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第10章-组合变形

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第10章 组合变形

第10章 组合变形

10.1 组合变形的概念 工程中大多数的杆件在荷载作用下，往往同时发生两种或两种以上的变形。
在小变形的前提下，一般采用叠加原理计算组合变形的强度问题。即当杆件 承受复杂荷载作用而同时产生几种变形时，只要将荷载进行适当地分解，使 杆在各分荷载的作用下发生基本变形，再分别计算各基本变形所引起的应力， 然后将计算结果叠加，就可得到总的应力。实践证明：在线弹性、小变形的 情况下，用叠加原理所得到的结果与实际情况是相当符合的。
第10章 组合变形
【本章教学要点】 知识模块 组合变形的概念 叠加原理 掌握程度 掌握 掌握 掌握 理解 斜弯曲构件 重点掌握 偏心受压（受拉）构 件 截面核心的概念 理解 重点掌握 了解 知识要点 基本变形、组合变形 适用条件：小变形、线弹性 叠加法求解组合变形的步骤 斜弯曲概念 危险截面、危险点的确定；应力公式；强度条 件 偏心受压（受拉）概念
危险截面、危险点的确定；应力公式；强度条 件
截面核心
【本章技能要点】
技能要点
掌握程度
应用方向
斜弯曲构件计算
偏心受压（受拉）构件 计算 截面核心
掌握
掌握 了解
危险截面、危险点的判别；强度校核、截面设 计、许可荷载确定
危险截面、危险点的判别；强度校核、截面设 计、许可荷载确定 截面核心的确定
【导入案例】 工程结构的变形：单一或多样？
例10-5 试求图10.16所示偏心受拉杆的最大正应力。
7.5 I I 50
K z y I-I 截面 （b） 图 10.16
P 2kN
20
10 40 15 （a）
10.4 截面核心 10.4.1 截面核心的概念 人为地将偏心压力的作用点限制在截面形心周围的一个区域，则杆件整 个横截面上就只产生压应力而不出现拉应力，这个荷载作用的区域就称 为截面核心。 10.4.2 截面核心的确定

工程力学(静力学和材料力学)第2版课后习题答案 范钦珊主编 第10章 组合受力与变形杆件的强度计算

工程力学(静力学和材料力学)第2版课后习题答案 范钦珊主编 第10章 组合受力与变形杆件的强度计算

解：危险截面在 A 处，其上之内力分量为： 弯矩： M y = FP1 a ， M z = FP2 H 扭矩： M x = FP2 a 轴力： FNx = FP1 在截面上垂直与 M 方向的垂直线 ab 与圆环截 求得 M y 与 M z 的矢量和 M 过截面中心， 面边界交于 a、b 两点，这两点分别受最大拉应力和最大压应力。但由于轴向压力的作用，最 大压应力值大于最大拉应力值，故 b 点为危险点，其应力状态如图所示。 10－7 试求图 a 和 b 中所示之二杆横截面上最大正应力及其比值。 解： （a）为拉弯组合
7
y
y
A
O
0.795
B
14.526
+13.73MPa
z
(a)
O O
+14.43MPa
(b)
C
y
A
C
B B
y
A
O O
B
z
12.6mm
14.1mm
zC
−15.32MPa
16.55MPa
zC
z
(c)
(d)
习题 10－9 解图
∴
+ σ max
= 14.526 − 0.795 = 13.73 MPa
− σ max = −14.526 − 0.795 = −15.32 MPa
Ebh
由此得
2 FP 6e
e=
10－9
ε1 − ε 2 h × ε1 + ε 2 6
图中所示为承受纵向荷载的人骨受力简图。试：
1．假定骨骼为实心圆截面，确定横截面 B－B 上的应力分布； 2．假定骨骼中心部分(其直径为骨骼外直径的一半)由海绵状骨质所组成，忽略海绵状承受 应力的能力，确定横截面 B－B 上的应力分布；

