13.2-5三角形全等的条件(SSS )

全等三角形全等的条件
全等三角形是指三角形的对应边和对应角相等。

全等三角形的
条件包括SSS（边-边-边）、SAS（边-角-边）、ASA（角-边-角）
和AAS（角-角-边）四种情况。

1. SSS（边-边-边），如果两个三角形的三条边分别相等，则
这两个三角形全等。

2. SAS（边-角-边），如果两个三角形中，一个三角形的两边
和夹角分别等于另一个三角形的两边和夹角，则这两个三角形全等。

3. ASA（角-边-角），如果两个三角形的一个角和两边分别等
于另一个三角形的一个角和两边，则这两个三角形全等。

4. AAS（角-角-边），如果两个三角形的两个角和一边分别等
于另一个三角形的两个角和一边，则这两个三角形全等。

这些条件是用来判断两个三角形是否全等的依据，通过对应边
和对应角的相等性来确定三角形的全等关系。

这些条件在几何学中
有着重要的应用，可以帮助我们判断和证明三角形的全等关系。

证明全等三角形的所有条件全等三角形是指具有相等边长和相等角度的两个三角形。

要证明两个三角形全等，需要满足以下条件：条件一：SSS全等法（边边边全等法）如果两个三角形的三条边分别相等，则可以得出两个三角形全等。

这是最基本的全等条件之一。

条件二：SAS全等法（边角边全等法）如果两个三角形的两条边和它们夹角分别相等，则可以得出两个三角形全等。

这个条件也十分常用。

条件三：ASA全等法（角边角全等法）如果两个三角形的两个角和它们夹边分别相等，则可以得出两个三角形全等。

这个条件在证明全等时也经常被使用。

条件四：AAS全等法（角角边全等法）如果两个三角形的两个角和它们未夹边的另一条边分别相等，则可以得出两个三角形全等。

这个条件也是证明全等的有效方法之一。

条件五：HL全等法（斜边-高全等法）如果两个三角形的斜边和它们的高分别相等，则可以得出两个三角形全等。

这个条件在特殊情况下使用较多。

条件六：LL全等法（斜边-斜边全等法）如果两个三角形的两个斜边分别相等，则可以得出两个三角形全等。

这个条件在特殊情况下使用较多。

以上是证明全等三角形的六个常用条件。

在证明过程中，需要利用这些条件进行推理和演算。

例如，在使用SSS全等法时，可以根据两个三角形的对应边相等，以及三角形内角和为180度的性质，推导出其他相等的边和角。

除了以上条件，还有一些三角形性质可以用于证明全等。

例如，等腰三角形的底边上的角相等，可以通过证明两个三角形的两个角分别相等，进而得出全等。

在证明过程中，还可以利用一些性质和定理辅助推导。

例如，角的对应弧相等定理、角的平分线定理、三角形的中线定理等等。

总结起来，证明全等三角形的条件有SSS全等法、SAS全等法、ASA 全等法、AAS全等法、HL全等法和LL全等法。

在证明过程中，需要灵活运用这些条件和相关的性质定理，进行逻辑推理和演算。

通过严密的证明，可以得出两个三角形全等的结论。

三角形全等的条件·要点全析1．探索三角形全等的条件三角形有三条边，三个内角共六个基本元素，全等三角形的六个元素都分别对应相等．反过来，如果两个三角形的三组边对应相等并且三组角也对应相等．那么它们必定可以重合，根据定义，它们一定全等．但是，判定两个三角形全等真的需要六个条件吗？探索发现：两个三角形满足一个条件（一条边或一个内角相等）或两个条件都不能确定它们是否全等，而满足三个适当的条件就可以判定两三角形全等．2．三角形全等的条件一：“SSS ”或“边边边”（1）SSS ：三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS ”．（2）书写格式：如图13-2-1．在△ABC 和△A ′B ′C ′中，①⎪⎩⎪⎨⎧''''''，＝，＝，＝C B BC C A AC B A AB ② ∴ △ABC ≌△A ′B ′C ′（SSS ）．③（3）书写格式的步骤分三步：第一步：指出在哪两个三角形中．如上边的①，在△ABC 和△A ′B ′C ′中． 第二步：按条件中的边角顺序列出三个条件．如上边的②． 第三步；写出结论，如上边的③，△ABC ≌△A ′B ′C ′（SSS ）．【说明】①第一步中，两个三角形之间的“和”不能写成“≌”，也不能取消．②第二步中，大括号内的三个条件的书写是有顺序的，必须与判定条件一致，并且注意边、角字母的对应．一般前一个三角形的边、角写在等号的左边，另一个三角形的对应边、角写在右边．