北京大学2007年研究生入学考试试题数学分析

2007年考研数学一真题及参考答案一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后括号内）（1） 当0x +→时，与x 等价的无穷小量是 (B) A. 1xe- B.1ln1xx+- C. 11x +- D.1cos x -(2) 曲线y=1ln(1x e x++), 渐近线的条数为 (D) A.0 B.1 C.2 D.3(3)如图，连续函数y=f(x)在区间[-3，-2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[-2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周，设F(x)=0()xf t dt ⎰.则下列结论正确的是 (C) A. F(3)=3(2)4F -- B. F(3)=5(2)4F C. F(3)=3(2)4F + D. F(3)= 5(2)4F --(4)设函数f （x ）在x=0处连续，下列命题错误的是 (C)A. 若0()limx f x x →存在，则f （0）=0 B. 若0()()lim x f x f x x→+- 存在，则f （0）=0C. 若0()lim x f x x → 存在，则'(0)f =0D. 若0()()lim x f x f x x→-- 存在，则'(0)f =0(5)设函数f （x ）在（0, +∞）上具有二阶导数，且"()f x o >, 令n u =f(n)=1,2,…..n, 则下列结论正确的是(D)A.若12u u >，则{n u }必收敛B. 若12u u >，则{n u }必发散C. 若12u u <，则{n u }必收敛D. 若12u u <，则{n u }必发散(6)设曲线L ：f(x, y) = 1 (f(x, y)具有一阶连续偏导数），过第Ⅱ象限内的点M 和第Ⅳ象限内的点N,T 为L 上从点M 到N 的一段弧，则下列小于零的是 (B) A.(,)rx y dx ⎰ B. (,)rf x y dy ⎰C.(,)rf x y ds ⎰D.'(,)'(,)x y rf x y dx f x y dy +⎰（7）设向量组1α，2α，3α线形无关，则下列向量组线形相关的是： (A) （A ） ,,122331αααααα--- （B ） ,,122331αααααα+++（C ）1223312,2,2αααααα--- （D ）1223312,2,2αααααα+++（8）设矩阵A=211121112--⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭，B=100010000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭,则A 于B ， (B)(A) 合同，且相似(B) 合同，但不相似 (C) 不合同，但相似(D)既不合同，也不相似（9）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p ()01p <<，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为： (C) （A ）23(1)p p - (B)26(1)p p - (C) 223(1)p p -(D) 226(1)p p -(10) 设随即变量（X ，Y ）服从二维正态分布，且X 与Y 不相关，()X f x ，()Y f y 分别表示X ，Y 的概率密度，则在Y ＝y 的条件下，X 的条件概率密度|(|)XYf x y 为 (A)（A ）()X f x(B) ()Y f y(C) ()X f x ()Y f y(D)()()X Y f x f y 二．填空题：11－16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上。

