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第三章量子力学中的力学量介绍

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量子力学中的力学量3

量子力学中的力学量3

的本征值方程


l 表征角动量的大小，称为角量子数 m 表征角动量在 z 轴的投影，称为磁量子数 简并：对应于同一个本征值，有一个以上的本征函数； 本征函数的数目称为简并度。 的本征值是 2l + 1 度 简并的 称 l = 0, 1, 2, 3, … 的态依次为 s, p, d, f, … 态。处于这 些态的粒子，依次称为 s, p, d, f, … 粒子
√

算符的对易关系(4/7)

力学量的完全集合：一组完全确定体系状态的力学量。集 合中力学量的数目一般等于体系自由度的数目 例：三维空间的自由粒子(不考虑自旋) 对易的力学量算符组： 共同本征函数：平面波函数 力学量的完全集合： 自由度：3


例：氢原子中的电子 对易的力学量算符组： 共同本征函数：氢原子的定态波函数 力学量的完全集合： 自由度：3

内部运动方程
√
三维氢原子(2/5)

解

分析

能级依赖于径向量子数 nr 和角量子数 l 的特殊组合 nr+l+1 能级 En 存在 l 简并，简并度 n2 不同于一般中心力场(三维空间几何对称性 O3 )的简并度 2l+1，反映了 -1/r 具有更高的对称性( O4 )
√
三维氢原子(3/5)
电离能：E 与电子基态能量之差

跃迁：电子由 En 跃迁到 Em
√
氢原子(4/5)

波函数(内部结构)

径向概率密度 ：节点数目为 n-l-1
√
氢原子(5/5)

角向概率密度 ：与 无关
√
厄密算符本征函数(1/3)

正交

第3章 量子力学中的力学量

第3章 量子力学中的力学量

第3章 量子力学中的力学量§1 算符的运算规则一、算符的定义：算符代表对波函数进行某种运算或变换的符号。

ˆAuv = 表示Â把函数u 变成 v ， Â就是这种变换的算符。

为强调算符的特点，常常在算符的符号上方加一个“^”号。

但在不会引起误解的地方，也常把“^”略去。

二、算符的一般特性1、线性算符满足如下运算规律的算符Â，称为线性算符11221122ˆˆˆ()A c c c A c A ψψψψ+=+ 其中c 1, c 2是任意复常数，ψ1, ψ2是任意两个波函数。

例如：动量算符ˆpi =-∇ ， 单位算符I 是线性算符。

2、算符相等若两个算符Â、ˆB对体系的任何波函数ψ的运算结果都相同，即ˆˆA B ψψ=，则算符Â和算符ˆB 相等记为ˆˆAB =。

3、算符之和若两个算符Â、ˆB对体系的任何波函数ψ有：ˆˆˆˆˆ()A B A B C ψψψψ+=+=，则ˆˆˆA B C +=称为算符之和。

ˆˆˆˆAB B A +=+，ˆˆˆˆˆˆ()()A BC A B C ++=++ 4、算符之积算符Â与ˆB之积，记为ˆˆAB ，定义为 ˆˆˆˆ()()ABA B ψψ=ˆC ψ= ψ是任意波函数。

一般来说算符之积不满足交换律，即ˆˆˆˆABBA ≠。

5、对易关系若ˆˆˆˆABBA ≠，则称Â与ˆB 不对易。

若A B B Aˆˆˆˆ=，则称Â与ˆB 对易。

若算符满足ˆˆˆˆABBA =-， 则称ˆA 和ˆB 反对易。

例如：算符x , ˆx p i x∂=-∂ 不对易 证明：(1) ˆ()x xp x i x ψψ∂=-∂ i x xψ∂=-∂(2) ˆ()x p x i x x ψψ∂=-∂ i i x xψψ∂=--∂ 显然二者结果不相等，所以：ˆˆx x xpp x ≠ ˆˆ()x x xpp x i ψψ-= 因为ψ是体系的任意波函数，所以ˆˆx x xpp x i -= 对易关系 同理可证其它坐标算符与共轭动量满足ˆˆy y ypp y i -= ，ˆˆz z zp p z i -= 但是坐标算符与其非共轭动量对易，各动量之间相互对易。

[理学]第三章量子力学中的力学量1

[理学]第三章量子力学中的力学量1

能量本征方程（定态薛定谔方程） 于这个本征值的本征函数。根据以上假定，当 粒子属于这个状态时，坐标确定，坐标值就是 本征值 r ' 。 角动量本征方程
ˆ r r ' 坐标本征方程，注意这里 r '是本征值，r ' 是属 r r' r' r'
ˆ LL ' L 'L '
注意：这些量的分量也可构成各自的本征方程。
ˆ x p
当粒子处在这个方程的解 描述的状态中 时，它的动量在x方向上的分量是确定的， 值就是所属的本征值
力学量的值肯定是实数。根据以上基本假定，这些力学量算符的 本征值是粒子力学量的某个值。因此力学量算符的本征值必须是 实数。下面我们将要介绍一种重要的算符——厄密算符
（7）复共轭算符 算符Û的复共轭算符 Û*就是把Û表达式中 的所有量换成复共轭.
ˆ O
设定义式中 则，
* ˆ ˆ )* d O d ( O
* * d ( ) d
* d * * d * * d
因为波函数 是平方可积的即
* d d A 2
ˆ T
2
2
2
前面我们已经通过能量本征值方程揭示了能量算符和能量之间 的密切关系。下面我们将这个结论推广到其他所有的物理量上：
量子力学基本假定
ˆ 表示，那么当微观粒子体系处于 F ˆ的 如果力学量 F 用算符 F ˆ 的本征函数 来描述。）时， 本征态 （即体系的状态用 F 力学量 F 具有确定值。这个值就是本征函数 所属的那个本 征值 。它们之间的关系用数学形式表达即： ˆ 本征方程 ˆ 算符 F F