③写结论时，注意对应顶点写在对应位置上，并在后面的括号内注明判定条件的简写，如“SSS ”或“边边边”．例如：如图13-2-2．已知AB ＝AC ，D 为BC 中点．试说明∠B ＝∠C 是否成立，为什么？解：∠B ＝∠C 成立．∵ D 为BC 中点，∴ BD ＝CD ．在△ABD 和△ACD 中，⎪⎩⎪⎨⎧（公共边），＝（已证），＝（已知），＝AD AD CD BD AC AB∴ △ABD ≌△ACD （SSS ）．∴ ∠B ＝∠C （全等三角形的对应角相等）．【说明】①在本例中使用了证明的格式．②在本例中的最后两步中有两个“∴”符号，前一个“∴”，是由前面大括号内的三个条件得出的．后一个“∴”，是将前一个“∴”当成了“∵”，然后推出后一个“∴”，这里省略了一步：∵△ABD ≌△ACD ．因此，今后在书写中要注意．3．三角形全等的条件二：“边角边”或“SAS ”（1）SAS ：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简记为“SAS ”．（2）表达格式为在△ABC 和△DEF 中（图13-2-3）⎪⎩⎪⎨⎧∠∠，＝，＝，＝EF BC DEF ABC DE AB∴ △ABC ≌△DEF （SAS ）．例如：如图13-2-4中，AD 、BC 相交于点O ．OA ＝OD ，OB ＝OC ，那么AB ＝DC 是否成立．解：∵ AD 、BC 相交于点O ，∴ ∠AOB ＝∠DOC （对顶角相等）．在△AOB 和△DOC 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠∠（已知）＝（已证），＝（已知），＝OC OB DOC AOB OD OA∴ △AOB ≌△DOC （SAS ）．∴ AB ＝DC【说明】本题中，书写三条件时，应该按边、角、边的顺序，将两边的夹角放在中间，用括号括起来；或者写成一行，也按边、角、边的顺序，将两边的夹角放在中间，再推出两个三角形全等．4．三角形全等的条件三：“角边角”或“ASA ”（1）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA ”．（2）表达格式：如图13-2-5，在△ABC 和△DEF 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠∠∠∠，＝，＝，＝DEF B DE AB D A ∴ △ABC ≌△DEF （AAS ）．5．三角形全等的条件四：“角角边”或“AAS ”（1）有两角和一边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS ”．（2）表达格式，如图13-2-5，在△ABC 和△DEF 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠∠∠∠，＝，＝，＝EF BC D A DEF B ∴ △ABC ≌△DEF （AAS ）．例如：如图13-2-6中，AB ∥CD ，AE ∥DF ，AB ＝CD ．求证：AE ＝DF ．证明：∵ AB ∥CD ，∴ ∠ABC ＝∠DCB ．∵ AE ∥DF ，∴ ∠AEB ＝∠DFC ．在△ABE 和△DCF 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠∠∠∠，＝，＝（已证），＝DF AE DFC AEB DCF ABC∴ △ABE ≌△DCF （AAS ）．∴ AE ＝DF ．6．直角三角形全等的条件：“斜边、直角边”或“HL ”（1）HL ：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL ”．（2）表达格式：如图13-2-7，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，AB ＝AC 在Rt △ABD 和Rt △ACD 中，⎩⎨⎧，＝，＝AD AD AC AB∴ Rt △ABD ≌Rt △ACD （HL ）（3）直角三角形是三角形中的一种特殊情况，因此，它也可以用一般三角形全等的条件．如两条直角边对应相等，可用“SAS ”，一边一锐角对应相等可用“ASA ”或“AAS ”．它的特殊条件就是“斜边、直角边”．7．“角角角”与“边边角”在三角形全等的条件中，上面已说过的有：三边的SSS ，两边一角的SAS 和一边两角的ASA ，AAS ，那么“AAA ”和“SSA ”能否成为三角形全等的条件呢？