《机械优化设计》第6章习题解答-1

机械优化设计课后习题答案(总9页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第一章习题答案1-1 某厂每日（8h 制）产量不低于1800件。

计划聘请两种不同的检验员，一级检验员的标准为：速度为25件／h ，正确率为98％，计时工资为4元／h ；二级检验员标准为：速度为15件／h ，正确率为95％，计时工资3元／h 。

检验员每错检一件，工厂损失2元。

现有可供聘请检验人数为：一级8人和二级10人。

为使总检验费用最省，该厂应聘请一级、二级检验员各多少人 解：（1）确定设计变量；根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡二级检验员一级检验员21x x ；（2）建立数学模型的目标函数；取检验费用为目标函数，即：f (X ) = 8*4*x 1+ 8*3*x 2 + 2（8*25* +8*15* ） =40x 1+ 36x 2（3）本问题的最优化设计数学模型：min f (X ) = 40x 1+ 36x 2 X ∈R 3·. g 1(X ) =1800-8*25x 1+8*15x 2≤0g 2(X ) =x 1 -8≤0 g 3(X ) =x 2-10≤0g 4(X ) = -x 1 ≤0 g 5(X ) = -x 2 ≤01-2 已知一拉伸弹簧受拉力F ，剪切弹性模量G ，材料重度r ，许用剪切应力[]τ，许用最大变形量[]λ。

欲选择一组设计变量T T n D dx x x ][][2321==X 使弹簧重量最轻，同时满足下列限制条件：弹簧圈数3n ≥，簧丝直径0.5d ≥，弹簧中径21050D ≤≤。

试建立该优化问题的数学模型。

注：弹簧的应力与变形计算公式如下322234881,1,(2n s s F D FD D k k c d c d Gd τλπ==+==旋绕比）， 解： （1）确定设计变量；根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡n D d x x x 2321； （2）建立数学模型的目标函数；取弹簧重量为目标函数，即：f (X ) =322124x x rx π（3）本问题的最优化设计数学模型：min f (X ) =322124x x rx π X ∈R 3·. g 1(X ) = ≤0g 2(X ) =10-x 2 ≤0 g 3(X ) =x 2-50 ≤0 g 4(X ) =3-x 3 ≤0 g 5(X ) =[]τπ-+312218)21(x Fx x x ≤0 g 6(X ) =[]λ-413328Gx x Fx ≤01-3 某厂生产一个容积为8000 cm 3的平底、无盖的圆柱形容器，要求设计此容器消耗原材料最少，试写出这一优化问题的数学模型。

第六章习题解答1．已知约束优化问题：2)(0)()1()2()(min 21222112221≤-+=≤-=⋅-+-=x x x g x x x g ts x x x f试从第k 次的迭代点[]T k x21)(-= 出发，沿由（-1 1）区间的随机数0.562和-0.254所确定的方向进行搜索，完成一次迭代，获取一个新的迭代点)1(+k x 。

并作图画出目标函数的等值线、可行域和本次迭代的搜索路线。

[解] 1）确定本次迭代的随机方向：[]T TRS 0.4120.9110.2540.5620.2540.2540.5620.5622222-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++=2) 用公式：R k k S x xα+=+)()1( 计算新的迭代点。

步长α取为搜索到约束边界上的最大步长。

到第二个约束边界上的步长可取为2，则：176.1)412.0(22822.0911.0212212111=-⨯+=+==⨯+-=+=++R kk R k k S x x S x xαα⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+176.1822.01k X即： 该约束优化问题的目标函数的等值线、可行域和本次迭代的搜索路线如下图所示。

2．已知约束优化问题：)(0)(025)(124)(m in 231222211221≤-=≤-=≤-+=⋅--=x x g x x g x x x g ts x x x f试以[][][]T T T x x x 33,14,12030201===为复合形的初始顶点，用复合形法进行两次迭代计算。

[解] 1）计算初始复合形顶点的目标函数值，并判断各顶点是否为可行点：[][][]935120101-=⇒==⇒=-=⇒=030302023314f x f x f x 经判断，各顶点均为可行点，其中，为最坏点。

