人教版八年级第2讲与三角形有关的角

11.2.1 三角形的内角（第二课时）说课稿一、课程背景《数学》是中学阶段的一门重要学科，对学生的思维能力、逻辑思维能力以及解决问题的能力有着重要的培养作用。

而在《数学》的课程中，三角形是一个非常重要的几何图形，对于学生来说，掌握三角形的性质和应用是十分关键的。

本节课的内容是三角形的内角，是数学八年级上册的重点和难点之一。

二、教学目标1.理解三角形内角的概念和性质；2.掌握如何计算三角形内角的方法；3.能够运用所学知识解决与三角形内角相关的问题。

三、教学重点1.三角形内角的概念和性质；2.计算三角形内角的方法。

四、教学难点1.掌握三角形内角的计算方法；2.运用所学知识解决问题。

五、教学过程1. 导入新知•引入三角形的概念和性质，回顾上节课所学内容，帮助学生复习巩固知识。

2. 学习新知•向学生介绍三角形的内角的概念，与学生共同探讨三角形内角的性质并进行总结。

三角形的内角性质： - 三角形的三个内角之和等于180度。

- 任意一个内角都小于180度。

•老师给出示例三角形，让学生通过测量证明三角形的三个内角之和为180度。

3. 计算三角形的内角•老师向学生讲解如何计算三角形中的内角大小，并通过示例进行解释和演示。

如何计算三角形的内角： - 如果已知三角形的两个内角的大小，则可以通过内角和为180度的性质计算出第三个内角的大小。

- 如果已知三角形的一个内角和两个边的长度，则可以利用三角形的角平分线性质计算出其他内角的大小。

•老师通过几个典型的计算例子，引导学生掌握计算三角形内角的方法。

4. 解决问题应用•老师给出一些与三角形内角相关的问题，让学生灵活运用所学知识解决问题。

问题示例： 1. 已知一个三角形的两个内角分别为50度和70度，求第三个内角的大小； 2. 一个三角形的一个内角为60度，如果另外两边的长度分别为5cm和8cm，求另外两个内角的大小。

5. 归纳总结•老师和学生一起对所学内容进行总结归纳，提醒学生掌握三角形内角的性质和计算方法。

人教版八年级数学上册教学设计11.2 与三角形有关的角一. 教材分析人教版八年级数学上册“与三角形有关的角”这一节主要让学生了解三角形内角和定理，学会使用三角形的内角和定理解决实际问题。

通过这一节的学习，让学生进一步理解三角形的性质，为后续学习三角形的其他性质和判定打下基础。

二. 学情分析学生在七年级时已经学习了角的性质，对角的概念有了初步的了解。

但他们对三角形的内角和定理的理解还不够深入，需要通过实例来进一步理解和掌握。

此外，学生的空间想象力还不够丰富，需要通过实物演示和动手操作来帮助他们理解和掌握三角形的内角和定理。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生了解三角形内角和定理，能运用三角形的内角和定理解决实际问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、推理等过程，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养他们勇于探索、积极思考的精神。

