【高考冲刺】2018高考数学专题 突破点8 空间几何体表面积或体积的求解

立体几何的表面积和体积立体几何是数学的一个分支，研究物体在三维空间中的形状、大小等性质。

其中，表面积和体积是两个重要的概念。

表面积指的是物体表面所覆盖的面积，而体积则是物体所占据的空间大小。

本文将详细探讨立体几何中表面积和体积的计算方法及其应用。

一、表面积的计算方法表面积是指立体物体表面所覆盖的总面积。

不同形状的物体有不同的计算方法，下面将分别介绍常见几何体的表面积计算方法。

1. 立方体的表面积计算立方体是最简单的几何体之一，其六个面都是相等的正方形。

因此，立方体的表面积可以通过计算一个面的面积，并乘以六来得到。

设立方体的边长为a，则其表面积S可以表示为S = 6a^2。

2. 正方体的表面积计算正方体是特殊的立方体，其六个面也都是正方形。

同样地，正方体的表面积可以通过计算一个面的面积，并乘以六来得到。

设正方体的边长为a，则其表面积S = 6a^2。

3. 圆柱体的表面积计算圆柱体由一个长方形的侧面和两个圆形的底面组成。

要计算圆柱体的表面积，需要先计算侧面的面积，然后再加上两个底面的面积。

设圆柱体的底面半径为r，高为h，则侧面的面积可以表示为A = 2πrh，底面的面积表示为B = πr^2。

因此，圆柱体的表面积S = A + 2B = 2πrh + 2πr^2。

4. 球体的表面积计算球体是具有最大体积的几何形状，其表面积的计算稍微复杂一些。

设球体的半径为r，则球体的表面积S = 4πr^2。

二、体积的计算方法体积是指立体物体所占据的空间大小。

与表面积类似，不同几何体有不同的计算方法。

1. 立方体的体积计算立方体的体积可以通过计算边长的立方来得到，即V = a^3。

2. 正方体的体积计算正方体的体积与立方体的计算方法相同，也是通过计算边长的立方来得到。

设正方体的边长为a，则它的体积V = a^3。

3. 圆柱体的体积计算圆柱体的体积可以通过计算底面的面积，并乘以高来得到。

设圆柱体的底面半径为r，高为h，则它的体积V = πr^2h。

一．命题类型1.几何体的体积2.与球有关的面积问题3.空间几何体的体积、面积与函数的综合4.面积、体积的最值问题5.折、展、转等问题6.与三视图有关的几何体表面积和体积【学习目标】1．认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，掌握柱、锥的简单几何体性质．2．了解空间图形的两种不同表示形式(三视图和直观图)，了解三视图、直观图与它们所表示的立体模型之间的内在联系．3．能画出简单空间图形及实物的三视图与直观图，能识别三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图．4．会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图．2.三视图空间几何体的三视图由平行投影得到，这种投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与平面图形的形状和大小是全等和相等的，三视图包括正视、侧视、俯视．3．空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步骤是：(1)画几何体的底面在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°，已知图形中平行于x轴、y轴的线段在直观图中平行于x′轴、y′轴；已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半．1.有关斜二测画法的常用结论与方法(1)用斜二测画法画出的平面图形的直观图的面积S′与原平面图形的面积S 之间的关系是S′＝24S. (2)对于图形中与x 轴、y 轴、z 轴都不平行的线段，可通过确定端点的办法来解决，即过端点作坐标轴的平行线段，再借助所作的平行线段确定端点在直观图中的位置.2.有关三视图的基本规律(1)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线.画三视图的基本要求是：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高.(2)由三视图想象几何体特征时要根据“长对正、宽相等、高平齐”的基本原则.3.特殊多面体的结构特征(1)直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱.特别地，当底面是正多边形时，叫正棱柱(如正三棱柱，正四棱柱).(2)正棱锥：指的是底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面中心的棱锥.特别地，各条棱均相等的正三棱锥又叫正四面体.(3)平行六面体：指的是底面为平行四边形的四棱柱.二．命题类型举例及防陷阱措施1.几何体的体积例1. 我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如 “堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱111ABC A B C -，其中AC BC ⊥，若12A A A B ==，当“阳马”即四棱锥11B A ACC -体积最大时，“堑堵”即三棱柱111ABC A B C -的体积为（ ）A. 13B. 23C. 1D. 2【答案】D∴当“阳马”即四棱锥11B A ACC -体积最大时， AC BC ==此时“堑堵”即三棱柱111ABC A B C -的体积： 1222V ⎛=⨯=⎝ 故选D练习1. 