高中学业水平考试数学必修一至必修五知识点精选

1 2)(x 是偶函数； )(x f 是奇函数。

3）.(0,1,0)a a N >≠>. 1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >).).).二、三角函数、三角变换、解三角形、平面向量4、同角三角函数的基本关系式22sin cos 1θθ+=，tan θ=θθcos sin . 5、正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）απ±k 的正弦、余弦，等于α的同名函数，前面加上把α看成锐角时该函数的符号；αππ±+2k 的正弦、余弦，等于α的余名函数，前面加上把α看成锐角时该函数的符号。

()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．口诀：函数名称不变，符号看象限．()5sin cos 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭．()6sin cos 2παα⎛⎫+=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．6、和角与差角公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=;tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=.7、二倍角公式sin 2sin cos ααα=.2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.22tan tan 21tan ααα=-.公式变形： ;22cos 1sin ,2cos 1sin 2;22cos 1cos ,2cos 1cos 22222αααααααα-=-=+=+=sin y x =cos y x = tan y x =图象定义域R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x k ππ=+()k ∈Z 时，max 1y =；当22x k ππ=-()k ∈Z 时，min 1y =-．当()2x k k π=∈Z 时，max 1y =；当2x k ππ=+()k ∈Z 时，min 1y =-．既无最大值也无最小值周期性 2π2ππ奇偶性奇函数 偶函数奇函数单调性在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是增函数；在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ ()k ∈Z 上是减函数．在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在[]2,2k k πππ+()k ∈Z 上是减函数．在,22k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭()k ∈Z 上是增函数．对称性对称中心()(),0k k π∈Z对称轴()2xk k ππ=+∈Z对称中心(),02k k ππ⎛⎫+∈Z ⎪⎝⎭对称轴()x k k π=∈Z对称中心(),02k k π⎛⎫∈Z ⎪⎝⎭无对称轴函 数性 质9、辅助角公式（化一公式）)sin(cos sin 22ϕ++=+=x b a x b x a y 其中ab =ϕtan 10.正弦定理 ：2sin sin sin a b cR A B C===（R 为ABC ∆外接圆的半径）. 2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ⇔===::sin :sin :sin a b c A B C ⇔=11.余弦定理2222cos a b c bc A =+-;2222cos b c a ca B =+-;2222cos c a b ab C =+-.12.面积定理（1）111222a b c S ah bh ch ===（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）. （2）111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===.13、三角形内角和定理在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=⇔=-+222C A Bπ+⇔=-222()C A B π⇔=-+. 14、a 与b 的数量积(或内积)θcos ||||b a b a ⋅=⋅15、平面向量的坐标运算(1)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--. (2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则b a ⋅=2121y y x x +. (3)设a =),(y x ，则22y x a +=16、两向量的夹角公式设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且0≠b ，则121cos ||||x a ba b x θ⋅==⋅+a =11(,)x y ,b =22(,)x y ).17、向量的平行与垂直设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0b a //⇔a b λ= 12210x y x y ⇔-=.)0(≠⊥a b a ⇔0=⋅b a 12120x x y y ⇔+=.*平面向量的坐标运算(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a +b =1212(,)x x y y ++. (2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a -b =1212(,)x x y y --. (3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--.(4)设a =(,),x y R λ∈，则λa =(,)x y λλ.(5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b =1212x x y y +.三、数列18、数列的通项公式与前n 项的和的关系11,1,2n n n s n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =+++).19、等差数列的通项公式*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈；20、等差数列其前n 项和公式为1()2n n n a a s +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-. 21、等比数列的通项公式1*11()n nn a a a q q n N q-==⋅∈； 22、等比数列前n 项的和公式为11(1),11,1n n a q q s q na q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩ 或 11,11,1n n a a qq q s na q -⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩.四、不等式23、xy y x ≥+2。