为最好点，0203x x2）计算去掉最坏点 02x 后的复合形的中心点：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡==∑≠=3325.221132103312i i i c x Lx3）计算反射点1R x （取反射系数3.1=α）20.693.30.551422.51.322.5)(1102001-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-+=R R c c R f x x x x x 值为可行点，其目标函数经判断α 4）去掉最坏点1R0301x x x x 和，，由02构成新的复合形，在新的复合形中 为最坏点为最好点，011R x x ，进行新的一轮迭代。

第一章习题答案1-1某厂每日（8h制）产量不低于1800件。

计划聘请两种不同的检验员，一级检验员的标准为：速度为25件/ h,正确率为98%,计时工资为4元/ h；二级检验员标准为：速度为15件/力，正确率为95%,计时工资3 元/ ho检验员每错检一件，工厂损失2元。

现有可供聘请检验人数为:一级8人和二级10人。

为使总检验费用最省, 该厂应聘请一级、二级检验员各多少人？解：（1）确定设计变量；根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为（2）建立数学模型的目标函数；取检验费用为目标函数，即：f（力二8*4**+ 8*3*X2 + 2 （ 8*25*0.02*+8*15*0. 05x2 ）二40K+ 36x2(3) 本问题的最优化设计数学模型：min f (X)二40K+36X2X W Rs. t. g y (力=800-8*25^+8*15匕WOgi (X) =Xi-8W0§3 (A) ~%2_1 0^0闽(力二—Xi WOgs (A) —~x2 WO1-2已知一拉伸弹簧受拉力F，剪切弹性模量5 材料重度「，许用剪切应力国，许用最大变形量〔刃。

欲选择一组设计变量X = [X| x2x3]r =[d D2 n]r使弹簧重量最轻，同时满足下列限制条件：弹簧圈数心簧丝直径〃沖10<D2<50 o 试建立该优化问题的数学模型。

注：弹簧的应力与变形计算公式如下S罟，—1 +瘁,心牛（旋绕比），"器解：(1)确定设计变量；根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X二(2) 建立数学模型的目标函数;取弹簧重量为目标函数，即：心二分也(3) 本问题的最优化设计数学模型: min f (X -匚心山XwR4s. t. gi （力—0. 5-Xi WO §2（A）—10—%2 WO 戲（力—^2—50 WO切（力~3—%3 W0馬(无二(1+宀警十]W02X2兀勺说(力二氾*]W01-3某厂生产一个容积为8000 co?的平底、无盖的圆柱形容器，要求设计此容器消耗原材料最少，试写出这一优化问题的数学模型。

机械优化设计复习题一.单项选择题1．一个多元函数()F X 在X *附近偏导数连续，则该点位极小值点的充要条件为（ ）A ．()*0F X ∇= B. ()*0F X ∇=,()*H X 为正定 C ．()*0H X = D. ()*0F X ∇=,()*H X 为负定2.为克服复合形法容易产生退化的缺点，对于n 维问题来说，复合形的顶点数K 应（ ）A ． 1K n ≤+ B. 2K n ≥ C. 12n K n +≤≤ D. 21n K n ≤≤- 3．目标函数F （x ）=4x 21+5x 22，具有等式约束，其等式约束条件为h(x)=2x 1+3x 2-6=0,则目标函数的极小值为（ ）A ．1B ． 19.05C ．0.25D ．0.14.对于目标函数F(X)=ax+b 受约束于g(X)=c+x ≤0的最优化设计问题，用外点罚函数法求解时，其惩罚函数表达式Φ(X,M (k))为( )。

A. ax+b+M (k){min ［0,c+x ］}2，M (k)为递增正数序列B. ax+b+M (k){min ［0,c+x ］}2，M (k)为递减正数序列C. ax+b+M (k){max ［c+x,0］}2，M (k)为递增正数序列hnD. ax+b+M (k){max ［c+x,0］}2，M (k)为递减正数序列1.B2.C3.B4.B5.A6.B7.D8.B9.A 10C.11.B 12.C 13A 14.B 15.B 16 D 17.D 18.A 19.B.20.D 21.A 22.D 23.C 24.B 25.D 26.D 27.A 28.B 29.B 30.B5.黄金分割法中，每次缩短后的新区间长度与原区间长度的比值始终是一个常数，此常数是（ ）。

A.0.382 B.0.186 C.0.618 D.0.8166.F(X)在区间［x 1,x 3］上为单峰函数，x 2为区间中一点，x 4为利用二次插值法公式求得的近似极值点。

