73.算术平方根的双重非负性

算术平方根的双重非负性算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即ax=2，那么这个正数x就叫做a 的算术平方根，记为“a”，读作“根号a”．特别地，我们规定0的算术平方根是0，即00=.算术平方根定义中的两层含义：a中的a是一个非负数，即0a≥，a的算术平方根a也是一个非负数，≥．这就是算术平方根的双重非负性．例题：已知x，y为有理数，且x－1＋3(y－2)2＝0，求x－y的值．解析：算术平方根和完全平方式都具有非负性，即≥，a2≥0，由几个非负数相加和为0，可得每一个非负数都为0，由此可求出x 和y的值，进而求得答案．()20,20y≥-≥，且x－1＋3(y－2)2＝0∴x-1=0，y-2=0.∴x=1,y=2∴x－y＝1－2＝－1.方法总结：算术平方根、绝对值和完全平方式都具有非负性，即≥，|a|≥0，a2≥0，当几个非负数的和为0时，各数均为0.巩固练习：1.若|x－2|+3-y=0,则xy=______.2.已知()0232212=++++-zyx，求x+y+z的值.3. △ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且a ，b 满足04412=+-+-b b a ，求c 的取值范围．参考答案：1. xy =62. 解：因为21-x ≥0，()22+y ≥0，23+z ≥0，且()0232212=++++-z y x ， 所以21-x =0，()22+y =0，23+z =0， 解得21=x ，2-=y ，23-=z ， 所以x +y +z = 3-．3. 解：由04412=+-+-b b a ，可得0)2(12=-+-b a ，因为 1-a ≥0，2)2(-b ≥0， 所以1-a =0，2)2(-b =0，所以a = 1，b = 2，由三角形三边关系定理有：b- a < c < b +a ，即1 < c < 3．。

二次根式双重非负性的运用
湖北省黄石市下陆中学陈勇
在实数范围内，我们知道式子表示非负数ａ的算术平方根，它具有双重非负性：（１）
；（２）ａ≥０．运用这两个简单的非负性，再结合非负数的性质“若几个非负数的和等于０，则这几个非负数都等于０”可以解决一些似乎无从下手的算术平方根问题．例１已知＋＝０，求ｘ，ｙ的值．
分析：因为≥０，≥０，根据几个非负数之和等于０，则每个
非负数都等于０，可知，从而，解之，得ｘ＝－１，ｙ＝４．
例２若实数ａ、ｂ满足＋＝０，则２ｂ－ａ＋１＝＿＿＿．分析：因为≥０，≥０，故由非负数的性质，得
，两式相加，即得２ｂ－ａ＋１＝０．
例３已知实ａ满足，求ａ-2010的值．
解：由ａ-20110，得ａ2011。

故已知式可化为ａ-2010+=ａ，
∴=2010，两边平方并整理，得：ａ-2010＝2011．
例４在实数范围内，求代数式的值．
解：考虑被开方数，得从而，又，故
＝０，ｘ＝４．∴原式＝１．
例５设等式＝在实数范围内成立，其中ａ、ｘ、ｙ是两两不同的实数，求的值．
解：由ａ（ｘ－ａ）≥０及ｘ－ａ≥０得ａ≥０；由ａ（ｙ－ａ）≥０及ａ－ｙ≥０得ａ≤０，故ａ＝０，从而已知式化为，ｘ＝－ｙ≠０，故原式＝
＝.。

一般地说，若一个非负数x的平方等于a，即x²=a，则这个数x叫做a的算术平方根。

计算a的算术平方根可记为√a，读作“根号a”，a叫做被开方数。

1算术平方根的性质
（1）双重非负性
在x=√a中的a
①a≥0（若小于0，则为虚数）
②x≥0
（2）与平方根的关系
正数的平方根有两个，它们为相反数，其中非负的平方根，就是这个数的算术平方根。