（1）有三个角对应相等的两个三角形不一定全等，如图13-2-8，DE ∥BC ，则∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C ，∠A ＝∠A ，△ADE 与△ABC 有三角对应相等，但它们没有重合，所以不全等．（2）如图13-2-9，在△ABC 与△ABD 中，AB ＝AB ，AC ＝AD ，∠B ＝∠B ，但△ABC 与△ABD 不完全重合，故不全等．也就是有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等．8．证明的意义和步骤（1）证明的意义证明是由题设（已知）出发，经过一步步的推理，最后推出结论（求证）正确的过程，简单地说，证明就是推理过程．（2）证明的步骤证明一个命题为正确的时候，其步骤如下：①弄清命题的条件和结论，画出图形．②根据条件，结合图形，写出已知．③根据结论，结合图形、写出求证．④写出证明过程．证明一个命题不正确的时候，只需举出一个反例即可．例如：若a 2＝b 2，则a ＝b ．这是一个错误命题，证明如下．证明：∵ （－5）2＝52＝25，而－5≠5．∴ 若a 2＝b 2，则a ＝b ，是一个错误命题．9．证明题目时常用的三种方法在探索三角形全等的过程中，经常要遇到条件不足或结论不易寻找等问题，如何分析条件与结论之间的关系，常用的分析方法有以下三种：（1）综合法就是从题目的已知条件入手，根据已学过的定义、定理、性质、公理等，逐步推出要判断的结论，有时也叫“由因导果法”．例如：如图13-2-10，在△ABC 中，D 是BC 的中点，DE ∥AB ，DF ∥AC ，分别交AC 、AB 于点E 、F ．求证：BF ＝DE ．分析：从已知条件到推出结论，其探索过程如下⇒⎪⎭⎪⎬⎫∠∠⇒⇒∠∠⇒C BDF AC DF CD BD BC D CDE B AB DE ＝∥＝的中心是＝∥△BFD ≌△DEC （ASA ） ⇒BF ＝DE （目标）．以上这种由因导果的方法就是综合法．（2）分析法就是从要判断的结论出发，根据已学的定义、定理、公理、性质等，倒过来寻找能使结论成立的条件，这样一步步地递求，一直追溯到结论成立的条件与已知条件相吻合为止，有时也叫“执果索因法”．如上题，用分析法的探索过程如下：BF ＝DE ⇒△BFD ≌△DEC ⇒⎪⎩⎪⎨⎧⇒⇒∠∠⇒⇒⇒⇒∠∠已知∥＝已知中点是＝已知∥＝AC DF C BDF BC D CD BD AB DE CDE B（3）分析—综合法在实际的思考过程中，往往需要使用这两种方法，先从结论出发，想一想需要什么条件，层层逆推，当思维遇到障碍时，再从条件出发，顺推几步，看可以得出什么结论，从而两边凑，直至沟通“已知”和“结论”的两个方面． 即：例如：如图13-2-11，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，E 是AD 上任一点，连接EB 、EC ，求证：EB ＝EC ．分析：本题比较复杂，可用上述的三个方法均可，现在以分析一综合法为例，说明分析过程．先用综合：由因导果．⇒⎪⎭⎪⎬⎫⇒CD BD D AD AD AC AB ＝为中心＝＝△ABD ≌△ACD ⇒⎩⎨⎧∠∠∠∠．＝，＝CDA BDA CAD BAD再用分析：执果索因．EB ＝EC ⇒△ABE ≌△ACE ⇒⎪⎩⎪⎨⎧⇒∠∠⇒已知＝＝已知＝AE AE CAEBAE AC AB ⇒△ABD ≌△ACD ． 证明：∵ D 是BC 的中心，∴ BD ＝CD ．在△ABD 和△ACD 中⎪⎩⎪⎨⎧（公共边），＝（已证），＝（已知），＝AD AD CD BD AC AB∴ △ABD ≌△ACD （SSS ）．∴ ∠BAD ＝∠CAD ．在△ABE 和△ACE 中⎪⎩⎪⎨⎧∠∠（公共边）＝（已证），＝（已知），＝AE AE CAE BAE AC AB∴ △ABE ≌△ACE （SAS ）．∴ BE ＝CE （全等三角形的对应边相等）．【说明】①本题证明过程中，后一次三角形全等，也可选△BDE ≌△CDE ，方法同上．②本题两次用到全等三角形，在分析中应找准三角形，理清思路．10．判定两个三角形全等方法的选择在学过本节内容之后，经常会遇到判定两条线段相等，两个角相等的问题，而要判断它们相等，就要考虑选择三角形全等．如何选择三角形呢？可考虑以下四个方面：（1）可以从判断的结论（线段或角）出发，寻找这些结论在哪两个可能的全等三角形中，就试着判定两个三角形全等．