工程力学之组 合 变 形

工程力学之组 合 变 形

工程力学第10章组合变形学习目标(1)了解组合变形的概念及其强度问题的分析方法；(2)掌握斜弯曲、拉伸(压缩)与弯曲和偏心压缩的应力及强度计算。

10.1 组合变形的概念例如，烟囱的变形，除自重W引起的轴向压缩外，还有水平风力引起的弯曲变形，同时产生两种基本变形，如图10-1(a)所示。

又如图10-1(b)所示，设有吊车的厂房柱子，作用在柱子牛腿上的荷载F，它们合力的作用线偏离柱子轴线，平移到轴线后同时附加力偶。

此时，柱子既产生压缩变形又产生弯曲变形。

再如图10-1(c)所示的曲拐轴，在力F作用下，AB 段同时产生弯曲变形和扭转变形。

10.1 组合变形的概念图10-110.1 组合变形的概念上述这些构件的变形，都是两种或两种以上的基本变形的组合，称为组合变形。

研究组合变形问题依据的是叠加原理，进行强度计算的步骤如下：(1)将所作用的荷载分解或简化为几个只引起一种基本变形的荷载分量。

(2)分别计算各个荷载分量所引起的应力。

(3)根据叠加原理，将所求得的应力相应叠加，即得到原来荷载共同作用下构件所产生的应力。

(4)判断危险点的位置，建立强度条件。

10.2例如图10-2(a)所示的横截面为矩形的悬臂梁，外力F作用在梁的对称平面内，此类弯曲称为平面弯曲。

斜弯曲与平面弯曲不同，如图10-2(b)所示同样的矩形截面梁，外力F的作用线通过横截面的形心而不与截面的对称轴重合，此梁弯曲后的挠曲线不再位于梁的纵向对称面内，这类弯曲称为斜弯曲。

斜弯曲是两个平面弯曲的组合，本节将讨论斜弯曲时的正应力及其强度计算。

10.2图10-210.210.2.1 正应力计算斜弯曲时，梁的横截面上同时存在正应力和切应力，但因切应力值很小，一般不予考虑。

下面结合图10-3（a）所示的矩形截面梁说明斜弯曲时正应力的计算方法。

图10-310.2.1 正应力计算10.2.1.1 外力的分解由图10-3(a)可知：10.2.1.2 内力的计算如图10-3(b)所示，距右端为a 的横截面上由F y 、F z 引起的弯曲矩分别是：10.2 10.2.1 正应力计算10.2.1.3 应力的计算由M z 和M y (即F y 和F z )在该截面引起K 点的正应力分别为：F y 和F z 共同作用下K 点的正应力为：10.210-110.210.2.1 正应力计算10.2.1.3 应力的计算通过以上分析过程，我们可以将组合变形问题计算的思路归纳为“先分后合”，具体如下：10.210.2.2 正应力强度条件同平面弯曲一样，斜弯曲梁的正应力强度条件仍为：10-2即危险截面上危险点的最大正应力不能超过材料的许用应力［σ］。

组合变形

组合变形
M z 440 N m
M y 187 N m
T 1020 N m
合弯矩：
2 M M y M z2 4402 187 2
478N m
第四强度理论：
W
r4
1 W
M 2 0.75T 2
603 109
32
21.2110 6 m3
危险截面: B 截面
T 21.7 N m M 26.7 N m
第三强度理论：
r3
W
1 W
M 2 T 2
T图
21.7 N m
353 109
32
2
4.2110 6 m3
2
r3
8.18MPa
26.7 21.7 4.21106
第四强度理论：
式中: T
r4
危险截面上的扭矩 危险截面上的合弯矩
M
M
实心轴 W
2 2 My Mz
D3
32 D3 空心轴 W 1 4 32
,


例题 8-5 45钢的传动轴AB的直径为35mm，许用应力为 85MPa。电动机功率P = 2.2kW,由带轮C 传入。带轮C转速为 966r/min,带轮的直径为 D = 132mm，带拉力为F+F’ = 600N。齿轮E的 d 节圆直径为： 1 50mm 。
Fz Fz F sin 240 F sin 300 257 N
二、作出轴的弯矩图 和扭矩图
T图
21.7 N m
My 图
7.43N m 20.4 N m 11.4 N m 24.1N m
Mz 图

材料力学第10章 组合变形

材料力学第10章 组合变形

因此，截面O为危险截面。
危险截面上，由轴力引起的正应力均匀分布，其值
为
，由弯矩引起的正应力线性分布，其值为
。利用叠加原理，将拉伸及弯曲正应力叠加
后，危险截面上正应力沿截面高度的变化情况如图10.5
（e）所示，仍为线性分布。而且可以看出，最大拉应
力和最大压应力分别发生在O截面上、下边缘各点，其
值为
（10.4）
图10.5
依据上述分析，弯拉（压）组合变形时危险点处于单向应力状态，所以可将 截面上的σmax与材料的许用应力相比较建立其强度条件。对于拉压强度相等 的材料，强度条件为
对于抗拉与抗压性能不同的材料，强度条件为
下面举例说明弯拉（压）组合变形的强度计算。 例10.2如图10.6（a）所示的钢支架，已知载荷F=45 kN，尺寸如图。 （1）如材料为钢材，许用应力［σ］=160 MPa，试选择AC杆的工字钢型号。 （2）如材料为铸铁，许用拉应力［σt］=30 MPa，许用压应力［σc］=160 MPa，且AC杆截面形式和尺寸如图10.6（e）所示，A=15×10－3 m2，z0=75mm ，Iy=5.31×10－5 m4。试校核AC杆的强度。
其力矩矢量分别与y轴和z轴的正向一致（见图10.2（b））。 为了确定横截面上最大正应力点的位置，先求截面中性轴位置。记中性轴上 任一点的坐标为(y0，z0)，由于中性轴上各点处的正应力均为零，所以由式 可得中性轴方程为
（10.2） 可见，中性轴是一条通过横截面形心的直线（见图10.2（c）），其与y轴的 夹角θ为
图10.3 例10.1如图10.4（a）所示，20a号工字钢悬臂梁承受均布载荷q和集中力
。已知钢的许用弯曲正应力［σ］=160 MPa，a=1 m。试求梁的许可 载荷集度［q］。 解由于梁所受到的横向力不在梁的两个纵向对称面内，此时可以将横向力向 两个纵向对称面分解（向y和z轴分解），从而将其看成是梁在其两个相互垂