17世纪日本数学家们对于数学关于体积方法的问题还不了解，他们将体积公式“V＝kD 3”中的常数k 称为“立圆术”或“玉积率”，创用了求“玉积率”的独特方法“会玉术”，其中，D 为直径，类似地，对于等边圆柱(轴截面是正方形的圆柱叫做等边圆柱)、正方体也有类似的体积公式V ＝kD 3，其中，在等边圆柱中，D 表示底面圆的直径；在正方体中，D 表示棱长．假设运用此“会玉术”，求得的球、等边圆柱、正方体的“玉积率”分别为k 1，k 2，k 3，那么，k 1∶k 2∶k 3＝( ) A. 4π∶6π∶1 B. 6π∶4π∶2 C. 1∶3∶12π D. 1∶32∶6π【答案】D【解析】球中， 33331144,33266D V R D k D k ππππ⎛⎫====∴= ⎪⎝⎭； 等边圆柱中， 23322,244D V D D k D k πππ⎛⎫=⋅==∴= ⎪⎝⎭； 正方体中， 3333,1V D k D k ==∴=； 所以12336::::11::642k k k πππ==.故选D. 练习2. 正棱锥的高缩小为原来的12，底面外接圆半径扩大为原来的3倍，则它的体积是原来体积的( ) A. 32 B. 92 C. 34 D. 94 【答案】B【解析】设原棱锥高为h ，底面面积为S ，则V ＝13Sh ，新棱锥的高为h 2，底面面积为9S ，∴V ′＝13·9S ·h 2，∴V V '＝92.选B. 练习3. 已知四棱锥P ABCD -的顶点都在半径R 的球面上，底面ABCD 是正方形，且底面ABCD 经过球心O ， E 是AB 的中点， PE ⊥底面ABCD ，则该四棱锥P ABCD -的体积等于__________．【答案】33R 【解析】画出如下图形，练习4．一个封闭的正三棱柱容器，高为3，内装水若干(如图甲，底面处于水平状态)，将容器放倒(如图乙，一个侧面处于水平状态)，这时水面与各棱交点E ， F ， 1F ， 1E 分别为所在棱的中点，则图甲中水面的高度为_______.【答案】94【解析】因为E ， F ， 1F ， 1E 分别为所在棱的中点，所以棱柱1111EFBC E F B C -的体积393344EFBC ABC ABC V S S S ∆∆=⨯=⨯=，设甲中水面的高度为h ，则99,44ABC ABC S h S h ∆∆⨯=∴=，故答案为94. 练习5. 已知球O 的直径PQ ＝4，A ，B ，C 是球O 球面上的三点，△ABC 是等边三角形，且∠APQ ＝∠BPQ ＝∠CPQ ＝30°，则三棱锥P －ABC 的体积为________．【解析】设球心为M ，三角形ABC 截面小圆的圆心为O ，∵ABC 是等边三角形， 30APQ BPQ CPQ ∠=∠=∠=︒∴P 在面ABC 的投影O 是等边ABC 的重心（此时四心合一）PQ 是直径，9043030330PCQ PC cos PO cos OC ∴∠=︒∴=︒=∴=︒==︒．．O 是等边ABC 的重心23OC OH ∴=∴等边ABC的高2360OH AC sin ===︒． 三棱锥P ABC -体积1113333224ABC V PO S =⋅=⨯⨯⨯⨯=练习6．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝3 cm ，AA 1＝2 cm ，则三棱锥A －B 1D 1D 的体积为________ cm 3.【答案】3 【解析】长方体 1111ABCD A BC D -中的底面ABCD 是正方形．连接AC 交BD 于O ，则AC BD ⊥，又1D D BD ⊥，2.与球有关的面积问题例2. 已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在同一个球面上， 90BAC ∠=︒， BC ， PA = PA ⊥平面ABC ，则此三棱锥外接球的表面积为（ ） A. 163π B. 4π C. 323π D. 16π 【答案】C【解析】因为PA ⊥平面ABC ，所以,PA AB PA AC ⊥⊥ ，又因为90BAC ∠=︒，所以AB AC ⊥ ，所以三棱锥P ABC -的外接球就是以,,PA AB AC 为长宽高的长方体的外接球，所以外接球的直径等于长方体的对角线，可得(22222222415R PA AB AC PA BC =++=+=+=， 此三棱锥外接球的表面积为2415R ππ=，故选C.练习1. 18．已知三棱锥P ABC -中，侧面PAC ⊥底面0,90,4,ABC BAC AB AC PA PC ∠===== ，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ） A. 24π B. 28π C. 32π D. 36π【答案】D【解析】建系以AB 为x 轴，以AC 为y 轴，以A 点为原点，建系，球心一定在底面三角形ABC 的外心的正上方，设球心点坐标为O （2，2，z ）,P(0,3,1),C(0,4,0),根据球心的定义知|OC|=|OP|即()224+1+z-1=4+4+ 1.z z ⇒=- 故圆心为()2,2,1-，半径为OC=3表面积为36π.故答案为：D.【方法总结】：这个题目考查的是三视图和球的问题相结合的题目，涉及到三视图的还原，外接球的体积或者表面积公式。

