河南省洛阳市2016届高三数学(理)上学期期末考试试题(a卷)(有答案)

天一大联考2016—2017学年高三年级上学期期末考试数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知集合{}{}0,2,4,6,|233n A B x N ==∈<，则集合A B 的子集个数为A.8B. 7C. 6D. 4 2.设i 为虚数单位，复数21a ii++为纯虚数，则实数a 的值为 A. -1 B. 1 C. -2 D. 23.已知数列{}n a 的前n 项和21nn S =-，则数列{}2log n a 的前10项和等于A. 1023B. 55C. 45D. 354.三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了股股定理的绝妙证明。

下面是赵爽的弦图和注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实。

图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2⨯勾⨯股+（股-勾）2=4⨯朱实+黄实=弦实，化简得：+=222勾股弦.设勾股形中勾股比为1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为 A. 866 B. 500 C. 300 D. 1345.已知圆()22314x y -+=的一条切线y kx =与双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>有两个交点，则双曲线C 的离心率的取值范围是A. (B. ()1,2C.)+∞ D.()2,+∞6.已知点M 的坐标(),x y 满足不等式组2402030x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-≤⎩，N 为直线22y x =-+上任一点，则MN 的最小值是7.已知0a >且1a ≠，如图所示的程序框图的输出值[)4,y ∈+∞，则实数a 的取值范围是A. (]1,2B. 1,12⎛⎫⎪⎝⎭C. ()1,2D. [)2,+∞ 8.函数()cos21xf x x xπ=+的图象大致是9.如图，已知长方体1111ABCD A B C D -的体积为6，1C BC ∠的正切值为，当1AB AD AA ++的值最小时，长方体1111ABCD A B C D -外接球的表面积为A. 10πB. 12πC. 14πD. 16π 10.已知函数()()1sin 20,022f x A x A πϕϕ⎛⎫=+-><< ⎪⎝⎭的图象在y 轴上的截距为1，且关于直线12x π=对称，若对任意的0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()23m m f x -≤，则实数m 的取值范围是A. 31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. []1,2C. 3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 33,22⎡+⎢⎣⎦11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. 8B. 10C. 12D. 1412.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()4f x f x +=，且(]2,2x ∈-时，()()2111,0222,20x x x x x f x x x x ⎧⎛⎫+--<≤⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪-+-<≤⎩，则函数()()4log g x f x x =-的零点个数是A. 4B. 7C. 8D.9第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知平面向量()()1,2,2,a b m ==-，且a b a b +=-，则2a b += .14.已知()3021n x dx =-⎰，则n的展开式中2x 的系数为 . 15.已知抛物线()21:0C y ax a =>的焦点F 也是椭圆()2222:104y x C b b +=>的一个焦点，点3,,12M P ⎛⎫⎪⎝⎭分别为曲线12,C C 上的点，则MP MF +的最小值为 . 16.已知数列{}n b 是首项为-34，公差为1的等差数列，数列{}n a 满足()12n n n a a n N *+-=∈，且137a b =，则数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最大值为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分12分）如图，在圆内接四边形ABCD中，2,1,cos sin .AB AD CD αβ===+ （1）求角β的大小；（2）求四边形ABCD 周长的取值范围.18.（本题满分12分）如图，已知四边形ABCD 和ABEG 均为平行四边形，点E 在平面ABCD 内的射影恰好为点A ，以BD 为直径的圆经过点,,A C AG 的中点为,F CD 的中点为P ，且.A D A B A E == （1）求证：平面EFP ⊥平面BCE ； （2）求二面角P EF B --的余弦值.19.（本题满分12分）2016年是红军长征胜利80周年，某市电视台举办纪念红军长征胜利80周年知识问答，宣传长征精神，首先在甲、乙、丙、丁四个不同的公园进行支持签名活动.然后在各公园签名的人中按分层抽样的方式抽取10名幸运之星回答问题，从10个关于长征的问题中随机抽取4个问题让幸运之星回答，全部答对的幸运之星获得一份纪念品. （1）求此活动中各公园幸运之星的人数；（2）若乙公园中每位幸运之星对每个问题答对的概率均为2，求恰好2位幸运之星获得纪念品的概率；（3）若幸运之星小李对其中8个问题能答对，而另外2个问题答不对，记小李答对的问题数为X ，求X 的分布列和数学期望().E X20.（本题满分12分）已知椭圆()2222:10y x C a b a b+=>>的上下两个焦点分别为12,F F ，过点1F 与y 轴垂直的直线交椭圆C 于M,N 两点，2MNF ∆C （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知O 为坐标原点，直线:l y kx m =+与y 轴交于点P ，与椭圆C 交于A,B 两个不同的点，若存在实数λ，使得4OA OB OP λ+=，求m 的取值范围.21.（本题满分12分）已知函数()ln f x x a x =+与()3bg x x=-的图象在点()1,1处有相同的切线. （1）若函数()2y x m =+与()y f x =的图象有两个交点，求实数m 的取值范围； （2）设函数()()()()ln 1,0,x H x f x e x m =--∈，求证：()2m H x <.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.复数212ii+-（ ） A ．i B ．i - C ．42i + D ．1i + 2.若1:1,:1p x q x><，则p 是q 的（ ） A ． 既不充分也不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．充分不必要条件 3.将函数()sin(2)f x x ϕ=+的图象向左平移8π个单位，所得的函数关于y 轴对称，则ϕ的一个可能取值为（ ） A ．34π B ．4π C ．0 D ．4π- 4.若110(1)xS edx =-⎰，120S xdx =⎰，130sin S xdx =⎰，则（ ）A ．231S S S >>B ．132S S S >>C ．213S S S >>D ．123S S S >> 5.若如图所示的程序框图输出的S 是126，则条件①可为（ ） A ．5?n ≤ B ．6?n ≤ C ．7?n ≤ D ．8?n ≤6.设,x y 满足约束条件30020x y a x y x y --≤⎧⎪-≥⎨⎪+≥⎩，若目标函数z x y =+的最大值为2，则实数a 的值为（ ）A ．2B ．1C ．-1D ．-27.如图所示22⨯方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1，2，3，4中的任何一个，允许重复，若填入A 方格的数字大于B 方格的数字，则不同的填法共有（ ） A ．192种 B ．128种 C ．96种 D ．12种8.若,a b 是函数2()(0,0)f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，且,,2a b -这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +=（ ） A ． 6 B ．7 C ．8 D ．99.设双曲线22221x y a b -=的两渐近线与直线2a x c=分别交于,A B 两点，F 为该双曲线的右焦点，若006090AFB <∠<，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）A． B ．(1,2) C．2) D．)+∞10.在正三棱锥S ABC -中，M 是SC 的中点，且AM SB ⊥，底面边长AB =，则正三棱锥S ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．6πB ．12πC ．32πD ．36π11.设,a b为单位向量，若向量c 满足()c a b a b -+=- ，则c 的最大值是（ ）A． B ． 2 CD ．112.已知函数()y f x =的定义域的R ，当0x <时，()1f x >，且对任意的实数,x y R ∈，等式()()()f x f y f x y ∙=+成立，若数列{}n a 满足11()1()1n nf a f a +=+，（*n N ∈），且1(0)a f =，则下列结论成立的是（ ）A ．20132016()()f a f a >B ．20142015()()f a f a >C ．20162015()()f a f a <D ．20142015()()f a f a <第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________.14.已知对任意实数x ，有6270127()(1)m x x a a x a x a x ++=++++ .若135732a a a a +++=，则m =________.15.已知点(,)P x y 是直线40kx y ++=（0k >）上一动点，,PA PB 是圆22:20C x y y +-=的两条切线，,A B 为切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为________.16.数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 满足12n n n n b a a a ++=（*n N ∈），设n S 为{}n b 的前n 项和，若125308a a =>，则当n S 取得最大值时n 的值为________.三、解答题 ：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且25sin sin cos 3a A Bb A a +=.（1）求ba；（2）若22285c a b =+，求角C .18.（本小题满分12分）生产甲乙两种元件，其质量按检测指标划分为：指标大于或者等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：（1）试分别估计元件甲、乙为正品的概率；（2）生产一件元件甲，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件元件乙，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元。

洛阳市2016——2017学年高中三年级第一次统一考试数学试卷（文科）第Ⅰ卷（选择题,共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.若复数z 满足()121i z i +=-，则z =A.25 B. 35C. 105D.102.已知全集{}{}2,|340,|22U R A x x x B x x ==-->=-≤≤，集合，则如图所示的阴影部分所表示的集合为A. {}|24x x -≤<B. {}|24x x x ≤≥或 C. {}|21x x -≤≤- D. {}|12x x -≤≤ 3.若[]0,θπ∈，则1sin 32πθ⎛⎫+> ⎪⎝⎭成立的概率为 A.13 B. 12 C. 23D.1 4.已知平面向量,a b r r 满足2,1,a b a ==r r r 与b r 的夹角为23π，且()()2a b a b λ+⊥-r r r r ，则实数λ的值为A. 7-B. 3-C.2D.35.直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于A,B 两点，则“1k =”是“2AB =”的A. 充分不必要条件B.必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知()f x 是偶函数，当0x >时，()f x 单调递减，设0.81.2512,,2log 22a b c -⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，则()()(),,f a f b f c 的大小关系为A. ()()()f c f b f a <<B. ()()()f c f a f b <<C. ()()()f c f b f a >>D. ()()()f c f a f b >>7.某程序框图如图所示，该程序运行结束时输出的S 的值为 A. 1007 B. 1008 C.2016 D. 3024 8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 A.152π B. 8π C. 172πD.9π 9.已知函数()()2142,11log ,1a x a x f x x x ⎧-+-<⎪=⎨+≥⎪⎩，若()f x 的值域为R,则实数a 的取值范围是A. (]1,2B. (],2-∞C. (]0,2D.[)2,+∞10.已知双曲线22:142x y E -=，直线l 交双曲线于A,B 两点，若A,B 的中点坐标为1,12⎛⎫-⎪⎝⎭，则l 的方程为 A. 410x y +-= B. 20x y += C. 2870x y ++= D.430x y ++= 11.已知函数()2ln f x x ax x =-+有两个零点，则实数a 的取值范围是A. (),1-∞B. ()0,1C. 21,e e +⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D.210,e e +⎛⎫⎪⎝⎭12.已知三棱锥P ABC -的四个顶点均在某球面上，PC 为该球的直径，ABC ∆是边长为4的等边三角形，三棱锥P ABC -的体积为163，则该三棱锥的外接球的表面积为 A. 163π B. 403π C. 643π D.803π第Ⅰ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知实数,x y 满足1021050y x y x y -≥⎧⎪--≥⎨⎪+-≤⎩，则目标函数z x y =-的最小值为 . 14.若1sin 34πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭为 .15.设椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的右焦点为F,右顶点为A,B,C 是椭圆E 上关于原点对称的两点（B,C 均不在x 轴上），若直线BF 平分线段AC ，则E 的离心率为 .16. 在ABC ∆中，30,25,B AC ∠==oD 是AB 边上的一点，CD=2，，若ACD ∠为锐角，ACD∆的面积为4，则BC= .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为1,0,1n n S a a ≠=，且()1243.n n n a a S n N *+=-∈ （1）求2a 的值，并证明：22n n a a +-=； （2）求数列{}n a 的通项公式.18.（本题满分12分）如图，正方形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面相互垂直，1//,,1,2AB CD AB BC DC BC AB ⊥===点M 在线段EC 上. （1）证明：平面BDM ⊥平面ADEF ；（2）若//AE 平面MDB ，求三棱锥E MDB -的体积.19.（本题满分12分）雾霾天气对人体健康有害，应对雾霾污染、改善空气质量是当前的首要任务是控制PM2.5，要从压减燃煤、严格控产、调整产业、强化管理、联防联控、依法治理等方面采取重大举措，聚焦重点领域，严格考核指标.某省环保部门为加强环境执法监管，派遣四个不同的专家组对A,B,C 三个城市进行雾霾落实情况抽查.（1）若每个专家组随机选取一个城市，四个专家组选取的城市可以相同，也可以不同，且每个城市都必须由专家组选取，求A 城市恰有两有专家组选取的概率；（2）在检查的过程中专家组从A 城市的居民中随机抽取出400人进行是否户外作业人员与是否患有呼吸道疾病进行了统计，统计结果如下：根据上述的统计结果，我们是否有超过99%的把握认为“户外作业”与“患有呼吸道疾病”有关？20.（本题满分12分）已知抛物线()2:20C x py p =>，过焦点F 的直线交C 于A,B 两点，D 是抛物线的准线l 于y 轴的交点.（1）若//AB l ，且ABD ∆的面积为1，求抛物线的方程；（2）设M 为AB 的中点，过M 作l 的垂线，垂足为N,证明：直线AN 与抛物线相切.21.（本题满分12分）已知函数()()21ln ,0.2f x x x a x a =-+> （1）若1a =，求()f x 在()()1,1f 处的切线方程； （2）讨论()f x 的单调性；（3）若()f x 存在两个极值点12,x x ，求证：()()1232ln 24f x f x --+>.请考生从第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑.22.（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程为2cos ,22sin x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩（ϕ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求圆C 的普通方程；（2）直线l 的极坐标方程是2sin 536πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，射线:6OM πθ=与圆C 的交点为,O P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长.23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知()21 1.f x x x =--+（1）将()f x 的解析式写出分段函数的形式，并作出其图象； （2）若1a b +=，对()()14,0,,3a b f x a b∀∈+∞+≥恒成立，求x 的取值范围.。

天一大联考2016—2017学年高三年级上学期期末考试数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知集合{}{}0,2,4,6,|233n A B x N ==∈<，则集合A B 的子集个数为A.8B. 7C. 6D. 42.设i 为虚数单位，复数21a i i++为纯虚数，则实数a 的值为 A. -1 B. 1 C. -2 D. 23.已知数列{}n a 的前n 项和21n n S =-，则数列{}2log n a 的前10项和等于A. 1023B. 55C. 45D. 354.三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了股股定理的绝妙证明。

下面是赵爽的弦图和注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实。

图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2⨯勾⨯股+（股-勾）2=4⨯朱实+黄实=弦实，化简得：+=222勾股弦.设勾股形中勾股比为1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为A. 866B. 500C. 300D. 1345.已知圆()22314x y -+=的一条切线y kx =与双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>有两个交点，则双曲线C 的离心率的取值范围是A. (B. ()1,2C. )+∞ D.()2,+∞ 6.已知点M 的坐标(),x y 满足不等式组2402030x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-≤⎩，N 为直线22y x =-+上任一点，则MN 的最小值是A. 5B. 52 7.已知0a >且1a ≠，如图所示的程序框图的输出值[)4,y ∈+∞，则实数a 的取值范围是A. (]1,2B. 1,12⎛⎫⎪⎝⎭C. ()1,2D. [)2,+∞ 8.函数()cos 2xf x x x π=+的图象大致是9.如图，已知长方体1111ABCD A BC D -的体积为6，1C BC ∠的正切值为，当1AB AD AA ++的值最小时，长方体1111ABCD A BC D -外接球的表面积为A. 10πB. 12πC. 14πD. 16π10.已知函数()()1sin 20,022f x A x A πϕϕ⎛⎫=+-><< ⎪⎝⎭的图象在y 轴上的截距为1，且关于直线12x π=对称，若对任意的0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()23m m f x -≤，则实数m 的取值范围是 A. 31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. []1,2 C. 3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 3322⎡+⎢⎣⎦ 11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. 8B. 10C. 12D. 1412.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()4f x f x +=，且(]2,2x ∈-时，()()2111,0222,20x x x x x f x x x x ⎧⎛⎫+--<≤⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪-+-<≤⎩，则函数()()4log g x f x x =-的零点个数是A. 4B. 7C. 8D.9第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知平面向量()()1,2,2,a b m ==-，且a b a b +=-，则2a b += .14.已知()3021n x dx =-⎰，则n的展开式中2x 的系数为 . 15.已知抛物线()21:0C y ax a =>的焦点F 也是椭圆()2222:104y x C b b +=>的一个焦点，点3,,12M P ⎛⎫ ⎪⎝⎭分别为曲线12,C C 上的点，则MP MF +的最小值为 . 16.已知数列{}n b 是首项为-34，公差为1的等差数列，数列{}n a 满足()12n n n a a n N *+-=∈，且137a b =，则数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最大值为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分12分）如图，在圆内接四边形ABCD中，2,1,c o ss in .A B A D C D αβ==+（1）求角β的大小；（2）求四边形ABCD 周长的取值范围.18.（本题满分12分）如图，已知四边形ABCD 和ABEG 均为平行四边形，点E 在平面ABCD 内的射影恰好为点A ，以BD 为直径的圆经过点,,A C AG 的中点为,F CD 的中点为P ，且.AD AB AE ==（1）求证：平面EFP ⊥平面BCE ；（2）求二面角P EF B --的余弦值.19.（本题满分12分）2016年是红军长征胜利80周年，某市电视台举办纪念红军长征胜利80周年知识问答，宣传长征精神，首先在甲、乙、丙、丁四个不同的公园进行支持签名活动.然后在各公园签名的人中按分层抽样的方式抽取10名幸运之星回答问题，从10个关于长征的问题中随机抽取4个问题让幸运之星回答，全部答对的幸运之星获得一份纪念品.（1）求此活动中各公园幸运之星的人数；（2）若乙公园中每位幸运之星对每个问题答对的概率均为2，求恰好2位幸运之星获得纪念品的概率；（3）若幸运之星小李对其中8个问题能答对，而另外2个问题答不对，记小李答对的问题数为X ，求X 的分布列和数学期望().E X20.（本题满分12分）已知椭圆()2222:10y x C a b a b+=>>的上下两个焦点分别为12,F F ，过点1F 与y 轴垂直的直线交椭圆C 于M,N 两点，2MNF ∆C 的离心率为2 （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知O 为坐标原点，直线:l y kx m =+与y 轴交于点P ，与椭圆C 交于A,B 两个不同的点，若存在实数λ，使得4OA OB OP λ+=，求m 的取值范围.21.（本题满分12分）已知函数()ln f x x a x =+与()3b g x x=-的图象在点()1,1处有相同的切线. （1）若函数()2y x m =+与()y f x =的图象有两个交点，求实数m 的取值范围；（2）设函数()()()()ln 1,0,x H x f x e x m =--∈，求证：()2m H x <.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。