第三章 量子力学中的力学量

第三章 量子力学中的力学量
* *
λ ∫ψ ψ d τ = λ ∫ψ ψ d τ
λ = λ（实数）
*
6.力学量算性质 6.力学量算性质 力学量算符为线性的厄米算符。 力学量算符为线性的厄米算符。 1.证明动量算符的一个分量 ˆ 例1.证明动量算符的一个分量 px 是厄密算符。
∂ ˆ 证明: ϕdx 证明: ∫ ψ pxϕdx = −ih∫ ψ −∞ −∞ ∂x * ∞ ∂ψ ∞ * ∞ ˆ = −ihψ ϕ + ih∫ ϕdx = ∫ ( pxψ )*ϕdx −∞ −∞ ∂x −∞
第 三 章 量子力学中的力学量
The Dynamical variable in Quantum Mechanism
引 言
只有粒子性
状态： 状态：
用坐标和动量来描述。 用坐标和动量来描述。
经典粒子 力学量： 力学量： 在任何状态下都有确 定值。 定值。
波粒二象性
状态： 状态：
用波函数来描述。 用波函数来描述。
v v v ψ (r ) P (r )dτ = A2 ∫ e ψ ∫
* v P′
i v v v ( P − P′)⋅r h
dτ
A = ( 2π h )
−3 / 2
归一化本征函数为： 归一化本征函数为：
v v (r ) = ψP 1 e 3/ 2 (2π h)
i vv P⋅ r h i ( px x + p y y + pz z ) 1 h = e 3/ 2 (2π h)
这正是自由粒子德布罗意波的空 间部分波函数， 间部分波函数，对应的本征值 v 取连续值。 P 取连续值。
的立方体内运动， ⅱ)若粒子处在边长为 L 的立方体内运动，则用所谓 箱归一化方法确定常数 A 。 的立方体内时， 当粒子被限制在边长为 L 的立方体内时，本征函数 v v (r ) 满足周期性边界条件。 ψP 满足周期性边界条件。

量子力学中力学量

量子力学中力学量

位置期望值与测量
误差
位置期望值的测量误差取决于粒 子所处的量子态，对于某些特殊 量子态，位置期望值的测量误差 可能非常大。
03 动量算符与动量期望值
动量算符的定义与性质
动量算符
在量子力学中，动量算符是用来描述粒子动量的算符，其定义为-iℏ∂/∂x，其中ℏ是 约化普朗克常数，∂/∂x是偏导数算子。
自旋算符在量子力学中具有重要 的意义，因为粒子的自旋是一种 内禀自由度，与粒子的其他自由
度一样重要。
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02 位置算符与位置期望值
位置算符的定义与性质
位置算符
在量子力学中，位置算符是一个线性算子，用于描述粒子在空间中的位置状态。
位置算符的性质
位置算符具有连续性和对称性，其本征值和本征函数分别表示粒子的位置和概 率幅。
位置期望值的计算与意义
位置期望值
在量子力学中，位置期望值是指粒子在某个时刻 处于空间某点的概率幅的平均值。
04 角动量算符与角动量期望 值
角动量算符的定义与性质
定义
角动量算符是描述粒子角动量的物理量，通常用L表示。
性质
角动量算符具有旋转不变性，即系统绕某轴旋转时，角动量算符的值不会改变。此外，角动量算符还 具有对易关系，即L_x、L_y、L_z三个分量之间相互独立且不对易。
角动量期望值的计算与意义
性质
动量算符是线性算符，具有可对易性、连续性和时间演化等性质，这些性质在量 子力学中具有重要意义。
动量期望值的计算与意义
计算
动量期望值是描述粒子动量的统计平均值，可以通过将粒子态函数代入动量算符进行计算。
意义
动量期望值可以反映粒子在某一时刻的平均动量，对于理解量子力学中的波粒二象性以及测量问题具有重要意义。

