高考理科数学复习排列组合二项式定理真题解析

排列组合与二项式定理热点单选题1(2024·湖北武汉·模拟预测)在1+x-16+(1-x)6+(1-x)7展开式中，x3的系数为7+1+x-1()A.0B.-55C.-15D.55【答案】B【分析】根据题意，由二项式展开式的通项公式代入计算，即可得到结果.【详解】因为1+x-17与1+x-16的展开式中没有x3的项，只有(1-x)6与(1-x)7的展开式中有x3的项，其中(1-x)6的展开式的通项为T k+1=-1k⋅C k6x k，则x3的系数为-C36，(1-x)7的展开式的通项为T k+1=-1k⋅C k7x k，则x3的系数为-C37，所以展开式中x3的系数为-C36-C37=-55.故选：B2(2024·辽宁·模拟预测)为迎接元宵节，某广场将一个圆形区域分成A,B,C,D,E五个部分(如图所示)，现用4种颜色的鲜花进行装扮(4种颜色均用到)，每部分用一种颜色，相邻部分用不同颜色，则该区域鲜花的摆放方案共有()A.48种B.36种C.24种D.12种．【答案】A【分析】满足条件的涂色方案可分为B,D区域同色，且和其它区域不同色和C,E区域同色两类，且和其它区域不同色，结合分步乘法计数原理，分类加法计数原理求解即可【详解】满足条件的摆放方案可分为两类，第一类B,D区域同色，且和其它区域不同色的摆放方案，满足条件的方案可分四步完成，第一步，先摆区域A有4种方法，第二步，摆放区域B,D有3种方法，第三步，摆放区域C有2种方法，第四步，考虑到区域A,B,C不同色，且4种颜色都要用到，摆放区域E有1种方法，由分步乘法计数原理可得第一类中共有4×3×2×1=24种方案，第二类，C,E区域同色两类，且和其它区域不同色的摆放方案，满足条件的方案可分四步完成，第一步，先摆区域A有4种方法，第二步，摆放区域B有3种方法，第三步，摆放区域C,E有2种方法，第四步，考虑到区域A,B,C不同色，且4种颜色都要用到，摆放区域D有1种方法，由分步乘法计数原理可得第一类中共有4×3×2×1=24种方案，根据分步加法计数原理可得该区域鲜花的摆放方案共有48种，故选：A.3(2024·河北沧州·一模)截至2024年2月25日，2024年春节档4部影片《热辣滚烫》《飞驰人生2》《第二十条》《熊出没·逆转时空》合计票房已经突破100亿．某影城为了家庭中的大人和孩子观影便利，对《熊出没·逆转时空》不排最后一场，《第二十条》和《熊《热辣滚烫》不排第一场，影片播放顺序做出如下要求：出没·逆转时空》必须连续安排，则不同的安排方式有()A.12种B.10种C.9种D.7种【答案】D【分析】根据已知条件，分《热辣滚烫》排最后一场、《热辣滚烫》排第二场、《热辣滚烫》排第三场三种情况分别计算安排方法数，最后分类加法公式计算总数即可.【详解】分两种情况：第一种：《热辣滚烫》排最后一场，因为《第二十条》和《熊出没·逆转时空》必须连续安排，所以用捆绑法有A22种可能，并看成一个元素，剩下元素有A22种排法，所以共有A22⋅A22=4种排法；第二种：《热辣滚烫》排第二场，因为《第二十条》和《熊出没·逆转时空》必须连续安排，而且《熊出没·逆转时空》不排最后一场，所以《第二十条》和《熊出没·逆转时空》只能排在第四、第三两场，《飞驰人生2》排第一场，这种情况共1种排法；第三种：《热辣滚烫》排第三场，因为《第二十条》和《熊出没·逆转时空》必须连续安排，而且《熊出没·逆转时空》不排最后一场，所以《第二十条》和《熊出没·逆转时空》排在前两场有A22种排法，《飞驰人生2》排最后一场，这种情况共有A22=2种排法.综上符合条件的电影安排方法总数为4+1+2=7种.故选：D热点多选题4(2024·重庆·模拟预测)如图，16枚钉子钉成4×4的正方形板，现用橡皮筋去套钉子，则下列说法正确的有(不同的图形指两个图形中至少有一个顶点不同)()A.可以围成20个不同的正方形B.可以围成24个不同的长方形(邻边不相等)C.可以围成516个不同的三角形D.可以围成16个不同的等边三角形【答案】ABC【分析】利用分类计算原理及组合，结合图形，对各个选项逐一分析判断即可得出结果.【详解】不妨设两个钉子间的距离为1，对于选项A ，由图知，边长为1的正方形有3×3=9个，边长为2的正方形有2×2=4个，边长为3的正方形有1个，边长为2的正方形有2×2=4个，边长为5的有2个，共有20个，所以选项A 正确，对于选项B ，由图知，宽为1的长方形有3×3=9个，宽为2的长方形有4×2=8个，宽为3的长方形有5个，宽为2的有2个，共有24个，所以选项B 正确，对于选项C ，由图知，可以围成C 316-10C 34-4C 33=516个不同的三角形，所以选项C 正确，对于选项D ，由图可知，不存在等边三角形，所以选项D 错误，故选：ABC .5(2024·辽宁·一模)在一个只有一条环形道路的小镇上，有一家酒馆A ，一个酒鬼家住在D ，其相对位置关系如图所示.小镇的环形道路可以视为8段小路，每段小路需要步行3分钟时间.某天晚上酒鬼从酒馆喝完酒后离开，因为醉酒，所以酒鬼在每段小路的起点都等可能的选择顺时针或者逆时针的走完这段小路.下述结论正确的是()A.若酒鬼经过家门口时认得家门，那么酒鬼在10分钟或10分钟以内到家的概率为18B.若酒鬼经过家门口时认得家门，那么酒鬼在15分钟或15分钟以内到家的概率为14C.若酒鬼经过家门口也不会停下来，那么酒鬼步行15分钟后恰好停在家门口的概率为532D.若酒鬼经过家门口也不会停下来，那么酒鬼步行21分钟后恰好停在家门口的概率为732【答案】ABD【分析】根据分类计数原理和分布计数原理可逐个判定选项得结果.【详解】选项A ：10分钟或10分钟以内到家只能是A →B →C →D ，所以酒鬼在10分钟或10分钟以内到家的概率为12×12×12=18，故A 正确；选项B ：15分钟或15分钟以内到家,即共走小于或等于153=5步，可能顺时针A →D 走5步概率为12 5=132，可能逆时针A →D 走3步概率为123=18，或者逆时针走四步，顺时针走一步，概率为C 1312 5=332，故其概率概率为18+132+332=14，故B 正确；选项C ：经过家门口不停，15分钟后恰好停在家门口，共走5步，可以顺时针走5步,即A →H →G →F →E →D ，概率为125=132，可以逆时针走5步，概率为C 15125=532，故其概率为132+532=316≠532，故C 错误；选项D ：经过家门口不停，21分钟后恰好停在家门口，共走7步，可以逆时针走5步返回2步，可以顺时针走6步返回1步，所以其概率为C 26+C 16+C 1727=732，故D 正确；故选：ABD .6(2024·山东济南·一模)下列等式中正确的是()A.8k =1C k 8=28B.8k =2C 2k =C39C.8k =2k -1k ! =1-18! D.8k =0C k 8 2 =C 816【答案】BCD【分析】利用1+x 8的展开式与赋值法可判断A ，利用组合数的性质C 2n +C 3n =C 3n +1可判断B ，利用阶乘的裂项法可判断C ，构造1+x 16=1+x 81+x 8求其含x 8的项的系数可判断D .【详解】对于A ，因为1+x 8=C 08+C 18x +C 28x 2+⋯+C 88x 8，令x =1，得28=1+C 18+C 28+⋯+C 88=1+8k =1C k 8，则8k =1C k 8 =28-1，故A 错误；对于B ，因为C 2n +C 3n =C 3n +1，所以8k =2C 2k =C 22+C 23+C 24+⋯+C 28=C 33+C 23+C 24+⋯+C 28=C 34+C 24+⋯+C 28=⋯=C 38+C 28=C 39，故B 正确；对于C ，因为1k -1 !