四. 教学重难点1.重点：三角形内角和定理的理解和运用。

2.难点：对三角形内角和定理的证明和灵活运用。

五. 教学方法采用问题驱动法、实物演示法、合作交流法等，引导学生观察、操作、推理，从而理解和掌握三角形的内角和定理。

六. 教学准备1.准备三角形模型、直尺、量角器等教具。

2.制作课件，展示三角形内角和定理的证明过程。

七. 教学过程导入（5分钟）教师通过提问：“我们以前学过角的性质，那么你们知道三角形的角有什么特点吗？”引导学生回顾角的知识，为新课的学习做好铺垫。

呈现（10分钟）教师展示三角形模型，让学生观察并提问：“请大家观察这个三角形，你们能发现什么规律吗？”引导学生发现三角形的内角和等于180度。

操练（10分钟）教师给出几个三角形，让学生用量角器测量其内角和，验证三角形的内角和定理。

同时，教师巡回指导，帮助学生解决问题。

巩固（10分钟）教师通过出示一些实际问题，让学生运用三角形的内角和定理解决问题，巩固所学知识。

拓展（10分钟）教师提问：“你们还能找到其他形状的图形的内角和定理吗？”引导学生思考四边形、五边形等图形的内角和定理，培养学生的空间想象力。

第２讲与三角形有关得角一、知识重点1.三角形内角与定理(1)定理:三角形三个内角得与等于180°。

(2)证明方法:(3)理解与延伸:因为三角形内角与为１80°,所以延伸出三角形中很多得角得特定关系如:①一个三角形中最多只有一个钝角或直角;②一个三角形中最少有一个角不小于6０°;③直角三角形两锐角互余;④等边三角形每个角都就是60°等.(4)作用:已知两角求第三角或已知三角关系求角得度数、谈重点三角形内角与定理得理解三角形内角与定理就是最重要得定理之一,就是求角得度数问题中最基础得定理,应用非常广泛.【例1】填空:(1)在△ABC中,若∠A=８0°,∠Ｃ=２０°,则∠B=_＿＿＿＿__＿_＿°;(2)若∠A=８０°,∠B=∠C,则∠C=＿________＿°;(3)已知△ABＣ得三个内角得度数之比∠Ａ∶∠B∶∠C＝２∶3∶5,则∠B=____＿____＿°,∠C=___＿＿_＿___°。

2、直角三角形得性质与判定(１)直角三角形得性质:直角三角形得两个锐角互余、如图所示,在Rt△ABＣ中,如果∠C=９０°,那么∠A＋∠B＝90°、【例2—1】将一个直角三角板与一把直尺如图放置,如果∠α＝43°,则∠β得度数就是().A.43°ﻩＢ.4７°ﻩﻩC。

30°ﻩＤ、60°。

答案:B(2)直角三角形得判定:有两个角互余得三角形就是直角三角形.如图所示,在△ＡBC中,如果∠A+∠B＝90°,那么∠C＝90°,即△AＢC就是直角三角形.【例2－2】如图所示,AB∥ＣD,直线EF分别交AB,CD于点E,Ｆ,∠BＥＦ得平分线与∠ＤFE得平分线相交于点P,求证:△EＰF就是直角三角形、。

3.三角形得外角(１)定义:三角形得一边与另一边得延长线组成得角,叫做三角形得外角.如图,∠ＡCＤ就就是△ABC其中得一个外角.(2)特点:①三角形得一个外角与与它同顶点得内角互为邻补角,这就是内、外角联系得纽带、②一个三角形有６个外角,其中两两互为对顶角,如图所示.破疑点三角形外角得理解外角就是相对于内角而言得,也就是三角形中重要得角,一个角对一个三角形来说就是外角,而对于另一个三角形来说可能就是内角;三角形得角就是指得三角形得内角,这点要注意.【例3】在△ＡＢC中,∠A等于与它相邻得外角得四分之一,这个外角等于∠B得两倍,那么∠Ａ=____＿＿_＿__,∠B＝_______＿＿_,∠C＝__＿_＿_＿___、４、三角形外角性质(1)性质:三角形得外角等于与它不相邻得两个内角得与.如图所示:∠1＝∠Ｂ+∠C(或∠Ｂ＝∠1－∠C,∠C＝∠1—∠Ｂ)、注意:三角形得外角与不就是所有外角得与,就是每个顶点处取一个外角,就是一半数目外角得与。

学科教师辅导讲义学员编号：年级：八年级(下)课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题第02讲-直角三角形授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标①掌握直角三角形的性质与判定方法；②进一步掌握推理证明的方法，培养演绎推理能力；授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂一、知识梳理1、直角三角形的性质和判定方法定理：直角三角形的两个锐角互余。

定理：有两个角互余的三角形是直角三角形。

2、勾股定理勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。

3、勾股定理的逆定理如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

4、逆命题、逆定理互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个体系搭建命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。