北京大学2007年高等代数与解析几何试题1、回答下列问题：（1）问是否存在n 阶方阵A ,B ，满足AB −BA =E （单位矩阵）？又是否存在n 维线性空间上的线性变换A ，B ，满足AB −BA =E (恒等变换)？若是，举出例子；若否，给出证明.（2）设n 阶矩阵A 的各行元素之和为常数c ，则3A 的各行元素之和是否为常数？若是，是多少？说明理由.（3）设m ×n 矩阵A 的秩为r ，任取A 的r 个线性无关的行向量，再取A 的r 个线性无关的列向量，组成的r 阶子式是否一定不为0？若是，给出证明；若否，举出反例.（4）设A ,B 都是m ×n 矩阵，线性方程组AX =0与BX =0同解，则A 与B 的列向量组是否等价？行向量组是否等价？若是，给出证明；若否，举出反例.(5)把实数域R 看成有理数域Q 上的线性空间，r q p b 23=，这里的∈r q p ,,Q 是互不相同的素数.判断向量组n n n n b b b 12,...,,,1−是否线性相关？说明理由.2、设n 阶矩阵A ,B 可交换，证明:rank (A +B )≤rank (A )+rank (B )−rank (AB ).3、设f 为双线性函数，且对任意的γβα,,都有),(),(),(),(γααβαγβαf f f f =求证：f 为对称的或反对称的.4、设V 是欧几里德空间，U 是V 的子空间，U ∈β.求证：β是V ∈α在U 上的正交投影的充分必要条件为：U ∈∀γ，都有||||γαβα−≤−.5、设n 阶复矩阵A 满足：对于任意正整数k，都有0)(=k A tr .求A 的特征值.6、设n 维线性空间V 上的线性变换A 的最小多项式与特征多项式相同.求证：V ∈∃α，使得αααα12,...,,,−n A A A 为V 的一个基.7、设P 是球内一定点，A ,B ,C 是球面上三动点.∠APB =∠BPC =∠CPA =2/π.以PA,PB,PC 为棱作平行六面体，记与P 相对的顶点为Q ，求Q 点的轨迹.8、设直线L 的方程为⎩⎨⎧=+++=+++,0,022221111D z C y B x A D z C y B x A 问系数满足什么条件时，直线L（1）过原点；（2）平行于x 轴，但不与x 轴重合；（3）与y 轴相交；（4）与z 轴重合.9、证明双曲抛物面z by a x 22222=−的相互垂直的直母线的交点在双曲线上.10、求椭球面191625222=++z y x 被点（2,1，-1）平分的弦.。

1 2判断无穷积分1解 根据不等式|sinusin x 、 sin x i 得到 |sin( ) | x xsin x sin x从而 (s in (叱)叱)dx绝对收敛，因而收敛,1x x sin x再根据1〒dx 是条件收敛的，丄 sin xsin x sin x sin x 由 sin( ) (sin( )) xx x xsin x 可知积分sin( )dx 收敛，且易知是是条件收敛的。

1x2x 例5339设巳(x)1 x2!nx，X m 是P ?m 1(x) 0的实根,n!求证：x m 0，且 lim x mmN ，当 x 0 时，有 F 2m 1( x) 0 ；又 P>m 1 (x) F 2m (x) 0，F 2m1(x)严格递增，所以根唯一，X m 0。

任意 x ( ,0)， lim F n (x) e x 0，所以 F 2m1(x)的根 X mn因为若m 时，Rm1(x)0的根，X m 不趋向于则存在M 0 ,使得(M ,0)中含有｛ X m ｝的一个无穷子列，从而存在收敛子列X m kX 。

，( X 。

为某有限数M )；0 e M lim F 2m k 1( M) lim F 2叫 1 (X m k ) 0，矛盾。

KK(1)n例、设a n ln(1右)，讨论级数a n 的收敛性。

n Pn 21 .3 .u| |u | ,| u |62 1, 1 sin ,3 1 1 “r 113 ， x L 1, 6 X 6 X 证明(1)任意m当x 0且x 充分大时，有F 2m1(x)0,所以F 2m 1(X )0的根X m 存在, (2)，(m )。

sin(Sin x )dx 的收敛性。

x )；1 2解显然当p 0时，级数 a n 发散;n 2x ln(1 x)1 lim- x 0 11 X 2xlim 1 丄x 02 1 x故此时 a n 条件收敛。

n 2北京大学2007年数学分析考研试题及解答 1、用有限覆盖定理证明连续函数的介值定理。

2015年北京大学702数学基础全套资料点击蓝色字体查看原文按住Ctrl+H搜索所需科目本专业课考试科目的全套资料主要包括：1．历年真题本全套资料提供北京大学1996—2001、2005—2010年数学分析考研真题，供参考。

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2．指定教材配套资料北京大学702数学基础近年不指定参考书目，但根据往年指定教材情况，建议参考书目为：①《数学分析新讲》（张筑生，北京大学出版社）；②《数学分析》（一、二、三册）（方企勤等，北京大学出版社）。

