高中数学 第一章 不等关系与基本不等式 1.4 不等式的

新高中数学第一章不等式的基本性质和证明不等式的基本方法1-4绝对值的三角不等式学案新人教B版选修4_5 绝对值的三角不等式[对应学生用书P13][读教材·填要点]绝对值的三角不等式(1)定理1：若a，b为实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|.当且仅当ab≥0时，等号成立．(2)定理2：设a，b，c为实数，则|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，等号成立⇔(a－b)(b－c)≥0，即b落在a，c之间．①推论1：||a|－|b||≤|a＋b|②推论2：||a|－|b||≤|a－b|[小问题·大思维]1．|a＋b|与|a|－|b|，|a－b|与|a|－|b|及|a|＋|b|分别具有什么关系？提示：|a|－|b|≤|a＋b|，|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|.2．不等式|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中“＝”成立的条件分别是什么？提示：不等式|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≥0，左侧“＝”成立的条件是ab≤0，且|a|≥|b|；不等式|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≤0，左侧“＝”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|.3．绝对值不等式|a－c|≤|a－b|＋|b－c|的几何解释是什么？提示：在数轴上，a，b，c所对应的点分别为A，B，C，当点B在点A，C之间时，|AC|＝|AB|＋|BC|；当点B不在点A，C之间时，|AC|<|AB|＋|BC|.[对应学生用书P13][例1] (1)以下四个命题：①若a，b∈R，则|a＋b|－2|a|≤|a－b|；②若|a－b|＜1，则|a|＜|b|＋1；③若|x |＜2，|y |＞3，则|x y |＜23；④若AB ≠0，则lg |A |＋|B |2≥12( lg|A |＋lg|B |)．其中正确的命题有( ) A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个(2)不等式|a ＋b ||a |－|b |≥1成立的充要条件是________．[思路点拨] 本题考查绝对值的三角不等式定理的应用及充要条件等问题．解答问题(1)可利用绝对值的三角不等式定理，结合不等式的性质、基本定理等一一验证；解答问题(2)应分|a |＞|b |与|a |<|b |两类讨论．[精解详析] (1)|a ＋b |＝|(b －a )＋2a |≤|b －a |＋2|a | ＝|a －b |＋2|a |，∴|a ＋b |－2|a |≤|a －b |，①正确； 1＞|a －b |≥|a |－|b |，∴|a |＜|b |＋1，②正确； |y |＞3，∴1|y |＜13. 又∵|x |＜2，∴|x ||y |＜23.③正确；⎝ ⎛⎭⎪⎫|A |＋|B |22＝14(|A |2＋|B |2＋2|A ||B |)， ≥14(2|A ||B |＋2|A ||B |)＝|A ||B |， ∴2lg |A |＋|B |2≥lg|A ||B |.∴lg |A |＋|B |2≥12(lg|A |＋lg|B |)，④正确．(2)当|a |>|b |时，有|a |－|b |>0， ∴|a ＋b |≥||a |－|b ||＝|a |－|b |. ∴必有|a ＋b ||a |－|b |≥1.即|a |>|b |是|a ＋b ||a |－|b |≥1成立的充分条件．当|a ＋b ||a |－|b |≥1时，由|a ＋b |>0，必有|a |－|b |>0. 即|a |>|b |，故|a |>|b |是|a ＋b ||a |－|b |≥1成立的必要条件．故所求为：|a |>|b |. [答案] (1)A (2)|a |＞|b|(1)绝对值的三角不等式：|a |－|b |＜|a ±b |＜|a |＋|b |的几何意义是：三角形任意两边之差小于第三边，三角形任意两边之和大于第三边．(2)对|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |的诠释：1．(1)若x ＜5，n ∈N ＋，则下列不等式： ①|x lgn n ＋1|＜5|lg nn ＋1|；②|x |lg n n ＋1＜5lg nn ＋1； ③x lgn n ＋1＜5|lg nn ＋1|；④|x |lgn n ＋1＜5|lg nn ＋1|. 其中，能够成立的有________．(2)已知|a |≠|b |，m ＝|a |－|b ||a －b |，n ＝|a |＋|b ||a ＋b |，则m ，n 之间的大小关系是( )A ．m ＞nB ．m ＜nC ．m ＝nD ．m ≤n解析：(1)∵0＜nn ＋1＜1.∴lgnn ＋1＜0.由x ＜5，并不能确定|x |与5的关系， ∴可以否定①②③，而|x |lgnn ＋1＜0，④成立．(2)∵|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |， ∴m ＝|a |－|b ||a －b |≤|a －b ||a －b |＝1，n ＝|a |＋|b ||a ＋b |≥|a |＋|b ||a |＋|b |＝1.∴m ≤1≤n .答案：(1)④ (2)D[例2] 已知a ，b ∈R 且a ≠0， 求证：|a 2－b 2|2|a |≥|a |2－|b |2.[思路点拨] 本题的特点是绝对值符号较多，直接去掉绝对值符号较困难．从所证的不等式可以看出，不等式的左边为非负值，而不等式右边的符号不定．如果不等式右边非正，这时不等式显然成立；当不等式右边为正值时，有|a |＞|b |.所以本题应从讨论|a |与|b |的大小入手，结合作差比较法，可以使问题得以解决．[精解详析] ①若|a |＞|b |， 左边＝|a ＋b ||a －b |2|a |＝|a ＋b ||a －b ||a ＋b ＋a －b |≥|a ＋b ||a －b ||a ＋b |＋|a －b |＝11|a ＋b |＋1|a －b |.∵1|a ＋b |≤1|a |－|b |，1|a －b |≤1|a |－|b |， ∴1|a ＋b |＋1|a －b |≤2|a |－|b |. ∴左边≥|a |－|b |2＝右边．②若|a |<|b |，左边>0，右边<0，∴原不等式显然成立． ③若|a |＝|b |，原不等式显然成立． 综上可知原不等式成立．含绝对值不等式的证明题主要分两类：一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明，或利用绝对值三角不等式性质定理：||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |，通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明．2．(1)已知ε>0，|x －a |<ε，|y －b |<ε， 求证：|(x ＋y )－(a ＋b )|<2ε.(2)设f (x )＝x 2－x ＋13，实数a 满足|x －a |<1，求证：|f (x )－f (a )|<2(|a |＋1)． 证明：(1)|(x ＋y )－(a ＋b )|＝|(x －a )＋(y －b )|≤|x －a |＋|y －b |.① ∵|x －a |<ε，|y －b |<ε， ∴|x －a |＋|y －b |<ε＋ε＝2ε.② 由①②得：|(x ＋y )－(a ＋b )|<2ε. (2)∵f (x )＝x 2－x ＋13， ∴|f (x )－f (a )|＝|x 2－x －a 2＋a | ＝|x －a |·|x ＋a －1|<|x ＋a －1|. 又∵|x ＋a －1|＝|x －a ＋2a －1| ≤|x －a |＋|2a －1|<1＋|2a |＋1＝2(|a |＋1)，∴|f (x )－f (a )|<2(|a |＋1).[例3] 已知a ，b ∈R ，且|a ＋b ＋1|≤1，|a ＋2b ＋4|≤4. 求|a |＋|b |的最大值．[思路点拨] 本题考查绝对值三角不等式的应用．解答本题可先求出|a ＋b |，|a －b |的最值，再通过|a |＋|b |与它们相等时进行讨论求出最大值．[精解详析] |a ＋b |＝|(a ＋b ＋1)－1| ≤|a ＋b ＋1|＋|－1|≤2，|a －b |＝|3(a ＋b ＋1)－2(a ＋2b ＋4)＋5| ≤3|a ＋b ＋1|＋2|a ＋2b ＋4|＋5 ≤3＋2×4＋5＝16.①若ab ≥0，则|a |＋|b |＝|a ＋b |≤2； ②若ab ＜0，则|a |＋|b |＝|a －b |≤16.而当⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋1＝1，a ＋2b ＋4＝－4，即a ＝8，b ＝－8时，|a |＋|b |取得最大值，且|a |＋|b |＝|a －b |＝16.(1)求含绝对值的代数式的最值问题综合性较强，本题直接求|a |＋|b |的最大值比较困难，可采用|a ＋b |，|a －b |的最值，及ab ≥0时，|a |＋|b |＝|a ＋b |，ab ＜0时，|a |＋|b |＝|a －b |的定理，达到目的，其巧妙之处令人赞叹不已．(2)求y ＝|x ＋m |＋|x ＋n |和y ＝|x ＋m |－|x ＋n |的最值，其主要方法有： ①借助绝对值的定义，即零点分段； ②利用绝对值几何意义； ③利用绝对值不等式性质定理．3．对于实数x ，y ，若|x －1|≤1，|y －2|≤1，则|x －2y ＋1|的最大值为( ) A ．