8． 有一汽门用弹簧，已知安装高度H1=50.8mm,安装（初始）载荷F1=272N ，最大工作载荷F2=680N ，工作行程h=10.16mm 弹簧丝用油淬火的50CrV A 钢丝，进行喷丸处理； 工作温度126°C ；要求弹簧中径为20mm ≤D2≤50mm ，弹簧总圈数4≤n1≤50，支 承圈数n2=1.75，旋绕比C ≥6；安全系数为1.2；设计一个具有重量最轻的结构方案。

[解] 1．设计变量：影响弹簧的重量的参数有弹簧钢丝直径：d ，弹簧中径D1和弹簧总圈数n1，可取这三个参数作为设计变量：即：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=H D x x x 212．目标函数：弹簧的重量为式中 ρ――钢丝材料的容重，目标函数的表达式为3221611262101925.0108.725.0)(x x x n D d x F --⨯=⨯⨯=π３．约束条件：１）弹簧的疲劳强度应满足min S S ≥式中 2.1m i n m i n =--S S ，可取最小安全系数，按题意S ――弹簧的疲劳安全系数，由下式计算：m s s s S ττττττττα⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=002式中 ：劳极限，计算方法如下弹簧实际的脉动循环疲--0τ初选弹簧钢丝直径：4mm ≤d ≤8mm ，其抗拉强度MPa b 1480=σ，取弹簧的循环工作次数大于710，则材料的脉动循环疲劳极限为MPa b 44414803.03.0'0=⨯==στ设可靠度为90％，可靠性系数 868.0=r k ； 工作温度为126°C ，温度修正系数 862.0126273344273344=+=+=T k t再考虑到材料经喷丸处理，可提高疲劳强度10％，则弹簧实际的脉动循环疲劳极限为MPa k k t r 4.365444862.0868.01.1)1.01('00=⨯⨯⨯=+=ττ36/107.8mm kg -⨯=ρρπ12220.25n D d W =--s τ弹簧材料的剪切屈服极限，计算公式为MPa b s 74014805.05.0=⨯==στ--ατ弹簧的剪应力幅，计算公式为328dD F ka πτα=式中 k ――曲度系数，弹簧承受变应力时，计算公式为14.02)(6.1615.04414d D C C C k ≈+--=a F ――载荷幅，其值为N F F F a 2042/)272680(2/)(12=-=-=m τ――弹簧的平均剪应力，计算公式为328dD F k m sm πτ=式中s k ――应力修正系数，计算公式为dD C k s /615.01615.012+=+= m F ――平均载荷，其值为N F F F m 4762/)272680(2/)(12=+=+=由此，得到弹簧疲劳强度的约束条件为 计算剪应力幅ατ：86.2186.023214.023.8308)/(6.1x x d D F d D dD F ka a =⋅==ππτα328 计算平均应力幅m τ：21312246.74512.1212615.01x x x d D F Dd dD F k m m sm +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+==33288ππτ 计算弹簧的实际疲劳安全系数S ：mms s s S τττττττττταα494.0506.14.365+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0002从而得到弹簧的疲劳强度约束条件为012.1)(min 1≤-=-=SS S S x g ２）根据旋绕比的要求，得到约束条件016)(21min 2≤-=-=x x C C C x g３）根据对弹簧中径的要求，得到约束条件50222≤-=-=≤-=-=1)4(0120)3(max max 242min 3x D D D g x D D D g４）根据压缩弹簧的稳定性条件，要求：c F F ≤2式中 c F ――压缩弹簧稳定性的临界载荷，可按下式计算：K H D H F C ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=2022085.611813.0μ 式中 K ――要求弹簧具有的刚度，按下式计算：mm N h F F K /2.4016.1027268012=-=-=0H ――弹簧的自由高度，按下式计算： 当mm K F 16.9240.26802===λ 时， 304.20)5.0(2.1)5.0(310+-=+-=x n H λμ――长度折算系数，当弹簧一端固定，一端铰支时，取 7.0=μ；则：[][]⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---+-=221398.1311304.20)5.0(268.320.3040.5)(13x x x x x F C于是得 01680)(25≤-=-=CC C F F F F x g5）为了保证弹簧在最大载荷作用下不发生并圈现象，要求弹簧在最大载荷2F 时的高度2H 应大于压并高度b H ，由于13112)5.0()5.0(64.4016.108.50x x d n H h H H b -=-==-=-=于是得到010123.00246.0)(131226≤--=-=x x x H H H x g b６）为了保证弹簧具有足够的刚度，要求弹簧的刚度αK 与设计要求的刚度K 的误差小于1/100，其误差值用下式计算：401.02.40)75.1(8100/)(33241---=--=x x Gx K K K αθ式中 G ――弹簧材料的剪切弹性模量，取G=80000Mpa 。

