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(完整word版)《离散数学》教案详解
《离散数学》教案第一章集合与关系集合是数学中最基本的概念，又是数学各分支、自然科学及社会科学各领域的最普遍采用的描述工具。
集合论是离散数学的重要组成部分，是现代数学中占有独特地位的一个分支。
G. Cantor(康脱)是作为数学分支的集合论的奠基人。
1870年前后，他关于无穷序列的研究导致集合论的系统发展。
1874年他发表了关于实数集合不能与自然数集合建立一一对应的有名的证明。
1878年，他引进了两个集合具有相等的“势”的概念。
然而，朴素集合论中包含着悖论。
第一个悖论是布拉利-福尔蒂的最大序数悖论。
1901年罗素发现了有名的罗素悖论。
1932年康脱也发表了关于最大基数的悖论。
集合论的现代公理化开始于1908年策梅罗所发表的一组公理，经过弗兰克尔的加工，这个系统称为策梅罗-弗兰克尔集合论（ZF），其中包括1904年策梅罗引入的选择公理。
另外一种系统是冯·诺伊曼-伯奈斯-哥德尔集合论。
公理集合论中一个有名的猜想是连续统假设（CH）。
哥德尔证明了连续统假设与策梅罗-弗兰克尔集合论的相容性，科恩证明了连续统假设与策梅罗-弗兰克尔集合论的独立性。
现在把策梅罗-弗兰克尔集合论与选择公理一起称为ZFC系统。
一、学习目的与要求本章目的是介绍集合的基本概念，讲授集合运算的基本理论，关系的定义与运算。
通过本章的学习，使学生了解集合是数学的基本语言，掌握主要的集合运算方法和关系运算方法，为学习后续章节打下良好基础。
二、知识点1．集合的基本概念与表示方法；2．集合的运算；3．序偶与笛卡尔积；4．关系及其表示、关系矩阵、关系图；5．关系的性质，符合关系、逆关系；6．关系的闭包运算；7．集合的划分与覆盖、等价关系与等价类；相容关系；8．序关系、偏序集、哈斯图。
三、要求1．识记集合的层次关系、集合与其元素间的关系，自反关系、对称关系、传递关系的识别，复合关系、逆关系的识别。
2．领会领会下列概念：两个集合相等的概念几证明方法，关系的闭包运算，关系等价性证明。
离散数学文档第一章
离散数学引论《离散数学》是现代数学的一个重要分支，是计算机科学基础理论的核心课程，其内容一直随着计算机科学的发展而不断地扩充与更新。
它所研究的对象是离散数据结构及相互关系。
由于数字电子计算机是一个离散结构，它只能处理离散的或离散化了的数量关系，因此，无论计算机科学本身，还是与计算机科学及其应用密切相关的现代科学研究领域，都面临着对离散结构建立相应的数学模型、将已用连续数量关系建立起来的数学模型离散化问题。
在计算机科学中由于普遍采用了离散数学中的基本概念、基本思想和方法，从而使得离散数学成了不可少的理论工具。
离散数学的主要内容为：集合论、数理逻辑、近世代数、图论和组合数学等。
离散数学不仅为数据结构、操作系统、编译原理、算法分析、人工智能、形式语言与自动机提供了重要的数学理论基础，而且通过对它的学习可以使我们熟悉和习惯抽象的符号表示和演算形式，培养和训练我们掌握使用数学语言或符号系统处理问题的基本方法，提高我们的抽象思维和逻辑推理的能力。
参考书目：《离散数学》，耿素云等著，清华大学出版社；《离散数学》，陈莉等著，高等教育出版社；《离散数学》，孙吉贵等著，高等教育出版社；《离散数学及其应用》，傅彦等著，电子工业出版社；第一章数理逻辑数理逻辑又称符号逻辑，是逻辑学的一个重要分支。
逻辑学是研究人的思维形式的科学。
数理逻辑是用数学方法研究推理、利用符号体系研究推理过程中前提和结论之间的关系。
1.1 命题符号化及联结词1.1.1命题命题是一个非真即假的陈述句。
因此不能判断真假的陈述句、疑问句、祈使句和感叹句都不是命题。
（1）一个命题的真或假称为命题的真值。
真用T或1表示，假用F或0表示；（2）原子命题(简单命题)：最简单的命题，通常用大写字母p,q,r表示；几个简单命题用联结词连接起来得到的命题叫复合命题。
（3）一个陈述句有真值与是否知道它的真假是两回事。
［例1.1.1］判断下列语句是不是命题？若是，给出命题的真值：(1)2是素数。
