2014届高考数学一轮练之乐：1.4.3平面向量的数量积

课后作业夯关 4．3 平面向量的数量积及其应用[基础送来自 提速狂刷练]一、选择题
1．a，b 为平面向量，已知 a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，
则 a，b 夹角的余弦值等于( )
8 A.65
B．－685
16 C.65
D．－1665
解析 由题可知，设 b＝(x，y)，则 2a＋b＝(8＋x,6＋y) ＝(3,18)，所以可以解得 x＝－5，y＝12，故 b＝(－5,12)．由 cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|＝6156.故选 C.
∵|b|2＝(3e1－e2)2＝9＋1－6×1×1×13＝8，
∴|b|＝2 2，
∴cosβ＝|aa|··b|b|＝3×82
＝2 2
2 3.
13．在平行四边形 ABCD 中，∠A＝π3，边 AB，AD 的 长分别为 2,1.若 M，N 分别是边 BC，CD 上的点，且满足||BB→→MC|| ＝||CC→→DN||，则A→M·A→N的取值范围是__[_2_,5_]___．
A．[ 2－1， 2＋1] B．[ 2－1， 2＋2] C．[1， 2＋1] D．[1， 2＋2]
解析 以 a 和 b 分别为 x 轴和 y 轴正方向的单位向量建 立直角坐标系，则 a＝(1,0)，b＝(0,1)，设 c＝(x，y)，则 c －a－b＝(x－1，y－1)，∵|c－a－b|＝1，∴(x－1)2＋(y－1)2 ＝1.即(x，y)是以点 M(1,1)为圆心，1 为半径的圆上的点，而 |c|＝ x2＋y2.所以|c|可以理解为圆 M 上的点到原点的距离， 由圆的性质可知，|OM|－r≤|c|≤|OM|＋r，即|c|∈[ 2－1， 2 ＋1]．故选 A.
8．对任意两个非零的平面向量 α 和 β，定义 α·β＝αβ··ββ.

平面向量的数量积及平面向量的应用1.(2012年高考重庆卷)设x∈R,向量a=(x,1),b=(1,-2),且a⊥b,则|a+b|等于( B )(A)(B)(C)2(D)10解析:∵a⊥b,∴x-2=0,∴x=2.∴|a+b|====.故选B.2.(2013乐山市第一次调研)已知两点A(-1,0),B(1,3),向量a=(2k-1,2),若⊥a,则实数k的值为( C )(A)2 (B)1 (C)-1 (D)-2解析:由=(2,3),因为⊥a,所以2(2k-1)+2×3=0,得k=-1,故选C.3.(2012年高考辽宁卷)已知两个非零向量a、b满足|a+b|=|a-b|,则下面结论正确的是( B )(A)a∥b (B)a⊥b(C)|a|=|b| (D)a+b=a-b解析:法一代数法:将原式平方得|a+b|2=|a-b|2,∴a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2,∴a·b=0,∴a⊥b,故选B.法二几何法:如图所示,在▱ABCD中,设=a,=b,∴=a+b,=a-b,∵|a+b|=|a-b|,∴平行四边形两条对角线长度相等,即平行四边形ABCD为矩形,∴a⊥b,故选B.4.(2013玉溪一中月考)已知|a|=6,|b|=3,a·b=-12,则向量a在向量b方向上的投影是( A )(A)-4 (B)4 (C)-2 (D)2解析:cos<a,b>===-,向量a在向量b方向上的投影为|a|cos<a,b>=6×(-)=-4,故选A.5.(2012东北四校联考)已知平面向量a和b,|a|=1,|b|=2,且a与b的夹角为120°,则|2a+b|等于( A )(A)2 (B)4 (C)2(D)6解析:由题意可知|2a+b|2=4a2+b2+4a·b=4|a|2+|b|2+4|a||b|·cos 120°=4,所以|2a+b|=2,故选A.6.(2013成都市高三一诊模拟)已知向量a=(cos θ,sin θ),向量b=(,1),则|2a-b|的最大值和最小值分别为( B )(A)4,0 (B)4,0 (C)16,0 (D)4,4解析:|2a-b|=|(2cos θ-,2sin θ-1)|==,所以最大值和最小值分别为4,0.故选B.二、填空题7.单位圆上三点A,B,C满足++=0,则向量,的夹角为.解析:∵A,B,C为单位圆上三点 ,∴||=||=||=1,又++=0,∴-=+,∴=(+)2=++2·,可得cos<,>=-,∴向量,的夹角为120°.答案:120°8.(2011年高考天津卷)已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|+3|的最小值为.解析:如图建立平面直角坐标系,设C(0,b),则B(1,b),又A(2,0),设P(0,y),则+3=(2,-y)+3(1,b-y)=(5,3b-4y),∴|+3|2=25+(3b-4y)2,∴当3b-4y=0,即y=b时,|+3|2的最小值为25.∴|+3|的最小值为5.答案:59.(2012德州一模)已知a=(m,n),b=(p,q),定义a⊗b=mn-pq,下列等式中,①a⊗a=0;②a⊗b=b⊗a;③(a+b)⊗a=a⊗a+b⊗a;④(a⊗b)2+(a·b)2=(m2+q2)(n2+p2),一定成立的是.(填上所有正确等式的序号)解析:由a⊗b的定义可知,①a⊗a=mn-mn=0,故①正确,②a⊗b=mn-pq,b⊗a=pq-mn,故②错误,③a+b=(m+p,n+q),所以(a+b)⊗a=(m+p)(n+q)-mn,而a⊗a+b⊗a=pq-mn,故③错误,④(a⊗b)2=(mn-pq)2,(a·b)2=(mp+nq)2,所以(a⊗b)2+(a·b)2=(m2+q2)(n2+p2),故④正确.答案:①④三、解答题10.已知a、b、c是同一平面内的三个向量,其中a=(1,2).(1)若|c|=2,且c∥a,求c的坐标;(2)若|b|=,且a+2b与2a-b垂直,求a与b的夹角θ.解:(1)设c=(x,y),由c∥a和|c|=2,可得:∴或∴c=(2,4)或c=(-2,- 4).(2)∵(a+2b)⊥(2a-b),∴(a+2b)·(2a-b)=0,即2a2+3a·b-2b2=0,∴2|a|2+3a·b-2|b|2=0,∴2×5+3a·b-2×=0,∴a·b=-,∴cos θ==-1,∵θ∈[0,π],∴θ=π.即a与b的夹角大小为π.11.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c.若·=·=k(k∈R).(1)判断△ABC的形状;(2)若k=2,求b的值.解:(1)∵·=cbcos A,·=bacos C,∴bccos A=abcos C,根据正弦定理,得sin Ccos A=sin Acos C,即sin Acos C-cos Asin C=0,sin(A-C)=0,∴A=C,即a=c.则△ABC为等腰三角形.(2)由(1)知a=c,由余弦定理,得·=bccos A=bc·=.·=k=2,即=2,解得b=2.12.(2012山东省威海市高三第一次模拟)已知向量m=(2cos x,cos x-sin x),n=,且满足f(x)=m·n.(1)求函数y=f(x)的单调递增区间;(2)设△ABC的内角A满足f(A)=2,a、b、c分别为角A、B、C所对的边,且·=,求边BC的最小值.解:(1)f(x)=2cos x（sin x+cos x）+sin x·cos x-sin2x=2sin x·cos x+cos2x-sin2 x=sin 2x+cos 2x=2sin,由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,故所求单调递增区间为(k∈Z).(2)由f(A)=2sin=2,0<A<π得A=,∵·=,即bccos A=,∴bc=2,又△ABC中,a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-bc≥2bc-bc =(2-)bc,∴=(2-)×2=4-2,∴a min==-1.即边BC的最小值为-1。

第3讲 平面向量的数量积A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．若向量a ＝(3，m )，b ＝(2，－1)，a ·b ＝0，则实数m 的值为 ( )．A ．－32B.32C ．2D ．6解析 由a ·b ＝3×2＋m ×(－1)＝0，解得m ＝6. 答案 D2．(2013·东北三校联考)已知|a |＝6，|b |＝3，a ·b ＝－12，则向量a 在向量b 方向上的投影是( )．A ．－4B ．4C ．－2D ．2解析 设a 与b 的夹角为θ，∵a ·b 为向量b 的模与向量a 在向量b 方向上的投影的乘积，而cos θ＝a ·b |a ||b |＝－23， ∴|a |cos θ＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－4.答案 A3．(2011·广东)若向量a ，b ，c 满足a ∥b ，且a ⊥c ，则c ·(a ＋2b )＝ ( )． A ．4B ．3C ．2D ．0解析 由a ∥b 及a ⊥c ，得b ⊥c ，则c ·(a ＋2b )＝c ·a ＋2c ·b ＝0. 答案 D4．(2012·天津)已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2.设点P ，Q 满足AP →＝λAB →，AQ →＝(1－λ)AC →，λ∈R .若BQ →·CP→＝－32，则λ等于( )．A.12B.1±22C.1±102D.－3±222解析 以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则B (2,0)，C (1，3)，由AP→＝λAB →，得P (2λ，0)，由AQ →＝(1－λ)AC →，得Q (1－λ，3(1－λ))，所以BQ →·CP →＝(－λ－1，3(1－λ))·(2λ－1，－3)＝－(λ＋1)(2λ－1)－3×3(1－λ)＝－32，解得λ＝12.] 