2019高考数学二轮复习课时跟踪检测九空间几何体的三视图表面积与体积及空间线面位置关系的判定小题练理

课时跟踪检测（九） 空间几何体的三视图、表面积与体积及空间线面位置关系的判定（小题练）A 级——12＋4提速练一、选择题1.(2018·广州模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图(等腰直角三角形)和侧视图，且该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是( )83解析：选D 由题意可得该几何体可能为四棱锥，如图所示，其高为2，底面为正方形，面积为2×2＝4，因为该几何体的体积为×4×2＝，满1383足条件，所以俯视图可以为D.2．(2018·陕西模拟)把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使得平面ABD ⊥平面CBD ，形成的三棱锥C ­ABD 的正视图与俯视图如图所示，则侧视图的面积为( )A.B ． 1222C.D ．2414解析：选D 由三棱锥C ­ABD 的正视图、俯视图得三棱锥C ­ABD 的侧视图为直角边长是的等腰直角三角形，其形状如图所示，所以三棱锥C ­ABD 的侧视图的面22积为，故选D.143．(2018·郑州一模)已知两条不重合的直线m ，n 和两个不重合的平面α，β，m ⊥α，n ⊂β.给出下列四个命题：①若α∥β，则m ⊥n ；②若m ⊥n ，则α∥β；③若m ∥n ，则α⊥β；④若α⊥β，则m ∥n .其中正确命题的个数是( )A ．0 B ．1C ．2D ．3解析：选C 依题意，对于①，由“若一条直线与两个平行平面中的一个垂直，则该直线也垂直于另一个平面”得知，m ⊥β，又n ⊂β，因此m ⊥n ，①正确；对于②，当α⊥β时，设α∩β＝n ，在平面β内作直线m ⊥n ，则有m ⊥α，因此②不正确；对于③，由m ∥n ，m ⊥α得n ⊥α，又n ⊂β，因此有α⊥β，③正确；对于④，当m ⊥α，α∩β＝n ，α⊥β时，直线m ，n 不平行，因此④不正确．综上所述，正确命题的个数为2，故选C.4.(2018·唐山模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画的是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A ．3 B.113C ．7D.233解析：选B 由题中的三视图可得，该几何体是由一个长方体切去一个三棱锥所得的几何体，长方体的长，宽，高分别为2,1,2，体积为4，切去的三棱锥的体积为，故该几13何体的体积V ＝4－＝.131135．(2018·长郡中学模拟)某几何体的三视图如图所示，其俯视图中的曲线部分为半圆，则该几何体的体积是( )A ．192＋96πB ．256＋96πC ．192＋100πD ．256＋100π解析：选C 题中的几何体是由一个直三棱柱和一个半圆柱构成的几何体，其中直三棱柱的底面是两直角边分别为8和6的直角三角形，高为8，该半圆柱的底面圆的半径为5，高为8，因此该几何体的体积为×8×6×8＋π×52×8＝192＋100π，选C.12126.(2018·贵阳模拟)某几何体的三视图如图所示(粗线部分)，正方形网格的边长为1，该几何体的顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为( )A ．15πB ．16πC ．17πD ．18π解析：选C 由题中的三视图可知，该几何体为如图所示的三棱锥D 1­BCD ，将其放在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，则该几何体的外接球即长方体的外接球，长方体的长、宽、高分别为2,2,3，长方体的体对角线长为＝，球O 的直径为，所以球O 的表面积S ＝17π，故选C.9＋4＋417177．(2018·石家庄模拟)如图是某四棱锥的三视图，其中正视图是边长为2的正方形，侧视图是底边分别为2和1的直角梯形，则该几何体的体积为( )A. B ．8343C.D ．823423解析：选A 记由三视图还原后的几何体为四棱锥A ­BCDE ，将其放入棱长为2的正方体中，如图，其中点D ，E 分别为所在棱的中点，分析知平面ABE ⊥平面BCDE ，点A 到直线BE 的距离即四棱锥的高，设为h ，在△ABE 中，易知AE ＝BE ＝，cos∠ABE ＝，则sin∠ABE ＝555，所以h ＝，故四棱锥的体积V ＝×2××＝，故选A.255455135455838．(2018·全国卷Ⅱ)在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝，则异面直线3AD 1与DB 1所成角的余弦值为( )A. B. 1556C. D.5522解析：选C 如图，在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的一侧补上一个相同的长方体EFBA ­E 1F 1B 1A 1.连接B 1F ，由长方体性质可知，B 1F ∥AD 1，所以∠DB 1F 为异面直线AD 1与DB 1所成的角或其补角．连接DF ，由题意，得DF ＝＝，FB 1＝12＋ 1＋1 25＝2，DB 1＝＝.12＋ 3 212＋12＋ 3 25在△DFB 1中，由余弦定理，得DF 2＝FB ＋DB －2FB 1·DB 1·cos∠DB 1F ，即21215＝4＋5－2×2××cos∠DB 1F ，∴cos∠DB 1F ＝.5559．已知矩形ABCD 的顶点都在球心为O ，半径为R 的球面上，AB ＝6，BC ＝2，且四3棱锥O ­ABCD 的体积为8，则R 等于( )3A ．4 B ．23C.D ．47913解析：选A 如图，设矩形ABCD 的中心为E ，连接OE ，EC ，由球的性质可得OE ⊥平面ABCD ，所以V O ­ABCD ＝·OE ·S 矩形13ABCD ＝×OE ×6×2＝8，所以OE ＝2，在矩形ABCD 中可得1333EC ＝2，则R ＝＝＝4，故选A.3OE 2＋EC 24＋1210．(2018·福州模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( )A ．2＋4＋2B ．2＋2＋42323C ．2＋6D ．8＋432解析：选A 由三视图知该几何体为三棱锥，记为三棱锥P ­ABC ，将其放在棱长为2的正方体中，如图所示，其中AC ⊥BC ，PA ⊥AC ，PB ⊥BC ，△PAB 是边长为2的等边三角形，故所求表面积为S △ABC ＋S △2PAC ＋S △PBC ＋S △PAB ＝×2×2＋×2×2＋×2×2＋×(2)2＝2＋4＋2.故选A.121221223422311.(2018·唐山模拟)把一个皮球放入如图所示的由8根长均为20cm 的铁丝接成的四棱锥形骨架中，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点(皮球不变形)，则皮球的半径为( )A ．10 cmB ．10 cm 3C ．10 cmD ．30 cm2解析：选B 依题意，在四棱锥S ­ABCD 中，所有棱长均为20cm ，连接AC ，BD 交于点O ，连接SO ，则SO ＝AO ＝BO ＝CO ＝DO ＝10 2cm ，易知点O 到AB ，BC ，CD ，AD 的距离均为10 cm ，在等腰三角形OAS 中，OA ＝OS ＝10 cm ，AS ＝20 cm ，所以O 到SA 的距离d ＝102cm ，同理可证O 到SB ，SC ，SD 的距离也为10 cm ，所以球心为四棱锥底面ABCD 的中心，所以皮球的半径r ＝10 cm ，选B.12．(2018·广州模拟)正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点M 为CC 1的中点，点N 为线段DD 1上靠近D 1的三等分点，平面BMN 交AA 1于点Q ，则线段AQ 的长为( )A. B ．2312C.D ．1613解析：选D 如图所示，在线段DD1上靠近点D 处取一点T ，使得DT ＝，因为N 是线段DD 1上靠近D 1的三等分点，故D 1N ＝，故1323NT ＝2－－＝1，因为M 为CC 1的中点，故CM ＝1，连接TC ，由1323NT ∥CM ，且CM ＝NT ＝1，知四边形CMNT 为平行四边形，故CT ∥MN ，同理在AA 1上靠近点A 处取一点Q ′，使得AQ ′＝，连接BQ ′，TQ ′，则有13BQ ′∥CT ∥MN ，故BQ ′与MN 共面，即Q ′与Q 重合，故AQ ＝，选D.13二、填空题13．(2018·南京模拟)在四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD ＝60°，侧棱PA ⊥底面ABCD ，PA ＝2，E 为AB 的中点，则三棱锥P ­BCE 的体积为________．解析：由题意知S 底面ABCD ＝2×2sin60°＝2，所以S △EBC ＝，故332V P ­EBC ＝×2×＝.133233答案：3314．(2018·内蒙古包头一模)已知直线a ，b ，平面α，且满足a ⊥α，b ∥α，有下列四个命题：①对任意直线c ⊂α，有c ⊥a ；②存在直线c ⊄α，使c ⊥b 且c ⊥a ；③对满足a ⊂β的任意平面β，有β∥α；④存在平面β⊥α，使b ⊥β.其中正确的命题有________．(填序号)解析：因为a ⊥α，所以a 垂直于α内任一直线，所以①正确；由b ∥α得α内存在一直线l 与b 平行，在α内作直线m ⊥l ，则m ⊥b ，m ⊥a ，再将m 平移得到直线c ，使c ⊄α即可，所以②正确；由面面垂直的判定定理可得③不正确；若b ⊥β，则由b ∥α得α内存在一条直线l 与b 平行，必有l ⊥β，即有α⊥β，而满足b ⊥β的平面β有无数个，所以④正确．答案：①②④15．(2019届高三·益阳、湘潭联考)已知三棱锥S ­ABC 的顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为3的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝4，则此三棱锥的体积为________．解析：如图，设O 1为△ABC 的中心，连接OO 1，故三棱锥S ­ABC 的高h ＝2OO 1，三棱锥S ­ABC 的体积V ＝×2OO 1×S △ABC ，因为OO 1＝13＝1，所以V ＝×2×1××32＝.22－ 3 21334332答案：33216．(2018·全国卷Ⅱ)已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为，SA 与78圆锥底面所成角为45°，若△SAB 的面积为5，则该圆锥的侧面积为________．15解析：如图，∵SA 与底面成45°角，∴△SAO 为等腰直角三角形．设OA ＝r ，则SO ＝r ，SA ＝SB ＝r .在△SAB 中，2cos∠ASB ＝，∴sin∠ASB ＝，∴S △SAB ＝SA ·SB ·sin∠ASB ＝×(781581212r )2×＝5，解得r ＝2，∴SA ＝r ＝4，即母线长l ＝4，∴S 圆锥侧21581510255＝πrl ＝π×2×4＝40π.1052答案：40π2B 级——难度小题强化练1．(2018·武汉调研)已知底面半径为1，高为的圆锥的顶点和底面圆周都在球O 的3球面上，则球O 的表面积为( )A.B ．4π323π27C.D ．12π16π3解析：选C 如图，△ABC 为圆锥的轴截面，O 为其外接球的球心，设外接球的半径为R ，连接OB ，OA ，并延长AO 交BC 于点D ，则AD ⊥BC ，由题意知，AO ＝BO ＝R ，BD ＝1，AD ＝，则在Rt△BOD 中，有3R 2＝(－R )2＋12，解得R ＝，所以外接球O 的表面积S ＝4πR 2＝3233，故选C.16π32．(2018·南京模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为( )A. B ．2343C ．2D ．83解析：选A 由三视图可知，该几何体为三棱锥，将其放在棱长为2的正方体中，如图中三棱锥A ­BCD 所示，故该几何体的体积V ＝××1×2×2＝.1312233．(2018·福州模拟)已知圆柱的高为2，底面半径为，若该圆柱的两个底面的圆周3都在同一个球面上，则这个球的表面积等于( )A ．4πB ．π163C.πD ．16π323解析：选D 如图，由题意知圆柱的中心O 为这个球的球心，于是球的半径r ＝OB ＝＝＝2.故这个球的表面积OA 2＋AB 212＋ 3 2S ＝4πr 2＝16π.故选D.4．(2018·贵阳检测)三棱锥P ­ABC 的四个顶点都在体积为的500π3球的表面上，底面ABC 所在的小圆面积为16π，则该三棱锥的高的最大值为( )A ．4B ．6C ．8D ．10解析：选C 依题意，设题中球的球心为O ，半径为R ，△ABC 的外接圆半径为r ，则＝，解得R ＝5，由πr 2＝16π，解得r ＝4，又球心O 到平面ABC 的距离为4πR 33500π3＝3，因此三棱锥P ­ABC 的高的最大值为5＋3＝8，故选C.R 2－r 25．(2018·全国卷Ⅰ)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为( )A. B ．334233C.D ．32432解析：选A 如图所示，在正方体ABCD ­A1B 1C 1D 1中，平面AB 1D 1与棱A 1A ，A 1B 1，A 1D 1所成的角都相等，又正方体的其余棱都分别与A 1A ，A 1B 1，A 1D 1平行，故正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的每条棱所在直线与平面AB 1D 1所成的角都相等．如图所示，取棱AB ，BB 1，B 1C 1，C 1D 1，D 1D ，DA 的中点E ，F ，G ，H ，M ，N ，则正六边形EFGHMN 所在平面与平面AB 1D 1平行且面积最大，此截面面积为S 正六边形EFGHMN ＝6×××1222×sin 60°＝.故选A.223346．(2018·南宁模拟)如图，在正方形ABCD 中，AC 为对角线，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，G 是EF 的中点．现在沿AE ，AF 及EF 把这个正方形折成一个空间图形，使B ，C ，D 三点重合，重合后的点记为H .下列说法错误的是________(将符合题意的序号填到横线上)．①AG⊥△EFH所在平面；　②AH⊥△EFH所在平面；③HF⊥△AEF所在平面；　④HG⊥△AEF所在平面．解析：根据折叠前AB⊥BE，AD⊥DF可得折叠后AH⊥HE，AH⊥HF，HE∩HF＝H，可得AH⊥平面EFH，即②正确；∵过点A只有一条直线与平面EFH垂直，∴①不正确；∵AG⊥EF，AH⊥EF，AH∩AG＝A，∴EF⊥平面HAG，∴平面HAG⊥平面AEF.过H作直线垂直于平面AEF，该直线一定在平面HAG内，∴③不正确；∵HG不垂直AG，∴HG⊥平面AEF不正确，④不正确，综上，说法错误的序号是①③④.答案：①③④。