互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆命题。

5、斜边、直角边定理定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。

简述为“斜边、直角边定理”或“HL”定理。

考点一：直角三角形全等的判定例1、在如图中，AB=AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF交于点D，则下列结论中不正确的是（）A．△ABE≌△ACF B．点D在∠BAC的平分线上C．△BDF≌△CDE D．点D是BE的中点【解析】选D．例2、如图，AB=12，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC=4m，P点从B向A运动，每分钟走1m，Q点从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两点同时出发，运动4分钟后△CAP与△PQB全等．【解析】∵CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，∴∠A=∠B=90°，设运动x分钟后△CAP与△PQB全等；则BP=xm，BQ=2xm，则AP=（12﹣x）m，分两种情况：①若BP=AC，则x=4，AP=12﹣4=8，BQ=8，AP=BQ，∴△CAP≌△PBQ；②若BP=AP，则12﹣x=x，解得：x=6，BQ=12≠AC，此时△CAP与△PQB不全等；综上所述：运动4分钟后△CAP与△PQB全等；故答案为：4．例3、如图，∠A=∠B=90°，E是AB上的一点，且AE=BC，∠1=∠2．（1）Rt△ADE与Rt△BEC全等吗？并说明理由；（2）△CDE是不是直角三角形？并说明理由．【解析】（1）全等，理由是：∵∠1=∠2，∴DE=CE，∵∠A=∠B=90°，AE=BC，∴Rt△ADE≌Rt△BEC；P(Practice-Oriented)——实战演练实战演练➢课堂狙击1、下列条件中，能判定两个直角三角形全等的是（）A．一锐角对应相等B．两锐角对应相等C．一条边对应相等D．两条直角边对应相等【解析】选：D．2、如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充条件（）A．∠BAC=∠BAD B．AC=AD或BC=BDC．AC=AD且BC=BD D．以上都不正确【解析】从图中可知AB为Rt△ABC和Rt△ABD的斜边，也是公共边．跟据“HL”定理，证明Rt△ABC≌Rt△ABD，还需补充一对直角边相等，即AC=AD或BC=BD，故选B．3、如图，BD平分∠ABC，CD⊥BD，D为垂足，∠C=55°，则∠ABC的度数是（）A．35°B．55°C．60°D．70°【解析】∵CD⊥BD，∠C=55°，∴∠CBD=90°﹣55°=35°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABC=2∠CBD=2×35°=70°．故选D．4、如图，△ABC中，CD⊥AB于D，且E是AC的中点．若AD=6，DE=5，则CD的长等于（）A．5 B．6C．7 D．8【解析】∵△ABC中，CD⊥AB于D，∴∠ADC=90°．∵E是AC的中点，DE=5，∴AC=2DE=10．∵AD=6，∴CD===8．故选D．5、如图，AC⊥BC，AD⊥DB，要使△ABC≌△BAD，还需添加条件AC=BD或BC=AD或∠DAB=∠CBA或∠CAB=∠DBA．（只需写出符合条件一种情况）【解析】∵AC⊥BC，AD⊥DB，∴∠C=∠D=90°∵AB为公共边，要使△ABC≌△BAD∴添加AC=BD或BC=AD或∠DAB=∠CBA或∠CAB=∠DBA后可分别根据HL、HL、AAS、AAS判定△ABC≌△BAD．6、如图，已知点P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），∠AON=30°，当∠A=60°或90°时，△AOP为直角三角形．【解析】若∠APO是直角，则∠A=90°﹣∠AON=90°﹣30°=60°，若∠APO是锐角，∵∠AON=30°是锐角，∴∠A=90°，综上所述，∠A=60°或90°．故答案为：60°或90°．7、如图，在直角三角形ABC中，斜边上的中线CD=AC，则∠B等于30°．【解析】∵CD是斜边AB上的中线，∴CD=AD，又CD=AC，∴△ADC是等边三角形，∴∠A=60°，∴∠B=90°﹣∠A=30°．故答案为：30°．8、底角为30°，腰长为a的等腰三角形的面积是a2．【解析】如图，过点A作AD⊥BC于D，∵△ABC是等腰三角形，∴BC=2BD，∵底角∠B=30°，∴AD=AB=a，由勾股定理得，BD==a，∴BC=2BD=a，∴三角形的面积=×a×a=a2．故答案为a2．9、如图，在△ACB中，∠ACB=90゜，CD⊥AB于D．（1）求证：∠ACD=∠B；（2）若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F，求证：∠CEF=∠CFE．【解析】证明：（1）∵∠ACB=90゜，CD⊥AB于D，∴∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，∴∠ACD=∠B；（2）在Rt△AFC中，∠CFA=90°﹣∠CAF，同理在Rt△AED中，∠AED=90°﹣∠DAE．