材料力学(单辉祖)第十章组合变形

材料力学(单辉祖)第十章组合变形
17
弯压组合
可见，危险截面为C截面 其轴力和弯矩分别为
FNC 3 kN M c M max 4 2 8kN m
A
FAy
10kN m a x
g g f
C m
FBy
B
危险点 截面C上的最低点f 和最高点g
FN M c s A W
f
18
弯压组合
A I

4
10kN
解 首先计算折杆的支座反力 由平衡方程可得 FAx A
FAx 0, FAy 5kN, FBy 5kN
FAy
m
10kN
C 1.2m B 1.6m FBy
a x 1.6m
m
由于折杆左右对称，所以只需分析一半即可。 折杆AC部分任一截面上的内力
FN FAy sin 3 kN FS FAy cos 4 kN M xFAy cos
杆件变形分析步骤 首先, 在杆件原始尺寸上分别计算由横向力和 轴向力引起变形、应力 然后, 利用叠加原理，合成在横向力和轴向力 共同作用下杆件变形、应变和应力等物理量 若杆件抗弯刚度EI较大，轴力引起杆件的弯曲 变形较小，可以忽略
10
弯拉组合
细长杆件强度问题， 受力如图，抗弯刚度 EI，截面抗弯模量W , 横截面面积A。
n
e n
P
z b h y
30
偏心拉伸(压缩)
解: 1. 力系简化 力P对竖直杆作用等效于作 用在杆轴线上一对轴力P和 一对作用在竖直平面内力 偶mz=Pe
FN P 2000 N, M z mz Pe 120 N m
mz P
n
e n
P
mz P
可见，竖直杆发生弯拉组合变形

第十章 应力状态,强度理论与组合变形1

第十章 应力状态,强度理论与组合变形1

2 2
s
2 3
2(s1s 2
s 2s 3
s 3s1 )]
(10 11)
用主应力表示的体积改变比能为：
uV
= 1 2
6E
(s1 s 2
s 3 )2
用主应力表示的形状改变比能为：
usd
=
u
uv
=
1
6E
s 1
s2 2
s 2
s3
2
s 3
s
1
2
(10-13)
14
强度理论
问题：
复杂应力状态下 的强度？
屈服判据 s1-s3= sys Tresca条件, 1864, 法
实验验证： 很好地预测了塑性材料屈服。
设计：
强度条件： s1-s3[s]=sys/n
19
10.2.2 延性材料的屈服强度理论
四、形状改变比能理论（第四强度理论）
？ ？ 思考： Tresca条件与s2无关
滑移改变形状 能量
假说： 延性材料屈服取决于其形状改变比能 ud。
1 2
(s 1 s 2 )2 (s 2 s 3 )2 (s 3 s 1 )2 [s ] = s ys / n
21
强度理论汇总：
强度条件的一般形式： 工作应力许用应力
相当应力
破 s1 理论 坏
e1 理论
sr [s]
sr1 = s1 常用
脆性破坏 [s]=sb/n 塑性屈服 [s]=sys /n
5
注意到txy=tyx，解得：
sa=sxcos2a+s ysin2a-2t xy sinacosa t a=(s x-s y)sinacosa+txy(cos2a -sin2a)

材料力学第六版答案第10章

材料力学第六版答案第10章

第十章 组合变形的强度计算10-1图示为梁的各种截面形状，设横向力P 的作用线如图示虚线位置，试问哪些为平面弯曲？哪些为斜弯曲？并指出截面上危险点的位置。

（a ） (b) (c) (d) 斜弯曲 平面弯曲 平面弯曲 斜弯曲弯心（）（）弯心弯心（）（）斜弯曲 弯扭组合 平面弯曲 斜弯曲“×”为危险点位置。

10-2矩形截面木制简支梁AB ，在跨度中点C 承受一与垂直方向成ϕ＝15°的集中力P ＝10 kN 作用如图示，已知木材的弹性模量MPa 100.14⨯=E 。

