11.2与三角形有关的角经典习题精选.docx

《与三角形有关的角》典型例题知识点1 三角形的内角例1 （基础题）在△ABC 中，∠A ＋∠B ＝100°，∠C ＝2∠B ，求∠A 、∠B 、∠C 的度数．精析与解答 解法一：设∠B ＝x °，则∠A ＝100°－x °，∠C ＝2x ° ∴ 100°—x °十x °十2x °＝180°（三角形内角和定理）解方程，得x °＝40°，即∠B ＝40°，∠A ＝60°，∠C ＝80°． 解法二：根据题意可列出方程⎪⎩⎪⎨⎧︒∠∠∠∠∠︒∠∠③＝＋＋②＝①＝＋1802100C B A BC B A把①代入③，得∠C ＝④︒80把④代入②，得∠B ＝⑤︒40 把⑤代入①，得∠A ＝．说明：本题要求出△ABC 的三个内角，除了普遍成立的条件“∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°”以外，只要给出两个独立条件，就可用解方程（组）的方法，得到惟一确定的解．例2 （能力题）如图7-18所示，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，EF ⊥AD 交AB 于E ，交AC 于F ，交BC 的延长线于H ．求证：∠H ＝21（∠ACB －∠B ）．证明 如何把∠H 、∠B 、∠ACB 联系在一起是此题的关键．当注意到∠H 、∠B 是△EBH 的两个内角时，便会发现：∠3＝∠B ＋∠H ，即∠H ＝∠3－∠B ．而∠3＝90°－∠1＝90°－21∠BAC ＝21（180°－∠BAC ），然后把这个式子中的180°换成∠BAC ＋∠B ＋∠ACB ，就可以证出原结论了．∵ AD ⊥EF ，∴ ∠3＝90°－∠1．∵ AD 平分∠BAC ，∴ ∠1＝21∠BAC ．又∵ ∠3是△HEB 的一个外角，∴ ∠H ＝∠3－∠B ＝90°－∠1－∠B＝90°－21∠BAC －∠B ＝21（180°－∠BAC －B ∠2） ＝21（∠BAC ＋∠B ＋∠ACB －∠BAC －B ∠2） ＝21（∠ACB －∠B ）．故∠H ＝21（∠ACB －∠B ）．说明：①在此题的证明过程中，用△ABC 的三个内角的和去替换180°，是几何证明中的重要的转化思想，有时也可以用21（∠BAC ＋∠B ＋∠ACB ）去替换90°，以达到证题的目的，初学者要注意体会；②上述的证明是借助于∠H ＝∠3－∠B ，本题还可以考虑∠H ＝90°－∠5，∠H ＝∠ACB －∠HFC ，∠H ＝∠ADB －90°等来证明．知识点2 三角形的外角例3 （基础题）一个三角形三个外角之比为2∶3∶4，求三个内角之比． 精析与解答 三角形的外角与相邻内角是互补的关系，只要能求出三个外角，自然三个内角也就容易得到，它们的比也就轻而易举了．由题意，设三角形的三个外角分别为（2x ）°，（3x ）°，（4x ）°，则2x ＋3x ＋4x ＝360，解得x ＝40∴ 2x ＝80，3x ＝120，4x ＝160∴ 三角形的三个内角分别是100°、60°、20°∴ 它们的比为100∶60∶20＝5∶3∶1故三个内角的比为5∶3∶1．说明：“三角形的三个外角和等于360°”是解此题的基础．例4 （能力题）如图7-19所示，在△ABC 中，AD 是BC 上的高，AE 平分∠BAC ，∠B ＝75°，∠C ＝45°，求∠DAE 与∠AEC 的度数．精析与解答 解法一：∵ ∠B ＋∠C ＋∠BAC ＝180°∠B ＝75°，∠C ＝45°∴ ∠BAC ＝60°，∵ AE 平分∠BAC∴ ∠BAE ＝∠CAE ＝21∠BAC ＝21×60°＝30°∵ AD 是BC 上的高，∠B ＋∠BAD ＝90°∴ ∠BAD ＝90°－∠B ＝90°－75°＝15°∴ ∠DAE ＝∠BAE －∠BAD ＝30°－15°＝15°∵ ∠AEC 是△AEB 的外角∴ ∠AEC ＝∠B ＋∠BAE ＝75°＋30°＝105°解法二：同解法一，得出∠BAC ＝60°∵ AE 平分∠BAC∴ ∠EAC ＝21∠BAC ＝21×60°＝30°∵ AD 是BC 上的高∴ ∠C ＋∠CAD ＝90°∴ ∠CAD ＝90°－45°＝45°∴ ∠DAE ＝∠CAD －∠CAE ＝45°－30°＝15°∵ ∠AEC ＋∠C ＋∠EAC ＝180°∴ ∠AEC ＋45°＋30°＝180°∴∠AEC＝105°故∠DAE＝15°，∠AEC＝105°说明：求角的度数的关键是把已知角放在三角形中，利用三角形内角和定理求解，或转化为与已知角有互余关系或互补关系，有些题目还可以转化为已知角的和或差来求解．例5 （能力题）已知：CE为△ABC的外角∠ACD的平分线，CE交BA的延长线于点E．求证：∠BAC＞∠B证明证角的不等关系，想到三角形内角和定理的推论3，从而想到看一看大角∠BAC是不是某个三角形外角．由图7-20知∠BAC是△ACE的外角，有∠BAC＞∠1，而∠1＝∠2，故只须证∠2＞∠B，而∠2是△BCE的一个外角，∠B 是△BCE的一个和∠2不相邻的内角，所以有∠2＞∠B，故∠BAC＞∠B．∵CE平分∠ACD（已知），∴∠1＝∠2（角平分线定义）∵∠BAC＞∠1（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）∴∠BAC＞∠2，∵∠2＞∠B（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）∴∠BAC＞∠B说明：此题证明过程中，除利用“三角形的一个外角大于任一和它不相邻的内角”这一结论外，还借助“∠2”来传递不等关系．在证明两角不等关系时，有时还可将两角放在同一三角形中，利用“大边对大角”来证明．。

11.2与三角形有关的角练习题姓名：_______________班级：_______________考号：______________一、选择题1、在中，，则的度数为（???）A．?????B．??????C．??????D．2、如图，已知直线AB∥CD，∠C=115°，∠A=25°，则∠E=（??）A.70°?????B.80°??????C.90°?????D.100°3、如图8，AB=BC=CD,且∠A=15°,则∠ECD=(????)A.30°??????B.45°??????C.60°???????D.75°4、如图，在ΔABC中，AC=DC=DB，∠ACD=100°，则∠B等于（??）A．50°??????B．40°??????C．25°????D．20°第4题第5题5、如图，△ABC中，，点D、E分别在AB、AC上，则的大小为（????）??A、??????B、??????C、?????D、第6题第7题第9题6、如图，已知，∠1=130o，∠2=30o，则∠C=??????．7、如下图所示，已知：∠AEC的度数为110°，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D的度数为（??）A．110°?????B．130°?????C．220°???D．180°8、已知等腰三角形的一个角为75°，则其顶角为（?）A．30°???B．75°???C．105°????D．30°或75°9、如图，已知，若，，则C等于（???）A．20°????B．35°??????C．45°????D．55°10、如图，AD是∠EAC的平分线，AD∥BC，∠B=30°，则∠C为（）第10题第11题第12题11、如图，已知△ABC的两条高BE、CF相交于点O，，则的度数为（??）A．95o???B．130o??????C．140o???D．150o12、如图，已知与相交于点，，如果，，则的大小为（???）A．??????B．?????C．???????D．13、如图，在△ABC中，∠C＝90o，∠B＝40o，AD是角平分线，则∠ADC等于A．25o?????B．50o???????C．65o??????D．70o第13题第14题14、如图，直线a∥b，直角三角形如图放置，∠DCB=90°．若∠1+∠B=70°，则∠2的度数为（）A．?20°????B．40°??????C．30°????D．25°15、如图，在△ABC中，∠B＝46°，∠C＝54°,AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，则∠ADE的大小是(????)A.45°?????B.54°?????C.40°?????D.50°第15题第16题第18题16、如图7-7，C在AB的延长线上，CE⊥AF于E，交FB于D，若∠F=40°，∠C=20°，则∠FBA 的度数为（?????）．?A．50°??B．60°??C．70°??D．80°17、适合条件的三角形ABC是（????）A.锐角三角形??B.直角三角形C.钝角三角形?D.等边三角形???????????18、如图1，若∠1=110°，∠2=135°，则∠3等于A．55°????B．65°????C．75°????D．85°19、如图，在△AB C中，∠A=60°，∠ABC=50°，∠B、∠C的平分线相交于F，过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，那么下列结论正确的是（?）①∠ACB=70°；??????②∠BFC=115°；③∠BDF=130°；?④∠CFE＝40°；A．①②?????B．③④?????C．①③????D．①②③第19题第20题20、如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC、∠ACB的平分线交于E，D是AE延长线上一点，且∠BDC=120°．下列结论：①∠BEC=120°；②DB=DE；③∠DBE=∠DCE．其中正确结论的个数为( )A．0??????B．1??????C．2??????D．3二、填空题21、如图，∠l=20°，∠2=25°，∠A=35°，则∠BDC=???????????．第21题第22题第23题22、如下图,?∠A＝27°,?∠CBE＝96°,?∠C＝30°,?则∠ADE的度数是________度.?23、如图，∠1，∠2，∠3的大小关系是??????．24、如图，∠A=50°，∠ACD=38°，∠ABE=32°，则∠BFC= _________ ．第24题第25题第26题25、如图，已知D为△ABC边BC延长线上一点，DF⊥AB于F交AC于E，∠A=35°，∠D=50°，则∠ACD的度数为．26、如图，已知△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，若∠B=42°，∠C=70°，则∠DAE=????°.27、△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，则△ABC是??????三角形.28、如图，⊿ABC中，∠A=40°，∠B=72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，则∠CDF=????????度。

八年级上册数学11.2与三角形有关的角练习题(含答案)八年级上册数学11.2与三角形有关的角练习题（含答案）题1：已知三角形ABC，∠B=60°，BM⊥AC于M，且AM=2，MC=4，请计算AC的长度。

解：由于∠B=60°，且三角形ABC为直角三角形，可以计算出BM 的长度。

根据勾股定理，可得AB=√(AM^2+BM^2)=√(2^2+4^2)=√(4+16)=√20=2√5。

由此可知BC=2AB=2*2√5=4√5。

因此，AC=√(AM^2+MC^2)=√(2^2+4^2)=√(4+16)=√20=2√5。

题2：在三角形ABC中，∠B=90°，BD是BC的中线，且∠ADB=30°，请计算∠ACD的度数。

解：由于∠B=90°，且BD是BC的中线，可以得知∠DBC=90°/2=45°。

又∠ADB=30°，因此∠BDC=∠ADB+∠DBC=30°+45°=75°。

根据三角形内角和定理，得知∠ACD=180°-∠BDC=180°-75°=105°。

题3：已知∠A=60°，在三角形ABC中，以下哪两条边相等？A. AB=BCB. BC=ACC. AB=ACD. 无法确定解：由于∠A=60°，根据等角对应定理可得∠B=60°。