专题五立体几何第一讲空间几何体的三视图、表面积与体积考点一空间几何体的三视图与直观图1．三视图的排列规则俯视图放在正（主)视图的下面,长度与正（主）视图的长度一样，侧（左）视图放在正(主）视图的右面，高度与正（主）视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样．即“长对正、高平齐、宽相等”．2．原图形面积S与其直观图面积S′之间的关系S′＝错误!S。

[对点训练]1．(2018·全国卷Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是(）［解析］两个木构件咬合成长方体时，小长方体（榫头)完全嵌入带卯眼的木构件，易知俯视图可以为A.故选A。

[答案］A2．（2018·河北衡水中学调研）正方体ABCD－A1B1C1D1中,E 为棱BB1的中点(如图),用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为（）[解析］过点A，E，C1的截面为AEC1F，如图，则剩余几何体的左视图为选项C中的图形．故选C。

［答案］C3．（2018·江西南昌二中模拟）一个几何体的三视图如图所示，在该几何体的各个面中,面积最小的面的面积为()A．8 B．4 C．4错误!D．4错误![解析］由三视图可知该几何体的直观图如图所示，由三视图特征可知，P A⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AB⊥AC，P A＝AB ＝AC＝4，DB＝2，则易得S△P AC＝S△ABC＝8，S△CPD＝12，S梯形ABDP ＝12，S△BCD＝错误!×4错误!×2＝4错误!，故选D。

［答案]D4．如图所示，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积为________．[解析]直观图的面积S′＝错误!×（1＋1＋错误!)×错误!＝错误!.故原平面图形的面积S＝错误!＝2＋错误!.[答案]2＋错误![快速审题］（1)看到三视图，想到常见几何体的三视图，进而还原空间几何体．(2）看到平面图形直观图的面积计算，想到斜二侧画法,想到原图形与直观图的面积比为错误!.由三视图还原到直观图的3步骤(1）根据俯视图确定几何体的底面．(2）根据正(主)视图或侧(左)视图确定几何体的侧棱与侧面的特征,调整实线和虚线所对应的棱、面的位置．（3）确定几何体的直观图形状．考点二空间几何体的表面积与体积1．柱体、锥体、台体的侧面积公式（1)S柱侧＝ch(c为底面周长，h为高）；(2)S锥侧＝错误!ch′(c为底面周长,h′为斜高)；(3）S台侧＝错误!（c＋c′）h′（c′,c分别为上下底面的周长，h′为斜高)．2．柱体、锥体、台体的体积公式(1)V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高）；(2)V锥体＝错误!Sh（S为底面面积，h为高）；(3)V台＝错误!(S＋错误!＋S′）h(不要求记忆）．3．球的表面积和体积公式S表＝4πR2(R为球的半径）,V球＝43πR3(R为球的半径）．[对点训练]1．(2018·浙江卷）某几何体的三视图如图所示(单位:cm）,则该几何体的体积(单位:cm3）是（）A．2 B．4 C．6 D．8［解析]由三视图可知该几何体是直四棱柱，其中底面是直角梯形，直角梯形上，下底边的长分别为1 cm，2 cm，高为2 cm,直四棱柱的高为2 cm.故直四棱柱的体积V＝1＋22×2×2＝6 cm3.[答案]C2．（2018·哈尔滨师范大学附中、东北师范大学附中联考）某几何体的三视图如图所示，其中正视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是（)A.错误!＋2B.错误!＋2C.错误!＋3 D。

课时跟踪检测（九） 空间几何体的三视图、表面积与体积及空间线面位置关系的判定（小题练）A 级——12＋4提速练一、选择题1.(·广州模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图(等腰直角三角形)和侧视图，且该几何体的体积为83，则该几何体的俯视图可以是( )解析：选D 由题意可得该几何体可能为四棱锥，如图所示，其高为2，底面为正方形，面积为2×2＝4，因为该几何体的体积为13×4×2＝83，满足条件，所以俯视图可以为D.2．(·陕西模拟)把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使得平面ABD ⊥平面CBD ，形成的三棱锥C ­ABD 的正视图与俯视图如图所示，则侧视图的面积为( )A.12 B ．22C.24D ．14解析：选D 由三棱锥C ­ABD 的正视图、俯视图得三棱锥C ­ABD 的侧视图为直角边长是22的等腰直角三角形，其形状如图所示，所以三棱锥C ­ABD 的侧视图的面积为14，故选D.3．(·郑州一模)已知两条不重合的直线m ，n 和两个不重合的平面α，β，m ⊥α，n ⊂β.给出下列四个命题：①若α∥β，则m ⊥n ；②若m ⊥n ，则α∥β； ③若m ∥n ，则α⊥β；④若α⊥β，则m ∥n .其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选C 依题意，对于①，由“若一条直线与两个平行平面中的一个垂直，则该直线也垂直于另一个平面”得知，m ⊥β，又n ⊂β，因此m ⊥n ，①正确；对于②，当α⊥β时，设α∩β＝n ，在平面β内作直线m ⊥n ，则有m ⊥α，因此②不正确；对于③，由m ∥n ，m ⊥α得n ⊥α，又n ⊂β，因此有α⊥β，③正确；对于④，当m ⊥α，α∩β＝n ，α⊥β时，直线m ，n 不平行，因此④不正确．综上所述，正确命题的个数为2，故选C.4.(·唐山模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画的是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A ．3 B.113 C ．7D.233解析：选B 由题中的三视图可得，该几何体是由一个长方体切去一个三棱锥所得的几何体，长方体的长，宽，高分别为2,1,2，体积为4，切去的三棱锥的体积为13，故该几何体的体积V ＝4－13＝113.5．(·长郡中学模拟)某几何体的三视图如图所示，其俯视图中的曲线部分为半圆，则该几何体的体积是( )A ．192＋96πB ．256＋96πC ．192＋100πD ．256＋100π解析：选C 题中的几何体是由一个直三棱柱和一个半圆柱构成的几何体，其中直三棱柱的底面是两直角边分别为8和6的直角三角形，高为8，该半圆柱的底面圆的半径为5，高为8，因此该几何体的体积为12×8×6×8＋12π×52×8＝192＋100π，选C.6.(·贵阳模拟)某几何体的三视图如图所示(粗线部分)，正方形网格的边长为1，该几何体的顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为( )A ．15πB ．16πC ．17πD ．18π解析：选 C 由题中的三视图可知，该几何体为如图所示的三棱锥D 1­BCD ，将其放在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，则该几何体的外接球即长方体的外接球，长方体的长、宽、高分别为2,2,3，长方体的体对角线长为9＋4＋4＝17，球O 的直径为17，所以球O 的表面积S ＝17π，故选C.7．(·石家庄模拟)如图是某四棱锥的三视图，其中正视图是边长为2的正方形，侧视图是底边分别为2和1的直角梯形，则该几何体的体积为( )A.83 B ．43 C.823D ．423解析：选A 记由三视图还原后的几何体为四棱锥A ­BCDE ，将其放入棱长为2的正方体中，如图，其中点D ，E 分别为所在棱的中点，分析知平面ABE ⊥平面BCDE ，点A 到直线BE 的距离即四棱锥的高，设为h ，在△ABE 中，易知AE ＝BE ＝5，cos ∠ABE ＝55，则sin ∠ABE ＝255，所以h ＝455，故四棱锥的体积V ＝13×2×5×455＝83，故选A.8．(·全国卷Ⅱ)在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为( )A.15 B.56 C.55D.22解析：选C 如图，在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的一侧补上一个相同的长方体EFBA ­E 1F 1B 1A 1.连接B 1F ，由长方体性质可知，B 1F ∥AD 1，所以∠DB 1F 为异面直线AD 1与DB 1所成的角或其补角．连接DF ，由题意，得DF ＝12＋1＋12＝5，FB 1＝12＋32＝2，DB 1＝12＋12＋32＝ 5.在△DFB 1中，由余弦定理，得DF 2＝FB 21＋DB 21－2FB 1·DB 1·cos∠DB 1F ，即5＝4＋5－2×2×5×cos∠DB 1F ，∴cos ∠DB 1F ＝55. 9．已知矩形ABCD 的顶点都在球心为O ，半径为R 的球面上，AB ＝6，BC ＝23，且四棱锥O ­ABCD 的体积为83，则R 等于( )A ．4B ．2 3 C.479D ．13解析：选A 如图，设矩形ABCD 的中心为E ，连接OE ，EC ，由球的性质可得OE ⊥平面ABCD ，所以V O ­ABCD ＝13·OE ·S 矩形ABCD ＝13×OE ×6×23＝83，所以OE ＝2，在矩形ABCD 中可得EC ＝23，则R ＝OE 2＋EC 2＝4＋12＝4，故选A.10．(·福州模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( )A ．2＋42＋2 3B ．2＋22＋4 3C ．2＋6 3D ．8＋4 2解析：选A 由三视图知该几何体为三棱锥，记为三棱锥P ­ABC ，将其放在棱长为2的正方体中，如图所示，其中AC ⊥BC ，PA ⊥AC ，PB ⊥BC ，△PAB 是边长为22的等边三角形，故所求表面积为S △ABC ＋S △PAC＋S △PBC ＋S △PAB ＝12×2×2＋12×2×22＋12×2×22＋34×(22)2＝2＋42＋2 3.故选A.11.(·唐山模拟)把一个皮球放入如图所示的由8根长均为20 cm 的铁丝接成的四棱锥形骨架中，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点(皮球不变形)，则皮球的半径为( )A ．10 3 cmB ．10 cmC ．10 2 cmD ．30 cm解析：选B 依题意，在四棱锥S ­ABCD 中，所有棱长均为20 cm ，连接AC ，BD 交于点O ，连接SO ，则SO ＝AO ＝BO ＝CO ＝DO ＝10 2 cm ，易知点O 到AB ，BC ，CD ，AD 的距离均为10 cm ，在等腰三角形OAS 中，OA ＝OS ＝10 2 cm ，AS ＝20 cm ，所以O 到SA 的距离d ＝10 cm ，同理可证O 到SB ，SC ，SD 的距离也为10 cm ，所以球心为四棱锥底面ABCD 的中心，所以皮球的半径r ＝10 cm ，选B.12．(·广州模拟)正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点M 为CC 1的中点，点N 为线段DD 1上靠近D 1的三等分点，平面BMN 交AA 1于点Q ，则线段AQ 的长为( )A.23 B ．12 C.16D ．13解析：选D 如图所示，在线段DD 1上靠近点D 处取一点T ，使得DT ＝13，因为N 是线段DD 1上靠近D 1的三等分点，故D 1N ＝23，故NT ＝2－13－23＝1，因为M 为CC 1的中点，故CM ＝1，连接TC ，由NT ∥CM ，且CM ＝NT ＝1，知四边形CMNT 为平行四边形，故CT ∥MN ，同理在AA 1上靠近点A 处取一点Q ′，使得AQ ′＝13，连接BQ ′，TQ ′，则有BQ ′∥CT ∥MN ，故BQ ′与MN 共面，即Q ′与Q 重合，故AQ ＝13，选D.二、填空题13．(·南京模拟)在四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD ＝60°，侧棱PA ⊥底面ABCD ，PA ＝2，E 为AB 的中点，则三棱锥P ­BCE 的体积为________．解析：由题意知S 底面ABCD ＝2×2sin 60°＝23，所以S △EBC ＝32，故V P ­EBC ＝13×2×32＝33. 答案：3314．(·内蒙古包头一模)已知直线a ，b ，平面α，且满足a ⊥α，b ∥α，有下列四个命题：①对任意直线c ⊂α，有c ⊥a ； ②存在直线c ⊄α，使c ⊥b 且c ⊥a ； ③对满足a ⊂β的任意平面β，有β∥α； ④存在平面β⊥α，使b ⊥β. 其中正确的命题有________．(填序号)解析：因为a ⊥α，所以a 垂直于α内任一直线，所以①正确；由b ∥α得α内存在一直线l 与b 平行，在α内作直线m ⊥l ，则m ⊥b ，m ⊥a ，再将m 平移得到直线c ，使c ⊄α即可，所以②正确；由面面垂直的判定定理可得③不正确；若b ⊥β，则由b ∥α得α内存在一条直线l 与b 平行，必有l ⊥β，即有α⊥β，而满足b ⊥β的平面β有无数个，所以④正确．答案：①②④15．(高三·益阳、湘潭联考)已知三棱锥S ­ABC 的顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为3的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝4，则此三棱锥的体积为________．解析：如图，设O 1为△ABC 的中心，连接OO 1，故三棱锥S ­ABC 的高h ＝2OO 1，三棱锥S ­ABC 的体积V ＝13×2OO 1×S △ABC ，因为OO 1＝22－32＝1，所以V ＝13×2×1×34×32＝332.答案：33216．(·全国卷Ⅱ)已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45°，若△SAB 的面积为515，则该圆锥的侧面积为________．解析：如图，∵SA 与底面成45°角，∴△SAO 为等腰直角三角形．设OA ＝r ，则SO ＝r ，SA ＝SB ＝2r .在△SAB 中，cos ∠ASB ＝78，∴sin ∠ASB＝158，∴S △SAB ＝12SA ·SB ·sin∠ASB ＝12×(2r )2×158＝515，解得r ＝210，∴SA ＝2r ＝45，即母线长l ＝45，∴S 圆锥侧＝πrl ＝π×210×45＝402π.答案：402πB 级——难度小题强化练1．(·武汉调研)已知底面半径为1，高为3的圆锥的顶点和底面圆周都在球O 的球面上，则球O 的表面积为( )A.323π27 B ．4π C.16π3D ．12π解析：选C 如图，△ABC 为圆锥的轴截面，O 为其外接球的球心，设外接球的半径为R ，连接OB ，OA ，并延长AO 交BC 于点D ，则AD ⊥BC ，由题意知，AO ＝BO ＝R ，BD ＝1，AD ＝3，则在Rt △BOD 中，有R 2＝(3－R )2＋12，解得R ＝233，所以外接球O 的表面积S ＝4πR 2＝16π3，故选C.2．