5 B ．4 C ．8D ．7解析：由题易得，|x －2y ＋1|＝|(x －1)－2(y －1)|≤|x －1|＋|2(y －2)＋2|≤1＋2|y－2|＋2≤5，即|x－2y＋1|的最大值为5.答案：A[对应学生用书P15]一、选择题1．已知实数a，b满足ab<0，则下列不等式成立的是( )A．|a＋b|>|a－b| B．|a＋b|<|a－b|C．|a－b|<||a|－|b|| D．|a－b|<|a|＋|b|解析：∵ab<0，∴|a－b|＝|a|＋|b|，又|a＋b|<|a|＋|b|，∴|a＋b|<|a|＋|b|＝|a－b|.答案：B2．“|x－a|＜m且|y－a|＜m”是“|x－y|＜2m”(x，y，a，m∈R)的( )A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件解析：∵|x－a|＜m，|y－a|＜m，∴|x－a|＋|y－a|＜2m.又∵|(x－a)－(y－a)|≤|x－a|＋|y－a|，∴|x－y|＜2m.但反过来不一定成立，如取x＝3，y＝1，a＝－2，m＝2.5，|3－1|＜2×2.5，但|3－(－2)|＞2.5，|1－(－2)|＞2.5，∴|x－y|＜2m不一定有|x－a|＜m且|y－a|＜m，故“|x－a|＜m且|y－a|＜m”是“|x －y|＜2m”(x，y，a，m∈R)的充分非必要条件．答案：A3．设|a|<1，|b|<1，则|a＋b|＋|a－b|与2的大小关系是( )A ．|a ＋b |＋|a －b |>2B ．|a ＋b |＋|a －b |<2C ．|a ＋b |＋|a －b |＝2D ．不能比较大小 解析：当(a ＋b )(a －b )≥0时，|a ＋b |＋|a －b |＝|(a ＋b )＋(a －b )|＝2|a |<2， 当(a ＋b )(a －b )<0时，|a ＋b |＋|a －b |＝|(a ＋b )－(a －b )|＝2|b |<2. 答案：B4．若|a －c |＜b ，则下列不等式不成立的是( ) A ．|a |＜|b |＋|c | B ．|c |＜|a |＋|b | C ．b ＞|c |－|a |D ．b ＜||a |－|c ||解析：∵|a －c |＜b ，令a ＝1，c ＝2，b ＝3. 则|a |＝1，|b |＋|c |＝5，∴|a |＜|b |＋|c |成立． |c |＝2，|a |＋|b |＝4，∴|c |＜|a |＋|b |成立． ||c |－|a ||＝||2|－|1||＝1，∴b ＞||c |－|a ||成立． 故b ＜||a |－|c ||不成立． 答案：D 二、填空题5．已知p ，q ，x ∈R ，pq ≥0，x ≠0，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪px ＋q x________2pq .(填不等关系符号)解析：当p ，q 至少有一个为0时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪px ＋q x≥2pq ，当pq >0时，p ，q 同号，则px 与qx同号， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪px ＋q x ＝|px |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪q x≥2pq ，故⎪⎪⎪⎪⎪⎪px ＋q x ≥2pq . 答案：≥6．(重庆高考)若不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，则实数a的取值范围是________．解析：|2x －1|＋|x ＋2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12－x ＋＝52，当且仅当x ＝12时取等号，因此函数y ＝|2x －1|＋|x ＋2|的最小值是52.所以a 2＋12a ＋2≤52，即2a 2＋a －1≤0，解得－1≤a ≤12，即实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，127．不等式log 3(|x －4|＋|x ＋5|)>a 对于一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：由绝对值的几何意义知：|x －4|＋|x ＋5|≥9， 则log 3(|x －4|＋|x ＋5|)≥2，所以要使不等式log 3(|x －4|＋|x ＋5|)>a 对于一切x ∈R 恒成立，则需a <2. 答案：(－∞，2)8．设函数f (x )的定义域为R ，若存在常数m ＞0，使|f (x )|≤m |x |对一切实数x 均成立，则称f (x )为F 函数．给出下列函数：①f (x )＝0；②f (x )＝x 2；③f (x )＝2(sin x ＋cos x )； ④f (x )＝xx 2＋x ＋1；⑤f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足对一切实数x 1，x 2均有|f (x 1)－f (x 2)|≤2|x 1－x 2|.其中是F 函数的序号是________．解析：由|f (x )|≤m |x |，当x ≠0时，知m ≥|f x|x |，对于①，有|f x|x |＝0，x ≠0，故取m ＞0即可；对于②，由|x 2|＝|x |2，∴|f x |x |＝|x |，无最大值；对于③，由f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，而|fx|x |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4|x |无最大值；对于④，由|f x|x |＝1x 2＋x ＋1≤43，x ≠0，只要取m ＝43即可；对于⑤，令x 2＝0，x 1＝x ，由f (0)＝0，知|f (x )|≤2|x |.答案：①④⑤ 三、解答题9．已知实数x ，y 满足：|x ＋y |＜13，|2x －y |＜16，求证：|y |＜518.证明：因为3|y |＝|3y |＝|2(x ＋y )－(2x －y )|≤2|x ＋y |＋|2x －y |，由题设知|x ＋y |＜13，|2x －y |＜16， 从而3|y |＜23＋16＝56，所以|y |＜518.10．设a ，b ∈R ，求证：|a |1＋|a |＋|b |1＋|b |≥|a ＋b |1＋|a ＋b |.证明：法一：①若ab ＝0或a ＋b ＝0，不等式显然成立．②若ab ≠0且a ＋b ≠0，∵|a ＋b |≤|a |＋|b |，∴|a |＋|b |1＋|a |＋|b |＝11＋1|a |＋|b |≥11|a ＋b |＋1＝|a ＋b |1＋|a ＋b |(*)又|a |1＋|a |＞|a |1＋|a |＋|b |，|b |1＋|b |＞|b |1＋|a |＋|b |， ∴|a |1＋|a |＋|b |1＋|b |＞|a |＋|b |1＋|a |＋|b |. 又由(*)式可知|a |1＋|a |＋|b |1＋|b |＞|a ＋b |1＋|a |＋|b |.综上①②可知|a |1＋|a |＋|b |1＋|b |≥|a ＋b |1＋|a ＋b |.法二：若ab ＝0或a ＋b ＝0，不等式显然成立． 若ab ≠0且a ＋b ≠0，∵|a ＋b |≤|a |＋|b |， ∴0＜1＋1|a |＋|b |≤1＋1|a ＋b |.即0＜1＋|a |＋|b ||a |＋|b |≤1＋|a ＋b ||a ＋b |.取倒数得|a |＋|b |1＋|a |＋|b |≥|a ＋b |1＋|a ＋b |，又由法一知，原不等式成立．法三：∵|a |＋|b |≥|a ＋b |，∴|a |＋|b |＋(|a |＋|b |)·|a ＋b |≥|a ＋b |＋ (|a |＋|b |)·|a ＋b |，即(|a |＋|b |)(1＋|a ＋b |)≥|a ＋b |(1＋|a |＋|b |)． 两边同除以(1＋|a ＋b |)(1＋|a |＋|b |)得 |a |＋|b |1＋|a |＋|b |≥|a ＋b |1＋|a ＋b |.又由法一知，原不等式成立． 法四：构造函数f (x )＝x1＋x， 任取x 1，x 2∈[0，＋∞)且x 1＜x 2，有 f (x 1)－f (x 2)＝x 11＋x 1－x 21＋x 2 ＝x 1－x 2＋x 1＋x 2＜0. ∴f (x )在[0，＋∞)上为增函数．又|a |＋|b |≥|a ＋b |，∴f (|a |＋|b |)≥f (|a ＋b |)， 即|a |＋|b |1＋|a |＋|b |≥|a ＋b |1＋|a ＋b |. 又由法一知，所证不等式成立．11．已知|x 1－2|<1，|x 2－2|<1.(1)求证：2<x 1＋x 2<6，|x 1－x 2|<2.(2)若f (x )＝x 2－x ＋1，x 1≠x 2，求证：|x 1－x 2|<|f (x 1)－f (x 2)|<5|x 1－x 2|.证明：(1)∵|x 1－2|<1，|x 2－2|<1，∴2－1<x 1<2＋1,2－1<x 2<2＋1，即1<x 1<3,1<x 2<3，∴2<x 1＋x 2<6，|x 1－x 2|＝|(x 1－2)－(x 2－2)|≤|x 1－2|＋|x 2－2|<1＋1＝2，即|x 1－x 2|<2.(2)∵f (x )＝x 2－x ＋1，∴|f (x 1)－f (x 2)|＝|x 21－x 1－x 22＋x 2|＝|(x 1－x 2)(x 1＋x 2－1)|＝|x 1－x 2||x 1＋x 2－1|. 由(1)知2<x 1＋x 2<6，|x 1－x 2|>0，∴|x1－x2|<|x1－x2||x1＋x2－1|<5|x1－x2|，即|x1－x2|<|f(x1)－f(x2)|<5|x1－x2|.。

