第三次模拟考试高三数学(文)

广西柳州市2025届高三数学下学期3月第三次模拟考试试题文(考试时间120分钟满分150分)留意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.全部答案请在答题卡上作答，在本试卷和草稿纸上作答无效答题前请细致阅读答题卡，上的“留意事项”，依据“留意事项”的规定答题。

3.做选择题时，如需改动，请用橡皮将原选答案擦干净，再选涂其他答案。

第I卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A＝{x∈Z|x2－2x－3<0}，B＝{x|2x<4}，则A∩B＝A.(－1，2)B.(2，3)C.{0，1}D.{0，1，2}2.下列函数中既是奇函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是A.y＝2xB.y＝x|x|C.y＝x＋1xD.y＝2x－sinx3.已知实数x，y满意约束条件x2x y1x2y2≤⎧⎪-≥-⎨⎪+≥⎩，则x＝y－3x的最大值为A.－6B.－3C.1D.24.若圆锥轴截面的面积为33，母线与底面所成的角为60°，则该圆锥的体积为A.3πB.4πC.5πD.6π5.近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收垃圾和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱。

为调查居民生活垃圾的分类投放状况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000t生活垃圾，经分拣以后统计数据如下表(单位：t)。

依据样本估计本市生活垃圾的分类投放状况，则下列说法正确的是A.厨余垃圾投放错误的概率为2 3B.居民生活垃圾投放正确的概率为3 10C.该市三类垃圾中投放正确的概率最高的是其他垃圾D.厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收垃圾”箱、“其他垃圾”箱的投放量的方差为200006.已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是A.若m//α，n//α，则m//nB.若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC.若m⊥α，m⊥n，则n//αD.若m//α，m⊥n，则n⊥α7.已知点A(1，0)，B(3，0)，若直线kx－y＋1＝0上存在点P，满意PA PB⋅＝0，则k的取值范围是A.[－43，0] B.[0，43] C.[－43，43] D.(－∞，0]8.电表度数的“度”用字母“KW－H”表示，比如用电88度，就可用字母88KW－H表示。

2022届陕西省西安中学高三下学期三模数学（文）试题一、单选题1．命题“,sin 10x R x ∀∈+≥”的否定是（ ） A ．00,sin 10x R x ∃∈+< B ．,sin 10x R x ∀∈+< C ．00,sin 10x R x ∃∈+≥ D ．,sin 10x R x ∀∈+≤【答案】A【分析】利用全称命题的否定方法求解，改变量词，否定结论. 【详解】因为,sin 10x R x ∀∈+≥的否定为00,sin 10x R x ∃∈+<， 所以选A.【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，一般处理策略是：先改变量词，然后否定结论.2．已知集合{}12{|20}A B x ax =-=+=，，，若A B A ⋃=，则实数a 的取值所组成的集合是（ ）A ．{}12-， B ．{}11-，C ．{2-，0，1}D ．{1-，0，2}【答案】D【分析】A B A ⋃=等价于B A ⊆，分0a =、0a ≠两种情况讨论，从而可得答案. 【详解】A B A B A ⋃=∴⊆，.当0a =时，B 为空集，满足条件.当0a ≠时，20a -+=或220a +=，解得2a =或1a =-. 综上可得，实数a 的取值所组成的集合是{0，2，1}-. 故选：D.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，空集的定义，以及并集与子集的定义，属于基础题.3．若a ，b 都是实数，则0”是“220a b ->”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】A【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可得正确选项.【详解】0>0a b >≥，所以22a b >，可得220a b ->， 故充分性成立，取2a =-，1b =-，满足220a b ->，但a ，b 无意义得不出0a b ->， 故必要性不成立，所以0a b ->是220a b ->的充分不必要条件， 故选：A.4．2022年举办北京冬奥会促进我国冰雪产业快速发展，冰雪运动人数快速上升，冰雪运动市场需求得到释放，将引领户外用品行业市场增长.下面是2015年至2021年中国雪场滑雪人次（万人次）与同比增长率的统计图，则下面结论中不正确的是（ ）A ．2015年至2021年，中国雪场滑雪人次逐年增加B ．2016年至2018年，中国雪场滑雪人次和同比增长率均逐年增加C ．2021年与2016年相比，中国雪场滑雪人次的同比增长率近似相等，所以同比增长人数也近似相等D ．2021年与2019年相比，中国雪场滑雪人次增长率约为30.5% 【答案】C【分析】根据统计图，结合数据逐一判断即可.【详解】A ：由统计图可知中：2015年至2021年，中国雪场滑雪人次逐年增加，所以本选项结论正确；B ：由统计图可知：2016年至2018年，中国雪场滑雪人次和同比增长率均逐年增加，所以本选项结论正确；C ：2021年与2016年相比，中国雪场滑雪人次的同比增长率近似相等，2021年同比增长人数为：19701750220-=，2016年同比增长人数为：900800100-=，显然不相等，所以本选项结论不正确；D ：2021年与2019年相比，中国雪场滑雪人次增长率为1970151030.5%1510-≈，所以本选项结论正确，故选：C5．已知函数()sin 2f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x 是（ ）A ．周期为π的奇函数B ．周期为π的偶函数C ．周期为2π的奇函数D ．周期为2π的偶函数【答案】D【分析】利用诱导公式将函数()y f x =的解析式化简，即可求出该函数的周期，并判断出该函数的奇偶性. 【详解】()sin cos 2f x x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，因此，函数()y f x =是周期为2π的偶函数.故选：D.【点睛】本题考查三角函数周期和奇偶性的判断，解题的关键就是利用诱导公式将三角函数解析式化简，考查计算能力，属于基础题. 6．已知F 是抛物线21:2C x y =的焦点，点(,)P m n 在抛物线C 上，且1m =，则||PF =（ ） A ．178B ．32C ．98D ．52【答案】A【分析】代入已知点得到相应的参数值，根据抛物线的焦半径公式得到117||88PF n =+=.【详解】由212x y =，得14p =，由1m =得2n =，由抛物线的性质，117||88PF n =+=，故选：A.7．数列{}n a ，{}n b 满足1n n a b =，256n a n n =++，*N n ∈，则{}n b 的前10项之和为（ ） A ．413B ．513C ．839D ．1039【答案】D【解析】求出{}n b 的通项，利用裂项相消法可求前10项之和.【详解】因为1n n a b =，256n a n n =++，故21115623n b n n n n ==-++++，故{}n b 的前10项之和为11111111103445121331339-+-++-=-=， 故选：D.8．天气预报显示，在今后的三天中，每一天下雨的概率为40%，现用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0--9之间整数值的随机数，并制定用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨，再以每3个随机数作为一组，代表三天的天气情况，产生了如下20组随机数 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 则这三天中恰有两天下雨的概率近似为（ ） A ．23B ．14C ．415 D ．15【答案】B【详解】解：阅读随机数表可知，满足题意的数据为：191,271,932,812,393 , 据此可知：这三天中恰有两天下雨的概率近似为51204p == . 本题选择B 选项.9．在等比数列{}n a 中，7a ，11a 是方程2520x x ++=的二根，则3915513a a a a a ⋅⋅⋅的值为（ ）A ．2+22-B ．2-C ．2D ．2-或2【答案】B【分析】利用等比数列的性质、韦达定理列方程组求解．【详解】解：在等比数列{}n a 中，7a ，11a 是方程2520x x ++=的二根，则71171152a a a a +=-⎧⎨=⎩，∴92a =-，则3391599251392a a a a a a a a ⋅⋅===-⋅． 故选：B ．10．如图，已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面为平行四边形，E ，F ，G 分别为棱1111,,AA CC C D 的中点，则下列各选项正确的是（ ）A ．直线1BC 与平面EFG 平行，直线1BD 与平面EFG 相交B ．直线1BC 与平面EFG 相交，直线1BD 与平面EFG 平行 C ．直线1BC 、1BD 都与平面EFG 平行 D ．直线1BC 、1BD 都与平面EFG 相交 【答案】A【分析】取AB 的中点H ，证明1BC HG ∥，1BC ∥平面EFG 即得证，再证明直线1BD 与平面EFG 相交即得解.【详解】解：取AB 的中点H ，则11//,=,BH C G BH C G 从而四边形1BC GH 为平行四边形， 所以1BC HG ∥．易知////EH GF EH GF ，，则四边形EGFH 为平行四边形， 从而GH ⊂平面EFG ．又1BC ⊄平面EFG ，所以1BC ∥平面EFG ．易知11//=BF ED BF ED ，，则四边形1BFD E 为平行四边形，从而1BD 与EF 相交， 所以直线1BD 与平面EFG 相交. 故选：A ．11．我们把由半椭圆()222210x y x a b +=≥与半椭圆()222210y x x b c+=<合成的曲线称作“果圆”（其中222a b c =+，0a b c >>>）.如图所示，设点0F 、1F 、2F 是相应椭圆的焦点，1A 、2A 和1B 、2B 是“果圆”与x 轴和y 轴的交点，若012F F F ∆是边长为1的等边三角形，则a ，b 的值分别为（ ）A 71 B 3 1 C ．5，3 D ．5，4【答案】A【详解】由题意知，222334a b -==⎝⎭，2221124b c ⎛⎫== ⎪⎝⎭-， ∴221a c =-. 又222a b c =+， ∴21b =，1b =. ∴274a =，7a .故选：A.12．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当[]0,1x ∈时，()sin f x x π=，且满足当1x >时，()()22f x f x =-，若对任意[],x m m ∈-，()23f x ≤则m 的最大值为（ ） A ．236B ．103C ．256D ．133【答案】B【解析】由函数的奇偶性和题设条件，求得()[]si 1,1n ,f x x x π∈-=，再根据()()22f x f x =-，画出函数图象，结合图象，即可求解.【详解】由题意，函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当[]0,1x ∈时，()sin f x x π=， 当[1,0)x ∈-时，()()sin()sin f x f x x x ππ=--=--=，即()[]si 1,1n ,f x x x π∈-=，又由当1x >时，()()22f x f x =-，可画出函数图象，如图所示.由图知，当35x ≤≤时，()()()444sin 44sin f x f x x x πππ=-=-=； 则当53x -≤≤-时，()()4sin f x f x x π=--=；当53x -≤≤-时，令4sin 23x π=，解得121011,33x x =-=-(舍去)， 若对任意[],x m m ∈-，()23f x ≤成立，所以m 的最大值为103. 故选：B.二、填空题13．已知向量()()3,1,1,0,a b c a kb ===+．若a c ⊥，则k =________． 【答案】103-. 【分析】利用向量的坐标运算法则求得向量c 的坐标，利用向量的数量积为零求得k 的值【详解】()()()3,1,1,0,3,1a b c a kb k ==∴=+=+,(),33110a c a c k ⊥∴⋅=++⨯=，解得103k =-, 故答案为：103-. 【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量()()1122,,,p x y q x y ==垂直的充分必要条件是其数量积12120x x y y +=. 14．已知1sin24α=，且233ππα<<，则cos sin αα-=___.【答案】3【分析】根据同角的三角函数关系式，结合二倍角的正弦公式进行求解即可 【详解】因为233ππα<<，所以sin cos αα>， 因此有：222cos sin (cos sin )cos sin 2cos sin 1sin 2ααααααααα-=---+-=--把1sin24α=代入，得13cos sin 14αα-=--， 故答案为：315．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 、F 分别是棱BC ，1CC 的中点，P 是侧面四边形11BCC B 内（不含边界）一点，若1//A P 平面AEF ，则线段1A P 长度的取值范围是_______.【答案】325⎢⎣ 【分析】分别取棱111,BB B C 的中点,M N ，连接MN ，则可证得平面1A MN ∥平面AEF ，由题意可得点P 必在线段MN 上，由此可判断点P 在M 或N 处时，1A P 最长，位于线段MN 的中点时最短，通过解直角三角形即可求得结果【详解】如下图所示，分别取棱111,BB B C 的中点,M N ，连接MN ，1BC ， 因为,,,M N E F 为分别为111,BB B C ，BC ，1CC 的中点， 所以MN ∥1BC ，EF ∥1BC ， 所以MN ∥EF ，因为MN ⊄平面AEF ，EF ⊂平面AEF ， 所以MN ∥平面AEF ，因为1AA ∥NE ，1AA NE =，所以四边形1AA NE 为平行四边形， 所以1A N ∥AE ，因为1A N ⊄平面AEF ，AE ⊂平面AEF ， 所以1A N ∥平面AEF ， 因为1A NMN N =，所以平面1A MN ∥平面AEF ，因为P 是侧面四边形11BCC B 内一点，且1//A P 平面AEF ， 所以点P 必在线段MN 上，在11R t A B M 中，221111415A M A B B M =+=+=， 同理在11R t A B N 中，求得15A N =, 所以1A MN 为等腰三角形，当点P 在MN 的中点O 时，1A P MN ⊥,此时1A P 最短，点P 在M 或N 处时，1A P 最长，因为()222211232522AO A M OM ⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭, 115AM A N ==， 因为P 是侧面四边形11BCC B 内（不含边界）一点， 所以线段1A P 长度的取值范围是32,52⎡⎫⎪⎢⎪⎢⎣⎭， 故答案为：32,52⎡⎫⎪⎢⎪⎢⎣⎭【点睛】关键点点睛：此题考查面面平行，线面平行的判断，考查立体几何中的动点问题，解题的关键是通过证明面面平行，找出点P 必在线段MN 上，从而可求出1A P 的最大值和最小值，考查空间想象能力和计算能力，属于较难题16．若函数()ln f x x a =+与函数()22(0)g x x x x =+<的图象有公切线，则实数a 的取值范围是________. 【答案】()ln21-∞+，【分析】设出两个切点，分别表示出切线，利用两切线方程对应系数相等，解出a ，构造新函数()h t ，求导确定()h t 的值域，即是a 的取值范围.【详解】设公切线与函数()ln f x x a =+切于()11,ln x x a +，与函数()22(0)g x x x x =+<切与()2222,2x x x +，则公切线斜率12211()()22k f x g x x x ''====+，故切线方程为()1111ln ()y x a x x x -+=-，即1111ln y x x a x =-++，也可以表示为()()22222222()y x x x x x -+=+-，即()22222y x x x =+-，可得21212122ln 1x x x a x ⎧=+⎪⎨⎪+-=-⎩，2211111111ln 11ln 2124a x x x x ⎛⎫⎛⎫∴=---+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()212110,220,2x x x x <<∴=+∈，令11t x =，则()0,2t ∈，21ln 4a t t t =-+，令()21ln 4h t t t t =-+，则()()2213112210222t t t h t t t t t --+-++'=-+==>，则()h t 在()0,2上单调递增，当0t →时，()h t =-∞，2t =时，(2)ln 21h =+，故(,ln 21)a ∈-∞+. 故答案为：()ln21-∞+，.【点睛】本题关键点在于利用两个函数的切线相同建立关系，解出关于a 的关系式，换元后构造函数进行求解，对于公切线问题是通法，注意积累掌握. 三、解答题17．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c，且sin 2sin c B C =. （1）若cos23cos 2sin 0A A B +-=，求角A 的大小； （2）若a =2b =，求ABC 的面积. 【答案】（1）3π；（2【解析】（1）先利用正弦定理求出cos B =6B π=，载代入已知条件可得1cos 2A =，即可求解； （2）由（1）知6B π=，结合已知条件由余弦定理可得c 的值，再利用三角形的面积公式即可求解.【详解】（1）在ABC中，因为sin 2sin c B C =，由正弦定理可得：sin 2sin cos sin sin C B B B C ⋅=，因为(),0B C π∈，，sin 0B ≠，sin 0C ≠ 可得3cos 2B =，又0B π∈（，），所以6B π=，由cos23cos 2sin 0A A B +-=，可得22cos 3cos 20A A +-=，即(2cos 1)(cos 2)0A A -+=， 解得：1cos 2A =或cos 2A =-， 又0cos 1A A π∈<<（，），-1，得1cos 2A =，所以.3A π=（2）由（1）知，6B π=，又23a =，2b =，根据余弦定理得，2222cos b a c ac B =+-， 可得234122232c c =+-⨯⨯⨯， 即2680c c -+=，解得：12c =，24c =， 当12c =时，111sin 2323222ABCS ac B ==⨯⨯⨯=； 当24c =时，111sin 23423222ABCSac B ==⨯⨯⨯=； 所以ABC 的面积为3或23．18．某市从2019年参加高三学业水平考试的学生中随机抽取80名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六组[)[)90,100100,110，，…，[]140,150后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题:（1）求分数在[)120130,内的频数; （2）若在同一组数据中，将该组区间的中点值(如:组区间[)100,110的中点值为1001101052+=)，作为这组数据的平均分，据此，估计本次考试的平均分; （3）用分层抽样的方法在分数段为[)110,130的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人在分数段[)120130,内的概率. 【答案】（1）24；（2）121；（3）1415. 【分析】（1）根据频率和为1得分数在[)120130,内的频率，进而即可对于的频数； （2）利用频率分布直方图求解平均数即可；（3）结合已知数据，由分层抽样得[)110,120分数段内抽取2人，[)120130,分数段内抽取4人，再根据古典概型公式并结合对立事件的概率计算求解即可.【详解】解: ()1分数在[)120130,内的频率为 ()10.10.150.150.250.0510.70.3-++++=-=故频数为800.324⨯=()2估计平均分为950.11050.151150.151250.31350.251450.05121x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=()3由题意，[)110,120分数段的人数为800.1512⨯=(人).[)120130,分数段的人数为800.324⨯=(人). 用分层抽样的方法在分数段为[)110,130的学生中抽取一个容量为6的样本， 所以需在[)110,120分数段内抽取2人，分别记为12,A A ﹔在[)120130,分数段内抽取4人，分别记为1234,,,B B B B ; 设“从样本中任取2人，至少有1人在分数段[)120130,内”为事件A ， 则样本空间{}121112131421222324121314232434,,,,,,,,,,,,,,A A A B A B A B A B A B A B A B A B B B B B B B B B B B B B Ω=共包含15个样本点事件A :“从样本中任取2人，2人都不在在分数段[)120130,内” {}12A A A =，只有1个样本点， 所以()115p A =()()114111515p A p A =-=-= 19．如图，在平行四边形ABCM 中，3AB AC ==，90ACM ∠=︒，以AC 为折痕将△ACM 折起，使点M 到达点D 的位置，且AB DA ⊥． （1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；（2）Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且23BP DQ DA ==，求三棱锥Q ABP -的体积．【答案】(1)见解析. (2)1.【详解】分析：(1)首先根据题的条件，可以得到BAC ∠=90，即BA AC ⊥，再结合已知条件BA ⊥AD ，利用线面垂直的判定定理证得AB ⊥平面ACD ，又因为AB ⊂平面ABC ，根据面面垂直的判定定理，证得平面ACD ⊥平面ABC ；(2)根据已知条件，求得相关的线段的长度，根据第一问的相关垂直的条件，求得三棱锥的高，之后借助于三棱锥的体积公式求得三棱锥的体积. 详解：（1）由已知可得，BAC ∠=90°，BA AC ⊥． 又BA ⊥AD ，且AC AD A =，所以AB ⊥平面ACD ．又AB ⊂平面ABC ， 所以平面ACD ⊥平面ABC ．（2）由已知可得，DC =CM =AB =3，DA =32 又23BP DQ DA ==，所以22BP =作QE ⊥AC ，垂足为E ，则QE =13DC ． 由已知及（1）可得DC ⊥平面ABC ，所以QE ⊥平面ABC ，QE =1． 因此，三棱锥Q ABP -的体积为111131332Q ABP ABPV QE S-=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯︒=． 点睛：该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有面面垂直的判定以及三棱锥的体积的求解，在解题的过程中，需要清楚题中的有关垂直的直线的位置，结合线面垂直的判定定理证得线面垂直，之后应用面面垂直的判定定理证得面面垂直，需要明确线线垂直、线面垂直和面面垂直的关系，在求三棱锥的体积的时候，注意应用体积公式求解即可.20．已知点A在圆(22:16C x y +=上，()B，(P ，线段AB 的垂直平分线与AC 相交于点D . （1）求动点D 的轨迹方程;（2）若过点()0,1Q -的直线l 斜率存在，且直线l 与动点D 的轨迹相交于M ，N 两点.证明：直线PM 与PN 的斜率之积为定值.【答案】（1）22142x y +=；（2）32-【解析】（1）由圆的方程可得：圆心C ，半径4r =，||||DA DB =，||||DB DC +||||||4||DA DC AC r BC =+===>=，由椭圆的定义即可求解；（2）设:1l y kx =-，11(,)M x y ，22(,)N x y ，联立直线与椭圆的方程，利用根与系数的关系计算12x x +，12x x，再计算1212121212(1)(1)y y kx kx k k x x x x ==⋅即可求解.【详解】（1）由(22:16C x y +=得，圆心C ，半径4r =，点D 在线段AB 的垂直平分线上， ||||DA DB ∴=，||||||||||4||DB DC DA DC AC r BC ∴+=+===>=由椭圆的定义可得动点D的轨迹是以(B，C 为焦点， 长轴长为24a =的椭圆．从而2222,2a c b a c ===-=，故所求动点D 的轨迹方程为22142x y +=．（2）设:1l y kx =-，11(,)M x y ，22(,)N x y由221142y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得22(21)420k x kx +--=，显然222(4)8(21)80k k k ∆=-++=+> 12122242,2121k x x x x k k ∴+==-++． 120,0x x ≠≠，∴可设直线PM 与PN 的斜率分别为12,k k 则121212k k ==222121212241)31)()321221kk k x x k x x k k x x k -⨯+-+++==+-+232k =+=-即直线PM 与PN 的斜率之积为定值． 【点睛】方法点睛：求轨迹方程的常用方法（1）直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量，如（距离和角）的等量关系，或几何条件简单明了易于表达，只需要把这种关系转化为,x y 的等式，就能得到曲线的轨迹方程；（2）定义法：某动点的轨迹符合某一基本轨迹如直线、圆锥曲线的定义，则可根据定义设方程，求方程系数得到动点的轨迹方程；（3）几何法：若所求轨迹满足某些几何性质，如线段的垂直平分线，角平分线的性质，则可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标即可；（4）相关点法（代入法）：若动点满足的条件不变用等式表示，但动点是随着另一动点（称之为相关点）的运动而运动，且相关点满足的条件是明显的或是可分析的，这时我们可以用动点的坐标表示相关点的坐标，根据相关点坐标所满足的方程，求得动点的轨迹方程；（5）交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现求两个动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数即可求出所求轨迹的方程.21．【2018年新课标I 卷文】已知函数()e 1xf x a lnx =--．（1）设2x =是()f x 的极值点．求a ，并求()f x 的单调区间；（2）证明：当1ea ≥时，()0f x ≥．【答案】(1) a =212e ；f （x ）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．(2)证明见解析.【详解】分析：(1)先确定函数的定义域，对函数求导，利用f ′（2）=0，求得a =212e ，从而确定出函数的解析式，之后观察导函数的解析式，结合极值点的位置，从而得到函数的增区间和减区间；(2)结合指数函数的值域，可以确定当a ≥1e 时，f （x ）≥e ln 1exx --，之后构造新函数g（x ）=e ln 1exx --，利用导数研究函数的单调性，从而求得g （x ）≥g （1）=0，利用不等式的传递性，证得结果.详解：（1）f （x ）的定义域为()0+∞，，f ′（x ）=a e x –1x． 由题设知，f ′（2）=0，所以a =212e ． 从而f （x ）=21e ln 12e x x --，f ′（x ）=211e 2e x x-． 当0<x <2时，f ′（x ）<0；当x >2时，f ′（x ）>0．所以f （x ）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增． （2）当a ≥1e 时，f （x ）≥e ln 1exx --．设g （x ）=e ln 1e x x --，则()e 1'e x g x x=-．当0<x <1时，g′（x ）<0；当x >1时，g′（x ）>0．所以x =1是g （x ）的最小值点． 故当x >0时，g （x ）≥g （1）=0． 因此，当1a e≥时，()0f x ≥．点睛：该题考查的是有关导数的应用问题，涉及到的知识点有导数与极值、导数与最值、导数与函数的单调性的关系以及证明不等式问题，在解题的过程中，首先要保证函数的生存权，先确定函数的定义域，之后根据导数与极值的关系求得参数值，之后利用极值的特点，确定出函数的单调区间，第二问在求解的时候构造新函数，应用不等式的传递性证得结果.22．平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为24x t y t =+⎧⎨=-+⎩(t 为参数)，以坐标原点O为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2(2cos 2) 3.ρθ-= （1）求曲线1C 的普通方程与2C 的直角坐标方程;（2）求2C 上的动点到1C 距离的取值范围.【答案】（1）1C 的普通方程为60x y +-=．2C 的直角坐标方程为2213x y +=；（2）⎡⎣．【解析】（1）把参数方程化为普通方程，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩化极坐标方程为直角坐标方程；（2）设2C 上的动点为,sin M αα），求出点M 到直线的距离，利用三角函数知识可得取值范围．【详解】（1）∵直线1C 的参数方程为24x t y t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），∴消去参数t ，得1C 的普通方程为60x y +-=． ∵曲线2C 的极坐标方程为2(2cos 2)3ρθ-=，22222cos sin )3ρρθθ∴--=（，2C ∴的直角坐标方程为22222)()3x y x y +--=（，即2213x y +=．（2）曲线2C 的参数方程为sin x y αα⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），设2C 上的动点为,sin M αα），则2C 上的动点到1C 距离|2sin()6|d πα+-==∵[]2sin()2,23πα+∈-，则2C 上的动点到1C 距离的最大值是∴2C 上的动点到1C 距离的取值范围是⎡⎣．【点睛】方法点睛：本题参数方程与普通方程的互化，考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，涉及到椭圆上的点到定直线的距离的最值问题时可用椭圆的参数方程，设出点的坐标（对22221x y a b+=可设cos ,sin x a y b αθ==），由点到直线的距离公式把问题转化为三角函数的最值．23．已知函数f (x )=2|x -1|+|x +2|. （1）求不等式f (x )≥6的解集; （2）若2()f x m m≥+对任意x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）(][),22,-∞-+∞．（2）()[],01,2-∞⋃．【解析】（1）根据绝对值的定义分类讨论去掉绝对值符号后可解不等式；（2）分类讨论去绝对值符号后求得函数()f x 的最小值，然后解关于m 的不等式，注意按分母m 的正负分类求解．【详解】（1）由不等式()6f x ≥可得：()2|1||2|6f x x x =-++≥，可化为：22226x x x ≤-⎧⎨---≥⎩或212226x x x -<<⎧⎨-++≥⎩或12226x x x ≥⎧⎨-++≥⎩ 解得：2x -≤或2x ≥，所以原不等式的解集为(][),22,-∞-+∞． （2）因为()3,2212=4,213,1x x f x x x x x x x -≤-⎧⎪=-++-+-<<⎨⎪≥⎩，所以()f x 在(),1-∞上单调递减，在[)1+∞，上单调递增， 所以min()(1)3f x f ==．要()2f x m m ≥+对任意R x ∈恒成立，只需23m m ≥+，即：2320m m m-+≤， 所以()()1200m m m ⎧--≤⎨>⎩或()()1200m m m ⎧--≥⎨<⎩，解得：12m ≤≤或0m <，所以，实数m 的取值范围为()[],01,2-∞⋃．【点睛】方法点睛：本题考查解含绝对值的不等式，绝对值不等式恒成立问题．解含绝对值的不等式的常用方法是利用绝对值的定义分类讨论去绝对值符号，然后解不等式．而不等式恒成立，在解关于参数m 的不等式时注意分式不等式的分类讨论求解．。

