高考数学 房山区2015年高三第一次模拟试题(理)

2015届高三理科数学高考模拟题一一、选择题：本大题共10个小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的． 1、若复数满足：，则的虚部为（ C ）A. B. 1C.D.2、已知，，则使成立的一个充分不必要条件是（ A ） A ．B ．C ．D ．3. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n，且，则=（ C ）4、将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，所得函数图像的一个对称中心是（ D ）A. B. C. D.5、下列四个命题中：①设有一个回归方程y=2－3x ，变量x 增加一个单位时，y 平均增加3个单位； ②命题P:“”的否定；③设随机变量X 服从正态分布N （0，1），若P （X ＞1）=p ，则P （-l ＜X ＜0）；④在一个2×2列联表中，由计算得K 2=6．679，则有99%的把握确认这两个变量间有关系．其中正确的命题的个数有（ C） 本题可以参考独立性检验临界值表：A．1个 B．2个C．3个D．4个6. 设抛物线x2=8y的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的倾斜角等于60°，那么|PF|等于（C ）2D7. 执行如图所示的程序图，若任意输入区间[1，19]中实数x，则输出x大于49的概率为（C ）．．图中圆内有一个以圆心为中心边长为1的正方形．则这个四面体的外接球的表面积是( B ) A．B．C．D．9. 已知点（a，b）在圆x2+y2=1上，则函数的最小正周期和最小值分别为（）10、已知函数，若方程有四个不同的解，，，，且，则的取值范围是（ B ）A. B. C. D.二、填空题：（选做题）11.如图所示，已知与⊙相切，为切点，过点的割线交圆于两点，弦，相交于点，为上一点，且．若，则的长为．12．坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为参数).以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.射线与圆C的交点为O、P两点，则P点的极坐标为.13．设函数.则的最大值是 2 ；（必做题）14．已知实数x，y满足，则的最大值为．15．如图所示，在圆中，与是夹角为的两条直径，分别是圆与直径上的动点，若，则的取值范围是________．16、已知数列{}通项公式为＝－n＋p，数列{}通项公式为＝，设＝若在数列{}中，＞（n∈N﹡,n≠8），则实数p的取值范围是_______.三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）某数学老师对本校2013届高三学生的高考数学成绩按1:200进行分层抽样抽取了20名学生的成绩，并用茎叶图记录分数如图所示，但部分数据不小心丢失，同时得到如下所[50,70这次考试全校学生数学成绩的及格率（分数在[90,150）内为及格）：（2）从成绩在[100,130)范围内的学生中随机选4人，设其中成绩在[100,110)内的人数为X，求X的分布列及数学期望.解析：（1）由茎叶图可知分数在[50,70)范围内的有2人，在[110,130) 范围内的有3人，∴a=b=3；分数在[70,90)内的人数20×0.25=5，结合茎叶图可得分数在[70,80)内的人数为2，所以分数在[90,100)范围内的学生人数为4，故数学成绩及格的学生为13人，所以估计这次考试全校学生数学成绩的及格率为×100%=65%.（2）由茎叶图可知分数在[100,130)范围内的有7人，分数在[100,110)范围内的有4人，则随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.相应的概率为：P(X=1)==；P(X=2)==；P(X=3)==；P(X=4)==.随机变量X的分布列为X 1 2 3 4PE(X)=1×+2×+3×+4×=18．（本小题满分12分）已知.（1）若，方程有且仅有一解，求的取值范围；（2）设的内角的对应边分别是，且，若，求的取值范围.解.（1）依题意可得................................3分∵，∴，...........6分（2）由得................................8分................10分故..................12分19. (本小题满分12分)如图，在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，AE⊥平面CDE，已知AE=DE=2，F为线段DE的中点．（Ⅰ）求证：BE∥平面ACF；（Ⅱ）求二面角C﹣BF﹣E的平面角的余弦值．解析：（Ⅰ）证明：连结BD和AC交于O，连结OF，…（1分）∵ABCD为正方形，∴O为BD中点，∵F为DE中点，∴OF∥BE，…（3分）∵BE⊄平面ACF，OF⊂平面ACF，∴BE∥平面ACF．…（4分）（Ⅱ）（理科）解：∵AE⊥平面CDE，CD⊂平面CDE，∴AE⊥CD，∵ABCD为正方形，∴CD⊥AD，∵AE∩AD=A，AD，AE⊂平面DAE，∴CD⊥平面DAE，∵DE⊂平面DAE，∴CD⊥DE…（6分）∴以D为原点，以DE为x轴建立如图所示的坐标系，则E（2，0，0），F（1，0，0），A（2，0，2），D（0，0，0）∵AE⊥平面CDE，DE⊂平面CDE，∴AE⊥DE，∵AE=DE=2，∴，∵ABCD为正方形，∴，∴，由ABCD为正方形可得：，∴设平面BEF的法向量为，，由，令y1=1，则∴…（8分）设平面BCF的法向量为，，由，令y2=1，则，，∴…（10分）设二面角C﹣BF﹣E的平面角的大小为θ，则=∴二面角C﹣BF﹣E的平面角的余弦值为…（12分）20. (本小题满分13分)设各项均为正数的数列的前n项和为，已知，数列是公差为的等差数列.（1）求数列的通项公式（用表示）；（2）设为实数，对满足的任意正整数，不等式都成立. 求证：的最大值为.（1）由题意知：，，化简，得：，当时，，适合情形。

2015年北京市房山区高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项，直接涂在答题卡上．1. 已知集合M ＝{x ∈R|x 2−x ＝0}，N ＝{x|x ＝2n +1, n ∈Z}，则M ∩N 为（ ） A {0} B {0, 1} C {1} D ⌀2. 双曲线x 2−my 2＝1的实轴长是虚轴长的2倍，则m ＝（ ） A 4 B 2 C 12 D 143. 设变量x ，y 满足约束条件{y ≤x ，x +y ≥2，y ≥3x −6，则目标函数z =2x +y 的最小值为( ）A 2B 3C 4D 94. 从5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、英语竞赛，其中学生甲不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案种数为（ ） A 24 B 48 C 72 D 1205. 已知二次函数f(x)＝ax 2+bx ，则“f(2)≥0”是“函数f(x)在(1, +∞)上为增函数”的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 6. 一个棱长为2的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三视图如图示，则该几何体的体积为（ ）A 7B 223C 476D 2337. 向量a →=(2, 0)，b →=(x, y)，若b →与b →−a →的夹角等于π6，则|b →|的最大值为（ ）A 4B 2√3C 2 D4√338. 一个人骑车以6米/秒的速度匀速追赶停在交通信号灯前的汽车，当他离汽车25米时，交通信号灯由红变绿，汽车开始做变速直线行驶（汽车与人的前进方向相同），若汽车在时刻t 的速度v(t)＝t 米/秒，那么此人（ ）A 可在7秒内追上汽车B 不能追上汽车，但其间最近距离为16米C 不能追上汽车，但其间最近距离为14米D 不能追上汽车，但其间最近距离为7米二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡指定位置．9. 已知复数z满足(1+i)z＝1−i，则复数z＝________．10. 执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出的s的值为________．11. 如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个边长为2的大正方形，，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在若直角三角形中较小的锐角θ=π6小正方形内概率是________．12. 如图所示，⊙O的割线PAB交⊙O于A、B两点，割线PCD经过圆心O，已知PA＝6，AB=22，PO＝12，则⊙O的半径是________．313. 已知直线l过点P(3, 2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点，则△OAB面积的最小值为________，此时，直线l的方程为________．14. 已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，对∀x∈R，都有f(x+4)＝f(x)+f(2)成立．当x1，x2∈[0, 2]，且x1≠x2时，都有f(x1)−f(x2)<0，给出下列命题：x1−x2（1）f(2)＝0；（2）直线x＝−4是函数y＝f(x)图象的一条对称轴；（3）函数y＝f(x)在[−4, 4]上有四个零点；（4）f(2015)＝f(1)．其中所有正确命题的序号为________．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. 已知函数f(x)=sin(2x−π)+2cos2x−1(x∈R)．6(Ⅰ)求f(x)的单调递增区间；(Ⅱ)在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知f(A)=1，且△ABC外接2圆的半径为√3，求a的值．16. 为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3，其中第2小组的频数为12．(1)求该校报考飞行员的总人数；(2)以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的同学中（人数很多）任选二人，设X表示体重超过60公斤的学生人数，求X的分布列和数学期望．17. 在如图所示的多面体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC＝BC＝BD ＝2AE＝2，M是AB的中点．(Ⅰ)求证：CM⊥EM；(Ⅱ)求平面EMC与平面BCD所成的锐二面角的余弦值；(Ⅲ)在棱DC上是否存在一点N，使得直线MN与平面EMC所成的角为60∘．若存在，指出点N的位置；若不存在，请说明理由．ax2+x−ln(1+x)，其中a>0．18. 已知f(x)=−12(Ⅰ)若函数f(x)在点（3, f(3)）处切线斜率为0，求a的值；(Ⅱ)求f(x)的单调区间；(Ⅲ)若f(x)在[0, +∞)上的最大值是0，求a的取值范围．19. 动点P(x, y)到定点F(1, 0)的距离与它到定直线l:x＝4的距离之比为1．2(Ⅰ)求动点P的轨迹C的方程；(Ⅱ)已知定点A(−2, 0)，B(2, 0)，动点Q(4, t)在直线l上，作直线AQ与轨迹C的另一个交点为M，作直线BQ与轨迹C的另一个交点为N，证明：M，N，F三点共线．20. 下表给出一个“等差数阵”：ij(Ⅰ)写出a45的值；(Ⅱ)写出a ij的计算公式；(Ⅲ)证明：正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积．2015年北京市房山区高考数学一模试卷（理科）答案1. C2. A3. B4. C5. B6. D7. A8. D9. −i10. 811. 1−√3212. 813. 12,2x+3y−12＝014. ＝f(x)+f（成立当x＝−2，可得f(−＝0，又∵ 函数y＝f(x)是R上的偶函数∴ f(−①②④15. （本小题共1（1）∵ f(x)=sin(2x−π6)+2cos2x−1=√32sin2x−12cos2x+cos2x⋯=√32sin2x+12cos2x=sin(2x+π6)⋯由−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ(k∈Z)得，−π3+kπ≤x≤π6+kπ(k∈Z)∴ f(x)的单调递增区间是[−π3+kπ,π6+kπ](k∈Z)（2）∵ f(A)=sin(2A +π6)=12，0<A <π，π6<2A +π6<2π+π6，于是2A +π6=5π6，∴ A =π3⋯∵ △ABC 外接圆的半径为√3，由正弦定理asinA =2R ，得a =2RsinA =2√3×√32=3，16. 解：(1)设该校报考飞行员的人数为n ，前三小组的频率分别为p 1，p 2，p 3，则由题意可知{p 2=2p 1，p 3=3p 1，p 1+p 2+p 3+(0.0375+0.0125)×5=1，解得p 1=0.125，p 2=0.25，p 3=0.375． 又因为p 2=0.25=12n，故n =48．(2)由(1)可得，一个报考学生体重超过60公斤的概率为p =p 3+(0.0375+0.0125)×5=58．所以X 服从二项分布，P(X =k)=C 2k(58)k ⋅(38)2−k ，k =0，1，2，∴ 随机变量X 的分布列为：则E(X)=2×58=54.17. （本小题共1(I)证明：∵ AC ＝BC ，M 是AB 的中点∴ CM ⊥AB ．又EA ⊥平面ABC ，CM ⊥EA ．∵ EA ∩AB ＝A∴ CM ⊥平面AEM ∴ CM ⊥EM（2）以M 为原点，分别以MB ，MC 为x ，y 轴，如图建立坐标系M −xyz ， 则M(0,0,0),C(0,√2,0),B(√2,0,0),D(√2,0,2),E(−√2,0,1)ME →=(−√2.0.1),MC →=(0,√2,0),BD →=(0,0,2),BC →=(−√2,√2,0)设平面EMC 的一个法向量m →=(x 1,y 1,z 1)，则{−√2x 1+z 1=0√2y 1=0取x 1=1,y 1=0,z 1=√2所以m →=(1,0,√2)设平面DBC 的一个法向量n →=(x 2,y 2,z 2)，则{−√2x 2+√2y 2=02y 2=0取x 1＝1，y 1＝1，z 1＝0，所以n →=(1,1.0)cos⟨m →,n →>=m →⋅n→|m →||n →|=√2×√3=√66所以平面EMC 与平面BCD 所成的锐二面角的余弦值√66． (Ⅲ)在棱DC 上存在一点N ，设N(x, y, z)且DN →=λDC →，0≤λ≤1， x =√2−√2λ,y =√2λ,z =2−2λ， MN →=(√2−√2λ,√2λ,2−2λ)若直线MN 与平面EMC 所成的角为60∘，则cos⟨MN →,m →>=√2−√2λ+√2(2−2λ)√3√2(1−λ)2+2λ2+4(1−λ)2=sin60=√32解得：λ=12，所以符合条件的点N 存在，为棱DC 的中点． 18. （本小题共1 （1）由题意得f′(x)=−ax 2−(a−1)xx+1，x ∈(−1, +∞)，由f′(3)＝0⇒a =14．（2）令f′(x)＝0⇒x 1＝0，x 2=1a −1，①当0<a <1时，x 1<x 2， f(x)与f′(x)的变化情况如下表∴ f(x)的单调递增区间是(0, 1a −1)，f(x)的单调递减区间是(−1, 0)和(1a −1, +∞)；②当a ＝1时，f(x)的单调递减区间是(−1, +∞)； ③当a >1时，−1<x 2<0 f(x)与f′(x)的变化情况如下表∴ f(x)的单调递增区间是(1a −1, 0)，f(x)的单调递减区间是(−1, 1a−1)和(0, +∞)．综上，当0<a<1时，f(x)的单调递增区间是(0, 1a−1)．f(x)的单调递减区间是(−1, 0)，(1a−1, +∞)，当a>1，f(x)的单调递增区间是(1a−1, 0)．f(x)的单调递减区间是(−1, 1a−1)，(0, +∞)．当a＝1时，f(x)的单调递减区间为(−1, +∞)．(Ⅲ)由(Ⅱ)可知当0<a<1时，f(x)在(0, +∞)的最大值是f(1a−1)，但f(1a−1)>f(0)＝0，所以0<a<1不合题意，当a≥1时，f(x)在(0, +∞)上单调递减，由f(x)≤f(0)可得f(x)在[0, +∞)上的最大值为f(0)＝0，符合题意，∴ f(x)在[0, +∞)上的最大值为0时，a的取值范围是a≥(1)19. （本小题共1（1）由题意动点P(x, y)到定点F(1, 0)的距离与它到定直线l:x＝4的距离之比为12，得√(x−1)2+y2|x−4|=12，化简并整理，得x 24+y23=1．所以动点P(x, y)的轨迹C的方程为椭圆x 24+y23=1．（2）当t＝0时，点M与B重合，点N与A重合，M，N，F三点共线．当t≠0时根据题意：QA:y=t6(x+2),QB:y=t2(x−2)由{x24+y23=1y=t6(x+2)消元得：3x2+t29(x+2)2−12=0整理得：(t2+27)x2+4t2x+4t2−108＝0该方程有一根为x＝−2，另一根为x M，根据韦达定理，−2x M=4t2−108t2+27,x M=54−2t2t2+27由{x24+y23=1y=t2(x−2)消元得：3x2+t2(x−2)2−12＝0整理得：(t2+3)x2−4t2x+4t2−12＝0该方程有一根为x＝2，另一根为x N，根据韦达定理，2x N=4t2−12t2+3,x N=2t2−6t2+3当x M＝x N时，由54−2t 2t2+27=2t2−6t2+3得：t2＝9，x M＝x N＝1，M，N，F三点共线；当x M≠x N时，y M=t6(x M+2)=18tt2+27，y N=t2(x N−2)=−6tt2+3k MF=y Mx M−1=18tt2+2754−2t2t2+27−1=6t 9−t2；k NF=y Nx N−1=−6tt2+32t2−6t2+3−1=6t9−t2k MF＝K NF，M，N，F三点共线．综上，命题恒成立．20. (I)a45＝49．(II)该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：a1j＝4+3(j−1)，第二行是首项为7，公差为5的等差数列：a2j＝7+5(j−1)，第i行是首项为4+3(i−1)，公差为2i+1的等差数列，因此a ij＝4+3(i−1)+(2i+1)(j−1)，＝2ij+i+j＝i(2j+1)+j．(III)必要性：若N在该等差数阵中，则存在正整数i，j使得N＝i(2j+1)+j，从而2N+1＝2i(2j+1)+2j+1＝(2i+1)(2j+1)，即正整数2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积．充分性：若2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积，由于2N+1是奇数，则它必为两个不是1的奇数之积，即存在正整数k，l，使得2N+1＝(2k+1)(2l+1)，从而N＝k(2l+1)+l＝a kl，可见N在该等差数阵中．综上所述，正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积．。

