一道三角函数竞赛题的多种解法

三角方程的解法
1. 引言
三角方程是包含了三角函数的方程，与普通的代数方程相比，其求解过程中存在一些特殊性。

本文将介绍几种常见的解三角方程的方法。

2. 常见三角方程的解法
2.1. 三角恒等变换法
三角恒等变换法是一种常用的解三角方程的方法。

该方法通过把原方程经过一系列的三角恒等变换，转化为一个更简单的方程，从而得到解。

例如，对于sin(2x) = 1的方程，可以使用三角恒等变换sin(2x) = 2sin(x)cos(x)来简化为2sin(x)cos(x) = 1的方程。

2.2. 利用单位圆解法
单位圆解法是一种通过在单位圆上寻找角度的方法来解决三角方程的方法。

该方法通过将三角方程转化为在单位圆上求解对应角度的问题。

例如，对于cos(x) = 1/2的方程，可以在单位圆上找到x = π/3和x = 5π/3两个解。

2.3. 利用三角函数的周期性
三角函数具有周期性，利用这一特性可以简化三角方程的求解
过程。

例如，对于sin(x) = sin(π/6)的方程，考虑到正弦函数的周期
是2π，可以得到x = π/6 + 2πn和x = π - π/6 + 2πn两个解。

其中n
为整数。

3. 总结
解三角方程是研究三角函数的重要环节，通过熟练掌握三角恒
等变换、单位圆解法以及利用三角函数的周期性，可以解决各种类
型的三角方程。

在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的解法，并注意方程的特殊性。

以上就是本文对三角方程解法的介绍，希望对读者有所帮助。

三角函数竞赛试题与方法二、方法与例题 1．结合图象解题。

例1 求方程s inx =lg |x |的解的个数。

【解】在同一坐标系内画出函数y =s inx 与y =lg |x |的图象（见图），由图象可知两者有6个交点，故方程有6个解。

2．三角函数性质的应用。

例2 设x ∈(0, π), 试比较co s(s inx )与s in (co s x )的大小。

【解】 若⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈ππ,2x ，则co s x ≤1且co s x >-1，所以co s ⎥⎦⎤ ⎝⎛-∈0,2πx ，所以s in (co s x ) ≤0,又0<s inx ≤1, 所以co s(s inx )>0，所以co s(s inx )>s in (co s x ). 若⎥⎦⎤⎝⎛-∈2,0πx ，则因为s inx +co s x =2cos 22sin 222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x (s inxco s 4π+s in 4πco s x )=2s in (x +4π)≤2<2π， 所以0<s inx <2π-co s x <2π， 所以co s(s inx )>co s(2π-co s x )=s in (co s x ).综上，当x ∈(0,π)时，总有co s(s inx )<s in (co s x ).例3 已知α，β为锐角，且x ·（α+β-2π）>0，求证：.2sin cos sin cos <⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛xxαββα【证明】 若α+β>2π，则x >0，由α>2π-β>0得co s α<co s(2π-β)=s in β,所以0<βαsin cos <1，又s in α>s in (2π-β)=co s β, 所以0<αβsin cos <1，所以.2sin cos sin cos sin cos sin cos 0=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛αββααββαxx若α+β<2π，则x <0，由0<α<2π-β<2π得co s α>co s(2π-β)=s in β>0, 所以βαsin cos >1。

浅谈三角函数的解题方法三角函数是数学中的一种重要概念，它涉及三角形的边长与角度的关系。

解题是数学学习的一大重点，而解三角函数的题目，可以通过以下几种方法来进行。

1. 利用基本恒等式三角函数有很多基本的恒等式，比如正弦函数的平方加上余弦函数的平方等于1，正切函数等于正弦函数除以余弦函数等等。

在解题过程中，可以通过运用这些基本恒等式来简化方程，使得计算变得更加简便。

2. 利用特殊角的值在三角函数中，常用的特殊角有30度、45度、60度等等。

这些特殊角的正弦、余弦、正切的值是已知的，可以在解题中直接使用，从而简化计算过程。

对于一些复杂的三角函数问题，可以通过取特殊角来换算成简单的三角函数问题进行求解。

3. 利用图形解法对于一些几何问题，可以通过画图来解决。

绘制出相关的三角形，利用三角形内角和为180度的特性，结合已知条件，可以得到一些关系式，从而求解未知量。

图形解法在解决实际问题中尤为重要，可以帮助我们更好地理解三角函数的概念和性质。

4. 利用逆函数三角函数中，每个函数都有对应的反函数。

当已知三角函数的值，需要求解对应的角度时，可以通过三角函数的逆函数来获得解。

比如已知正弦函数的值，可以通过反正弦函数来求解对应的角度。

逆函数的运用可以将三角函数问题转化为代数问题，使得求解更加简便。

5. 利用三角恒等式和公式三角恒等式和公式是三角函数解题过程中非常重要的工具。

这些公式包括和差公式、倍角公式、半角公式等等。

通过运用这些公式，可以将复杂的三角函数问题转化为简单的问题，进而求解。

高中数学三角函数解题实例及解题思路分析在高中数学学习中，三角函数是一个重要的内容，也是考试中常见的题型。

掌握三角函数的解题方法和思路对于提高数学成绩至关重要。

本文将通过一些实例来解析三角函数解题的思路和技巧，帮助高中学生更好地应对这类题目。

一、正弦函数的应用正弦函数是三角函数中最常见的一种，它在解决角度问题时特别有用。

下面以一个实例来说明。

例题：已知在直角三角形ABC中，角A的对边为3，斜边为5，求角A的正弦值。

解析：根据正弦函数的定义，正弦值等于对边与斜边的比值。

所以，sinA = 对边/斜边 = 3/5。

通过这个例题，我们可以看出，解决正弦函数的题目，首先要明确正弦值的定义，然后根据题目给出的条件，找到对应的边长，最后进行计算。

二、余弦函数的应用余弦函数在三角函数中也是常见的一种，它在解决角度问题时同样非常有用。

下面以一个实例来说明。

例题：已知在直角三角形ABC中，角A的邻边为4，斜边为5，求角A的余弦值。

解析：根据余弦函数的定义，余弦值等于邻边与斜边的比值。

所以，cosA = 邻边/斜边 = 4/5。

通过这个例题，我们可以看出，解决余弦函数的题目，同样要明确余弦值的定义，然后根据题目给出的条件，找到对应的边长，最后进行计算。

三、三角函数的性质除了直接计算三角函数的值，我们还可以利用三角函数的性质来解题。

下面以一个实例来说明。

例题：已知sinA = 3/5，cosB = 4/5，求sin(A+B)的值。

解析：根据三角函数的性质，sin(A+B) = sinA*cosB + cosA*sinB。

代入已知条件，得到sin(A+B) = (3/5)*(4/5) + (4/5)*(3/5) = 24/25。

通过这个例题，我们可以看出，利用三角函数的性质可以简化计算过程，提高解题效率。

四、三角函数的图像应用三角函数的图像在解题中也有很大的应用价值。

下面以一个实例来说明。

例题：已知函数y = sin(x)在区间[0, 2π]上的图像如下所示，求解sin(x) = 1的解。

略谈三角函数问题解题方法三角函数问题的题型主要有：三角函数式的化简、求值、证明，方法诸多，如切化弦、升降幂、常数与三角函数互化、公式的顺用、逆用、变用等，解题中心是“变角”、“变名”、“变式”，基本思路是从“角”“名”“形”入手，根据问题的目标，对其变换或通过对“角”“名”“形”的变换，确立变形目标，使问题向有利解决的方向转化。

