2016年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科) 第二章 第16讲 定积分及其应用举例

专题六立体几何第 1课时1．(2015 年新课标Ⅱ )一个正方体被一个平面截去一部分后，节余部分的三视图如图Z6- 1，则截去部分体积与节余部分体积的比值为()图 Z6-11 1 1 1A. 8B. 7C.6D. 52．如图 Z6- 2，方格纸上正方形小格的边长为1，图中粗实线画出的是由一个正方体截得的一个几何体的三视图，则该几何体的体积为()图 Z6-216 32 64A. 3B. 3C. 3 D ．323．某几何体的三视图如图Z6- 3，则该几何体的体积为()图 Z6-32 4A. 3B. 3816C.3D. 34．(2016 年河北“五校结盟”质量监测 )某四周体的三视图如图Z6-4，则其四个面中最大的面积是 ()图 Z6-4A ．2B ．22 C.3 D ．235．已知一个几何体的三视图如图 Z6- 5，则该几何体的体积为 ( )图 Z6-52223A ．8 B. 3 C. 3 D ．76．点 A ， B ，C ，D 均在同一球面上，且 AB ， AC ，AD 两两垂直，且AB ＝ 1，AC ＝2，AD ＝3，则该球的表面积为 ( )7 7 14πA ． 7πB ． 14π C.2π D. 37．(2013 年新课标Ⅰ)如图 Z6-6，有一个水平搁置的透明无盖的正方体容器，容器高 8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内灌水，当球面恰巧接触水面时测得水深为 6 cm ，假如不计容器厚度，则球的体积为()图 Z6-6500 π 3866 π3A. 3cm B. 3 cm C. 1372 π D. 2048 π3 cm 3 3cm 38． (2016 年北京 )某四棱柱的三视图如图 Z6-7，则该四棱柱的体积为 ________．图 Z6-7体9．球 O 半径为OABC 的体积是 (R＝13，球面上有三点)A， B，C， AB＝ 12 3， AC＝ BC＝ 12，则四周A．60C．6010．如图ABC 的距离为3 B．50 36 D．50 6Z6-8，已知正三角形ABC 三个极点都在半径为 2 的球面上，球心O1，点 E 是线段 AB 的中点，过点 E 作球 O 的截面，则截面面积的最小值是到平面( )图 Z6-87π9πA. 4 B． 2π C. 4 D． 3π11． (2017 年广东茂名一模 )过球 O 表面上一点 A 引三条长度相等的弦AB， AC， AD ，且两两夹角都为60°，若球半径为 R，则△ BCD 的面积为 ____________．12．已知三棱柱 ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面，各极点都在同一球面上，若该棱柱的体积为3， AB＝ 2， AC＝ 1，∠ BAC＝ 60°，则此球的表面积等于 ________．第 2课时1．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，若∠ BAC＝ 90°，AB ＝AC＝ AA1，则异面直线BA1与 AC1 所成的角等于 ()A ． 30°B ．45° C．60° D ．90°2．(2016 年天津模拟 )如图 Z6-9，以等腰直角三角形 ABC 的斜边 BC 上的高 AD 为折痕，把△ABD 和△ ACD 折成相互垂直的两个平面后，某学生得出以下四个结论：图 Z6-9①BD⊥ AC；②△ BAC 是等边三角形；③三棱锥 D -ABC 是正三棱锥；④平面 ADC ⊥平面 ABC .()此中正确的选项是A ．①②④B ．①②③C．②③④D．①③④)分别相等，且3．三棱锥的三组相对的棱(相对的棱是指三棱锥中成异面直线的一组棱2 2长各为2， m， n，此中 m ＋n ＝6，则三棱锥体积的最大值为()3 1 8 3 2A. 3B. 2C. 27D. 34．(2016 年辽宁葫芦岛统测) 已知四棱锥P-ABCD 的五个极点都在球O 的球面上，底面ABCD 是矩形，平面PAD 垂直于平面ABCD ，在△ PAD 中， PA＝ PD ＝2，∠ APD ＝120 °，AB＝2，则球 O 的外接球的表面积等于()A ． 16π B． 20π C． 24π D ．36π5．在矩形ABCD 中， AD＝ 2，AB ＝4， E，F 分别为边AB ，AD 的中点，将△ADE 沿DE 折起，点A， F 折起后分别为点A′， F′，获得四棱锥A′ -BCDE .给出以下几个结论：① A′， B， C， F′四点共面；② EF′∥平面A′ BC；③若平面 A′DE ⊥平面 BCDE ，则 CE⊥ A′ D；④四棱锥 A′ -BCDE 体积的最大值为2，此中正确的选项是________(填上全部正确的序号)．6．(2017 年广东梅州一模 )如图 Z6-10 所示的多面体是由一个直平行六面体被平面 AEFG 所截后获得的，此中∠ BAE＝∠ GAD ＝ 45°，AB ＝ 2AD＝ 2，∠ BAD ＝ 60°.(1)求证： BD ⊥平面 ADG；(2)求平面 AEFG 与平面 ABCD 所成锐二面角的余弦值．图 Z6- 107． (2017 年广东广州二模 )如图 Z6-11，ABCD 是边长为 a 的菱形，∠ BAD＝ 60°， EB⊥平面 ABCD ， FD ⊥平面 ABCD ， EB＝ 2FD ＝ 3a.(1)求证： EF ⊥ AC；(2)求直线 CE 与平面 ABF 所成角的正弦值．图 Z6-118． (2017 年广东揭阳一模)如图Z6-12，在直三棱柱ABC-A1B1C1中， AB＝ BC＝BB1，AB1∩ A1B＝ E，D 为 AC 上的点， B1C∥平面 A1BD；(1)求证： BD ⊥平面 A1ACC1；(2)若 AB＝ 1，且 AC ·AD＝ 1，求二面角B-A1D -B1的余弦值．图 Z6- 12专题六 立体几何第 1课时1．D 分析： 由三视图，得在正方体 1 1 1 1 中，截去四周体A-A 1 1 1，如图ABCD-A B C DB DD164 ，图 D164设正方体棱长为 a ，则 V A- A 1B 1D 1 1 1 3 1 3＝ × a ＝ a .3 2 631 35 31则节余几何体体积为 a－ 6a ＝ 6a .因此截去部分体积与节余部分体积的比值为 5.应选D.2． B 分析： 几何体为如图 D165 所示的正方体中的三棱锥 E- BB 1C(E 为 AA 1 的中点 )，它的体积为1× 1× 4× 4× 4＝323 23 .应选 B.图 D165图 D1663． B分析： 由三视图知对应的几何体为如图D166 所示的正方体中的三棱锥P-ABC ，此中 PC ⊥平面 PAB ，PA ＝AB ， PC ＝ PB ＝ 2，A 到 PB 的距离为 2，故该几何体的体积为 1× 13 2 4×2× 2× 2＝ .应选 B.3 4．D分析： 如图 D167 ，在正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1 中复原出三视图的直观图，其是一个三个极点在正方体的右边面、一个极点在左边面的三棱锥，即 D 1-BCB 1，其四个面的面积分别为 2,22， 2 2， 2 3.应选 D.图 D1675．D 分析：由三视图可知该几何体是一个由棱长为 2 的正方体截去两个三棱锥 A-A 1PQ和 D-PC 1D 1 后节余的部分，如图D168 ，此中 Q 是棱 A 11 的中点， P 是 A 11 的中点，因此B D该几何体的体积为V ＝ 8－1× 1× 1× 1×2－ 1×1× 1× 2×2＝ 7.应选 3 2 3 2D. 图 D1686．B分析： 三棱锥 A-BCD 的三条侧棱两两相互垂直，因此把它扩展为长方体，它也外接于球，长方体的对角线长为其外接球的直径，因此长方体的对角线长是 12＋ 22＋ 32＝14，它的外接球半径是14，外接球的表面积是 4π× 14 2＝ 14π故.选 B.2 27．A 分析： 如图 D169 ，作出球的一个截面，则 MC ＝ 8－ 6＝ 2(cm)，BM ＝ 1A B ＝ 1× 822 ＝ 4(cm) ．设球的半径为 R cm ，则 R 2＝OM 2＋ MB 2＝ (R － 2)2＋42，∴R ＝ 5.∴V 球＝43π× 53＝5003 π(cm 3)．图 D16938.2 分析： 由已知的三视图，得该几何体上部是一个以俯视图为底面的四棱柱，其高1 3为 1，故该四棱柱的体积 V ＝ Sh ＝ 2× (1＋2)× 1× 1＝2.9．A 分析： 设△ABC 外接圆半径为 r ，由 AB ＝ 12 3，AB ＝BC ＝ 12，得 A ＝B ＝ 30°，12 3 ＝24.解得 r ＝ 12.则 O 到平面 ABC 的距离 d ＝ R 2－ r 2＝ 132－ 122C ＝ 120 °.因此 2r ＝sin 120° 1× 36 3× 5＝ 60 3.应选 A. △1× 12× 12× sin 120 ＝°36 3，因此 V＝5.又 S ABC ＝ 2O-ABC ＝310．C 分析： 依据球的截面圆性质、正三角形的性质与勾股定理，知经过点 E 的球 O的截面与 OE 垂直时截面圆的半径最小，相应的截面圆的面积有最小值，由此算出截面圆半 径的最小值，进而可得截面面积的最小值．设正三角形ABC 的中心为O 1，连结 O 1A ，连结O 1O ，O 1C ，OC ，∵O 1 是正三角形 ABC 的中心， A ，B ，C 三点都在球面上， ∴O 1O ⊥平面 ABC. 联合 O 1C? 平面 ABC ，可得 O 1O ⊥O 1C.∵球的半径 R ＝ 2，球心 O 到平面 ABC 的距离为 1，∴O 1O ＝1.∴Rt △O 1OC 中，O 1C ＝ R 2－ O 1O 2＝ 3.又∵E 为 AB 的中点， △ABC 是等边三角形． ∴32 27O 1E ＝ AO 1sin 30 ＝°2 .∴OE ＝OO 1＋ O 1E ＝ 2 .过 E 作球 O 的截面，当截面与 OE 垂直时，2 2 329 截面圆的半径最小，此时截面圆的半径r ＝ R －OE ＝ 2.可得截面面积为 S ＝ πr ＝ 4π故.选 C.2 3 2分析： 方法一，由条件知 A-BCD 是正四周体，△ BCD 是正三角形， A ，B ，11. 3 R C ，D 为球上四点，将正三棱锥A-BCD 增补成一个正方体AGBH -FDEC ，如图 D170. 则正三棱锥 A-BCD 和正方体 AGBH -FDEC 有共同的外接球， △BCD 的边长就是正方风光的对角线，设正方体 AGBH -FDEC 的棱长为 a ，则正方体外接球半径 R 知足： a 2＋ a 2＋ a 2 ＝(2R)2，解得2422 228211823 ＝ 2 3a ＝ R .因此 BC ＝ a＋ a ＝R .因此△BCD 的面积 S ＝BC ×BD sin 60 ＝°× R ×2 333223R 2.图 D170图 D171方法二，由条件 A-BCD 是正四周体， △ BCD 是正三角形， A ， B ， C ， D 为球上四点， 球心 O 在正四周体中心，如图 D171.设 BC ＝ a ，CD 的中点为 E ， O 1 为过点 B ，C ， D 截面圆的圆心，2 23 3 则截面圆半径 r ＝O 1B ＝ 3BE ＝ 3×2 a ＝ 3 a.2 3 2 6正四周体 A-BCD 的高 AO 1＝ a － 3 a＝ 3 a.∴ 截面 BCD 与球心的距离d ＝ OO 1＝ 63 a －R.32 2622 6在 Rt △BOO 1 中， 3 a＝ R － 3 a －R，解得 a ＝ 3 R.∴△ BCD 的面积为11 2 6 2 3 2 32S ＝BC ×BCsin 60 ＝° ×3 R× 2 ＝ 3 R .2 212． 8π 分析： ∵三棱柱 ABC -A 1B 1C 1 的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为3， AC ＝ 1，1 2 22AB ＝ 2，∠BAC ＝ 60°，∴2×1× 2× sin 60°× AA 1＝ 3.∴AA 1＝ 2.∵BC ＝ AB ＋ AC －2AB ·ACcos60°＝ 4＋ 1－ 2＝3，∴BC ＝ 3.设△ABC 外接圆的半径为BC ＝ 2R.∴R ＝ 1.故外接球的 R ，则sin 60 °半径为12＋ 12＝ 2，外接球的表面积等于 4π× ( 2)2＝8π.第2课时1． C 分析： 延伸 CA 到 D ，使得 AD ＝ AC ，则 ADA 1C 1 为平行四边形，∠ DA 1B 就是异面直线 BA 1 与 AC 1 所成的角．又△ A 1DB 为等边三角形．∴∠ DA 1B ＝ 60°.2． B 分析： 由题意知， BD ⊥平面 ADC ，故 BD ⊥AC ，①正确； AD 为等腰直角三角形斜边 BC 上的高， 平面 ABD ⊥平面 ACD ，因此 AB ＝ AC ＝ BC ，△BAC 是等边三角形， ②正确；易知 DA ＝ DB ＝DC ，又由②知③正确；由①知④错．3． D 分析： 直接求三棱锥的体积很困难，由于不知三棱锥的形状，也没有数据，将该三棱锥放进长方体模型，如图D172，三棱锥 A-CB 1 1 切合题意，设AA 1＝ x ， A 1 D 1＝ y ，Dx 2＋ y 2＝ 2，1 1＝ z ，有2＋ z2＝m 2， 2 22 222＝4，z ＝ 22x A By 2＋ z 2 ＝n 2 ，11 2 22三棱锥体积 V ＝ 3V 长方体 ＝ 3xyz ＝ 3 xy ≤ 3 .因此三棱锥体积的最大值为 3 .应选 D.图 D1724．B 分析： 取 AD 的中点为 E ，连结 PE ，则由平面 PAD 垂直于平面 ABCD 可得， PE ⊥平面 ABCD ，于是以点 E 为原点，以 ED ，EP 分别为 x ，z 轴成立空间直角坐标系，此中AC 与 BD 订交于 F 点．于是可得E(0,0,0) ， D( 3， 0,0)， A(－ 3， 0,0)， P(0,0,1) ， C( 3，2,0)，B(－ 3，2,0)，F(0,1,0) ，设球 O 的球心的坐标为 →O(0，1，z 0)，则 OP ＝ (0，－ 1,1－ z 0 )， → → → － 1 2 2 ＝ 2 OB ＝(－ 3，1，－ z 0)，由 |OP|＝ |OB|，得 ＋ 1－ z 0 3＋ 1＋ z 0.