河南省洛阳市高三“一练”数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）（•洛阳模拟）设复数z=﹣1﹣i（i为虚数单位），z 的共轭复数为=（）A．B．2C．D．1考点：复数代数形式的乘除运算；复数求模．专题：计算题．分析：给出z=﹣1﹣i ，则，代入整理后直接求模．解答：解：由z=﹣1﹣i ，则，所以=．故选A．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的模，考查了学生的运算能力，此题是基础题．2．（5分）（•洛阳模拟）已知集合，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为（）A．1B．2C．4D．8考点：集合的包含关系判断及应用；其他不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：通过解分式不等式求出好A，无理不等式求出集合B，通过满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数即可．解答：解：∵={1，2}={0，1，2，3，4}，因为A⊆C⊆B，所以C中元素个数至少有1，2；至多为：0，1，2，3，4；所以集合C的个数为{0，3，4}子集的个数：23=8．故选D．点评：本题考查分式不等式与无理不等式的求法，集合的子集的求解，考查计算能力，转化思想．3．（5分）（•洛阳模拟）如果函数y=3sin（2x﹣φ）（φ＞0）的图象关于直线对称，则φ的最小值为（）A．B．C．D．考点：正弦函数的对称性．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：根据正弦函数图象对称轴方程的公式，建立关于φ的等式，化简可得﹣φ=+kπ（k∈Z），取k=﹣1得φ=，即为正数φ的最小值．解答：解：∵函数y=3sin（2x ﹣φ）的图象关于直线对称，∴当x=时，函数达到最大或最小值由此可得：2﹣φ=+kπ（k∈Z）∴﹣φ=+kπ（k∈Z），取k=﹣1，得φ=因此，φ的最小值为故选：C点评：本题给出三角函数图象的一条对称轴方程，求参数φ的最小值，着重考查了三角函数和图象与性质和正弦函数图象的对称性等知识，属于基础题．4．（5分）（•揭阳一模）如图，阅读程序框图，任意输入一次x（0≤x≤1）与y（0≤y≤1），则能输出数对（x，y）的概率为（）A．B．C．D．考点：几何概型．专题：计算题．分析：据程序框图得到事件“能输出数对（x，y）”满足的条件，求出所有基本事件构成的区域面积；利用定积分求出事件A构成的区域面积，据几何概型求出事件的概率．解答：解：是几何概型所有的基本事件Ω=设能输出数对（x，y）为事件A，则A=S（Ω）=1S（A）=∫01x2dx==故选A点评：本题考查程序框图与概率结合，由程序框图得到事件满足的条件、考查利用定积分求曲边图象的面积；利用几何概型概率公式求出事件的概率．5．（5分）（•洛阳模拟）若函数为常数）在定义域内为奇函数，则k的值为（）A．1B．﹣1 C．±1D．0考点：函数奇偶性的判断．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由奇函数定义知f（﹣x）=﹣f（x）恒成立，进行化简整理即可求得k值．解答：解：因为f（x）为定义域内的奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x），即=﹣，所以（2﹣x﹣k•2x）（2x+k•2﹣x）=﹣（2x﹣k•2﹣x）（2﹣x+k•2x），所以2﹣x•2x+k•2﹣2x﹣k•22x﹣k2•2x•2﹣x=﹣2x•2﹣x﹣k•22x+•k•2﹣2x+k2•2﹣x•2x，即1﹣k2=﹣1+k2，解得k=±1，故选C．点评：本题考查函数的奇偶性，考查指数幂的运算法则，考查学生的运算能力，属中档题．6．（5分）（•洛阳模拟）在△ABC中，D为BC 边上的点，的最大值为（）A．1B．C．D．考点：基本不等式．专题：计算题．分析：在△ABC中，D为BC边的点，由D，B，C三点共线可知λ+μ=1，（λ、μ＞0），利用基本不等式即可求得λμ的最大值．解答：解：∵在△ABC中，D为BC边的点，∴D，B，C三点共线且D在B，C之间，∴λ+μ=1，（λ＞0，μ＞0）∴λμ≤==（当且仅当λ=μ时取“=”）．∴λμ的最大值为．故选D．点评：本题考查基本不等式，求得λ+μ=1，（λ＞0，μ＞0）是关键，属于中档题．7．（5分）（•洛阳模拟）如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．64+32πB．64+64πC．256+64πD．256+128π考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成的，上面是一个圆柱，底面直径为8，高为4；下面是一个长宽高分别为8，8，4的长方体．据此即可计算出．解答：解：由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成的，上面是一个圆柱，底面直径为8，高为4；下面是一个长宽高分别为8，8，4的长方体．∴该几何体的体积V=8×8×4+π×42×4=256+64π．故选C．点评：由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．8．（5分）（•洛阳模拟）已知F是抛物线y2=4x的焦点，过点F1的直线与抛物线交于A，B两点，且|AF|=3|BF|，则线段AB的中点到该抛物线准线的距离为（）A．B．C．D．10考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义即条件，求出A，B的中点横坐标，即可求出线段AB的中点到抛物线准线的距离．解答：解：抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），准线方程为x=﹣1设A（x1，y1），B（x2，y2），则∵|AF|=3|BF|，∴x1+1=3（x2+1），∴x1=3x2+2∵|y1|=3|y2|，∴x1=9x2，∴x1=3，x2=∴线段AB 的中点到该抛物线准线的距离为[（x1+1）+（x2+1）]=故选B．点评：本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离是关键．9．（5分）（•洛阳模拟）函数的最大值为（）A．2B．3C．D．考点：二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性．专题：计算题．分析：函数解析式第一项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的值域，即可确定出f（x）的最大值．解答：解：f（x）=1﹣cos （+2x ）﹣cos2x=1+（sin2x ﹣cos2x）=1+2sin（2x ﹣），∵≤x≤，∴≤2x﹣≤，∵≤sin（2x ﹣）≤1，即2≤1+2sin（2x ﹣）≤3，则f（x）的最大值为3．故选B点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．10．（5分）（•洛阳模拟）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC ，，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，则球O的表面积为（）A．4πB．12πC．16πD．64π考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC ，，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，知BC=，∠ABC=90°．故△ABC截球O所得的圆O′的半径r==1，由此能求出球O的半径，从而能求出球O的表面积．解答：解：如图，三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，∵SA⊥平面ABC ，，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，∴BC==，∴∠ABC=90°．∴△ABC截球O所得的圆O′的半径r==1，∴球O的半径R==2，∴球O的表面积S=4πR2=16π．故选C．．点评：本题考查球的表面积的求法，合理地作出图形，数形结合求出球半径，是解题时要关键．11．（5分）（•洛阳模拟）已知的两个零点，则（）A．B．1＜x1x2＜e C．1＜x1x2＜10 D．e＜x1x2＜10考点：函数的零点．专题：函数的性质及应用．分析：若的两个零点，则x1，x2是函数y=e﹣x和y=|lnx|的图象交点的横坐标，在同一个坐标系中，画函数y=e﹣x和y=|lnx|的图象，利用对数函数的性质，可判断出x1x2的范围．解答：解：若的两个零点，则x1，x2是函数y=e﹣x和y=|lnx|的图象交点的横坐标在同一个坐标系中，画函数y=e﹣x和y=|lnx|的图象如下图所示：由图可得即﹣1＜ln（x1•x2）＜1即又∵﹣lnx1＞lnx2∴ln（x1•x2）＜0∴x1•x2＜1综上故选A点评：本题考查的知识点是函数的零点，对数函数的图象和性质，其中画出函数的图象，并利用数形结合的办法进行解答是关键．12．（5分）（•洛阳模拟）设F1，F2分别为双曲线的左右焦点，过F1引圆x2+y2=9的切线F1P交双曲线的右支于点P，T为切点，M为线段F1P的中点，O为坐标原点，则|MO|﹣|MT|等于（）A．4B．3C．2D．1考点：两点间的距离公式；双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由双曲线方程，算出c==5，根据三角形中位线定理和圆的切线的性质，并结合双曲线的定义可得|MO|﹣|MT|=4﹣a=1，得到本题答案．解答：解：∵MO是△PF1F2的中位线，∴|MO|=|PF2|，|MT|=|PF1|﹣|F1T|，根据双曲线的方程得：a=3，b=4，c==5，∴|OF1|=5，∵PF1是圆x2+y2=9的切线，|OT|=3，∴Rt△OTF1中，|FT|==4，∴|MO|﹣|MT|=|=|PF2|﹣（|PF1|﹣|F1T|）=|F1T|﹣（|PF1|﹣|PF2|）=4﹣a=1故选：D点评：本题给出双曲线与圆的方程，求|MO|﹣|MT|的值，着重考查了双曲线的简单性质、三角形中位线定理和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．二、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）（•洛阳模拟）设变量x，y 满足约束条件：．则目标函数z=2x+3y 的最小值为7 ．考点：简单线性规划．专题：数形结合．分析：先根据条件画出可行域，设z=2x+3y，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距，只需求出直线z=2x+3y，过可行域内的点B（1，1）时的最小值，从而得到z最小值即可．解答：解：设变量x、y满足约束条件，在坐标系中画出可行域△ABC，A（2，1），B（4，5），C（1，2），当直线过A（2，1）时，目标函数z=2x+3y的最小，最小值为7．故答案为：7．点评：借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．14．（5分）（•洛阳模拟）曲线处的切线方程为x+y﹣2=0 ．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：由y=，知，由此能求出曲线处的切线方程．解答：解：∵y=，∴，∴曲线处的切线方程的斜率k=y′|x=0=﹣1，∴曲线处的切线方程为y﹣2=﹣x，即x+y﹣2=0．故答案为：x+y﹣2=0．点评：本题考查曲线方程在某点处的切线方程的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意导数的几何意义的灵活运用．15．（5分）（•洛阳模拟）的展开式中各项系数之和为729，则该展开式中x2的系数为160 ．考点：二项式系数的性质．专题：计算题；概率与统计．分析：由的展开式中各项系数之和为729，知3n=729，解得n=6．再由（2x+）6的通项公式为T r+1==，能求出该展开式中x2的系数．解答：解：∵的展开式中各项系数之和为729，令x=1，得3n=729，解得n=6．∵（2x+）6的通项公式为T r+1==，由6﹣=2，得r=3．∴该展开式中x2的系数为=8×=160．故答案为：160．点评：本题考查二项式系数的性质的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．16．（5分）（•洛阳模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，2bcosB=acosC+ccosA，且b2=3ac，则角A 的大小为或．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：由条件利用正弦定理、诱导公式可得sin2B=sin（A+C），得B=60°，A+C=120°．又b2=3ac，即sin2B=3sinAsinC，利用积化和差公式求得cos（A﹣C）=0，得A﹣C=±90°，由此可得A的大小．解答：解：△ABC中，∵2bcosB=acosC+c•cosA，由正弦定理可得2sinBcosB=sinAcosC+sinC•cosA，∴sin2B=sin（A+C）．得2B=A+C （如果2B=180°﹣（A+C），结合A+B+C=180°易得B=0°，不合题意）．A+B+C=180°=3B，得B=60°，A+C=120°．又b2=3ac，故 sin2B=3sinAsinC，∴=3sinAsinC=3×[cos（A﹣C）﹣cos（A+C）]=（cos（A﹣C）+），解得 cos（A﹣C）=0，故A﹣C=±90°，结合A+C=120°，易得 A=，或A=．故答案为A=，或A=点评：本题主要考查正弦定理、诱导公式、积化和差公式的应用，已知三角函数值求角的大小，属于中档题．三、解答题：本大题共8小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）（•洛阳模拟）设数列{a n}满足：a1+2a2+3a3+…+na n=2n（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=n2a n，求数列{b n}的前n项和S n．考点：数列递推式；数列的求和．专题：计算题．分析：（1）根据题意，可得a1+2a 2+3a3++（n﹣1）a n﹣1=2n﹣1，两者相减，可得数列{a n}的通项公式．（2）根据题意，求出b n的通项公式，继而求出数列{b n}的前n项和S n．解答：解：（1）∵a1+2a2+3a3+…+na n=2n①，∴n≥2时，a1+2a2+3a3+…+（n﹣1）a n﹣1=2n﹣1②①﹣②得na n=2n﹣1，a n=（n≥2），在①中令n=1得a1=2，∴a n=（2）∵b n=．则当n=1时，S1=2∴当n≥2时，S n=2+2×2+3×22+…+n×2n﹣1则2S n=4+2×22+3×23+…+（n﹣1）•2n﹣1+n•2n相减得S n=n•2n﹣（2+22+23+…+2n﹣1）=（n﹣1）2n+2（n≥2）又S1=2，符合S n的形式，∴S n=（n﹣1）•2n+2（n∈N*）点评：此题主要考查数列通项公式的求解和相关计算．18．（12分）（•洛阳模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AD∥BC，∠ABC=90°，PA=PB=3，BC=1，AB=2，AD=3，O是AB的中点．（1）证明：CD⊥平面POC；（2）求二面角C﹣PD﹣O的余弦值的大小．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间向量及应用．分析：（1）利用侧面PAB⊥底面ABCD，可证PO⊥底面ABCD，从而可证PO⊥CD，利用勾股定理，可证OC⊥CD，从而利用线面垂直的判定，可得CD⊥平面POC；（2）建立坐标系，确定平面OPD、平面PCD的一个法向量，利用向量的夹角公式，可求二面角O﹣PD ﹣C的余弦值；解答：证明：（1）∵PA=PB=，O为AB中点，∴PO⊥AB∵侧面PAB⊥底面ABCD，PO⊂侧面PAB，侧面PAB∩底面ABCD=AB，∴PO⊥底面ABCD∵CD⊂底面ABCD，∴PO⊥CD在Rt△OBC中，OC2=OB2+BC2=2在Rt△OAD中，OD2=OA2+AD2=10在直角梯形ABCD中，CD2=AB2+（AD﹣BC）2=8∴OC2+CD2=OD2，∴△ODC是以∠OCD为直角的直角三角形，∴OC⊥CD∵OC，OP是平面POC内的两条相交直线∴CD⊥平面POC…（6分）解：（2）如图建立空间直角坐标系O﹣xyz，则P（0，0，2），D（﹣1，3，0），C（1，1，0）∴=（0，0，2），=（﹣1，3，0），=（﹣1，﹣1，2），=（﹣2，2，0）假设平面OPD 的一个法向量为=（x，y，z），平面PCD 的法向量为=（a，b，c），则由可得，令x=3，得y=1，z=0，则=（3，1，0），由可得，令a=2，得b=2，c=，即=（2，2，）∴cos＜，＞===故二面角O﹣PD﹣C 的余弦值为．…（12分）点评：本题考查线面垂直，考查面面角，考查向量方法解决空间角问题，正确运用线面垂直的判定是关键．19．（12分）（•洛阳模拟）随着建设资源节约型、环境友好型社会的宣传与实践，低碳绿色的出行方式越来越受到追捧，全国各地兴起了建设公共自行车租赁系统的热潮，据不完全统计，已有北京、株洲、杭州、太原、苏州、深圳等城市建设成公共自行车租赁系统，某市公共自行车实行60分钟内免费租用，60分钟以上至120分钟（含），收取1元租车服务费，120分钟以上至180分钟（含），收取2元租车服务费，超过180分钟以上的时间，按每小时3元计费（不足一小时的按一小时计），租车费用实行分段合计．现有甲，乙两人相互到租车点租车上班（各租一车一次），设甲，乙不超过1小时还车的概率分别为小时以上且不超过2小时还车的概率分别为小时以上且不超过3小时还车的概率分别为，两人租车时间均不会超过4小时．（1）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率．（2）设甲一周内有四天（每天租车一次）均租车上班，X表示一周内租车费用不超过2元的次数，求X的分布列与数学期望．考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．专题：计算题．分析：（1）甲、乙两人租车费用相同包括0，1，3，6元，然后利用互斥事件的概率公式分别求出相应的概率，最后求和可求出所求；（2）X的取值可能为0，1，2，3，4，然后利用二项分布的概率公式分别求出相应的概率，列出分布列，最后利用数学期望公式解之即可．解答：解：（1）甲、乙两人租车费用相同包括0，1，3，6元两人都付0元的概率为P1=×=两人都付1元的概率为P2=×=两人都付3元的概率为P3=×=两人都付6元的概率为P4=（1﹣﹣﹣）×（1﹣﹣﹣）=×=则甲，乙两人所付租车费用相同的概率为P=P1+P2+P3+P4=（2）依题意，甲某每天租车费用不超过2元的概率为P=+=则P（X=0）=××=，P（X=1）==P（X=2）==，P（X=3）==P（X=4）==∴X的分布列为X 0 1 2 3 4PX的数学期望为E（X ）=1×+2×+3×+4×=3点评：本题主要考查了事件、互斥事件的概率，以及离散型随机变量的分布列和数学期望，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．20．（12分）（•洛阳模拟）在平面直角坐标系中xOy中，O为坐标原点，A（﹣2，0），B（2，0），点P为动点，且直线AP与直线BP 的斜率之积为．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过点D（1，0）的直线l交轨迹C于不同的两点M，N，△MON的面积是否存在最大值？若存在，求出△MON 的面积的最大值及相应的直线方程；若不存在，请说明理由．考点：轨迹方程；直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设P点坐标为（x，y）根据直线AP与直线BP 的斜率之积为，代入斜率公式，整理可得动点P的轨迹C的方程；（2）设出交点M，N的坐标及直线l的方程为x=ny+1，联立方程根据韦达定理求出y1+y2，y1•y2的值，根据弦长公式求出MN长，求出△MON的面积的表达式，分析出对应函数的单调性，可得答案．解答：解：设P点的坐标为（x，y）∵A（﹣2，0），B（2，0），直线AP与直线BP 的斜率之积为．∴•=（x≠±2）整理得P 点的轨迹方程为（x≠±2）（2）设直线l的方程为x=ny+1联立方程x=ny+1与（x≠±2）得（3n2+4）y2+6ny﹣9=0设M（x1，y1），N（x2，y2），则y1+y2=，y1•y2=△MON的面积S=•|OP|•|y1﹣y2|====令t=，则t≥1，且y=3t+在[1，+∞）是单调递增∴当t=1时，y=3t+取最小值4此时S 取最大值此时直线的方程为x=1点评：本题考查的知识点是轨迹方程，直线与圆锥曲线的关系，熟练掌握设而不求，联立方程，韦达定理，弦长公式等一系列处理直线与圆锥曲线关系的方法和技巧是解答的关键．21．（12分）（•洛阳模拟）已知函数．（1）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；（2）若对任意的，求实数m的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（1）当a=2时，求出f（x），在定义域内解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；（2）对任意的a∈（1，2），当x0∈[1，2]时，都有f（x0）＞m（1﹣a2），等价于f（x0）min＞m（1﹣a2），用导数可求f（x0）min，构造函数g（a）=f（x0）min﹣m（1﹣a2）（1＜a＜2），问题转化为g（a）min＞0（1＜a＜2），分类讨论可求出m的取值范围．解答：解：（1）当a=2时，f（x）=，定义域为（﹣，+∞）．f′（x）=2x﹣2+=2x﹣2+=．由f′（x）＞0，得，或x ＞；由f′（x）＜0，得0＜x ＜．所以函数f（x ）的单调递增区间为（，0），（，+∞），单调递减区间为（0，）．（2）y=f（x ）的定义域为（﹣，+∞）．f′（x）=2x﹣a+=2x﹣a+==．当1＜a＜2时，﹣1==＜0，即，所以当1＜x＜2时，f′（x）＞0，f（x）在[1，2]上单调递增，所以f（x）在[1，2]上的最小值为f（1）=1﹣a+ln （）．依题意，对任意的a∈（1，2），当x0∈[1，2]时，都有f（x0）＞m（1﹣a2），即可转化为对任意的a∈（1，2），1﹣a+ln （）﹣m（1﹣a2）＞0恒成立．设g（a）=1﹣a+ln （）﹣m（1﹣a2）（1＜a＜2）．则g′（a）=﹣1++2ma==，①当m≤0时，2ma﹣（1﹣2m）＜0，且＞0，所以g′（a）＜0，所以g（a）在（1，2）上单调递减，且g（1）=0，则g（a）＜0，与g（a）＞0矛盾．②当m＞0时，g′（a）=，若，则g′（a）＜0，g（a）在（1，2）上单调递减，且g（1）=0，g（a）＜0，与g（a）＞0矛盾；若1＜＜2，则g（a）在（1，）上单调递减，在（，2）上单调递增，且g（1）=0，g（a）＜g（1）=0，与g（a）＞0矛盾；若，则g（a）在（1，2）上单调递增，且g（1）=0，则恒有g（a）＞g（1）=0，所以，解得m，所以m的取值范围为[，+∞）．点评：本题考查综合运用导数求函数的单调区间、最值及函数恒成立问题，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，考查分类讨论思想的运用．22．（10分）（•洛阳模拟）选修4﹣1：几何证明选讲如图，已知PE切⊙O于点E，割线PBA交⊙O于A，B两点，∠APE的平分线和AE，BE分别交于点C，D．求证：（1）CE=DE；（2）．考点：与圆有关的比例线段；相似三角形的性质．专题：选作题．分析：（1）由弦切角定理是，及PC为∠APE的平分线，可证得∠ECD=∠EDC，进而证得CE=DE （2）先由AA证明出△PBC∽△ECD，进而证得△PBC∽△PEC，可由相似三角形对应边成比例得到结论．解答：解：（1）PE切圆O于点E∴∠A=∠BEP∵PC平分∠APE，∴∠A+∠CPA=∠BEP+∠DPE∵∠ECD=∠A+∠CPA，∠EDC=∠BEP+∠DPE∴∠ECD=∠EDC，∴EC=ED（2）∵∠PDB=∠EDC，∠EDC=∠ECD∴∠PDB=∠PCE∵∠BPD=∠EPC∴△PDB∽△PEC∴=同理△PDE∽△PCA∴=∴=∵DE=CE∴点评：本题考查的往右点是与圆相关的比例线段，相似三角形的性质，熟练掌握弦切角定理及相似三角形的判定及性质是解答的关键．23．（•洛阳模拟）选修4﹣4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线l经过点P（﹣1，0），其倾斜角为α，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ+5=0．（1）若直线l与曲线C有公共点，求α的取值范围；（2）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．考点：直线与圆的位置关系；简单曲线的极坐标方程．专题：计算题；直线与圆．分析：（1）先根据极坐标与直角坐标互化的公式，算出曲线C的直角坐标方程，再结合直线l 的参数方程：，联解得到关于参数t的二次方程，运用根的判别式列式并解之，即可得到角α的取值范围；（2）由（1）可得曲线C的参数方程，从而得到x+y=3+2sin （θ+），最后结合正弦函数的值域，即可得到x+y的取值范围．解答：解：（1）将曲线ρ2﹣6ρcosθ+5=0化成直角坐标方程，得圆C：x2+y2﹣6x+5=0直线l 的参数方程为（t为参数）将其代入圆C方程，得（﹣1+tcosα）2+（tsinα）2﹣6tsinα+5=0整理，得t2﹣8tcosα+12=0∵直线l与圆C有公共点，∴△≥0，即64cos2α﹣48≥0，可得cosα≤﹣或cosα≥∵α为直线的倾斜角，得α∈[0，π）∴α的取值范围为[0，]∪[，π）（2）由圆C：x2+y2﹣6x+5=0化成参数方程，得（θ为参数）∵M（x，y）为曲线C上任意一点，∴x+y=3+2cosθ+2sinθ=3+2sin （θ+）∵sin（θ+）∈[﹣1，1]∴2sin （θ+）∈[﹣2，2]，可得x+y的取值范围是[3﹣2，3+2]．点评：本题给出直线与圆的极坐标方程，要求我们将其化成直角坐标方程并研究直线与圆位置关系．着重考查了直角坐标与极坐标的互化、简单曲线的极坐标方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．24．（•洛阳模拟）选修4﹣5：不等式选讲设函数f（x）=|x+1|+|x﹣4|﹣a．（1）当a=1时，求函数f（x）的最小值；（2）若对任意的实数x恒成立，求实数a的取值范围．考点：函数恒成立问题；分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：函数的性质及应用．分析：（1）当a=1时，利用绝对值不等式的性质即可求得最小值；（2）⇔|x+1|+|x﹣4|﹣1≥a+⇔a+≤4，对a进行分类讨论可求a的取值范围．解答：解：（1）当a=1时，f（x）=|x+1|+|x﹣4|﹣1≥|（x+1）﹣（x﹣4）|﹣1=5﹣1=4．所以函数f（x）的最小值为4．（2）对任意的实数x恒成立⇔|x+1|+|x﹣4|﹣1≥a+对任意的实数x恒成立⇔a+≤4对任意实数x恒成立．当a＜0时，上式显然成立；当a＞0时，a+≥2=4，当且仅当a=即a=2时上式取等号，此时a+≤4成立．综上，实数a的取值范围为（﹣∞，0）∪{2}．点评：本题考查绝对值函数、基本不等式以及恒成立问题，考查分类讨论思想，恒成立问题一般转化为函数最值问题解决，．四、附加题（满分0分，不计入总分）25．（•洛阳模拟）有小于1的n（n≥2）个正数x1，x2，x3，…，x n，且x1+x2+x3+…+x n=1．求证：．考点：不等式的证明．专题：证明题；不等式的解法及应用．分析：由x1，x2，x3，…，x n均为小于1的正数，可得，由均值定理及放缩法，证得成立．解答：证明：∵x1，x2，x3，…，x n均为小于1的正数，∴∴＞≥又∵≤=∴≥n∴＞n2≥22=4即＞4点评：本题考查的知识点是不等式的证明，熟练掌握均值定理及放缩法是解答的关键．。