答案 A二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2012·北京)已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为________；DE →·DC→的最大值为________． 解析 以AB→，AD →为基向量，设AE →＝λAB →(0≤λ≤1)，则DE →＝AE →－AD →＝λAB →－AD →，CB →＝－AD →，所以DE →·CB →＝(λAB →－AD →)·(－AD →)＝－λAB →·AD →＋AD →2＝－λ×0＋1＝1.又DC →＝AB →，所以DE →·DC →＝(λAB →－AD →)·AB →＝λAB →2－AD →·AB →＝λ×1－0＝λ≤1，即DE →·DC →的最大值为1. 答案 1 16．(2012·江苏)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB →·AF →＝2，则AE →·BF →的值是________．解析 以A 点为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立直角坐标系xOy ，则AB →＝(2，0)，AE →＝(2，1)，设F (t,2)，则AF→＝(t,2)．∵AB →·AF →＝2t ＝2，∴t ＝1， 所以AE →·BF →＝(2，1)·(1－2，2)＝ 2. 答案2三、解答题(共25分)7．(12分)设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1及|3a －2b |＝7. (1)求a ，b 夹角的大小；(2)求|3a ＋b |的值．解 (1)设a 与b 夹角为θ，(3a －2b )2＝7，即9|a |2＋4|b |2－12a ·b ＝7，而|a |＝|b |＝1，∴a ·b ＝12，∴|a ||b |cos θ＝12，即cos θ＝12， 又θ∈[0，π]，∴a ，b 的夹角为π3.(2)(3a ＋b )2＝9|a |2＋6a ·b ＋|b |2＝9＋3＋1＝13， ∴|3a ＋b |＝13.8．(13分)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1)． (1)求以线段AB ，AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长； (2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值． 解 (1)由题设知AB→＝(3,5)，AC →＝(－1,1)，则 AB→＋AC →＝(2,6)，AB →－AC →＝(4,4)． 所以|AB→＋AC →|＝210，|AB →－AC →|＝4 2. 故所求的两条对角线长分别为42，210.(2)由题设知OC →＝(－2，－1)，AB →－tOC →＝(3＋2t,5＋t )．由(AB →－tOC →)·OC →＝0， 得(3＋2t,5＋t )·(－2，－1)＝0， 从而5t ＝－11，所以t ＝－115.B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2013·鄂州模拟)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量OA →＝(2,2)，OB →＝(4,1)，在x 轴上取一点P ，使AP →·BP →有最小值，则P 点的坐标是 ( )． A ．(－3,0)B ．(2,0)C ．(3,0)D ．(4,0)解析 设P 点坐标为(x,0)，则AP→＝(x －2，－2)，BP →＝(x －4，－1)．AP →·BP →＝(x －2)(x －4)＋(－2)×(－1) ＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1. 当x ＝3时，AP →·BP →有最小值1. ∴此时点P 坐标为(3,0)，故选C. 答案 C2．(2012·广东)对任意两个非零的平面向量α和β，定义αβ＝α·ββ·β.若平面向量a ，b 满足|a |≥|b |>0，a 与b 的夹角θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，且a b 和b a 都在集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2| n ∈Z 中，则a b ＝ ( )．A.12B ．1C.32D.52解析 由定义αβ＝α·ββ2可得b a ＝a ·b a 2＝|a |·|b |cos θ|a |2＝|b |cos θ|a |，由|a |≥|b |>0，及θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4得0<|b |cos θ|a |<1，从而|b |cos θ|a |＝12，即|a |＝2|b |cos θ.a b ＝a ·b b 2＝|a |·|b |cos θ|b |2＝|a |cos θ|b |＝2cos 2θ，因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，所以22<cos θ<1，所以12<cos 2θ<1，所以1<2cos 2θ<2.结合选项知答案为C. 答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)3．已知向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，(a －b )⊥c ，a ⊥b ，若|a |＝1，则|a |2＋|b |2＋|c |2的值是________．解析 由已知a ·c －b ·c ＝0，a ·b ＝0，|a |＝1， 又a ＋b ＋c ＝0，∴a ·(a ＋b ＋c )＝0，即a 2＋a ·c ＝0， 则a ·c ＝b ·c ＝－1，由a ＋b ＋c ＝0，∴(a ＋b ＋c )2＝0， 即a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2b ·c ＋2c ·a ＝0， ∴a 2＋b 2＋c 2＝－4c ·a ＝4， 即|a |2＋|b |2＋|c |2＝4. 答案 44．(2012·安徽)若平面向量a ，b 满足|2a －b |≤3，则a ·b 的最小值是________．解析 由|2a －b |≤3可知，4a 2＋b 2－4a ·b ≤9，所以4a 2＋b 2≤9＋4a ·b ，而4a 2＋b 2＝|2a |2＋|b |2≥2|2a |·|b |≥－4a ·b ，所以a ·b ≥－98，当且仅当2a ＝－b 时取等号． 答案 －98 三、解答题(共25分)5．(12分)设两向量e 1，e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1，e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．解 由已知得e 21＝4，e 22＝1，e 1·e 2＝2×1×cos 60°＝1. ∴(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)＝2t e 21＋(2t 2＋7)e 1·e 2＋7t e 22＝2t 2＋15t ＋7.欲使夹角为钝角，需2t 2＋15t ＋7＜0，得－7＜t ＜－12. 设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2)(λ＜0)，∴⎩⎨⎧2t ＝λ，7＝tλ，∴2t 2＝7.∴t ＝－142，此时λ＝－14. 即t ＝－142时，向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为π. ∴当两向量夹角为钝角时，t 的取值范围是 ⎝⎛⎭⎪⎫－7，－142∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－142，－12. 6．(13分)(2012·东营模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3A 2，sin 3A 2，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A 2，sin A 2，且满足|m ＋n |＝ 3.(1)求角A 的大小；(2)若|AC→|＋|AB →|＝3|BC →|，试判断△ABC 的形状．解 (1)由|m ＋n |＝3，得m 2＋n 2＋2m ·n ＝3， 即1＋1＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3A 2cos A 2＋sin 3A 2sin A 2＝3，∴cos A ＝12.∵0<A <π，∴A ＝π3.(2)∵|AC→|＋|AB →|＝3|BC →|，∴sin B ＋sin C ＝3sin A ，∴sin B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝3×32，即32sin B ＋12cos B ＝32，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6＝32.∵0<B <2π3，∴π6<B ＋π6<5π6， ∴B ＋π6＝π3或2π3，故B ＝π6或π2. 当B ＝π6时，C ＝π2；当B ＝π2时，C ＝π6. 故△ABC 是直角三角形.。