2015届山东省济宁市曲阜市第一中学高三校模拟考试数学（理）试题注意：本卷共22题，满分150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．集合}{,,,,,U =123456，}{,,S =145,}{,,T =234,则)(T C S U 等于A ．}{,,,1456 B ．}{4C ．}{,15D ．}{,,,,123452．若复数iia 213++（a R ∈，i 为虚数单位）是纯虚数,则实数a 的值为 A ．-6 B ．13 C ．32D ．133．设a ∈R ，则“a ＝-2”是“直线l 1： ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋（a ＋1）y ＋4＝0平行”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．一个几何体的三视图及部分数据如图所示，正视图、侧视图和俯视图都是等腰直角三角形，则该几何体的体积为A ．16B ．13C ．23D ．15．已知,m n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，直线l 满足l m ⊥，l n ⊥，且l α⊄，l β⊄，则A ．//αβ，且//l αB ．αβ⊥，且l β⊥C ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l6．()cos()(,0)f x A x A ωϕω=+>的图象如图所示，为得到()sin()6g x A x πω=-+的图象，可以将)(x f 的图象A ．向右平移65π个单位长度 B ．向右平移125π个单位长度 C ．向左平移65π个单位长度 D ．向左平移125π个单位长度 7．数列{}n a 共有11项，1110,4,a a ==且11(1,2,...,10)k k a a k +-==，则满足该条件的不同数列的个数为A ．100B ．120C ．140D ．1608．若正数,x y 满足2610x xy +-=，则2x y +的最小值是A 22B 2C 3D 239．已知抛物线24y x =，圆22:(1)1F x y -+=，过点F 作直线l ，自上而下顺次与上述两曲线交于点,,,A B C D （如图所示），则AB CD ⋅的值正确的是A ．等于1B ．最小值是1C ．等于4D ．最大值是410．若函数()f x =22(1)()x x ax b -++的图像关于直线x =2对称，则()f x 的最大值是A ．9B ．14C ．15D ．16第Ⅱ卷（非选择题部分 共100分）二、填空题:本大题共7小题，每小题4分，共28分。

第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合2{|}0M x x x ∈-=R ＝，{|}21,N x x n n ==∈Z ＋，则M N 为( )A ．{}0B ．{}0,1C ．{}1D ．φ【答案】C 【解析】试题分析：由题可知，02=-x x ，解得0=x 或1=x ，即集合}1,0{=M ，当Z n ∈时，集合}3,1,1{ -=N ，因此}1{=N M ； 考点：集合的运算2.．双曲线221x my -=的实轴长是虚轴长的2倍，则m =（ ）A ．4B ．2C ．12D ．14【答案】A 【解析】试题分析：由题可知，双曲线的实轴长是虚轴长的2倍，则有b a 2=，于是224b a =，在双曲线221x my -=中，12=a ，mb 12=，即m 41=，1=m ；考点：双曲线的性质3.设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≥+≤632x y y x xy ，则目标函数y x z +=2的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．9【答案】B 【解析】试题分析：由题可知，根据y x 、的约束条件，作出可行域，则目标函数在点（1,1）处取得4.从5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、英语竞赛，其中学生甲不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案种数为（ ）A ．24B ．48C ．72D ． 120【答案】C 【解析】试题分析：由题可知，从5名学生中选取4人，分为两种情况，第一种甲被选中，第二种甲不被选中，当甲被选中时，参赛方案为48331213=⋅⋅A C C 种，当甲未被选中时，参赛方案为244444=⋅A C 种，因此参赛方案一共有722448=+种；考点：排列组合的实际应用5.已知二次函数2()f x ax bx =+，则“0)2(≥f ”是“函数)(x f 在），（∞+1上为增函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】试题分析：由题可知，024)2(≥+=b a f ，即b a -≥2，因为1222=≤-aaa b ，即二次函数对称轴小于等于1，因此函数)(x f 在），（∞+1上递增或是递减；而函数)(x f 在），（∞+1上为增函数，则有0>a ，12≤-ab，即a b 2≤-，02224)2(=+-≥+=b b b a f ；因此“0)2(≥f ”是“函数)(x f 在），（∞+1上为增函数”的必要不充分条件；考点：二次函数的图像与性质6.一个棱长为2的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．7B ．223 C ．476D ．233【答案】D 【解析】试题分析：由三视图可知，此几何体是在正方体的两端分别截取两个三棱锥， 每个三棱锥的体积为61111213131=⨯⨯⨯⨯=⋅⋅=h s V ，因此此几何体的体积 32361223=⨯-=V ； 考点：几何体的三视图7.向量(2,0)a =，(,)b x y =，若b 与b a -的夹角等于6π，则b 的最大值为（ ） A ．4 B．C ．2D【答案】A 【解析】试题分析:由题可知，作以向量a ，b ，a b -为三边的三角形，于是︒=∠30A ，由正弦定理可知，Bsin ||30sin ||=︒，由于向量(2,0)a =，(,)b x y =，因此24||==，22x ||y +=，即B sin 4||=，因为1sin 0≤≤B ，故b 的最大值为4；考点：三角形正弦定理8.一个人骑车以6米/秒的速度匀速追赶停在交通信号灯前的汽车,当他离汽车25米时，交通信号灯由红变绿,汽车开始做变速直线行驶(汽车与人的前进方向相同),若汽车在时刻t 的速度()v t t =米/秒，那么此人（ ）A ．可在7秒内追上汽车B ．不能追上汽车,但其间最近距离为16米C ．不能追上汽车,但其间最近距离为14米D ．不能追上汽车,但其间最近距离为7米【答案】D 【解析】试题分析：由题可知，汽车在时刻t 的速度为v （t ）=t 米/秒，所以加速度1)(==tt v a M/S ，由此判断为匀加速运动，再设人于x 秒追上汽车，有221256ax x =-，解得0<∆，方程无解，因此不能追上汽车，此一元二次方程，最小值为742=-ac b ，故最近距离为7米。

房山区2015年高三第一次模拟试题2015房山一模数学(文科)考生1. 须知 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150分,考试时间为120分钟 。

2. 第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题直接写在答题卡上的指定位置，在试卷上作答无效。

3. 考试结束后，将答题卡交回，试卷按学校要求自己保存好。

第I 卷 选择题（共40分）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项,直接涂在答题卡上.1．已知全集{12345}U =，，，，，集合{12}{23}A B ==，，，，则)(A C U B =（ ） A ．}3{B ．{45}，C ．{123}，，D ．{2345}，，， 2．双曲线22194x y -=的渐近线方程是( )A ．23y x =±B ．49y x =±C ．32y x =±D ．94y x =±3．一个空间几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）A ．43B ．83C ．4D ．84．设a ∈R ,则 “1a =”是“直线10ax y +-=与直线50x ay ++=平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ． 必要不充分条件 C . 充要条件D ． 既不充分也不必要条件5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且1a =，45B =︒，2ABC S =△，则 b 等于 ( )俯视图侧视图正视图A ．B ．5C ．41D ．256．在同一个坐标系中画出函数sin x y a y ax ==与的部分图象，其中01a a >≠且，则下列所给图象中可能正确的是（ ）7．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，12n n S a +=，则n S =（ ） A ．12-nB ．1)23(-nC ．1)32(-n D ．121-n8．一个人骑车以6米/秒的速度匀速追赶停在交通信号灯前的汽车,当他离汽车25米时，交通信号灯由红变绿,汽车开始做变速直线行驶(汽车与人的前进方向相同),若汽车在时刻t 的速度()v t t =米/秒，那么此人（ ）A ．可在7秒内追上汽车B ．不能追上汽车,但其间最近距离为16米C ．不能追上汽车,但其间最近距离为14米D ．不能追上汽车,但其间最近距离为7米第II 卷 非选择题(共110分）二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卡指定位置.9. 若复数(1)(2)z m m i =-+-，（m ∈R ）是纯虚数，复数z 在复平面内对应的点的坐标为_____． 10．连续抛两枚骰子分别得到的点数是a ，b ，设向量(,)m a b =， 向量(1,1)n =-，则m n ⊥的概率是_____．11．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值为_____．12．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>-≤=,0,31,0,)21()(x x x x f x则=-))1((f f ____；若)5()32(2a f a f >-，则实数a 的取值范围是_____．13．已知命题2:,p x x ax a ∃∈++R ＜0.若p ⌝是真命题，则实数a 的取值范围是_____． 14. 实数,x y 满足320x y x y +≥⎧⎨-≤⎩，若(x 2)y k ≥+恒成立，则实数k 的最大值是_____．三、解答题：本大题共6小题,共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）已知数列{}n a 中，点),(1+n n a a 在直线2+=x y 上，且首项1a 是方程01432=+-x x 的整数解.（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）数列}{n a 的前n 项和为n S ，等比数列}{n b 中，11a b =，22a b =，数列}{n b 的前n 项和为n T ，当n n S T ≤时，请直接写出n 的值.16.（本小题共13分）已知函数)2||,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f 的图象的一部分如图所示．（Ⅰ）求函数)(x f 的解析式；（Ⅱ）当1[6,]3x ∈--时，求函数()y f x =的最大值与最小值及相应的x 的值．17.（本小题共13分）教育资源的不均衡是促进“择校热”的主要因素之一，“择校热”也是教育行政部门一直着力解决的问题。