试确定①截面上中性轴的位置；②危险截面上的最大正应力；③C 点的总挠度的大小和方向。

解：66.915cos 10cos =⨯==οϕP P y KN59.215sin 10sin =⨯==οϕP P z KN4310122015=⨯=z J 4cm 3310cm W z =335625121520cm J y =⨯=3750cm W y =25.74366.94max =⨯==l P M y z KN-M 94.14359.24m ax =⨯==l P M z y KN-MMPaW M W M yy z z 84.9107501094.110101025.763633maxmax max=⨯⨯+⨯⨯=+=--σ 中性轴：οο47.2515tan 562510tan tan tan 411=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=--ϕαy z J J 2849333105434.0101010104831066.948--⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯==z y y EJ l P f m28933310259.010562510104831059.248--⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯==y z z EJ l P f m 602.0259.05434.022=+=f cm方向⊥中性轴：ο47.25=α10-3 矩形截面木材悬臂梁受力如图示，P 1＝800 N ，P 2＝1600 N 。

材料力学 第十章 组合变形(4,5,6)

材料力学 第十章 组合变形(4,5,6)

[例10-7]：偏心拉伸杆，弹 性模量为E，尺寸、受力如图 所示。求： （1）最大拉应力和最大压 应力的位置和数值； （2）AB长度的改变量。 分析：这是偏心拉伸问题
最大拉应力发生在AB线 上各点，最大压应力发 生在CD线上各点。
CL11TU24
解：(1)应力分析
Ph Pb N P, M y , M z 2 2 t N M y Mz c A Wy Wz
3.算例 [例10-4]求高h,宽b的矩形截面的截面核。 b （1）作中性轴Ⅰ，z , a y a 解：
（2）求载荷点① ， 2 iy b2 2 b zF ② az 2 6 b 3 z iz ③ yF 0 ① ay ④ （3）作中性轴Ⅱ ， h a z , a y 2 b y b （4）求载荷点② ， 2 2 2 Ⅰ 2 2 iy iz h h h z F 0, yF ay 6 2 3 az
（1）过截面周边上的一点作切线，以此作为第一 根中性轴； （2）据第一根中性轴的截距求第一个载荷点坐标； （3）过截面周边上相邻的另一点作切线，以此作 为第二根中性轴； （4）按（2）求于第二个中性轴对应的第二个载荷 点坐标； （5）按以上步骤求于切于周边的各特征中性轴对应 的若干个载荷点，依次连接成封闭曲线即截面核心。
中性轴把横截面分为受拉区和受压区，两个 区范围的大小受载荷作用点坐标的控制。 定义：使横截面仅受一种性质的力时载荷作用 的最大范围成为截面核心。
二.截面核心的求法 1.截距与载荷坐标的关系
z F , az ; zF , az
2.作截面核心的方法
zF 0, az ; zF , az 0
解:(1)简化外力：

工程力学 第二版 (范钦珊 唐静静 著) 高等教育出版社 课后答案 第10章 组合受力与变形杆件的强度计算

工程力学 第二版 (范钦珊 唐静静 著) 高等教育出版社 课后答案 第10章 组合受力与变形杆件的强度计算

网
FP a2
ww w
5
.k hd
b
m
上表面
∴
σa 4 = σb 3
习题 10－7 图
和 ε 2 。证明偏心距 e与 ε1 、 ε 2 之间满足下列关系：
FP
网
ww w
e=
ε1 − ε 2 h × ε1 + ε 2 6
课
后 答
案
FP
M = FP e
习题 10－8 图
解：1，2 两处均为单向应力状态，其正应力分别为： 1 处：
第10章
组合变形与变形杆件的强度计算
10－1 根据杆件横截面正应力分析过程， 中性轴在什么情形下才会通过截面形心？试分析 下列答案中哪一个是正确的。 （A）My = 0 或 Mz = 0， FN ≠ 0 ； （B）My = Mz = 0， FN ≠ 0 ； （C）My = 0，Mz = 0， FN ≠ 0 ； （D） M y ≠ 0 或 M z ≠ 0 ， FN = 0 。 正确答案是 D 。 解：只要轴力 FN x ≠ 0 ， 则截面形心处其拉压正应力一定不为零， 而其弯曲正应力一定为零， 这样使其合正应力一定不为零，所以其中性轴一定不通过截面形心，所以答案选（D） 。 关于中性轴位置，有以下几种论述，试判断哪一种是正确的。 （A）中性轴不一定在截面内，但如果在截面内它一定通过形心； （B）中性轴只能在截面内并且必须通过截面形心； （C）中性轴只能在截面内，但不一定通过截面形心； （D）中性轴不一定在截面内，而且也不一定通过截面形心。 正确答案是 D 。 解：中性轴上正应力必须为零。由上题结论中性轴不一定过截面形心；另外当轴力引起的 拉（压）应力的绝对值大于弯矩引起的最大压（拉）应力的绝对值时，中性轴均不在截面内， 所以答案选（D） 。 并且垂 10－3 图示悬臂梁中， 集中力 FP1 和 FP2 分别作用在铅垂对称面和水平对称面内， 直于梁的轴线，如图所示。已知 FP1＝1.6 kN，FP2＝800 N，l＝1 m，许用应力 σ ＝160 MPa。 试确定以下两种情形下梁的横截面尺寸： 1．截面为矩形，h＝2b； 2．截面为圆形。