一、三角函数式的化简例1、化简 22222sin sin 2cos cos cos2cos2θϕθϕθϕ+-分析 本题中出现的角的形式多，故应先变角。

解：原式=2222222sin sin 2cos cos (2cos 1)(2cos 1)θϕθϕθϕ+---=2222222sin sin 2cos cos 2cos 2cos 1θθθθθθ-++-=222222sin sin 2cos (1cos )2cos 1θθθθθ+-+-=22222sin (sin cos )2cos 1θθθθ++-=222sin 2cos 1θθ+-=1.[点评] 化简三角函数的基本方法：统一角、统一名 通过观察“角”“名”“次幂”，找出突破口，利用切化弦、降幂、 逆用公式等手段将其化简。

二、 三角函数的求值。

1、给角求值。

利用和、差公式变形，使其出现特殊角，若非特殊角，则可能出现正负抵消或约分的情况，从而求出其值。

例2、 求 22sin 10cos 703sin10cos70++的值[分析] 式中两个角存在关系701060-= 可从“角度”入手。

解：原式=22sin 10cos (6010)3sin10(6010)cos ++++ =221313sin 10(cos10sin10)3sin10(cos10sin10)2222+-+- =22111sin 10cos 10444+= [点评] 本题三角函数均为弦函数，所以变换的角度只涉及角。

一般来说，三角式的化简，应首先考虑角，其次是函数名，再次是代数上的结构特点。

一道三角函数题的九种解法三角函数是数学中一种重要的函数类型，其涉及角的度量和比例关系。

下面将介绍一道三角函数题的九种解法。

题目：已知三角形ABC，AB=3，AC=4，∠BAC=60°，求BC的长度。

解法一：余弦定理根据余弦定理，可以得到：BC² = AB² + AC² - 2 * AB * AC * cos(∠BAC)代入已知条件：BC² = 3² + 4² - 2 * 3 * 4 * cos(60°)BC² = 9 + 16 - 24 * cos(60°)BC²=25-24*0.5BC²=25-12BC²=13BC=√13解法二：正弦定理根据正弦定理，可以得到：BC / sin(∠BAC) = AB / sin(∠ABC) = AC / sin(∠ACB)代入已知条件：BC / sin(60°) = 3 / sin(∠ABC) = 4 / sin(∠ACB)BC / sin(60°) = 3 / sin(∠ABC)BC = sin(60°) * (3 / sin(∠ABC))BC = √3 * (3 / sin(∠ABC))利用三角形内角和为180°的性质，可以得到∠ABC=180°-60°-∠ACB=120°-∠ACBBC = √3 * (3 / sin(120° - ∠ACB))BC = √3 * (3 / sin(∠ACB - 60°))BC = √3 * (3 / sin(∠ACB + 60°))通过使用已知条件的角度范围，可以求出sin(∠ACB + 60°)的值，进而求得BC的长度。

解法三：正切函数由正切函数性质可得：tan(∠BAC) = BC / AB∠BAC=60°tan(60°) = BC / 3√3=BC/3BC=3√3解法四：余切函数由余切函数性质可得：cot(∠BAC) = BC / AB∠BAC=60°cot(60°) = BC / 31 / tan(60°) = BC / 31/√3=BC/3BC=√3解法五：辅助角根据已知条件，可以发现∠BAC是一个直角三角形的角，因此可以转化为一个特殊的30°-60°-90°三角形。

高考数学题集，三角函数大题解法最后一步配凑角巧妙简单
三角函数大题，两问都求值，是比较简单的，能用到的知识和方法还是化简求解常规步骤
方法1直接把角带入求值，这个方法很直接，不需要很多的思考时间，只要计算能力过关，正确答案容易求解，第二问从所给条件特征推断，先化简再求值，应该是正解，化简步骤降幂公式，正弦二倍角逆用公式，最后辅助角公式，题图中没有写这一步，因为最后题目要求的是sinα，直接套用已知条件，再利用同角的平方关系，得出一个关于sinx的二次方程，解出来即可。

到这里很多同学就直接写答案了，但是回过头来再看看，α∈（0，π）这个范围，从这里可以感觉到，两个答案里可能有要舍去的解，正弦值为正，负的舍去，解答完毕。

方法2先化简，直接两问同时解决了，第一问直接带入求解得结果，第二问由化简结果中带入，同样也利用平方关系解得相应的余弦值，最后配凑角，也是非常巧妙的解决这个问题。

三角函数基本题型及解题方法三角函数基本题型及解题方法对于三角函数的问题，特别是一些创新型问题，对大多数同学来说可能会感到陌生。

这些问题主要考查学生对于重要数学思想和方法的掌握以及在考试时对自己心态的调整。

但是，我们可以使用特殊化方法来解决这些问题。

特殊化方法的解题依据是，题目所叙述的一般情形成立，则对特殊情形也应该成立。

若不成立，则必然选项是错误的。

特殊化方法一般有赋特殊值、特殊函数等。

一、单调性类问题例11）若A、B是锐角三角形ABC的两个内角，则点P(cosB-sinA。

sinB-cosA)在哪个象限？选项为A、B、C、D。

2）设α、β是一个钝角三角形的两个锐角，下列四个不等式中不正确的是？选项为A、B、C、D。

分析：这是依托基本的几何图形三角形，创新型的考查三角函数的单调性等重要性质的题目。

常规解法运算繁杂，用特殊化方法则可出奇制胜。

对于（1），赋A=B=60°，可知选B；对于（2），赋α=β=30°，可知选D。

例2若A、B、C是△XXX的三个内角，且A<B<C(C≠π/2)，则下列结论中正确的是哪个？选项为A、B、C、D。

分析：赋A=30°，B=70°，C=80°，可知B、D错；赋A=30°，B=50°，C=100°，知C错。

故选A。

例3函数y=xcosx-sinx在下面哪个区间内是增函数？选项为A、B、C、D。

分析：所给函数的定义域显然是R，又令f(x)=xcosx-sinx，则f(π/2)=f(3π/2)=-1，f(π)=-π，f(π/6)=1，f(2π)=2π。

如对选项A，x从π/3到2π/3，y从-1，-π到1，不符合题意，同理可排除C、D。

例4函数y=2sin(π/6-2x)(x∈[0,π])为增函数的区间是哪个？选项为A、B、C、D。

分析：只需考虑区间端点处的函数值，有①x=0，y=1；②x=π/12，y=√3/2；③x=π/3，y=-2；④x=5π/6，y=1.可知选项B为正确答案。

1三角函数最值问题的十种常见解法福州高级中学 陈锦平三角函数是重要的数学运算工具，三角函数最值问题是三角函数中的基本内容，对三角函数的恒等变形能力及综合应用要求较高.解决三角函数最值这类问题的基本途径，一方面应充分利用三角函数自身的特殊性(如有界性等)，另一方面还要注意将求解三角函数最值问题转化为求一些我们所熟知的函数（二次函数等）最值问题。