根据等角定理可知，∠A=∠B，故可以得出结论AB=BC。

题4：已知三角形ABC，∠A=45°，∠B=30°，请计算∠C的度数。

解：∠A=45°，∠B=30°，可计算出∠C的度数。

根据三角形内角和定理，得知∠C=180°-∠A-∠B=180°-45°-30°=105°。

题5：已知三角形ABC，AC=10，BC=6，且∠A=60°，求三角形ABC的面积。

八年级数学上册11-2《与三角形有关的角》基础同步练习题（含答案）1、在△ABC中，∠A=20°，∠B=60°，则△ABC的形状是（）．A. 等边三角形B. 锐角三角形C. 直角三角形D. 钝角三角形2、若△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:2:3，则△ABC一定是（）．A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 任意三角形3、在一个直角三角形中，有一个锐角等于35°，则另一个锐角的度数是（）．A. 75°B. 65°C. 55°D. 45°4、△ABC中，∠A=35°，∠B=2∠A，则∠C的度数是（）．A. 55°B. 60°C. 70°D. 75°5、△ABC中，∠B=∠A+10°，∠C=∠B+10°，则∠A=（）．A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°6、在下列条件中，①∠A+∠B=∠C，②∠A:∠B:∠C=1:2:3，③∠A=2∠B=3∠C，∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（）．④∠A=∠B=12A. 1个C. 3个D. 4个7、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，且∠ACD=∠B，求证：CD⊥AB．8、如图，在△ABC中，高AD，BE交于点O．若∠C=75°，则∠AOE=度．9、如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°，则∠BFD的度数是（）．A. 15°B. 25°D. 10°10、如图，△ABC中，BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∠A=50°，则∠BOC等于（）．A. 110°B. 115°C. 120°D. 130°11、如图，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的角平分线和高线，用等式表示∠DAE、∠B、∠C的关系正确的是（）．A. 2∠DAE=∠B−∠CB. 2∠DAE=∠B+∠CC. ∠DAE=∠B−∠CD. 3∠DAE=∠B+∠C12、已知：如图，在△ABC中，∠BAC=80°，AD⊥BC于D，AE平分∠DAC，∠B=60°，求∠C、∠DAE的度数．13、若直角三角形的一个锐角为50°，则另一个锐角的度数是°．14、若三角形三个内角度数比为2:3:5，则这个三角形一定是（）．A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定15、在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A−∠B=70°，则∠A的度数为（）．A. 80°B. 70°C. 60°D. 50°16、下列条件中，不能确定△ABC是直角三角形的是（）．A. ∠A−∠B=90°∠AB. ∠B=∠C=12C. ∠A=90°−∠BD. ∠A+∠B=∠C17、如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1=°．18、如图，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，∠B=30°，∠C=70°，则∠EAD=°．19、如图△ABC中，∠1=∠2，∠ABC=70°，则∠BDC的度数是（）．A. 110°B. 115°C. 120°D. 130°20、如图，点D在BC的延长线上，DE⊥AB于点E，交AC于点F．若∠A=35°，∠D=15°，则∠ACB的度数为（）．A. 65°B. 70°C. 75°D. 85°21、如图，将直尺与含30°角的三角尺摆放在一起，若∠1=20°，则∠2的度数是（）．A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°22、如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE//BC交AC于点E．若∠A= 54°，∠B=48°，则∠CDE的大小为（）．A. 44°B. 40°C. 39°D. 38°23、如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=度．24、如图，把△ABC的一角折叠，若∠1+∠2=130°，则∠A的度数为．1 、【答案】 D;【解析】∵∠A=20°，∠B=60°，∴∠C=180°−∠A−∠B=180°−20°−60°=100°，∴△ABC是钝角三角形，故选D．2 、【答案】 C;【解析】∵△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:2:3，∴设∠A=x°，∠B=2x°，∠C=3x°，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴x+2x+3x=180，∴x=30，∴∠C=90°，∠A=30°，∠B=60°，即△ABC是直角三角形．3 、【答案】 C;【解析】90°−35°=55°．故选C．4 、【答案】 D;【解析】∵∠A=35°，∠B=2∠A=70°，∴∠C=180°−∠A−∠B=75°，故选D．5 、【答案】 C;【解析】∠B=∠A+10°，∠C=∠B+10°，得∠C=∠B+10°=∠A+20°，内角和定理，得∠A+∠B+∠C=180°，即∠A+(∠A+10°)+(∠A+20°)=180°，化简得：3∠A+30°=180°，解得∠A=50°．6 、【答案】 C;【解析】①∵∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180∘，∴2∠C=180∘，∴∠C=90∘，∴△ABC为直角三角形．②∵∠A:∠B:∠C=1:2:3，∴设∠A=α，∠B=2α，∠C=3α．∵∠A+∠B+∠C=180∘，∴α+2α+3α=180∘，∴α=30∘，∴∠C=90∘，∴△ABC为直角三角形．③∵∠A=2∠B=3∠C，∴设∠A=6x，则∠B=3x，∠C=2x，∵∠A+∠B+∠C=180∘，∴6x+3x+2x=180∘，∴x=180∘11，∴∠A=1080∘11，∠B=540∘11，∠C=360∘11．∴△ABC不为直角三角形．④∵∠A=∠B=12∠C，∴设∠A=∠B=y，∠C=2y．∵∠A+∠B+∠C=180∘，∴y+y+2y=180∘，∴y=45∘，∴∠C=90∘，∴△ABC为直角三角形．综上①②④可判定△ABC为直角三角形，故选C．7 、【答案】证明见解析．;【解析】在Rt △ABC中，∠ACB=90°，∴∠B+∠A=90°，又∵∠ACD=∠B，∴∠ACD+∠A=90°，∴∠ADC=90°，∴CD⊥AB．8 、【答案】75;【解析】∵AD，BE为高，∴∠ADC=AEO=90°，在Rt△ACD中，∠CAD=180°−90°−∠C=15°，在Rt△AOE中，∠AOE=180°−∠AEO−∠CAD=180°−90°−15°=75°．9 、【答案】 A;【解析】∵Rt△CDE中，∠C=90°，∠E=30°，∴∠BDF=90°+30°=120°，∠B=∠BAC=45°，在△BFD中，∠BFD=180°−∠B−∠BDF=180°−45°−120°=15°，故答案选A．10 、【答案】 B;【解析】∵∠A=50°，∴∠ABC+∠ACB=180°−∠A=180°−50°=130°，∵BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，∴∠OBC+∠OCB=12(∠ABC+∠ACB)=12×130°=65°．∴∠BOC=180°−(∠OBC+∠OCB)=180°−65°=115°．故选B．11 、【答案】 A;【解析】∵∠BAC=180∘−∠B−∠C，AD是∠BAC的平分线，∴∠CAD=12∠BAC=12(180∘−∠B−∠C)．∵AE是高，∴∠CAE=90∘−∠C，∴∠DAE=∠CAE−∠CAD=(90∘−∠C)−12(180∘−∠B−∠C)=12(∠B−∠C)，即2∠DAE=∠B−∠C．故选A．12 、【答案】∠C=40°，∠DAE=25°．;【解析】∵∠BAC=80°、∠B=60°，∴∠C=180°−∠BAC−∠B=180°−80°−60°=40°，∵AD⊥BC于D，∴∠DAC=50°，∵AE平分∠DAC，∠DAC=25°．∴∠DAE=1213 、【答案】 40;【解析】∵一个锐角为50°，∴另一个锐角的度数=90°−50°=40°．14 、【答案】 B;【解析】设三个内角度数一份为k°，则三个内角的度数分别为2k°、3k°、5k°，则2k°+3k°+5k°=180°，解得k°=18°，∴2k°=36°，3k°=54°，5k°=90°，∴这个三角形是直角三角形．15 、【答案】 A;【解析】∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，又∠A−∠B=70°，(90°+70°)=80°．∴∠A=1216 、【答案】 A;【解析】 A选项 : ∠A−∠B=90°，∠A=90°+∠B，故∠A为钝角，△ABC不是直角三角形，A选项符合题意．故A正确；∠A，∠A+∠B+∠C=180°，B选项 : ∠B=∠C=12∴∠B=∠C=45°，∠A=90°．故△ABC为直角三角形，B选项不符合题意．故B错误；C选项 : ∠A=90°−∠B，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C=90°．故△ABC为直角三角形，C选项不符合题意．故C错误；D选项 : ∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C=90°．故△ABC为直角三角形，D选项不符合题意．故D错误．17 、【答案】105;【解析】∠1=45°+60°=105°．18 、【答案】20;【解析】∵∠B=30°，∠C=70°，∴∠BAC=180°−30°−70°=80°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=40°，∴∠AED=70°，∵AD⊥BC，∴∠ADE=90°，∴∠EAD=20°．19 、【答案】 A;【解析】∵∠ABC=70°，∴∠DBC=∠ABC−∠1，∵∠1=∠2，∴∠BDC=180°−∠DBC−∠2=180°−(70°−∠1)−∠2=110°．故选A．20 、【答案】 B;【解析】∵DE⊥AB，∠A=35°，∴∠AEF=90°，∴∠AFE=∠CFD=55°，∴∠ACB=∠D+∠CFD=15°+55°=70°．故选B．21 、【答案】 C;【解析】方法一 : 如图，∵∠BEF是△AEF的外角，∠1=20°，∠F=30°，∴∠BEF=∠1+∠F=50°，∵AB//CD，∴∠2=∠BEF=50°，故选：C．方法二 : 由题得∠2=∠3，且∠3=∠1+30°，又∵∠1=20°，∴∠2=50°．22 、【答案】 C;【解析】∵∠A=54°，∠B=48°，∴∠ACB=180°−54°−48°=78°，∵CD平分∠ACB交AB于点D，×78°=39°，∴∠DCB=12∵DE//BC，∴∠CDE=∠DCB=39°．23 、【答案】180;【解析】连接BD，由“8”字模型可知，∠A+∠E=∠EDB+∠ABD，∵∠C+∠CDE+∠CBA+∠EDB+∠ABD=180°，∴∠A+∠ABC+∠C+∠CDE+∠E=180°．故答案为：180．24 、【答案】65°;【解析】如图，∵△ABC的一角折叠，∴∠3=∠5，∠4=∠6，而∠3+∠5+∠1+∠2+∠4+∠6=360°，∴2∠3+2∠4+∠1+∠2=360°，∵∠1+∠2=130°，∴∠3+∠4=115°，∴∠A=180°−∠3−∠4=65°．故答案为∶65°．。

11.2与三角形有关的角专题一利用三角形的内角和求角度1．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于D点，∠A=50°，则∠D=（）A．15° B．20° C．25° D．30°2．如图，已知：在直角△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC且交AC于D. 若AP平分∠BAC且交BD于P，求∠BPA的度数．3．已知：如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：__________；（2）在图2中，若∠D=40°，∠B=30°，试求∠P的度数；（写出解答过程）（3）如果图2中∠D和∠B为任意角，其他条件不变，试写出∠P与∠D、∠B之间的数量关系．（直接写出结论即可）专题二利用三角形外角的性质解决问题4．如图，∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，若∠A=50°，∠D=10°，则∠P的度数为（）A．15°B．20° C．25° D．30°5．如图，△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，CE是AB边上的高，若∠A=40°，∠B=72°．（1）求∠DCE的度数；（2）试写出∠DCE与∠A、∠B的之间的关系式．（不必证明）6．如图：（1）求证：∠BDC=∠A+∠B+∠C；（2）如果点D与点A分别在线段BC的两侧，猜想∠BDC、∠A、∠ABD、∠ACD这4个角之间有怎样的关系，并证明你的结论．状元笔记【知识要点】1．三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°．2．直角三角形的性质及判定性质：直角三角形的两个锐角互余．判定：有两个角互余的三角形是直角三角形．3．三角形的外角及性质外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．【温馨提示】1．三角形的外角是一边与另一边的延长线组成的角，而不是两边延长线组成的角．2．三角形的外角的性质中的内角一定是与外角不相邻的内角．【方法技巧】1．在直角三角形中已知一个锐角求另一个锐角时，可直接使用“直角三角形的两个锐角互余”．2．由三角形的外角的性质可得出：三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角．参考答案:1．C解析：∵∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D，∴∠1=12∠ACE，∠2=12∠ABC．又∵∠D=∠1－∠2，∠A=∠ACE－∠ABC，∴∠D=12∠A=25°．故选C．2．解：（法1）因为∠C=90°，所以∠BAC＋∠ABC=90°，所以12(∠BAC＋∠ABC)=45°.因为BD平分∠ABC，AP平分∠BAC ，∠BAP=12∠BAC，∠ABP=12∠ABC ，即∠BAP＋∠ABP=45°，所以∠APB=180°－45°=135°.（法2）因为∠C=90°，所以∠BAC＋∠ABC=90°，所以12(∠BAC＋∠ABC)=45°，因为BD平分∠ABC，AP平分∠BAC，∠DBC=12∠ABC，∠PAC=12∠BAC ，所以∠DBC＋∠PAD=45°.所以∠APB=∠PDA＋∠PAD =∠DBC＋∠C＋∠PAD=∠DBC＋∠PAD＋∠C =45°＋90°=135°.3．解：（1）∠A+∠D=∠B+∠C；（2）由（1）得，∠1+∠D=∠3+∠P，∠2+∠P=∠4+∠B，∴∠1－∠3=∠P－∠D，∠2－∠4=∠B－∠P，又∵AP、CP分别平分∠DAB和∠BCD，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠P－∠D=∠B－∠P，即2∠P=∠B+∠D，∴∠P=（40°+30°）÷2=35°．（3）2∠P=∠B+∠D．4．B 解析：延长DC，与AB交于点E．根据三角形的外角等于不相邻的两内角和，可得∠ACD=50°+∠AEC=50°+∠ABD+10°，整理得∠ACD－∠ABD=60°．设AC与BP相交于点O，则∠AOB=∠POC，∴∠P+12∠ACD=∠A+12∠ABD，即∠P=50°－12（∠ACD－∠ABD）=20°．故选B．5．解：（1）∵∠A=40°，∠B=72°，∴∠ACB=68°．∵CD平分∠ACB，6．（1）证明：延长BD交AC于点E，∵∠BEC是△ABE的外角，∴∠BEC=∠A+∠B．∵∠BDC是△CED的外角，∴∠BDC=∠C+∠DEC=∠C+∠A+∠B．（2）猜想：∠BDC+∠ACD+∠A+∠ABD=360°．祝福语祝你考试成功!。