又∵AF平分∠CAB，∴∠CAF=∠DAE，∴∠AED=∠CFE，又∵∠CEF=∠AED，∴∠CEF=∠CFE．10、已知：如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=15°．过点C作CD⊥BA，交BA的延长线于点D，求△ACD的周长．【解析】如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=15°，∴∠B=∠ACB=15°，∴∠DAC=2∠B=30°．又∵CD⊥BA，∴CD=AC=1，∴根据勾股定理得到AD==，∴△ACD的周长=AD+CD+AC=+1+2=+3．答：△ACD的周长是+3．➢课后反击1、要判定两个直角三角形全等，下列说法正确的有（）①有两条直角边对应相等；②有两个锐角对应相等；③有斜边和一条直角边对应相等；④有一条直角边和一个锐角相等；⑤有斜边和一个锐角对应相等；⑥有两条边相等．A．6个B．5个C．4个D．3个【解析】故选B2、如图，O是∠BAC内一点，且点O到AB，AC的距离OE=OF，则△AEO≌△AFO的依据是（）A．HL B．AASC．SSS D．ASA【解析】∵OE⊥AB，OF⊥AC，∴∠AEO=∠AFO=90°，又∵OE=OF，AO为公共边，∴△AEO≌△AFO．故选A．3、直角三角形两个锐角平分线相交所成的钝角的度数为（）A．90°B．135°C．120°D．45°或135°【解析】如图：∵AE、BD是直角三角形中两锐角平分线，∴∠OAB+∠OBA=90°÷2=45°，两角平分线组成的角有两个：∠BOE与∠EOD这两个角互补，根据三角形外角和定理，∠BOE=∠OAB+∠OBA=45°，∴∠EOD=180°﹣45°=135°，故选B．4、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，过点C的直线与AB交于点D，且将△ABC的面积分成相等的两部分，则∠CDA=（）A．30°B．45°C．60°D．75°【解析】如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，∴AC=AB，又∵过点C的直线与AB交于点D，且将△ABC的面积分成相等的两部分，∴AD=BD∴AC=AD，∵∠A=60°，∴△ADC是等边三角形，∴∠CDA=60°．5、如图，△ABC中，AB=AC=10，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则DE 的长为（）A．10 B．6C．8 D．5【解析】∵AB=AC=10，AD平分∠BAC，∴BD=DC，∵E为AC的中点，∴DE=AB=×10=5，故选D．6、如图，已知AB⊥CD，垂足为B，BC=BE，若直接应用“HL”判定△ABC≌△DBE，则需要添加的一个条件是AC=DE．【解析】AC=DE，理由是：∵AB⊥DC，∴∠ABC=∠DBE=90°，在Rt△ABC和Rt△DBE中，，∴Rt△ABC≌Rt△DBE（HL）．故答案为：AC=DE．7、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将边BC沿斜边上的中线CD折叠到CB′，若∠B=50°，则∠ACB′= 10°．【解析】∵∠ACB=90°，∠B=50°，∴∠A=40°，∵∠ACB=90°，CD是斜边上的中线，∴CD=BD，CD=AD，∴∠BCD=∠B=50°，∠DCA=∠A=40°，由翻折变换的性质可知，∠B′CD=∠BCD=50°，∴∠ACB′=∠B′CD﹣∠DCA=10°，故答案为：10°．8、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB的垂直平分线ED交AB于点E，交BC于点D，若CD=3，则BD的长为6．【解析】∵DE是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴∠DAE=∠B=30°，∴∠ADC=60°，∴∠CAD=30°，∴AD为∠BAC的角平分线，∵∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=CD=3，∵∠B=30°，∴BD=2DE=6，故答案为：6．9、如图所示，AB⊥BC，DC⊥AC，垂足分别为B，C，过D点作BC的垂线交BC于F，交AC于E，AB=EC，试判断AC和ED的长度有什么关系并说明理由．【解析】AC=ED，理由如下：∵AB⊥BC，DC⊥AC，ED⊥BC，∴∠B=∠EFC=∠DCE=90°．∴∠A+∠ACB=90°，∠CEF+∠ACB=90°．∴∠A=∠CEF．在△ABC和△ECD中，∴△ABC≌△ECD（ASA）．∴AC=ED（全等三角形的对应边相等）．10、在直角△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD⊥AB于D，CE是△ABC的角平分线．（1）求∠DCE的度数．（2）若∠CEF=135°，求证：EF∥BC．【解析】∵∠B=30°，CD⊥AB于D，∴∠DCB=90°﹣∠B=60°．S(Summary-Embedded)——归纳总结重点回顾1、直角三角形的性质和判定方法定理：直角三角形的两个锐角互余。