９．图6-39所示为一对称的两杆支架，在支架的顶点承受一个载荷为2F=300000N ， 支架之间的水平距离2B=1520mm ，若已选定壁厚T=2.5mm 钢管，密度/1083-6mm Kg ⨯=.7ρ，屈服极限700=s σMpa ，要求在满足强度与稳定性条件下设计最轻的支架尺寸。

[解] 1．建立数学模型 设计变量：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=H D x x x 21目标函数：221422577600101.2252)(x x HBD T x f +⨯=+=πρ约束条件：１）圆管杆件中的压应力σ应小于或等于y ο，即y TDHHB F σπσ≤+=22于是得2122157760019098.59)(x x x x g +=２）圆管杆件中的压应力α应小于或等于压杆稳定的临界应力c σ，由欧拉公式得钢管的压杆温度应力c σ222152222225776006.25102.6)8()(x x H B T D E AL EIC ++⨯=++==ππσ2式中 A ――圆管的截面积；L ――圆管的长度。

于是得0)6006.25)/(577(102.657760019098.59)(2221521222≤++⨯-+=-=x x x x x x g c σσ３）设计变量的值不得小于或等于0于是得)(0)(2213≤-=≤-=x x g x x g2．从以上分析可知，该优化设计问题具有2个设计变量，4个约束条件，按优化方法程序的规定编写数学模型的程序如下：subroutine ffx(n,x,fx)dimension x(n) fx=1.225e-4*x(1)*sqrt(577600.0+x(2)*x(2))dimension x(n) fx=1.225e-4*x(1)*sqrt(577600.0+x(2)*x(2))fx=1.225e-4*x(1)*sqrt(577600.0+x(2)*x(2))endsubroutine ggx(n,kg,x,gx)dimension x(n),gx(kg)gx(1)=19098.59*sqrt(577600.0+x(2)*x(2))/(x(1)*x(2))-700.0gx(2)=19098.59*sqrt(577600.0+x(2)*x(2))/(x(1)*x(2))-1 2.6e5*(x(1)*x(1)+6.25)/(577600.0+x(2)*x(2))gx(3)=-x(1)gx(4)=-x(2)end3．利用惩罚函数法（SUMT法）计算，得到的最优解为：============== PRIMARY DATA ==============N= 2 KG= 4 KH= 0X : .7200000E+02 .7000000E+03FX: .9113241E+01GX: -.3084610E+03 -.8724784E+03 -.7200000E+02 -.7000000E+03PEN = .9132947E+01R = .1000000E+01 C = .4000000E+00 T0= .1000000E-01EPS1= .1000000E-05 EPS2= .1000000E-05=============== OPTIMUM SOLUTION ==============IRC= 18 ITE= 39 ILI= 39 NPE= 229 NFX= 0 NGR= 57R= .1717988E-06 PEN= .6157225E+01X : .4868305E+02 .6988214E+03FX: .6157187E+01GX: -.1204029E+03 -.1266042E-01 -.4868305E+02 -.6988207E+0310．图6-40所示为一箱形盖板，已知长度L=6000mm ，宽度b=600mm ，厚度mm t s 5= 承受最大单位载荷q=0.01Mpa ，设箱形盖板的材料为铝合金，其弹性模量MPa E 4107⨯=，泊松比3.0=μ，许用弯曲应力[]MPa 70=σ，许用剪应力[]MPa 45=τ，要求在满足强度、刚度和稳定性条件下，设计重量最轻的结构方案。

第6章习题6.1机械为什么会产生速度波动？它有何危害？答：实际上，机械原动件的运动规律是由其各构件的质量、转动惯量和作用于其上的驱动力与阻抗力等因素而决定的，因而在一般情况下，原动件的速度和加速度是随时间而变化，机械在运动过程中会出现速度波动。