空间几何体的表面积与体积计算在几何学中，表面积和体积是描述空间几何体特征的重要参数。

通过计算表面积和体积，我们可以更好地理解和比较不同几何体的性质。

本文将介绍一些常见几何体的表面积和体积计算方法，并提供实例进行说明。

立方体是最简单的立体几何体之一。

它的六个面都是正方形，具有相同的边长。

对于一个边长为a的立方体，其表面积计算公式为：表面积 = 6a²，体积计算公式为：体积 = a³。

例如，一个边长为5厘米的立方体，其表面积为6 × 5² = 150平方厘米，体积为5³ = 125立方厘米。

长方体与立方体相似，但它的六个面具有不同的长和宽。

对于一个长宽高分别为a、b、c的长方体，其表面积计算公式为：表面积 = 2ab+ 2ac + 2bc，体积计算公式为：体积= abc。

假设一个长方体的长、宽、高分别为3厘米、4厘米、5厘米，则它的表面积为2 × 3 × 4 + 2 × 3 ×5 + 2 × 4 × 5 = 94平方厘米，体积为3 × 4 × 5 = 60立方厘米。

圆柱体是一个基于圆形截面旋转而成的几何体。

它具有一个圆形底面和一个平行于底面的圆形顶面，并由一个连接两个底面的曲面侧边所构成。

对于一个底面半径为r、高度为h的圆柱体，其表面积计算公式为：表面积= 2πr² + 2πrh，体积计算公式为：体积= πr²h。

假设一个底面半径为2厘米、高度为6厘米的圆柱体，则它的表面积为2 × 3.14 × 2² + 2 × 3.14 × 2 × 6 = 100.48平方厘米，体积为3.14 × 2² × 6 = 75.36立方厘米。

球体是一个几何体，其表面由所有与球心距离相等的点组成。

高中数学立体几何体的表面积与体积求解在高中数学中，立体几何是一个重要的内容，涉及到的知识点包括立体的表面积与体积的求解。

本文将通过具体的例题来说明如何求解不同类型的立体几何体的表面积与体积，并提供一些解题技巧和指导。

一、长方体的表面积与体积求解长方体是最常见的立体几何体之一，它的六个面都是矩形。

我们可以通过求解长方体的表面积与体积来熟悉立体几何的计算方法。

例题1：一个长方体的长、宽、高分别为3cm、4cm、5cm，求它的表面积和体积。

解析：长方体的表面积等于各个面的面积之和，体积等于底面积乘以高。

根据题目给出的数据，我们可以计算得到该长方体的表面积和体积。

表面积 = 2(长×宽 + 长×高 + 宽×高) = 2(3×4 + 3×5 + 4×5) = 94cm²体积 = 长×宽×高 = 3×4×5 = 60cm³通过这个例题，我们可以看到求解长方体的表面积和体积的方法是比较简单的，只需要根据公式进行计算即可。

在实际应用中，我们可以通过测量长方体的边长来求解它的表面积和体积。

二、正方体的表面积与体积求解正方体是一种特殊的长方体，它的六个面都是正方形。

与长方体类似，我们也可以通过求解正方体的表面积与体积来加深对立体几何的理解。

例题2：一个正方体的边长为6cm，求它的表面积和体积。

解析：正方体的表面积等于各个面的面积之和，体积等于边长的立方。

根据题目给出的数据，我们可以计算得到该正方体的表面积和体积。

表面积 = 6×6 + 6×6 + 6×6 + 6×6 + 6×6 + 6×6 = 216cm²体积 = 边长的立方 = 6³ = 216cm³从这个例题中，我们可以看到正方体的表面积和体积是相等的，这是因为它的六个面都是正方形，所以每个面的面积都相等。

