第二章二次函数单元评估试卷

第二章《二次函数》单元检测卷（全卷满分100分限时90分钟）一.选择题（每小题3分共36分）1.下列函数解析式中，一定为二次函数的是（）1A.y=3x﹣1B.y=ax2+bx+cC.s=2t2﹣2t+1D.y=x2+x2.在同一坐标系中，一次函数y=ax+2与二次函数y=x2+a的图象可能是（）A. B. C. D.3.如图，一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，则函数y=ax2+（b﹣1）x+c的图象可能是（）A. B. C. D.4.下列四个函数图象中，当x＞0时，y随x的增大而减小的是（）A. B. C. D.A.m ＞1B.m ＞0C.m ＞﹣1D.﹣1＜m ＜06.设二次函数y=（x ﹣3）2﹣4图象的对称轴为直线l ，若点M 在直线l 上，则点M 的坐标可能是（ ） A.（1，0）B.（3，0）C.（﹣3，0）D.（0，﹣4）7.如图，反比例函数y=x k 的图象经过二次函数y=ax 2+bx 图象的顶点（﹣21，m ）（m ＞0），则有（ ）A.a=b+2kB.a=b ﹣2kC.k ＜b ＜0D.a ＜k ＜08.如图是二次函数y=ax 2+bx+c=（a≠0）图象的一部分，对称轴是直线x=﹣2.关于下列结论：①ab＜0；②b 2﹣4ac ＞0；③9a﹣3b+c ＜0；④b﹣4a=0；⑤方程ax 2+bx=0的两个根为x 1=0，x 2=﹣4，其中正确的结论有（ ）A.①③④B.②④⑤C.①②⑤D.②③⑤9.若二次函数y=ax 2+bx+c （a ＜0）的图象经过点（2，0），且其对称轴为x=﹣1，则使函数值y ＞0成立的x 的取值范围是（ ）A.x ＜﹣4或x ＞2B.﹣4≤x≤2C.x≤﹣4或x≥2D.﹣4＜x ＜210.已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ＞0）经过点M （﹣1，2）和点N （1，﹣2），交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于C.则：①b=﹣2；②该二次函数图象与y 轴交于负半轴；③存在这样一个a ，使得M 、A 、C 三点在同一条直线上；④若a=1，则OA•OB=OC 2. 以上说法正确的有（ ）A.①②③④B.②③④C.①②④D.①②③11.如图，抛物线y=x 2﹣21x ﹣23与直线y=x ﹣2交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），动点P 从A 点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E ，再到达x 轴上的某点F ，最后运动到点B.若使点P 运动的总路径最短，则点P 运动的总路径的长为（ ） A.229 B.329C.25D.35 12.已知抛物线y=﹣x 2+1的顶点为P ，点A 是第一象限内该二次函数图象上一点，过点A 作x 轴的平行线交二次函数图象于点B ，分别过点B 、A 作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，连结PA 、PD ，PD 交AB 于点E ，△PAD 与△PEA 相似吗？（ ） A.始终不相似 B.始终相似 C.只有AB=AD 时相似 D.无法确定二.填空题（每小题分 共12分）13.如果函数y=b 的图象与函数y=x 2﹣3|x ﹣1|﹣4x ﹣3的图象恰有三个交点，则b 的可能值是 .14.二次函数y=﹣x 2+2x ﹣3图象的顶点坐标是 .15.把抛物线y=（x+1）2向下平移2个单位，再向右平移1个单位，所得到的抛物线解析式是 .16.已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①b 2＞4ac ；②abc＞0；③2a﹣b=0；④8a+c＜0；⑤9a+3b+c＜0. 其中结论正确的是 .（填正确结论的序号） 三.解答题（共52分）17.在平面直角坐标系xOy 中，过点（0，2）且平行于x 轴的直线，与直线y=x ﹣1交于点A ，（1）求点A，B的坐标；（2）求抛物线C1的表达式及顶点坐标；（3）若抛物线C2：y=ax2（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围.18.某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销.据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本.求销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？19.抛物线y=x 2﹣4x+3与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），点C 是此抛物线的顶点. （1）求点A 、B 、C 的坐标； （2）点C 在反比例函数y=xk（k≠0）的图象上，求反比例函数的解析式.20.已知抛物线y=ax 2+bx+3的对称轴是直线x=1. （1）求证：2a+b=0；（2）若关于x 的方程ax 2+bx ﹣8=0的一个根为4，求方程的另一个根.21.如图所示，抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点，A、B两点的坐标分别为（﹣1，0）、（0，﹣3）.（1）求抛物线的函数解析式；（2）点E为抛物线的顶点，点C为抛物线与x轴的另一交点，点D为y轴上一点，且DC=DE，求出点D的坐标；（3）在直线DE上存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形与△DOC相似，请你直接写出所有满足条件的点P的坐标.22.如图，抛物线y=x2﹣bx+c交x轴于点A（1，0），交y轴于点B，对称轴是x=2.（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.23.在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三点. （1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S.求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值.（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=﹣x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标.参考答案一、选择题：二、填空题：三、解答题：17、 解：（1）当y=2时，则2=x ﹣1，解得：x=3，∴A（3，2）， ∵点A 关于直线x=1的对称点为B ，∴B（﹣1，2）. （2）把（3，2），（﹣2，2）代入抛物线C 1：y=x 2+bx+c 得：⎩⎨⎧+-=++=cb c b 12392解得：⎩⎨⎧-=-=12c b ∴y=x 2﹣2x ﹣1.顶点坐标为（1，﹣2）. （3）如图，当C 2过A 点，B 点时为临界，代入A （3，2）则9a=2，解得：a=92， 代入B （﹣1，2），则a （﹣1）2=2，解得：a=2，18、 解：y=（x ﹣50）[50+5（100﹣x ）] =（x ﹣50）（﹣5x+550） =﹣5x 2+800x ﹣27500∴y=﹣5x 2+800x ﹣27500=﹣5（x ﹣80）2+4500 ∵a=﹣5＜0，∴抛物线开口向下，∵50≤x≤100，对称轴是直线x=80，∴当x=80时，y 最大值=4500.19、 解：（1）令y=0，得到x 2﹣4x+3=0，即（x ﹣1）（x ﹣3）=0，解得：x=1或3， 则A （1，0），B （3，0），∵y=x 2﹣4x+3=（x ﹣2）2﹣1，∴顶点C 的坐标为（2，﹣1）； （2）∵点C （2，﹣1）在反比例函数y=xk（k≠0）的图象上，∴k=﹣1×2=﹣2， ∴反比例函数的解析式为y=﹣x2； 20、 （1）证明：∵对称轴是直线x=1=﹣ab2，∴2a+b=0； （2）解：∵ax 2+bx ﹣8=0的一个根为4，∴16a+4b﹣8=0， ∵2a+b=0，∴b=﹣2a ，∴16a﹣8a ﹣8=0，解得：a=1，则b=﹣2，∴ax 2+bx ﹣8=0为：x 2﹣2x ﹣8=0，则（x ﹣4）（x+2）=0，解得：x 1=4，x 2=﹣2， 故方程的另一个根为：﹣2.21、 解：（1）∵抛物线y=x 2+bx+c 经过A （﹣1，0）、B （0，﹣3），∴⎩⎨⎧-==+-301c c b ，解得⎩⎨⎧-=-=32c b ，故抛物线的函数解析式为y=x 2﹣2x ﹣3；（2）令x 2﹣2x ﹣3=0，解得x 1=﹣1，x 2=3，则点C 的坐标为（3，0）， ∵y=x 2﹣2x ﹣3=（x ﹣1）2﹣4，∴点E 坐标为（1，﹣4）， 设点D 的坐标为（0，m ），作EF⊥y 轴于点F ， ∵DC 2=OD 2+OC 2=m 2+32，DE 2=DF 2+EF 2=（m+4）2+12，∵DC=DE，∴m 2+9=m 2+8m+16+1，解得m=﹣1，∴点D 的坐标为（0，﹣1）； （3）∵点C （3，0），D （0，﹣1），E （1，﹣4），∴CO=DF=3，DO=EF=1， 根据勾股定理，CD=10132222=+=+OD OC ，∵⎪⎩⎪⎨⎧==∠=∠=EF DO DFE COD DF CO 090，∴△COD≌△DFE（SAS ），∴∠EDF=∠DCO，又∵∠DCO+∠CDO=90°，∴∠EDF+∠CDO=90°，∴∠CDE=180°﹣90°=90°，∴CD⊥DE， ①分OC 与CD 是对应边时， ∵△DOC∽△PDC，∴DP OD DC OC =，即DP 1103=，解得DP=310， 过点P 作PG⊥y 轴于点G ，则DE DP EF PG DF DG ==，即1031013==PG DG ，解得DG=1，PG=31， 当点P 在点D 的左边时，OG=DG ﹣DO=1﹣1=0，所以点P （﹣31，0）， 当点P 在点D 的右边时，OG=DO+DG=1+1=2，所以，点P （31，﹣2）； ②OC 与DP 是对应边时， ∵△DOC∽△CDP，∴DC OD DP OC =，即1013=DP ，解得DP=310， 过点P 作PG⊥y 轴于点G ，则DE DP EF PG DF DG ==，即1010313==PG DG ，解得DG=9，PG=3， 当点P 在点D 的左边时，OG=DG ﹣OD=9﹣1=8，所以，点P 的坐标是（﹣3，8）， 当点P 在点D 的右边时，OG=OD+DG=1+9=10，所以，点P 的坐标是（3，﹣10）， 综上所述，满足条件的点P 共有4个，其坐标分别为（﹣31，0）、（31，﹣2）、（﹣3，8）、（3，﹣10）.22、 解：（1）由题意得，⎪⎩⎪⎨⎧==+-2201b c b ，解得b=4，c=3，∴抛物线的解析式为.y=x 2﹣4x+3； （2）∵点A 与点C 关于x=2对称，∴连接BC 与x=2交于点P ，则点P 即为所求，根据抛物线的对称性可知，点C 的坐标为（3，0），y=x 2﹣4x+3与y 轴的交点为（0，3）， ∴设直线BC 的解析式为：y=kx+b ， ⎩⎨⎧==+303b b k ，解得，k=﹣1，b=3，∴直线BC 的解析式为：y=﹣x+3， 则直线BC 与x=2的交点坐标为：（2，1）∴点P 的坐标为：（2，1）.23、 解：（1）设此抛物线的函数解析式为：y=ax 2+bx+c （a≠0），将A （﹣4，0），B （0，﹣4），C （2，0）三点代入函数解析式得： ⎪⎩⎪⎨⎧=++-==+-02440416c b a c c b a 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-===4121c b a ，所以此函数解析式为：y=4212-+x x ；（2）∵M 点的横坐标为m ，且点M 在这条抛物线上，∴M 点的坐标为：（m ，4212-+m m ）， ∴S=S △AOM +S △OBM ﹣S △AOB =21×4×（﹣21m 2﹣m+4）+21×4×（﹣m ）﹣21×4×4 =﹣m 2﹣2m+8﹣2m ﹣8 =﹣m 2﹣4m ，=﹣（m+2）2+4，∵﹣4＜m ＜0，当m=﹣2时，S 有最大值为：S=﹣4+8=4.答：m=﹣2时S 有最大值S=4.（3）设P （x ，21x 2+x ﹣4）. 当OB 为边时，根据平行四边形的性质知PQ∥OB，且PQ=OB ，∴Q 的横坐标等于P 的横坐标，又∵直线的解析式为y=﹣x ，则Q （x ，﹣x ）.由PQ=OB ，得|﹣x ﹣（21x 2+x ﹣4）|=4，解得x=0，﹣4，﹣2±25.x=0不合题意，舍去. 如图，当BO 为对角线时，知A 与P 应该重合，OP=4.四边形PBQO 为平行四边形则BQ=OP=4，Q 横坐标为4，代入y=﹣x 得出Q 为（4，﹣4）.由此可得Q （﹣4，4）或（﹣2+25，2﹣25）或（﹣2﹣25，2+25）或（4，﹣4）.。

第二 章 二次函数单元评估试卷一、精心选一选，相信自己的判断！（每小题3分，共30分）1、下列关系式中，属于二次函数的是（x 为自变量）（ ）A 、 B 、 C 、 D 、218y x =21y x =-21y x=22y a x =2、当m 不为何值时，函数（m 是常数）是二次函数（ ）2(2)45y m x x =-+-A 、－2 B 、2 C 、3 D 、－33、抛物线y=x 2－1的顶点坐标是()． A 、(0，1)B 、(0，一1)C 、(1，0)D 、(一1，0)4、的对称轴是直线（）22y x =+A 、x=2 B 、x=0 C 、y=0 D 、y=25、二次函数的最小值为（ ）247y x x =-+A 、2 B 、－2 C 、3 D 、－36、经过原点的抛物线是（ ）A 、y=2x 2+xB 、C 、y=2x 2－1D 、y=2x 2+1221)y x =+（7、已知二次函数，当x=３时,y 的值为（ ）232)1y x =-+（Ａ、４ Ｂ、－４ Ｃ、３ Ｄ、－３8、已知一个矩形的面积为24cm 2,其长为ycm,宽为xcm ，则y 与x 之间的函数关系的图象大致为（ ）9、设抛物线y=x 2+8x －k 的顶点在x 轴上，则k 的值为（）A 、－16 B 、16 C 、－8 D 、810、下列函数中，当x<0时，y 随x 的增大而减小的函数是（）xy O A 、y=－3x B 、y=4x C 、 D 、y=－x 22y x=-二、耐心填一填：（把答案填放相应的空格里。

每小题3分，共24分）。

11、二次函数y =－2x 2+3的开口方向是_________. 1212、抛物线y =x 2+8x －4与直线x ＝4的交点坐标是__________.13、若二次函数y =ax 2的图象经过点（－1，2），则二次函数y =ax 2的解析式是＿＿＿.14、函数的自变量的取值范围是 ；)1(432-=x y x 15、已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于A (1，0)，B (3，0)两点，与y 轴交于点C (0，3)，则二次函数的解析式是 ．16、若函数y =3x 2与直线y =kx +3的交点为（2，b ），则k ＝＿＿，b ＝＿＿.17、函数y =9－4x 2，当x =_________时有最大值________.18、已知二次函数的图象如图所示，2y ax bx c =++则a 0,b 0,c 0。