第3讲 平面向量的数量积基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1．(2013·湛江二模)向量a ＝(1,2)，b ＝(0,2)，则a ·b ＝( )．A ．2B ．(0,4)C ．4D ．(1,4)解析 a ·b ＝(1,2)·(0,2)＝1×0＋2×2＝4. 答案 C2．(2014·绍兴质检)在边长为2的菱形ABCD 中，∠BAD ＝120°，则AC →在AB →方向上的投影为 ( )．A.14 B.12 C ．1D ．2解析 如图所示，AC →在AB →方向上的投影为|AC →|cos 60°＝2×12＝1.答案 C3．(2013·山东省实验中学诊断)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0,1)，c ＝(k ，3)．若a ＋2b 与c 垂直，则k ＝( )．A ．－3B ．－2C ．－1D ．1解析 由题意知(a ＋2b )·c ＝0，即a ·c ＋2b ·c ＝0. 所以3k ＋3＋23＝0，解得k ＝－3. 答案 A4．(2014·浙江五校联盟)若非零向量a ，b 满足|a |＝|b |，且(2a ＋b )·b ＝0，则向量a ，b 的夹角为 ( )．A.2π3 B.π6 C.π3D.5π6解析 由(2a ＋b )·b ＝0，得2a ·b ＋|b |2＝0. ∴2|b |2·cos<a ，b >＋|b |2＝0，∴cos<a ，b >＝－12，又<a ，b >∈[0，π]，∴<a ，b >＝2π3. 答案 A5．(2013·福建卷)在四边形ABC D 中，AC →＝(1,2)，BD →＝(－4,2)，则该四边形的面积为( )．A. 5 B ．2 5 C ．5 D ．10解析 ∵AC →·BD →＝1×(－4)＋2×2＝0， ∴AC →⊥BD →，∴S 四边形＝|AC →|·|BD →|2＝5·202＝5.答案 C 二、填空题6．(2013·新课标全国Ⅰ卷)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b .若b ·c ＝0，则t ＝________.解析 b ·c ＝b ·[t a ＋(1－t )b ]＝t a ·b ＋(1－t )b 2 ＝t |a ||b |cos 60°＋(1－t )|b |2 ＝t 2＋1－t ＝1－t2. 由b ·c ＝0，得1－t 2＝0，所以t ＝2.答案 27．(2014·南京三模)在平面直角坐标系xOy 中，已知OA →＝(3，－1)，OB →＝(0,2)．若OC →·AB →＝0，AC →＝λOB →，则实数λ的值为________．解析 设C (x ，y )，则OC →＝(x ，y )，又AB →＝OB →－OA →＝(0,2)－(3，－1)＝(－3,3)，所以OC →·AB →＝－3x ＋3y ＝0，解得x ＝y .又AC →＝(x －3，y ＋1)＝λ(0,2)，得⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝0，y ＋1＝2λ，结合x ＝y ，解得λ＝2. 答案 28. (2014·潍坊二模)如图，在△ABC 中，O 为BC 中点，若AB ＝1，AC ＝3，<AB →，AC →>＝60°，则|OA →|＝________.解析 因为<AB →，AC →>＝60°，所以AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos 60°＝1×3×12＝32，又AO →＝12⎝⎛⎭⎫AB →＋AC →，所以AO →2＝14(AB →＋AC →)2＝14(AB →2＋2AB →·AC →＋AC→2)，即AO →2＝14(1＋3＋9)＝134，所以|OA →|＝132.答案 132三、解答题9．已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )(x ∈R )．(1)若a ⊥b ，求x 的值； (2)若a ∥b ，求|a －b |. 解 (1)若a ⊥b ，则a ·b ＝1×(2x ＋3)＋x (－x )＝0.整理得x 2－2x －3＝0，故x ＝－1或x ＝3. (2)若a ∥b ，则有1×(－x )－x (2x ＋3)＝0， 即x (2x ＋4)＝0，解得x ＝0或x ＝－2.当x ＝0时，a ＝(1,0)，b ＝(3,0)，a －b ＝(－2,0)， ∴|a －b |＝(－2)2＋02＝2.当x ＝－2时，a ＝(1，－2)，b ＝(－1,2)，a －b ＝(2，－4)， ∴|a －b |＝2 5.综上，可知|a －b |＝2或2 5.10．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，(1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |；(3)若AB →＝a ，BC →＝b ，求△ABC 的面积． 解 (1)∵(2a －3b )·(2a ＋b )＝61， ∴4|a |2－4a ·b －3|b |2＝61.又|a |＝4，|b |＝3，∴64－4a ·b －27＝61， ∴a ·b ＝－6.∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－64×3＝－12. 又0≤θ≤π，∴θ＝2π3.(2)|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2 ＝42＋2×(－6)＋32＝13， ∴|a ＋b |＝13.(3)∵AB →与BC →的夹角θ＝2π3，∴∠ABC ＝π－2π3＝π3.又|AB →|＝|a|＝4，|BC →|＝|b |＝3，∴S △ABC ＝12|AB →||BC →|sin ∠ABC ＝12×4×3×32＝3 3.能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、选择题1．(2013·青岛一模)若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，则向量a ＋b 与a 的夹角为 ( )．A.π6 B.π3 C.2π3D.5π6解析 由|a ＋b |＝|a －b |，得a 2＋2a ·b ＋b 2＝a 2－2a ·b ＋b 2，即a ·b ＝0，所以(a ＋b )·a ＝a 2＋a ·b ＝|a |2.故向量a ＋b 与a 的夹角θ的余弦值为 cos θ＝(a ＋b )·a |a ＋b ||a |＝|a |22|a ||a |＝12.所以θ＝π3.答案 B2．(2014·昆明调研)在△ABC 中，设AC →2－AB →2＝2AM →·BC →，那么动点M 的轨迹必通过△ABC 的( )． A ．垂心 B ．内心 C ．外心D ．重心解析 假设BC 的中点是O .则AC →2－AB →2＝(AC →＋AB →)·(AC →－AB →)＝2AO →·BC →＝2AM →·BC →，即(AO →－AM →)·BC →＝MO →·BC →＝0，所以MO →⊥BC →，所以动点M 在线段BC 的中垂线上，所以动点M 的轨迹必通过△ABC 的外心，选C. 答案 C 二、填空题3．(2013·浙江卷)设e 1，e 2为单位向量，非零向量b ＝x e 1＋y e 2，x ，y ∈R .若e 1，e 2的夹角为π6，则|x ||b |的最大值等于________． 解析 因为e 1·e 2＝cos π6＝32，所以b 2＝x 2＋y 2＋2xy e 1·e 2＝x 2＋y 2＋3xy .所以x 2b 2＝x 2x 2＋y 2＋3xy＝11＋⎝⎛⎭⎫y x 2＋3yx，设t ＝y x ，则1＋t 2＋3t ＝⎝⎛⎭⎫t ＋322＋14≥14，所以0＜11＋t 2＋3t ≤4，即x 2b 2的最大值为4，所以|x ||b |的最大值为2.答案 2 三、解答题4．设两向量e 1，e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1，e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．解 由已知得e 21＝4，e 22＝1，e 1·e 2＝2×1×cos 60°＝1. ∴(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)＝2t e 21＋(2t 2＋7)e 1·e 2＋7t e 22＝2t 2＋15t ＋7.欲使夹角为钝角，需2t 2＋15t ＋7＜0，得－7＜t ＜－12.设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2)(λ＜0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝λ，7＝tλ，∴2t 2＝7. ∴t ＝－142，此时λ＝－14.即t ＝－142时，向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为π. ∴当两向量夹角为钝角时，t 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－7，－142∪⎝⎛⎭⎫－142，－12.。

设点P，Q满足 AP AB，AQ (1-λ) AC ，λ∈R，若 BQ CP =- 3 ，则λ=______.
2
(3)(2012·北京高考)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB
边上的动点.则 DE CB的值为____，DE DC 的最大值为____.
【思路点拨】
【规范解答】(1)由|a·b|＝|a||b|知，a∥b. 所以sin 2x＝2sin2x， 即2sin xcos x＝2sin2x，而x∈(0，π)，
2.平面向量数量积的性质及其坐标表示
已知非零向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，θ为向量a,b的夹角.
结论
几何表示
模
|a|= a a
数量 积
a•b=|a||b|cos θ
坐标表示 |a|=___x_12__y_12__
a•b=x1x2+y1y2
夹角 cos θ= a • b
| a || b |
| a || b | 2 2 2
又〈a，b〉∈［0，π］，所以〈a，b〉＝ .
3
答案：
3
考向 1 平面向量数量积的概念及运算
【典例1】(1)已知a＝(1，sin2x)，b＝(2，sin 2x)，其中
x∈(0，π).若|a·b|＝源自a||b|，则tan x的值等于_____.
(2)(2012·天津高考改编)已知△ABC为等边三角形，AB=2，
所以sin x＝cos x， 即 x＝故，tan x＝1.