（2）可以从题目的已知条件出发，看已知条件能确定哪两个三角形全等就判定它们全等．（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后判定它们全等．（4）如果以上方法都行不通，可考虑添加辅助线的办法，构造三角形全等．例如：如图13-2-12，已知AB＝AC，BD＝CD，试判断∠B与∠C的关系，并说明理由．分析：要判断∠B与∠C的关系，先看∠B与∠C是否在两个全等三角形中，而此题没有两个全等三角形，只有一个四边形，目前由已知条件四边形ABDC，要创造三角形，可以连接AD或BC，那么连接谁更合适呢？若连接AD，则∠B、∠C分在左、右两个三角形中，若全等，则∠B＝∠C，事实上，∠B＝∠C，若连接BC，则∠B、∠C分在上、下两个三角形中，根据目前所学知识还不能确定∠B＝∠C因此，连接AD较为合适．解：∠B＝∠C连接AD，在△ABD和△ACD中，AB＝AC，BD＝CD，AD＝AD（公共边），∴△ABD≌△ACD（SSS）．∴∠B＝∠C12．探索三角形全等时常作的辅助线在利用三角形全等进行解题时，有时题目所给条件不足或不明显，还需从题目本身或图形中挖掘它的隐含条件，还有的需加上一些辅助线，为解题铺路搭桥，起到很好的辅助作用，这些辅助线常见的有以下几种：（1）连接图形中的已知点，构造全等形．例如：如图13-2-13，已知AC 、BD 相交于O 点，且AB ＝CD ，AC ＝BD ，判断∠A 与∠D 的关系，并说明理由．解：∠A ＝∠D ．连接BC ，在△ABC 与△DCB 中，AB ＝DC ，AC ＝DB ，BC ＝CB ，则△ABC ≌△DCB （SSS ）．因此∠A ＝∠D ．（2）取线段中点构造全等三角形．例如：如图13-2-14，已知在梯形ABCD 中，AB ＝DC ，∠A ＝∠D ，试判断∠ABC 与∠DCB 的关系，并说明理由．解：∠ABC ＝∠DCB ．取AD 的中点N ，取月C 的中点M ．连接MN 、BN 、CN ，则AN ＝DN ，BM ＝CM ，在△ABN 和△DCN 中，⇒⎪⎭⎪⎬⎫∠∠DC AB D A DN AN ＝＝＝△ABN ≌△DCN ，则∠ABN ＝∠DCN ，NB ＝NC （全等三角形的对应角、对应边相等）． 在△BMN 和△CMN 中，⇒⎪⎭⎪⎬⎫MN MN CM BM CN BN ＝＝＝△BMN ≌△CMN ， 则∠MBN ＝∠MCN （全等三角形的对应角相等）．那么∠ABN ＋∠MBN ＝∠DCN ＋∠MCN ．即∠ABC ＝∠DCB ．【说明】在本题中，辅助线起到了很好的桥梁作用，为解题创造了条件．（3）有角平分线时，常在角两边截相等的线段，创造全等三角形．如图13-2-15，OC平分∠AOB，在OC上任取一点P，在OA、OB上截取OM＝ON，连接PM、PN，那么，PM＝PN．事实上，在△MOP和△NOP中，OM＝ON，∠MOP＝∠NOP，OP＝OP，则△MOP≌△NOP（SSS）．因此有PM＝PN．（4）三角形中有中线时，常延长加倍中线，构造全等三角形．如图13-2-16，在△ABC中，AD为BC边上的中线，若延长AD至E，使AD＝DE，连接B E，在△ACD和△EBD中，BD＝CD，∠1＝∠2，AD＝ED，则△ACD≌△EBD，因此BE＝AC13．利用全等三角形解决实际问题的步骤全等三角形在日常生活、科技生产中有很多的用途，在用它解决实际问题时可分以下几个步骤：（1）先明确实际问题与哪些知识有关，确定用哪些知识来解决．（2）根据实际问题画出图形．（3）结合图形写出已知和结论．（4）分析已知，找出解决问题的途径．（5）写出解决问题的过程（或探索过程）．例如：如图13-2-17，要测河两岸相对的两点A、B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C、D使CD＝BC，再定出BF的垂线DE，使E、C、A三点在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长．你能用数学原理说明吗？分析：这是一个实际应用题，应先把其转化为数学问题，然后再解答．解：已知：AB⊥BF，DE⊥BF，A、C、E三点在一条直线上，BC＝DC．判断AB与DE是否相等？在△ABC和△DEC中，由于AB⊥BF，DE⊥BF，则∠ABC＝∠EDC＝90°，又A、C、E三点在一条直线上，则∠ACB＝∠ECD（对顶角）．又BC＝CD，则ABC≌△EDC（ASA），因此AB＝DE．。