商南县高级中学2012—2013学年度 第一学期第三次模拟考试高三数学试题（文科）命题人 苏改琴 一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.已知集合}{2,A x x x R =≤∈,{|4,}B x x Z =≤∈,则A B ⋂=（ ）A)(0,2) (B)[0,2] (C){}0,2 (D){0,1,2} 2.复数z =1ii+在复平面上对应的点位于( ) （A ）第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限3.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线的方程为4x －3y ＝0，则此双曲线的离心率为( )A.45B.54C.35D.534．在等差数列{}n a 中，已知1232,13,a a a =+=则456a a a ++等于（ ）A ．40 B. 42 C. 43 D. 455．已知α为第四象限的角，且4sin(),tan 25παα+=则= （ ）A ．34- B ．34 C ．一43 D ．436．已知直线m 、n 及平面α、β，则下列命题正确的是( )A.⎭⎬⎫m ∥αm ∥β⇒α∥β B.⎭⎬⎫m ∥αm ∥n ⇒n ∥α C.⎭⎬⎫m ⊥αα⊥β⇒m ∥β D.⎭⎬⎫m ⊥αn ⊥α⇒m ∥n7.已知:p a =，:q 直线0x y +=与圆22()1x y a +-= 相切，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件C 充要条件 D.既不充分又不必要条件 8、若某程序框图如图1所示，则该程序运行后输出的B=（ ） A 、7 B 、15 C 、31D 、63俯视图侧视图正视图9.函数21()()log 3x f x x =-，若实数0x 是函数的零点，且100x x <<，则1()f x （ ）A.恒为正值B. 恒为负值C. 等于0D.不大于010.已知函数2()f x x bx =-的图像在点(1,(1))A f 处的切线l 与直线320x y -+=平行， 若数列1()f n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则2010S 的值为（ ） A. 20112012 B. 20102011 C.20092010 D. 20082009二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上）11.设函数122,1()1log ,1x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩,则[](2)f f 的值是 .12.若0,0>>y x ，且191=+yx ，则y x +的最小值为 13.若在区域34000x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩内任取一点P ，则点P 落在单位圆221x y +=内的概率为 ．14、若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为15、（考生只能从三个小题中选做一题，若多做，则以第一题为准） A ．（不等式选讲选做题）若存在实数x 满足不等式2|3||5|x x m m -+-<-，则实数m 的取值范围为 ．B.（极坐标系与参数方程）直线2cos 1ρθ=与圆2cos ρθ=相交的弦长为C.(几何证明选做题) 如图，⊙O 的直径AB =6cm ，P 是 延长线上的一点，过点P 作⊙O 的切线，切点为C ， 连结AC ，若︒=∠30CAP ，则PC = .三．解答题（本大题共6小题，共75分）16.（12分） 已知函数2()2sin cos f x x x x x R =+-∈（Ⅰ）化简函数f （x ）的解析式，并求函数f （x ）的单调增区间.（Ⅱ ）在锐角△ABC 中，若()1,f A AB AC =⋅=ABC 的面积．17．（12分） 某学校举行“科普与环保知识竞赛”，从中抽取了部分学生的成绩（均为整数），所得数据的分布直方图如图.已知图中从左至右前3个小组的频率之比为1：2：3，第4小组与第5小组的频率分别是0. 175和0.075，第2小组的频数为10，（Ⅰ）求所抽取学生的总人数.（Ⅱ）从成绩落在)5.0.5,650（和)5.100,5.90(的学生中任选两人，求他们的成绩在同一组的概率.18．（12分）如图：在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PA 的中点，F 为BC 的中点。

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作南昌三中2015届高三第三次模拟考试数学（文）试卷命题：罗燕红 审题：邱焱明 2015.5一、选择题(本大题共12小题，共60分)1．已知复数1i z =-，z 为z 的共轭复数，则下列结论正确的是（ ）A ．1i z =--B ．1+i z =-C ．2z =D ．2z =2. 在空间中，“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的( ) 条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要3. 设集合 A ＝{ x |－3≤2 x －1≤3}，集合 B 为函数 y ＝lg( x －1)的定义域，则 A ∩ B ＝（ ）A. (1,2)B. ［1,2］C. ［1,2)D. (1,2］ 4. 设 a ， b 是两个非零向量，（ ）A. 若|a +b |＝|a |－|b |，则a ⊥bB. 若a ⊥b ，则|a +b |＝|a |－|b |C. 若|a +b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得b ＝λaD. 若存在实数λ，使得b ＝λa ，则|a +b |＝|a |－|b | 5．已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，焦距为4.若P 为椭圆C 上一点，且12PF F ∆的周长为14，则椭圆C 的离心率e 为（ ） A ．15 B ．25 C ．45D ．2156. 设函数 f ( x )＝cos ωx ( ω＞0)，将 y ＝ f ( x )的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则 ω的最小值等于( )A. B. 3 C. 6 D. 97. 若正数 x ， y 满足 x +3 y ＝5 xy ，则3 x +4 y 的最小值是（ ）A. B. C. 5 D. 68. 执行如图所示的程序框图，则输出的 S 值是（ ）A. －1B.C.D. 49、已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为（ ）A ．16πB ．4πC ．8πD ．2π 10. 设平面点集 A ＝{( x ， y )|( y － x )( y －1x)≥0}， B ＝{( x ， y )|( x －1) 2+( y －1) 2≤1}，则 A ∩ B 所表示的平面图形的面积为（ ）A. B. C. D.11. 设函数 f ( x )＝( x －3) 3+ x －1，{ a n }是公差不为0的等差数列， f ( a 1)+ f ( a 2)+…+ f ( a 7)＝14，则 a 1+ a 2+…+ a 7＝（ ）A. 0B. 7C. 14D. 21 12. 设函数y= 在(-∞,+∞)内有定义，对于给定的正数K,定义函数(),()(),()k f x f x Kf x K f x K≤⎧=⎨>⎩ 取函数()2xf x -= ，当 12K =时，函数f K (x)的单调递增区间为 ( ) A. (-∞,0) B. (0,+∞) C. (-∞,-1) D. (1,+∞） 二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13. 当函数 y ＝sin x －3cos x (0≤ x ＜2π)取得最大值时， x ＝ _______.14. 如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第 n 行有 n 个数，且两端的数均为1n， 每个数是它下一行左右相邻两数的和，如图 ，则第10行第3个数（从左往右数）为_______．15. 已知双曲线 E 的中心为原点， F (3,0)是 E 的焦点，过 F 的直线 l 与 E 相交于 A ， B 两点，且 AB 的中点为N (－12，－15)，则 E 的方程为_______16. 设函数 f ( x )＝ x 2－1，对任意 x ∈[，＋∞)， f ()－4 m 2f ( x )≤ f ( x －1)＋4 f ( m )恒成立，则实数 m 的取值范围是______ ．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分） 已知函数2()sin(2)2cos 16f x x x π=-+-. （1）求函数()f x 的单调增区间；（2）在ABC ∆中，a b c 、、分别是角A B C 、、的对边，且2,1=+=c b a ， 21)(=A f ，求ABC ∆的面积.18．（本小题满分12分）某次模块测试后老师对全班50名学生的数学考试成绩分男女生进行了统计（满分150分），其中120分（含120分）以上为优秀，绘制了如下的两个频率分布直方图：（I ）根据以上两个直方图完成下面的22⨯列联表：成绩性别 优 秀 不 优 秀总 计 男 生 女 生 总 计（II ）根据（I ）中表格的数据计算，你有多大把握认为学生的数学成绩与性别之间有关系？ 下面的临界值表供参考：()2P K k ≥0．15 0．10 0．05 0．025 0．010 0．005 0．001 k2．0722．7063．8415．0246．6357．87910．828（参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）（III ）若从成绩在[]130,140的学生中任取2人，求取到的2人中至少有1名女生的概率．19．（本小题满分12分）四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，且12PA AB AD CD ===，//AB CD ，90ADC ∠=︒.(1) 在侧棱PC 上是否存在一点Q ，使//BQ 平面PAD ？证明你的结论； (2) 求证：平面PBC ⊥平面PCD .20.（本小题满分14分）已知椭圆C 过点6(1,)2M ，点(2,0)F -是椭圆的左焦点，点P 、Q 是椭圆C 上的两个动点，且PF 、MF 、QF 成等差数列．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求证：线段PQ 的垂直平分线经过一个定点A .21. （本小题满分13分）已知函数)(ln )(R a x a x x f ∈-=. （Ⅰ）当2=a 时，求曲线()f x 在1x =处的切线方程； （Ⅱ）设函数xax f x h ++=1)()(，且)(x h 在定义域上为单调递增函数，求a 的取值范围； （Ⅲ）若xax g +-=1)(，在)71828.2](,1[ =e e 上存在一点0x ，使得)()(00x g x f ≤成立，求a 的取值范围.四．选做题（22.23两选一）22．（10分）（选修4-4：极坐标与参数方程选讲）已知：曲线C 的极坐标方程为：cos a ρθ= (0)a >，直线的参数方程为：21222x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ （t 为参数） （1） 求曲线C 与直线的普通方程；（2） 若直线与曲线C 相切，求a 值。