高考微点八空间几何体的表面积与体积牢记概念公式，避免卡壳1.空间几何体的表面积与体积公式名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝Sh锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝13Sh台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝13(S上＋S下＋S上S下)h2.球的表面积和体积：S球＝4πR2，V球＝43πR3.活用结论规律，快速抢分1.长方体的对角线与共点三条棱之间的长度关系为d2＝a2＋b2＋c2；长方体外接球半径为R时，有(2R)2＝a2＋b2＋c2.2.棱长为a的正四面体内切球半径r＝612a，外接球半径R＝64a.高效微点训练，完美升级1.《九章算术》商功章有题：一圆柱形谷仓，高1丈3尺313寸，容纳米2 000斛(注：1丈＝10尺，1尺＝10寸，1斛≈1.62立方尺，圆周率取3)，则圆柱底面圆周长约为()A.1丈3尺B.5丈4尺C.9丈2尺D.48丈6尺解析由题意，圆柱形谷仓的高h＝10＋3＋110×⎝⎛⎭⎪⎫3＋13＝403(尺)，体积V≈2000×1.62＝3 240(立方尺).设圆柱的底面半径为R尺，由体积公式得πR2×403≈3240，得3R 2×403≈3 240，解得R 2≈81，故R ≈9，所以底面圆周长C ＝2πR ≈2×3×9＝54(尺)，即5丈4尺. 答案 B2.如图是棱长为2的正方体的表面展开图，则多面体ABCDE 的体积为( )A.2B.23C.43D.83解析多面体ABCDE 为四棱锥(如图)，利用割补法可得其体积V ＝4－43＝83. 答案 D3.若圆锥与球的体积相等，且圆锥底面半径与球的直径相等，则圆锥侧面积与球面面积之比为( ) A.2∶2 B.3∶2 C.5∶2D.3∶2解析 设圆锥底面半径为r ，高为h ，则球的半径R ＝r2， 由条件知，13πr 2h ＝43π⎝ ⎛⎭⎪⎫r 23，所以h ＝r2.所以圆锥的侧面积S 1＝πr ·h 2＋r 2＝πr r 24＋r 2＝52πr 2，球面面积S 2＝4πR 2＝4π×⎝ ⎛⎭⎪⎫r 22＝πr 2，所以S 1∶S 2＝5∶2. 答案 C4.如图，该几何体是从棱长为2的正方体中截去到正方体的某个顶点的距离均为2的几何体后剩余的部分，则该多面体的表面积为( )A.24－3πB.24－πC.24＋πD.24＋5π解析 由题意知该几何体是从棱长为2的正方体中截去以正方体某个顶点为球心，2为半径的18球后剩余的部分，故其表面积S ＝6×22－3×14×π×22＋18×4×π×22＝24－π.故选B. 答案 B5.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( ) A.2＋ 2 B.1＋22C.2＋22D.1＋ 2解析 恢复后的原图形为一直角梯形， 所以S ＝12×(1＋2＋1)×2＝2＋ 2. 答案 A6.如图所示，正四棱锥P －ABCD 底面的四个顶点A ，B ，C ，D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上，若V P －ABCD ＝163，则球O 的表面积是( )A.4πB.8πC.12πD.16π解析 由OP ＝OC ＝R ，AB ＝2R ，得13AB 2·OP ＝13×(2R )2×R ＝163，所以R ＝2. ∴S 球＝4πR 2＝16π. 答案 D7.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( ) A.π B.3π4 C.π2D.π4解析 如图画出圆柱的轴截面ABCD ，O 为球心.球半径R ＝OA ＝1，球心到底面圆的距离为OM ＝12.∴底面圆半径r ＝AM ＝OA 2－OM 2＝32，故圆柱体积V ＝π·r 2·h ＝π·⎝ ⎛⎭⎪⎫322×1＝3π4. 答案 B8.如图是一个实心金属几何体的直观图，它的中间是高l 为6124的圆柱，上、下两端均是半径r 为2的半球，若将该实心金属几何体在熔炉中高温熔化(不考虑过程中的原料损失)，熔成一个实心球，则该球的直径为( )A.3B.4C.5D.6解析 设实心球的半径为R .实心金属几何体的体积V ＝43πr 3＋πr 2l ＝43π×8＋π×4×6124＝1256π，所以43πR 3＝1256π，所以R ＝52，所以该球的直径为2R ＝5. 答案 C9.