第十一章三角形11.2 与三角形有关的角1．关于三角形内角的叙述错误的是A．三角形三个内角的和是180°B．三角形两个内角的和一定大于60°C．三角形中至少有一个角不小于60°D．一个三角形中最大的角所对的边最长2．下列叙述正确的是A．钝角三角形的内角和大于锐角三角形的内角和B．三角形两个内角的和一定大于第三个内角C．三角形中至少有两个锐角D．三角形中至少有一个锐角3．在一个三角形中，一个外角是其相邻内角的3倍，那么这个外角是A．150°B．135°C．120°D．100°4．已知△ABC中，∠A=20°，∠B=∠C，那么△ABC是A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形5．在不等边三角形中，最小的角可以是A．80°B．65°C．60°D．59°6．等腰三角形底角的外角比顶角的外角大30°，则这个三角形各内角度数是__________．7．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则这个等腰三角形的底角度数为__________．8．如图，在△ABC中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC=__________．9．若直角三角形的一个锐角为50°，则另一个锐角的度数是___________．10．求直角三角形两锐角平分线所夹的锐角的度数．11．一个零件的形状如图所示，按规定A∠、C∠应等于90︒，B∠应分别是21︒、32︒，检验工人量得∠=︒，就断定这个零件不合格，这是为什么呢？148BDC12．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是A．3 B．4 C．6 D．513．如图，在△ACB中，∠ACB=100°，∠A=20°，D是AB上一点．将△ABC沿CD折叠，使B点落在AC 边上的B′处，则∠ADB′等于A．25°B．30°C．35°D．40°14．一个三角形三个内角的度数之比为2∶3∶7，这个三角形一定是A．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形15．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线BE、CD相交于点F，∠ABC=42°，∠A=60°，则∠BFC= ___________．16．如图，将纸片△ABC沿DE折叠，点A落在点F处，已知∠1+∠2=100°，则∠A=___________．17．如图，△ABC中，AD是高，AE是∠BAC的平分线，∠B=70°，∠DAE=18°，则∠C的度数是___________．18．如图，∠BCD为△ABC的外角，已知∠A=70°，∠B=35°，则∠BCD=___________．19．如图，AD是△ABC边BC上的高，BE平分∠△ABC交AD于点E．若∠C=60°，∠BED=70°．求∠ABC 和∠BAC的度数．20．如图，△ABC中，∠A=40°，∠B=76°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于点D，DF⊥CE于点F，求∠CDF 的度数．21．如图，在△ABC中，D为AB边上一点，E为BC边上一点，∠BCD=∠BDC．（1）若∠BCD=70°，求∠ABC的度数；（2）求证：∠EAB+∠AEB=2∠BDC．22．如图，在ABC∠=∠，△中，AD是BC边上的高，E是AB上一点，CE交AD于点M，且DCM MAE 求证：AEM△是直角三角形．23．（2018•黄石）如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，∠BAC=50°，∠ABC=60°，则∠EAD+∠ACD=A．75°B．80°C．85°D．90°24．（2018•宿迁）如图，点D在△ABC边AB的延长线上，DE∥BC．若∠A=35°，∠C=24°，则∠D的度数是A．24°B．59°C．60°D．69°25．（2018•眉山）将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是A．45°B．60°C．75°D．85°26．（2018•滨州）在△ABC中，若∠A=30°，∠B=50°，则∠C=__________．27．（2018•淄博）已知：如图，△ABC是任意一个三角形，求证：∠A+∠B+∠C=180°．28．（2018•宜昌）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC 的延长线于点E．（1）求∠CBE的度数；（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．1．【答案】B【解析】A正确，根据三角形内角和定理可知，三角形三个内角的和是180°；C正确，三角形中至少有一个角不小于60°，否则三角形内角之和将小于180°；D正确，一个三角形中最大的角所对的边最长，不符合题意；B错误，三角形两个内角的和可能小于60°，如三角形的三个内角可以依次为20°，20°，140°，故B错误，故选B．4．【答案】A【解析】因为三角形内角和为180°，根据题意可得：∠B=∠C=80°，所以△ABC是锐角三角形．故选A．5．【答案】D【解析】在不等边三角形中，最小的角要小于60°，否则三内角的和大于180°．故选D．6．【答案】80°，50°，50°【解析】如图所示，AB=AC，∠1=∠2+30°．∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∵∠1、∠2分别是△ABC的外角，∴∠1=∠B+∠BAC，∠2=∠B+∠ACB，∵∠1=∠2+30°，∴∠1–∠2=∠B+∠BAC–∠B–∠ACB=∠BAC–∠ACB=30°①，∵∠B=∠ACB，∴∠B+ ∠ACB+∠A=180°，∴2∠ACB+∠BAC=180°，∴∠BAC=180°–2∠ACB，代入①得，180°–2∠ACB–∠ACB= 30°，解得，∠ACB=50°，∴∠B=50°，∠BAC=180°–∠B–∠ACB=180°–50°–50°=80°，∴这个三角形各个内角的度数分别是80°，50°，50°．故答案为：80°，50°，50°．7．【答案】70°或20°【解析】如图①，∵AB=AC，∠ABD=50°，BD⊥AC，∴∠A=40°，∴∠ABC=∠C=（180°–40°）÷2=70°；如图②：∵AB=AC，∠ABD=50°，BD⊥AC，∴∠BAC=50°+90°=140°，∴∠ABC=∠C=（180°–140°）÷2=20°，故答案为：70°或20°．9．【答案】40°【解析】因为三角形内角和为180°，一个直角为90°，一个锐角为50°，所以另一个锐角的度数为180°–90°–50°=40°．故答案为：40°．10．【解析】如图，△ACB 为直角三角形，C 为直角，AD ，BE 分别是∠CAB 和∠ABC 的角平分线，AD ，BE 相交于点F ， ∵∠ACB =90°，∴∠CAB +∠ABC =90°， ∵AD ，BE 分别是∠CAB 和∠ABC 的角平分线， ∴∠FAB +∠FBA =21∠CAB +21∠ABC =45°， ∴∠DFB =∠FAB +∠FBA =45°，即直角三角形两锐角平分线所夹的锐角为45°．11．【解析】如图，延长CD 交AB 于点E ．因为CDB∠是BDE△的一个外角，∴CDB B BED∠=∠+∠．因为BED∠是AEC△的一个外角，所以BED C A∠=∠+∠．所以902132143148CDB A B C∠=∠+∠+∠=︒+︒+︒=︒≠︒．所以可以判定这个零件不合格．12．【答案】A【解析】如图，过点D作DF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据S△ABC=S△ABD+S△ACD，可得12×4×2+12×AC×2=7．解得AC=3．故选A．13．【答案】D【解析】∵在△ACB中，∠ACB=100°，∠A=20°，∴∠B=180°–100°–20°=60°，∵△CDB′由△CDB翻折而成，∴∠CB′D=∠B=60°，∵∠CB′D是△AB′D的外角，∴∠ADB′=∠CB′D–∠A=60°–20°=40°．故选D．15．【答案】120°【解析】∵∠ABC=42°，∠A=60°，∠ABC+∠A+∠ACB=180°．∴∠ACB=180°–42°–60°=78°．又∵∠ABC、∠ACB的平分线分别为BE、CD，∴∠FBC=12∠ABC=21°，∠FCB=12∠ACB=39°．又∵∠FBC+∠FCB+∠BFC=180°，∴∠BFC=180°–21°–39°=120°．故答案为：120°．18．【答案】105°【解析】∠BCD=∠A+∠B=70°+35°=105°．故答案为：105°．19．【解析】∵AD是△ABC的高，∴∠ADB=90°，又∵180∠+∠+∠=︒，∠BED=70°，DBE ADB BED∴18020DBE ADB BED∠=︒-∠-∠=︒．∵BE平分∠ABC，∴∠ABC=2∠DBE=40°．又∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，∠C=60°，∴∠BAC=180°–∠ABC–∠C=80°．20．【解析】∵∠A=40°，∠B=76°，∴∠ACB=180°–40°–76°=64°，∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠BCE=32°，∴∠CED=∠A+∠ACE=72°，∴∠CDE=90°，DF⊥CE，∴∠CDF+∠ECD=∠ECD+∠CED=90°，∴∠CDF=72°．21．【解析】（1）∵∠BCD=70°，∴∠BCD=∠BDC=70°，∴∠ABC=180°–70°–70°=40°．（2）∵∠EAB+∠AEB=180°–∠ABC，∠BCD+∠BDC=180°–∠ABC，即2∠BCD=180°–∠ABC，∴∠EAB+∠AEB=2∠BDC．22．【解析】∵AD是BC边上的高，∴90∠+∠=︒．DMC DCM又∵DMC AMEAME MAE∠+∠=︒，∠=∠，∴90∠=∠，DCM MAE即AEM△是直角三角形．23．【答案】A【解析】∵AD是BC边上的高，∠ABC=60°，∴∠BAD=30°，∵∠BAC=50°，AE平分∠BAC，∴∠BAE=25°，∴∠DAE=30°-25°=5°，∵△ABC中，∠C=180°-∠ABC-∠BAC=70°，∴∠EAD+∠ACD=5°+70°=75°，故选A．24．【答案】B【解析】∵∠A=35°，∠C=24°，∴∠DBC=∠A+∠C=59°，∵DE∥BC，∴∠D=∠DBC=59°，故选B．25．【答案】C【解析】如图，∵∠ACD=90°，∠F=45°，∴∠CGF=∠DGB=45°，则∠α=∠D+∠DGB=30°+45°=75°，故选C．26．【答案】100°【解析】∵在△ABC中，∠A=30°，∠B=50°，∴∠C=180°-30°-50°=100°．故答案为：100°．27．【解析】如图，过点A作EF∥BC，∵EF∥BC，∴∠1=∠B，∠2=∠C，∵∠1+∠2+∠BAC=180°，∴∠BAC+∠B+∠C=180°，即∠A+∠B+∠C=180°．28．【解析】（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，∴∠ABC=90°-∠A=50°，∴∠CBD=130°．∵BE是∠CBD的平分线，∴∠CBE=12∠CBD=65°．（2）∵∠ACB=90°，∠CBE=65°，∴∠CEB=90°-65°=25°．∵DF∥BE，∴∠F=∠CEB=25°．。

11.2与三角形有关的角练习题姓名： _______________ 级：__________________ 号： _________________一、选择题1、在二一中，一-…，则匚上的度数为（）A.汀B. C •汕 D.2、如图，已知直线AB// CD /C=115，/ A=25，则/ E=（）A. 70 °B. 80 °C. 90 °D. 1003、如图8, AB=BC=CDJ/ A=15 ,贝U/ECD=( )A.30 °B.45°C.60°D.754、如图，在△ ABC中, AC=DODB / ACI=100°,贝U / B等于( )A. 50°B. 40°C. 25°D. 20°5、如图，△ ABC中，一1 「」，点D E分别在AB AC上，则一［—二】的大小为（）C、-打如图，已知匸丘丿匸二，Z 仁13C o ,Z 2=30^，则Z C=如下图所示，已知：/ AEC 的度数为110°,则/ A +Z B +Z C +Z D 的度数为（已知等腰三角形的一个角为75°,则其顶角为（9、如图，已知-上…匚，若一二’，一三一尤’,已知」打与石二相交于点匸，I '「J ,如果—三二，—二二Y ，则二的大小为6、 7、 A.110°B . 130°C . 220°D . 180°A . 30°B . 75°C . 105°D . 30° 或 75A. 20°B . 35°C . 45°D . 55°10、如图，AD 是Z EAC 的平分线，AD// BC Z B=30° ，则Z C 为（A. 30°B. 60°C. 80°D. 120°第11题 11、如图, 已知△ ABC 的两条高 BE CF 相交于点O, -1—〔「， A. 95o B . 130o C . 140o D . 150o第12题则一I--的度数为（ 12、如图,A. 60"70° 80B 120'BBB13、如图，在△ ABC 中，/ C = 90o ,/ B = 40o , AD 是角平分线，则/ ADC 等于第13题 14、如图，直线a / b,直角三角形如图放置，/ DCB=90 .若/ 1+Z B=70° ,则/2的度数为（ ）17、适合条件一 -一「一「的三角形ABC ＞（ A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形A. 25oB. 50oC . 65oD . 70o A.20B . 40°C . 30°D . 2515、如图，在△ ABC 中，/ B = 46则/ ADE 的大小是（ / C = 54° ,AD 平分/ BAC 交 BC 于 D, DE// AB 交 AC 于 E , A.45B.54C.40D.50第15题 第16题 第18题16、如图7-7 , C 在AB 的延长线上，CE 丄AF 于E ,交FB 于D, 的度数为（ ）. 若/ F=40°,Z C=20O ，则/ FBA A. 50° B. 60° C. 70°D. 80°第14题o18、如图1,若/ 1=110°,/ 2=135°，则/ 3 等于A. 55°B. 65°C. 75°D. 85°19、如图，在△ ABC中，/ A=60°，/ ABC=50 , / B、/ C的平分线相交于F,过点F作DE// BC, 交AB于D,交AC于E,那么下列结论正确的是（）20、如图，△ ABC 中，/ BA(=60°,Z ABC / ACB 的平分线交于E , D 是AE 延长线上一点，且/ BD(=120°.下列结论：①/BE(=120°;②DB=DE ③/ DB 匡/ DCE 其中正确结论的个数为( )A. 0、填空题③/ BDF=130 ; A.①②④/CFI40 ° ； B •③④C.①③D.①②③第19题21、如图，/1=2，/ 2=25°,/ A=35°C第21题第22题第23题/ C= 30° , 则/ ADE的度数是22、如下图, / A= 27° , / CBE= 96° ,第24题第25题25、如图，已知DABC边BC延长线上一点，DF丄AB于F交AC于E，/ A=35°，Z D=50°，则/ ACM 度数为_________________ .26、如图，已知△ ABC中，AD是BC边上的高，AE是/ BAC勺平分线，若/ B=42°,Z 0=70°, 则/DAW _________ °.27、厶ABC中，/ A：Z B ：Z C=1 : 2 : 3,则厶ABC是 ______ 三角形.28、如图，/ ABC中，/ A = 40 °，/ B = 72 °，CE平分/ ACB CDLAB于D, DF丄CE 则/CDF = ________________ 度。