2平方根的性质
（1）一个正数如果有平方根，那么必定有两个，它们互为相反数。

（2）负数在实数系内不能开平方。

只有在复数系内，负数才可以开平方。

（3）负数的平方根为一对共轭纯虚数。

3平方根和算术平方根的相同点
（1）前提条件相同：算术平方根和平方根存在的前提条件都是“只有非负数才有算术平方根和平方根”。

（2）存在包容关系：平方根包含了算术平方根，因为一个正数的算术平方根只是其两个平方根中的一个。

（3）0的算术平方根和平方根相同，都是0。

实数总结中考常考题型与解题方法技巧一、“双重非负性” 算术平方根a 具有双重非负性，一是被开方数必须是非负数，即0≥a ；二是算术平方根的值是非负数，即0≥a .算术平方根的非负性主要用于下面几个方面:1．利用被开方数的非负性例1 （2007·福州）当x______时，二次根式3-x 在实数范围内有意义．例2 求x x x x 5421612-+-+--+的值．2．利用算术平方根值的非负性例3 若02)2(2=-+-x x ，则x 的取值范围是( )A ．2>xB ．2<xC ．2≥xD ．2≤x3．非负性的综合应用例4 已知x 、y 、z 是实数，且0||)1(322=+-+-+-y x z y x ，则x y 23-z 4+的值为______．例5 已知实数a 满足a a a =-+-2008|2007|，那么22007-a 的值是( )A.2005B.2006C.2008D.2007二、“一个中心，两条路线”二次根式加、减、乘、除四则运算是实数运算的基础，在整个初中数学中有着重要的作用，而二次根式的化简、求值和证明等类型题常与分式、方程等知识综合在一起出现，为中考的重点题型，同时也渗透着“一个中心，两条路线”的方法技巧．1．一个中心有关二次根式的运算，往往题目庞大、繁杂，让人望而生畏，其实只要同学们坚持一个中心——“化繁为简”，许多问题便能迎刃而解．所谓“化繁为简”，就是运用多种方法，将形式复杂的代数式化成结构相对比较简单的代数式，使问题得到解决．例6 当32-=b 时，求ab a b ab b a b a ab b a +-+++2的值．2．两条路线“两条路线”即两种“化繁为简”的方法．一是对所给的代数式进行变形；二是灵活运用数学思想．当然根据题目特点可将两种方法结合起来使用．例7 已知223-=a ，223+=b ，求922-+b a 的值．例8 化简3232--+三、“三法”定“大小”二次根式的大小，常见比较方法有如下三种：1．比较被开方数例9 (2007·河北)比较大小：7与502．平方法例10 比较大小：176+与1310+3．作差法例11 比较大小：233+与135-．四、“六脉神剑”助你求值在中考中常会遇到与二次根式有关的求值问题．解答这类问题时，除用常规的先化简后代入的方法外，还必须掌握以下的技巧，现举例如下：1．巧用乘法公式例12 已知223=+y x x y ，那么yx x y +的值等于( ) A ．23 B ．25 C ．27 D ．292．巧用平方例13 已知131=+a a ，那么aa 1-=______．3．巧用配方例14 已知54230+=+b a ，54230-=+c b ，则-++++bc ab c b a 222ac =____．4．巧用换元例15 若15332=+---x x x x ，则x x 32-=______．5．巧用非负性例16 已知045)1(2=+-+-y x x ，则xy 的值为( )6．巧用对称性例17 若231+=x ，231-=y ，则222-+y x 的值为() A ．23 B ．22 C ．32 D ．33。

深度研究算术平方根的双重非负性江苏海安紫石中学 黄本华 226600.0)a ≥具有双重非负性。

一是被开方数具有非负性，即0a ≥。

二是算0。

算术平方根的双重非负性应用十分广泛，有难度，容易错，因此只有深度研究算术平方根的这两个非负性，我们解题才能轻松自如。

一、确定字母的取值范围例1已知实数ａ满足2017a a -=，求22017a -的值。

【分析】要去绝对值就要确定a 的范围。

由被开方数20180a -≥可得。

【解答】20180a -≥，2018a ∴≥∴20170a -<，2017a a ∴-=∴2017=，∴220182017a -=220172018a ∴-=【点评】此题被开方数为非负数具有隐含性，挖掘出这个隐含性，是解题的关键。

二、确定最大值或最小值例2 （2017宁波）当x 取 时，的值最小，最小值是 ；当x 取 时，2﹣的值最大，最大值是 ．【分析】依据算术平方根的非负性可知当10+2x=0时，的值最小，当5﹣x=0时，2﹣的值最大．【解答】当10+2x=0时，的值最小，解得x=﹣5，此时的最小值为0． 当5﹣x=0时，即x=5时，=0，此时2﹣的值最大，最大值是2．【点评】熟练掌握算术平方根的非负性是解本题的关键．三、求字母的值例3 如果y=+3，试求2x+y 的值．【分析】观察到被开方数24x ﹣和24x ﹣互为相反数，而它们又必须都大于等于0，所以它们必须都为0。