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(3)至于p为0即“我期终考了年级不是前 10”时,无论q为1或为0，即无论"我老妈 奖励1000元"或不奖励，都不能说老妈的 话是假的，故善意的认为pq为1均为1
1.1 命题及联结词
定义1.5双条件:当p与q值相同时,pq为1,不同 为0。 称p当且仅当q
“普通老师赚了100万当且仅当他 中了100万的彩票”， 普通老师赚了100万 普通老师买彩票中了100万大奖
故pq为0
1.1 命题及联结词
定义1.4条件式当p是1 ,q是0时,pq为0,即 10为0,其他情况为1。 p称为前件,q称为后件
(1)当p为1即“我期终考了年级前10”
q为0即“我老妈没有奖励1000元” 这时老妈的话为假，即pq为0 (2)当p为1即“我期终考了年级前10” q为1即“我老妈奖励1000元” 这时妈妈的话就对了，即pq为1
由于所有内容(整数，实数，字符，汉字，图片，声 音，视频，网页，……)进入电脑后，全是01组成的字 符串，从而都可以用布尔运算即逻辑运算实现，命题逻 辑成为计算机的基础。
命题逻辑将数学由连续变到离散，由高数进入离散。
Google采用逻辑运算进行搜索：数字之美 吴军 杨圣洪 000100010001110000 两者对应位置与运算。 离散数学 100100000000100001
陈述句(6)的正确性，到2018年12月时能确定的，若届 时建成了则它是对的、为真命题，否为假命题。
1.1 命题及联结词
对错确定的陈述语句称为命题。如：
(7) x与y之和为100，其中x为整数，y为整数 (8)1加1等于10 (7)的对错不确定。当x为50、y为50时是对的，当x为 51、y为52时是错的。 (8)的对错是不确定的，为二进制时正确，当为八进制、 十进制时是错的，因此这两个陈述句不是命题。 (9)青枫峡的红叶真美呀！ (10)动作快点！ (11)你是杨老师吗？ 这三个语句不是陈述语句，因此不是命题。
1.1 命题及联结词
定义1.5双条件:当p与q值相同时,pq为1,不同 为0。 称p当且仅当q
“普通老师赚了100万当且仅当他 中了100万的彩票”， 普通老师赚了100万 普通老师买彩票中了100万大奖
故pq为0
1.1 命题及联结词
定义1.4条件式当p是1 ,q是0时,pq为0,即 10为0,其他情况为1。 p称为前件,q称为后件
(1)当p为1即“我期终考了年级前10”
q为0即“我老妈没有奖励1000元” 这时老妈的话为假，即pq为0 (2)当p为1即“我期终考了年级前10” q为1即“我老妈奖励1000元” 这时妈妈的话就对了，即pq为1
由于所有内容(整数，实数，字符，汉字，图片，声 音，视频，网页，……)进入电脑后，全是01组成的字 符串，从而都可以用布尔运算即逻辑运算实现，命题逻 辑成为计算机的基础。
命题逻辑将数学由连续变到离散，由高数进入离散。
Google采用逻辑运算进行搜索：数字之美 吴军 杨圣洪 000100010001110000 两者对应位置与运算。 离散数学 100100000000100001
陈述句(6)的正确性，到2018年12月时能确定的，若届 时建成了则它是对的、为真命题，否为假命题。
1.1 命题及联结词
对错确定的陈述语句称为命题。如：
(7) x与y之和为100，其中x为整数，y为整数 (8)1加1等于10 (7)的对错不确定。当x为50、y为50时是对的，当x为 51、y为52时是错的。 (8)的对错是不确定的，为二进制时正确，当为八进制、 十进制时是错的，因此这两个陈述句不是命题。 (9)青枫峡的红叶真美呀！ (10)动作快点！ (11)你是杨老师吗？ 这三个语句不是陈述语句，因此不是命题。
离散数学文档1
（1）关系的表示
（2）关系的性质和运算
（3）等价关系和集合的划分
（4）偏序关系
第1章关系
1.1序偶与笛卡儿积
1.2二元关系及其表示
1.3关系的运算
1.4关系的性质
1.5关系的闭包
1.6等价关系与集合的划分
1.7相容关系
1.8偏序关系