4
答案：1
(2)由题意得 BQ AQ AB 1 AC AB，
CP AP AC AB AC，
又∵ BQ CP且 3， | A〈B || AC〉|=26，0°，AB,AC
2 AB AC | AB || AC | cos 60 2，

平面向量的数量积及平面向量的应用知识点、方法题号数量积的运算1、4、9长度及垂直问题1、2、3、5夹角问题7、10平面向量的应用6、8、11、121.(2012年高考重庆卷)设x∈R,向量a=(x,1),b=(1,-2),且a⊥b,则|a+b|等于( B )(A)(B)(C)2(D)10解析:∵a⊥b,∴x-2=0,∴x=2.∴|a+b|====.故选B.2.(2013乐山市第一次调研)已知两点A(-1,0),B(1,3),向量a=(2k-1,2),若⊥a,则实数k的值为( C )(A)2 (B)1 (C)-1 (D)-2解析:由=(2,3),因为⊥a,所以2(2k-1)+2×3=0,得k=-1,故选C.3.(2012年高考辽宁卷)已知两个非零向量a、b满足|a+b|=|a-b|,则下面结论正确的是( B )(A)a∥b (B)a⊥b(C)|a|=|b| (D)a+b=a-b解析:法一代数法:将原式平方得|a+b|2=|a-b|2,∴a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2,∴a·b=0,∴a⊥b,故选B.法二几何法:如图所示,在▱ABCD中,设=a,=b,∴=a+b,=a-b,∵|a+b|=|a-b|,∴平行四边形两条对角线长度相等,即平行四边形ABCD为矩形,∴a⊥b,故选B.4.(2013玉溪一中月考)已知|a|=6,|b|=3,a·b=-12,则向量a在向量b方向上的投影是( A )(A)-4 (B)4 (C)-2 (D)2解析:cos<a,b>===-,向量a在向量b方向上的投影为|a|cos<a,b>=6×(-)=-4,故选A.5.(2012东北四校联考)已知平面向量a和b,|a|=1,|b|=2,且a与b的夹角为120°,则|2a+b|等于( A )(A)2 (B)4 (C)2(D)6解析:由题意可知|2a+b|2=4a2+b2+4a·b=4|a|2+|b|2+4|a||b|·cos 120°=4,所以|2a+b|=2,故选A.6.(2013成都市高三一诊模拟)已知向量a=(cos θ,sin θ),向量b=(,1),则|2a-b|的最大值和最小值分别为( B )(A)4,0 (B)4,0 (C)16,0 (D)4,4解析:|2a-b|=|(2cos θ-,2sin θ-1)|==,所以最大值和最小值分别为4,0.故选B.二、填空题7.单位圆上三点A,B,C满足++=0,则向量,的夹角为.解析:∵A,B,C为单位圆上三点 ,∴||=||=||=1,又++=0,∴-=+,∴=(+)2=++2·,可得cos<,>=-,∴向量,的夹角为120°.答案:120°8.(2011年高考天津卷)已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|+3|的最小值为.解析:如图建立平面直角坐标系,设C(0,b),则B(1,b),又A(2,0),设P(0,y),则+3=(2,-y)+3(1,b-y)=(5,3b-4y),∴|+3|2=25+(3b-4y)2,∴当3b-4y=0,即y=b时,|+3|2的最小值为25.∴|+3|的最小值为5.答案:59.(2012德州一模)已知a=(m,n),b=(p,q),定义a⊗b=mn-pq,下列等式中,①a⊗a=0;②a⊗b=b⊗a;③(a+b)⊗a=a⊗a+b⊗a;④(a⊗b)2+(a·b)2=(m2+q2)(n2+p2),一定成立的是.(填上所有正确等式的序号)解析:由a⊗b的定义可知,①a⊗a=mn-mn=0,故①正确,②a⊗b=mn-pq,b⊗a=pq-mn,故②错误,③a+b=(m+p,n+q),所以(a+b)⊗a=(m+p)(n+q)-mn,而a⊗a+b⊗a=pq-mn,故③错误,④(a⊗b)2=(mn-pq)2,(a·b)2=(mp+nq)2,所以(a⊗b)2+(a·b)2=(m2+q2)(n2+p2),故④正确.答案:①④三、解答题10.已知a、b、c是同一平面内的三个向量,其中a=(1,2).(1)若|c|=2,且c∥a,求c的坐标;(2)若|b|=,且a+2b与2a-b垂直,求a与b的夹角θ.解:(1)设c=(x,y),由c∥a和|c|=2,可得:∴或∴c=(2,4)或c=(-2,-4).(2)∵(a+2b)⊥(2a-b),∴(a+2b)·(2a-b)=0,即2a2+3a·b-2b2=0,∴2|a|2+3a·b-2|b|2=0,∴2×5+3a·b-2×=0,∴a·b=-,∴cos θ==-1,∵θ∈[0,π],∴θ=π.即a与b的夹角大小为π.11.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c.若·=·=k(k∈R).(1)判断△ABC的形状;(2)若k=2,求b的值.解:(1)∵·=cbcos A,·=bacos C,∴bccos A=abcos C,根据正弦定理,得sin Ccos A=sin Acos C,即sin Acos C-cos Asin C=0,sin(A-C)=0,∴A=C,即a=c.则△ABC为等腰三角形.(2)由(1)知a=c,由余弦定理,得·=bccos A=bc·=.·=k=2,即=2,解得b=2.12.(2012山东省威海市高三第一次模拟)已知向量m=(2cos x,cos x-sin x),n=,且满足f(x)=m·n.(1)求函数y=f(x)的单调递增区间;(2)设△ABC的内角A满足f(A)=2,a、b、c分别为角A、B、C所对的边,且·=,求边BC的最小值.解:(1)f(x)=2cos x（sin x+cos x）+sin x·cos x-sin2x=2sin x·cos x+cos2x-sin2 x=sin 2x+cos 2x=2sin,由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,故所求单调递增区间为(k∈Z).(2)由f(A)=2sin=2,0<A<π得A=,∵·=,即bccos A=,∴bc=2,又△ABC中,a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-bc≥2bc-bc =(2-)bc,∴=(2-)×2=4-2,∴a min==-1.即边BC的最小值为-1。

则|b|＝________.
32
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5
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B C D -16
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考向一 平面向量数量积的运算
【审题视点 】
【例1】►(1)若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)满 足条件(8a－b)·c＝30，则x＝________.
(1)直接利用数量积的
(2)数量积运算不适合结合律，即(a·b)·c≠a·(b·c)，这是由于
三点提醒 (a·b)·c表示一个与c共线的向量，a·(b·c)表示一个与a共线的向
量，而a与c不一定共线，因此(a·b)·c与a·(b·c)不一定相等． (3)向量夹角的概念要领会，比如在等边三角形ABC中，A→B与 B→C的夹角应为120°，而不是60°.
1、选择题 2 、填空题 3、解答题
考点梳理
1．平面向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量 a 与 b，它们的夹角为 θ，则 数量|a||b|cos θ 叫作 a 与 b 的数量积(或内积)，记作 a·b， 即 a·b＝|a||b|cos θ，规定零向量与任一向量的数量积为 0， 即 0·a＝0. (2)几何意义：数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方 向上的投影|b|cos θ 的乘积． 2．平面向量数量积的性质及其坐标表示 设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ 为向量 a，b 的夹角． (1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2. (2)模：|a|＝ a·a＝ x21＋y21.
所以P→A·(P→B＋P→C)＝P→A·2P→M＝－4|P→M|2
M/
＝－49|A→M|2＝－49，故填－49.
答案 (1)－6 (2)－49

（全国通⽤）⾼考数学⼀轮复习第四章平⾯向量第三节平⾯向量的数量积习题理【含答案】第三节平⾯向量的数量积[基础达标]⼀、选择题(每⼩题5分,共30分)1.已知向量a,b和实数λ,下列选项中错误的是()A.|a|=B.|a2b|=|a||b|C.λ(a2b)=λa2bD.|a2b|≤|a||b|1.B【解析】|a2b|=|a||b||cos θ|,故易知B错误.2a,b满⾜a=(-2,2),(a+b)⊥(a-b),那么|b|=()A.2B.3C.2D.82.A【解析】a=(-2,2),得|a|=2,⽽(a+b)⊥(a-b)得(a+b)2(a-b)=0,即|a|2-|b|2=0,即|b|=|a|,因此|b|=2.3=0,| |=1,| |=2, =0,则||的最⼤值为()A.B.2 C.D.23.C【解析】由=0, =0知B点,D点都在以AC为直径的圆上,当BD为圆的直径时其值最⼤且为.4.已知向量a=(1,2x),b=(4,-x),则“x=”是“a⊥b”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.A【解析】当x=时,a2b=4-2x2=4-4=0即有a⊥b,反之a⊥b时,有a2b=0,即4-2x2=0,得x=±.5a,b满⾜|a|=|b|,且(a-b)⊥(3a+2b),则a与b的夹⾓为()A. B. C. D.π5.A【解析】由条件得(a-b)2(3a+2b)=3a2-2b2-a2b=0,即a2b=3a2-2b2.⼜|a|=|b|,所以a2b=32-2b2=b2,所以cos=,所以=.6a与向量b的夹⾓为120°,若(a+b)⊥(a-2b)且|a|=2,则b在a上的投影为()A.-B.C.D.6.A【解析】由(a+b)⊥(a-2b)得(a+b)2(a-2b)=0,即|a|2-a2b-2|b|2=0,⼜|a|=2,由向量a与向量b的夹⾓为120°得a2b=|a||b|cos=-|b|,故4+|b|-2|b|2=0?|b|=,|b|= (舍),⽽b在a上的投影为|b|cos θ,即cos 120°=-.⼆、填空题(每⼩题5分,共15分)7a,b是单位向量,a2b=0.若向量c满⾜|c-a-b|=2,则|c|的取值范围是.7.[2-,2+]【解析】由a,b是单位向量,a2b=0.可设a=(1,0),b=(0,1),c=(x,y).∵向量c满⾜|c-a-b|=2可得(x-1)2+(y-1)2=4,其圆⼼C(1,1),半径r=2,∴|OC|=.∴r-|OC|≤|c|≤|OC|+r,即2-≤|c|≤2+.∴|c|的取值范围是[2-,2+].8,| |=3,则=.8.9【解析】因为,所以=0,所以2()= +0=32=9.9.若平⾯向量a,b满⾜|2a-b|≤3,则a2b的最⼩值是.9.-【解析】由|2a-b|≤3可知,4a2+b2-4a2b≤9,所以4a2+b2≤9+4a2b.⽽4a2+b2=|2a|2+|b|2≥2|2a|2|b|≥-4a2b,所以-4a2b≤9+4a2b,得a2b≥-.[⾼考冲关]1.(5分a,b,下列关系式中不恒成⽴的是()A.|a2b|≤|a||b|B.|a-b|≤||a|-|b||C.(a+b)2=|a+b|2D.(a+b)(a-b)=a2-b21.B【解析】对任意向量a,b,|a2b|=|a||b|≤|a||b|,所以A恒成⽴;|a-b|≥||a|-|b||,所以B不恒成⽴;由数量积的运算法则可得(a+b)2=|a+b|2和(a+b)(a-b)=a2-b2恒成⽴,即C,D均恒成⽴.2.(5分a,b是两个单位向量,且a2b=-,向量c与a+b共线,则|a+c|的最⼩值为()A.B.C.D.12.A【解析】由于向量c与a+b共线,所以可设c=λ(a+b),因此|a+c|=|(1+λ)a+λb|,⽽|(1+λ)a+λb|2=(1+λ)2|a|2+2(1+λ)2λa2b+λ2|b|2= (1+λ)2+2(1+λ)2λ2+λ2=λ2+λ+1=,所以当λ=-时,|(1+λ)a+λb|2取最⼩值为,即|a+c|2最⼩值为,故当λ=-时,|a+c|取最⼩值为.3.(5分AD,BE分别是△ABC的中线,若||=||=1,且的夹⾓为120°,则=()A.B.C.D.3.B【解析】如图所⽰,| |=||=1,且夹⾓为120°,所以=||2||2cos 120°=-,⼜因为AD,BE分别是△ABC的中线,所以),)= (-)= -2),解得(2-2), (4+2),故)2(2)= (2)=2-1+=.。

所以C点在直线x=3上，由图知，只可能A、B为直角，C不可能为直角．所以k的可能值个数是2，
选B.