(·南京模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为( )A.23 B ．43 C ．2D ．83解析：选A 由三视图可知，该几何体为三棱锥，将其放在棱长为2的正方体中，如图中三棱锥A ­BCD 所示，故该几何体的体积V ＝13×12×1×2×2＝23. 3．(·福州模拟)已知圆柱的高为2，底面半径为3，若该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的表面积等于( )A ．4πB ．163πC.323π D ．16π解析：选D 如图，由题意知圆柱的中心O 为这个球的球心，于是球的半径r ＝OB ＝OA 2＋AB 2＝12＋32＝2.故这个球的表面积S ＝4πr 2＝16π.故选D.4．(·贵阳检测)三棱锥P ­ABC 的四个顶点都在体积为500π3的球的表面上，底面ABC 所在的小圆面积为16π，则该三棱锥的高的最大值为( )A ．4B ．6C ．8D ．10解析：选C 依题意，设题中球的球心为O ，半径为R ，△ABC 的外接圆半径为r ，则4πR 33＝500π3，解得R ＝5，由πr 2＝16π，解得r ＝4，又球心O 到平面ABC 的距离为R 2－r 2＝3，因此三棱锥P ­ABC 的高的最大值为5＋3＝8，故选C.5．(·全国卷Ⅰ)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为( )A.334 B ．233C.324D ．32解析：选A 如图所示，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，平面AB 1D 1与棱A 1A ，A 1B 1，A 1D 1所成的角都相等，又正方体的其余棱都分别与A 1A ，A 1B 1，A 1D 1平行，故正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的每条棱所在直线与平面AB 1D 1所成的角都相等．如图所示，取棱AB ，BB 1，B 1C 1，C 1D 1，D 1D ，DA 的中点E ，F ，G ，H ，M ，N ，则正六边形EFGHMN 所在平面与平面AB 1D 1平行且面积最大，此截面面积为S 正六边形EFGHMN ＝6×12×22×22×sin 60°＝334.故选A.6．(·南宁模拟)如图，在正方形ABCD 中，AC 为对角线，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，G 是EF 的中点．现在沿AE ，AF 及EF 把这个正方形折成一个空间图形，使B ，C ，D 三点重合，重合后的点记为H .下列说法错误的是________(将符合题意的序号填到横线上)．①AG ⊥△EFH 所在平面； ②AH ⊥△EFH 所在平面；③HF⊥△AEF所在平面；④HG⊥△AEF所在平面．解析：根据折叠前AB⊥BE，AD⊥DF可得折叠后AH⊥HE，AH⊥HF，HE∩HF＝H，可得AH ⊥平面EFH，即②正确；∵过点A只有一条直线与平面EFH垂直，∴①不正确；∵AG⊥EF，AH⊥EF，AH∩AG＝A，∴EF⊥平面HAG，∴平面HAG⊥平面AEF.过H作直线垂直于平面AEF，该直线一定在平面HAG内，∴③不正确；∵HG不垂直AG，∴HG⊥平面AEF不正确，④不正确，综上，说法错误的序号是①③④.答案：①③④。

课时巩固过关练十二空间几何体的三视图、表面积及体积(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.(2016·天津高考)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,得到的几何体的正视图与俯视图如图所示,则该几何体的侧视图为( )【解析】选B.由题意得截去的是长方体前右上方顶点.【方法技巧】三视图往往与几何体的体积、表面积以及空间线面关系、角与距离等问题相结合,解决此类问题的关键是由三视图准确确定空间几何体的形状及其结构特征.2.(2016·北京高考)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为( )A. B. C. D.1【解析】选A.通过三视图可还原几何体为如图所示的三棱锥,则通过侧视图得高h=1,底面积S=×1×1=,所以体积V=Sh=.3.(2016·广州一模)一个六棱柱的底面是正六边形,侧棱垂直于底面,所有棱的长都为1,顶点都在同一个球面上,则该球的体积为( )A.20πB.C.5πD.【解析】选D.由题意知六棱柱的底面正六边形的外接圆半径r=1,其高h=1,所以球半径为R===,所以该球的体积V=πR3=×·π=.【加固训练】已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上.若AB=3, AC=4,AB⊥AC,AA1=12,则球O的半径为( )A. B.2 C. D.3【解析】选C.因为直三棱柱中AB=3,AC=4,AA1=12,AB⊥AC,所以BC=5,且BC为过底面ABC的截面圆的直径.取BC中点D,则OD⊥底面ABC,则O在侧面BCC1B1内,矩形BCC1B1的对角线长即为球直径,所以2R==13,即R=.二、填空题(每小题5分，共10分)4.(2016·天津高考)已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示(单位：m)，则该四棱锥的体积为________m3.【解析】底面为平行四边形，面积为2×1=2，高为3，所以V=×2×1×3=2. 答案：25.(2016·大连一模)如图，在小正方形边长为1的网格中画出了某多面体的三视图，则该多面体的外接球表面积为________.【解题导引】由三视图知，该几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥，画出直观图，再建立空间直角坐标系，求出三棱锥外接球的球心与半径，从而求出外接球的表面积.【解析】由三视图知，该几何体是三棱锥S-ABC，且三棱锥的一个侧面SAC与底面ABC垂直，其直观图如图所示：由三视图的数据可得OA=OC=2，OB=OS=4.建立空间直角坐标系O-xyz，如图所示：则A(0，-2，0)，B(4，0，0)，C(0，2，0)，S(0，0，4)，则三棱锥外接球的球心I在平面xOz上，设I(x，0，z)；由得，解得x=z=；所以外接球的半径R=|BI|==.所以该三棱锥外接球的表面积S=4πR2=4π×=34π.答案：34π三、解答题(6题12分，7题13分，共25分)6.(2016·南阳一模)如图，AA1，BB1为圆柱OO1的母线，BC是底面圆O的直径，D，E分别是AA1，CB1的中点，DE⊥平面CBB1.(1)证明：DE∥平面ABC.(2)求四棱锥C-ABB1A1与圆柱OO1的体积比.【解析】(1)连接EO，OA，因为E，O分别为B1C，BC的中点，所以EO∥BB1.又DA∥BB1，且DA=BB1=EO，所以四边形AOED是平行四边形，即DE∥OA.又DE⊄平面ABC，AO⊂平面ABC，所以DE∥平面ABC.(2)由题意知DE⊥平面CBB1，且由(1)知DE∥AO，因为AO⊥平面CBB1，所以AO⊥BC，所以AC=AB. 因为BC是底面圆O的直径，所以CA⊥AB，且AA1⊥CA，又AB∩AA1=A，所以CA⊥平面AA1B1B，即CA为四棱锥C-ABB1A1的高.设圆柱的高为h，底面圆半径为r，则=πr2h，=h(r)·(r)=hr2.所以∶=.7.(2016·南宁一模)如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1=A1C=AC=2，AB=BC且AB⊥BC.(1)求证：AC⊥A1B.(2)求三棱锥C1-ABA1的体积.【解题导引】(1)转化为证明直线AC垂直于直线A1B所在的平面即可.(2)由=，转化为求，关键求点B到平面AA1C1的距离.【解析】(1)取AC的中点O，连接A1O，BO.因为AA1=A1C，所以A1O⊥AC，又AB=BC，所以BO⊥AC，因为A1O∩BO=O，所以AC⊥平面A1OB，又因为A1B⊂平面A1OB，所以AC⊥A1B.(2)三棱柱ABC-A1B1C1中，所以侧面AA1C1C⊥底面ABC，侧面AA1C1C∩底面ABC=AC，OB⊥AC，所以OB⊥平面AA1C1C，易求得OB=1，=，所以==··OB=.(20分钟50分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体最短和最长的棱长分别等于( )A.4,B.4,C.3,5D.3,2【解析】选C.由三视图可判断该几何体为三棱锥,形状如图,其中SC⊥平面ABC,AC⊥AB,所以最短的棱长为AC=3,最长的棱长为SB=5.2.如图是某几何体的三视图,正(主)视图是等腰梯形,俯视图中的曲线是两个同心的半圆组成的半圆环,侧(左)视图是直角梯形,则该几何体的体积等于( )A.12πB.16πC.20πD.24π【解析】选A.由三视图知:r=1,R=4,S1=π×12=π,S2=π×42=16π,所以V=×-π×12×4=×21π-2π=12π.【加固训练】某几何体的三视图如图所示,若该几何体的体积为3,则侧(左)视图中线段的长度x的值是( )A. B.2 C.4 D.5【解析】选C.分析题意可知,该几何体为如图所示的四棱锥P-ABCD,故其体积V=××4×CP=3,所以CP=,所以x==4.3.如图1，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，动点M，N，Q分别在线段AD1，B1C，C1D1上.当三棱锥Q -BMN的俯视图如图2所示时，三棱锥Q-BMN的正(主)视图面积等于( )A.a2B.a2C.a2D.a2【解析】选B.由俯视图知，点M为AD1的中点、N与C重合、Q与D1重合，所以三棱锥Q -BMN的正(主)视图为△CD1P，其中点P为DD1的中点，所以三棱锥Q -BMN 的正(主)视图面积为×a×=a2.【加固训练】如图，三棱锥V-ABC，VA⊥VC，AB⊥BC，∠VAC=∠ACB=30°，若侧面VAC⊥底面ABC，则其正(主)视图与侧(左)视图面积之比为( )A.4∶B.4∶C.∶D.∶【解题导引】正(主)视图为Rt△VAC，侧(左)视图为以△VAC中AC边的高为一条直角边，△ABC中AC边的高为另一条直角边的直角三角形.【解析】选A.过V作VD⊥AC于点D，过B作BE⊥AC于点E，则正(主)视图为Rt△VAC，侧(左)视图为以△VAC中AC边的高VD为一条直角边，△ABC中AC边的高BE为另一条直角边的直角三角形.设AC=x，则VA=x，VC=x，VD=x，BE=x，则S正(主)视图：S侧(左)视图=∶(·x·x)=4∶.【误区警示】解答本题易出现如下两种错误：一是对正(主)视图、侧(左)视图的形状判断不准确，造成结论错误；二是运算错误，造成结论错误.二、填空题(每小题5分，共10分)4.如图，半径为4的球O中有一内接圆柱，则圆柱的侧面积最大值是________.【解题导引】设出圆柱的上底面半径为r，球的半径与上底面夹角为α，求出圆柱的侧面积表达式，求出最大值.【解析】设圆柱的上底面半径为r，球的半径与上底面夹角为α，则r=4cosα，圆柱的高为8sinα.所以圆柱的侧面积为：32πsin2α.当且仅当α=时，sin2α=1，圆柱的侧面积最大，所以圆柱的侧面积的最大值为：32π.答案：32π5.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，侧棱PA⊥底面ABCD，PA=2，E为AB的中点，则点E到平面PBC的距离为________.【解题导引】利用V P-BCE=V E-PBC求.【解析】由于四边形ABCD是菱形，所以以EB为底边的△CBE的高h=AD·sin 60°=2×=，从而四面体P-BCE的体积V P-BCE=V E-PBC=××1××2=，AC==2.在Rt△PAB中PB==2，在Rt△PAC中PC===4，cos∠PBC==-，所以sin∠PBC==.S△PBC=PB·BC·sin∠PBC=×2×2×=.设点E到平面PBC的距离为d，则有S△PBC·d=，所以d===.答案：三、解答题(6题12分，7题13分，共25分)6.如果一个几何体的正(主)视图与侧(左)视图都是全等的长方形，边长分别是4cm与2cm如图所示，俯视图是一个边长为4cm的正方形.(1)求该几何体的全面积.(2)求该几何体的外接球的体积.【解析】(1)由题意可知，该几何体是长方体，底面是正方形，边长是4，高是2，因此该几何体的全面积是：2×4×4+4×4×2=64(cm2).(2)由长方体与球的性质可得，长方体的体对角线是球的直径，记长方体的体对角线为d，球的半径为r，d===6(cm)，所以球的半径r=3cm，因此球的体积V=πr3=×27π=36π(cm3).所以外接球的体积是36πcm3.7.如图，边长为的正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，其中AB∥CD，AB⊥BC，DC=BC=AB=1，点M在线段EC上.(1)证明：平面BDM⊥平面ADEF.(2)判断点M的位置，使得三棱锥B-CDM的体积为.【解题导引】证明BD⊥平面ADEF，即可证明平面BDM⊥平面ADEF.(2)在平面DMC内，过M作MN⊥DC，垂足为N，则MN∥ED，利用三棱锥的体积计算公式求出MN，可得结论.【解析】(1)因为DC=BC=1，DC⊥BC，所以BD=.因为AD=，AB=2，所以AD2+BD2=AB2，所以∠ADB=90°，所以AD⊥BD，因为平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD=AD.BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面ADEF，因为BD⊂平面BDM，所以平面BDM⊥平面ADEF.(2)如图，在平面DMC内，过M作MN⊥DC，垂足为N，又因为ED⊥AD，平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD=AD，所以ED⊥平面ABCD，所以ED⊥CD，所以MN∥ED，因为ED⊥平面ABCD，所以MN⊥平面ABCD.因为V B-CDM=V M-CDB=MN·S△BDC=，所以××1×1×MN=，所以MN=.所以===，所以CM=CE，所以点M在线段CE的三等分点且靠近C处.。