2015高考数学模拟试卷及答案解析（理科）本试卷满分150分，考试时间120分钟一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．复数321i i -（i 为虚数单位）的虚部是A ．15iB ．15C ．15i -D ．15-2．设全集U=R ，A={x|2x （x-2）<1}，B={x|y=1n （l －x ）}，则右图中阴影部分表示的集合为 A ．{x |x≥1} B ．{x |x≤1} C ．{x|0<x≤1} D ．{x |1≤x<2}3．等比数列{a n }的各项均为正数，且564718a a a a +=，则log 3 a 1+log 3a 2+…+log 3 a l0= A ．12 B ．10C ．8D ．2+log 3 54．若x=6π是f （x ）=3sin x ω+cos x ω的图象的一条对称轴，则ω可以是 A ．4 B ．8 C ．2 D ．15．己知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 A ．233π+ B ．2323π+ C ．232π+ D ．23π+6．我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有’5架舰载机准备着舰．如果甲乙2机必须相邻着舰，而丙丁不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有（ ）种 A ．12 B ．18 C ．24 D ．487．已知M=3(,)|3,{(,)|20}2y x y N x y ax y a x -⎧⎫==++=⎨⎬-⎩⎭且M N =∅I ，则a= A ．-6或-2 B ．-6 C ．2或-6 D ．-28．某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过1%．己知在过滤过程中废气中的污染物数量尸（单位：毫克／升）与过滤时间t （单位：小时）之间的函数关系为：P= P 0e －kt ，（k ，P 0均为正的常数）．若在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%．那么，至少还需（ ）时间过滤才可以排放．A ．12小时 B ．59小时 c ．5小时 D ．10小时9．己知抛物线22(0)y px p =>的焦点F 恰好是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，且两条曲线的交点的连线过点F ，则该双曲线的离心率为 A ．2+1B ．2C ．2D ．2－110．实数a i （i =1,2,3,4,5,6）满足（a 2－a 1）2+（a 3－a 2）2+（a 4－a 3）2+（a 5－a 4）2+（a 6－a 5）2=1则（a 5+a 6）－（a 1+a 4）的最大值为A ．3B ．22C ．6D ．1二、填空题（本大题共6小题，考生共需作答5小题．每小题5分，共25分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．）（一）必考题．（11－14题） 11．己知0(sin cos )xa t t dt =+⎰，则（1x ax-）6的展开式中的常数项为 。

最新整理房山区2015年高三第一次模拟试题高三数学(理科) 参考答案一、选择题（每题5分，共40分）二、填空题（每题5分，共30分） 9．i -; 10. 8; 11. 1-; 12. 8 ； 13. ,1201232=-+y x ; 14. （1）（2）（4）三、解答题（写出必要的文字说明，计算或证明过程。

共80分） 15． （本小题共13分）解：（Ⅰ）∵x x x x x x f 2cos 2cos 212sin 231cos 2)62sin()(2+-=-+-=π ………………2分x x 2cos 212sin 23+==)62sin(π+x ………………3分 由∈+≤+≤+-k k x k (226222πππππZ )得，∈+≤≤+-k k x k (63ππππZ ) 5分∴)(x f 的单调递增区间是∈++-k k k ](6,3[ππππZ ) ………………7分（Ⅱ）∵21)62sin()(=+=πA A f ，π<<A 0，62626ππππ+<+<A 于是6562ππ=+A ∴ 3π=A ………………10分∵ABC ∆ 由正弦定理2sin aR A=，得 2sin 3a R A ===， ………………13分 16．（本小题共13分）解：（I ）设报考飞行员的人数为n ,前三小组的频率分别为321,,p p p ，则由条件可得：213112323(0.0370.013)51p p p p p p p =⎧⎪=⎨⎪++++⨯=⎩最新整理解得，1230.125,0.25,0.375.p p p === 又因为2120.25,p n==故n 48= ………………5分 (II)由（I ）可得，一个报考学生体重超过60公斤的概率为35(0.0370.013)5,8p p =++⨯=服从二项分布故X ，()kk k C k X P -⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==338385∴随机变量X 的分布列为：则815512125351222525121351512270=⨯+⨯+⨯+⨯=EX ，或815853=⨯==np EX ． ………………13分17．（本小题共14分）（I ）证明： ,AC BC M =Q 是AB 的中点CM AB ∴⊥． 又ΘEA ⊥平面ABC ，CM EA ⊥．EAAB A CM =∴⊥Q I 平面AEM∴EM CM ⊥ ………………4分（Ⅱ）以M 为原点，分别以MB ,MC 为x ，y 轴，如图建立坐标系M xyz -， 则(0,0,0),2),(M C B D E -((0,0,2),(ME MC BD BC=-===-u u u r u u u u r u u ur u u u r设平面EMC 的一个法向量111(,,)m x y z =u r，则1110z ⎧+=⎪=取1111,0,x y z ===m =u r设平面DBC 的一个法向量222(,,)n x y z r =，则222020y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩取1111,1,0x y z ===，所以(1,1.0)n =r66321=⨯==最新整理所以平面EMC 与平面BCD所成的锐二面角的余弦值6………………9分 （Ⅲ）设(,,)N x y z 且DN DC λ=u u u r u u u r,01λ≤≤,2)(2),,,22x y z x y z λλ∴--=-===-（,22)MN λ=-u u u u r若直线MN 与平面EMC 所成的角为060，则()()()2360sin 142123222220222==-++--+-=λλλλλ 解得：12λ=，所以符合条件的点N 存在，为棱DC 的中点. ………………14分 18．（本小题共13分）解：(Ⅰ)由题意得f ′(x )＝－ax 2－(a －1)xx ＋1，x ∈(－1，＋∞)，由f ′(3)＝0⇒a ＝14． ………………3分 (Ⅱ)令f ′(x )＝0⇒x 1＝0，x 2＝1a －1， ①当0<a <1时，x 1<x 2，f (x )与f ′(x )的变化情况如下表∴f (x )的单调递增区间是(0，1a －1)，f (x )的单调递减区间是(－1,0)和(1a －1，＋∞)； ②当a ＝1时，f (x )的单调递减区间是(－1，＋∞)； ③当a >1时，－1<x 2<0最新整理f (x )与f ′(x )的变化情况如下表∴f (x )的单调递增区间是(1a －1,0)，f (x )的单调递减区间是(－1，1a －1)和(0，＋∞)． 综上，当0<a <1时，f (x )的单调递增区间是(0，1a －1)． f (x )的单调递减区间是(－1,0)，(1a －1，＋∞)， 当a >1，f (x )的单调递增区间是(1a －1,0)． f (x )的单调递减区间是(－1，1a －1)，(0，＋∞)．当a ＝1时，f (x )的单调递减区间为(－1，＋∞)． ………………9分 (Ⅲ)由(Ⅱ)可知当0<a <1时，f (x )在(0，＋∞)的最大值是f (1a －1)， 但f (1a －1)>f (0)＝0，所以0<a <1不合题意， 当a ≥1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减，由f (x )≤f (0)可得f (x )在[0，＋∞)上的最大值为f (0)＝0，符合题意，∴f (x )在[0，＋∞)上的最大值为0时，a 的取值范围是a ≥1． ………………13分 19．（本小题共14分）解： (Ⅰ)由题意得21|4|)1(22=-+-x y x ， ………………2分化简并整理，得 13422=+y x .最新整理所以动点),(y x P 的轨迹C 的方程为椭圆13422=+y x . ………………5分 （Ⅱ）当0=t 时，点B M 与重合，点A N 与重合，,,M N F 三点共线. ………7分当0≠t 时根据题意：:(2),:(2)62tt QA y x QB y x =+=-由()2214326x y t y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消元得：2223(2)1209t x x ++-=整理得：2222(27)441080t x t x t +++-=该方程有一根为2,x =-另一根为M x ,根据韦达定理，222241085422,2727M M t t x x t t ---==++由()2214322x y t y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 消元得：2223(2)120x t x +--= 整理得：2222(3)44120t x t x t +-+-=该方程有一根为2,x =另一根为N x ,根据韦达定理，2222412262,33N N t t x x t t --==++当M N x x =时，由222254226273t t t t --=++得：29,t =1M N x x ==，,,M N F 三点共线；当M N x x ¹时，218(2)627M M t t y x t =+=+，26(2)23N N t ty x t -=-=+最新整理22221862754219127M MFM t y t t k t x t t +===----+；2222663261913N NFN t y t t k t x t t -+===----+ NF MF K k ，,,M N F 三点共线.综上，命题恒成立. ………………14分 20．（本小题共13分）（I ）解：a 45=49. ………………3分（II ）解：该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：a 1j =4+3（j －1），第二行是首项为7，公差为5的等差数列：a 2j =7+5（j －1），……第i 行是首项为4+3（i －1），公差为2i +1的等差数列，因此a ij =4+3（i －1）+（2i +1）（j －1）=2ij +i +j =i （2j +1）+j . ………………7分 （III ）证明：必要性：若N 在该等差数阵中，则存在正整数i 、j 使得N =i （2j +1）+j ， 从而2N +1=2i （2j +1）+2j +1=（2i +1）（2j +1）， 即正整数2N +1可以分解成两个不是1的正整数之积.充分性：若2N +1可以分解成两个不是1的正整数之积，由于2N +1是奇数，则它必为两个不是1的奇数之积，即存在正整数k 、l ，使得2N +1=（2k +1）（2l +1），从而N =k （2l +1）+l =a kl ， 可见N 在该等差数阵中.综上所述，正整数N 在该等差数阵中的充要条件是2N +1可以分解成两个不是1的正整数之积 ………………13分。

房山区2018年高考第一次模拟测试一试卷数学（理）本试卷共 5 页， 150 分。

考试时长 120 分钟。

考生务势必答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

第一部分（选择题共 40 分）一、选择题共8 小题，每题 5 分，共 40 分。

在每题列出的四个选项中，选出切合题目要求的一项。

（1）若会合M {1,0,1,2} ， N{ y | y2x1, x M}，则会合M I N等于（A）{ 1,1}（B）{1,2}（C）{1,1,3,5}（D）{ 1,0,1,2}（2）已知复数 z12 i，且复数 z1， z2在复平面内对应的点对于实轴对称，则z1z2（A） 1+i3 4 i34 4 i（B）（） -（D）155C553x y00 ，则y的最大（3）已知实数 x, y 知足条件x y4开始值是x10x（A）1（B） 2 （C） 3（D） 4S=0, k=1k=k+1S=2S+k否（ 4）履行以下图的程序框图，若输出的S 88 ，则判断是框内应填入的条件是（ A）k 4输出 S （B）k 5（C）k6结束（D）k7（5）以下函数中，与函数y x3的单一性和奇偶性同样的函数是（A） y x （B） y ln x（C） y tan x （ D） y e x e x（6）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（A） 8+4 2（B）2+22+43（C）2+63（D）2+42+23（7）“m3m ”是“对于 x 的方程sin x m 无解”的（A）充足不用要条件（ B）必需不充足条件（C）充要条件（ D）既不充足也不用要条件（8）如图，直线 AB 与单位圆相切于点 O ，射线 OP 从 OA 出发，绕着点 O 逆时针旋转，在旋转的过程中，记AOP x (0 x) ，OP经过的单位圆O内地区（暗影部分）的面积为 S ，记S f ( x) ，则以下判断正确的是．．（A）当x3时，S31 442（B）x (0,) 时， f ( x) 为减函数（C）对随意x(0,) ，都有 f (x) f (x)222（D）对随意x(0,) ，都有 f (x) f ( x)222第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分。

1.已知集合A=｛x｜x2＜4｝，B={0，1｝，则正确的是（）A。

B. C。

D。

【答案】C【解析】【分析】求出集合A，对选项做出判断即可得答案．【详解】∵集合A={x｜x2＜4｝={x|-2＜x＜2}，且B=｛0,1｝, ∴A∩B=B正确．故选：C．【点睛】本题考查集合交集运算的应用,属于基础题．2。

执行如图所示的程序图，如果输入,，则输出的的值为A。

7 B. 8 C. 12 D. 16【答案】B【解析】【分析】根据程序框图,依次判断是否满足条件即可得到结论．【详解】若输入a=1，b=2，则第一次不满足条件a＞6，则a=2，第二次不满足条件a＞6，则a=2×2=4，第三次不满足条件a＞6，则a=4×2=8，1.已知集合A=｛x｜x2＜4｝，B={0，1｝，则正确的是（）A。