九年级下册二次函数测试题及详细解析XXX版九年级下册第二章《二次函数》单元测试考试时间：90分钟姓名：___________班级：___________座号：___________一、选择题（每题3分，共30分）1.下列函数中，是二次函数的是（）A、y=x-1B、y=2x^2+3xC、y=-x^2+y^2D、y=x+1/x2.抛物线y=-（x-2）^2-3的顶点坐标是（）A.（-2，-3）B.（2，3）C.（-2，3）D.（2，-3）3.抛物线y=-x^2向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到新的图象的二次函数表达式是（）A。

y=-(x-1)^2+2B。

y=-(x+1)^2+2C。

y=-(x-1)^2-2D。

y=-(x+1)^2-24.把二次函数y=-1/2x^2+x+3用配方法化成y=a(x-h)^2+k的形式（）A、y=-1/2(x-2)^2+3B、y=(x-2)^2+4C、y=-2(x-1)^2+2D、y=(x+2)(x-2)+35.已知A（2，y1），B（2，y2），C（－2，y3）是二次函数y=3（x－1）+k图象上三点，则y1、y2、y3的大小关系为（）A。

y1>y2>y3B。

y2>y1>y3C。

y3>y2>y1D。

y2>y3>y16.二次函数y=x^2-4x-5的图象的对称轴是（）A。

直线x=-2B。

直线x=2C。

直线x=-1D。

直线x=17.二次函数y=kx^2-6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A。

k<3B。

k<3且k≠0C。

k≤3D。

k≤3且k≠08.如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点P、Q同时从点A出发，以1cm/s的速度分别沿A→B→C和A→D→C的路径向点C运动，设运动时间为x（单位：s），四边形PBDQ的面积为y（单位：cm），则y与x（≤x≤8）之间的函数关系可用图象表示为（）9.二次函数y=ax^2+bx+c的图象如下图所示，则反比例函数y=a/x与一次函数y=bx+c在同一坐标系中的大致图象是（）二、填空题（每题4分，共20分）1.抛物线y=2x^2-4x+3的对称轴方程是x=______。

..第二章 二次函数单元测试一、选择题（每小题4分，共40分）每小题只有一个正确答案，请将正确答案的番号填在括号内. 1、下列各关系式中，属于二次函数的是(x 为自变量)（ ）A 、y =81x 2B 、y =12-xC 、y =21x D 、y =a 2x2、函数y =ax 2+bx +c (a ，b ，c 是常数)是二次函数的条件是（ ）A 、a ≠0，b ≠0，c ≠0B 、a <0，b ≠0，c ≠0C 、a >0，b ≠0，c ≠0D 、a ≠03、函数y =ax 2(a ≠0)的图象与a 的符号有关的是（ ） 图1A 、顶点坐标B 、开口方向C 、开口大小D 、对称轴4、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图1所示，则下列关系式不正确的是（ ）A 、a ＜0B 、abc ＞0C 、c b a ++＞0D 、ac b 42-＞0 5、函数y =21x 2+2x +1写成y =a (x －h)2+k 的形式是（ ） A 、y =21(x －1)2+2 B 、y =21(x －1)2+21 C 、y =21(x －1)2－3D 、y =21(x +2)2－1 6、若函数y =4x 2+1的函数值为5，则自变量x 的值应为（ ）A 、1B 、－1C 、±1D 、223 7、关于二次函数y =ax 2+bx +c 的图象有下列命题，其中是假命题的个数是（ ）①当c =0时，函数的图象经过原点;②当b =0时，函数的图象关于y 轴对称;③函数的图象最高点的纵坐标是ab ac 442-;④当c >0且函数的图象开口向下时，方程ax 2+bx +c =0必有两个不相等的实根A 、0个B 、1个C 、2个D 、3个8、为了备战2008奥运会，中国足球队在某次训练中，一队员在距离球门12米处的挑射，正好从2.4米高(球门横梁底侧高)入网.若足球运行的路线是抛物线y =ax 2+bx +c (如图2所示)，则下列结论正确的是（ ） ①a <－601 ②－601<a <0 ③a －b +c >0 ④0<b <－12aA 、①③B 、①④C 、②③D 、②④图2 图3 图49、如图3，铅球运动员掷铅球的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是y=－121x2+32x+35，则该运动员此次掷铅球的成绩是（）A、6 mB、12 mC、8 mD、10 m10、某幢建筑物，从10 m高的窗口A，用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状(抛物线所在的平面与墙面垂直，如图4，如果抛物线的最高点M离墙1 m，离地面340m，则水流落地点B离墙的距离OB是（）A、2 mB、3 mC、4 mD、5 m二、填空题(每小题3分，共30分)11、设一圆的半径为r，则圆的面积S=______，其中变量是_____.12、有一长方形纸片，长、宽分别为8 cm和6 cm，现在长宽上分别剪去宽为x cm (x<6)的纸条(如图5)，则剩余部分(图中阴影部分)的面积y=________________-__，其中_____是自变量，_____是因变量.图5 图613、下列函数中：①y=－x2；②y=2x；③y=22+x2－x3；④m=3－t－t2是二次函数的是______(其中x、t为自变量).14、抛物线y=－3(2x2－1)的开口方向是_____，对称轴是_____.15、抛物线y=21(x+3)2的顶点坐标是______.16、将抛物线y=3x2向上平移3个单位后，所得抛物线的顶点坐标是______.17、半径为r的圆，如果半径增加m，那么新圆的面积S与m之间的函数关系式是______.18、如图6，一小孩将一只皮球从A 处抛出去，它所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果他的出手处A 距地面的距离OA 为1 m ，球路的最高点B (8，9)，则这个二次函数的表达式为______，小孩将球抛出了约______米(精确到0.1 m).19、找出能反映下列各情景中两个变量间关系的图象，并将代号填在相应的横线上.(1)一辆匀速行驶的汽车，其速度与时间的关系.对应的图象是______. (2)正方形的面积与边长之间的关系.对应的图象是______.(3)用一定长度的铁丝围成一个长方形，长方形的面积与其中一边的长之间的关系.对应的图象是______.(4)在220 V 电压下，电流强度与电阻之间的关系.对应的图象是______.A B D20、将进货单价为70元的某种商品按零售价100元售出时，每天能卖出20个.若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加了1个，为了获得最大利润，则应降价______元，最大利润为______元.三、解答题;（每小题10分，共30分）21、(10分)已知二次函数的图象以A （－1，4）为顶点，且过点B （2，－5）。

第二章二次函数单元测试卷一、选择题(每小题3分，共24分)1．下列函数是y关于x的二次函数的是()A．y＝－x B．y＝2x＋3C．y＝x2－3 D．y＝1 x2＋12．把函数y＝(x－1)2＋2的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数表达式为()A．y＝x2＋2 B．y＝(x－1)2＋1C．y＝(x－2)2＋2 D．y＝(x－1)2－33．二次函数y＝x2－2x＋4化为y＝a(x－h)2＋k的形式，下列正确的是() A．y＝(x－1)2＋2 B．y＝(x－1)2＋3C．y＝(x－2)2＋2 D．y＝(x－2)2＋44．抛物线y＝x2＋2x＋m－1与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是() A．m＜2 B．m＞2C．0＜m≤2 D．m＜－25．根据下列表格对应值：x … 6.17 6.18 6.19 6.20 6.21…ax2＋bx＋c …－0.02－0.010.010.040.08…判断关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一个解x的取值范围是()A．6.20＜x＜6.21 B．6.17＜x＜6.18C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.206．在同一直角坐标系中，二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx＋c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可能是()(第6题)7．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y(m3)与旋钮的旋转角度x(度)(0<x≤90)近似满足函数关系y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为()(第7题)A．18度B．36度C．41度D．58度8．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋4交y轴于点A，交过点A且平行于x轴的直线于另一点B，交x轴于C，D两点(点C在点D右边)，对称轴为直线x＝52，连接AC，AD，BC.若点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，下列结论中错误的是()A．点B的坐标为(5，4)B．AB＝ADC．a＝－1 6D．OC·OD＝16(第8题)(第12题)二、填空题(每小题3分，共15分)9．二次函数y＝(x＋3)2＋2的图象的对称轴是直线________．10．已知函数y＝(m－1)x m2＋1＋3x，当m＝________时，它是二次函数．11．已知二次函数的图象经过(－1，0)、(3，0)、(0，3)三点，那么这个二次函数的表达式为____________．12．如图所示，正方形EFGH的顶点在边长为2的正方形的边上．若设AE＝x，正方形EFGH的面积为y，则y关于x的函数表达式为________．13．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝1，下列结论：①abc>0；②b2－4ac>0；③8a＋c<0；④5a＋b＋2c>0，其中正确的结论有________(只填序号)．(第13题)三、解答题(共13小题，共81分)14．(5分)把下列二次函数化为一般形式，并指出二次项系数、一次项系数及常数项．(1)y＝(1－x)(1＋x)；(2)y＝4x2－12x(1＋x)．。