河北正定中学三轮模拟练习文科数学试卷（三）说明:一、本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷．第Ⅰ卷为选择题；第Ⅱ卷为非选择题，分为必考和选考两部分．二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”,按照“注意事项"的规定答题．三、做选择题时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑．如需改动，用橡皮将原选涂答案擦干净后，再选涂其他答案．四、考试结束后，将本试卷与原答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（1）已知集合{1,0,1}=+∈∈中元素的个数是A=-,则集合{|,}B x y x A y A(A）1 （B）3 (C) 5 （D）9(2）若复数z满足24=+,则在复平面内，z的共轭复数z对应的点的坐标是iz i（A）(2,4)（B）(2,4)-（C）(4,2)-（D)(4,2)(3）下列说法错误的是(A ）命题“若2560x x -+=，则2x =”的逆否命题是“若2x ≠，则2560x x -+≠”（B ）若,x y R ∈，则“x y ="是“2()2x y xy +≥”的充要条件（C ）已知命题p 和q ,若p q ∨为假命题，则命题p 与q 中必一真一假 （D ）若命题0:p x R ∃∈,20010x x ++<，则:p x R ⌝∀∈，210x x ++≥(4）公差不为零的等差数列{}na 的前n 项和为nS ，若3a 是2a 与6a 的等比中项,48S=，则6S =（A ）18 (B ）24 (C ）60 （D ）90 （5)执行如右图所示的程序框图，则输出的T 值为（A ）55（B ）30 （C ）91 （D ）100（6）已知向量(1,0)a =，(0,1)b =-,2(0)c k a kb k =+≠，d a b =+，如果//c d ，那么(A ）1k =且c 与d 同向 (B ）1k =且c 与d 反向 （C ）1k =-且c 与d 同向 （D ）1k =-且c 与d 反向（7）若y kx =与圆22(2)1x y -+=的两个交点关于20x y b ++=对称,则,k b 的值分别为（A)1,42k b =-=- （B ）1,42k b ==- （C ）1,42k b =-= (D ）1,42k b ==(8）某几何体的三视图如图1所示,且该几何体的体积是32，则正视图中的x 的值是（A) 2（B ） 92(C) 32（D ） 3(9)若当4x π=时，函数()sin()(0)f x A x A ϕ=+>取得最小值，则函数()4y f x π=-是(Ａ)奇函数且图像关于点(,0)2π对称 （Ｂ)偶函数且图像关于直线2x π=对称(Ｃ）奇函数且图像关于直线2x π=对称 (Ｄ)偶函数且图像关于点(,0)2π对称（10)函数()(2)()f x x ax b =-+为偶函数,且在(0,)+∞单调递增,则(2)0f x ->的解集为 (A ）{|22}x x x ><-或 （B ）{|22}x x -<< (C){|04}x x x <>或 （D ）{|04}x x <<（11）已知双曲线221x y m-=的中心在原点O ,双曲线两条渐近线与抛物线2ymx =交于A ，B 两点,且OAB S ∆=（A（B)2 （C（D(12）函数()f x 的定义域为实数集R ，,01,()1()1,102x x x f x x ≤≤⎧⎪=⎨--≤<⎪⎩，对于任意的x R ∈都有(1)(1)f x f x +=-,若在区间[1,3]-上函数()()g x f x mx m =--恰有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是（A ）10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦(B ）10,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭（C ）10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦（D ）10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题,每题5分.（13）ABC ∆中,60,A A ∠=︒∠的平分线AD 交边BC 于D ，已知3AB =，且1()3AD AC AB R λλ=+∈,则AD 的长为________。

陕西省宝鸡市 高三第三次模拟考试数学（文）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部份，其中第Ⅱ卷第l 5考题为三选一，其它题为必考题，考生作答时，将答案写在答题卡上，在本试卷上答题无效，本试卷满分1 50分，考试时间120分钟．注意事项： 1．答题前，务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上2．选择题答案使刚2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案利用0’．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚，将答案书写在答题卡规定的位置上． ‘’ ’3．所有题目必需在答题卡上作答，在斌卷上答题无效．参考公式：样本数据n x x x ,,,21 的标准差；x x x x x x x ns n 其中],)()()[(122221-+-+-=为样本平均数； 柱体体积公式：为底面面积其中S Sh V ,=、h 为高；锥体体积公式：h S Sh V ,,31为底面面积其中=为高； 球的表面积、体积公式：,34,432R V R S ππ==其中R 为球的半径。

第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，’只有一项是符合题目要求的）： 1．已知全集*},51|{N x x x U ∈<<=，集合A={2，3}，则A C U =A ．{2，3，4}B ．{2，3}C ． {4}D ．{1，4}【答案】C【解析】全集{}{|15,*}2,3,4U x x x N =<<∈=，又集合A={2，3}，所以A C U = {4}。

2．复数ii i i -++1432在复平面内对应的点与原点的距离为A ．22B ．1C ．2D ．2【答案】A【解析】234-1-1-11===-11122i i i i i i i i i +++---，所以复数i i i i -++1432在复平面内对应的点与2211222⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