8.1 空间几何体的三视图、表面积和体积五年高考A 组统一命题·课标卷题组考点一几何体的直观图与三视图1．（2018课标全国1,9,5分）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图，圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ．圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 ( )172.A 52.B 3.C 2.D2．（2018课标全国111.3，5分）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头，若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 ( )3．（2014课标1,8,5分．0.795）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )A ．三棱锥B ．三棱柱C ．四梭锥D ．四棱柱考点二几何体的体积1．（2018课标全国1,10，5分）在长方体1111D C B A ABCD -中，1,2AC BC AB ==与平面C C BB 11所成的角为,30则该长方体 的体积为( ) 8.A 26.B 28.C 38.D2．（2018课标全国III ．12，5分）设A ，B ，C ．D 是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为,39则三棱锥D-ABC 体积的最大值为( )312.A 318.B 324.C 354.D3．（2017课标全国11.6，5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为 ( )π90.A π63.B π42.C π36.D4．（2014课标Ⅱ．7,5分．0.495）正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为2．侧棱长为D ,3为BC 中点，则三棱锥11DC B A -的体积为（ )3.A 23.B 1.C 23.D 5．（2015课标I ，6，5分，0.451）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3．估算出堆放的米约有 ( )14.A 斛 22.B 斛 36.C 斛 66.D 斛6．（2015课标II ，6,5分，0.426）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为 ( )81.A 71.B 61.C 51.D 7．（2017课标全国|II ．9，5分）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )π.A 43.πB 2.πC 4.πD 8．(2018课标全国II ，16，5分)已知圆锥的顶点为S ．母线SA ，SB 互相垂直．SA 与圆锥底面所成角为.30 若△SAB 的面积为8．则该圆锥的体积为9．（2016课标全国1,18，12分）如图，已知正三棱锥P-ABC 的侧面是直角三角形，PA=6．顶点P 在平面ABC 内的正投影为点D ，D 在平面PAB 内的正投影为点E ，连接PE 并延长交AB 于点C ．(1)证明：C 是AB 的中点；(2)在图中作出点E 在平面PAC 内的正投影F(说明作法及理由)，并求四面体PDEF 的体积，考点三几何体的表面积1．（2018课标全国I ．5，5分）已知圆柱的上、下底面的中心分别为,,21O O 过直线21O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( )π212.A π12.B π28.C π10.D2．（2016课标全国II ．4，5分）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 ( )π12.A π332.B π8.C π4.D 3．（2016课标全国I ．7,5分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是,328π则它的表面积是( )π17.A π18.B π20.C π28.D4．（2016课标全国Ⅲ，10,5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为 ( )53618.+A 51854.+B 90.C 81.D5．（2014大纲全国，10，5分）正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4．底面边长为2，则该球的表面积为( )481.πA π16.B π9.C 427.πD6．（2015课标II ．10,5分．0.459）已知A ，B 是球0的球面上两点，C AOB ,90=∠为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36．则球O 的表面积为 ( )π36.A π64.B π144.C π256.D7．（2015课标I ，11，5分．0.629）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为,2016π+则=r ( )1.A2.B 4.C 8.D8．（2017课标全国II ．15，5分）长方体的长，宽，高分别为3，2，1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为______．9．（2017课标全国I ．16,5分）已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球0的直径．若平面⊥SCA 平面,,,BC SB AC SA SCB ==三棱锥S-ABC 的体积为9．则球0的表面积为_________B 组 自主命题·省（区、市）卷题组考点一几何体的直观图与三视图1．（2018北京，6，5分）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为 ( )1.A2.B3.C4.D2．（2016天津．3，5分）将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为 ( )3．（2015北京，7,5分）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为 ( )1.A2.C2.D.B34．（2014湖南，8,5分）一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于 ( )1.A2.B3.C4.D5．（2014湖北，7，5分）在如图所示的空间直角坐标系O-xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2).给出编号为①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为 ( )A．①和② B．③和① C．④和③ D．④和②考点二几何体的体积1.(2018浙江．3,4分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几核体的体积（单位：)3cm 是( )2.A 4.B 6.C 8.D2.(2017北京,6,5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）60.A 30.B 20.C 10.D3．（2017浙江．3,4分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：)3cm 是( )12.+πA 32.+πB 123.+πC 323.+πD 4．（2015重庆，5，5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( )π231.+A 613.πB 37.πC 25.πD 5．（2016山东．5,5分）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为 ( )π3231.+A π3231.+B π6231.+C π621.+D 6．（2014辽宁，7，5分）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( )48.πA 28.πB π-8.C π28.-D7．（2014四川，4,5分）某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积是 ( ) （锥体体积公式：,31Sh V =其中s 为底面面积，h 为高）3.A 2.B 3.C 1.D8．（2018江苏．10,5分）如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为9．（2018天津．11,5分）如图，已知正方体1]11D C B A ABCD -的棱长为1．则四棱锥D D BB A l 11- 的体积为___________10.（2017山东．13，5分）由一个长方体和两个41圆柱体构成的几何体的三视图如下图，则该几何体的体积为________11．（2017天津．11，5分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18．则这个球的体积为___________考点三几何体的表面积1．（2014福建，3,5分）以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于( )π2.A π.B 2.C 1.D2．（2015安徽，9，5分）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是 ( )31.+A 221.+B 32.+C 22.D3．（2015陕西，5，5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ( )π3.A π4.B 42+πC 43.+πD突破方法方法1 空间几何体表面积与体积的求解方法例1（2014重庆．7，5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( )12.A 18.B 24.C 30.D1-1 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面稠等于( )228.+A 2211.+B 2214.+C 15.D1-2 如图所示，在半径为R 的半球内有一内接圆柱，则这个圆柱的体积的最大值是_________方法2 与球有关的切、接问题的求解方法例2（2016课标全国m ．11，5分）在封闭的直三棱柱111C B A ABC -内有一个体积为y 的球，若,8,6,==⊥BC AB BC AB ,31=M 则y 的最大值是( )π4.A 29.πB π6.C 332.πD 2-1 已知直三棱柱11C B A ABC l -的6个顶点都在球O 的球面上．且,12,,4,3=⊥==l AA AC AB AC AB 则球0的表面积是2-2 （2017江苏．6，5分）如图，在圆柱21O O 内有一个球0．该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱21O O 的体积为,1V 球0的体积为,2V 则2V V l 的值是________三年模拟A 组2016-2018年高考模拟·基础题组考点一 几何体的直观图与三视图1．（2018黑龙江佳木斯一中第七次调研）如图所示，网格纸上每个小方格都是边长为1的正方形，粗线画出的是一个几何体的三视图，记该几何体的各棱长度构成的集合为A ，则 ( )A A ∈3. AB ∈3. AC ∈32. AD ∈22.2．（2017内蒙古百校联盟质监卷）已知三棱锥A-BCD 的四个顶点在空间直角坐标系O-xyz 中的坐标分别为 ,2(),2,0,2(B A ),2,2,0(),2,1C ),0,2,1(D 以xOy 平面为投影面，画该三棱锥的俯视图，得到的俯视图可以为 ( )3．（2017黑龙江佳木斯一中三模）一个正方体截去两个角后所得的几何体的主视图，左视图如图所示，则其俯视图为( )4．（2017陕西西安长安一中4月模拟）如图所示的是某几何体的三视图，正视图是等腰直角三角形，侧视图是直角三角形，俯视图是直角梯形，则在几何体中，异面直线PB 与CD 所成角的正切值是 ( )1.A2.B 22.C 21.D 考点二几何体的体积1．（2018东北三省三校二模）如图所示，一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，则该三棱锥的体积为( )3.A4.B 6.C 8.D2．（2018甘肃第一次诊断）某几何体挖去两个半球体后的三视图如图所示，若剩余几何体的体积为,32π则a 的值为( )1.A2.B 22.C 32.D3．（2018内蒙古包头一模）某多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为 ( )38.A 332.B 316.C 328.D 4．（2017新疆乌鲁木齐三模）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( )221.π+A 21.π+B π+1.C π+2.D 5．（2017陕西咸阳三模）某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 ( )3216.πA 348.πB 3416.πC 316.πD 6．（2017辽宁部分重点中学协作体模拟）棱长为1的正方体截去一部分之后余下的几何体的三视图如图所示，则余下几何体体积的最小值为 ( )65.A 21.B 32.C 31.D 考点三几何体的表面积1．（2018辽宁辽阳一模）如图是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为 ( )π848.+A π1648.+B π1696.+C π896.+D2．（2018黑龙江齐齐哈尔一模）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，图中画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为 ( )18261312.++A 1828139.++B 1826139.++C 1226139.++D3．（2018重庆4月调研（二诊））某几何体的三视图如图所示，其正视图为等腰梯形，则该几何体的表面积是 ( )18.A 388.+B 24.C 5612.+D4．（2017吉林延边高考仿真考试）已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ( )624.+A 824.+B 1224.+C 1024.+D5．（2017陕西咸阳二模）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积是 ( )π3.A π4.B π5.C 37.πD 6．（2016黑龙江佳木斯名校联考）在三棱锥P-ABC 中．PA ⊥平面,3,1,,===⊥PA BC AB BC AB ABC 则该三棱锥外接球的表面积为( )π5.A π2.B π20.C π4.DB 组2016-2018年高考模拟·综合题组选择题（每题5分，共55分）1．（2018东北三省三校一模）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，23则正视图中的x 的值是 ( )2.A 29.B 23.C 3.D 2．