洛阳市2015-2016学年高中三年级统一考试数学试卷（文A ）本试卷共150分．考试时间120分钟． 第I 卷（选择题，共60分） 生意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卷上．2.考试结束，将答题卷交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合A ＝{x ｜x 2＜2－x ｝，B =｛x ｜一1＜x ＜2｝，则AUB ＝A ．（一1，1） B.（一2，2） C.（一1，2） D.（一2，1） 2、设i 是虚数单位，则复数(1)(1)i i i+-的虚部为 A.一2 B.一2i C. 2 D. 2i3.已知向量a ＝（sin θ, cos θ），b ＝ (2,，－1），若a b ⊥，则cos 2θ+ Sin 2θ＝ A 、－15 B 、15 C 、35 D 、754．在区间［一2，2］上随机取两个实数a ，b ，则“ab ＞1”是“｜a ｜＋｜b ｜＞2”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 5.设等比数列{}n a 前n 项和为n S ，若a l ＋8a 4＝0，则43S S ＝ A.、－53 B 、157 C.56 D.15146.已知抛物线2y =2px （p>0)的焦点F 到准线的距离为2，若抛物线上一点P 满足2,||3P F F M P F ==，则点M 的坐标为 A ．（12，12，－B.（1212C （12）或（12） D.1212）7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．48B ．54C ．56D ．588．设x ，y 满足约束条件，若｜4x ＋6｜≤m 恒成立，则实数m 的取值范围是A ．（0，4］B ．（0，52］C ．［52，＋co ）D ．［36，＋co ） 9．执行如图所示程序框图，当输入x ［一1，4］时，输出x 属于A ．［0，1］B ．［0，2］C ．［－1，1］D ．［1，4］10．已知双曲线22221(0,0)4x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若点A（一2a ，b ）与点F 关于双曲线的一条渐近线对称，则该双曲线的离心率为A ．3BCD ．211的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a ＋b 的最大值为A ．B ．C ．4D ．12．规定：''()('())'f x f x =，例如，2(),'()2,''()2f x x f x x f x === 设g （x ）＝lnx ，函数h （x ）＝m ''g （x ）十'g （x ）一3π，下列结论正确的是 A ．当m ∈2(,)3+∞时，函数h （x ）无零点 B ．当m ∈2(,)3-∞时，函数h （x ）恰有一个零点C ．当m ∈2[0,]3时，函数h （x ）恰有两个零点D ．当m ∈22(,)33-时，函数h （x ）恰有三个零点第II 卷（非选择题，共90分） 二、填空题：共20分．13．若点（2，1）在y ＝xa （a ＞0，且a ≠l ）关于y ＝x 对称的图象上，则a ＝ ．14．若四面体ABCD 中，AB ＝CD ＝BC ＝AD AC ＝BD 外接球的表面积为 15．已知△ABC 中，，则||PE ＝16．已知函数11()()221xf x x =-+，则方程2(1)(21)f x f x x -=-+的所有实 根构成的集合的元素个数为三、解答题：（本大题共6小题．共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分12分） 函数的最大值为3，最小值为－1，其图象两条对称轴之间的最短距离为2π，且f （2π）＝1． （1）求函数f （x ）的解析式； （2）求函数g （x ）＝的单调递减区间．18．（本小题满分12分） 已知数列{}n a 中，·（1）证明是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）设，数列的前n 项和为S n ，已知存在正整数m ，使得恒成立，求m 的最小值．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P 一ABCD 中，PC ＝AD ＝CD ＝12AB ＝2， AB ∥DC ，AD ⊥CD ，PC ⊥平面ABCD ． （1）求证：BC ⊥平面PAC ；（2）若M 为线段PA 的中点，且过C ，D ，M 三点的平面 与线段PB 交于点N ，确定点N 的位置，说明理由；并求三梭 锥N 一AMC 的体积．20．（本小题12分）已知点N （1，3），若椭圆223x y λ+=上存在两点A 、B ，使得AN NB =，且线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点．（1）求直线AB的方程；（2）是否存在λ，使得A、B、C、D四点共圆？若存在，写出圆的方程，若不存在，说明理由．21．（本小题满分12分）已知函数f（x）=（m＋x）lnx在（1，f（1））处的切线与直线y=2x一4平行．（1）求f（x）在区间［e，+∞）上的最小值；（2）若对任意x∈（0，1），都有1()220f x xa+-<成立，求实数a的取值范围．考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答，时，用2B铅笔在答魔卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑．22．（本小题满分10分）选修4一1：几何证明选讲如图，圆O的直径AB＝10，P是AB延长线上一点，BP＝2，割线PCD交圆O于点C，D，过点P 作AB的垂线，交直线 AC于点E，交直线AD于点F．（1）求证：∠PEC＝∠PDF；（2）求PE·PF的值．23．（本小题满分10分）选修4一4：坐标系与参数方程在直角坐标xoy系中，直线l经过点P（一1，0），其倾斜角为α，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xoy取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线C的极坐标方程为26cos10ρρθ-+=．（l）写出直线l的参数方程，若直线l与曲线C有公共点，求α的取值范围；（2）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求x＋y的取值范围．24．（本小题满分10分）选修4一5：不等式选讲设关于x的不等式|x一2|＜a（a R∈）的解集为A，且．（1）对于任意的x∈ R，｜x一1｜＋｜x一3｜2a a≥+恒成立，且a∈N，求a的值；（2）若a十b=1，求的最小值，并指出取得最小值时a的值．。

洛阳市2016年第一学期期末考试高二数学理科试题卷一、 选择题1. 已知集合21{|1},{|1}A x x B x x=<=<，则A B =I （） A. (－1, 0) B. (0, 1) C. (1, +∞) D. Ф 解析：{|11},{|0 or 1}A x x B x x x =-<<=<> 答案：A解析：求集合交集转换为解不等式问题{|11},{|0 or 1}A x x B x x x =-<<=<>，故选A注意B 集合要讨论求解.2. 已知实数x,y 满足不等式组113x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则y/x 的最大值为（）A.0B.1/2C.1D.2 答案：D解析：转化为求交点到原点连线斜率问题交点分别是(1,1),(1,2),(2,1)，分别代入得斜率1,2,1/2 故选D3. 抛物线24y x =的准线方程为（）A.x=-1B.y=-1C.x=-1/16D.y=-1/16 答案：D解析：转化为抛物线标准方程2/4x y =，故选D4. 已知ABC ∆的三个内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，260,B b ac =︒=，则A=（） A.30° B.45° C.60° D.90° 答案：C解析：考查余弦定理2222cos b a c ac B ac =+-=，因此2()0a c -=，a=c等边三角形，故选C5. “方程22121x y n n -=++表示双曲线”是“n>-1”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：B解析：双曲线要求(2)(1)0n n ++>，因此n>-1或n<-26. 已知等差数列{}n a 中，前n 项和为Sn ，1100710080,0a a a >+=，则当Sn 取最大值时，n=（）A.1007B.1008C.2014D.2015 答案：A解析：把题设条件转换为首项和公差112201302/2013a d a d +=⇒=-211(1)[(12/d)]22n n n dS na d n a n -=+=-- 对称轴为n=2014/2 7. 双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>与直线y=x 交于不同的两点，则双曲线C 的离心率的取值范围是（）A.(1,2)(2,)+∞UB. (2,)+∞C. (1,2)D. (2,2) 答案：B解析：转化题设条件为渐近线斜率的限制范围||1ba>即222112b e e a =->⇒>8. 已知ABCD-A ’B ’C ’D ’为正方体，则二面角B-A ’C ’-A 的余弦值为（） A.23 B.22 C.63 D. 32答案：C解析：把二面角转换为平面角如图所示，sin ''/BEB BB BE ∠=9. 若命题“2(1,),(2)20x x a x a ∀∈+∞-+++≥”为真命题，则实数a 的取值范围是（） A. (－∞，－2] B. (－∞，2] C.[－2，2] (1, +∞) D. (,2][2,)-∞-+∞U 答案：B解析：考查分类整合能力（1）二次函数开口向上，当判别式≤0时恒有f(x)≥0，解得22a -≤≤ （2）当判别式>0时，21x ≤，解得2a <- 综上，a ≤210. 已知椭圆2212516x y +=与双曲线2215x y m -=有共同的焦点12,F F ，两曲线的一个交点为P ，则12PF PF ⋅u u u r u u u u r的值为（）A. 3B.7C. 11D. 21 答案：C解析：椭圆与双曲线同焦点，解得m=4设焦半径1122r PF r PF =>=，根据圆锥曲线定义得121210,4r r r r +=-= 解得127,3r r ==，而焦距为6，由余弦定理得22273611cos 22121α+-==⨯，因此数量积为37cos 11α⨯⨯=11. 已知ABC ∆的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，以下说法： ①在ABC ∆中，“a,b,c 成等差数列”是“22A 3coscos 222C a c b +=”的充要条件； ②命题“在锐角ABC ∆中，sin sin .A B >”的逆命题和逆否命题均为真命题；③命题“对任意ABC ∆，sin sin sin .A B C +>”为假命题. 正确的个数为（）A. 0B.1C. 2D. 3 答案：B解析：综合考查解正弦定理的正反应用显然②③均不正确，下面只证明命题①的正确性 必要性：首先化简得(1cosC)(1cos )3a c A b +++=已知sin sin()sin cosC cos sinC B A C A A =+=+，使用正弦定理得cosC cos b a c A =+ 因此(cosC cos )3a c a c A b +++=，即2a c b +=充分性：23a c b a b c b +=⇒++=，把cosC cos b a c A =+代入得(cosC cos )3a c a c A b +++=，即22A 3cos cos 222C a c b += 12. 如图，设椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左右顶点分别为12,A A ，上顶点为B ，从椭圆上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F ，且2//A B OP ，2105FA =+，过A 2作x 轴的垂线l ，点M 是l 上任意一点，1A M 交椭圆于点N ，则OM ON ⋅=u u u u r u u u r（）A. 10B.5C. 15D. 随点M 在直线l 上的位置变化而变化 答案：A解析：已知点坐标12(,0),(,0)A a A a -，(,0),(0,)F c B b - 因此直线OP 的斜率等于BA 2的斜率/k b a =-由通径知2(,)b P c a-，故OP 的斜率2b b k b c ac a =-=-⇒= 由于2105FA a c =+=+联立方程解得221105x y +=取特殊位置M 与A2重合处，向量的数量积为210a =，故选A 二、 填空题13. 已知数列{}n a 的前n 项和公式为23nn S n =-，则678a a a ++=___答案：215解析：考查错差法求通项公式11123(233)23n n n n n n a S S n n ---=-=---+=-取n=6,7,8代入求和即可14. 已知实数x,y 满足2214x y +=，则x+2y 的最大值为___ 答案：2 2解析：考查参数方程2cos ,sin x y θθ==代入目标函数得22(cos sin )22sin()x y θθθϕ+=+=+15. 四棱柱ABCD-A ’B ’C ’D ’各棱长均为1，1160A AB A AD BAD ∠=∠=∠=︒，则点B与点D 1两点间的距离为___ 答案： 2解析：考查棱柱的性质显然ABD ∆三边相等，可知AA1⊥BD 四条侧棱相互平行，因此DD1⊥BD 等腰1RT BDD ∆中斜边BD1＝ 2 16. 已知222:0,:210(0)2x p q x x m m x -≤-+-<>+，命题“若p ⌝则q ⌝”为假命题，“若q ⌝则p ⌝”为真命题，则实数m 的取值范围是为___答案：m ≥3解析：逆否命题与原命题等价，于是若p 则q ，故集合P 是集合Q 的子集{x |2x 2}P =-<≤ {x |11}Q m x m =-≤≤+12312m m m -≤-⎧⇒≥⎨+≥⎩ 三、 解答题17. （10分）已知2:21p a x a ≤≤+，2:3(1)620q x a x a -+++≤，若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围.解析：若P 是Q 的子集，则x P ∈是x Q ∈的充分条件:(2)((31))0q x x a --+≤当3a+1≥2时，222131a a a ≥⎧⎨+≤+⎩解得[1,3]当3a+1≤2时，223112a a a ≥+⎧⎨+≤⎩解得a=-1综上，131a a ≤≤=-或18. 已知a,b,c 分别为ABC ∆的三个内角A,B,C的对边，cos sin 0a C C b c +--=. (1)求角A;(2)若a=2，ABC ∆面积为 3 求b,c. 解析：考查正弦和余弦定理(1)由正弦定理得sin cos sin sin sin 0A C A C B C --= 其中sin sin()B A C =+sin cos sin sin 0A C A C C --= 由于sin 0C ≠cos 1A A -=即2sin(/6)1A π-= 因此/6/6A ππ-=，/3A π= (2) ABC ∆面积为 3转换为1sin 42S bc A bc ==⇒= 由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，因此228b c += 综上，b=c=219. 已知等差数列{}n a 的首项11a =，公差d>0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{}n b 的第2项、第3项、第4项. (1)求数列{}n a 与{}n b 的通项公式;(2)设数列{}n c 对于任意*n N ∈均有3121123...n n nc c c c a b b b b +++++=成立，求1232015...c c c c ++++的值.解析：(1)依题意得221b a a d ==+，3514b a a d ==+，414113b a a d ==+ 由等比中项得2(14)(1)(113)d d d +=++，解得d=2或0（舍） 因此12(1)21n a n n =+-=-2343,9,27b b b ===故首项为1，公比为3因此13n n b -=(2)考查通项作差法31121231...n n n c c c c a b b b b --++++= 作差得1123n nn n n nc a ad c b -+=-=⇒=⨯， 注意到12113c a c b =⇒=因此数列131231n n n c n -=⎧=⎨⨯>⎩ 因此2014201520156(13)3313S -=+=-20. 已知抛物线2:2(0)E x py p => 直线2y kx =+ 与E 交于A,B 两点，且2OA OB ⋅=u u u r u u u r其中O 为原点.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点C(0,-2)，记直线CA ，CB 的斜率分别为k1,k2，求222122k k k +-的值.解析：(1)平面向量坐标运算，故设1122(,),(,)A x y B x y 联立直线与抛物线方程得2240x pkx p --=因此12122,4x x pk x x p +==-，212121212(2)(2)2()44y y kx kx k x x k x x =++=+++=由数量积得12122x x y y +=，即p=1/2，故抛物线方程为2x y = (2)由(1)知1212,2x x k x x +==-依题意得2211221211222222,y x y x k k x x x x ++++====22222222121212122222212221112121222121212222()()2()22()()2()2()2()816x x k k k x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++-=+-+++=+-+=--+=-=21. 已知函数21()ln f x x x=-.(1)求函数f(x)在21[,]e e上的最值；(2)证明：当(1,)x ∈+∞时，函数3221()32g x x x =+的图像在()y f x =的图像上方. 解析：先化简2()ln f x x x =+，因此1'()2f x x x=+导函数为对勾函数，当x>0时1'()2f x x x=+≥因此函数f(x)在21[,]e e 上单调递增，最小值211()1f e e=-，最大值24()2f e e =+构造3221()()()ln 32F x g x f x x x x =-=--求导得322121'()2x x F x x x x x--=--=令32()21h x x x =--，2'()622(31)0,(1)h x x x x x x =-=->> 故'()0F x >，且()21110326F =-=>，即()()g x f x > 22. 设12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左右焦点，过左焦点且斜率为1的直线l 与E 相交于A,B 两点，且22,,AF AB BF 成等差数列. (1)求E 的离心率；(2)设A,B 两点都在以P(-2,0)为圆心的同一圆上，求E 的方程. 解析：(1)由等差中项得222AB AF BF =+ 焦点弦三角形周长224AB AF BF a ++=综上可得AB=4a/3求离心率可以根据求弦长分为两种方法方法一：过左焦点(-c,0)的直线方程为y x c =+，设A,B 两点坐标1242()3a AB a e x x =++=，故1223a x x e+=-，且12122y y x x c +=++根据概率公式可得212121y y e x x +=-+即22131e e -=-解得/2e =方法二：根据焦点弦长公式可得2222222244cos 23ab ab aAB a c a c θ===--解得222,2a c e ==(2)设弦AB 的中点00(,)M x y ，P(-2,0) 等腰PAB ∆中三线合一，MP 斜率为－10012y k x ==-+ 由(1)知12023x x a x e +==-，120223x x c ay c e++==- 因此233a ac e e-=-解得6b c == 故2217236x y +=。