第2章二次函数一．选择题（共10小题）1．下列各式中，y是关于x的二次函数的是（）A．y＝2x+3 B．C．y＝3x2﹣1 D．y＝（x﹣1）2﹣x22．对于二次函数y＝3（x﹣2）2+1的图象，下列说法正确的是（）A．开口向下B．对称轴是直线x＝﹣2C．顶点坐标是（2，1）D．与x轴有两个交点3．抛物线y＝3x2先向下平移1个单位，再向左平移2个单位，所得的抛物线是（）A．y＝3（x+2）2﹣1 B．y＝3（x﹣2）2+1C．y＝（x﹣2）2﹣1 D．y＝3（x+2）2+14．抛物线y＝x2+2x与x轴的交点坐标是（）A．（0，0）B．（2，0）C．（0，0）或（﹣2，0）D．（0，0）或（2，0）5．如图所示，中堂中学教学楼前喷水池喷出的抛物线形水柱，水柱喷出的竖直高度y （m）与水平距离x（m）满足y＝﹣（x﹣2）2+6，则水柱的最大高度是（）A．2 B．4 C．6 D．2+6．若A（﹣3，y1），，C（2，y3）在二次函数y＝x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y2＜y1＜y3B．y1＜y3＜y2C．y1＜y2＜y3D．y3＜y2＜y17．已知二次函数y＝ax2+bx+c中x和y的值如下表（）x0.10 0.11 0.12 0.13 0.14y﹣5.6 ﹣3.1 ﹣1.5 0.9 1.8 则ax2+bx+c＝0的一个根的范围是（）A．0.10＜x＜0.11 B．0.11＜x＜0.12C．0.12＜x＜0.13 D．0.13＜x＜0.148．赵州桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示，函数关系为，当水面宽度AB 为20m时，水面与桥拱顶的高度DO等于（）A．2m B．4m C．10m D．16m9．抛物线y＝x2﹣x+m与x轴至少有一个公共点，则m的取值范围是（）A．m B．m＞C．m≤D．m＜10．在同一坐标系中，二次函数y＝ax2+b与一次函数y＝bx+a的图象可能是（）A．B．C．D．二．填空题（共7小题）11．已知点A（3，n）在二次函数y＝x2﹣x+1的图象上，那么n的值为．12．抛物线y＝x2﹣2x+1与x轴交点的交点坐标为．13．函数y＝（m+1）x|m|+1+5x﹣5是二次函数，则m＝．14．二次函数y＝kx2﹣4x+1与x轴有交点，则k的取值范围是．15．如图，一次函数y＝mx+n的图象与二次函数y＝ax2+bx+c的图象交于A（﹣1，p），B（4，q）两点，则关于x的不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集是．16．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a+b ＞0；④其顶点坐标为（，﹣2）；⑤当x＜0时，y随x的增大而减小；⑥a+b+c＞0中，正确的有．（只填序号）17．如图，将函数y＝+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A（1，m），B（4，n）平移后的对应点分别为点A′、B′．若曲线段AB扫过的面积为12（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是．三．解答题（共23小题）18．（1）解方程：（x﹣2）（x+3）＝6；（2）已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，求该抛物线的顶点坐标．19．已知抛物线y＝﹣x+5．（l）求该抛物线的顶点坐标；（2）判断点P（﹣2，5）是否落在图象上，请说明理由．20．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点D，抛物线的顶点为C．（1）求A，B，C，D的坐标；（2）求四边形ABCD的面积．21．二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x…﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …y… 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 m…（1）写出m的值；（2）在图中画出这个二次函数的图象；（3）当y≥5时，x的取值范围是；（4）当﹣4＜x＜1时，y的取值范围是．22．某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调査，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件．（1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？（2）设后来该商品每件降价x元，商场一天可获利润y元．①若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？②求出y与x之间的函数关系式，并直接写出当x取何值时，商场可获得最大利润？最大利润为多少元？23．有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为10m，如图所示，把它的图形放在直角坐标系中．（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；（2）一辆宽为2米，高为3米的货船能否从桥下通过？24．已知函数y＝2x2﹣（3﹣k）x+k2﹣3k﹣10的图象经过原点，试确定k的值．25．在平面直角坐标系中，若抛物线y＝2x2与直线y＝x+1交于点A（a，b）和点B（c，d），其中a＞c，点O为原点，求△ABO的面积．26．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝6cm，点P从点C开始沿CB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从A开始沿AC向点C以2cm/s的速度移动，如果点P，Q同时从点C，A出发，试问：（1）出发多少时间时，点P，Q之间的距离等于？（2）出发多少时间时，△PQC的面积为6cm2？（3）△PQC面积的是否有最大值？若有是多少？此时时间是多少？27．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°．AB＝8cm，AC＝6cm，若动点D从B出发，沿线段BA运动到点A为止（不考虑D与B，A重合的情况），运动速度为2cm/s，过点D 作DE∥BC交AC于点E，连接BE，设动点D运动的时间为x（s），AE的长为y（cm）．（1）求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x为何值时，△BDE的面积S有最大值？最大值为多少？28．我县某乡镇实施产业扶贫，帮助贫困户承包田地种植“黄金梨”，已知该黄金梨的成本价为8元/千克，到了收获季节投入市场销售时，通过调查市场行情发现销售该黄金梨不会亏本，且每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示．（1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）当黄金梨定价为多少元时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？（3）某农户今年共采摘黄金梨4800千克，若黄金梨的保质期为40天，则按（2）中的方式进行销售，能否销售完这批黄金梨？请说明理由．29．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点D，点B的坐标为（3，0），顶点C的坐标为（1，4）．（1）求二次函数的解析式和直线BD的解析式；（2）点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P 在第一象限时，求线段PM长度的最大值；（3）在抛物线上是否存在点Q，且点Q在第一象限，使△BDQ中BD边上的高为？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．30．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B和点C的坐标分别为（3，0）、（0，﹣3），抛物线的对称轴为x＝1，D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式．（2）点E为线段BC上一动点，过点E作x轴的垂线，与抛物线交于点F，求四边形ACFB面积的最大值，以及此时点E的坐标．（3）抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PCD为等腰三角形？若存在，写出点P点的坐标；若不存在，说明理由．31．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4经过点A（4，0），B（﹣1，0），交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点D是直线AC上一动点，过点D作DE垂直于y轴于点E，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点D的坐标；（3）在AC上方的抛物线上是否存在点P，使得△ACP是直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．32．某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件50元．每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件40.5元，求两次下降的百分率；（2）经调查，若该商品每降价2元，每天可多销售16件，那么每天要想获得最大利润，每件售价应多少元？最大利润是多少？33．如图，已知直线y＝x+4交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B．（1）求抛物线解析式；（2）点C（m，0）是x轴上异于A、O点的一点，过点C作x轴的垂线交AB于点D，交抛物线于点E．①当点E在直线AB上方的抛物线上时，连接AE、BE，求S△ABE的最大值；②当DE＝AD时，求m的值．34．已知等边△ABC和Rt△DEF按如图所示的位置放置，点B、D重合，且点E、B（D）、C在同一条直线上．其中∠E＝90°，∠EDF＝30°，AB＝DE＝，现将△DEF沿直线BC以每秒个单位向右平移，直至E点与C点重合时停止运动，设运动时间为t 秒．（1）试求出在平移过程中，点F落在△ABC的边上时的t值；（2）试求出在平移过程中△ABC和Rt△DEF重叠部分的面积S与t的函数关系式．35．如图，为了绿化小区，某物业公司要在形如五边形ABCDE的草坪上建一个矩形花坛PKDH．已知：PH∥AE，PK∥BC，DE＝100米，EA＝60米，BC＝70米，CD＝80米．以BC所在直线为x轴，AE所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，坐标原点为O．（1）求直线AB的解析式．（2）若设点P的横坐标为x，矩形PKDH的面积为S，求S关于x的函数关系式．36．在体育测试时，九年级的一名高个男同学推铅球，已知铅球所经过的路径是某个二次函数图象的一部分（如图所示）．如果这个男同学出手处A点的坐标是（0，2），铅球路线的最高处B点的坐标是（6，5）．求这个二次函数的解析式．37．某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水面宽AB＝1.6m，涵洞顶点O到水面的距离为2.4m，在图中直角坐标系内，求涵洞所在抛物线的函数表达式．38．已知二次函数y＝﹣x2+x+（1）将y＝﹣x2+x+成y＝a（x﹣h）2+k的形式：（2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线x……y……（3）当﹣3＜x＜3时，观察图象直接写出函数值y的取值的范围．（4）将该抛物线在x上方的部分（不包含与x的交点）记为G，若直线y＝x+b与G 只有一个公共点，则b的取值范围是．39．抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴的一个交点为（﹣1，0），对称轴是直线x＝1，（1）抛物线与x轴的另一个交点坐标为；m＝，n＝．（2）画出此二次函数的图象；（3）利用图象回答：当x取何值时，y≤0？40．已知抛物线y＝﹣2x2+（m﹣3）x﹣8．（1）若抛物线的对称轴为y轴，求m的值；（2）若抛物线的顶点在x正半轴上，求顶点坐标．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．下列各式中，y是关于x的二次函数的是（）A．y＝2x+3 B．C．y＝3x2﹣1 D．y＝（x﹣1）2﹣x2【分析】根据二次函数的定义，可得答案．【解答】解：A、是一次函数，故A错误；B、二次函数都是整式，故B错误；C、是二次函数，故C正确；D、是一次函数，故D错误；故选：C．2．对于二次函数y＝3（x﹣2）2+1的图象，下列说法正确的是（）A．开口向下B．对称轴是直线x＝﹣2C．顶点坐标是（2，1）D．与x轴有两个交点【分析】利用二次函数的性质对A、B、C进行判断；利用3（x﹣2）2+1＝0的实数解的个数对D进行判断．【解答】解：二次函数y＝3（x﹣2）2+1的图象的开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，1），当y＝0时，3（x﹣2）2+1＝0，此方程没有实数解，所以抛物线与x轴没有交点．故选：C．3．抛物线y＝3x2先向下平移1个单位，再向左平移2个单位，所得的抛物线是（）A．y＝3（x+2）2﹣1 B．y＝3（x﹣2）2+1C．y＝（x﹣2）2﹣1 D．y＝3（x+2）2+1【分析】先求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式写出抛物线解析式即可．【解答】解：抛物线y＝3x2先向下平移1个单位，再向左平移2个单位后的抛物线顶点坐标为（﹣2，﹣1），所得抛物线为y＝3（x+2）2﹣1．故选：A．4．抛物线y＝x2+2x与x轴的交点坐标是（）A．（0，0）B．（2，0）C．（0，0）或（﹣2，0）D．（0，0）或（2，0）【分析】根据题意可知，解方程x2+2x＝0，即可得出结果．【解答】解：令y＝0，则x2+2x＝0，解得x1＝0，x2＝﹣2，所以抛物线y＝x2+2x与x轴的交点坐标是（0，0）或（﹣2，0），故选：C．5．如图所示，中堂中学教学楼前喷水池喷出的抛物线形水柱，水柱喷出的竖直高度y （m）与水平距离x（m）满足y＝﹣（x﹣2）2+6，则水柱的最大高度是（）A．2 B．4 C．6 D．2+【分析】直接利用二次函数最值求法得出答案．【解答】解：∵抛物线形水柱，其解析式为y＝﹣（x﹣2）2+6，∴水柱的最大高度是：6．故选：C．6．若A（﹣3，y1），，C（2，y3）在二次函数y＝x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y2＜y1＜y3B．y1＜y3＜y2C．y1＜y2＜y3D．y3＜y2＜y1【分析】求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性判断即可．【解答】解：对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，∵a＝1＞0，∴x＜﹣1时，y随x的增大而减小，x＞﹣1时，y随x的增大而增大，∴y2＜y1＜y3．故选：A．7．已知二次函数y＝ax2+bx+c中x和y的值如下表（）x0.10 0.11 0.12 0.13 0.14y﹣5.6 ﹣3.1 ﹣1.5 0.9 1.8 则ax2+bx+c＝0的一个根的范围是（）A．0.10＜x＜0.11 B．0.11＜x＜0.12C．0.12＜x＜0.13 D．0.13＜x＜0.14【分析】由表格可发现y的值﹣1.5和0.9最接近0，再看对应的x的值即可得．【解答】解：由表可以看出，当x取0.12与0.13之间的某个数时，y＝0，即这个数是ax2+bx+c＝0的一个根．ax2+bx+c＝0的一个解x的取值范围为0.12＜x＜0.13．故选：C．8．赵州桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示，函数关系为，当水面宽度AB 为20m时，水面与桥拱顶的高度DO等于（）A．2m B．4m C．10m D．16m【分析】根据题意，把x＝10直接代入解析式即可解答．【解答】解：根据题意B的横坐标为10，把x＝10代入y＝﹣x2，得y＝﹣4，∴A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4），即水面与桥拱顶的高度DO等于4m．故选：B．9．抛物线y＝x2﹣x+m与x轴至少有一个公共点，则m的取值范围是（）A．m B．m＞C．m≤D．m＜【分析】利用判别式的意义得到△＝（﹣1）2﹣4m≥0，然后解不等式即可．【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣x+m与x轴至少有一个公共点，∴△＝（﹣1）2﹣4m≥0，∴m≤．故选：C．10．在同一坐标系中，二次函数y＝ax2+b与一次函数y＝bx+a的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】本题可先由一次函数y＝ax+b图象得到字母系数的正负，再与二次函数y ＝bx2+a的图象相比较看是否一致．【解答】解：A、由抛物线y＝ax2+b可知，图象开口向上，与y轴交在负半轴a＞0，b＜0，由直线y＝bx+a可知，图象过一，二，三象限，b＞0，a＞0，故此选项错误；B、由抛物线y＝ax2+b可知，图象开口向上且与y轴交在正半轴a＞0，b＞0，由直线y＝bx+a可知，图象过一，二，四象限，b＜0，a＞0，故此选项错误；C、由抛物线可y＝ax2+b知，图象开口向下且与y轴交在正半轴a＜0，b＞0，由直线y＝bx+a可知，图象过一，三，四象限b＞0，a＜0，故此选项正确；D、由抛物线可y＝ax2+b知，图象开口向下且与y轴交在负半轴a＜0，b＜0，由直线y＝bx+a可知，图象过一，二，三象限b＞0，a＞0，故此选项错误；故选：C．二．填空题（共7小题）11．已知点A（3，n）在二次函数y＝x2﹣x+1的图象上，那么n的值为7 ．【分析】将A（3，n）代入二次函数的关系式y＝x2﹣x+1，然后解关于n的方程即可．【解答】解：∵A（3，n）在二次函数y＝x2﹣x+1的图象上，∴A（3，n）满足二次函数y＝x2﹣x+1，∴n＝9﹣3+1＝7，即n＝7，故答案是：7．12．抛物线y＝x2﹣2x+1与x轴交点的交点坐标为（1，0）．【分析】通过解方程x2﹣2x+1＝0得抛物线与x轴交点的交点坐标．【解答】解：当y＝0时，x2﹣2x+1＝0，解得x1＝x2＝1，所以抛物线与x轴交点的交点坐标为（1，0）．故答案为（1，0）．13．函数y＝（m+1）x|m|+1+5x﹣5是二次函数，则m＝ 1 ．【分析】根据二次函数的定义，必须二次项系数不等于0，且未知数的次数等于2，据此列不等式组并求解即可．【解答】解：由二次函数的定义可知，当时，该函数是二次函数∴∴m＝1故答案为：1．14．二次函数y＝kx2﹣4x+1与x轴有交点，则k的取值范围是k≤4且k≠0 ．【分析】根据二次函数y＝kx2﹣4x+1与x轴有交点，可以得到关于k的不等式组，从而可以求得k的取值范围．【解答】解：∵二次函数y＝kx2﹣4x+1与x轴有交点，∴，解得，k≤4且k≠0，故答案为：k≤4且k≠0．15．如图，一次函数y＝mx+n的图象与二次函数y＝ax2+bx+c的图象交于A（﹣1，p），B（4，q）两点，则关于x的不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集是x＜﹣1或x＞4 ．【分析】写出抛物线在直线上方所对应的自变量的范围即可．【解答】解：当x＜﹣1或x＞4，所以关于x的不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集是x＜﹣1或x＞4．故答案为x＜﹣1或x＞4．16．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a+b ＞0；④其顶点坐标为（，﹣2）；⑤当x＜0时，y随x的增大而减小；⑥a+b+c＞0中，正确的有①②③⑤．（只填序号）【分析】①根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点即可判断；②根据抛物线与x轴的交点个数即可判断；③根据抛物线的对称轴即可判断；④根据抛物线与y轴的交点和顶点坐标即可判断；⑤根据抛物线的性质即可判断；⑥根据当x＝1时y的值即可判断．【解答】解：①根据图象可知：a＞0，b＜0，c＜0，∴abc＞0．∴①正确；②∵抛物线与x轴有两个交点，∴△＞0，即b2﹣4ac＞0，4ac＜b2．∴②正确；③∵抛物线的对称轴x＜1，即﹣＜1，得2a+b＞0．∴③正确；④∵抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣2），∴抛物线的顶点的纵坐标不能为﹣2．∴④错误；⑤根据抛物线的性质可知：当x＜0时，y随x的增大而减小；∴⑤正确；⑥当x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0．∴⑥错误．故答案为①②③⑤．17．如图，将函数y＝+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A（1，m），B（4，n）平移后的对应点分别为点A′、B′．若曲线段AB扫过的面积为12（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是y＝（x﹣2）2+5 ．【分析】曲线段AB扫过的面积＝（x B﹣x A）×AA′＝3AA′＝12，则AA′＝4，即可求解．【解答】解：曲线段AB扫过的面积＝（x B﹣x A）×AA′＝3AA′＝12，则AA′＝4，故抛物线向上平移4个单位，则y＝（x﹣2）2+5，故答案为．三．解答题（共23小题）18．（1）解方程：（x﹣2）（x+3）＝6；（2）已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，求该抛物线的顶点坐标．【分析】（1）根据解一元二次方程的方法可以解答此方程；（2）根据抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，可以求得该抛物线的解析式，然后将该函数的解析式化为顶点式，即可解答本题．【解答】解：（1）∵（x﹣2）（x+3）＝6，∴x2+x﹣6＝6，∴x2+x﹣12＝0，∴（x﹣3）（x+4）＝0，∴x﹣3＝0或x+4＝0，解得，x1＝3，x2＝﹣4；（2）∵抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，∴，解得，，∴y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴该抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）．19．已知抛物线y＝﹣x+5．（l）求该抛物线的顶点坐标；（2）判断点P（﹣2，5）是否落在图象上，请说明理由．【分析】（1）将抛物线的解析式化为顶点式，即可写出该抛物线的顶点坐标；（2）先判断点P是否落在图象上，然后将x＝﹣2代入函数解析式，求出相应的函数值，即可解答本题．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x+5＝+，∴该抛物线的顶点坐标是（1，）；（2）点P（﹣2，5）不落在图象上，理由：当x＝﹣2时，y＝×（﹣2）2﹣（﹣2）+5＝9，∴点P（﹣2，5）不落在图象上．20．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点D，抛物线的顶点为C．（1）求A，B，C，D的坐标；（2）求四边形ABCD的面积．【分析】（1）根据题目中的函数解析式可以求得A，B，C，D的坐标；（2）根据（1）中求得的点A，B，C，D的坐标，可以求得四边形ABCD的面积．【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1）＝（x﹣1）2﹣4，∴当y＝0时，x1＝3，x2＝﹣1，当x＝0时，y＝﹣3，该函数的顶点坐标为（1，﹣4），∴点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（1，﹣4），点D 的坐标为（0，﹣3）；（2）连接OC，如右图所示，∵点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（1，﹣4），点D 的坐标为（0，﹣3），∴四边形ABCD的面积是：S△AOD+S△ODC+S△OCB＝＝9．21．二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x…﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …y… 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 m…（1）写出m的值0 ；（2）在图中画出这个二次函数的图象；（3）当y≥5时，x的取值范围是x≤﹣4或x≥2 ；（4）当﹣4＜x＜1时，y的取值范围是﹣4≤y＜5 ．【分析】（1）先确定出对称轴，根据抛物线的对称性即可求得；（2）根据二次函数图象的画法作出图象即可；（3）根据抛物线的对称性，（﹣4，5）关于直线x＝﹣1的对称点是（2，5），根据图象即可求得结论，（4）根据函数图象，写y的取值范围即可．【解答】解：（1）由图表可知抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣4），∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∵（﹣3，0）关于直线x＝﹣1的对称点是（1，0），∴m＝0，故答案为：0；（2）函数图象如图所示；（3）∵（﹣4，5）关于直线x＝﹣1的对称点是（2，5），由图象可知当y≥5时，x的取值范围是x≤﹣4或x≥2，故答案为x≤﹣4或x≥2；（4）由图象可知当﹣4＜x＜1时，y的取值范围是﹣4≤y＜5，故答案为﹣4≤y＜5．22．某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调査，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件．（1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？（2）设后来该商品每件降价x元，商场一天可获利润y元．①若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？②求出y与x之间的函数关系式，并直接写出当x取何值时，商场可获得最大利润？最大利润为多少元？【分析】（1）根据一天获利＝每件利润×一天的销售量即可求解；（2）①根据降价后的单件利润乘以销售量等于总利润列方程即可求解；②根据①的关系式利用二次函数的性质即可求解．【解答】解：（1）根据题意，得（100﹣80）×100＝2000．答：商场经营该商品原来一天可获利润2000元（2）①根据题意，得（100﹣80﹣x）（100+10x）＝2160整理，得x2﹣10x+16＝0，解得x1＝2，x2＝8．答：每件商品应降价2元或8元．②y＝（100﹣80﹣x）（100+10x）＝﹣10x2+100x+2000＝﹣10（x﹣5）2+2250当x＝5时，y有最大值为2250．答：y与x之间的函数关系式为y＝﹣10x2+100x+2000．当x取5元时，商场可获得最大利润，最大利润为2250元．23．有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为10m，如图所示，把它的图形放在直角坐标系中．（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；（2）一辆宽为2米，高为3米的货船能否从桥下通过？【分析】（1）根据直角坐标系中的抛物线，和已知条件即可求解；（2）根据货车宽度可知抛物线解析式中的x值，即可求出对应的y的值，再与货车高度比较即可求解．【解答】解：（1）根据题意，得抛物线的顶点坐标为（5，4），经过（0，0），∴设：抛物线解析式为y＝a（x﹣5）2+4，把（0，0）代入，得25a+4＝0，解得a＝﹣，所以抛物线解析式为：y＝﹣（x﹣5）2+4＝﹣x2+x．答：抛物线解析式为y＝﹣x2+x．（2）货船能从桥下通过．理由如下：∵货船宽为2米，高为3米，当x＝6时，y＝﹣（6﹣5）2+4＝3.84，∵3.84＞3，∴货船能从桥下通过．答：货船能从桥下通过．24．已知函数y＝2x2﹣（3﹣k）x+k2﹣3k﹣10的图象经过原点，试确定k的值．【分析】根据函数y＝2x2﹣（3﹣k）x+k2﹣3k﹣10的图象经过原点，可以得到关于k的一元二次方程，从而可以求得k的值．【解答】解：∵函数y＝2x2﹣（3﹣k）x+k2﹣3k﹣10的图象经过原点，∴0＝2×02﹣（3﹣k）×0+k2﹣3k﹣10，∴k2﹣3k﹣10＝0，∴（k﹣5）（k+2）＝0，解得，k1＝5，k2＝﹣2，即k的值是5或﹣2．25．在平面直角坐标系中，若抛物线y＝2x2与直线y＝x+1交于点A（a，b）和点B（c，d），其中a＞c，点O为原点，求△ABO的面积．【分析】首先求得两个交点的坐标，然后求得三角形的面积即可．【解答】解：由题意得：，解得：x＝﹣或x＝1，∵点A（a，b）和点B（c，d），其中a＞c，∴A（1，2），B（﹣，），∴S△ABO＝×1×+×1×1＝．26．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝6cm，点P从点C开始沿CB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从A开始沿AC向点C以2cm/s的速度移动，如果点P，Q同时从点C，A出发，试问：（1）出发多少时间时，点P，Q之间的距离等于？（2）出发多少时间时，△PQC的面积为6cm2？（3）△PQC面积的是否有最大值？若有是多少？此时时间是多少？【分析】（1）可设出发xs时间时，点P，Q之间的距离等于2cm，根据勾股定理列出方程求解即可；（2）可设出发ys时间时，△PQC的面积为6cm2，根据三角形的面积公式列出方程求解即可；（3）根据题意得到△PQC面积和时间t的关系式，根据关系式即可得到结论．【解答】解：（1）设出发xs时间时，点P，Q之间的距离等于2cm，依题意有x2+（12﹣2x）2＝（2）2，解得x1＝2，x2＝7.6（不合题意舍去）．答：出发2s时间时，点P，Q之间的距离等于2cm；（2）设出发ys时间时，△PQC的面积为6cm2，依题意有y（12﹣2y）＝6，解得y1＝3﹣，y2＝3+．答：出发（3﹣）s或（3+）s时间时，△PQC的面积为6cm2；（3）依题意有S△PQC＝t（12﹣2t）＝﹣（t﹣3）2+9，∵﹣1＜0，∴△PQC面积的有最大值9，此时时间是3．27．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°．AB＝8cm，AC＝6cm，若动点D从B出发，沿线段BA运动到点A为止（不考虑D与B，A重合的情况），运动速度为2cm/s，过点D 作DE∥BC交AC于点E，连接BE，设动点D运动的时间为x（s），AE的长为y（cm）．（1）求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x为何值时，△BDE的面积S有最大值？最大值为多少？【分析】（1）由平行线得△ABC∽△ADE，根据相似形的性质得关系式；（2）由S＝•BD•AE；得到函数解析式，然后运用函数性质求解．【解答】解：（1）动点D运动x秒后，BD＝2x．又∵AB＝8，∴AD＝8﹣2x．∵DE∥BC，∴，∴，∴y关于x的函数关系式为y＝（0＜x＜4）．（2）解：S△BDE＝＝＝（0＜x＜4）．当时，S△BDE最大，最大值为6cm2．28．我县某乡镇实施产业扶贫，帮助贫困户承包田地种植“黄金梨”，已知该黄金梨的成本价为8元/千克，到了收获季节投入市场销售时，通过调查市场行情发现销售该黄金梨不会亏本，且每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示．（1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）当黄金梨定价为多少元时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？（3）某农户今年共采摘黄金梨4800千克，若黄金梨的保质期为40天，则按（2）中的方式进行销售，能否销售完这批黄金梨？请说明理由．【分析】（1）根据图象即可求出y与x的函数关系；（2）根据销售利润等于每千克的利润乘以销售量即可求解；（3）每天的销售量与天数即可求解．【解答】解：（1）设y与x的函数关系为y＝kx+b，将（10，200），（15，150）代入，得，，∴y与x的函数关系式为y＝﹣10x+300（8≤x≤30）．（2）设每天销售获得利润为w元，根据题意，得w＝（x﹣8）（﹣10x+300）＝﹣10x2+380x﹣2400＝﹣10（x﹣19）2+1210∵﹣10＜0，当x＝19时，w有最大值为1210，答：黄金梨定价为19元时，每天销售获得的利润最大，最大利润是1210元．（3）根据题意，得40y＝4800，即﹣10x+300＝120，解得x＝18．答：能销售完这批黄金梨．29．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点D，点B的坐标为（3，0），顶点C的坐标为（1，4）．（1）求二次函数的解析式和直线BD的解析式；（2）点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P 在第一象限时，求线段PM长度的最大值；（3）在抛物线上是否存在点Q，且点Q在第一象限，使△BDQ中BD边上的高为？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）可设抛物线解析式为顶点式，由B点坐标可求得抛物线的解析式，则可求得D点坐标，利用待定系数法可求得直线BD解析式；（2）设出P点坐标，从而可表示出PM的长度，利用二次函数的性质可求得其最大值；（3）过Q作QG∥y轴，交BD于点G，过Q和QH⊥BD于H，可设出Q点坐标，表示出QG的长度，由条件可证得△DHG为等腰直角三角形，则可得到关于Q点坐标的方程，可求得Q点坐标．【解答】解：（1）∵抛物线的顶点C的坐标为（1，4），∴可设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+4，∵点B（3，0）在该抛物线的图象上，∴0＝a（3﹣1）2+4，解得a＝﹣1，∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4，即y＝﹣x2+2x+3，∵点D在y轴上，令x＝0可得y＝3，∴D点坐标为（0，3），∴可设直线BD解析式为y＝kx+3，把B点坐标代入可得3k+3＝0，解得k＝﹣1，∴直线BD解析式为y＝﹣x+3；（2）设P点横坐标为m（m＞0），则P（m，﹣m+3），M（m，﹣m2+2m+3），∴PM＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m＝﹣（m﹣）2+，∴当m＝，PM有最大值；（3）如图，过Q作QG∥y轴交BD于点G，交x轴于点E，作QH⊥BD于H，设Q（x，﹣x2+2x+3），则G（x，﹣x+3），∴QG＝|﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）|＝|﹣x2+3x|，∵△BOD是等腰直角三角形，∴∠DBO＝45°，∴∠HGQ＝∠BGE＝45°，当△BDQ中BD边上的高为时，即QH＝HG＝，∴QG＝＝2，∵点Q在第一象限，∴﹣x2+3x＝2，解得x＝1或x＝2，∴Q（1，4）或（2，3），综上可知存在满足条件的点Q，其坐标为（1，4）或（2，3）．30．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B和点C的坐标分别为（3，0）、（0，﹣3），抛物线的对称轴为x＝1，D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式．（2）点E为线段BC上一动点，过点E作x轴的垂线，与抛物线交于点F，求四边形ACFB面积的最大值，以及此时点E的坐标．（3）抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PCD为等腰三角形？若存在，写出点P 点的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）由B、C的坐标，结合抛物线对称轴，根据待定系数法可求得抛物线解析式；（2）由B、C可求得直线BC解析式，可设出F点坐标，则可表示出E点坐标，从而可求得EF的长，则可表示出△CBF的面积，从而可表示出四边形ACFB的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值，可求出E点的坐标；（3）由抛物线解析式可求得D点坐标，可设P点坐标为（1，t），则可表示出PC、PD和CD的长，由等腰三角形可分PC＝PD、PC＝CD和PD＝CD三种情况分别得到关于t的方程，可求得P点坐标．【解答】解：（1）∵点B和点C的坐标分别为（3，0）（0，﹣3），抛物线的对称轴为x＝1，∴，解得，∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2））∵B（3，0），C（0，﹣3），∴直线BC解析式为y＝x﹣3，∵E点在直线BC上，F点在抛物线上，∴设F（x，x2﹣2x﹣3），E（x，x﹣3），∵点F在线段BC下方，∴EF＝x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+3x，∴S△BCF＝EF•OB＝×3（﹣x2+3x）＝﹣x2+x＝﹣（x﹣）2+，又∵S△ABC＝AB•OC＝×4×3＝6，∴S四边形ACFB＝S△ABC+S△BCF＝﹣（x﹣）2++6＝﹣（x﹣）2+，∵﹣＜0，∴当x＝时，S四边形ACFB有最大值，最大值为，此时E点坐标为（，﹣），综上可得四边形ACFB面积的最大值为，此时点E的坐标为（，﹣）；（3）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴D（1，﹣4），且C（0，﹣3），∵P点为抛物线对称轴上的一点，∴设P（1，t），∴PC＝＝，PD＝|t+4|，CD＝＝，∵△PCD为等腰三角形，∴分PC＝PD、PC＝CD和PD＝CD三种情况，①当PC＝PD时，则＝|t+4|，解得t＝﹣3，此时P点坐标为（1，﹣3）；②当PC＝CD时，则＝，解得t＝﹣2或t＝﹣4（与D点重合，舍去），此时P点坐标为（1，﹣2）；。