下面介绍几种常见的求三角函数最值的方法:一．转化一次函数在三角函数中，正弦函数与余弦函数具有一个最基本也是最重要的特征-—有界性,利用正弦函数与余弦函数的有界性是求解三角函数最值的最基本方法.例1．求函数2cos 1y x =-的值域［分析] 此为cos y a x b =+型的三角函数求最值问题， 设cos t x =，由三角函数的有界性得[1,1]t ∈-,则21[3,1]y t =-∈-二。

转化sin()y A x b ωϕ=++（辅助角法)观察三角函数名和角，先化简，使三角函数的名和角统一.例2．（2017年全国II 卷）求函数()2cos sin f x x x =+的最大值为 。

[分析] 此为sin cos y a x b x =+型的三角函数求最值问题，通过引入辅助角公式把三角函数化为sin()y A x B ωϕ=++的形式，再借助三角函数图象研究性质,解题时注意观察角、函数名、结构等特征．一般可利用|sin cos |a x b x +≤()f x ≤=.三. 转化二次函数（配方法）若函数表达式中只含有正弦函数或余弦函数,且它们次数是2时，一般就需要通过配方或换元将给定的函数化归为二次函数的最值问题来处理。

例3． 求函数3cos 3sin 2+--=x x y 的最小值。

[分析]利用22sin cos 1x x +=将原函数转化为2cos 3cos 2+-=x x y ，令cos t x =,则,23,112+-=≤≤-t t y t 配方，得41232-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t y ， ∴≤≤-,11t 当t=1时,即cosx=1时，0min =y2四。