高中数学必修＋选修知识点归纳新课标人教B版高中数学B版必修一第一章集合1．1集合与集合的表示方法1．2集合之间的关系与运算第二章函数2．1函数2．2一次函数和二次函数2．3函数的应用Ⅰ2．4函数与方程第三章基本初等函数Ⅰ3．1指数与指数函数3．2对数与对数函数3．3幂函数3．4函数的应用Ⅱ高中数学B版必修二第一章立体几何初步1．1空间几何体1．2点、线、面之间的位置关系第二章平面解析几何初步2．1平面真角坐标系中的基本公式2．2直线方程2．3圆的方程2．4空间直角坐标系高中数学B版必修三第一章算法初步1．1算法与程序框图1．2基本算法语句1．3中国古代数学中的算法案例第二章统计2．1随机抽样2．2用样本估计总体2．3变量的相关性第三章概率3．1随机现象3．2古典概型3．3随机数的含义与应用3．4概率的应用高中数学B版必修四第一章基本初等函Ⅱ1．1任意角的概念与弧度制1．2任意角的三角函数1．3三角函数的图象与性质第二章平面向量2．1向量的线性运算2．2向量的分解与向量的坐标运算2．3平面向量的数量积2．4向量的应用第三章三角恒等变换3．1和角公式3．2倍角公式和半角公式3．3三角函数的积化和差与和差化积高中数学B版必修五第一章解直角三角形1．1正弦定理和余弦定理1．2应用举例第二章数列2．1数列2．2等差数列2．3等比数列第三章不等式3．1不等关系与不等式3．2均值不等式3．3一元二次不等式及其解法3．4不等式的实际应用3．5二元一次不等式组与简单线性规划问题高中数学B版选修1－1文科第一章常用逻辑用语1．1命题与量词1．2基本逻辑联结词1．3充分条件、必要条件与命题的四种形式第二章圆锥曲线与方程2．1椭圆2．2双曲线第三章导数及其应用3．1导数3．2导数的运算3．3导数的应用高中数学B版选修1－2文科第一章统计案例第二章推理与证明第三章数系的扩充与复数的引入第四章框图高中数学B版选修2－1理科1.2基本逻辑联结词1.3充分条件、必要条件与命题的四种形式2.1曲线与方程2.2椭圆2.3双曲线2.4抛物线高中数学B版选修2－2理科第一章导数及其应用1.1导数1.2导数的运算1.3导数的应用1.4定积分与微积分基本定理第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.2直接证明与间接证明2.3数学归纳法第三章数系的扩充与复数3.1数系的扩充与复数的概念3.2复数的运算高中数学B版选修2－3理科第一章计数原理1.1基本计数原理1.2排列与组合1.3二项式定理第二章概率2.1离散型随机变量及其分布列2.2条件概率与事件的独立性2.3随机变量的数字特征2.4正态分布第三章统计案例3.1独立性检验3.2回归分析高中数学B版选修4－1几何证明选讲第一讲相似三角形的判定及有关性质一平行线等分线段定理二平行线分线段成比例定理三相似三角形的判定及性质1．相似三角形的判定2．相似三角形的性质四直角三角形的射影定理第二讲直线与圆的位置关系一圆周角定理二圆内接四边形的性质与判定定理三圆的切线的性质及判定定理四弦切角的性质五与圆有关的比例线段第三讲圆锥曲线性质的探讨一平行射影二平面与圆柱面的截线三平面与圆锥面的截线高中数学B版选修4－4坐标系与参数方程第一章坐标系1.1直角坐标系平面上的压缩变换2极坐标系1.3曲线的极坐标方程1.4圆的极坐标方程1.5柱坐标系和球坐标系第二章参数方程2.1曲线的参数方程2.2直线和圆的参数方程2.3圆锥曲线的参数方程高中数学B版选修4－5不等式选讲第一章不等式的基本性质和证明的基本方法1．1不等式的基本性质和一元二次不等式的解法1．2基本不等式1．3绝对值不等式的解法1．4绝对值的三角不等式1．5不等式证明的基本方法第二章柯西不等式与排序不等式及其应用2．1柯西不等式2．2排序不等式2．3平均值不等式选学2．4最大值与最小值问题;优化的数学模型第三章数学归纳法与贝努利不等式3.1数学归纳法原理3.2用数学归纳法证明不等式;贝努利不等式。