三角形的全等条件在我们的数学世界中，三角形是一个非常重要的几何图形。

而判断两个三角形是否全等，有着特定的条件。

这些条件就像是一把把钥匙，能够帮助我们打开三角形全等的神秘之门。

首先，让我们来了解一下什么是三角形的全等。

简单地说，如果两个三角形能够完全重合，那么它们就是全等的。

这意味着它们的三条边和三个角都分别相等。

全等三角形的第一个条件是“边边边”（SSS）。

也就是说，如果两个三角形的三条边分别相等，那么这两个三角形就是全等的。

想象一下，我们有两个三角形，它们的三条边长度完全一样。

就好像我们用三根同样长度的木棍分别搭成了两个架子，这两个架子的形状肯定是一模一样的，能够完全重合。

接下来是“边角边”（SAS）条件。

当两个三角形的两条边及其夹角分别相等时，这两个三角形全等。

比如说，我们有两个三角形，其中两条边的长度相等，并且这两条边所夹的角也相等。

就像是一个固定了两条边和它们之间夹角的框架，无论怎么摆，形状都是确定的，所以这样的两个三角形也是全等的。

然后是“角边角”（ASA）条件。

如果两个三角形的两个角及其夹边分别相等，那么这两个三角形全等。

可以这样理解，当我们确定了三角形的两个角和它们之间的那条边，就相当于确定了三角形的形状和大小，所以这样的两个三角形必然全等。

还有“角角边”（AAS）条件。

当两个三角形的两个角和其中一个角的对边分别相等时，这两个三角形全等。

这就好比我们知道了三角形的两个角，以及其中一个角所对的边，也就能够确定这个三角形的形状和大小了。

除了以上这些常见的全等条件，还有一个特殊的情况，那就是直角三角形的全等条件。

对于直角三角形，除了可以使用上述的一般条件外，还有“斜边、直角边”（HL）条件。

如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等，那么这两个直角三角形全等。

这些全等条件在解决实际问题中非常有用。

比如，在测量、建筑、制图等领域，我们经常需要判断两个三角形是否全等，以便进行精确的计算和设计。

《13。

2。

5 边边边》说课稿一、教材分析：（一）本节内容在全书和章节的地位本节内容选自华师版初中数学八年级上册第13章,本课是探索三角形全等条件的第4课时，是在学习了全等三角形的概念,全等三角形的性质后展开的。

对于全等三角形的研究，实际是平面几何对封闭的两个图形关系研究的第一步，它是两个三角形间最简单、最常见的关系，它不仅是下节课探索三角形全等其它条件的基础，还是证明线段相等、角相等的重要依据，同时也为今后探索直角三角形全等的条件以及三角形相似的条件提供很好的模式和方法。

因此，本节课的知识具有承前启后的作用,占有相当重要的地位。

（二）三维教学目标1．知识与能力目标本节课主要给学生讲解全等三角形的“SSS"判定公理，同时理解三角形的稳定性,能用三角形全等解决一些现实问题，熟悉掌握“SSS"｜的判定方法，能够自主探索,动手操作，在过程中体会到自主学习索取知识的乐趣，从而启发学生学习数学的方式，为下节课打下基础。