这种速度波动，会导致在运动副中产生附加的动压力，并一起机械的振动，从而降低机械的寿命、效率和工作质量。

6.2周期性速度波动应如何调节？它能否调节为恒稳定运转？为什么？答：在机械中安装一个具有很大转动惯量的回转构件——飞轮来调节周期性速度波动。

飞轮能够调速，是利用了它的储能作用。

由于飞轮转动惯量不可能为无穷大，而平均转速和最大盈亏功又都是有限值，所以安装飞轮后机械运转的速度仍有周期波动，只是波动的幅度减小而已。

6.3为什么在机械中安装飞轮就可以调节周期性速度波动？通常都将飞轮安装在高速轴上是什么原因？答：由于飞轮具有很大的转动惯量，因而要使其转速发生变化，就需要较大的能量，当机械出现盈功时，飞轮的角速度只作微小上升，即可将多余的能量吸收储存起来；当机械出现亏功时，机械运转速度减慢，飞轮又可将其储存的能量释放，以弥补能量的不足，而其角速度只作小幅度的下降。

当最大盈亏功与速度不均匀系数相同时，飞轮转动惯量与其轴的转速的平方值成反比，所以为减少飞轮的转动惯量，最好将飞轮安装在机械的高速轴上。

6.4非周期性速度波动应如何调节？为什么利用飞轮不能调节非周期性速度波动？答：机械运转的速度出现非周期性的波动，若长时间内驱动力矩大于阻抗力矩，机械将越转越快，甚至可能出现“飞车”现象，从而使机械遭到破坏；反之，若驱动力矩小于阻抗力矩，则机械会越转越慢，最后将停止不动。

飞轮只能延缓机械遭到破坏或停止不动，不能使驱动力矩和阻抗力矩恢复平衡关系。

对非周期性的速度波动进行调节，方法必须可以使机械重新回复稳定运转。

主要采取的方法是安装调速器。

6.5在什么条件下需要进行转动构件的静平衡？使转动构件达到静平衡的条件是什么？答：对于轴向尺寸很小的回转件(D/b>5,圆盘直径为D，其宽度为b)，其质量的分布可以近似地认为在同一回转面内。

第一章习题答案1-1 某厂每日(8h 制)产量不低于1800件。

计划聘请两种不同的检验员，一级检验员的标准为：速度为25件/h,正确率为98%，计时工资为4元/ h;二级检验员标准为：速度为15件/h,正确率为95%，计时工资 3 元/h。

检验员每错检一件，工厂损失2元。

现有可供聘请检验人数为：一级8人和二级10人。

为使总检验费用最省，该厂应聘请一级、二级检验员各多少人？解：(1 )确定设计变量；X-j 一级检验员根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X = 1;x2二级检验员(2)建立数学模型的目标函数；取检验费用为目标函数，即：f(X) = 8*4* X1+ 8*3* X2 + 2 ( 8*25*0.02 X1 +8*15*0.05 X2 )=40x1+ 36x2(3)本问题的最优化设计数学模型：3 •min f (X) = 40X1+ 36X2 X€ Rs.t. g1(X) =1800-8*25 X1+8*15X2W 0g2( X) = x1 -8 < 0g3(X) = x2-10 w 0g4( X) = - X1 w 0 g5( X) = - x2w 01-2已知一拉伸弹簧受拉力F，剪切弹性模量G，材料重度r，许用剪切应力[],许用最大变形量[]。

欲选择一组设计变量X [X1 X2 X3]T [d D2 n]T使弹簧重量最轻，同时满足下列限制条件：弹簧圈数n 3, 簧丝直径d 0.5，弹簧中径10 D2 50。

试建立该优化问题的数学模型。

注：弹簧的应力与变形计算公式如下k s 8FD32 , k s 1 1, c D2 (旋绕比)，s d3 s 2c d解：(1)确定设计变量；x-i d 根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X= x2D2;X3 n(2)建立数学模型的目标函数；取弹簧重量为目标函数，即：22f(X) = rx1 x2x343 本问题的最优化设计数学模型：8F n D；Gd423 •min f (X) = rx 1 x 2x 3 X € R4s.t.g i (X) =0.5- x i w 0 g 2( X) =10- x 2 w 0 g 3( X) = X 2-50 w 0 g 4( X) =3- X 3 w 0 g 5(X) =(1 丄)辱 w 02x 2 x 1w 0g 6(X)=38FX 2 x 3Gx 141-3某厂生产一个容积为 一优化问题的数学模型。