必修一（一）集合1.集合的概念(1)集合是数学中的一个不加定义的原始概念，它是指某些指定对象的全体.集合中的每个对象叫做这个集合的元素，它具有三个性质，即确定性、无序性和互异性. （2）根据集合所含元素个数的多少，集合可分为有限集、无限集和空集；根据集合所含元素的性质，集合又可为点集、数集等.空集是不含任何元素的集合，用ϕ表示. （3）我们约定用N 表示自然数集，用N *表示正整数集，用Z 表示整数集，用Q 表示有理数集，用R 表示实数集. （4）集合的表示方法有列举法、描述法和图示法(venn 图). 2.集合间的基本关系 （1）集合与元素的关系表示元素和集合之间的关系，有属于“∈”和不属于“∉”两种情形.（2）集合与集合之间的关系集合与集合之间有包含、真包含、不包含、相等等几种关系.若有限集A 中有n 个元素，集合A 的子集个数为2n，非空子集的个数为21n-，真子集的个数为21n -，非空真子集的个数为22n-.3.集合的运算集合与集合之间有交、并、补集三种运算. 4.集合运算中两组常用的结论 （1）①()()() U UU A B A B =痧 ； ②()()()U UU A B A B = 痧 . （2）①A B A B A ⊆⇔= ；②A B A B B ⊆⇔= .（二）函数的概念（1）函数的定义设A ，B 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x 在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数，记作(),y f x x A =∈.其中x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{}()|f x x A ∈叫做函数的值域.值域是集合B 的子集.③·映射：设A ，B 是两个集合，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素在集合B 中都有唯一确定的元素和它对应，那么这样的对应就称为从集合A 到集合B 的映射，记作:f A B →.函数实际上是一种特殊的映射.而映射是一种特殊的对应：一对一，多对一. （2）函数的三要素：定义域、对应关系及值域称为函数的三要素.在函数的三要素中其决定性作用的是定义域及对应关系，定义域及对应关系确定了，这个函数就唯一确定了.（3）相等函数：定义域相同，并且对应关系完全一致的两个函数就称为相等函数. 2.函数的表示方法函数的表示方法主要有三种：解析法、图象法、列表法.分段函数：在定义域的不同部分上有不同的解析式，这样的函数称为分段函数.（三）函数单调性1.增函数、减函数设函数()f x 的定义域为I ：如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数；如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数.2.单调性、单调区间如果函数()y f x =在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数()y f x =在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D 叫做()y f x =的单调区间.3.利用定义判断（证明）函数单调性的一般步骤： ①设出自变量；②作差（商）；③判号；④写出结论.2．函数最值的几何意义是对应函数图像上点的纵坐标的最大值或最小值，即图像的最高点或最低点.3．函数的最值与求函数的值域从概念上看是不同的，函数值域的一些边界值不一定是函数值，函数的最值是函数值域中的一个值，函数取得最值时，一定有相应的x 值. 4.判断函数单调性的常见方法 ①定义法；②图象法；③导数法. ④ 5.求函数最值或值域的方法 ①单调性法；②配方法；③换元法；④判别式法；⑤图象法；⑥不等式法等.5.一些重要函数的单调性1y x x=+的单调区间：增区间(,1),(1,)-∞-+∞； 减区间(1,0),(0,1)-. ()0,0by ax a b x=+>>的单调区间：增区间（四）函数奇偶性1.奇偶性(1)奇函数、偶函数如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (-x )=f (x )，那么函数f (x )就叫做偶函数.如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (-x )=-f (x )，那么函数f (x )就叫做奇函数. (2)奇偶性 如果函数()f x 是奇函数或偶函数，那么就说函数()f x 具有奇偶性.(3)奇函数、偶函数的性质①奇函数、偶函数的定义域皆关于原点对称（此条件是函数具有奇偶性的必要不充分条件）； ②奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称；③若奇函数()f x 在x =0处有定义，那么一定有(0)0f =. ④在定义域的公共部分内，两个偶函数的和、差、积、商（分母不为零）仍是偶函数；两个奇函数的和、差仍是奇函数；奇数个奇函数的积为奇函数；偶数个奇函数的积为偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数；一个奇函数与一个偶函数（均不恒为零）的和与差既不是奇函数，也不是偶函数. ⑤奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.（五）基本函数：一次二次函数1.函数(0)y kx b k =+≠叫做一次函数，它的定义域和值域皆为R2.一次函数性质 ①当k >0时，为增函数，当k <0时，为减函数；②当b =0时，函数(0)y kx k =≠为正比例函数；③直线y =kx +b 与x 轴的交点为(,0)(0)bk k-≠与y 轴的交点为(0,)b .3.