6.（2011年广东高考）若向量 满足 ， 的夹角为60°，则 =______；
【解析】 .
答案： .
7.（2011年北京高考）已知向量 ．若向量 ，
则实数 的值是．
【解析】已知向量 ．向量 ， ，则2+λ+4+λ=0，
A． B．C． D．
【解析】选B.对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点，对于圆的位置稍一右移或其他的变化，能实现4个交点的情况，但5个以上的交点不能实现．
5.（2013浙江高考）已知向量 ， ,若向量满足 ， ，则（）
A． B． C． D．
【解析】选D．不妨设 ，则 ，对于 ，则有 ；又 ，则有 ，则有 .
【解析】选C. ;
2.（2013海南宁夏高考）已知 ，向量 与 垂直，则实数 的值为（）
（A） （B） （C） （D）
【解析】选A.向量 ＝（－3 －1，2 ）， ＝（－1,2），因为两个向量垂直，
故有（－3 －1，2 ）×（－1,2）＝0，即3 ＋1＋4 ＝0，解得： ＝ .
3.（2013福建高考）设a，b，c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a与b不共线，ac,∣a∣=∣c∣,则∣b • c∣的值一定等于（）
方法2： ， ，
当 时，有 ，即 ， 的长度的最大值为2.
（2）方法1：由已知可得
.
， ，即 .
由 ，得 ，即 .
,于是 .
方法2：若 ，则 ，又由 ， 得
， ，即
，平方后化简得
解得 或 ，经检验， 即为所求.
22.（2013湖南高考）已知向量

山东省2014届理科数学一轮复习试题选编14：平面向量的数量积一、选择题 1 ．（山东济南外国语学校2012—2013学年度第一学期高三质量检测数学试题（理科））已知向量a=(2,1),b=(-1,k),a·(2a -b)=0,则k= （ ） A ．-12 B ．-6 C ．6 D ．12【答案】D 【解析】因为(2)0a a b -=r r rg ,即(2,1)(5,2)0k -=g ,所以10+20k -=,即12k =,选D ．2 ．（山东省泰安市2013届高三第一轮复习质量检测数学（理）试题）已知()1,6,2a b a b a ==⋅-=r r r r则向量a b r与的夹角为（ ）A ．2π B ．3π C ．4π D ．6π 【答案】B2()2a b a a b a ⋅-=⋅-=r r r r r r ,所以3a b ⋅=r r ,所以31cos ,162a b a b a b ⋅<>===⨯r rr r r r ,所以,3a b π<>=r r ,选B ．3 ．（山东省兖州市2013高三9月入学诊断检测数学(理)试题）如图,半圆的直径AB=6,O 为圆心,C 为半圆上不同于A ．B 的 任意一点,若P 为半径OC 上的动点, 则()PA PB PC +⋅u u u r u u u r u u u r的最小值是( )A ．29-B ．29 C ．2 D ．2-【答案】A 解析:x PO = , 则π22)(PC PO =⋅=⋅+29)23(2)3(22--=--=x x x , 所以29,23-=最小值为时x4 ．（山东省济宁市2013届高三第一次模拟考试理科数学 ）平面四边形ABCD 中+=0,(-)=0AB CD AB AD AC u u u r u u u r u r u u u r u u u r u u u rg ,则四边形ABCD 是（ ）A ．矩形B ．正方形C ．菱形D ．梯形【答案】C【解析】因为+=0AB CD u u u r u u u r r ,所以AB CD DC =-=u u u r u u u r u u u r,所以四边形ABCD 是平行四边形.又()=0AB AD AC DB AC -=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg g ,所以对角线互相垂直,所以四边形ABCD 是菱形,选C ．5 ．（山东省曲阜市2013届高三11月月考数学（理）试题）如图,平行四边形ABCD中,2,1,AB AD ==60,A M AB ∠=︒点在边上,且1,3AM AB DM DB =u u u u r u u u r g 则等于（ ）A ．BC ．1-D ．1【答案】D6 ．（山东省烟台市2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）在△ABC 中,AB=3,AC=2,1,2BD BC =uu u r uu u r则AD BD ⋅uuu r uu u r的值为（ ） A ．52-B ．52C ．54-D ．54【答案】C【解析】因为1,2BD BC =uu u r uu u r所以点D 是BC 的中点,则1()2AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ,11()22BD BC AC AB ==-u u u r u u u r u u u r u u u r ,所以11()()22AD BD AB AC AC AB ⋅=+⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r2222115()(23)444AC AB =-=-=-u u u r u u u r ,选C ． 7 ．（山东省日照市2013届高三12月份阶段训练数学(理)试题）向量()()2,0,,a b x y ==r r ,若b b a -r r r与的夹角等于6π,则b r的最大值为（ ）A ．4B ．C ．2D 【答案】A 【解析】设(2,0)OA a ==u u u r r ,(,)OB b x y ==u u u r r ,则b a AB -=r r u u u r .因为b b a -r r r 与的夹角等于6π,即6OBA π∠=,设,OB a AB x ==u u u r u u u r ,根据余弦定理有,22222cos 6a x ax π=+-,整理得2240x a +-=,则方程有解,所以22)4(4)0a ∆=--≥,即216a ≤,所以04a <≤,所以b r的最大值为4,选A8 ．（山东省威海市2013届高三上学期期末考试理科数学）已知(1,2),2(3,1)a a b =-=r r r ,则a b ⋅=r r（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D 因为(1,2),2(3,1)a a b =-=r r r ,所以2(3,1)2(1,2)(3,1)(1,3)b a =-=-=-r r,所以(1,2)(1,3)1235a b ⋅=⋅-=-+⨯=r r,选 D ．9 ．（山东省烟台市2013届高三上学期期中考试数学试题(理科)）已知向量b a 、,其中2=a ,2=b ,且a b)a ⊥-（,则向量a 和b 的夹角是 （ ）A ．4πB ．2πC ．43πD ．π【答案】A 【解析】由题意知.2,02)(2=⋅∴=⋅-=⋅-=⋅-a a a b 设a 与b 的夹角为θ,则.4,22||||cos πθθ==⋅=b a 故选A 10．（山东省青岛市2013届高三第一次模拟考试理科数学）若两个非零向量a r ,b r满足||2||||a b a b a ρρρρρ=-=+,则向量a b +r r 与b a -r r 的夹角为（ ）A ．6πB ．3πC ．32π D ．65π【答案】B 由a b a b +=-r r r r 得,222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+r r r r r r r r ,即0a b ⋅=r r .由2a b a +=r r r ,得22224a a b b a +⋅+=r r r r r ,即223b a =r r ,所以3b a =r r ,所以22222()()32a b b a b a a a a +⋅-=-=-=r r r r r r r r r ,所以向量a b +r r 与b a -r r 的夹角的余弦值为2()()21cos 222a b b a a a b a b a a θ+⋅-===+⋅-⋅r r r r r r r r r r ,所以3πθ=,选B ．11．（山东省济南市2013届高三4月巩固性训练数学（理）试题）已知ABC ∆的外接圆半径为1,圆心为O ,且3450OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ,则 OC AB ⋅u u u r u u u r的值为 （ ）A ．15-B ．15C ．65-D ．65【答案】A12．（山东省临沂市2013届高三5月高考模拟理科数学）平面向量a 与b 的夹角为60°,(2,0),1,==a b 则2+=a b （ ）A ．3B ．23C ．4D ．12【答案】 B 因为2,1a b ==r r ,所以1cos 60212a b a b ⋅=⋅=⨯=o r r r r ,所以2222442441223a a b b +=+⋅+=++==r r r r a b ,选 B ．13．（山东省夏津一中2013届高三4月月考数学（理）试题）在ABC∆中,60=∠BAC °,，E，F ，AC AB 12==为边BC 的三等分点,则AF AE ⋅等于 （ ）A ．35B ．45 C ．910 D ．815 【答案】A14．（山东师大附中2013届级高三12月第三次模拟检测理科数学）非零向量,a b r r 使得||||||a b a b -=+r r r r 成立的一个充分非必要条件是（ ）A ．//a b r rB ．20a b +=r r rC ．||||a ba b =r rr r D ．a b =r r【答案】B 【解析】要使||||||a b a b -=+r r r r 成立,则有,a b r r共线且方向相反,所以当20a b +=r r r 时,满足2a b =-r r,满足条件,所以选B ．15．（山东省淄博市2013届高三复习阶段性检测（二模）数学（理）试题）如图,平行四边形ABCD中,2,1,60AB AD A ==∠=o,点M 在AB 边上,且13AM AB DM DB =⋅u u u u r u u u r ，则等于（ ）A ．32-B ．32C ．1-D ．