在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，BC 1与底面所成角的正切值为263，三棱柱的各顶点均在半径为2的球O 的球面上，且AC ＝2，∠ABC ＝60°，则三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积为( ) A.4 3 B.433 C.4 2D.423解析 在三角形ABC 中，AC ＝2，∠ABC ＝60°，所以三角形ABC 的外接圆半径r ＝12×2sin 60°＝233.设三角形ABC 外接圆的圆心为O 1，连接OO 1，OA ，O 1A ，则OO 1⊥平面ABC ，OO 1＝12AA 1，O 1A ＝r ，OA ＝2，所以22＝r 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12AA 12，得AA 1＝463.因为AA 1⊥平面ABC ，AA 1∥CC 1，所以CC 1⊥平面ABC ，所以BC 1与底面ABC 所成的角是∠C 1BC ，所以tan ∠C 1BC ＝CC 1BC ＝AA 1BC ＝463BC ＝263，得BC ＝2，因此三角形ABC 是边长为2的正三角形，所以三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积V ＝S △ABC ×AA 1＝34×4×463＝4 2.故选C. 答案 C10.现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________.解析 设新的底面半径为r ，由题意得13πr 2·4＋πr 2·8＝13π×52×4＋π×22×8，解得r ＝7. 答案711.如图，在圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下面及母线均相切.记圆柱O 1O 2的体积为V 1，球O 的体积为V 2，则V 1V 2的值是________.解析 设球半径为R ，则圆柱底面圆半径为R ，母线长为2R ， 又V 1＝πR 2·2R ＝2πR 3， V 2＝43πR 3，所以V 1V 2＝2πR 343πR 3＝32.答案 3212.在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD ＝60°，侧棱P A ⊥底面ABCD ，P A ＝2，E 为AB 的中点，则三棱锥P －BCE 的体积为________. 解析 由题意知S △EBC ＝12×2×1×sin 120°＝32，故V P －EBC ＝13×2×32＝33. 答案 3313.三棱锥P －ABC 的三条侧棱P A ，PB ，PC 两两垂直，且P A ＝2，PB ＝1，PC ＝3，则该三棱锥的外接球的体积是________.解析 三棱锥P －ABC 的三条侧棱P A ，PB ，PC 两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，求出长方体的对角线的长为2＋1＋3＝6，所以球的直径是6，半径为62.球的体积为V ＝43×π×⎝ ⎛⎭⎪⎫623＝6π.答案6π14.我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理(祖暅原理)：“幂势既同，则积不容异”.“势”即是高，“幂”是面积.意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.已知焦点在x 轴上的双曲线C 的离心率e ＝5，焦点到其渐近线的距离为2.直线y ＝0与y ＝2在第一象限内与双曲线C 及其渐近线围成如图中阴影部分所示的图形OABN ，则它绕y 轴旋转一圈所得几何体的体积为________.解析设双曲线C 的方程为x 2a 2－y2b 2＝1(a >0，b >0)，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ca ＝5，b ＝2，a 2＋b 2＝c 2，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2，c ＝5，故双曲线C 的方程为x 2－y 24＝1，过一、三象限的渐近线方程为y ＝2x .如图所示，设直线y ＝y 0(0≤y 0≤2)与y 轴交于点D ，在第一象限内与双曲线C 及其渐近线的交点分别为B 0，N 0，则D (0，y 0)，N 0⎝ ⎛⎭⎪⎫y 02，y 0，B 0⎝⎛⎭⎪⎫1＋y 204，y 0，所以|DN 0|＝y 02，|DB 0|＝1＋y 204，则π|DB 0|2－π|DN 0|2＝π，根据祖暅原理可得旋转一圈所得几何体的体积为2π. 答案 2π。