机械优化设计习题及参考答案1-1.简述优化设计问题数学模型的表达形式。

答：优化问题的数学模型是实际优化设计问题的数学抽象。

在明确设计变量、约束条件、目标函数之后，优化设计问题就可以表示成一般数学形式。

求设计变量向量[]12Tn x x x x =L 使 ()min f x → 且满足约束条件()0(1,2,)k h x k l ==L ()0(1,2,)j g x j m ≤=L2-1.何谓函数的梯度？梯度对优化设计有何意义？答：二元函数f(x 1,x 2)在x 0点处的方向导数的表达式可以改写成下面的形式：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂=∂∂+∂∂=∂∂2cos 1cos 212cos 21cos 1θθθθxo x f x f xo x f xo x f xo d fρ令xo Tx f x f x f x fx f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂=∂∂∂∂=∇21]21[)0(， 则称它为函数f （x 1，x 2）在x 0点处的梯度。

（1）梯度方向是函数值变化最快方向，梯度模是函数变化率的最大值。

（2）梯度与切线方向d 垂直，从而推得梯度方向为等值面的法线方向。

梯度)0(x f ∇方向为函数变化率最大方向，也就是最速上升方向。

负梯度-)0(x f ∇方向为函数变化率最小方向，即最速下降方向。

2-2.求二元函数f （x 1，x 2）=2x 12+x 22-2x 1+x 2在T x ]0,0[0=处函数变化率最大的方向和数值。

解：由于函数变化率最大的方向就是梯度的方向，这里用单位向量p表示，函数变化率最大和数值时梯度的模)0(x f ∇。

求f （x1，x2）在x0点处的梯度方向和数值，计算如下：()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂=∇120122214210x x x x f x f x f 2221)0(⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∇x f x f x f =5⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∇∇=5152512)0()0(x f x f p ϖ2-3.试求目标函数()2221212143,x x x x x x f +-=在点X 0=[1,0]T 处的最速下降方向，并求沿着该方向移动一个单位长度后新点的目标函数值。

