离散变量之间间 的隔 离， 散
99.9%，堤坝不受冲压损坏的概率不低于 99.0% 的要求下，使投资最小。
4
§6.1 引言 （续2）
三. 传统方法的局限：
例，求离散问题的最优解，传统的方法是先用连续变量优化设 计方法求连续变量的最优解，然后圆整到离散值上。
弊病：可能得不到可行最优解，x或2 所得的解不是离散最优解。
左图中：
x* 是连续变量最优点；
i是拟离散变量（量 连） 续之 变间的拟离。 散间隔
Ux C Ux N ei i1 ,2, ,n ei为各坐标轴
Ux C 是x的 过各坐标 离 轴 散 的 单 U 平 x N 的 位 行 交 邻 线 点 域 与
例，二维离散空间中，
x2
离散单位邻域共 3n 个点，
UN(x) = {x,A,B,C,D,E,F,G,H}；
第六章 离散变量和随机变 量的最优化方法
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主要内容
§6.1 引言 §6.2 离散变量优化设计的基本概念 §6.3 离散变量优化设计的数学模型 §6.4 离散变量优化设计的最优解及收敛条件 §6.5 随机变量优化设计的基本概念 §6.6 随机变量优化设计的数学模型 §6.7 随机变量概率约束问题的优化设计模型及最优解 2
q11 q12 q1l
Q
q21
q22
q2l
q p1
qp2
q
pl
pl
注：① 因为离散变量是有限个，所以离
散空间是有界的。
② 某个离散变量的取值不足 l 个，其
余值可用预先规定的自然数补齐。
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§6.2 离散变量优化设计 的基本概念(续）
3、N-P 维连续设计空间： X C x p 1 ,x p 2 , ,x n T R n p
当 D 为凸集 fx， 为定义在凸集数上时的，凸函
则 x*为离散变量优全化局设最计优的点。
三、收敛准则：
设当前搜索到的最好点为 x(k)，需要判断其是否收敛。在 x(k) 的单 位邻域中查 3n – 1 个点，若未查到比 x(k) 的目标函数值更小的点， 则收敛，x* = x(k) 。
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§6.4 离散变量优化设计的最 优解及收敛条件 (续2）
离散坐标邻域共 2n+1 个点：
A ●
D
●
i
B
●
εix
●
εi
i
C
●
E
●
UC(x) = {x,B,D,E,G}。
●
●
F
G
0
●
H
x110
§6.4 离散变量优化设计的 最优解及收敛条件 (续)
二、离散最优解：
若 x*D 对于所有 xUN x*D 恒有 fx*fx,
则 x*为离散变量优局化部设最计优的点。
四、 伪离散最优解和拟离散最优解：
1、伪离散最优解： 在判断x(k)是否收敛时，只在 x(k) 的 坐标邻域中查点，所得到的最优点是 伪离散最优点。
max 服从对数正态分布，
即 max～LN
x
,
2 x
(m
/ s)
h H
其中：均值 x 80 (m / s)，
方差
2 x
12 (m
/
s )；
海浪高度 H与年最大风速成正比，
H 0.2 max (m )；
海浪对堤坝的压强：
P
0
.13
2 max
( MPa
)
现在需要设计堤坝的截面尺寸 b 和 h，在保证不受灾害的概率不低于
qij
●
i
qij+1
●
i
离散 点 ， qi j1 ： ,qij,qi j1,i1,2, ,n j1,2, ,l代表离散
离散间 i， 隔 i： 只有在均匀 ： i 离 i 散 空间中
2、P 维离散设计空间： X D x 1 ,x 2 , ,x pT R p
P 个离散设计变量组成 P 维离散设计空间。每个离散变量可取有限个数 值，这些数值可用矩阵 Q 来表达。
X x1, x2,xn T
X D x1, x2,xp T Rp X C xp1, xp2,xn T Rnp
min. f x
X Rn Rp Rnp
s.t. gu (x) 0 u 1,2,, m
可D行 x g u x 0 域 ， u 1 , 2 , , m ： R n