11.2 与三角形有关的角同步练习一．选择题1．已知∠A、∠B、∠C是△ABC的三个内角，下列条件不能确定△ABC是直角三角形的是（）A．∠A＝40°，∠B＝50°B．∠A＝90°C．∠A+∠B＝∠C D．∠A+∠B＝2∠C2．若△ABC的三个内角的比为3：5：2，则△ABC是（）A．等腰三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形3．如图，在△ABC中，∠A＝50°，则∠1+∠2的度数是（）A．180°B．230°C．280°D．无法确定4．如图，直线DE经过点A，DE∥BC，∠B＝44°，∠C＝57°，则∠BAC的度数是（）A．89°B．79°C．69°D．90°5．如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝50°，如果AD平分∠BAC，那么∠ADB的度数是（）A．35°B．70°C．85°D．95°6．如图，已知CD和BE是△ABC的角平分线，∠A＝60°，则∠BOC＝（）A．60°B．100°C．120°D．150°7．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE，BF分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，它们相交于点O，∠AOB＝125°，则∠CAD的度数为（）A．20°B．30°C．45°D．50°8．如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB的三等分线交于点E、D，若∠E＝90°，则∠BDC 的度数为（）A．120°B．125°C．130°D．135°二．填空题9．在△ABC中，∠A＝35°，∠B＝45°，则∠C为．10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝48°，点D是AB延长线上的一点，则∠CBD的度数是°．11．如图，AD平分∠BAC，其中∠B＝35°，∠ADC＝82°，则∠C＝度．12．如图，AD平分∠EAC，∠B＝70°，∠C＝60°，求∠CAD＝．13．一副三角板如图摆放，其中一块三角板的直角边EF落在另一块三角板的斜边AC上，边BC与DF交于点O，则∠BOD的度数是．14．如图，BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA2是∠A1BD的角平分线，CA2是∠A1CD的角平分线，BA3是∠A2BD的角平分线，CA3是∠A2CD的角平分线，若∠A1＝α，则∠A2021为．三．解答题15．如图，在△ABC中，∠B＝80°，∠C＝30°，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC，求∠EAD的度数．16．如图，F A⊥EC，垂足为E，∠F＝40°，∠C＝20°，求∠FBC的度数．17．已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CE⊥AB，F为边BC上一点，连接AF交CE于点G，∠CGF＝∠CFG．求证：AF平分∠BAC．18．互动学生课堂上，某小组同学对一个课题展开了探究．小亮：已知，如图三角形ABC，点D是三角形ABC内一点，连接BD，CD，试探究∠BDC与∠A、∠1、∠2之间的关系．小明：可以用三角形内角和定理去解决．小丽：用外角的相关结论也能解决．（1）请你在横线上补全小明的探究过程：∵∠BDC+∠DBC+∠BCD＝180°，（）∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠BCD，（等式性质）∵∠A+∠1++∠DBC+∠BCD＝180°，∴∠A+∠1+∠2＝180°﹣﹣∠BCD，∴∠BDC＝∠A+∠1+∠2．（）（2）请你按照小丽的思路完成探究过程．19．（1）已知：如图①的图形我们把它称为“8字形”，试说明：∠A+∠B＝∠C+∠D．（2）如图②，AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD，若∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，求∠P的度数．（3）如图（3），直线AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的数量关系是；（4）如图（4），直线AP平分∠BAD的外角∠F AD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的数量关系是．20．如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；（2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系．（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数．参考答案一．选择题1．解：选项A：∵∠A＝40°，∠B＝50°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝90°．∴△ABC是直角三角形．选项B：∵∠A＝90°，∴△ABC是直角三角形．选项C：∵∠A+B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴2∠C＝180°．∴∠C＝90°．∴△ABC是直角三角形．选项D：∵∠A+∠B＝2∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴3∠C＝180°．∴∠C＝60°．∴∠A+∠B＝120°．∴无法确定△ABC是直角三角形．故选：D．2．解：∵△ABC的三个内角的比为3：5：2可设此三角形的三个内角分别为2x，3x，5x，∴2x+3x+5x＝180°，解得x＝18°，∴5x＝5×18°＝90°．∴此三角形是直角三角形．故选：C．3．解：∵∠1＝∠A+∠ACB，∠2＝∠A+∠ABC，∴∠1+∠2＝∠A+∠ACB+∠A+∠ABC＝（∠A+∠ACB+∠ABC）+∠A．又∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠A＝50°，∴∠1+∠2＝180°+50°＝230°．故选：B．4．解：∵∠B＝44°，∠C＝57°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝79°．故选：B．5．解：∵在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝50°，∴∠BAC＝180°﹣60°﹣50°＝70°．∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠BAC＝35°．∵在△ABD中，∠BDA＝180°﹣∠B﹣∠BAD．∴∠BDA＝180°﹣60°﹣35°＝85°故选：C．6．解：∵∠A＝60°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣60°＝120°，∵CD和BE是△ABC的角平分线，∴∠OBC+∠OCB＝∠ABC+∠ACB＝（∠ABC+∠ACB）＝60°，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝120°，故选：C．7．解：∵∠AOB＝125°，∴∠OAB+∠OBA＝55°，∵AE，BF分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，它们相交于点O，∴∠BAC+∠ABC＝2（∠OAB+∠OBA）＝110°，∴∠C＝70°，∵AD是BC边上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠CAD＝20°，即∠CAD的度数是20°．故选：A．8．解：在△BEC中，∵∠BEC＝90°，∴∠EBC+∠ECB＝90°，∵∠ABC、∠ACB的三等分线交于点E、D，∴∠DBC＝∠EBC，∠DCB＝∠ECB，∴∠DBC+∠DCB＝×90°＝45°，∴∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝135°，故选：D．二．填空题9．解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣35°﹣45°＝100°．故答案为：100°．10．解：∵∠ACB＝90°，∠A＝48°，∴∠CBD＝∠ACB+∠A＝90°+48°＝138°，故答案为138．11．解：∵∠ADC是△ABD的一个外角，∴∠BAD＝∠ADC﹣∠B＝82°﹣35°＝47°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠BAD＝94°，∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝51°，故答案为：51．12．解：∵∠EAC＝∠B+∠C，∠B＝70°，∠C＝60°，∴∠EAC＝70°+60°＝130°，∵AD是∠EAC的平分线，∴∠CAD＝∠EAC＝65°，故答案是：65°．13．解：△COF中，∵∠CFO＝45°，∠FCO＝30°，∴∠COF＝180°﹣∠CFO﹣∠FCO＝180°﹣45°﹣30°＝105°，∵∠COF＝∠BOD，∴∠BOD＝105°，故答案为：105°．14．解：∵A1B是∠ABC的平分线，A1C是∠ACD的平分线，∴∠A1BC＝∠ABC，∠A1CD＝∠ACD，又∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1BC+∠A1，∴（∠A+∠ABC）＝∠ABC+∠A1，∴∠A1＝∠A，同理理可得∠A2＝∠A1，∠A3＝∠A2，……则∠A2021＝∠A1＝．故答案为：．三．解答题15．解：∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，∠B＝80°，∠C＝30°，∴∠BAC＝180°﹣30°﹣80°＝70°；∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∵∠DAC＝180°﹣∠ADC﹣∠C，∠C＝30°，∴∠DAC＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE＝∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE＝35°，∵∠EAD＝∠DAC﹣∠EAC，∴∠EAD＝25°．16．解：在△AEC中，F A⊥EC，∴∠AEC＝90°，∴∠A＝90°﹣∠C＝70°．∴∠FBC＝∠A+∠F＝70°+40°＝110°．17．解：∵∠ACB＝90°，∠CAF+∠ACB+∠CFG＝180°，∴∠CAF+∠CFG＝90°，∵CE⊥AB，∴∠AEC＝90°，∵∠AEC+∠AGE+∠F AE＝180°，∴∠AGE+∠F AE＝90°，∵∠AGE＝∠CGF＝∠CFG，∴∠CAF＝∠F AE，∴AF平分∠BAC．18．解：（1）∵∠BDC+∠DBC+∠BCD＝180°，（三角形内角和定理）∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠BCD，（等式性质）∵∠A+∠1+∠2+∠DBC+∠BCD＝180°，∴∠A+∠1+∠2＝180°﹣∠DBC﹣∠BCD，∴∠BDC＝∠A+∠1+∠2 （等量代换），故答案为：三角形内角和定理；∠2；∠DBC；等量代换；（2）如图，延长BD交AC于E，由三角形的外角性质可知，∠BEC＝∠A+∠1，∠BDC＝∠BEC+∠2，∴∠BDC＝∠A+∠1+∠2．19．解：（1）∵∠A+∠B+∠AOB＝180°，∠C+∠D+∠COD＝180°，∴∠A+∠B+∠AOB＝∠C+∠D+∠COD．∵∠AOB＝∠COD，∴∠A+∠B＝∠C+∠D．（2）∵AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD，∴∠BAP＝∠P AD，∠BCP＝∠PCD，由（1）的结论得，∠P+∠BCP＝∠ABC+∠BAP，①，∠P+∠P AD＝∠ADC+∠PCD②，①+②得，2∠P+∠BCP+∠P AD＝∠BAP+∠PCD+∠ABC+∠ADC，∴2∠P＝∠ABC+∠ADC，∵∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，∴∠P＝26°．（3）∵直线AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠P AB＝∠P AD，∠PCB＝∠PCE，∴2∠P AB+∠B＝180°﹣2∠PCB+∠D，∴180°﹣2（∠P AB+∠PCB）+∠D＝∠B，∵∠P+∠P AD＝∠PCB+∠AOC＝∠PCB+∠B+2∠P AD，∴∠P＝∠P AD+∠B+∠PCB＝∠P AB+∠B+∠PCB，∴∠P AB+∠PCB＝∠P﹣∠B，∴180°﹣2（∠P﹣∠B）+∠D＝∠B，即∠P＝90°+（∠B+∠D）．故答案为：∠P＝90°+（∠B+∠D）．（4）∵直线AP平分∠BAD的外角∠F AD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠F AP＝∠P AO，∠PCE＝∠PCB，在四边形APCB中，（180°﹣∠F AP）+∠P+∠PCB+∠B＝360°①，在四边形APCD中，∠P AD+∠P+（180°﹣∠PCE）+∠D＝360°②，①+②得：2∠P+∠B+∠D＝360°，∴∠P＝180°﹣（∠B+∠D）．故答案为：∠P＝180°﹣（∠B+∠D）．20．（1）解：∵∠A＝80°．∴∠ABC+∠ACB＝100°，∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，∴∠P＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣×100°＝130°，（2）∵外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，∴∠QBC+∠QCB＝（∠MBC+∠NCB）＝（360°﹣∠ABC﹣∠ACB）＝（180°+∠A）＝90°+∠A∴∠Q＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A；（3）延长BC至F，∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，∴∠ACF＝2∠ECF，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠EBC，∵∠ECF＝∠EBC+∠E，∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，即∠ACF＝∠ABC+2∠E，又∵∠ACF＝∠ABC+∠A，∴∠A＝2∠E，即∠E＝∠A；∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ＝∠ABC+∠MBC＝（∠ABC+∠A+∠ACB）＝90°．如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况：①∠EBQ＝2∠E＝90°，则∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；②∠EBQ＝2∠Q＝90°，则∠Q＝45°，∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；③∠Q＝2∠E，则90°﹣∠A＝∠A，解得∠A＝60°；④∠E＝2∠Q，则∠A＝2（90°﹣∠A），解得∠A＝120°．综上所述，∠A的度数是90°或60°或120°．。

人教版八年级数学上册《11.2与三角形有关的角》同步练习题-含有答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．三角形的内角和等于A ．100°B ．150°C ．180°D ．360°2．三角形的三个内角( ) A ．至少有两个锐角B ．至少有一个直角C ．至多有两个钝角D ．至少有一个钝角 3．如图，在ABC 中85B ∠=︒，40ACD ∠=︒和AB ∥CD ，则ACB ∠的度数为（ ）A ．90°B ．85°C ．60°D ．55°4．如图．在ABC 中，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ．30,80B C ∠=︒∠=︒则ADC ∠的度数是（ ）A ．65︒B ．70︒C ．75︒D ．80︒5．如图，DEF 的顶点D ，E 在ABC 的边BC 上EF AC ∥，DFAB 若55A ∠=︒，则F ∠的度数为（ ）A ．35°B ．45°C ．55°D ．65°6．如图，ABC 是直角三角形90ACB ∠=︒，沿CD 折叠ABC ，使点B 恰好与AC 边上的点E 重合，若18A ∠=︒，则CDE ∠的度数为（ ）A ．63︒B ．68︒C ．72︒D ．78︒ 7．如图AB CD ，12560A CED ∠=︒∠=︒，则D ∠的度数为（ ）A ．45︒B ．60︒C ．65︒D ．75︒8．如图，一副三角形板按如图所示的位置摆放，其中AB CD ∥，45A ∠=︒和60C ∠=︒，90AEB CED ∠=∠=︒则AEC ∠的度数为（ ）A ．70︒B ．90︒C ．105︒D ．1?20︒9．如图，将三角形纸片ABC 沿BD 折叠，若290∠=，50A ∠=则1∠的度数为（ ）A ．30︒B ．25︒C ．20︒D ．35︒10．如图A ABC CB =∠∠，BD 、CD 、AD 分别平分ABC ∠、ACF ∠和EAC ∠．以下结论，A ．①①B ．①①①C ．①①①D ．①①①①二、填空题11．在ABC 中35A ∠=︒，45B ∠=︒则C ∠为 ．12．如图，在ABC 中57A ∠=︒，40B ∠=︒和DE BC ∥，则AED ∠的度数为 ︒．13．如图，将一张三角形纸片沿着DE 折叠（点D 、E 分别在边AB 、AC 上），点A 落在点A '的位置，若70A ∠=︒，则12∠+∠= ︒．14．在ABC 中，BO 平分ABC ∠，CO 平分ACB ∠，当50A ∠=︒时，BOC ∠= ︒．15．将一副三角尺按如图所示的位置摆放，则1∠的度数是 ．三、解答题 16．如图，已知75A ∠=︒，25B ∠=︒和35C ∠=︒，求BDC ∠和1∠的度数．17．如图，在ABC 中，三个内角的平分线交于点O ，过点O 作OD OB ⊥，交边BC 于点D ．(1)若50ABC ∠=︒，则AOC ∠=________°，ODC ∠=________°．(2)猜想AOC ∠与ODC ∠的数量关系，并说明你的理由．18．如图，在ABC 中90ACB ∠=︒，点E ，F 在边AB 上，将边AC 沿CE 翻折，使点A 落在AB 上的点D 处，再将边BC 沿CF 翻折，使点B 落在CD 的延长线上的点B '处(1)求ECF ∠的度数；(2)若4CE =，1B F '=求BCE 的面积．参考答案：1．C2．A3．D4．A5．C6．A7．C8．C9．C10．D11．100︒ 12．8313．140 14．115 15．15︒ 16．110BDC ∠=︒ 1135∠=︒ 17．(1)115， 115(2)AOC ODC ∠=∠ 18．(1)45ECF ∠=︒(2)10。