解之，得 z 0＝－ 1.因此球心→ 5，由球的表面积公式知， S ＝ 4πr 2 ＝4π× ( 5) 2O(0,1，－ 1)．于是其半径为 |OP|＝ ＝ 20π故.选 B.5． ②③6． (1) 证明： 在△BAD 中，∵AB ＝ 2AD ＝ 2，∠BAD ＝60°， ∴由余弦定理，可得 BD ＝ 3. ∵AB 2＝AD 2＋ BD 2，∴AD ⊥BD .又在直平行六面体中，GD ⊥平面 ABCD ，BD ? 平面 ABCD ，∴GD ⊥BD .又 AD ∩ GD ＝ D ，∴BD ⊥平面 ADG.(2)解： 以 D 为坐标原点，成立如图 D173 所示的空间直角坐标系 D-xyz.图 D173∵∠ BAE ＝∠ GAD ＝ 45°， AB ＝ 2AD ＝ 2，∴ A(1,0,0) ，B(0， 3， 0)， G(0,0,1)， E(0， 3，2)， C(－ 1， 3，0)．→ →． ∴ AE ＝ (－ 1， 3， 2)，AG ＝ (－ 1,0,1) 设平面 AEFG 的法向量为 n ＝ (x ， y ， z)，→n ·AE ＝－ x ＋ 3y ＋ 2z ＝ 0， 故有→n ·AG ＝－ x ＋ z ＝ 0.令 x ＝ 1，得 y ＝－ 33，z ＝ 1.n ＝ (1，－ 33， 1)．而平面 ABCD 的一个法向量为→，DG＝ (0,0,1)→→21 DG·n∴ cos 〈DG＝7 .， n〉＝→|DG | |·n|故平面 AEFG 与平面 ABCD 所成锐二面角的余弦值为7．解： (1) 证明：连结 BD，如图 D174.由于 ABCD 是菱形，因此AC⊥BD.由于 FD ⊥平面 ABCD ， AC? 平面 ABCD ，因此 AC ⊥FD .由于 BD ∩FD ＝ D，因此 AC⊥平面 BDF .由于EB ⊥平面ABCD ，FD ⊥平面ABCD ，因此 EB ∥FD .因此 B， D， F，E 四点共面．由于 EF ? 平面 BDFE ，因此 EF⊥AC. 21 7 .图 D174 图 D175(2)如图 D175，以 D 为坐标原点，分别以→→的方向为 y 轴， z 轴的正方向，成立DC，DF空间直角坐标系D-xyz.能够求得3 1 3 1 3Aa，－2a， 0 ， B 2 a，2a， 0 ， F 0， 0，2 a ， C(0 ， a,0) ，23 1E 2 a，2a， 3a .→→＝3 1 3因此 AB＝ (0， a,0)， AF －2 a，2a，2 a . 设平面 ABF 的法向量为n＝( x， y， z)，→＝0，ay＝ 0，n·AB则→即－3 1 3 ＝0，n·AF 2 ax＋2ay＋2 az＝ 0.取 x＝ 1，则平面 ABF 的一个法向量为n＝(1,0,1)．→ 3 1，由于 CE＝2 a，－2a，3a→| →| 3 6n·CE因此 |cos〈n，CE〉|＝|n|CE→＝8 .| |因此直线 CE 与平面 ABF 所成角的正弦值为38 6 .8． (1) 证明：如图 D176，连结 ED，∵平面 AB1C∩平面 A1BD ＝ED， B1C∥平面A1BD ，∴B1C∥ED.∵E 为 AB1的中点，∴ D 为 AC 的中点．∵AB＝ BC，∴BD ⊥AC.①方法一，由 A1A⊥平面 ABC， BD? 平面 ABC，得 A1A⊥BD ，②由①②及 A1A， AC 是平面 A1ACC1内的两条订交直线，∴BD ⊥平面 A1ACC1.方法二，∵ A1A⊥平面 ABC， A1A? 平面 A1 ACC1，∴平面 A1ACC1⊥平面 ABC.又平面 A1ACC 1∩平面 ABC＝ AC，∴BD ⊥平面 A1ACC1.图 D176 图 D177(2)由 AB＝ 1，得 BC ＝BB1＝ 1.1 2由 (1)知 DA＝2AC，由 AC·DA＝1，得 AC ＝ 2.∵AC2＝ 2＝ AB2＋ BC2，∴ AB⊥ BC.以 B 为原点，成立空间直角坐标系B-xyz 如图 D177，1 1则 A1(1,0,1) ，B1(0,0,1) ， D 2，2， 0 .→→ 1 1.因此 B1A1＝ (1,0,0) ，B1D＝，，－12 2设 m＝(x，y，z)是平面A1B1D的一个法向量，→→m·B1A1＝x＝0，m⊥B1A1，则得→ 1 1→y－ z＝ 0.m⊥B1D，m·B1D＝x＋2 2令 z＝ 1，得m＝ (0,2,1) ．设 n＝(a，b，c)为平面A1BD的一个法向量，→，→ a bn⊥BD n·BD＝＋＝0，则得 2 2→→n⊥BA1，n·BA1＝a＋c＝0.令 c＝ 1，得n＝ (－1,1,1) ．依题意知二面角B-A1D -B1为锐二面角，设其大小为θ，则 cos θ＝ |cos〈n，m〉 |＝|n·m|＝3＝155. |n| ·|m| 5× 315 即二面角 B-A1 D-B1的余弦值为5 .。

【名师精讲指南篇】【高考真题再现】1.【2013⋅新课标全国】设m 为正整数,(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ,(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b ,若13a =7b ,则m ＝ ( ) A 、5B 、6C 、7D 、82.【2014全国1高考】()()8x y x y -+的展开式中27x y 的系数为________.（用数字填写答案） 3.【2015全国1】()52x x y ++的展开式中,52x y 的系数为（）.A ．10B ．20C ．30D ．604.【2015全国2】4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32, 则a =__________． 【热点深度剖析】二项式定理,定积分属于理科内容,从近几年的高考试题来看,二项式定理考查的重点是二项式定理的通项公式、二项式系数及项的系数,以考查基本概念、基础知识为主,如系数和、求某项的系数、求常数项、求有理项、求所含参数的值或范围等,注意多项式展开式系数的确定是近几年高考的一个热点；二项式定理基本每年必考,难度不大,属于中档题和容易题,题型为选择题或填空题．定积分重点考查定积分的应用,利用定积分求值,求面积,题型为选择题或填空题． 2013年考查了二项式定理系数最大项,属于基础题, 2014年高考中考查了二项式定理,求二项式展开项的某项系数,展开项的某项系,2015年考察了多项式系数的确定,定积分近几年一直没有考查.预测2016年高考二项式定理仍以指定项系数的确定为主,也可能考查求参数的值；定积分考查的可能性增大,可能是利用定积分求值,或求曲边多边形面积,也可能与几何概型结合出题．【重点知识整合】 1.定积分的几何意义①当函数f(x)在区间[a,b ]上恒为正时,定积分⎠⎛ab f(x )dx 的几何意义是由直线x ＝a ,x ＝b (a ≠b ),y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积(图1中阴影部分)．②一般情况下,定积分⎠⎛ab f (x )dx 的几何意义是介于x 轴、曲线f(x)以及直线x ＝a 、x ＝b 之间的曲边梯形面积的代数和(图2中阴影所示),其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值,在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数． (3)定积分的基本性质①⎠⎛a b kf (x )dx ＝ k ⎠⎛ab f (x )dx (k 为常数)②⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]dx ＝⎠⎛a b f 1(x )dx ±⎠⎛ab f 2(x)dx③⎠⎛ab f (x )dx ＝⎠⎛ac f (x )dx ＋⎠⎛cb f (x )dx (其中a <c <b )．2．微积分基本定理如果f (x )是区间[a ,b ]上的连续函数,并且F ′(x )＝f (x ),那么⎠⎛ab f (x )dx ＝F (b )－F (a ),这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿—莱布尼兹公式．为了方便,常把F (b )－F (a )记成F (x )|b a ,即⎠⎛abf (x )dx ＝F (x )|b a ＝F (b )－F (a )． 3.二项式定理的展开式011()n n n r n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b --+=+++++,其中组合数r n C 叫做第r +1项的二项式系数；展开式共有n +1项.注意：（1）项的系数与二项式系数是不同的两个概念,但当二项式的两个项的系数都为1时,系数就是二项式系数.如在()nax b +的展开式中,第ｒ＋１项的二项式系数为rn C ,第ｒ＋１项的系数为r n r r n C a b -；而1()n x x+的展开式中的系数就是二项式系数；（2）当n 的数值不大时往往借助杨辉三角直接写出各项的二项式系数；（3）审题时要注意区分所求的是项还是第几项？求的是系数还是二项式系数？（4）特例：1(1)1n r rn n n x C x C x x +=+++++4.二项式定理的通项二项展开式中第r +l 项1(0,1,2,r n r rr n T C a b r -+==,)n 称为二项展开式的通项,二项展开式通项的主要用途是求指定的项.主要用于求常数项、有理项和系数最大的项：求常数项、有理项和系数最大的项时,要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性.注意：()1通项公式是表示第1r +项,而不是第r 项.()2展开式中第1r +项的二项式系数r n C 与第1r +项的系数不同.()3通项公式中含有1,,,,r a b n r T +五个元素,只要知道其中的四个元素,就可以求出第五个元素.在有关二项式定理的问题中,常常遇到已知这五个元素中的若干个,求另外几个元素的问题,这类问题一般是利用通项公式,把问题归纳为解方程（或方程组）.这里必须注意n 是正整数,r 是非负整数且r ≤n . 5.项的系数和二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（m n m n nC C -=）． (2)增减性与最大值： 当12n r +≤时,二项式系数C r n 的值逐渐增大,当12n r +≥时,C r n 的值逐渐减小,且在中间取得最大值.当n 为偶数时,中间一项（第2n＋1项）的二项式系数2nn C 取得最大值.当n 为奇数时,中间两项（第21+n 和21+n ＋1项）的二项式系数1122n n n n C C -+=相等并同时取最大值.(3)各二项式系数和：∵1(1)1n r rn n n x C x C x x +=+++++,令1x =,则0122n rnn n n n nC C C C C =++++++ , 0213n n n n C C C C ++⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅12n -=(4)用二项式定理进行近似运算,关键是恰当地舍取不影响精度的项,一般地：当α很小时,有()()211112nn n n ααα±≈±+-.【应试技巧点拨】1.二项定理问题的处理方法和技巧:⑴运用二项式定理一定要牢记通项1r n r rr n T C a b -+=,注意()n a b +与()nb a +虽然相同,但具体到它们展开式的某一项时是不同的,一定要注意顺序问题,另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念,前者只指r n C ,而后者是字母外的部分．前者只与n 和r 有关,恒为正,后者还与a ,b 有关,可正可负．⑵ 对于二项式系数问题,应注意以下几点：①求二项式所有项的系数和,可采用“特殊值取代法”,通常令字母变量的值为1；②关于组合恒等式的证明,常采用“构造法”——构造函数或构造同一问题的两种算法； ③证明不等式时,应注意运用放缩法.⑶ 求二项展开式中指定的项,通常是先根据已知条件求r ,再求1r T +,有时还需先求n ,再求r ,才能求出1r T +.⑷ 有些三项展开式问题可以变形为二项式问题加以解决；有时也可以通过组合解决,但要注意分类清楚,不重不漏.⑸ 对于二项式系数问题,首先要熟记二项式系数的性质,其次要掌握赋值法,赋值法是解决二项式系数问题的一个重要手段.⑹ 近似计算要首先观察精确度,然后选取展开式中若干项.⑺ 用二项式定理证明整除问题,一般将被除式变为有关除式的二项式的形式再展开,常采用“配凑法”“消去法”配合整除的有关知识来解决.多项式乘法的进位规则:在求系数过程中,尽量先化简,降底数的运算级别,尽量化成加减运算,在运算过程可以适当注意令值法的运用,例如求常数项,可令0x =.在二项式的展开式中,要注意项的系数和二项式系数的区别.2. 排列组合在二项展开式中的应用：()na b +展开式可以由次数、项数和系数来确定． (1)次数的确定：从n 个相同的a b +中各取一个(a 或b )乘起来,可以构成展开式中的一项,展开式中项的形式是p q ma b ,其中,,p q N p q n ∈+=.(2)项数的确定：满足条件,,p q N p q n ∈+=的(),p q 共1n +组．即将()na b +展开共2n项,合并同类项后共1n +项．(3)系数的确定：展开式中含p q a b (p q n +=)项的系数为p n C (即p 个a ,q 个b 的排列数)因此()na b +展开式中的通项是：1r n r rr n T C a b -+= (0,1,2,3,,r n =)()()011*nn n r n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --+=+++++∈这种方法比数学归纳法推导二项式定理更具一般性和创造性,不仅可二项展开,也可三项展开,四项展开等．