洛阳市2014-2015学年高中三年级期末考试数 学 试 卷（理A ）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、已知集合{}24120x x x A =--<，{}2x x B =<，则()RAB =ð（ ）A ．{}6x x <B ．{}22x x -<<C ．{}2x x >-D ．{}26x x ≤< 2、设i 为虚数单位，复数212ii+-的共轭复数是（ ） A ．35i B ．35i - C ．i D ．i - 3、已知双曲线C :22221x y a b-=（0a >，0b >）的焦距为10，点()2,1P 在C 的渐近线上，则C 的方程为（ ）A ．221205x y -= B ．221520x y -= C ．2218020x y -= D ．2212080x y -=4、若程序框图如图所示，则该程序运行后输出k 的值是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．75、已知命题:p 0R x ∃∈，使0sin x =:q R x ∀∈，都有210x x ++>．给出下列结论：①命题“p q ∧”是真命题；②命题“()p q ∧⌝”是假命题； ③命题“()p q ⌝∨”是真命题；④命题“()()p q ⌝∨⌝是假命题． 其中正确的命题是（ ）A ．②③B ．②④C ．③④D ．①②③6、已知角α的终边经过点()a A ，若点A 在抛物线214y x =-的准线上，则sin α=（ ）A ．BC ．12-D ．127、在平面直角坐标系内，若曲线C :22224540x y ax ay a ++-+-=上所有的点均在第四象限内，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(),2-∞-B ．(),1-∞-C ．()1,+∞D ．()2,+∞ 8、已知直线:m 230x y +-=，函数3cos y x x =+的图象与直线l 相切于P 点，若l m ⊥，则P 点的坐标可能是（ ）A ．3,22ππ⎛⎫--⎪⎝⎭ B ．3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．3,22ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭9、把函数sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上各点的横坐标缩小到原来的12（纵坐标不变），再将图象向右平移3π个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（ ） A ．2x π=-B ．4x π=-C ．8x π=D ．4x π=10、在平面直角坐标系x y O 中，点A 与B 关于y 轴对称．若向量()1,a k =，则满足不等式20a OA +⋅AB ≤的点(),x y A 的集合为（ ）A ．()(){}22,11x y x y ++≤ B ．(){}222,x y x y k +≤C ．()(){}22,11x y x y -+≤ D ．()(){}222,1x y x y k ++≤11、如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A ．200πB ．150πC ．100πD ．50π 12、设二次函数()2f x ax bx c =++的导函数为()f x '．对R x ∀∈，不等式()()f x f x '≥恒成立，则2222b a c +的最大值为（ ）A 2B 2C ．2D ．2 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13、在62x ⎫⎪⎭的展开式中，常数项是 ．14、函数()1,10,01x x x f x e x +-≤<⎧=⎨≤≤⎩的图象与直线1x =及x 轴所围成的封闭图形的面积为 ．15、将5名实习老师分配到4个班级任课，每班至少1人，则不同的分配方法数是 （用数字作答）． 16、如图，在C ∆AB中，C sin2∠AB =，2AB =，点D 在线段C A 上，且D 2DC A =，D B =，则cosC = ． 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17、（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意正整数n 都有612n n S a =-．()1求数列{}n a 的通项公式； ()2设12log n n b a =，求22212111111n n b b b T =++⋅⋅⋅+---．18、（本小题满分12分）在某学校的一次选拔性考试中，随机抽取了100名考生的成绩（单位：分），并把所得数据列成了如下表所示的频数分布表：()1求抽取的样本平均数x 和样本方差2s （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；()2已知这次考试共有2000名考生参加，如果近似地认为这次成绩z 服从正态分布()2,μσN （其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s ），且规定82.7分是复试线，那么在这200012.7≈，若()2,z μσN ，则()0.6826z μσμσP -<<+=，()220.9544z μσμσP -<<+=）()3已知样本中成绩在[]90,100中的6名考生中，有4名男生，2名女生，现从中选3人进行回访，记选出的男生人数为ξ，求ξ的分布列与期望()ξE ．19、（本小题满分12分）如图，在四棱锥CD P -AB 中，底面CD AB 是直角梯形，D//C A B ，DC 90∠A =，平面D PA ⊥底面CD AB ，Q 为D A 的中点，D 2PA =P =，1C D 12B =A =，CD =． ()1求证：平面Q PB ⊥平面D PA ；()2在棱C P 上是否存在一点M ，使二面角Q C M -B -为30？若存在，确定M 的位置；若不存在，请说明理由．20、（本小题满分12分）已知椭圆C :22221x y a b+=（0a b >>）的离心率为12，一个焦点与抛物线24y x =的焦点重合，直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点． ()1求椭圆C 的标准方程；()2设O 为坐标原点，22b k k aOA OB⋅=-，判断∆AOB 的面积是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由． 21、（本小题满分12分）设函数()()2ln 12f x x ax a x =---（0a >）．()1若0x ∃>，使得不等式()264f x a a >-成立，求实数a 的取值范围；()2设函数()y f x =图象上任意不同的两点为()11,x y A 、()22,x y B ，线段AB 的中点为()00C ,x y ，记直线AB 的斜率为k ，证明：()0k f x '>．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB 是O 的切线，B 为切点，D A E 是O 的割线，C 是O 外一点，且C AB =A ，连接D B ，BE ，CD ，C E ，CD 交O 于F ，C E 交O 于G ． ()1求证：CD D C BE⋅=B ⋅E ；()2求证：FG//C A ．23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系x y O 中，过点()2,0P 的直线l 的参数方程为2x y t⎧=-⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），圆C 的方程为229x y +=．以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．()1求直线l 和圆C 的极坐标方程；()2设直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，求PA ⋅PB 的值．24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲()1设函数()52f x x x a =-+-，R x ∈，若关于x 的不等式()f x a ≥在R 上恒成立，求实数a 的最大值；()2已知正数x ，y ，z 满足231x y z ++=，求321x y z++的最小值．洛阳市2014-2015学年高中三年级期末考试数 学 试 卷（理A ）参考答案一、选择题：13、60 14、12e 15、24016、79三、解答题。