目录不等关系与不等式 (2)考点1：不等关系与不等式 (2)考点2：等式性质与不等式性质 (7)考点1：不等关系与不等式知识点一基本事实两个实数a，b，其大小关系有三种可能，即a>b，a＝b，a<b.思考x2＋1与2x两式都随x的变化而变化，其大小关系并不显而易见．你能想个办法，比较x2＋1与2x的大小吗？答案作差：x2＋1－2x＝(x－1)2≥0，所以x2＋1≥2x.知识点二重要不等式∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．题型1：用不等式(组)表示不等关系例1《铁路旅行常识》规定：一、随同成人旅行，身高在1.2～1.5米的儿童享受半价客票(以下称儿童票)，超过1.5米的应买全价票，每一名成人旅客可免费带一名身高不足1.2米的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票．……十、旅客免费携带物品的体积和重量是每件物品的外部长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米，杆状物品不得超过200厘米，重量不得超过20千克……设身高为h(米)，物品外部长、宽、高尺寸之和为P(厘米)，请用不等式表示下表中的不等关系.解由题意可获取以下主要信息：(1)身高用h(米)表示，物体长、宽、高尺寸之和为P(厘米)；(2)题中要求用不等式表示不等关系．解答本题应先理解题中所提供的不等关系，再用不等式表示．身高在1.2～1.5米可表示为1.2≤h ≤1.5， 身高超过1.5米可表示为h >1.5， 身高不足1.2米可表示为h <1.2，物体长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米可表示为P ≤160.如下表所示：变式 某套试卷原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2 000本．若把提价后试卷的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？解 提价后销售的总收入为⎝⎛⎭⎫8－x －2.50.1×0.2x 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式⎝⎛⎭⎫8－x －2.50.1×0.2x ≥20(2.5≤x <6.5)．题型2：作差法比较大小例2 已知a ，b 均为正实数．试利用作差法比较a 3＋b 3与a 2b ＋ab 2的大小． 解 ∵a 3＋b 3－(a 2b ＋ab 2)＝(a 3－a 2b )＋(b 3－ab 2) ＝a 2(a －b )＋b 2(b －a )＝(a －b )(a 2－b 2)＝(a －b )2(a ＋b )． 当a ＝b 时，a －b ＝0，a 3＋b 3＝a 2b ＋ab 2； 当a ≠b 时，(a －b )2>0，a ＋b >0，a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2. 综上所述，a 3＋b 3≥a 2b ＋ab 2.变式 已知x <1，试比较x 3－1与2x 2－2x 的大小． 解 ∵(x 3－1)－(2x 2－2x )＝x 3－2x 2＋2x －1 ＝(x 3－x 2)－(x 2－2x ＋1)＝x 2(x －1)－(x －1)2 ＝(x －1)(x 2－x ＋1)＝(x －1)⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －122＋34，又∵⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0，x －1<0， ∴(x －1)⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －122＋34<0，∴x 3－1<2x 2－2x .考点1：练习题1．下列说法正确的是( )A ．某人月收入x 元不高于2 000元可表示为“x <2 000”B ．小明的身高为x ，小华的身高为y ，则小明比小华矮可表示为“x >y ”C ．变量x 不小于a 可表示为“x ≥a ”D ．变量y 不超过a 可表示为“y ≥a ” 答案 C解析 对于A ，x 应满足x ≤2 000，故A 错误；对于B ，x ，y 应满足x <y ，故B 错误；C 正确；对于D ，y 与a 的关系可表示为“y ≤a ”，故D 错误．2．在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5 cm ，人跑开的速度为每秒4 m ，为了使点燃导火索的人能够在爆破时跑到100 m 以外的安全区，导火索的长度x (cm)应满足的不等式为( ) A ．4×x0.5≥100B ．4×x0.5≤100 C ．4×x0.5>100D ．4×x0.5<100答案 C解析 导火索燃烧的时间x 0.5秒，人在此时间内跑的路程为4×x0.5m ．由题意可得4×x0.5>100. 3．设M ＝x 2，N ＝－x －1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M >N B ．M ＝N C ．M <N D ．与x 有关答案 A解析 ∵M －N ＝x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34>0， ∴M >N .4．若y 1＝2x 2－2x ＋1，y 2＝x 2－4x －1，则y 1与y 2的大小关系是( ) A ．y 1>y 2B ．y 1＝y 2C ．y 1<y 2D ．随x 值变化而变化答案 A5．如图，在一个面积为200 m 2的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地，仓库的长a 大于宽b 的4倍，则表示上述的不等关系正确的是( )A ．a >4bB ．(a ＋4)(b ＋4)＝200C.⎩⎪⎨⎪⎧a >4b ，(a ＋4)(b ＋4)＝200 D.⎩⎪⎨⎪⎧a >4b ，4ab ＝200 答案 C解析 由题意知a >4b ，根据面积公式可以得到(a ＋4)(b ＋4)＝200，故选C.6．某次数学智力测验，共有20道题，答对一题得5分，答错一题得－2分，不答得零分．某同学有一道题未答，设这个学生至少答对x 题，成绩才能不低于80分，列出其中的不等关系：________.(不用化简) 答案 5x －2(19－x )≥80，x ∈N *解析 这个学生至少答对x 题，成绩才能不低于80分，即5x －2(19－x )≥80，x ∈N *. 7．某商品包装上标有重量500±1克，若用x 表示商品的重量，则可用含绝对值的不等式表示该商品的重量的不等式为________． 答案 |x －500|≤1解析 ∵某商品包装上标有重量500±1克， 若用x 表示商品的重量， 则－1≤x －500≤1， ∴|x －500|≤1.8．若x ∈R ，则x 1＋x 2与12的大小关系为________．答案x 1＋x 2≤12解析 ∵x 1＋x 2－12＝2x －1－x 22(1＋x 2)＝－(x －1)22(1＋x 2)≤0.∴x 1＋x 2≤12. 9．已知a ，b ∈R ，x ＝a 3－b ，y ＝a 2b －a ，试比较x 与y 的大小． 解 因为x －y ＝a 3－b －a 2b ＋a ＝a 2(a －b )＋a －b ＝(a －b )(a 2＋1)，所以当a >b 时，x －y >0，所以x >y ； 当a ＝b 时，x －y ＝0，所以x ＝y ； 当a <b 时，x －y <0，所以x <y .10．已知甲、乙、丙三种食物的维生素A ，B 含量及成本如下表：若用甲、乙、丙三种食物各x kg 、y kg 、z kg 配成100 kg 的混合食物，并使混合食物内至少含有56 000单位维生素A 和63 000单位维生素B.试用x ，y 表示混合食物成本c 元，并写出x ，y 所满足的不等关系． 解 依题意得c ＝11x ＋9y ＋4z ， 又x ＋y ＋z ＝100，∴c ＝400＋7x ＋5y ，由⎩⎪⎨⎪⎧600x ＋700y ＋400z ≥56 000，800x ＋400y ＋500z ≥63 000及z ＝100－x －y ， 得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≥160，3x －y ≥130. ∴x ，y 所满足的不等关系为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≥160，3x －y ≥130，x ≥0，y ≥0.11．已知0<a 1<1,0<a 2<1，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M <N B ．M >N C ．M ＝N D ．无法确定答案 B解析 ∵0<a 1<1,0<a 2<1，∴－1<a 1－1<0，－1<a 2－1<0，∴M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1)＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝a 1(a 2－1)－(a 2－1)＝(a 1－1)(a 2－1)>0， ∴M >N ，故选B.12．若0<a 1<a 2，0<b 1<b 2，且a 1＋a 2＝b 1＋b 2＝1，则下列代数式中值最大的是( ) A ．a 1b 1＋a 2b 2 B ．a 1a 2＋b 1b 2 C ．a 1b 2＋a 2b 1 D.12答案 A解析 令a 1＝0.1，a 2＝0.9；b 1＝0.2，b 2＝0.8.则A 项a 1b 1＋a 2b 2＝0.74；B 项，a 1a 2＋b 1b 2＝0.25；C 项，a 1b 2＋a 2b 1＝0.26，故最大值为A.13．一个盒子中红、白、黑三种球分别为x 个、y 个、z 个，黑球个数至少是白球个数的一半，至多是红球个数的13，白球与黑球的个数之和至少为55，则用不等式(组)将题中的不等关系表示为________．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧y 2≤z ≤x 3，y ＋z ≥55(x ，y ，z ∈N *)解析 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧y 2≤z ≤x 3，y ＋z ≥55(x ，y ，z ∈N *)．14．若a 1<a 2，b 1<b 2，则a 1b 1＋a 2b 2________a 1b 2＋a 2b 1.(填“>”“<”“＝”) 答案 >解析 a 1b 1＋a 2b 2－(a 1b 2＋a 2b 1) ＝a 1(b 1－b 2)＋a 2(b 2－b 1) ＝(b 1－b 2)(a 1－a 2)， ∵a 1<a 2，b 1<b 2， ∴b 1－b 2<0，a 1－a 2<0， 即(b 1－b 2)(a 1－a 2)>0， ∴a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 1.