3. 求几个二项式积的展开式中某项的系数或特定项时,一般要根据这几个二项式的结构特征进行分类搭配,分类时一般以一个二项式逐项分类,分析其他二项式应满足的条件,然后再求解结果．4. 求展开式系数最大项：如求()nax b + (,a b R ∈)的展开式系数最大的项,一般是采用待定系数法,设展开式各项系数分别为1231,,,,n A A A A +,且第k 项系数最大,应用11k k k k A A A A -+≥⎧⎨≥⎩从而解出k 来,即得． 5.二项式应用问题(1)利用二项式定理解决整除问题时,关键是进行合理地变形构造二项式,应注意：要证明一个式子能被另一个式子整除,只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可．(2)求余数问题时,应明确被除式()f x 与除式()g x (()0g x ≠),商式()q x 与余式的关系及余式的范围．(3)展开式中常数项、有理项的特征是通项中未知数的指数分别为零和整数．解决这类问题时,先要合并通项中同一字母的指数,再根据上述特征进行分析．(4)有关求二项展开式中的项、系数、参数值或取值范围等,一般要利用通项公式,运用方程思想进行求值,通过解不等式(组)求取值范围．6.二项式定理是一个恒等式,使用时有两种思路：一是利用恒等定理(两个多项式恒等,则对应项系数分别相等)；二是赋值．二项式定理结合“恒等”与“赋值”两条思路可以使很多求二项展开式的系数的问题迎刃而解．赋值法是处理组合数问题、系数问题的最有效的经典方法,一般对任意A x ∈,某式子恒成立,则对A 中的特殊值,该式子一定成立,特殊值x 如何选取视具体情况决定,灵活性较强,一般取1,1,0-=x 居多.若2012()...,n n n ax b a a x a x a x +=++++则设()()=+n f x ax b .有：①0(0);a f = ②012...(1);n a a a a f ++++=③0123...(1)(1);n n a a a a a f -+-++-=- ④0246(1)(1)...;2f f a a a a +-++++=⑤1357(1)(1) (2)f f a a a a --++++=6. 定积分的应用及技巧：(1)对被积函数,要先化简,再求定积分．(2)求被积函数是分段函数的定积分,依据定积分的性质,分段求定积分再求和．(3)对含有绝对值符号的被积函数,要去掉绝对值符号才能求定积分．(4)应用定积分求曲边梯形的面积,解题的关键是利用两条曲线的交点确定积分区间以及结合图形确定被积函数．求解两条曲线围成的封闭图形的面积一般是用积分区间内上方曲线减去下方曲线对应的方程、或者直接作差之后求积分的绝对值,否则就会求出负值．[易错提示] 在使用定积分求两曲线围成的图形的面积时,要注意根据曲线的交点判断这个面积是怎样的定积分,既不要弄错积分的上下限,也不要弄错被积函数．用微积分基本定理求定积分时,要掌握积分与导数的互逆关系及求导公式的逆向形式． 7.求导运算与求原函数运算互为逆运算,求定积分的关键是找到被积函数的原函数,为避免出错,在求出原函数后可利用求导与积分互为逆运算的关系进行验证.8.定积分的应用主要有两个问题：一是能利用定积分求曲边梯形的面积；二是能利用定积分求变速直线运动的路程及变力做功问题,其中,应特别注意求定积分的运算与利用定积分计算曲边梯形面积的区别. 【考场经验分享】 一．二项式定理：1．区别“项的系数”与“二项式系数”,审题时要仔细．项的系数与,a b 有关,可正可负,二项式系数只与n 有关,恒为正．2．切实理解“常数项”“有理项”(字母指数为整数)“系数最大的项”等概念． 3．求展开式中的指定项,要把该项完整写出,不能仅仅说明是第几项． 4．赋值法求展开式中的系数和或部分系数和,常赋的值为0,±1． 5．在化简求值时,注意二项式定理的逆用．要用整体思想看待a 、b . 二．定积分1.求定积分的常用技巧:(1)求被积函数,要先化简,再求积分．(2)求被积函数为分段函数的定积分,依据定积分“对区间的可加性”,分段积分再求和． (3)对于含有绝对值符号的被积函数,要先去掉绝对值号才能积分．【名题精选练兵篇】1．【2016届湖南省高三六校联考】若231(2)(1)x x x++-的展开式中的常数项为a ,则20(31)ax dx -⎰的值为（ ）A ．6B ．20C ．8D ．24 2．【2016届湖北省襄阳市高三上学期期末】由曲线y=x 3与直线y=4x 所围成的平面图形的面积为（ ）A ．4B ．8C ．12D ．163．【2016届江西师大附中高三上学期期末】若()241cos 2x a dx xdx π-=⎰⎰,则a 等于（ ）A ．1-B ．1C ．2D ．44．【2016届黑龙江省大庆一中高三下学期开学考试】由曲线y =,直线2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为（ ） A ．103 B ．163C ．4D ．6 5．【2016届河北省邯郸一中高三下第一次模拟】6(2)x y -的展开式中,42x y 的系数为（ ） A ．15 B ．-15 C ．60 D ．-606.．【2016届河北省衡水中学高三下学期一模】已知等式()()()()432432123412341111x a x a x a x a x b x b x b x b ++++=++++++++,定义映射()()12341234:,,,,,,f a a a a b b b b →,则()4,3,2,1f =（ ）A ．()1,2,3,4B ．()0,3,4,0C ． ()0,3,4,1--D ．()1,0,2,2--7．【2016届宁夏六盘山高中高三第二次模拟】()522121x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是（ ）A ．3B ．-2C ．2D ．-38．【2016届福建省漳州市高三下学期第二次模拟考试】已知101099221010....)12(x a x a x a x a a x +++++=-,求10932....a a a a ++++的值为（ ）（A ）20- （B ）0 （C ）1 （D ）20 9．【2016届河南省八市重点高中高三4月质检】已知53878710(3)(1)(1)(1)x x a x a x a x a +=+++++++,则7531753a a a a +++=（ ）A ．-16B ．-8C ．8D ．1610．【2016届江西师大附中、鹰潭一中高三下第一次联考】5)21(-+xx 展开式中常数项为（ ）A ．252B ．－252C ．160D ．－16011．【2016届甘肃省河西五市部分普通高中高三第一次联考】设k 是一个正整数,1+)k x k（的展开式中第四项的系数为116,记函数2y x =与y kx =的图象所围成的阴影部分为S ,任取[0,4]x ∈,[0,16]y ∈,则点(,)x y 恰好落在阴影区域S 内的概率是 （ ）A ．23 B ．13 C ．25 D ． 1612. 【2015届河南省濮阳市高三上学期期末】如图,在正方形C OAB 内任取一点,取到函数y =的图象与x 轴正半轴之间（阴影部分）的点的概率等于（ ）A ．12 B ．23 C ．34 D ．4513. 【2015届山东省德州市高三上学期2月期末】若9290129(2)(1)(1)(1)x m a a x a x a x ++=+++++⋅⋅⋅++且229028139()()3a a a a a a ++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+=,则实数m 的值是_________．14. 5)11)(2(22-+xx的展开式的常数项是（ ）． A ．2 B ．3 C ．-2 D ．-315. 【宁夏银川九中高三年级期中试卷】函数2()2(,)f x x x m x m R =++∈的最小值为1-,则21()f x dx ⎰等于（ ） A ．2B ．163C ．6D ．716. 【广东省佛山市第一中学2015届高三上学期期中】过点(1,1)A 作曲线2(0)y x x =≥的切线,设该切线与曲线及x 轴所围图形的面积为,S 则S = .【名师原创测试篇】1．61x⎛⎝的展开式中的常数项为（ ）A.135-B.130-C.130D.1352. 式子()7511x y y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中,2x y 的系数为 .3. 知20(sin cos )a x x dx π=+⎰,在64(1)(1y)ax ++的展开式中,2xy 项的系数为（ ）A ．45B ．72C ．60D ．1204.设函数61(2),0,()0.x x x f x x ⎧-<⎪=⎨⎪≥⎩则0x >时,[()]f f x 表达式中的展开式中的常数项为 .（用数字作答）5.在46)1()1(y x ++的展开式中,记nm y x 项的系数为f(m ,n ),则f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3) = .6. 已知2201sin 22x a dx π⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰,则912ax ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中,x 的一次项系数为（ ） A ．6316- B ．6316 C ．638- D ．638。

第二章 函数、导数及其应用第1讲 函数与映射的概念1．(2015年重庆)函数f (x )＝log 2(x 2＋2x －3)的定义域是( ) A ．[－3,1] B ．(－3,1)C ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)2．(2015年湖北)函数f (x )＝4－|x |＋lg x 2－5x ＋6x －3的定义域为( )A ．(2, 3)B ．(2, 4]C ．(2,3)∪(3,4]D ．(－1,3)∪(3,6]3．给定集合P ＝{x |0≤x ≤2}，Q ＝{y |0≤y ≤4}，下列从P 到Q 的对应关系f 中，不是映射的是( )A ．f ：x →y ＝2xB ．f ：x →y ＝x 2C ．f ：x →y ＝52xD ．f ：x →y ＝2x4．(2012年大纲)函数y ＝x ＋1(x ≥－1)的反函数为( )A ．y ＝x 2－1(x ≥0) B．y ＝x 2－1(x ≥1)C ．y ＝x 2＋1(x ≥0) D．y ＝x 2＋1(x ≥1)5．若函数y ＝f (x )的定义域是[1,2018]，则函数g (x )＝f x ＋1x －1的定义域是( )A ．[0,2017]B ．[0,1)∪(1,2017]C ．(1,2018]D ．[－1,1)∪(1,2017]6．设f ：x →x 2是集合M 到集合N 的映射．若N ＝{1,2}，则M 不可能是( ) A ．{－1} B ．{－2，2}C ．{1，2，2}D ．{－2，－1,1，2}7．已知映射f ：P (m ，n )→P ′(m ，n )(m ≥0，n ≥0)．设点A (1,3)，B (2,2)，点M 是线段AB 上一动点，f ：M →M ′.当点M 在线段AB 上从点A 开始运动到点B 结束时，点M 的对应点M ′所经过的路线长度为( )A.π12B.π6C. π4D. π38．已知函数f (x )＝x 2－2x ，g (x )＝ax ＋2(a ＞0)．(1)若∀x 1∈[－1,2]，∃x 2∈[－1,2]，使得f (x 1)＝g (x 2)，则实数a 的取值范围是________；(2)若∀x 1∈[－1,2]，∃x 2∈[－1,2]，使得g (x 1)＝f (x 2)，则实数a 的取值范围是________．9．(1)求函数f (x )＝lg x 2－2x9－x2的定义域； (2)已知函数f (2x)的定义域是[－1,1]，求f (log 2x )的定义域．10．规定[t]为不超过t的最大整数，例如[12.6]＝12，[－3.5]＝－4，对任意实数x，令f1(x)＝[4x]，g(x)＝4x－[4x]，进一步令f2(x)＝f1[g(x)]．(1)若x＝716，分别求f1(x)和f2(x)；(2)求x的取值范围，使它同时满足f1(x)＝1，f2(x)＝3.第2讲 函数的表示法1．若f (x ＋2)＝2x ＋3，则f (x )＝( ) A ．2x ＋1 B ．2x －1 C ．2x －3 D ．2x ＋72．已知f (x )＝x ＋1x －1(x ≠±1)，则( )A ．f (x )²f (－x )＝1B ．f (－x )＋f (x )＝0C ．f (x )²f (－x )＝－1D ．f (－x )＋f (x )＝1 3．(2017年安徽黄山质检)已知f (x )是一次函数，且f [f (x )]＝x ＋2，则f (x )＝( ) A ．x ＋1 B ．2x －1C ．－x ＋1D ．x ＋1或－x －14．下列函数中，不满足f (2x )＝2f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋1 D ．f (x )＝－x5．如图X2­2­1(1)，在直角梯形ABCD 中，动点P 从点B 出发，由B →C →D →A 沿边运动，设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为f (x )．若函数y ＝f (x )的图象如图X2­2­1(2)，则△ABC 的面积为( )(1) (2)图X2­2­1A ．10B ．32C ．18D ．166．若函数f (x )，g (x )分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足f (x )－g (x )＝e x，则有( )A ．f (2)<f (3)<g (0)B ．g (0)<f (3)<f (2)C ．f (2)<g (0)<f (3)D ．g (0)<f (2)<f (3)7．