1.1序偶与笛卡儿积
1.1.1有序n元组
定义1.1由两个固定次序的个体x，y组成的序列称为序偶，
R◦S={<2，2>，<4，3>}。
如图所示：
1.3关系的运算
1.3.2关系的复合运算
（2）设R，S都是A上的关系，A={1，2，3，4}。
R={<1，2>，<1，3>，<3，4>}，S={<1，1>，<2，2>，<3，3>，
<4，4>}，即S为A上的恒等关系，则R◦S=S◦R=R。
如图所示：
定理1.3设A，B，C，D为四个非空集合，则A×BC×D的充
1.2.1二元关系的概念
定义1.6设IA为集合A上的二元关系，且满足IA={<x，x>xA}
，则称IA为集合A上的恒等关系。
1.2二元关系及其表示
1.2.2二元关系的表示
1．关系矩阵表示法
设给定集合A={a1，a2，…，an}，集合B={b1，b2，…，bm}，R为
从A到B的一个二元关系，构造一个n×m矩阵。用集合A的元素标
A∪~B。
1.3集合的运算
1.3.4集合的对称差文氏图
定义1.10设A、B是两个集合，集合A和B的对称差记作A♁B，
它是一个集合，其元素或属于A，或属于B，但不能既属于A又
（2）关系的性质和运算
（3）等价关系和集合的划分
（4）偏序关系
第1章关系
1.1序偶与笛卡儿积
1.2二元关系及其表示
1.3关系的运算
1.4关系的性质
1.5关系的闭包
1.6等价关系与集合的划分
1.7相容关系
1.8偏序关系
1.1序偶与笛卡儿积
1.1.1有序n元组
定义1.1由两个固定次序的个体x，y组成的序列称为序偶，
R◦S={<2，2>，<4，3>}。
如图所示：
1.3关系的运算
1.3.2关系的复合运算
（2）设R，S都是A上的关系，A={1，2，3，4}。
R={<1，2>，<1，3>，<3，4>}，S={<1，1>，<2，2>，<3，3>，
<4，4>}，即S为A上的恒等关系，则R◦S=S◦R=R。
如图所示：
定理1.3设A，B，C，D为四个非空集合，则A×BC×D的充
1.2.1二元关系的概念
定义1.6设IA为集合A上的二元关系，且满足IA={<x，x>xA}
，则称IA为集合A上的恒等关系。
1.2二元关系及其表示
1.2.2二元关系的表示
1．关系矩阵表示法
设给定集合A={a1，a2，…，an}，集合B={b1，b2，…，bm}，R为
从A到B的一个二元关系，构造一个n×m矩阵。用集合A的元素标
A∪~B。
1.3集合的运算
1.3.4集合的对称差文氏图
定义1.10设A、B是两个集合，集合A和B的对称差记作A♁B，
它是一个集合，其元素或属于A，或属于B，但不能既属于A又
离散数学第一章PPT课件
R 0 1 0 1 0 1 0 1
Assignments（作业）
第30页: 4
1.3 公式分类与等价式
1.3.1 公式分类 1.3.2 等价公式（等值演算） 1.3.3 基本等价式----命题定律 1.3.4 代入规则和替换规则 1.3.5 证明命题公式等价的方法
1.3.1 公式分类
定义1.13 设A是一个命题公式，对A所有可能的解释： (1)若A都为真，称A为永真式或重言式。
(2)若A都为假，称A为永假式或矛盾式。
(3)若至少存在一个解释使得A为真，称A为可满足式。
例1 从上一节真值表可知，命题公式(PQ)(P∨Q)为 重言式，(PQ)∧Q为矛盾式，PQ)∧R为可满足式。
注： 1、 永真式必为可满足式，反之则不然；永真式的否定是永 假式，反之亦然； 2、 决定一个公式是否是一个永真式、永假式或可满足式有 三种方法：真值表法（适用于变元少而简单的公式）、求主范
1.否定词(negation connective )﹁
定义1.4 复合命题“非P”称为命题P的否定，记作
P，读作非P。 P为真当且仅当P为假。
例3 设 P：离散数学是计算机专业的核心课程， 则 P:离散数学不是计算机专业的核心课 程。
2.合取词(conjunction connective )∧
命题符号化的目的在于用五个联结词将日 常语言中的命题转化为数理逻辑中的形式命题， 其关键在于对自然语言中语句之间的逻辑关系 以及命题联结词的含义要有正确的理解，使用 适当的联结词： （1）确定语句是否是一个命题；