-1k !=k !-k -1 !k !k -1 !=k -1 k -1 !k !k -1 !=k -1k !，所以8k =2k -1k ! =8k =21k -1!-1k ! =11!-12!+12!-13!+⋯+17!-18!=1-18!，故C 正确.对于D ，1+x 16=1+x 81+x 8，对于1+x 16，其含有x 8的项的系数为C 816，对于1+x 81+x 8，要得到含有x 8的项的系数，须从第一个式子取出k 0≤k ≤8,k ∈N 个x ，再从第二个式子取出8-k 个x ，它们对应的系数为8k =0C k8C8-k 8=8k =0C k 8 2，所以8k =0C k 8 2 =C 816，故D 正确.故选：BCD .【点睛】关键点点睛：本题D 选项解决的关键是，利用组合的思想，从多项式1+x 81+x 8中得到含有x 8的项的系数，从而得解.热点填空题7(2024·广东佛山·二模)甲、乙、丙3人在公交总站上了同一辆公交车，已知3人都将在第4站至第8站的某一公交站点下车，且在每一个公交站点最多只有两人同时下车，从同一公交站点下车的两人不区分下车的顺序，则甲、乙、丙3人下车的不同方法总数是．【答案】120【分析】分3人都在第4站至第8站的某一公交站点1人独自出下车和3人中有2人在同一公交站点下车，另人在另外一公交站点下车，两种情况讨论即可，【详解】由题意，3人都在第4站至第8站的某一公交站点1人独自出下车，共有A 35=60种，3人中有2人在同一公交站点下车，另1人在另外一公交站点下车，共有C 23A 25=60种，故甲、乙、丙3人下车的不同方法总数是60+60=120种.故答案为：120.8(2024·河南·模拟预测)x +12x-2y 7的展开式中x 2y 3的系数为．【答案】-560【分析】首先将x +12x 看成一个整体，再结合x 2y 3的形式，利用二项式定理的通项公式求解.【详解】x +12x -2y 7的通项公式为T r +1=C r 7⋅x +12x7-r ⋅-2yr，当r =3时，T 3+1=C 37⋅-2 3⋅x +12x4⋅y 3，x +12x 4中，含x 2项的系数为C 14⋅x 3⋅12x=2x 2，所以展开式中x 2y 3的系数为C 37⋅-2 3⋅2=-560.故答案为：-5609(2024·浙江·模拟预测)已知(ax -1)2(2x -1)3=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5．若a 0+a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=0，则a 3=．【答案】38【分析】借助赋值法可得a ，结合二项式定理计算即可得解.【详解】令x =1，则有(a -1)2=a 0+a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=0，即a =1，即有(x -1)2(2x -1)3，则a 3=C 02⋅2⋅C 23⋅-1 2+-C 12 ⋅22⋅C 13⋅-1 +1⋅23=38.故答案为：38.一、单选题1(2024·辽宁大连·一模)将ABCDEF 六位教师分配到3所学校，若每所学校分配2人，其中A ,B 分配到同一所学校，则不同的分配方法共有()A.12种 B.18种C.36种D.54种【答案】B【分析】先平均分组，再利用全排列可求不同分配方法的总数.【详解】将余下四人分成两组，每组两人，有C 24C 222种分法，故不同的分配方法共有C 24C 222×A 33=18种，故选：B .2(2024·山西晋中·模拟预测)若二项式2x -1xn的展开式中所有的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为()A.15B.60C.-60D.-160【答案】B【分析】利用二项式系数和求出n ，再根据通项公式可得答案.【详解】因为2x -1xn 的展开式中所有的二项式系数之和为64，所以2n =64，即n =6.2x -1x n 的展开式的通项公式为T r +1=C r 62x 6-r -1xr =-1 r 26-r C r 6x 6-32r，令6-32r =0，得r =4，故常数项为-1 422C 46=60.故选：B3(2024·广东湛江·二模)已知1-2x 9=a 0+a 1x +⋯+a 9x 9，则a 0+9i =2a i =()A.-2B.-19C.15D.17【答案】D【分析】令x =1得到展开式系数和，再写出展开式的通项，求出a 1，即可得解.【详解】令x =1，得a 0+a 1+a 2+⋯+a 9=-1，又1-2x 9展开式的通项为T r +1=C r 9-2x r =C r 9-2 r x r (0≤r ≤9且r ∈N )，所以a 1=-2 1×C 19=-18，所以a 0+9i =2a i =-1--18 =17.故选：D4(2024·山东·一模)甲，乙，丙，丁四位师范生分配到A ，B ，C 三所学校实习，若每所学校至少分到一人，且甲不去A 学校实习，则不同的分配方案的种数是()A.48B.36C.24D.12【答案】C【分析】分A 学校只有1人去实习和A 学校有2人去实习两种情况讨论求解.【详解】①若A 学校只有1人去实习，则不同的分配方案的种数是C 13C 23A 22=18，②若A 学校有2人去实习，则不同的分配方案的种数是C 23A 22=6，则不同的分配方案的种数共有18+6=24.故选：C .5(2024·安徽·二模)已知x -2xn的展开式二项式系数和为256，则展开式中系数最大的项为()A.第5项B.第6项C.第7项D.第8项【答案】C【分析】根据二项式系数和可得n =8，即可根据通项特征，列举比较可得最大值.【详解】由已知2n =256，故n =8，故通项为T k +1=C k 8x 8-k -2xk =-1 k C k 82k x 8-2k(k =0，1，⋯，8)，故奇数项的系数为正数，偶数项的系数为负数，C 0820=1,C 2822<C 4824,C 6826=4C 6824,∴C 6826C 4824=4C 28C 48=85>1,C 6826C 8828=C 284>1故C 6826最大，因此第七项的系数最大，故选：C ．6(2024·湖南邵阳·二模)某市举行乡村振兴汇报会，六个获奖单位的负责人甲､乙､丙等六人分别上台发言，其中负责人甲､乙发言顺序必须相邻，丙不能在第一个与最后一个发言，则不同的安排方法共有()A.240种 B.120种 C.156种 D.144种【答案】D【分析】将甲乙捆绑，并确定丙的位置，排序即可.【详解】将将甲乙捆绑看做一个元素，由丙不能在第一个与最后一个发言，则丙的位置有3个，将剩余4个元素再排序有A 44A 22=48种方法，故不同的安排方法共有3×48=144种.故选：D .7(2024·江苏南通·二模)若1+x 2+1+x 3+⋯+1+x 10=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 10x 10，则a 2等于()A.49B.55C.120D.165【答案】D【分析】依题意可得a 2=C 22+C 23+C 24+C 25+C 26+C 27+C 28+C 29+C 210，再根据组合数的性质计算可得.