1【答案】 D 1,3DM DA AM DA AB DB DA AB =+=+=+u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,所以2211444()()133333DM DB DA AB DA AB DA AB DA AB AD AB⋅=+⋅+=++⋅=+-⋅u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r74741cos6012133332AD AB =-⋅=-⨯⨯⨯=o u u u r u u u r .选 D ．16．（山东省德州市2013届高三3月模拟检测理科数学）直线0x +-=与圆224x y +=交于A,B两点,则OA u u u r ·OB u u u r =（ ）A ．4B ．3C ．2D ．-2【答案】C由2204x x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩,解得1x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩02x y =⎧⎨=⎩,即(0,2)A B ,所以OA u u u r ·2OB =u u u r ,选C ．17．（山东省德州市2013届高三上学期期末校际联考数学（理））若12,e e u r u u r是平面内夹角为60o 的两个单位向量,则向量12122,32a e e b e e =+=-+r u r u u r r u r u u r的夹角为（ ）A ．30oB ．60oC ．90oD ．120o【答案】D 【解析】12121cos 602e e e e ==ou r u u r u r u u r g ,12127(2)(32)2a b e e e e =+-+=-r r u r u u r u r u u r g g,a ===r,b ===r ,所以,a br r的夹角的余弦值为1cos ,2a b a b a b<>===-r r r r g r r ,所以,120a b <>=o r r ,选 D ．二、填空题18．（山东省泰安市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）设单位向量1212121,,22e e e e e e ⋅=-+=u r u u r u r u u r u r u u r 满足则____.19．（山东省淄博市2013届高三上学期期末考试数学（理））已知向量(1,1),(2,0)a b ==r r,则2a b +r r 等于______________.【答案】【 解析】22(1,1)(2,0)(4,2)a b +=+=r r,所以2a b +===r r 20．（山东省潍坊市2013届高三第二次模拟考试理科数学）如图,在△ABC 中,O 为BC 中点,若AB=I,3AC =,,60AB AC =ou u u r u u u r ,则OA =u u u r ______________.【答案】132因为,60AB AC =ou u u r u u u r ,所以13cos 60322AB AC AB AC ⋅=⋅=⨯=o u u u r u u u r u u u r u u u r ,又1()2AO AB AC =+u u u r u u u r u u u r ,所以222211()(2)44AO AB AC AB AB AC AC =+=+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,即2113(139)44AO =++=u u u r ,所以132OA =u u u r . 21．（山东省曲阜市2013届高三11月月考数学（理）试题）已知向量,||2,||1,60,|2|a b a b a b a b ==︒-=r r r r r r r r满足与 的夹角为则______.【答案】222．（山东省莱芜市莱芜十七中2013届高三4月模拟数学（理）试题）如上图,在△ABC 中,AN =31NC ,P 是BN 上的一点,若AP =m AB +112AC ,则实数m 的值为___________.【答案】113 23．（山东省济宁邹城市2013届高三上学期期中考试数学（理）试题）若||2||0,,,b a c a b c a a b =≠=+⊥r r r r r r r r r且则向量与的夹角为________.【答案】120︒ 24．（山东省烟台市莱州一中2013届高三第三次质量检测数学(理)试题）已知向量a,b 满足,||1,||2,()==⊥+a b a a b ,则a 与b 夹角的大小是___________【答案】34π【解析】因为()a a b ⊥+r r r ,即()0a a b +=r r r g ,所以20a a b +=r r r g,即21a b a =-=-r r r g ,所以2cos ,2a b a b a b<>===r rr r g r r ,所以3,4a b π<>=r r .25．（山东省潍坊市2013届高三上学期期末考试数学理（A ））已知向量(1,1),(2,0)a b ==r r,则2a b +r r 等于为.（第14题图）N PCB【答案】25【解析】因为(1,1),(2,0)a b==r r ,所以22(1,1)(2,0)(4,2)a b +=+=r r,所以222422025a b +=+==r r.26．（山东师大附中2013届高三第四次模拟测试1月理科数学）已知ABC ∆中4,2AC AB ==,若G 为ABC ∆的重心,则AG BC ⋅=u u u r u u u r__________.【答案】4 【解析】,设BC 的中点为D,因为G 为ABC ∆的重心,所以2211()()3323AG AD AB AC AB AC ==⨯+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r,BC AC AB =-u u u r u u u r u u u r ,所以22222111()()()(42)43333AG AD BC AB AC AB AC AB AC ==+-=-=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g .27．（山东省德州市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）在△ABC 中22,AB u u u r ·BC uuur =1,则BC=____________.【答案】228．（山东省兖州市2013高三9月入学诊断检测数学(理)试题）已知4=a ρ,3=b ρ,()()61232=+•-b a b a ρρρρ,则a ρ与b ρ的夹角θ为____________________【答案】ο120(或32π) 29．（山东省泰安市2013届高三上学期期末考试数学理）设非零向量,,a b c r r r满足,a b c a b c ==+=u u r u u r u r r r r ,则,a b =r r__________.【答案】120o 或23π 【解析】因为a b c +=r r r ,所以()c a b =-+r r r,所以()c a b a b =-+=+r r r r r 所,以2222c a a b b =++r r r r r g ,即212a b b =-r r r g ,所以2112cos ,2b a b a b a b a b-<>===-rr r r r g r r r r ,所以,120a b <>=o r r .30．（山东省临沂市2013届高三第三次模拟考试 理科数学）如右图放置的正方形ABCD ,AB =1,A ,D 分别在x轴、y 轴的正半轴(含原点)上滑动,则OC → ·OB →的最大值是____________.证明过程或演算步骤.【答案】231．（2013山东高考数学（理））已知向量AB u u u r 与AC u u u r 的夹角为120°,且3AB =u u u r ,2AC =u u u r ,若AP AB AC λ=+u u u r u u u r u u u r ,且AP BC ⊥u u u r u u u r,则实数λ的值为__________.【答案】712【解析】向量AB u u u v 与AC u u u v 的夹角为120o,且||3,||2,AB AC ==u u u v u u u v 所以1cos1203232AB AC AB AC ⋅=⋅=-⨯⨯=-ou u u v u u u v u u u v u u u v .由AP BC ⊥u u u v u u u v 得,0AP BC ⋅=u u u v u u u v ,即()()0AP BC AB AC AC AB λ⋅=+⋅-=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ,所以22(1)0AC AB AB AC λλ-+-⋅=u u u v u u u v u u u v u u u v,即493(1)0λλ---=,解得712λ=.。