（2）找出句中连词，用适当的命题联结词表
示。
Assignments（作业）
第30页: 3（偶数小题）
定义1.12 设A是含有n个命题变元的命题 公式，将命题公式A在所有赋值之下取值的情 况汇列成表，称为A的真值表( truth table )。 为列出一个公式的真值表，我们约定： ①命题变元按字典序排列；②对公式的每个 解释，以二进制从小到大列出；③当公式较 复杂时，可先列出子公式的真值，最后列出 所给公式的真值。
离散数学1-5,1-6教材
离散数学
表 1-5.2 常用的蕴含式
P∧Q P（化简律） P∧Q Q P P∨Q（附加律） ┐P P→Q Q P→Q ┐(P→Q） P ┐(P→Q） ┐Q 1 2 3 4 5 6 7
P∧(P→Q） Q（假言律）
┐Q∧(P→Q） ┐P ┐P∧(P∨Q） Q
8
9 10
离散数学
4. 定理
证明 如果P ∨ Q R
则 PR PPQ F Q Q
QR QPQ F P P
PQR RR F
离散数学
例题1 证明((P∨S)∧R)V┐((P∨S)∧R)为重言式。 证明 因为PV┐PT， 如以((P∨S)∧R)置换P即得 ((P∨S)∧R)V┐((P∨S)∧R) T
离散数学
重点将研究重言式，因为重言式的否定是矛盾式， 矛盾式的否定是重言式，这样只研究其一就可以了。 重言式最有用，它有以下特点： ①两重言式的合取式、析取式、条件式和双条件式等 都仍是重言式。于是，由简单的重言式可构造出复 杂的重言式。 ②由重言式使用公认的规则可以产生许多有用等价式 和蕴涵式。
5
6 7 8 9 10
离散数学
化简如下语句： “情况并非如此：若他不来，则我不去”。
离散数学
解：首先符号化上述语句。 设P：他来。Q：我去 则原句：┐（┐P→┐Q） 然后化简上述命题公式 ┐（┐P→┐Q） ＜＝＞┐（ P ∨ ┐ Q ） ＜＝＞ ┐ P ∧ Q 即：我去了，但他未来。
离散数学
P12：（7）a）
P：上午下雨，Q：我去看电影，R：我在家看书； S：我在家看报。
（┐P → Q） （P →（R ∨ S ））
离散数学
1-5 重言式与蕴含式 1-6 其他联结词
表 1-5.2 常用的蕴含式
P∧Q P（化简律） P∧Q Q P P∨Q（附加律） ┐P P→Q Q P→Q ┐(P→Q） P ┐(P→Q） ┐Q 1 2 3 4 5 6 7
P∧(P→Q） Q（假言律）
┐Q∧(P→Q） ┐P ┐P∧(P∨Q） Q
8
9 10
离散数学
4. 定理
证明 如果P ∨ Q R
则 PR PPQ F Q Q
QR QPQ F P P
PQR RR F
离散数学
例题1 证明((P∨S)∧R)V┐((P∨S)∧R)为重言式。 证明 因为PV┐PT， 如以((P∨S)∧R)置换P即得 ((P∨S)∧R)V┐((P∨S)∧R) T
离散数学
重点将研究重言式，因为重言式的否定是矛盾式， 矛盾式的否定是重言式，这样只研究其一就可以了。 重言式最有用，它有以下特点： ①两重言式的合取式、析取式、条件式和双条件式等 都仍是重言式。于是，由简单的重言式可构造出复 杂的重言式。 ②由重言式使用公认的规则可以产生许多有用等价式 和蕴涵式。
5
6 7 8 9 10
离散数学
化简如下语句： “情况并非如此：若他不来，则我不去”。
离散数学
解：首先符号化上述语句。 设P：他来。Q：我去 则原句：┐（┐P→┐Q） 然后化简上述命题公式 ┐（┐P→┐Q） ＜＝＞┐（ P ∨ ┐ Q ） ＜＝＞ ┐ P ∧ Q 即：我去了，但他未来。
离散数学
P12：（7）a）
P：上午下雨，Q：我去看电影，R：我在家看书； S：我在家看报。
（┐P → Q） （P →（R ∨ S ））
离散数学
1-5 重言式与蕴含式 1-6 其他联结词
离散数学第一章课件
表示“或者” “或者”有二义性，看下面两个例子： 例1-2.3. 灯泡或者线路有故障。 例1-2.4. 第一节课上数学或者上英语。 例3中的或者是可兼取的或。即析取“∨” 例4中的或者是不可兼取的或，也称之为异或、 排斥或。即“ ”.