第十章_组合变形

第十章_组合变形
坐标为x的任意截面上
M z Fy (l x) F(l x) cos M y Fz (l x) F(l x)sin
固定端截面
x
M zmax Fl cos
M ymax Fl sin
2. 应力分析
x 截面上任意一点（y，z） 正应力
Mzy Myz
Iz
Iy
F (l x)( y cos z sin )
三、两个相互垂直平面的弯曲——梁的斜弯曲概念
杆件在通过横截面形心的外载下产生弯曲变形
四、两个相互垂直平面内的弯曲问题分析 （即斜弯曲的研究方法 ） 1.分解：外载沿横截面的两个形心主轴分解，得到两个
正交的平面弯曲
z y
Pz
Py
P
x
z jPz
P
Py
y
Fy F cos Fz F sin
1. 内力分析
叠加原理的成立要求:内力、应力、应变、变形等与外力之 间成线性关系.
二、工程实例 （Engineering eA
F1
x
P
y B
P
hg
P q
hg
水坝
厂房牛腿——偏心压缩
吊车杆——压弯组合变形
三、分析组合变形的总思路（基本方法） （Basic method for solving combined deformation）
3.应力分析（Stress analysis）
画出危险截面的应力分布图,利用叠加原理 将基本变形下的
应力和变形叠加,建立危险点的强度条件
=
+
=
+
+
组合变形和叠加原理
研究内容
斜弯曲
拉（压）弯组合变形 弯扭组合变形
l

强度理论第十章组合变形

强度理论第十章组合变形

b
n
4、使用条件：断裂破坏，服从胡克定律。
5、缺点：对有些材料未被实验所证实。
6
§9－3 关于屈服的强度理论 三、最大切应力理论（第三强度理论；屈雷斯加屈服准则）
杜奎特（C.Duguet)最早提出；屈雷斯加最终确立了这一理论
1、基本论点：材料发生屈服破坏的主要因素是最大切应力。
2、破坏条件： m ax jx
1
第九章 复杂应力状态强度理论
§9－１ 强度理论的概念 §9－2 四种常用的强度理论 §9－3 其他强度理论
强度理论小结
第十章 组合变形
斜弯曲 轴向拉(压)与弯曲组合 偏心拉（压） 截面核心 弯曲与扭转 组合变形小结
2
§9－１ 强度理论的概念（引言）
一、概述：
简单应力状态与复杂应力状态许用应力确定的区别：
0.32m
Fs
100kN
0.32m
100kN M
32kNm
7 K 88.6
11.4
X
100
Iz 2370104 mm4
Wz 237103 mm3
Iz
/
S z max
17.2cm
X 解：1、画内力图
11
2、最大正应力校核
max
M max Wz
32106 237103
135(MPa)
3、最大切应力校核
1、基本论点：材料发生屈服破坏的主要因素是最大形状改变比能。
2、破坏条件：vd vdjx
vd
1
6E
(1 2 )2 ( 2 3)2 ( 3 1)2
vdjx
1
6E
2 s2
1
2
( 1
2)2
( 2

第十章 组合变形

第十章 组合变形
解： (2）杆中的最大压应力 危险截面：固定端面 轴力： FN F1 6kN 弯矩： M max F2l 2kN 2m 4kN.m
max
FN A
M max Wz
FN bh
6F2l bh2


6 103 0.12 0.15

6 4103 0.12 0.152
解： （1）分析梁的变形:
F1
BC段：在F2 作用下只在水平 对称平面内发生平面弯曲;
AB 段：在F2、F1 作用下发生斜弯曲 组合变形。
（2）危险截面是固端截面 M zmax F1l1 2 103 1N.m=2kN.m
Mymax F2l2 1103 2N.m=2kN.m
20
Wz

FN bh

F2a
1 6
bh2

6103 0.12 0.15
6 2.4103 0.12 0.152
5MPa
同理：B 点的正应力
B
FN A
M Wz
FN bh

6M bh2
5.7MPa
26
第三节 拉伸（压缩）与弯曲的组合变形
[例10 – 3] 矩形截面杆受力如图所示,F1 的作用线与杆的轴线重合,F2 作用在杆的 对称平面内。已知F1 = 6 kN,F2 = 2 kN,a = 1 .2 m,l = 2 m,b= 120 mm, h = 150 mm。 试求:(1)n - n 截面上A 点和B 点的正应力;(2)杆中的最大压应力。
中性轴仍与加载（合成载荷）轴垂直，但挠度曲线不再为加载面内的平面曲线。
12
第二节 斜弯曲
一、正应力计算 斜弯曲时,梁的横截面上一般是同时存在正应力和切应力, 切应力忽略不计！ [例题] 计算矩形截面悬臂梁K点的正应力。