2023届四川省攀枝花市高三第三次统一考试数学（文）试题一、单选题1．设集合，，则（ ）{}13,Z M x x x =-<≤∈{}1,0,1,2N =-M N ⋂=A ．B ．C ．D ．{}12x x -<≤{}1,0,1,2-{}0,1,2{}1,0,1,2,3-【答案】C【分析】化简集合，根据交集的定义求解即可.M 【详解】因为，{}13,Z M x x x =-<≤∈所以，又，{}0,1,2,3M ={}1,0,1,2N =-所以.{}0,1,2M N = 故选：C.2．如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数（i 为虚数单位）i1i z a =-为“等部复数”，则实数a 的值为（ ）A ．B ．C ．0D ．13-1-【答案】B【分析】先化简复数，利用“等部复数”的定义：实部和虚部相等，列出方程求出的值．z a 【详解】，222(1i)i i 1i ((1i i 1i 1i))111a a a z a a a a a a +-+-==+-==++++-复数为“等部复数”，i1i z a =-，22111a a a -∴=++1a ∴=-故选：B ．3．攀枝花昼夜温差大，是内陆地区发展特色农业的天然宝地，干热河谷所孕育的早春蔬菜为大家送去新鲜优质的维生素和膳食纤维.下图为攀枝花年月日至日的最高气温与最低气温的天20233612气预报数据，下列说法错误的是（ ）A ．这天的单日最大温差为度的有天7172B ．这天的最高气温的中位数为度729C ．这天的最高气温的众数为度729D ．这天的最高气温的平均数为度729【答案】D【分析】确定这天的单日最大温差为度的日期，可判断A 选项；利用中位数的定义可判断B 717选项；利用众数的概念可判断C 选项；利用平均数公式可判断D 选项.【详解】对于A 选项，这天的单日最大温差为度为月日、月日，共天，A 对；7173103112对于B 选项，这天的最高气温由小到大依次为：、、、、、、（单位：），728282929293031C故这天的最高气温的中位数为度，B 对；729对于C 选项，这天的最高气温的众数为度，C 对；729对于D 选项，这天的最高气温的平均数为，D 错.728229330312042977⨯+⨯++=>故选：D.4．如图所示的程序框图中，若输出的函数值在区间内，则输入的实数x 的取值范围是()f x []3,2-（ ）A ．B ．[]4,1-[]2,4-C ．D ．[]1,4-[]1,2-【答案】B【分析】根据程序框图，明确该程序的功能是求分段函数的值，由此根据该函2log ,1()1,1x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩数值域，可求得答案.【详解】由程序框图可知：运行该程序是计算分段函数的值，该函数解析式为 ，2log ,1()1,1x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩输出的函数值在区间 内 ，[]3,2-必有当时，，，1x >20log 2x <≤14x ∴<≤当 时 ，，，1x ≤310x -≤-≤21x ∴-≤≤即得 ．[2,4]x ∈-故选∶B ．5．若角的终边上有一点，则（ ）β()2,1P tan 2β=A ．B ．C ．D ．4343-4545-【答案】A【分析】根据正切函数的定义及二倍角的正切公式求解.【详解】因为角的终边上有一点，β()2,1P 所以，1tan 2β=所以，22tan 14tan 211tan 314βββ===--故选：A6．对于直线m 和平面，，下列命题中正确的是（ ）αβA ．若，，则B ．若，，则//m α//αβ//m βm β⊥αβ⊥//m αC ．若，，则D ．若，，则m α⊥//αβm β⊥m α⊂αβ⊥m β⊥【答案】C【分析】根据线面关系和面面关系逐项判断可得出答案.【详解】对于A ，若，，则或，故A 错误；//m α//αβ//m βm β⊂对于B ，若，，则或，故B 错误；m β⊥αβ⊥//m αm α⊂对于C ，若，，则，故C 正确；m α⊥//αβm β⊥对于D ，若，，则与相交或或，故D 错误.m α⊂αβ⊥m β//m βm β⊂故选：C.7．已知，，，，若“p 且q ”是真命题，则实数a:[1,2]p x ∀∈20x a -≥0:q x ∃∈R 200220x ax a ++-=的取值范围是（ ）A ．B ．C ．或D ．且2a ≤-1a ≤2a ≤-1a =2a >-1a ≠【答案】C【分析】分类讨论为真和为真时，的取值，进而利用集合的交集关系，即可求解p qa 【详解】若p 真，则；若q 真，则或．又因为“p 且q ”是真命题，所以或1a ≤2a ≤-1a ≥2a ≤-．1a =故选：C ．8．已知，c ＝sin1，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）0.0232log 8,π==a b A ．c ＜b ＜a B ．c ＜a ＜bC ．a ＜b ＜cD ．a ＜c ＜b【答案】D【分析】由对数的运算法则求出a ,然后根据指数函数与正弦函数的单调性分别对b ,c 进行放缩，最后求得答案.【详解】由题意，，，533223log 8log 20.65a ====0.020ππ1b =>=，则.ππsinsin1sin 43c <<⇒<<a c b <<故选：D.9．八角星纹是大汶口文化中期彩陶纹样中具有鲜明特色的花纹.八角星纹以白彩绘成，黑线勾边，中为方形或圆形，具有向四面八方扩张的感觉.图2是图1抽象出来的图形，在图2中，圆中各个三角形为等腰直角三角形.若向图2随机投一点，则该点落在白色部分的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．32π2π1285π【答案】D【分析】计算出白色部分对应的面积后根据几何概型的概率公式可求概率.【详解】设圆的半径为2，如图设与交于，设的中点为，连接.HC AF P AF M ,OM AO 则，设，则，故，OM AF ⊥AP a =222354222a a a ⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭285a =而题设中空白部分的面积为，22214342a a ⎫⨯⨯⨯+=⎪⎪⎭故点落在白色部分的概率是，22484ππ5πa a ==故选：D.10．已知双曲线，A 为双曲线C 的左顶点，B 为虚轴的上顶点，直线l 垂()2222:10,0x y C a b a b -=>>直平分线段，若直线l 与C 存在公共点，则双曲线C 的离心率的取值范围是（ ）AB A ．B ．C ．D．)+∞)+∞(【答案】B【分析】先根据题意求得直线l 的斜率，再根据直线l 与C 存在公共点，只需直线l 的斜率大于渐近线的斜率即可求解.ba -【详解】依题意，可得，则，()(),0,0,A a B b -00AB b bk a a -==+又因为直线l 垂直平分线段，所以，AB l a k b =-因为直线l 与C 存在公共点，所以，即，a b ba ->-22a b <则，即，解得222a c a <-2222,2c e a <>e >所以双曲线C 的离心率的取值范围是.)+∞故选：B11．已知函数对任意都有，则当取到最大值时，()()πsin 03f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭3π0,8x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()12f x >ω图象的一条对称轴为（ ）()f x A ．B ．π8x =3π16x =C ．D ．π2x =3π4x =【答案】A【分析】先根据，得到，结合，得到的范围，求3π0,8x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ3ππ3383x ωω<+<+1()2f x >3ππ83ω+出的范围，进而得到的最大值为，再利用整体法求出函数的对称轴，得到答案.ωω43【详解】，,3π0,8x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 0ω>，ππ3ππ3383x ωω∴<+<+，1()2f x >，π3ππ5π3836ω∴<+≤，所以的最大值为，403ω∴<≤ω43当时，令，43ω=4π()sin 33f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭4πππ,Z 332x k k +=+∈解得，π3π,Z 84x k k =+∈当时，对称轴为，经检验，其他三个均不合要求.0k =π8x =故选：A12．定义在R 上的连续函数满足，且为奇函数.当时，()f x ()()11f x f x -=+()42y f x =+(]2,3x ∈，则（ ）()()()3232f x x x =---(2022)(2023)f f +=A ．B ．C ．2D ．01-2-【答案】B【分析】首先根据题意，得到，，从而得到函数的周期()()2=f x f x -()()22f x f x -+=-+()f x 为，再根据求解即可.4()()20233f f =【详解】因为函数满足，所以关于对称，()f x ()()11f x f x -=+()f x 1x =即①.()()2=f x f x -又因为为奇函数，所以，()42y f x =+()()4242f x f x -+=-+即②.()()22f x f x -+=-+由①②知，()()2=-+f x f x 所以，()()()24f x f x f x +=-+=-即，所以函数的周期为，()()4f x f x =+()f x 4所以，()()()2023505433f f f =⨯+=,()()()2022505422=⨯+=f f f 因为时，，(]2,3x ∈()()()3232f x x x =---所以，3(3)(32)3(32)2f =---=-又为奇函数，所以当时，，(42)y f x =+0x =(2)0f =所以，(2022)(2023)022f f +=-=-故选：B.二、填空题13．已知实数x ，y 满足约束条件，则的最大值为___________.010x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩2z x y =+【答案】2【分析】画出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，代入即可求解.【详解】作出约束条件对应的平面区域，如图所示，010x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩由，可得直线，2z x y =+122z y x =-+当直线过点A 时，此时直线在轴上的截距最大，此时取得最大值，122zy x =-+y z 又由，解得，010x x y =⎧⎨+-=⎩(0,1)A 所以的最大值为.z 0212z =+⨯=故答案为：2.14．已知抛物线的焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则2:4C y x =________.OA OB ⋅=【答案】3-【分析】求出抛物线的焦点坐标，用点斜式求出直线的方程，将直线方程与抛物线联立得到一AB 元二次方程，利用韦达定理得到，，由即可求出.126x x +=121=x x 1212OA OB x x y y ⋅=+【详解】抛物线的焦点为，24y x =()1,0设A ，B 两点的坐标为和，由题意得直线的方程为，11(,)x y 22(,)x y AB 1y x =-将直线和抛物线联立，可得，241y x y x ⎧=⎨=-⎩2610x x -+=其中，364320∆=-=>则，，126x x +=121=x x .1212OA OB x x y y ⋅=+()()121211x x x x +--=()121221x x x x =-++21613=⨯-+=-故答案为：3-15．如图，圆台中，O 在线段上，上下底面的半径分别为12O O 12O O =12OO ，________.11r =2r =【答案】69π5【分析】列出外接球半径所满足的方程，解出半径，得外接球表面积.【详解】设外接球半径为R，，=26920R =所以外接球表面积为，269π4π5R =故答案为：.69π516．如图，四边形中，与相交于点O ，平分，ABCD AC BD AC DAB ∠，，则的值_______.π3ABC ∠=33AB BC ==sin DAB ∠【分析】由余弦定理求出AC =sin BAC ∠=【详解】在中，，ABC π,3,13ABC AB BC ∠===由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC ABC ∠=+-⨯⨯，2213123172=+-⨯⨯⨯=所以.AC =由正弦定理得，sin sin BC ACBAC ABC =∠∠即sin sin BC ABC BAC AC ∠∠⋅===cos BAC ∠=又因为平分，所以.AC DAB∠sin 2sin cos DAB BACBAC ∠∠∠==三、解答题17．某企业从生产的一批产品中抽取个作为样本，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结100果制成如图所示的频率分布直方图.(1)求这件产品质量指标值的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数；100x(2)用频率代替概率，按分层抽样的方法从质量指标值位于、内的产品中随机抽取[)15,25[)35,45个，再从这个产品中随机抽个，求这个产品质量指标值至少有一个位于内的概率.6622[)35,45【答案】(1)平均数为，中位数为25x =23.75(2)35【分析】（1）将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，将所得结果全部相加可得出，利用x 中位数的定义可求得样本的中位数；（2）分析可知质量落在有个，分别记为、、、，质量落在有个，分别[)15,254A B C D [)35,452记为、，列举出所有的事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可a b 求得所求事件的概率.【详解】（1）解：由已知得．100.01510200.04010300.02510400.0201025x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=因为．设中位数为，则，0.150.40.5+>x ()15,25x ∈则，解得．()0.015100.04150.5x ⨯+⨯-=23.75x =（2）解：质量指标值位于、内的产品的频率分别为，[)15,25[)35,450.04100.4⨯=，其中，0.02100.2⨯=0.4:0.22:1=所以用分层抽样的方法抽取的个产品中，质量落在有个，6[)15,254分别记为、、、，质量落在有个，分别记为、，A B C D [)35,452a b 则从这个产品中随机抽个，共种情况，如下：、、、、、、6215AB AC AD Aa Ab BC 、、、、、、、、，这种情况发生的可能性是相等的.BD Ba Bb CD Ca Cb Da Db ab 15设事件为从这个产品中随机抽个，M 62这个产品质量指标值至少有一个位于内，2[)35,45有、、、、、、、、，共种情况.Aa Ab Ba Bb Ca Cb Da Db ab 9则.()93155P M ==18．已知等差数列的公差为，前n 项和为，现给出下列三个条件：①成等{}n a ()0d d ≠n S 124,,S S S 比数列；②；③.请你从这三个条件中任选两个解答下列问题.432S =()6632S a =+(1)求数列的通项公式；{}n a (2)若，且，设数列的前n 项和为，求证：.()122n n n b b a n --=≥13b =1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n T 1132n T ≤<【答案】(1)42n a n =-(2)证明见解析【分析】（1）先分析条件①②③分别化简，若选①②，①③，②③，联立化简后条件求首项与公差得出通项公式即可；（2）由，利用累加法求出求出，再由裂项相消法求出的前n 项和，结()122n n n b b a n --=≥n b 1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭合的单调性可得证.n T 【详解】（1）由条件①得，因为，，成等比数列，则，1S 2S 4S 2214S S S =即，又，则，()()2111246a d a a d +=+0d ≠12d a =由条件②得，即，414632S a d =+=13162a d +=由条件③得，可得，即.()6632S a =+()11615352a d a d +=++12a =若选①②，则有，可得，则；1122316d a a d =⎧⎨+=⎩124a d =⎧⎨=⎩()1142n a a n d n =+-=-若选①③，则，则；124d a ==()1142n a a n d n =+-=-若选②③，则，可得，所以.1343162a d d +=+=4d =()1142n a a n d n =+-=-（2）由，且，()12284n n n b a n b n -=--=≥13b =当时，2n ≥则有()()()()1213213122084n n n b b b b b b b b n -=+-+-++-=++++- ()()2841213412n n n -+-=+=-又也满足，故对任意的，有，13b =241n b n =-*n ∈N 241n b n =-则，()()11111212122121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭所以，21111112111121233521121n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭⎝⎭⎭⎝⎭⎣⎦ 由于单调递增，所以，21n n T n =+113n T T ≥=综上：.1132n T ≤<19．如图1，圆O 的内接四边形中，，，直径.将圆沿折ABCD 45DAC ∠=︒60CAB ∠=︒2AC =AC 起，并连接、、，使得为正三角形，如图2.OB OD BD BOD(1)证明：图2中的平面；AB ⊥BCD (2)在图2中，求三棱锥的体积.D OBC -【答案】(1)证明见解析【分析】（1）利用勾股定理证明，然后结合可证；AB BD ⊥AB BC ⊥（2）利用可求答案.12D OBC O BCD A BCDV V V ---==【详解】（1）由题意得到，.1AB BD ==AD =222AD AB BD =+所以.AB BD ⊥因为为直径所对的圆周角，所以.ABC ∠AB BC ⊥又，平面，平面，BD BC B ⋂=BD ⊂BCD BC ⊂BCD 平面.∴AB ⊥BCD （2）因为平面，平面，AB ⊥BCD CD ⊂BCD所以，因为，，AB CD ⊥AD CD ⊥AB AD A ⋂=所以平面，因为平面，所以，DC ⊥ABD BD ⊂ABD DC BD ⊥所以1122D OBC O BCD A BCD V V V AB BD DC ---===⋅⋅20．已知椭圆的焦点坐标为和，且椭圆经过点.C ()12,0F -()22,0F G ⎛ ⎝(1)求椭圆的标准方程；C (2)椭圆的上、下顶点分别为点和，动点在圆上，动点在椭圆上，直线、C M N A 221x y +=B C MA 的斜率分别为、，且.证明：、、三点共线.MB 1k 2k 125k k =N A B 【答案】(1)2215x y +=(2)证明见解析【分析】（1）求出的值，利用椭圆的定义可求得，进而可求得的值，由此可得出椭圆的标c a b C 准方程；（2）计算得出，结合已知条件可得出，即可证得结论成立.15BM BN k k ⋅=-AN BN k k =【详解】（1）易知椭圆的.2c =点在椭圆上，且G 12GF GF +==∴2a a =⇒=由得，椭圆的标准方程为：.222a b c =+1b =∴C 2215x y +=（2）设，()22,B x y因为.22222222222211111555BM BNy y y y k k x x x y -+--⋅=⋅===--由得.125k k =21115BN k k k =-=-为圆的直径，所以，，.MN 221x y +=NA MA ⊥∴11AN BN k k k =-=故、、三点共线.N A B 【点睛】关键点点睛：本题考查三点共线的证明，解题的关键在于根据椭圆的方程计算得出，以及由圆的几何性质得出，结合斜率关系来进行证明.15BM BN k k ⋅=-NA MA ⊥21．已知函数在处的切线方程为.()e ln x f x x a x=-1x =()2e 1y x b =+-(),a b R ∈(1)求实数a ，b 的值；(2)当时，恒成立，求正整数m 的最大值.1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()2e 0x f x x m --+<【答案】(1)，1a =-e 1b =+(2)3【分析】（1）求出导数，根据题意列出方程组求解即可得解；（2）分离参数转化为的最小值，利用导数判断单调性及极值确定最小值()()2e ln x g x x x x=-+-+为，根据单调性求出的范围即可得解.()00212g x x x =-++()0g x 【详解】（1）定义域为，.()0,∞+()()1e x af x x x '=+-由题意知，()()12e 2e 112e 1e f a f b ⎧=-=+⎪⎨=+-='⎪⎩解得，.1a =-e 1b =+（2）由题意有恒成立，即恒成立()2e ln 0x x x x m -+-+<()2e ln x m x x x <-+-+设，，.()()2e ln xg x x x x =-+-+1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()11e x g x x x ⎛⎫'=-- ⎪⎝⎭当时，，∴112x ≤≤10x -≥令，其中，则()1e x h x x =-1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()21e 0x h x x '=+>所以函数在上单调递增()1e x h x x =-1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦因为，，所以存在唯一，1202h ⎛⎫=< ⎪⎝⎭()1e 10h =->01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得，即，可得.()0001e 0x h x x =-=001e x x =00ln x x =-当时，，此时函数单调递减，012x x <<()0g x '>()g x 当时，，此时函数单调递增.01x x <<()0g x '<()g x ，∴()()()()00000000min 00122ln 2212x g x g x x e x x x x x x x ==-+-+=-+⋅+=-++，由对勾函数性质知函数在递减，21122(1y x x x x =-++=+-()0,1x ∈，.01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴()()0002123,4g x x x =-++∈当时，不等式对任意恒成立，∴3m ≤()2e ln xm x x x <-+-+1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦正整数m 的最大值是3.∴【点睛】关键点点睛：第一个关键点首先要分离参数，将问题转化为恒成立，()2e ln x m x x x<-+-+第二个关键在于求取函数的最小值，需结合零点存在性定理得出隐零点()()2e ln x g x x x x=-+-+，分析的范围.01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()000212g x x x =-++22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（t 为参数），曲线xOy 1C 11x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.()222:24C x y -+=(1)求，的极坐标方程；1C 2C (2)若射线分别与曲线，相交于A ，B 两点，求的面积.()π06θρ=≥1C 2C 2C AB △【答案】(1)，2cos 24ρθ=4cos ρθ=【分析】（1）两式平方相减消去参数即可得出曲线普通方程；利用将直角坐标方程1C cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩转化为极坐标方程；（2）利用极坐标的几何意义，求得的长，利用直线与夹角为及的长，求得AB 2OC π6θ=π62OC 边上的高，从而求得面积.AB 【详解】（1）依题意得，化简整理得：2222221212x t t y t t ⎧=++⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩224x y -=令，，化简得.cos x ρθ=sin y ρθ=2cos 24ρθ=对于，化简得：.()22222440x y x y x -+=⇒+-=4cos ρθ=（2）设，(),A A ρθ(),B B ρθ依题意得，解得2cos 24π6ρθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩A ρ=，解得，4cos π6ρθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩Bρ=∴B A AB ρρ=-=-设到射线的距离为d ，2C π6θ=，解得，2πsin6d OC =1d =∴(21122C AB S AB d =⋅==△23．已知函数.()13f x x x =-+-(1)解不等式；()1f x x ≤+(2)设函数的最小值为c ，正实数a ，b 满足，求的最小值.()f x a b c +=111a b ++【答案】(1)[]1,5(2)43【分析】（1）分类讨论去绝对值符号解不等式；（2）利用绝对值三角不等式得c 的值，再利用基本不等式求的最小值.111a b ++【详解】（1）当时，不等式可化为，，1x <4211x x x -≤+⇒≥x ∈∅当时，不等式可化为，得，即.13x ≤≤21x ≤+1x ≥13x ≤≤当时，不等式可化为，得，即.3x >241x x -≤+5x ≤35x <≤综上所述，原不等式的解集为.[]1,5（2）由绝对值不等式性质得，()()13132x x x x -+-≥-+-=所以，即.2c =2a b +=所以.()1111111412131313b a a b a b a b a b +⎛⎫⎛⎫⎡⎤+=+++=++≥ ⎪ ⎪⎣⎦+++⎝⎭⎝⎭当且仅当，即时取到等号，21a b a b +=⎧⎨=+⎩3212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以的最小值为.111a b ++43。

安徽省“江淮十校”2025届高三第三次模拟考试数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若函数()2ln f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,2D ．()2,e2．若复数z 满足()1i z i +=（i 是虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．12B ．12-C ．12i D ．12i -3．已知函数()(0x f x m m m =->，且1)m ≠的图象经过第一、二、四象限，则|(2)|a f =，384b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，|(0)|c f =的大小关系为( ) A ．c b a << B ．c a b << C ．a b c <<D ．b a c <<4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．53π B ．43π C ．223π+D ．243π+5．已知直线22+=mx ny ()0,0m n >>过圆()()22125x y -+-=的圆心，则11m n+的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．46．已知集合{}1,3,5,7A =，{}2,3,4,5B =，则AB =A ．{}3B ．{}5C ．{}3,5D ．{}1,2,3,4,5,77．给出下列四个命题：①若“p 且q ”为假命题，则p ﹑q 均为假命题；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③若命题0:p x R ∃∈，200x ≥，则命题:p x R ⌝∀∈，20x <；④设集合{}1A x x =>，{}2B x x =>，则“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件；其中正确命题的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．48．泰山有“五岳之首”“天下第一山”之称，登泰山的路线有四条：红门盘道徒步线路，桃花峪登山线路，天外村汽车登山线路，天烛峰登山线路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的线路时，发现三人走的线路均不同，且均没有走天外村汽车登山线路，三人向其他旅友进行如下陈述： 甲：我走红门盘道徒步线路，乙走桃花峪登山线路； 乙：甲走桃花峪登山线路，丙走红门盘道徒步线路； 丙：甲走天烛峰登山线路，乙走红门盘道徒步线路；事实上，甲、乙、丙三人的陈述都只对一半，根据以上信息，可判断下面说法正确的是（ ） A ．甲走桃花峪登山线路 B ．乙走红门盘道徒步线路 C ．丙走桃花峪登山线路D ．甲走天烛峰登山线路9．若双曲线E ：22221x y a b-=（0,0a b >>）的一个焦点为(3,0)F ，过F 点的直线l 与双曲线E 交于A 、B 两点，且AB 的中点为()3,6P --，则E 的方程为（ ）A ．22154x y -=B ．22145x y -=C ．22163x y -=D ．22136x y -=10．水平放置的ABC ，用斜二测画法作出的直观图是如图所示的A B C '''，其中2,O A O B ''''== 3O C ''=，则ABC 绕AB 所在直线旋转一周后形成的几何体的表面积为（ ）A ．83πB ．163πC ．(833)π+D ．(16312)π+11．已知全集，，则（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知向量11,,2a b m ⎛⎫==⎪⎝⎭，若()()a b a b +⊥-，则实数m 的值为（ ） A ．12B ．32C ．12±D ．32±二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