考点2：等式性质与不等式性质知识点一 等式的基本性质 (1)如果a ＝b ，那么b ＝a . (2)如果a ＝b ，b ＝c ，那么a ＝c . (3)如果a ＝b ，那么a ±c ＝b ±c . (4)如果a ＝b ，那么ac ＝bc . (5)如果a ＝b ，c ≠0，那么a c ＝bc .知识点二 不等式的性质题型1：利用不等式的性质判断或证明例1 (1)给出下列命题： ①若ab >0，a >b ，则1a <1b ；②若a >b ，c >d ，则a －c >b －d ；③对于正数a ，b ，m ，若a <b ，则a b <a ＋mb ＋m .其中真命题的序号是________．答案 ①③解析 对于①，若ab >0，则1ab>0， 又a >b ，所以a ab >b ab ，所以1a <1b ，所以①正确；对于②，若a ＝7，b ＝6，c ＝0，d ＝－10， 则7－0<6－(－10)，②错误； 对于③，对于正数a ，b ，m ， 若a <b ，则am <bm ， 所以am ＋ab <bm ＋ab ， 所以0<a (b ＋m )<b (a ＋m )， 又1b (b ＋m )>0，所以a b <a ＋m b ＋m ，③正确．综上，真命题的序号是①③.(2)已知a >b >0，c <d <0.求证：3a d<3b c. 证明 因为c <d <0，所以－c >－d >0. 所以0<－1c <－1d.又因为a >b >0，所以－a d >－bc>0.所以3－ad>3－bc，即－3a d>－3b c， 两边同乘－1，得3a d<3b c.变式 若1a <1b <0，有下面四个不等式：①|a |>|b |，②a <b ，③a ＋b <ab ，④a 3>b 3. 则不正确的不等式的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 C解析 由1a <1b <0可得b <a <0，从而|a |<|b |，①②均不正确；a ＋b <0，ab >0，则a ＋b <ab 成立，③正确；a 3>b 3，④正确． 故不正确的不等式的个数为2.题型2：利用性质比较大小例2 若P ＝a ＋6＋a ＋7，Q ＝a ＋5＋a ＋8(a >－5)，则P ，Q 的大小关系为( ) A ．P <Q B ．P ＝Q C ．P >Q D ．不能确定答案 C解析 P 2＝2a ＋13＋2(a ＋6)(a ＋7)， Q 2＝2a ＋13＋2(a ＋5)(a ＋8)，因为(a ＋6)(a ＋7)－(a ＋5)(a ＋8)＝a 2＋13a ＋42－(a 2＋13a ＋40)＝2>0， 所以(a ＋6)(a ＋7)>(a ＋5)(a ＋8)，所以P 2>Q 2，所以P >Q .变式 下列命题中一定正确的是( ) A ．若a >b ，且1a >1b ，则a >0，b <0B ．若a >b ，b ≠0，则ab >1C ．若a >b ，且a ＋c >b ＋d ，则c >dD ．若a >b ，且ac >bd ，则c >d 答案 A解析 对于A ，∵1a >1b ，∴b －a ab >0，又a >b ，∴b －a <0，∴ab <0， ∴a >0，b <0，故A 正确；对于B ，当a >0，b <0时，有ab<1，故B 错；对于C ，当a ＝10，b ＝2时，有10＋1>2＋3，但1<3， 故C 错；对于D ，当a ＝－1，b ＝－2时，有(－1)×(－1)>(－2)×3，但－1<3，故D 错．题型3：利用性质比较大小例3 已知12<a <60,15<b <36.求a －b 和ab 的取值范围．解 ∵15<b <36，∴－36<－b <－15， ∴12－36<a －b <60－15，即－24<a －b <45. 又136<1b <115，∴1236<a b <6015，即13<a b <4. 故－24<a －b <45，13<a b <4.变式 已知0<a ＋b <2，－1<b －a <1，则2a －b 的取值范围是____________． 答案 －32<2a －b <52解析 因为0<a ＋b <2，－1<－a ＋b <1，且2a －b ＝12(a ＋b )－32(－a ＋b )，结合不等式的性质可得，－32<2a －b <52.考点2：练习题1．如果a <0，b >0，那么下列不等式中正确的是( )A.1a <1bB.－a <bC ．a 2<b 2D ．|a |>|b |答案 A解析 ∵a <0，b >0，∴1a <0，1b >0，∴1a <1b ，故选A.2．若a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则下列不等式一定成立的是() A ．a ＋c ≥b －c B ．ac >bcC.c 2a －b >0 D ．(a －b )c 2≥0答案 D解析 ∵a >b ，∴a －b >0，∴(a －b )c 2≥0，故选D.3．已知a >b >c ，则1b －c ＋1c －a 的值是( )A ．正数B ．负数C ．非正数D ．非负数答案 A解析 1b －c ＋1c －a ＝c －a ＋b －c (b －c )(c －a )＝b －a (b －c )(c －a )， ∵a >b >c ，∴b －c >0，c －a <0，b －a <0，∴1b －c ＋1c －a>0，故选A. 4．若x >1>y ，下列不等式不一定成立的是( )A ．x －y >1－yB ．x －1>y －1C ．x －1>1－yD ．1－x >y －x 答案 C解析 利用性质可得A ，B ，D 均正确，故选C.5．已知a <0，b <－1，则下列不等式成立的是( )A ．a >a b >a b 2 B.a b 2>a b >a C.a b >a >a b 2 D.a b >a b 2>a 答案 D解析 ∵a <0，b <－1，∴a b>0，b 2>1， ∴0<1b 2<1，∴0>a b 2>a 1， ∴a b >a b 2>a . 6．不等式a >b 和1a >1b同时成立的条件是________． 答案 a >0>b解析 若a ，b 同号，则a >b ⇒1a <1b. 7．给出下列命题：①a >b ⇒ac 2>bc 2；②a >|b |⇒a 2>b 2；③a >b ⇒a 3>b 3；④|a |>b ⇒a 2>b 2.其中正确命题的序号是________．答案 ②③解析 ①当c 2＝0时不成立；②一定成立；③当a >b 时，a 3－b 3＝(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝(a －b )·⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＋34b 2>0成立； ④当b <0时，不一定成立．如：|2|>－3，但22<(－3)2.8．设a >b >c >0，x ＝a 2＋(b ＋c )2，y ＝b 2＋(c ＋a )2，z ＝c 2＋(a ＋b )2，则x ，y ，z 的大小顺序是________．答案 z >y >x解析 ∵a >b >c >0，y 2－x 2＝b 2＋(c ＋a )2－a 2－(b ＋c )2＝2ac －2bc＝2c (a －b )>0，∴y 2>x 2，即y >x .同理可得z >y ，故z >y >x .9．判断下列各命题的真假，并说明理由．(1)若a <b ，c <0，则c a <c b； (2)a c 3<b c 3，则a >b ； (3)若a >b ，且k ∈N *，则a k >b k ；(4)若a >b ，b >c ，则a －b >b －c .解 (1)假命题．∵a <b ，不一定有ab >0，∴1a >1b不一定成立， ∴推不出c a <c b，∴是假命题． (2)假命题．当c >0时，c －3>0，则a <b ，∴是假命题．(3)假命题．当a ＝1，b ＝－2，k ＝2时，显然命题不成立，∴是假命题．(4)假命题．当a ＝2，b ＝0，c ＝－3时，满足a >b ，b >c 这两个条件，但是a －b ＝2<b －c ＝3，∴是假命题．10．若－1<a ＋b <3,2<a －b <4，求2a ＋3b 的取值范围．解 设2a ＋3b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，x －y ＝3，解得⎩⎨⎧ x ＝52，y ＝－12.因为－52<52(a ＋b )<152，－2<－12(a －b )<－1， 所以－92<52(a ＋b )－12(a －b )<132， 所以－92<2a ＋3b <132. 11．下列命题正确的是( )A ．若ac >bc ，则a >bB ．若a 2>b 2，则a >bC ．若1a >1b，则a <b D ．若a <b ，则a <b答案 D 解析 对于A ，若c <0，其不成立；对于B ，若a ，b 均小于0或a <0，其不成立；对于C ，若a >0，b <0，其不成立；对于D ，其中a ≥0，b >0，平方后显然有a <b .12．已知x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，则下列不等式中一定成立的是( )A ．xy >yzB ．xz >yzC ．xy >xzD ．x |y |>z |y | 答案 C解析 因为x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，所以3x >x ＋y ＋z ＝0,3z <x ＋y ＋z ＝0，所以x >0，z <0.所以由⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >z ，可得xy >xz . 13．若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式成立的是( )A.1a <1bB ．a 2>b 2 C.a c 2＋1>b c 2＋1D ．a |c |>b |c |答案 C解析 对于A ，若a >0>b ，则1a >0，1b<0， 此时1a >1b，∴A 不成立； 对于B ，若a ＝1，b ＝－2，则a 2<b 2，∴B 不成立；对于C ，∵c 2＋1≥1，且a >b ，∴a c 2＋1>b c 2＋1恒成立，∴C 成立； 对于D ，当c ＝0时，a |c |＝b |c |，∴D 不成立．14．有外表一样，重量不同的四个小球，它们的重量分别是a ，b ，c ，d ，已知a ＋b ＝c ＋d ，a ＋d >b ＋c ，a ＋c <b ，则这四个小球由重到轻的排列顺序是( )A ．d >b >a >cB ．b >c >d >aC ．d >b >c >aD ．c >a >d >b答案 A解析 ∵a ＋b ＝c ＋d ，a ＋d >b ＋c ，∴a ＋d ＋(a ＋b )>b ＋c ＋(c ＋d )，即a >c .∴b <d .又a＋c<b，∴a<b.综上可得，d>b>a>c.。