一．选择题1．（2016•游仙区模拟）如图，△ABC中，AE是∠BAC的角平分线，AD是BC边上的高线，且∠B=50°，∠C=60°，则∠EAD的度数( )2．（2016春•迁安市期中）如图，AB∥CD，那么∠A，∠P，∠C的数量关系是（）A．∠A+∠P+∠C=90° B．∠A+∠P+∠C=180° C．∠A+∠P+∠C=360° D．∠P+∠C=∠A 3．（2016春•工业园区期中）下列条件中，能判定△ABC为直角三角形的是（）A．∠A=2∠B=3∠C B．∠A+∠B=2∠C C．∠A=∠B=30° D．∠ C 4．（2016春•东台市期中）如图，△ABC中，∠ACB=90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处，若∠A=25°，则∠BDC等于（）5．（2015•菏泽）将一副直角三角尺如图放置，若∠AOD=20°，则∠BOC的大小为（）6．（2016春•高青县期中）如图，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，下列结论错误的是（）A．图中有三个直角三角形 B．∠1=∠2 C．∠1和∠B都是∠A的余角 D．∠2=∠A 二．填空题7．（2016•昆山市二模）如图，已知在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点P．当∠A=70°时，则∠BPC的度数为．8．（2016春•无锡期中）如图，在△ABC中，∠ACB=68°，9．（2016春•工业园区期中）如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，∠A=40°，P是△ABC内一点，且∠ACP=∠PBC，则∠BPC= ．10．（2016•邳州市一模）若直角三角形的一个锐角为50°，则另一个锐角的度数是度．三．解答题11．（2016春•深圳校级期中）如图，在△ACB中，∠ACB=90゜，CD⊥AB于D．（1）求证：∠ACD=∠B；（2）若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F，求证：∠CEF=∠CFE．12．（2016春•江都区校级月考）如图，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，CE是AB边上的高，若∠DCE=10°，∠B=60°，求∠A的度数．一．选择题1．如图，图中∠1的大小等于（）2．（2016•瑶海区一模）如图，AD是△ABC的外角∠CAE的平分线，∠B=30°，∠DAE=55°，则∠ACD的度数是（）3．（2016春•重庆校级月考）如下图，在△ABC中，AD平分外角∠CAE，∠B=30°，∠CAD=65°，则∠ACD等于（）4．将一副三角板按如图所示摆放，图中∠α的度数是（）5．（2016春•宜兴市校级月考）如图，已知∠BOF=120°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 为多少度（）6．（2015秋•铁力市校级月考）下列说法错误的是（）A．有一个外角是锐角的三角形是钝角三角形 B．有两个角互余的三角形是直角三角形C．直角三角形只有一条高 D．任何一个三角形中，最大角不小于60度二．填空题7．（2016春•丹阳市校级月考）如图：已知△ABC的∠B和∠C的外角平分线交于D，∠A=40°，那么∠D= 度．8．已知△ABC的一个外角为50°，则△ABC一定是三角形．9．已知，如图，∠ACD=130°，∠A=∠B，那么∠A的度数是°．10．若三角形的三个内角之比为1：3：5，则此三角形的三个外角依次为．三．解答题11．如图所示，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，求∠DAC 的度数．12．（2016春•丰县期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC，AF平分外角∠BAD，BE与FA交于点E，求∠E的度数．答案：11.2与三角形有关的角11.2.1三角形的内角1．【分析】利用三角形的内角和是180°可得∠BAC的度数；AE是∠BAC的角平分线，可得∠EAC的度数；利用AD是高可得∠ADC=90°，那么可求得∠DAC度数，那么∠EAD=∠EAC-∠DAC．【解答】解：∵∠B=50°，∠C=60°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=70°，∵AE是∠BAC的角平∴∠EAD=∠EAC-∠DAC=5°．故选B2．【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可求得．【解答】解：连接AC．∵AB∥CD，∴∠BAC+∠DCA=180°，∵∠P+∠PAC+∠PCA=180°，∴∠BAP+∠P+∠DCP=∠BAC+∠DCA+∠P+∠PAC+∠PCA=360°．故选C3．【分析】根据三角形内角和定理和各选项中的条件计算出△ABC的内角，然后根据直角三角形的判定方法进行判断．B、∠A+∠B+∠C=180°，而∠A+∠B=2∠C，则∠C=60°，不能确定△ABC为直角三角形，所以B选项错误；C、∠A+∠B+∠C=180°，而∠A=∠B=30°，则∠C=150°，所以B选项错误；故选D4．【分析】由△ABC中，∠ACB=90°，∠A=25°，可求得∠B的度数，由折叠的性质可得：∠CED=∠B=65°，∠BDC=∠EDC，由三角形外角的性质，可求得∠ADE的度数，继而求得答案．【解答】解：∵△ABC中，∠ACB=90°，∠A=25°，∴∠B=90°-∠A=65°，由折叠的性质∠ADE）=70°．故选D5．【分析】利用直角三角形的性质以及互余的关系，进而得出∠COA的度数，即可得出答案．【解答】解：∵将一副直角三角尺如图放置，∠AOD=20°，∴∠COA=90°-20°=70°，∴∠BOC=90°+70°=160°．故选：B6．【解答】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，∴△ACD∽△CBD∽△ABC．A、∵图中有三个直角三角形Rt△ACD、Rt△CBD、Rt△ABC；故本选项正确；B、应为∠1=∠B、∠2=∠A；故本选项错误；C、∵∠1=∠B、∠2=∠A，而∠B是∠A的余角，∴∠1和∠B都是∠A的余角；故本选项正确；D、∵∠2=∠A；故本选项正确．故选B7．【分析】先根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB的度数，再由角平分线的定义得出∠2+∠4的度数，由三角形内角和定理即可求出∠BPC的度数．【解答】解：∵△ABC中，∠A=70°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-70°=110°，∴BP，∴∠P=180°-（∠2+∠4）=180°-55°=125°．故答案为：125°．8．【分析】由于∠1+∠PCB=68°，则∠2+∠PCB=68°，再根据三角形内角和定理得∠BPC+∠2+∠PCB=180°，所以∠BPC=180°-68°=112°．【解答】解：∵∠1+∠PCB=∠ACB=68°，又∵∠1=∠2，∴∠2+∠PCB=68°，∵∠BPC+∠2+∠PCB=180°，∴∠BPC=180°-68°=112°．故答案为112°．9．【分析】根据∠BAC=40°的条件，求出∠ACB+∠ABC的度数，再根据∠ACB=∠ABC，∠ACP=∠CBP，求出∠PBA=∠PCB，于是可求出∠ACP+∠ABP=∠PCB+∠PBC，然后根据三角形的内角和定理求出∠BPC的度数．【解答】解：∵∠BAC=40°，∴∠ACB+∠ABC=180°-40°=140°，又∵∠ACB=∠ABC，∠ACP=-70°=110°．故答案为110°．10．【分析】根据直角三角形两锐角互余解答．【解答】解：∵一个锐角为50°，∴另一个锐角的度数=90°-50°=40°．故答案为：40°．11．【分析】（1）由于∠ACD与∠B都是∠BCD的余角，根据同角的余角相等即可得证；（2）根据直角三角形两锐角互余得出∠CFA=90°-∠CAF，∠AED=90°-∠DAE，再根据角平分线的定义得出∠CAF=∠DAE，然后由对顶角相等的性质，等量代换即可证明∠CEF=∠CFE．证明：（1）∵∠ACB=90゜，CD⊥AB于D，∴∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，∴∠ACD=∠B；（2）在Rt△AFC中，∠CFA=90°-∠CAF，同理在Rt△AED中，∠AED=90°-∠DAE．又∵AF平分∠CAB，∴∠CAF=∠DAE，∴∠AED=∠CFE，又∵∠CEF=∠AED，∴∠CEF=∠CFE．12．【分析】在△BCE中由∠BEC=90°，∠B=60°能够得出∠BCE=30°；结合CD是∠ACB 的角平分线，∠DCE=10°可得出∠ACE的度数；在Rt△ACE中由∠ACE的度数及∠AEC=90°，即可得出∠A的度数．解：∵CE是AB边上的高，∴∠A+∠ACE=90°，∠B+∠BCE=90°．∵CD是∠ACB的角平分线，又∵∠DCE=10°，∠B=60°，∴∠BCE=90°-∠B=30°，∠BCD=∠BCE+∠DCE=40°，∴∠ACE=∠ACD+∠DCE=∠BCD+∠DCE=50°，∴∠A=90°-∠ACE=40°．11.2.2三角形的外角1．【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【解答】解：由三角形的外角性质得，∠1=130°-60°=70°．故选D．2．【分析】利用三角形的内角和外角之间的关系计算．【解答】解：∵∠B=30°，∠DAE=55°，∴∠D=∠DAE-∠B=55°-30°=25°，∴∠ACD=180°-∠D-∠CAD=180°-25°-55°=100°．故选C．3．【分析】利用平分线的性质，三角形的内角和定理以及外角的性质计算．【解答】解：由题意可得，∠CAE=130°，∴∠BAC=50°，∴∠ACD=∠B+∠BAC=30°+50°=80°．故选C．4．【分析】先根据直角三角形的性质得出∠BAE及∠E的度数，再由三角形内角和定理及对顶角的性质即可得出结论．【解答】解：∵图中是一副直角三角板，∴∠BAE=45°，∠E=30°，∴∠AFE=180°-∠BAE-∠E=105°，∴∠α=105°．故选B．5．【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠A+∠C，∠B+∠D，再根据邻补角求出∠EOF，然后求解即可．【解答】解：如图，根据三角形的外角性质，∠1=∠A+∠C，∠2=∠B+∠D，∵∠BOF=120°，∴∠3=180°-120°=60°，根据三角形内角和定理，∠E+∠1=180°-60°=120°，∠F+∠2=180°-60°=120°，所以，∠1+∠2+∠E+∠F=120°+120°=240°，即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=240°．故选D6．【分析】各选项中只有C是错误的，任何三角形每一边上都可以做出该边的高，而不是只有一条高．【解答】解：A、有一个外角是锐角，说明在内角中一定有个钝角，所以正确；B、有两个角互余，即相加等于90°，则另外一个角为90°，所以正确；C、任何三角形每一边上都可以做出该边的高，所以错误；D、任何一个三角形中，最大角不小于60度正确，若最大角小于60°，则内角和就不够180°，所以正确．故选C．7．【分析】根据三角形的内角和定理计算∠1+∠2，再根据内角与外角的关系和角平分线的定义求解．【解答】解：∵∠A=40°，∴△ABC的∠B和∠C的外角和为：180°-∠1+180°-∠2=360°-（∠1+∠2）=360°-（180°-40°）=360°-140°=220°．由于CD、BD的平分线交8．【分析】根据三角形的外角与相邻的内角互为邻补角求出内角，再根据三角形的形状定义判断即可．【解答】解：∵△ABC的一个外角为50°，∴与它相邻的内角为180°-50°=130°，∴△ABC一定是钝角三角形．故答案为：钝．9．【分析】直接根据三角形内角与外角的性质解答即可．【解答】解：∵∠ACD是△ABC的外角，∴∠ACD=∠A+∠B，∵∠ACD=130°，∠A=∠B，∴∠°=65°．10．【分析】根据三角形的三个内角之比分别求出各内角的度数，即可得出各内角对应的外角．【解答】解：根据题意得，三角形的内角和为180°，又三个内角之比为1：3：5，得三个内角分别为20°，60°，100°．即三个外角分别为160°，120°和80°．11．【分析】△ABD中，由三角形的外角性质知∠3=2∠2，因此∠4=2∠2，从而可在△BAC 中，根据三角形内角和定理求出∠4的度数，进而可在△DAC中，由三角形内角和定理求出∠DAC的度数．解：设∠1=∠2=x，则∠3=∠4=2x．因为∠BAC=63°，所以∠2+∠4=117°，即x+2x=117°，所以x=39°；所以∠3=∠4=78°，∠DAC=180°-∠3-∠4=24°．12．【分析】设∠ABC=x°，再根据三角形外角的性质得出∠BAD=∠B+∠C=90°+x°，根据的度数，由三角形内角和定理即可得出结论．【解答】解：设∠ABC=x°，∵∠BAD是△ABC的外角，∠C=90°，∴∠BAD=∠B+∠C=90°+x°，∵AF平分外角∠BAD，∵BE平分∠ABC，。