解决三角函数各类问题的十种方法１ 凑角法一些求值问题通过观察角之间的关系，并充分利用角之间的关系，往往是凑出特殊角，可以实现顺利解答． 例１ 求tan 204sin 20︒+︒的值．解析 原式sin 202sin 40sin 202sin(6020)cos 20cos 20︒+︒︒+︒-︒==︒︒sin 202(sin 60cos 20cos 60sin 20)cos 20︒+︒︒-︒︒==︒评注 三角求值主要借助消除三个方面的差异解答，即消除函数名称差异，或者式子结构的差异，或者角度之间的差异，凑角法体现的就是消除非特殊角与特殊角之间的差异．本题注意若将第一步中的分子化为sin(6040)2sin 40︒-︒+︒，或者化为sin(3010)2sin(3010)︒-︒+︒+︒，都没有上面的方法简捷，请同学们进行操作比较，分析原因，并注意凑角也需谨慎选择！２ 降幂法一些涉及高次三角式的求值问题，往往借助已知及22sin cos 1αα+=，或降幂公式221cos 21cos 2sin ,cos 22αααα-+==等借助降幂策略解答． 例２ 若2cos cos 1αα+=，求26sin sin αα+的值．解析 由2cos cos 1αα+=，得cos α=cos α=．由2cos cos 1αα+=，又可得22cos 1cos sin ααα=-=，则263sin sin cos cos αααα+=+，又由2c o s c o s 1αα+=，得2c o s 1c o s αα=-，故322c o s c o s c o s (1c o s )c o s (2c o s )2c o s c o s 3c o ααααααααα+=+=-=-=-，代值可得26sin sin αα+= 评注 若求出cos α的值后直接简单代入，则运算量将大得多，而主动降幂后就截然不同了．涉及非单角形式的三角函数问题，有时也需要考虑降幂进而化为一个角的三角函数形式解答，遇到“高次”问题就特别注意联想“降幂法”解答．３ 配对法 根据一些三角式的特征，适当进行配对，有时可以实现问题的顺利解答． 例３ 已知(0,)2x π∈，且222cos cos 2cos 31x x x ++=，求x 的值．解析 设222cos cos 2cos 3m x x x =++，令222s i n s i n 2s i n 3n x x x =++，则3m n +=，几何精练cos 2cos 4cos 6m n x x x -=++，其中，2cos62cos 31x x =-，cos2cos4cos(3)cos(3)2cos cos3x x x x x x x x +=-++=，2cos3(cos cos3)1m n x x x -=+-，又c o s c o s 3c o s (2)c o s (2)2c o s x x x x x x x x +=-++=，故4cos cos2cos31m n x x x -=-，故可解得1cos cos 2cos3(22)0(1)4x x x m m =-== ．则c o s 0x =，或c o s 20x =，或c o s 30x =，又(0,)2x π∈，则6x π=或4x π=． 评注 三角函数中的正弦函数与余弦函数是一对互余函数，有很多对称的结论，如22sin cos 1θθ+=等，因此在解决一些三角求值，求证等问题时，可以构造对偶式，实施配对策略，尝试进行巧妙解答． ４ 换元法很多给值求值问题都是给的单角的某一三角函数值，但有时会出现给出复合角的三角函数值求值的问题，此时，利用换元法可以将问题转化为熟悉的已知单角的三角函数值求值问题．例４ 求sin 75cos 4515ααα+︒++︒+︒（）（）（）的值．解析 令15αβ+︒=，则原式sin(60)cos(30)βββ=+︒++︒(sin cos60cos sin60)(cos cos30sin sin30)0βββββ=︒+︒+︒-︒=．评注 教材求值问题往往是已知单角三角函数值求值，而近几年的高考和期末考试试题，则青睐于已知复合角的三角函数值求值，因此备考时要特别注意此点，解答此类问题的换元法或整体思想也都十分重要．对本题，若直接将三部分借助两角和的正弦公式与余弦公式展开，则要繁杂得多．５ 方程法 有时可以根据已知构造所求量的方程解答．例５ 若33cos sin 1x x =+，试求sin x 的值．解析 令cos sin x x t =+，则21cos sin (1)2x x t =-，[t ∈．由已知，有 2221(cos sin )(cos sin cos sin )(1)12t x x x x x x t --++=+=，即3232(1)(2)0t t t t --=+-=，得1t =-，或2t =（舍去）．即cos sin 1x x =+，又22sin cos 1x x +=，整理可得2sin sin 0x x +=，解得sin 0x =或sin 1x =-．评注 将已知转化为关于sin x 的方程是解题的关键．方程的思想方法是解答诸多三角函数问题的基本大法，如求三角函数的解析式等问题．一般地，若题目中有n 个需要确定的未知数，则只要构造n 个方程解答即可．６ 讨论法涉及含有参数或正负情形的三角问题，往往需要借助讨论法进行解答．例６ 已知ABC !中，54sin ,cos 135A B ==，求cos C ． 解析 由5sin 13A =，得12cos 13A =±．当12cos 13A =-时，因为,A B 是ABC !的内角，需要满足0A B π<+<，有0A B ππ<<-<，而余弦函数在区间(0,)π是减函数，得cos cos()cos A B B π>-=-，但124cos cos 135A B =-<-=，故此情形不合题意． 可以验证12cos 13A =符合题意，故33cos cos()sin sin cos cos 65C A B A B A B =-+=-=-． 评注 分类讨论是将问题化整为零，进而化难为易的重要思想方法，一般含有绝对值的三角函数问题，涉及未确定象限的角的问题等，都要首先考虑“讨论”！７ 平方法分析已知和所求，有时借助“取平方”的方法可以实现顺利解题．例７ 已知sin sin sin 0αβγ++=，cos cos cos 0αβγ++=，求cos()αβ-的值．解析 有sin sin sin αβγ+=-，cos cos cos αβγ+=-，两式两边平方后对应相加，可得2222(sin sin 2sin sin )(cos cos 2cos cos )αβαβαβαβ+++++22(sin )(cos )1γγ=-+-=，即1cos()2αβ-=-． 评注 学习数学要掌握一些基本的操作技能，而“取”就是其中的重要一种，除了“取平方”外，常见的还有“取对数”，“取倒数”等操作，需要注意体会．本题就是借助平方关系实现整体消元后解答的． ８ 猜想法有时根据已知数据的特征进行必要的猜想，能更好的解决求值问题．例８ 已知1sin cos 2αα+=，且α为第二象限角，则sin α= ．解析 由sin 0,cos 0αα><及22221sin cos 1,()(12αα+=+=，可得1sin 2α=．评注 实际上，将sin cos αα+=与22sin cos 1αα+=联立所得二元二次方程组只有两组解，即1sin ,cos 2αα==1cos ,sin 2αα==，依题意只可取前者．学习数学，要培养对数据的敏感性，能根据数据特征进行积极联想，进而适当猜想，能有效提高解题速度，而且猜想是一种重要的推理形式，并不是“胡猜乱想”，要紧扣已知和所求进行．９ 图象法有时候，借助图象才能更好的解决对应的三角函数问题．例９ 已知函数()sin 1(1)f x A x A =+>的图象与直线y A =在x 轴右侧的与x 轴距离最近的相邻三个交点的横坐标成等比数列，求实数A 的值．解析 如右图，设三个交点的坐标为(,)B b A ，(,)C c A ，(,)D d A ，由三角函数图象的对称性，则有22b c ππ+=⨯=，3232c d ππ+=⨯=，有b c π=-，3d c π=-，又222()(3)34c b d c c c c ππππ==--=-+，解得34c π=．故函数图象经过3(,)4A π，代入可得2A =．评注 数和形是数学的两大支柱，三角函数的很多问题都有图形背景，在解决问题时，要充分借助图形进行直观分析，往往能更快捷的实现问题的解答，注意培养做草图的能力．１０ 比例法借助比例的性质，有时可以实现快速解答三角函数问题．例１０ 求证 2(cos sin )cos sin 1sin cos 1sin 1cos αααααααα-=-++++． 解析 若cos 0α=（或sin 0α=），因为sin 1(cos 1),αα≠-≠-或，故sin 1α=，或cos 1α=，验证可知等式成立．若cos 0α≠，则由2cos (1sin )(1sin )ααα=+-，2sin (1cos )(1cos )ααα=+-及比例性质a c a c b d b d +==+，可得cos 1sin 1sin cos 1sin cos 1sin cos αααααααα--+==+++． sin 1cos 1sin cos 1cos sin 1sin cos αααααααα-+-==+++，代入等式左边可知所证成立． 评注 本题有多种证法，而借助比例的性质的方法显得尤为简捷．涉及分式的三角函数问题，可以考虑借助比例法解答．如关于半角的正切公式sin 1cos tan 21cos sin ααααα-==+，按照比例性质，立得1cos sin tan 21cos sin ααααα-+=++．。