B. C。

D。

【答案】C【解析】【分析】求出集合A，对选项做出判断即可得答案．【详解】∵集合A={x｜x2＜4｝={x|-2＜x＜2}，且B=｛0,1｝, ∴A∩B=B正确．故选：C．【点睛】本题考查集合交集运算的应用,属于基础题．2。

执行如图所示的程序图，如果输入,，则输出的的值为A。

7 B. 8 C. 12 D. 16【答案】B【解析】【分析】根据程序框图,依次判断是否满足条件即可得到结论．【详解】若输入a=1，b=2，则第一次不满足条件a＞6，则a=2，第二次不满足条件a＞6，则a=2×2=4，第三次不满足条件a＞6，则a=4×2=8，此时满足条件a＞6，输出a=8，故选：B．【点睛】本题主要考查程序框图的识别和运行，依次判断是否满足条件是解决本题的关键，比较基础．3。

在极坐标系中，圆ρ=2cosθ的圆心坐标为（）A。

B。

C。

D.【答案】D【解析】【分析】把圆的极坐标方程转化为直角坐标方程,求出圆心直角坐标即可．【详解】由ρ=2cosθ，得ρ=2ρcosθ,化简为直角坐标方程为：x2+y2-2x=0,即，所以圆心（1，0），即圆心（1，0)的极坐标为（1，0）。

房山区2013年高考第一次模拟试卷数 学 （理科）本试卷共4页，150分。

考试时间长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将答题卡交回。

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.已知全集U =R ，集合2{|1},{|4}M x x N x x =≤=>，则()M C N =RA. (2,1]-B. [2,1]-C. (,1]-∞-D. (,2)-∞- 【答案】B【解析】{22}N x x x =><-或,所以(){22}C N =x x -≤≤R ，所以(){21}M C N =x x -≤≤R ，选B.2.已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和.若19418,7a a a +==，则10S = A. 55 B. 81 C. 90 D. 100 【答案】D【解析】由19418,7a a a +==得11281837a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩，所以101109101002S a d ´=+=，选D. 3.执行如图所示的程序框图．若输出15S =， 则框图中① 处可以填入B. 8n>C. 16n>D. 16n<【答案】B【解析】第一次循环，1,2S n==；第二次循环，123,4S n=+==；第三次循环，347,8S n=+==；第一四次循环，7815,16S n=+==，此时满足条件，输出，所以选B.4.在极坐标系中，圆2sinρθ=的圆心到直线cos2sin10ρθρθ-+=的距离为【答案】A【解析】直线的标准方程为210x y-+=。

由2sinρθ=得22sinρρθ=，即222x y y+=，所以22(1)1x y+-=，所以圆的圆心为(0,1)。

所以圆心到直线的距离为==A.5.下面四个条件中，“函数2()2f x x x m=++存在零点”的必要而不充分的条件是A. 1m ≤-B. 1m ≤C. 2m ≤D. 1m > 【答案】C【解析】函数2()2f x x x m =++存在零点,则440m ∆=-≥，即1m ≤。

英语试题2015.4第一节单项填空（共15小题：每小题1分，共15分）21. --- How do you feel your test?--- Well, I’m not that satisfied, _______ I could have done it much better.A. soB. orC. butD. for22. --- Did you go to the Temple Fair during this spring festival?--- I didn’t. I _______ there many times before.A. wasB. had beenC. has beenD. would be23. --- Do you feel like this movie?--- Not really. Honestly, watching TV at home is more _______ my taste.A. withB. ofC. forD. to24. With China growing stronger, Chinese ______ for learning in more and more foreign schools.A. is requiredB. was requiredC. is requiringD. will be requiring25. “All businesses _______ in illegal production, no matter what kind of business they are, will be brought tojustice and held accountable”, the minister said to the press.A. to involveB. involvingC. involvedD. having involved26. Tom was highly honored for sending an old man to the hospital, _______ leg was badly injured in a trafficaccident.A. whichB. whoC. whereD. whose27. He looks excited. His football team _______ have won the game.A. willB. mustC. shallD. should28. ______ London many times, he has a good knowledge of the city.A. To have visitedB. VisitedC. Having visitedD. To visit29. Hearing that our class was playing basketball against class 2, the boy had rushed off to the playground_______ I could say anything moreA. althoughB. sinceC. unlessD. before30. _______ made us excited was that Beijing basketball team won the final over Liaoning in CBA this year.A. WhatB. WhichC. ThatD. Who31. People at large do not appreciate what they have until they _______ it.A. have lostB. lostC. had lostD. will lose32. --- Will you be free this time tomorrow?--- I’m afraid not. I _______ an essay that is supposed to be handed in then.A. writeB. am writingC. will be writingD. have been writing33. British business leaders believe _______ China’s economic “new normal” can bring more opportunities forUK companies.A. whatB. thatC. whichD. where34. I wish I _______ my mother’s advice to study hard. But I was too young then.A. would followB. followC. had followedD. have followed35. _______ how human body works, you need to have some knowledge of science.A. To understandB. Having understoodC. UnderstandingD. Understood第二节完形填空（共20小题：每小题1.5分，共30分）Not on the MenuI travel a lot in my work, and one of the things I dislike about this part of my job is eating alone. It always makes me feel __36__ to see others laughing and talking, and sometimes I have the __37__ feeling that I look like I am waiting to be “picked up” by someone. So, my __38__ is to go down to the hotel restaurant the moment itopens, __39__ it is not very crowded then and I don’t feel as uncomfortable.After having room service three nights at Wyndham Hotel, I needed to get out. Although the restaurant opened at 6:30, I arrived at 6:25. The __40__ met me at the front and made a comment about my “really being there early.” I explained my __41__ of eating alone in __42__. He then took me back and seated me at a lovely table. He said, “I wondered if you’d mind if I __43__ down with you for a while.”I was __44__! He sat and talked with me about his career goals, his hobbies, the challenges of balancing a restaurant career with a family… After about 15 minutes, he spotted some customers at the front desk and __45__ himself.As my new friend __46__ to seat the arriving party, another waiter came out of the kitchen and __47__ to my table. He said, “I’m not really busy. Do you mind if I sit down with you for a while?” We had a wonderful __48__, until someone was seated in his station and he needed to excuse himself.Soon after, out cam one of the young busboys. He, too, asked if he could sit down with me for a few minutes. We had great __49__ talking about his experiences. As the restaurant got busier, he finally excused himself to attend to his work. But before I left, even the chef sat with me!When I asked for my __50__, all the people who had sat down with me come over. They __51__ me with a red rose and said, “This was the __52__ night we’ve ever had in our restaurant.” And I __53__! What had begun as a lonely night __54__ as a beautiful experience! At this moment I __55__ what we live for if not to make the world less difficult for each other.36. A. happy B. guilty C. lonely D. excited37. A. strange B. uncomfortable C. boring D. uncertain38. A. strategy B. routine C. regulation D. dream39. A. though B. while C. if D. as40. A. guest B. waiter C. clerk D. secretary41. A. anxiety B. worry C. hope D. dislike42. A. kitchens B. hotels C. restaurants D. halls43. A. sat B. fell C. came D. broke44. A. puzzled B. delighted C. satisfied D. relaxed45. A. dressed B. enjoyed C. excused D. seated46. A. chose B. prepared C. forgot D. proceeded47. A. over B. down C. out D. away48. A. meal B. chat C. goal D. service49. A. ambition B. spirit C. belief D. fun50. A. check B. menu C. order D. dish51. A. forgave B. presented C. helped D. thanked52. A. longest B. busiest C. nicest D. simplest53. A. cried B. understood C. promised D. finished54. A. existed B. arrived C. ended D. appeared55. A. recognized B. believed C. predicted D. realized第三部分：阅读理解（共两节，40分）第一节（共15小题：每小题2分，共30分）APapa’s Straw HatPapa was a ranger. He worked with horses. He always wore clean clothes with a hat even when he worked. His hat was always the same kind of a cowboy hat-large black hat of heavy wool. He wore his hat full and high. Ithink he wanted to look taller than he really was.Mama was proud of the way he looked when he wore his hat and his best cloth. But in some way she got the idea that papa would lose his hair if he kept wearing a heavy wool cowboy hat in the hot weather. She began to talk about his hats.“Papa,” she said one day, “why don’t you get a nice cool straw hat? That heavy wool cowboy hat may cause losing hair!” Papa laughed at her and explained that the horses wouldn’t recognize him if he changed the hat. But she didn’t believe him.Mama talked and talked about the hat all summer long. At last papa answered, a little angry, “It would not the cowboy hat but a wife’s talking about the hat that makes me lose my hair.”Mama had a very serious look on her face. She went straight out and later came home with a straw hat. It was a bad year for ranger and we didn’t have much money. She thought that if she spent the money for a straw hat, papa would wear it. When papa saw the hat, his face got red. Without a word, he pulled the straw hat down over his head until it hid his eyes and went on to train the horses.He was a good ranger and gentle to his horses. But as papa got close to the horses this time, they jumped high into the air, raising their front feet. All of them ran around in the rounded field and then raced toward the barn. Papa began to shout “Woo boys. Steady boys, steady.” But there was nothing equal to.Papa walked back straight to the stove in the kitchen, pushed the straw hat deep down into the fire then turned to mama, in a way that even frightened me. “Now listen to me, mama. Understand this I will never wear a straw hat or any other kind of hat my horses do not like.” Then he put on his wool cowboy hat and walked out of the house.I never heard mama talk anymore about hats. Perhaps, that is why when papa died many years later, there was a round spot on the top of his head where there was no hair.56. According to the passage, a ranger is ________.A. a person wearing a woolen hatB. a position requiring clean clothesC. a person training horses for some purposeD. A person riding a carriage with horses57. Mama bought papa a straw hat because ________.A. most cowboys preferred to wear itB. she was worried about his healthC. a woolen one didn’t suit papaD. it was cheap and she could save money58. What quality can we learn from papa?A. Gentle.B. Patient.C. Committed.D. Modest.59. It can be learned from the story that ________.A. this family were not rich but diligent mamaB. papa didn’t love the straw hat and mamaC. protecting hair was very importantD. a cowboy hat was useful on farmingB1,000-foot water slide come to a city near youDon’t have a pool to go to this summer? Don’t live near a beach? Over the next year, a Salt Lake City-based company will be setting up its 1,000-foot water slide in cities across the USA and Canada.Slide the City is basically one big Slip’N Slide party falling down in the middle of a city street. It will be snaking its way up from Florida beginning on V alentine’s Day (first stop: West Palm Beach) and staying in warm-weather climes through May. Spring destinations include Tallahassee (April 4), Tucson (May 2), Phoenix (Max 16), El Paso (May 23), and Pensacola (May 30).In the summer through early fall, Slide the City will be performing to the coasts and the middle of the country, with stops in mid-size towns and some big cities. Few definitive dates for summer have been announced as of this writing, save for four July 4th events in Wichita, Kansas; Columbia, South Carolina; Boise, Idaho; and St. Louis, Missouri. The Slide the City website claims that it will be in Las Vegas in June and New York City in August. But it also claims that it will be putting on water slide events in Detroit and DC in November. Son youshould probably stay tuned to date changes and announcements if this sounds like something you want to do.Seattle’s Slog is hopeful but rightly skeptical about the prospect of a Slide the City in Seattle. There’s still something strange about this. Where is all this water coming from? And who are these people? The first Slide the City was in Salt Lake City, which is where the company is based. Compare the Latest Price Drops Now Incredible Winter 2015 Offers.If you’re just thinking, “So what? Let me at that 1,000 – foot slip’n slide!” you can pre-register on the Slide the City website, which gets you a wristband, a water gun, and a mouth guard. A single slide ranges between $15-$25, depending on whether you are an early bird register, three rides cost $40; and a VIP package of unlimited rides is $60. There is a charity aspect to this on the registration page, giving organizations a chance to partner with Slide the City and volunteers a chance to help out. The age and height limit, as well as other questions, are answered on the Slide the City FAQ page.60. Slide the City is ________.A. a 1000-foot long water slide in USAB. based on a big party called Slip’N SlideC. a snake shaped enormous water slideD. a fun water slide activity in summer61. If you live in New York, when will you be able to enjoy this water slide events?A. July.B. August.C. April.D. May.62. It can be learned from the last paragraph that ________.A. an early bird ride costs only $40B. volunteers can partner with Slide the CityC. a VIP package of unlimited rides costs $60D. a registrant can get a set of equipmentsCIf you’re middle-aged and miserable, don’t despair: give it a decade or two and you’ll be feeling like a carefree young person again.Researchers have foundout that life satisfaction peaks at 23 and 69. People in their early twenties overestimate their future life satisfaction by an average of around 10 percent, before the disappointments of life kich in.They face decades of declining expectation before hitting their lowest point in their mid-fifties, when regrets over unrealized dreams are at their greatest. Satisfaction levels finally start to rise again after 55 and peak once more at 69, according to a study by the Centre for Economic Performance at the London School of Economics.Those aged 68 underestimate their future happiness by 4.5 percent, meaning they no longer face disappointment, the researchers found. The findings suggest that actresses Emma Watson and Kristen Stewarts, both 23, should enjoy this year. If the research is borne out they will be optimistic but are likely to face disappointment in the next four decades.The CEP paper, to be published this week, is the first to examine how our expectations compare to reality at different life stages.Researcher Hannes Schwandt, 30, analysed happiness levels for 23,161 Germans aged 17 to 85. Dr Schwandt, who is based at Princeton University in the US but is a visiting researcher at the London centre, said: “One theory is that the U-shape is driven by unmet aspirations which are painfully felt in midlife but beneficially abandoned later in life.”“People in their fifties could learn from the elderly, who generally feel less regret. They should try not to be discouraged by their unmet expectations because they are probably not feeling much worse than their peers.”63. The underline word “overestimate” in Paragraph 2 means “_______”.A. value too muchB. appreciate too littleC. ignore too muchD. treasure too little64. Which chart best reflects the views in this passage?65. According to Dr Schwandt, a middle-aged German may ________.A. suffer from unmet aspirations painfullyB. act to be less regretful than the elderlyC. feel happier if he abandoned benefitsD. expect not to be discouraged in the future66. The main purpose of the passage is to ________.A. compare and evaluateB. examine and assessC. argue and discussD. inform and explainDschool (特色学校) because I thought it would improve educational opportunity for our 215, 000 students. The last 20 years make it clear I was wrong. New policy should not build on current unfairness and imperfect assumptions, as the proposed charter law changes would do.Charters do not result in significant improvement in student performance. It has mixed academic results. In some evaluations, charter schools actually perform more poorly than regular public schools.Charter funding is also negatively affecting regular public schools. Charter advocates rely on the pre-condition that as money flows from a regular school to a charter school, the costs of the regular school go down accordingly. But it’s just not true. Costs in schools sending students to charters cannot shift as fast as students and the income of the government leaves. Thus, the remaining children face the possibility of larger class sizes and cuts to central courses.Further, the proposed law also supposes all students cost the same to educate ●Again, not true. It costs more to provide a quality education to some, such as those with severe disabilities, who are rarely served by charter schools, leaving traditional school to bear this cost at the expense of all students.Charters do not serve students with the greatest challenges: Charters will be quick to point out they accept high percentages of low-income students. Some do. However, every student chosen has someone who encouraged and is advocating for her/him to apply and succeed. That fact by itself creates a select pool of students and a loss of those students in non-charter schools.Chartering is not an education reform. It’s merely a change in governance. A charter law doesn’t deal with the hard real reform. We know from research and experience what works to build schools with developing students: High standards; Quality teachers; Prekindergarten for 3 year olds; Lower class sizes through the third grade.Attacking concentrated poverty through community schools; after school programs; more instruction time for students who struggle; home visitation programs; and high quality child care.Let’s do what we know works.67. According to the author, charter schools _______.A. are well worth recommending to the stateB. were founded after research and evaluationsC. have improved student s’ academic performanceD. are built on unfairness and imperfect assumptions68. Charter funding is negatively affecting regular public schools because _______.A. money flows from a regular school to a charter schoolB. costs cannot shift as fast as students and revenue leaveC. the remaining classes are larger and central courses are cutD the costs of the regular school go down accordingly69. Charters do not serve students with severe disabilities, because _______.A. Charters don’t accept low-income studentsB. it costs more to provide a quality education to themC. Charters don’t accept the students with severe disabilitiesD. no one will advocate for them to attend charter schools70. The writer’s attitude towards Charter School might be _______.A. supportiveB. indifferentC. neutralD. critical第二节（共5小题：每小题2分，共10分）根据短文内容，从短文后的七个选项中选出能填入空白处的最佳选项。