肇庆市高中毕业班2025届高三第三次模拟考试数学试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若函数()()222cos 137f x x x m x m m =+-+++-有且仅有一个零点，则实数m 的值为（ ）A ．3372-- B ．3372-+ C ．4- D ．22．若01a b <<<，则b a ， a b ， log b a ，1log ab 的大小关系为（ ）A ．1log log b a b aa b a b >>> B ．1log log a bb ab a b a >>> C ．1log log b ab aa ab b >>>D ．1log log a bb a a b a b >>>3．中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 的两条渐近线与圆22(2)1x y -+=都相切，则双曲线C 的离心率是（ ）A ．2或233B ．2或3C ．3或62D ．233或624．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 A ．B ．C ．D ．5．已知()5x a +展开式的二项式系数和与展开式中常数项相等，则2x 项系数为（ ） A ．10 B ．32 C ．40 D ．806．已知数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是公比为13的等比数列，且10a >，若数列{}n a 是递增数列，则1a 的取值范围为（ ）A ．(1,2)B ．(0,3)C ．(0,2)D ．(0,1)7．函数2|sin |2()61x x f x x=-+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8．在复平面内，复数21(1)ii +-对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．已知复数(2)1ai iz i+=-是纯虚数，其中a 是实数，则z 等于（ ）A ．2iB ．2i -C ．iD ．i -10．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．103B ．3C ．83D ．7311．已知集合A {x x 0}︱=>，2B {x x x b 0}=-+=︱，若{3}A B ⋂=，则b =（ ） A ．6-B ．6C ．5D ．5-12．设全集()(){}130U x Z x x =∈+-≤，集合{}0,1,2A =，则U C A ＝( ) A ．{}1,3-B ．{}1,0-C ．{}0,3D ．{}1,0,3-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2022届成都市郫都区高三第三次阶段考试数学（文）试题一、单选题1．设集合{}1,2,3,4,5U =，{}1,3,4A =，则UA （ ）A ．{}1,3,4B ．{}1,2,3,4,5C ．{}2,5D ．{}1,2,5【答案】C【分析】根据补集的定义可求得结果.【详解】因为集合{}1,2,3,4,5U =，{}1,3,4A =，则2,5UA .故选：C.2．若复数z 满足()i i 2z -=，则z 的虚部为（ ） A ．0 B ．1C ．-1D ．i【答案】C【分析】根据除法运算求得复数z ，最后确定复数z 的虚部. 【详解】解：因为()i i 2z -=，所以22i +i +i 2i+i i i i iz ===-=-⋅， 所以z 的虚部为1-， 故选：C.3．已知命题:p 垂直于同一平面的两直线平行；命题:q 平行于同一平面的两直线平行.则下列命题中正确的是（ ） A ．()()p q ⌝∧⌝ B ．p q ∧C ．()p q ⌝∨D ．p q ∨【答案】D【分析】判断命题p 、q 的真假，利用复合命题的真假可得出合适的选项. 【详解】垂直于同一平面的两直线平行，命题p 为真命题， 平行于同一平面的两直线平行、相交或异面，命题q 为假命题， 所以，()()p q ⌝∧⌝、p q ∧、()p q ⌝∨均为假命题，p q ∨为真命题. 故选：D.4．若n S 为数列{}n a 的前n 项和，且22n n S a =-，则n a 等于（ ） A ．2n B ．2nC ．12n -D ．12n +【答案】B【分析】利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得n a .【详解】1n =时，11122,2a a a =-=.2n ≥时，1122n n S a --=-，11122,2n n n n n n n a S S a a a a ---=-=-=，所以数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列， 所以2n n a =. 故选：B5．郫都是中国农家乐旅游发源地、最美中国生态旅游目的地，是四川省乡村旅游的先行者，快工作慢生活，构成了安逸郫都最靓丽的风景线.郫都大部分农民都有自己的苗圃，也不断改进种植花卉苗木的技术．改进后，某种苗木在单位面积上的出苗数量增加了50%，且在同一生长周期内的高度（cm ）变化的饼图如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．80cm 以上优质苗木所占比例增加10%B ．改进后，80cm 以上优质苗木产量实现了增加80%的目标C ．70cm-80cm 的苗木产量没有变化D ．70cm 以下次品苗木产量减少了13【答案】B【分析】设改进前某种苗木在单位面积上的出苗数量为a ，改进后它的出苗数量为()10.5a +，则单位面积80cm 以上的增加量为()10.50.60.50.4a a a +⨯-=，70cm-80cm的苗木产量增加0.15a ，70cm 以下次品苗木产量减少了()0.20.110.50.2a aa-+，即可判断结果．【详解】设改进前某种苗木在单位面积上的出苗数量为a ，改进后它的出苗数量为()10.5a +，则80cm 以上优质苗木所占比例增加了()10.50.60.50.4+⨯-=，即40%故A 错； 80cm 以上优质苗木产量实现了增加了()10.50.60.50.80.5a a a+⨯-=，即80%的目标，故B正确；单位面积上70cm-80cm 的苗木产量增加了()10.50.30.30.15a a a +⨯-=，故C 错； 70cm 以下次品苗木产量减少了()0.20.110.510.24a a a -+=，故D 错故选：B ．6．若实数x ，y 满足4394x y x y +≥⎧⎨-≤⎩.则3z x y =-的最大值是（ ）A ．9B ．3C ．4D ．6【答案】D【分析】画出实数x ，y 所表示的平面区域，再根据3z x y =-的意义即可求最大值.【详解】由4394x y x y +=⎧⎨-=⎩得31x y =⎧⎨=-⎩，记为(3,1)A -.画出实数x ，y 所表示的平面区域如下：将3z x y =-，变为133z y x =-，作出13y x =的图象，将13y x =平移过点(3,1)A -时有最大值，最大值为max 33(1)6z =--=. 故选：D7．已知直线y x a =+与曲线ln y x =相切，则a 的值为（ ） A ．2 B ．1 C ．-1 D ．0【答案】C【分析】由切线斜率为1求得切点坐标，代入切线方程得a 值． 【详解】解：由11y x'==，解得1x =，此时ln10y ==， 又由01a =+得1a =-． 故选：C8．已知1F ，2F 是椭圆C ：22149x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（ ） A ．13 B ．12 C ．9 D ．6【答案】C【分析】根据椭圆方程求得3a =，再由椭圆的定义可得126MF MF +=，利用基本不等式即可求解．【详解】由椭圆22149x y +=可得29a =，所以3a =，因为点M 在C 上，所以1226MF MF a +==， 所以2212126922MF MF MF MF ⎛+⎫⎛⎫⋅≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当123MF MF ==时等号成立，12MF MF ⋅最大值为9， 故选：C ． 9．已知ln 22a =，ln33b =，ln 55c =，则（ ） A ．a c b << B ．c b a << C ．b a c << D ．c a b <<【答案】D【分析】利用作差法，再结合对数函数ln y x =的单调性分别判断,a b 和,a c 的大小关系，即可判断出,,a b c 的大小关系． 【详解】ln 3ln 22ln 33ln 2ln 9ln803266---=-==>b a ∵，b a ∴>； 又ln 5ln 22ln 55ln 2ln 25ln 320521010---=-==<c a ∵，a c ∴>，故b a c >>. 故选：D10．甲、乙两人约定在下午4：00~5：00间在某地相见，且他们在4：00~5：00之间到达的时刻是等可能的，同时他们约好当其中一人先到后一定要等另一人20分钟，若另一人仍不到则可以离去，则这两人能相见的概率为（ ） A ．49B ．59C ．23D ．79【答案】B【分析】本题先建立直角坐标系，将所有事件及满足条件事件对应的区域画出来，根据面积之比得到概率.【详解】以4：00为时间起点，建立直角坐标系，设甲、乙分别在第x 分钟和第y 分钟到达，则样本空间为(){},060,060x y x y ≤≤≤≤，即图中正方形；能相见的条件是事件满足20x y -≤，即图中阴影部分对应区域，由几何概型知所求概率为22260405609-=.故选：B.11．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x '+>，且有()33f =，则()33e xf x ->的解集为（ ） A ．()3,+∞ B ．()1,+∞ C ．(),3-∞ D ．(),1-∞【答案】A【分析】构造()()e xF x f x =⋅，应用导数及已知条件判断()F x 的单调性，而题设不等式等价于()()3F x F >即可得解.【详解】设()()e xF x f x =⋅，则()()()()()e e e 0x x x F x f x f x f x f x '''=⋅+⋅=+>⎡⎤⎣⎦，∴()F x 在R 上单调递增.又()33f =，则()()3333e 3e F f =⋅=.∵()33e x f x ->等价于()3e 3e xf x ⋅>，即()()3F x F >，∴3x >，即所求不等式的解集为()3,+∞. 故选：A. 12．已知(sin,sin )2a x x ωω=，1(sin,)22b x ω=，其中0>ω，若函数1()2f x a b =⋅-在区间(,2)ππ内没有零点，则ω的取值范围是 A ．1(0,]8B ．5(0,]8C ．15(0,][,1]88⋃D ．115(0,][,]848⋃【答案】D 【详解】(sin,sin )2a x x ωω=，1(sin,)22b x ω=，其中0>ω，21111112sin sin cos sin ),2222222(241)f x a b x x x x x ωπωωωω=⋅-+-=-+--=2π2π,01T ωω=≥<≤,当(,2)x ππ∈时，(,2),444x πππωωπωπ-∈--故()ππ4π2π1π4k k ωπω⎧-≥⎪⎪⎨⎪-≤+⎪⎩()k Z ∈，解得15428k k ω+≤≤+()k Z ∈，01ω<≤， k=0时,解得1548ω≤≤，当k=-1时解得108ω<≤. 故选：D.【点睛】本小题主要考查数量积的坐标运算,考查利用辅助角公式进行三角函数式子的化简合并,考查函数零点个数的问题,考查运算求解能力.首先利用两个向量数量积的坐标运算,将题目所给向量的数量积表达式求解出来,用辅助角公式合并后结合函数的周期和零点列出不等式,求解得ω的取值范围. 二、填空题13．若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且952S a =，则使得0n S =时n 的值为______. 【答案】9【分析】由等差数列前n 项和公式结合等差中项可得5a ，然后可知. 【详解】199559()922a a S a a +===，50a ∴=，故9502S a ==，所以9n =. 故答案为：914．若双曲线C ：()2210y x m m-=>的一条渐近线为30x +=，则m ______.【答案】3【分析】先求得双曲线的渐近线方程，再根据其一条渐近线为30x y =求解. 【详解】因为()2210y x m m-=>，所以其渐近线方程为y mx =±， 又因为其一条渐近线为30x y =， 所以3m =， 故答案为：315．在菱形ABCD 中，若2AC =，则AB AC ⋅等于_______. 【答案】2【分析】利用平面向量数量积的几何意义求解.【详解】如图所示：由图象知：cos AB AC AB AC BAO ⋅=⋅⋅∠， 因为02BAO π<∠<，所以cos AB BAO AO ⋅∠=， 所以2AB AC AO AC ⋅=⋅=， 故答案为：216．对于三次函数()()320f x ax bx a cx d =++≠+给出定义：设fx 是函数()y f x =的导数，()f x ''是函数fx 的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点()()00,x f x 为函数()y f x =的“拐点”，某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数()3211533212f x x x x =-+-，请你根据上面探究结果，计算12320212022202220222022f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭______. 【答案】2021【分析】由题设对()f x 求二阶导并确定零点，进而可得对称中心1(,1)2，利用()(1)2f x f x +-=求目标式的值即可.【详解】由题设，2()3f x x x '=-+，()21''=-f x x ， 令()0f x ''=，则012x =，而1111115()3123824212f =⨯-⨯+⨯-=，所以1(,1)2是()f x 的对称中心，即()(1)2f x f x +-=，所以12021220201012...22022202220222102220102202022f f f f ff ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+==+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且10111120222f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则12320212022202220222022f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2101012021⨯+=. 故答案为：2021.三、解答题17．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且2B A C =+ (1)若1a =，3b =sin C ； (2)若2b a c =+，试判断ABC 的形状. 【答案】(1)1 (2)等边三角形【分析】（1）先求出角B ，然后结合已知条件，利用正弦定理求出角A ，进而可得角C ，从而可得答案；（2）利用余弦定理，结合已知条件可得a c =，则有3A CB π===，从而即可判断ABC的形状.【详解】(1)解：在ABC 中，由A B C π++=，2B A C =+，得3B π=，因为1a =，3b =所以由正弦定理，可得13sin 3A=1sin 2A =， 又0AB <<，所以6A π=，所以362C ππππ=--=，所以sin 1C =；(2)解：因为2b a c =+，所以22242b a ac c =++，又由余弦定理有222b a c ac =+-. 所以22224442a c ac a ac c +-=++，即()230a c -=， 所以a c =，所以A C =，又23A C π+=， 所以3A CB π===，所以ABC 是等边三角形.18．2022年将在成都举行“第31届世界大学生夏季运动会”，为迎接大运会，郫都区举行了“爱成都迎大运”系列活动.同时为了了解郫都区人民对体育运动的热情和对运动相关知识的掌握情况，郫都区总工会在各社区开展了有奖知识竞赛，参赛人员所得分数的分组区间为(]50,60、(]60,70、(]70,80、(]80,90、(]90,100，由此得到总体的频率统计表，再利用分层抽样的方式随机抽取20名居民进行进一步调研.分数区间 (]50,60 (]60,70 (]70,80 (]80,90 (]90,100频率 0.12a0.4 0.2 a(1)若从得分在80分以上的样本中随机选取2人，则选出的两人中至少有一人在90分以上的概率；(2)郫都区总工会计划对此次参加活动的居民全部进行奖励，按照分数从高到低设置一等奖，二等奖，三等奖，参与奖，其得奖率分别为15%，20%，25%，40%，试根据上表估计得到二等奖的分数区间.【答案】(1)35(2)[)78.75,87.5，【分析】（1）先根据频率的性质求得0.1a =，再分别计算出得分位于(]80,90与得分位于(]90,100的人数，最后用列举法计算即可；（2）设得一等奖的最低分数为x ，二等奖的最低分数为y ，根据得奖率列式求解即可. 【详解】(1)由题意得0.120.40.21a a ++++=，所以0.1a =. 得分位于(]80,90的共有200.2=4⨯人，分别为A ，B ，C ，D ， 得分位于(]90,100的共有200.1=2⨯人，分别为E ，F从这6人中选出2人共有{A ，B }，{A ，C }，{A ，D }，{A ，E }，{A ，F }，{B ，C }，{B ，D }，{B ，E }，{B ，F }，{C ，D }，{C ，E }，{C ，F }，{D ，E }，{D ，F }，{E ，F }这15种情况，其中含有至少一人为90分以上的情况是{A ，E }，{A ，F }，{B ，E }，{B ，F }，{C ，E }，{C ，F }，{D ，E }，{D ，F }，{E ，F }共9种情况， 所以选出的两人中至少有一人在90分以上的概率93155P ==. (2)设得一等奖的最低分数为x ，二等奖的最低分数为y ； 则()0.20.19015%10x +-⨯=，解出87.5x = ()0.40.10.28035%10y ++-⨯=，解出78.75x = 所以二等奖的分数区间为[)78.75,87.5. （或：一等奖的最低分数为15%0.1901090 2.587.50.2--⨯=-=二等奖的最低分数为35%0.10.2801080 1.2578.750.4---⨯=-=，从而二等奖的分数区间为[)78.75,87.5）19．如图，在四棱锥A BCDE -中，BC ⊥平面ABE ，且DE BC ∥，336DE AB BC ===，4BE =，60ABE ∠=︒.(1)求证：AE ⊥平面ABC ；(2)若点F 满足AD AF λ=，且//AB 平面CEF ，求λ. 【答案】(1)证明见解析 (2)4【分析】（1）在ABE △中，由余弦定理求得AE 23=，再根据勾股定理证得AB AE ⊥，利用线面垂直的判定定理可得证；（2）连接BD 交CE 于点G ，连接FG ，根据//AB 平面CEF ，得到//AB FG ，由AF BGFD GD=求解.【详解】(1)证明：在ABE △中，2222cos AE AB BE AB BE ABE =+-⋅⋅∠，解得AE 23=. ∴222BE AB AE =+，即AB AE ⊥. ∵BC ⊥平面ABE ，∴BC AE ⊥，又AB ，BC ⊂平面ABC ，AB BC B ⋂=，∴AE ⊥平面ABC . (2)解：如图所示：连接BD 交CE 于点G ，连接FG .∵//AB 平面CEF ，平面ABD ⋂平面CEF FG =，∴//AB FG ，∴AF BGFD GD=. 在直角梯形BCDE 中，BCG DEG △△，∴13BG BC GD DE ==， 所以13AF BG FD GD ==，所以4AD AF =， ∴4λ=.20．已知函数()sin f x x x =.(1)求()f x 在区间π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值；(2)设()()cos g x a x f x =-，若当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0g x ≤，求实数a 的取值范围.【答案】(1)最大值为π2，最小值为0(2)(],0-∞【分析】（1）由导函数得到函数单调性，进而求出函数在π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最值；（2）分类讨论，参变分离求解实数a 的取值范围. 【详解】(1)()sin cos f x x x x '=+因为在π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上，sin 0x ≤，cos 0x x ≤，所以()0f x '≤，且只有()00f '=，所以()f x 在π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递减，最大值为ππ22f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，最小值为()00f =(2)当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()cos sin 0g x a x x x =-≤当π2x =时，πππππ222cos sin 022g a ⎛⎫=-=-≤ ⎪⎝⎭，此时a ∈R当π0,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，则sin cos x x a x ≤在π0,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭恒成立，所以a 小于等于sin cos x x x 的最小值，令()sin cos x x h x x =，()21sin 22cos x x h x x +'=在π0,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭恒大于等于0， 所以()h x 在上单调递增，所以()h x 的最小值为()00h =，即0a ≤. 综上所述：实数a 的取值范围是(],0-∞.21．设点()(),0C x y y ≥为平面直角坐标系xOy 中的一个动点（其中O 为坐标系原点），点C 到直线0y =的距离比到定点()0,1F 的距离小1，动点C 的轨迹方程为E . (1)求曲线E 的方程；(2)若过点F 的直线l 与曲线E 相交于A 、B 两点. ①若2AF FB =，求直线l 的方程；②分别过点A ，B 作曲线E 的切线且交于点D ，若以O 为圆心，OD 为半径的圆经过点()1,2M ，求直线l 的方程.【答案】(1)24x y =(2)2440x y -+=2440x y +-=；②10x y -+=或10x y +-= 【分析】（1）由题意可知1CF y -=，再转化为代数语言化简即可； （2）①设直线l 的方程为1y kx =+，与抛物线联立，再运用2AF FB =可求解. ②根据题意求出两切线方程，两方程联立得到交点坐标，再根据OD OM =建立方程可求解.【详解】(1)设点C 到直线0y =的距离为y ，由题意可知1CF y -=，因为0y ≥， ()2211x y y +-=， 化简得24x y =为所求方程.(2)①由题意可知，直线l 的斜率必存在，设直线l 的方程为1y kx =+，联立241x y y kx ⎧=⎨=+⎩，得2440x kx --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，所以124x x k +=，124x x =，又因为2AF FB =，所以122x x -=，所以122x =22x =-122x =-22x 所以2k =2k =l 2440x y -+=2440x y +-=.②因为24x y =，所以211,42y x y x '==，过点A 的切线方程为()1112x y x x y =-+，即112xy x y =-①， 过点B 的切线方程为()2222x y x x y =-+，即222xy x y =-②， 联立①②得()()12122x x x y y -=-，所以()12121222y y x x x x x -+==-，124x xy =，所以点D 的坐标为1212,24x x x x +⎛⎫⎪⎝⎭，即()2,1D k -， ∵OD OM =，()()22215k +-∴1k =±所以直线l 的方程为10x y -+=或10x y +-=.22．在极坐标系中，O 为极点，已知点1,3A πρ⎛⎫⎪⎝⎭在直线:cos 2l ρθ=上，点2,6B πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭在曲线:4cos C ρθ=上. (1)求AOB 的面积；(2)求圆心在极轴上，且经过极点和点A 的圆的极坐标方程. 【答案】(1)3(2)8cos ρθ=【分析】（1）求出1ρ、2ρ的值，利用三角形的面积公式可求得结果；（2）在平面直角坐标系中，求出线段OA 的垂直平分线的方程，可求得所求圆的圆心坐标与半径，进一步可得出所求圆的标准方程，再化为极坐标方程即可. 【详解】(1)解：由已知可得11cos 243πρρ=⇒=，24cos236πρ==因此，OAB 的面积为121sin 2326AOB S πρρ==△(2)解：以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立极坐标系中，点4,3A π⎛⎫⎪⎝⎭，所以，在平面直角坐标系中，点(2,23A ，直线OA 的斜率为233OA k ==线段OA 的中点为(3M ，则线段OA 的中垂线方程为)331y x =-，即340x y -=，在直线340x +-=的方程中，令0y =，得圆心坐标()4,0，半径为4， 所以所求圆方程为()22416x y -+=，即228x y x +=， 所以，所求圆的极坐标方程为8cos ρθ=. 23．设函数()52f x x a x =-+--.（1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集； （2）若()1f x ≤恒成立，求a 的取值范围. 【答案】(1)[2,3]-；(2) ][(),62,-∞-⋃+∞.【详解】分析：（1）先根据绝对值几何意义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）先化简不等式为|||2|4x a x ++-≥，再根据绝对值三角不等式得|||2|x a x ++-最小值，最后解不等式|2|4a +≥得a 的取值范围．详解：（1）当1a =时，()24,1,2,12,26, 2.x x f x x x x +≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪-+>⎩可得()0f x ≥的解集为{|23}x x -≤≤． （2）()1f x ≤等价于24x a x ++-≥．而22x a x a ++-≥+，且当2x =时等号成立．故()1f x ≤等价于24a +≥． 由24a +≥可得6a ≤-或2a ≥，所以a 的取值范围是][(),62,-∞-⋃+∞．点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。