已知函数f (x )＝22x ＋1＋sin x ，则f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＝________.8．(2016年浙江)设函数f (x )＝x 3＋3x 2＋1.已知a ≠0，且f (x )－f (a )＝(x －b )(x －a )2，x ∈R ，则实数a ＝________，b ＝________.9．根据条件求下列各函数的解析式：(1)已知f (x )是二次函数，若f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )的解析式；(2)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝1－x 21＋x 2，求f (x )的解析式； (3)已知f (x )满足2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，求f (x )的解析式．10．定义：如果函数y ＝f (x )在定义域内给定区间[a ，b ]上存在x 0(a <x 0<b )，满足f (x 0)＝f b －f a b －a，则称函数y ＝f (x )是[a ，b ]上的“平均值函数”，x 0是它的一个“均值点”．如y ＝x 4是[－1,1]上的平均值函数，0就是它的均值点．(1)判断函数f (x )＝－x 2＋4x 在区间[0,9]上是否为平均值函数．若是，求出它的均值点；若不是，请说明理由；(2)若函数f (x )＝－x 2＋mx ＋1是区间[－1,1]上的平均值函数，试确定实数m 的取值范围．第3讲 分段函数1．(2014年江西)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ²2x，x ≥0，2－x，x <0(a ∈R )，若f [f (－1)]＝1，则a ＝( )A.14B.12C ．1D ．2 2．已知函数f (x )的定义域为R ，∀x ∈R ，f (x －90)＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，－x ，x ≤0，则f (10)－f (－100)的值为( )A ．－8B ．－16C ．55D ．1013．函数y ＝lg|x |x的图象大致是( )A B C D4．(2015年山东)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －b ，x <1.2x，x ≥1，若f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝4，则b ＝( )A ．1 B.78 C.34 D.125．(2016年河北五校联盟质量)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1x <2 ，log 3 x 2－1 x ≥2 ，则不等式f (x )>2的解集为( )A ．(－2,4)B ．(－4，－2)∪(－1,2)C ．(1,2)∪(10，＋∞) D．(10，＋∞)6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －3 x ＋5，x ≤1，2ax，x ＞1是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a 的取值范围是( )A ．(0,3)B ．(0,3]C ．(0,2)D ．(0,2]7．(2014年浙江)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋2，x ≤0，－x 2，x >0，若f [f (a )]＝2，则a ＝________.8．(2017年广东调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x log 2x ，x >0，a x ＋log 2 －x ，x <0(a >0，且a ≠1)．若f (2)＋f (－2)＝214，则a ＝________.9．(2015年浙江)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤1，x ＋6x －6，x >1，则f [f (－2)]＝__________，f (x )的最小值是________．10．(2017年云南昆明三中统测)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x <1，x －1 2，x ≥1，若f (a )＝1，则实数a 的值为( )A ．－1或0B ．2或－1C ．0或2D ．211．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2x －1 ，x <0，log a x a >0，且a ≠1 ，x >0的图象上关于y 轴对称的点至少有3对，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，55B.⎝ ⎛⎭⎪⎫55，1C.⎝⎛⎭⎪⎫33，1 D.⎝⎛⎭⎪⎫0，3312．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ＞0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x ＜0是奇函数，(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．第4讲 函数的奇偶性与周期性1．(2015年福建)下列函数为奇函数的是( )A ．y ＝xB ．y ＝e xC ．y ＝cos xD ．y ＝e x －e －x2．已知函数f (x )的定义域为(3－2a ，a ＋1)，且f (x ＋1)为偶函数，则实数a 的值可以是( )A.23B ．2C ．4D ．6 3．对于函数f (x )，若存在常数a ≠0，使得x 取定义域内的每一个值，都有f (x )＝f (2a －x )，则称f (x )为准偶函数．下列函数中是准偶函数的是( )A ．f (x )＝xB ．f (x )＝x 2C ．f (x )＝tan xD ．f (x )＝cos(x ＋1) 4．(2017年湖南衡阳八中二模)已知f (x )在R 上满足f (x ＋5)＝－f (x )，当x ∈(0,5)时，f (x )＝x 2－x ，则f (2016)＝( )A ．－12B ．－16C ．－20D ．05．(2016年四川)已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，f (x )＝4x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)＝________. 6．(2016年江苏)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x <0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x <1， 其中a ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92 ，则f (5a )的值是________．7．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝______________.8．设f (x )是定义在R 上以2为周期的偶函数，已知x ∈(0,1)，f (x )＝log 12(1－x )，则函数f (x )在(1,2)上的解析式是____________．9．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，f (x )＝x 2＋2x .现已画出函数f (x )在y 轴左侧的图象，如图X2­4­1，请根据图象：图X2­4­1(1)写出函数f (x )(x ∈R )的单调递增区间； (2)写出函数f (x )(x ∈R )的解析式；(3)若函数g (x )＝f (x )－2ax ＋2(x ∈[1,2])，求函数g (x )的最小值．10．已知函数f(x)在R上满足f(2－x)＝f(2＋x)，f(7－x)＝f(7＋x)，且在闭区间[0,7]上，只有f(1)＝f(3)＝0.(1)试判断函数y＝f(x)的奇偶性；(2)试求方程f(x)＝0在闭区间[－2011,2011]上的根的个数，并证明你的结论．第5讲 函数的单调性与最值1．(2014年北京)下列函数中，定义域是R ，且为增函数的是( )A ．y ＝e －xB ．y ＝x 3C ．y ＝ln xD ．y ＝|x |2．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式f x －f －xx<0的解集为( )A ．(－1,0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1,0)∪(0,1)3．(2015年陕西)设f (x )＝x －sin x ，则f (x )( ) A ．既是奇函数又是减函数 B ．既是奇函数又是增函数 C ．是有零点的减函数 D ．是没有零点的奇函数4．(2013年新课标Ⅱ)若存在正数x 使2x(x －a )<1成立，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，＋∞) B．(－2，＋∞) C ．(0，＋∞) D．(－1，＋∞)5．(2016年天津)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，若实数a 满足f (2|a －1|)>f (－2)，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ 6．(2017年山东)若函数e xf (x )(e ＝2.718 28…，是自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增，则称函数f (x )具有M 性质，下列函数中具有M 性质的是( )A ．f (x )＝2－xB ．f (x )＝x 2C ．f (x )＝3－xD ．f (x )＝cos x7．已知函数f (x )＝x 3＋sin x ，x ∈(－1,1)，如果f (1－m )＋f (1－m 2)<0，那么m 的取值范围是________________________________________________________________________．8．(2015年福建)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x ＞2(a ＞0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．9．(2016年上海)已知a ∈R ，函数f (x )＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫1x＋a . (1)当a ＝5时，解不等式f (x )>0；(2)若关于x 的方程f (x )－log 2[(a －4)x ＋2a －5]＝0的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围；(3)设a >0，若对任意t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围．10．(2014年大纲)函数f (x )＝ax 3＋3x 2＋3x (a ≠0)． (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若函数f (x )在区间(1,2)上是增函数，求a 的取值范围．第6讲 指数式与指数函数1．(2016年河南安阳模拟)已知函数f (x )＝a x，其中a ＞0，且a ≠1，如果以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，那么f (x 1)²f (x 2)等于( )A ．1B ．aC ．2D ．a 22．当x ∈[－2,2]时，a x<2(a >0，且a ≠1)，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1，2) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1 C.⎝⎛⎭⎪⎫22，1∪(1，2) D ．(0,1)∪(1，2)3．(2016年广东佛山调研)已知a ＝20.2，b ＝0.40.2，c ＝0.40.6，则( ) A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．c ＞a ＞b D ．b ＞c ＞a4．已知实数x ，y 满足a x <a y(0<a <1)，则下列关系式恒成立的是( )A ．x 3>y 3B ．sin x >sin yC ．ln(x 2＋1)>ln(y 2＋1)D.1x 2＋1>1y 2＋15．(2015年山东)若函数f (x )＝2x＋12x －a是奇函数，则使f (x )＞3成立的x 的取值范围为( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1，＋∞)6．(2015年湖南)若函数f (x )＝|2x－2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________．7．已知函数f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大a3，则a 的值为________．8．(2014年新课标Ⅰ)设函数f (x )＝113e 11x xx x -⎧<⎪⎨⎪⎩,,,≥,则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．9．已知定义在R 上的函数f (x )＝2x－12|x |.