量子力学中的量子力学力学量的表示

量子力学中的量子力学力学量的表示

量子力学中的量子力学力学量的表示量子力学是描述微观世界的物理学理论，它提供了一种描述粒子性质的数学框架。

在量子力学中，力学量是描述系统状态的物理量。

本文将探讨在量子力学中，如何表示力学量以及不同力学量的物理意义。

一、力学量的表示在经典物理学中，力学量通常可以用数值来表示，例如质量、速度、位移等。

然而，量子力学中的力学量不能简单地用数值表示，而是需要用算符表示。

力学量的算符通常用大写字母表示，比如位置算符X，动量算符P等。

对于某个具体的力学量，它的算符作用在波函数上，得到的结果是该力学量对应的本征值乘以波函数。

这可以用数学表达式表示为：AΨ = aΨ其中A是力学量的算符，Ψ是波函数，a是力学量的本征值。

这个方程称为力学量的本征值方程。

二、不同力学量的表示1. 位置算符在量子力学中，粒子的位置可以用位置算符X来表示。

位置算符的本征态是位置本征态，它表示粒子在某个确定的位置。

对于一维情况，位置本征态的波函数可以写为：Ψ(x) = δ(x - x0)其中x0是位置本征态对应的位置。

2. 动量算符动量算符P描述粒子的运动状态。

动量算符的本征态是动量本征态，它表示粒子具有某个确定的动量。

对于一维情况，动量本征态的波函数可以写为：Ψ(p) = e^(ipx/ħ)其中p为动量本征态对应的动量，ħ为普朗克常数除以2π。

3. 能量算符能量是量子力学中的另一个重要的力学量。

能量算符H描述粒子的能量状态。

能量算符的本征态是能量本征态，它表示粒子具有某个确定的能量。

能量本征态的波函数可以写为：Ψ(E) = e^(-iEt/ħ)其中E为能量本征态对应的能量，t为时间。

三、力学量的测量和物理意义在量子力学中，力学量的测量是通过对算符的作用得到的本征值来实现的。

当对某个力学量进行测量时，系统将处于该力学量的某个本征态上，从而得到相应的本征值。

力学量的本征值对应着可能的测量结果。

例如，对位置算符进行测量，可以得到粒子的位置值；对动量算符进行测量，可以得到粒子的动量值。

3第三章量子力学中的力学量

3第三章量子力学中的力学量

ˆ2Y 2Y L
1 1 2 2 (sin ) 2 Y ( , ) 2Y ( , ) (18) 2 sin sin 1 1 2 或 (sin ) 2 Y ( , ) Y ( , ) (19) 2 sin sin
ˆ <2> 坐标算符： r r (4)
2 2 ˆ <3> 哈密顿算符： H U (r ) (5) 2 p2 ˆ 经典的哈密顿函数：H T V U (r ) ，将 p p i 2 2 ˆ ˆ p 2 2 代入 H 中得：



分部积分
i |

i dx x


ˆ ˆ ( px ) dx, px i x
§3.2 动量算符和角动量算符
一、动量算符
１、动量算符的本征值方程
i p (r ) p p (r ) (1)
2 2 ˆ H U (r ) 2
<4> 量子力学中力学量用算符表示的规则： 如果量子力学中的力学量 F 在经典力学中有相 ˆ ( r , p ) 中将 p 换 ˆ 应的力学量，则算符 F 由经典表示式F ˆ 为算符 p 而得出： ˆ F (r , p) F (r , i) ˆ ˆ ˆ ˆ F (6)
du 如xu v，表示x与u相乘得函数v。又如 v， dx ˆ d ， 2u v, 算符F 2，等等。 ˆ 则F dx ˆ 设波函数１经算符F 作用后变为２ ，则粒子状态 由１态变为２态。
２、算符的本征值方程
ˆ 如果一个算符F 作用于一个函数 ，结果等于 乘 上一个常数， ˆ F （2）

第三章量子力学中的力学量

第三章量子力学中的力学量

v v v 电子相对于核的坐标： r = r − r 1 2
x = x1 − x2 , y = y1 − y2 , z = z1 − z 2
球坐标：
x = r sin θ cos ϕ y = r sin θ sin ϕ
z = r cosθ ˆ = ih (sin ϕ ∂ + ctgθ cos ϕ ∂ ), Lx ∂θ ∂ϕ ˆ = −ih (cos ϕ ∂ − ctgθ sin ϕ ∂ ), Ly ∂θ ∂ϕ ˆ = −ih ∂ ; Lz ∂ϕ
用分离变量法求解：
设ψ (r , θ , ϕ ) = R (r )Y (θ , ϕ ) zes2 2µ λ 2 ∇ r R(r ) + [ 2 ( E + ) − 2 ]R ( r ) = 0 h r r L2Y (θ , ϕ ) = λh 2Y (θ , ϕ )
（1） （2）
λ = l (l + 1)
两算符相乘其次序不能随便调换。 线性算符（态叠加原理 态叠加原理） 态叠加原理
ˆ ˆ ˆ 定义：若 F (C1Ψ1 + C2 Ψ2 ) = C1 FΨ1 + C2 FΨ2
ˆ 则 F 是线性的。 Ψ1 , Ψ2 是任意函数，C1、C2是常数
∂ x, 是线性的， ∂x
若
是非线性的。
厄米算符：ψ ( x), φ ( x) 是任意函数。
n, l,
l = 0,1,2, L n − 1 m = 0,±1,±2, L ± l (2l + 1) = n 2 ∑
l =0 n −1
§3.4
氢原子
∂ h2 2 h2 2 v v v v ih Ψ (r1 , r2 , t ) = [− ∇1 − ∇ 2 + U ]Ψ (r1 , r2 , t ) ∂t 2 µ1 2µ2 电子 ( x1 , y1 , z1 , µ1 ) 核 ( x2 , y 2 , z 2 , µ 2 )

