2.4.2抛物线的几何性质

2.4.2抛物线的几何性质班级__________姓名____________ ______年____月____日【教学目标】掌握抛物线的定义、标准方程和几何性质；培养学生分析问题、解决问题的能力．【教学重点】能根据条件熟练地求出抛物线的标准方程．【教学难点】抛物线的性质及简单应用．【教学过程】一、引入：1．抛物线定义：平面内到一个定点F和一条定直线l（）的距离的点的轨迹叫做抛物线；点F叫做抛物线的，直线l叫做抛物线的．2．标准方程、焦点、准线、图形（其中0p>，表示焦点F到准线l的距离）3．抛物线的几何性质：以22(0)=>为例：y px p（1）范围：．（2）对称性：．（3）顶点：．（4）开口方向：．二、新授内容：例1．根据下列条件求抛物线的标准方程．（1）焦点在y轴上，通径的长等于4；（2）过点P(2，－4)；（3）抛物线的焦点在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，AF＝5．例2．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)y px p => 的准线分别交于,A B 两点，O 为坐标原点，若双曲线的离心率为2，AOB ∆的面积为3，则p = ．【变式拓展】抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，其准线与双曲线22133x y -=相交于,A B 两点，若ABF ∆为等边三角形，则p = ．例3．如图所示，已知抛物线22(0)y px p =>的焦点恰好是椭圆22221x y a b +=的右焦点F ，且两条曲线的交点连线也过焦点F ，求该椭圆的离心率．【变式拓展】（1）已知抛物线22y x =的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，点A （3，2），求PA +PF 的最小值，并求出取最小值时P 点的坐标．*（2）已知抛物线y 2＝－x 与直线y ＝k (x ＋1)相交于A 、B 两点．①求证：OA ⊥OB ； ②当△OAB 的面积等于10时，求k 的值． 反思：xy F y 2=2px O三、课堂反馈：1．若抛物线22y px =的焦点坐标为(1,0)，则p = ；准线方程为 ．2．已知圆22670x y x +--=与抛物线22(0)y px p =>的准线相切，则______p =．3．抛物线顶点是双曲线22169144x y -=的中心，焦点是双曲线的左顶点，则抛物线的方程 ．4．已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，AF ＋BF ＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为________．*5．经过抛物线的焦点F 作一条直线与抛物线相交于1P ，2P 两点， 求证：以线段12P P 为直径的圆与抛物线的准线相切．四、课后作业： 学生姓名：___________ 1．求适合下列条件的抛物线的标准方程：（1）顶点在原点，焦点为(0,5)-； （2）顶点在原点，准线方程为3x =．2．对称轴为x 轴，焦点到准线的距离是4的抛物线的标准方程为 ．3．抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，若其准线经过椭圆4x 2＋9y 2＝36的右焦点，则该抛物线方程为______________．4．抛物线y ＝2ax 的准线方程是y －2＝0，则a 的值是 ．5．点M (5,3)到抛物线y ＝ax 2的准线的距离为6，那么抛物线的方程是 ．*6．若椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，线段12F F 被抛物线22y bx =的焦点F 分成5﹕3的两段，则此椭圆的离心率为 ．7．一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2m时，水面宽4m，若水面下降1m，求水面宽度．8．若动圆与圆(x+3)2＋y2＝1外切，又与直线x＝2相切，求动圆圆心的轨迹方程．*9．已知点A(－2,1)，y2＝－4x的焦点是F，P是y2＝－4x上的点，为使PA＋PF取得最小值，求P点的坐标．*10．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点(,3)M m 到焦点的距离为5，求m的值、以及抛物线方程和准线方程．。