高考数学知识点：空间几何体的表面积和体积第1篇：高考数学知识点之空间几何体的表面积和体积在我们周围存在着各种各样的物体，它们都占据着空间的一部分。

下面小编给大家介绍高考数学知识点之空间几何体的表面积和体积，赶紧来看看吧!1、圆柱体:表面积:2πRr+2πRh体积:πRh(R为圆柱体上下底圆半径,h为圆柱体高)2、圆锥体:表面积:πR+πR[(h+R)的平方根]体积:πRh/3(r为圆锥体低圆半径,h为其高,3、正方体a-边长,S=6a,V=a4、长方体a-长,b-宽,c-高S=2(ab+ac+bc)V=abc5、棱柱S-底面积h-高V=Sh6、棱锥S-底面积h-高V=Sh/37、棱台S1和S2-上、下底面积h-高V=h[S1+S2+(S1S2)^1/2]/38、拟柱体S1-上底面积,S2-下底面积,S0-中截面积h-高,V=h(S1+S2+4S0)/69、圆柱r-底半径,h-高,C—底面周长S底—底面积,S侧—侧面积,S表—表面积C=2πrS底=πr,S侧=Ch,S表=Ch+2S底,V=S底h=πrh10、空心圆柱R-外圆半径,r-内圆半径h-高V=πh(R^2-r^2)11、直圆锥r-底半径h-高V=πr^2h/312、圆台r-上底半径,R-下底半径,h-高V=πh(R+Rr+r)/313、球r-半径d-直径V=4/3πr^3=πd^3/614、球缺h-球缺高,r-球半径,a-球缺底半径V=πh(3a+h)/6=πh(3r-h)/315、球台r1和r2-球台上、下底半径h-高V=πh[3(r1+r2)+h]/616、圆环体R-环体半径D-环体直径r-环体截面半径d-环体截面直径V=2π2Rr=π2Dd/417、桶状体D-桶腹直径d-桶底直径h-桶高V=πh(2D+d)/12,(母线是圆弧形,圆心是桶的中心)V=πh(2D+Dd+3d/4)/15(母线是抛物线形)第2篇：高考数学知识点：空间几何体的表面积和体积数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，下面是小编整理的高考数学知识点：空间几何体的表面积和体积，希望对大家有帮助!1、圆柱体:表面积:2πRr+2πRh体积:πRh(R为圆柱体上下底圆半径,h为圆柱体高)2、圆锥体:表面积:πR+πR[(h+R)的平方根]体积:πRh/3(r为圆锥体低圆半径,h为其高,3、正方体a-边长,S=6a,V=aa-长,b-宽,c-高S=2(ab+ac+bc)V=abc5、棱柱S-底面积h-高V=Sh6、棱锥S-底面积h-高V=Sh/37、棱台S1和S2-上、下底面积h-高V=h[S1+S2+(S1S2)^1/2]/3 8、拟柱体S1-上底面积,S2-下底面积,S0-中截面积h-高,V=h(S1+S2+4S0)/69、圆柱r-底半径,h-高,C—底面周长S底—底面积,S侧—侧面积,S表—表面积C=2πrS底=πr,S侧=Ch,S表=Ch+2S底,V=S底h=πrh10、空心圆柱R-外圆半径,r-内圆半径h-高V=πh(R^2-r^2)11、直圆锥r-底半径h-高V=πr^2h/312、圆台r-上底半径,R-下底半径,h-高V=πh(R+Rr+r)/313、球r-半径d-直径V=4/3πr^3=πd^3/614、球缺h-球缺高,r-球半径,a-球缺底半径V=πh(3a+h)/6=πh(3r-h)/3 15、球台r1和r2-球台上、下底半径h-高V=πh[3(r1+r2)+h]/616、圆环体R-环体半径D-环体直径r-环体截面半径d-环体截面直径V=2π2Rr=π2Dd/4D-桶腹直径d-桶底直径h-桶高V=πh(2D+d)/12,(母线是圆弧形,圆心是桶的中心)V=πh(2D+Dd+3d/4)/15(母线是抛物线形)第3篇：高考数学知识点:空间几何体的表面积和体积知识解析一、柱、锥、台和球的侧面积和体积典型例题1：1、几何体的侧面积和全面积：几何体侧面积是指(各个)侧面面积之和，而全面积是侧面积与所有底面积之和.对侧面积公式的记忆，最好结合几何体的侧面展开图来进行.2、求体积时应注意的几点：(1)、求一些不规则几何体的体积常用割补的方法转化成已知体积公式的几何体进行解决.(2)、与三视图有关的体积问题注意几何体还原的准确*及数据的准确*.3、求组合体的表面积时注意几何体的衔接部分的处理.典型例题2：1、以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量.2、多面体的表面积是各个面的面积之和;组合体的表面积注意衔接部分的处理.3、旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.典型例题3：1、计算柱、锥、台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，应注意充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解.2、注意求体积的一些特殊方法：分割法、补体法、转化法等，它们是解决一些不规则几何体体积计算常用的方法，应熟练掌握.3、等积变换法：利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面.①求体积时，可选择容易计算的方式来计算;②利用“等积法”可求“点到面的距离”.第4篇：空间几何体的表面积与体积的数学知识点一、课标要求：了解一些简单的几何体的表面积的计算方法，了解棱柱、棱锥、台的表面积计算公式(不要求记忆公式)二、教学目标：(1)了解平面展开图的概念及柱、锥、台的表面积公式;(2)会求一些简单几何体的表面积公式;(3)让学生经历空间几何体的侧面展开过程，感知几何体的形状;(4)让学生通过对照比较，理顺柱体、锥体、台体侧面积之间的转换关系，体会数和形的完美结合.(5)通过学习使学生感受到空间几何体侧面积的求解过程，对自己空间思维能力的影响，从而增强学习数学的信心.三、教学重点、难点：重点;空间几何体侧面积的计算难点;空间几何体侧面展开四、设计思路：借助多媒体，通过动态演示一些多面体的平面展开图的过程，让学生在直观感知的基础上了解平面展开图的概念，进而结合前面已研究的柱、锥、台这三类几何体的概念，介绍正棱柱、正棱锥、正棱台的概念，结合模型组织学生感知探索侧面展开图的形成过程及侧面展开图的构成，得出它们侧面积的计算公式。