【详解】因为二项式1+x n 展开式的通项为T r +1=C r n x r (0≤r ≤n 且r ∈N )，又1+x 2+1+x 3+⋯+1+x 10=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 10x 10，所以a 2=C 22+C 23+C 24+C 25+C 26+C 27+C 28+C 29+C 210=C 33+C 23+C 24+C 25+C 26+C 27+C 28+C 29+C 210=C 34+C 24+C 25+C 26+C 27+C 28+C 29+C 210⋯⋯=C 310+C 210=C 311=11×10×93×2×1=165.故选：D8(2024·湖北·模拟预测)能被3整除，且各位数字不重复的三位数的个数为()A.228B.210C.240D.238【答案】A【分析】根据题意将10个数字分成三组：即被3除余1的；被3除余2的；被3整除的，若要求所得的三位数被3整除，则可以分类讨论：每组自己全排列或每组各选一个，求出3的倍数的三位数个数即可.【详解】然后根据题意将10个数字分成三组：即被3除余1的有1，4，7；被3除余2的有2，5，8；被3整除的有3，6，9，0，若要求所得的三位数被3整除，则可以分类讨论：每组自己全排列，每组各选一个，所以3的倍数的三位数有：(A 33+A 33+A 34-A 23)+(C 13C 13C 14A 33-C 13C 13A 22)=228个.故选：A .9(2024·湖北·二模)把4个相同的红球，4个相同的白球，全部放入4个不同的盒子中，每个盒子放2个球，则不同的放法种数有()A.12B.18C.19D.24【答案】C【分析】先分成四组再分类放入盒子，根据加法计数原理计算即可.【详解】先把8个球分成4组，每组2个球，由于红球相同，白球也相同，所以记红球为R ，白球为W ，则分组方法共有3种：RR ，RR ，WW ，WW ；RW ，RW ，RR ，WW ；RW ，RW ，RW ，RW ．对于RR ，RR ，WW ，WW ．由于盒子是不同的，从4个盒子中选2个盒子放RR ，RR ，剩下2个盒子放WW ，WW ，有C 24种不同的放法．对于RW ，RW ，RR ，WW ，从4个不同的盒子中选2个盒子放RW ，RW ，有C 24种放法，剩下2个盒子放RR ，WW ，有2种放法，由分步乘法计数原理，这组的放法有2C 24种．对于RW ，RW ，RW ，RW ，显然只有1种放法．由分类加法计数原理知不同的放法共有2C 24+C 24+1=19(种)．故选：C10(2024·浙江台州·二模)房屋建造时经常需要把长方体砖头进行不同角度的切割，以契合实际需要.已知长方体的规格为24cm ×11cm ×5cm ，现从长方体的某一棱的中点处作垂直于该棱的截面，截取1次后共可以得到12cm ×11cm ×5cm ，24cm ×112cm ×5cm ，24cm ×11cm ×52cm 三种不同规格的长方体.按照上述方式对第1次所截得的长方体进行第2次截取，再对第2次所截得的长方体进行第3次截取，则共可得到体积为165cm 3的不同规格长方体的个数为()A.8B.10C.12D.16【答案】B【分析】根据原长方体体积与得到的体积为165cm 3长方体的关系，分别对长宽高进行减半，利用分类加法计数原理求解即可.【详解】由题意，V 长方体=24×11×5=8×165，为得到体积为165cm 3的长方体，需将原来长方体体积缩小为原来的18，可分三类完成：第一类，长减半3次，宽减半3次、高减半3次，共3种；第二类，长宽高各减半1次，共1种；第三类，长宽高减半0,1,2次的全排列A33=6种，根据分类加法计数原理，共3+1+6=10种.故选：B11(2024·贵州贵阳·模拟预测)2024年3月16日下午3点，在贵州省黔东南苗族侗族自治州榕江县“村超”足球场，伴随平地村足球队在对阵口寨村足球队中踢出的第一脚球，2024年第二届贵州“村超”总决赛阶段的比赛正式拉开帷幕.某校足球社的五位同学准备前往村超球队所在村寨调研，将在第一天前往平地村、口寨村、忠诚村，已知每个村至少有一位同学前往，五位同学都会进行选择并且每位同学只能选择其中一个村，若学生甲和学生乙必须选同一个村，则不同的选法种数是()A.18B.36C.54D.72【答案】B【分析】分3,1,1和2,2,1两种情况，分别求出不同的选法再相加即可.【详解】若五位同学最终选择为3,1,1，先选择一位同学和学生甲和学生乙组成3人小组，剩余两人各去一个村，进行全排列，此时有C13A33=18种选择，若五位同学最终选择为2,2,1，将除了甲乙外的三位同学分为两组，再进行全排列，此时有C23C11A33=18种选择，综上，共有18+18=36种选择.故选：B二、多选题12(2024·辽宁葫芦岛·一模)若m3x+x8展开式中常数项为28，则实数m的值可能为()A.-1B.1C.2D.3【答案】AB【分析】求出展开式的通项公式，利用x的幂指数为0求出m值.【详解】二项式m3x+x8展开式的通项公式T r+1=C r8m3x 8-r⋅x r=m8-r C r8x4r-83,r≤8,r∈N，由4r-83=0，解得r=2，则T3=m6C28=28m6，于是28m6=28，解得m=±1，所以实数m的值为-1或1.故选：AB13(2024·广东佛山·模拟预测)若(x-1)6=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6，则()A.a0=1B.a3=20C.2a1+4a2+8a3+16a4+32a5+64a6=0D.a0+a2+a4+a6=a1+a3+a5【答案】ACD【分析】将x=0，x=2，x=±1代入(x-1)6=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6判断ACD，利用二项式展开式的通项公式判断B即可.【详解】将x=0代入(x-1)6=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6得0-16=a0，解得a0=1，A正确；由二项式定理可知x-16展开式的通项为T r+1=C r6x6-r-1r，令6-r=3得r=3，所以a3=C36-13=-20，B错误；将x =2代入(x -1)6=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5+a 6x 6得2-1 6=a 0+2a 1+4a 2+8a 3+16a 4+32a 5+64a 6，即2a 1+4a 2+8a 3+16a 4+32a 5+64a 6=0，C 正确；将x =1代入(x -1)6=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5+a 6x 6得1-1 6=a 0+a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6，即a 0+a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6=0①，将x =-1代入(x -1)6=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5+a 6x 6得-1-1 6=a 0-a 1+a 2-a 3+a 4-a 5+a 6，即a 0-a 1+a 2-a 3+a 4-a 5+a 6=64②，①+②得2a 0+a 2+a 4+a 6 =64，所以a 0+a 2+a 4+a 6=32，①-②得2a 1+a 3+a 5 =-64，所以a 1+a 3+a 5=-32，所以a 0+a 2+a 4+a 6 =a 1+a 3+a 5 ，D 正确；故选：ACD14(2024·山西晋中·模拟预测)某中学的3名男生和2名女生参加数学竞赛，比赛结束后，这5名同学排成一排合影留念，则下列说法正确的是()A.