xn pn
… …
一般所说的离散性随机变量的分布就是指它 的概率函数或概率分布表.
对于集合{xn , n=1,2,…}中的任何一个子集A，事 件“X在A中取值”即“XA”的概率为
P{ X A}
xn A
p
n
介绍几个分布之两点分布(2)
8
两点分布
两点分布: 只有两个可能取值的随机变量X所服 从的分布, 称为两点分布。其概率函数为： P(X=xk)=pk (k=1,2)。亦称X服从两点分布。 概率分布表为:
离散型随机变量的分布(2)
6
离散型随机变量的概率分布
定义2.1：如果随机变量X只能取有限个或可列个 可能值,而且取这些不同值的概率是确定的, 则称X 为离散性随机变量。 定义2.2：X为离散型随机变量,其一切可取值为x1, x2,…, xn …;记pn=P{X =xn} (n=1,2,…),称为X的概 率函数,又称X的概率分布、分布律。 其中 {X =
解 令“X=k"与产品为"k等品"(k=1,2,3)相对应,
“X=0"与产品为"废品"相对应. X是一个随机变量, 它可以取0,1,2,3这4个值. 依题意, P(X=0)=0.1 P(X=1)=0.6 P(X=2)=0.1 P(X=3)=0.2 则可列出概率分布表并画出概率分布图:
待续
几何意义：对连续型随机变量而 言，概率的几何意义是分布密度 函数曲线下方的面积 。
问题：P{X=c}=？
待续
19
P{X=c}=0的说明
1 P{ - X }
P{ X c } P{ X c }
c - -
P ( a X b ) f ( x )dx
连续型随机变量(3)
17
离散型随机变量的统计特征可以用分布律描述，非 离散型的该如何描述？ 如：彩电的寿命X是一个随机变量，对消费者来说， 你是在意{X>5年}、还是{X>5年零1分钟}、或是{X≥5 年}？ 几何中可以用点的“长度”、“面积”来度量线段 长度、矩形面积吗？不能！ 例：(打靶问题)假定靶板U上每一点被击中的可能性 相同，求打中区域A内的概率和点B的概率？ A的面积 B的面积 P ( A) P ( B) 0 U U的面积 U的面积 A B 区域A是有无数点组成的，能否用点 的概率来度量事件A的概率？不能！ 连续型随机变量的定义(3) 18
样 本 空 间
映射
实 数
随机变量的定义(1)
3
随机变量的定义
定义：随机变量是定义在样本空间Ω={ω}上的一
个单值实函数，记作X=X(ω)，简记为X。有时 也记为ξ，η 特点：随机变量取值具有不确定性，但都具有一 定的概率规律。 注意：随机变量与微积分中的变量不同。随机变 量随试验结果而变，即它的定义域是试验的所有 可能结果，随机变量的取值事先不能确定，具有 概率确定性；微积分中的变量的定义域是实数域， 它的取值是确定性的。
随机变量的分类(1)
5
随机变量的分类
按随机变量的取值情况，可将其分为两类:
(1) Leabharlann 散型随机变量：取值为有限个或无限可 列个值。 (2) 非离散型随机变量：所有可能取值不能一 一列举出来
而非离散型随机变量中最常用的为连续型随机
变量（它的值域是一个或若干个区间）。 今后我们主要研究离散型和连续型随机变量。
11
续上页(概率分布表及概率分布图)
X的分布律：
X P
0 0.1
1 0.6
2 0.1
3 0.2
p 1 0.1 0
X的概率分布图：
x
几个分布之离散型均匀分布(2)
1
2
3
12
离散型均匀分布
如果随机变量X有概率函数:
1 P ( X xk ) ( k 1, 2, ..., n) n 且当i j时 , xi x j ,
如何描述连续型随机变量？
.
连续型随机变量与概率密度
定义2.3：对于随机变量X，若存在非负函数f(x)， (-<x<+)，使对任意实数a,b (a<b)都有
P ( a X b ) f ( x )dx
a b
则称X为连续型随机变量， f(x)为X的概率密度函数，
简称概率密度或分布密度。简记为X～ f(x)，(<x<+)。
概率密度函数的性质(3)
21
概率密度函数的两个性质
连续型的概率非负性和概率完备性表现为
（1）非负性 ：f(x) 0，(- <x< +)； （2）归一性： f(x)
-
f ( x )dx＝1.