空间几何体的表面积与体积【考点梳理】1．多面体的表(侧)面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式3.考点一、空间几何体的表面积【例1】(1)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于()A．8＋22B．11＋2 2C．14＋2 2 D．15(2)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是( )A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π[答案](1)B (2)A[解析](1)由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上、下底面为直角梯形，如图所示．直角梯形斜腰长为12＋12＝2，所以底面周长为4＋2，侧面积为4＋22＋2＋2＝8＋22，两底面的面积和为2×12×1×(1＋2)＝3.所以该几何体的表面积为8＋22＋3＝11＋2 2.(2)由几何体的三视图可知，该几何体是一个球体去掉上半球的14，得到的几何体如图．设球的半径为R ，则43πR 3－18×43πR 3＝283π，解得R ＝2.因此它的表面积为78×4πR 2＋34πR 2＝17π.故选A.【类题通法】1.(1)多面体与旋转体的表面积等于侧面面积与底面面积之和．(2)简单组合体：应搞清各构成部分，并注意重合部分的处理．2．若以三视图的形式给出，解题的关键是对给出的三视图进行分析，从中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，得到几何体的直观图，然后根据条件求解． 【对点训练】1．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( )A ．18＋36 5B ．54＋18 5C ．90D ．81[答案]B[解析]由三视图可知该几何体是底面为正方形的斜四棱柱，其中有两个侧面为矩形，另两个侧面为平行四边形，则表面积为(3×3＋3×6＋3×35)×2＝54＋18 5.故选B.2．圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8[答案]B[解析]如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为r ，圆柱的底面半径为r ，高为2r ，则表面积S ＝12×4πr 2＋πr 2＋4r 2＋πr ·2r ＝(5π＋4)r 2.又S ＝16＋20π，∴(5π＋4)r 2＝16＋20π，∴r 2＝4，r ＝2，故选B.考点二、空间几何体的体积【例2】(1)在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.2π3B.4π3C.5π3D ．2π(2)已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示(单位：m)，则该四棱锥的体积为________m 3.[答案](1)C (2)2[解析](1)过点C 作CE 垂直AD 所在直线于点E ，梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB 的长为底面圆半径，线段BC 为母线的圆柱挖去以线段CE 的长为底面圆半径，ED 为高的圆锥，如图所示．由于V 圆柱＝π·AB 2·BC ＝π×12×2＝2π， V 圆锥＝13π·CE 2·DE ＝13π·12×(2－1)＝π3，所以该几何体的体积V ＝V 圆柱－V 圆锥＝2π－π3＝5π3.(2)由三视图知，四棱锥的高为3，底面平行四边形的一边长为2，对应高为1，所以其体积V ＝13Sh ＝13×2×1×3＝2. 【类题通法】1.若所给定的几何体是柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解． 2．若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法(转换的原则是使底面面积和高易求)、分割法、补形法等方法进行求解．3．若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解． 【对点训练】1．一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.[答案]83π[解析]由几何体的三视图可知该几何体由两个圆锥和一个圆柱构成，其中圆锥的底面半径和高均为1，圆柱的底面半径为1且其高为2，故所求几何体的体积为V ＝13π×12×1×2＋π×12×2＝83π.2．一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.13＋23πB.13＋23πC.13＋26πD．1＋26π[答案]C[解析]由三视图知，该四棱锥是底面边长为1，高为1的正四棱锥，结合三视图可得半球半径为22，从而该几何体的体积为13×12×1＋12×43π×⎝⎛⎭⎪⎫223＝13＋26π.故选C.考点三、多面体与球的切、接问题【例3】在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是()A．4π B.9π2C．6π D.32π3[答案]B[解析]由AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，得AC＝10，要使球的体积V最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若球与三个侧面相切，设底面△ABC的内切圆的半径为r.则12×6×8＝12×(6＋8＋10)·r，则r＝2.此时2r＝4＞3，不合题意．因此球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径R最大．由2R＝3，即R＝32.故球的最大体积V＝43πR3＝92π.[变式1]若本例中的条件变为“直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上”，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，求球O的表面积．[解析]将直三棱柱补形为长方体ABEC-A′B′E′C′，则球O是长方体ABEC-A′B′E′C′的外接球，∴体对角线BC′的长为球O的直径．因此2R＝32＋42＋122＝13，故S球＝4πR2＝169π.[变式2]若本例中的条件变为“正四棱锥的顶点都在球O的球面上”，若该棱锥的高为4，底面边长为2，求该球的体积．[解析]如图，设球心为O ，半径为r ，则在Rt △AOF 中，(4－r )2＋(2)2＝r 2， 解得r ＝94，则球O 的体积V 球＝43πr 3＝43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫943＝243π16. 【类题通法】1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题．2．若球面上四点P ，A ，B ，C 中P A ，PB ，PC 两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题． 【对点训练】已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点．若三棱锥O -ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( )A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π[答案]C[解析]如图，设球的半径为R ，∵∠AOB ＝90°，∴S △AOB ＝12R 2.∵V O -ABC ＝V C -AOB ，而△AOB 面积为定值，∴当点C 到平面AOB 的距离最大时，V O -ABC 最大，∴当C为与球的大圆面AOB垂直的直径的端点时，体积V O-ABC最大为13×12R2×R＝36，∴R＝6，∴球O的表面积为4πR2＝4π×62＝144π.故选C.。