28
1. 析取“∨”
例1-2.3. 灯泡或者线路有故障。 P：灯泡有故障。 Q：线路有故障。 例中的复合命题可表示为：P∨Q P∨Q读成P析取Q，P或者Q。 P∨Q的真值为F，当且仅当P与Q均为F。
11
数理逻辑把推理符号化之二
设M(x): x是金属 . 设C(x): x能导电. 设x 表示: 所有的x . 设 a 表示铜. 例2的推理过程表示为： 前提:x(M(x)C(x)) (所有金属都导电.) 前提:M(a) (铜是金属.) 结论:C(a) (铜能导电.) (其中符号M(x)是谓词，所以这就是第二章 “谓词逻辑”中所讨论的内容.）
31
四.条件 (蕴涵)“”
表示“如果… 则 …”， 例1-2.5： P表示：缺少水分。 Q表示：植物会死亡。 PQ：如果缺少水分，植物就会死亡。 PQ：也称之为蕴涵式，读成“P蕴涵Q”， “如果P则Q”。 也说成P是PQ 的前件，Q是PQ的后件。还 可以说P是Q的充分条件，Q是P的必要条件。
24
1-2 联结词
复合命题的构成：是用“联结词”将原子命题 联结起来构成的。 归纳自然语言中的联结词，定义了六个逻辑联 结词，分别是： (1) 否定“” (2) 合取“∧” (3) 析取“∨” (4) 异或“ ” (5) 蕴涵“” (6) 等价“”
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一. 否定“” (Negation)
《离散数学》完整课件
第三节 复合关系与逆关系
本节讨论关系的复合运算与逆运算极其 性质;主要考虑了下列问题:
1.关系的复合是否满足交换律、结合律、 关系的复合对于集合的并(交)是否有分 配律;
2.关系的复合运算与逆运算在关系图和 关系矩阵上的反应;
3.关系的复合运算与关系的逆运算之间 的运算规律.
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11 2021/6/7
|A|<|B|三条中有且仅有一条成立；
2.Bernstein定理:设A,B是两个集合,若|A|≥|B| 且|A| ≤ |B|,则集合A,B等势;
3.设A是任意集合,P(A)为A的幂集,则P(A)的基 数大于A的基数.
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23 2021/6/7
本章小结
本章的主要内容有：集合的等势、有限 集与无限集、可数集与不可数集、较为 常见的集合的基数等.集合的基数反映了 集合的元素的多少，它是集合的一种性 质，一种与该集合等势的集合构成的集 合族的共同性质.
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17 2021/6/7
第九节 复合映射与逆映射
映射的复合就是关系的复合,须注意的是 复合的次序,主要内容有:
1.映射的复合具有结合律,但不符合交换律; 2.区分了左逆与右逆；给出里左逆、右逆
与单射、满射之间的关系； 3.可逆与左、右逆之间的关系.
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18 2021/6/7
本章小结
1.本节首先给出了公式的蕴涵关系的三个等价定 义,及蕴涵关系具有的性质,给出了15个基本蕴 涵式；
2.把蕴涵概念推广,得到公式的逻辑结果的定义；
3.为了研究推理，还引进演绎的概念；
4.用实例说明推理方法.
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30 2021/6/7
第六节 形式演绎
离散数学电子教材
第4章映射（函数）映射（函数）是一个基本的数学概念，它是一个特殊的二元关系，我们可以把映射看作输入输出关系，它把一个集合（输入集合）的元素变成另一个集合（输出集合）的元素。
例如，计算机中的程序可以把一定范围内的任一组数据变化成另一组数据，它就是一个映射。
映射的概念经常出现在开关理论、自动机理论和可计算理论等领域中，在计算机科学中有着广泛的应用。
4.1映射（函数）的概念考虑下面几个由图4-1所示的集合x到集合y的关系.在这6个关系中，后4个关系％, &, R「凡与凡，凡不同，它们都有下而两个特点：(1)其定义域为X；(2)x中任一元素。
对应唯一一个y中的元素〃。
我们称具有这样两个特征的关系为映射(函数)。