第三章(1)-量子力学中的力学量

第三章(1)-量子力学中的力学量

容易证明坐标算符和动量算符都是是厄米算符（见书 容易证明坐标算符和动量算符都是是厄米算符（见书p56).
第2节 动量算符和角动量算符——求解本征值方程 求解本征值方程
1、动量本征值方程
r r r r (r ) = pψ r (r ) − ih∇ψ p p
r r ip⋅r e h
− ih
容易得到方程的解
简并度
ˆ LzYlm (θ , ϕ ) = mhYlm (θ , ϕ ),
ˆ L2Ylm (θ , ϕ ) = l (l + 1)h 2Ylm (θ , ϕ )
l −l
∑ m = 2l + 1
( l − | m |)! ( 2l + 1) ( l + | m |)!4π
ll '
ˆ , L 的共同本征函数 称为球谐函数 Ylm (θ , ϕ ) = N lm Pl|m| (cosθ )e imϕ 称为球谐函数 Lz ˆ 的共同本征函数Y称为
r ψ (r ) =
r p
1 ( 2πh )d / 2
r r ∂ r r ψ p (r ) = p x ψ p (r ) ∂x r r ∂ r r ψ p (r ) = p yψ p (r ) − ih ∂y r r ∂ r r − ih ψ p (r ) = p z ψ p (r ) ∂z ∞
公式
L
r r ip⋅ r h
y
x
L
L
L/ 2
L
L
3L / 2
− 3L / 2 − L / 2
n j = 0,±1,±2,±3, L
连续谱=>分立谱 连续谱 分立谱
r p
r 1 动量本征函数 ψ (r ) = d / 2 e L

第三章 量子力学中的力学量

第三章 量子力学中的力学量

第三章量子力学中的力学量[教学目的]：力学量算符的性质，力学量算符的本征值与本征函数，力学量算符本征函数的性质，常见算符的本征函数，算符的对易关系，氢原子的能级与波函数，算符随时间的变化。

由于微观粒子的波粒二象性，微观粒子的力学量与经典力学中的力学量不同，经典力学中的力学量有确定的值，而微观粒子的力学量不一定有确定的值，表示微观粒子的力学量也不同于经典力学，量子力学中的力学量需用算符表示。

第一节力学量算符一. 算符算符: 作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号，量子力学中的算符是作用在波函数上的运算符号。

用表示一算符。

二．力学量算符1.坐标的算符就是坐标本身：2.动量算符：,,3.动能算符4.哈密顿算符：5.角动量算符：如果量子力学中的力学量在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学量的算符由经典表示式中将换成算符得出算符和它所表示的力学量的关系第二节算符基本知识一线性算符满足运算规则的算符称为线性算符。

二单位算符保持波函数不改变的算符三算符之和加法交换律加法结合律两个线性算符之和仍为线性算符。

四算符之积定义: 算符与的积为注意: 一般说算符之积不满足交换律，即：这是与平常数运算规则不同之处。

五逆算符设能唯一解出，则定义的逆算符为：注意: 不是所有的逆算符都有逆算符。

，六算符的复共轭，转置，厄密共轭1．两个任意波函数与的标积2．复共轭算符算符的复共轭算符为：把的表示式中所有复量换成其共轭复量3．转置算符定义: 算符的转置算符满足：即：4．厄密共轭算符算符的厄密共轭算符定义为即算符的厄密共轭算符即是的转置复共轭算符5.厄密算符厄密算符是满足下列关系的算符注意：两个厄密算符之和仍为厄密算符，两个厄密算符之积却不一定是厄密算符例：证明是厄密算符证：为厄密算符，为厄密算符第三节力学量算符的本征值与本征函数一厄密算符的本征值与与本征函数设体系处于测量力学量O，一般说，可能出现不同结果，各有一定的几率，多次测量结果的平均值趋于一确定值，每次具体测量的结果围绕平均值有一个涨落，定义为如为厄密算符，也是厄密算符存在这样一种状态，测量力学量所得结果完全确定。