二次函数的解析式的三种形式：①一般式c bx ax x f ++=2)(； ②顶点式k h x a x f +-=2)()(；③零点式))(()(21x x x x a x f --=；4.二次函数的图象与性质 ①()222424b ac b f x ax bx c a x a a -⎛⎫=++=++⎪⎝⎭(0)a ≠的图象是一条抛物线，顶点坐标为24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，对称轴方程为2bx a=-，当0a >时开口向上, 当0a <时开口向下；②()2400,0b ac ∆=->∆=∆<时，抛物线与x 轴有2个（1个、无）交点.③单调性：当0a >时，()f x 在(,]2ba-∞-减函数；在(,)2ba-+∞上是增函数.0a <，相反. ④奇偶性：()0当时，为b f x =偶函数；()0当时，b f x≠既不是奇函数也不是偶函数； （六）指数函数1.幂的有关概念正整数指数幂：n a a a a =g g g L g 14444244443个n a ；零指数幂：0a=1(0a ≠) ；负整数指数幂：pa-=1p a(0,a p N +≠∈)； 正分数指数幂：m na=0,1a m n N n +>∈>、且);负分数指数幂：m na-=1m na(0,1a m n Nn +>∈>、且);0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义. 2.幂的运算法则（0,0,ab r s Q >>∈、）r s a a =r s a +；()r s a =rs a ；()r ab =r r a b3.指数函数图像及性质4.指数函数()x f x a =具有性质：()()()(),1(0,1)f x y f x f y f a a a +==>≠ （七）对数函数1.定义：如果)1,0(≠>a aa 且的b 次幂等于N ，就是b a N=，那么数b称以a 为底N 的对数，记作log a b N =，其中a 称对数的底，N 称真数.①以10为底的对数称常用对数，N 10log 记作Nlg ，②以无理数( 2.71828)e e =为底的对数称自然对数，N e log 记作Nln2.基本性质：①真数N 为正数（负数和零无对数）， ②log 10a =，③log 1a a =，④对数恒等式：log a NaN =.3.运算性质：如果,0,0,1,0>>≠>N M a a 则①log ()log log a a a MN M N =+；②log log log aa a MM N N=-； ③log log na a M n M =.4.换底公式：log log log m am N N a=(0,1,0,1,0),a a m m N >≠>≠>①log log 1a bb a ⋅=，②log log m na a nb b m=. 5.对数函数的图像与性质（八）幂函数：,y x =2y x =3,y x =1y x=12y x =的图像1.当0a>时，幂函数()y x R αα=∈有下列性质：(1)图像都通过点(1,1)；(2)在第一象限内，随x 的增大而增大； (3)在第一象限内，1α>时图像下凸,01α<<时图像上凸.(4)在第一象限内，过()1,1点后，图像向右上方无限伸展. 2.当0<α时，幂函数()y x R αα=∈有下列性质：(1)图像都通过点(1,1)；(2)在第一象限内，函数值随x 的增大而减小，图像是向下凸的；(3)在第一象限内，图像向上与y 轴无限地接近，向右与x 轴无限地接近； (4)在第一象限内，过()1,1点后，α越大，图像下落的速度越快.（九）函数图像变换1．平移变换 ⑴水平平移：()()0y f x a a =±> 的图象，可由()y f x = 的图象向左()+ 或向右()- 平移a 个单位而得到；⑵竖直平移：()()0y f x b b =±> 的图象可由()y f x = 的图象向上()+ 或向下()- 平移b 个单位而得到；注：对于左、右平移变换，往往容易出错，在实际判断中可熟记口诀：左加右减. 2．对称变换⑴()y f x =- 与()y f x = 的图象关于y 轴对称; ⑵()y f x =- 与()y f x = 的图象关于x 轴对称; ⑶()y f x =-- 与()y f x = 的图象关于原点对称;⑷()1y f x -=与()y f x = 的图象关于直线y=x 对称;⑸()y f x = 的图象可将()y f x = 的图象在x 轴下方的部分以x 轴为对称轴翻折上去，其余部分不变; ⑹()y fx = 的图象可将()y f x = ，()0x ≥的部分作出，再利用偶函数的图象关于y 轴对称，作出0x < 的部分.3.伸缩变换 ⑴()()0y Af x A => 的图象，可将()y f x = 图象上所有点的纵坐标变为原来的A 倍，横坐标不变而得到; ⑵()()0yf ax a => 的图象，可将()y f x = 图象上所有点的横坐标变为原来的1a，纵坐标不变而得到.（十）函数的应用1．函数零点的定义：对于函数()()(),0y f x x D f x =∈=使 成立的_实数x _叫做函数()()y f x x D =∈的零点 . 2.二分法定义：对于区间[],a b 上连续，且()()0f a f b < 的函数()y f x =,通过不断把函数()f x 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而得到零点近似值的方法，叫做二分法.注：该法一般求的是近似解. 3．解函数应用题，一般可按以下四步进行． (1)阅读理解，认真审题． (2)引进数学符号，建立数学模型．(3)利用数学的方法将得到的常规数学问题给出解答，求得结果．(4)转译成具体问题做出回答．