2015北京市房山区高三（一模）数学（理）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项，直接涂在答题卡上．1．（5分）已知集合M={x∈R|x2﹣x=0}，N={x|x=2n+1，n∈Z}，则M∩N为（）A．{0} B．{0，1} C．{1} D．∅2．（5分）双曲线x2﹣my2=1的实轴长是虚轴长的2倍，则m=（）A．4 B．2 C．D．3．（5分）设变量x、y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．94．（5分）从5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、英语竞赛，其中学生甲不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案种数为（）A．24 B．48 C．72 D．1205．（5分）已知二次函数f（x）=ax2+bx，则“f（2）≥0”是“函数f（x）在（1，+∞）上为增函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．（5分）一个棱长为2的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三视图如图示，则该几何体的体积为（）A．7 B．C．D．7．（5分）向量=（2，0），=（x，y），若与﹣的夹角等于，则||的最大值为（）A．4 B．2 C．2 D．8．（5分）一个人骑车以6米/秒的速度匀速追赶停在交通信号灯前的汽车，当他离汽车25米时，交通信号灯由红变绿，汽车开始做变速直线行驶（汽车与人的前进方向相同），若汽车在时刻t的速度v（t）=t米/秒，那么此人（）A．可在7秒内追上汽车B．不能追上汽车，但其间最近距离为16米C．不能追上汽车，但其间最近距离为14米D．不能追上汽车，但其间最近距离为7米二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡指定位置．9．（5分）已知复数z满足（1+i）z=1﹣i，则复数z= ．10．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出的s的值为．11．（5分）如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内概率是．12．（5分）如图所示，⊙O的割线PAB交⊙O于A、B两点，割线PCD经过圆心O，已知PA=6，AB=，PO=12，则⊙O的半径是．13．（5分）已知直线l过点P（3，2），且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点，则△OAB面积的最小值为，此时，直线l的方程为．14．（5分）已知函数y=f（x）是R上的偶函数，对∀x∈R，都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立．当x1，x2∈[0，2]，且x1≠x2时，都有，给出下列命题：（1）f（2）=0；（2）直线x=﹣4是函数y=f（x）图象的一条对称轴；（3）函数y=f（x）在[﹣4，4]上有四个零点；（4）f（2015）=f（1）．其中所有正确命题的序号为．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（13分）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知f（A）=，且△ABC外接圆的半径为，求a 的值．16．（13分）为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，其中第2小组的频数为12．（1）求该校报考飞行员的总人数；（2）以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的同学中（人数很多）任选二人，设X 表示体重超过60公斤的学生人数，求X的分布列和数学期望．17．（14分）在如图所示的多面体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC=BC=BD=2AE=2，M是AB的中点．（Ⅰ）求证：CM⊥EM；（Ⅱ）求平面EMC与平面BCD所成的锐二面角的余弦值；（Ⅲ）在棱DC上是否存在一点N，使得直线MN与平面EMC所成的角为60°．若存在，指出点N的位置；若不存在，请说明理由．18．（13分）已知f（x）=﹣+x﹣ln（1+x），其中a＞0．（Ⅰ）若函数f（x）在点（3，f（3））处切线斜率为0，求a的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）若f（x）在[0，+∞）上的最大值是0，求a的取值范围．19．（14分）动点P（x，y）到定点F（1，0）的距离与它到定直线l：x=4的距离之比为．（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）已知定点A（﹣2，0），B（2，0），动点Q（4，t）在直线l上，作直线AQ与轨迹C的另一个交点为M，作直线BQ与轨迹C的另一个交点为N，证明：M，N，F三点共线．20．（13分）下表给出一个“等差数阵”：4 7 （）（）（）…a1j…7 12 （）（）（）…a2j…（）（）（）（）（）…a3j…（）（）（）（）（）…a4j………………………a i1a i2a i3a i4a i5…a ij………………………其中每行、每列都是等差数列，a ij表示位于第i行第j列的数．（Ⅰ）写出a45的值；（Ⅱ）写出a ij的计算公式；（Ⅲ）证明：正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积．数学试题答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项，直接涂在答题卡上．1．【解答】M={x∈R|x2﹣x=0}={0，1}，故M∩N={x|x=2n+1，n∈Z}={1}，故选；C．2．【解答】双曲线x2﹣my2=1的实轴长是2，虚轴长：2，双曲线x2﹣my2=1的实轴长是虚轴长的2倍，可得：2=4，解得m=4．故选：A．3．【解答】设变量x、y满足约束条件，在坐标系中画出可行域△ABC，A（2，0），B（1，1），C（3，3），则目标函数z=2x+y的最小值为3，故选B4．【解答】根据题意，若选出4人中不含甲，则有A44种；若选出4人中含有甲，则有C43•C21•A33种．∴A44+C43•C21•A33=72．故选：C．5．【解答】若函数f（x）在（1，+∞）上为增函数，则满足，即，则f（2）=4a+2b=2（2a+b）≥0成立，即必要性成立．当a=﹣1，b=2，即f（x）=﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+1，满足f（2）=﹣4+4=0≥0成立，但函数f（x）在（1，+∞）上为减函数，故充分性不成立，故“f（2）≥0”是“函数f（x）在（1，+∞）上为增函数”的必要不充分条件，故选：B6．【解答】依题意可知该几何体的直观图如图示，其体积为正方体的体积去掉两个三棱锥的体积．即：，故选D．7．【解答】由向量加减法的几何意义可得，（如图），=，=∠OBA故点B始终在以OA为弦，∠OBA=为圆周角的圆弧上运动，且等于弦OB的长，由于在圆中弦长的最大值为该圆的直径2R，在三角形AOB中，OA==2，∠OBA=由正弦定理得，解得2R=4，即||的最大值为4故选A8．【解答】∵汽车在时刻t的速度为v（t）=t米/秒，∴a==1，由此判断为匀加速运动，以汽车停止位置为参照，人所走过的位移为﹣25+6t；汽车在时间t内的位移为s=t2；故设相对位移为ym，则y=﹣25+6t﹣t2=﹣（t﹣6）2﹣7；故不能追上汽车，且当t=6时，其间最近距离为7米．故选：D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡指定位置．9．【解答】∵（1+i）z=1﹣i，∴（1﹣i）（1+i）z=（1﹣i）（1﹣i），化为2z=﹣2i，即z=﹣i．故答案为：﹣i．10．【解答】当i=2，k=1时，s=2，；当i=4，k=2时，s=（2×4）=4；当i=6，k=3时，s=（4×6）=8；当i=8，k=4时，不满足条件“i＜8”，退出循环，则输出的s=8故答案为：811．【解答】观察这个图可知：大正方形的边长为2，总面积为4，而阴影区域的边长为﹣1，面积为4﹣2；故飞镖落在阴影区域的概率．故答案为：1﹣．12．【解答】已知：⊙O的割线PAB交⊙O于A、B两点，割线PCD经过圆心O，根据割线定理：PA•PB=PC•PD设⊙O的半径为R，把PA=6，AB=，PO=12，代入割线定理得：6（6+）=（12﹣R）（12+R）求得：R=8故答案为：813．【解答】由题意设直线l的方程为+=1，其中a和b为正数，∵直线l过点P（3，2），∴+=1，∴1=+≥2=2，∴ab≥24，当且仅当=即a=6且b=4时取等号，∴△OAB面积S=≥12，即最小值为12，此时直线方程为+=1，化为一般式可得2x+3y﹣12=0；故答案为：12；2x+3y﹣12=014．【解答】∵对任意x∈R，都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立当x=﹣2，可得f（﹣2）=0，又∵函数y=f（x）是R上的偶函数∴f（﹣2）=f（2）=0，又由当x1，x2∈[0，2]且x1≠x2时，都有，∴函数在区间[0，2]单调递减故函数f（x）的简图如下图所示：由图可知：①正确，②正确，③错误，④正确故答案：①②④．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．【解答】（Ⅰ）∵…（2分）==…（3分）由Z）得，Z）（5分）∴f（x）的单调递增区间是Z）…（7分）（Ⅱ）∵，0＜A＜π，，于是，∴…（10分）∵△ABC外接圆的半径为，由正弦定理，得，…（13分）16．【解答】（1）设该校报考飞行员的人数为n，前三小组的频率分别为p1，p2，p3，则由题意可知，，解得p1=0.125，p2=0.25，p3=0.375．又因为p2=0.25=，故n=48．（2）由（1）可得，一个报考学生体重超过60公斤的概率为p=p3+（0.0375+0.0125）×5=．所以X服从二项分布，P（X=k）=，∴随机变量X的分布列为：则EX=．（或EX=2×=）17．【解答】（I）证明：∵AC=BC，M是AB的中点∴CM⊥AB．又EA⊥平面ABC，CM⊥EA．∵EA∩AB=A∴CM⊥平面AEM∴CM⊥EM…（4分）（Ⅱ）以M为原点，分别以MB，MC为x，y轴，如图建立坐标系M﹣xyz，则设平面EMC的一个法向量，则取所以设平面DBC的一个法向量，则取x1=1，y1=1，z1=0，所以所以平面EMC与平面BCD所成的锐二面角的余弦值．…（9分）（Ⅲ）在棱DC上存在一点N，设N（x，y，z）且，0≤λ≤1，，若直线MN与平面EMC所成的角为60°，则解得：，所以符合条件的点N存在，为棱DC的中点．…（14分）18．【解答】（Ⅰ）由题意得f′（x）=，x∈（﹣1，+∞），由f′（3）=0⇒a=．…（3分）（Ⅱ）令f′（x）=0⇒x1=0，x2=﹣1，①当0＜a＜1时，x1＜x2，f（x）与f′（x）的变化情况如下表x （﹣1，0）0 （0，﹣1）﹣1 （﹣1，+∞）f′（x）﹣0 + 0 ﹣f（x）↘f（0）↗f（﹣1）↘∴f（x）的单调递增区间是（0，﹣1），f（x）的单调递减区间是（﹣1，0）和（﹣1，+∞）；②当a=1时，f（x）的单调递减区间是（﹣1，+∞）；③当a＞1时，﹣1＜x2＜0f（x）与f′（x）的变化情况如下表x （﹣1，﹣1）﹣1 （﹣1，0）0 （0，+∞）f′（x）﹣0 + 0 ﹣f（x）↘f（﹣1）↗f（0）↘∴f（x）的单调递增区间是（﹣1，0），f（x）的单调递减区间是（﹣1，﹣1）和（0，+∞）．综上，当0＜a＜1时，f（x）的单调递增区间是（0，﹣1）．f（x）的单调递减区间是（﹣1，0），（﹣1，+∞），当a＞1，f（x）的单调递增区间是（﹣1，0）．f（x）的单调递减区间是（﹣1，﹣1），（0，+∞）．当a=1时，f（x）的单调递减区间为（﹣1，+∞）．…（9分）（Ⅲ）由（Ⅱ）可知当0＜a＜1时，f（x）在（0，+∞）的最大值是f（﹣1），但f（﹣1）＞f（0）=0，所以0＜a＜1不合题意，当a≥1时，f（x）在（0，+∞）上单调递减，由f（x）≤f（0）可得f（x）在[0，+∞）上的最大值为f（0）=0，符合题意，∴f（x）在[0，+∞）上的最大值为0时，a的取值范围是a≥1．…（13分）19．【解答】（Ⅰ）由题意动点P（x，y）到定点F（1，0）的距离与它到定直线l：x=4的距离之比为，得，…（2分）化简并整理，得．所以动点P（x，y）的轨迹C的方程为椭圆．…（5分）（Ⅱ）当t=0时，点M与B重合，点N与A重合，M，N，F三点共线．…（7分）当t≠0时根据题意：由消元得：整理得：（t2+27）x2+4t2x+4t2﹣108=0该方程有一根为x=﹣2，另一根为x M，根据韦达定理，由消元得：3x2+t2（x﹣2）2﹣12=0整理得：（t2+3）x2﹣4t2x+4t2﹣12=0该方程有一根为x=2，另一根为x N，根据韦达定理，当x M=x N时，由得：t2=9，x M=x N=1，M，N，F三点共线；当x M≠x N时，，；k MF=K NF，M，N，F三点共线．综上，命题恒成立．…（14分）20．【解答】（I）a45=49．（II）该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：a1j=4+3（j﹣1），第二行是首项为7，公差为5的等差数列：a2j=7+5（j﹣1），第i行是首项为4+3（i﹣1），公差为2i+1的等差数列，因此a ij=4+3（i﹣1）+（2i+1）（j﹣1），=2ij+i+j=i（2j+1）+j．（III）必要性：若N在该等差数阵中，则存在正整数i，j使得N=i（2j+1）+j，从而2N+1=2i（2j+1）+2j+1=（2i+1）（2j+1），即正整数2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积．充分性：若2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积，由于2N+1是奇数，则它必为两个不是1的奇数之积，即存在正整数k，l，使得2N+1=（2k+1）（2l+1），从而N=k（2l+1）+l=a kl，可见N在该等差数阵中．综上所述，正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积．。