定义4.1.1设x,y是两个任意的集合，而/是x到丫的一个关系，若对每一个xeX，都存在一个唯一的yeY ,使得,则称关系/为X到V的映射(Mapping),记作/： X -丫或若(X,)),则称X为自变量(Independent Variable),称y为映射f在X处的值(或像(Image)), (x,))e/亦可记作y =/(x) , /的值域ran/yy,有时也记为H,,即穴/ = 3, £丫人(石)。
£X A y = /(%)))或记为/(X) = {/(x)|xeX)集合Y称为f的共域，R,亦称为映射f的像集合。
对于A三X ,称/(A)为A的像(Image of A),定义为/(A) = {f(x)卜£A} = {y |3A-(X e A A y = /(x))}显然,，/") =。
J({M) = {/W}(xe X) °映射/是x到y的特殊的二元关系，其特殊性在于：(1)dom/ = X,即关系/的前域是X本身，而不是X的真子集。
(2)若依加f ,则映射/在4处的值y是唯一的，即(X,加//\(x,Z)e/ = y = Z例4.1.1 设X=S，bcd},Y = {123,4,5},且有f = {(a,l),(b,3),(c,4),〈4,4»,求dom /、( 和/(x)。
离散数学课件第一章
图的连通性
04
CHAPTER
逻辑基础
命题逻辑中的基本概念包括命题、真值和逻辑运算，通过这些基本概念可以表达和推理复杂的命题关系。
命题逻辑在计算机科学、人工智能、自动化等领域有广泛应用，是形式化方法的重要基础。
命题逻辑是研究命题之间关系的逻辑分支，主要涉及命题的否定、合取、析取、蕴含等基本运算。
命题逻辑
详细描述
集合的运算包括并集、交集、差集等。并集是指两个或多个集合合并为一个新的集合，包含所有元素；交集是指两个或多个集合中共有的元素组成的集合；差集是指从一个集合中去掉另一个集合中的元素后剩余的元素组成的集合。这些运算在离散数学中有着广泛的应用。
总结词
集合的运算
集合的基数是指集合中元素的个数，通常用大写字母表示。
鸽巢原理
THANKS
感谢您的观看。
集合论
图论是研究图（由节点和边构成的结构）的数学分支，它广泛应用于计算机科学和工程学科。
图论
逻辑是离散数学的另一个重要分支，它研究推理的形式和规则，是计算机科学和人工智能的基础。
逻辑
组合数学是研究计数、排列和组合问题的数学分支，它在计算机科学和统计学中有重要的应用。
组合数学
离散数学的研究内容
02
CHAPTER
离散数学课件第一章
目录
绪论 集合论基础 图论基础 逻辑基础 组合数学基础
01
CHAPTER
绪论
离散数学是研究离散对象（如集合、图、树等）的数学分支，它不涉及连续的量或函数。
离散数学的定义
离散数学的起源
离散数学的特点
离散数学的起源可以追溯到古代数学，如欧几里得几何和数论。
离散数学强调结构、关系和组合，而不是连续性和微积分。
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第1章命题逻辑逻辑是研究人的思维的科学，包括辩证逻辑和形式逻辑。
辩证逻辑是研究反映客观世界辩证发展过程的人类思维的形态的。
形式逻辑是研究思维的形式结构和规律的科学，它撇开具体的、个别的思维内容，从形式结构方面研究概念、判断和推理及其正确联系的规律。
数理逻辑是用数学方法研究推理的形式结构和推理的规律的数学学科。
所谓的数学方法也就是用一套有严格定义的符号，即建立一套形式语言来研究。
因此数理逻辑也称为符号逻辑。
数理逻辑的基础部分是命题逻辑和谓词逻辑。
本章主要讲述命题逻辑，谓词逻辑将在第2章进行讨论。
1.1命题及其表示1.1.1命题的基本概念数理逻辑研究的中心问题是推理( Inference),而推理就必然包含前提和结论，前提和结论都是表达判断的陈述句，因而表达判断的陈述句就成为推理的基本要素。
在数理逻辑中，将能够判断真假的陈述句称为命题。
因此命题就成为推理的基本单位。
在命题逻辑中，对命题的组成部分不再进一步细分。
定义1.1.1能够判断真假的陈述句称为命题(Proposition )。
命题的判断结果称为命题的真值，常用T(True)(或1)表示真，F(False)(或0)表示假。
真值为真的命题称为真命题，真值为假的命题称为假命题。
从上述的定义可知，判定一个句子是否为命题要分为两步：一是判定是否为陈述句，二是能否判定真假，二者缺一不可。
例1.1.1判断下列句子是否为命题(1)北京是中国的首都。
(2)请勿吸烟！(3)雪是黑的。
(4)明天开会吗？(5)x+y=5。
(6)我正在说谎。
(7)9+5 < 12。
(8)1+101=110。