若要求2名女生相邻，则这5名同学共有48种不同的排法B.若要求女生与男生相间排列，则这5名同学共有24种排法C.若要求2名女生互不相邻，则这5名同学共有72种排法D.若要求男生甲不在排头也不在排尾，则这5名同学共有72种排法【答案】ACD【分析】利用捆绑法解决选项A ，利用插空法解决选项BC ，利用特殊元素优先法解决选项D .【详解】选项A ，将2名女生捆绑在一起，再与3名男生进行全排列，则有A 22A 44=48(种)，故A 正确；选项B ，要求女生与男生相间排列，采用插空法，先将3名男生进行全排列，再将2名女生插到3名男生所形成的2个空中，则有A 22A 33=12(种)，故B 错误；选项C ，先将3名男生进行全排列，再将2名女生插到3名男生所形成的4个空中，则有A 33A 24=72(种)，故C 正确；选项D ，将5名同学排成一排，相当于将他们放到排成一排的5个空位中，先将男生甲排在中间的3个空位中，再将剩下4名同学进行全排列，则有A 13A 44=72(种)，故D 正确.故选：ACD .15(2024·湖北·二模)如果123100-1 =k ⋅m +n ，k ，m ，n ∈N ，则当k 取下列何值时，存在m ，使得n =0成立()A.9B.40C.121D.7381【答案】BCD【分析】方法一：123100-1 =1280+1 25-1 ，由二项式定理将80+1 25展开，再对选项一一判断即可得出答案；方法二：因为12(3100-1)=1+3+32+33+34+35+⋯+399，结合选项将1+3+32+33+34+35+⋯+399分解为k ⋅m +n ，即可得出答案.【详解】方法一：对于A ，如果k =9，n =0，那么123100-1 =9m ⇒3100=18m +1⇒8125=18m +1⇒80+1 25=18m +1⇒8025+C 24258024+⋯+C 12580+1=18m +1，因为80不是18的整数倍，所以当k =9时，n ≠0．所以A 错误；对于B ，如果k =40，n =0，那么123100-1 =40m ⇒3100=80m +1=80+1 25=80m +1，由二项式定理可知存在m ∈N ，使等式成立，所以B 正确；对于C ，如果k =121，n =0，那么123100-1 =121m ⇒3100=242m +1⇒242+1 20=242m +1，由二项式定理可知存在m ∈N ，使等式成立，所以C 正确；对于D ，如果k =7381，n =0，那么123100-1 =7381m ⇒3100=14762m +1⇒4×14762+1 10=14762m +1，由二项式定理可知存在m ∈N ，使等式成立，所以D 正确．故选：BCD ．方法二：因为12(3100-1)=1+3+32+33+34+35+⋯+399，所以12(3100-1)可表示为100项的和，因为1+3+32+33+34+35+⋯+399=4+9(1+3+32+33+⋯+397)，所以k =9时，n =4，A 错误；因为1+3+32+33=40，所以1+3+33+33+34+33+⋯+339=40(1+34+38+⋯+396)(共100项，每4项相加，然后提出40)，所以B 正确；由于1+3+32+33+34=121，同理可知C 正确；因为12(3100-1)=1+3+32+33+34+35+⋯+399．=(1+32+34+36+38+⋯+398)+(3+33+35+37+39+⋯+399)=4(1+32+34+36+38+⋯+398)=4[(1+32+34+36+38)+310(1+32+34+36+38)+⋯+390(1+32+34+36+38)]=4[7381(1+310+320+⋯+390)]，所以D 正确．故选：BCD ．三、填空题16(2024·山东·二模)已知二项式x -5x n 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，n =．【答案】10【分析】借助二项式系数的性质与组合数的性质计算即可得.【详解】因为二项式x -5x n 的展开式中，第4项与第8项的二项式系数相等，所以C 3n =C 7n ，由组合数的性质可得n =10．故答案为：10.17(2024·江西赣州·一模)x 2+y +1x +1y 7展开式中的常数项为.【答案】630【分析】x 2+y +1x +1y7表示7个x 2+y +1x +1y 相乘，再结合组合即可得解.【详解】x 2+y +1x +1y 7表示7个x 2+y +1x +1y相乘，则常数项，应为1个x 2，2个1x ，2个y ，2个1y 相乘，所以x 2+y +1x +1y 7展开式中的常数项为C 17C 26C 24C 22=630.故答案为：630.18(2024·重庆·模拟预测)重庆位于中国西南部、长江上游地区，地跨青藏高原与长江中下游平原的过渡地带．东邻湖北、湖南，南靠贵州，西接四川，北连陕西．现用4种颜色标注6个省份的地图区域，相邻省份地图颜色不相同，则共有种涂色方式．【答案】120【分析】根据题意，得到这4中颜色全部都用上，其中必有两个不相邻的地区涂同一中颜色，利用穷举法，结合排列数公式，即可求解.【详解】根据题意，用4种颜色标注6个省份的地图区域，相邻省份地图颜色不相同，则这4中颜色全部都用上，其中必有两个不相邻的地区涂同一中颜色，共有：{“四川和湖南”且“贵州和湖北”}、{“四川和湖南”且“贵州和陕西”}、{“四川和湖北”且“贵州和陕西”、{“四川和湖北”且“湖南和陕西”、{“贵州和湖北”且“湖南和陕西”，共有5种情况，所以不同的涂色共有5×A 44=120种.故答案为：120.19(2024·河北沧州·一模)有5位大学生要分配到A ,B ,C 三个单位实习，每位学生只能到一个单位实习，每个单位至少要接收一位学生实习，已知这5位学生中的甲同学分配在A 单位实习，则这5位学生实习的不同分配方案有种．(用数字作答)【答案】50【分析】根据特殊元素进行分类计数，具体分类下是不相同元素分配问题，先分堆再配送，注意平均分堆的要除以顺序.【详解】根据特殊元素“甲同学”分类讨论，当A 单位只有甲时，其余四人分配到B ,C ，不同分配方案有C 14C 33A 22+C 24C 22=14种；当A 单位不只有甲时，其余四人分配到A ,B ,C ，不同分配方案有C 14C 13C 22A 22A 33=36种；合计有50种不同分配方案，故答案为：50.20(2024·山东枣庄·一模)x +y ⋅(x -y )5的展开式中x 3y 3的系数为．(用数字作答)【答案】0【分析】由x +y ⋅(x -y )5=x (x -y )5+y (x -y )5，再写出x -y 5展开式的通项，即可求出展开式中x 3y 3的系数.【详解】因为x +y ⋅(x -y )5=x (x -y )5+y (x -y )5，其中x -y 5展开式的通项为T r +1=C r 5x 5-r -y r 0≤r ≤5,r ∈N ，所以x +y ⋅(x -y )5的展开式含x 3y 3的项为xC 35x 2-y 3+yC 25x 3-y 2=-C 35x 3y 3+C 25x 3y 3=0，即x +y ⋅(x -y )5的展开式中x 3y 3的系数为0.故答案为：0。