什么是量子力学的量子力学力学量和态矢量

什么是量子力学的量子力学力学量和态矢量

什么是量子力学的量子力学力学量和态矢量？量子力学中的量子力学力学量和态矢量是描述量子体系的重要概念。

下面我将详细解释量子力学力学量和态矢量，并介绍它们的特性和相互关系。

1. 量子力学力学量:量子力学力学量是指描述量子体系物理性质的可观测量，例如位置、动量、角动量、能量等。

在量子力学中，每个力学量都对应一个线性厄米算符，称为观察算符。

观察算符是一个作用在波函数上的算符，用于计算量子体系在给定力学量上的测量结果。

观察算符的本征值问题是量子力学中的重要问题，它涉及到观察算符的本征值和本征态。

观察算符的本征值是对应于量子体系在给定力学量上的可能测量结果，而本征态是对应于观察算符的本征值的态。

量子力学力学量具有以下特性：-量子力学力学量的测量结果是离散的，而非连续的。

这是与经典物理的区别之一。

-量子力学力学量的测量结果是随机的，遵循概率分布。

这是与经典物理的另一个区别。

-量子力学力学量的测量会导致波函数的坍缩，即波函数从可能的态坍缩到与测量结果相对应的本征态上。

2. 态矢量:态矢量是量子力学中描述量子体系的数学工具，它是一个复数的矢量，通常用符号|ψ⟩表示。

态矢量包含了量子体系的所有信息，包括位置、动量、自旋等性质的概率分布。

它可以表示量子体系的可能态和相应的概率。

态矢量具有以下特性：-态矢量是在希尔伯特空间中的向量，它可以进行线性组合和叠加。

-态矢量的模长的平方给出了量子体系处于某个状态的概率。

即，对于态矢量|ψ⟩，|⟩ψ|ψ⟩|^2表示量子体系处于态矢量|ψ⟩的概率。

-态矢量的归一化条件要求其模长的平方等于1，即⟩ψ|ψ⟩=1。

态矢量与量子力学力学量之间的关系可以通过观察算符进行描述。

观察算符作用在态矢量上，可以得到观察算符对应的物理量的期望值和本征值的概率分布。

量子力学力学量和态矢量是量子力学中关键的概念，它们帮助我们描述和理解量子体系的物理性质和行为。

它们的研究和应用对于量子信息科学、量子计算和量子通信等领域具有重要意义。

第三章 量子力学中的力学量

第三章 量子力学中的力学量

1 2πh
eipx/ h
hk E= ≥0 2m
ˆ H p H Lz与 ˆ，ˆ与 ˆ
2 2
k可 续 值 故 是 续 。 连 取 ， E 连 的
能 二 简 。 级 度 并
为啥具有相同的本征态？
（5）坐标算符的本征值和本征函数 ）
ˆ xϕ x′ ( x) = x′ϕ x′ ( x) x′取一切实数 ϕ x′ ( x) = δ ( x − x′)
,
n = 1,2,3L l = 0,1, L n - 1 m = 0,±1 L ± l ，
二、量子力学的基本原理四
在 意 ψ中 ψ = ∑anϕn 任 态 ，
n
测量力学量A，可得到各种可能取值，可能取 值必为某一本征值。
ˆ在 征 谱 取 的 率 | a |2 。 A 本 值 中 A 几 为 n n
2 2 ˆ2 ˆ = Lz = − h ∂ H 2I 2I ∂ϕ2
z
h2 ∂2 − ψ = Eψ 2 2I ∂ϕ
1 imϕ ψm(ϕ) = e 2π m2h2 Em = ≥0 2I
m = 0 ±1 ± 2 L ，， ，
要求： 要求：会求解
(3)求 量 分 px的 征 。 动 x 量ˆ 本 态
∂ −ih ψ = px'ψ ∂x
ˆz = x py − y px = −ih(x ∂ − y ∂ ) ˆ ˆ L ∂y ∂x
1 ∂ ∂2 ∂ 1 ˆ2 L = − h2 sin θ + 2 2 ∂θ sin θ ∂ϕ sin θ ∂θ
从而有
ˆ = ihsin ϕ ∂ +cotθ cosϕ ∂ Lx ∂θ ∂ϕ ˆ = −ihcosϕ ∂ −cotθ sin ϕ ∂ Ly ∂θ ∂ϕ ˆz = −ih ∂ L ∂ϕ

第三章 量子力学中的力学量c

第三章 量子力学中的力学量c

第三章 量子力学中的力学量§1.1 学习指导实验表明，微观粒子具有波粒二象性，在传播过程中出现干涉和衍射现象，显示出波动的特性；在相互作用过程中出现碰撞，能量和动量守恒，显示出粒子性。

量子力学理论中用波函数来描述微观粒子的状态，很好地解释了微观粒子波动性的一面，这在上一章中已经作了介绍。

本章主要介绍量子力学中力学量的描述，来处理其粒子性的一面。

在经典力学中，粒子的状态用广义坐标和广义动量来描述，力学量是广义坐标和动量的函数。

在量子力学中，粒子的状态用波函数来描述，坐标和动量成为作用在波函数上的算符。

按照对应原理，量子力学中的力学量应该是坐标算符和动量算符的函数，也是一个作用在波函数上的算符。

根据实验，微观粒子的波函数满足叠加原理，因此力学量算符必须是线性算符；力学量的测量结果为相应算符的本征值，它们都是实数，因此力学量算符必须是厄密算符。

用波函数来描述微观粒子的状态，用线性厄密算符(以下称厄密算符)来描述微观粒子的力学量，两者相互配合，形成了一个可以全面处理微观粒子波粒二象性特点的完整理论。

本章的主要知识点有 1．力学量算符 1）力学量的描述量子力学中的力学量Q 用厄密算符ˆQ 表示，位置算符ˆrr =v v 和动量算符ˆp i =-∇vh 是量子力学中最基本的力学量算符，而能量算符，即哈密顿算符122ˆ()mHp U r =+v是最重要的力学量算符。

厄密算符ˆQ是自共轭的，即ˆˆQ Q +=。

对于任意两个态函数,ψϕ，都有 ˆˆ()Q d Q d ψϕτψϕτ**=⎰⎰ （3-1）厄密算符ˆQ 的本征值nq 为实数，对应的本征函数()n r ϕv满足本征方程 ˆ()()n n nQ r q r ϕϕ=v v ， （3-2） 本征函数之间具有正交性。

归一化的本征函数()n r ϕv满足正交归一性关系,()()m n m n r r d ϕϕτδ*=⎰v v， （3-3）其集合具有完备性(')()(')n n nr r r r ϕϕδ*=-∑v v v v。