(1)若f (x )＝32，求x 的值；(2)若2tf (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围．10．已知函数f (x )＝2x－12x ＋1.(1)求f (x )的定义域； (2)判断函数的奇偶性； (3)求f (x )的值域；(4)证明：f (x )在定义域上是增函数．第7讲 对数式与对数函数1．已知a ＝213 ，b ＝log 213，c ＝log 1213，则( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．c >b >a2．(2017年湖北孝感一模)设a ＝201612017，b ＝log 20162017，c ＝log 20172016，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >a >cD ．c >b >a3．已知A ＝{x |2≤x ≤π}，定义在A 上的函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的最大值比最小值大1，则底数a 的值为( )A.2πB.π2C ．π－2 D.π2或2π4．(2016年浙江)已知a ，b >0，且a ≠1，b ≠1，若log a b >1，则( ) A ．(a －1)(b －1)<0 B ．(a －1)(a －b )>0 C ．(b －1)(b －a )<0 D ．(b －1)(b －a )>05．(2015年天津)已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜a ＜bC ．a ＜c ＜bD ．c ＜b ＜a 6．(2017年山东临沂一模)已知log a (3a －1)恒为正数，那么实数的取值范围是( )A ．a <13 B.13<a ≤23C ．a >1 D.13<a <23或a >17．(2017年天津)已知奇函数f (x )在R 上是增函数．若a ＝－f ⎝⎛⎭⎪⎫log 215，b ＝f (log 24.1)，c ＝f (20.8)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．b <a <cC ．c <b <aD ．c <a <b8．(2015年上海)方程log 2(9x －1－5)＝log 2(3x －1－2)＋2的解为____________．9．已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)－log 2(1－x )． (1)求f (x )的定义域； (2)判断f (x )的奇偶性；(3)求使得不等式f (x )>0成立的x 的解集．10．已知函数f (x )＝ln kx －1x －1(k >0)．(1)求函数f (x )的定义域；(2)若函数f (x )在区间[10，＋∞)上是增函数，求实数k 的取值范围．第8讲 一次函数、反比例函数及二次函数1．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0,1)D ．(0,1]2．(2016年上海静安区统考)已知函数f (x )＝－x 2＋4x ，x ∈[m,5]的值域是[－5,4]，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,2]C ．[－1,2]D ．[2,5)3．若函数f (x )＝x 2－2ax ＋1的单调递增区间为[2，＋∞)，则实数a 的取值范围是________；若函数f (x )＝x 2－2ax ＋1在[2，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．4．(2014年江苏)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意的x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0，则实数m 的取值范围为________．5．(2014年大纲)若函数f (x )＝cos 2x ＋a sin x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2上是减函数，则a 的取值范围是________．6．设集合A ＝{x |x 2＋2x －3＞0}，集合B ＝{x |x 2－2ax －1≤0，a ＞0}．若A ∩B 中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是________．7．已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3在x ∈[－1,1]上恒小于零，则实数a 的取值范围为________．8．设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为________．9．已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋2＋b (a ≠0)，若f (x )在区间[2,3]上有最大值5，最小值2.(1)求a ，b 的值；(2)若b ＜1，g (x )＝f (x )－mx 在[2,4]上单调，求m 的取值范围．10．定义：已知函数f(x)在[m，n](m＜n)上的最小值为t，若t≤m恒成立，则称函数f(x)在[m，n](m＜n)上具有“DK”性质．(1)判断函数f(x)＝x2－2x＋2在[1,2]上是否具有“DK”性质，说明理由；(2)若f(x)＝x2－ax＋2在[a，a＋1]上具有“DK”性质，求a的取值范围．第9讲 幂函数1．若幂函数f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫3，33，则其定义域为( )A ．{x |x ∈R ，且x >0}B ．{x |x ∈R ，且x <0}C ．{x |x ∈R ，且x ≠0} D．R2．函数f (x )＝x －12的大致图象是( )A B C D3．在同一平面直角坐标系内，函数y ＝x a(a ≠0)和y ＝ax －1a的图象可能是( )A BC D4．若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)²22m m x －－的图象不过原点，则m 的取值范围是( ) A ．－1≤m ≤2 B．m ＝1或m ＝2 C ．m ＝2 D ．m ＝15．(2016年新课标Ⅲ)已知a ＝243，b ＝425，c ＝2513，则( ) A ．b <a <c B ．a <b <c C ．b <c <a D ．c <a <b6．已知幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则log 4f (2)＝( )A.14 B ．－14 C ．2 D ．－27．(2017年广东深圳一模)已知a >b >0，c <0，下列不等关系中正确的是( )A ．ac >bcB ．a c >b cC ．log a (a －c )>log b (b －c ) D.aa －c >bb －c8．(2014年上海)若f (x )＝x 23－x 12，则满足f (x )<0的x 的取值范围是__________．9．将下列各数从小到大排列起来：⎝ ⎛⎭⎪⎫2313-，⎝ ⎛⎭⎪⎫3512，323，⎝ ⎛⎭⎪⎫2512，⎝ ⎛⎭⎪⎫3223，⎝ ⎛⎭⎪⎫560，(－2)3，⎝ ⎛⎭⎪⎫5313-.10．已知函数f (x )＝(m 2－m －1)x －5m －3，求满足下列条件的m 的值： (1)f (x )为幂函数；(2)f (x )为幂函数，且在(0，＋∞)上为增函数； (3)f (x )为正比例函数； (4)f (x )为反比例函数； (5)f (x )为二次函数．第10讲 函数的图象1．已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a ＞0，a ≠1)的图象如图X2­10­1，则下列结论成立的是( )图X2­10­1A ．a ＞1，c ＞1B ．a ＞1,0＜c ＜1C ．0＜a ＜1，c ＞1D ．0＜a ＜1,0＜c ＜12．(2016年浙江)函数y ＝sin x 2的图象是( )A BC D3．若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象如图X2­10­2，则下列函数图象正确的是( )图X2­10­2A B C D4．已知函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋1)＝f (x －1)，且当x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2，则函数y ＝f (x )与y ＝log 5x 图象交点的个数为( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个5．已知定义在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，π2上的函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－π4对称，当x ≤－π4时，f (x )＝sin x ，若关于x 的方程f (x )＝a 有解，记所有解的和为S ，则S 不可能为( )A ．－54π B．－π C．－34π D．－π26．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x ＞0的零点个数是________．7．(2017年广东惠州三模)已知函数f (x )＝|x e x|－m (m ∈R )有三个零点，则m 的取值范围为________．8．(2017年广东湛江二模)函数f (x )＝|x |－a x(a ∈R )的图象不可能是( )A B C D9．已知函数f (x )＝|x 2－4x ＋3|.(1)求函数f (x )的单调区间，并指出其增减性；(2)若关于x 的方程f (x )－a ＝x 至少有三个不相等的实数根，求实数a 的取值范围．10．已知函数f (x )＝13x 3＋mx 2，其中m 为实数．(1)若函数f (x )的图象在x ＝－1处的切线斜率为13，求m 的值；(2)求f (x )的单调区间；(3)若f (x )在x ＝－2处取得极值，直线y ＝a 与y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，求a 的取值范围．第11讲 一元二次方程根的分布1．若关于x 的方程x 4＋ax 2＋a 2－1＝0有且仅有一个实根，则实数a 的值的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．42．若方程lg 2x ＋(lg 5＋lg 7)lg x ＋lg 5²lg 7＝0的两根是α，β，则α²β的值是( )A ．lg 5²lg 7 B．lg 35 C ．35 D.1353．已知x 1，x 2是关于x 的方程x 2－(k －2)x ＋(k 2＋3k ＋5)＝0(k 为实数)的两个实数根，则x 21＋x 22的最大值是( )A ．19B ．18 C.509D ．不存在4．已知关于x 的方程x 2＋mx －6＝0的一个根比2大，另一个根比2小，则实数m 的取值范围是________．5．已知m ∈Z ，关于x 的一元二次方程x 2＋mx ＋3＝0有两个实数根x 1，x 2，且0<x 1<2<x 2<4，则m ＝________.6．关于x 的一元二次方程5x 2－ax －1＝0有两个不同的实根，一根位于区间(－1,0)，另一根位于区间(1,2)，则实数a 的取值范围为________．7．若关于x 的方程22x ＋2xa ＋a ＋1＝0有实根，则实数a 的取值范围为____________．8．(2016年广西柳州一中模拟)若关于x 的方程x 2＋ax ＋2b ＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(1,2)内，则b －2a －1的取值范围是________．9．已知f (x )＝log 4(4x＋1)＋kx (k ∈R )是偶函数． (1)求k 的值；(2)设g (x )＝log 4⎝⎛⎭⎪⎫a ²2x －43a ，若函数f (x )与g (x )的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围．10．已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3－a ，如果函数y ＝f (x )在区间[－1,1]上有零点，求a 的取值范围．第12讲 函数与方程1．(2015年安徽)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )A ．y ＝ln xB ．y ＝x 2＋1 C ．y ＝sin x D ．y ＝cos x2．函数f (x )＝2x－2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)3．(2016年辽宁大连模拟)设方程log 4x －⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＝0，log 14x －⎝ ⎛⎭⎪⎫14x＝0的根分别为x 1，x 2，则( )A ．0<x 1x 2<1B ．x 1x 2＝1C ．1<x 1x 2<2D ．x 1x 2≥24．设函数f (x )＝e x＋x －2，g (x )＝ln x ＋x 2－3.若实数a ，b 满足f (a )＝0，g (b )＝0，则( )A ．g (a )<0<f (b )B ．f (b )<0<g (a )C ．0<g (a )<f (b )D ．f (b )<g (a )<05．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( )A ．