2015-2016学年高中三年级第二次统一考试数学（理）试卷解析一、选择题：1. 设复数z 满足(1)(1)2z i -+= （i 为虚数单位），则|z|＝ A.1 B.5 C. 5 D. 13 【答案】C【考点】复数运算，复数的模 【解析】因式展开得(1)2(1)z i i +=++ 从而复数31iz i+=+，分母实数化得到2z i =-因此||z == C【点评】：分式形式的复数运算，注意分母实数化的步骤，分子分母要求同乘分母的共轭复数；求模运算注意正确选取实部和虚部；本题属于基本题型2. 若命题21:(0,),log ()1p x x x∀∈+∞+≥ ，命题2000:,10q x R x x ∃∈-+≤，则下列命题为真命题的是 A.p q ∨ B. p q ∧ C. ()p q ⌝∨ D. ()()p q ⌝∧⌝【答案】A【考点】命题的逻辑运算，基本不等式，对数运算，二次函数 【解析】命题p ，由基本不等式可判定为真命题关于命题q ，使用配方法可得2013()024x -+>，故为假命题综上可知，选项A 为正解 【点评】：命题的逻辑运算并不难，但首先要对命题做出基本判断；本题属于基本题型3. 若()x x f x ae e -=- 为奇函数，则1(1)f x e e -<-的解集为A.(,0)-∞B. (,2)-∞C. (2,)+∞D. (0,)+∞ 【答案】D【考点】函数奇偶性和单调性的综合运用【解析】根据奇函数特性得x x x x ae e e ae ---=- 即a=1 得到()x x f x e e -=-，'()0x x f x e e -=--<因此这是单调递减函数，1(1)(1)f x e f e-<-=-故11x ->- 即x>0【点评】：严格按照定义挖掘已知条件，注意观察函数特殊值；本题属于中档题 4. 执行如图所示的程序框图，则输出i 的值为 A.4 B.5 C.6 D. 55 【答案】B【考点】流程图，平方数列前n 项和公式 【解析】本程序作用是对平方数列求和222(1)(21)12...6n n n n S n ++=+++=容易得到4430,5550S S ==>，故输出5【点评】：注意识记典型数列前n 项和公式；本题属于基本题型5. 已知()s i n ()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+>< 满足1()(),(0)22f x f x fπ=-+=，则()2c o s g x x ωϕ=+在区间[0,]2π上的最大值为A.4B. 3C.1D. －2【答案】B【考点】三角函数的频率、相位及初相，诱导公式【解析】由f(0)确定三角函数的初相，1sin 26πϕϕ=⇒=sin()sin[()]626x x πππωω+=-++由诱导公式可知22ωππω=⇒= 因此()2cos(2)6g x x π=+且72[,]666x πππ+∈故max ()2cos 6g x π==【点评】：考查三角函数相关知识，属于基本题型6. 在矩形ABCD 中，AB=3,BC=3,2BE EC = ，点F 在边CD 上，若3AB AF ⋅= ，则A E B F⋅的值为A.4B.833 C.0 D. －4 【答案】D【考点】平面向量，建系知识【解析】如图所示，223BE EC BE BC =⇒==3cos 11AB AF AF DF α⋅=⇒=⇒=以A 为原点建立平面直角坐标系，AD 为x 轴，AB 为y 轴，则B(0,3)，F(3,1)，E(233, 3)，因此2)BF =-23264AE BF ⋅=⨯=-=-【点评】：平面解析几何问题，可以使用三角函数，也可以使用建系方法，利用平面向量的坐标运算，统一处理；属于中档题型7. 设D 为不等式组00230x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩表示的平面区域，圆C:22(5)1x y -+= 上的点与区域D 上的点之间的距离的取值范围是 A.[ 522－1, 34+1) B.[17－1, 34+1] C.[17, 34] D. [17－1, 34－1]【答案】B【考点】简单线性规划，点与圆位置关系【解析】首先求解平面区域的顶点，确定各顶点到圆心的距离d =所求范围 [17－1, 34+1]【点评】：锁定目标函数，完成线性规划；本题属于中档题型 8. 如图所示是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为 A.57+24π B. 57+15π C. 48+15π D. 48+24π 【答案】D【考点】三视图，简单空间组合体【解析】本题为圆锥与直四棱柱的组合体 注意表面积分为三部分，圆锥侧面展开图，即扇形面积56/215ππ⨯= 圆锥底面圆，29S r ππ==直四棱柱侧面积，34448⨯⨯= 总面积为48+24π 【点评】：简单空间组合体，注意表面积可用投影法求得，不易误算；本题属于基本题型9. 已知双曲线C ：2218y x -=的左右焦点分别是1,2F F ，过2F 的直线l 与C 的左右两支分别交于A,B两点，且11AF BF =，则AB =A. B.3 C.4 D. 1【考点】：双曲线的概念【解析】：由双曲线定义可知：21AF AF -2a =，122BF BF a -=;两式相加得：21124AF AF BF BF a -+-= ① 又11AF BF = ，∴①式可变为224AF BF a -==4 即AB =4【点评】：属于基本题，考查学生的转化能力．10. 设等比数列{}n a 的公比为q ，其前项之积为n T ，并且满足条件：2015120152016201611,1,01a a a a a ->><-．给出下列结论：（1）01q <<；（2）2015201710;a a ->（3）2016T 的值是n T 中最大的（4）使1n T >成立的最大自然数等于4030.其中正确的结论为 A.（1）,（3） B.（2）,（3） C. （1）,（4） D. （2）,（4） 【答案】：C 【考点】：等比数列性质【解析】：由20152016101a a -<-可知：20151a <或20161a <． 如果20151a <，那么20161a >，若20150a <，则0q <；，又因为201520161a a q =，所以2016a 应与1a 异号，即20160a <，这假设矛盾，所以0q >．若1q ≥，则20151a >且20161a >，与退出的结论矛盾，所以01q <<，故（1）正确．2201520172016a a a =1<，故（2）错误．由结论（1）可知20151a >，20161a <，所以数列从2016项开始小于1，所以2015T 最大．故（3）错误．由结论（1）可知数列从2016项开始小于1，而123n n T a a a a = ，所以当()22015n T a =时，求得1n T >对应的自然数为4030，故（4）正确 【点评】：本题难度中等，解题的关键是熟练等比数列的性质．11. 已知正四面体S ABC -的外接球OAB 中点E 作球O 的截面，则截面面积的最小值为A. 4πB. 6πC.163π D. 43π【考点】：正四面体的特征，圆的面积公式以及空间想象能力【解析】：由正四面体的外接球的半径R 与棱长a 关系可知：R =，所以正四面体的棱长a =4．因为过E 作球O 的截面，当截面与OE 垂直时，截面圆的半径最小，此时截面圆的面积有最小值．此时截面圆的半径2r =，截面面积24S r ππ== 【点评】：本题属于基础题目，正四面体外接球的半径与棱长关系是解题的关键．12. 若函数()()2x f x e x a x b =++有极值点()1212,x x x x <，且11()f x x =，则关于x 的方程()()()220f x a f x a b ++++=的不同实根个数为 A.0 B.3 C.4 D.5答案：B 【考点】：导数、解一元二次方程、分析转化与数形结合能力【解析】：函数()f x 有两个不相同的极值点，即()()/22x f x e x a x a b ⎡⎤=++++⎣⎦=0有两个不相同的实数根12,x x ，也就是方程()220x a x a b ++++=有两个不相同的实数根，所以()()2240a a b =+-+> ．由于方程()()()220f x a f x a b ++++=的判别式/= ，故此方程的两个解为1()f x x =或2()f x x =．由于函数()y f x =的图像和直线1y x =的交点个数即为方程1()f x x =的解的个数，函数()y f x =的图像和直线2y x =的交点个数即为方程2()f x x =的解的个数．根据函数的单调性以及11()f x x =，我们作出函数的大致图像．由图可知()y f x =的图像和直线1y x =的交点个数为2，()y f x =的图像和直线2y x =的交点个数为1.所以1()f x x =或2()f x x =共有三个不同的实数根，即关于x 的方程()()()220f x a f x a b ++++=的不同实根个数为3【点评】：本题难度中等偏上，是导数单调性、极值点与解一元 二次方程的综合题目，求解的关键是判断出函数的单调性，画出大致图像，并将方程解的个数问题转化为函数图像的交点个数问题． 二、填空题1. 611x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为_____________.【答案】141【考点】二项式定理．【解析】将原式看做611x x ⎡⎤⎛⎫++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，由二项式定理可得展开式的通项为61611r r r r T C x x -+⎛⎫=⋅⋅+ ⎪⎝⎭．又1rx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式通项为()121=m m r m m r m m r r T C x x C x ---+=⋅⋅⋅，则取常数项时2r m =，由题可知{}{}0,1,2,3,4,5,60,1,2,3,4,5,6r m ∈∈，，则m 的可能取值为0,1,2,3，对应的r 分别为0,2,4,6．0,0m r ==时，常数项为1；1,2m r ==时，常数项为30；2,4m r ==时，常数项为90；3,6m r ==时，常数项为20；故原式常数项为1309020141+++=．【点评】：利用已知的二项式定理，将多项式合理组合，变形为二项式，进而再用公式逐步分析．2. 已知F 为抛物线24y x =的焦点，(),P x y 是该抛物线上的动点，点A 是抛物线的准线与x轴的交点，当PF PA最小时，点P 的坐标为_____________.【答案】()1,2±【考点】抛物线焦半径公式，基本不等式．【解析】由题可知焦半径1PF x =+，则()()2222211461PA x y x x x x =++=++=++，则2222221216441161616PF x x x x x xPA x x x x x x ⎛⎫++++-===- ⎪ ⎪++++++⎝⎭，因为点(),P x y 在抛物线上，所以0x >，则244411162626x x x x x=≤=+++++(当且仅当11x x x ==即时取等号)，则12PF PA ≥，且取最小值时1x =，此时点P 的坐标为()1,2±．【点评】：会利用焦半径公式将几何意义转化为函数运算，分式型最值要善于变形，联想基本不等式．3. 如图所示，若在边长为e （e 为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为________________.【答案】21e【考点】定积分，几何概型．【解析】由图可知正方形关于直线y x =对称，又x y e =与ln y x =图象也关于直线y x =对称，如下图，则()()110ln 1exx dx e e dx =-=⎰⎰，正方形面积为2e ，则概率为21e【点评】：遇到较难的指数或对数函数问题，可以先联系反函数，被积函数为对数函数时不好求，可根据图象特征等价转化为指数函数．4. 对于数列{}n a ，若()*,m n N m n ∀∈≠，都有()n ma a t t n m-≥-为常数成立，则称数列{}n a 具有性质()P t ．若数列{}n a 的通项公式为2n aa n n=-，且具有性质()10P ，则实数a 的取值范围是_______________.【答案】[)36+∞，【考点】全称命题，推理运算．【解析】由数列通项公式且数列具有性质()10P 可知2210n m a a n m a a n m n m n m⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭=≥--，则22221010100a a a a n m n n m m n m n m n mn m⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-------- ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-=≥--恒成立，则数列210a n n n ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭为单调递增数列，则有()()2211100+1a a n n n n n n ⎛⎫+-+----≥ ⎪⎝⎭恒成立，化简得()()129a n n n ≥-+-，由数轴标根法作图观察可知3n =时最值成立，则带入可得36a ≥． 【点评】：恒成立问题一般转化为求最值，构造新的数列形式后要利用递推关系建立不等式．三、解答题（本小题满分12分）1. 在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，,0)cos()sin (sin cos =+-+B A B a CB c = （1）求角C 的大小；（2）求B A sin sin ⋅的最大值.【答案】（1）3π （2）43 【考点】正弦定理，三角恒等变换 【解析】.3,3t a n 3,s i n c o s 1s i n c o ss i n 0c o s )s i n (0c o s )s i n (s i n c o s 0)c o s ()s i n (s i n c o s )1(π=∴=∴===∴=∴=-+∴=--∴=+-+C C c Cc C A a C a A C a C B C B a C B B A B a C B].43,0(sin sin ].43,0(41)62sin(21),67,6(62),32,0(41)62sin(21)32sin(sin sin sin )2(∈⋅∴∈+-∴-∈-∴∈+-=-⋅=⋅B A A A A A A A B A πππππππ【点评】：正确使用正弦定理和三角恒等变换是解决问题的关键，解题时要注意三角形内角和的应用．本题考查学生逻辑推理能力和灵活运用知识的能力． （本小题满分12分）2. 如图1，在边长为4的正方形ABCD 中，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，沿EF 将矩形ADFE折起使得二面角A EF C --的大小为90︒（如图2），点G 是CD 的中点．（1）若M 为棱AD 上一点，且4AD MD =，求证：DE ⊥平面MFC ； （2）求二面角E FG B --的余弦值 【考点】：（1）线面垂直；（2）空间向量求二面角余弦值 【解析】：解法一（几何法）： （1）证明：在矩形ADFE 中，4AD FE ==，2AE DF ==， 由4AD MD =得：1MD =又由勾股定理得：DE =MF所以：sin AE ADE DE ∠==，cos MD DMF MF ∠==所以：+=2ADE DMF π∠∠，即：DE MF ⊥ABCD 为正方形，二面角A EF C --为直二面角，E 、F 为中点所以：CF ⊥面MFC ； 所以：CF DE ⊥故有：DE CF DE MF CF MF F ⊥⎧⎪⊥⎨⎪=⎩，所以，DE ⊥面MFC解法二（坐标法）（略）（2）以F 为坐标原点，分别以FD,FC,FE 为x,y,z 轴，如图所示构建空间直角坐标系，则：()0,0,4E ，()0,0,0F ，()1,1,0G ，()0,2,4B ()0,0,4FE = ，()1,1,0FG = ，()0,2,4FB =设面EFG 的法向量为111(,,)m x y z = ，面BFG 的法向量为222(,,)n x y z =，则有： 00m FE m FG ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，00n FB n FG ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 即：111400z x y =⎧⎨+=⎩，2222240y z x y +=⎧⎨+=⎩ 故可取：()1,1,0m =- ，()2,2,1n =-cos ,3m n m n m n<>==【点评】：（1）本小题考察巧妙，打破一部分同学认为证明题无需计算的思维误区，同互余角三角函数关系证明垂直；（2）常规向量法求二面角余弦值，同学们在备考中要注意：图形中二面角锐钝不明显的情况 （本小题满分12分）3.该水库建一座至多安装3台发电机组的水电站，已知每年发电机组最多可运行台数Y 受当年年（（2）若某台发电机组正常运行，则该台发电机组年利润为5000万元；若某台发电机组未运行，则该台发电机组年亏损800万元．为使水电站年总利润的期望达到最大，应安装发电机组多少台？ 【答案】（1）1.9 （2）2台 【考点】离散随机变量的分布【解析】（1）依题意，.2.05010)8040(1==<<=X p p7.05035)12080(2==≤≤=X p p .1.0505)120(3==≥=X p p随机变量Y 的数学期望为 .9.11.037.022.01)(=⨯+⨯+⨯=Y E记水电站总利润为Z （单位：万元） ① 安装1台发电机的情形.由于水库年流入量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润.500015000)(,5000=⨯==Z E Z ② 安装2台发电机的情形.依题意，当8040<<X 时，一台发电机运行，此时,42008005000=-=Z 因此2.0)8040()4200(=<<==X P Z P ；当80≥X 时，两台发电机运行，此时 ,1000025000=⨯=Z 因此8.0)80()10000(=≥==X P Z P .由此 Z 的分布列如下：.88408.0100002.04200)(=⨯+⨯=Z E③ 安装3台发电机的情形.依题意，当8040<<X 时，一台发电机运行，此时,340016005000=-=Z 因此2.0)8040()3400(=<<==X P Z P ；当12080≤≤X 时，两台发电机运行，此时 ,920080025000=-⨯=Z 因此7.0)12080()9200(=≤≤==X P Z P .当120>X 时，三台发电机运行，此,1500035000=⨯=Z 因此1.0)120()15000(=>==X P Z P ． 由此Z.86201.0150007.092002.03400)(=⨯+⨯+⨯=Z E综上，欲使水电站年总利润的期望达到最大，应安装发电机2台．【点评】正确理解题意是基础，准确写出各分布列是关键．本题考查学生逻辑推理能力和离散随机变量的分布． （本小题满分12分）4. 已知椭圆C:22221(0)x y a b a b+=>>的左右顶点分别为A,B ，右焦点为F ，离心率12e =，点P 是椭圆C 上异于A,B 两点的动点，△APB的面积最大值为（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线AP 与直线2x =交于点D ，试判断以BD 为直径的圆与直线PF 的位置关系，并作出证明．【考点】（1）椭圆基本量；（2）联消判韦，点线距离，线圆位置关系，分类讨论【解析】（1）由题意得，22212212a b a b c c a ⎧=⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎩，解得：21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以，椭圆方程为：22143x y +=. （2）以BD 为直径的圆与直线PF 相切．证明：设直线AP ：()2(0)y k x k =+≠，则：(2,4)D k ，BD 的中点为M 为(2,2)k 联立22143(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 整理得：2222(34)1616120k x k x k +++-= 设()00,P x y ，由韦达定理得：2021612234k x k --=+， 解得：2026834k x k-=+，故有：()00212234k y k x k =+=+ 又()1,0F ，所以当12k =±时，31,2P ⎛⎫± ⎪⎝⎭，()2,2D ±，此时PF x ⊥轴， 以BD 为直径的圆()()22211x y -+±=与直线PF 相切． 当12k ≠±时，0204=114PF y k k x k =--， 所以直线PF ：()24114k y x k =--，即：224401414k k x y k k --=--，所以点E 到直线PF的距离2d k == 而=4BD k ，即知：12d BD =，所以以BD 为直径的圆与直线PF 相切 【点评】：解法常规，难度适当（本小题满分12分）5. 设函数bx x x a x f -+=221ln )()0,,(≠∈a R b a ，1=x 为函数)(x f 的极值点． （1）若1=x 为函数)(x f 的极大值点，求)(x f 的单调区间（用a 表示）；（2）若函数)(x f 恰有一个零点，求实数a 的取值范围．【点评】：本题属于导数问题的中档题，主要考查导数和函数单调性、零点问题，涉及的主要思路是对参数范围的分类讨论，其中)21(ln )(a a a a f --=的正负问题用到构造函数再求导分析，难度不大．【解析】：由题意可得：定义域为),0(+∞∈xxa bx x x f +-='2)( 且1=x 为极值点，ab a b f +=⇒=+-='∴101)1( 故x a x x a x f )1(21ln )(2+-+= 且 xa x x x f ))(1()(--='（1≠a ） （1）1=x 为函数)(x f 的极大值点 1>∴a当)1,0(∈x 时，)(x f 的单调递增；),1(a x ∈时，)(x f 的单调递减；),(+∞∈a x 时，)(x f 的单调递增.（2）①若0<a 时，)(x f 在)1,0(∈x 的单调递减；在),1(+∞∈x 时单调递增)(x f 恰有一个零点，210)1(21)1()(min -=⇒=+-==∴a a f x f ②若10<<a 时，)(x f 在),0(a x ∈单调递增；在)1,(a x ∈单调递减；在),1(+∞∈x 单调递增.a x =∴为极大值点0)21(ln )(<--=a a a a f 1=x 为极小值点0)21()1(<+-=a f又022ln )22(>+=+）（a a a f ∴ )(x f 恰有一个零点③若1>a 时，)(x f 在)1,0(∈x 单调递增；在),1(a x ∈单调递减；在),(+∞∈a x 单调递增.1=∴x 为极大值点0)21()1(<+-=a f a x =为极小值点)21(ln )(a a a a f --= 设21ln )(x x x g --= 则211)(-='x x g ，故022ln )2()(max <-==g x g 0)21(ln )(<--=∴a a a a f 又022ln)22(>+=+）（a a a f ∴ )(x f 恰有一个零点 综上所述：若函数)(x f 恰有一个零点，则实数⎭⎬⎫⎩⎨⎧+∞∈21),1()1,0( a 四、选做题（本小题满分10分）1. 选修4－1：几何证明选讲如图所示，已知圆O 外有一点P ，作圆O 的切线PM ，M 为切点，过PM 的中点N ，作割线NAB ，交圆于A 、B 两点，连接PA 并延长，交圆O 于点C ，连接PB 交圆O 于点D ，若MC ＝BC ．（1）求证：△APM ∽△ABP ；（2）求证：四边形PMCD 是平行四边形． 【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的判定． 【解析】（1）∵PM 是圆O 的切线，NAB 是圆O 的割线，N 是PM 的中点，∴MN2＝PN2＝NA·NB ，∴PN NA NB PN =， 又∵∠PNA ＝∠BNP ，∴△PNA ∽△BNP ，∴∠APN ＝∠PBN ，即∠APM ＝∠PBA ．∵MC ＝BC ，∴∠MAC ＝∠BAC ，∴∠MAP ＝∠PAB ，∴△APM ∽△ABP ．(2)∵∠ACD ＝∠PBN ，∴∠ACD ＝∠PBN ＝∠APN ，即∠PCD ＝∠CPM ，∴PM ∥CD ，∵△APM ∽△ABP ，∴∠PMA ＝∠BPA ，∵PM 是圆O 的切线，∴∠PMA ＝∠MCP ，∴∠PMA ＝∠BPA ＝∠MCP ，即∠MCP ＝∠DPC ，∴MC ∥PD ，∴四边形PMCD 是平行四边形．【点评】本题考查的知识点是和圆有关的切割线定理，圆周角定理，三角形相似的判定与性质，平行四边形的判定，熟练掌握平面几何的基本定理是解答本题的关键．2. 选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是2cos ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半M N P DB C A O轴，建立平面直角坐标系，直线错误！未找到引用源。

洛阳市2012-2013学年高三年级期末考试数 学 试 卷（理科）第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.复数11z i=+在复平面内所对应的点在 Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限2.已知全集U R =,集合22{|log (22)}M y y x x ==++，则U C M =A ．(),0-∞B ．[)0,+∞C ．(),1-∞D ．[)1,+∞ 3.若24sin 2,0254παα=<<，则2sin()4πα-的值为 A ．75 B ．25- C ．15- D ．154.设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>与抛物线y 2＝8x 有一个公共的焦点F ，两曲线的一个交点为M ．若|MF|＝5，则椭圆的离心率为A.12 B. 22 C. 13D. 335.如果执行下面的程序框图，则运行结果为A. 8B. 3C. 2D. -26.一个几何体的三视图如右上图所示，该几何体的体积为 A. 738++ B.43 C. 43 D. 837. 将函数()sin()f x x ωϕ=+的图象向右平移4π个单位，若所得函数的最小正周期为π，且在(,)2ππ单调递减，则ϕ的值可以为（ ） A ．-π B ．2π- C ． 0 D ．π8. 若函数1()x f x e ax=+的定义域为R ，则实数a 的取值范围是A ．(),0e -B ．(],0e -C ．(]1,0-D ．()1,-+∞9.已知向量OA u u u r ，OB u u u r ，OC u u u r 满足：=3,2OA OB =u u u r u u u r ，OA u u u r 与OB u u u r 夹角为600，11=32OC OA OB+u u u r u u u r u u u r ，则AC BC u u u r u u u r g 的值为A . 32- B. 3210 . 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左，右焦点分别为12,F F ,过1F 的直线分别交双曲线的两条渐近线于点,P Q .若点P 是线段1F Q 的中点，且12QF QF ⊥,则此双曲线的渐近线方程为 A．y = B ．y = C ．2y x =± D ． 3y x =±11. 用[x]表示不超过x 的最大整数，例如：[][][]2.22, 2.73,00=-=-=.已知数列{}n a 满足：11111,(1)n n n a a a a +==+.记则122013111111s a a a =++⋯++++，则[]s 等于 A. 1 B. 2 C. 3 D.412.定义在[]1,1-上的偶函数()f x 满足：当10x -≤≤时，3()1f x x =+，则方程2(2)(01)f x x a a +=≤≤的根的个数不可能为A ．2B ．3C ．4D ．5第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知5250125(21)x a a x a x a x -=++++L ，则125a a a +++=L .（用具体数字作答） 14.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，若a c －b ＝1，cos A ＝23，则△ABC 的面积是 .15. 若Ω为不等式组0,,210x x y e x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩表示的平面区域，则当a 从1连续变化到e+1时，动直线x y a+=扫过Ω中的那部分区域的面积为 . 16．将3B π=，边长为2的菱形ABCD 沿对角线AC 折成大小等于θ的二面角B AC D --，则下列说法中正确的有 （填上所有正确的答案）. ①AC BD ⊥；②当时，BC AD ⊥；③若平面BAD ⊥平面BCD ，则 BC ⊥DC ，BA ⊥DA ；④当1cos 3θ=-时，四面体B-ACD 外接球的体积为82π.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 是一个公差大于0的等差数列， 125,,a a a 成等比数列， 2614a a +=. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n a 和数列{}n b 满足等式：n a =312n23...2222nb b b b++++(*)n N ∈，求数列{}n b 的前n 项和n S .18.(本小题满分12分)如图，已知四棱锥P —ABCD ，底面ABCD 为菱形， PA⊥底面ABCD ，∠ABC=60°，E ，F ，M 分别是BC ，CD, PB 的中点. （I ）证明：AE ⊥MF ；（II ）若PA=BA ，求二面角E —AM —F 的余弦值.19.（本小题满分12分）“每天锻炼一小时，健康工作五十年，幸福生活一辈子.”一科研单位为了解员工爱好运动是否与性别有关，从单位随机抽取30名员工进行了问卷调查，得到了如下列联表：已知在这30人中随机抽取1人抽到爱好运动的员工的概率是815. (Ⅰ)请将上面的列联表补充完整（在答题卷上直接填写结果，不需要写求解过程），并据此资料分析能否在犯错的概率不超过0.10的前提下认为爱好运动与性别有关？（Ⅱ）若从这30人中的女性员工中随机抽取2人参加一活动，记爱好运动的人数为X ，求X 的分布列、数学期望.附：22()=,()()()()n ad bc K a b c d a c b d -++++其中n a b c d =+++, 男性 女性 合计 爱好 10 不爱好 8 合计3020()P K k ≥0. 25 0. 1020.（本小题满分12分）已知抛物线E ：y 2=2px(p>0)的焦点为F ，定点(2,3)M 与点F 在抛物线E 的两侧，抛物线E 上的动点P 到点M 的距离与到其准线l 的距离之和的最小值为10.（Ⅰ）求抛物线E 的方程；(Ⅱ) 设直线12y x b =+与圆229x y +=和抛物线E 交于四个不同点，从左到右依次为Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ.若直线BF ，DF 的倾斜角互补，求||||AB CD +的值.21.（本小题满分12分）已知函数()ln ,f x ax x x a R =-∈.（Ⅰ）若对0x >，()1f x ≤恒成立，求a 的取值范围；（Ⅰ）设112212(,()),(,())(0)A x f x B x f x x x <<是函数()f x 图象上的任意两点，记直线AB 的斜率为k . 证明()f x 图象上存在点000(,),P x y 满足102x x x <<，且0()f x k '=．请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.做答时，用2B 铅笔在答题卷上把所选题目对应的题号涂黑。