必修二（一）多面体和旋转体1．多面体和旋转体的概念（1）棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的多面体叫做棱柱．（2）棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．（3）棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台．（4）圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱．（5）圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥．（6）圆台：①用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台.②圆台还可以看成是以直角梯形的直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体.（7）球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球．2．多面体和旋转体的面积和体积公式 （1）圆柱的侧面积：S=2πrl ；（2）圆锥的侧面积：S=πrl ； （3）圆台的侧面积：S =π（r+ r ′）l ； （4）球的表面积：24πV R =； （5）柱体的体积：V=Sh ； （6）锥体的体积：13V Sh =； （7）台体的体积：1()3V S S h '=； （8）球的体积：24π3V R =.（二）画法1．我们把光由一点向外散射形成的投影，叫做中心投影，中心投影的投影线交于一点．2．我们把在一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影，平行投影的投影线是平行的．在平行投影中，投影线正对着投影面时，叫做正投影，否则叫做斜投影．3．光线从几何体的前面向后面正投影，得到投影图叫做几何体的正视图；光线从几何体的左面向右面正投影，得到投影图叫做几何体的侧视图；光线从几何体的上面向下面正投影，得到投影图叫做几何体的俯视图；几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图．一般地，一个几何体的侧视图和正视图高度一样，俯视图与正视图长度一样，侧视图与俯视图宽度一样．一般地，侧视图在正视图的右边，俯视图在正视图的下边．4．斜二测画法的步骤：（1）在已知图形中取互相垂直的x 轴和y 轴，两轴交于点O ．画直观图时，把它们画成对应的x '轴与y '轴，两轴交于点O '，且使x O y '''∠=45°（或135°），它们确定的平面表示水平平面．（2）已知图形中平行于x 轴或y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x '轴或y '轴的线段．（3）已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y 轴的线段，长度为原来的一半．（三）点线面位置关系1．四个公理公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内；用符号表示为：A lB l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂，，且，；公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面；公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线；用符号表示为：P P l αβαβ∈∈⇒= ，且； 公理4 平行于一条直线的两条直线互相平行； 用符号表示为：m l n l m n ⇒∥，且∥∥； 2．异面直线（1）我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．（2）空间两条直线的位置关系：⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩ 直　线：同一平面内，有且只有一个公共点；共面直线 直　线：同一平面内，没有公共点； 直　线：不同在任何一个平面内，没有公共点.（3）已知两条异面直线a 、b ，经过空间任一点O 作直线a '∥a ，b '∥b ，我们把a '与b '所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 与b 所成的角（或夹角）．（4）定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．3．空间中直线与平面之间的位置关系： （1）直线在平面内——有无数个公共点； （2）直线与平面相交——有且只有一个公共点； （3）直线与平面平行——没有公共点；直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外． 4．平面与平面之间的位置关系： （1）两个平面平行——没有公共点； （2）两个平面相交——有一条公共直线．（四）平行问题1．定义：直线与平面没有公共点，则称此直线l 与平面α平面，记作l ∥α；2．直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；用符号表示：a b a b a αβα⊄⊂⇒，，且∥∥．2．直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行；用符号表示：a a b a b αβαβ⊂=⇒ ∥，，∥． 3．平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行；用符号表示：a b a b P ββαα⊂⊂=⇒，，，∥，∥∥． 