§3.2 边缘分布

F ( x, y) dv 8uvdu
y
v
y
0
0
1 0
v=u
4
当 x 1, y 1 时，
1
u
F ( x, y ) 1
24
0,
y4 , F (x,y) =
x<0或y<0
0 x <1, 0 y < x ， 0 x <1, y 1，
2x2y2–y4, 0 x <1, x y <1， 2x2–x4 ,
x i x j 1

p ,
ij
y j y i 1

p .
ij
4
联合分布律 及边缘分布律
Y y1 X x1 xi
pi1
p• j
p•1

yj
pi•
p1 j
p11
p1•

pij

pi
•


p•
j

1
5


例1 一口袋中装有四个球，上面依次标有数 字1,2,2,3。从袋中任取一球后不放回的再取一 球，假设每次取球时袋中各球被取到的可能 性相同，以X和Y表示第一次和第二次取出的 球上标有的数字，求X, Y的边缘分布律。 解 ( X , Y ) 可能取值为 (1,2), (1,3), (2,1), (2,2),
§2 边缘分布 对于二维随机变量 ( X , Y ) ，随机事件X x 即是指X x, Y 。 称这种由 ( X , Y ) 的联合 分布函数确定出的一维随机变量 X 的分布函数 为( X , Y ) 关于 X 的边缘分布。 又称边际分布。若 ( X , Y ) 的联合分布函数为
2
于是 p X ( x)
1 2πσ1σ 2
1
( x μ1 ) 2
2 2 σ1
ρ
2
e



e
x μ1 1 y μ2 ρ 2 (1 ρ ) σ 2 σ1
2
dy,
1 y μ2 x μ1 , 令 t ρ 2 σ1 1 ρ σ2
D

0 dy 0 kxydx
y k k 0 y dy 2 8
1 2
1
y
D 1 0
y=x
k 8
x
20
(2)
P( X Y 1)
1 y
yy 11 0.5 00 xx yy=x =x
0.5 dy 1 y 8 xydx
5 / 6.
y
1 0
y=x
0.5
x
P( X 0.5) 0.5 1 0 dx x 8 xydy 7 / 16 .
x y

x
当0 x<1, x y<1时，
F ( x, y ) 0 du u 8uvdv 2 x y x
2 2
yห้องสมุดไป่ตู้
4
22
当0 x <1, y 1时，
v 1 0 v=u
F ( x, y) du 8uvdv
0 u
x
1
2x x
2
4
1
u
23
当x 1, 0 y < 1时， v
21
(3) F ( x, y ) P X x, Y y f (u, v)dvdu v 当x<0 或 y<0 时, F(x,y) = 0 v=u 1 当0 x< 1, 0 y< x 时， y v 0 4 F ( x, y) dv 8uvdu y u 1 0 0
(2,3), (3,1)(3,2) . 由乘法原理，得： 1 2 1 P( X , Y ) (1,2) p12 , 4 3 6 1 1 1 P( X , Y ) (1,3) p13 , 4 3 12
类似可得：
6
1 1 1 P( X , Y ) (2,1) p21 2 3 6 1 1 1 P( X , Y ) (2,2) p22 2 3 6 1 1 1 P( X , Y ) ( 2,3) p23 2 3 6 1 1 1 P( X , Y ) (3,1) p31 4 3 12 1 2 1 P( X , Y ) (3,2) p32 . 4 3 6 从而所求的分布列为：
30
1 则有 p X ( x ) e 2σ1
即

( x μ1 ) 2
2 2 σ1



e
t2 2
d t,
pX ( x )
同理可得
1 e 2πσ1
1 e 2 σ 2
( x μ1 ) 2
2 2 σ1
, x .
( y μ2 ) 2
2 2σ 2
pY ( y )
i 1
j 1,2,,
分别称 pi ( i 1,2,) 和 p j ( j 1,2,) 为 ( X ,Y ) 关于 X 和关于 Y 的边缘分布律.
3
因此得离散型随机变量关于X 和Y 的边缘分布函 数分别为:
FX ( x ) F ( x , )
FY ( y ) F ( , y )
定义 设二维离散型随机变量 X ,Y )的联合分布 (
律为 记
P { X xi ,Y y j } pij , i , j 1,2,. pi pij P { X xi }, i 1,2,,
j 1
p j pij P {Y y j },
, y .
二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布,
并且都不依赖于参数 ρ.
31
F ( x, y ) , 则关于 X 的边缘分布函数记为 FX (x) ,
FX ( x) F ( x,) P( X x, Y ) 类似可得 ( X , Y ) 关于 Y 的边缘分布函数为 FY ( y) F (, y) P( X , Y y) 。
1
二维随机变量的边缘分布函数
( y 2 )2 2 2 2
, y
29
解
pX ( x )


p( x, y ) d y,
( y μ2 )2 ( x μ1 )( y μ2 ) 由于 2ρ 2 σ2 σ 1σ 2
y μ2 x μ1 ( x μ1 )2 ρ ρ2 , 2 σ1 σ1 σ2
4 9
1
13
解 (2)
P( X i,Y j ) P( X i) P(Y j X i)
1 2 C j 1 C 3 3 3 3
i 3 i 3i j
1 1 3
3 j
i, j 0,1,2,3
3
1 8 27 27 1 4 27 9 1 2 27 9 1 1 27 27 1 27
p• j
8 27 4 9 2 9 1 27
0
1 2
3 pi•
1
15
(1) 与(2) 有相同的边缘分布, 但它们
的联合分布却不同. 故有结论
联合分布可以唯一地确定边缘分布 边缘分布却不能唯一确定联合分布
其中k 为常数. 求 (1)常数 k ; (2) P ( X + Y 1) , P ( X < 0.5); (3) 联合分布函数 F (x,y); (4) 边缘密度函数与边缘分布函数
19
解 令
(1)
D ( x, y ) 0 x y, 0 y 1
f ( x, y)dxdy 1 f ( x, y )dxdy 1 y
由联合分布函数
FX ( x) P X x P X x,Y F ( x,)
边缘分布函数, 逆不真. y x y y x
2
x
FY ( y) PY y P X ,Y y
F (, y )
二维离散型随机变量的边缘分布律与边缘分布函数


f ( x, y )dy
17
同理可知关于 Y 的边缘分布函数和密度函数 为： y FY ( y ) ( f ( x, y )dx)dy ,

fY ( y )


f ( x, y )dx 。
18
例3 设随机变量( X ,Y ) 的联合密度函数 为
kxy, 0 x y,0 y 1, f ( x, y ) 其他 0,
7
Y
X
1 2 3 p.j
1 0 1/6 1/12 1/4
2 1/6 1/6 1/6 1/2
3 1/12 1/6 0 1/4
pi. 1/4 1/2 1/4 1
表中横行相加即得X的边缘分布律 X pi. 1 1/4 2 1/2 3 1/4
8
表中纵行相加即得Y的边缘分布律 1 2 3
Y p.j
1/4
1/2
16
3 二维连续型随机变量的边缘概率密度及边 缘分布函数
对二维连续型随机变量 ( X , Y ) ，若联合 概率密度为f ( x, y ) ，则关于 的边缘分布 X
F 函数为： X ( x ) (

x


f ( x, y )dy )dx ,
其边缘密度函数为：
f X ( x)
y4 ,
x 1, 0 y < 1，
1, x 1, y 1， （也可写成五段）
25
(4) FX ( x) F ( x,) 0,
x < 0， x1 y<0