高考数学排列、组合、二项式定理与复数知识点与典型例题排列、组合、二项式定理（理科用）56.记住公式：()()()!!11m n n m n n n A m n -=+--⋅= ； ()()()12111⋅-⋅+--⋅= m m m n n n C m n =()!!!m n m n - 组合数性质：（1）m n n m n C C -= （2）r n r n r n C C C 11+-=+ （3）11--=k n k n nC kC 。

57.计数问题主要解题策略：优先法（特殊元素或特殊位置优先考虑） 先选再排，先分再排【例】从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有________个。

（用数字作答）【答案】将问题分成三类：（1）含数字5，不含数字0，则选元素的过程有2413C C ⋅种方法，将5排在末位，则组数的过程有33A 种方法，依据分步计数原理得这一类共有108332413=A C C 个；（2）含数字0，不含数字5，则选元素的过程有1423C C 种方法，将0排在末位，则组数过程有33A 种方法，这一类共有72331423=A C C 个；（3）含数字0，也含数字5，则选元素的过程有1413C C ,若0在末位，则组数过程有33A 种方法，若0不在末位，则组数过程有2212A C 种∴种这类共有()1202212331413=+A C A C C 个，根据分类计数原理，其中能被5整除的四位数共有108+72+120+=300个。

58.二项式定理注意系数和二项式系数的区别，通项公式：第1+r 项为r r n r n r b a C T -+=1 【例】912⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中，常数项为________________。

（用数字作答） 【答案】()()r r r r rr r r X C x x C T ---+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=92999912112，令0239=-r ，解得6=r∴常数为第7项，为()672812296963==⋅-⋅C C ∴填672复 数59.基本概念：①复数的实部和虚部指什么？②纯虚数是什么？③共轭复数是什么？【例】当实数m 为何值时，(),653622i m m m m m z +++--=（1）为实数；（2）为虚数；（3）为纯虚数；（4）复数Z 对应的点在复平面内的第二象限？【答案】（1）;2-=m （2）2-≠m 且3-≠m ；（3）3=m ；（4）3-<m 或32<<-m60.基本解题方法：①复数问题实数化，转化为对实部和虚部的实数运算；②数形结合（利用几何意义解题）。

高考数学试题分类详解排列组合二项式定理1、（全国1理10）的展开式中，常数项为15，则n= A．3 B．4 C．5D．6解．的展开式中，常数项为15，则，所以n可以被3整除，当n=3时，，当n=6时，，选D。

2、（全国1文5）甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有A．36种 B．48种 C．96种 D．192种解．甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有种，选C。

3、（全国2理10）从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有(A)40种 (B) 60种 (C) 100种 (D) 120种解．从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有种，选B。

4、（全国2文10）5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（）A．10种 B．20种 C．25种 D．32种解．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有25=32种，选D。

5、（北京文5）某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有（）Ａ．个Ｂ．个Ｃ．个Ｄ．个解析：某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有个，选A。

6、（北京理5）记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（）Ａ．1440种Ｂ．960种Ｃ．720种Ｄ．480种解析：5名志愿者先排成一排，有种方法，2位老人作一组插入其中，且两位老人有左右顺序，共有=960种不同的排法，选B。

专题26 排列组合二项式定理命题规律内 容典 型１ 求两个二项式相乘展开式中的指定项问题 2020年高考全国Ⅰ卷理数8 ２ 求二项式展开式的指定项或指定项系数 2020年高考全国Ⅲ卷理数14 ３ 求二项式展开式中奇数项系数 2020年高考浙江卷12 ４ 利用计数原理计算组合问题2020年高考山东卷3 ５利用计数原理计算排列组合的综合问题2020年高考全国Ⅱ卷理数14命题规律一 求两个二项式相乘展开式中的指定项问题【解决之道】利用二项式定理展开式的通项，列出关于所求项的指定项指数的方程，通过解不定方程，即可确定指定项，利用通项公式即可求出指定项系数，注意分类讨论. 【三年高考】1.【2020年高考全国Ⅰ卷理数8】()25y x x x y ⎛⎫ ⎪⎭+⎝+的展开式中33x y 的系数为（ ）A ．5B ．10C ．15D ．20 【答案】C【解析】5()x y +展开式的通项公式为515rrrr T C xy -+=（r N ∈且5r ≤），∴2y x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭与5()x y +展开式的乘积可表示为：56155rrrr rr r xT xC xy C xy --+==或22542155r r rr r r r T C x y xC y y y x x --++==，在615r r rr xT C x y -+=中，令3r =，可得：33345xT C x y =，该项中33x y 的系数为10，在42152r r r r T C x xy y -++=中，令1r =，可得：521332T C y x xy =，该项中33x y 的系数为5，∴33x y 的系数为10515+=，故选C ． 2.【2019年高考全国Ⅲ卷理数】（1+2x 2 ）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为（ ）A ．12B ．16C ．20D ．24【答案】A【解析】由题意得x 3的系数为3144C 2C 4812+=+=，故选A ．命题规律二 求二项式展开式的指定项或指定项系数【解决之道】解决此类问题，设指定项为二项式展开式的第r 项，利用通项公式，列出关于r 的方程，解出r ，即可求出指定的系数.【三年高考】1.【2020年高考北京卷3】在)52的展开式中，2x 的系数为（ ）A ．5-B ．5C ．10-D ．10 【答案】C【解析】由题意展开式的通项为T r+1=C 5r（x 12）5−r(−2)r ==C 5r (−2)r x5−r2，令r=1得x 2的系数为-10，故选C ．2.【2020年高考全国Ⅲ卷理数14】622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项是 （用数字作答）． 【答案】240【解析】622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，其二项式展开通项：()62612rr rr C x x T -+⎛⎫⋅⋅ ⎪⎝⎭=1226(2)r r r r xC x --⋅=⋅1236(2)r r r C x -=⋅，当1230r -=，解得4r =，∴622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项是：664422161516240C C ⋅=⋅=⨯=．故答案为：240．3.【2020年高考天津卷11】在522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 的系数是_________．【答案】10【解析】因为522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()5531552220,1,2,3,4,5rr r r r r r T C x C x r x --+⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭，令532r -=，解得1r =．所以2x 的系数为15210C ⨯=．4.【2018年高考全国Ⅲ卷理数】522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为（ ）A ．10B ．20C ．40D ．80【答案】C【解析】由题可得522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通式为()521031552C C 2rr r r r rr T x x x --+⎛⎫⋅⋅== ⎪⎝⎭，令1034r -=，得2r =，所以展开式中4x 的系数为225C 240⨯=．故选C ．5.【2019年高考浙江卷理数】在二项式9)x 的展开式中，常数项是__________；系数为有理数的项的个数是__________．【答案】 5【解析】由题意，9)x的通项为919C (0,1,29)r r r r T x r -+==，当0r =时，可得常数项为919C T ==；若展开式的系数为有理数，则1,3,5,7,9r =，有246810T , T , T , T , T 共5个项．6.【2018年高考浙江卷】二项式81)2x的展开式的常数项是__________． 【答案】7【解析】二项式812x ⎫⎪⎭的展开式的通项公式为848318811C C 22rr rrrr r T xx --+⎛⎫==⋅⋅ ⎪⎝⎭， 令8403r -=得2r =，故所求的常数项为2821C =72⋅．故答案为：7． 7.【2018年高考天津卷理数】在5(x 的展开式中，2x 的系数为__________．【答案】52【解析】二项式5(x -的展开式的通项公式为35521551C C 2r rr r r r r T x x --+⎛⎛⎫==- ⎪ ⎝⎭⎝，令3522r -=可得：2r =，则2x 的系数为：225115C 10242⎛⎫-=⨯= ⎪⎝⎭．故答案为：52．命题规律三 求二项式展开式中奇数项系数【解决之道】解决此类问题，要熟记二项式展开式的系数性质，利用赋值法，即可列出二项式系数的方程（组），系数和即赋值1x =，偶数项系数和减去奇数项系数和即赋值1x =-，通过解方程即可求出偶数项（奇数项）系数和.【三年高考】1.【2020年高考浙江卷12】设()2345123455612x a a x a x a x a x a x +=+++++，则5a = ；123a a a ++= ．【答案】80；51【解析】由题意可知5a 表示4x 的系数，即4455280a C =⋅=，11a =，125210a C =⋅=，2235240a C =⋅=，∴12351a a a ++=．命题规律四 利用计数原理计算组合问题【解决之道】排列组合问题常见解法:（1）元素分析法：在解有限定元素的排列问题时，首先考虑特殊元素的安排方法，再考虑其他元素的排法。