2024年高考第三次模拟考试高三数学（天津卷）第I 卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，2，本卷共9小题，每小题5分，共45分参考公式：•如果事件A 、B 互斥，那么()()()⋃=+P A B P A P B ．•如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =．•球的体积公式313V R π=，其中R 表示球的半径．•圆锥的体积公式13V Sh =，其中S 表示圆锥的底面面积，h 表示圆锥的高。

一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}2120A x x x =--<，(){}2R log 51B x x =∈-<，则()A B =R I ð（）A ．{}34x x -<≤B ．{}34x x -≤<C ．{}4x x ≥D ．{}45x x ≤<【答案】D【解析】由2120x x --<，得34x -<<，所以{}34A x x =-<<；由()2log 51x -<，得052x <-<，解得35x <<，所以{}35B x x =<<.所以{R 3A x x =≤-ð或}4x ≥，所以(){}R 45A B x x ⋂=≤<ð.故选：D ．2．已知等差数列{}n a 的公差为d ，其前n 项和为n S ，则“0d >”是“81092S S S +>”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】因为8109810991091092220S S S S S S a a a a a d +>⇔+-=+-=-=>，所以“0d >”是“81092S S S +>”的充要条件.故选：C.3．华罗庚是享誉世界的数学大师，国际上以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”“华氏不等式”“华氏算子”“华—王方法”等，其斐然成绩早为世人所推崇．他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数图象的特征．已知函数()y f x =的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（）A ．sin ()3xf x =B ．cos ()3xf x =C ．sin 1()3xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．cos 1()3xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】A【解析】由函数图象可知，()y f x =的图象不关y 轴对称,而()()cos cos ()33x xf x f x --===，()()cos cos 11()33x xf x f x -⎛⎫⎛⎫-=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即这两个函数均关于y 轴对称，则排除选项B 、D ；由指数函数的性质可知3xy =为单调递增函数，13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭为单调递减函数，由sin y x =的图象可知存在一个极小的值00x >，使得sin y x =在区间()00,x 上单调递增，由复合函数的单调性可知，sin ()3xf x =在区间()00,x 上单调递增，sin 1()3xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间()00,x 上单调递减，由图象可知sin ()3x f x =符合题意，故选：A .4．已知0.10.52log 3,log 3,2a b c -===，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a c b <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．b<c<a【答案】A【解析】由题意得0.5log y x =在(0,)+∞上单调递减，2log y x =在(0,)+∞上单调递增，2x y =在R 上单调递增，故0.10.50.0522102121log 3log ,log 3log ,02a b c -=<<==<=>==，故a c b <<，故选：A5．下列说法错误的是（）A ．若随机变量ξ、η满足21ηξ=-且()3D ξ=，则()12D η=B ．样本数据50，53，55，59，62，68，70，73，77，80的第45百分位数为62C ．若事件A 、B 相互独立，则()(|)P A B P A =D ．若A 、B 两组成对数据的相关系数分别为0.95A r =、0.98B r =-，则A 组数据的相关性更强【答案】D【解析】对于A ：因为21ηξ=-且()3D ξ=，所以()()()221212D D D ηξξ=-=⨯=，故A 正确；对于B ：因为1045% 4.5⨯=，所以第45百分位数为从小到大排列的第5个数，即为62，故B 正确；对于C ：若事件A 、B 相互独立，则()()()P AB P A P B =，所以()()()()()()(|)P AB P A P B P A B P A P B P B ===，故C 正确；对于D ：若A 、B 两组成对数据的相关系数分别为0.95A r =、0.98B r =-，因为B A r r >，所以B 组数据的相关性更强，故D 错误.故选：D6的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将半径为1的鸡蛋（视为球）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋最高点与蛋巢底面的距离为（）A ．322+B ．32C ．322+D ．322+【答案】D【解析】由题得，蛋巢的底面是边长为1的正方形，故经过4个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为1．由于鸡蛋（球）的半径为12=，而垂直折起的4个小直角三角形的高为12，故鸡蛋最高点与蛋巢底面的距离为1312222++=+．故选：D ．7．已知函数()()ππ2sin 222f x x ϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图像关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，将函数()f x 的图像向右平移π3个单位长度得到函数()g x 的图像，则下列说法正确的是（）A ．()f x 在区间ππ36⎛⎫- ⎪⎝⎭，上的值域是(]12-，B ．()2sin2g x x=-C ．函数()g x 在π5π1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调递增D ．函数()g x 在区间[]ππ-，内有3个零点【答案】C【解析】 函数()f x 的图像关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，π2π2sin 033f ϕ⎛⎫⎛⎫∴=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2ππ,Z 3k k ϕ∴+=∈，即2ππ,Z 3k k ϕ=-+∈，又ππ22ϕ-<<，π3ϕ∴=，则()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．当ππ,36x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，ππ2π2,333x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，πsin 2,13x ⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，()(2f x⎤∴∈⎦，故A 错误；将函数()f x 的图像向右平移π3个单位长度得到函数()π2sin 23g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，故B 错误；令2223πππππ,22k x k k -+≤-≤+∈Z ，得π5πππ,1212k x k k -+≤≤+∈Z ，当0k =时，π51212πx -≤≤，∴函数()g x 在π5π,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，故C 正确；令π2π,3x k k -=∈Z ，得ππ62k x =+，k ∈Z ，∴函数()g x 在区间[]π,π-内的零点有5π6x =-，ππ2π,,363x x x =-==，共4个，故D 错误．故选：C.8．记双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）虚轴的两个端点分别为M ，N ，点A ，B 在双曲线C 上，点E在x 轴上，若M ，N 分别为线段EA ，EB 的中点，且60AEB ∠=︒，则双曲线C 的离心率为（）ABC．3D【答案】C【解析】由题意得，M ，N 关于x 轴对称，则,A B 也关于x 轴对称且4AB b =，不妨设点A 在双曲线C 的右支上且在第一象限，其纵坐标为2b ，又因为260AEB AEO ∠=∠=︒，所以30AEO ∠=︒，所以4AE BE b ==，则ABE 为等边三角形，故),2Ab ，代入22221x y a b-=中，得2253b a =，则双曲线C的离心率c e a ===C 正确.故选:C.9．已知函数()()()eln 010xx f x x x x ⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩，若关于x 的方程()()210f x af x a -+⎣⎦-⎤=⎡有8个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为（）A．()1,1-B．)1,1C．()2,1D．()1,2+【答案】C【解析】令()eln xh x x =，则()()2e 1ln x h x x-'=，令()0h x '=，解得e x =，故当0e x <<时，()()0,h x h x '>单调递增，当e x >时，()()0,h x h x '<单调递减，所以()()max e 1h x h ==，且当1x >时，()0h x >，当01x <<时，()0h x <，结合绝对值函数的图象可画出函数()f x的大致图象，如图所示：令()t f x =，则方程()()210f x af x a ⎡⎤-+-=⎣⎦，即方程()210t at a -+-=*，()22Δ4144a a a a =--=+-，①当Δ0<时，()*式无实数根，直线y t =和()f x 的图象无交点，原方程无实数根；②当Δ0=时，()*式有两个相等的实数根，直线y t =和()f x 的图象最多有4个交点，因此要使()()210f x af x a ⎡⎤-+-=⎣⎦有8个不相等的实数根，则()*式有两个不相等的实数根，不妨设为12,t t ，且12t t <，则1201t t <<<.则22Δ440012101110a a a a a a ⎧=+->⎪⎪<<⎪⎨⎪->⎪-⨯+->⎪⎩，解得21a <<.故选：C.第II 卷注意事项1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．2．本卷共11小题，共105分．二、填空题，本大题共6小题，每小题5分，共30分，试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分。

2024学年山东省潍坊市高密市高三第三次模拟练习数学试题文试题注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．()()()cos 0,0f x A x A ωϕω=+>>的图象如图所示，()()sin g x A x ωϕ=--，若将()y f x =的图象向左平移()0a a >个单位长度后所得图象与()y g x =的图象重合，则a 可取的值的是（ ）A ．112πB ．512πC ．712πD ．11π122．已知()22log 217y x x =-+的值域为[),m +∞，当正数a ，b 满足2132m a b a b +=++时，则74a b +的最小值为（ ）A ．94B ．5C 522+D ．93．已知52i 12ia =+-（a ∈R ），i 为虚数单位，则a =（ ） A 3B ．3 C ．1 D ．5 4．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第19项为（ ）（注：2222(1)(21)1236n n n n ++++++=） A ．1624B ．1024C ．1198D ．15605．已知下列命题：①“2,56x R x x ∀∈+>”的否定是“2,56x R x x ∃∈+≤”；②已知,p q 为两个命题，若“p q ∨”为假命题，则“()()p q ⌝∧⌝”为真命题；③“2019a >”是“2020a >”的充分不必要条件；④“若0xy =，则0x =且0y =”的逆否命题为真命题.其中真命题的序号为（ ）A ．③④B ．①②C ．①③D ．②④6．在ABC ∆中，内角A 的平分线交BC 边于点D ，4AB =，8AC =，2BD =，则ABD ∆的面积是（ ） A ．162 B ．15 C ．3 D ．837．已知抛物线y 2= 4x 的焦点为F ，抛物线上任意一点P ，且PQ ⊥y 轴交y 轴于点Q ，则 PQ PF ⋅的最小值为（ ）A ．-14B ．-12C ．-lD ．18．如图，已知平面αβ⊥，l αβ⋂=，A 、B 是直线l 上的两点，C 、D 是平面β内的两点，且DA l ⊥，CB l ⊥，3AD =，6AB =，6CB =．P 是平面α上的一动点，且直线PD ，PC 与平面α所成角相等，则二面角P BC D --的余弦值的最小值是（ ）A 5B 3C ．12D ．19．若x yi +(,)x y ∈R 与31i i +-互为共轭复数，则x y +=（ ） A ．0 B ．3C ．－1D ．4 10．已知椭圆2222:1x y C a b+=的短轴长为2，焦距为1223F F ，、分别是椭圆的左、右焦点，若点P 为C 上的任意一点，则1211PF PF +的取值范围为（ ） A ．[]1,2 B ．2,3⎡⎣ C ．2,4⎤⎦ D ．[]1,411．已知直三棱柱中111ABC A B C -，120ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成的角的正弦值为（ ）．A ．32B ．105C ．155D ．6312．方程2(1)sin 10x x π-+=在区间[]2,4-内的所有解之和等于( )A ．4B ．6C ．8D ．10二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