北京市房山区2012年高三第一次模拟试题高三数学(理科)考生须知1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150分,考试时间为120分钟 。

2. 第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题直接写在答题卡上的指定位置，在试卷上作答无效。

3. 考试结束后，将答题卡交回，试卷按学校要求自己保存好。

第I 卷 选择题（共40分）一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。

在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项，直接涂在答题卡上。

1.已知集合{}{}2,0,250,,,M a N x x x x MN a ==-<∈≠∅Z 如果则等于 （ ）（A ）1 （B ）2 （C ）12或（D ）25 2.如果(1,)a k =，(,4),b k =那么“a ∥b ”是“2k =-”的 （ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件3.如图，PA 是圆O 的切线，切点为A ，PO 交圆O 于,B C 两点，3,1PA PB ==，则ABC ∠=( ) （A ）70︒ （B ）60︒（C ）45︒（D ）30︒4.在平面直角坐标系xOy 中，点P 的直角坐标为(1,3).若以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标可以是 （ ） （A ）(2,)3π-（B ）4(2,)3π （C ）(1,)3π-（D ）4(2,)3π-5.执行如图所示的程序框图，则输出的n 的值为 （ ） （A ）5 （B ）6 （C ）7是（D ）8 否6.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-+<--=0,120,12)(22x x x x x x x f ，则对任意R ∈21,x x ，若120x x <<，下列不等式成立的是( )（A ）12()()0f x f x +< （B ）12()()0f x f x +> （C ）12()()0f x f x -> （D ）12()()0f x f x -<7.直线3y kx =+与圆()()42122=++-y x 相交于N M ,两点，若23MN ≥k 的取值范围是( )（A ）12(,)5-∞- （B ）12(,]5-∞-（C ）12(,)5-∞ （D ）12(,]5-∞8.如图，边长为1的正方形ABCD 的顶点A ,D 分别在x 轴、y 轴正半轴上移动，则⋅的最大 值是 （ ） （A ）2 （B ）12（C ）π （D ）4第II 卷 非选择题(共110分）二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分。

房山区2015年高三第一次模拟试题高三数学(文科)第I 卷 选择题（共40分）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项,直接涂在答题卡上.1．已知全集{12345}U =，，，，，集合{12}{23}A B ==，，，，则)(A C U B =（ ） 2．双曲线22194x y -=的渐近线方程是( )3．一个空间几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ） A ．43B ．83C ．4D ．84．设a ∈R ,则 “1a =”是“直线10ax y +-=与直线50x ay ++=平行”的（ ）5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且1a =，45B =︒，2ABC S =△，则 b 等于 ( ) A ．}3{B ．{45}，C ．{123}，，D ．{2345}，，， A ．23y x =± B ．49y x =±C ．32y x =±D ．94y x =±A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C . 充要条件 D ．既不充分也不必要条件A ．B ．5C ．41D ．25俯视图侧视图6．在同一个坐标系中画出函数sin x y a y ax ==与的部分图象，其中01a a >≠且，则下列所给图象中可能正确的是（ ）7．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，12n n S a +=，则n S =（ ）8．一个人骑车以6米/秒的速度匀速追赶停在交通信号灯前的汽车,当他离汽车25米时，交通信号灯由红变绿,汽车开始做变速直线行驶(汽车与人的前进方向相同),若汽车在时刻t 的速度()v t t =米/秒，那么此人（ ） A ．可在7秒内追上汽车B ．不能追上汽车,但其间最近距离为16米C ．不能追上汽车,但其间最近距离为14米D ．不能追上汽车,但其间最近距离为7米第II 卷 非选择题(共110分）二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卡指定位置.9. 若复数(1)(2)z m m i =-+-，（m ∈R ）是纯虚数，复数z 在复平面内对应的点的坐标为_____．10．连续抛两枚骰子分别得到的点数是a ，b ，设向量(,)m a b =， 向量(1,1)n =- ，则m n ⊥的概率是_____．11．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值为_____．A ．12-nB ．1)23(-nC ．1)32(-n D ．121-n12．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>-≤=,0,31,0,)21()(x x x x f x则=-))1((f f ____；若)5()32(2a f a f >-，则实数a 的取值范围是_____．13．已知命题2:,p x x ax a ∃∈++R ＜0.若p ⌝是真命题，则实数a 的取值范围是_____．14. 实数,x y 满足320x y x y +≥⎧⎨-≤⎩，若(x 2)y k ≥+恒成立，则实数k 的最大值是_____．三、解答题：本大题共6小题,共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）已知数列{}n a 中，点),(1+n n a a 在直线2+=x y 上，且首项1a 是方程01432=+-x x 的整数解.（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）数列}{n a 的前n 项和为n S ，等比数列}{n b 中，11a b =，22a b =，数列}{n b 的前n 项和为n T ，当n n S T ≤时，请直接写出n 的值.16.（本小题共13分）已知函数)2||,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f 的图象的一部分如图所示．（Ⅰ）求函数)(x f 的解析式；（Ⅱ）当1[6,]3x ∈--时，求函数()y f x =的最大值与最小值及相应的x 的值．ADE17.（本小题共13分）教育资源的不均衡是促进“择校热”的主要因素之一，“择校热”也是教育行政部门一直着力解决的问题。

2015年普通高等学校招生考试数学模拟试题（理工类）第Ⅰ卷 （选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1、已知集合{|(1)(2)0}A x x x =+-≤，集合B 为整数集，则AB =（ ）A 、{1,0}-B 、{0,1}C 、{2,1,0,1}--D 、{1,0,1,2}-2、在“世界读书日”前夕，为了了解某地5000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析。

在这个问题中，5000名居民的阅读时间的全体是（ ）A 、总体B 、个体C 、样本的容量D 、从总体中抽取的一个样本3、为了得到函数sin(1)y x =+的图象，只需把函数sin y x =的图象上所有的点（ ） A 、向左平行移动1个单位长度 B 、向右平行移动1个单位长度 C 、向左平行移动π个单位长度 D 、向右平行移动π个单位长度4、某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积是（ ）（锥体体积公式：13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高）A 、3B 、2C 、3D 、15、若0a b >>，0c d <<，则一定有（ ）A 、a b d c > B 、a b d c < C 、a b c d > D 、a b c d<6、执行如图的程序框图，如果输入的,x y R ∈，那么输出的S 的最大值为（ ）A 、0B 、1C 、2D 、37、已知0b >，5log b a =，lg b c =，510d=，则下列等式一定成立的是（ ）侧视图俯视图11222211A 、d ac =B 、a cd =C 、c ad =D 、d a c =+ 8、如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75，30，此时气球的高是60cm ，则河流的宽度BC 等于（ ） A、1)m B、1)mC、1)m D、1)m9、设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB +的取值范围是（ ）A、 B、 C、 D、10、已知F 为抛物线2y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是（ ） A 、2 B 、3 C、8D第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

北京市房山区高三第一次模拟试题高三数学(理科)考生须知1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150分,考试时间为120分钟 。

2. 第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题直接写在答题卡上的指定位置，在试卷上作答无效。

3. 考试结束后，将答题卡交回，试卷按学校要求自己保存好。

第I 卷 选择题（共40分）一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。

在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项，直接涂在答题卡上。

1.已知集合{}{}2,0,250,,,M a N x x x x MN a ==-<∈≠∅Z 如果则等于 （ ）（A ）1 （B ）2（C ）12或（D ）25 【答案】C【解析】{}25250,0,{1,2}2N x x x x x x x ⎧⎫=-<∈=<<∈=⎨⎬⎩⎭Z Z ，因为,MN ≠∅，则1a =或2a =，选C.2.如果(1,)a k =，(,4),b k =那么“//a b ”是“2k =-”的 （ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】因为//a b ，所以2140k ⨯-=，即24k =，所以2k =±。

所以“//a b ”是“2k =-”的必要不充分条件，选B.3.如图，PA 是圆O 的切线，切点为A ，PO 交圆O 于,B C 两点，3,1PA PB ==，则ABC ∠=( ) （A ）70︒（B ）60︒（C ）45︒（D ）30︒【答案】B【解析】连结AO ，则因为PA 为切线，所以2PA PB PC =，所以3312PC BO PC PB ==-=-=，，即圆的半径为1，在直角三角形PAO 中12AO PO =，所以30P ∠=，60AOB ∠=，所以AOB ∆为正三角形，所以60ABC ∠=，选B.4.在平面直角坐标系xOy 中，点P 的直角坐标为(1,3)-.若以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标可以是 （ ）（A ）(2,)3π- （B ）4(2,)3π （C ）(1,)3π- （D ）4(2,)3π-【答案】A【解析】因为点P 的直角坐标为(1,3)-，，所以132ρ=+=，设极角为 θ，则tan 3θ=-，所以23k k Z ππ-∈，，（因为点P 在第四象限）所以点P 的极坐标(2,2)3k k Z ππ-∈，，选A. 5.执行如图所示的程序框图，则输出的n 的值为 （ ）（A ）5（B ）6 （C ）7（D ）8【答案】C【解析】第一次循环，044,112s n =+==+=；第二次循环，44212,213s n =+⨯==+=；第三次循环，124324,314s n =+⨯==+=；第四次循环，244440,415s n =+⨯==+=；第五次循环，404560,516s n =+⨯==+=；第六次循环，604684,617s n =+⨯==+=；第七次循环，满足条件，输出7n =，选C.6.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-+<--=0,120,12)(22x x x x x x x f ，则对任意R ∈21,x x ，若120x x <<，下列不等式成立的是() （A ）12()()0f x f x +< （B ）12()()0f x f x +> （C ）12()()0f x f x -> （D ）12()()0f x f x -< 【答案】D【解析】当0x <时，0x ->，所以2()21()f x x x f x -=--=。