2016-2017学年河南省洛阳市高三（上）期中数学试卷（理科）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题2x ＜3，x∈Z}，B={x|5≤x＜9}，则A∩B=（ ） A.[5，e 2） B.[5，7] C.{5，6，7} D.{5，6，7，8}2.复数 2+i1+i 的共扼复数是（ ） A.﹣ 32 + 32 i B.﹣ 32 ﹣ 32 i C.32 ﹣ 32 i D.32 + 32 i3.函数y=lncos （2x+ π4 ）的一个单调递减区间是（ ） A.（﹣ 5π8 ，﹣ π8 ） B.（﹣ 3π8 ，﹣ π8 ） C.（﹣ π8 ， π8 ） D.（﹣ π8 ， 3π8 ）4.O 为△ABC 内一点，且2 OA →+OB →+OC →=0→ ， AD → =t AC →，若B ，O ，D 三点共线，则t 的值为（ ） A.14 B.13 C.12 D.235.一个几何体的三视图都是边长为1的正方形，如图，则该几何体的体积是（ ）A.112B.13C.√24D.126.由y=x ，y= 1x ，x=2及x 轴所围成的平面图形的面积是（ ） A.ln2+1 B.2﹣ln2C.ln2﹣ 12 D.ln2+ 127.直角△ABC 中，∠C=90°，D 在BC 上，CD=2DB ，tan∠BAD= 15 ，则sin∠BAC=（ ） A.√22 B.√32 C.3√1313D.√22 或 3√13138.已知三棱锥P ﹣ABC 中，PA=AB=AC=1，PA⊥面ABC ，∠BAC= 2π3 ，则三棱锥P ﹣ABC 的外接球的表面积为（ ） A.3π B.4π C.5π D.8π9.定义在R 上的函数f （x ）满足：f′（x ）﹣f （x ）=x•e x， 且f （0）= 12 ，则 f ′(x)f(x) 的最大值为（）A.0B.12C.1D.2第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、解答题n 1，a n ﹣a n+1=a n a n+1 ， n∈N * ． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）S n 为{a n }的前n 项和，b n =S 2n ﹣S n ， 求b n 的最小值．11.函数y=﹣sin （ωx+φ）（ω＞0，φ∈（﹣ π2 ， π2 ））的一条对称轴为x= π3 ，一个对称中心为（ 7π12 ，0），在区间[0， π3 ]上单调． （1）求ω，φ的值；（2）用描点法作出y=sin （ωx+φ）在[0，π]上的图象． 12.函数f （x ）=x•e x ． （1）求f （x ）的极值；（2）k×f（x ）≥ 12 x 2+x 在[﹣1，+∞）上恒成立，求k 值的集合． 13.已知函数f （x ）=lnx ﹣ kx 有两个零点x 1、x 2 ． （1）求k 的取值范围；（2）求证：x 1+x 2＞ 2e ．三、填空题14.等腰△ABC 中，底边BC=2 √3 ，| BA →﹣t BC →|的最小值为 12 | AC →|，则△ABC 的面积为 ．参考答案1.C【解析】1.解：集合A={x|1＜log 2x ＜3，x∈Z} ={x|2＜x ＜8，x∈Z} ={3，4，5，6，7}， B={x|5≤x＜9}， ∴A∩B={5，6，7}． 故选：C ．【考点精析】解答此题的关键在于理解集合的交集运算的相关知识，掌握交集的性质：（1）A∩B A ，A∩B B ，A∩A=A，A∩=,A∩B=B∩A;（2）若A∩B=A，则A B ，反之也成立． 2.D【解析】2.解：复数 2+i1+i = (2+i)(1−i)(1+i)(1−i) =3−i 2 的共扼复数是 32 + 32i ． 故选：D ．【考点精析】认真审题，首先需要了解复数的乘法与除法(设则；)．3.C【解析】3.解：设t=cos （2x+ π4 ），则lnt 在定义域上为增函数， 要求函数y=lncos （2x+ π4 ）的一个单调递减区间，即求函数函数t=cos （2x+ π4 ）的一个单调递减区间，同时t=cos （2x+ π4 ）＞0，即2kπ≤2x+ π4 ＜2kπ+ π2 ，k∈Z， 即kπ﹣ π8 ≤x＜kπ+ π8 ，k∈Z，当k=0时，﹣ π8 ≤x＜ π8 ，即函数的一个单调递减区间为（﹣ π8 ， π8 ），故选：C【考点精析】通过灵活运用复合函数单调性的判断方法，掌握复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”即可以解答此题． 4.B【解析】4.解：以OB ，OC 为邻边作平行四边形OBFC ，连接OF 与 BC 相交于点E ，E 为BC 的中点．∵2 OA →+OB →+OC →=0→，∴ OB →+OC →=﹣2 OA →+OF →=2OE →， ∴点O 是直线AE 的中点．∵B，O ，D 三点共线， AD →=t AC →，∴点D 是BO 与AC 的交点． 过点O 作OM∥BC 交AC 于点M ，则点M 为AC 的中点．则OM= 12 EC= 14BC，∴ DMDC = 14，∴ DM=13MC，∴AD= 23 AM= 13AC，AD→=t AC→，∴t= 13．故选：B．5.B【解析】5.解：把三视图还原成原图如图：是一个棱长为1的正方体切去了四个小三棱锥．∴V=1﹣4×13×12×1×1 = 13．故选：B．【考点精析】通过灵活运用由三视图求面积、体积，掌握求体积的关键是求出底面积和高；求全面积的关键是求出各个侧面的面积即可以解答此题．6.D【解析】6.解：由题意，由y=x，y= 1x，x=2及x轴所围成的平面图形如图，其面积是12×1×1+∫121xdx=12+ln2；故选：D ．7.D【解析】7.解：设DE=k ，BD=x ，CD=2x ，BC=3x ． ∵在Rt△ADE 中，∠AED=90°，tan∠BAD= 15 = DEAE ， ∴AE=5DE=5k，∴AD= √AE 2+ED 2 = √26 k ．∵在Rt△BDE 中，∠BED=90°，∴BE= √BD 2+DE 2 = √x 2−k 2，∴AB=AE+BE=5k+ √x 2−k 2． ∵∠C=90°，∴AD 2﹣CD 2=AB 2﹣BC 2 ，即26k 2﹣4x 2=（5k+ √x 2−k 2）2﹣9x 2 ，解得k 2= 12 x 2 ， 或 413 x 2 ， 即x= √2 k ，或x=√132k ，经检验，x= √2 k ，或x= √132k 是原方程的解，∴BC=3 √2 k ，或3√132k ， AB=AE+BE=5k+ √x 2−k 2 =6k ，或 13k2 ，∴sin∠BAC= BC AB= √22，或3√1313．【考点精析】认真审题，首先需要了解正弦定理的定义(正弦定理:)．8.C【解析】8.解：△ABC 中，BC= √1+1−2×1×1×(−12) = √3 ． 设△ABC 外接圆的半径为r ，则2r= √3sin1200 ，∴r=1，∴三棱锥P ﹣ABC 的外接球的半径为 12√1+4 = √52 ， ∴三棱锥P ﹣ABC 的外接球的表面积为 4π⋅54 =5π．故选：C ．【考点精析】本题主要考查了球内接多面体的相关知识点，需要掌握球的内接正方体的对角线等于球直径;长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长才能正确解答此题． 9.D【解析】9.解：令F （x ）= f(x)e x ，则F′（x ）= e x [f ′(x)−f(x)]e 2x= f ′(x)−f(x)e x =x ，则F （x ）= 12 x 2+c ， ∴f（x ）=e x （ 12 x 2+c ）， ∵f（0）= 12， ∴c= 12 ，∴f（x ）=e x （ 12 x 2+ 12 ），∴f′（x ）=e x （ 12 x 2+ 12 ）+x•e x ，∴ f ′(x)f(x) = x 2+2x+1x 2+1 ，设y= x 2+2x+1x 2+1 ，则yx 2+y=x 2+2x+1，∴（1﹣y ）x 2+2x+（1﹣y ）=0， 当y=1时，x=0，当y≠1时，要使方程有解， 则△=4﹣4（1﹣y ）2≥0， 解得0≤y≤2，故y 的最大值为2，故 f ′(x)f(x) 的最大值为2，故选：D ．【考点精析】解答此题的关键在于理解基本求导法则的相关知识，掌握若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导．10.（1）解：∵a 1=1，a n ﹣a n+1=a n a n+1，n∈N *．∴ 1an+1−1a n=1，∴数列 {1a n} 是等差数列，公差为1，首项为1． ∴ 1a n=1+（n ﹣1）=n ，可得a n = 1n（2）解：由（1）可得：S n =1+ 12+13 +…+ 1n ． ∴b n =S 2n ﹣S n = 1n+1+1n+2 +…+ 12n ．∴b n+1﹣b n = 1n+2+1n+3 +…+ 12n + 12n+1 + 12n+2 ﹣（ 1n+1+1n+2 +…+ 12n ） = 12n+1 + 12n+2 ﹣ 1n+1 = 12n+1 ﹣ 12n+2 ＞0， ∴数列{b n }单调递增，∴b n 的最小值为b 1= 12【解析】10.（1）由a 1=1，a n ﹣a n+1=a n a n+1 ， n∈N * ． 可得1an+1−1a n=1，利用等差数列的通项公式即可得出．（2）由（1）可得：b n =S 2n ﹣S n = 1n+1+1n+2 +…+12n．再利用数列的单调性即可得出． 【考点精析】本题主要考查了数列的前n 项和和数列的通项公式的相关知识点，需要掌握数列{a n }的前n 项和s n 与通项a n 的关系；如果数列a n 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能正确解答此题． 11.（1）解：由题意得： {12T ≥π32k+14⋅T =7π12−π3，即 {πω≥π32k+14×πω=π4，解得 {ω≤3ω=4k +2又ω＞0，k∈Z，所以ω=2，x= 2π3 为对称轴，2× π3 +φ=kπ+ π2 ，所以φ=kπ﹣ π6 ， 又φ∈（﹣ π2 ， π2 ）， ∴φ=﹣ π6（2）解：由（1）可知f （x ）=sin （2x ﹣ π6 ）， 由x∈[0，π]，所以2x ﹣ π6 ∈[﹣ π6 ， 11π6]，【解析】11.（1）由条件利用三角形函数的周期，对称轴，对称中心，即可ω，φ．（2）用五点法作函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期[0，π]上的图象．【考点精析】解答此题的关键在于理解五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象的相关知识，掌握描点法及其特例—五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切曲线）．12.（1）解：f′（x）=e x（x+1），令f′（x）＞0，解得：x＞﹣1，令f′（x）＜0，解得：x＜﹣1，∴f（x）在（﹣∞，﹣1）递减，在（﹣1，+∞）递增，∴f（x）在极小值是f（﹣1）=﹣1e，无极大值（2）解：x＞0时，k≥ x+22e x，令φ（x）= x+22e x ，则φ′（x）= 12(−x−1)e xe2x＜0，φ（x）在（0，+∞）递减，故φ（x）≤φ（0）=1，即k≥1；﹣1≤x＜0时，k≤ x+22e x，φ′（x）= −x+1e x ＜0，故φ（x）在[﹣1，0]递减，φ（x）≥φ（0）=1，故k≤1，综上，k=1，故k∈{1}【解析】12.（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的最小值即可；（2）分离参数，令φ（x）= x+22e x ，根据函数的单调性求出k的值即可．【考点精析】本题主要考查了函数的极值与导数和函数的最大(小)值与导数的相关知识点，需要掌握求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能正确解答此题．13.（1）解：函数f（x）=lnx﹣kx 有2个零点，即函数g（x）=xlnx的图象与直线y=k有2个交点，g′（x）=lnx+1，令g′（x）＞0，解得：x＞1e ，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜1e，∴g（x）在（0，1e ）递减，在（1e，+∞）递增，x= 1e 是极小值点，g（1e）=﹣1e，又x→0时，g（x）→0，x→+∞时，g（x）→+∞，g（1）=0，g（x）的大致图象如图示：；由图象得：﹣1e＜k＜0（2）证明：不妨设x1＜x2，由（1）得：0＜x1＜1e＜x2＜1，令h（x）=g（x）﹣g（2e ﹣x）=xlnx﹣（2e﹣x）ln（2e﹣x），h′（x）=ln[﹣（ex﹣1）2+1]，当0＜x＜1e 时，h′（x）＜0，h（x）在（0，1e）递减，h（1e）=0，∴h（x1）＞0，即g（x1）＞g（2e﹣x1），g（x2）＞g（2e﹣x1），x 2，2e﹣x1∈（1e，+∞），g（x）在（1e，+∞）递增，∴x2＞2e﹣x1，故x 1+x 2＞ 2e【解析】13.（1）问题转化为函数g （x ）=xlnx 的图象与直线y=k 有2个交点，求出g （x ）的单调性，画出函数图象，从而求出k 的范围即可；（2）设x 1＜x 2 ， 根据函数的单调性得到x 2 ， 2e ﹣x 1∈（ 1e ，+∞），g （x ）在（ 1e ，+∞）递增，从而证出结论即可．【考点精析】通过灵活运用利用导数研究函数的单调性，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减即可以解答此题．14.√3【解析】14.解：等腰△ABC 中，底边BC=2 √3 ，| BA → ﹣t BC → |的最小值为 12| AC → |，则△ABC 的面积 故BC 边上的高为 12 | AC → |，故有sin∠C= 12|AC →||AC →| = 12 ，∴∠C=30°=∠B，∴∠A=120°，AB=AC ，∴ (2√3)2 =AB 2+AC 2﹣2AB•AC•cos120°，∴AB=AC=2，∴△ABC 的面积为 12•AB•AC•sin120°= √3 ，所以答案是： √3 ．。

洛阳市2015――2016学年高中三年级期末考试物理试卷本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共100分，考试时间90分钟。

第I卷(选择题，共42分)注意事项：1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。

3．考试结束后，将答题卡上交。

一、本题共14小题，每小题3分，共42分。

.1一9题为单选题，在每小题给出的四个选项中只有一个选项符合题目要求；10－14题为多选题，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符台题目要求，全部选对的得3分，选对但不全的得2分.有选错或不答的得0分。

1．著名物理学家钱三强曾经说过：“在物理教学中适当增加一点物理学史的内容，或者在教学计划中增加一门物理学史选修课，让学生更多地了解科学发展的历程，这对他们的成长是有益的”.以下说法符合物理学史的是A.法拉第发现了电磁感应现象，并最早发现了电磁感应定律B.卡文迪许发现了万有引力定律之后，用著名的扭秤实验测出了引力常量C.奥斯特发现了电流的磁效应，揭示了磁现象和电现象之间的联系D.牛顿最先通过实验和科学推理的方法发现了力和运动的关系，进而得出了牛顿第一定律2．近年来，智能手机的普及使“低头族”应运而生。

近日研究发现，玩手机时，就有可能让颈椎承受多达60磅(约270N)的重量。

不当的姿势与一系列健康问题存在关联，如背痛、体重增加、胃痛、偏头痛和呼吸道疾病等，当人体直立时，颈椎所承受的压力等于头部的重量；但当低头时，颈椎受到的压力会随之变化。

现将人低头时头颈部简化为如图1所示的模型；重心在头部的P 点，颈椎OP(轻杆)可绕O 转动，人的头部在颈椎的支持力和沿PQ 方向肌肉拉力的作用下处于静止.假设低头时颈椎与竖直方向的夹角为450, PQ 与竖直方向的夹角为600，此时，颈椎受到的压力约为直立时颈椎受到压力的 A. 4. 2倍 B. 3.3倍 C. 2.8倍 D. 2..0倍3．2015年3月5日，国务院总理李克强在十二届全国人民代表大会上所做的政府工作报告中提到：“超级计算、探月工程、卫星应用等重大科研项目取得新突破”.若已知地球的半径为R ，赤道上物体随地球自转的加速度为a 1:，第一宇宙速度为v 1；地球同步卫星的轨道半径为r ，向心加速度为a 2，运动速率为v 2，下列关系正确的是12111122222a a v v R R R R A B C D a a v v r r r r=．＝．（）．＝．＝（） 4．如图2甲是线圈P 绕垂直于磁场的轴在匀强磁场中匀速转动时所产生的正弦交流电压图像，把该交流电压加在图乙中变压器的A 、B 两端。

洛阳市高中三年级期末考试数学试卷（理A ）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、若复数z 满足23(1)1i z i -=+，则z 的虚部为A ．0B ．12C ．1D ．12- 2、已知集合1{1,10,},{|lg ,}10A B y y x x A ===∈，则A B = A ．1{}10B ．{10}C ．{1}D ．φ 3、已知向量(,1),(2,1)a m b m ==-，若a b a b +=-，则实数m =A ．1-B ．2-C ．1D ．24、下列不等式一定成立的是A ．1sin 2sin x x +≥ B ．244x x +≥ C ．2lg(1)lg(2)x x +> D ．11a b +>5、某程序框图如图所示，若该程序运行后输出S 的值是74，则 A ．3a = B ．4a = C ．5a = D ．6a =6、分别在区间[0,]2π和[]0,1内任取两个实数,x y ，则不等式cos y x ≤恒成立的概率为A ．1πB ．2πC ．3πD ．12 7、在ABC ∆中，已知三条边上的高线分别为111,,357，则ABC ∆的最大值为 A ．2π B ．23π C ．34π D ．56π 8.已知双曲线C 的焦点1F ,2F ,点P 是双曲线上任意一点，若上无线离心率为2，且12||2||PF PF =，则12cos PF F ∠=A ．14B ．13C D 9.如图定义在[22]—，上的偶函数()f x 和定义在[]1,1-上的奇函数()g x 的部分图象分别如图甲、乙，则函数(())y f g x =的零点个数为A ．9B ．8C ．7D ．610.已知实数,x y 满足0503x y x y y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，若不等式222()x y a x y +≥+恒成立， 则实数a 的最大值为A ．1B ．32C ．2513D ．2 11、已知表面积为24π的球外接于三棱锥S-ABC ，且,43BAC BC π∠==，则三棱锥S ABC -的体积最大值为ABC ．163D ．32312、若函数()y f x =的图象上存在关于原点对称的两点M 、N ，则称函数()f x 有一组“对点”（M 与N 和N与M 视为同一组“对点”）已知()224,0,0x x x x f x m x e⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩有两组“对点”，则非零实数m 的取值范围是A．((4(0,(424)e -⋅⋅B．((2(0,(222)e -⋅⋅C ．2)⋅ D ．4)⋅第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。

【关键字】数学洛阳市2016——2017学年高中三年级第一次统一考试数学试卷（理科）第Ⅰ卷（选择题,共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知为虚数单位，若实数满足，则的模为A. 1B.C.D. 22.已知集合，则A. B. C. D.3.已知，则且是且的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件4.一枚骰子先后抛掷两次，并记朝上的点数分别为m,n，已知m为2或4时，的概率为A. B. C. D.5.已知下列函数中是周期函数且最小正周期为的是A.B.C.D.6.执行下面的程序，若输入的，则输出的结果为A. 92B. . 23 D. 17.等差数列为递加数列，若，则数列的公差d等于A. 1B. . 9 D. 108.已知向量与的夹角为，若，则在方向的投影为A. B. C. 1 D.9.已知简单组合体的三视图如图所示，则此简单组合体的体积为A. B. C. D.10.已知实数满足条件，若取得最大值时的最优解有且只有一个，则实数的取值集合为A. B. C. D.11.等比数列的首项为，公比为，前项和为，则当时，的最大值和最小值之和为A. B. C. D.12.四面体中，,则此此四面体外接球的表面积为A. B. C. D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线C的离心率为 .14.若，则的二项展开式中的系数为 .15.已知抛物线的焦点为F，直线AB与抛物线C相交于A,B两点，若，则弦AB的中点到抛物线C的准线的距离为 .16.已知函数（为自然对数的底数），若对任意的正数，当时，都有成立，则实数m的取值范围为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分12分）如图，平面四边形ABCD中，（1）若，且，求的长；（2）若，求的取值范围.18.（本题满分12分）如图，四边形和四边形均为直角梯形，,二面角是直二面角,（1）证明：在平面上，一定存在过点C 的直线与直线平行；（2）求二面角二余弦值.19.（本题满分12分）雾霾天气对人体健康有害，应对雾霾污染、改善空气质量是当前的首要任务是控制PM2.5，要从压减燃煤、严格控产、调整产业、强化管理、联防联控、依法治理等方面采取重大举措，聚焦重点领域，严格考核指标.某省环保部门为加强环境执法监管，派遣四个不同的专家组对A,B,C 三个城市进行雾霾落实情况抽查.（1）若每个专家组随机选取一个城市，四个专家组选取的城市可以相同，也可以不同，求恰有一个城市没有专家组选取的概率；（2）每个城市都要有四个专家组分别对抽查情况进行评价，并对所选取的城市进行评价，每个专家组给检查到的成绩评价为优的概率为12，若四个专家组均评价为优，则检查通过，不用复检，否则要进行复检，设需进行复检的城市个数为X ，求X 的分布列和期望.20.（本题满分12分）设椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的右焦点为F,右顶点为A,B,C 是椭圆上关于原点对称的两点（B,C 均不在x 轴上），线段AC 的中点为D ，B,F,D 三点共线.（1）求椭圆E 的离心率；（2）设()1,0F ，过F 的直线l 交E 于M,N 两点，直线MA,NA 分别与直线9x =交于P,Q 两点，证明：以PQ 为直径的圆过点F.21.（本题满分12分）设函数()()211ln .2f x x a x a x =--- （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有两个零点，求满足条件的最小正整数a 的值；（3）()f x b =有两个不相等的实数根12,x x ，求证120.2x x f +⎛⎫'>⎪⎝⎭.请考生从第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑.22.（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程为2cos ,22sin x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩（ϕ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆C 的普通方程；（2）直线l 的极坐标方程是2sin 36πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭:6OM πθ=与圆C 的交点为,O P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长.23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知()21 1.f x x x =--+（1）将()f x 的解析式写出分段函数的形式，并作出其图象；（2）若1a b +=，对()()14,0,,3a b f x a b∀∈+∞+≥恒成立，求x 的取值范围.此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word可编辑版本！。