从而求出x 的值。

【解答】由题意得，22404020x x x ≥⎧≥⎪≠⎩+⎪⎨﹣﹣，解得2x =，所以，3y =，所以，22237x y +=⨯+=．【评注】：如果一条题目中出现的两个被开方数互为相反数，则这两个被开方数数都为00a =。

例4 已知：=0，求：代数式的值．【分析】右边为0，左边分子是两个非负数的和，所以这两个非负数都必须为0．同时必须注意分母的7a +，既是被开方数，又在分母上，故70a +>，这样避免多解。

算术平方根的双重非负性的深度解析江苏海安紫石中学 黄本华 226600.0)a ≥具有双重非负性。

一是被开方数具有非负性，即0a ≥。

二是算0≥。

算术平方根的双重非负性还有两个特征，一是兼容性，容易与其它知识点组合成有一定分值的综合题，而双重非负性往往是解题的切入点，更是解题的关键。

二是隐含性，如果不仔细观察，认真分析，要么就无从下手要么造成多解或漏解。

因此算术平方根的双重非负性是历年中考的热点。

只有深度研究算术平方根的这两个非负性，我们解题时才能居高临下，游刃有余。

一、确定字母的取值范围例1（中考题改编）已知实数ａ满足2017a a -=，求22017a -的值 分析：如何去绝对值？如何去根号？如何确定a 的范围?分析的时候不断地给自己提一些小问题，就会逐渐地挖掘出此题的切入点！那就是——隐含条件：被开方数20180a -≥。

【解答】20180a -≥Q ，2018a ∴≥∴20170a -<，2017a a ∴-+=∴2017=，∴220182017a -=220172018a ∴-=【评注】不要求去求字母的取值范围，而又必须求字母的取值范围，这就是被开方数为非负数的隐含性，挖掘出这个隐含性，就是解题的关键。

【变式训练】化简212x --。

【提示】貌似与例题风马牛不相及，实质相同。

二、确定最大值或最小值例2 （2017宁波）当x 取 时，的值最小，最小值是 ；当x 取 时，2﹣的值最大，最大值是 ．【分析】依据算术平方根的非负性可知当10+2x=0时，的值最小，当5﹣x=0时，2﹣的值最大．【解答】当10+2x=0时，的值最小，解得x=﹣5，此时的最小值为0． 当5﹣x=0时，即x=5时，=0，此时2﹣的值最大，最大值是2．【点评】熟练掌握算术平方根的非负性是解本题的关键．【变式】（2017 宁都）设a ，b 是不小于3的实数，则+|2﹣|的最小值是【提示】分别求出和|2﹣|的最小值即可。