第二章二次函数（单元测试）2022-2023学年九年级下册数学北师大版一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分)1．如图是拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O ，B ，以点O 为原点，水平直线OB 为x 轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线y =-0.01（x -20）2+4，桥拱与桥墩AC 的交点C 恰好位于水面，且AC ⊥x 轴，若OA =5米，则桥面离水面的高度AC 为（ ）A ．5米B ．4米C ．2.25米D ．1.25米2．下列关于二次函数()()312y x x =+-的图像和性质的叙述中，正确的是（ ）A ．点()0,2在函数图像上B ．开口方向向上C ．对称轴是直线1x =D ．与直线3y x =有两个交点3．如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为2x =-，下列结论正确的是（ ）A ．a<0B ．0c >4．在平面直角坐标系中，将二次函数2y x 的图像向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ） A ．()221y x =-+ B ．()221y x =++ C ．()221y x =+- D ．()221y x =-- 5．抛物线y ＝x 2+3上有两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），若y 1＜y 2，则下列结论正确的是( )A ．0≤x 1＜x 2B ．x 2＜x 1≤0C ．x 2＜x 1≤0或0≤x 1＜x 2D ．以上都不对6．如图，二次函数2y ax bx c =++的图象关于直线1x =对称，与x 轴交于1(,0)A x ，2(,0)B x 两点，若121x -<<-，则下列四个结论：⊥234x <<，⊥320a b +>，⊥24b a c ac >++，⊥a c b >>．正确结论的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．已知抛物线22y x kx k =+-的对称轴在y 轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则k 的值是（ ）A ．5-或2B ．5-C ．2D ．2-8．关于二次函数()215y x =-+，下列说法正确的是（ ） A ．函数图象的开口向下 B ．函数图象的顶点坐标是()1,5-9．已知实数a ，b 满足1b a -=，则代数式2267a b a +-+的最小值等于（ ）A ．5B ．4C ．3D ．210．已知抛物线22()1y x =-+，下列结论错误的是（ ）A ．抛物线开口向上B ．抛物线的对称轴为直线2x =C ．抛物线的顶点坐标为(2,1)D ．当2x <时，y 随x 的增大而增大 11．如图，二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴相交于()1,0A -，B 两点，对称轴是直线1x =，下列说法正确的是（ ）A ．0a >B ．当1x >-时，y 的值随x 值的增大而增大C ．点B 的坐标为()4,0D ．420a b c ++>12．将二次函数223y x x =-++的图象在x 轴上方的部分沿x 轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线y x b =+与新函数的图象恰有3个公共点时，b 的值为（ ）二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分)13．已知抛物线(1)(5)y x x =--与x 轴的公共点坐标是12(,0),(,0)A x B x ，则12x x +=_______．14．如图，抛物线y ＝ax 2与直线y ＝bx +c 的两个交点坐标分别为A (﹣3，6)，B (1，3)，则方程ax 2﹣bx ﹣c ＝0的解是_________．15．如图，是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）之间的关系是21251233y x x =-++，则铅球推出的水平距离OA 的长是_____m ．16．如图，平行四边形ABCD 中，4AB =，点D 的坐标是(08)，，以点C 为顶点的抛物线经过x 轴上的点A ，B ，则此抛物线的解析式为__________________．17．如图，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像过点(－1，0)，对称轴为直线x =2，下列结论：⊥4a +b =0；⊥9a +c <3b ；⊥8a +7b +2c >0；⊥若点A (－3，1y )、点B (21,2y -)、点C (37,2y )在该函数图像上，则132y y y <<：⊥若方程()()153a x x +-=-的两根为12,x x ，且12x x <，则1215.x x <-<<其中正确的结论有__________． (只填序号)18．平面直角坐标系xOy 中，已知点()2,39P m n -，且实数m ，n 满足240m n -+=，则点P 到原点O 的距离的最小值为___________．19．某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y （个）与销售价格x （元/个）的关系如图所示，当1020x ≤≤时，其图象是线段AB ，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为______________元（利润=总销售额-总成本）．20．某游乐场的圆形喷水池中心O 有一雕塑OA ，从点A 向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x 轴，点O 为原点建立直角坐标系，点A 在y 轴上，x 轴上的点C ，D 为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y 16-＝（x ﹣5）2＋6 （1）雕塑高OA 的值是____m ；（2）落水点C ，D 之间的距离是____m ．三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分)21．某超市采购了两批同样的冰墩墩挂件，第一批花了6600元，第二批花了8000元，第一批每个挂件的进价是第二批的1.1倍，且第二批比第一批多购进50个．(1)求第二批每个挂件的进价；(2)两批挂件售完后，该超市以第二批每个挂件的进价又采购一批同样的挂件，经市场调查发现，当售价为每个60元时，每周能卖出40个，若每降价1元，每周多卖10个，由于货源紧缺，每周最多能卖90个，求每个挂件售价定为多少元时，每周可获得最大利润，最大利润是多少？22．为了落实劳动教育，某学校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的种植，经过试验，其平均单株产量y 千克与每平方米种植的株数x （28x ≤≤，且x 为整数）构成一种函数关系．每平方米种植2株时，平均单株产量为4千克；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克．(1)求y 关于x 的函数表达式．(2)每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？最大产量为多少千克？(1)求抛物线的解析式；△面积的4倍，若存在，请直接写出点P的坐标：若不存在，请(2)抛物线上是否存在点P，使PBC的面积是BCD说明理由．24．丹东是我国的边境城市，拥有丰富的旅游资源．某景区研发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元，销售一段时间调研发现，每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：销售单价x（元/件）…354045…每天销售数量y（件）…908070…(1)直接写出y与x的函数关系式；(2)若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？(3)当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？25．某电子科技公司研发出一套学习软件，并对这套学习软件在24周的销售时间内，做出了下面的预测：设第x 周该软件的周销售量为T（单位：千套），当0＜x≤8时，T与x+4成反比；当8＜x≤24时．T﹣2与x成正比，并预测得到了如表中对应的数据．设第x周销售该软件每千套的利润为K（单位：千元），K与x满足如图中的函数关系图象：(1)求T与x的函数关系式；(2)观察图象，当12≤x≤24时，K与x的函数关系式为________．(3)设第x周销售该学习软件所获的周利润总额为y（单位：千元），则：⊥在这24周的销售时间内，是否存在所获周利润总额不变的情况？若存在，求出这个不变的值；若不存在，请说明理由．⊥该公司销售部门通过大数据模拟分析后认为，最有利于该学习软件提供售后服务和销售的周利润总额的范围是286≤y≤504，求在此范围内对应的周销售量T的最小值和最大值．参考答案：1．C2．D3．C4．B5．D6．B7．B8．D9．A10．D11．D12．A13．614．x 1＝﹣3，x 2＝115．1016．221624y x x =-+-17．⊥⊥⊥⊥18310 19．12120． 116##156 22 21．(1)第二批每个挂件的进价为40元(2)当每个挂件售价定为58元时，每周可获得最大利润，最大利润是1080元22．(1)0.55y x =-+（28x ≤≤，且x 为整数）(2)每平方米种植5株时，能获得最大的产量，最大产量为12.5千克23．(1)2=23y x x --(2)存在，()11P，()21P24．(1)y ＝﹣2x +160(2)销售单价应定为50元(3)当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润1248元25．(1)120(08)42(824)x T x x x ⎧<≤⎪=+⎨⎪+<≤⎩；(2)44K x =-+；(3)⊥存在，不变的值为240；⊥当周利润总额的范围是286≤y ≤504时，对应的周销售量T 的最小值是11千套，最大值是18千套．答案第3页，共1页。