第三章：量子力学中的力学量_6讲

第三章：量子力学中的力学量_6讲
A的平均值是实数 ˆ ψ）＝（A ˆ ψ，ψ） A A* （ψ，A
令： 1 2
ˆ ( ))＝（A ˆ ( )， ((1 2 )，A (1 2 )） 1 2 1 2 ˆ ψ )+(ψ ，A ˆ ψ )＝（A ˆ ψ ，ψ ）（ ˆ ψ ，ψ ） (ψ1，A + A 2 2 1 1 2 2 1
ˆ ˆ ˆ ( r )A ( r ) dr A ( ,A ) A * ( , ) ( r ) ( r ) dr
算符在量子力学中的重要位置，由此可见一斑
因此，先定义出各种力学量算符是必要的
二、由经典物理引进量子力学量算符
五、线性算符的运算 1. 算符的和： 算符的和运算满足交换律和结合律
ˆ ˆ ˆ ˆ A+B=B+A
ˆ ˆ ˆ A+(B+C) ˆ ˆ ˆ (A+B)+C
2. 算符的积 算符的积不一定满足交换律
ˆˆ x p ˆxx ˆ i xp
3. 算符的对易式, 定义：
ˆ ˆ ˆ ˆ ，称两算符对易，否则称不对易 如果： [A,B]=[B,A]
px



px | c( px ) |2 dpx c ( px ) px c( px )dpx
i px x 1 ( x)e dx px c( px )dpx 2
i px x 1 ( x )e px c( px )dxdpx 2 i px x 1 d ( x)(i )e c( px )dxdpx dx 2
ˆ A
厄密算符作用于一波函数，结果等于这个波函数乘以一个常数， ˆ 的本征值， 为属于 的本征函数，此方程称 则称 是 A ˆ 的本征值方程。全部本征值 { }是且仅是相应力学 为算符 A 量A的所有可能取值（或测量值）.

量子力学-第三章量子力学中的力学量

量子力学-第三章量子力学中的力学量

dpe
*
x
-i
d
dx
x dx
dx
1
dx
2π
e
i
p( xx)
dp
*
x
-i
d
dx
x
dx
dxδ(x
x)
*
x
i
d
dx
x
dx
*
x
i
d
dx
x
dx
*
x
pˆ x
x 7
同 理：
py dy * y pˆ x y
pz dz * z pˆ z z
推广至三维情况
P
* x pˆ xd * xi
1
d2 d 2
(常数）
由
d 2 d 2
0
33
Cei
由周期性条件 2 得 ei2π 1
2π 2mπ m 0, 1, 2,
Ceim
由归一化条：
* d 1 得 C
1 2π
所以
1 eim
2π
m*md δmm
34
sin d (sin d ) sin2 m2
17
[例题] 求动量的转置算符。
[解]
d* pˆx
dx pˆ x*
dx
i
x
*
i *
dx
*
i
x
*
i
x
dx
所以
pˆ x i
x
pˆ x
②算符的复共轭算符
把算符中的所有复量换成共轭复量。
如：动量的复共轭算符
pˆ *x i
x
pˆ x
18
③厄米共轭算符
, Fˆ † Fˆ, 或 d*Fˆ d*Fˆ * d Fˆ ** d Fˆ *

第三章-量子力学中的力学量(上)

第三章-量子力学中的力学量(上)

1 ( 2πh )
d /2
r r ip⋅r e h
−∞
e±ikxdx = 2πδ(k) ∫
（d维） 维
*
r r r r r r 它满足“归一化” 它满足“归一化”条 ∫ dVψ p ' ( r )ψ p ( r ) = δ ( p '− p ) 件 r r 在三维情况下 δ ( p'− p ) = δ p'x − p x δ p'y − p y δ p' − pz z r 都成立——连续谱 上述解 ∀实 p 都成立
l
(1 − ξ 2 )m / 2 d l + m Pl ( ξ ) = (ξ 2 − 1)l ——微分表示 微分表示 l l+m dξ 2 l!
ˆ = − ih ∂ Lz ∂ϕ ˆ ˆ 的共同本征函数? 求 Lz , L2 的共同本征函数 ˆ ˆ ˆ 的共同本征函数？ 为什么不是求 L , L , L 的共同本征函数？
x y z
1 ∂ 1 ∂ ∂2 ˆ L2 = −h 2 sin θ ∂θ sin θ ∂θ + sin 2 θ ∂ϕ 2
ˆ 本征值方程： Fψ = λψ
本征函数 本征值 前面已引入） 动量和坐标算符（前面已引入）
ˆ 经典物理中力学量对应的算符 F (r , p ) → F (r ,− ih∇ )
例如
r r r ˆ = − ih∇ , r = r ˆ p
r r r
例如定态薛定谔方程 H ψ = Eψ
r h2 2 ˆ =− H ∇ + V ( r ), 2µ
容易证明坐标算符和动量算符都是厄米算符（见书 容易证明坐标算符和动量算符都是厄米算符（见书p56)。 坐标算符和动量算符都是厄米算符 。