几个结论：①如果两个平面同垂直于一条直线，那么这两个平面平行；②平行于同一平面的两个平面平行；③如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行；4．平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行；且符号表示：a b αβαγβγ==⇒ ∥，，∥． 5．直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行．用符号表示：a b a b αα⊥⊥⇒，∥．（五）垂直问题 1．定义：如果直线l 和平面α内的所有直线都垂直，那么直线l 和平面α垂直，记作l ⊥α．直线l 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l 的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P 叫做垂足．2．直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．用符号表示：l a b a b A a αααα⊥⊂⊂=⇒⊥ ，，，且．3．直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行．用符号表示：a b a b αα⊥⊥⇒，∥．4．平面与平面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直；用符号表示：a a αβαβ⊂⊥⇒⊥，． 5．平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．用符号表示：l a a l a αβαβαβ⊥=⊂⊥⇒⊥ ，，，．几个结论：①如果两个相交平面同时垂直于第三个平面，那么它们的交线必垂直于第三个平面；②如果两个平面互相垂直，那么过第一个平面内的一点且垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内．（六）角问题1．已知两条异面直线a 、b ，经过空间任一点O 作直线a '∥a ，b '∥b ，我们把a '与b '所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 与b 所成的角（或夹角）．两异面直线所成角范围02π⎛⎤⎥⎝⎦，．2．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°的角．直线和平面所成角范围02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．3．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．在二面角α-l -β的棱l 上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 构成的∠AOB 叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来衡量．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角范围[0]π，．（七）直线的概念与方程1、直线倾斜角的概念：当直线l 与x 轴相交时,我们取x 轴为基准, x 轴的正方向与直线l 向上的方向所成的角α叫做直线l 的倾斜角.并规定:直线l 与x 轴平行或重合时,它的倾斜角为0.直线的倾斜角的取值范围是[)180,0.2、直线斜率的概念：把一条直线倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k 表示.直线倾斜角α与斜率k 的关系式为αtan =k.当k=0时,直线平行于x轴或者与x 轴重合;当k>0时,直线的倾斜角为锐角;当k<0时,直线的倾斜角为钝角;倾斜角为90的直线没有斜率.3、两点斜率公式 ：直线上两点A(1x ,1y ),B(2x ,2y ),当1x =2x 时,直线的斜率不存在,当1x ≠2x 时,直线的斜率为1212x x y y k --=.4、直线方程的点斜式:设直线l 经过点),(000y x P ,且斜率为k ,则方程)(00x x k y y -=-称为直线方程的点斜式.当直线的斜率不存在时,不能够用点斜式来表示,直线方程此时为0x x=.5、直线方程的斜截式：直线方程b kx y +=由直线的斜率k 和它在y 轴上的截距b 确定,所以方程bkx y +=被称为直线方程的斜截式.斜率不存在时,直线方程斜截式不存在.6、直线方程的两点式：已知经过两点),)(,(),,(2121222111y y x x y x P y x P ≠≠的直线方程为121121x x x x y y y y --=--称为直线方程为直线方程的两点式.直线两点式方程的前提是直线的斜率存在且斜率不为0. 7、直线方程的截距式直线在x 轴上的截距为a,在y 轴上的截距为b,则直线方程1=+bya x 称为直线方程的截距式.应用截距式的前提有斜率存在且不为0,还要求直线不能过原点.8、直线方程的一般式：二元一次方程0Ax By C ++=（,A B 不同时为0）为表示的直线方程称为直线方程的一般形式.当0≠B时,可变形为BC x BA y --=,它表示一条斜率为B A -且在y 轴上截距为C B-的直线; （八）直线的关系和距离1、直线平行的条件： 两条不重合的直线21l l 、， 根据两条直线平行的定义及性质可知1l //212αα=⇔l ,再由k 与α的关系可知:21//l l 时21k k =或者21k k 、均不存在；反之21k k =或者21k k 、均不存在时两条直线平行。