第二章 二次函数一、选择题(本大题共8小题，每小题4分，共32分；在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题意)1．下列函数中，y 是关于x 的二次函数的是( ) A ．y ＝ax 2＋bx ＋c B ．y ＝x (x －1)C ．y ＝1x2 D ．y ＝(x －1)2－x 22．对于二次函数y ＝(x －1)2＋2的图象，下列说法正确的是( ) A ．开口向下 B ．对称轴是直线x ＝－1C ．顶点坐标是(1，2)D ．与x 轴有两个交点3．已知二次函数y ＝x 2－6x ＋m 的最小值是－3，那么m 的值等于( ) A ．10 B ．4 C ．5 D ．64．如图2－Z －1，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴相交于(－2，0)和(4，0)两点，当函数值y ＞0时，自变量x 的取值范围是( )图2－Z －1A ．x ＜－2B ．－2＜x ＜4C ．x ＞0D ．x ＞45．2＋bx ＋c 中，y 与x 的部分对应值如下：则一元二次方程ax ＋bx ＋c ＝0的一个根x 满足条件( ) A ．1.2＜x ＜1.3 B ．1.3＜x ＜1.4 C ．1.4＜x ＜1.5 D ．1.5＜x ＜1.66．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图2－Z －2所示，则一次函数y ＝bx ＋a 的图象不经过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限图2－Z －27．如图2－Z －3是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的一部分，图象过点A (－3，0)，对称轴为直线x ＝－1，给出四个结论：①b 2＞4ac ；②2a ＋b ＝0；③a ＋b ＋c >0；④若点B ⎝⎛⎭⎫－52，y 1，C ⎝⎛⎭⎫－12，y 2为函数图象上的两点，则y 1＜y 2.其中正确的是( )图2－Z－3A．②④B．①④C．①③D．②③8．如图2－Z－4，正三角形ABC的边长为4，P为BC边上的任意一点(不与点B，C 重合)，且∠APD＝60°，PD交AB于点D.设BP＝x，BD＝y，则y关于x的函数图象大致是()图2－Z－4图2－Z－5二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分)9．将抛物线y＝－2x2先向下平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到的抛物线的函数表达式是______________．10．已知抛物线y＝x2－2x－3，若点P(3，0)与点Q关于该抛物线的对称轴对称，则点Q的坐标是________．11．已知A(4，y1)，B(－4，y2)是抛物线y＝(x＋3)2－2上的两点，则y1________y2.(填“＞”“＜”或“＝”)12．如图2－Z－6是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A，B两点，桥拱最高点C到AB的距离为4 m，AB＝12 m，D，E为拱桥底部的两点，且DE ∥AB，点E到直线AB的距离为5 m，则DE的长为________m.图2－Z－613．二次函数y＝x2－2x－3的图象如图2－Z－7所示，若线段AB在x轴上，且AB为23个单位长度，以AB为边作等边三角形ABC，使点C落在该函数在y轴右侧的图象上，则点C的坐标为________．图2－Z－7三、解答题(本大题共4小题，共48分)14．(10分)如图2－Z－8，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋2过B(－2，6)，C(2，2)两点．(1)试求抛物线的表达式；(2)记抛物线与y轴的交点为D，求△BCD的面积．图2－Z－815．(12分)“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天的销售量y(件)与销售单价x(元/件)之间存在一次函数关系，如图2－Z－9所示．(1)求y与x之间的函数关系式(不用写自变量x的取值范围)；(2)如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元/件时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？(3)该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围．图2－Z－916．(12分)如图2－Z －10，在直角坐标系中，已知点A (8，0)，B (0，6)，点P 由点B 出发沿BA 方向向点A 做匀速直线运动，速度为每秒3个单位长度，点Q 由点A 出发沿AO (O 为坐标原点)方向向点O 做匀速直线运动，速度为每秒2个单位长度，连接PQ .若设运动时间为t (0＜t ＜103)秒，解答下列问题：(1)当t 为何值时，△APQ 与△ABO 相似？(2)设△AQP 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并求出S 的最大值．图2－Z －1017．(14分)如图2－Z －11，已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，对称轴为直线x ＝2，AB ＝2.(1)求抛物线的函数表达式；(2)设P 为对称轴上一动点，求△APC 的周长的最小值；(3)设D 为抛物线上一点，E 为对称轴上一点，若以点A ，B ，D ，E 为顶点的四边形是菱形，则点D 的坐标为________．图2－Z －11详解详析1．[解析] B A ．当a ＝0时，y ＝bx ＋c 不是二次函数；B.y ＝x (x －1)＝x 2－x 是二次函数；C.y ＝1x2不是二次函数；D.y ＝(x －1)2－x 2＝－2x ＋1为一次函数．故选B.2．[答案] C3．[解析] D 原二次函数可化为y ＝(x －3)2－9＋m ，∵函数的最小值是－3，∴－9＋m ＝－3，∴m ＝6.故选D.4．[解析] B ∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于(－2，0)和(4，0)两点，函数图象开口向下，∴函数值y ＞0时，自变量x 的取值范围是－2＜x ＜4，故选B.5．[解析] C 由表可以看出，当x 取1.4与1.5之间的某个数时，y ＝0，即这个数是关于x 的一元一次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根．则一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根x 的取值范围为1.4＜x ＜1.5. 故选C. 6．[答案] D7．[解析] B ①由抛物线与x 轴有两个交点，知b 2－4ac ＞0，所以①正确．②因为对称轴为直线x ＝－1，所以－b2a＝－1，即2a －b ＝0，所以②错误．因为抛物线经过点A (－3，0)，对称轴为直线x ＝－1，所以抛物线与x 轴的另一个交点坐标为(1，0)，于是有a ＋b ＋c ＝0，所以③错误．④点B ⎝⎛⎭⎫－52，y 1在对称轴左侧1.5个单位长度处，点C ⎝⎛⎭⎫－12，y 2在对称轴右侧0.5个单位长度处，找出相应的点，显然y 1＜y 2，所以④正确．故选B.8．[解析] C ∵△ABC 是正三角形，∴∠B ＝∠C ＝60°，∵∠BPD ＋∠APD ＝∠C ＋∠CAP ，∠APD ＝60°，∴∠BPD ＝∠CAP ，∴△BPD ∽△CAP ，∴BP ∶AC ＝BD ∶PC .∵正三角形ABC 的边长为4，BP ＝x ，BD ＝y ，∴x ∶4＝y ∶(4－x )，∴y ＝－14x 2＋x .故选C.9．[答案] y ＝－2(x ＋1)2－3 10．[答案] (－1，0) 11．[答案] ＞[解析] 由y ＝(x ＋3)2－2可知抛物线的对称轴为直线x ＝－3.∵抛物线开口向上，而点A (4，y 1)到对称轴的距离比点B (－4，y 2)到对称轴的距离远， ∴y 1＞y 2.12．[答案] 18[解析] 如图所示，建立平面直角坐标系，x 轴在直线DE 上，y 轴经过最高点C . 设AB 与y 轴交于点H ， ∵AB ＝12，∴AH ＝BH ＝6， 由题可知：OH ＝5，CH ＝4， ∴OC ＝5＋4＝9，∴B (6，5)，C (0，9)．设该抛物线的表达式为y ＝ax 2＋k ， ∵顶点为C (0，9)， ∴y ＝ax 2＋9.把B (6，5)代入，得5＝36a ＋9，解得a ＝－19，∴抛物线的表达式为y ＝－19x 2＋9.当y ＝0时，0＝－19x 2＋9，解得x ＝±9，∴E (9，0)，D (－9，0)， ∴OE ＝OD ＝9，∴DE ＝OD ＋OE ＝9＋9＝18(m)． 故答案为18.13．[答案] (1＋7，3)或(2，－3)[解析] ∵△ABC 是等边三角形，且AB ＝2 3，∴AB 边上的高为3.又∵点C 在二次函数的图象上，∴点C 的纵坐标为±3.将y ＝±3代入y ＝x 2－2x －3，得x ＝1±7或0或2.∵点C 落在该函数在y 轴右侧的图象上，∴x ＞0，∴x ＝1＋7或2，∴点C 的坐标为(1＋7，3)或(2，－3)．14．解：(1)由题意得⎩⎨⎧4a －2b ＋2＝6，4a ＋2b ＋2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－1.∴抛物线的表达式为y ＝12x 2－x ＋2.(2)当x ＝0时，y ＝2，故点D 的坐标为(0，2)．连接BD ，CD ，BC . ∵C ，D 两点的纵坐标相同， ∴CD ∥x 轴，∴点B 到CD 的距离为6－2＝4. ∵CD ＝2－0＝2， ∴S △BCD ＝12×2×4＝4.15．[解析] (1)可用待定系数法来确定y 与x 之间的函数关系式；(2)根据利润＝销售量×单件的利润，然后将(1)中的函数关系式代入其中，求出利润和销售单价之间的关系式，然后根据其性质来判断出最大利润；(3)首先得出w －150与x 之间的函数关系式，进而利用所获利润等于3600元时，求得对应的x 值，根据增减性，求出x 的取值范围．解：(1)由题意得⎩⎨⎧40k ＋b ＝300，55k ＋b ＝150，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－10，b ＝700.故y 与x 之间的函数关系式为y ＝－10x ＋700，(2)由题意，得－10x ＋700≥240，解得x ≤46.设每天获取的利润为w 元，则w ＝(x －30)·y ＝(x －30)(－10x ＋700)＝－10x 2＋1000x －21000＝－10(x －50)2＋4000. ∵－10＜0，∴当x ＜50时，w 随x 的增大而增大，∴当x ＝46时，w 最大＝－10×(46－50)2＋4000＝3840.答：当销售单价为46元/件时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元． (3)令w ′＝w －150＝－10x 2＋1000x －21000－150＝3600， －10(x －50)2＝－250， x －50＝±5， x 1＝55，x 2＝45.如图所示，由图象得当45≤x ≤55时，捐款后每天剩余利润不低于3600元．16．解：(1)在Rt △ABO 中，由勾股定理得：AB ＝OA 2＋OB 2＝10. ①当P A AB ＝AQOA 时，△APQ ∽△ABO ，即10－3t 10＝2t 8，解得t ＝2011； ②当AP OA ＝AQAB 时，△APQ ∽△AOB ，即10－3t 8＝2t 10，解得t ＝5023. 综上所述，当t ＝2011或t ＝5023时，△APQ 与△ABO 相似．(2)如图所示，过点P 作PD ⊥x 轴于点D .∵PD ⊥x 轴，OB ⊥x 轴，∴OB ∥PD ， ∴AP AB ＝PDOB ， 即10－3t 10＝PD6，∴PD ＝6－95t .由三角形的面积公式可知：S ＝12AQ ·PD ＝12·2t ·(6－95t )＝6t －95t 2，∴S 与t 之间的函数关系式为S ＝－95t 2＋6t (0＜t ＜103)．∵S ＝－95t 2＋6t ＝－95(t －53)2＋5，∴当t ＝53时，S 有最大值，最大值为5.17．解：(1)∵AB ＝2，对称轴为直线x ＝2， ∴点A 的坐标为(1，0)，点B 的坐标为(3，0)． 把A ，B 两点的坐标代入y ＝x 2＋bx ＋c 中，得⎩⎨⎧1＋b ＋c ＝0，9＋3b ＋c ＝0， 解得⎩⎨⎧b ＝－4，c ＝3，∴抛物线的函数表达式为y ＝x 2－4x ＋3.(2)连接AC ，BC ，BC 交对称轴于点P ，连接P A (如图)．由(1)知抛物线的函数表达式为y ＝x －4x ＋3，点A ，B 的坐标分别为(1，0)，(3，0)， ∴点C 的坐标为(0，3)，∴BC ＝32＋32＝3 2，AC ＝32＋12＝10.∵点A ，B 关于对称轴直线x ＝2对称， ∴P A ＝PB ，∴P A ＋PC ＝PB ＋PC ，此时PB ＋PC ＝BC ，∴当点P 在对称轴上运动时，P A ＋PC 的最小值等于BC ， ∴△APC 的周长的最小值＝AC ＋P A ＋PC ＝BC ＋AC ＝3 2＋10. (3)(2，－1)。