第2讲 空间几何体的表面积与体积一、选择题1．棱长为2的正四面体的表面积是( )． A.3B ．4 C ．43D ．16解析 每个面的面积为：12×2×2×32＝ 3.∴正四面体的表面积为：4 3.答案 C2．把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的 ( )． A ．2倍 B ．22倍 C.2倍 D.32倍解析 由题意知球的半径扩大到原来的2倍，则体积V ＝43πR 3，知体积扩大到原来的22倍．答案 B3．一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积(单位：cm 2)为( )．A ．48B ．64C ．80D ．120视图知，该几何体是一个正四棱锥(底面边长为8)，解析 据三图，PE 为侧面△PAB 的边AB 上的高，且PE ＝5.∴此直观图如面积是S ＝4S △PAB ＝4×12×8×5＝80(cm 2)．几何体的侧答案 C4．已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，则此棱锥的体积为( )．A.26B.36C.23D.22解析 在直角三角形ASC 中，AC ＝1，∠SAC ＝90°，SC ＝2，∴SA ＝4－1＝3；同理SB ＝ 3.过A 点作SC 的垂线交SC 于D 点，连接DB ，因△SAC ≌△SBC ，故BD ⊥SC ，故SC ⊥平面ABD ，且平面ABD 为等腰三角形，因∠ASC ＝30°，故AD ＝12SA ＝32，则△ABD 的面积为12×1×AD2－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝24，则三棱锥的体积为13×24×2＝26. 答案 A5．某品牌香水瓶的三视图如下(单位：cm)，则该几何体的表面积为( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫95－π2cm 2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫94－π2cm2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫94＋π2cm 2D.⎝⎛⎭⎪⎫95＋π2cm 2解析 该几何体的上下为长方体，中间为圆柱．S表面积＝S下长方体＋S上长方体＋S圆柱侧－2S圆柱底＝2×4×4＋4×4×2＋2×3×3＋4×3×1＋2π×12×1－2×π⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝94＋π2.答案 C6．已知球的直径SC ＝4，A ，B 是该球球面上的两点，AB ＝3，∠ASC ＝∠BSC ＝30°，则棱锥S-ABC 的体积为( )．A ．33B ．2 3 C. 3 D ．1解析 由题可知AB 一定在与直径SC 垂直的小圆面上，作过AB 的小圆交直径SC 于D ，设SD ＝x ，则DC ＝4－x ，此时所求棱锥即分割成两个棱锥S-ABD 和C-ABD ，在△SAD 和△SBD 中，由已知条件可得AD＝BD ＝33x ，又因为SC 为直径，所以∠SBC ＝∠SAC ＝90°，所以∠DCB ＝∠DCA ＝60°，在△BDC 中 ，BD ＝3(4－x )，所以33x ＝3(4－x )，所以x ＝3，AD ＝BD ＝3，所以三角形ABD 为正三角形，所以V ＝13S △ABD ×4＝ 3.答案 C。