(9)今天天气多好啊！(10)别的星球上有生物。
解在上述的十个句子中，(2)、( 9)为祈使句，(4)为疑问句，(5 )、( 6)虽然是陈述句，但(5)没有确定的真值，其真假随x、y取值的不同而有改变，(6)是悖论(Paradox)(即由真能推出假，由假也能推出真) ，因而(2)、(4)、(5)、(6)、(9)均不是命题。
(1 )、(3)、(7)、(8)、(10)都是命题，其中(10)虽然现在无法判断真假，但随着科技的进步是可以判定真假的。
需要进一步指出的是，命题的真假只要求它有就可以，而不要求立即给出。
如例1.1.1的 (8)1+101=110，它的真假意义通常和上下文有关，当作为二进制的加法时，它是真命题，否则为假命题。
还有的命题的真假不能马上给出，如例 1.1.1的(10)，但它确实有真假意义。
1.1.2命题分类根据命题的结构形式，命题分为原子命题和复合命题。
定义1.1.2不能被分解为更简单的陈述语句的命题称为原子命题（Simple Proposition ）。
由两个或两个以上原子命题组合而成的命题称为复合命题（Compound Proposition ）。
例如，例1.1.1中的命题全部为原子命题，而命题"小王和小李都去公园。
”是复合命题,是由“小王去公园。
”与“小李去公园。
”两个原子命题组成的。
1.1.3命题标识符定义1.1.3 表示原子命题的符号称为命题标识符（Identifier）。
通常用大写字母A, B, C,…，P, Q,… 等表示命题，女口P:今天下雨。
命题标识符依据表示命题的情况，分为命题常元和命题变元。
一个表示确定命题的标识符称为命题常元（或命题常项）（Propositional constant）;没有指定具体内容的命题标识符称为命题变元（或命题变项）（Propositional Variable）。
命题变元的真值情况不确定，因而命题变元不是命题。
只有给命题变元P 一具体的命题取代时，P有了确定的真值，P才成为命题。
习题1.1 1.判断下列语句是否为命题，若是，指出其真值。
(1)外面卜雨吗？(2)7能被2整除。
(3)2x+3<4。
(4) 请关上门。
(5) 小红在教室里。
.指出卜列命题是原子命题还是复合命题。
(1)小李一边看书，一边听音乐。
(2)北京不是中国的首都。
(3)大雁北回，春天来了。
(4) 不是东风压倒西风，就是西风压倒东风。
(5) 张三与李四在吵架。
1.2逻辑联结词本节主要介绍5种常用的逻辑联结词（Logical Connectives ）,分别是“非”（否定联结词）、“与”（合取联结词）、“或”（析取联结词）、“若…则…”（条件联结词）、“…当且仅当…” （双条件联结词），通过这些联结词可以把多个原子命题复合成一个复合命题。
下面分别给出各自的符号形式及真值情况。
1.2.1否定联结词定义1.2.1设P为一命题，P的否定（Negation）是一个新的命题，记为P （读作非P）。
规定若P为T,则P为F；若P为F,则P为T。
P的取值情况依赖于P的取值情况，真值情况见表1-1。
在自然语言中，常用“非”、“不”、“没有”、“无”、“并非”等来表示否定。
P ：上海不是中国的城市。
Q :不是所有的海洋动物都是哺乳动物。
Q 为假命题，Q 为真命题。
1.2.2合取联结词定义1.2.2 设P 、Q 为两个命题，P 和Q 的合取（Conjunction ）是一个复合命题，记为P Q （读作P 与Q ），称为P 与Q 的合取式。
规定 P 与Q 同时为T 时，P Q 为T ,其余 情况下，P Q 均为F 。
联结词“ ”的定义见表1-2。
表1-2联结词“”的定义显然P P 的真值永远是假，称为矛盾式。
在自然语言中，常用“既…又…”、“不但…而且…”、“虽然…但是…”、“一边…一边…” 等表示合取。
例1.2.2（1）今天下雨又刮风。
设P :今天下雨。
Q :今天刮风。
则（1 ）可表示为P Q （2） 猫吃鱼且太阳从西方升起。
设P :猫吃鱼。
Q :太阳从西方升起。
则（2）可表示为P Q （3） 张三虽然聪明但不用功。
P :张三聪明。
Q :张三用功。
则（3 ）可表示为P Q需要注意的是，在自然语言中，命题（ 2）是没有实际意义的，因为 P 与Q 两个命题是 互不相干的，但在数理逻辑中是允许的， 数理逻辑中只关注复合命题的真值情况， 并不关心原子命题之间是否存在着内在联系。
1.2.3 析取联结词定义1.2.3 设P 、Q 为两个命题，P 和Q 的析取（Disjunction ）是一个复合命题，记为P Q （读作P 或Q ）,称为P 与Q 的析取式。