平面向量的数量积一、选择题1．已知平面上三点A 、B 、C 满足|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5，则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB→的值等于( )A ．25B ．24C ．－25D ．－242．若向量a, b ，c 满足a ∥b 且a ⊥c ，则c ·(a ＋2b )＝( )A ．4B ．3C ．2D ．03．设x ，y ∈R，向量a ＝(x ，1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( ) A. 5 B.10 C ．2 5 D ．104．已知三个向量a 、b 、c 两两所夹的角都为120°，且|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，则向量a ＋b 与向量c 的夹角θ的值为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°5．已知两个非零向量a 与b ，定义|a ×b |＝|a ||b |sin θ，其中θ为a 与b 的夹角．若a ＝(－3，4)，b ＝(0，2)，则|a ×b |的值为( )A ．－8B ．－6C ．6D ．8二、填空题6．已知向量a ＝(1，0)，b ＝(1，1)，则(1)与2a ＋b 同向的单位向量的坐标表示为________；(2)向量b －3a 与向量a 夹角的余弦值为________．7．已知|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则a ＋b 在a 方向上的投影为________．8．设i 、j 是平面直角坐标系(坐标原点为O )内分别与x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量，且OA →＝－2i ＋j ，OB →＝4i ＋3j ，则△OAB 的面积等于________．三、解答题9．已知a ＝(1，2)，b ＝(1，1)，且a 与a ＋λb 的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．10．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)，B (2，3)，C (－2，－1)．(1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值．11．已知点A (1，0)，B (0，1)，C (2sin θ，cos θ)．(1)若|AC →|＝|BC →|，求sin θ＋2cos θsin θ－cos θ的值； (2)若(OA →＋2OB →)·OC →＝1，其中O 为坐标原点，求sin θ·cos θ的值．解析及答案一、选择题1．【解析】 ∵|AB →|2＋|BC →|2＝|CA →|2，∴AB →⊥BC →，即AB →·BC →＝0，∴AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝CA →(BC →＋AB →)＝CA →·AC →＝－CA →2＝－25.【答案】 C2．【解析】 ∵a ⊥c ，∴a ·c ＝0，又∵a ∥b ，则设b ＝λa ，∴c ·(a ＋2b )＝(1＋2λ)c ·a ＝0.【答案】 D3．【解析】 ∵a ＝(x ，1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，由a ⊥c 得a ·c ＝0，即2x －4＝0，∴x ＝2.由b ∥c 得1×(－4)－2y ＝0，∴y ＝－2.∴a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)．∴a ＋b ＝(3，－1)，∴|a ＋b |＝32＋（－1）2＝10.【答案】 B4．【解析】 ∵(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c＝1×3×cos 120°＋2×3×cos 120°＝－92， |a ＋b |＝（a ＋b ）2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝12＋2×1×2×cos 120°＋22＝3，∴cos θ＝（a ＋b ）·c |a ＋b |·|c |＝－923×3＝－32， ∵0°≤θ≤180°，∴θ＝150°.【答案】 D 5．【解析】 因为a ＝(－3，4)，b ＝(0，2)，所以cos θ＝a ·b |a ||b |＝85×2＝45，且θ∈[0，π]，则sin θ＝35，故|a ×b |＝|a ||b |sin θ＝5×2×35＝6. 【答案】 C二、填空题6．【解析】 (1)∵2a ＋b ＝(3，1)，∴|2a ＋b |＝32＋12＝10.∴与2a ＋b 同向的单位向量2a ＋b |2a ＋b |＝(31010，1010)． (2)∵b －3a ＝(－2，1)，∴|b －3a |＝5，|a |＝1，(b －3a )·a ＝(－2，1)·(1，0)＝－2，∴cos 〈b －3a ，a 〉＝（b －3a ）·a |b －3a ||a |＝－25＝－255. 【答案】 (1)(31010，1010) (2)－2557．【解析】 (a ＋b )·a ＝a 2＋a ·b ＝1＋1×2×cos 60°＝2，则a ＋b 在a 方向上的投影为（a ＋b ）·a |a |＝2. 【答案】 28．【解析】 由题意知OA →＝(－2，1)，OB →＝(4，3)，则|OA →|＝5，|OB →|＝5，OA →·OB →＝－2×4＋1×3＝－5，∴cos ∠AOB ＝OA →·OB →|OA →||OB →|＝－555＝－55， ∴sin ∠AOB ＝255， ∴S △OAB ＝12|OA →||OB →|sin ∠AOB ＝12×5×5×255＝5. 【答案】 5三、解答题9．【解】 ∵a 与a ＋λb 均为非零向量，且夹角为锐角， ∴a ·(a ＋λb )＞0，即(1，2)·(1＋λ，2＋λ)＞0，∴(1＋λ)＋2(2＋λ)＞0，∴λ＞－53， 当a 与 a ＋λb 共线时，存在实数m ，使a ＋λb ＝ma ，即(1＋λ，2＋λ)＝m (1，2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋λ＝m ，2＋λ＝2m ，∴λ＝0，即当λ＝0时，a 与a ＋λb 共线．综上可知，λ＞－53且λ≠0. 10．【解】 (1)由题设知AB →＝(3，5)，AC →＝(－1，1)，则AB →＋AC →＝(2，6)，AB →－AC →＝(4，4)．所以|AB →＋AC →|＝210，|AB →－AC →|＝4 2.故所求的两条对角线长分别为42，210.(2)由题设知OC →＝(－2，－1)，AB →－tOC →＝(3＋2t ，5＋t )．由(AB →－tOC →)·OC →＝0，得(3＋2t ，5＋t )·(－2，－1)＝0，从而5t ＝－11，所以t ＝－115. 11．【解】 ∵A (1，0)，B (0，1)，C (2sin θ，cos θ)， ∴AC →＝(2sin θ－1，cos θ)，BC →＝(2sin θ，cos θ－1)． (1)|AC →|＝|BC →|， ∴（2sin θ－1）2＋cos 2θ＝（2sin θ）2＋（cos θ－1）2，化简得2sin θ＝cos θ，所以tan θ＝12， ∴sin θ＋2cos θsin θ－cos θ＝tan θ＋2tan θ－1＝12＋212－1＝－5. (2)OA →＝(1，0)，OB →＝(0，1)，OC →＝(2sin θ，cos θ)，∴OA →＋2OB →＝(1，2)，∵(OA →＋2OB →)·OC →＝1，∴2sin θ＋2cos θ＝1.∴(sin θ＋cos θ)2＝14， ∴sin θ·cos θ＝－38.。

一、选择题1．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k ＝( )A ．－12B ．－6C ．6D ．12解析：∵2a －b ＝(4,2)－(－1，k)＝(5,2－k)，由a·(2a－b)＝0，得(2,1)·(5,2－k)＝0 ∴10＋2－k ＝0，解得k ＝12.答案：D2．设向量a ，b 满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－12，则|a ＋2b|＝( ) A. 2 B. 3 C. 5 D.7 解析：依题意得(a ＋2b)2＝a2＋4b2＋4a·b＝5＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3，则|a ＋2b|＝3，故选B. 答案：B3．在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥AB ，B ＝45°，AB ＝2CD ＝2，M 为腰BC 的中点，则MA →·MD→＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：据题意可得MA →·MD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12CB →＋BA →·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12CB →＋CD →＝－14|CB →|2＋12CB →·CD →－12CB →·BA →＋BA →·CD →＝－14×(2)2＋12×2×1×cos135°－12×2×2×1×cos135°＋2×1×cos0°＝－12－12＋1＋2＝2. 答案：B4．已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题p1：|a ＋b|＞1⇔θ∈[0，2π3) p2：|a ＋b|＞1⇔θ∈(2π3，π] p3：|a －b|＞1⇔θ∈[0，π3) p4：|a －b|＞1⇔θ∈(π3，π] 其中的真命题是( )A ．p1，p4B ．p1，p3C ．p2，p3D ．p2，p4解析：由|a ＋b|＞1可得：a2＋2a·b＋b2＞1，∵|a|＝1，|b|＝1，∴a·b＞－12，故θ∈[0，2π3)．当θ∈[0，2π3)时，a·b＞－12，|a ＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＞1，即|a ＋b|＞1；由|a －b|＞1可得：a2－2a·b＋b2＞1，∵|a|＝1，|b|＝1，∴a·b＜12，故θ∈(π3，π]，反之也成立，选A.答案：A5．若a ，b ，c 均为单位向量，且a·b＝0，(a －c)·(b－c)≤0，则|a ＋b －c|的最大值为( )A.2－1 B ．1C. 2 D ．2解析：由已知条件，向量a ，b ，c 都是单位向量可以求出，a2＝1，b2＝1，c2＝1，由a·b ＝0，及(a －c)(b －c)≤0，可以知道，(a ＋b)·c≥c2＝1，因为|a ＋b －c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b－2a·c－2b·c，所以有|a ＋b －c|2＝3－2(a·c＋b·c)≤1，故|a ＋b －c|≤1. 答案：B6．设A(a,1)、B(2，b)、C(4,5)为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若OA →与OB →在OC →方向上的投影相同，则a 与b 满足的关系式为( )A ．4a －5b ＝3B ．5a －4b ＝3C ．4a ＋5b ＝14D ．5a ＋4b ＝14解析：由图知，要使OA →与OB →在OC →方向上的投影相同，只需使AB →⊥OC →，即(2－a ，b －1)·(4,5)＝0得4a －5b －3＝0.