（2018辽宁辽南协作校一模）某几何体的正视图和侧视图如图(1)所示，它的俯视图的直观图是 ,ABC ∆如图(2)所示，其中,3,20===OC B OA 则该几何体的体积为 ( )38.A 312.B 318.C 324.D3．（2018内蒙古呼和浩特第一次质量普查）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．则该多面体的各个面中，面积最大的面的面积为 ( )32.A 6.B 26.C 12.D4．（2018吉林长春质量监测（二））如图，网格纸上小正方形的边长为1．粗线条画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为 ( )34.A 32.B 2.C 23.D 5．（2017辽宁大连双基测试）在空间直角坐标系O-xyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是(1，0，2)，(1，2，0)，(1，2，1)，(0，2，2)，若正视图以yoz 平面为投射面，则该四面体侧视图面积为( ) 21.A 1.B2.C 4.D 6．（2017宁夏石嘴山三中三模）如图1所示的是一个棱长为2的正方体被削去一个角后所得到的几何体的直观图，其中=1DD ,1若此几何体的俯视图如图2所示，则可以作为该几何体正视图的是( )7．（2017重庆巴蜀中学三诊）如图，某几何体的三视图都是直角三角形，若几何体的最长棱的长为2，则该几何体的外接球的体积是 ( )π6.A π34.B π4.C π6.D 8．（2017海南海口4月调研）已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( )316.A 324.B 3380.C 326.D9．（2017陕西黄陵中学考前模拟（一））将一张边长为12,m 的正方形纸片按如图(1)所示将阴影部分的四个全等的等腰司角形裁去，余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥，如图(2)放置，如果正四棱锥的主视图是正三角形，如图(3)所示，则正四棱锥的体积是( )36332.cm A 36364.cm B 32332.cm C 32364.cm D 10.（2017甘肃天水一中三诊）某四面体的三视图如图所示，正视图，俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的面的面积为 ( )22.A 32.B 4.C 62.D11.（2017甘肃兰州实战模拟）某几何体的三视图如图所示，则下列说法正确的是 ( ) ①该几何体的体积为;61②该几何体为正三棱锥； ③该几何体的表面积为;323+④该几何体外接球的表面积为.3π①②③.A ①②④.B ①③.C ④ ②③④.D答案。

2019 版高考数学（理科）总复习5.1三视图与几何体的体积、表面积命题角度 1 空间几何体三视图的识别与画法高考真题体验·对方向1.(2018全国Ⅲ·3)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼 ,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体 ,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()答案 A解析根据三视图原则,从上往下看 ,看不见的线画虚线,则 A 正确 .2.(2018全国Ⅰ·7)某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如右图.圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从 M 到 N的路径中 ,最短路径的长度为()A .2 B.2 C.3 D.2答案 B解析如图所示 ,易知N 为的中点 ,将圆柱的侧面沿母线MC 剪开 ,展平为矩形MCC'M' ,易知CN=CC'= 4,MC= 2,从 M 到 N 的路程中最短路径为MN.2019 版高考数学（理科）总复习在Rt△MCN 中 ,MN== 2.3.(2017北京·7)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的最长棱的长度为()A.3B.2C.2D.2答案 B解析由题意可知 ,直观图为四棱锥A-BCDE (如图所示 ),最长的棱为正方体的体对角线AE== 2.故选 B .4.(2014全国Ⅰ·12)如图 ,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为()A.6B.6C.4D.4答案 B解析如图所示的正方体ABCD-A 1B1C1D1的棱长为 4.取 B1B 的中点 G,即三棱锥 G-CC 1D 1为满足要2019 版高考数学（理科）总复习求的几何体 ,其中最长棱为D1G,D1G== 6.5.(2013全国Ⅰ·7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0), 画该四面体三视图中的正视图时,以 zOx 平面为投影面,则得到的正视图可以为 ()答案 A解析如图所示 ,该四面体在空间直角坐标系O-xyz 的图象为下图 :则它在平面zOx 上的投影即正视图为,故选 A .新题演练提能·刷高分1.(2018河北衡水调研)某几何体的正视图与俯视图如图,则其侧视图可以为()答案 B解析由俯视图与正视图可知该几何体可以是一个三棱柱挖去一个圆柱,因此其侧视图为矩形内有一条虚线 ,虚线靠近矩形的左边部分,只有选项 B 符合题意 ,故选 B .2.(2018 河南濮阳一模 )如图 ,O1,O2为棱长为 a 的正方体的上、下底面中心,若正方体以 O1O2为轴顺时针旋转 ,则该正方体的所有正视图中最大面积是()2019 版高考数学（理科）总复习22A. aB. aC.a2D.2a2答案 B解析所有正视图中面积最大的是长为a,宽为 a 的矩形 ,面积为 a2,故选 B.3.(2018河北保定模拟)已知一几何体的正视图、侧视图如图所示 ,则该几何体的俯视图不可能是()答案 D解析由图可知 ,选项 D 对应的几何体为长方体与三棱柱的组合,其侧视图中间的线不可视,应为虚线 ,故选 D.4.(2018江西赣州十四县(市 )期中 )某几何体的三视图如图所示,则此几何体的各面中最大面的面积为 ()A.2B.2C.3D.2答案 B解析由三视图可得 ,该几何体为如图所示的三棱锥A1-BCD.结合三视图中的数据可得2S△BCD=×2 = 2,×2×2= 2,×2= 2,故此几何体的各面中最大面的面积为 2.选 B.5.(2018安徽合肥第二次质检)已知某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的所有棱中,最短的棱长为 ()A.2B.C.1D.2答案 C解析由三视图可知原几何体是图中的三棱锥P-ABC ,其中 C 为棱的中点 .从图中可以看出棱AC 最短 ,因为 AC= 1,所以最短的棱长为1,故选 C.6.(2018安徽合肥第二次质检)在正方体ABCD-A 1B1C1D1中 ,E 是棱 A1B1的中点 ,用过点A,C,E 的平面截正方体,则位于截面以下部分的几何体的侧(左 )视图为 ()答案 A解析如图所示 ,取 B1C1的中点 F,则 EF∥AC ,即平面 ACFE 亦即平面ACE 截正方体所得的截面,据此可得位于截面以下部分的几何体的侧(左 )视图如选项 A 所示 .7.(2018河南濮阳二模)已知三棱柱HIG-EFD 的底面为等边三角形,且侧棱垂直于底面,该三棱柱截去三个角 (如图①所示 ,A,B,C 分别是△GHI 三边的中点 )后得到的几何体如图②,则该几何体的侧视图为 ()答案 A解析因为平面DEHG ⊥平面EFD ,所以几何体的侧视图为直角梯形,且直角腰在侧视图的左侧,故选 A .命题角度 2 空间几何体的体积、表面积高考真题体验·对方向1.(2015 全国Ⅰ·6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角 ,下周八尺 ,高五尺 .问 : 积及为米几何 ?”其意思为 :“在屋内墙角处堆放米 (如图 ,米堆为一个圆锥的四分之一 ),米堆底部的弧长为 8 尺 ,米堆的高为 5 尺 ,问米堆的体积和堆放的米各为多少 ?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺 ,圆周率约为3,估算出堆放的米约有()A .14 斛 B.22 斛 C.36 斛 D.66 斛答案 B解析设底面圆半径为R,米堆高为h.∵米堆底部弧长为8 尺 ,∴·2πR= 8,∴R=.2∴体积 V= ·πR h=×π××5.∴堆放的米约为≈22(斛).2.(2015山东·7)在梯形ABCD中,∠ABC= ,AD∥BC,BC= 2AD= 2AB= 2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A. B.C. D.2π答案 C解析由题意可得旋转体为一个圆柱挖掉一个圆锥.22V 圆柱 = π×1 ×2= 2π,V 圆锥 =×π×1 ×1=.∴V 几何体 =V 圆柱 -V 圆锥 = 2π-.2019 版高考数学（理科）总复习3.(2018全国Ⅱ·16)已知圆锥的顶点为S,母线 SA,SB 所成角的余弦值为,SA 与圆锥底面所成角为 45° .若△SAB 的面积为 5.则该圆锥的侧面积为.答案 40π解析设 O 为底面圆圆心 ,∵c os∠ ASB=,∴s in∠ ASB=.∴S△ASB=× |AS|·|BS|·= 5.2∴S A=4.∵SA 与圆锥底面所成的角为45° ,∠ SOA= 90° .∴S O=OA=SA= 2.∴S 圆锥侧 = πrl= 4×2×π= 40π.新题演练提能·刷高分1.(2018云南保山第二次统测)我国古代数学名著《增删算法统宗》中有如下问题: “有个金球里面空 ,球高尺二厚三分,一寸自方十六两,试问金球几许金?”意思是 : 有一个空心金球,它的直径 12 寸 ,球壁厚 0.3 寸 ,1 立方寸金重 1 斤 ,试问金球重是多少斤?(注π≈3)()A.125 .77B.864C.123.23D.369.69答案 C解析由题意知 ,大球半径R=6,空心金球的半径 r= 6-0.3= 5.7,则其体积 V= π(63-5.73)≈123.23(立方寸 ).因为 1 立方寸金重 1 斤 ,所以金球重 123.23 斤 ,故选 C.2.(2018福建宁德期末)我国古代数学名著《孙子算经》中有如下问题:“今有筑城 ,上广二丈 ,下广五丈四尺 ,高三丈八尺 ,长五千五百五十尺 ,秋程人功三百尺.问 :须工几何 ?”意思是 : “现要筑造底面为等腰梯形的直棱柱的城墙,其中底面等腰梯形的上底为 2 丈、下底为 5.4 丈、高为3.8 丈 ,直棱柱的侧棱长为 5 550 尺 .如果一个秋天工期的单个人可以筑出300 立方尺 ,问 :一个秋天工期需要多少个人才能筑起这个城墙?”(注: 一丈等于十尺 )()A.24 642B.26011C.52 022D.78 033答案 B解析根据棱柱的体积公式 ,可得城墙所需土方为×38×5 550= 7 803 300( 立方尺 ),一个秋天工期所需人数为 = 26 011,故选 B .3.(2018山西太原一模)三棱锥D-ABC中 ,CD ⊥底面ABC ,△ABC 为正三角形,若 AE ∥CD,AB=CD=AE=2,则三棱锥 D-ABC与三棱锥E-ABC 的公共部分构成的几何体的体积为()A. B. C. D.答案 B解析根据题意画出如图所示的几何体:2019 版高考数学（理科）总复习∴三棱锥 D-ABC 与三棱锥E-ABC 的公共部分构成的几何体为三棱锥F-ABC.∵△ABC 为正三角形 ,AB= 2,∴S△ABC=×2×2×.∵CD⊥底面 ABC,AE∥ CD ,CD=AE= 2,∴四边形 AEDC 为矩形 ,则 F 为 EC 与 AD 的中点 ,∴三棱锥 F-ABC 的高为 CD= 1, ∴三棱锥 F-ABC 的体积为 V=× 1=. 故选 B .4.(2018四川雅安模拟)《九章算术》是我国古代的数学名著,书中提到一种名为“刍甍”的五面体,如图所示 ,四边形 ABCD 是矩形 ,棱 EF∥ AB ,AB= 4,EF= 2,△ADE 和△BCF 都是边长为 2 的等边三角形 ,则这个几何体的体积是 ()A. B. +2C. D.答案 C解析过点 E 作 EG⊥平面 ABCD ,垂足为点G,过点 F 作 FH ⊥平面 ABCD,垂足为点H,过点 G 作 PQ∥ AD ,交 AB 于点 Q,交 CD 于点 P,过点 H 作 MN ∥BC ,交 AB 于点 N,交 CD 于点 M,如图所示 :∵四边形 ABCD 是矩形 ,棱 EF∥ AB,AB= 4,EF= 2,△ADE 和△BCF 都是边长为 2 的等边三角形 ,∴四边形 PMNQ 是边长为 2 的正方形 ,EG= ,∴这个几何体的体积为V=V E-AQPD +V EPQ-FMN +V F-NBCM =×1×2××2+×2××2=+ 2.故选 C.5.(2018上海虹口期末质量监控)已知M,N 是三棱锥P-ABC 的棱AB,PC 的中点 ,记三棱锥P-ABC 的体积为V1,三棱锥 N-MBC 的体积为V2,则等于.答案解析如图 ,设三棱锥P-ABC 的底面积为S,高为 h.∵M 是 AB 的中点 ,∴S△BMC=S.∵N 是 PC 的中点 ,2019 版高考数学（理科）总复习∴三棱锥 N-MBC 的高为 h,则V1=Sh,V2=S× h=Sh,∴.故填 .6.(2018河北唐山二模)在四棱锥 S-ABCD 中 ,SD⊥底面 ABCD ,底面 ABCD 是正方形 ,SD=AD= 2,三棱柱 MNP-M 1N1 P1的顶点都位于四棱锥S-ABCD 的棱上 ,已知 M,N,P 分别是棱 AB,AD,AS 的中点 ,则三棱柱 MNP-M 1N1P1的体积为.答案 1解析由题得 M1是 BC 中点 ,N1是 DC 中点 ,P1是 SC 中点 ,PN= 1,MN= ,且 PN⊥MN ,所以三棱柱MNP-M 1N1P1的底面积为×1×.由题得正方形的对角线长2,三棱柱 MNP-M 1N1P1的高为×2,所以三棱柱MNP-M 1N1P1的体积为 = 1,故填 1.命题角度 3 三视图还原与几何体的体积、表面积高考真题体验·对方向1.(2017全国Ⅰ·7)某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成 ,正方形的边长为 2,俯视图为等腰直角三角形 ,该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为()A .10 B.12 C.14 D.16答案 B解析由三视图可还原出几何体的直观图如图所示.该五面体中有两个侧面是全等的直角梯形,且该直角梯形的上底长为2,下底长为4,高为 2,则 S 梯= (2+ 4)×2÷2= 6,所以这些梯形的面积之和为12.2.(2017全国Ⅱ·4)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为()2019 版高考数学（理科）总复习A .90π B.63π C.42π D.36π答案 B解析由题意 ,可知该几何体由两部分组成,这两部分分别是高为 6 的圆柱截去一半后的图形和高为 4 的圆柱 ,且这两个圆柱的底面圆半径都为3,故其体积为 V=× π×32×6+ π×32×4=63π,故选B.3.