解决三角函数的几种方法三角函数的各类问题，由于涉及的三角公式较多，问题的解法也比较灵活，但也会呈现出一定的规律性，本文拟对其中的解题方法进行总结归纳．１ 凑角法一些求值问题通过观察角之间的关系，并充分利用角之间的关系，往往是凑出特殊角，可以实现顺利解答． 例１ 求tan 204sin 20︒+︒的值．解析 原式sin 202sin 40sin 202sin(6020)cos 20cos 20︒+︒︒+︒-︒==︒︒ sin 202(sin 60cos 20cos60sin 20)cos 20︒+︒︒-︒︒==︒评注 三角求值主要借助消除三个方面的差异解答，即消除函数名称差异，或者式子结构的差异，或者角度之间的差异，凑角法体现的就是消除非特殊角与特殊角之间的差异．本题注意若将第一步中的分子化为sin(6040)2sin 40︒-︒+︒，或者化为sin(3010)2sin(3010)︒-︒+︒+︒，都没有上面的方法简捷，请同学们进行操作比较，分析原因，并注意凑角也需谨慎选择！２ 降幂法一些涉及高次三角式的求值问题，往往借助已知及22sin cos 1αα+=，或降幂公式221cos 21cos 2sin ,cos 22αααα-+==等借助降幂策略解答． 例２ 若2cos cos 1αα+=，求26sin sin αα+的值．解析 由2cos cos 1αα+=，得1cos 2α-+=，cos α=．由2cos cos 1αα+=，又可得22cos 1cos sin ααα=-=，则263sin sin cos cos αααα+=+，又由2cos cos 1αα+=，得2cos 1cos αα=-，故322cos cos cos (1cos )cos (2cos )2cos cos 3cos 1ααααααααα+=+=-=-=-，代值可得265sin sin 2αα+=． 评注 若求出cos α的值后直接简单代入，则运算量将大得多，而主动降幂后就截然不同了．涉及非单角形式的三角函数问题，有时也需要考虑降幂进而化为一个角的三角函数形式解答，遇到“高次”问题就特别注意联想“降幂法”解答．３ 对偶法 根据一些三角式的特征，适当进行配对，有时可以实现问题的顺利解答．例３ 已知(0,)2x π∈，且222cos cos 2cos 31x x x ++=，求x 的值．解析 设222cos cos 2cos 3m x x x =++，令222sin sin 2sin 3n x x x =++，则3m n +=，cos2cos4cos6m n x x x -=++，其中，2cos62cos 31x x =-，cos 2cos 4cos(3)cos(3)2cos cos3x x x x x x x x +=-++=，2cos3(cos cos3)1m n x x x -=+-，又cos cos3cos(2)cos(2)2cos cos2x x x x x x x x +=-++=，故4cos cos2cos31m n x x x -=-，故可解得1cos cos 2cos3(22)0(1)4x x x m m =-==Q ．则cos 0x =，或cos20x =，或cos30x =，又(0,)2x π∈，则6x π=或4x π=． 评注 三角函数中的正弦函数与余弦函数是一对互余函数，有很多对称的结论，如22sin cos 1θθ+=等，因此在解决一些三角求值，求证等问题时，可以构造对偶式，实施配对策略，尝试进行巧妙解答．例4 求cos7π＋cos 37π＋cos 57π的值． 解：设M ＝cos 7π＋cos 37π＋cos 57π，构造其对偶式 N ＝sin 7π＋sin 37π＋sin 57π．则 M ·N ＝21sin 27π＋21sin 67π＋21sin 107π＋sin 47π＋sin 67π＋sin 87π ＝21( sin 7π＋sin 37π＋sin 57π)＝21N ． ∴ M ＝cos 7π＋cos 37π＋cos 57π＝21． ４ 换元法给值求值问题都是给的单角的某一三角函数值，利用换元法可以将问题转化为熟悉的已知单角的三角函数值求值（包括求周期、对称轴、对称中心等）问题．例5 求sin 75cos 4515ααα+︒++︒+︒（）（）（）的值．解析 令15αβ+︒=，则原式sin(60)cos(30)βββ=+︒++︒(sin cos 60cos sin 60)(cos cos30sin sin 30)0βββββ=︒+︒+︒-︒-=．评注 教材求值问题往往是已知单角三角函数值求值，而近几年的高考和期末考试试题，则青睐于已知复合角的三角函数值求值，因此备考时要特别注意此点，解答此类问题的换元法或整体思想也都十分重要．对本题，若直接将三部分借助两角和的正弦公式与余弦公式展开，则要繁杂得多．５ 方程法 有时可以根据已知构造所求量的方程解答．例6 若33cos sin 1x x =+，试求sin x 的值．解析 令cos sin x x t =+，则21cos sin (1)2x x t =-，[t ∈．由已知，有 2221(cos sin )(cos sin cos sin )(1)12t x x x x x x t --++=+=，即3232(1)(2)0t t t t --=+-=，得1t =-，或2t =（舍去）．即cos sin 1x x =+，又22sin cos 1x x +=，整理可得2sin sin 0x x +=，解得sin 0x =或sin 1x =-．评注 将已知转化为关于sin x 的方程是解题的关键．方程的思想方法是解答诸多三角函数问题的基本大法，如求三角函数的解析式等问题．一般地，若题目中有n 个需要确定的未知数，则只要构造n 个方程解答即可．６ 讨论法涉及含有参数或正负情形的三角问题，往往需要借助讨论法进行解答．例7 已知ABC !中，54sin ,cos 135A B ==，求cos C ． 解析 由5sin 13A =，得12cos 13A =±．当12cos 13A =-时，因为,A B 是ABC !的内角，需要满足0A B π<+<，有0A B ππ<<-<，而余弦函数在区间(0,)π是减函数，得cos cos()cos A B B π>-=-，但124cos cos 135A B =-<-=，故此情形不合题意． 可以验证12cos 13A =符合题意，故33cos cos()sin sin cos cos 65C A B A B A B =-+=-=-． 评注 分类讨论是将问题化整为零，进而化难为易的重要思想方法，一般含有绝对值的三角函数问题，涉及未确定象限的角的问题等，都要首先考虑“讨论”！７ 平方法分析已知和所求，有时借助“取平方”的方法可以实现顺利解题．例8 已知sin sin sin 0αβγ++=，cos cos cos 0αβγ++=，求cos()αβ-的值．解析 有sin sin sin αβγ+=-，cos cos cos αβγ+=-，两式两边平方后对应相加，可得2222(sin sin 2sin sin )(cos cos 2cos cos )αβαβαβαβ+++++22(sin )(cos )1γγ=-+-=，即1cos()2αβ-=-． 评注 学习数学要掌握一些基本的操作技能，而“取”就是其中的重要一种，除了“取平方”外，常见的还有“取对数”，“取倒数”等操作，需要注意体会．本题就是借助平方关系实现整体消元后解答的． ８ 猜想法有时根据已知数据的特征进行必要的猜想，能更好的解决求值问题．例9已知1sin cos 2αα+=，且α为第二象限角，则sin α= ． 解析 由sin 0,cos 0αα><及22221sin cos 1,()()122αα+=+-=，可得1sin 2α=． 评注 实际上，将sin cos αα+=22sin cos 1αα+=联立所得二元二次方程组只有两组解，即1sin ,cos 2αα==或1cos ,sin 2αα==，依题意只可取前者．学习数学，要培养对数据的敏感性，能根据数据特征进行积极联想，进而适当猜想，能有效提高解题速度，而且猜想是一种重要的推理形式，并不是“胡猜乱想”，要紧扣已知和所求进行．９ 图象法有时候，借助图象才能更好的解决对应的三角函数问题．例10 已知函数()sin 1(1)f x A x A =+>的图象与直线y A =在x 轴右侧的与x 轴距离最近的相邻三个交点的横坐标成等比数列，求实数A 的值．解析 如右图，设三个交点的坐标为(,)B b A ，(,)C c A ，(,)D d A ，由三角函数图象的对称性，则有22b c ππ+=⨯=，3232c d ππ+=⨯=，有b c π=-，3d c π=-，又222()(3)34c bd c c c c ππππ==--=-+，解得34c π=．故函数图象经过3(,)4A π，代入可得2A =+．评注 数和形是数学的两大支柱，三角函数的很多问题都有图形背景，在解决问题时，要充分借助图形进行直观分析，往往能更快捷的实现问题的解答，注意培养做草图的能力．１０ 比例法借助比例的性质，有时可以实现快速解答三角函数问题．例１1 求证 2(cos sin )cos sin 1sin cos 1sin 1cos αααααααα-=-++++． 解析 若cos 0α=（或sin 0α=），因为sin 1(cos 1),αα≠-≠-或，故sin 1α=，或cos 1α=，验证可知等式成立．若cos 0α≠，则由2cos (1sin )(1sin )ααα=+-，2sin (1cos )(1cos )ααα=+-及比例性质a c a cb d b d +==+，可得cos 1sin 1sin cos 1sin cos 1sin cos αααααααα--+==+++． sin 1cos 1sin cos 1cos sin 1sin cos αααααααα-+-==+++，代入等式左边可知所证成立． 评注 本题有多种证法，而借助比例的性质的方法显得尤为简捷．涉及分式的三角函数问题，可以考虑借助比例法解答．如关于半角的正切公式sin 1cos tan 21cos sin ααααα-==+，按照比例性质，立得1cos sin tan 21cos sin ααααα-+=++． １０ 构造三角形法例１2 求值：sin 220°+cos 250°+sin20°cos50°设△ABC 中，A=20°B= 40°C=120°利用余弦定理求解原始= sin 220°+sin 240°+sin20°sin40°= sin 220°+sin 240°-2sin20°sin40°cos120°=sin 2120°=3/4。