2、选择题1.二次函数y=x +4x - 5的图象的对称轴为（ ）3.要得到函数y=2x 2-1的图象，应将函数 y=2x 2的图象（）C. 沿y 轴向上平移1个单位 □沿 y 轴向下平移1个单位2 ..4. 若 A （- 3, y 1）, B （- 1 , y 2）, C （ 2, y 3）为二次函数 y=x - 2x - 3 的图象上的三点，贝U y 1 , y 2 y 3的大小关系是（） A. y 1 < y 2< y 3B. y 2 < y 1 < y 3C. yj < y 2< y 1D. y 3< y 1< y 22 ..5. 已知二次函数 y=ax +bx+c ,且ac < 0,则它的图象经过（ ）A. 一、二、三象限B.二、三、四象限C. 一、三、四象限D. 一、二、三、四象限2 26.方程ax +bx+c=0的两个根是—3和1,那么二次函数 y=ax +bx+c 的图象的对称轴是直线（ ）7. 若将函数y=2x 2的图象向左平移1个单位，再向上平移3个单位，可得到的抛物线是（210. 抛物线y=- 3x +2x - 1与坐标轴的交点个数为（第二章二次函数A. x= - 4B. x=42.二次函数y= ( x - 1) 2- 2的顶点坐标是( )A. (1，- 2)B. (- 1，2)C.x=- 2D. x=2C. (- 1,- 2)D. (1 , 2)A. 沿x 轴向左平移1个单位B. 沿x 轴向右平移1个单位A. x =— 3B.关一2C.=x — 1D.关12A.y=2 (x - 1) - 3B. y=2 ( x - 1) 2+32C. y=2( x+1) - 3D. y=2 ( x+1) 2+32A. 0个B.个C. 个D.个2+k 的图象如图所示，下列判断正确的是（B. h >0, k < 0C. h < 0, k > 0D. h < 0, k < 09. y=x 2+（ 1— a ） x + 1是关于x 的二次函数，当 x 的取值范围是 Kx w 时,y 在x = 1时取得最大值，则实数a 的取值范围是（）A. a=5B. a >5C. c = 3D. a >3A. h >0, k >0211. 如图，二次函数 y=ax+bx+c 的图象与y 轴正半轴相交，其顶点坐标为（0.5, 1），下列结论：①ac v 0; ②a+b=0；③4ac - b 2=4a ;a+c ） 2 - b 2< 0 .其中正确的个数是（）A. 1个B.个C.个D.个二、填空题212. 抛物线y=- 2 （x - 3） +4的顶点坐标是 ________ .13. 若抛物线y=ax 2+bx+c （a 工0的图象与抛物线 y=x 2 - 4x+3的图象关于y 轴对称，则函数 y=ax 2+bx+c 的解 析式为 _________ .2 2 ...14. 二次函数y= （x - 2m ） +m ,当m < x < m+1时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是 15. _____________________________________ 抛物线y=- x 2- 2x+3与x 轴交点为 . 2 __16. ）若二次函数y=x+2x+m 的图象与x 轴没有公共点，则 m 的取值范围是 _____________217. 已知抛物线y=ax +bx+c 的部分图象如图所示，若 y >0，则x 的取值范围是 ___________ .19.二次函数y= （a - 1） x 2 - x+a 2 - 1的图象经过原点，贝Va 的值为 __________ 三、解答题20. 已知「一「「wW -川 门—厂一是x 的二次函数，求 m 的值和二次函数的解析式.221. 已知二次函数y=ax +bx+3的图象过点（-1, 8）、（ 1, 0），求这个二次函数的表达式.3个单位，则所得抛物线的解析式是222. 已知二次函数 y= - x +2x+m . (1)如果二次函数的图象与 x 轴有两个交点，求 m 的取值范围；(2)如图，二次函数的图象过点 A (3，0)，与y 轴交于点B ,直线AB 与这个二次函数图象的对称轴交(3)根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的 x的取值范围... 223. 如图，对称轴为直线 x=2的抛物线y=x+bx+c 与x 轴交于点A 和点B ,与y 轴交于点C ,且点A 的坐标(1) 求抛物线的解析式，以及 B 、C 两点的坐标；(2)求过O , B , C 三点的圆的面积.(结果保留n)一、 选择题 CADCDCDBBBD 二、 填空题 12. (3, 4) 13. y=x 2+4x+3 14. m > 115. (- 3, 0),( 1, 0) 16. m > 1 17. x v- 1 或 x > 5 218. y=x -10x+18. 19. - 1 三、解答题20. 解：「一 ；~川-'是x 的二次函数,•••此二次函数的解析式为： y=6x 2+9或y=2x 2 - 4x+1.解析式为y=« - 4x+322. (1)解：•二次函数的图象与x 轴有两个交点,2=2 +4m > 0 m >- 1(2)解：•二次函数的图象过点 A ( 3, 0),• 0= — 9+6+m • m=3,•••二次函数的解析式为： y=- «+2x+3, 令 x=0,则 y=3, • B ( 0, 3),参考答案21.解：把(-1, 8)2仏-占+ 3二&(1, 0)代入 y=ax +bx+3 得、，解得 a+i+3=0Jo 二 1 b二-4，所以二次函数的沖-砒H0nt- --1 = 2，解得 m=3 或 m= - 1,设直线AB的解析式为：y=kx+b.3t+i = 0，解得:6 = 3直线AB的解析式为：2抛物线y=- x +2x+3,严-1L i = 3y=- x+3,的对称轴为：x=1,•••把x=1 代入y=- x+3 得y=2, ••• P ( 1, 2)(3)解：根据函数图象可知：x v 0或x> 323. (1)解：由题意得： f 2 解得:l-b+c=O2•抛物线解析式为：y=x - 4x- 5,当x=0 时，x2- 4x- 5=0,(x+1)( x- 5) =0, x i=- 1 , x2=5,• A (- 1, 0), B (5, 0),当x=0 时，y= - 5,• C ( 0, - 5),•••抛物线解析式为y=/-4x- 5, B点坐标为(5, 0), C点坐标为(0，- 5)(2)解：连接BC,则△ OBC是直角三角形，•••过0、B、C三点的圆的直径是线段在Rt A 0BC 中，0B=0C=5• BC=5、~ ,•圆的面积为n (BC的长度,。

二次函数2.1—2.3单元评估试卷（考试时间：60分钟 满分：120分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.抛物线y =(x －2)2+3的顶点坐标是（ ）A 、（－2，3）B 、（2，3）C 、（－2，－3）D 、（2，－3）2．抛物线y =3(x －2)2+1图象上平移2个单位，再向左平移2个单位所得的解析式为 ( ) A ．y =3x 2+3 B ．y =3x 2－1 C ．y =3(x －4)2+3 D ．y =3(x －4)2－13. 已知二次函数的图象（0≤x ≤3）如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是( ) A 、有最小值0，有最大值3B 、有最小值﹣1，有最大值0C 、有最小值﹣1，有最大值3D 、有最小值﹣1，无最大值4．已知二次函数()20y ax bx c a ++≠＝的图象如图，则下列结论中正确的是A ．a ＞0B ．当y 随x 的增大x ＞1时，y 随x 的增大而增大C ．c ＜0D ．3是方程20ax bx c ++＝的一个根5．已知二次函数y=x 2+x+m ，当x 取任意实数时，都有y>0，则m 的取值范围是（ ） A ．m ≥14 B ．m >14 C ．m ≤14 D ．m <146．当a ＜0时，抛物线y=x 2+2ax+1+2a 2的顶点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限7．如图，在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c 和二次函数y=ax 2+c 的图象大致为( )ABCD8．已知函数y=x 2－2x+k 的图象经过点（12，y 1），（32，y 2），则y 1与y 2的大小关系为（ ） A ．y 1>y 2 B ．y 1=y 2 C ．y 1<y 2 D ．不能确定9．无论m 为何实数,二次函数y=x 2－(2－m )x+m 的图象总是过定点( )A.(1,3)B.(1,0)C.(－1,3)D.(－1,0)10．二次函数y=x 2－8x+15的图象与x 轴相交于M ，N 两点，点P 在该函数的图象上运动，能 使△PMN 的面积等于12的点P 共有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11．二次函数622+-=x x y 的最小值是 ▲ ． 12．如图是二次函数y 1=ax 2+bx+c 和一次函数y 2=mx+n 的图象， 观察图象，则y 2 ≥ y 1时x 的取值范围是____ ___.13．已知二次函数的图象开口向上，且顶点在y 轴的负半轴上，请你写出一个满足条件的二 次函数的表达式____________.14．抛物线y =9x 2－px +4与x 轴只有一个公共点，则不等式9x 2－p 2<0的解集是__________． 15．如图，在平面直角坐标系中，点A 是抛物线()2y=a x 3+k -与y 轴的交点，点B 是这条抛物线上的另一点，且AB ∥x 轴，则以AB 为边的等边三角形ABC 的周长为 ▲ .16．已知抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=kx +4相交于A （1，m ），B （4，8）两点，与x •轴交于原点O 及点C ，在x 轴上方的抛物线上存在点D ，使得S △OCD =12S △OCB ,则满足要求的点D 坐标为______________.三、解答题（本大题共7小题，共66分） 17.（6分）已知二次函数y=－x 2+4x.（1）用配方法把该函数化为y=a(x+m)2+k （其中a 、h 、k 都是常数且a ≠0）的形式，并指出函数图象的对称轴和顶点坐标； （2）求这个函数图象与x 轴的交点坐标.18.（8分）已知二次函数当x=3时，函数有最大值－1，且函数图象与y 轴交于（0，－4），求该二次函数的关系式．19．（8分）已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A ，B ，C 三点，当x ≥0时，其图象如图所示．(1)求抛物线的解析式，写出抛物线的顶点坐标； (2)画出抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 当x ＜0时的图象；(3)利用抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象,写出x 为何值时，y ＞0．20.（10分）如图，已知二次函数y=21 x 2+bx+c 的图象经过A （2，0）、B （0，－6）两点。