高中数学2.4.2 抛物线的几何性质要点精讲1.抛物线标准方程中p 的几何意义是：焦点到准线的距离．2. 抛物线的离心率e=1.典型题解析【例1】抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，它与圆x 2＋y 2＝9相交，公共弦MN 的长为52，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标，准线方程． 【分析】 【解】【例2】顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线截直线y ＝－2x － 1所得的弦长AB ＝35，求抛物线的方程． 【分析】 【解】【例3】定长为5的线段AB 的两个端点在抛物线 y 2＝4x 上移动，试求线段AB 的中点M 到y 轴的最短距离． 【解】【点评】【点评】【例4】已知抛物线y2=2px(p ＞0)的一条过焦点的弦，被焦点分成长度是m 、n 的两部分，求证pn m 211=+． 【解析】【例5】过抛物线y 2＝2px(p ＞0)的顶点作两条互相垂直的弦OA 与OB ，求证：直线AB 恒过一定点，并求出该定点的坐标． 【解析】【点评】【点评】【例6】已知抛物线y 2=4ax(a ＞0)的焦点为A ，以B （a ＋4，0）为圆心，|AB|长为半径画圆，在x 轴上方交抛物线于M 、N 不同的两点，若P 为MN 的中点．（1）求a 的取值范围；（2）求|AM|＋|AN|的值；（3）问是否存在这样的a 值，使|AM|、|AP|、|AN|成等差数列？【解】(1) 设M (x 1，y 1 )，N (x 2，y 2)，P (x 0，y 0 ) 则[ x —（a ＋4）]2 ＋ y 2 = 16 ( y ≥0)用y 2 = 4ax (a>0) 代入得x 2 ＋ 2 (a —4)x ＋ 8a ＋ a 2 = 0 由4△= ( a —4)2 — (8a ＋ a 2) > 0得：0 < a < 1 (2) ∵A 为焦点 ∴ |AM| ＋ |AN| = (x 1 ＋ a ) ＋ (x 2 ＋ a) = x 1 ＋ x 2 ＋ 2a = 8—2a ＋ 2a = 8． (3) △AMN 中，AP 为MN 边上的中线，由平面几何知识，|AM|+|AN|>2|AP|，∴不存在实数a ，使AM|,|AP|,|AN|成等差数列．【点评】（1）根据定义解题，能化难为易；（2）巧用平面几何和三角知识解题，能简化运算过程，简约思维过程．【例7】如图，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P （1，2），A （x y 11,），B （x y 22,）均在抛物线上．（I ）写出该抛物线的方程及其准线方程（II ）当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y y 12+的值 及直线AB 的斜率【分析】本题的条件主要有两个：一是A 、B 两点在抛物线上；二是直线PA 与PB 的倾斜角互补．由于所求的是y l ＋y 2的值及1212x x y y --的值，因此考虑将条件向与结论相关的方向去变 .由点A 、B 在抛物线上，可知其坐标满足方程，也可将A 、B 看作是直线PA 与PB 与抛物线的交点即从方程组人手．直线PA 与PB 的倾斜角互补，因此，其斜率互为相反数．这样运用斜率公式即可其坐标化，得到与y l 、y 2有关的结论；也可利用待定系数法，用一个参数写出PA 与P 的方程，再用方程组来处理．【解】 ( I)当y p =2时，x p =8, 又抛物线y px 22=的准线方程为x p =-2由抛物线定义得，所求距离为p p p8258--=()（2）设直线PA 的斜率为k PA ，直线PB 的斜率为k PB 由y px 1212=，y px 0202=相减得()()()y y y y p x x 1010102-+=- 故k y y x x p y y x x PA =--=+≠101010102() , 同理可得k py y x x PB =+≠22020()yPOAB由PA ，PB 倾斜角互补知k k PA PB =- , 即221020p y y py y +=-+所以y y y 1202+=- , 故y y y 122+=- 设直线AB 的斜率为k AB , 由y px 2222=，y px 1212= , 相减得()()()y y y y p x x 2121212-+=-所以k y y x x py y x x AB =--=+≠212112122() ,将y y y y 120020+=->()代入得 k p y y py AB =+=-2120，所以k AB 是非零常数规律总结1．抛物线的定义用法：一是根据定义求轨迹；二是两个相等距离（动点到焦点的距离与动点到准线的距离）的互化．（常用定义把抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离，把焦点弦长转化为点到准线的距离）．2．抛物线标准方程中p 的几何意义是：焦点到准线的距离．3．抛物线2y ＝2px （p ＞0）上的点可设为（py 22，y ）或（2p 2t ，2pt ）形式，二元转化为一元，方便解题．。