·教材：方企勤《数学分析（第一册）》（PDF版）·教材：方企勤《数学分析（第三册）》（PDF版）·《数学分析习题集》(林源渠方企勤等著)·教材：张筑生《数学分析新讲》（第一、二、三册）（PDF版）3．北京大学老师授课讲义（含指定教材高校老师授课讲义）本全套资料提供北京大学老师的授课资源，及建议参考书目的相关课件。

具体包括：·北京大学彭立中老师《数学分析》教学资源汇总（含电子教案、例题习题等，仅提供免费浏览网址）·《数学分析》教学课件（上册）4．兄弟院校考研真题详解本全套资料提供的兄弟院校历年考研真题（含详解）部分，提供其他同等高校历年考研真题详解，以便学员复习备考。

所列的高校考研真题非常具有参考性！这部分内容包括：·中山大学数学分析与高等代数考研真题：2011 2010 2009 2008 2006 2005 2004 2003·华东师范大学数学分析与高等代数考研真题：2005 2004·华东师范大学数学分析考研真题：2010 2009 2008（含答案） 2007（含答案） 2006 2005（含答案） 2004 2003（含答案） 2002 2001（含答案） 2000（含答案） 1999 1998 1997·华东师范大学高等代数考研真题：2008（含答案） 2007 2006 2005 2004 2003 2002 2001 2000·北京师范大学数学分析与高等代数考研真题：2007 2006·浙江师范大学数学分析与高等代数考研真题：2011 2006 2005 2004整理：夺魁考研网5．其他相关精品资料·数学分析同步辅导及习题全解（华东师大第三版）（上、下册）（PDF版，586页）附注：全套资料尤其是真题会不断更新完善，待更新完善后会及时上传并予以说明标注，学员可下载学习！2015年北京大学664行政学原理全套资料◇资料构成说明：北京大学664行政学原理中664是2013年的学科代码，2012年之前的几年学科代码为659。

北京大学2007硕士研究生入学考试试题考试科目：经济学考试时间招生专业：西方经济学（020104）研究方向：西方经济学微观部分：请回答下列所有问题1.如果某消费者的偏好不连续，是否可能存在连续的需求函数？为什么？（10分）2.企业规模报酬不变（CRS）可以与竞争性市场均衡并存么？为什么？（10分）3.请说明，在二维或然财富空间｛（Wb，Wg）|Wb>=0,Wg>=0｝里，一个风险中立者的无差异曲线是直线。

（13分）4.某垄断企业的产品销售价格为其边际成本的3倍，请问在该价格下，该产品的市场需求弹性是多少？（10分）5.在一个不具有外部性的寡头市场上，政府对企业进行从量征税或补贴是否有可能增加社会福利？请说明理由。

（10分）6.如果二手车的市场价格取决于这个市场上所有二手车的平均品质，请解释为什么这个二手车市场可能消失。

（10分）7.某消费者的偏好是理性的且满足局部不饱和性质。

当市场价格为P=（P1,…,Pn）>0时，该消费者的选择了消费组合x＝（x1，…，xn）>0.现假设消费者的收入不变，而市场价格变成p‘＝（p1’，…，pn’）>0,并满足（p’－p）×x<0。

请分析该消费者的效用水平会有何变化。

（12分）宏观部分：请回答下列所有问题一、本题25分1、（5分）一个国家生产牛奶和黄油，在2002年和2003年的产量和价格分别为计算GDP deflator 在2002年和2003年之间上升了多少？2、（5分）比较GDP、GNP、NDP的不同，并从GDP恒等式中导出储蓄－投资平衡。

3、（5分）从1999年到2000年，一个国家的产出从4000上升到4500，它的资本存量从10000上升到12000，劳动力从2000下降到1750，假设资本的回报占产出的份额为0.3，劳动的回报占产出的份额为0.7，回答下面的问题：1）资本对产出的贡献率为多少？2）劳动对产出的贡献率为多少？3）技术进步对产出的贡献是多少？4、（5分）假设劳动的边际生产率为MPN＝200－0.5N，其中N是总的就业人数，劳动的总的供给函数为300＋8w，其中w是实际工资，求出均衡的就业人口。