(2016全国Ⅰ·6)如图 ,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是 ,则它的表面积是 ()A.17 πB.18πC.20πD.28 π答案 A解析由三视图可知该几何体是球截去后所得几何体3,则×R= ,解得 R=2,所以它的表面积为×4πR2+×πR2= 14π+ 3π= 17π.4.(2016全国Ⅱ·6)下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为()A.20 πB.24πC.28πD.32 π答案 C解析由题意可知 , 该几何体由同底面的一个圆柱和一个圆锥构成 , 圆柱的侧面积为S1= 2π×2×4= 16π,圆锥的侧面积为S2=×2π×2×=8π,圆柱的底面面积为S3= π×22= 4π,故该几何体的表面积为S=S1 +S2+S 3= 28π,故选 C.5.(2016 全国Ⅲ·9)如图 ,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为()A.18 +36B.54 + 18C.90D.81答案 B解析由三视图知该几何体是平行六面体 ,且底面是边长为 3 的正方形 ,侧棱长为 3,所以该几何体的表面积为 S= 2×3×6+ 2×3×3+ 2×3×3= 54+ 18,故选 B.新题演练提能·刷高分1.(2018河北唐山二模)如下图 ,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图 ,则其表面积为()A.2 πB.5πC.8 πD.10 π答案 C解析由题得几何体原图是球被切割后剩下的, 所以它的表面积由三个部分组成,所以S=×4π×22+×π×22+×π×22= 8π.故选 C.2.(2018山西太原二模)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A. B. C. D.答案 D解析三视图还原是四棱锥,如图所示 .AC⊥ AD ,PD ⊥底面 ABCD ,PD=AD=BC=AC= 1,所以体积 V=× (1×1)×1= ,故选 D .3.(2018河北石家庄一模)如图 ,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为()A.8 + 3πB.8+ 4πC.8+5πD.8+ 6π答案 D解析由题图可知 ,几何体为半圆柱挖去半球体,几何体的表面积为2×+4π+ 2×4-π+= 8+ 6π,故选D.4.(2018东北三省三校二模)如图所示 ,一个三棱锥的三视图是三个直角三角形,则该三棱锥的体积为 ()A.3B.4C.6D.8答案 B解析如图所示 ,在长、宽、高分别为4,2,3 的长方体中 ,三棱锥 P-ABC 对应几何体的三视图即题中的三视图 ,据此可得该几何体的体积:V=×S× PC=× ×2×4×3= 4.故选B.△ABC5.(2018福建福州3月质检)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图 ,则该几何体的体积为()A. π+ 6B. +6C.+ 6D.+ 2答案 C解析由三视图可知,该几何体为组合体:上方为半个圆锥,下方为放倒的直四棱柱,∴该几何体的体积为×π×2+×(1+ 2)×2×2=+ 6,故选 C.6.(2018江西教学质量监测)若一个空间几何体的三视图如图所示,且已知该几何体的体积为π,则其表面积为 ()A.6 π+4B.6πC.π+ 2D.π+答案 A解析该几何体是半个圆锥 ,则 V=× πr2× r=π,解得 r= 2,母线长为 l= 2r ,所以其表面积为S=πrl+ πr2+×2r × r= r 2=6π+ 4,故选 A .7.(2018湖南、江西十四校第一次联考)已知一个棱长为 2 的正方体被两个平面所截得的几何体的三视图 (单位 :cm) 如图所示 ,则该几何体的体积是 ()A. cm 3B.4 cm 3C. cm3D. cm32019 版高考数学（理科）总复习答案 D解析由三视图得原几何体如图所示 ,在正方体 ABCD-A 1B1C1D 1中 ,由平面 AB1D1 ,平面 CB1D 1截得的几何体 ,它的体积为一个正方体的体积减去两个底面为等腰直角三角形的三棱锥的体积,即 V= 23-2×× S× 8h=-2××2= (cm 3).故选 D.8.(2018安徽江南十校 3 月联考 )某几何体的三视图如图所示,其中正视图由矩形和等腰直角三角形组成 ,侧视图由半圆和等腰直角三角形组成,俯视图的实线部分为正方形,则该几何体的表面积为 ()A.3 π+4B.4( π++ 1)C.4(π+ )D.4( π+ 1)答案 A解析由三视图知几何体的上半部分是半圆柱, 圆柱底面半径为1,高为2,其表面积为S1= π×2×1×+π×12= 3π,下半部分为正四棱锥 ,底面棱长为 2,斜高为 ,其表面积 S2= 4× ×2× = 4,所以该几何体的表面积为S=S1+S 2= 3π+ 4.故选 A .9.(2018山东济南一模)某几何体的三视图如图所示,其中正视图的轮廓是底边为2,高为 1 的等腰三角形 ,俯视图的轮廓为菱形 ,侧视图是个半圆.则该几何体的体积为.答案π解析由三视图可知 ,该几何体是一个组合体 ,它由两个底面重合的半圆锥组成 ,圆锥的底面半径为 1,高为 ,所以组合体的体积为 2××π×12×π,故答案为π.命题角度 4 球与几何体的切、2019 版高考数学（理科）总复习接问题高考真题体验·对方向1.(2018全国Ⅲ·10)设A,B,C,D是同一个半径为 4 的球的球面上四点,△ABC 为等边三角形且其面积为 9,则三棱锥 D-ABC 体积的最大值为()A .12 B.18 C.24 D.54答案 B解析由△ABC 为等边三角形且面积为9,设△ABC 边长为 a,则 S=a·a= 9.∴a= 6,则△ABC 的外接圆半径 r=a= 2<4.设球的半径为R,如图 ,OO 1== 2.当D 在 O 的正上方时 ,V D-ABC =S△ABC·(R+|OO 1|)=×9×6= 18,最大 .故选 B.2.(2017全国Ⅲ·8)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为()A. πB.C.D.答案 B解析由题意可知球心即为圆柱体的中心,画出圆柱的轴截面如图所示,则AC= 1,AB= ,底面圆的半径r=BC= ,所以圆柱的体积是3.(2016全国Ⅲ·10)在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1 BC,AB= 6,BC= 8,AA1= 3,则 V 的最大值是 ()2V= πr h= π××1= ,故选 B.内有一个体积为V 的球 . 若AB ⊥A.4 πB.C.6 πD.答案 B解析由题意知要使球的体积最大,则它与直三棱柱的若干个面相切 .设球的半径为R,易得△ABC 的内切球的半径为=2,则 R≤ 2.因为 2R≤ 3,即 R≤ ,所以 V max= ,故选 B .4.(2015全国Ⅱ·9)已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB= 90°,C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC 体积的最大值为 36,则球 O 的表面积为 ()A.36 πB.64πC.144πD.256π答案 C解析由△AOB 面积确定 ,若三棱锥 O-ABC 的底面 OAB 的高最大 ,则其体积才最大 .因为高最大为半径 R,所以 V O-ABC =R2× R=36,解得 R=6,故 S 球 = 4πR2= 144π.新题演练提能·刷高分1.(2018河南六市一模)在三棱锥S-ABC 中 ,SB⊥ BC,SA⊥ AC,SB=BC,SA=AC ,AB=SC ,且三棱锥。

第10题空间几何体的三视图、体积、表面积与传统文化【考法】本主题的题型为选择填空题，主要考查简单几何体的三视图、由三视图求原几何体的表面积、体积、文科求体积占多数，理科则求面积居多，考查与简单几何体有关的传统文化，考查空间想象能力、运算求解能力，难度为中档或以下试题，分值为5分空间几何体的三视图【回顾】三视图是观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形.他具体包括：（1）正视图：物体前后方向投影所得到的投影图；它能反映物体的高度和长度；（2）侧视图：物体左右方向投影所得到的投影图；它能反映物体的高度和宽度；（3）俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图；它能反映物体的长度和宽度.2.三视图画法规则高平齐：主视图与左视图的高要保持平齐长对正：主视图与俯视图的长应对正宽相等：俯视图与左视图的宽度应相等【规律方法技巧】1.解决三视图问题的技巧：空间几何体的数量关系也体现在三视图中，正视图和侧视图的“高平齐”，正视图和俯视图的“长对正”，侧视图和俯视图的“宽相等”．也就是说正视图、侧视图的高就是空间几何体的高，正视图、俯视图中的长就是空间几何体的最大长度，侧视图、俯视图中的宽就是空间几何体的最大宽度．在绘制三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分的轮廓线用虚线表示出来，即“眼见为实、不见为虚”．在三视图的判断与识别中要特别注意其中的“虚线”．2.要切实弄清常见几何体(圆柱、圆锥、圆台、棱柱、棱锥、棱台、球)的三视图的特征，熟练掌握三视图的投影方向及正视图原理，才能迅速破解三视图问题，由三视图画出其直观图．3.解答三视图题目时：(1)可以从熟知的某一视图出发，想象出直观图，再验证其他视图是否正确；(2)视图中标注的长度在直观图中代表什么，要分辨清楚；(3)视图之间的数量关系：正俯长对正，正侧高平齐，侧俯宽相等．4．从能力上来看，三视图着重考查空间想象能力，即空间形体的观察分析和抽象的能力，要求是“四会”：①会画图——根据题设条件画出适合题意的图形或画出自己想作的辅助线(面)，作出的图形要直观、虚实分明；②会识图——根据题目给出的图形，想象出立体的形状和有关线面的位置关系；③会析图——对图形进行必要的分解、组合；④会用图——对图形或其某部分进行平移、翻折、旋转、展开或实行割补术；考查逻辑思维能力、运算能力和探索能力.【集训】1. 【河南省南阳市第一中学2019届第十九次考试】已知三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥内切球的半径为（）A．B．C．D．【答案】B2. 【2019年高考考前猜题卷之专家猜题卷】《九章算术》给出求羡除体积的“术”是：“并三广，以深乘之，又以袤乘之，六而一”.其中的“广”指羡除的三条平行侧棱的长，“深”指一条侧棱到另两条侧棱所在平面的距离，“袤”指这两条侧棱所在平行线之间的距离.用现代语言描述：在羡除中，，，，，两条平行线与间的距离为，直线到平面的距离为，则该羡除的体积为.已知某羡除的三视图如图所示，则该羡除的体积为（）A．B．C．D．【答案】C3.【河北省唐山2019届强化提升考试（一）】榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，榫和卯咬合，起到连接作用，代表建筑有：北京的紫禁城、天坛祈年殿、山西悬空寺等，如图所示是一种榫卯的三视图，其表面积为（）A．192B．186C．180D．198【答案】A【解析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为组合体，上部分是长方体，棱长分别为，下部分为长方体，棱长分别为，其表面积为，故选4.【上海市浦东新区2019届三模】正方体中,为棱的中点(如图)用过点的平面截去该正方体的上半部分,则剩余几何体的左视图为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意可知：过点、、的平面截去该正方体的上半部分，如图直观图，则几何体的左视图为D，故选D.5．【福建省漳州2019届期末复习综合卷1】某超市货架上摆放着某品牌红烧牛肉方便面，如图是它们的三视图，则货架上的红烧牛肉方便面至少有( )A．8桶B．9桶C．10桶D．11桶【答案】B【解析】易得第一层有桶，第二层最少有桶，第三层最少有桶，所以至少共有桶。

2019年高考数学二轮总复习第一部分专题攻略专题五立体几何十一空间几何体的三视图表面积和体积课时作业文1．沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的正视图、侧视图与俯视图分别为( )A．②①① B．②①②C．②④① D．③①①解析：由已知可得正视图应当是②，排除D；侧视图是一个正方形，中间的棱在侧视图中表现为一条对角线，对角线的方向应该从左上到右下，即侧视图应当是①，排除C；俯视图应当是①，排除B.故选A.答案：A2．某物体的三视图如图所示，根据图中数据可知该物体的表面积为( )A．4π B．5πC．8π D．9π解析：由三视图可知，该物体的表面积为S＝π×12＋π×1×152＋12＋4π×12＝9π.故选D.答案：D3．(xx·河北“五个一名校联盟”二模)如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A.23B.43C.83D ．4 解析：由三视图可知该几何体为四棱锥P －ABCD .如图所示，连接BD .该几何体的体积V ＝V B －PAD ＋V B －PCD ＝13×12×1×2×2＋13×12×1×2×2＝43.故选B.答案：B4．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．20＋2π B．20＋3π C ．24＋2π D．24＋3π解析：由三视图可知，该几何体为半圆柱与正方体的组合体，则其表面积S ＝12×2π×1×2＋12×π×12×2＋5×2×2＝20＋3π.故选B.答案：B5．(xx·浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A.π2＋1B.π2＋3C.3π2＋1 D.3π2＋3解析：由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面半径为1，高为3的圆锥的一半与一个底面为直角边长是2的等腰直角三角形，高为3的三棱锥的组合体，∴ 该几何体的体积V ＝13×12π×12×3＋13×12×2×2×3＝π2＋1.故选A. 答案：A6．(xx·广东广雅中学、江西南昌二中联考)某四面体的三视图如图所示，在该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是( )A ．2B ．4C ．2＋ 5D ．4＋2 5解析：由三视图可得原几何体如图所示，由三视图知该几何体的高PO ＝2，底面ABC 是边长为2的等腰直角三角形，平面PAC ⊥平面 ABC ，∠ACB ＝90°，则BC ⊥平面PAC ，所以BC ⊥PC ，所以直角三角形有△PBC 和△ACB ，易求得PC ＝22＋12＝5，又BC ＝2，所以S △PBC＝12×2×5＝5，又S △ABC ＝12×2×2＝2，所以该四面体的四个面中，直角三角形的面积和为2＋5，故选C.