{1,3}B ．{－3，－1,1,3}C ．{2－7，1,3}D ．{－2－7，1,3}6．已知f (x )是奇函数，且在R 上是单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是( )A.14B.18 C ．－78 D ．－387．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x >1，9x ()1－x 2，x ≤1，若函数g (x )＝f (x )－k 仅有一个零点，则k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤43，2 B ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞ C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫43，2 8．(2017年广东深圳二模)若对任意的实数a ，函数f (x )＝(x －1)ln x －ax ＋a ＋b 有两个不同的零点，则实数b 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(－∞，0)C ．(0,1)D ．(0，＋∞)9．(2016年河南郑州模拟)已知y ＝f (x )是定义域为R 的奇函数，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x 2－2x .(1)写出函数y ＝f (x )的解析式；(2)若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，求a 的取值范围．10．已知f (x )是二次函数，不等式f (x )＜0的解集是(0,5)，且f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线6x ＋y ＋1＝0平行．(1)求f (x )的解析式；(2)是否存在t ∈N ，使得方程f (x )＋37x＝0在区间(t ，t ＋1)内有两个不相等的实数根？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．第13讲 抽象函数1．(2017年江西南昌二模)已知函数f (x )＝sin x －x ，则不等式f (x ＋2)＋f (1－2x )<0的解集是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，＋∞ C ．(3，＋∞) D．(－∞，3)2．下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的单调递增函数是( )A ．f (x )＝x 3B ．f (x )＝3xC ．f (x )＝x 23D ．f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x3．已知函数f (x )满足：f (1)＝2，f (x ＋1)＝1＋f x1－f x，则f (2015)＝( )A ．2B ．－3C ．－12 D.134．给出下列三个等式：f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (x ＋y )＝f (x )f (y )，f (x ＋y )＝f x ＋f y1－f x f y.下列函数中，不满足其中任何一个等式的是( )A ．f (x )＝3xB ．f (x )＝sin xC ．f (x )＝log 2xD ．f (x )＝tan x5．已知奇函数y ＝f (x )的导函数f ′(x )<0在R 上恒成立，且x ，y 满足不等式f (x2－2x )＋f (y 2－2y )≥0，则x 2＋y 2的取值范围是( )A ．[0,2 2]B ．[0,2]C ．[1,2]D ．[0,8]6．定义在R 上的函数y ＝f (x )满足f (3－x )＝f (x )，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32f ′(x )<0，若x 1<x 2，且x 1＋x 2>3，则( )A ．f (x 1)>f (x 2)B ．f (x 1)<f (x 2)C ．f (x 1)＝f (x 2)D ．f (x 1)与f (x 2)的大小关系不确定7．已知函数y ＝f (x －1)＋x 2是定义在R 上的奇函数，且f (0)＝－1，若g (x )＝1－f (x ＋1)，则g (－3)＝________.8．(2017年江苏)已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x－1ex ， 其中e 是自然对数的底数．若f (a－1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________．9．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的单调性；(3)若f (3)＝－1，解不等式f (|x |)<－2.10．设f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数，且对任意a ，b ∈[－1,1]，当a ＋b ≠0时，都有f a ＋f b a ＋b>0.(1)若a >b ，比较f (a )与f (b )的大小；(2)解不等式f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －14； (3)记P ＝{x |y ＝f (x －c )}，Q ＝{x |y ＝f (x －c 2)}，且P ∩Q ＝∅，求c 的取值范围．第14讲函数模型及其应用1．(2015年北京)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 L汽油行驶的里程，图X2­14­1描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是( )图X2­14­1A．消耗1 L汽油，乙车最多可行驶5 kmB．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80 km/h的速度行驶1 h，消耗10 L汽油D．某城市机动车最高限速80 km/h. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油2．某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌车，在A地的销售利润(单位：万元)为y1＝4.1x－0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在两地共销售16辆这种品牌车，则能获得的最大利润是( ) A．10.5万元 B．11万元 C．43万元 D．43.025万元3．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分)满足的函数关系为p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，图X2­14­2记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( )图X2­14­2A．3.50分 B．3.75分 C．4.00分 D．4.25分4．某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是( )A．118元 B．105元 C．106元 D．108元5．某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为( )A．10 B．11 C．13 D．216．(2016年四川)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)A．2018年 B．2019年 C．2020年 D．2021年7．(2017年北京)三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图X2­14­3，其中点A i的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点B i的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i＝1,2,3.①记Q i为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是________．②记p i为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3中最大的是________．图X2­14­38．个人每次取得的稿费定额或定率减除规定费用后的余额为应纳税所得额．每次收入不超过4000元的，定额减除费用800元；每次收入在4000元以上的，定率减除20%的费用．适用20%的比例税率，并按规定对应纳税额减征30%，计算公式为：(1)每次收入不超过4000元的，应纳税额＝(每次收入额－800)³20%³(1－30%)；(2)每次收入在4000元以上的，应纳税额＝每次收入额³(1－20%)³20%³(1－30%)．已知某人出版一份书稿，共纳税280元，则这个人应得稿费(扣税前)为________元．9．国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30人或30人以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75人为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元．(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；(2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？10．(2015年上海)如图X2­14­4，O，P，Q三地有直道相通，OP＝3千米，PQ＝4千米，OQ＝5千米．现甲、乙两警员同时从O地出发匀速前往Q地，经过t小时，他们之间的距离为f(t)(单位：千米)．甲的路线是OQ，速度为5千米/时，乙的路线是OPQ，速度为8千米/时．乙到达Q地后原地等待．设t＝t1时，乙到达P地，t＝t2时，乙到达Q地．(1)求t1与f(t1)的值；(2)已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米．当t1≤t≤t2时，求f(t)的表达式，并判断f(t)在[t1，t2]上的最大值是否超过3，说明理由．图X2­14­4第15讲 导数的意义及运算1．已知函数f (x )＝a 2＋sin x ，则f ′(x )＝( )A ．3a ＋cos xB ．a 2＋cos x C ．3a ＋sin x D ．cos x2．已知函数f (x )＝2ln x ＋8x ，则lim Δx →0 f 1＋Δx －f 1Δx 的值为( ) A ．－10 B ．－20 C ．10 D ．203．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为( )A ．4B ．－14C ．2D ．－124．已知直线y ＝12x ＋b 与曲线y ＝－12x ＋ln x 相切，则b 的值为( )A ．2B ．－1C ．－12D ．15．(2016年山东日照一中检测)已知函数y ＝f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程是x －2y ＋1＝0，则f (1)＋2f ′(1)的值是( )A.12 B ．1 C.32D ．2 6．(2016年山东)若函数y ＝f (x )的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y ＝f (x )具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝ln xC ．y ＝e xD ．y ＝x 37．(2016年新课标Ⅲ)已知f (x )为偶函数，当x ≤0 时，f (x )＝e －x －1－x ，则曲线y ＝f (x )在(1,2)处的切线方程式为________．8．若函数f (x )的导函数为f ′(x )，且f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2sin x ＋cos x ，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________.9．(2016年四川)设直线l 1，l 2分别是函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－ln x ，0<x <1，ln x ，x >1图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(0，＋∞) D．(1，＋∞)10．已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程； (3)求斜率为4的曲线的切线方程．第16讲 导数在函数中的应用1．若函数f (x )＝x 3＋ax －2在区间(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．[3，＋∞) B．[－3，＋∞) C ．(－3，＋∞) D．(－∞，－3) 2．已知函数y ＝f (x )的图象如图X2­16­1，则其导函数y ＝f ′(x )的图象可能是( )图X2­16­1A B C D3．(2016年湖北枣阳第一中学模拟)若函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )＞2，则f (x )＞2x ＋4的解集为( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞)4．