材料力学 第十章组合变形(1,2,3)

材料力学 第十章组合变形(1,2,3)
C 10kN
1.2m
解：求支反力,由平衡方程
FB B
FA
' FA
F ' A 0,
FA FB 5kN
A
1.6m 1.6m
m g f A
10kN C
m FAy
作折杆的受力图,折杆及 受力对称，只需分析一半 即杆AC 将FA分解, 得杆的轴力 FN、弯矩M (x)
B
FAx
FN FAx 3kN
3 10 8 10 t 81.1 2 3 c d / 4 d / 32 81.9
3 3
M W
[例10-2]圆截面杆的偏心压缩时不产生拉 力的载荷作用范围
P
y
P
y
Pa
a
z

z
CL11TU12
P
y
Pa
y
P
y
Pa
z
z
z
P
y y
Pa
y
P
z
Pa
z P
y y
z
Pa
y
P

CL11TU10
解： X A 3kN, A 4kN Y
任意横截面x上的内力:
FN X A 3kN FS YA 4kN M ( x) YA x 4 x
1 1截面上危险截面， 其上：FN 3kN，M 8kN m

FN A
M W
t FN M c A W
CL11TU5
y0 Iz tg tg z0 Iz
为中性轴与z轴夹角
3.强度计算：
1）危险截面：当x=0时 M Z , M y 同时取最大,固定端处为危险面 2）危险点：危险面上 D1 , D2点 3)最大应力

第10章 组合变形

第10章 组合变形

+=
t ,max
c,max
t ,max
=
Fl Wy
−
F A
c ,max
=
− Fl Wy
−
F A
5、拉（压）弯组合变形下的强度计算
t ,max
=
Fl Wy
−
F A
[ t ]
c ,max
=| − Fl Wy
−
F A
|
[ c ]
拉弯组合变形下的危险点处于 单向应力状态
=
2
−
1 2
2 + 4 2
讨论 下列三组公式的适用范围？
第一组
任何截面、任何变形、任何应力状态
第二组
σ x或σy等于零的任何截面、任何变形的平面应力状态
第三组
圆截面、弯扭组合变形
例题：直径为D的直角拐作用一集中力Fp，画 弯矩和扭矩图，提取危险点的应力状态，写 出第三、四强度理论的相当应力
（1）受力分析与计算简图 （2）内力分析与内力图、确定危险截面 （3）由应力分布规律确定危险点，提取应力状态，确定主应力 （4）根据材料及危险点的应力状态选用合适的设计准则
1、等截面杆件的直径为D，长度为L，承受均布 载荷q、拉力P、以及外力偶M的联合作用，写 出第三强度理论的相当应力的表达式。
q
工程实例 (Engineering examples) 摇臂钻
D
3F
2F F
FD 2
1、外力向轴线简化，判定基本变形 弯扭组合 且为单向弯；
2、作内力图，确定危险面
My 3FL
T
FD/2
3 危险面上的内力
4、危险面上应力的分布规律，确定危险点

第10章组合变形

第10章组合变形

§10.3 拉伸（压缩）与弯曲
【例10-4】
C
悬臂吊车横梁用20a 工字钢制成，抗弯截面 系 数 为 Wz=237cm3 ， 横 截面面积为A=35.5cm2， 容许应力为[]=160MPa ，小车与吊重共计 FP=20kN 。 当 小 车 运 行 到 距 离 梁 端 D 还 有 0.4m 处时，吊车横梁处于最 不利位置。试校核横梁 OB的强度。
Mmayxmax IZ
4. 强度设计
根据强度条件进行强度 计算。
max[]
2021/2/21 水利土木工程学院结构力学课程组
§10.3 拉伸（压缩）与弯曲
+
=
z
FN
M max
第10章 组 合 变 形
§10.3 拉伸（压缩）与弯曲
【例10-3】 图示桥墩，桥面压力
为F0=1920kN，墩身自重为F1=330kN， 基础自重F2=1450kN，车辆经梁部传递 的 水 平 制 动 力 FT=300kN ， 基 础 底 面 积 为b×h=8m×3.6m的矩形。试绘出基础 底部AB面上的正应力分布图。
F
N
F1 F2
拉弯组合变形
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第10章 组 合 变 形
斜弯曲
§10.1 组合变形的概念
q
q
2021/2/21 水利土木工程学院结构力学课程组
qy qz
第10章 组 合 变 形
§10.1 组合变形的概念
组合变形的研究方法——叠加法
在小变形和线弹性范围内，构件受力变形后仍可按原 始尺寸和形状进行计算，构件上各个外力所引起的变形是 相互独立的。此时，组合变形问题就可利用叠加原理分解 为基本变形问题去处理。