必修1第一章集合与函数概念一、集合有关概念1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。

2、集合的中元素的三个特性： 1.元素的确定性；2.元素的互异性；3.元素的无序性非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R关于“属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作 a∈A ，相反，a不属于集合A 记作 a∉A二、集合间的基本关系任何一个集合是它本身的子集。

A⊆A②真子集:如果A⊂B,且B⊄ A那就说集合A是集合B的真子集，记作A⊆ B(或B⊇ A)3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

三、集合的运算1．交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．(即找公共部分)记作A∩B(读作”A交B”)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}．2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集。

（即A和B中所有的元素）记作：A∪B(读作”A并B”)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}．4、全集与补集（1）补集：设S是一个集合，A是S的一个子集（即），由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）（即除去A剩下的元素组成的集合）四、函数的有关概念定义域补充能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零 (6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.(又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。

高中数学学业水平考试知识点（必修一）第一章集合与函数概念1. 集合的含义（1）元素：。

（2）集合：。

2. 集合的表示方法a.列举法: 。

b.描述法: 。

3. 集合之间的包含与相等的含义（1）子集：。

（2）A=B：。

4. 全集与空集的含义（1）空集：，记为：。

（2）全集：，记为：。

5. 两个集合的并集与交集的含义及计算（1）并集：，记为：。

（2）交集：，记为：。

6. 补集的含义及求法补集：，记为：。

7.用Venn图表示集合的关系及运算运算类型交集并集补集韦恩图示A B图1A B图2SA8. 函数的概念函数：。

9．映射的概念映射：。

10. 求简单函数的定义域和值域（1）求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：a.分式: ；b.偶次方根: ；c.对数式的真数: ；d.指数、对数式的底: .e.如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.f.零指数的底：；g.实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.（2）求函数值域的方法：a.观察法; b.配凑法；c.分离常数法；d.判别法；e.换元法等。

11. 函数的表示法（1）解析法：；（2）图象法：；(3) 列表法：.12. 简单的分段函数(1) 定义：；(2) 定义域：；(3) 值域：；13. 分段函数的简单应用（略）14. 函数的单调性、最大（小）值及其几何意义（1）单调性设函数y=f(x)的定义域为I，a.如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1、x2，当时，都有，那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间;b.如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当，都有，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.注意：函数的单调性是函数的局部性质！（2）单调性的几何意义如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是的，减函数的图象从左到右是的.(3). 函数最大（小）值a. 最大值：。