2015北京高考数学 各区一模试题汇编--解析几何 答案--弦长与面积问题19．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由题意可得2222,,c c a a bc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得a =b ， 故椭圆的方程为22162x y +=． …….4分（Ⅱ）当直线l 斜率不存在时,A B的坐标分别为，(2,，||MN =， 四边形AMBN 面积为1||||42AMBN S MN AB =⋅=． 当直线l 斜率存在时，设其方程为(2)y k x =-，点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)M x y ，33(,)N x y --，点,M N 到直线l 的距离分别为12,d d ，则四边形AMBN 面积为121||()2AMBN S AB d d =+． 由221,62(2),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(13)121260k x k x k +-+-=， 则21221213k x x k +=+，212212613k x x k -=+， 所以||AB==．因为121224(4)13ky y k x x k-+=+-=+， 所以AB 中点22262(,)1313k kD k k -++． 当0k ¹时，直线OD 方程为30x ky +=， 由2230,1,62x ky x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得333,x ky =-232213y k =+． 所以121||()2AMBN S AB d d =+12=====当0k =时，四边形AMBN面积的最大值AMBN S =综上四边形AMBN面积的最大值为． …………………………14分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由点)23,1(P 和1F 关于点)43,0(C 对称，得1(1,0)F -， ………… 1分所以椭圆E 的焦点为)0,1(1-F ，)0,1(2F ， ……………… 2分 由椭圆定义，得 122||||4a PF PF =+=.所以 2a =，b = ……………… 4分故椭圆E 的方程为13422=+y x . ……………… 5分 （II ）解：结论：存在直线l ，使得四边形PABQ 的对角线互相平分. ……… 6分 理由如下：由题可知直线l ，直线PQ 的斜率存在，设直线l 的方程为)1(-=x k y ，直线PQ 的方程为3(1)2y k x -=-. ……… 7分 由 221,43(1),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y ， 得2222(34)84120k x k x k +-+-=， ……………… 8分 由题意，可知0∆> ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2221438kk x x +=+，212241234k x x k -=+， ……………… 9分 由221,433(1),2x y y k x ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩消去y ,得2222(34)(812)41230k x k k x k k +--+--=， 由0∆>，可知12k ≠-，设),(33y x Q ，又)23,1(P ，则223431281k k k x +-=+，2234331241kk k x +--=⋅. ……………… 10分 若四边形PABQ 的对角线互相平分，则PB 与AQ 的中点重合， 所以212231+=+x x x ，即3211x x x -=-， ……………… 11分 故2212123()4(1)x x x x x +-=-. ……………… 12分所以 2222222284124123()4(1)343434k k k k k k k ----⋅=-+++. 解得 34k =. 所以直线l 为3430x y --=时， 四边形PABQ 的对角线互相平分. …… 14分 （注：利用四边形PABQ 为平行四边形，则有||||PQ AB =，也可解决问题）19.解：（I ）由题意，椭圆C 的标准方程为221.43x y += 所以224,3,a b ==从而222 1.c a b =-= 因此，2, 1.a c ==故椭圆C 的离心率1.2c e a ==..... ...........................................4分 （II ）由题意可知，点P 的坐标为3(1,).2-设1l 的方程为3(1).2y k x =++则2l 的方程为3(1).2y k x =-++........................................5分由223(1)23412y k x x y ⎧=++⎪⎨⎪+=⎩得2222(43)(812)41230.k x k k x k k +++++-= 由于1x =-是此方程的一个解.所以此方程的另一解22412343A k k x k +-=-+ 同理22412343B k k x k --=-+............... ...........................................7分故直线AB 的斜率为33(1)(1)22B A B A ABB A B Ak x k x y y k x x x x -++-+--==-- 22286(2)143.24243k k k k k -+-++==-+ ........... ...........................................9分设直线AB 的方程为1.2y x m =-+由22123412y x m x y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩得2230x mxm -+-=所以||AB ==又原点O 到直线AB 的距离为d =所以OAB ∆的面积12OAB S ∆==22(4)22m m +-≤⋅= 当且仅当224m m =-，即22,2m m ==±时.OAB ∆的面积达到最大................ ...........................................13分由题意可知，四边形ABMN 为平行四边形, 所以，四边形ABMN的面积4OAB S S ∆=≤故四边形ABMN面积的最大值为 ............... ...........................................14分中点与垂直问题（19）（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由题意可得2222,,3,c c a a b c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得a =b = 故椭圆的方程为22162x y +=． ……… 5分 （Ⅱ）由题意可知直线l 斜率存在，设其方程为(2)y k x =-，点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)M x y ，33(,)N x y --，由221,62(2),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(13)121260k x k x k +-+-=， 所以21221213k x x k+=+． 因为121224(4)13ky y k x x k-+=+-=+，所以AB 中点22262(,)1313k kD k k -++． 因此直线OD 方程为30x ky +=()0k ¹．由2230,1,62x ky x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得232213y k =+，333x ky =-． 因为四边形12MF NF 为矩形，所以220F M F N ⋅=u u u u r u u u u r，即3333(2,)(2,)0x y x y -⋅---=．所以223340x y --=．所以222(91)4013k k +-=+．解得3k =±．故直线l的方程为2)3y x =±-． ……… 14分19.（本小题共14分）解：（Ⅰ）抛物线28y x =，所以焦点坐标为(2,0)，即(2,0)A ， 所以2a =．又因为2c e a ==，所以c = 所以2221b a c =-=，所以椭圆C 的方程为2214x y +=． ……………………4分 （Ⅱ）设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，因为AM AP AQ =+u u u u r u u u r u u u r，(2,0)A ，所以11(2,)AP x y =-u u u r，22(2,)AQ x y =-u u u r ，所以1212(4,+)AM AP AQ x x y y =+=+-u u u u r u u u r u u u r，所以()12122,M x x y y +-+．由2214(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得2222(41)8440k x k x k +-+-=（判别式0∆>）， 得2122282224141k x x k k -+-=-=++，121222(2)4+1ky y k x x k -+=+-=， 即2222(,)4141k M k k --++．设3(0,)N y ， 则MN 中点坐标为3221(,)41412y kk k --+++，因为M ，N 关于直线l 对称，所以MN 的中点在直线l 上，所以3221(1)41241k y k k k --+=-++，解得32y k =-，即(0,2)N k -． 由于M ，N 关于直线l 对称，所以M ，N 所在直线与直线l 垂直，所以 222(2)4112041kk k k k ---+⋅=---+，解得k = ……………………14分（19）（共13分）解：（Ⅰ）由题意得：2221,.b ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪-=⎩………………3分解得：223,1.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以 椭圆M 的方程为2213x y +=. ………………4分 （Ⅱ）不存在满足题意的菱形ABCD ，理由如下： ………………5分 假设存在满足题意的菱形ABCD .设直线BD 的方程为y x m =+，11(,)B x y ，22(,)D x y ，线段BD 的中点00(,)Q x y ，点(,2)A t . ………………6分由2233,x y y x m⎧+=⎨=+⎩得224230y my m -+-=. ………………8分由()()2221630m m ∆=--> ，解得22m -<<. ………………9分因为 122my y +=， 所以 12024y y my +==. ………………11分因为 四边形ABCD 为菱形， 所以 Q 是AC 的中点.所以 C 点的纵坐标022212C my y =-=-<-. ………………12分 因为 点C 在椭圆M 上，所以 1C y ≥-.这与1C y <-矛盾. ………………13分 所以 不存在满足题意的菱形ABCD .19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由点)23,1(P 和1F 关于点)43,0(C 对称，得1(1,0)F -， ………… 1分所以椭圆E 的焦点为)0,1(1-F ，)0,1(2F ， ……………… 2分 由椭圆定义，得 122||||4a PF PF =+=.所以 2a =，b = ……………… 4分故椭圆E 的方程为13422=+y x . ……………… 5分 （II ）解：结论：存在直线l ，使得四边形PABQ 的对角线互相平分. ……… 6分 理由如下：由题可知直线l ，直线PQ 的斜率存在，设直线l 的方程为)1(-=x k y ，直线PQ 的方程为3(1)2y k x -=-. ……… 7分由 221,43(1),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y ， 得2222(34)84120k x k x k +-+-=， ……………… 8分 由题意，可知0∆> ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2221438kk x x +=+，212241234k x x k -=+， ……………… 9分 由221,433(1),2x y y k x ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩消去y ,得2222(34)(812)41230k x k k x k k +--+--=， 由0∆>，可知12k ≠-，设),(33y x Q ，又)23,1(P ，则223431281k k k x +-=+，2234331241k k k x +--=⋅. ……………… 10分若四边形PABQ 的对角线互相平分，则PB 与AQ 的中点重合， 所以212231+=+x x x ，即3211x x x -=-， ……………… 11分 故2212123()4(1)x x x x x +-=-. ……………… 12分所以 2222222284124123()4(1)343434k k k k k k k ----⋅=-+++. 解得 34k =. 所以直线l 为3430x y --=时， 四边形PABQ 的对角线互相平分. …… 14分 （注：利用四边形PABQ 为平行四边形，则有||||PQ AB =，也可解决问题）19.解:(I)由题意,椭圆C 的标准方程为221164x y +=,所以2222216,4,12从而a b c a b ===-=,因此4,a c ==故椭圆C的离心率c e a == ............... ...........................................4分 (II)由221,416y kx x y =+⎧⎨+=⎩得()22148120k x kx ++-=,由题意可知0∆>. ............... ...........................................5分 设点,E F 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ,EF 的中点M 的坐标为(),M M x y , 则1224214M x x k x k +==-+,1221214M y y y k+==+................ .....................................7分因为BEF ∆是以EF 为底边,B 为顶点的等腰三角形,所以BM EF ⊥, 因此BM 的斜率1BM k k=-. ............... ...........................................8分 又点B 的坐标为()0,2-,所以222122381440414M BM M y k k k k x k k ++++===---+,............... ....................................10分 即()238104k k k k+-=-≠, 亦即218k =,所以k = ............... ...........................................12分故EF的方程为440y -+=. ............... ...........................................13分又圆2212x y +=的圆心()0,0O 到直线EF的距离为32d ==>, 所以直线EF 与圆相离................ ...........................................14分单动点消元问题解：（Ⅰ）由已知离心率12c e a ==， 又△12MF F 的周长等于226a c +=，解得2a =，1c =．所以23b =．所以椭圆C 的方程为22143x y +=． ………………………..5分（Ⅱ）设点M 的坐标为00(,)x y ，则2200143x y +=．由于圆M 与l 有公共点，所以M 到l 的距离04x -小于或等于圆的半径r ． 因为2222100(+1)r MF x y ==+，所以222000(4)(1)x x y -≤++，即20010150y x +-≥．又因为22003(1)4x y =-，所以20033101504x x -+-≥．整理得200340+480x x -≤，解得04123x ≤≤．又022x -<< ，所以0423x ≤<．所以003y <≤． 因为△12MF F 面积01201=2y F F y =，当03y =时，△12MF F 面积有最大值3． ………………..13分（Ⅰ）由短轴长为，得b = ………………1分由2c e a a ===，得224,2a b ==． ∴椭圆C 的标准方程为22142x y +=． ………………4分（Ⅱ）以MN 为直径的圆过定点(F ． ………………5分证明如下：设00(,)P x y ，则00(,)Q x y --，且2200142x y +=，即220024x y +=，∵(2,0)A -，∴直线PA 方程为：00(2)2y y x x =++，∴002(0,)2y M x +……………6分 直线QA 方程为：00(2)2y y x x =+-，∴002(0,)2y N x -， ………………7分 以MN 为直径的圆为000022(0)(0)()()022y y x x y y x x --+--=+-………………10分 【或通过求得圆心00202(0,)4x y O x '-，204||4y r x =-得到圆的方程】 即222000220044044x y y x y y x x +-+=--， ∵220042x y -=-，∴22220x x y y y ++-=， ………………12分 令0y =，则220x -=，解得x =∴以MN为直径的圆过定点(F ． …………14分解：（Ⅰ）设动点E 的坐标为(,)x y ．由抛物线定义知，动点E 的轨迹为以(1,0)为焦点，1x =-为准线抛物线．所以动点E 的轨迹C 的方程为：24y x =． ……………4分（Ⅱ）设直线l 的方程为：y kx b =+．（显然0k ≠）由 24,,y x y kx b ⎧=⎨=+⎩得2440ky y b -+=．因为直线l 与抛物线相切， 所以16160kb ∆=-=，1b k =． 所以直线l 的方程为1y kx k=+． 令1x =-，得1y k k=-+， 所以1(1,)Q k k--+．设切点坐标00(,)P x y ，则200440ky y k -+=，解得212(,)P k k． 设(,0)M m ，则2121()(1)()MQ MP m m k k k k⋅=---+-+u u u u r u u u r2222122m m m k k k =-+-++-． 21(1)(2)m m k =---． 当1m =时，0MQ MP ⋅=u u u u r u u u r．所以以PQ 为直径的圆恒过x 轴上定点(1,0)M ． ……………13分定点与定值问题解：（Ⅰ）∵点Q 到椭圆左右焦点的距离和为4. ∴24a =，2a =.又12c e a ==，∴1c =，2223b a c =-=. ∴椭圆W 的标准方程为：22143x y +=…………………5分 （Ⅱ）∵直线1l 、2l 经过点(0,1)且互相垂直，又A 、B 、C 、D 都不与椭圆的顶点重合 ∴设1l ：1y kx =+，2l ：11y x k=-+；点11(,)A x y 、22(,)B x y 、(,)E E E x y 、(,)F F F x y 由221143y kx x y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(34)880k x kx ++-= ∵点(0,1)在椭圆内，∴△0>∴122834kx x k +=-+，∴1224234Ex x kx k+==-+，23134E E y kx k =+=+∴34E OE E y k x k==- 同理33144()F OF Fy kk x K ==-=-∴916OE OFk k ⋅=-…………………14分2015房山一模理科19题 19．（本小题共14分）解： (Ⅰ)由题意得21|4|)1(22=-+-x y x ， ………………2分化简并整理，得 13422=+y x . 所以动点),(y x P 的轨迹C 的方程为椭圆13422=+y x . ………………5分 （Ⅱ）当0=t 时，点B M 与重合，点A N 与重合，,,M N F 三点共线. ………7分当0≠t 时根据题意：:(2),:(2)62tt QA y x QB y x =+=-由()2214326x y t y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消元得：2223(2)1209t x x ++-=整理得：2222(27)441080t x t x t +++-=该方程有一根为2,x =-另一根为M x ,根据韦达定理，222241085422,2727M M t t x x t t ---==++由()2214322x y t y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 消元得：2223(2)120x t x +--= 整理得：2222(3)44120t x t x t +-+-=该方程有一根为2,x =另一根为N x ,根据韦达定理，2222412262,33N N t t x x t t --==++当M N x x =时，由222254226273t t t t --=++得：29,t =1M N x x ==，,,M N F 三点共线； 当M N x x ¹时，218(2)627M M t t y x t =+=+，26(2)23N N t ty x t -=-=+22221862754219127M MFM t y t t k t x t t +===----+；2222663261913N NFN t y t t k t x t t -+===----+ NF MF K k =，,,M N F 三点共线.综上，命题恒成立. ………………14分19.（本小题共14分）解: （Ⅰ）因为椭圆C ：22162x y += 所以焦点(2,0)F ，离心率e =……………………4分 （Ⅱ）直线l ：y kx m =+(0)k ≠过点F ，所以2m k =-，所以l ：(2)y k x =-．由2236(2)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩，得2222(31)121260.k x k x k +-+-=（依题意 0∆>）． 设 11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则21221231k x x k +=+，2122126.31k x x k -=+ ．因为点P 关于x 轴的对称点为P '，则11(,)P x y '-． 所以，直线P Q '的方程可以设为211121()y y y y x x x x ++=--，令0y =，2111211211212x y x y x y x y x x y y y y -+=+=++211212(2)(2)(4)kx x kx x k x x -+-=+-12121222()(4)x x x x x x -+=+-2222221261222313112(4)31k k k k k k --++=-+ 3=． 所以直线P Q '过x 轴上定点(3,0)． ……………………14分19.（本小题共14分）解: （Ⅰ）因为椭圆C ：22162x y +=所以焦点(2,0)F ，离心率3e =……………………4分 （Ⅱ）直线l ：y kx m =+(0)k ≠过点F ，所以2m k =-，所以l ：(2)y k x =-．由2236(2)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩，得2222(31)121260.k x k x k +-+-=（依题意 0∆>）． 设 11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则21221231k x x k +=+，2122126.31k x x k -=+ ．因为点P 关于x 轴的对称点为P '，则11(,)P x y '-． 所以，直线P Q '的方程可以设为211121()y y y y x x x x ++=--，令0y =，2111211211212x y x y x y x y x x y y y y -+=+=++211212(2)(2)(4)kx x kx x k x x -+-=+-12121222()(4)x x x x x x -+=+-2222221261222313112(4)31k k k k k k --++=-+ 3=．所以直线P Q '过x 轴上定点(3,0)． ……………………14分（19）（共13分）解：（Ⅰ）因为 椭圆M 过点(0,1)A -，所以 1b =.………………1分 因为 222 c e a b c a ===+， 所以 2a =.所以 椭圆M 的方程为22 1.4x y += ………………3分（Ⅱ）方法一： 依题意得0k ≠.因为 椭圆M 上存在点,B C 关于直线1y kx =-对称，所以 直线BC 与直线1y kx =-垂直，且线段BC 的中点在直线1y kx =-上. 设直线BC 的方程为11221,(,),(,)y x t B x y C x y k=-+. 由221,44y x t k x y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩得 22222(4)8440k x ktx k t k +-+-=. ………………5分由2222222222644(4)(44)16(4)0k t k k t k k k t k ∆=-+-=-+>， 得22240k t k --<.（*） 因为 12284ktx x k +=+， ………………7分 所以 BC 的中点坐标为2224(,)44kt k tk k ++.又线段BC 的中点在直线1y kx =-上，所以 2224144k t ktk k k =-++.所以 22314k t k =+. ………………9分代入（*），得2k <-或2k >. 所以{|}22S k k k =<->,或. ………………11分 因为 22143k t k =+，所以 对于k S ∀∈，线段BC 中点的纵坐标恒为13，即线段BC 的中点总在直线13y =上. ………………13分方法二：因为 点(0,1)A -在直线1y kx =-上，且,B C 关于直线1y kx =-对称， 所以 AB AC =，且0k ≠.设1122(,),(,)B x y C x y （12y y ≠），BC 的中点为000(,)(0)x y x ≠.则22221122(1)(1)x y x y ++=++. ………………6分又,B C 在椭圆M 上，所以 2222112244,44x y x y =-=-.所以 2222112244(1)44(1)y y y y -++=-++. 化简，得 2212123()2()y y y y -=-.所以 120123y y y +==. ………………9分 又因为 BC 的中点在直线1y kx =-上， 所以 001y kx =-. 所以 043x k=. 由221,413x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩可得3x =±所以403k <<，或403k <<，即k <，或k >. 所以{|}22S k k k =<->,或. ………………12分 所以 对于k S ∀∈，线段BC 中点的纵坐标恒为13，即线段BC 的中点总在直线13y =上. ………………13分19．（本小题共14分）（Ⅰ）由题意知, 2b =…………………1分由2e =a = …………………3分 椭圆方程为22148x y +=． …………………4分 （Ⅱ）若存在满足条件的点N ，坐标为（t ，0），其中t 为常数. 由题意直线PQ 的斜率不为0，直线PQ 的方程可设为：1x my =+,()m R ∈ …………………5分 设1122(,),(,)P x y Q x y ,联立221,148x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得：22(12)460m y my ++-=, …………………7分221624(12)0m m ∆=++>恒成立，所以12122246,1212m y +y =y y =m m --++ ……8分 由PNM QNM ∠=∠知：+0PN QN k k = …………………9分1212,PN QN y yk k x t x t==--， 即12120y y x t x t +=--，即121211y y my t my t=-+-+-， …………………10分 展开整理得12122(1)()0my y t y y +-+=，即222(6)4(1)0,1212m m t m m ---+=++ …………………12分即(4)0m t -=，又m 不恒为0，=4t ∴.故满足条件的点N 存在，坐标为(40),……14分（Ⅰ）解：设22b a c -=，由题意，得21=a c ， 所以 2a c =，b =. …………………2分则椭圆方程为 2222143x y c c+=， 又点)23,1(P 在椭圆上， 所以2213144c c+=，解得21c =， 故椭圆方程为 22143x y +=. ………………… 5分 （Ⅱ）解：由题意，直线l 的斜率存在，右焦点(1,0)F ， ………………… 6分 设直线l 的方程为(1)y k x =-，与椭圆的交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， …… 7分由 22(1),1,43y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y ，得 2222(34)84120k x k x k +-+-=. ………………… 8分由题意，可知0>∆，则有 2221438kk x x +=+，212241234k x x k -=+， …… 9分 所以直线PA 的斜率11321PAy k x -=-，直线PB 的斜率22321PB y k x -=-， …… 10分 所以PA PB t k k k =⨯⨯1212332211y y k x x --=⨯⨯--最新整理. 12121233[(1)][(1)]22()1k x k x k x x x x --⨯--=⨯-++ 2121212121239[()1](2)24()1k x x x x k x x k x x x x -++-+-+=⨯-++122121239(2)24[]()1k x x k k x x x x -+-+=+⨯-++ 233()44k k k k =--⨯=--. ………………… 12分 即 22339()4864t k k k =--=-++， 所以当38k =-时，ABP ∆三条边所在直线的斜率的乘积t 有最大值964. …14分。