第三章 量子力学中的力学量

第三章 量子力学中的力学量
ˆ F(A)
∞
=∑
n=0
F
( n,m)
∞
F
( n)
(0) n!
ˆn A
∂n (n) F (x) = n F(x) ∂x
n m
ˆ ˆ ˆ ˆ 算符 A、B 的函数 F( A, B)为: ˆ ˆ F( A, B) =
n,m=0
∑
(0,0) n!m!
ˆ n Bm ；F(n,m) (x) = ∂ n ∂ m F(x, y) A ˆ
∂x ∂y
例:
将算符函数
ˆ ˆ F(H) = e
i − xt h
i ˆ − Ht h
展开成幂级数
解： F′(x) = d e
i = − te dx h i i 2 − xt − xt d i 2 h 2 h F (x) = 2 e = (− t) e dx h i i n − xt − xt d i n h n h ⋅ ⋅⋅, F (x) = dxn e = (− h t) e i n n F (0) = (− t) h
ˆ = h ∂ Px i ∂x
ˆ = − h ∂ = −P ˆ P x i ∂x
* x
r* r ˆ ˆ P = −P
~ ˆ ˆ （3）算符 F 的转置算符 F ） ~ ˆ ˆ 定义： 定义： u * Fv dτ ≡ vFu * dτ ∫ ∫
~ ˆ ˆ (u, Fv) = ( v* , Fu * )
~ ∂ ∂ 性质： 性质：ⅰ =− ∂x ∂x ~ ∞ ∞ ∞ ∂ * 证： * ∂ * ∞ * ∂ ∫−∞ u ∂x vdx = ∫−∞ v ∂x u dx = vu −∞ − ∫−∞ u ∂xvdx ~ ∞ ∂ ∂ * ∂ = = −∫ u vdx −∞ ∂x ∂x ∂x
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x
x
的性质可得 x ( x) ( x x )
• 讨论： （1）在以 为变量的坐标系中，力学量 x 的算符就 是自身，而本征函数为 函数； （2）本征值可以取任何实数，组成连续谱，本征函 数的归一化写成
x
* x ( x) x ( x)dx ( x x) ( x x)dx ( x x)
s
s
四个特例
• 3.1 球坐标中的角动量 z 首先看角动量的 分量 L z i 的本征函数 设其本征函数为 ( )
本征方程为 将其变为
i
对应的本征值为 L z
Lz
Lz ln i im
( Lz m)
可解出
m ( ) Ce im
4 任意状态下力学量的可能值 • 4.1 厄米算符的三个基本性质： 实数性、正交性、完备性。
量子力学中所有表示力学量的算符都是厄米算符，所以 明确厄米算符的基本性质是讨论力学量的理论基础。 （1）厄米算符的本征值都是实数，表示为 * 。 （2）厄米算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交， 分立谱为
, 一般为任意函数， F F ，例如算符x 的转置算符为
*
* F dx F dx *
~

（3）
~

这是因为
~ ＋ * * dx － x － x dx
＋
~ x x
（4）
|
* ＋ －
本讲内容是量子力学的重要基础理论之一，也是大家学 习的重点。重点掌握以下内容：
• 一个基本概念：厄米算符（作用及其基本性质）； • 两个假设：力学量用线性厄米算符表示，状态用线性厄米 算符的本征态表示； • 三个力学量计算值：确定值、可能值、平均值； p 或 p 、角动量 • 四个本征态及本征值：坐标 x或 r 、动量 x L2 及 L z 、能量（哈密顿量 H ）。 • 本部分的难点是任意态 ( x, t ) 与力学量算符本征态 n 及力 学量概率态 C n 的区别。
以 r r , p i 为基础，原则上可以得出所有力学量算符
F F (r , p ) F (r ,i)


（9）
• 3 力学量算符的本征态和本征值 微观体系所处的状态，只可能分为两大类：一是体系状 态恰好处于力学量算符的本征态；二是处于任意态。 ，本征方程为 假定体系处于力学量算符 的本征态 F （10） F 说明力学量算符对应着确定的实数本征值 ，这时的 力学量没有别的选择，只能是 （11） F
* m ( x) n ( x) 0
连续谱为
* ( x) ( x) 0
一般与归一化结合在一起，表示为
* m ( x) n ( x) mn
* ( x) ( x) ( )
（12）
# 这里需要说明的是，正交本征态是属于不同本征值 m , n 的。若属于同一本征值的本征态有 个，即 度简并，则这 个本征态不一定正交，但也不一定不正交！这要看这个力 Q的 学量 F 的本征值简并的态函数是否同时也是其它力学量 态函数，如果是，那么对F , Q 的本征值是否还简并？如球谐 2 函数 Ylm ( , ) ，它是角动量平方算符 L 的本征函数，对应 2 l ( l 1 ) 的本征值 有 ( 2l 1)度简并，但 Ylm ( , ) 也是角动量的
• 3.4 关于 H 的本征态（能量本征态） dinger 方程 H E n ，本征值 E n （1）定态 Schro 是粒子能量的可能取值。如一维无限深势阱、线性谐振子 等。 （2）电子在库仑场中运动的氢原子问题

H nlm (r , , ) E n nlm (r , , )
能量本征值 本征态

z 2 es4 E n 2 2 , n 1,2,3, 2 n
nlm (r , , ) Rnl (r )Ylm ( , )
• 注意分析结果后回答几个问题： （a）能级简并度？ （b） Ylm ( , )是 L2 , L z 的本征态吗？假若是的话， 对应的本征值各是多少？ H 和 L2 能共同 （c） H 能确定唯一的本征态吗？ 确定本征态吗？ H , L2 , L z 三者呢？