专题11 排列组合、二项式定理一．基础题组1. 【2006高考陕西版理第14题】(3x －1x)12展开式x －3的系数为 (用数字作答)【答案】594考点：二项式定理，容易题.2.【2009高考陕西版理第6题】若20092009012009(12)x a a x a x -=+++()x ∈R ，则20091222009222a a a +++的值为（ ） A ．2B ．C ．1-D．2-3. 【2010高考陕西版理第4题】5()a x x+（x R ∈）展开式中3x 的系数为10，则实数a 等于 （D ）（A ）-1 （B ）12(C) 1 (D) 2 【答案】D考点：二项式定理.4.6(42)xx --（x ∈R ）展开式中的常数项是 （ ） （A ）20- （B ）15- （C ）15 （D ）20考点：二项式定理，容易题.5.【2012高考陕西版理第12题】5()a x +展开式中2x 的系数为10， 则实数a 的值为 ． 【答案】1考点：二项式定理，容易题.6. 【2015高考陕西，理4】二项式(1)()n x n N ++∈的展开式中2x 的系数为15，则n =（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7 【答案】C【考点定位】二项式定理． 二．能力题组1. 【2006高考陕西版理第16题】某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人),其中甲和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去,则不同的选派方案共有 种 【答案】600方案．考点：排列组合.2. 【2007高考陕西版理第16题】安排3名支教老师去6所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有种.（用数字作答）【答案】210考点：排列组合，容易题.3. 【2008高考陕西版理第16题】某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有种．（用数字作答）．【答案】96考点：排列组合.4. 【2009高考陕西版理第9题】从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为（）A．300 B．216 C．180 D．1625. 【2012高考陕西版理第8题】两人进行乒乓球比赛，先赢三局着获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有（）A．10种B．15种C．20种D．30种【答案】C考点：排列组合.。

高二数学排列组合与二项式定理试题答案及解析1.…除以88的余数是（）A．－1B．－87C．1D．87【答案】C【解析】根据题意，由于…=（1-90）10=8910=（88+1）10，展开式可知展开式的最后一项不能被88整除，可知答案为C.【考点】二项式定理点评：主要是考查了二项式定理的逆用，属于基础题。

2.甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（）A．30种B．24种C．12种D．6种【答案】B【解析】第一步：从4门课程中选1门相同有种选法；第二步：让甲从剩下的3门中再选1门，选法有种；第三步：再让乙从剩下的2门中选1门，选法有种，所以所求的选法有。

故选B。

【考点】分步乘法计数原理点评：分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法……，做第n步有种不同的方法.那么完成这件事共有种不同的方法.3.如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的箭头表示它们有网线相联，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量。

现从结点A向结点G传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递。

则单位时间内传递的最大信息量为（）A．31B．6C．10D．14【答案】B【解析】信息传递，可有三条路线，每条路线上通过的信息量均为2 ，所以，单位时间内传递的最大信息量为6 ，选B。

【考点】本题主要考查阅读理解能力，分类讨论思想。

点评：简单题，看似复杂，实际上，关键是理解题意，看各条“路线”上，传递信息的最大值之和。

4.由1、2、3、4、5组成个位数字不是3的没有重复数字的五位奇数共有个（用数字作答）．【答案】48【解析】由题意先排个位，从1,5两个数中随便取一个有，然后再用剩余的四个数字排前面四个位置有，∴由分步原理可知由1、2、3、4、5组成个位数字不是3的没有重复数字的五位奇数共有个【考点】本题考查了排列组合的综合运用点评：熟练掌握排列组合的综合运用是解决此类问题的关键，属基础题5.设为奇数，则除以9的余数为．【答案】【解析】∵，∴除以9的余数为7【考点】本题考查了二项式定理的运用点评：对于余数问题一般是把式子拆开，然后利用二项式定理展开求余数，属基础题6.有6名同学参加两项课外活动，每位同学必须参加一项活动且不能同时参加两项，每项活动最多安排4人，则不同的安排方法有种.（用数学作答）【答案】50【解析】解：由题意知本题是一个分类计数问题，∵每项活动最多安排4人，∴可以有三种安排方法，即（4，2）（3，3）（2，4）当安排4，2时，需要选出4个人参加共有=15，当安排3，3，时，共有=20种结果，当安排2，4时，共有=15种结果，∴根据分类计数原理知共有15+20+15=50种结果，故答案为：50【考点】分类计数问题点评：本题是一个分类计数问题，这是经常出现的一个问题，解题时一定要分清做这件事需要分为几类，每一类包含几种方法，把几个步骤中数字相加得到结果7.的展开式中，的系数是（）A．B．C．297D．207【答案】D【解析】由题意可知，的系数即为【考点】本小题主要考查二项展开式的应用.点评：解决二项式问题一般离不开展开式的通项公式，要灵活应用.8.两位同学一起去一家单位应聘，面试前单位负责人对他们说：“我们要从面试的人中招聘3人，你们俩同时被招聘进来的概率是1∕70”．根据这位负责人的话可以推断出参加面试的人数为（）A．21B．35C．42D．70【答案】A【解析】设参加面试的人数为n，由题意可知，解得n=21.【考点】本小题主要考查排列组合在实际问题中的应用.点评：准确理解题意，准确计算是解决此类问题的关键.9.（本小题满分12分）已知二项式(N*)展开式中，前三项的二项式系数和是，求：（Ⅰ）的值；（Ⅱ）展开式中的常数项．【答案】（Ⅰ）10 （Ⅱ）【解析】(Ⅰ)…… 2分(舍去)．………… 5分(Ⅱ) 展开式的第项是，，………… 10分故展开式中的常数项是．……… 12分10.甲、乙、丙、丁四位同学各自对A、B两变量的线性相关性做实验，并用回归分析方法分析求得相关系数r与残差平方和m如下表：则哪位同学的实验结果体现A、B两变量有更强的线性相关性（）A、甲B、乙C、丙D、丁【答案】D【解析】解：在验证两个变量之间的线性相关关系中，相关系数的绝对值越接近于1，相关性越强，在四个选项中只有丁的相关系数最大，残差平方和越小，相关性越强，只有丁的残差平方和最小，综上可知丁的试验结果体现A、B两变量有更强的线性相关性，故选D．11.从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（）A．40种B．60种C．100种D．120种【答案】B【解析】根据题意，首先从5人中抽出两人在星期五参加活动，有种情况，再从剩下的3人中，抽取两人安排在星期六、星期日参加活动，有种情况，则由分步计数原理，可得不同的选派方法共有 =60种.故选B．12.平面上有相异10个点，每两点连线可确定的直线的条数是每三点为顶点所确定的三角形个数的，若无任意四点共线，则这10个点的连线中有且只有三点共线的直线的条数为__________条．【答案】3【解析】【考点】排列、组合及简单计数问题。