理科数学（四） 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|230}A x x x =--≤，22{|log ()1}B x x x =->，则AB =（ ）A ．(2,3)B ．(2,3]C ．(3,2)--D ．[3,2)--2.命题“存在x Z ∈，使220x x m ++≤”的否定是（ ） A ．存在x Z ∈，使220x x m ++> B ．不存在x Z ∈，使220x x m ++> C ．对任意x Z ∈，使220x x m ++≤ D ．对任意x Z ∈，使220x x m ++> 3.复数3aiz i-=在复平面对应的点在第三象限是0a ≥的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4.设实数,x y 满足条件203600,0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩，若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12，则32a b+的最小值为（ ） A ．256B ．83C ．113D ．45.已知函数()sin cos f x x x =-且'()2()f x f x =，'()f x 是()f x 的导函数，则sin 2x =（ ） A ．13 B ．35- C ．35 D ．13- 6.如图，是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图，P 表示估计结果，则图中空白框内应填入（ ）A ．1000N P =B ．41000N P =C ．1000M P =D ．41000MP =7.在5(1)(2)x x ++的展开式中，3x 的系数为（ ） A ．120 B ．150 C ．180 D ．2408.距某码头400公里的正东方向有一个台风中心，正以每小时20公里速度向西北方向移动，据经验，台风中心距码头300公里时，将对码头产生影响，则这个台风对码头产生影响的时间为（ ）A ．8小时B ．9小时C ．10小时D ．12小时9.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是正三角形，则几何体的外接球的表面积为（ ） A ．83π B ．163π C ．483π D ．643π10.双曲线:C 22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线22(0)y px p =>相交于,A B 两点，公共弦AB 恰好过它们的公共焦点F ，则双曲线C 的离心率为（ ）A B ．1． D ．2+11.在如图所示的正方体中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布(0,1)N 的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ） A ．2386 B ．2718 C ．3413 D ．4772附：若X ～2(,)N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9544P X μσμσ-<≤+=.12.对于函数()f x ，若,,a b c R ∀∈，(),(),()f a f b f c 为某一三角形的三条边，则称()f x 为“可构造三角形函数”，已知函数()1x x e tf x e +=+（e 为自然对数的底数）是“可构造三角形函数”，则实数t 的取值范围是（ ）A ．[0,)+∞B ．[0,2]C ．1[,2]2D ．[1,2]第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知2()321f x x x =++，若11()2()f x dx f a -=⎰，则a = .14.在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则222||||||PA PB PC += .15.抛物线2y x =，若过点(0,)m 且长度为2的弦恰有两条，则m 的取值范围是 . 16.在ABC ∆中，三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，已知2,a b ==，ABC ∆面积的最大值是 .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分）已知数列{}n a 满足11121,2n nn nn a a a a ++==+. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）(1)n n b n n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S . 18. （本小题满分12分）“中国式过马路”存在很大的交通安全隐患，某调查机构为了解路人对“中国式过马路”的态度是否与性别有关，从马路旁随机抽取30名路人进行了问卷调查，得到了如下列联表：已知在这30人中随机抽取1人抽取到反感“中国式过马路”的路人的概率是815. （1）请将上面的列联表补充完整（在答题卡上直接写结果，不需要写求解过程），并据此资料分析反感“中国式过马路”与性别是否有关？（2）若从这30人中的女性路人中随机抽取2人参加一活动，记反感“中国式过马路”的人数为X ，求X 的分布列和数学期望.19. （本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，且2PA PD DA ===，60BAD ∠=. （1）求证：PB AD ⊥；（2）若PB =A PD C --的余弦值.20. （本小题满分12分）分别过椭圆:E 22221(0)x y a b a b+=>>左右焦点12,F F 的动直线12,l l 交于P 点，与椭圆E 分别交于,A B 与,C D 不同四点，直线,,,OA OB OC OD 的斜率1234,,,k k k k 满足1234k k k k +=+，已知当1l 与x轴重合时，||AB =，||CD =（1）求椭圆E 的方程；（2）设点12,E E 的坐标分别为(0,1),(0,1)-，证明：12||||PE PE +为定值. 21. （本小题满分12分） 已知函数21()ln (1)22f x x ax a x =-++-+. （1）当01x <<时，试比较(1)f x +与(1)f x -的大小；（2）若斜率为k 的直线与()y f x =的图象交于不同两点11(,)A x y ，22(,)B x y 线段AB 的中点的横坐标为0x ，证明：'0()f x k >.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，圆O 的直径10AB =，P 是AB 延长线上一点，2BP =，割线PCD 交圆O 于点,C D ，过点P 作AP 的垂直，交直线AC 于点E ，交直线AD 于点F . （1）当75PEC ∠=时，求PDF ∠的度数； （2）求PE PF ∙的值.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos (0)a a ρθθ=>，过点(2,4)P --的直线l的参数方程为2242x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），直线l 与曲线C 相交于AB 两点. （1）写出曲线C 的直角坐标系方程和直线l 的普通方程；（2）若2||||||PA PB AB ∙=，求a 的值. 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知不等式|22||1|x x a +-->. （1）当0a =时，求不等式的解集；（2）若不等式在区间[4,2]-内无解，求实数a 的取值范围.参考答案BDADC DACDB CC 13.-1或1314．10 15．1m < 16． 17．（1）解：数列{}n a 满足11a =，1*12()2n nn nn a a n N a ++=∈+， ∴11221n n n na a ++=+， 即11221n n n n a a ++-=，∴数列2{}n na 是公差为1的等差数列. 可得12211n n n n a a =+-=+，∴21n n a n =+. （2）(1)2nn n b n n a n =+=∙， ∴231222322n n S n =⨯+⨯+⨯++∙，2312222(1)22n n n S n n +=+⨯++-∙+∙，两式相减得：2112(21)22222221n n n n n n S S n n ++--=+++-∙=-∙-1(1)22n n +=-∙-，∴1(1)22n n S n +=-∙+.18．解：（1）设0H ：反感“中国式过马路”与性别与否无关. 由已知数据得：2230(10866) 1.158 3.84116141614K ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，∴没有充足的理由认为反感“中国式过马路”与性别有关. （2）X 的可能取值为0,1,2，282144(0)13C P X C ===，116821448(1)91C C P X C ===，2621415(2)91C P X C ===， ∴X 的分布列为：∴X 的数学期望为：448156()0121391917E X =⨯+⨯+⨯=. 19．解析：（1）证明：取AD 的中点E ，连接,,PE BE BD ， ∵PA PD DA ==，四边形ABCD 为菱形，且60BAD ∠=， ∴PAD ∆和ABD ∆为两个全等的等比三角形，∴90PEB ∠=，即PE BE ⊥，又PE AD ⊥，∴PE ⊥平面ABCD ，以点E 为坐标原点，分别以,,EA EB EP 所在直线为,,x y z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则(0,0,0),((1,0,0),E C D P --，则DP =，(DC =-，由题意可设平面APD 的一个法向量为(0,1,0)m =， 设平面PDC 的一个法向量为(,,)n x y z =，由00x x ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，令1y =，则1x z ==-， ∴(3,1,1)n =-，则1m n ∙=，∴cos ,5||||5m n m n m n ∙<>===， 由题意知二面角A PD C --的平面角为钝角，所以二面角A PD C --的余弦值为5-20.（1）当1l 与x 轴重合时，12340k k kk +=+=，即34k k =-， ∴2l 垂直于x 轴，得||2AB a ==22||b CD a ==得a b ==∴椭圆E 的方程为22132x y +=. （2）设直线12,l l 斜率分别为12,m m ，设1122(,),(,)A x y B x y ，由221132(1)x y y m x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得2222111(23)6360m x m x m +++-=， ∴211221623m x x m +=-+，21223623m x x m -=+， 111212121112121211()(2)y y x x x xk k m m x x x x x x ++++=+=+=+， 2111221124(2)22m mm m m -=-=--，同理2342242m k k m -+=-， ∵1234k k k k +=+，∴1222124422m m m m --=--，即1221(2)()0m m m m +-=， 由题意知：12m m ≠，∴1220m m +=.设(,)P x y ，则2011y y x x ∙+=+-，即221(1)2y x x +=≠±，由当直线1l 或2l 斜率不存在时，P 点坐标为(1,0)-或(1,0)也满足此方程，∴点(,)P x y 在椭圆2212y x +=上， 其焦点坐标分别为12(1,0),(1,0)E E -，所以12||||PE PE +=21．解析：（1）(1)(1)ln(1)ln(1)2f x f x x x x +--=--++，令()ln(1)ln(1)2g x x x x =--++，2'22()1x g x x =-，∵01x <<，∴'()0g x <，()g x 递减，∴()(0)0g x g <=， ∴(1)(1)f x f x +<-. （2）122121ln ln 1()12x x k a x x a x x -=+++--，'0001()1f x ax a x =-++-， '0()f x k >212121ln ln 2x x x x x x -⇔<+-，不妨设210x x >>，21(1)x t t x =>，2212111ln 21x x x x x x ->+，只需证明1ln 2(1)1t t t t ->>+， 令1()ln 21x h x x x -=-+，2'2214(1)()0(1)(1)x h x x x x x -=-=≥++，()(1)0h x h >=在1x >时恒成立，即有'0()f x k >.22．（1）连BC ，90ACB ∠=，75PDF CBA AEF ∠=∠=∠=，（2）由PEC ∆∽PDF ∆和相交弦定理，知24PE PF PC PD PB PA ∙=∙=∙=.23.（1）由2sin 2cos (0)a a ρθθ=>，得22sin 2cos (0)a a ρθρθ=>， ∴曲线C 的直角坐标方程为22(0)y ax a =>，直线l 的普通方程为2y x =-.（2）将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程22y ax =中，得2)8(4)0t a t a -+++=，设,A B 两点对应的参数分别为12,t t ，则有12)t t a +=+，128(4)t t a =+，∵2||||||PA PB AB ∙=，∴21212()t t t t =-，即21212()5t t t t +=，∴212()40(4)t t a +=+，2340a a +-=，解之得：1a =或4a =-（舍去）∴a 的值为1.24．解：（1）由题意得：|22||1|0x x +-->，即|22||1|x x +>-，∴22(22)(1)x x +>-，即231030x x ++>，解得：3x <-或13x >-. ∴不等式的解集为1(,3)(,)3-∞--+∞.（2）设()|22||1|f x x x =+--，[4,2]x ∈-，则3,41()31,113,12x x f x x x x x ---≤<-⎧⎪=+-≤<⎨⎪+≤≤⎩，其图像如图示，则()f x 的最大值为(2)5f =， ∵不等式|22||1|x x a +-->在区间[4,2]-无解， ∴实数a 的取值范围为[5,)+∞.。

洛阳市2014-2015学年高中三年级期末考试数 学 试 卷（理A ）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、已知集合{}24120x x x A =--<，{}2x x B =<，则()RAB =ð（ ）A ．{}6x x <B ．{}22x x -<<C ．{}2x x >-D ．{}26x x ≤< 2、设i 为虚数单位，复数212ii+-的共轭复数是（ ） A ．35i B ．35i - C ．i D ．i - 3、已知双曲线C :22221x y a b-=（0a >，0b >）的焦距为10，点()2,1P 在C 的渐近线上，则C 的方程为（ ）A ．221205x y -= B ．221520x y -= C ．2218020x y -= D ．2212080x y -=4、若程序框图如图所示，则该程序运行后输出k 的值是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．75、已知命题:p 0R x ∃∈，使0sin x =:q R x ∀∈，都有210x x ++>．给出下列结论：①命题“p q ∧”是真命题；②命题“()p q ∧⌝”是假命题； ③命题“()p q ⌝∨”是真命题；④命题“()()p q ⌝∨⌝是假命题． 其中正确的命题是（ ）A ．②③B ．②④C ．③④D ．①②③6、已知角α的终边经过点()a A ，若点A 在抛物线214y x =-的准线上，则sin α=（ ）A ．BC ．12-D ．127、在平面直角坐标系内，若曲线C :22224540x y ax ay a ++-+-=上所有的点均在第四象限内，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(),2-∞-B ．(),1-∞-C ．()1,+∞D ．()2,+∞ 8、已知直线:m 230x y +-=，函数3cos y x x =+的图象与直线l 相切于P 点，若l m ⊥，则P 点的坐标可能是（ ）A ．3,22ππ⎛⎫--⎪⎝⎭ B ．3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．3,22ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭9、把函数sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上各点的横坐标缩小到原来的12（纵坐标不变），再将图象向右平移3π个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（ ） A ．2x π=-B ．4x π=-C ．8x π=D ．4x π=10、在平面直角坐标系x y O 中，点A 与B 关于y 轴对称．若向量()1,a k =，则满足不等式20a OA +⋅AB ≤的点(),x y A 的集合为（ ）A ．()(){}22,11x y x y ++≤ B ．(){}222,x y x y k +≤C ．()(){}22,11x y x y -+≤ D ．()(){}222,1x y x y k ++≤11、如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A ．200πB ．150πC ．100πD ．50π 12、设二次函数()2f x ax bx c =++的导函数为()f x '．对R x ∀∈，不等式()()f x f x '≥恒成立，则2222b a c +的最大值为（ ）A 2B 2C ．2D ．2 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13、在62x ⎫⎪⎭的展开式中，常数项是 ．14、函数()1,10,01x x x f x e x +-≤<⎧=⎨≤≤⎩的图象与直线1x =及x 轴所围成的封闭图形的面积为 ．15、将5名实习老师分配到4个班级任课，每班至少1人，则不同的分配方法数是 （用数字作答）． 16、如图，在C ∆AB中，C sin23∠AB =，2AB =，点D 在线段C A 上，且D 2DC A =，D B =，则cosC = ． 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17、（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意正整数n 都有612n n S a =-．()1求数列{}n a 的通项公式； ()2设12log n n b a =，求22212111111n n b b b T =++⋅⋅⋅+---．18、（本小题满分12分）在某学校的一次选拔性考试中，随机抽取了100名考生的成绩（单位：分），并把所得数据列成了如下表所示的频数分布表：()1求抽取的样本平均数x 和样本方差2s （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；()2已知这次考试共有2000名考生参加，如果近似地认为这次成绩z 服从正态分布()2,μσN （其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s ），且规定82.7分是复试线，那么在这200012.7≈，若()2,z μσN ，则()0.6826z μσμσP -<<+=，()220.9544z μσμσP -<<+=）()3已知样本中成绩在[]90,100中的6名考生中，有4名男生，2名女生，现从中选3人进行回访，记选出的男生人数为ξ，求ξ的分布列与期望()ξE ．19、（本小题满分12分）如图，在四棱锥CD P -AB 中，底面CD AB 是直角梯形，D//C A B ，DC 90∠A =，平面D PA ⊥底面CD AB ，Q 为D A 的中点，D 2PA =P =，1C D 12B =A =，CD =． ()1求证：平面Q PB ⊥平面D PA ；()2在棱C P 上是否存在一点M ，使二面角Q C M -B -为30？若存在，确定M 的位置；若不存在，请说明理由．20、（本小题满分12分）已知椭圆C :22221x y a b+=（0a b >>）的离心率为12，一个焦点与抛物线24y x =的焦点重合，直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点． ()1求椭圆C 的标准方程；()2设O 为坐标原点，22b k k aOA OB⋅=-，判断∆AOB 的面积是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．21、（本小题满分12分）设函数()()2ln 12f x x ax a x =---（0a >）．()1若0x ∃>，使得不等式()264f x a a >-成立，求实数a 的取值范围；()2设函数()y f x =图象上任意不同的两点为()11,x y A 、()22,x y B ，线段AB 的中点为()00C ,x y ，记直线AB 的斜率为k ，证明：()0k f x '>．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB 是O 的切线，B 为切点，D A E 是O 的割线，C 是O 外一点，且C AB =A ，连接D B ，BE ，CD ，C E ，CD 交O 于F ，C E 交O 于G ． ()1求证：CD D C BE⋅=B ⋅E ；()2求证：FG//C A ．23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系x y O 中，过点()2,0P 的直线l 的参数方程为2x y t⎧=-⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），圆C 的方程为229x y +=．以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．()1求直线l 和圆C 的极坐标方程；()2设直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，求PA ⋅PB 的值．24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲()1设函数()52f x x x a =-+-，R x ∈，若关于x 的不等式()f x a ≥在R 上恒成立，求实数a 的最大值；()2已知正数x ，y ，z 满足231x y z ++=，求321x y z++的最小值．洛阳市2014-2015学年高中三年级期末考试数 学 试 卷（理A ）参考答案一、选择题：13、60 14、12e 15、24016、79三、解答题第11 页共11 页。

