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代入原方程后，有
4 Ax 3 (12A 3B) x 2 (6B 2C ) x (2C D)
x 3 x 1.
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比较两端 x 同次幂的系数：
4 A 1, 12 A 3 B 0, 6 B 2C 1, 2C D 1.
x
jx jx jx jx e e e e e x [ Pl Pn ] 2 2j Pl Pn ( j ) x Pl Pn ( j ) x ( )e ( )e 2 2j 2 2j
P( x )e
( j ) x
P ( x )e
*
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4 Ai 3B 0 3 A 1
1 4 A ，B i, 3 9
1 4 ( x i)(cos 2 x i sin 2 x) 3 9
1 4 4 1 x cos 2 x sin 2 x ( cos 2 x x sin 2 x)i, 3 9 9 3 1 4 * 所求非齐方程特解为 y x cos 2 x sin 2 x,
,
y x e [Qm e
* k
x
jx
x e [ R ( x ) cosx R ( x ) sinx ],
k
Qm e
jx
]
x
(1) m
( 2) m
(1) ( 2) 其中 Rm ( x ), Rm ( x )是m次多项式，m maxl , n
0 j不是根 k , 1 j是单根
y x Qn ( x),
其中 Qn(x) 与 Pn(x) 是同次多项式， 当原方程 ⑥ 中 y 项的系数 q 0 时， k 取 0；当 q = 0，但 p 0 时， k 取 1；当 p = 0， q = 0 时，k 取 2.
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例5
解
求方程 y - 2y + y = x2 的一个特解.
*
x
3
2.二阶常系数线性非齐次方程的解法
1 自由项 f (x) 为多项式 Pn(x).
设二阶常系数线性非齐次方程为
⑥ 其中 Pn(x) 为 x 的 n 次多项式. 因为方程中 p、q 均为 常数且多项式的导数仍为多项式， 所以可设 ⑥ 式的 特解为 * k y + py + qy = Pn(x),
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比较两端 x 同次幂的系数，有
A 1, 4 A B 0, 2 A 2 B C 0.
解得
A = 1，B = 4，C = 6.
故所求特解为
y* x 2 4 x 6.
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例6
求方程 y + y = x3 – x + 1 的一个特解.
原方程通解为
y C1 cos x C2 sin x cos x ln sec x tan x .
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思考题
写出微分方程 y 4 y 4 y 6 x 2 8e 2 x 的待定特解的形式.
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20
对应齐方通解 Y C1 cos x C2 sin x ,
解
用常数变易法求非齐方程通解
设 y c1 ( x ) cos x c2 ( x ) sin x,
w( x ) 1,
c1 ( x ) sin x ln sec x tan x C1 , c2 ( x ) cos x C 2
原方程通解为 y C1e C 2e
x
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2 是单根，
设 y x( Ax B)e ,
* 2x
于是 y x( x 1)e 2
2x
1 2x x( x 1)e . 2
12
2 2x 例3 写出微分方程 y 4 y 4 y 6 x 8e
二阶常系数非齐次线性微分方程 的特解
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1
y py qy f ( x ) 二阶常系数非齐次线性方程
对应齐次方程 y py qy 0,
通解结构
常见类型
y Y y ,
*
x P ( x ) e cosx, f ( x) Pm ( x)e , m
解得
1 5 A , B 1, C , D 4. 4 2 故所求特解为
5 1 3 2 y x x x x 4 . 2 4
*
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( 3) 若是特征方程的重根，
p q 0,
2
2 p 0,
可设 Q( x ) x Qm ( x ),
例5 求方程 y y x cos 2 x 的通解. 解 对应齐方通解 Y C1 cos x C2 sin x ,
2 ix y y xe ,
作辅助方程
2i 不是特征方程的根 ,
设 y * ( Ax B)e 2ix , 代入辅助方程
1 4 2ix y ( x i)e , 3 9
解 因为自由项 f (x) = x3 – x + 1 是一个 x 的三 次多项式， 且 y 的系数 q = 0， p = 1 0，取 k = 1.
所以设方程的特解为
y* x( Ax 3 Bx 2 Cx D).
则
y* 4 Ax 3 3Bx 2 2Cx D, y* 12Ax 2 6Bx 2C ,
注意 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程.
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例4 求方程 y y 4 sin x 的通解. 解 对应齐方通解 Y C1 cos x C2 sin x ,
jx 作辅助方程 y y 4e ,
i 是单根, 故 y * Axeix ,
2 (1) 若不是特征方程的根， p q 0,
可设 Q( x ) Qm ( x ),
y Qm ( x)e ;
*
x
( 2) 若是特征方程的单根，
2 p q 0,
可设 Q( x ) xQm ( x ),
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2 p 0,
y xQm ( x)e ;
x
A x e , 不是特征方程的根 2 p q A * y xex 是特征方程的单根 2 p A 2 x xe 是特征方程的重根 2
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,
10
例1：求微分方程 y y x 2的通解。
解：r 2 r 0
的待定特解的形式.
解
* y 设 y 4 y 4 y 6 x 的特解为 1
2
设 y 4 y 4 y 8e
2x
* y 的特解为 2
* * * y y 则所求特解为 y 1 2
r 2 4r 4 0
特征根 r1, 2 2
* y2 Dx 2e 2 x（重根）
* y1 Ax 2 Bx C
* 2 2x * 2 y * y1 Dx e . y2 Ax Bx C
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二、 f ( x ) e [ Pl ( x ) cos x Pn ( x ) sin x ] 型
x
f ( x ) e [ Pl cosx Pn sinx ] 利用欧拉公式
( j ) x
,
设 y py qy P ( x )e ( j ) x ,
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y x Qm e
* 1 k
( j ) x
,
14
设 y py qy P ( x )e
( j ) x
,
y1 x Qm e
k
*
( j ) x
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例2 求方程 y 3 y 2 y xe 2 x 的通解. 解
2 r 3r 2 0, 特征方程 r2 2， 特征根 r1 1，
对应齐次方程通解 Y c1e x c2 e 2 x ,
1 A 2 , 代入方程, 得 2 Ax B 2 A x B 1 1 * 2x
因为自由项 f (x) = x2 是 x 的二次多项式，
且 y 的系数 q = 1 0，取 k = 0 . 所以设特解为
y* Ax 2 Bx C ,
则
y* 2 Ax B, y* 2 A,
代入原方程后，有
Ax 2 (4 A B) x (2 A 2B C ) x 2 .
2
y x Qm ( x)e .
* 2
x
综上讨论
设 y * x k e x Qm ( x) ,
0 不是根 k 1 是单根, 2 是重根
注意 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性 微分方程（k是重根次数）.
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特别地 y py qy Ae
x
Pm ( x)e sin x,
x
难点：如何求特解？
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方法：待定系数法.
2
一、f ( x ) e Pm ( x ) 型
x
设非齐方程特解为
y Q ( x )e
*
x
代入原方程
2 Q ( x ) ( 2 p)Q ( x ) ( p q )Q( x ) Pm ( x )
代入上式
2 Ai 4, A 2i,
*
y * 2ixe jx 2 x sin x (2 x cos x)i,