2．过程与方法目标通过分解三角形的各个边和角，两个三角形做对比，用问题分解法求解,探索全等三角形的全等条件，经历认知探知过程，体会挖掘知识的过程。

通过两个三角形边与角的对比发现全等三角形的判定条件“SSS”，锻炼学生分析问题，解决问题的能力。

3．情感态度与价值观培养学生勇于探索、团结协作的精神，积累数学活动的经验。

（三）重点与难点1．教学难点认识三角形全等的发现过程以及边边边的辨析.能够对运用三角形判定公理“SSS”解决三角形全等问题，对三角形其他定理的拓展与思考，了解三角形的稳定性.2．教学重点利用性质和判定，关键是学会准确地找出两个全等三角形中的对应边与对应角. 准确理解“SSS"三角形判定的公理，规范书写全等三角形的证明;二、教法与学情分析1．教法分析数学是一门培养人的思维,发展人的思维的重要学科,因此在教学中，不仅要使学生知其然,而且还要使学生知其所以然。

三角型全等的条件三角型全等的条件三角形是初中数学中的一个重要概念，而其中的全等三角形更是一个非常重要的概念，因为它在几何学中有着广泛的应用。

本文将介绍三角形全等的条件。

一、定义在几何学中，如果两个三角形完全相同，那么它们就称为全等三角形。

这意味着它们的所有对应边和对应角度都完全相同。

二、判断两个三角形是否全等判断两个三角形是否全等需要满足以下条件：1. SSS（边-边-边）：如果两个三角形各边分别相等，则它们是全等的。

也就是说，如果一个三角形的所有边都与另一个三角形对应的边相等，则这两个三角形是全等的。

2. SAS（边-角-边）：如果两个三角形有一条边和夹在这条边上的两个角度分别相等，则它们是全等的。

也就是说，如果一个三角形有一条与另一个三角形对应的边相同，并且夹在这条边上的两个夹角也分别与另一个三角形对应夹在这条边上的两个夹角相同，则这两个三角形是全等的。

3. ASA（角-边-角）：如果两个三角形有两个角度和夹在这些角上的一条边分别相等，则它们是全等的。

也就是说，如果一个三角形有两个夹角与另一个三角形对应的夹角相同，并且这些夹角之间的边也相同，则这两个三角形是全等的。

4. RHS（直角-斜边-直角）：如果两个直角三角形的斜边和一个直角分别相等，则它们是全等的。

也就是说，如果一个直角三角形的斜边和某一个直角与另一个直角三角形对应的斜边和同样大小的直角相同，则这两个直角三角形是全等的。

三、应用了解以上四种判断全等条件后，我们可以在实际问题中灵活运用。

例如，在计算面积时，当我们已知一个三角形所有边长或者某一条高线及其对应底边时，可以通过判断是否为全等三角来快速计算出面积。

此外，在建筑工程中，我们需要校验建筑物是否符合设计要求。

在设计阶段，工程师需要校验建筑物各部分是否符合规范，并且需要使用几何学中相关知识来检查建筑物是否符合全等条件。

四、总结全等三角形是几何学中非常重要的一个概念，它在实际问题中得到了广泛的应用。

13.2.5 全等三角形的判定—边边边导学案
一、学习目标：
1、经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程；
2、掌握三角形的“边边边”条件，了解三角形的稳定性。

※3、在探索三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理。

学习重点：已知三边对应相等的三角形全等探究．
学习难点：灵活运用三角形全等条件证明．
二、温故知新：
1、全等三角形的相等，相等。

2、如图1，已知△AOC≌△BOD，则∠A=∠B，∠C= ， =∠2，对应边有
AC= ， =OB，OD=_______。

3、如图3，已知∠B=∠D，∠1=∠2，∠3=∠4， AB=CD，AD=CB，AC=CA。

则△≌
△
4、判定两个三角形全等，你学过哪些方法了？
三、新知构建：
探究点1：
已知三条线段的长分别为4cm， 5cm， 6cm，试画一个三角形，使这三条线段分别为其三条边。

把你画的三角形剪下与同伴画的三角形进行比较，它们全等吗？
a．作图方法：
b．以小组为单位，把剪下的三角形重叠在一起，发现，?这说明这些三角形都是的．
c．归纳：三边对应相等的两个三角形，简写为“”或“”．
d、用数学语言表述：
在△ABC和'''
A B C中,
∵
''
AB A B
AC
BC
C'
B'
A'
C
B
A
1。