算术平方根的性质算术平方根，又称为正平方根，是数学领域中的一个重要概念。

它表示一个数的平方等于另一个给定的数。

在本文中，我们将探讨算术平方根的性质，并进一步了解它在数学中的应用。

一、算术平方根的定义和符号表示算术平方根是指一个非负数的非负根。

具体地说，一个数a的算术平方根就是满足 b² = a 的非负数b。

我们用√a来表示这个算术平方根。

二、算术平方根的性质1. 非负性质：算术平方根必定永远是一个非负数。

这是由于负数的平方根不是实数，因此只有非负数才有算术平方根。

2. 唯一性质：每个正数都有且仅有一个算术平方根。

这意味着给定一个正数，它的算术平方根是唯一确定的。

3. 平方性质：一个数的算术平方根的平方等于这个数本身。

换句话说，对于任意非负数a，有（√a）² = a。

4. 无理性质：除了完全平方数，其他正数的算术平方根都是无理数。

这表示它们不能被表示为两个整数的比值。

三、算术平方根的计算方法计算一个数的算术平方根可以使用多种方法。

常见的方法包括首先进行因式分解，然后运用根号的乘法法则，或使用近似法来计算。

四、算术平方根的应用算术平方根在数学和实际生活中都有广泛的应用。

以下是其中几个常见的应用领域：1. 几何学：算术平方根广泛应用于几何学中的长度和距离计算。

例如，在三角形中，可以使用算术平方根来计算斜边的长度。

2. 物理学：相对论中的质量-能量等价原理和量子力学中的不确定性原理等理论也有与算术平方根有关的应用。

3. 金融学：在金融学中，算术平方根用于计算投资回报的标准差，从而评估投资组合的风险。

4. 工程学：在工程学中，算术平方根被应用于计算物体的速度、加速度和力的大小等。

综上所述，算术平方根是数学中一个重要的概念，具有许多重要的性质和广泛的应用。

更深入地理解和应用算术平方根有助于我们在数学和实际生活中解决问题，并提高数学思维能力。

总字数：535字。

七年级：平方根与立方根1.平方根(1)定义：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫作a的平方根，也叫作a的二次方根，记为“±√a”, 读作“正负根号a”, 如下：b²=a→±√a=b其中把a称之为被开方数。

(2)特性：正数有两个平方根，且互为相反数；负数没有平方根；0的平方根还是0。

2.算术平方根(1)定义：非负数的非负平方根称为算术平方根，一个数a(a≥0)的算术平方根记作√a, 读作“根号a”。

0 的算术平方根为0。

(2)算术平方根的双重非负性：被开方数a是一个非负数，其结果“√a” 也是一个非负数.3.平方根与算术平方根的联系与区别1)联系：(1)算术平方根是平方根中的一部分，是取了一个数a的平方根土√a中的非负部分；(2)平方根和算术平方根的被开方数必须是非负数，负数没有平方根和算术平方根；(3)0的平方根和算术平方根都是0。

2)区别：(1)个数上：正数的平方根有两个，且互为相反数，必有一正一负。

而算术平方根只有一个，取它的正平方根。

(2)表示方法：±√a表示平方根，前面的“±”表示其值有正负；√a表示算术平方根.特别注意的是：±√a≠ √a.4.立方根(1)定义：一般地，一个数的立方等于a，这个数就叫作a的立方根，也叫作a的三次方根3”,读作“三次根号a”.即可以表示如下：，记为“√a3=bb3=a⇒√a其中a，是被开方数，3是根指数。

(2)特性：每个数都有一个立方根，且正数有且仅有一个正的立方根，负数有且仅有一个负的立方根，0的立方根是0。

推广：一个数的奇次方根有且只有一个。

(3)与平方根的主要区别：表示方法的不同；负数也有立方根，但是没有平方根。

5. 几个关于平方根、立方根的记忆点(1)一个数的平方根是本身，这个数是0；(2)一个数的算术平方根是本身，这个数是0,1；(3)一个数的立方根是本身，这个数是一1,0,1。

巧用算术平方根的非负性解题算术平方根a （a ≥0）有双重非负性，其一是被开方数是非负数；其二是算术平方根本身是非负数，即：①被开方数a 是非负数；②a 是非负数.正确理解并灵活运用算术平方根的这两个非负性，是解一些相关的问题的关键．一、巧用被开方数a 是非负数解题例1 已知x 满足︳2008－x ︳＋2009-x ＝x ，那么x －20082的值为（ ）A ．2007B ．2008C ．2009D ．2010析解：由算术平方根被开方数的非负性可知x －2009≥0，即x ≥2009，∴x ＞2008， ∴x -2008＝x －2008.∵︳2008－x ︳＋2009-x ＝x ，∴x －2008＋2009-x ＝x ， ∴2009-x ＝2008，∴x －2009＝20082，∴x －20082＝2009.故选C.点评：应充分认识到算术平方根有意义的条件，即被开方数的非负性.例2 已知a 、b 都为实数，且满足b －3-a ＝a -3＋2，求a b ＋ba 的值. 析解：∵a －3≥0，3－a ≥0，∴a ＝3，b ＝2，故a b ＋b a ＝23 ＋32＝136 . 点评：若a 与a -同时有意义，则0a =，且0a a =-=. 二、巧用a 是非负数解题 例3 当x ＝_____时，3－x -2有最 值＝____ _． 析解：由x -2≥0，∴x -2有最小值为0，∴当x ＝2时，3－x -2有最大值为3. 点评：利用a ≥0，即x -2≥0是解决此题的关键.例4 若y 2＋4y ＋4与1-+y x 互为相反数，则xy ＝_____．析解：∵y 2＋4y ＋4与1-+y x 互为相反数，∴y 2＋4y ＋4＋1-+y x ＝0，即（y ＋2）2＋1-+y x ＝0.又∵（y ＋2）2≥0，z y x -+≥0，∴⎩⎨⎧=-+=+0102y x y ，解之得：⎩⎨⎧-==23y x ．∴xy ＝－6．点评：若几个非负数的和为零，则它们分别为零.非负数及它的性质，是重要的解题方法之一，务必要熟练掌握，才能灵活应用．自我评价：1．已知y ＝2-x ＋x -2－3，则y x ＝ .2．已知(x －1)2＋x y 5-＋1++-z y x ＝0，求x ＋y ＋z 的平方根.答案：1．18 ；2．±3.。