(2014年新课标Ⅱ)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]B ．(－∞，－1]C ．[2，＋∞) D．[1，＋∞) 5．若0<x 1<x 2<1，则( )A ．2e x －1e x >ln x 2－ln x 1B ．2e x －1e x <ln x 2－ln x 1C ．x 21e x >x 12e xD ．x 21e x <x 12e x6．(2015年新课标Ⅱ)设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－1)＝0，当x ＞0时，xf ′(x )－f (x )＜0，则使得f (x )＞0成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(－1,0)D ．(0,1)∪(1，＋∞)7．(2016年浙江嘉兴模拟)若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是( )A ．[1，＋∞) B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32 C ．[1,2) D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2 8．在R 上可导的函数f (x )的图象如图X2­16­2，则关于x 的不等式xf ′(x )<0的解集为( )图X2­16­2A ．(－∞，－1)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(1，＋∞)C ．(－2，－1)∪(1,2)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)9．已知函数f (x )＝1－xax＋ln x .(1)若函数f (x )在[1，＋∞)上为增函数，求正实数a 的取值范围； (2)讨论函数f (x )的单调性．10．(2016年湖北荆州质检)设函数f (x )＝13x 3－a 2x 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1.(1)求b ，c 的值；(2)若a >0，求函数f (x )的单调区间；(3)设函数g (x )＝f (x )＋2x ，且g (x )在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a 的取值范围．第17讲 导数与函数的极值、最值1．函数f (x )＝2x 3－6x 2－18x －7在[1,4]上的最小值为( ) A ．－64 B ．－61 C ．－56 D ．－51 2．从边长为10 cm³16 cm 的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，做成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为( )A ．12 cm 3B ．72 cm 3C ．144 cm 3D ．160 cm 33．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为( )A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件 4．(2017年广东东莞二模)已知函数f (x )＝x e x－m2x 2－mx ，则函数f (x )在[1,2]上的最小值不可能为( )A ．e －32mB ．－12m ln 2mC ．2e 2－4mD ．e 2－2m5．(2017年广东惠州三模)设曲线f (x )＝－e x－x (e 为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l 1，总存在曲线g (x )＝3ax ＋2cos x 上某点处的切线l 2，使得l 1⊥l 2，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1,2]B ．(3，＋∞) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，13 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，23 6．对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －1)f ′(x )≥0，则必有( ) A ．f (0)＋f (2)<2f (1) B ．f (0)＋f (2)≤2f (1) C ．f (0)＋f (2)≥2f (1) D ．f (0)＋f (2)>2f (1)7．已知f (x )＝x e x ，g (x )＝－(x ＋1)2＋a ，若∃x 1，x 2∈R ，使得f (x 2)≤g (x 1)成立，则实数a 的取值范围是________．8．(2015年安徽)设x 3＋ax ＋b ＝0，其中a ，b 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是__________．(写出所有正确条件的编号)①a ＝－3，b ＝－3；②a ＝－3，b ＝2；③a ＝－3，b ＞2； ④a ＝0，b ＝2；⑤a ＝1，b ＝2.9．已知函数f (x )＝ax －2x－3ln x ，其中a 为常数．(1)当函数f (x )的图象在点⎝ ⎛⎭⎪⎫23，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23处的切线的斜率为1时，求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3上的最小值；(2)若函数f (x )在区间(0，＋∞)上既有极大值又有极小值，求实数a 的取值范围．10．(2015年江苏)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图X2­17­1，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l1，l2所在的直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y＝ax2＋b(其中a，b为常数)模型．(1)求a，b的值；(2)设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.①请写出公路l长度的函数解析式f(t)，并写出其定义域；②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．图X2­17­1第18讲 定积分及其应用举例1．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2 0≤x <1 ，2－x 1<x ≤2 ，则20f ⎰(x )d x ＝( )A.34B.45 C.56D ．不存在 2．若以初速度40 m/s 竖直向上抛一物体，t 秒时刻的速度v ＝40－10t 2，则此物体达到最高时的高度为( )A.1603 mB.803 m C.403 m D.203m 3．由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形的面积为( ) A.112 B.14 C.13 D.7124．(2015届广东汕头模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，又知(x ln x )′＝ln x ＋1，且S 10＝e1ln ⎰x d x ，S 20＝17，则S 30为( )A ．33B ．46C ．48D ．505．(2017年广东广州一模)若直线y ＝1与函数f (x )＝2sin 2x 的图象相交于点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，且|x 1－x 2|＝2π3，则线段PQ 与函数f (x )的图象所围成的图形面积是( )A.2π3＋ 3B.π3＋ 3 C.2π3＋3－2 D.π3＋3－2 6．(2015年广东惠州一模)已知x ，y 都是区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2内任取的一个实数，则使得y ≤sin x 的取值的概率是( )A.4π2B.2πC.12D.2π2 7．(2016年黑龙江哈尔滨六中统测)3|⎰x 2－1|d x ＝________.8．(2014年福建)如图X 2­18­1，在边长为e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机抛一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为________．图X 2­18­19．在如图X 2­18­2所示的程序框图中，任意输入一次x (0≤x ≤1)与y (0≤y ≤1)，则能输出数对(x ，y )的概率为( )图X 2­18­2A.14B.13C.34D.23第二章 函数、导数及其应用 第1讲 函数与映射的概念1．D 解析：由x 2＋2x －3＞0⇒(x ＋3)(x －1)＞0，解得x ＜－3，或x ＞1.故选D. 2．C 解析：由函数y ＝f (x )的表达式可知：函数f (x )的定义域应满足条件：⎩⎪⎨⎪⎧4－|x |≥0，x 2－5x ＋6x －3>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－4≤x ≤4，x >2，x ≠3.即函数f (x )的定义域为(2,3)∪(3,4]．故选C.3．C 解析：当x ＝2时，52x ＝5，集合Q 中没有元素与之对应，故不是映射．4．A 解析：由y ＝x ＋1⇒x ＋1＝y 2⇒x ＝y 2－1.而x ≥－1，故y ≥0.互换x ，y 得到y ＝x 2－1(x ≥0)．故选A.5．B 解析：要使函数f (x ＋1)有意义，则有1≤x ＋1≤2018，解得0≤x ≤2017.故函数f (x ＋1)的定义域为[0,2017]．所以使函数g (x ) 有意义的条件是⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2017，x －1≠0，解得0≤x ＜1或1＜x ≤2017.故函数g (x )的定义域为[0,1)∪(1,2017]．故选B.6．C 解析：由映射的定义，集合M 中的每一个元素在集合N 中有唯一的元素与它对应，对于选项C,22＝4∉N .故选C.7．B 解析：线段AB ：x ＋y ＝4(1≤x ≤2)，f ：P (m ，n )→P ′(m ，n )(m ≥0，n ≥0)．设P ′(x ，y )，则P (x 2，y 2)．有x 2＋y 2＝4(1≤x ≤2)，点M 的对应点M ′所经过的路线长度为如图D89所示的两段圆弧的长，2³⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π4＝π6.故选B.图D898．(1)a ≥3 (2)0＜a ≤12解析：(1)f (x )＝x 2－2x 在[－1,2]上的值域为[－1,3]，而g (x )＝ax ＋2(a ＞0)在[－1,2]上单调递增，则g (x )＝ax ＋2的值域为[2－a,2a ＋2]．由题意，得[－1，3]⊆[2－a,2a＋2]，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≤－1，2a ＋2≥3.解得a ≥3.(2)由题意，得[－a ＋2,2a ＋2]⊆[－1,3]，有⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2≥－1，2a ＋2≤3，解得a ≤12.又a ＞0，故0＜a ≤12.9．解：(1)要使函数有意义，只需：⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x >0，9－x 2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x >2或x <0，－3<x <3.解得－3＜x ＜0或2＜x ＜3.故函数f (x )的定义域是(－3,0)∪(2,3)．(2)∵y ＝f (2x)的定义域是[－1,1]，即－1≤x ≤1， ∴12≤2x≤2. ∴对于函数y ＝f (log 2x )，有12≤log 2x ≤2，即log 2 2≤log 2x ≤log 24，∴2≤x ≤4. 故函数f (log 2x )的定义域为[2，4]．10．解：(1)∵当x ＝716时，4x ＝74，∴f 1(x )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤74＝1，g (x )＝74－⎣⎢⎡⎦⎥⎤74＝34. ∴f 2(x )＝f 1[g (x )]＝f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝[3]＝3. (2)∵f 1(x )＝[4x ]＝1，g (x )＝4x －1， ∴f 2(x )＝f 1(4x －1)＝[16x －4]＝3. ∴⎩⎪⎨⎪⎧1≤4x <2，3≤16x －4<4.∴716≤x <12.第2讲 函数的表示法1．B 2.A3．A 解析：设f (x )＝kx ＋b ，则由f [f (x )]＝x ＋2，可得k (kx ＋b )＋b ＝x ＋2，即k 2x ＋kb ＋b ＝x ＋2.∴k 2＝1，kb ＋b ＝2.解得k ＝1，b ＝1，则f (x )＝x ＋1.故选A.4．C 解析：将f (2x )表示出来，看与2f (x )是否相等．