2017-2018学年高中数学第一章不等关系与基本不等式1.4 不等式的证明（三）训练北师大版选修4-5编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017-2018学年高中数学第一章不等关系与基本不等式1.4 不等式的证明（三）训练北师大版选修4-5）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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1。

4 不等式的证明(三）一、选择题1。

已知p ＝a ＋错误!，q ＝2－a 2＋4a －2 (a >2），则( )A 。

p 〉qB.p 〈qC.p ≥qD.p ≤q 解析 ∵p ＝（a －2)＋错误!＋2，又a －2〉0，∴p ≥2＋2＝4，而q ＝2－（a －2）2＋2，根据a 〉2，可得q 〈22＝4，∴p 〉q 。

答案 A2。

不等式a >b 与错误!>错误!能同时成立的充要条件是( ）A 。

a >b >0B.a 〉0〉bC.错误!〈错误!〈0 D 。

错误!>错误!〉0 解析 充分性显然.下面用反证法说明必要性。

若a ，b 同号且a 〉b ，则有错误!<错误!，此时不能保证a 〉b 与错误!>错误!同时成立，∴a ，b 只能异号,即a 〉0〉b 。

答案 B3.若f (x )＝错误!错误!,a ，b 都为正数，A ＝f 错误!，G ＝f (错误!），H ＝f 错误!，则（ ） A 。

A ≤G ≤HB 。

A ≤H ≤G C.G ≤H ≤AD 。

H ≤G ≤A 解析 ∵a ，b 为正数，∴a ＋b 2≥错误!＝错误!≥错误!＝错误!,又∵f (x )＝错误!错误!为单调减函数，∴f 错误!≤f (错误!）≤f 错误!,∴A ≤G ≤H .答案 A4。