三角函数常见问题十种求解策略三角函数常见问题十种求解策略导语：三角形中的三角函数问题,是三角函数和解三角形两个知识点的有机结合,也是近年来高考中常见的考点之一。

以下是小编为大家精心整理的高中数学，欢迎大家参考！一、见“给角求值”问题，运用“新兴”诱导公式一步到位转换到区间（-90，90）的公式.1.sin(kπ+α)=(-1)ksinα(k∈Z)；2. cos(kπ+α)=(-1)kcosα(k∈Z)；3. tan(kπ+α)=(-1)ktanα(k∈Z)；4. cot(kπ+α)=(-1)kcotα(k∈Z).二、见“sinα±cosα”问题，运用三角“八卦图”1.sinα+cosα>0(或<0)óα的终边在直线y+x=0的上方（或下方）;2. sinα-cosα>0(或<0)óα的终边在直线y-x=0的上方（或下方）;3.|sinα|>|cosα|óα的终边在Ⅱ、Ⅲ的区域内;4.|sinα|<|cosα|óα的终边在Ⅰ、Ⅳ区域内.三、见“知1求5”问题，造Rt△，用勾股定理，熟记常用勾股数（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），仍然注意“符号看象限”。

四、“见齐思弦”=>“化弦为一”已知tanα,求sinα与cosα的齐次式，有些整式情形还可以视其分母为1，转化为sin2α+cos2α.五、见“正弦值或角的平方差”形式，启用“平方差”公式：1.sin(α+β)sin(α-β)= sin2α-sin2β;2. cos(α+β)cos(α-β)= cos2α-sin2β.六、见“sinα±cosα与sinαcosα”问题，起用平方法则：(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα=1±sin2α,故1.若sinα+cosα=t,(且t2≤2),则2sinαcosα=t2-1=sin2α;2.若sinα-cosα=t,(且t2≤2),则2sinαcosα=1-t2=sin2α.七、见“tanα+tanβ与tanαtanβ”问题，启用变形公式:tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ).思考：tanα-tanβ=八、见三角函数“对称”问题，启用图象特征代数关系：(A≠0)1.函数y=Asin(wx+φ)和函数y=Acos(wx+φ)的'图象，关于过最值点且平行于y轴的直线分别成轴对称；2.函数y=Asin(wx+φ)和函数y=Acos(wx+φ)的图象，关于其中间零点分别成中心对称；3.同样，利用图象也可以得到函数y=Atan(wx+φ)和函数y=Acot(wx+φ)的对称性质。

关于三角函数的几种解题技巧一、关于)2sin (cos sin cos sin ααααα或与±的关系的推广应用：1、由于ααααααααcos sin 21cos sin 2cos sin )cos (sin 222±=±+=±故知道)cos (sin αα±，必可推出)2sin (cos sin ααα或，例如：例1 已知θθθθ33cos sin ,33cos sin -=-求。

分析：由于)cos cos sin )(sin cos (sin cos sin 2233θθθθθθθθ++-=-]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin 2θθθθθθ+--=其中，θθcos sin -已知，只要求出θθcos sin 即可，此题是典型的知sin θ-cos θ，求sin θcos θ的题型。

解：∵θθθθcos sin 21)cos (sin 2-=- 故：31cos sin 31)33(cos sin 212=⇒==-θθθθ ]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin cos sin 233θθθθθθθθ+--=- 3943133]313)33[(332=⨯=⨯+=2、关于tg θ+ctg θ与sin θ±cos θ，sin θcos θ的关系应用：由于tg θ+ctg θ=θθθθθθθθθθcos sin 1cos sin cos sin sin cos cos sin 22=+=+ 故：tg θ+ctg θ，θθcos sin ±，sin θcos θ三者中知其一可推出其余式子的值。

例2 若sin θ+cos θ=m 2，且tg θ+ctg θ=n ，则m 2 n 的关系为（ ）。

A ．m 2=n B ．m 2=12+n C ．n m 22= D ．22mn = 分析：观察sin θ+cos θ与sin θcos θ的关系：sin θcos θ=2121)cos (sin 22-=-+m θθ而：n ctg tg ==+θθθθcos sin 1故：1212122+=⇒=-nm n m ，选B 。

初中数学解题技巧迅速解决复杂的三角函数题目解决复杂的三角函数题目是初中数学学习中的一大难题。

在解题过程中，学生们经常会陷入困惑和迷茫。

然而，只要掌握一些解题技巧，就能迅速而准确地解决这类题目。

本文将介绍一些初中数学解题技巧，帮助学生们解决复杂的三角函数题目。

一、利用基本三角函数关系简化题目在解决复杂的三角函数题目时，我们可以利用基本三角函数关系将题目简化。

例如，我们可以根据正弦函数和余弦函数的关系来简化题目。

如果题目中包含正弦函数，我们可以通过余弦函数将其转换为乘积形式；反之亦然。

这样一来，我们就能够更加方便地计算和推导。

二、利用和差化积公式简化计算和差化积公式是解决三角函数题目的重要工具。

通过将三角函数的和差转化为乘积形式，我们可以简化计算过程，更容易得出结果。

在解题过程中，我们可以根据具体情况选择正确的和差化积公式，并灵活运用。

三、熟悉周期性和对称性质三角函数具有周期性和对称性质。

熟悉这些性质可以帮助我们迅速解决复杂的三角函数题目。

例如，正弦函数和余弦函数都是周期函数，它们的周期为2π。

当我们遇到周期性相关的题目时，只需要在一个周期内进行计算，就可以得出整个周期的结果。

四、利用特殊角的数值特殊角是指常见角度的数值，如0°、30°、45°、60°和90°等。

熟悉特殊角的数值可以使我们在解题过程中更加快速准确。

特殊角的数值不仅可以直接使用，还可以通过对称性和周期性来推导得到其他角度的数值。

五、注意单位换算在解决三角函数题目时，我们还需要注意单位的换算。

例如，有些题目给出的角度单位是度，而有些题目给出的角度单位是弧度。

我们需要根据具体情况进行单位换算，确保计算的准确性。

六、积累经验，多做习题最后，解决复杂的三角函数题目需要经验积累。

学生们应该多做一些类似的习题，通过反复练习来加深对解题技巧的理解和掌握。

通过不断练习和总结，我们能够更加熟练地应用解题技巧，迅速解决复杂的三角函数题目。

所以函数尸鵲仏I 的值域为占，分厂cos —°,可看成点 sin& —(一2)A(sin&,cos0)与B(-2,0)连线的斜率，而一l-2sin&(2 + sin^)2 三角函数一题多解举例例1：求函数)U (&G /?)的值域。