对于A ，f (2x )＝|2x |＝2|x |＝2f (x )；对于B ，f (2x )＝2x －|2x |＝2(x －|x |)＝2f (x )；对于C ，f (2x )＝2x ＋1≠2f (x )；对于D ，f (2x )＝－2x ＝2f (x )．故只有C 不满足f (2x )＝2f (x )．故选C.5．D 解析：由y ＝f (x )的图象，得当x ＝4和x ＝9时，△ABP 的面积相等，∴BC ＝4，BC ＋CD ＝9，即CD ＝5.易知AD ＝14－9＝5.如图D90，过点D 作DE ⊥AB 于点E .∵∠B ＝90°，∴DE ＝BC ＝4.在Rt △AED 中，AE ＝AD 2－DE 2＝3.∴AB ＝AE ＋EB ＝3＋5＝8.∴S △ABC ＝12AB ³BC ＝12³8³4＝16.图D906．D 解析：⎩⎪⎨⎪⎧f x －g x ＝e x，f －x －g －x ＝e －x，即⎩⎪⎨⎪⎧f x －g x ＝e x，－f x －g x ＝e －x，解得f (x )＝e x－e －x2，g (x )＝e x＋e －x－2.所以f (2)＝e 2－e －22，f (3)＝e 3－e－32，g (0)＝－1.显然g (0)<f (2)<f (3)．故选D.7．5 解析： ∵f (x )＋f (－x )＝22x ＋1＋sin x ＋22－x ＋1－sin x ＝22x ＋1＋2x ＋11＋2x ＝2，且f (0)＝1，∴f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＝5.8．－2 1 解析：f (x )－f (a )＝x 3＋3x 2＋1－a 3－3a 2－1＝x 3＋3x 2－a 3－3a 2，(x －b )(x －a )2＝x 3－(2a ＋b )²x 2＋(a 2＋2ab )x －a 2b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2a －b ＝3，a 2＋2ab ＝0，－a 2b ＝－a 3－3a 2.解得a ＝0(舍去)或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1.9．解：(1) 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝0，得f (x )＝ax 2＋bx . 又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1，即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1. ∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ≠0，a ＋b ＝1.∴a ＝b ＝12.因此f (x )＝12x 2＋12x .(2)令t ＝1－x 1＋x ，由此，得x ＝1－t1＋t (t ≠－1)．∴f (t )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 1＋t 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 1＋t 2＝2t 1＋t 2.从而f (x )的解析式为f (x )＝2x1＋x2(x ≠－1)．(3)∵2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，①∴把①中的x 换成1x，得2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f (x )＝3x.②①³2－②，得3f (x )＝6x －3x.∴f (x )＝2x －1x(x ≠0)．10．解：(1)由定义知，关于x 的方程－x 2＋4x ＝f 9 －f 09－0在(0,9)上有实数根时，函数f (x )＝－x 2＋4x 是[0,9]上的平均值函数．而－x 2＋4x ＝f 9 －f 0 9－0⇒x 2－4x －5＝0，可解得x 1＝5，x 2＝－1.又x 1＝5∈(0,9)[x 2＝－1∉(0,9)，故舍去]，∴f (x )＝－x 2＋4x 是[0,9]上的平均值函数，5是它的均值点．。

阶段检测卷 (二)(三角函数、平面向量与解三角形)时间： 50 分钟 满分： 100 分一、选择题：本大题共 8 小题，每题 6 分，共 48 分，有且只有一个正确答案，请将正确选项填入题后的括号中．1．以下函数中，既是偶函数又在区间 (0， π)上单一递减的是 ()A ． y ＝ sin xB ．y ＝ cos xC ．y ＝ sin 2xD ． y ＝ cos 2x2．已知倾斜角为 θ的直线与直线 x － 3y ＋ 1＝ 0 垂直，则2＝ ()2 23sin θ－ cos θ 10 10A.3 B ．－31010C.13 D ．－ 133．已知 O ，A ，B 是平面上的三个点，直线 → → →AB 上有一点 C ，知足 2AC ＋ CB ＝ 0，则 OC＝()→ →→ → A ．2OA － OB B ．－ OA ＋ 2OB 2 → 1 → D ．－ 1 → 2 →C. OA － OB 3 OA ＋ OB3 3 34．如图 N2- 1，点 P 是函数 y ＝ 2sin(ωx＋ φ)(x ∈ R ，ω>0)的图象的最高点， M ，N 是图象→ →与 x 轴的交点，若 PM ·PN ＝ 0，则 ω＝ ( )图 N2-1πππA ．8 B.8C.4D.25．设函数 f( x)＝ sin 2x － π的图象为 C ，下边结论中正确的选项是 ()3A ．函数 f(x) 的最小正周期是 2ππ 对称 B ．图象 C 对于点 ， 06π C ．图象 C 可由函数 g(x)＝sin 2x 的图象向右平移 个单位获得3D ．函数 f(x) 在区间 －π， π上是增函数 12 26．如图 N2- 2，某船在海上航行中遇险发出呼救信号，海上救生艇在 A 处获悉后，立刻 测出该船在方向角 45°方向，相距 10 海里的 C 处，还测得该船正沿方向角 105°的方向以 9 海里 /时的速度行驶．若救生艇立刻以 21 海里 /时的速度前去救援，则救生艇与呼救船在B 处相遇所需的最短时间为 ()图 N2-2A. 1小时 B.1小时5 3C. 2小时D.2小时537．函数 f(x) ＝Asin(ωx＋φ) 此中 A>0， |φ|<π的图象如图 N2-3，为了获得 g(x)＝ cos 2x － π22 的图象，只要将 f(x)的图象 ( )图 N2-3πA ．向左平移 3个长度单位π B ．向右平移 3个长度单位π C ．向左平移 6个长度单位πD ．向右平移 6个长度单位8． (2017 年新课标Ⅱ )已知△ ABC 是边长为 2 的等边三角形， P 为平面 ABC 内一点，则→ → → ) PA ·(PB ＋PC)的最小值是 (3A ．－ 2B ．－ 24C ．－ 3D ．－ 13 小题，每题 6 分，共 18 分，把答案填在题中横线上．二、填空题：本大题共 sin 47 －°sin 17 cos ° 30 ° 9. cos 17 ° ＝ ________.10．在△ ABC 中，内角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，已知△ ABC 的面积为 315，1，则 a 的值为 ____________ ．b －c ＝ 2， cos A ＝－ 4ACAB BC 211．已知在△ ABC 中， BC 边上的高与 BC 边长相等，则 AB ＋AC ＋AB ·AC 的最大值是________． 2 小题，共 34 分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．三、解答题：本大题共12． (14 分 )(2017 年广东肇庆一模 )△ ABC 的内角 A， B，C 的对边分别为 a， b， c，已知a(sin A－ sin B)＝ (c－ b)(sin C＋ sin B)．(1)求角 C；(2)若 c＝ 7，△ ABC 的面积为 33，求△ ABC 的周长．213． (20 分)(2017 年广东调研 )已知在△ ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为a， b， c，且 2acos2C＋ 2ccos Acos C＋ b＝ 0.(1)求角 C 的大小；(2)若 b＝ 4sin B，求△ ABC 面积的最大值．阶段检测卷 (二)1．B 分析：A ，C 均为奇函数； y ＝cos 2x 在 0， π 上单一递减， 在 π2 ，π上单一递加． 故2选 B.2． C 分析： 直线 x －3y ＋ 1＝ 0 的斜率为 1，所以与此直线垂直的直线的斜率 k ＝－ 3.∴3 tan θ＝－ 3.∴ 2 22 sin 2θ＋ cos 2θ 2 tan 2θ＋ 12 ＝2 2 ＝2.把 tan θ＝－ 3 代入，得原式＝ 3sin θ－ cos θ 3sin θ－ cos θ 3tan θ－ 122×[ －3 ＋1]103． A→ → → → → → → → →分析： 由 2AC ＋ CB ＝ 0，得 2OC －2OA ＋ OB － OC ＝ 0.故OC ＝ 2OA － OB.4． C 分析： 由题意，可得点 P 到 MN 的距离为2， PM ⊥PN ，所以△PMN 为等腰直角π三角形．所以 MN ＝2× 2＝ 4.所以函数的周期为8，即 ω＝ 4.应选 C.2πππ5．B分析： f(x)的最小正周期 T ＝ 2＝ π.故 A 错；∵f 6 ＝0，∴图象 C 对于点 6，0 对称．故 B 对；∴图象 C 可由函数 g(x)＝ sin2x 的图象向右平移 π C6个单位获得．故 错；函数π 5ππ 5π π π f(x)的单一递加区间是－ 12＋ k π，12＋ k π(k ∈Z )，当 k ＝ 0 时， x ∈－ 12，12 － 12，2 ，∴函数 f( x)在区间 － π，π上是先增后减．故 D 错．12 26． D 分析： 设在点 B 处相遇，所需时间为 t 小时．在△ ABC 中，∠ACB ＝ 120 °， AC ＝10，AB ＝ 21t ，BC ＝ 9t.由余弦定理， 得(21t)2＝ 102＋ (9t)2 －2× 10× 9t × cos 120 .°整理， 得 36t 22 52 －9t －10＝ 0.解得 t ＝ 3或－ 12(舍去 )．故救生艇与呼救船在 B 处相遇所需的最短时间为 3小时．T 7π π T ＝π， 2π 7π7π 7．D 分析： 由图象知 A ＝ 1，4＝? ω＝ π? ω＝ 2，f 12 ＝－ 1 ? 2×12＋ 12－3 3π π π π πφ＝ 2 ＋ 2k π，|φ|<2，得 φ＝ 3.∴f(x)＝sin 2x ＋3 .为了获得 g(x)＝ cos 2x － 2 ＝sin 2x 的图象，所以只要将 f(x)的图象向右平移 π D. 6个长度单位即可．应选8．B 分析： 以 BC 的中点 D 为原点， BC 所在直线为 x 轴， BC 的垂直均分线 AD 为 y轴，成立平面直角坐标系如图D189 ，图 D189则 A(0， 3)，B(－ 1,0)， C(1,0)．设 P(x ， y)．→ → →所以 PA ＝ (－ x ， 3－ y)，PB ＝ (－1－ x ，－ y)，PC ＝(1 －x ，－ y)，→ → → 2 23 2 3 3 则 PA ·(PB ＋ PC)＝ 2x － 2y( 3－ y)＝ 2x ＋ 2 y － 2 －2≥ － 2.3 3 当点P0，2 时，所求最小值为－ 2.应选 B.1 分析： sin 47 －°sin 17 cos ° 30 °9.2 cos 17 °＝ sin 30°＋ 17°－ sin 17 cos ° 30 °cos 17 °＝ sin 30 cos ° 17 ＋°cos 30 sin ° 17 －°sin 17 cos ° 30 °cos 17 °sin 30 cos ° 17 °1 ＝cos 17 ° ＝ 2.215 △＝ 1 1510． 8 分析： 由于 0<A<π，所以 sin A ＝ 1－ cos A ＝ 4 .又 S ABC 2bcsin A ＝ 8 bcb －c ＝2， b ＝ 6，＝3 15，∴bc ＝ 24.解方程组 得由余弦定理， 得 a 2＝ b 2＋ c 2－ 2bccos A bc ＝ 24 c ＝ 4.＝ 62＋ 42－ 2× 6×4× －14 ＝ 64.所以 a ＝ 8.11． 2 2 分析： BC 边上的高与 BC 边长相等，依据面积公式，2 1得 2BC ＝ 2AB ·AC ·sin A ，1即 BC 2＝ AB ·AC ·sin A.222 2AC ＋AB ＋BCAC ＋ AB ＋ BC＝AB ·ACAB AC AB ·ACBC 2＋ 2AB ·AC ·cos A ＋ BC 2＝AB ·AC2AB ·AC ·sin A ＋2AB ·AC ·cos A＝AB ·ACπ≤2 2. ＝ 2sin A ＋2cos A ＝ 2 2sin A ＋4 12． 解： (1) 由已知以及正弦定理，得 a(a － b)＝ (c － b)(c ＋ b)， 即 a 2＋ b 2－ c 2＝ ab.所以 cos C ＝a 2＋b 2－c 2 12ab＝2.π又 C ∈(0， π)，所以 C ＝3. (2)由 (1) 知 a 2＋ b 2－ c 2＝ ab ， 所以 (a ＋ b)2－ 3ab ＝ c 2＝ 7.13 3 3又 S ＝ 2ab ·sin C ＝ 4 ab ＝ 2 ，所以 ab ＝ 6.2所以 (a ＋ b) ＝ 7＋ 3ab ＝ 25.即 a ＋ b ＝ 5.13．解： (1) ∵2acos2C＋ 2ccos Acos C＋b＝ 0，∴2sin Acos2C＋2sin Ccos Acos C＋ sin B＝0.∴2cos Csin(A＋C)＋ sin B＝0.∴2cos Csin B＋ sin B＝ 0.∵0°<B<180°，∴sin B≠ 0.∴cos C＝－12.∴C＝ 120 °. bsin C＝2 3.(2)依据 (1) 并由正弦定理，得c＝sin B由余弦定理，得(23)2＝ a2＋ b2－ 2abcos 120 ＝° a2＋ b2＋ ab≥3ab.1∴ab≤ 4.∴S△ABC＝2absin C≤3.∴△ABC 面积的最大值为 3.。