1．不等式的基本性质1．实数大小的比较(1)数轴上的点与实数一一对应，可以利用数轴上点的左右位置关系来规定实数的大小．在数轴上，右边的数总比左边的数大．(2)如果a－b＞0，则a＞b；如果a－b＝0，则a＝b；如果a－b＜0，则a＜b.(3)比较两个实数a与b的大小，归结为判断它们的差a－b的符号；比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结为判断它们的差的符号．2．不等式的基本性质由两数大小关系的基本事实，可以得到不等式的一些基本性质：(1)如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b.即a＞b⇔b＜a.(2)如果a＞b，b＞c，那么a＞c.即a＞b，b＞c⇒a>c.(3)如果a＞b，那么a＋c>b＋c.(4)如果a＞b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc.(5)如果a>b>0，那么a n>b n(n∈N，n≥2)．(6)如果a>b>0，那么na＞nb(n∈N，n≥2)．3．对上述不等式的理解使用不等式的性质时，一定要清楚它们成立的前提条件，不可强化或弱化它们成立的条件，盲目套用，例如：(1)等式两边同乘以一个数仍为等式，但不等式两边同乘以同一个数c(或代数式)结果有三种：①c＞0时得同向不等式；②c＝0时得等式；③c<0时得异向不等式．(2)a＞b，c＞d⇒a＋c>b＋d，即两个同向不等式可以相加，但不可以相减；而a>b>0，c>d>0⇒ac>bd，即已知的两个不等式同向且两边为正值时，可以相乘，但不可以相除．(3)性质(5)、(6)成立的条件是已知不等式两边均为正值，并且n∈N，n≥2，否则结论不成立．而当n取正奇数时可放宽条件，a>b⇒a n>b n(n＝2k＋1，k∈N)，a>b⇒na>nb(n＝2k＋1，k∈N＋)．(4)在不等式的基本性质中，条件和结论的逻辑关系有两种：“⇒”与“⇔”，即推出关系和等价关系，或者说“不可逆关系”与“可逆关系”．这要求必须熟记与区别不同性质的条件．如a＞b，ab＞0⇒1a＜1b，而反之不成立．数、式大小的比较[例1] 已知p q p q px qy 2px 2qy 2[思路点拨] 利用作差法比较两数的大小，并注意等号成立的条件． [解] (px ＋qy )2－(px 2＋qy 2) ＝p 2x 2＋2pqxy ＋q 2y 2－px 2－qy 2＝p (p －1)x 2＋q (q －1)y 2＋2pqxy .因为p ＋q ＝1，所以p －1＝－q ，q －1＝－p . 所以(px ＋qy )2－(px 2＋qy 2) ＝－pq (x 2＋y 2－2xy )＝－pq (x －y )2. 因为p ，q 为正数，所以－pq (x －y )2≤0. 所以(px ＋qy )2≤px 2＋qy 2.当且仅当x ＝y 时，不等式中等号成立．比较两个数(式子)的大不，一般用作差法，其步骤是：作差—变形—判断差的符号—结论，其中“变形”是关键，常用的方法是分解因式、配方等．1．已知a ，b ∈R ，比较a 4＋b 4与a 3b ＋ab 3的大小． 解：因为(a 4＋b 4)－(a 3b ＋ab 3) ＝a 3(a －b )＋b 3(b －a ) ＝(a －b )(a 3－b 3) ＝(a －b )2(a 2＋ab ＋b 2)＝(a －b )2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＋34b 2≥0， (当且仅当a ＝b 时，取“＝”号) 所以a 4＋b 4≥a 3b ＋ab 3.2．已知x ，y 均为正数，设m ＝1x ＋1y ，n ＝4x ＋y ，试比较m 与n 的大小．解：m －n ＝1x ＋1y －4x ＋y ＝x ＋y xy －4x ＋y＝(x ＋y )2－4xy xy (x ＋y )＝(x －y )2xy (x ＋y )，∵x ，y 均为正数，∴x >0，y >0，xy >0，x ＋y >0，(x －y )2≥0， ∴m －n ≥0，即m ≥n ，当且仅当x ＝y 时取等号．不等式的证明[例2] 已知a >b c d e 求证：ea －c >eb －d.[思路点拨] 可以作差比较，也可用不等式的性质直接证明． [证明] 法一：e a －c －eb －d ＝e (b －d －a ＋c )(a －c )(b －d )＝e (b －a ＋c －d )(a －c )(b －d )，∵a >b >0，c <d <0， ∴b －a <0，c －d <0. ∴b －a ＋c －d <0. 又∵a >0，c <0，∴a －c >0. 同理b －d >0， ∴(a －c )(b －d )>0. ∵e <0，∴e (b －a ＋c －d )(a －c )(b －d )>0.即ea －c >eb －d.法二：⎭⎪⎬⎪⎫c <d <0⇒－c >－d >0a >b >0⇒⎭⎪⎬⎪⎫a －c >b －d >0⇒1a －c <1b －d e <0⇒e a －c ＞e b －d.进行简单的不等式的证明，一定要建立在记准、记熟不等式性质的基础之上，如果不能直接由不等式的性质得到，可以先分析需要证明的不等式的结构，利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的充分条件．3．设a >b >0，求证：a 2－b 2a 2＋b 2>a －ba ＋b .证明：法一：∵a 2－b 2a 2＋b 2－a －ba ＋b＝(a －b )[(a ＋b )2－(a 2＋b 2)](a 2＋b 2)(a ＋b )＝2ab (a －b )(a 2＋b 2)(a ＋b )>0， ∴原不等式成立．法二：∵a >b >0，故a 2>b 2>0. 故左边>0，右边>0.∴左边右边＝(a ＋b )2a 2＋b 2＝1＋2ab a 2＋b 2>1. ∴原不等式成立．4．已知a >b >0，d >c >0，求证：a c >b d. 证明：因为d >c >0，所以1c >1d>0.又因为a >b >0， 所以a ·1c >b ·1d ，即a c >bd.利用不等式的性质求范围[例3] 已知30<x <42,16<y <24，求x ＋y ，x －2y ，xy的取值范围． [思路点拨] 根据题目提供的条件，结合不等式的性质进行求解． [解] ∵30<x <42,16<y <24， ∴46<x ＋y <66. ∵16<y <24， ∴－48<－2y <－32， ∴－18<x －2y <10. ∵16<y <24， ∴124<1y <116. ∴54<x y <218.求代数式的取值范围是不等式性质应用的一个重要方面，严格依据不等式的性质和运算法则进行运算，是解答此类问题的基础，在使用不等式的性质中，如果是由两个变量的范围求其差的范围，一定不能直接作差，而要转化为同向不等式后作和．5．已知－π2≤α＜β≤π2，求α－β的取值范围．解：∵－π2≤α＜β≤π2，∴－π2≤α＜π2，－π2≤－β＜π2，且α＜β.∴－π≤α－β＜π，且α－β＜0.∴－π≤α－β＜0.即α－β的取值范围为[－π，0)．6．已知1≤α＋β≤4，－2≤α－β≤－1，求2α－β的取值范围． 解：设2α－β＝m (α＋β)＋n (α－β)，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝2，m －n ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝12，n ＝32.又1≤α＋β≤4，－2≤α－β≤－1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧12≤12(α＋β)≤2，－3≤32(α－β)≤－32，∴－52≤2α－β≤12.∴2α－β的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，12.1．已知数轴上两点A ，B 对应的实数分别为x ，y ，若x <y <0，则|x |与|y |对应的点P ，Q 的位置关系是( )A ．P 在Q 的左边B ．P 在Q 的右边C ．P ，Q 两点重合D ．不能确定解析：选B ∵x <y <0，∴|x |>|y |>0. 故P 在Q 的右边．2．已知a ，b ，c ∈R ，且ab >0，则下面推理中正确的是( ) A ．a >b ⇒am 2>bm 2B.a c >b c⇒a >bC ．a 3>b 3⇒1a <1bD ．a 2>b 2⇒a >b解析：选C 对于A ，若m ＝0，则不成立；对于B ，若c <0，则不成立；对于C ，a 3－b 3>0⇒(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)>0，∵a 2＋ab ＋b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＋34b 2>0恒成立，∴a －b >0，∴a >b .又∵ab >0，∴1a <1b.∴C 成立；对于D ，a 2>b 2⇒(a －b )(a ＋b )>0，不能说a >b .3．已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，若ca ＋b ＜ab ＋c ＜bc ＋a，则( )A ．c ＜a ＜bB ．b ＜c ＜aC ．a ＜b ＜cD ．c ＜b ＜a解析：选 A 由ca ＋b ＜ab ＋c ＜bc ＋a，可得c a ＋b＋1＜a b ＋c＋1＜b c ＋a＋1，即a ＋b ＋ca ＋b＜a ＋b ＋c b ＋c ＜a ＋b ＋cc ＋a ，又a ，b ，c ∈(0，＋∞)，所以a ＋b ＞b ＋c ＞c ＋a .由a ＋b ＞b ＋c 可得a ＞c ；由b ＋c ＞c ＋a 可得b ＞a ，于是有c ＜a ＜b .4．若a ，b 为实数，则“0<ab <1”是“a <1b 或b >1a”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 对于0<ab <1，如果a >0，则b >0，a <1b 成立，如果a <0，则b <0，b >1a成立，因此“0<ab <1”是“a <1b 或b >1a ”的充分条件；反之，若a ＝－1，b ＝2，结论“a <1b 或b >1a”成立，但条件0<ab <1不成立，因此“0<ab <1”不是“a <1b 或b >1a”的必要条件，即“0<ab <1”是“a <1b 或b >1a”的充分不必要条件．5．若f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，则f (x )与g (x )的大小关系是f (x )________g (x )．解析：∵f (x )－g (x )＝(3x 2－x ＋1)－(2x 2＋x －1)＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1≥1>0，∴f (x )>g (x )．答案：> 6．下列命题： ①c －a <c －b ⇔a >b ；②a ＜0＜b ⇒1a ＜1b；③c a <c b ，且c >0⇒a >b ；④ na <nb (n ∈N ，n >1)⇒a <b . 其中真命题是________．(填序号) 解析：①c －a <c －b ⇒－a <－b ⇒a >b . ②a ＜0＜b ⇒1a ＜0，1b ＞0⇒1a ＜1b.③c a －c b ＝c (b －a )ab<0，∵c >0，∴有⎩⎪⎨⎪⎧ b －a >0，ab <0或⎩⎪⎨⎪⎧b －a <0，ab >0即⎩⎪⎨⎪⎧a <b ，ab <0或⎩⎪⎨⎪⎧a >b ，ab >0.∴③不正确，④中无论n 为奇数或偶数， 均可由n a <nb (n ∈N ，n >1)⇒a <b . ∴①②④正确． 答案：①②④7．设x ＝a 2b 2＋5，y ＝2ab －a 2－4a ，若x >y ，则实数a ，b 应满足的条件为________． 解析：∵x >y ，∴x －y ＝a 2b 2＋5－2ab ＋a 2＋4a ＝(ab －1)2＋(a ＋2)2>0. ∴ab －1≠0或a ＋2≠0. 即ab ≠1或a ≠－2. 答案：ab ≠1或a ≠－28．若a >0，b >0，求证：b 2a ＋a 2b ≥a ＋b .证明：∵b 2a ＋a 2b －a －b ＝(a －b )⎝ ⎛⎭⎪⎫a b －b a ＝(a －b )2(a ＋b )ab，(a －b )2≥0恒成立，且已知a ＞0，b ＞0， ∴a ＋b >0，ab >0.∴(a －b )2(a ＋b )ab ≥0.∴b 2a ＋a 2b≥a ＋b .9．若f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，求f (－2)的取值范围． 解：∵f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ， 令f (－2)＝4a －2b ＝Af (－1)＋Bf (1)，则⎩⎪⎨⎪⎧A ＋B ＝4，B －A ＝－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧A ＝3，B ＝1.∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1)． ∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4， ∴3≤3f (－1)≤6， ∴5≤f (1)＋3f (－1)≤10， ∴5≤f (－2)≤10.故f (－2)的取值范围为[5,10]． 10．已知a >0，a ≠1. (1)比较下列各组大小．①a 2＋1与a ＋a ；②a 3＋1与a 2＋a ； ③a 5＋1与a 3＋a 2.(2)探讨在m ，n ∈N ＋条件下，a m ＋n＋1与a m ＋a n的大小关系，并加以证明．解：(1)∵a >0，a ≠1， ∴①a 2＋1－(a ＋a )＝a 2＋1－2a ＝(a －1)2>0. ∴a 2＋1>a ＋a . ②a 3＋1－(a 2＋a ) ＝a 2(a －1)－(a －1) ＝(a ＋1)(a －1)2＞0， ∴a 3＋1>a 2＋a ， ③a 5＋1－(a 3＋a 2) ＝a 3(a 2－1)－(a 2－1) ＝(a 2－1)(a 3－1)． 当a >1时，a 3>1，a 2>1， ∴(a 2－1)(a 3－1)>0. 当0<a <1时，0<a 3<1,0<a 2<1， ∴(a 2－1)(a 3－1)>0. 即a 5＋1>a 3＋a 2.(2)根据(1)可探讨，得a m＋n＋1＞a m＋a n.证明如下：a m＋n＋1－(a m＋a n)＝a m(a n－1)＋(1－a n)＝(a m－1)(a n－1)．当a>1时，a m>1，a n>1，∴(a m－1)(a n－1)>0.当0<a<1时，0<a m<1,0<a n<1，∴(a m－1)(a n－1)>0.综上(a m－1)(a n－1)>0，即a m＋n＋1>a m＋a n.。