2 + sin&解法一：利用合一公式 y = 2'°" => 2y = -y sin 0 + cos & =y? sin(& + 0),所以sin(0 + 0)= I 2丁，又|sin(0 + 0)|Wl, Jl + F叫少'解得兴解法二：斜率法(sin&,cos&)在圆 F + y 2 =1 上,当AB 与圆相切时分别取到最值，结合图形易得函数尸鼎伍R )的值域为［芈孚解法三：导数法y'= 0 得 sin& =-*,cos& = ± 专，从而 - ¥，¥, 令 2：对任意xe /?,<7cosx + /?cos2x>-ltii 成立，求a + b 的最大值. 例解法一：特值法，特别快2^^] | ® 6zcosx + /?cos 2x > -1 中取兀=—— 得 d(——) + /?(——)> -1, a + h <2, 3 2 24 2 4 2 4 2 2当 a =—,b =—时，a cos x + b cos 2x = — cos x + — cos 2x = — cos x + — (2 cos x-1) 3 3 3 3 3 34 1 . 一=—(cos x H —)~ —in —1 ,所以 d + b 的最大值为 2. 3 2解法二：构造二次函数原不等式即^cosx + /?(2cos 2x-1)>-1 即2/?cos 2x + acosx-b + 1 >0 ,⑵由一扩I 】 b-a+l>0得 a < 一4b 或 a > 4b ( /I + V8 丿当且仅当< /+8@_丄)2=2 2 6Z = 8(/?-—) 2 即< 4 a =—彳时取等号，此时满足 b = - 3性二斗[―1,1]・4h 2(3)由？令 f(t) = 2br +血一b + l,/ = cos 兀w [-1,1],(1) 当b<o 时，/(”的图象是开口向下的抛物线或者直线,所以只要+ +比"+丄1<2I /(l) = 2b + a —b + 120b>0若 a < —4b ：则 a + b v —3b < 0 < 2 ；若 a>4b,则由 Z? + tz + l>0W4/?<6/<H-/?=>ft<-,故 Q + bG + 2bv2v2.b>0得小(十2,A = «2 2-4X 2/?(-/? + 1)<09 1由 柯西不 等式，2X ->[6/2+8(Z?一一)2] 8 2 综上，a + b 的最大值为2. 例 3：设0e [0,—] , cos 2 0 + 2msin 3-2m-2<0 fa 成立，求加的取值范围.2 解法1 (分离参数，构造函数，利用导数)：不等式等价于 1 -sin 2 6 + 2msin 0-2m — 2<0 ,一sin? & + 2加sin&-2加一 1 <0 , zn(2sin &一 2) v sin 2 0 + 1.V 0e [0,-] , sin % [0,1]. 2(1) 当sin& = l 吋，不等式显然成立.2 3 a + b ——< —^> a + b<2 ,n (d + b-丄尸，故2(X-1)2-2 U-l)2<0,⑵当讪3)时，不等式等价于Q宁需11X + 1令sin 0 =兀,/(x) = ---------- (xe [0,1))，2x-1/(尢)是减函数，/(x)m;tx = /(0) = 一]••:航> 综上5的取值范围是(-+)・解法2 (利用二次函数的性质)：不等式等价于]-sii?0 + 2/nsin0-2加一2<0 ,即一sin? & + 2加sin&-2"?-l <0 ,即sin2 0 - 2wsin 6 + 2m +1 >0.令sin & =兀，则x2 - 2nvc + 2m + 1 >0.令fM = 一2加:+ 2加 + 1 = (x-m)2 -m2 +2加 + 1,兀w [0,1].(1)当加>1时,/(Q斷二/(D = 2>0,符合题意.(2)当0 < m < 1 W , /(X)min =f (加)=一+ 2加 + 1 = -(/?? 一1)2 + 2 > 0,符合题意.(3)当加v0时,f(x)min = f(0) = 2m +1 >0, <m<0.综上，加的取值范围是(--,+oo).2解法3(分离参数，再分离常数，一般可以利用基本不等式，但是本题中利用基本不等式时等号不成立，于是仍然利用函数的单调性)：不等式等价于1 - sin2 ^4-2msin0-2m-2<0 ,即- sin2 0 + 2/77sin 0一2m一1 v 0 ,即m(2sin 0 - 2) < sin20 + 1.V [0,-] , sin&w[0,l].2(1)当sin& = l吋，不等式显然成立.(2)当sin[0,1)时，不等式等价于加〉丄•也 "*' ,2 sin & -1设sin&-l =兀，则xe [-1,0),且丄.泄空丄(兀+ 1)2+1显心+ 2十2),2 sin^-1 2 x 2 x1 2 1 2^/U) = -.(x + - + 2),贝'J/Z(x) = -.(1-—)<0,2 x 21? I 1・•・ /(尢)是减函数，/(^)inax =-*(-l + —+ 2) = --. A m>-~.2—1 2 2综上，加的取值范围是(-丄,+<-)・2解法4(利用函数的图象)：不等式等价于1 -sin26 + 2m sin0-2m-2<0 ,即一sin，& + 2加sin&-2加一1 <0 ,即sin20 > 2/?? sin 0 - 2m,令sin0 =兀，则x2 > 2/n(x-1)-1, xe [-1,0].在同一个坐标系中作出函数/(x) = 和g(x) = 2m(x-\)-\的图象，注意到g(兀)=2加(兀-1)-1的图象是以(1,-1)为端点的线段，由图象可知只要/(0)>g(0),即0 >-2加一1 , m>-—.即加的取值范围是(-丄,2).2解法5(直接求导法，注意分类讨论，实际上与解法2类似，只是没有换元)：令/(〃) = cos20 + 2m sin O-2m-2 ,/'(&) = 一2cos 0sin & + 2mcos0 = -2cos &(sin & —加).•・・&G [0,-],・・・sin&w[0,l], cos6>G [0,1],2(1)当加>1 时，> 0 , /(&), &w[0,彳]是增函数， /(叽=/(彳)=-2<0,符合题意.(2)当0<m<l时，sin&5 时，f\0) >0 , sin0> 加时,f(0) <0 ,= 1 - fn2 + 2/n2 - 2m- 2 = m2 - 2m -1 = (m-1)2 - 2 < 0 ,符合题意.(3)当/nvO时,/(x)min = /(0) = 2m +1 >0, A --<m<0.2综上，加的取值范围是2。