单元测试(二) 二次函数(时间：100分钟 满分：120分)一、选择题(每小题3分，共30分)下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的.1.抛物线y ＝－2x 2＋1的对称轴是(C )A .直线x ＝12B .直线x ＝－12C .y 轴D .直线x ＝2 2.将二次函数y ＝x 2－2x ＋3化为y ＝(x －h )2＋k 的形式，结果为(D )A .y ＝(x ＋1)2＋4B .y ＝(x ＋1)2＋2C .y ＝(x －1)2＋4D .y ＝(x －1)2＋2 3.若函数y ＝axa 2－2a －6是二次函数且图象开口向上，则a ＝(B )A .－2B .4C .4或－2D .4或34.在平面直角坐标系中，二次函数y ＝a (x －h )2(a ≠0)的图象可能是(D )A. B.C. D.5.二次函数y ＝(x －2)2＋3是由二次函数y ＝x 2怎样平移得到的(A ) A .向右平移2个单位长度，向上平移3个单位长度 B .向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度 C .向右平移3个单位长度，向上平移2个单位长度 D .向右平移2个单位长度，向下平移3个单位长度6.若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a <0)的图象经过点(2，0)，且其对称轴为直线x ＝－1，则使函数值y >0成立的x 的取值范围是(B )A .x <－4或x >2B .－4<x <2C .x ≤－4或x ≥2D .－4≤x ≤27.如图所示的桥拱是抛物线形，其函数的表达式为y ＝－14x 2，当水位线在AB 位置时，水面宽12 m ，这时水面离桥顶的高度为(C )A .3 mB .2 6 mC .9 mD .4 3 m8.如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)图象的顶点为D ，其图象与x 轴的交点A ，B 的横坐标分别为－1和3，则下列结论正确的是(D )A .2a －b ＝0B .a ＋b ＋c ＞0C .3a －c ＝0D .当a ＝12时，△ABD 是等腰直角三角形9.若二次函数y ＝ax 2＋1的图象经过点(－2，0)，则关于x 的方程a (x －2)2＋1＝0的实数根为(A )A .x 1＝0，x 2＝4B .x 1＝－2，x 2＝6C .x 1＝32，x 2＝52D .x 1＝－4，x 2＝010.如图，垂直于x 轴的直线AB 分别与抛物线C 1：y ＝x 2(x ≥0)和抛物线C 2：y ＝x 24(x ≥0)交于A ，B 两点，过点A 作CD ∥x 轴，分别与y 轴和抛物线C 2交于点C ，D ，过点B 作EF ∥x 轴，分别与y 轴和抛物线C 1交于点E ，F ，则S △OFBS △EAD的值为(C )A.26B.24C.16D.14二、填空题(每小题3分，共15分)11.如果点A (－2，y 1)和点B (2，y 2)是抛物线y ＝(x ＋3)2上的两点，那么 y 1＜y 2.(填“＞”“＝”或“＜”)12.已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，当x ＝3时，函数取最大值4，当x ＝0时，y ＝－14，则函数表达式为y ＝－2(x －3)2＋4.13.平时我们在跳绳时，绳子甩到最高处的形状可近似看作抛物线，如图，建立平面直角坐标系，抛物线的函数表达式为y ＝－16x 2＋13x ＋32(单位：m )，绳子甩到最高处时刚好通过站在x ＝2点处跳绳的学生小明的头顶，则小明的身高为1.5__m .14.如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴相交于点A ，B (m ＋2，0)与y 轴相交于点C ，点D 在该抛物线上，坐标为(m ，c )，则点A 的坐标是(－2，0).15.老师出示了小黑板上的题后(如图)，小华说：过点(3，0)；小彬说：过点(4，3)；小明说：a ＝1；小颖说：抛物线被x 轴截得的线段长为2.你认为四人的说法中，正确的有小华、小彬、小明.(填写姓名即可)三、解答题(本大题共8个小题，满分75分)16.(8分)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，函数值y 与自变量x 的部分对应值如下表：(1)求该二次函数的表达式；(2)当x 为何值时，y 有最小值，最小值是多少？ 解：(1)y ＝(x －2)2＋1. (2)当x ＝2时，y 有最小值1.17.(9分)如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A (2，0)，B (4，0)，且过点C (0，4). (1)求出抛物线的表达式和顶点坐标；(2)请你求出抛物线向左平移3个单位长度，再向上平移1.5个单位长度后抛物线的表达式.解：(1)根据题意得：⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝0，16a ＋4b ＋c ＝0，c ＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－3，c ＝4.∴抛物线的表达式为y ＝ 12x 2－3x ＋4.∵y ＝12x 2－3x ＋4＝12(x －3)2－12，∴顶点坐标为(3，－12).(2)抛物线向左平移3个单位长度，再向上平移1.5个单位长度后抛物线的表达式为y ＝12x 2＋1.18.(9分)如图，以直线x ＝1为对称轴的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数)经过A (4，0)和B (0，4)两点，其顶点为C.(1)求该抛物线的表达式及其顶点C 的坐标；(2)若点M 是抛物线上的一个动点，且位于第一象限内. ①设△ABM 的面积为S ，试求S 的最大值； ②若S 为整数，则这样的M 点有3个.解：(1)∵对称轴为直线x ＝1，∴x ＝－b2a ＝1.∵抛物线经过点A (4，0)和B (0，4)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝16a ＋4b ＋c ，4＝c ，－b 2a ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝1，c ＝4.∴抛物线的表达式为y ＝－12x 2＋x ＋4.当x ＝1时，y ＝－12×1＋1＋4＝92.∴顶点坐标为(1，92).(2)过点M 作MN ∥y 轴交AB 于点N . 设M (x ，－12x 2＋x ＋4)(0<x <4)，∵A (4，0)，B (0，4)∴直线AB 的表达式为y ＝－x ＋4. ∴N (x ，－x ＋4).∴MN ＝－12x 2＋2x .∵S △ABM ＝S △AMN ＋S △BMN ＝12(－12x 2＋2x )(4－x )＋12(－12x 2＋2x )·x ＝12(－12x 2＋2x )·4＝2(－12x 2＋2x )＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4.∵0<x <4，∴当x ＝2时，S △ABM 的最大值为4.19.(9分)某企业投资100万元引进一条产品加工生产线，若不计维修、保养费用，预计投产后每年可创利33万元.该生产线投产后，从第1年到第x 年的维修、保养费用累计为y 万元，且y ＝ax 2＋bx ，若第1年的维修、保养费用为2万元，第2年为4万元. (1)求y 的函数表达式；(2)投产后，这个企业在第几年就能收回投资？解：(1)由题意，x ＝1时，y ＝2；x ＝2时，y ＝2＋4＝6，分别代入y ＝ax 2＋bx ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2，4a ＋2b ＝6.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1.∴y ＝x 2＋x .(2)设第1年到第x 年利润为g 万元，则g ＝33x －100－x 2－x ＝－x 2＋32x －100＝－(x －16)2＋156.当g ＝0时，x 1＝16＋239，x 2＝16－239≈3.5，故当x ＝4时，即第4年可收回投资. 答：投产后，这个企业在第4年就能收回投资.20.(9分)如图，矩形ABCD 的两边长AB ＝18 cm ，AD ＝4 cm ，点P ，Q 分别从A ，B 同时出发，P 在边AB 上沿AB 方向以每秒2 cm 的速度匀速运动，Q 在边BC 上沿BC 方向以每秒1 cm 的速度匀速运动.设运动时间为x 秒，△PBQ 的面积为y (cm 2). (1)求y 关于x 的函数表达式，并写出x 的取值范围； (2)求△PBQ 的面积的最大值.解：(1)∵S △PBQ ＝12PB ·BQ ，PB ＝AB －AP ＝18－2x ，BQ ＝x ，∴y ＝12x (18－2x )，即y ＝－x 2＋9x (0<x ≤4).(2)由(1)知y ＝－x 2＋9x ，∴y ＝－(x －92)2＋814.∵当0<x ≤92时，y 随x 的增大而增大，而0<x ≤4，∴当x ＝4时，y 最大＝20，即△PBQ 的最大面积是20 cm 2.21.(10分)九年级七班“数学兴趣小组”对函数的对称变换进行探究，以下是探究发现运用过程，请补充完整. (1)操作发现在作函数y ＝|x |的图象时，采用了分段函数的办法，该函数转化为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x≥0），－x （x<0）.请在如图1所示的平面直角坐标系中作出函数的图象； (2)类比探究作函数y ＝|x －1|的图象，可以转化为分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1（x≥1）－x ＋1（x<1），然后分别作出两段函数的图象.聪明的小昕利用坐标平面上的轴对称知识，把函数y ＝x －1在x 轴下面部分，沿x 轴进行翻折，与x 轴上及上面部分组成了函数y ＝|x －1|的图象，如图2所示； (3)拓展提高如图3是函数y ＝x 2－2x －3的图象，请在原平面直角坐标系作函数y ＝|x 2－2x －3|的图象； (4)实际运用①函数y ＝|x 2－2x －3|的图象与x 轴有2个交点，对应方程|x 2－2x －3|＝0有2个实根； ②函数y ＝|x 2－2x －3|的图象与直线y ＝5有2个交点，对应方程|x 2－2x －3|＝5有2个实根； ③函数y ＝|x 2－2x －3|的图象与直线y ＝4有3个交点，对应方程|x 2－2x －3|＝4有3个实根； ④关于x 的方程|x 2－2x －3|＝a 有4个实根时，a 的取值范围是0＜a ＜4.解：(1)如图所示. (3)如图所示.22.(10分)某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y (本)与每本纪念册的售价x (元)之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本. (1)请直接写出y 与x 的函数关系式；(2)当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？ (3)设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w 元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？ 解：(1)y ＝－2x ＋80(20≤x ≤28).(2)设当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是x 元，根据题意，得(x －20)y ＝150，即(x －20)(－2x ＋80)＝150.解得x 1＝25，x 2＝35(舍去). 答：每本纪念册的销售单价是25元.(3)由题意，得w ＝(x －20)(－2x ＋80)＝－2(x －30)2＋200. 当x ＝30时，w 最大.又∵售价不低于20元且不高于28元，－2＜0，∴x ＜30时，y 随x 的增大而增大，即当x ＝28时，w 最大＝－2×(28－30)2＋200＝192(元). 答：该纪念册销售单价定为28元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元.23.(11分)如图，直线y ＝x ＋2与抛物线y ＝ax 2＋bx ＋6相交于A (12，52)和B (4，m )，点P 是线段AB 上异于A ，B 的动点，过点P 作PC ⊥x 轴，交抛物线于点C. (1)求抛物线的表达式；(2)是否存在这样的点P ，使线段PC 的长有最大值？若存在，求出这个最大值，若不存在，请说明理由；(3)当△P AC 为直角三角形时，求点P 的坐标.解：(1)∵B (4，m )在直线y ＝x ＋2上，∴m ＝6.∴B (4，6). ∵A (12，52)，B (4，6)在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋6上，∴⎩⎪⎨⎪⎧14a ＋12b ＋6＝52，16a ＋4b ＋6＝6.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－8.∴抛物线的表达式为y ＝2x 2－8x ＋6.(2)设动点P 的坐标为(n ，n ＋2)，则点C 的坐标为(n ，2n 2－8n ＋6). ∴PC ＝(n ＋2)－(2n 2－8n ＋6)＝－2n 2＋9n －4＝－2(n －94)2＋498.∵a ＝－2＜0，∴当n ＝94时，线段PC 取得最大值498，此时，P (94，174).∴存在符合条件的点P (94，174)，使线段PC 的长有最大值498.(3)显然，∠APC ≠90°，如图1，当∠P AC ＝90°时，设直线AB 与y 轴交于E 点，与x 轴交于F 点， ∴E (0，2)，F (－2，0).∴△EFO 为等腰直角三角形，∠PFO ＝45°.又∵PC ⊥x 轴，∴∠FPC ＝45°.∴△P AC 为等腰直角三角形. 过A 作AM ⊥P C.∴PM ＝M C.设P (x ，x ＋2).∴M (x ，52)，C (x ，2x 2－8x ＋6).∵PM ＝MC ，∴x ＋2－52＝52－(2x 2－8x ＋6).即2x 2－7x ＋3＝0，解得x 1＝3，x 2＝12(舍去).当x ＝3时，x ＋2＝3＋2＝5.此时，点P 的坐标为(3，5). 如图2，当∠PCA ＝90°时，由A (12，52)知，点C 的纵坐标为52.令2x 2－8x ＋6＝52，解得x 1＝12(舍去)，x 2＝72.当x ＝72时，x ＋2＝72＋2＝112.此时，点P 的坐标为(72，112).综上可知，点P 的坐标为(3，5)或(72，112).。

2019-2019学年度第二学期北师大版九年级数学下册第二章二次函数单元评估测试卷考试总分： 120 分考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）1.若函数是二次函数，则A. B. C.或 D.2.如图所示，抛物线的对称轴是直线，且图象经过点，则的值为（）A. B. C. D.3.如图，直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，下列关系不正确的是（）A. B.C. D.，A.抛物线与轴的一个交点为B.函数的最大值为C.抛物线的对称轴是直线D.在对称轴左侧，随增大而增大5.抛物线与轴交点坐标（）A. B.C. D.6.已知二次函数，当自变量取时，对应的函数值小于，当自变量取、时，对应的函数值为、，则、满足（）A.，B.，C.，D.，7.小明从如图所示的二次函数的图象中，观察到下面四条信息：① ；② ；③ ；④．你认为其中正确信息的个数有（）A.个B.个C.个D.个8.若所求的二次函数图象与抛物线有相同的顶点，并且在对称轴的左侧，随的增大而增大，在对称轴的右侧，随的增大而减小，则所求二次函数的解析式为（）A. B.C. D.9.已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：① ；② ；③ 是关于的方程的一个根；④ ；⑤ ．其中正确的结论有（）A.个B.个C.个D.个10.已知二次函数的图象如图所示，下列说法错误的是（）第 1 页A.图象关于直线对称B.函数的最小值是C.和是方程的两个根D.当时，随的增大而增大二、填空题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）11.把抛物线的图象先向右平移一个单位，再向下平移三个单位，得到的抛物线的函数表达式为________．12.在直角三角形中，两直角边的长度之和是，当两直角边的长分别是________、________时，直角三角形的面积最大．13.正方形的边长是，面积是，请写出与的关系式：________．它与的图象有什么不同？________．14.一块草坪的护栏是由段形状相同的抛物线组成，如图，为牢固期间，每段护栏需按间距加设不锈钢管做成的立柱．为了计算所需不锈钢管立柱的总长度，设计人员测得如图所示的数据，则需要不锈钢管的总长度为________．（米）15.某游乐园要建一个直径为的圆形喷水池，计划在喷水池的中心安装一个大的喷水头，使喷出的水柱中心处达到最高，高度为，那么这个喷水头应设计的高度为________．16.用配方法将函数化成的形式，则________．17.二次函数用配方法可化成的形式，其中________，________．18.已知正方形的周长是，面积为，则与之间的函数关系式为________．19.函数，当________时，它的图象是抛物线．20.已知某农机厂第一个月水泵的产量为台，若平均每月的增长率为，则第三个月的产量（台）与月平均增长率之间的函数关系式是________．三、解答题（共 6 小题，每小题 10 分，共 60 分）21.已知抛物线与轴有两个不同交点、并且，，①求这条抛物线的解析式；②设抛物线的顶点为，是抛物线上一点，且，求点坐标及内切圆的面积．22.已知抛物线与轴交于、两点，在左侧，顶点为．求、两点的坐标；求的面积；若点和点在该抛物线上，则当时，请直接写出与的大小关系．23.响应政府“节能”号召，我市华强照明公司减少了白炽灯的生产数量，引进新工艺生产一种新型节能灯，已知这种节能灯的出厂价为每个元．某商场试销发现，销售单价定为元/个，每月销售量为个；每涨价元，每月少卖个．求出每月销售量（个）与销售单价（元）之间的函数关系，并写出自变量的取值范围；设该商场每月销售这种节能灯获得的利润为（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？24.在平面直角坐标系中，抛物线过点，，与轴交于点．求抛物线的函数表达式；若点在抛物线的对称轴上，当的周长最小时，求点的坐标；在抛物线的对称轴上是否存在点，使成为以为直角边的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．25.如图，抛物线经过，，三点．求抛物线的解析式；在直线下方的抛物线上有一点，使得的面积最大，求点的坐标；设点是抛物线的顶点，试判断抛物线上是否存在点满足？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．26.如图，在中，，，，点，分别从，同时出发，在边上沿方向以每秒的速度匀速运动，在边上沿方向以每秒的速度匀速运动（当点运动到点时，两点同时停止运动）．设运动时间为秒，的面积为．求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；求的面积的最大值．答案1.B2.B3.B4.B5.A6.A7.D8.D9.B10.D11.12.13.它与的图象完全一样14.15.16.17.第 3 页18.19.20.21.这条抛物线的解析式是．解：，∴ ，，，设的坐标是，由勾股定理得：，∴ ，解得：（因为此时与重合，舍去），，，∴ 的坐标是，由勾股定理求出，，，设的内切圆的半径是，根据三角形的面积公式得：，∴，解得：，∴圆的面积是，答：点坐标是，内切圆的面积是．22.解：令，得：，解得：，，∵点在点的左边，∴点，点； ∵ ，，，∴ ，，∴点，∴；．理由：∵ ，对称轴为，∴当时，随的增大而增大，∴ ．23.当定价定为元时，每月可获得最大利润元．24.解： ∵抛物线过点，，∴ ，∴ ，∴抛物线的函数关系式为． ∵ ，，∴抛物线的对称轴为直线，设点为点关于直线的对称点，则点的坐标为，连接交直线于点，此时的周长最小，设直线的函数表达式为，代入，的坐标，则，解得，所以，直线的函数表达式为，当时，，∴点的坐标为．存在；①如图，当点为直角顶点时，过点作的垂线交轴于点，交对称轴于点，∵ ，，∴ ，∵ ，，∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，∴点的坐标为，设直线对应的一次函数的表达式为，代入，的坐标，则：，解得：，所以，直线的函数表达式为，令，则，∴点的坐标为；第 5 页②如图，当点为直角顶点时，过点作的垂线交对称轴于点，交轴于点，与①同理可得是等腰直角三角形，∴ ，∴点的坐标为，∵ ，，∴ ，∴直线的函数表达式为，令，则，∴点的坐标为；综上，在对称轴上存在点，，使成为以为直角边的直角三角形．25.解：设抛物线的解析式为，将，，代入解析式，得，解得．∴抛物线的解析式是；由题意可求得的解析式为，如图，设点的坐标为，过作轴交于点，∴ 点的坐标为，，用表示点到线段所在直线的距离，∵ ，∴当时，的面积最大，此时点的坐标为；存在点满足，由知点的坐标为如图：作交轴于点，作轴于点，∵ ，，∴ ．∵ ，∴ ，∴，∴ ，∴，解得∴ 点坐标为直线的解析式为，∴ ，把①代入②，化简得．，∴，，将代入，解得∴直线与抛物线有两个交点、，∴抛物线上存在点，满足，此时点的坐标为．26.解：设运动时间为秒，的面积为，则，，，根据题意得：，∴，；由得，，对称轴为；，∵当，随的增大而增大，又∵ ，∴当时，最大，∴ 的面积的最大值是．第 7 页。