高三数学必修一二三四五知识点在高三数学学习中，必修一、二、三、四、五是重要的基础课程。

本文将为您总结高三数学必修一至五的核心知识点。

必修一：函数、方程与不等式1. 函数：定义域、值域、奇偶性、单调性、图像的平移、翻折与缩放等。

2. 一次函数与二次函数：一次函数的斜率与截距、二次函数的顶点坐标、开口方向以及对称轴，以及二次函数图像的平移与翻折。

3. 幂函数、指数函数与对数函数：幂函数的变化规律、指数函数的性质、对数函数的定义、对数规律与对数换底公式的应用。

4. 数列与等差数列：递推公式与通项公式的建立，等差数列的性质与求和公式的运用。

5. 不等式：解一元一次方程及不等式，以及解二元一次方程组与不等式组。

必修二：三角函数与解三角形1. 三角函数的定义与性质：正弦函数、余弦函数、正切函数及其逆函数的定义，三角函数的周期性与奇偶性。

2. 解三角形：使用正弦定理与余弦定理解决三角形的边长与角度关系问题，应用海伦公式计算三角形的面积。

必修三：导数与微分1. 导数与微分：导数的定义与性质，微分的概念与运算法则。

2. 导数的应用：切线与法线方程的求解，函数的单调性与极值点的判断。

必修四：数列与数学归纳法1. 等差数列与等比数列：等差数列与等比数列的通项公式与前n项和的计算。

2. 数列与数学归纳法：数列极限的概念与计算，利用数学归纳法证明数学命题。

必修五：统计与概率1. 概率的基本定义：样本空间、事件与概率的概念及计算。

2. 条件概率与独立性：条件概率的定义与计算，独立事件的判定条件。

3. 随机变量与概率分布：离散型随机变量、连续型随机变量的概念与概率分布计算。

4. 二项分布与正态分布：二项分布的概念、计算与应用，正态分布的概念、计算与应用。

在高三数学学习中，以上必修一至五的知识点是基础且重要的。

同学们应该牢固掌握这些知识，做到理论与实际的结合，提高数学解题的能力与思维逻辑能力。

祝同学们在高三数学学习中取得优异的成绩！。

必修1数学基础知识 第一章、集合与函数概念 §1.1.1、集合1、 把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。

集合三要素：确定性、互异性、无序性。

2、 只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。

3、 常见集合：正整数集合：*N 或+N ，整数集合：Z ，有理数集合：Q ，实数集合：R.4、集合的表示方法：列举法、描述法. §1.1.2、集合间的基本关系1、 一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称集合A 是集合B 的子集。

记作B A ⊆.2、 如果集合B A ⊆，但存在元素B x ∈，且A x ∉，则称集合A 是集合B 的真子集.记作：A B.3、 把不含任何元素的集合叫做空集.记作：∅.并规定：空集合是任何集合的子集.4、 如果集合A 中含有n 个元素，则集合A 有n2个子集. §1.1.3、集合间的基本运算1、 一般地，由所有属于集合A 或集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B 的并集.记作：B A .2、 一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集.记作：B A .3、全集、补集？ §1.2.1、函数的概念1、 设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有惟一确定的数()x f 和它对应，那么就称B A f →:为集合A 到集合B 的一个函数，记作：()A x x f y ∈=,.2、 一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等. §1.2.2、函数的表示法1、 函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法. §1.3.1、单调性与最大（小）值1、 注意函数单调性证明的一般格式： 解：设[]b a x x ,,21∈且21x x <，则：()()21x f x f -=…§1.3.2、奇偶性1、 一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-，那么就称函数()x f 为偶函数.偶函数图象关于y 轴对称.2、 一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f -=-，那么就称函数()x f 为奇函数.奇函数图象关于原点对称.第二章、基本初等函数（Ⅰ） §2.1.1、指数与指数幂的运算1、 一般地，如果a x n=，那么x 叫做a 的n 次方根。

高中数学必修1知识点总结第一章集合与函数概念一、集合有关概念1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。

2、集合的中元素的三个特性：1.元素的确定性；2.元素的互异性；3.元素的无序性说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。

(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。

(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。

(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。

3、集合的表示：{ … } 如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}1. 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}2．集合的表示方法：列举法与描述法。

非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R关于“属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a 属于集合A 记作 a∈A ，相反，a不属于集合A 记作 a A列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。

描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。

用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。

①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x?R| x-3>2}或{x| x-3>2}4、集合的分类：（1）．有限集含有有限个元素的集合（2）．无限集含有无限个元素的集合（3）．空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝二、集合间的基本关系1.“包含”关系—子集注意：有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。

反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A2．“相等”关系(5≥5，且5≤5，则5=5)实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同”结论：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B任何一个集合是它本身的子集。