2007年硕士研究生入学考试数学一试题及答案解析一、选择题：(本题共10小题，每小题4分，共40分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)(1) 当0x +→时，与x 等价的无穷小量是(A) 1xe-. (B) 1ln1x x+-. (C)11x +-. (D) 1c o s x -. [ B ]【分析】 利用已知无穷小量的等价代换公式，尽量将四个选项先转化为其等价无穷小量，再进行比较分析找出正确答案.【详解】 当0x +→时，有1(1)~xxee x -=---；111~2x x +-；2111c o s~().22x x x -=利用排除法知应选(B).(2) 曲线1ln (1)xy e x=++，渐近线的条数为(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. [ D ]【分析】 先找出无定义点，确定其是否为对应垂直渐近线；再考虑水平或斜渐近线。

【详解】 因为01lim [ln (1)]xx e x→++=∞，所以0x =为垂直渐近线；又 1lim [ln (1)]0xx e x→-∞++=，所以y=0为水平渐近线；进一步，21ln (1)ln (1)limlim []limxxx x x y e e xxxx→+∞→+∞→+∞++=+==lim11x xx ee→+∞=+，1lim [1]lim [ln (1)]xx x y x e x x→+∞→+∞-⋅=++-=lim [ln (1)]xx e x →+∞+-=lim [ln (1)]lim ln (1)0x xxx x e ex e--→+∞→+∞+-=+=，于是有斜渐近线：y = x . 故应选(D).(3) 如图，连续函数y =f (x )在区间[−3，−2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[−2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周，设0()().xF x f t d t =⎰则下列结论正确的是(A) 3(3)(2)4F F =--. (B) 5(3)(2)4F F =. (C) )2(43)3(F F =-. (D) )2(45)3(--=-F F . [ C ]【分析】 本题考查定积分的几何意义，应注意f (x )在不同区间段上的符号，从而搞清楚相应积分与面积的关系。

2007年硕士研究生入学考试数学一试题及答案解析一、选择题：(本题共10小题，每小题4分，共40分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)(2) 曲线1ln(1)x y e x=++，渐近线的条数为_______ 【详解】 因为01lim[ln(1)]xx e x→++=∞，所以0x =为垂直渐近线；又 1lim[ln(1)]0xx e x→-∞++=，所以y=0为水平渐近线；进一步，21ln(1)ln(1)lim lim []lim x x x x x y e e x x x x →+∞→+∞→+∞++=+==lim 11xx x e e→+∞=+， 1lim[1]lim[ln(1)]x x x y x e x x→+∞→+∞-⋅=++-=lim[ln(1)]xx e x →+∞+-=lim[ln (1)]lim ln(1)0x x xx x e e x e --→+∞→+∞+-=+=，于是有斜渐近线：y = x . 故3条(8) 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=211121112A , ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000010001B , 则A 与B_______(填是否合同，相似)【详解】 由0||=-A E λ 得A 的特征值为0, 3, 3, 而B 的特征值为0, 1, 1,从而A 与B 不相似.又r (A )=r (B )=2, 且A 、B 有相同的正惯性指数, 因此A 与B 合同.二、填空题：(11－16小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上)(11)12311x e dx x⎰=_______ 【分析】 先作变量代换，再分部积分。