平方根的双重否定句
平方根的双重否定句可以通过逻辑推理来解释。

首先，我们知道平方根是一个非负数，因为负数的平方根是虚数，不是实数。

因此，平方根的双重否定句可以用逻辑上的等价替换来表示。

假设平方根为x，则平方根的双重否定句可以表示为“不是不是x”，这可以简化为“是x”。

换句话说，平方根的双重否定句就是肯定句，表示x是一个实数非负数。

这是因为在数学中，双重否定可以被简化为肯定命题。

因此，平方根的双重否定句就是肯定地表示平方根是一个非负实数。

算术平方根的非负性
“由于正数的算术平方根是正数，零的算术平方根是零，可将它们概括成：非负数的算术平方根是非负数，即当a ≥0时，≥a 0”。

由此可知：a 具有两个非负性：
(1)被开方数是非负数；
(2)算术平方根是非负数． 算术平方根的非负性在解题中的应用极其广泛．下面略举几例说明之．
解根据被开方数非负，有
x+1≥0且y-1≥0，
∴x ≥－1且y ≥1。

即当x ≥－1且y ≥1时x+1y 1+-有意义。

解 因为2(x 3)3x -=-成立，由算术根的非负数知3－x ≥0，得到x ≤0。

解 ∵1y x 11x 2
<-+-+，由算术根的非负性有x －1≥0且1－x ≥0，
=|2y-1|-|y-1|
=(1-2y)-(1-y)=-y ．
例4化简
解
由被开方数非负，得x-1≥0，∴x≥1．再考虑使第二项绝对值为0的x值，
当1≤x≤2时，
当x＞2时，
∴x-3=0，y+6=0，
∴x=3，y=-6．
这里应用了“有限个非负数之和等于零，则每一个非负数均为零”的性质，这一性质在解题中经常用到．
例6下列六个方程中只有一个方程有实数根，则这个方程是()
解由算术平方根的非负性知，方程(A)和(B)都无实数根，应排除．
在(C)中，必有x+3=0且x-1=0，这是不可能同时成立的，应排除．
在(D)中，由3x-2≥0和1-2x≥0知两个不等式的解集无公共部分，也排除．在(E)中，x-1≥0，x-2≥0，2-4x≥0，也无公共部分．
故应选(F)．。

二次根式双重非负性的运用
湖北省黄石市下陆中学陈勇
在实数范围内，我们知道式子表示非负数ａ的算术平方根，它具有双重非负性：（１）
；（２）ａ≥０．运用这两个简单的非负性，再结合非负数的性质“若几个非负数的和等于０，则这几个非负数都等于０”可以解决一些似乎无从下手的算术平方根问题．例１已知＋＝０，求ｘ，ｙ的值．
分析：因为≥０，≥０，根据几个非负数之和等于０，则每个
非负数都等于０，可知，从而，解之，得ｘ＝－１，ｙ＝４．
例２若实数ａ、ｂ满足＋＝０，则２ｂ－ａ＋１＝＿＿＿．分析：因为≥０，≥０，故由非负数的性质，得
，两式相加，即得２ｂ－ａ＋１＝０．
例３已知实ａ满足，求ａ-2010的值．
解：由ａ-20110，得ａ2011。

故已知式可化为ａ-2010+=ａ，
∴=2010，两边平方并整理，得：ａ-2010＝2011．
例４在实数范围内，求代数式的值．
解：考虑被开方数，得从而，又，故
＝０，ｘ＝４．∴原式＝１．
例５设等式＝在实数范围内成立，其中ａ、ｘ、ｙ是两两不同的实数，求的值．
解：由ａ（ｘ－ａ）≥０及ｘ－ａ≥０得ａ≥０；由ａ（ｙ－ａ）≥０及ａ－ｙ≥０得ａ≤０，故ａ＝０，从而已知式化为，ｘ＝－ｙ≠０，故原式＝
＝.。