答案：C7．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的所有棱中，最大值是( )A. 2 B ．3 C ．3 2 D.10解析：由三视图可知，该几何体如图所示，其棱共有9条，AB ＝AD ＝BC ＝CF ＝3，AC ＝DF ＝32，BG ＝3＋1＝4，DG ＝FG ＝10，故该多面体的所有棱中，最大值为3 2.答案：C8．如图为某几何体的三视图，则该几何体的内切球的直径为( )A.12B ．1C ．2D ．4 解析：由三视图知，该几何体为四棱锥P －ABCD ，如图所示，设其内切球的半径为r ，所以V P －ABCD ＝13S ▱ABCD ×PD ＝13(S △PAD ＋S △PDC ＋S △PAB ＋S △PBC ＋S ▱ABCD )×r ，所以13×32×4＝13×(12×3×4＋12×3×4＋12×3×5＋12×3×5＋32)r ，解得r ＝1，所以该几何体的内切球的直径为2.答案：C9．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为( )A ．2B ．4＋2 2C ．4＋4 2D ．6＋4 2解析：由题可知，该几何体的底面为等腰直角三角形，等腰直角三角形的斜边长为2，腰长为2，棱柱的高为2.所以其侧面积S ＝2×2＋22×2＝4＋42，故选C.答案：C10．(xx·贵阳市检测)三棱锥P －ABC 的四个顶点都在体积为500π3的球的表面上，底面ABC 所在的小圆面积为16π，则该三棱锥的高的最大值为( )A ．4B ．6C ．8D ．10解析：依题意，设题中球的球心为O 、半径为R ，△ABC 的外接圆半径为r ，则4πR 33＝500π3，解得R ＝5，由πr 2＝16π，解得r ＝4，又球心O 到平面ABC 的距离为R 2－r 2＝3，因此三棱锥P －ABC 的高的最大值为5＋3＝8，选C.答案：C11．如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据(单位：cm)，可知此几何体的表面积是( )A ．24 cm 2B.643cm 2C ．(6＋25＋22)cm 2D ．(24＋85＋82)cm 2解析：如图，依题意可知四棱锥P －ABCD 是此几何体的直观图，在四棱锥P －ABCD 中，平面PAB 与底面ABCD 垂直，底面ABCD 是正方形，△PAD ≌△PBC ，△PAB 是等腰三角形，设M 是AB 的中点，N 是CD 的中点，连接PM 、PN 、MN ，由题知PM ＝AB ＝4，MN ＝4，PN ＝42，故此几何体的表面积为S ＝S正方形ABCD＋S △PAB ＋2S △PBC ＋S △PCD ＝4×4＋12×4×4＋2×12×4×25＋12×4×42＝(24＋85＋82)cm 2.所以选D.答案：D12．(xx·全国卷Ⅰ)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为( )A ．10B ．12C ．14D ．16解析：由三视图可知该多面体是一个组合体，下面是一个底面是等腰直角三角形的直三棱柱，上面是一个底面是等腰直角三角形的三棱锥，等腰直角三角形的腰长为2，直三棱柱的高为2，三棱锥的高为2，易知该多面体有2个面是梯形，这些梯形的面积之和为2＋4×22×2＝12，故选B. 答案：B13．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________．解析：由三视图可知，该几何体为一个半径为1的半球，其表面积为半个球面面积与截面面积的和，即12×4π＋π＝3π.答案：3π14．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别为线段AA 1，B 1C 上的点，则三棱锥D 1－EDF 的体积为________．解析：三棱锥D 1－EDF 的体积即为三棱锥F －DD 1E 的体积．因为E ，F 分别为AA 1，B 1C 上的点，所以在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中△EDD 1的面积为定值12，F 到平面AA 1D 1D 的距离为定值1，所以VF －DD 1E ＝13×12×1＝16.答案：1615．(xx·江苏卷)如图，在圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O 1O 2的体积为V 1，球O 的体积为V 2，则V 1V 2的值是________．解析：设球O 的半径为R ，∵ 球O 与圆柱O 1O 2的上、下底面及母线均相切， ∴ 圆柱O 1O 2的高为2R ，圆柱O 1O 2的底面半径为R .∴ V 1V 2＝πR 2·2R 43πR3＝32. 答案：3216．(xx·全国卷Ⅰ)如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O .D ，E ，F 为圆O 上的点，△DBC ，△ECA ，△FAB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△FAB ，使得D ，E ，F 重合，得到三棱锥．当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm 3)的最大值为________．解析：如图，连接OD 交BC 于点G ， 由题意知OD ⊥BC ，OG ＝36BC . 设OG ＝x ，则BC ＝23x ，DG ＝5－x ，三棱锥的高h ＝DG 2－OG 2＝25－10x ＋x 2－x 2＝25－10x ，S △ABC ＝12×23x ×3x ＝33x 2，则三棱锥的体积。

重点增分专题七 空间几何体的三视图、表面积及体积[全国卷3年考情分析](1)“立体几何”在高考中一般会以“两小一大”或“一小一大”的命题形式出现，这“两小”或“一小”主要考查三视图，几何体的表面积与体积，空间点、线、面位置关系(特别是平行与垂直)．(2)考查一个小题时，本小题一般会出现在第4～8题的位置上，难度一般；考查两个小题时，其中一个小题难度一般，另一小题难度稍高，一般会出现在第10～16题的位置上，本小题虽然难度稍高，主要体现在计算量上，但仍是对基础知识、基本公式的考查．考点一 空间几何体的三视图 保分考点·练后讲评 1.[由三视图还原直观图]下列三视图所对应的直观图是( )解析：选C 由三视图知，几何体的直观图下部是长方体，上部是圆柱，并且高相等，所以C 选项符合题意．2.[由部分视图判断余下视图]如图是一个空间几何体的正视图和俯视图，则它的侧视图为()解析：选A由正视图和俯视图可知，该几何体是由一个圆柱挖去一个圆锥构成的，结合正视图的宽及俯视图的直径可知侧视图应为A，故选A.3.[由直观图确定三视图](2018·全国卷Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()解析：选A由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示，由直观图可知其俯视图应选A.[解题方略]1．识别三视图的步骤(1)应把几何体的结构弄清楚或根据几何体的具体形状，明确几何体的摆放位置．(2)根据三视图的有关规则先确定正视图，再确定俯视图，最后确定侧视图．(3)被遮住的轮廓线应为虚线．2．由三视图还原到直观图的思路(1)根据俯视图确定几何体的底面．(2)根据正(主)视图或侧(左)视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置．(3)确定几何体的直观图形状．3．由几何体的部分视图判断剩余的视图的思路先根据已知的一部分视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．考点二几何体的表面积与体积增分考点·讲练冲关[典例](1)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中提到了一种名为“刍甍”的五面体，如图所示，四边形ABCD为矩形，棱EF∥AB.若此几何体中，AB＝4，EF＝2，△ADE和△BCF都是边长为2的等边三角形，则该几何体的表面积为()A．83B．8＋8 3C．62＋2 3 D．8＋62＋2 3(2)(2017·全国卷Ⅱ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为()A．90πB．63πC．42πD．36π(3)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝1，BC＝2，BB1＝3，∠ABC＝90°，点D为侧棱BB1上的动点．当AD＋DC1最小时，三棱锥D-ABC1的体积为________．[解析](1)如图所示，取BC的中点P，连接PF，则PF⊥BC，过F作F Q⊥AB，垂足为Q.因为△ADE和△BCF都是边长为2的等边三角形，且EF∥AB，所以四边形ABFE为等腰梯形，FP＝3，则B Q＝12－B Q2＝3，2(AB－EF)＝1，F Q＝BF所以S梯形EFBA＝S梯形EFCD＝12×(2＋4)×3＝33，又S△ADE＝S△BCF＝12×2×3＝3，S矩形ABCD＝4×2＝8，所以该几何体的表面积S＝33×2＋3×2＋8＝8＋8 3.故选B.(2)法一：(分割法)由题意知，该几何体是一个组合体，下半部分是一个底面半径为3，高为4的圆柱，其体积V1＝π×32×4＝36π；上半部分是一个底面半径为3，高为6的圆柱的一半，其体积V2＝12×6＝27π.2×π×3所以该组合体的体积V ＝V 1＋V 2＝36π＋27π＝63π.法二：(补形法)由题意知，该几何体是一圆柱被一平面截去一部分后所得的几何体，在该几何体上方再补上一个与其相同的几何体，让截面重合，则所得几何体为一个圆柱，该圆柱的底面半径为3，高为10＋4＝14，该圆柱的体积V 1＝π×32×14＝126π.故该几何体的体积为圆柱体积的一半，即V ＝12V 1＝63π.(3)将平面AA 1B 1B 沿着B 1B 旋转到与平面CC 1B 1B 在同一平面上(点B 在线段AC 上)，连接AC 1与B 1B 相交于点D ，此时AD ＋DC 1最小，BD ＝13CC 1＝1.因为在直三棱柱中，BC⊥AB ，BC ⊥BB 1，且BB 1∩AB ＝B ，所以BC ⊥平面AA 1B 1B ，又CC 1∥平面AA 1B 1B ，所以V 三棱锥D -ABC 1＝V 三棱锥C 1-ABD ＝V 三棱锥C -ABD ＝13S △ABD ·BC ＝13×12×1×1×2＝13. [答案] (1)B (2)B (3)13[解题方略]1．求几何体的表面积的方法(1)求表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面图形问题，即空间图形平面化，这是解决立体几何的主要出发点．(2)求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差求得所给几何体的表面积．2．求空间几何体体积的常用方法[多练强化]1．(2018·全国卷Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1，O 2，过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( )A ．122πB ．12πC ．82πD ．10π解析：选B 设圆柱的轴截面的边长为x ，则x 2＝8，得x ＝22，∴S 圆柱表＝2S 底＋S 侧＝2×π×(2)2＋2π×2×2 2 ＝12π.故选B.2．(2019届高三·湖北五校联考)某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是( )A ．13B ．14C ．15D ．16解析：选C 所求几何体可看作是将长方体截去两个三棱柱得到的几何体，在长方体中还原该几何体如图中ABCD -A ′B ′C ′D ′所示，长方体的长、宽、高分别为4,2,3，两个三棱柱的高为2，底面是两直角边长分别为3和1.5的直角三角形，故该几何体的体积V ＝4×2×3－2×12×3×32×2＝15.3．如图，在正三棱柱ABC -A1B 1C 1中，已知AB ＝AA 1＝3，点P 在棱CC 1上，则三棱锥P -ABA 1的体积为_______．解析：由题意，得V 三棱锥P -ABA 1＝V三棱锥C -ABA 1＝V三棱锥A 1-ABC ＝13S △ABC ·AA 1＝13×34×32×3＝934. 答案：934考点三 多面体与球的切、接问题 增分考点深度精研[析母题——高考年年“神”相似][典例] 在三棱锥P -ABC 中，△ABC 为等边三角形，PA ＝PB ＝PC ＝3，PA ⊥PB ，三棱锥P -ABC 的外接球的体积为( )A.272π B.2732πC ．273πD ．27π[解析] ∵在三棱锥P -ABC 中，△ABC 为等边三角形，PA ＝PB ＝PC ＝3，∴△PAB ≌△PBC ≌△PAC .∵PA ⊥PB ，∴PA ⊥PC ，PC ⊥PB .以PA ，PB ，PC 为过同一顶点的三条棱作正方体(如图所示)， 则正方体的外接球同时也是三棱锥P -ABC 的外接球． ∵正方体的体对角线长为32＋32＋32＝33，∴其外接球半径R ＝332.因此三棱锥P -ABC 的外接球的体积V ＝4π3×⎝⎛⎭⎫3323＝2732π.[答案] B[练子题——高考年年“形”不同]1．在本例条件下，求三棱锥P -ABC 的内切球的半径为________． 解析：由本例解析知， S △PAB ＝S △PBC ＝S △PAC ＝92，S △ABC ＝12×32×32×sin 60°＝932.设三棱锥P -ABC 的内切球的半径为r ，则V P -ABC ＝13AP ·S △PBC ＝13(S △PAC ＋S △PBA ＋S △PBC ＋S △ABC )r ， ∴13×3×92＝13⎝⎛⎭⎫92×3＋932r ， 解得r ＝3－32，∴所求三棱锥内切球的半径为3－32.答案：3－322．若本例变为：已知A，B，C，D是球O上不共面的四点，且AB＝BC＝AD＝1，BD ＝AC＝2，BC⊥AD，则球O的体积为________．解析：因为AB＝BC＝1，AC＝2，所以AB2＋BC2＝AC2，所以BC⊥AB，又BC⊥AD，AD∩AB＝A，所以BC⊥平面ABD.因为AB＝AD＝1，BD＝2，所以AB2＋AD2＝BD2，所以AB⊥AD，此时可将点A，B，C，D看成棱长为1的正方体上的四个顶点，球O为正方体的外接球，设球O的半径为R，故2R＝12＋12＋12，所以R＝32，则球O的体积V＝43πR3＝32π.答案：3 2π[解题方略]1．空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与几何体的位置和数量关系．(2)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(3)补成正方体、长方体、正四面体、正棱柱、圆柱等规则几何体．2．与球有关的组合体的常用结论(1)长方体的外接球：①球心：体对角线的交点；②半径：r＝a2＋b2＋c22(a，b，c为长方体的长、宽、高)．