2 d 2 2 n H n ( x) sin x 2 的本征态（能量本征态） 2 dx a a 2 2 2 势阱宽 (0 ~ a ) ，本征值 E E n n , n 1,2,3 2 2 a

力学量算符的本征值被称为力学量谱或本征值谱
• 大致可分为三类： （1）连续谱—本征值可取任何实数值。如自由粒子的 坐标和动量的本征值谱； （2）带谱—本征值被限定在某些区域， x1 F1 x 2 , x3 F x 4 , 例如固体中的能带； （3）分立谱—本征值只能取一系列孤立实数，如粒子在 束缚态下的能谱。 重点讨论连续谱和分立谱。通常连续谱记为 或 ，分 立谱记为 n (n 1,2, ) 。对应的本征函数分别记为 , 及 n 。 二是力学量算符的本征态及本征值可能不是一一对应，而 出现若干个（如 个）本征态对应一个本征值，称这种情 况为 度简并。
即归一化为 函数
• 3.3 动量算符
能归一化为 函数 对于三维情况 归一化为
i p x ( x) p x p x ( x) x 对应本征值 p x 的本征函数 1 ipx x / p x ( x) e 2 具有确定动量 p x 的平面波函数，本征值组成连续谱，只


x

（4）厄米算符 满足 F F 的算符称为厄米算符，又 称自厄算符。因此，只要称其为厄米算符，虽然没有任何标 记，但它都包含转置共轭的性质，如 F 为厄米算符，则有
* F dx F dx ( F ) dx * * *

（7）
• 此式为厄米算符的定义式，它的本征值具有特殊的结果： 厄米算符的本征值都是实数
• 1 厄米算符 • 1.1 算符：算符 F 只是代表对函数施加某种运算的符号， d 是一种数学语言工具。例如 dx 、 、 等。量子力学中的力学 量在与波函数的作用中，往往表现为一种运算形式，例如动 2 2 量 p 与 i 相当，自由粒子体系的能量 E 与 2 相当。 于是，用算符表示力学量的假设被人们初步认识。 1.2 算符和它的本征态：一般来说，算符作用在一个函数 上，总会得到另一个构造不同的函数
2
l 0,1,2,
m l
m 0,1,2,
注意以下三点： （1）m 取负值时 Ylm ( , ) (1) m Yl*m ( , ) 所以只需注 意 m 为正值时的 Ylm 即可； 2 2 （2）当 l 一定时，角动量平方算符的本征值 L l (l 1) 一定，但 m 可取 ( 2l 1) 个值，所以本征态有 Ylm , Yl 0 , Yl m 共 ( 2l 1)个，即角动量平方算符的本征
F
但在特殊情况下，得到


（1）
(本征方程) （2）
F
• 1.3 厄米算符： * F （1 ）算符 F 中所有复量换成共轭复量，称为共轭算符 * * 例如 p i ，则 p i ，一般来说， p p ~ （2）算符 F 的转置算符定义为 F ，即
p (r )
1 ip r / e 3/ 2 (2 )
p x i 的本征方程 x

0 , p p * * p (r ) p (r )d ( p p ) , p p
值是 (2l 1) 度简并的； ) （3）L z Ylm ( , ) mYlm ( , ，说明 Ylm ( , )也是 L z 的本征 m 只与一个确定的本 态。由此可见，当 l 给定后，本征值 征态 Ylm ( , ) 相对应，说明 L2 , L z 共同消除了简并，确定了 一个共同的本征函数Ylm ( , ) 。例如，给定 l 3 ，则 L2 12 2 对应7个简并态 Y3m ；进一步给定 m 2 ，则 Lz 2 ，二者 共同确定一个本征态 Y32 ( , ) 。 3.2 坐标算符 的本征态 设坐标算符 的本征函数为 x ( x) ，本征值为 x ，则 本征方程为 x x ( x) x x ( x) 即 ( x x ) x ( x) 0 )dx － － x x ＋
*
（3）转置共轭算符（又称厄米共轭）定义为 F * F ，即
* F dx F dx ( F ) dx * * *
~

一般来讲
（5） F F 但动量算符却例外 p x i x p x i p x （6）
• 由波函数单值性要求 e im( 2 ) e im 故 m 必须是整数 m 0,1,2, 可见本征值 Lz m 是量子化的分立谱。 利用归一化条件 2 * 2 d C 2 1
0
得归一化的波函数为
m ( ) 1 2 e im
( m 0,1,2, )
角动量平方算符
1 1 2 L sin 2 2 sin sin
2 2
L Y ( , ) l (l 1) 2Y ( , ) • 本征方程 L2 l (l 1) 2 对应的本征值 本征态 (2l 1)(l m)! m Ylm ( , ) Pl (cos )e im 4 (l m)!
量子力学中的力学量
经典力学中物质运动的状态总是用坐标、动量、角动 量、自旋、动能、势能、转动能等力学量以决定论的方式描 述。量子力学的第一个惊人之举就是引入了波函数 这样一 个基本概念，以概率的特征全面地描述了微观粒子的运动状 态。但 并不能作为量子力学中的力学量。于是，又引入了 一个重要的基本概念—算符，用它表示量子力学中的力学 量。算符和波函数作为量子力学的核心概念相辅相承、贯穿 始终。