机械优化设计习题答案机械优化设计习题答案在机械设计中，优化设计是一项重要的任务。

通过优化设计，可以提高机械产品的性能和效率，降低成本和能耗。

然而，在实际的设计过程中，我们常常会遇到各种各样的问题和难题。

下面，将针对一些常见的机械优化设计习题，提供一些解答和思路。

一、最小重量设计问题最小重量设计问题是机械设计中的一个经典问题。

在这类问题中，我们需要在满足一定的约束条件下，找到一个最轻的设计方案。

通常，这类问题可以通过数学建模和优化算法来求解。

首先，我们需要明确设计的约束条件和目标函数。

约束条件可以包括强制性要求和可选的要求，如尺寸限制、强度要求等。

目标函数可以是重量、成本、能耗等。

然后，我们可以利用数学建模的方法将问题转化为一个数学优化问题。

最常用的方法是使用拉格朗日乘子法或者KKT条件来求解。

二、最大刚度设计问题最大刚度设计问题是另一个常见的机械设计问题。

在这类问题中，我们需要在给定的约束条件下，找到一个刚度最大的设计方案。

刚度是指物体对外力的抵抗能力，通常是通过刚度矩阵来描述的。

在解决最大刚度设计问题时，我们需要首先建立物体的刚度矩阵。

然后，通过求解特征值问题，得到刚度矩阵的特征值和特征向量。

特征值表示物体的刚度，特征向量表示物体的振动模态。

接下来，我们可以通过调整设计参数来改变刚度矩阵，从而实现最大刚度的设计。

三、流体优化设计问题流体优化设计问题是机械设计中的一个重要领域。

在这类问题中，我们需要通过优化设计来改善流体的流动性能。

例如，我们可以通过改变流道的形状和尺寸，来减小流体的阻力和压降。

在解决流体优化设计问题时，我们可以利用计算流体力学（CFD）方法来模拟流体的流动。

首先，我们需要建立流体的数学模型，包括流动方程和边界条件。

然后，通过数值方法求解这个数学模型，得到流体的流动状态。

接下来，我们可以通过改变设计参数，如流道的形状和尺寸，来优化流体的流动性能。

总结起来，机械优化设计是机械设计中的一个重要任务。

《机械优化设计》习题与答案机械优化设计习题及参考答案1-1.简述优化设计问题数学模型的表达形式。

答：优化问题的数学模型是实际优化设计问题的数学抽象。

在明确设计变量、约束条件、⽬标函数之后，优化设计问题就可以表⽰成⼀般数学形式。

求设计变量向量[]12Tn x x x x =L 使 ()min f x →且满⾜约束条件()0(1,2,)k h x k l ==L ()0(1,2,)j g x j m ≤=L2-1.何谓函数的梯度？梯度对优化设计有何意义？答：⼆元函数f(x 1,x 2)在x 0点处的⽅向导数的表达式可以改写成下⾯的形式：??=??+??=??2cos 1cos 212cos 21cos 1θθθθxo x f x f xo x f xo x f xo d fρ令xo Tx f x f x f x fx f ??=????=?21]21[)0(，则称它为函数f （x 1，x 2）在x 0点处的梯度。

（1）梯度⽅向是函数值变化最快⽅向，梯度模是函数变化率的最⼤值。

（2）梯度与切线⽅向d 垂直，从⽽推得梯度⽅向为等值⾯的法线⽅向。

梯度)0(x f ?⽅向为函数变化率最⼤⽅向，也就是最速上升⽅向。

负梯度-)0(x f ?⽅向为函数变化率最⼩⽅向，即最速下降⽅向。

2-2.求⼆元函数f （x 1，x 2）=2x 12+x 22-2x 1+x 2在T x ]0,0[0=处函数变化率最⼤的⽅向和数值。

解：由于函数变化率最⼤的⽅向就是梯度的⽅向，这⾥⽤单位向量p表⽰，函数变化率最⼤和数值时梯度的模)0(x f ?。

求f （x1，x2）在x0点处的梯度⽅向和数值，计算如下：()-=??+-==?120122214210x x x x f x f x f 2221)0(??+ =x f x f x f =5-=??????-=??=5152512)0()0(x f x f p ?2-3.试求⽬标函数()2221212143,x x x x x x f +-=在点X 0=[1,0]T 处的最速下降⽅向，并求沿着该⽅向移动⼀个单位长度后新点的⽬标函数值。

机械优化设计题目答案1-1.简述优化设计问题数学模型的表达形式。

答：优化问题的数学模型是实际优化设计问题的数学抽象。

在明确设计变量、约束条件、目标函数之后，优化设计问题就可以表示成一般数学形式。

求设计变量向量[]12Tn xx x x =L 使()min f x →且满足约束条件()0(1,2,)k h x k l ==L ()0(1,2,)j g x j m ≤=L利用可行域概念，可将数学模型的表达进一步简练。

设同时满足()0(1,2,)j g x j m ≤=L 和()0(1,2,)k h x k l ==L 的设计点集合为R ，即R 为优化问题的可行域，则优化问题的数学模型可简练地写成求x 使 min ()x Rf x ∈ 符号“∈”表示“从属于”。

在实际优化问题中，对目标函数一般有两种要求形式：目标函数极小化()min f x →或目标函数极大化()max f x →。

由于求()f x 的极大化与求()f x -的极小化等价，所以今后优化问题的数学表达一律采用目标函数极小化形式。

1-2.简述优化设计问题的基本解法。

（不要抄书，要归纳）答：求解优化问题可以用解析解法，也可以用数值的近似解法。

解析解法就是把所研究的对象用数学方程（数学模型）描述出来，然后再用数学解析方法（如微分、变分方法等）求出有化解。

但是，在很多情况下，优化设计的数学描述比较复杂，因而不便于甚至不可能用解析方法求解；另外，有时对象本身的机理无法用数学方程描述，而只能通过大量试验数据用插值或拟合方法构造一个近似函数式，再来求其优化解，并通过试验来验证；或直接以数学原理为指导，从任取一点出发通过少量试验（探索性的计算），并根据试验计算结果的比较，逐步改进而求得优化解。

这种方法是属于近似的、迭代性质的数值解法。

数值解法不仅可用于求复杂函数的优化解，也可以用于处理没有数学解析表达式的优化问题。

因此，它是实际问题中常用的方法，很受重视。