专题11 排列组合、二项式定理 【2021高考真题】 〔2021·上海文〕7．设常数a ∈R ．假设52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中7x 项的系数为-10，那么a = ． 〔2021·大纲文〕14.从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，那么可能的决赛结果共有 种.〔用数字作答〕〔2021·大纲文〕5. ()82x +的展开式中6x 的系数是〔 〕 〔A 〕28 〔B 〕56 〔C 〕112 〔D 〕224【2021高考真题】1.【2021高考全国文7】6位选手依次演讲，其中选手甲不再第一个也不再最后一个演讲，那么不同的演讲次序共有〔A 〕240种 〔B 〕360种 〔C 〕480种 〔D 〕720种【答案】C【解析】先排甲，有4种方法，剩余5人全排列有12055=A 种，所以不同的演讲次序有4801204=⨯种，选C.2.【2021高考重庆文4】5(13)x - 的展开式中3x 的系数为〔A 〕-270 〔B 〕-90 〔C 〕90 〔D 〕270 3.【2021高考四川文2】7(1)x +的展开式中2x 的系数是〔 〕A 、21B 、28C 、35D 、424.【2021高考全国文13】8)21(xx +的展开式中2x 的系数为____________. 5.【2021高考上海文8】在61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项式展开式中，常数项等于 【2021高考真题】〔2021·全国卷〕 4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，那么恰有2人选修课程甲的不同选法共有( )A ．12种B ．24种C ．30种D ．36种〔2021·全国卷〕 (1－x )10的二项展开式中，x 的系数与x 9的系数之差为________．【答案】0【解析】 展开式的第r ＋1项为C r 10(－x )r ＝C r 10(－1)r x r ，x 的系数为－C 110，x 9的系数为－C 910，那么x 的系数与x 9的系数之差为0.〔2021·湖北卷〕 ⎝⎛⎭⎫x －13x 18的展开式中含x 15的项的系数为________．(结果用数值表示) 〔2021·四川卷〕 (x ＋1)9的展开式中x 3的系数是________．(用数字作答)〔2021·重庆卷〕(1＋2x )6的展开式中x 4的系数是______．【答案】240【解析】 ∵(1＋2x )6的展开式中含x 4的项为C 46(2x )4＝240x 4，∴展开式中x 4的系数是240.(2021年高考广东卷文科7)正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有〔 〕 A ．20 B ．15 C ．12 D ．10条对角线重复了一次，所以最后还要乘以,21所以这个正五棱柱对角线的条数共有2021121415=•••C C C ,所以选择A. 〔2021年高考湖南卷文科16)给定*k N ∈，设函数**:f N N →满足：对于任意大于k 的正整数n ，()f n n k =- 〔1〕设1k =，那么其中一个函数f 在1n =处的函数值为 ；〔2〕设4k =，且当4n ≤时，2()3f n ≤≤，那么不同的函数f 的个数为 。

专题26 排列组合、二项式定理考纲解读明方向考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度计数原理、排列、组合(1)分类加法计数原理、分步乘法计数原理①理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理;②会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题(2)排列与组合①理解排列、组合的概念;②能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式;③能解决简单的实际问题掌握2017天津,14;2016课标全国Ⅱ,5;2016课标全国Ⅲ,12;2015四川,6;2014安徽,8选择题★★☆分析解读 1.分类加法计数原理和分步乘法计数原理的共同点是把一个原始事件分解成若干个事件来完成,两个原理的区别在于一个与分类有关,一个与分步有关,这两个原理是最基本也是最重要的原理,是解答排列与组合问题,尤其是解答较复杂的排列与组合问题的基础.2.理解排列、组合及排列数与组合数公式,排列与组合的综合是高频考点.本节在高考中单独考查时,以选择题、填空题的形式出现,分值约为5分,属中档题;本节内容还经常与概率、分布列问题相结合,出现在解答题的第一问中,难度中等或中等偏上.考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度二项式定理的应用能用计数原理证明二项式定理;会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题掌握2017课标全国Ⅰ,6;2016课标全国Ⅰ,14;2015课标Ⅰ,10选择题填空题★★★分析解读 1.掌握二项式定理和二项展开式的性质.2.会用二项式定理的知识解决系数和、常数项、整除、近似值、最大值等相关问题.3.二项展开式的通项公式是高考热点.本节在高考中一般以选择题或填空题形式出现,分值约为5分,属容易题.2018年高考全景展示1．【2018年全国卷Ⅲ理】的展开式中的系数为A. 10B. 20C. 40D. 80【答案】 C点睛：本题主要考查二项式定理，属于基础题。

2．【2018年浙江卷】从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答)【答案】1260【解析】分析:按是否取零分类讨论，若取零，则先排首位，最后根据分类与分步计数原理计数.详解：若不取零，则排列数为若取零，则排列数为因此一共有个没有重复数字的四位数.点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.3．【2018年浙江卷】二项式的展开式的常数项是___________．【答案】7【解析】分析:先根据二项式展开式的通项公式写出第r+1项，再根据项的次数为零解得r，代入即得结果. 详解：二项式的展开式的通项公式为,令得，故所求的常数项为点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数的值，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出特定项的系数.4．【2018年理数天津卷】在的展开式中，的系数为____________.【答案】。

高三数学排列组合与二项式定理试题答案及解析1.某种饮料每箱装5听，其中有3听合格，2听不合格，现质检人员从中随机抽取2听进行检测，则检测出至少有一听不合格饮料的概率是( )A．B．C．D．【答案】【解析】从中随机抽取2听进行检测，总的方法数为，检测出至少有一听不合格饮料的方法数为，所以，检测出至少有一听不合格饮料的概率是，故选.【考点】组合问题，古典概型.2.的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为【答案】【解析】根据题意，由于的展开式中各项系数的和为2，则可知令x=1,得到1+a=2,a=1，则可知表达式为展开式，当r=2,r=3对应的项的系数与，x陪凑相乘可知得到常数项为40，故答案为40.【考点】二项式定理点评：主要是考查了二项式定理的展开式的运用，属于基础题。

3.我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有架舰载机准备着舰，如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有（）A．B．C．D．【答案】C【解析】分三步：把甲、乙捆绑为一个元素，有种方法；与戊机形成三个“空”，把丙、丁两机插入空中有种方法；考虑与戊机的排法有种方法．由乘法原理可知共有种不同的着舰方法．故应选C.【考点】排列、组合。