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2019届高三第三次模拟考试卷文科数学(三）注意事项：1．答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答:每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019·新乡二模］已知集合{}2,3,4A=，集合{},2B m m=+,若{}2A B =，则m=( ）A．0 B．1 C．2 D．4 2．［2019·湘赣联考］设复数()iiaz aa-=∈+R在复平面内对应的点位于第一象限，则a的取值范围是（ )A．1a<-B．0a<C．0a>D．1a>3．［2019·南通期末]已知向量(),2a=m,()1,1a=+n,若∥m n，则实数a的值为( ）准考证号考场号座位号23A ．23- B ．2或1- C ．2-或1D ．2-4．[2019·毛坦厂中学]某位教师2017年的家庭总收入为80000元，各种用途占比统计如下面的折线图．2018年收入的各种用途占比统计如下面的条形图，已知2018年的就医费用比2017年增加了4750元，则该教师2018年的家庭总收入为（ ）A ．100000元B ．95000元C ．90000元D ．85000元5．[2019·广东模拟]若3π3sin 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos2α=（ ) A ．12- B ．13- C ．13D ．126．[2019·临川一中]函数()12sin 12xxf x x ⎛⎫-=⋅ ⎪+⎝⎭的图象大致为（ )A ．B ．C ．D ．7．［2019·南昌一模]如图所示算法框图，当输入的x 为1时,输出的结果为（ )4A ．3B ．4C ．5D ．68．［2019·宜宾二诊］已知ABC △中，A ,B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且3b =，33c =，30B=︒，则AB 边上的中线的长为（ ） A ．37B ．34C ．32或37D ．34或379．[2019·江西九校联考］如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ )A ．2845+B ．2882+C ．164285+D ．168245+10．[2019·汕尾质检］已知A ,B ，C ，D 是球O 的球面上四个不同的点,若2AB AC DB DC BC =====，且平面DBC ⊥平面ABC ，则球O 的表面积为（ ）A ．20π3B ．15π2C ．6πD ．5π11．［2019·菏泽一模]已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，5A 为椭圆上一点，且120AF AF ⋅=，直线2AF 交y 轴于点M ，若126F F OM =，则该椭圆的离心率为（ ) A ．13BC ．58D12．［2019·江西九校联考]设[]x 为不超过x 的最大整数,n a 为[][)()0,x x x n ⎡⎤∈⎣⎦可能取到所有值的个数，n S 是数列12n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭前n 项的和,则下列结论正确个数的有（ ） （1）34a = （2）190是数列{}n a 中的项 （3）1056S = （4)当7n =时，21n a n+取最小值 A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．[2019·深圳期末］已知不等式组20202x y x y x -≥-≤≤⎧⎪⎨⎪⎩所表示的平面区域为Ω,则区域Ω的外接圆的面积 为______．14．[2019·南京二模］若函数()()()2sin 0,0πf x x ωϕωϕ=+><<的图象经过点π,26⎛⎫ ⎪⎝⎭，且相邻两条对称轴间的距离为π2，则4πf ⎛⎫⎪⎝⎭的值为______．15．[2019·赣州期末]若曲线ln y x x =在1x =处的切线l 与直线:10l ax y '-+=垂直，则切线l 、直线l '与y 轴围成的三角形的面积为_______．16．[2019·茂名一模］已知()0,0O ,()2,2A -，点M 是圆6()()22312x y -+-=上的动点，则OAM △面积的最大值为_____．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）［2019·江南十校]已知数列{}n a 与{}n b 满足：()1232n n a a a a b n ++++=∈*N ，且{}n a 为正项等比数列，12a =，324b b =+．（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满足()1nn n n a c n b b +=∈*N ，n T 为数列{}n c 的前n 项和,证明1n T <．18．(12分)[2019·沧州模拟]高考改革是教育体制改革中的重点领域和关键环节,全社会极其关注．近年来，在新高考改革中，打破文理分科的“3x +”模式初露端倪．其中“3”指必考科目语文、数学、外语，“x "指考生根据本人兴趣特长和拟报考学校及专业的要求，从物理、化学、生物、历史、政治、地理六科中选择3门作为选考科目,其中语、数、外三门课各占150分,选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级并以此打分得到最后得分．假定A 省规定:选考科目按考生成绩从高到低排列，按照占总体15%、35%、35%、15%的，以此赋分70分、60分、50分、40分．为了让学生们体验“赋分制"计算成绩的方法，A省某高中高一（1）班（共40人）举行了以此摸底考试（选考科目全考,单科全班排名，每名学生选三科计算成绩），已知这次摸底考试中的物理成绩（满分100分）频率分布直方图，化学成绩（满分100分)茎叶图如下图所示，小明同学在这次考试中物理86分,化学70多分．(1)求小明物理成绩的最后得分；（2）若小明的化学成绩最后得分为60分，求小明的原始成绩的可能值；（3）若小明必选物理，其他两科在剩下的五科中任选，求小明此次考试选考科目包括化学的概率．19．（12分）［2019·宜宾二诊]如图，边长为2的正方形ABCD 中,E、F分别是AB、BC边的中点,将AED△，DCF△分别沿7DE,DF折起，使得A，C两点重合于点M．求证：MD EF⊥；求三棱锥M EFD-的体积．20．（12分）[2019·临沂质检]已知抛物线()2:20C y px p=>的焦点为F，P为抛物线上一点，O为坐标原点，OFP△的外接圆与抛物线的准线相切,且外接圆的周长为3π．（1）求抛物线C的方程；（2）设直线l交C于A，B两点，M是AB的中点，若12AB=，求点M到y轴的距离的最小值，并求此时l的方程．8921．（12分）[2019·石家庄质检］已知函数()e sin x f x a x =-，其中a ∈R ，e 为自然对数的底数．(1)当1a =时，证明：对[)0,x ∀∈+∞，()1f x ≥；(2）若函数()f x 在0,π2⎛⎫⎪⎝⎭上存在极值，求实数a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做,则按所做的第一题记分．22．（10分)【选修4-4：坐标系与参数方程】10［2019·新疆一模]在直角坐标系xOy 中,圆C 的参数方程为()22cos 2sin x y θθθ⎧+⎨⎩==为参数,以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，射线l 的极坐标方程为θα=，()0ρ>．（1)将圆C 的参数方程化为极坐标方程；(2）设点A的直角坐标为(，射线l 与圆C 交于点()B O 不同于点，求OAB △面积的最大值．23．(10分）【选修4-5：不等式选讲】[2019·咸阳模拟]已知函数()()2f x x m x =--∈R ，且()20f x +≤的解集为[]1,1-．（1）求实数m 的值；（2）设a ,b ，c +∈R ,且222a b c m ++=，求23a b c ++的最大值．2019届高三第三次模拟考试卷文科数学（三）答案一、选择题．1．【答案】A【解析】因为{}2A B =，所以2m=或22m+=．当2m=时,{}2,4A B =，不符合题意，当22m+=时,0m=．故选A．2．【答案】A【解析】()()()()22222212iii12ii i i111a aaa a aza a a a a a-----====-++-+++，z对应的点在第一象限，2222110112201aaa aa aa⎧->⎪⎧->⎪+∴⇒⇒<-⎨⎨->⎩⎪->⎪+⎩，故本题选A．3．【答案】C 【解析】根据题意，向量(),2a=m，()1,1a=+n,若∥m n，则有()12a a+=,解可得2a=-或1，故选C．4．【答案】D【解析】由已知得，2017年的就医费用为8000010%8000⨯=元，故2018年的就医费用为12750元，所以该教师2018年的家庭总收入为127508500015%=元,故选D．5．【答案】B【解析】因为3πsin2α⎛⎫+=⎪⎝⎭，由诱导公式得cosα=，所以21cos22cos13αα=-=-，故选B．6．【答案】A【解析】因为()()()122112sin sin sin122112x x xx x xf x x x x f x--⎛⎫⎛⎫⎛⎫----=⋅-=-⋅=⋅=⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x是偶函数,其图象关于y轴对称,排除选项B，C；因为2π0,x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x <，所以可排除选项D ，故选A ．7．【答案】C【解析】当1x =时,1x >不成立，则1112y x =+=+=,011i =+=，20y <成立，2x =，1x >成立，24y x ==，112i =+=,20y <成立， 4x =，1x >成立,28y x ==，213i =+=，20y <成立，8x =，1x >成立,216y x ==，314i =+=，20y <成立16x =，1x >成立，232y x ==，415i =+=，20y <不成立,输出5i =，故选C ． 8．【答案】C【解析】∵3b =,33c =，30B =︒,∴由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得23927233a a =+-⨯⨯⨯， 整理可得29180a a -+=，∴解得6a =或3．如图：CD 为AB 边上的中线，则1332BD c ==， ∴在BCD △中，由余弦定理2222cos CD a BD a BD B =+-⋅⋅，可得22233333626CD =+-⨯⎝⎭,或22233333323CD =+-⨯⎝⎭， ∴解得AB 边上的中线32CD =37C ．9．【答案】A【解析】由三视图知该几何体是如图所示的三棱锥A BCD -,将该三棱锥是放在棱长为4的正方体中，A 是棱的中点，在ADC △中，25AC =,且CD AC ⊥，∴226AD CD AC =+=，114254522ADC S AC DC =⋅=⨯⨯=△， 在ABD △中，25AB =，42BD =， 由余弦定理得，222cos 226255AD AB BD DAB AD AB +-∠===⋅⨯⨯，∴2sin 1cos 5DAB DAB ∠=-∠=，∴11sin 62512225ABDS AD AB DAB =⋅∠=⨯⨯⨯=△， 又ABC S △与BDC S △均为边长为4的正方形面积的一半，即为8， ∴三棱锥A BCD -的表面积为1228452845+⨯+=+,故选A ． 10．【答案】A【解析】如图,取BC 中点G ，连接AG ，DG ，则AG BC ⊥,DG BC ⊥， 分别取ABC △与DBC △的外心E ，F ，分别过E ，F 作平面ABC 与平面DBC 的垂线，相交于O ,则O 为四面体A BCD -的球心, 由2AB AC DB DC BC =====，得正方形OEGF 3,则6OG =∴四面体A BCD -的外接球的半径222265133R OG BG ⎛⎫=++= ⎪ ⎪⎝⎭∴球O 的表面积为2520π4π33⨯=．故选A ． 11．【答案】D【解析】结合题意,可知122F F c =，3c OM =则，故21tan 3MF O ∠=，结合120AF AF ⋅=， 可知1290F AF ∠=︒，故1213AF AF =， 设1AF x =,23AF x =，所以234a x x x =+=,()22224310c x x x =+=，所以c e a ==，故选D ． 12．【答案】C【解析】当1n =时，[)0,1x ∈，[]0x =,[]0x x =，[]{}0x x ⎡⎤∈⎣⎦，故11a =． 当2n =时，[)0,2x ∈，[]{}0,1x ∈，[][)0,2x x ∈，[]{}0,1x x ⎡⎤∈⎣⎦，故22a =． 当3n =时,[)0,3x ∈,[]{}0,1,2x ∈，[][)[)[)0,11,24,6x x ∈，故[]{}0,1,4,5x x ⎡⎤∈⎣⎦，共有4个数，即34a =，故（1）结论正确．以此类推，当2n ≥，[)0,x n ∈时,[]{}0,1,,1x n ∈-,[][)[)[)()())20,11,24,1,61x x n n n ⎡∈--⎣，故[]x x ⎡⎤⎣⎦可以取的个数为()22112312n n n -++++++-=，即()2222n n n a n -+=≥,当1n =时上式也符合，所以222n n n a -+=；令190n a =，得()1378n n -=,没有整数解，故(2）错误．()()1211221212n a n n n n n ⎛⎫==- ⎪+++++⎝⎭,所以111111112223341222n S n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭， 故1011522126S ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以(3)判断正确． 21221112222n a n n n +=+->=,222n n=，244n =， 当6n =时，21166n a n +=+；当7n =时，21167n a n +=+, 故当7n =时取得最小值，故（4)正确．综上所述，正确的有三个，故选C ．二、填空题．13．【答案】25π4【解析】由题意作出区域Ω，如图中阴影部分所示，易知1232tan 14122MON -∠==+⨯，故3sin 5MON ∠=, 又3MN =，设OMN △的外接圆的半径为R ，则由正弦定理得2sin MN R MON =∠,即52R =，故所求外接圆的面积为2525ππ24⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭． 14．【答案】3【解析】因为相邻两条对称轴间的距离为π2，所以2ππω=，2ω∴=，所以()()2sin 2f x x ϕ=+．因为函数的图象经过点π,26⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以sin π13ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，0πϕ<<，π6ϕ∴=． 所以()2sin 2π6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以2sin 342πππ6f ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故答案为315．【答案】1【解析】由题可得ln 1y x '=+，故切线l 的斜率为1， 又切点坐标为()1,0,所以切线l 的方程为1y x =-，因为切线l 与直线l '垂直，所以11a ⋅=-,所以直线l '的方程为1y x =-+,易得切线l 与直线l '的交点坐标为()1,0,因为切线l 与y 轴的交点坐标为()0,1-，直线l '与y 轴的交点坐标为()0,1，所以切线l 、直线l '与y 轴围成的三角形的面积为12112⨯⨯=．16．【答案】6 【解析】如图，由题设，得圆心()3,1C ，半径2r =222222OA =+=， 直线OA 的方程为0x y +=，则OAM △边OA 上的高h 就是点M 到直线OA ,的距离，圆心()3,1C 到直线OA 的距离为31222d +==，可得圆()()22312x y -+-=上的点M 到直线OA 的距离的最大值为max 32h d r =+=，故OAM △面积的最大值max 112232622S OA h =⋅=⨯．故答案为6．三、解答题．17．【答案】（1）2n n a =，21n n b =-;（2）见解析． 【解析】（1)由1232n n a a a a b +++⋅⋅⋅+=……①2n ≥时,123112n n a a a a b --+++⋅⋅⋅+=……②①-②可得：()()133222248n n n a b b a b b -=-⇒=-=⨯=，12a =，0n a >，设{}n a 公比为q ，2182a q q ∴=⇒=，()1222n n n a n -∴=⨯=∈*N ,()()123121222222222112n nn n n n b b n +-∴=+++⋅⋅⋅+==-⇒=-∈-*N ．（2）证明：由已知：()()11121121212121n n n n n n n n n a c b b +++===-⋅----，121223*********121212*********n n n n n T c c c ++∴=++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=--------，当n ∈*N 时，121n +>，11021n +∴>-，111121n +∴-<-，即1n T <．18．【答案】（1）70分；（2）76,77，78，79;（3)25． 【解析】（1）()11100.0050.0150.0250.0350.12⨯-⨯+++=⎡⎤⎣⎦，100.0050.05⨯=,∴此次考试物理成绩落在(]80,90,(]90,100内的频率依次为0.1，0.05，概率之和为0.15，小明的物理成绩为86分，大于80分．∴小明物理成绩的最后得分为70分．（2）因为40名学生中，赋分70分的有4015%6⨯=人，这六人成绩分别为89，91，92,93，93，96;赋分60分的有4035%14⨯=人,其中包含80多分的共10人，70多分的有4人,分数分别为76，77，78，79；因为小明的化学成绩最后得分为60分，且小明化学多分，所以小明的原始成绩的可能值为76,77，78，79．（3）记物理、化学、生物、历史、地理、政治依次为A ,a ，b ，c ，d ，e ，小明的所有可能选法有(),,A a b ，(),,A a c ,(),,A a d ，(),,A a e ，(),,A b c ，(),,A b d ,(),,A b e ,(),,A c d ，(),,A c e ,(),,A d e 共10种，其中包括化学的有(),,A a b ，(),,A a c ，(),,A a d ，(),,A a e 共4种，∴若小明必选物理,其他两科在剩下的五科中任选，所选科目包括化学的概率为25．19．【答案】（1）见解析;（2）13．【解析】（1)证明：在正方形ABCD 中，AB AD ⊥，CD BC ⊥，∴在三棱锥M DEF -中，有MD MF ⊥，MD ME ⊥，且ME MF M =，MD ∴⊥面MEF ，则MD EF ⊥．（2）解：E 、F 分别是边长为2的正方形ABCD 中AB 、BC 边的中点,1BE BF ∴==，111122MEF BEF S S ∴==⨯⨯=△△，由（1）知,111123323M DEF MEF V S MD -=⋅=⨯⨯=△．20．【答案】（1）24y x =;(2）最小值为5，直线方程为210x ±-=．【解析】（1）因为OFP △的外接圆与抛物线C 的准线相切， 所以OFP △的外接圆圆心到准线的距离等于圆的半径， 圆周长为3π，所以圆的半径为32r =， 又因为圆心在OF 的垂直平分线上2p OF =， 所以3422pp +=，解得2p =，所以抛物线方程为24y x =． （2）①当l 的斜率不存在时， 因为12AB =，所以246x =，得9x =,所以点M 到y 轴的距离为9，此时，直线l 的方程为9x =，②当l 的斜率存在且0k ≠时，设l 的方程为y kx b =+，设()11,A x y 、()22,B x y ,()00,M x y ，由24y x y kx b==+⎧⎨⎩，化简得()222220k x kb x b +-+=， 所以16160Δkb =-+>，由韦达定理可得12242kbx x k -+=,2122b x x k =，所以()22212124114112kbAB k x x x x k -++-+=， 即42911k kb k -=+，又因为212022222219191129151211x x kb k x k k k k k +-===+=++-≥=++，当且仅当2113k+=时取等号，此时解得2k =, 代入12kb =-中，得22k b ⎧⎪⎪⎨==⎪⎪⎩，22k b ⎧⎪⎪⎨==⎪⎪⎩, 所以直线l 的方程为2222y x =-或2222y =+,即直线方程为10x -=．21．【答案】(1）见证明；(2)()0,1a ∈．【解析】（1）当1a =时，()e sin x f x x =-，于是()e cos x f x x '=-． 又因为当()0,x ∈+∞时，e 1x >且cos 1x ≤． 故当()0,x ∈+∞时,e cos 0x x ->，即()0f x '>． 所以函数()e sin x f x x =-为()0,+∞上的增函数，于是()()01f x f ≥=．因此对[)0,x ∀∈+∞,()1f x ≥．（2）方法一：由题意()f x 在0,π2⎛⎫⎪⎝⎭上存在极值,则()e cos x f x a x '=-在0,π2⎛⎫⎪⎝⎭上存在零点,①当()0,1a ∈时,()e cos x f x a x '=-为0,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上的增函数，注意到()010f a -'=<，π2e π02f a ⎛⎫=⋅> ⎪'⎝⎭,所以，存在唯一实数00,2πx ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00f x '=成立．于是，当()00,x x ∈时，()0f x '<，()f x 为()00,x 上的减函数;当02π,x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 为02π,x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上的增函数，所以00,2πx ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭为函数()f x 的极小值点；②1a ≥当时,()e cos e cos 0x x f x a x x ≥-'=->在2π0,x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上成立，所以()f x 在0,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()f x 在0,π2⎛⎫⎪⎝⎭上没有极值;③当0a ≤时，()e cos 0x f x a x =-<'在2π0,x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上成立，所以()f x 在0,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,所以()f x 在0,π2⎛⎫⎪⎝⎭上没有极值,综上所述,使()f x 在0,π2⎛⎫⎪⎝⎭上存在极值的a 的取值范围是()0,1．方法二：由题意，函数()f x 在0,π2⎛⎫⎪⎝⎭上存在极值，则()e cos x f x a x '=-在0,π2⎛⎫⎪⎝⎭上存在零点．即e cos x x a =在0,π2⎛⎫⎪⎝⎭上存在零点． 设()cos e x x g x =，2π0,x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则由单调性的性质可得()g x 为0,π2⎛⎫⎪⎝⎭上的减函数．即()g x 的值域为()0,1，所以，当实数()0,1a ∈时，()e cos x f x a x'=-在0,π2⎛⎫⎪⎝⎭上存在零点． 下面证明，当()0,1a ∈时,函数()f x 在0,π2⎛⎫⎪⎝⎭上存在极值．事实上，当()0,1a ∈时，()e cos x f x a x '=-为0,π2⎛⎫⎪⎝⎭上的增函数，注意到()010f a -'=<，π2e π02f a ⎛⎫=⋅> ⎪'⎝⎭，所以,存在唯一实数00,2πx ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,使得()00f x '=成立．于是，当()00,x x ∈时，()0f x '<，()f x 为()00,x 上的减函数；当02π,x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0f x '>，()f x 为02π,x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上的增函数，即00,2πx ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭为函数()f x 的极小值点．综上所述，当()0,1a ∈时，函数()f x 在0,π2⎛⎫⎪⎝⎭上存在极值．22．【答案】（1)4cos ρθ=；（2）2． 【解析】（1）圆C 的参数方程为()22cos 2sin x y θθθ⎧+⎨⎩==为参数，∴圆C 的普通方程为()2224x y -+=，即2240x y x +-=， ∴圆C 的极坐标方程为24cos 0ρρθ-=，即4cos ρθ=．(2）射线l 的极坐标方程为θα=，()0ρ>，射线l 与圆C 交于点()B O 不同于点，4cos OB α∴=，π2α≠，点A 的直角坐标为()1,3，132OA ∴=+=, ()1sin 602OAB S OA OB α=⨯⨯⨯︒-△()124cos sin 602αα=⨯⨯⨯︒- 314cos cos sin 2ααα⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭223cos 2sin cosααα=-()31cos2sin2αα=+-()2sin 6023α=︒-+ ()2sin 2603α=--︒+,∴当26090α-︒=-︒，即15α=-︒时，OAB △面积取最大值23S =+．23．【答案】（1）1m =；（2）14．【解析】（1）依题意得()2f x x m +=-，()20f x +≤，即x m ≤， 可得1m =． （2）依题意得2221a b c ++=(0a b c >，，)由柯西不等式得， 2222222312314a b c a b c ++≤++⋅++=, 当且仅当23b c a ==,即1414a =，147b =，31414c =时取等号． ∴23a b c ++的最大值为14．。