11.2与三角形有关的角同步练习题11．2.1三角形的内角第1课时三角形的内角和基础题知识点1三角形内角和定理1．(南宁中考△)如图，在ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°，则∠C等于（）A．100°B．80°C．60°D．40°2．(大庆中考△)在ABC中，∠A，∠B，∠C的度数之比为2∶3∶4，则∠B的度数为（A．120°B．80°C．60°D．40°3．(教材P16习题11.2T1变式)写出下列图中x的值：）(1)x＝45；(2)x＝75．知识点2三角形内角和定理与三角形的角平分线△4．如图，在ABC中，AD平分∠BAC，∠B＝70°，∠BAD＝30°，则∠C的度数为（A．35°B．40°C．45°D．50°）△5．如图，在ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，且∠B＝3∠BAD，求∠B的度数．字知识点3三角形内角和定理与平行线的性质6．(长春中考△)如图，在ABC中，点D在AB上，点E在AC上，DE∥BC.若∠A＝62°，∠AED ＝54°，则∠B的大小为（）A．54°B．62°C．64°D．74°△7．如图，在ABC中，∠B＝85°，∠ACB＝45°，若CD∥AB，则∠ACD的度数为（）A．40°B．45°C．50°D．60°知识点4三角形内角和定理的应用8．如图，考古学家发现在地下A处有一座古墓，古墓上方是煤气管道，为了不影响管道，准备在B，C处开工挖出“V”型通道．如果∠DBA＝120°，∠ECA＝135°，那么∠A的度数是（）A．75°B．80°C．85°D．90°9．如图，按规定，一块模板中A B，CD的延长线应相交成85°角．因交点不在板上，不便测量，工人师傅连接AC，测得∠BAC＝32°，∠DCA＝65°，此时AB，CD的延长线相交所成的角是不是符合规定？为什么？中档题10．如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝（）A．360°B．180°C．280°D．320°11．(邵阳中考)如图，在△ABC中，∠B＝46°，∠C＝54°，A D平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，则∠ADE的大小是（）A．45°B．54°C．40°D．50°12．(教材P17习题11.2T9变式△)如图，在ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点D.若∠A ＝50°，则∠BDC＝．13．如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，则∠DBC＝．14．当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为．15．已知，如图，D是△ABC中BC边延长线上一点，DF⊥AB交AB于点F，交AC于点E，∠A ＝46°，∠D＝50°.求∠ACB的度数．16．(教材P12例2变式)如图，轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，求∠A的度数．17．如图，在△ABC中，∠A＝46°，C E是∠A CB的平分线，B，C，D在同一条直线上，DF∥EC，∠D＝42°.求∠B的度数．18．如图，在△ABC中，D为AB边上一点，E为BC边上一点，∠BCD＝∠BDC.(1)若∠BCD＝70°，求∠ABC的度数；(2)求证：∠EAB＋∠AEB＝2∠BDC.第2课时直角三角形的两个锐角互余基础题知识点1直角三角形的两个锐角互余1．在一个直角三角形中，若一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是（）A．120°B．90°C．60°D．30°2．如图，AD是△Rt ABC的斜边BC上的高，则图中与∠B互余的角有（）A．1个B．2个C．3个D．4个△3．如图，在ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD平分∠ABC，则∠BDC的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°4．(黔西南中考)如图，AB∥CD，AC⊥BC，∠BAC＝65°，则∠BCD＝．5．(岳阳中考)如图，点P是∠NOM的边OM上一点，PD⊥ON于点D，∠OPD＝30°，PQ∥ON，则∠MPQ的度数是．知识点2有两个角互余的三角形是直角三角形6．已知∠A＝37°，∠B＝53°，则△ABC为（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．以上都不对7．(教材P14练习T2变式)如图，点E是△ABC中AC边上的一点，过E作ED⊥AB，垂足为D.若∠1＝∠△2，则ABC是直角三角形吗？为什么？易错点直角三角形中的直角不确定导致漏解8．(易错题)如图，已知∠AOD＝30°，点C是射线OD上的一个动点．在点C的运动过程中，△AOC恰好是直角三角形，则此时∠A所有可能的度数为．中档题9．(十堰中考)如图，AB∥DE，FG⊥BC于点F，∠CDE＝40°，则∠FGB＝（）A．40°B．50°C．60°D．70°10．若四个三角形分别满足以下条件：①∠A＝∠B＝∠C；②∠A－∠B＝∠C；③∠A＝∠B＝2∠C；④∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，则其中直角三角形的个数是（）A．1B．2C．3D．411．(教材P17习题11.2T10变式)如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P，试说明△EPF为直角三角形．综合题12．如图△1，在ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E.(1)猜测∠1与∠2的关系，并说明理由；(2)如果∠BAC是钝角，如图2，(1)中的结论是否还成立？11.2.2三角形的外角基础题知识点1认识外角1．如图所示，是△ABC的一个外角．2．如图，以∠AOD为外角的三角形是．知识点2三角形内角和定理的推论3．若三角形的一个外角等于和它相邻的内角，则这个三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．都有可能4．(黔东南中考)如图，∠ACD＝120°，∠B＝20°，则∠A的度数是（）A．120°B．90°C．100°D．30°5．(盐城中考)在“三角尺拼角”实验中，小明同学把一副三角尺按如图所示的方式放置，则∠1＝．6．如图．点D，B，C在同一条直线上．∠A＝60°，∠C＝50°，∠D＝25°，则∠1＝．7．如图，在锐角三角形A BC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，且C D，BE交于一点P.若∠A＝50°，求∠BPC的度数．知识点3三角形内角和定理的推论与平行线的性质、三角形的角平分线8．(新疆中考)如图，AB∥CD，∠A＝50°，∠C＝30°，则∠AEC等于（）A．20°B．50°C．80°D．100°9．(昆明中考△)如图，在ABC中，∠A＝50°，∠ABC＝70°，BD平分∠ABC，则∠BDC的度数是（）A．85°B．80°C．75°D．70°10．(温州中考)如图，直线AB，CD被BC所截．若AB∥CD，∠1＝45°，∠2＝35°，则∠3＝．中档题11．如图，AD是∠CAE的平分线，∠B＝35°，∠DAE＝60°，则∠ACD＝（）A．25°B．60°C．85°D．95°12．(郴州中考)小明把一副含45°，30°的直角三角板如图摆放，其中∠C＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，则∠α＋∠β等于（）A．180°B．210°C．360°D．270°(1)∠BGC＝180°－(∠ABC＋∠ACB)；(2)∠BGC＝90°＋∠A.13．(教材P17习题11.2T6变式△)如图，在ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，点F在BC的延长线上，DE∥BC，∠A＝44°，∠1＝57°，则∠2＝．14．(教材P17习题11.2T8变式)如图，已知D是△ABC边BC延长线上一点，DF交AC于点E，∠A ＝35°，∠ACD＝83°.(1)求∠B的度数；(2)若∠D＝42°，求∠AFE的度数．小专题2与三角形角平分线有关的计算——教材P29T11的变式与应用教材母题：(教材P29T11)如图，△ABC的∠ABC和∠ACB的平分线BE，CF相交于点G.求证：1212拓展类型1一个内角平分线和一个外角平分线的夹角1．如图所示，BP是△ABC的角平分线，CP是△ABC的外角的平分线．(1)若∠ABC＝55°，∠ACB＝65°，求∠P的度数；(用α表示)；如图2，∠CBO＝∠ABC，∠BCO＝∠ACB，∠A＝α，则∠BOC＝(2)如图3，∠CBO＝∠DBC，∠BCO＝∠ECB，∠A＝α，猜想∠BOC＝(用α(3)BO，CO分别是△ABC的外角∠DBC，∠ECB的n等分线，它们交于点O，∠CBO＝∠DBC，∠BCO＝∠ECB，∠A＝α，请猜想∠BOC＝．(2)若∠A＝60°，求∠P的度数；(3)试探索∠P与∠A之间的数量关系．拓展类型2两个外角平分线的夹角2．如图所示，BO，CO分别是△ABC的外角平分线．(1)若∠ABC＝40°，∠ACB＝60°，则∠BOC＝50°；(2)若∠A＝60°，则∠BOC＝60°；(3)试探索∠BOC与∠A之间的数量关系．3．(内江中考)问题引入：(1)如图△1，在ABC中，点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，若∠A＝α，则∠BOC＝1133(用α表示)；拓展研究：1133表示)；1n 1n∴∠BAD＝∠BAC，11.2与三角形有关的角同步练习题参考答案11．2.1三角形的内角第1课时三角形的内角和基础题知识点1三角形内角和定理1．(南宁中考△)如图，在ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°，则∠C等于(B) A．100°B．80°C．60°D．40°2．(大庆中考△)在ABC中，∠A，∠B，∠C的度数之比为2∶3∶4，则∠B的度数为(C) A．120°B．80°C．60°D．40°3．(教材P16习题11.2T1变式)写出下列图中x的值：(1)x＝45；(2)x＝75．知识点2三角形内角和定理与三角形的角平分线△4．如图，在ABC中，AD平分∠BAC，∠B＝70°，∠BAD＝30°，则∠C的度数为(D) A．35°B．40°C．45°D．50°△5．如图，在ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，且∠B＝3∠BAD，求∠B的度数．解：∵AD平分∠BAC，12∵∠BAC＋∠B＋∠C＝180°，而∠B＝3∠BAD，∴2∠BAD＋3∠BAD＋90°＝180°.∴∠BAD＝18°.字∴∠B＝3∠BAD＝54°.知识点3三角形内角和定理与平行线的性质6．(长春中考△)如图，在ABC中，点D在AB上，点E在AC上，DE∥BC.若∠A＝62°，∠AED ＝54°，则∠B的大小为(C)A．54°B．62°C．64°D．74°△7．如图，在ABC中，∠B＝85°，∠ACB＝45°，若CD∥AB，则∠ACD的度数为(C) A．40°B．45°C．50°D．60°知识点4三角形内角和定理的应用8．如图，考古学家发现在地下A处有一座古墓，古墓上方是煤气管道，为了不影响管道，准备在B，C处开工挖出“V”型通道．如果∠DBA＝120°，∠ECA＝135°，那么∠A的度数是(A) A．75°B．80°C．85°D．90°9．如图，按规定，一块模板中A B，CD的延长线应相交成85°角．因交点不在板上，不便测量，工人师傅连接AC，测得∠BAC＝32°，∠DCA＝65°，此时AB，CD的延长线相交所成的角是不是符合规定？为什么？解：不符合规定．理由：延长AB，CD交于点O，∵在△AOC中，∠BAC＝32°，∠DCA＝65°，∴∠AOC＝180°－∠BAC－∠DCA＝180°－32°－65°＝83°＜85°.∴模板不符合规定．中档题10．如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝(C)A．360°B．180°C．280°D．320°11．(邵阳中考)如图，在△ABC中，∠B＝46°，∠C＝54°，A D平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，则∠ADE的大小是(C)A．45°B．54°C．40°D．50°12．(教材P17习题11.2T9变式△)如图，在ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点D.若∠A ＝50°，则∠BDC＝115°．13．如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，则∠DBC＝18°．14．当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为30°．15．已知，如图，D是△ABC中BC边延长线上一点，DF⊥AB交AB于点F，交AC于点E，∠A ＝46°，∠D＝50°.求∠ACB的度数．解：在△DFB中，∵DF⊥AB，∴∠DFB＝90°.∵∠D＝50°，∠DFB＋∠D＋∠B＝180°，∴∠B＝40°.在△ABC中，∵∠A＝46°，∠B＝40°，∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝94°.16．(教材P12例2变式)如图，轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，求∠A的度数．解：根据题意，得∠1＝∠2＝30°.∵∠ACD＝60°，∴∠ACB＝30°＋60°＝90°.∵∠CBA＝75°－30°＝45°，∴∠A＝180°－∠ACB－∠CBA＝180°－90°－45°＝45°.17．如图，在△ABC中，∠A＝46°，C E是∠A CB的平分线，B，C，D在同一条直线上，DF∥EC，∠D＝42°.求∠B的度数．解：∵DF∥EC，∴∠BCE＝∠D＝42°.∵CE是∠ACB的平分线，∴∠ACB＝2∠BCE＝84°.∵∠A＝46°，∴∠B＝180°－∠ACB－∠A＝180°－84°－46°＝50°.18．如图，在△ABC中，D为AB边上一点，E为BC边上一点，∠BCD＝∠BDC.(1)若∠BCD＝70°，求∠ABC的度数；(2)求证：∠EAB＋∠AEB＝2∠BDC.解：(1)∵∠BCD＝∠BDC＝70°，∴∠ABC＝180°－∠BCD－∠BDC＝40°.(2)证明：∵∠EAB＋∠AEB＋∠B＝180°，∠B＋∠BCD＋∠BDC＝180°，∴∠EAB＋∠AEB＝∠BCD＋∠BDC.又∵∠BCD＝∠BDC，∴∠EAB＋∠AEB＝2∠BDC.第2课时直角三角形的两个锐角互余基础题知识点1直角三角形的两个锐角互余1．在一个直角三角形中，若一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是(D)A．120°B．90°C．60°D．30°2．如图，AD是△Rt ABC的斜边BC上的高，则图中与∠B互余的角有(B)A．1个B．2个C．3个D．4个△3．如图，在ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD平分∠ABC，则∠BDC的度数为(D) A．30°B．40°C．50°D．60°4．(黔西南中考)如图，AB∥CD，AC⊥BC，∠BAC＝65°，则∠BCD＝25°．5．(岳阳中考)如图，点P是∠NOM的边OM上一点，PD⊥ON于点D，∠OPD＝30°，PQ∥ON，则∠MPQ的度数是60°．知识点2有两个角互余的三角形是直角三角形6．已知∠A＝37°，∠B＝53°，则△ABC为(C)A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．以上都不对7．(教材P14练习T2变式)如图，点E是△ABC中AC边上的一点，过E作ED⊥AB，垂足为D.若∠1＝∠△2，则ABC是直角三角形吗？为什么？解：△ABC是直角三角形．理由如下：∴∠PEF ＝ ∠BEF ，∠PFE ＝ ∠DFE.∴∠PEF ＋∠PFE ＝ (∠BEF ＋∠DFE)＝90°.∵ED ⊥AB ，∴∠ADE ＝90°，△ADE 是直角三角形． ∴∠1＋∠A ＝90°. 又∵∠1＝∠2， ∴∠2＋∠A ＝90°.∴△ABC 是直角三角形．易错点 直角三角形中的直角不确定导致漏解8．(易错题)如图，已知∠AOD ＝30°，点 C 是射线 OD 上的一个动点．在点 C 的运动过程中， △AOC 恰好是直角三角形，则此时∠A 所有可能的度数为 60°或 90°．中档题9．(十堰中考)如图，AB ∥DE ，FG ⊥BC 于点 F ，∠CDE ＝40°，则∠FGB ＝(B)A ．40°B ．50°C ．60°D ．70°10．若四个三角形分别满足以下条件：①∠ A ＝∠B ＝∠C ；②∠A －∠B ＝∠C ；③∠A ＝∠B ＝2∠C ；④∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，则其中直角三角形的个数是(B)A ．1B ．2C ．3D ．411．(教材 P17 习题 11.2T10 变式)如图，AB ∥CD ，直线 EF 分别交 AB ，CD 于点 E ，F ，∠BEF 的平分线与∠DFE 的平分线相交于点 P ，试说明△EPF 为直角三角形．解：∵AB ∥CD ，∴∠BEF ＋∠DFE ＝180°.∵EP 为∠BEF 的平分线，FP 为∠EFD 的平分线，1 12 212∴△EPF为直角三角形．综合题12．如图△1，在ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E.(1)猜测∠1与∠2的关系，并说明理由；(2)如果∠BAC是钝角，如图2，(1)中的结论是否还成立？解：(1)∠1＝∠2.理由如下：∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴△ABD和△BCE都是直角三角形．∴∠1＋∠B＝90°，∠2＋∠B＝90°.∴∠1＝∠2.(2)结论仍然成立．理由如下：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠D＝∠E＝90°.∴∠1＋∠4＝90°，∠2＋∠3＝90°.∵∠3＝∠4，∴∠1＝∠2.11.2.2三角形的外角基础题知识点1认识外角1．如图所示，∠ACD是△ABC的一个外角．2．如图，以∠AOD为外角的三角形是△AOB和△COD．知识点2三角形内角和定理的推论3．若三角形的一个外角等于和它相邻的内角，则这个三角形是(B) A．锐角三角形C．钝角三角形B．直角三角形D．都有可能4．(黔东南中考)如图，∠ACD＝120°，∠B＝20°，则∠A的度数是(C) A．120°B．90°C．100°D．30°5．(盐城中考)在“三角尺拼角”实验中，小明同学把一副三角尺按如图所示的方式放置，则∠1＝120°．6．如图．点D，B，C在同一条直线上．∠A＝60°，∠C＝50°，∠D＝25°，则∠1＝45°．7．如图，在锐角三角形A BC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，且C D，BE交于一点P.若∠A ＝50°，求∠BPC的度数．解：∵∠A＝50°，BE⊥AC，∴∠ABE＝90°－50°＝40°.又∵CD⊥AB，∴∠BPC＝90°＋∠ABE＝130°.知识点3三角形内角和定理的推论与平行线的性质、三角形的角平分线8．(新疆中考)(教材P16习题11.2T5变式)如图，AB∥CD，∠A＝50°，∠C＝30°，则∠AEC等于(C) A．20°B．50°C．80°D．100°9．(昆明中考△)如图，在ABC中，∠A＝50°，∠ABC＝70°，BD平分∠ABC，则∠BDC的度数是(A)A．85°B．80°C．75°D．70°10．(温州中考)如图，直线AB，CD被BC所截．若AB∥CD，∠1＝45°，∠2＝35°，则∠3＝80°．中档题11．如图，AD是∠CAE的平分线，∠B＝35°，∠DAE＝60°，则∠ACD＝(D)A．25°B．60°C．85°D．95°12．(郴州中考)小明把一副含45°，30°的直角三角板如图摆放，其中∠C＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，则∠α＋∠β等于(B)A．180°B．210°C．360°D．270°13．(教材P17习题11.2T6变式△)如图，在ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，点F在BC的延长线上，DE∥BC，∠A＝44°，∠1＝57°，则∠2＝101°．14．(教材P17习题11.2T8变式)如图，已知D是△ABC边BC延长线上一点，DF交AC于点E，∠A ＝35°，∠ACD＝83°.(1)求∠B的度数；(2)若∠D＝42°，求∠AFE的度数．解：(1)∵∠ACD是△ABC的一个外角，∠A＝35°，∠ACD＝83°，∴∠B＝∠ACD－∠A＝48°.(2)∵∠AFE是△BDF的一个外角，∠B＝48°，∠D＝42°，∴∠AFD＝∠B＋∠D＝48°＋42°＝90°.小专题2与三角形角平分线有关的计算(1)∠BGC＝180°－(∠ABC＋∠ACB)；(2)∠BGC＝90°＋∠A.∴∠GBC＋∠GCB＝(∠ABC＋∠ACB)．∴∠BGC＝180°－(∠ABC＋∠ACB)．(2)由(1)知∠BGC＝180°－(∠ABC＋∠ACB)，∴∠BGC＝180°－(180°－∠A)．∴∠BGC＝90°＋∠A.∴∠PBC＝∠ABC＝27.5°，∠PCD＝(180°－∠ACB)＝57.5°.——教材P29T11的变式与应用教材母题：(教材P29T11)如图，△ABC的∠ABC和∠ACB的平分线BE，CF相交于点G.求证：1212证明：(1)∵BE，CF分别是∠ABC，∠ACB的平分线，12∴∠BGC＝180°－(∠GBC＋∠GCB)．1212∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A，1212拓展类型1一个内角平分线和一个外角平分线的夹角1．如图所示，BP是△ABC的角平分线，CP是△ABC的外角的平分线．(1)若∠ABC＝55°，∠ACB＝65°，求∠P的度数；(2)若∠A＝60°，求∠P的度数；(3)试探索∠P与∠A之间的数量关系．解：(1)∵BP是△ABC的角平分线，CP是△ABC的外角的平分线，1212＝(∠ACD－∠ABC)＝∠A＝30°.(3)∠P＝∠A.解：∠BOC＝90°－∠A.＋∠α(用α表示)；如图2，∠CBO＝∠ABC，∠BCO＝∠ACB，∠A＝α，则∠BOC＝120°＋(2)如图3，∠CBO＝∠DBC，∠BCO＝∠ECB，∠A＝α，猜想∠BOC＝120°－∠α(用α表(3)BO，CO分别是△ABC的外角∠DBC，∠ECB的n等分线，它们交于点O，∠CBO＝∠DBC，∠BCO＝∠ECB，∠A＝α，请猜想∠BOC＝．∴∠P＝∠PCD－∠PBC＝30°.(2)∵BP是△ABC的角平分线，CP是△ABC的外角的平分线，∴∠P＝∠PCD－∠PBC121212拓展类型2两个外角平分线的夹角2．如图所示，BO，CO分别是△ABC的外角平分线．(1)若∠ABC＝40°，∠ACB＝60°，则∠BOC＝50°；(2)若∠A＝60°，则∠BOC＝60°；(3)试探索∠BOC与∠A之间的数量关系．123．(内江中考)问题引入：(1)如图△1，在ABC中，点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，若∠A＝α，则∠BOC＝90°1111 2333∠α(用α表示)；拓展研究：111333示)；1n 1（n－1）·180°－∠αn n。