2015年高考模拟试卷（理）一、选择题（每小题5分，共60分,每小题且只有一个选项符合题目要求）1. 集合{{}11)},2(2>-∈=-=∈=x R x N x x g y R x M 则下列结论正确的是（ ）. A.N M ⊆ B.)(N C M R ⊆ C.N M C R ⊆)( D.)()(N C M C R R ⊆ 2. 若复数211ii a -+-（i 为虚数单位）的实部和虚部互为相反数，则实数a 的值为（ ）. A.-1 B.0 C.1 D.23. 设非零向量,,===+，则,,的夹角为（ ）. A.150° B.120° C.60° D.30°4. 如图所示，在边长为1的正方形OABC 内任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为（ ）. A.31 B.41 C.51 D.61 5. 已知等差数列b a ,1,，等比数列5,2,3++b a ，则该等差数列的公差为（ ） ）. A.3或-3 B.3或-1 C.3 D.-3 6. 将函数)4(cos 22π+=x y 的图象沿x 轴向右平移a 个单位)0(>a ，所得到图象关于y 轴对称，则a 的最小值为（ ）. A.π B.43π C.2π D.4π 7. 已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体 的三视图如图所示，则该截面的面积为（ ） A.29 B.3 C.4 D.21038. 已知F 是抛物线x y =2的焦点，B A 、为抛物线上的两点， 且3=+BF AF ，则线段AB 的中点M 到y 轴的距离为（ ）.A.45B.47C.23D.439. 运行右边的程序框图，输出S 的值为（ ）.A.0B.3C.23 D.23- 10.过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点F 作圆222a y x =+的两条切线，切点分别为B A 、，双曲线左顶点为M ，若150=∠AMB ，则该双曲线的离心率为（ ）.A.3B.2C.36 D.332 11.已知三棱锥ABC O -中，C B A 、、三点在以O 为球心的球面上，若ABC BC AB ∠==,1120=，三棱锥ABC O -的体积为45，则球O 的表面积为（ ）. A.332πB.π16C.π64D.544π 12.定义域为R 的偶函数)(x f 满足对R x ∈∀，有)1()()2(f x f x f -=+且当]3,2[∈x 时，)(x f =221218x x -+-，若函数()log (1)a y f x x =-+在),0(+∞上至少有三个零点，则a 的取值范围是（ ）.A.B.C.D. 二、填空题（每小题5分，共20分） 13.已知函数)1(1255)(>-+-=x x x x f 的最小值为n ，则二项式n xx )1(-展开式 中2x 项的系数为 .（用数字作答）14.已知不等式组,,,y x y x x a ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩表示的平面区域S 的面积为4，点S y x P ∈),(，则2z x y =+的最大值为 .15.已知数列}{n a 满足211112311,+(),(*),+4+4++44n n n n n n a a a n N S a a a a -+==∈=，类比课本中推导等比数列前n 项和公式的方法，可求得=∙-n nn a S 45 .16.已知函数2)1ln()(x x a x f -+=在区间1,2（）内任取两个实数q p ,且q p ≠，不等式1)()(>--qp q f p f 恒成立，则实数a 的取值范围为 .三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（12分）在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边长分别是c b a 、、，又B b cos 是C a cos 和A c cos 的等差中项.（1）求角B 的值；（2）当ABC ∆的外接圆面积为π时，求ABC ∆面积的最大值.18.（12分）如图，菱形ABCD 的边长为6，O BD AC BAD ==∠ ,60.将菱形ABCD 沿对角线AC 折起，得到三棱锥,ACD B -点M 是棱BC 的中点，.23=DM （1）求证：⊥OD 平面ABM ； （2）求二面角D BC A --的余弦值。