规定当且仅当 P 与Q 同时为F 时，P Q 为F ,否 则P Q 均为T 。
析取联结词“”的定义见表1-3。
表1-3联结词“”的定义显然P P 的真值永远为真，称为永真式。
析取联结词“”与汉语中的“或”二者表达的意义不完全相同，汉语中的“或”可例1.2.1 P :上海是中国的城市。
P 是真命题，P 是假命题。
Q ：所有的海洋动物都是哺乳动表达“排斥或”，也可以表达“可兼或”，而从析取联结词的定义可看出，“ ”允许P、Q同时为真，因而析取联结词“”是可兼或。
对于“排斥或”将在 1.6中论述。
例1.2.3 （1）小王爱打球或跑步。
（2）他身高 1.8m 或 1.85m。
（1）为可兼或，（2）为排斥或。
设P:小王爱打球。
Q:小王爱跑步。
则（1 ）可表示为P Q设P:他身高1.8米。
Q:他身高1.85米。
则（2）可表示为（P Q）（P Q）1.2.4条件联结词定义1.2.4设P、Q为两个命题，P和Q的条件（Conditional）命题是一个复合命题，记为P Q （读作若P则Q），其中P称为条件的前件，Q称为条件的后件。
规定当且仅当前件P为T，后件Q 为F时，P Q为F,否则P Q均为T。
条件联结词“”的定义见表1-4。
表1-4联结词“”的定义在自然语言中，常会出现的语句如“只要P就Q”、“因为P所以Q”、“ P仅当Q”、“只有Q才P”、“除非Q才P”等都可以表示为“ P Q”的形式。
例1.2.4（ 1 ）如果雪是黑色的，则太阳从西方升起。
（2）仅当天气好，我才去公园。
对于（1），设P:雪是黑色的。
Q:太阳从西方升起。
则（1）可表示为P Q（2）设R:天气好。
S:我去公园。
则（2）可表示为S R1.2.5双条件联结词定义1.2.5设P、Q为两个命题，其复合命题P Q称为双条件（Bico nditi on al）命题，P Q读作P当且仅当Q。
规定当且仅当P与Q真值相同时，P Q为T,否则P Q 均为F。
双条件联结词“”的定义如表1-5所示。
表1-5例1.2.5（1）雪是黑色的当且仅当2+2>4。
（2 ）燕子北回，春天来了。
（1 ）设P:雪是黑色的。
Q : 2+2>4。
则（1 ）可表示为P Q,其真值为T。
（2）设R:燕子北回。
S:春天来了。
则（2）可表示为R S,其真值为T。
与前面的联结词一样，条件联结词和双条件联结词连接的两个命题之间可以没有任何的因果联系，只要能确定复合命题的真值即可。
习题1.21.指出下列命题的真值:(1) 若2+2>4，则太阳从西方升起。
(2) 若a ，贝U a A。
(3) 胎生动物当且仅当是哺乳动物。
(4) 指南针永指北方，除非它旁边有磁铁。
(5) 除非ABCD是平行四边形，否则它的对边不都平行。
2 .令P :天气好。
Q:我去公园。
请将下列命题符号化。
(1) 如果天气好，我就去公园。
(2) 只要大气好，我就去公园。
(3) 只有天气好，我才去公园。
(4) 我去公园，仅当天气好。
(5) 或者天气好，或者我去公园。
(6) 天气好，我去公园。
1.3命题公式与翻译1.3.1命题公式上一节介绍了5种常用的逻辑联结词，利用这些逻辑联结词可将具体的命题表示成符号化的形式。
对于较为复杂的命题，需要由这5种逻辑联结词经过各种相互组合以得到其符号化的形式，那么怎样的组合形式才是正确的、符合逻辑的表示形式呢？定义1.3.1（1）单个的命题变元是命题公式。
（2）如果A是命题公式，那么A也是命题公式。
（3）如果A、B是命题公式，那么（A A B）, （A V B）, （A B ）和（A B ）也是命题公式。
（4）当且仅当能够有限次地应用（1 ）、（2）、（3）所得到的包含命题变元、联结词和括号的符号串是命题公式（又称为合式公式，或简称为公式）。
上述定义是以递归的形式给出的，其中（1）称为基础，（2）、（3）称为归纳，（4）称为界限。
由定义知，命题公式是没有真假的，仅当一个命题公式中的命题变元被赋以确定的命题时，才得到一个命题。
例如在公式P Q中，把命题“雪是白色的。
”赋给P，把命题“ 2+2>4。
” 赋给Q ,则公式P Q被解释为假命题；但若P的赋值不变，而把命题“2+2=4。
”赋给Q , 则公式P Q被解释为真命题。
定义中的符号A, B不同于具体公式里的P、Q、R等符号，它可以用来表示任意的命题公式。
例 1.3.1 （P Q）, （P （Q R））, （（P Q）（Q R））等都是命题公式，而P ( Q), (P Q , (P Q) R)等都不是命题公式。