10组合变形教学文稿

10组合变形教学文稿

？ 弯矩引起的最大拉应力和最大压应力都发生在同一点。 对于圆截面，上述公式是否正确
对于圆截面，上述计算公式是不适用的。这是因为， 两个对称面内的弯矩所引起的最大拉应力，最大压应力 不发生在同一点。
27
对于圆截面，因为过形 心的任意轴均为截面的对称 轴，所以当横截面上同时作 用有两个弯矩时，可以将弯 矩用矢量表示，然后求二者 的矢量和，这一合矢量仍然 沿着横截面的对称轴方向， 合弯矩的作用面仍然与对称 面一致，所以平面弯曲的公 式依然适用。
z Pz
P
Py
y
1.外力分析： 将外载沿横截面的形心主轴分解 平面弯曲（绕 z 轴）+ 平面弯曲（绕 y 轴）
Py Pcos
Pz Psin
21
22
Mz
PyL My
PzL
23
L
zP
x z Pz
y
P
Py
zy
x 2 内力分析，画弯矩图
M图画在受压一侧
M yP ZLPLsin Msin x M zP yLPLcosMcos
于是，圆截面上的最大 拉应力和最大压应力计算公 式为
28
tmax
z
Mz
cmax
M
My
y
tmax＝W M＝
My2 Mz2 W
cmax＝W M＝
My2Mz2 W
例9-1 已知：矩形截面悬臂梁，截面宽度b=90mm、高度
h=180mm、长度l=1m，外载荷P1=800N和P2=1650N。
试求：梁内最大正应力及其作用位置。
D1
D2
D1
z
Mz
D2 y
24
x z Pz
zP y
D1
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W a T T T Wp 2W FN A
应力状态－单向＋纯剪切 强度条件（塑性材料）
2 r3 M N 4 T [ ] 2 2 r4 M N 3 T [ ] 2
单辉祖:材料力学教程
15
例 题
例10-3 图示钢质传动轴，Fy = 3.64 kN, Fz= 10 kN, F’z =1.82 kN, F’y = 5 kN, D1 = 0.2 m, D2 = 0.4 m, [] = 100 MPa, 轴径 d=52 mm, 试按第四强度理论校核轴的强度
③ 将所得结果叠加，即得杆件组合变形时的应力。
单辉祖:材料力学教程 5
§2 弯拉（压）组合 §3 偏心压缩
弯拉（压）组合 例题
偏心压缩
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6
弯拉（压）组合
产生弯曲与轴向拉压的组合变形的情况：
杆上除作用有横向力外，同时还作用有轴向力； 外力作用线虽然平行于杆轴，但不通过截面形心。
max
8.66 103 N 8.27 103 N m 111.5MPa [ ] 3 2 5 3 1.8110 m 7.75 10 m
9
单辉祖:材料力学教程
例10-2 图中所示结构，承受载荷F=12kN作用。横梁AC用 No14工字钢制成，许用应力[σ]=160MPa，试校核其强度。
2 2 M T r3 [ ] W

2 2 r4 M 3 T [ ]
2 2 M 0 . 75 T r4 [ ] W 单辉祖:材料力学教程
14
弯拉(压)扭组合强度计算
弯拉扭组合 危险截面－截面A 危 险 点－ a
a M N M
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解：1. 外力分析
F' y D2 Fz D1 M1 M2 1 kN m 2 2
16
2. 内力分析 M1 , M2 T 图 Fy , F’y Mz 图
Fz , F’z My 图
2 M My M z2
max M
W
BC段 M 图－ 凹曲线
max, B