-
f ( x )dx 1
P ( a X b ) f ( x )dx
23
d
d
均匀分布
定义：
a<X<b “也可以” 1 , a xb 若X ~f ( x ) b - a 其他 0,
f (x)
(a,b)内 则称X在[a, b]上服从均匀分布;记作 X~U(a, b) 均匀分布的概率意义：它在取值区间[a,b]上任何 一个子区间取值的概率，与该子区间长度成正比， 与子区间在[a,b]中位置无关，比例系数恰好是 [a,b]上的概率密度值。
则称X服从离散型均匀分布.
例题与讲解(2)
13
例题与解答
例3 用随机变量描述掷一颗骰子的试验情况
解 令X表示掷一颗骰子出现的点数, 它可取1到6共6 个自然数, 相应的概率都是1/6, 列成概率分布表和 概率分布图如下： (离散型均匀分布特例)
X P
P 1 6
0
1 1/6
2 1/6
3 1/6
16
例题与解答
例5 盒内装有外形与功率均相同的15个灯泡, 其中10个螺 口, 5个卡口, 现在需用1个螺口灯泡, 从盒中任取一个, 如 果取到卡口灯泡就不再放回去. 求在取到螺口灯泡前已 取出的卡口灯泡数x的分布.(几何分布？) 解 “x=0”表示第一个就取到了螺口灯泡, “x=1” 表示第 一个取到卡口而第二个才取到螺口灯泡, …因此 P(x=0)=10/15=2/3 P(x=1)=(5/15)(10/14)=5/21 P(x=2)=(5/15)(4/14)(10/13)=20/273 P(x=3)=(5/15)(4/14)(3/13)(10/12)=5/273 P(x=4)=(5/15)(4/14)(3/13)(2/12)(10/11)=10/3003 P(x=5)= (5/15)(4/14)(3/13)(2/12)(1/11)(10/10)=1/3003
a
b
0
例题与讲解
x
22
例题与解答
例6 若X有概率密度
P ( a X b ) f ( x )dx
b
, a x b( a b ) f ( x) 0, 其他
b b
a
试求f(x)和P{c X d},其中[c,d][a,b]。
解
f ( x )dx
X P
概率分布图为：
x1 p1 p1 p2
x2 p2
特别的0-1分布(2)
x1
x2
x
9
0-1分布
0-1分布: 只取0和1两个值的随机变量所服从的分 布称(参数为p的)为0-1分布. 其概率函数为：
P(X =k)=pk(1-p)1-k
概率分布表为: 服从0-1分布的 随机变量所描 述的试验称伯 努利试验。(试 验结果两状态)
x1}, {X = x2}, …, {X = xn}, …构成一完备事件组。 因此概率函数具有如下性质:
(1) pn 0 n 1, 2, ... (2)
p
n
n
1
7
概率分布表(2)
概率分布表
为直观起见，将随机变量的可能取值及相应
概率排列成概率分布表如下：
X P x1 p1 x2 p2 … …
注意
P ( a X b ) f ( x )dx
a
b
对任何实数c，P{X=c}=0.即：连续型随机变量取
2.在讨论连续型随机变量X在某区间上取值情况时， 因区间端点的概率值总是零，故对连续型随机变量 不必区分取值区间的开与闭。
即: P{a<X<b}=P{a≤X<b} =P{a<X ≤b}=P{a≤X≤b} 3.概率为零的事件不一定是“不可能事件”
1 1 b - a , a x b( a b ) 则 ,因此f ( x ) b-a 0, 其他
-
-
0dx dx 0dx (b - a) 1
a
a
1 d -c P ( c X d ) f ( x )dx dx b-a b-a c c 介绍连续型随机变量的一种特殊分布
几何分布
上例中，随机变量X的分布为 P(X =i)=p(1-p)i-1 (i=1,2,…) 称几何分布,也称随机变量X服从几何分布。 p(1-p)i-1恰是几何级数
i -1 pq , ( q 1 - p )的通项。 i 1
该级数显然为：
i -1
p p pq 1 例题与讲解 1- q p i 1 含义：假定一个试验成功的概率为p(0<p<1)，不 断进行重复试验，直到成功为止，用随机变量X表 示试验的次数，则X服从几何分布
第二章 随机变量的分布和数字特征
§2.1随机变量及其分布
§2.2随机变量函数的分布 §2.3随机变量的数字特征 §2.4几种重要的离散型分布 §2.5几种重要的连续型分布