2024年高二数学必修一到五知识点总结第一章算法与方程1.算式的计算规则（加减乘除）。

2.带括号的算式的计算。

3.一次方程的解法（倒数法、交换法、消元法）。

4.含有单变元一次方程组的解法。

5.二次方程的解法（配方法、公式法、因式分解法）。

第二章函数与图像1.函数的概念及表示方法。

2.函数的性质（奇偶性、周期性）。

3.函数的平移、伸缩、翻折及其对图像的影响。

4.简单函数的图像绘制。

5.函数与方程的关系。

第三章三角函数1.角度与弧度的转换及相关公式。

2.常用角的正弦、余弦、正切关系。

3.三角函数的周期性及图像特点。

4.三角函数的性质及相关公式。

5.简单三角方程的解法。

第四章指数与对数1.指数的性质及相关公式。

2.对数的概念及表示方法。

3.反函数的概念及性质。

4.指数与对数的基本运算。

5.常用指数与对数函数的图像绘制。

第五章排列与组合1.排列与组合的概念及表示方法。

2.排列与组合的性质及相关公式。

3.简单的排列与组合问题的解法。

4.二项式定理及其应用。

5.容斥原理的概念及应用。

第六章统计与概率1.统计学的基本概念及方法。

2.频数分布表及其应用。

3.描述性统计量（均值、中位数、众数、标准差）的计算及应用。

4.概率的概念及计算方法。

5.事件的互斥与独立性。

第七章线性函数1.函数的定义及性质。

2.线性函数的概念及表示方法。

3.线性函数与方程的关系。

4.线性函数的性质及相关公式。

5.简单线性方程组的解法。

第八章二次函数1.二次函数的定义及表示方法。

2.二次函数的图像特点及其与一次函数的比较。

3.二次函数图像的平移、伸缩、翻折及其对图像的影响。

4.二次函数的性质及相关公式。

5.简单二次方程的解法。

第九章平面向量1.向量的定义及表示方法。

2.向量的加减法及数量积、向量积的计算方法。

3.向量的线性相关与线性无关的概念及判定条件。

4.向量在平面几何中的应用。

5.平面向量和空间向量的相互转化及应用。

第十章立体几何1.立体几何的基本概念（点、线、面、体）及表示方法。

高一数学必修1知识网络集合123412n x A x B A B A B A n A ∈∉⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩∈⇒∈⊆（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若 ，则，即是的子集。

、若集合中有个元素，则集合的子集有个， 注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/n A A A B C A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ⎧⎪⎧⎪⎪⎪⊆⎪⎪⎨⎪⊆⊆⊆⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⊆≠∈∉⎪⊆⊇⇔=⎪⎩⋂=∈∈⋂=⋂∅=∅⋂=⋂⋂⊆真子集有个。

、任何一个集合是它本身的子集，即 、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。

真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。

集合相等：且 定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ⎧⎪⎨⋂⊆⊆⇔⋂⎪⎩⎧⋃=∈∈⎪⎨⋃=⋃∅=⋃=⋃⋃⊇⋃⊇⊆⇔⋃⎪⎩⋃=+⋂=∈∉=⋂=∅⋃==⋂=⋃，定义：或并集性质：，，，，， 定义：且补集性质：，，，， ()()()U U U C A B C A C B ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⋃=⋂⎪⎪⎩⎩⎩⎩函数,,,A B A x B y f B A B x y x f y y x y →映射定义：设，是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系，使对于集合中的任意一个元素， 在集合中都有唯一确定的元素与之对应，那么就称对应：为从集合到集合的一个映射传统定义：如果在某变化中有两个变量并且对于在某个范围内的每一个确定的值，定义 按照某个对应关系都有唯一确定的值和它对应。

必修 1第一章集合与函数概念一、集合有关概念1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。

2、集合的中元素的三个特性： 1.元素的确定性； 2.元素的互异性； 3.元素的无序性非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R关于“属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合 A 记作 a∈A ，相反，a不属于集合 A 记作 a A二、集合间的基本关系任何一个集合是它本身的子集。

A A②真子集:如果A B,且B A那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

三、集合的运算1．交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．(即找公共部分)记作A∩B(读作”A交B”)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}．2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集。

（即A和B中所有的元素）记作：A∪B(读作”A并B”)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}．4、全集与补集（1）补集：设S是一个集合，A是S的一个子集（即），由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）（即除去A剩下的元素组成的集合）四、函数的有关概念定义域补充能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零 (6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.(又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。