13．2．4直角三角形全等的判定条件1．要注意直角三角形全等判定的普遍性：直角三角形是特殊的三角形，它具备了一般三角形所具有的性质．因此，判定一般三角形全等的所有方法对判定两个直角三角形全等同样适用．由于直角三角形中，有一个角是直角，而直角都相等，所以用一般方法判定两直角三角形全等时，这两个三角形中已具备一对角相等的条件，只需找另外两个条件即可．2．要注意直角三角形全等判定的特殊性：“斜边、直角边”公理是直角三角形全等判定的一种特殊方法，它只对判定两直角三角形全等适用．解析重点本节重点是斜边、直角边条件及其运用．斜边、直角边条件．斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边直角边”或“HL”．斜边、直角边条件是判定两直角三角形全等的一种特殊方法．对于一般三角形而言，已知两边和其中一边的对角对应相等，这两个三角形不一定全等，但当这个对角是直角时，这两个三角形一定全等，即是已知斜边和一条直角边对应相等，两个直角三角形全等．运用这个公理时要注意理解它的两个条件，证明过程要指明是哪两个直角三角形．证明两直角三角形全等的方法和思路．(1方法：证明两个直角三角形全等的方法共有五种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL．(2思路：证明两个直角三角形全等首先考虑运用HL，再考虑运用其他的几种方法．运用其他方法时，要注意这两个三角形已经有一对直角相等的条件，只需另外找两个条件即可，而这两个条件中必须至少有一边对应相等．【例1】A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解析由条件(1，根据ASA可判定两个三角形全等；由条件(2，根据HL可判定两个三角形全等；由条件(3，根据SAS可判定两个三角形全等；由条件(4，根据AAS可判定两个三角形全等．解 D 剖析难点本节的难点是能熟练地、灵活地运用所学过的方法判定两个直角三角形全等．选择适当的方法证明两直角三角形全等的关键是已知条件．概括起来有以下几种情况：(1当有一条直角边和斜边对应相等时，用HL判定其全等；(2当有两条直角边对应相等时，用SAS判定其全等；(3当有斜边和一锐角对应相等时，用AAS判定其全等；(4当有一直角边和一锐角对应相等时，用ASA或AAS判定其全等．【例2】如图13－2－66，已知AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别是D、E，BE与CD相交于点F．求证：AF平分∠BAC．解析欲证AF平分∠BAC，只需证∠BAF＝∠CAF，而这两个角分别在Rt△ADF、Rt△AEF中，只需证AD＝AE即可，为此先证Rt△ABE≌Rt△ACD．证明在△ACD和△ABE中，∴△ACD≌△ABE(AAS．∴AD＝AE(全等三角形对应边相等．∴在Rt△ADF和Rt△AEF中，∴Rt△ADF≌Rt△AEF(HL．∴∠DAF＝∠EAF(全等三角形对应角相等．∴AF平分∠BAC．点拨证角相等或线段相等往往是通过证三角形全等来实现的．这里应注意通过对图形的观察和已知条件的分析，正确地找出三角形全等的条件．【例3】已知：如图13－2－68(1，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE 是过点A的一条直线，且点B、C 在AE的异侧，BD⊥AE于点D，CE⊥AE于点E．求证：(1BD＝DE＋CE；(2若直线AE绕A点旋转到图13－2－68(2位置时(BD＜CE，其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何，请予证明．(3若直线AE绕A点旋转到图13－2－68(3时(BD＞CE，其余条件不变，BD与DE、CE的关系怎样？请直接写出结果，不需证明．(4归纳(1、(2、(3，请用简洁的语言表达BD、DE、CE的关系．证明(1∵BD⊥AE于点D，CE⊥AE于点E(已知，∴∠ADB ＝∠AEC＝90°(垂直的定义．∵∠BAC＝90°，∠ADB＝90°(已知，∴∠ABD＋∠BAD＝∠CAE＋∠BAD＝90°，∴∠ABD＝∠CAE(同角的余角相等．在△ABD和△CAE中，∴△ABD≌△CAE(AAS．∴BD＝AE，AD＝CE(全等三角形的对应边相等．∵AE＝AD＋DE∴DB ＝CE＋DE．(2BD＝DE－CE，证明方法与(1相同．(3BD＝DE－CE，(4归纳(1、(2、(3可知：结论表述为：当B、C在AE异侧时，BD＝DE＋CE；当B、C在AE同侧时，BD＝DE－CE．点拨解这类题要特别注意图形的变化，从图形的变化中找出某些不变的关系．猜想其规律，再运用几何知识加以证明．。