【详解】111213213211211()t xt txe dx t e dt te dt x t ==-=⎰⎰⎰ =111121112221.2tt t tdetee dt e =-=⎰⎰(12) 设f (u ,v )为二元可微函数，(,)yxz f x y =，则zx∂∂=_______ 【详解】 利用复合函数求偏导公式，有z x∂∂=112ln .y xf yx f y y -''⋅+⋅ (13) 二阶常系数非齐次线性微分方程2432xy y y e'''-+=的通解为_______ 其中21,C C 为任意常数.【详解】 特征方程为2430λλ-+=，解得121, 3.λλ== 可见对应齐次线性微分方程430y y y '''-+=的通解为 312.x xy C e C e =+设非齐次线性微分方程2432xy y y e'''-+=的特解为*2xy ke=，代入非齐次方程可得k= −2. 故通解为32122.x x xy C e C e e =+-(14) 设曲面:1x y z ∑++=，则dS y x ⎰⎰∑+|)|(= _______【详解】 由于曲面∑关于平面x =0对称，因此dS x ⎰⎰∑=0. 又曲面:1x y z ∑++=具有轮换对称性，于是dS y x ⎰⎰∑+|)|(=dS y ⎰⎰∑||=dS x ⎰⎰∑||=dS z ⎰⎰∑||=dS z y x ⎰⎰∑++|)||||(|31=dS ⎰⎰∑3123831⨯⨯==43.3 (15) 设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0000100001000010A , 则3A 的秩为_______. 【详解】 依矩阵乘法直接计算得 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00000000000010003A , 故r (3A )=1. 三、解答题：(17－24小题，共86分. ) (17) (本题满分11分)求函数2222(,)2f x y x y x y =+-在区域22{(,)4,0}D x y x y y =+≤≥上的最大值和最小值。

2007年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(本题共10小题,每小题4 分,满分40分,在每小题给的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后括号内)(1)当0x +→时,(A)1−(B)ln1(D)1−【考点分析】：等价无穷小的定义和常用的等价无穷小 【求解过程】：◼ 方法一：利用等价无穷小0x +→时，()11~−=−−()12111~=+−2111~22x −=，(ln 1~=+◼ 方法二：可用洛必达法则和等价无穷小的定义来求解 验证极限,,lim x A B C D +→是否等于1，其中(),,A B C D 表示A ，B ，C ，D 四个选项中的式子。

故选B【基础回顾】：下面，我们就无穷小之比的极限存在或为无穷大时。

来说明两个无穷小之间的比较。

应当注意，下面的α及β都是在同一个自变量的变化过程中的无穷小，且0α≠，lim βα也是在这个变化过程中的极限。

定义：如果lim0βα=就说β是比α高阶的无穷小，记作()o βα=； 如果lim βα=∞，就说β是比α低阶的无穷小。

如果lim 0c βα=≠，就说β与α是同阶无穷小；如果lim 0,0k c k βα=≠>，就说β是关于α的k 阶无穷小。

如果lim1βα=，就说β与α是等价无穷小，记作αβ。

显然，等价无穷小是同阶无穷小的特殊情形，即1c =的情形。

常用等价无穷小，当0x →时，1~ln(1)~sin ~tan ~xe x x x x −+()11~x x αα+−， 211cos ~2x x −(2)曲线()1ln 1x y e x=++,渐近线的条数为 (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 【考点分析】：曲线的渐近线（水平、垂直、斜渐近线）的条数 【求解过程】：计算垂直渐近线：求函数在其不连续点0x x =处的极限，若为∞则存在垂直渐近线0x x =函数只有间断点0x =，()001lim lim ln 1x x x y e x →→=++=∞⎪⎝⎭，故存在垂直渐近线0x =计算水平渐近线：求函数在,x x →+∞→−∞时的极限a ，若a 存在，则有水平渐近线y a =()1lim lim ln 10x x x y e x →−∞→−∞⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，故存在水平渐近线0y = 计算斜渐近线：求yx在,x x →+∞→−∞时的极限a ，若a 存在，且0a ≠，求出y ax −在相应处的极限b ，则有斜渐近线y ax b =+()2ln 11lim lim 0lim 11x xx x x x e y e x x x e→+∞→+∞→+∞⎛⎫+ ⎪=+=+= ⎪+⎝⎭()()111lim lim ln 1lim ln 0x xx x x x e y x e x x x e →+∞→+∞→+∞⎛⎫⎛⎫+⎛⎫−=++−=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故存在斜渐近线y x = 选D 。