人教版八年级数学（上）第十一章《三角形》11.2与三角形有关的角同步练习题学校:___________姓名：___________班级：___________得分：___________一、选择题（本大题共10小题，共30分）1.如图，下列各角为△ABC 的外角的是（ ）。

A.∠1B.∠2C.∠3D.∠42.在△ABC 中，，则此三角形是（ ）。

A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形3.如图，∠DBA 和∠ACE 是△ABC 的外角，则∠DBA+∠ACE 等于（ ）。

A.180°B.180°-∠AC.180°+∠AD.以上答案都不对第3题图第5题图 4.已知a ∥b ，一块含30°角的直角三角尺按如图所示的方式放置，∠2＝45°，则∠1的度数为（ ）。

A.100°B.135°C.155°D.165°5.如图，AB // CD ，∠A=50°，∠C=30°，则∠AEC 等于（ ）。

A.20°B.50°C.80°D.100°6.如图，在锐角三角形ABC 中，CD 和BE 分别是AB 和AC 边上的高，且CD 和BE 交于点P ，若∠A ＝50°，则∠BPC 的度数是（ ）。

A.100°B.120°C.130°D.150°第6题图 第7题图7.如图，CE 是△ABC 的外角∠ACD 的平分线，若∠B ＝35°，∠ACE ＝60°，则∠A 等于（ ）。

A.35°B.95°C.85°D.75°8.如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，∠B ＝40°则∠C 的度数为（ ）。

A.100°B.80°C.60°D.40°9.下列说法正确的是（ ）。

课后作业一．选择题（共6小题）1．已知△ABC的三个内角△A，△B，△C满足关系式△B+△C=2△A，则此三角形（）A.一定有一个内角为45°B.一定有一个内角为60°C.一定是直角三角形D.一定是钝角三角形2．在△ABC中，△A=△B+△C，△B=2△C﹣6°，则△C的度数为（）A．90°B．58°C．54°D．32°3．任何一个三角形的三个内角中至少有（）A．一个角大于60°B．两个锐角C．一个钝角D．一个直角4．在△ABC中，△A=70°，△B=30°，则△C的度数是（）A．100°B．80°C．70°D．30°5．如图，在△DBC中，CA平分△DCB，△B=30°，△BCA=45°，则△D=（）A．55°B．80°C．70°D．60°6．在下列条件中：△△A+△B=△C；△△A：△B：△C=1：2：3；△△A=90°﹣△B；△△A=△B=△C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（）A．△△ B．△△C．△△△ D．△△△7．将一副三角板（含30°、45°的直角三角形）摆放成如图所示，图中△1的度数是（）A．90°B．120°C．135°D．150°8．如图，△B=△C，则（）A．△1=△2B．△1＞△2C．△1＜△2D．不确定9．如图，若△1=100°，△C=70°，则△A的度数为（）A．20°B．30°C．70°D．80°10．如图，△ACB=90°，CD△AB，垂足为D，下列结论错误的是（）A．图中有三个直角三角形B．△1=△2 C．△1和△B都是△A的余角D．△2=△A 二．填空题（共6小题）11．若直角三角形的一个锐角为36°，则另一个锐角的度数为．12．在△ABC中，△A=25°，△C=45°，则与△B相邻的外角的度数为．13．有个零件如图所示，现已知△A=10°，△B=75°，△C=15°，则△ADC=．14．如图，y=．15．如图，五角星ABCDE的五个内角之和△A+△B+△C+△D+△E=度．16．如图，在△ABC中，△BAC=80°，△B=40°，AD是△ABC的角平分线，则△ADB=°．（第13题）（第14题）（第15 题）（第16题）三．解答题（共4小题）17．求证：三角形的内角和等于180°．已知：如图，△ABC．求证：．证明：18．已知△ABC中，DE△BC，△AED=50°，CD平分△ACB，求△CDE的度数．19．已知：如图，在△ABC中，△B=△C，AD平分外角△EAC．求证：AD△BC．20．如图，在△ACB中，△ACB=90゜，CD△AB于D．（1）求证：△ACD=△B；（2）若AF平分△CAB分别交CD、BC于E、F，求证：△CEF=△CFE．。

11.2 与三角形有关的角基础闯关全练拓展训练1.三角形的一个外角与它相邻的内角相等,而且等于与它不相邻的两个内角中的一个角的3倍,则这个三角形各内角的度数是( )A.45°,45°,90°B.36°,72°,72°C.25°,21°,134°D.30°,60°,90°2.如图,AD是△ABC的高,BE是△ABC的角平分线,BE、AD相交于点F,已知∠BAD=40°,则∠BFD= .3.如图,在△ABC中,AD是角平分线,AE是高,已知∠BAC=2∠B,∠B=2∠DAE,那么∠ACB= .4.(1)如图①,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,∠ACD与∠B有什么关系?为什么?(2)如图②,在Rt△ABC中,∠C=90°,D,E分别在AC,AB上,且∠ADE=∠B,判断△ADE的形状.为什么?(3)如图③,在Rt△ABC和Rt△DBE中,∠C=90°,∠E=90°,AB⊥BD,点C,B,E在同一直线上,∠A与∠D有什么关系?为什么?能力提升全练拓展训练1.直角三角形的两锐角平分线相交所成的角的度数是( )A.45°B.135°C.45°、135°D.以上答案均不对2.如图,在△ABC中,∠A=80°,∠B=60°,将△ABC沿EF对折,点C落在C'处.如果∠1=50°,那么∠2= .3.在△ABC中,AB=AC=4 cm,BD为AC边上的高,∠ABD=30°,则∠BAC的度数为.三年模拟全练拓展训练1.(2018广东深圳期末,6,★★☆)在△ABC中,∠A=∠B+∠C,∠B=2∠C-6°,则∠C的度数为( )A.90°B.58°C.54°D.32°2.(2018河北唐山迁安期末,13,★★☆)如图,在△ABC中,∠ABC=62°,BD是角平分线,CE是高,BD与CE相交于点O,则∠BOC的度数是( )A.118°B.119°C.120°D.121°3.(2018海南保亭校级月考,7,★★☆)一个三角形的一个内角等于另外两个内角的和,这个三角形是( )A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.何类三角形不能确定4.(2018福建莆田第二十五中学月考,15,★★★)如图,△ABC中,∠A=96°,延长BC到D,∠ABC与∠ACD的平分线相交于点A1,∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2,依此类推,∠A4BC与∠A4CD的平分线相交于点A5,则∠A5的度数为( )A.19.2°B.8°C.6°D.3°五年中考全练拓展训练1.(2016山东莱芜中考,5,★☆☆)如图,△ABC中,∠A=46°,∠C=74°,BD平分∠ABC,交AC于点D,那么∠BDC 的度数是( )A.76°B.81°C.92°D.104°2.(2017四川德阳中考,6,★★☆)如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,BE平分∠ABC交AC边于E,∠BAC=60°,∠ABE=25°,则∠DAC的大小是( )A.15°B.20°C.25°D.30°核心素养全练拓展训练1.在△ABC和△DEF中,∠A=40°,∠E+∠F=70°.将△DEF放置在△ABC上,使得∠D的两条边DE、DF分别经过点B、C.(1)当将△DEF按图1放置在△ABC上时,∠ABD+∠ACD= °;(2)当将△DEF按图2放置在△ABC上时,①请求出∠ABD+∠ACD的大小;②能否将△DEF摆放到某个位置,使得BD、CD同时平分∠ABC和∠ACB?直接写出结论: (填“能”或“不能”).2.(1)如图1,把△ABC沿DE折叠,使点A落在点A'处,试探索∠1+∠2与∠A的关系(不必证明);(2)如图2,BI平分∠ABC,CI平分∠ACB,把△ABC折叠,使点A与点I重合,若∠1+∠2=130°,求∠BIC的度数;(3)如图3,在锐角△ABC中,BF⊥AC于点F,CG⊥AB于点G,BF、CG交于点H,把△ABC折叠,使点A和点H重合,试探索∠BHC与∠1+∠2的关系,并证明你的结论.11.2 与三角形有关的角答案基础闯关全练拓展训练1.D 根据题意知,与这个外角相邻的内角等于180°÷2=90°,∵这个外角等于与它不相邻的两个内角中的一个角的3倍,∴90°÷3=30°,又90°-30°=60°,∴这个三角形各内角的度数是30°,60°,90°.2.答案65°解析∵AD是△ABC的高,∴∠ADB=90°,∵∠BAD=40°,∴∠ABC=50°,∵BE是△ABC的角平分线,∴∠FBD=25°,在△FBD中,∠BFD=180°-90°-25°=65°.3.答案72°解析由题意可得∠DAE=∠BAC-(90°-∠C),又∠BAC=2∠B,∠B=2∠DAE,∴90°-2∠B=∠B,则∠B=36°,∴∠BAC=2∠B=72°,∴∠ACB=180°-36°-72°=72°.4.解析(1)∠ACD=∠B,理由如下:∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,∴∠ACD+∠A=∠B+∠A=90°,∴∠ACD=∠B.(2)△ADE是直角三角形.∵在Rt△ABC中,∠C=90°,∴∠B+∠A=90°.又D,E分别在AC,AB上,且∠ADE=∠B,∴∠ADE+∠A=90°,∴△ADE是直角三角形.(3)∠A+∠D=90°.∵∠C=90°,∠E=90°,AB⊥BD,点C,B,E在同一直线上,∴∠ABC+∠A=∠ABC+∠DBE=∠DBE+∠D=90°,∴∠A+∠D=90°.能力提升全练拓展训练1.C 如图,∠ABC+∠BAC=90°,AD、BE分别是∠BAC和∠ABC的平分线,∴∠OAB+∠OBA=(∠BAC+∠ABC)=45°,∴∠AOE=∠OAB+∠OBA=45°,∴∠AOB=135°,∴直角三角形两锐角的平分线相交所成的角的度数是45°、135°,故选C.2.答案30°解析∵∠A+∠B+∠C=180°,∠CEF+∠CFE+∠C=180°,∴∠CEF+∠CFE=∠A+∠B=80°+60°=140°,由翻折的性质得,2(∠CEF+∠CFE)+∠1+∠2=180°×2,∴2×140°+50°+∠2=360°,解得∠2=30°.故答案为30°.3.答案60°或120°解析当∠A是锐角时,如图1,∵BD是高,∴∠BAC=90°-∠ABD=90°-30°=60°;当∠BAC是钝角时,如图2,∠BAD=90°-∠ABD=90°-30°=60°,则∠BAC=180°-∠BAD=180°-60°=120°.故答案是60°或120°.三年模拟全练拓展训练1.D∵∠A=∠B+∠C,∠A+∠B+∠C=180°,∴∠A=90°,∴∠B+∠C=90°,∴∠B=90°-∠C,∵∠B=2∠C-6°,∴90°-∠C=2∠C-6°,∴∠C=32°.2.D ∵CE是高,∴∠BEC=90°,∴∠OCB=90°-∠ABC=90°-62°=28°,∵BD是角平分线,∴∠OBC=∠ABC=×62°=31°,∴∠OBC+∠OCB=31°+28°=59°.在△OBC中,由三角形内角和定理可得∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°,∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-59°=121°,故选D.3.A 三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角之和,又一个内角也等于另外两个内角的和,由此可知这个三角形中有一个内角和与它相邻的外角是相等的,且外角和与它相邻的内角互补,所以有一个内角一定是90°,故这个三角形是直角三角形.故选A.4.D ∠BA1C+∠A1BC=∠A1CD,2∠A1CD=∠ACD=∠BAC+∠ABC,所以2(∠BA1C+∠A1BC)=∠BAC+∠ABC,即2∠BA1C+2∠A1BC=∠BAC+∠ABC,而2∠A1BC=∠ABC,所以2∠BA1C=∠BAC.同理,可得2∠BA2C=∠BA1C,2∠BA3C=∠BA2C,2∠BA4C=∠BA3C,2∠BA5C=∠BA4C,所以∠BA5C=∠BA4C=∠BA3C=∠BA2C=∠BA1C=∠BAC=96°÷32=3°.故选D.五年中考全练拓展训练1.A ∵∠A=46°,∠C=74°,∴∠ABC=180°-46°-74°=60°.∵BD平分∠ABC,∴∠DBC=30°.∴∠BDC=180°-30°-74°=76°.故选A.2.B ∵BE平分∠ABC,∴∠ABC=2∠ABE=2×25°=50°,∵AD是BC边上的高,∴∠BAD=90°-∠ABC=90°-50°=40°,∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=60°-40°=20°.故选B.核心素养全练拓展训练1.解析(1)210.(2)①在△ABC中,∠A=40°,∴∠ABC+∠ACB=140°,在△DEF中,∠E+∠F=70°,∴∠D=110°,∴∠BCD+∠CBD=180°-∠D=70°,∴∠ABD+∠ACD=(∠ABC+∠ACB)-(∠BCD+∠CBD)=70°.②能.2.解析(1)∠1+∠2=2∠A.(2)由(1)∠1+∠2=2∠A,得2∠A=130°,∴∠A=65°.∵BI平分∠ABC,CI平分∠ACB,∴∠IBC+∠ICB=(∠ABC+∠ACB)=(180°-∠A)=90°-∠A,∴∠BIC=180°-(∠IBC+∠ICB)=180°-=90°+×65°=122.5°.(3)∵BF⊥AC,CG⊥AB,∴∠AFH+∠AGH=90°+90°=180°,∠FHG+∠A=180°,∴∠BHC=∠FHG=180°-∠A,由(1)知∠1+∠2=2∠A,∴∠A=(∠1+∠2),∴∠BHC=180°-(∠1+∠2).。