4 不等式的证明 第2课时 综合法、放缩法1．理解综合法的方法与步骤，会用综合法证明简单的不等式．2．认识放缩法，了解它的方法与步骤，会用放缩法证明简单的不等式．1．综合法(1)定义：利用某些______________(例如算术平均数和几何平均数的定理)和__________，推导出所要证明的不等式，这种证明方法叫综合法．(2)证明原理：A ⇒B 1⇒B 2⇒…⇒B n ⇒B ，即从________出发，逐步推演不等式成立的____条件，推导出所要证明的结论B ．【做一做1】设a ，b ，c 都是正数，求证：(a ＋b ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ≥92．2．放缩法(1)定义：通过缩小(或放大)分式的分母(或分子)，或通过放大(或缩小)被减式(或减式)来证明不等式，这种证明不等式的方法称为______．(2)放缩法证明不等式的主要依据：①不等式的传递性；②等量加不等量为不等量；③同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较．【做一做2】若n ∈N ＋，求证：1×2＋2×3＋…＋n n ＋＜n ＋22．答案：1．(1)已经证明过的不等式 不等式的性质 (2)已知条件A 必要 【做一做1】证明：∵(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )≥3·3a ＋b b ＋c c ＋a ，又1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a≥3·31a ＋bb ＋cc ＋a ，∴(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ≥12·3·3a ＋bb ＋c c ＋a ·3·31a ＋bb ＋cc ＋a≥92． 2．(1)放缩法【做一做2】分析：利用n n ＋＜n ＋n ＋12＝2n ＋12来证明．证明：∵nn ＋＜n ＋n ＋12＝2n ＋12，∴1×2＋2×3＋…＋n n ＋＜32＋52＋…＋2n ＋12 ＝n＋2n ＋22＝n n ＋2＝n 2＋2n2＜n ＋22．1．分析法与综合法的比较剖析：综合法：A (已知)⇒B 1⇒B 2⇒…⇒B n ⇒B (结论)(逐步推演不等式成立的必要条件)， 即由条件出发推导出所要证明的不等式成立．分析法：B (结论)⇐B 1⇐B 2⇐…⇐B n ⇐A (已知或明显成立的条件)(步步寻求不等式成立的充分条件)． 总之，分析法与综合法是对立统一的两种方法． 2．用放缩法证明不等式剖析：(1)为了证明不等式，有时需舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证题的目的，这种方法就是放缩法．运用放缩法要注意放缩必须适当，放得过大或缩得过小都不能达到证题的目的．(2)放缩时使用的主要方法有：①舍去或加上一些项，如⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122＋34＞⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122；②将分子(或分母)放大(或缩小)，如1k 2＜1k k －(k ＞1)，1k 2＞1k k ＋，1k ＜2k ＋k －1，1k ＞2k ＋k ＋1(k ∈N ＋)等． (3)放缩法的理论依据主要有①不等式的传递性；②等量加不等量为不等量；③同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较．对不等式而言，放缩法的本质是“不等式的加强”．(4)运用放缩法证明不等式的关键是放大(或缩小)要适当．如果所要证明的不等式中含有分式，那么我们把分母放大时相应分式的值就会缩小；反之，如果把分母缩小，则相应分式的值就会放大．有时也会把分子、分母同时放大，这时应该注意不等式的变化情况，可以与相应的函数相联系，以达到判断大小的目的，这些都是我们在证明中的常用方法与技巧，也是放缩法中的主要形式．题型一 利用综合法证明不等式【例1】设a ，b ，c 为不全相等的正数，求证：b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －cc＞3． 分析：利用不等式的性质，对不等式的左边进行整理，化简．反思：在利用a ＋b ≥2ab 时，必须满足“一正二定三相等”，而本题中a ，b ，c 为不全相等的正数，故三项之和取不到6，即等号不能传递下去．题型二 利用放缩法证明不等式【例2】设n 是正整数，求证：12≤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＜1．分析：要求一个n 项分式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n的范围，它的和又求不出来，可以采用“化整为零”的方法，先观察每一项的范围，再求整体的范围．反思：放缩法证明不等式，放缩要适度，否则会陷入困境，例如证明112＋122＋…＋1n 2＜74，根据1k 2＜1k －1－1k，如果从第3项开始放缩，正好可证明；如果从第2项开始放缩，可证得小于2．当放缩方式不同时，结果也在变化．答案：【例1】证明：左边＝b a ＋c a －1＋c b ＋a b －1＋a c ＋b c－1＝b a ＋a b ＋c a ＋a c ＋c b ＋b c－3．∵a ，b ，c 为不全相等的正数， ∴b a ＋a b ≥2，c b ＋b c ≥2，a c ＋ca ≥2中的等号不可能同时成立， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a c ＋c a ＞6， ∴b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －c c＞6－3＝3．【例2】证明：由2n ≥n ＋k ＞n (k ＝1,2，…，n )，得12n ≤1n ＋k ＜1n． 当k ＝1时，12n ≤1n ＋1＜1n ；当k ＝2时，12n ≤1n ＋2＜1n；…当k ＝n 时，12n ≤1n ＋n ＜1n．∴12＝n 2n ≤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＜n n ＝1， 即原不等式成立．1使a ＞b ＞0成立的一个充分而不必要条件是( )．A ．a －2＞b －2B ．a 2＞b 2＞0C ．lg a －lg b ＞0D ．x a ＞x b且x ＞02设a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，M ＝1a ＋1b ＋1ab，则M 与8的大小关系是( )．A ．M ＝8B ．M ≥8C ．M ＜8D ．M ≤83已知α∈(0，π)，则下列各式成立的是( )．A ．2sin 2α≤sin α1－cos αB ．2sin 2α＝sin α1－cos αC ．2sin 2α＞sin α1－cos αD ．2sin 2α≥sin α1－cos α4设a ，b ，c ，d 为任意正实数．求证：1＜a a ＋b ＋d ＋b b ＋c ＋a ＋c c ＋d ＋b ＋dd ＋a ＋c＜2．答案：1．A 由a －2＞b －2，知a －2＞b －2⇒a ＞b ． 又a －2＞0且b －2≥0，∴a ＞2且b ≥2， ∴a ＞b ≥2＞0．2．B ∵a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，∴1＝a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤12，∴1ab≥4．∴1a ＋1b ＋1ab ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1ab≥2ab ·21ab＋4＝8．∴1a ＋1b ＋1ab≥8，即M ≥8．当且仅当a ＝b ＝12时等号成立．3．A ∵α∈(0，π)，∴1－cos α＞0． ∴11－cos α＋4(1－cos α)≥4⎝⎛当且仅当cos α＝12，即α＝⎭⎪⎫π3时等号成立， ∴4cos α≤11－cos α．∵α∈(0，π)，∴sin α＞0．∴4sin αcos α≤sin α1－cos α．∴2sin 2α≤sin α1－cos α．4．证明：∵a ，b ，c ，d 均为正实数，∴aa＋b＋d＋bb＋c＋a＋cc＋d＋b＋dd＋a＋c＜aa＋b＋bb＋a＋cc＋d＋dd＋c＝2，且aa＋b＋d＋bb＋c＋a＋cc＋d＋b＋dd＋a＋c＞aa＋b＋c＋d＋ba＋b＋c＋d＋ca＋b＋c＋d＋da＋b＋c＋d＝1．∴原不等式1＜aa＋b＋d＋bb＋c＋a＋cc＋d＋b＋dd＋a＋c＜2成立．。