北师大版九年级数学下册第二章 二次函数单元测试训练卷一、选择题（共8小题，4*8=32）1． 下列函数中，不是二次函数的是( )A ．y ＝1－2x 2B ．y ＝2(x －1)2＋4C ．y ＝12(x －1)(x ＋4) D ．y ＝(x －2)2－x 2 2． 如图是有相同对称轴的两条抛物线，下列关系不正确的是( )A ．h ＝mB ．k ＝nC ．k ＞nD ．h ＜0，k ＞03． 已知二次函数y ＝x 2－4x ＋a ，下列说法错误的是( )A ．当x<1时，y 随x 的增大而减小B ．若图象与x 轴有交点，则a≤4C ．当a ＝3时，不等式x 2－4x ＋3>0的解集是1<x<3D ．若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点(1，－2)，则a ＝－34． 下列关于二次函数的说法错误的是( )A ．抛物线y ＝－2x 2＋12x ＋1的对称轴是直线x ＝3B ．对于抛物线y ＝x 2－2x －3，点A(3，0)不在它的图象上C ．二次函数y ＝(x ＋3)2－3的顶点坐标是(－3，－3)D ．函数y ＝2x 2＋4x －3的图象的最低点是(－1，－5)5． 点P(m ，n)在以y 轴为对称轴的二次函数y ＝x 2＋ax ＋4的图像上．则m －n 的最大值等于( )A ．154B ．4C ．－154D ．－1746． 函数y ＝ax ＋b 和y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一直角坐标系内的图象可能是( )7． 如图是抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的部分图象，其顶点坐标为(1，n)，且与x 轴的一个交点在点(3，0)和(4，0)之间．则下列结论：①a －b ＋c ＞0；②3a ＋b ＝0；③b 2＝4a(c －n)；④一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝n －1有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．48． 如图，已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2，点D 为边AB 上一点，过点D 作DE ∥AC ，交BC 于E 点；过E 点作EF ⊥DE ，交AB 的延长线于F 点．设AD ＝x ，△DEF 的面积为y ，则能大致反映y 与x 函数关系的图象是( )二．填空题（共6小题，4*6=24）9．抛物线y ＝－x 2＋15有最________点，其坐标是________．10． 若二次函数y ＝x 2＋2x ＋a 的图象与x 轴有两个不同的交点，则a 的取值范围是__________．11． 如图，已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象的对称轴是直线x ＝1，过抛物线上两点的直线AB 平行于x 轴，若点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，32，则点B 的坐标为 ．12． 已知二次函数y ＝x 2＋2mx ＋2，当x>2时，y 随x 的增大而增大，则实数m 的取值范围是________．13． 抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A(－3，0)，对称轴是直线x ＝－1，则a ＋b ＋c ＝________．14． 如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴在y 轴的右侧，其图象与x 轴交于点A(－1，0)，点C(x 2，0)，且与y 轴交于点B(0，－2)，小强得到以下结论：①0＜a ＜2；②－1＜b ＜0；③c＝－1；④当|a|＝|b|时，x2＞5－1．以上结论中，正确的结论序号是________．三．解答题（共5小题，44分）15．(6分) 已知抛物线y＝ax2＋bx－3(a≠0)经过点(－1，0)，(3，0)，求a，b的值．16．(8分)如图，直线y＝x＋m和抛物线y＝x2＋bx＋c都经过点A(1，0)，B(3，2)．(1)求m的值和抛物线的表达式；(2)求不等式x2＋bx＋c＞x＋m的解集．(直接写出答案)17．(8分) 抛物线y＝－x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝2，且顶点在x轴上．(1)求b、c的值；(2)在如图所示的平面直角坐标系中画出抛物线并写出它与y轴的交点C的坐标；(3)根据图像直接写出：点C关于直线x＝2的对称点D的坐标为________；若E(m，n)为抛物线上一点，则点E关于直线x＝2的对称点的坐标为________(用含m、n的式子表示)．18．(10分) 如图，二次函数y＝(x－2)2＋m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y＝kx＋b的图象经过该二次函数图象上的点A(1，0)及点B．(1)求二次函数与一次函数的表达式；(2)根据图象，写出满足kx＋b≥(x－2)2＋m的x的取值范围．19．(12分) 如图是某同学正在设计的一动画示意图，x轴上依次有A，O，N三个点，且AO＝2，在ON上方有五个台阶T1～T5(各拐角均为90°)，每个台阶的高、宽分别是1和1．5，台阶T1到x轴的距离OK＝10．从点A处向右上方沿抛物线L：y＝－x2＋4x＋12发出一个带光的点P．(1)求点A的横坐标，且在图中补画出y轴，并指出点P会落在哪个台阶上；(2)当点P落到台阶上后立即弹起，又形成了另一条与L形状相同的抛物线C，且最大高度为11，求C的表达式，并说明其对称轴是否与台阶T5有交点；(3)在x轴上从左到右有两点D，E，且DE＝1，从点E向上作EB⊥x轴，且BE＝2．在△BDE 沿x轴左右平移时，必须保证(2)中沿抛物线C下落的点P能落在边BD(包括端点)上，则点B横坐标的最大值比最小值大多少？[注：(2)中不必写x的取值范围]参考答案1-4 DBCB 5-8CCCA9．高，(0，15)10．a ＜111．⎝⎛⎭⎫2，32 12．m≥－213．014．①④15．解：把(－1，0)，(3，0)分别代入y ＝ax 2＋bx －3，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝a －b －3，0＝9a ＋3b －3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2. 即a 的值为1，b 的值为－2．16．解： (1)∵直线y ＝x ＋m 经过点A(1，0)，∴0＝1＋m ．∴m ＝－1．∴y ＝x －1．∵抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过点A(1，0)，B(3，2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝1＋b ＋c ，2＝9＋3b ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－3，c ＝2.∴抛物线的表达式为y ＝x 2－3x ＋2 (2)x<1或x>317．解：(1)∵抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 的对称轴为直线x ＝2，且顶点在x 轴上，∴顶点为(2，0)．∴抛物线为y ＝－(x －2)2＝－x 2＋4x －4，∴b ＝4，c ＝－4．(2)画出抛物线如图：点C 的坐标为(0，－4)．(3)(4，－4)；(4－m ，n)18．(1)将点A(1，0)代入y ＝(x －2)2＋m 中得(1－2)2＋m ＝0，解得m ＝－1，所以二次函数的表达式为y ＝(x －2)2－1．当x ＝0时，y ＝4－1＝3，所以点C 坐标为(0，3)，由于点C 和点B 关于对称轴对称，而抛物线的对称轴为直线x ＝2，所以点B 坐标为(4，3)，将A(1，0)，B(4，3)代入y ＝kx ＋b 中，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝0，4k ＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝－1.所以一次函数的表达式为y ＝x －1 (2)当kx ＋b≥(x －2)2＋m 时，1≤x≤419．解：(1)对于抛物线y ＝－x 2＋4x ＋12，令y ＝0，则－x 2＋4x ＋12＝0，解得x ＝－2或x ＝6，∵OA ＝2，∴A(－2，0)，∴点A 的横坐标为－2．补画y 轴，如图所示，由题意知台阶T 4左边的端点坐标为(4．5，7)，右边的端点为(6，7)．当x ＝4．5时，y ＝9．75>7，当x ＝6时，y ＝0<7，对于y ＝－x 2＋4x ＋12，当y ＝7时，7＝－x 2＋4x ＋12，解得x ＝－1或x ＝5，∴抛物线与台阶T 4有交点，∴点P 会落在台阶T 4上．(2)设抛物线C 的表达式为y ＝－x 2＋bx ＋c ，抛物线y ＝－x 2＋4x ＋12与台阶T 4的交点为R ，则R(5，7)．由题意知抛物线C ：y ＝－x 2＋bx ＋c 经过R(5，7)，最高点的纵坐标为11，∴⎩⎪⎨⎪⎧－4c －b 2－4＝11，－25＋5b ＋c ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝14，c ＝－38或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝6，c ＝2(舍去)，∴抛物线C 的表达式为y ＝－x 2＋14x －38，∴抛物线C 的对称轴为直线x ＝7，易知台阶T 5的左边的端点为(6，6)，右边的端点为(7．5，6)，∴抛物线C 的对称轴与台阶T 5有交点．(3)对于抛物线C ：y ＝－x 2＋14x －38，令y ＝0，得到－x 2＋14x －38＝0，解得x ＝7＋11或x ＝7－11(舍去)，∴抛物线C 交x 轴于(7＋11，0)，当y ＝2时，2＝－x 2＋14x －38，解得x ＝4(舍去)或x ＝10，∴抛物线经过(10，2)，在Rt △BDE 中，∠DEB ＝90°，DE ＝1，BE ＝2，∴当点D 与(7＋11，0)重合时，点B 的横坐标最大，最大值为8＋11，当点B 与(10，2)重合时，点B 的横坐标最小，最小值为10，∴点B 横坐标的最大值比最小值大11－2．。

第2章单元评估试卷（考试时间：60分钟满分：120分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1.抛物线y=2(x－3)2的顶点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. x轴上D. y轴上2.已知点（a，8）在二次函数y＝ax2的图象上，则a的值是（）A．2 B．－2 C．±2 D．±23.在同一坐标系中，抛物线y=4x2，y=14x2，y=－14x2的共同特点是( )A．关于y轴对称，开口向上 B．关于y轴对称，y随x的增大而增大C．关于y轴对称，y随x的增大而减小 D．关于y轴对称，顶点是原点4.若A（－4，y1），B（－3，y2），C（1，y3）为二次函数y=x2+4x－5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A.y1＜y2＜y3B.y2＜y1＜y3C.y3＜y1＜y2D.y1＜y35.如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点P的横坐标是4，图象交x轴于点A(m，0)和点B，且m>4，那么AB的长是()A.4+mB. mC. 2m－8D. 8－2m6.将抛物线C：y=x²+3x-10，将抛物线C平移到C/。

若两条抛物线C,C/关于直线x=1对称，则下列平移方法中正确的是（）个单位 B.将抛物线C向右平移3个单A．将抛物线C向右平移52C．将抛物线C向右平移5个单位 D.将抛物线C向右平移6个单位7．已知抛物线和直线l在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线x=－1，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是抛物线上的点，P3(x3，y3)是直线l上的点，且－1<x1<x2，x3<－1，则y1，y2，y3的大小关系是()A. y1<y2<y3B. y2<y3<y1C. y3<y1<y2D. y2<y1<y38.关于二次函数y =ax2+bx+c的图象有下列命题：①当c=0时，函数的图象经过原点；②当c ＞0时且函数的图象开口向下时ax 2+bx+c=0必有两个不等实根；③函数图象最高点的纵坐标是ab ac 442-； ④当b=0时，函数的图象关于y 轴对称.其中正确的个数是（ ）A.1个 B .2个 C.3个 D. 4个9.抛物线y =ax 2+bx+c 图像如图所示，则一次函数y =-bx-4ac+b2与反比例函数a b cy x ++=在同一坐标系内的图像大致为( )10.如图，点A ，B 的坐标分别为（1, 4）和（4, 4）,抛物线y=a(x －m)2+n 的顶点在线段AB 上运动，与x 轴交于C 、D 两点（C 在D 的左侧），点C 的横坐标最小值为-3，则点D 的横坐标最大值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11.函数y=x 2+2x －8与x 轴的交点坐标是_________．12.请写出符合以下三个条件的一个函数的解析式 ．①过点(3,1)；②当x>0时，y 随x 的增大而减小；③当自变量的值为2时，函数值小于2.13.已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a≠0)经过点(－1，0)，且顶点在第一象限．有下列三个结论：①a＜0；②a ＋b ＋c ＞0；③－ b2a＞0．把正确结论的序号填在横线y x O D C B (4,4)A (1,4)上 ．14.已知二次函数()()221y x a a =-+-（a 为常数），当a 取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．下图分别是当1a =-，0a =，1a =，2a =时二次函数的图象.它们的顶点在一条直线上，这条直线的解析式是y = . 则y 1的值是15.已知抛物线y=x 2+b 2经过点(a,41-)和（-a,y 1），_________. 16.二次函数223y x =的图像如图所示，点A 0位于坐标原点，A 1，A 2 ，A 3，…，A 2009在y 轴的正半轴上，B 1，B 2，B 3，…B 2009在函数223y x =第一象限的图像上，若△011A B A ,△122A B A ，△233A B A ，…，△200820092009A B A 都为等边三角形，计算出△200820092009A B A 的边长为 . 三、解答题（本大题共7小题，共66分）17.（6分）若二次函数的图象的对称轴方程是x=1.5，并且图象过A (0，－4)和B (4，0)(1)求此二次函数图象上点A 关于对称轴对称的点A′ 的坐标； (2)求此二次函数的解析式.18．（8分）已知二次函数y=ax 2＋bx －3的图象经过点A （2，－3），B （－1，0）． （1）求二次函数的解析式；（2）若要使该二次函数的图象与x轴只有一个交点，求出应把图象沿y轴向上平移多少个单位．19．（8分）已知抛物线y＝－x2＋2x＋2．（1）求该抛物线的对称轴和顶点坐标;（2）选取适当的数据填入下表，并在图中的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象;（3）若该抛物线上两点A（x1，y1），B（x2，y2）的横Array坐标满足x1＞x2＞1，试比较y1与y2的大小．20．（10分）已知一元二次方程x 2＋px ＋q +1=0的一根为 2． （1）求q 关于p 的关系式；（2）求证：抛物线y=x 2+px+q 与x 轴有两个交点；21.（10分）定义[]p q ，为一次函数y=px+q 的特征数．（1）若特征数是[]22k -，的一次函数为正比例函数，求K 的值；（2）设点A,B 分别为抛物线y=(x+m )(x-2)与x 轴、y 轴的交点，其中m>0，且△OAB 的面积为4，O 为坐标原点，求图象过A 、B 两点的一次函数的特征数．22.（12分）如图，曲线C 是函数6y x=在第一箱象限内的图象，抛物线是函数y ＝－x 2-2x ＋4的图像，点P n (x,y )（n=1,2…）在曲线上，且x,y 都是整数。