(2)正方体的外接球、内切球①外接球：球心是正方体中心，半径r＝32a(a为正方体的棱长)；②内切球：球心是正方体中心，半径r＝a2(a为正方体的棱长)．[多练强化]1．(2018·福州质检)已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面积为334，一个侧面的周长为63，则正三棱柱ABC-A1B1C1外接球的表面积为() A．4πB．8πC．16πD．32π解析：选C 如图所示，设底面边长为a ，则底面面积为34a 2＝334，所以a ＝ 3.又一个侧面的周长为63，所以AA 1＝2 3.设E ，D 分别为上、下底面的中心，连接DE ，设DE 的中点为O ，则点O 即为正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的外接球的球心，连接OA 1，A 1E ，则OE ＝3，A 1E ＝3×32×23＝1.在Rt △OEA 1中，OA 1＝12＋(3)2＝2，即外接球的半径R ＝2，所以外接球的表面积S ＝4πR 2＝16π.2．(2019届高三·武昌调研)已知底面半径为1，高为3的圆锥的顶点和底面圆周都在球O 的球面上，则球O 的表面积为( )A.323π27B ．4π C.16π3D ．12π解析：选C 如图，△ABC 为圆锥的轴截面，O 为其外接球的球心，设外接球的半径为R ，连接OB ，OA ，并延长AO 交BC 于点D ，则AD ⊥BC ，由题意知，AO ＝BO ＝R ，BD ＝1，AD ＝3，则在 Rt△BOD 中，有R 2＝(3－R )2＋12，解得R ＝233，所以外接球O 的表面积S ＝4πR 2＝16π3，故选C.3．(2018·全国卷Ⅲ)设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D -ABC 体积的最大值为( )A ．12 3B ．18 3C ．24 3D ．54 3解析：选B 由等边△ABC 的面积为93，可得34AB 2＝93，所以AB ＝6，所以等边△ABC 的外接圆的半径为r ＝33AB ＝2 3.设球的半径为R ，球心到等边△ABC 的外接圆圆心的距离为d ，则d ＝R 2－r 2＝16－12＝2.所以三棱锥D -ABC 高的最大值为2＋4＝6，所以三棱锥D -ABC 体积的最大值为13×93×6＝18 3.4.(2017·江苏高考)如图，在圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O 1O 2的体积为V 1，球O 的体积为V 2，则V 1V 2的值是________．解析：设球O 的半径为R ，因为球O 与圆柱O 1O 2的上、下底面及母线均相切，所以圆柱的底面半径为R 、高为2R ，所以V 1V 2＝πR 2·2R 43πR 3＝32.答案：32直观想象——三视图中相关问题的求解[典例] 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于( )A ．2π＋4B ．4π＋2 C.2π3＋4 D.4π3＋8[解析] 由三视图可知，该几何体的直观图为左侧半球、中间正方体、右侧圆锥的组合体．其中，半球的半径r 1与圆锥的底面半径r 2相等，皆为1，即r 1＝r 2＝1，正方体的棱长a ＝2，圆锥的高h ＝2.所以半球的体积V 1＝12×4π3r 31＝12×4π3×13＝2π3， 正方体的体积V 2＝a 3＝23＝8，圆锥的体积V 3＝13×πr 22h ＝13×π×12×2＝2π3. 所以该组合体的体积V ＝V 1＋V 2＋V 3＝2π3＋8＋2π3＝4π3＋8.故选D. [答案] D [素养通路]本题以组合体的三视图为背景，主要是根据几何体的三视图及三视图中的数据，求几何体的体积或侧(表)面积．此类问题难点：一是根据三视图的形状特征确定几何体的结构特征；二是将三视图中的数据转化为几何体的几何度量．考查了直观想象这一核心素养．[专题过关检测] 一、选择题1．如图所示是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是( )解析：选D 先观察俯视图，由俯视图可知选项B 和D 中的一个正确，由正视图和侧视图可知选项D 正确．2．设一个球形西瓜，切下一刀后所得切面圆的半径为4，球心到切面圆心的距离为3，则该西瓜的体积为( )A ．100π B.2563π C.4003π D.5003π解析：选D 因为切面圆的半径r ＝4，球心到切面的距离d ＝3，所以球的半径R ＝r 2＋d 2＝42＋32＝5，故球的体积V ＝43πR 3＝43π×53＝5003π，即该西瓜的体积为5003π.3．(2019届高三·开封高三定位考试)某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为( )A ．4πB ．2πC.4π3 D ．π解析：选B 由题意知该几何体的直观图如图所示，该几何体为圆柱的一部分，设底面扇形的圆心角为α，由tan α＝31＝3，得α＝π3，故底面面积为12×π3×22＝2π3，则该几何体的体积为2π3×3＝2π. 4．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为( )A ．2B ．4＋2 2C ．4＋4 2D ．4＋62解析：选C 由三视图知，该几何体是直三棱柱ABC -A 1B 1C 1，其直观图如图所示，其中AB ＝AA 1＝2，BC ＝AC ＝2，∠C ＝90°，侧面为三个矩形，故该“堑堵”的侧面积S ＝(2＋22)×2＝4＋4 2.5．(2018·惠州二调)如图，某几何体的三视图是三个全等的等腰直角三角形，且直角边长都等于1，则该几何体的外接球的体积为( ) A.12π B.32π C ．3π D.43π解析：选B 还原几何体为如图所示的三棱锥A -BCD ，将其放入棱长为1的正方体中，如图所示，则三棱锥A -BCD 外接球的半径R ＝32，该几何体的外接球的体积V ＝43πR 3＝32π，故选B. 6．已知某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是( )A.43cm 3 B.83 cm 3 C ．2 cm 3 D ．4 cm 3解析：选B 由三视图可知，该几何体为底面是正方形，且边长为2 cm ，高为2 cm 的四棱锥，如图，故V ＝13×22×2＝83(cm 3)． 7．如图，已知△EAB 所在的平面与矩形ABCD 所在的平面互相垂直，EA ＝EB ＝3，AD ＝2，∠AEB ＝60°，则多面体E -ABCD 的外接球的表面积为( )A.16π3B ．8πC ．16πD ．64π解析：选C 由题知△EAB 为等边三角形，设球心为O ，O 在平面ABCD 的射影为矩形ABCD 的中心，O 在平面ABE 上的射影为△EAB 的重心G ，又由平面EAB ⊥平面ABCD ，则△OGA 为直角三角形，OG ＝1，AG ＝3，所以R 2＝4，所以多面体E -ABCD 的外接球的表面积为4πR 2＝16π.8．(2018·昆明摸底)古人采取“用臼舂米”的方法脱去稻谷的外壳，获得可供食用的大米，用于舂米的“臼”多用石头或木头制成．一个“臼”的三视图如图所示，则凿去部分(看成一个简单的组合体)的体积为( )A ．63πB ．72πC ．79πD ．99π解析：选A 由三视图得凿去部分是圆柱与半球的组合体，其中圆柱的高为5，底面圆的半径为3，半球的半径为3，所以组合体的体积为π×32×5＋12×43π×33＝63π. 9．(2019届高三·武汉调研)一个几何体的三视图如图所示，则它的表面积为( )A ．28B ．24＋2 5C ．20＋4 5D ．20＋2 5解析：选B 根据该几何体的三视图作出其直观图如图所示，可知该几何体是一个底面是梯形的四棱柱．根据三视图给出的数据，可得该几何体中梯形的上底长为2，下底长为3，高为2，所以该几何体的表面积S ＝ 12×(2＋3)×2×2＋2×2＋2×3＋2×2＋2×22＋12＝24＋25，故选B.10.如图是一个几何体的三视图，其中正视图是边长为2的等边三角形，侧视图是直角边长分别为1和3的直角三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的内接三棱锥的体积的最大值为( ) A.36 B.33 C.433D.3π3解析：选B 由三视图可知该几何体为半个圆锥，圆锥的母线长l ＝2，底面半径r ＝1，高h ＝ 3.由半圆锥的直观图可得，当三棱锥的底面是斜边，为半圆直径，高为半径的等腰直角三角形，棱锥的高为半圆锥的高时，其内接三棱锥的体积达到最大值，最大体积为V ＝13×12×2×1×3＝33，故选B. 11．(2019届高三·贵阳摸底考试)某实心几何体是用棱长为1 cm 的正方体无缝粘合而成的，其三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．50 cm 2B ．61 cm 2C ．84 cm 2D ．86 cm 2解析：选D 根据题意可知该几何体由3个长方体(最下面长方体的长、宽、高分别为5 cm,5 cm, 1 cm ；中间长方体的长、宽、高分别为3 cm,3 cm,1 cm ；最上面长方体的长、宽、高分别为1 cm,1 cm,1 cm)叠合而成，长、宽、高分别为5 cm,5 cm,1 cm 的长方体的表面积为2(5×5＋5×1＋5×1)＝2×35＝70(cm 2)；长、宽、高分别为3 cm,3 cm,1 cm 的长方体的表面积为2(3×3＋3×1＋3×1)＝2×15＝30(cm 2)；长、宽、高分别为1 cm ，1 cm,1 cm 的长方体的表面积为2(1×1＋1×1＋1×1)＝2×3＝6(cm 2)．由于几何体的叠加而减少的面积为2×(3×3)＋2×(1×1)＝2×10＝20(cm 2)，所以所求表面积为70＋30＋6－20＝86(cm 2)．12．在棱长为3的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 在线段BD 1上，且BP PD 1＝12，M 为线段B 1C 1上的动点，则三棱锥M -PBC 的体积为( )A ．1B.32C.92 D ．与M 点的位置有关解析：选B ∵BP PD 1＝12，∴点P 到平面BCC 1B 1的距离是D 1到平面BCC 1B 1距离的13，即为D 1C 13＝1.M 为线段B 1C 1上的点，∴S △MBC ＝12×3×3＝92， ∴V M -PBC ＝V P -MBC ＝13×92×1＝32.13．(2018·洛阳尖子生第一次联考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．2B ．1 C.23 D.13解析：选C 由题图可知该几何体是一个四棱锥，如图所示，其中PD⊥平面ABCD ，底面ABCD 是一个对角线长为2的正方形，底面积S ＝12×2×2＝2，高h ＝1，则该几何体的体积V ＝13Sh ＝23，故选C.14．(2018·武汉调研)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.12B.22C.33D.23解析：选D 由三视图知，该几何体是在长、宽、高分别为2,1,1的长方体中，截去一个三棱柱AA 1D 1-BB 1C 1和一个三棱锥C -BC 1D 后剩下的几何体，即如图所示的四棱锥D -ABC 1D 1，四棱锥D -ABC 1D 1的底面积为S 四边形ABC 1D 1＝2×2＝22，高h ＝22， 其体积V ＝13S 四边形ABC 1D 1h ＝13×22×22＝23. 15．(2019届高三·安徽知名示范高中联考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．1B.12C.13D.14解析：选C 法一：该几何体的直观图为如图所示的四棱锥S -ABCD ，SD ⊥平面ABCD ，且SD ＝1，四边形ABCD 是平行四边形，且AB ＝DC＝1，连接BD ，由题意知BD ⊥DC ，BD ⊥AB ，且BD ＝1，所以S四边形ABCD ＝1，所以V S -ABCD ＝13S 四边形ABCD ·SD ＝13. 法二：由三视图易知该几何体为锥体，所以V ＝13Sh ，其中S 指的是锥体的底面积，即俯视图中四边形的面积，易知S ＝1，h 指的是锥体的高，从正视图和侧视图易知h ＝1，所以V ＝13Sh ＝13. 16．(2018·福州质检)已知三棱锥P -ABC 的四个顶点都在球O 的表面上，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，且PA ＝8.若平面ABC 截球O 所得截面的面积为9π，则球O 的表面积为( )A ．10πB ．25πC ．50πD ．100π 解析：选D 设球O 的半径为R ，由平面ABC 截球O 所得截面的面积为9π，得△ABC 的外接圆的半径为3.设该外接圆的圆心为D ，因为AB ⊥BC ，所以点D 为AC 的中点，所以DC ＝3.因为PA ⊥平面ABC ，易证PB ⊥BC ，所以PC 为球O 的直径．又PA ＝8，所以OD ＝12PA ＝4，所以R ＝OC ＝42＋32＝5，所以球O 的表面积为S ＝4πR 2＝100π.二、填空题17．一个四棱锥的三视图如图所示，其中侧视图为正三角形，则该四棱锥的体积是________．解析：由四棱锥的三视图可知，该四棱锥的直观图如图中四棱锥P -ABCD 所示，底面ABCD 为边长为1的正方形，△PAD 是边长为1的等边三角形，作PO ⊥AD 于点O ，则O 为AD 的中点，所以四棱锥的体积为V ＝13×1×1×32＝36. 答案：3618.如图，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D 为棱AA 1的中点．若AA 1＝4，AB ＝2，则四棱锥B -ACC 1D 的体积为________．解析：取AC 的中点O ，连接BO (图略)，则BO ⊥AC ，所以BO ⊥平面ACC 1D .因为AB ＝2，所以BO ＝ 3.因为D 为棱AA 1的中点，AA 1＝4，所以AD ＝2，所以S 梯形ACC 1D ＝12×(2＋4)×2＝6， 所以四棱锥B -ACC 1D 的体积为13×6×3＝2 3. 答案：2 319.如图，半径为4的球O 中有一内接圆柱，则圆柱的侧面积最大值是________．解析：设圆柱的上底面半径为r ，球的半径与上底面夹角为α，则r ＝4cos α，圆柱的高为8sin α.所以圆柱的侧面积为32πsin 2α.当且仅当α＝π4时，sin 2α＝1，圆柱的侧面积最大，所以圆柱的侧面积的最大值为32π.答案：32π20．(2018·沈阳质检)已知在正四棱锥S-ABCD中，SA＝63，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为________．解析：设正四棱锥的底面正方形的边长为a，高为h，因为在正四棱锥S-ABCD中，SA＝63，所以a 22＋h2＝108，即a2＝216－2h2，所以正四棱锥的体积V S-ABCD＝13a2h＝72h－23h3，令y＝72h－23h3，则y′＝72－2h2，令y′>0，得0<h<6，令y′<0，得h>6，所以当该棱锥的体积最大时，它的高为6.答案：6。