答案：A二、填空题7．已知向量a ，b 满足(a ＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则a 与b 的夹角为________． 解析：设a 与b 的夹角为θ，依题意有(a ＋2b)·(a－b)＝a2＋a·b－2b2＝－7＋2cosθ＝－6，所以cosθ＝12，因为0≤θ≤π，所以θ＝π3. 答案：π38．已知单位向量e1，e2的夹角为60°，则|2e1－e2|＝__________.解析：依题意得(2e1－e2)2＝4e21＋e22－4e1·e2＝4＋1－4×12×cos60°＝3，故|2e1－e2|＝ 3.答案： 39．若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是________．解析：如图，向量α与β在单位圆O 内，其中因|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，故以向量α，β为边的三角形的面积为14，故β的终点在如图的线段AB(α∥AB →且圆心O 到AB 的距离为12)上，因此夹角θ的取值范围为[π6，5π6]． 答案：[π6，5π6] 三、解答题10．已知OA →＝(2,5)，OB →＝(3,1)，OC →＝(6,3)，在OC →上是否存在点M ，使MA →⊥MB →，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解析：设存在点M ，且OM →＝λOC →＝(6λ，3λ)(0＜λ≤1)，∴MA →＝(2－6λ，5－3λ)，MB →＝(3－6λ，1－3λ)．∵MA →⊥MB →，∴(2－6λ)(3－6λ)＋(5－3λ)(1－3λ)＝0，即45λ2－48λ＋11＝0，解得λ＝13，或λ＝1115. ∴OM →＝(2,1)，或OM →＝(225，115)． ∴存在M(2,1)，或M(225，115)满足题意． 11．(2013·佛山质检)设向量a ＝(4cosα，sinα)，b ＝(sinβ，4cosβ)，c ＝(cosβ，－4sinβ)．(1)若a 与b －2c 垂直，求tan(α＋β)的值；(2)求|b ＋c|的最大值；(3)若tanαtanβ＝16，求证：a ∥b.解析：(1)因为a 与b －2c 垂直，所以a·(b－2c)＝4cosαsinβ－8cosαcosβ＋4sinαcosβ＋8sinαsinβ＝4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，因此tan(α＋β)＝2.(2)由b ＋c ＝(sinβ＋cosβ，4cosβ－4sinβ)，得|b ＋c|＝sinβ＋cosβ2＋4cosβ－4sinβ 2＝17－15sin2β≤4 2.又当β＝－π4时，等号成立，所以|b ＋c|的最大值为4 2. (3)由tanαtanβ＝16得4cosαsinβ＝sinα4cosβ，所以a ∥b. 12．已知向量m ＝(1,1)，向量n 与向量m 的夹角为34π，且m·n＝－1. (1)求向量n ；(2)△A BC 中三内角A 、B 、C 依次成等差数列，若向量n ＝(0，－1)，向量p ＝(cosA ,2cos2C 2)，求|n ＋p|的取值范围． 解析：(1)设n ＝(x ，y)，由m·n＝－1，可得 x ＋y ＝－1，①又m 与n 的夹角为34π，有m·n＝|m|·|n|·cos 34π，则x2＋y2＝1，②由①、②解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝－1. ∴n ＝(－1,0)或n ＝(0，－1)．(2)由2B ＝A ＋C 知B ＝π3，A ＋C ＝2π3，0＜A ＜2π3，若n ＝(0，－1)，则n ＋p ＝(cosA,2cos2C2－1)＝(cosA ，cosC)，∴|n ＋p|2＝cos2A ＋cos2C＝1＋cos2A 2＋1＋cos2C2＝1＋12[cos2A ＋cos(4π3－2A)]＝1＋12cos(2A ＋π3)，∵0＜A ＜2π3，π3＜2A ＋π3＜5π3，∴－1≤cos(2A＋π3)＜12，12≤1＋12cos(2A ＋π3)＜54，即|n ＋p|2∈[12，54)，∴|n ＋p|∈[22，52).。

高考数学《平面向量的数量积》一轮复习练习题（含答案）一、单选题1．已知向量()()1,1,2,1a b ==-，则a 在b 上的投影向量为（ ） A ．42(,)55-B ．21(,)55-C ．42(,)55-D ．21(,)55-2．已知3a =，23b =，3a b ⋅=-，则a 与b 的夹角是（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°3．已知向量()1,2a =，()2,2b =，则向量a 在向量b 上的投影向量为（ ） A ．33,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．33,44⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()2,2D ．22,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭4．设e →为单位向量，||2a →=，当a e →→，的夹角为3π时，a →在e →上的投影向量为（ ） A ．－12e →B ．e →C ．12e →D ．32e →5．已知直角三角形ABC 中，90A ∠=︒，AB =2，AC =4，点P 在以A 为圆心且与边BC 相切的圆上，则PB PC ⋅的最大值为（ ）A 16165+B 1685+ C ．165D ．5656．在ABC 中，已知5AB =，3BC =，4CA =，则AB BC ⋅=（ ） A ．16B ．9C ．－9D ．－167．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，它是中国古老的传统民间艺术之一．在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）．已知正方形ABCD 的边长为2，中心为O ，四个半圆的圆心均在正方形ABCD 各边的中点（如图2，若点P 在四个半圆的圆弧上运动，则AB OP 的取值范围是（ ）A ．[]22-,B ．22,22⎡⎤⎣⎦-C ．32,32⎡⎤-⎣⎦D ．[]4,4-8．如图，AB 为半圆的直径，点C 为AB 的中点，点M 为线段AB 上的一点（含端点A ，B ），若2AB =，则AC MB +的取值范围是（ ）A ．[]1,3B ．2,3⎡⎤⎣⎦C ．10⎡⎣D ．2,10⎡⎣9．已知圆M ：()()22114x y -+-=．设P 是直线l ：3480x y ++=上的动点，PA 是圆M 的切线，A 为切点，则PA PM ⋅的最小值为（ ） A 3B 5C ．3D ．510．在三棱锥D ABC -中，DA ⊥平面,,ABC AB BC DA AB BC ⊥==；记直线DB 与直线AC 所成的角为α，直线DC 与平面ABD 所成的角为β，二面角D BC A --的平面角为γ，则（ ） A ．βγα<< B ．γβα<< C ．βαγ<<D ．αγβ<<11．已知2OA OB ==，点C 在线段AB 上，且OC 的最小值为3OA tOB +（t ∈R ）的最小值为（ ） A 2B 3C ．2D 512．如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥BD ，△BCD 为边长为23形，点P 为边BD 上一动点，则AP CP ⋅的取值范围为（ ）A ．[]6,0-B ．25,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．27,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]7,0-二、填空题13．已知向量(,3),(1,1)a m b m ==+．若a b ⊥，则m =______________．14．已知在ABC 中，90C ∠=︒，4CA =，3CB =，D 为BC 的中点，2AE EB =，CE 交AD 于F ，则CE AD ⋅=_______15．已知向量0a b c ++=，1a =，2b c ==，a b b c c a ⋅+⋅+⋅=_______． 16．已知,a b 是两个单位向量，2c a b =+，且b c ⊥，则()a ab ⋅+=__________． 三、解答题(17．已知()1,2a =，()2,3b =-，c a b λ=+． (1)当1λ=-时，求a c ⋅的值； (2)若()a b c +⊥，求实数λ的值．18．在①()cos2cos A B C =+，②sin 3cos a C c A =这两个条件中任选一个作为已知条件，然后解答问题．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，______． (1)求角A ；(2)若2b =，4c =，求ABC 的BC 边上的中线AD 的长．19．已知()1,2,2a m m =-，()3,21,1b n =-． (1)若a b ∥，求m 与n 的值； (2)若()3,,3c m =-且a c ⊥，求a ．20．已知2,1a b ==，(3)()3a b a b -⋅+= (1)求a b +的值； (2)求a 与2a b -的夹角.21．已知()1,2a =，(1,1)b =-． (1)若2a b +与ka b -垂直，求k 的值； (2)若θ为2a b +与a b -的夹角，求θ的值．22．已知ABC 中，角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，若2a =，且满足2c s 2o c aB b-=． (1)求角A ；(2)求BA BC ⋅的取值范围．23．已知向量()()32,,1，=-=a b x . (1)若()()22a b a b +⊥-，求实数x 的值；(2)若()()8,1,//=--+c a b c ，求向量a 与b 的夹角θ.24．在直角梯形ABCD 中，已知//AB CD ，90DAB ∠=︒，224AB AD CD ===，点F 是BC 边上的中点，点E 是CD 边上一个动点.(1)若12DE DC =，求AC EF ⋅的值； (2)求EA EF ⋅的取值范围。