湘豫名校联考2023年5月高三第三次模拟考试数学（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2A x x =≥，{}216x B x =<，则A B = （）A.()2,4 B.[)2,4 C.[)2,+∞ D.{}2,42.已知复数322i i iz -=+，则z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知向量a ，b 满足()6,10a b -=- ，()238,15a b +=- ，则a b ⋅=（）A.29- B.29C.13- D.134.已知x ，y 满足约束条件30,10,0,0,x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩则34z x y =+的最大值为（）A.4B.9C.11D.125.某学校统计了10位同学一周的课外体育运动总时长（单位：小时），数据分别为6.3，7.4，7.6，8.0，8.1，8.3，8.3，8.5，8.7，8.8，则以下数字特征中数值最大的为（）A.平均数B.中位数C.方差D.众数6.若双曲线1C 与双曲线222:17xC y -=有相同的焦距，且1C 过点()3,1，则双曲线1C 的标准方程为（）A.22162x y -=B.221-=C.22162x y -=221= D.22162x y -=或2213x y -=7.函数()3221x f x x x=-+的部分图象大致为（）A.B.C. D.8.执行如图所示的程序框图，若输入的a ，b ，m 分别为1，1，4，则输出的M =（）A.4B.5C.18D.2729.已知0a >，0b >，且1a b +=，则下列不等式不正确的是（）A .14ab ≤B.2212a b +≥C.1121a b +>+ D.1≤10.已知等差数列{}n a 中，18522a a a +=-，31126a a +=，则数列{}cos πn a n ⋅的前2022项的和为（）A.1010B.1011C.2021D.202211.已知非钝角ABC 中，60BAC ∠=︒，2AB =，Q 是边BC 上的动点.若PA ⊥平面ABC ，PA =，且PAQ △周长的最小值为1+-P ABC 外接球的体积为（）A.B.6πC. D.8π12.已知函数()()33f x bx b x =-+在[]1,1-上的最小值为3-，则实数b 的取值范围是（）A.(],4-∞- B.[)9,+∞ C.[]4,9- D.9,92⎡⎤-⎢⎥⎣⎦二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若数列{}n a 是公比为2的等比数列，763a a <，写出一个满足题意的通项公式n a =______.14.已知点P 为圆()22:44C x y +-=上的动点，则点P 到直线:3450l x y +-=的距离的最大值为______.15.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足()()220f x f x --+=，又当[)2,0x ∈-时，()22xf x =+，则121log 84f ⎛⎫= ⎪⎝⎭______.16.将函数()sin2f x x =的图像先向右平移π8个单位长度，再把所得函数图像的横坐标变为原来的()20ωω>倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图像，若函数()g x 在π,π4⎛⎫⎪⎝⎭上没有零点，则ω的取值范围是______.三、解答题：共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17∼21题为必考题，每个试卷考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知a ，b ，c 分别为ABC 的内角A ，B ，C 的对边，22223cos sin 22B B a c ac ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.（1）求证：a ，b ，c 成等比数列；（2）若222sin 3sin sin 4B AC =+，求cos B 的值.18.随着人们生活水平的提高，健康越来越成为当下人们关心的话题，因此，健身也成了广大市民的一项必修课.某健身机构统计了2022年1∼5月份某初级私人健身教练课程的月报名人数y （单位：人）与该初级私人健身教练价格x （单位：元/小时）的情况，如下表所示.月份12345初级私人健身教练价格x （元/小时）210200190170150初级私人健身教练课程的月报名人数y （人）587911（1）求(),i i x y （1i =，2，3，4，5）的相关系数r ，并判断月报名人数y 与价格x 是否有很强的线性相关性?（当[]0.75,1r ∈时，可以认为两个变量有很强的线性相关性；否则，没有很强的线性相关性）（精确到0.001）（2）请建立y 关于x 的线性回归方程；（精确到0.001）（3）当价格为每小时230元时，估计该课程的月报名人数为多少人?（结果保留整数）参考公式：对于一组数据(),i i x y （1i =，2，3，⋯，n ），相关系数()()niix x y y r --=∑归直线ˆˆˆy bx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()niix x y y b --=∑$，ˆˆay bx =-.5.385≈.19.如图，直三棱柱111ABC AB C -中，2AC =，3BC =，AB =D 为1CC 上一点，且1:4:9CD C D =.（1）证明：平面1AB D ⊥平面11ABB A ；（2）若直三棱柱111ABC A B C -的表面积为7713132+，求五面体1ABCDB 的体积.20.已知椭圆()2222:10y x C a b a b+=>>的上、下焦点分别为1F ，2F ，离心率为23，过点1F 作直线l （与y轴不重合）交椭圆C 于M ，N 两点，2MNF 的周长为12.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点A 是椭圆C 的上顶点，设直线l ，AM ，AN 的斜率分别为k ，1k ，2k ，当0k ≠时，求证：12111k k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为定值.21.已知函数()()()e 1cos xf x a x a =+-∈R .（1）当0a =时，求曲线()y f x =在点()()π,πf 处的切线方程；（2）若()0,πx ∀∈，()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为33,212x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为π2sin 6ρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若点P的极坐标为π6⎛⎫⎪⎝⎭，直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求11PA PB +的值.选修4-5：不等式选讲23.已知函数()42f x x x a =++-.（1）当2a =时，求不等式()13f x ≤的解集；（2）当0a >时，若()25f x a a ≥+恒成立，求实数a 的取值范围.湘豫名校联考2023年5月高三第三次模拟考试数学（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】C【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】B【8题答案】【答案】C【9题答案】【答案】D【10题答案】【答案】D【11题答案】【答案】A【12题答案】【答案】D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.【13题答案】2n （答案不唯一）【答案】1【14题答案】【答案】215【15题答案】【答案】14964【16题答案】【答案】150,1,44⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦三、解答题：共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17∼21题为必考题，每个试卷考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.【17题答案】【答案】（1）证明见解析（2）16【18题答案】【答案】（1）0.929r ≈-，y 与x 有很强的线性相关性（2）0.08623.824ˆyx =-+（3）4人【19题答案】【答案】（1）证明见解析（2）172【20题答案】【答案】（1）22195y x +=（2）证明见解析【21题答案】【答案】（1）()ππe e 1π0x y -+-=（2）π2e ,∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程【22题答案】【答案】（1）0x -=，220x y x +-=（2）32选修4-5：不等式选讲【23题答案】【答案】（1）1313,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2）(]0,1。

湖北省黄冈中学2008届高三年级第三次模拟考试数学试题（文科）本试卷满分共150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效． 3．将填空题和解答题用0.5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内．答在试题卷上无效． 4．考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交． 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式P (A +B )=P (A )+P (B )24R S π=（其中R 表示球的半径）如果事件A 、B 相互独立，那么 球的体积公式P (A ·B )=P (A )·P (B ) 334R V π=球（其中R 表示球的半径）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率k n kk n n P P C k P --=)1()(一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数cos cos y x =(2x π+)(x ∈R ), 则函数是 （ ） A ．周期为π的奇函数 B ．周期为2π的奇函数 C ．周期为π的偶函数 D ．周期为2π的偶函数2．若向量(3,1),AB =-(2,1),n = 且⋅=⋅那么,7的值为（ ）A ．—2B ．0C ．2D ．22-或3．已知b a >，则下列不等式中正确的是 （ ）A ．11a b< B ．22a b >C ．a b +≥D ．ab b a 222>+4．等差数列{a n }的前n 项和是n S ，若520S =，则234a a a ++= （ ）A ．9B ．12C ．15D ．185．,,m n l 是三条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，下列命题中的真命题是 （ ）A ．若,m n 与l 都垂直，则m nB ．若,m n αβ⊥⊥，且αβ⊥，则m n ⊥C ．若m α ，//m n ，则n αD ．若γ与平面,αβ所成的角相等，则//αβ6则样本在(]50,70上的频率为 （ ）A ．1332B ．1532C ．12D ．17327．过点P （-1，1）的直线l 与圆2240x y x ++=相交于A 、B 两点，当|AB |取最小值时，直线l 的斜率k 的值是（ ）A ．1B ．2C ．12D ．1-8．北京奥组委志愿部准备将新招选来的3名志愿者安排到六个奥运比赛项目的后勤小组去服务,则这3名志愿者恰好有2人安排在同一个小组的概率是 （ ）A ．15B ．524C ．512D ．10819．设0A >，0ω>，02φπ<≤，函数()sin(),f x A x ωφ=+()sin(2),g x A x ωφ=+则函数()f x 在区间(,)32ππ内为增函数是函数()g x 在区间(,)64ππ内为增函数的（ ）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件10．平面α的斜线AB 交α于点B ，斜线AB 与平面α成30 角，过定点A 的动直线l 与斜线AB 成60 的角，且交α于点C ，则动点C 的轨迹是 （ ） A ．圆 B ．椭圆 C ．抛物线 D ．双曲线二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡相应位置上）11．在7)2(xx -的展开式中，2x 的系数是 .（用数字作答）12．函数()13x f x -=+的反函数为()1f x -，则()110f -= .13．从0，1，2，3，4，5六个数字中任取3个数字组成没有重复数字的三位数，这些三位数中，奇数的个数是 .（用数字作答）.14．设1010330x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪--⎩,,,≥≥≤则函数22z x y =+取最小值时，x y += .15．如图, 设A 、B 、C 、D 为球O 上四点，若AB 、AC 、AD 两两互相垂直，且2AB AC AD ===，则AD 两点间的球面距离 .三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分）在锐角三角形ABC 中，已知内角,3A π=边BC =B=x ，三角形ABC 的面积为S . （Ⅰ）试用x 表示AB 边的长； （Ⅱ）求面积S 的最大值.17．（本小题满分12分）一批产品成箱包装，每箱6件. 一用户在购买这批产品前先取出2箱，再从取出的每箱中抽取2件检验. 设取出的第一、二箱中二等品分别装有1件、n 件，其余均为一等品. （Ⅰ）若n =2，求取到的4件产品中恰好有2件二等品的概率； （Ⅱ）若取到的4件产品中含二等品的概率大于0.80，用户拒绝购买，求该批产品能被用户买走的n 的值. 18．（本小题满分12分）已知S n 是首项为a 的等比数列{a n }的前n 项和，S 4、S 6、S 5成等差数列. （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）若9a =，n n b na =，数列{b n }的前n 项和T n ，求T 10 ．19．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，190,22ACB AC AA BC ∠==== . （Ⅰ）若D 为AA 1中点，求证：平面B 1CD ⊥平面B 1C 1D ； （Ⅱ）若二面角B 1—DC —C 1的大小为60°，求AD 的长.20．（本小题满分13分）设32()f x ax bx cx =++的极小值为2-,其导函数'()y f x =的图像是经过点(1,0),(1,0)-开口向上的抛物线,如图所示． （Ⅰ）求()f x 的解析式； （Ⅱ）若m ≠2-，且过点（1，m ）可作曲线()y f x =的三条切线，求实数m 的取值范围．21．（本小题满分14分）如图，设抛物线214C y mx =：(0)m >的准线与x 轴交于1F ，焦点为2F ；以12F F 、为焦点，离心率12e =的椭圆2C 与抛物线1C 在x 轴上方的一个交点为P . （Ⅰ）当1m =时，求椭圆的方程及其右准线的方程；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，经过点2F 的直线l 与抛物线1C 交于12A A 、，如果以线段12A A 为直径作圆，试判断抛物线1C 的准线与椭圆2C 的交点12B B 、与圆的位置关系； C 11A 1 BAD C（Ⅲ）是否存在实数m，使得△PF F的边长是连续的自然数，若存在，求出这样的实数m；12若不存在，请说明理由．Array参考答案一、选择题1．A2．C3．D4．B5．B6．Ｂ7．D 8．C9．A 10．D二、填空题11．14- 12．2- 13．48 14．１ 15．23π三、解答题16．解：（Ⅰ）由ABC ∆为锐角三角形可知.62x ππ<<因为2sin sin()sin .3C B A x ππ⎛⎫=--=-⎪⎝⎭……（2分）应用正弦定理，知22sin sin()4sin().sin 33sin 3BC AB C x x A ππ=⋅=-=-……（5分）（Ⅱ）由1sin 2S AB BC B =⋅⋅⋅，知2sin ().362S x x x πππ⎛⎫=⋅-<<⎪⎝⎭……（7分）因为211cos2sin )6sin cos 3sin 222xS x x x x x x x -=+=+=+3sin 2)6x x x π=+=-（10分）又因为62x ππ<<，所以52.666x πππ<-<所以，当2,623x x πππ-==即时，S取最大值………………（12分）17．解：设A i 表示事件“第一箱中取出i 件二等品”，其中i =0, 1；B j 表示事件“第二箱中取出j 件二等品”，其中j =0, 1, 2, （Ⅰ）依题意，所求概率为分692)()()()()()(261244262526222625112011201 =⋅+⋅=+=+=C C C C C C C C C B P A P B P A P B A P B A P P（Ⅱ）依题设可知001()0.80P A B -≤，即54126262625≤⋅--C C C C n， ∴211210n n -+≥，又由题设可知06,n ≤≤ 且.n ∈N故n =0, 1或2. ……（12分）18．解：设数列{a n }的公比为q ，由S 4、S 6、S 5成等差数列，得S 4+S 5=2S 6 .若q =1，则S 4=4a ，S 5=5a ，S 6=6a . 由a ≠0，得S 4+S 5≠2S 6，与题设矛盾，所以q ≠1.…（3分）由S 4+S 5=2S 6，得456(1)(1)2(1).111a q a q a q q q q----=--- 整理得q 4+q 5=2q 6. 由q ≠0，得1+q =2q 2，即12q =-.因此所求通项公式为11.2n n a a -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭………（7分）（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论可知n n b na ==11.2n na -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭∴012910111191()2()3()10()2222T ⎡⎤=⨯-+⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+⨯-⎢⎥⎣⎦. 由错位相减法求得1063.16T =………（12分） 19．解法一：（Ⅰ）∵11190AC B ACB ∠=∠=，∴1111B C AC ⊥， 又由直三棱柱性质知111B C CC ⊥，∴11B C ⊥平面ACC 1A 1. ∴11B C CD ⊥……①……（2分）由D为中点可知，1DC DC =22211DC DC CC += 即1CD DC ⊥……②由①②可知CD ⊥平面B 1C 1D ，又CD ⊂平面B 1CD ，故平面1B CD ⊥平面B 1C 1D . ………………（6分） （Ⅱ）由（1）可知11B C ⊥平面ACC 1A 1，如图， 在面ACC 1A 1内过C 1作1C E CD ⊥，交CD 或延长线或于E ，连EB 1，由三垂线定理可知11B EC ∠为二面角B 1—DC —C 1的平面角，∴1160.B EC ∠=……（8分）由B 1C 1=2知，1C E =，设AD=x，则DC = EC 1B 1A 1 BADC∵11DC C ∆的面积为1，∴13321212=⋅+⋅x ，解得x =AD =…………（12分）解法二：（Ⅰ）如图，以C 为原点，CA 、CB 、CC 1所在直线为x, y, z 轴建立空间直角坐标系. 则 C （0，0，0），A （1，0，0），B 1（0，2，2），C 1（0，0，2），D （1，0，1）. 即11(0,2,0),(1,0,1),(1,0,1)C B DC CD ==-=101)1,0,1()1,0,1(;,0000)0,2,0()1,0,1(111=++-=-⋅=⋅⊥=++=⋅=⋅DC B C CD B C CD 由得由得1CD DC ⊥；又111DC C B C = ，∴CD ⊥平面B 1C 1D .又CD ⊂平面B 1CD ， ∴平面1B CD ⊥平面B 1C 1D . ………………（6分）（Ⅱ）设AD=a ，则D 点坐标为（1，0，a ），1(1,0,)(0,2,2)CD a C B ==，设平面B 1CD 的法向量为(,,)m x y z =.则由,1,0220001-=⎩⎨⎧=+=+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅z z y ax x CB 令得(,1,1)m a =-，又平面C 1DC 的法向量为(0,1,0)n = ，则由212160cos 2=+⇒=a ，即a =，故AD =………………（12分）20．解：（Ⅰ）2'()32f x ax bx c =++ ，且'()y f x =的图像经过点(1,0),(1,0)-,∴2(1)1033(1)13b b ac c a a ⎧-+=-⎪=⎧⎪⇒⎨⎨=-⎩⎪-⨯=⎪⎩，∴3()3f x ax ax =-，……（3分）由导函数图像可知函数()y f x =在(,1)-∞-上单调递增，在(1,1)-上单调递减， 在(1,)+∞上单调递增，∴()(1)32f x f a a ==-=-极小值，解得1a = . ∴3()3f x x x =-. ……（6分）（Ⅱ）设切点为（x 0, y 0），由题设知x 0≠1，则切线斜率可表示为1m y k x -=-和0()k f x '=，所以2000331m y x x -=--，又30003y x x =-，即3320000033333m x x x x x -+=-++-， ∴320002330(1)x x m x -++=≠，要有三条切线，则上述关于x 0的方程应有三个不同的实数根. ……（9分）令32000233g x x x m x R =-++∈()()，则要0()g x 与x 轴有三个交点（且交点坐标01x ≠），即0()g x 的极大值与极小值的乘积小于零，由2000()660g x x x '=-= 得00,x = 或0 1.x =且当0(,0)x ∈-∞和0(1,)x ∈+∞时0()0g x '>；当0(0,1)x ∈时，0()0g x '<， ∴0()g x 在x 0=0, x 0=1处分别取得极大值m +3和极小值m +2.由(3)(2)032m m m ++<⇒-<<-，（此时显然有x 0=1不可能是方程的根） 故m 的取值范围是（-3，-2）. ……（13分）21．解：（Ⅰ）设椭圆长半轴为a ，半焦距为c ，当1m =时，1(1,0)F -，2(1,0)F .∵11,2c e ==，∴2222,3a b a c ==-= 故椭圆方程为22143x y +=，右准线方程为 4x = ………………………（4分） （Ⅱ）依题意设直线l 的方程为：1x ky =+，k ∈R 将1x ky =+代入24y x =得2440y ky --=.设111222(,),(,)A x y A x y ，由韦达定理得12124,4y y k y y +==-.由椭圆和抛物线的对称性，只要判断12B B 、中一点即可. 不妨取13(1,)2B -, ∵1111122233(1,),(1,)22B A x y B A x y =+-=+- ,∴221122121212123993()1()464().2444B A B A x x x x y y y y k k k ∙=++++-++=-+=-因为k ∈R,于是11120B A B A ∙≥,即点1B 在圆上或圆外,故点12B B 、在圆上或圆外. (也可利用先抛物线的定义证明圆与抛物线的准线相切，后说明点与圆的位置关系；或利用弦长公式求半径与点1B 到圆心的距离比较大小)……………………（9分） （Ⅲ）假设存在满足条件的实数m ， 由题设有12,2,c m a m F F ===又设1122,PF r PF r ==， 有1224r r a m +==设00(,)P x y ，对于抛物线1C ，20r x m =+；对于椭圆2C ，22012r e a x c==-，即201(4)2r m x =-. 由001(4)2x m m x +=- 解得 023x m =, ∴253r m =, 从而 173r m =. 因此，三角形12PF F 的边长分别是567,,333m m m .所以3m 时，能使三角形12PF F 的边长是连续的自然数. …………（14分）。