高中数学解决三角函数问题的五种方法（带答案）方法一：角度法1. 计算给定角度的三角函数值。

2. 利用已知三角函数值的关系进行运算或计算未知三角函数值。

3. 根据问题给出的条件，确定需要解决的三角函数问题类型，如求角度、边长等。

4. 根据已知和未知的三角函数值，利用三角函数的简单性质和公式解决问题。

5. 最后，确保结果符合问题的要求，有必要的话进行合理的近似处理。

方法二：等式法1. 将问题中的三角函数转换成等式形式。

2. 根据已知的等式，利用等式的性质和公式进行推导和运算。

3. 通过求解等式，得到未知三角函数值或角度。

4. 判断结果是否符合问题的要求，并进行必要的近似处理。

方法三：图像法1. 根据给定的角度，画出三角函数图像。

2. 根据图像性质分析问题中的条件，确定需要求解的问题类型。

3. 利用图像，在合适的位置找到所需的三角函数值或角度。

4. 确认结果是否符合问题的要求，如有需要，进行近似处理。

方法四：三角恒等式法1. 根据问题中的条件，利用已知的三角恒等式进行变形和推导。

2. 将问题转化为包含已知三角函数的等式。

3. 通过求解等式，得到所需的三角函数值或角度。

4. 验证结果是否符合问题的要求，如有需要，进行近似处理。

方法五：三角函数特性法1. 根据问题中的条件，利用三角函数的特性进行分析。

2. 根据已知的特性，推导出所需的三角函数值或角度。

3. 判断结果是否满足问题要求，如有必要，进行近似处理。

这些方法是解决高中数学中三角函数问题常用的方法。

通过选择合适的解决方法，结合问题中给出的条件，可以有效地解决各种三角函数问题。

请注意，以上所提供的答案仅供参考，具体问题的解决方法可能因具体条件而有所不同。

解决数学问题时，请始终独立做出决策，并确保所引用的内容能够得到确认。

中考数学解题技巧如何解决三角函数的题目解决三角函数的题目是中考数学中的一项重要内容，对于学生来说，熟练掌握解题技巧可以提高解题效率和准确性。

本文将为大家介绍几种解决三角函数题目的技巧，希望能对中考数学备考有所帮助。

一、化简角度在解决三角函数的题目时，角度的化简是一个常用的技巧。

通过将角度化简为特定的值，可以利用特定的三角函数值进行计算，从而简化解题过程。

例如，对于sin(π/4 + α)的题目，可以利用sin(A + B)的公式，化简为sin(π/4)cos(α) + cos(π/4)sin(α)，再利用π/4的值为√2/2，可以得到sin(π/4 + α) = (√2/2)cos(α) + (√2/2)sin(α)。

二、利用三角函数的周期性质三角函数具有周期性的特点，利用这一特性可以简化解题过程。

对于周期性函数，可以将其角度转化为对应周期内的角度，从而得到相同的函数值。

例如，对于sin(2π/3)的题目，可以利用sin(θ + 2π) = sin(θ)的性质，将2π/3转化为0～2π范围内的角度，即2π/3 = 2π/3 - 2π = -4π/3，因此sin(2π/3) = sin(-4π/3)。

三、运用三角函数的性质解决三角函数题目时，还可以利用三角函数的基本性质和平凡解法来求解。

例如，对于tan(α) = 1的题目，可以利用tan(α) = sin(α)/cos(α)的定义，将其转化为sin(α) = cos(α)的形式，然后利用sin²(α) + cos²(α) = 1的性质，得到1 = 1 - cos²(α)，进一步化简得到cos²(α) = 0，从而得到cos(α) = 0。

根据cos(α) = 0的解，可以得到α为90°的整数倍。

因此，tan(α) = 1的解为α = 45°、225°等。

四、应用正弦定理和余弦定理对于一些复杂的三角函数题目，可以运用正弦定理和余弦定理来求解。

三角函数最值问题的十种常见解法t=sinx+cosx，则y=t+sinx*cosx，利用关系式sinx*cosx≤1可得y≤t+1，而t的取值范围为[-√2,√2]，当t=√2时，y取得最大值√2+1.五.利用导数法求极值对于一些复杂的三角函数最值问题，可以利用导数法求解.例如对于y=2sinx+3cosx+4sin2x，求其最大值.分析]解：y'=2cosx-3sinx+8cos2x，令y'=0，得cosx=3/10或cosx=-1/2，代入原式可得y的最大值为(7+8√6)/5.六.利用三角函数的周期性对于周期函数，可以利用其周期性来求解最值问题.例如对于y=3sin(2x+π/6)+4cos(2x-π/3)，求其最大值.分析]解：由于sin和cos函数都是周期为2π的函数，因此可以将y化简为y=3sin2x+4cos2x+3√3，利用三角函数的性质可得y的最大值为7+3√3.七.利用三角函数的单调性对于单调函数，可以利用其单调性来求解最值问题.例如对于y=2sinx+3cosx，求其最小值.分析]解：y的导数y'=2cosx-3sinx，y'的符号与sinx和cosx的符号相同，因此y在[π/2,π]上单调递减，在[0,π/2]上单调递增，因此y的最小值为y(π/2)=2.八.利用三角函数的对称性对于一些具有对称性的三角函数，可以利用其对称性来求解最值问题.例如对于y=sin2x+cos2x，求其最大值和最小值.分析]解：y=sin2x+cos2x=1，因此y的最大值为1，最小值也为1.九.利用三角函数的积分性质对于一些三角函数的积分性质，可以利用其求解最值问题.例如对于y=sin2x/x，求其最大值.分析]解：y'=2cos2x/x-sin2x/x²，令y'=0，得x=tanx，代入原式可得y的最大值为2.十.利用三角函数的平均值不等式对于一些三角函数，可以利用其平均值不等式来求解最值问题.例如对于y=sin2x+cos2x，求其最大值和最小值.分析]解：由平均值不等式可得(sin2x+cos2x)/2≥sinx*cosx，因此y的最大值为1，最小值也为1.sin x+\cos x=1+2\sin x\cos x$，设$t=\sin x+\cos x$，则$2\sin x\cos x=\frac{t^2-1}{2}$，$\therefore y=\frac{t+\frac{t^2-1}{2}}{2}=\frac{t^2+t-1}{4}$，其中$t\in[-\sqrt{2},\sqrt{2}]$。