11.2与三角形有关的角专项测试题（一)一、单项选择题（本大题共有15小题，每小题3分，共45分）1、如图,，，．那么等于( ）．A.B.C.D。

【答案】B【解析】解：，，,，,，．故答案应选:．2、如图，在中,平分且与相交于点，，，则的度数是（）A。

B。

C。

D.【答案】B【解析】解:平分，，,.故正确答案是：.3、在三角形的三个外角中，钝角个数最多可能有（）A. 个B. 个C。

个D. 个【答案】D【解析】解：每个外角为它相邻内角的补角，因为三个内角都有可能为锐角，其补角都为钝角,因此三角形的三个外角中，钝角个数最多可能有个．4、如图，中，，点为延长线上一点，且，则（）A。

B。

C.D.【答案】C【解析】解：由三角形的外角性质得，．5、如图，在中,，则外角的度数是（)A.B。

C。

D。

【答案】C【解析】解：由三角形的外角性质的,．6、将一副直角三角板如图放置，使含角的三角板的短直角边和含角的三角板的一条直角边重合，则的度数为（）A.B。

C。

D。

【答案】A【解析】解：(直角三角形两锐角互余),,．7、在中，，则等于（）A.B。

C.D.【答案】B【解析】解：，即．8、下列说法错误的是（)A. 直角三角形两锐角互余B. 三角形按角可分为锐角三角形、直角三角形和等腰三角形C。

任意三角形内角和都是D。

三角形的中线、高、角平分线都是线段【答案】B【解析】解:因为三角形按角分为直角三角形和斜三角形（锐角三角形、钝角三角形），故本选项错误．9、如图,在中，，点分别在边上，若,则下列结论正确的是( ）A。

和互为余角B。

和互为余角C。

和互为补角D. 和互为补角【答案】B【解析】解:，,，，和互为余角．10、已知,又从的顶点引射线，若，那么（）A. 或B.C.D。

【答案】A【解析】解：，，当在的外侧时,;当在的外侧,．11、如图，和分别是的内角平分线和外角平分线,是的角平分线，是的角平分线,是的角平分线，是的角平分线，若,则为（）A.B。

11.2 与三角形有关的角同步练习一、选择题（共10小题）.1. −3的绝对值是( )A. −3B. 3C. −13D. 132. 用−a表示的数一定是( )A. 负数B. 正数C. 正数或负数D. 以上都不对3. 在数轴上表示有理数a，b，c的点如图所示，若ac<0，b+a<0，则( )A. b+c<0B. ∣b∣<∣c∣C. ∣a∣>∣b∣D. abc<04. 已知a<0，b>0，且∣a∣>∣b∣，则a，b，−a，−b的大小关系是( )A. b>−a>a>−bB. −b>a>−a>bC. a>−b>−a>bD. −a>b>−b>a5. 实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是( )A. ∣a∣>4B. c−b>0C. ac>0D. a+c>06. −12的相反数是( )A. 2B. −2C. 12D. −127. 如图，∠MON=90∘，点A，B分别在射线OM，ON上运动，BE平分∠NBA，BE的反向延长线与∠BAO的平分线交于点C，则∠C的度数是( )A. 30∘B. 45∘C. 55∘D. 60∘8. 已知△ABC的∠A=80∘，剪去∠A后得到一个四边形，则∠1+∠2的度数为( )A. 100∘B. 160∘C. 260∘D. 280∘9. 若∣a−4∣=∣a∣+∣−4∣，则a的值是( )A. 任意有理数B. 任意一个非负数C. 任意一个非正数D. 任意一个负数10. 已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：∣a−b∣+∣b−c∣+∣c−a∣的结果是( )A. a−2cB. 2c−2aC. 2a−b−cD. a−2b+c二、填空题（共6小题；共48分）11. −13的绝对值等于．12. 在数−56，+2，12，4.5，−17，0，227，π2，5中，整数是；正分数是 .13. 同学们都知道，∣5−(−2)∣表示5与−2之差的绝对值，实际上也可以理解为5与−2两数在数轴上所对的两点之间的距离，则使得∣x−1∣+∣x+5∣=6这样的整数x有个．14. 如图1，已知三角形纸片ABC，AB=AC，∠A=50∘，将其折叠，如图2，使点A与点B重合，折痕为ED，点E，D分别在AB，AC上，求∠DBC的大小．．15. 如图，小亮从A点出发，沿直线前进10米后向左转30∘，再沿直线前进10米，又向左转30∘，⋯，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了米．16. 已知a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的有理数，那么a+b+c值为．三、解答题（共4小题；共52分）17. 如图，在△ABC中，∠ACB=60∘，∠BAC=75∘，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD与BE交于点H，求∠CHD的度数．18. A，B，C，D四个车站的位置如图所示，A，B两站之间的距离AB=a−b，B，a−2b−1．求：C两站之间的距离BC=2a−b，B，D两站之间的距离BD=72（1）A，C两站之间的距离AC；（2）若A，C两站之间的距离AC=180km，求C，D两站之间的距离CD．19. 已知∣x−y∣=y−x且∣x∣=3，∣y∣=4，试求(x+y)3的值．20. 已知零件的标准直径是100mm，超过标准直径的数量（mm）记作正数，不足标准直径的数量（mm）记作负数，检验员某次抽查了五件样品，检查结果如下：序号12345直径／mm0.1−0.15−0.2−0.05−0.25（1）试指出哪件样品的大小最符合要求；（2）如果规定误差的绝对值在0.18mm之内是正品，误差的绝对值在0.18mm～0.22mm之间是次品，误差的绝对值超过0.22mm是废品，那么这五件样品分别属于哪类产品?答案第一部分1. B2. D3. C 【解析】由数轴可得，a<b<c，∵ac<0，b+a<0，∴如果a=−2，b=0，c=2，则b+c>0，故选项A错误；如果a=−2，b=−1，c=0.9，则∣b∣>∣c∣，故选项B错误；如果a=−2，b=0，c=2，则abc=0，故选项D错误；∵如果a<b<0，得∣a∣>∣b∣；如果a<0<b，由a+b<0，得∣a∣>∣b∣，故选项C正确．4. D 【解析】∵a<0，b>0，且∣a∣>∣b∣，∴−a>b>0，∴a<−b<0，∴−a>b>−b>a．5. B【解析】∵−4<a<−3，∴∣a∣<4．∴ A不正确；又∵c>b，∴c−b>0，∴ B正确；又∵a<0，c>0，∴ac<0，∴ C不正确；又∵a<−3，c<3，∴a+c<0，∴ D不正确．6. C7. B8. C 【解析】∵∠A+∠B+∠C=180∘，∠A=80∘，∴∠B +∠C =100∘，又 ∵∠B +∠C +∠1+∠2=(4−2)×180∘=360∘，∴∠1+∠2=260∘．9. C 【解析】∵ ∣a +(−4)∣=∣a ∣+∣−4∣，∴ a 与 −4 同号或 a =0，∴ a 为一个非正数．10. B【解析】由数轴可得：a −b <0，b −c <0，c −a >0，故原式=−(a −b )−(b −c )+c −a=−a +b −b +c +c −a =−2a +2c.第二部分11. 13【解析】根据负数的绝对值是它的相反数，得 −13 的绝对值等于 13．12. −17，0，5，+2，12，4.5，22713. 714. 15∘【解析】∵AB =AC ，∴∠ABC =∠ACB ，而 ∠A =50∘，∴∠ABC =12(180∘−50∘)=65∘，∵ 使点 A 与点 B 重合，折痕为 ED ，∴∠ABD =∠A =50∘，∴∠DBC =∠ABC −ABD =65∘−50∘=15∘．15. 120【解析】∵360÷30=12，∴ 他需要走 12 次才会回到原来的起点，即一共走了 12×10=120 米．16. 0第三部分17. 延长 CH ，交 AB 于点 F ．由三角形的高线交于一点可知，CF⊥AB．因为∠ACB=60∘，∠BAC=75∘，所以∠ABC=180∘−∠ACB−∠BAC=45∘．所以∠BCF=90∘−∠ABC=45∘．因为AD⊥BC，所以∠CHD=90∘−∠DCH=45∘．18. （1）A，C两站之间的距离AC=a−b+2a−b=3a−2b．（2）CD=(72a−2b−1)−(2a−b)=32a−b−1．∵3a−2b=180km，∴32a−b=90km．∴CD=90−1=89(km)．答：C，D两站之间的距离CD是89km．19. ∵∣x∣=3，∣y∣=4，∴x=±3，y=±4，∵∣x−y∣=y−x，∴x−y<0，∴x=3，y=−4或x=−3，y=−4，当x=3，y=−4时，(x+y)3=(3−4)3=−1，当x=−3，y=−4时，(x+y)3=(−3−4)3=−343．20. （1）因为∣0.1∣=0.1，∣−0.15∣=0.15，∣−0.2∣=0.2，∣−0.05∣=0.05，∣−0.25∣=0.25，又因为0.05<0.1<0.15<0.2<0.25，所以第4件产品的大小最符合要求．（2）因为∣0.1∣=0.1<0.18，∣−0.15∣=0.15<0.18，∣−0.05∣=0.05< 0.18，所以第1，2，4件样品是正品；因为∣−0.2∣=0.2，0.18<0.2<0.22，所以第3件样品是次品；因为∣−0.25∣=0.25>0.22，所以第5件样品是废品．。