§11.2.1三角形的内角[教学目标]〔知识与技能〕掌握三角形内角和定理.〔过程与方法〕在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，逐步养成数学推理的习惯〔情感、态度与价值观〕体会数学与现实生活的联系，增强克服困难的勇气和信心[重点难点]三角形内角和定理是重点；三角形内角和定理的证明是难点.[教学过程]一、导入新课我们在小学就知道三角形内角和等于1800，这个结论是通过实验得到的，这个命题是不是真命题还需要证明，怎样证明呢？二、三角形内角和的证明回顾我们小学做过的实验，你是怎样操作的？把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的顶点处，用量角器量出∠BCD的度数，可得到∠A+∠B+∠ACB=1800.[投影1]图1想一想，还可以怎样拼？①剪下∠A，按图（2）拼在一起，可得到∠A+∠B+∠ACB=1800.图2②把B∠剪下按图（3）拼在一起，可得到∠A+∠B+∠∠和CACB=1800.如果把上面移动的角在图上进行转移，由图1你能想到证明三角形内角和等于1800的方法吗？已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=1800.证明一过点C作C M∥AB，则∠A=∠ACM，∠B=∠DCM，又∠ACB+∠ACM+∠DCM=1800∴∠A+∠B+∠ACB=1800.即：三角形的内角和等于1800.由图2、图3你又能想到什么证明方法？请说说证明过程.三、例题例如图，C岛在A岛的北偏东500方向，B岛在A岛的北偏东800方向，C岛在B岛的北偏西400方向，从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？分析：怎样能求出∠ACB的度数？根据三角形内角和定理，只需求出∠CAB和∠CBA的度数即可.∠CAB等于多少度？怎样求∠CBA的度数？解：∠CBA=∠BAD-∠CAD=800-500=300∵AD∥BE ∴∠BAD+∠ABE=1800∴∠ABE=1800-∠BAD=1800-800=1000∴∠ABC=∠ABE-∠EBC=1000-400=600∴∠ACB=1800-∠ABC-∠CAB=1800-600-300=900答：从C岛看AB两岛的视角∠ACB=1800是900.四、课堂练习课本13頁1、2题.五作业：16页：1、3、4；六、教学反思：教学重、难点是让学生经历“三角形内角和是180°”这一知识的形成、发展和应用的全过程.本节课教学设计符合新课程理念，转变学生的学习方式，能让学生以小组合作的形式进行问题的探索与研究，学生在整节课中学得轻松.整节课的教学设计，条理清晰，层次清楚，学生思维活跃，教学一开始从学生熟悉的三角板抽象出特殊的三角形探讨三角形的内角和是180°,接下来很自然地引导学生探讨所有的三角形的内角和是不是也是180，过渡自然且有吸引力.§11.2.2三角形的外角[教学目标]〔知识与技能〕理解三角形的外角；2、掌握三角形外角的性质，能利用三角形外角的性质解决问题.〔过程与方法〕在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，逐步养成数学推理的习惯〔情感、态度与价值观〕体会数学与现实生活的联系，增强克服困难的勇气和信心[重点难点]三角形的外角和三角形外角的性质是重点；理解三角形的外角是难点.[教学过程]一、导入新课〔投影1〕如图，△ABC的三个内角是什么？它们有什么关系？是∠A、∠B、∠C，它们的和是1800.若延长BC至D，则∠ACD是什么角？这个角与△ABC的三个内角有什么关系？二、三角形外角的概念∠ACD叫做△ABC的外角.也就是，三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.想一想，三角形的外角共有几个？共有六个.注意：每个顶点处有两个外角，它们是对顶角.研究与三角形外角有关的问题时，通常每个顶点处取一个外角.三、三角形外角的性质容易知道，三角形的外角∠ACD与相邻的内角∠ACB是邻补角，那与另外两个角有怎样的数量关系呢？〔投影2〕如图，这是我们证明三角形内角和定理时画的辅助线，你能就此图说明∠ACD与∠A、∠B的关系吗？∵C E∥AB，∴∠A=∠1，∠B=∠2又∠ACD=∠1+∠2∴∠ACD=∠A+∠B你能用文字语言叙述这个结论吗？三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和.由加数与和的关系你还能知道什么？三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.即AACD∠∠.>A C D∠>∠，B四、例题〔投影3〕例如图，∠1、∠2、∠3是三角形ABC的三个外角，它们的和是多少？分析：∠1与∠BAC、∠2与∠ABC、∠3与∠ACB有什么关系？∠BAC、ABC、∠ACB有什么关系？解：∵∠1+∠BAC=1800，∠2+∠ABC=1800，∠3+∠ACB=1800，∴∠1+∠BAC+∠2+∠ABC+∠3+∠ACB=5400又∠BAC+∠ABC+∠ACB=1800∴∠1+∠2+∠3==3600.你能用语言叙述本例的结论吗？三角形外角的和等于3600.五、课堂练习课本15頁练习；六、课堂小结1、什么是三角形外角？2、三角形的外角有哪些性质？七、作业：课本17页5、6；八、教学反思：把复杂的数学知识直观形象的让学生自己探索得出，这种讲课思路值得我们借鉴，新课程倡导教师用教材而不是简单的教教材，教师要创造性地使用教材，要融入自己的科学精神和智慧，要对教材知识进行重新组和，选取更好的事例对教材深加工，设计出活生生的、丰富多彩的课来，充分有效的将教材的知识激活，形成有教师教学个性的教材知识，所以我们可结合学生实际适当改变例题，充分发掘教材中的情感因素，化生为熟化难为易化理为趣增强数学的魅力，激起学生学习的信心和兴趣，形成课堂教与学的合力，我们要让学生感悟数学，真正成为学习的主人，教师要做好学生学习道路上的引路人.。