FNB A M B Wz

M B Wz

21.8kN 9.82kN m 106.4MPa [ ] 3 2 5 3 2.15 10 mm 1.02 10 mm
max, B


12kN m 117.6MPa [ ] 5 3 1.02 10 mm
解：1、横梁的外力与内力分析：
T 30.9kN, FAx 21.8kN, FAy 9.82kN
M e (30.9kN) cos 45(100mm) 2180 N m
梁处于轴向载荷和弯矩的共同作用 下，绘制弯矩图与轴力图。
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10
2、横梁的应力与强度校核 AB段受弯拉组合共同作用；BC段受弯曲作用，B截 面为危险截面：
Fx F cos 30 8.66 103 N
Fy F sin 30 5.00 103 N
M e Fx e 1.732 103 N m
梁处于轴向载荷和弯矩 的共同作用下，绘制弯 矩图与轴力图。
单辉祖:材料力学教程 8
2、梁的截面设计
max
强度条件：
Fx M A A Wz
(1.6kN )(0.100m) F 1135 N (0.150m) sin 70
由此得
Fy F cos 70 388N
Fz F sin 70 1067 N
19
单辉祖:材料力学教程
2、内力分析 M1 , M2 T 图 Fy Mz 图
Fz , Fp My 图
2 M My M z2
Fx M A [ ] A Wz
考虑到最大弯曲正应力一般大于轴向拉伸应力，故依照 弯曲强度选择工字型钢
M A 8.27 103 N m 5 3 Wz 5 . 17 10 m 6 [ ] 160 10 Pa
由型钢表中查得，若选取No12.6工字钢，则满足上述条 件，此时截面A的最大正应力为
max M
W
BC段 M 图－ 凹曲线
单辉祖:材料力学教程 20
3. 强度校核 弯扭组合 危险截面－截面C+
M C 214 N m
TC 160 N Байду номын сангаас m
r4
2 2 MC 0 . 75 T C
D
3
d 1 32 D
4

弯扭组合强度计算 弯拉(压)扭组合强度计算 例题
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13
弯扭组合强度计算
弯扭组合 危险截面: 截面A 危险点: a 与 b
W a T T T Wp 2W
a M M
应力状态－单向＋纯剪切 强度条件（塑性材料, 圆截面）
2 2 r3 M 4 T [ ]
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3
组合变形的实例
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4
组合变形问题的求解思路
杆件在组合变形时的应力，可采用叠加原理进行计算： ① 将组合变形分解为若干基本变形的组合； ② 计算杆件相应于每种基本变形的应力；

FN A

T Ip

My Iz
Fs S z ( w) I zb
281MPa [ ]
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21
例 10-5 圆弧形圆截面杆，许用应力为[] ，试按第三强 度理论确定杆径
解：
M1 FRsin
M 2 F BC FR(1 cos )
M M1 FRsin T M 2 FR(1 cos )
M 2 T 2 r3 W 32FR 2(1 cos ) r3 πd 3 90 时， r3 最大
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r3,max
32 2FR [ ] 3 πd
3
d
32 2FR π[ ]
22
§5 矩形截面杆组合变形一般情况
内力分析 应力分析
N M
FN Fez z Fey y A Iy Iz
当偏心距足够小，以致最大弯曲拉应力σM,max>|σN| ，横截 面上各点处均受压；反之，如果偏心距足够大，以致最大 弯曲拉应力σM,max<|σN|，则横截面上部分区域受拉，部分 区域受压。
单辉祖:材料力学教程 12
§4 弯扭与弯拉(压)扭组合
危险点 a, b, c
S一般可
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忽略不计
25
强度条件
a点处
b点处
c点处
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26
本章结束！
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27
第 10 章 组合变形
本章主要研究：
弯扭组合强度计算 弯拉(压)扭组合强度计算 矩形截面杆组合变形
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1
§1 §2 §3 §4 §5
引言 弯拉（压）组合 偏心压缩 弯扭组合与弯拉(压)扭组合 矩形截面杆组合变形一般情况
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2
§1 引 言
组合变形的实例 组合变形问题的求解思路
18
例10-4 图示圆截面轴，在载荷FP与F作用下处于平衡状态。 已知载荷FP=1.6kN，轴的外径D=30mm，内径d=27mm，摇臂 尺寸R1=100mm，R2=150mm，许用应力[σ]=300MPa，试按第 四强度理论校核轴的强度。
解：1、外力分析
M
x
0, FP R1 F sin 70R2 0
单辉祖:材料力学教程 17
3. 强度校核 弯扭组合 危险截面－截面B
M B 1.064 kN m TB 1.0 kN m
2 MB 0.75TB2 r4 W
r4
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2 2 32 M B 0.75TB 99.4 MPa [ ] 3 πd
最大正应力发生在横截面B+，且小于许用应力，故横梁 符合强度要求。
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偏心压缩
杆在作用线平行但偏离杆轴的外力作用下的变形或受力形 式，称为偏心拉伸或偏心压缩。 将偏心压力F平移到形心处， 得附加力偶矩。
M y Fez , M z Fey
在截面上任一点（y,z）处的正应力为：
强度条件
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内力分析
图示钢质曲柄，试分析截面 B 的强度
FSy Fy M z Fy l T Fy a
FN Fx M y Fx a
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24
应力分析
M y , M z , FN
T , FSy
a 点- 最大
b 点- 最大 c 点- 相当大
N M
FN M ( x) y A Iz
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7
例
题
例10-1 图中所示梁，承受载荷F作用。已知载荷F=10kN ，方位角α =30º，梁长l=2m，载荷作用点与梁轴的距离 e=l/10,许用应力[σ ]=160MPa。试选择工字钢型号。 解：1、梁的内力分析：