河南省洛阳市2016届高三毕业班三练理数试题 （理A ）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知复数(1)(1)z i ai =+-是实数，则实数a 的值为（ ） A ．1 B ．0 C ．-1 D ．1± 【答案】A考点：复数概念【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)+∈a bi a b R 的实部为a 、虚部为b 、对应点为(,)a b 、共轭为.-a bi2.下列命题正确的个数为（ ）（1）命题“2000,||0x R x x ∃∈+<”的否定是“2,||0x R x x ∀∈+≥”； （2）若p 是q 的必要条件，则p ⌝是q ⌝的充分条件； （3）a b >是33()()44a b >的充分不必要条件. A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 【答案】B 【解析】试题分析：命题“2000,||0x R x x ∃∈+<”的否定是“2,||0x R x x ∀∈+≥” ，（1）正确；若p 是q 的必要条件，则q ⌝是p ⌝的必要条件，即p ⌝是q ⌝的充分条件，（2）正确；a b >⇔33()()44ab<，所以a b >是33()()44a b >的既不充分也不必要条件，（3）错误.选B. 考点：命题真假判定【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件． 3.执行如图所示的程序框图，输出的S 是下列哪个式子的值（ ）A ．11112310S =++++ B ．111124620S =++++C ．11112311S =++++D ．111124622S =++++【答案】B考点：循环结构流程图【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.4.若{}n a 是由正数组成的等比数列，其前n 项和为n S ，已知241a a =且37S =，则5S =（ ） A ．172 B ．334 C ．314 D ．152【答案】C考点：等比数列求和5.已知实数,x y 满足约束条件2000x y x y y x k -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩，若3z x y =+的最小值为4，则实数k =（ ）A ．2B ．1C ．125D ．45【答案】C 【解析】试题分析：可行域三直线三交点为2(0,0),(,),(,)2233k kk kA B C ，因此直线3z x y =+过点C 时取最小值，即21243335k k k =⨯+⇒=，选C. 考点：线性规划【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得. 6.函数||()32ln2x f x x =-的图象可能是（ ）【答案】B 【解析】试题分析：440,()303x f x x x '>=-=⇒=时，所以44,()0,0,()0,33x f x x f x ''>><<<时时又40,()30,x f x x'<=->时因此选B. 考点：利用导数研究函数单调性【思路点睛】(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.(2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究. 7.牡丹花会期间，5名志愿者被分配到我市3个博物馆为外地游客提供服务，其中甲博物馆分配1人，另两个博物馆各分配2人，则不同的分配方法共有（ ） A ．15种 B ．30种 C ．90种 D ．180种 【答案】B考点：排列组合【方法点睛】求解排列、组合问题常用的解题方法：(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法. 8.已知,A B 为抛物线24y x =上异于原点的两个点，O 为坐标原点，直线AB 斜率为2，则ABO ∆重心的纵坐标为（ ） A ．2 B ．43 C ．23D ．1 【答案】C 【解析】试题分析：设221212(,),(,)44y y A y B y ，则121222122244y y y y y y -=⇒+=-，因此ABO ∆重心的纵坐标为120233y y ++=，选C. 考点：直线与抛物线位置关系9.已知函数()cos()(0)f x A x ωϕω=+>的部分图象如图所示，下面结论错误的是（ ） A ．函数()f x 的最小正周期为23π B ．函数()f x 的图象可由()cos()g x A x ω=的图象向右平移12π个单位得到C ．函数()f x 的图象关于直线12x π=对称D ．函数()f x 在区间(,)42ππ上单调递增【答案】D考点：三角函数性质【思路点睛】三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言. 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)，x∈R 是奇函数⇔φ＝k π(k∈Z)；函数y ＝Asin(ωx ＋φ)，x∈R 是偶函数⇔φ＝k π＋π2(k∈Z)；函数y ＝Acos(ωx＋φ)，x∈R 是奇函数⇔φ＝k π＋π2(k∈Z)；函数y ＝Acos(ωx ＋φ)，x∈R 是偶函数⇔φ＝k π(k∈Z)；10.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） A ．2 B ．6 C ．43 D ．83【答案】A考点：三视图 【名师点睛】1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．11.已知点P 在双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右支上，12,F F 分别为双曲线的左、右焦点，若2221212PF PF a -=，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）A ．[3,)+∞B ．(2,4]C ．(2,3]D ．(1,3] 【答案】D 【解析】试题分析：因为12||||2PF PF a -=，所以1212||||6,||4,||2PF PF a PF a PF a +===，又2||PF a c ≥-，所以213a a c e ≥-⇒<≤，选D.考点：双曲线定义及离心率【方法点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 12.已知'()f x 为函数()f x 的导函数，且2'11()(0)(1)2x f x x f x f e -=-+，若21()()2g x f x x x =-+，则方程2()0x g x x a--=有且仅有一个根时a 的取值范围是（ ）A ．(,0){1}-∞B ．(,1]-∞C ．(0,1]D ．[1,)+∞ 【答案】A考点：函数零点【方法点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法 (1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解. (2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.采用随机模拟实验估计抛掷一枚硬币三次恰有两次正面朝上的概率：由计算机产生随机数0或1，其中1表示正面朝上，0表示反面朝上，每三个随机数作为一组，代表抛掷三次的结果，已知随机模拟实验产生了如下20组随机数：101 111 010 101 100 001 101 111 110 000 011 001 010 100 000 101 101 010 011 001由此估计抛掷一枚硬币三次恰有两次正面朝上的概率是 . 【答案】0.4考点：古典概型概率【方法点睛】古典概型中基本事件数的探求方法 (1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. (4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目. 14.已知(cos ,sin )66a ππ=，55(cos ,sin )66b ππ=，则||a b -= .【解析】试题分析：由题意得5521||1||1=cos cos +sin sin =cos 666632a b a b πππππ==⋅=-，，，所以||11a b -=+-=考点：向量的模15.已知函数22,0()(),0x x x f x g x x ⎧+≥=⎨<⎩是奇函数，则((1))f g -= .【答案】-15 【解析】试题分析：((1))((1))(3)(3)15.f g f f f f -=-=-=-=- 考点：分段函数求值【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么.函数周期性质可以将未知区间上的自变量转化到已知区间上.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处函数值. 16.已知数列{}n a 满足*111,()2(1)(1)n n n na a a n N n na +==∈++，若不等式2410n ta n n ++≥恒成立，则实数t 的取值范围是 . 【答案】[9,)-+∞考点：数列通项，基本不等式求最值【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且3ABC S ∆=，06AB AC ≤∙≤，函数2()2sin ()24f πθθθ=+.（1）求角A 的取值范围； （2）求()f A 的值域. 【答案】（1）[,]42A ππ∈（2）()[2,3]f A ∈试题解析：（1）∵3ABC S ∆=，1sin 32bc A =. ① ∵06AB AC ≤∙≤，∴0cos 6bc A ≤≤，② 由①②可得：cos 01sin A A ≤≤，即tan 1A ≥，∴[,]42A ππ∈. （2）2()2sin ()21cos(2)242f A A A A A ππ=+-=-+1sin 2212sin(2)3A A A π=+=+-.∵[,]42A ππ∈，∴22[,]363A πππ-∈. ∴1sin(2)[,1]32A π-∈，∴()[2,3]f A ∈.考点：向量数量积，三角形面积公式，二倍角公式、诱导公式、配角公式【思路点睛】三角函数和平面向量是高中数学的两个重要分支，内容繁杂，且平面向量与三角函数交汇点较多，向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题，都会出现交汇问题中的难点，对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件转化为三角函数中的 “数量关系”，再利用三角函数的相关知识进行求解. 18.（本小题满分12分）今年春节期间，在为期5天的某民俗庙会上，某摊点销售一种儿童玩具的情况如下表：由表可知：两个雨天的平均销售量为100件/天，三个非雨天的平均销售量为125件/天.（1）以十位数字为茎，个位数字为叶，画出表中10个销售数据的茎叶图，并求出这组数据的中位数；（2）假如明天庙会5天中每天下雨的概率为25，且每天下雨与否相互独立，其他条件不变，试估计庙会期间同一类型摊点能够售出的同种儿童玩具的件数；（3）已知摊位租金为1000元/个，该种玩具进货价为9元/件，售价为13元/件，未售出玩具可按进货价退回厂家，若所获利润大于1200元的概率超过0. 6，则称为“值得投资”，那么在（2）的条件下，你认为“值得投资”吗?【答案】（1）59（2）575（3）值得投资试题解析：（1）由已知得如下茎叶图，中位数为5860592+=.（2）设明年庙会期间下雨天数为X，则X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5，且X～2 (5,)5 B，∴2()525E X=⨯=，所以估计明年庙会期间，可能有2天下雨，3天不下雨，据此推测庙会期间该摊点能售出的玩具件数为10021253575⨯+⨯=.考点：茎叶图，中位数，二项分布及其应用 19.（本小题满分12分）如图，四棱锥S ABCD -中，//AB CD ，BC CD ⊥，2AB BC ==，1CD SD ==，侧面SAB 为等边三角形.（1）证明: AB SD ⊥；（2）求二面角A SB C --的正弦值.【答案】（1）详见解析（2 【解析】试题分析：（1）证明线线垂直，一般利用线面垂直性质定理，而线面垂直的证明又往往利用线面垂直的判定定理，即从线线垂直出发给予证明，而线线垂直的证明与寻找，往往从两个方面，一是利用线面垂直性质定理转化为线线垂直，另一是结合平几条件，如本题利用等边三角形底边中线性质得取AB 的中点E ，AB SE ⊥，及矩形性质得BE DE AB DE ⊥⇒⊥（2）利用空间向量求二面角，首先利用垂直关系建立恰当的空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解两个平面的法向量，利用向量数量积求夹角，最后根据向量夹角与二面角之间关系得结果试题解析：（1）取AB 的中点E ，连接DE ，则四边形BCDE 为矩形， ∴BE DE ⊥，∵SAB ∆为等边三角形，∴AB SE ⊥. ∵SEDE E =，∴AB ⊥平面SED ，SD ⊂平面SED ，AB SD ⊥.设平面SBC 的法向量为(,,)n x y z =.∵1(,1,2SC =-，(2,0,0)BC =-，∴20102n SC x n BC x y z ⎧∙=-=⎪⎨∙=-+-=⎪⎩，∴0x y z =⎧⎪⎨=⎪⎩. 取1z =，则3(0,,1)n =， 设二面角A SB C --为θ，则32|cos |||||||7DS n DS n θ∙===∴sin θ=考点：线面垂直性质与判定定理，利用空间向量求二面角【思想点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. (1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直. (3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直. 20.（本小题满分12分）已知(2,0),(2,0)A B -，动点M 满足2AMB θ∠=，24||||cos AM BM θ∙=.（1）求||||AM BM +的值，并写出M 的轨迹曲线C 的方程；（2）动直线:l y kx m =+与曲线C 交于,P Q 两点，且OP OQ ⊥，是否存在圆222x y r +=使得l 恰好是该圆的切线，若存在，求出r ；若不存在，说明理由.【答案】（1）||||42AM BM +=22:184x y C +=（2）存在圆2283x y +=试题解析：（1）设||AM m =，||BM n =， ∵||4AB =且24||||cos AM BM θ∙=，∴2cos 4mn θ=， 在ABM ∆中，由余弦定理得22242cos 2m n mn θ+-=222(2cos 1)4cos 2mn mn mn θθ=-=-，∵22224cos 1632m n mn mn θ++=+=，∴m n +=，即||||42AM BM += 又||||||AM BM AB +>，所以M 的轨迹是椭圆，且2a c ==，∴24b =，∴22:184x y C +=.（2）设1122(,),(,)P x y Q x y ，将:l y kx m =+代入22:184x y C +=得222(12)4280k x kmx m +++-=，∵0∆>，∴22840k m -+>，且122412km x x k +=-+，21222812m x x k-=+， 22221212121228()()()12m k y y kx m kx m k x x km x x m k-=++=+++=+. ∵OP OQ ⊥，∴12120x x y y +=，即2222228801212m m kk k --+=++，∴22388m k -=，由23808m -≥和22840k m -+>，得283m >即可， 因为l 与圆222x y r +=相切，∴222||813m r k ==+， 存在圆2283x y +=符合题意. 考点：椭圆定义，直线与椭圆位置关系，直线与圆相切【思路点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.21.（本小题满分12分）已知函数()2(,0)kxf x e x k R k =-∈≠.（1）若对任意的x R ∈，都有()1f x ≥，求k 的值；（2）对于函数()f x 的单调递增区间内的任意实数123,,x x x （123x x x <<），证明：'322122132()()()()()f x f x f x f x f x x x x x --<<--. 【答案】（1）2k =（2）详见解析试题解析：（1）()f x 的定义域为R ，'()2kx f x ke =-， 当0k <时，'()0f x <恒成立，()f x 在R 上单调递减， 当0x >时，()(0)1f x f <=，不合题意. 当0k >时，由'()0f x <，得12ln x k k<， ∴()f x 在12(,ln )k k-∞上单调递减， 由'()0f x >，得12ln x k k >，∴()f x 在12(ln ,)k k +∞上单调递增.∴min 12222()(ln )ln f x f k k k k k==-，只需222ln 1k k k-≥成立. 令()ln (0)g x x x x x =->，则'()1ln 1ln g x x x =--=-， ∴()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，所以()(1)1g x g ≤=，当且仅当1x =时，()g x 取得最大值1， 所以21,2k k==.同理可证：'32232()()()f x f x f x x x -<-，∴'322122132()()()()()f x f x f x f x f x x x x x --<<--.考点：利用导数研究不等式恒成立问题，利用导数证明不等式【思路点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB 与圆O 相切于点B ，CD 为圆O 上两点，延长AD 交圆O 于点E ，//BF CD 且交ED 于点F . （1）证明：BCE ∆∽FDB ∆；（2）若BE 为圆O 的直径，EBF CBD ∠=∠，2BF =，求AD ED ∙.【答案】（1）详见解析（2）详见解析试题解析：（1）因为//BF CD ，所以EDC BFD ∠=∠， 又EBC EDC ∠=∠，所以EBC BFD ∠=∠， 又BCE BDF ∠=∠，所以BCE ∆∽FDB ∆.（2）因为EBF CBD ∠=∠，所以EBC FBD ∠=∠， 由（1）得EBC BFD ∠=∠，所以FBD BFD ∠=∠， 又因为BE 为圆O 的直径，所以FDB ∆为等腰直角三角形，BD == 因为AB 与圆O 相切于点B ，所以EB AB ⊥，即22AD ED BD ∙==. 考点：三角形相似，射影定理【名师点睛】1.解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路(1)直接应用相交弦、切割线定理及其推论；(2)当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握．2．应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是2ρ=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为12x ty =+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）.（1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）设曲线C 经过伸缩变换''12x xy y ⎧=⎪⎨=⎪⎩得到曲线'C ，设(,)M x y 为曲线'C 上任一点，求222x y -+的最小值，并求相应点M 的坐标.【答案】（120y -=，224x y +=（2）当M或(1,M -时，222x y +的最小值为1. 【解析】试题分析：（1）由222x y ρ=+将极坐标方程化为直角坐标方程224x y +=，利用代入消元法将直线参数20y -+=（2）根据伸缩变换得'C 的直角坐标方程为2214x y +=.利用椭圆参数方程求最值：设(2cos ,sin )M θθ，则利用三角变换得2222cos(2)33x y πθ-+=++，结合余弦函数性质得函数最值（2）∵''12x x y y⎧=⎪⎨=⎪⎩，∴'C 的直角坐标方程为2214x y +=.∴设(2cos ,sin )M θθ，则2cos x θ=，sin y θ=.∴222224cos cos 2sin 2cos(2)33x y πθθθθθ+=-+=++∴当cos(2)13πθ+=-，即1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或1x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩ 1.即当M或(1,M -时，222x y +的最小值为1. 考点：极坐标方程化为直角坐标方程，直线参数方程化为普通方程，利用椭圆参数方程求最值 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()|2||23|f x x a x =-++，()|1|2g x x =-+. （1）解不等式|()|5g x <；（2）若对任意的1x R ∈，都有2x R ∈，使得12()()f x g x =成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）(2,4)-（2）1a ≥-或5a ≤-. 【解析】试题分析：（1）利用绝对值定义，将不等式转化为三个不等式组，求它们的并集得解集.（2）方程恒成立问题，一般转化为对应函数值域问题：原命题等价于{|()}{|()}y y f x y y g x =⊆=，根据绝对值三角不等式得()|2||23||(2)(23)||3|f x x a x x a x a =-++≥--+=+，而()|1|22g x x =-+≥，因此根据集合包含关系得|3|2a +≥，解得1a ≥-或5a ≤-试题解析：（1）由||1|2|5x -+<，得5|1|25x -<-+<， ∴7|1|3x -<-<，解得24x -<<. ∴不等式的解集为(2,4)-.考点：绝对值定义，绝对值三角不等式【名师点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．：。

洛阳市2014——2015学年高中三年级统一考试数学试卷（理A ）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第I 卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．共150分．考试时间120分钟，第I 卷（选择题，共60分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名，考号填写在答题卷上．2．考试结束，将答题卷交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．l.集合 {}{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,|,A B C z z xy x A y B ====∈∈且，则集合C 中的元素个数为A.3 B ．4 C ．8 D ．122．已知i 为虚数单位，复数，若复平面内对应的点在第四象限，则实数a 的取值范围为A. B ．C ．D ．3．已知为第二象限角，是关于x 的方程 22x R)∈的两根，则的等于A ．B ．C ．D ．4.下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是A ．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：丌是无理数；结论：是无限不循环小数B ．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：是无限不循环小数；结论：是无理数C.大前提：是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：是无理数D.大前提：是无限不循环小数；小前提：是无理数；结论：无限不循环小数是无理数5．某几何体的三视图如图所示，图中三个正方形的边长均为2，则该几何体的体积为A ．B ．C ．D ．6．已知是定义涵在R 上的偶函数，且在上单调递增，设333(sin )(cos ),(tan )555a fb fc f πππ===，则a,b,c 的大小关系是， A ．a<b<c B ．b<a<cC ．c<a<bD ．a<c<b7.执行如图的程序，则输出的结果等于A ．B ．C ．D ．8．在△ABC 中，D 为AC 的中点，，BD 与AE 交于点F ，若，则实数A 的值为A ．B ．C ．D ．9．设分别为双曲线的左，右焦点，P是双曲线上在x 轴上方的点，为直角，则的所有可能取值之和为A ．B ．2C ．D ．10.曲线在点处的切线为．若直线与x ，y 轴的交点分别为A ，B ，则△OAB 的周长的最小值为A. B. C.2 D.11．若直线(31)(1)660x y λλλ++-+-= 与不等式组 70,310,350.x y x y x y +-<⎧⎪-+<⎨⎪-->⎩，表示的平面区域有公共点，则实数A 的取值范围是A ．B ．C ．(1，9)D ．12．在平面直角坐标系中，点P 是直线上一动点，点，点Q 为PF 的中点，点M 满MQ PF ，且.过点M 作圆的切线，切点分别为S ，T ，则的最小值为A ．B ．C ． D.第Ⅱ卷（非选择题，共90分），二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.设随机变量，且 (1)(1),(2)0.3P P P ξξξ<-=>>=，则_____________．14.若正四梭锥P- ABCD 的底面边长及高均为2，刚此四棱锥内切球的表面积为_______．15．将函数 ()sin()223y sin x x ωωπ=+的图象向右平移号个单位，所得图象关于y 轴对称，则正数的最小值为_________．16．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若b=l ，a= 2c ，则当C 取最大值时，△ABC 的面积为________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知均为等差数列，前n 项和分别为．(1)若平面内三个不共线向量满足，且A ，B ，C 三点共线．是否存在正整数n ，使为定值？若存在，请求出此定值；若不存在，请说明理由。