点评：我们在排序过程中，常用到相邻“捆绑”和不相邻“插空”的方法进行排序，在捆绑时，我们要注意其内部的顺序。

4.设编号为1，2，3，4，5，6的六个茶杯与编号为1，2，3，4，5，6的六个茶杯盖，将这六个杯盖盖在茶杯上，恰好有2 个杯盖与茶杯编号相同的盖法有A．24种B．135种C．9种D．360种【答案】B2种结果，剩下的四个小球和四个盒【解析】首先从6个号中选两个放到同号的盒子里，共有C6子，要求球的号码与盒子的号码不同，首先第一个球有3种结果，与被放上球的盒子同号的球有三种方法，余下的只有一种方法，根据分步计数原理的结果解：由题意知本题是一个分步计数问2=15种结果，剩下的四个小球和四个盒题，首先从6个号中选两个放到同号的盒子里，共有C6子，要求球的号码与盒子的号码不同，首先第一个球有3种结果，与被放上球的盒子同号的球有三种方法，余下的只有一种方法共有3×3=9种结果，根据分步计数原理得到共有15×9=135种结果．故选B．【考点】分步计数问题点评：本题考查分步计数问题，本题解题的关键是选出球号和盒子号一致的以后4个小球和四个盒子的方法，本题是一个基础题5.设，则二项式展开式中的项的系数为（）A．B．20C．D．160【答案】C【解析】根据题意，由于，那么可知a=-2，同时由于二项式，令12-3r=3,r=3，则可知展开式中的项的系数为，故答案为C【考点】二项式定理点评：主要是考查了二项式定理的展开式通项公式的运用，属于基础题。

专题54 排列组合以及二项式定理一、题型选讲题型一 、排列组合问题例1、某工程队有卡车、挖掘机、吊车、混凝土搅拌车4辆工程车，将它们全部派往3个工地进行作业，每个工地至少派一辆工程车，共有多少种方式？以下结论正确的有〔 〕 A ．18 B ．11113213C C C CC ．122342C C AD ．2343C A【答案】CD【解析】根据捆绑法得到共有234336C A ⋅=，先选择一个工地有两辆工程车，再剩余的两辆车派给两个工地，共有122342C C A 36=.11113213C C C C 1836=≠.应选：CD .例2、A ，B ，C ，D ，E 五人并排站成一排，以下说法正确的选项是〔 〕 A ．如果A ，B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法有24种 B ．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，那么不同的排法共有42种 C ．甲乙不相邻的排法种数为72种D ．甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种 【答案】ACD【解析】A.如果A ，B 必须相邻且B 在A 的右边，可将AB 捆绑看成一个元素，那么不同的排法有4424A =种，故A 正确.B.最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，那么不同的排法共有1311333323+=54A A A A A 种，故B 不正确. C.甲乙不相邻的排法种数为3234=72A A 种，故C 正确.D.甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有5533=20A A 种,故D 正确.应选：ACD.例3、在100件产品中，有98件合格品，2件不合格品，从这100件产品中任意抽出3件，那么( ) A ．抽出的3件中恰好有1件是不合格品的抽法有12298A C 种 B ．抽出的3件中恰好有1件是不合格品的抽法有1229821298+C C C C 种C ．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有2212988129C C C C +种 D ．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有3310098C C -种【答案】ACD【解析】由题意知，抽出的三件产品恰好有一件不合格品, 那么包括一件不合格品和两件合格品,共有12298A C 种结果，那么选项A 正确，B 不正确；根据题意,"至少有1件不合格品"可分为"有1件不合格品"与"有2件不合格品"两种情况,"有1件不合格品"的抽取方法有28129C C 种, "有2不合格次品"的抽取方法有21298C C 种, 那么共有2212988129C C C C +种不同的抽取方法,选项C 正确； "至少有1件不合格品"的对立事件是"三件都是合格品"，"三件都是合格品"的抽取方法有398C 种,抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有3310098C C -，选项D 正确； 应选：ACD .题型二、二项式定理问题例4、对于二项式521nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()*n N ∈，以下判断正确的有〔 〕A ．对任意*n N ∈，展开式中有常数项B ．存在*n N ∈，展开式中有常数项C ．对任意*n N ∈，展开式中没有x 的一次项D ．存在*n N ∈，展开式中有x 的一次项 【答案】BD【解析】521n x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项为：()572121n rrr rr n r n n T C xC x x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅ ⎪⎝⎭，取720r n -=，得到27nr =，故当n 是7的倍数时，有常数项，故A 错误B 正确； 取721r n -=，取1r =，3n =时成立，故C 错误D 正确； 应选：BD .例5、对于6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式，以下说法正确的选项是〔 〕A ．展开式共有6项B ．展开式中的常数项是-240C ．展开式中各项系数之和为1D ．展开式中的二项式系数之和为64【答案】CD【解析】6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式共有7项，故A 错误； 6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项为666316621(2)(1)2rr r r r r r r T C x C x x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 令630,2r r，展开式中的常数项为2426(1)2240C -=，故B 错误；令1x =，那么展开式中各项系数之和为()62111⨯-=，故C 正确；6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的二项式系数之和为6264=，故D 正确. 应选：CD .例6、6112a x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，那么以下结论正确的有〔 〕A ．1a =B ．展开式中常数项为160C ．展开式系数的绝对值的和1458D ．假设r 为偶数，那么展开式中r x 和1r x -的系数相等 【答案】ACD【解析】对于A ， 6112a x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭令二项式中的x 为1得到展开式的各项系数和为1a +，12a ∴+= 1a，故A 正确；对于B ，661111212a x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭6611122x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为66621(1)2r r r rr T C x --+=-， 当612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式是中常数项为：令620r -=,得3r = 可得展开式中常数项为：33346(1)2160T C =-=-，当6112x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式是中常数项为： 662665261(1)2(1)2r r r r r r r rC xC x x ----=⋅-- 令520r -=,得52r =(舍去) 故6112a x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中常数项为160-.故B 错误； 661111212a x xx x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭对于C ，求其展开式系数的绝对值的和与61112x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭展开式系数的绝对值的和相等61112xx x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，令1x =，可得：66111112231458⎛⎫⎛⎫++⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝==⎭ ∴61112x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭展开式系数的绝对值的和为：1458.故C 正确；对于D ，66611111222a x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=-+- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为66621(1)2r r r r r T C x --+=-， 当r 为偶数，保证展开式中r x 和1r x -的系数相等 ①2x 和1x 的系数相等，61112x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭展开式系数中2x 系数为：622226(1)2C x -- 展开式系数中1x 系数为：622226(1)2C x --此时2x 和1x 的系数相等， ②4x 和3x 的系数相等，61112x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭展开式系数中4x 系数为：15146(1)2C x - 展开式系数中3x 系数为：15146(1)2C x -此时4x 和3x 的系数相等， ③6x 和5x 的系数相等，61112x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭展开式系数中6x 系数为：66600(1)2C x - 展开式系数中5x 系数为：66600(1)2C x -此时6x 和5x 的系数相等， 故D 正确；综上所在，正确的选项是：ACD 应选：ACD.例7、对于二项式()3*1nx n N x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，以下判断正确的有〔 〕 A ．存在*n N ∈，展开式中有常数项； B ．对任意*n N ∈，展开式中没有常数项； C ．对任意*n N ∈，展开式中没有x 的一次项； D ．存在*n N ∈，展开式中有x 的一次项. 【答案】AD【解析】设二项式()3*1nx n N x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭展开式的通项公式为1r T +， 那么3411=()()r n r r r r nr n n T C x C x x--+=，不妨令4n =，那么1r =时，展开式中有常数项，故答案A 正确，答案B 错误； 令3n =，那么1r =时，展开式中有x 的一次项，故C 答案错误，D 答案正确。

高考数学专题命题解读1.高考对排列组合的考查，重点是特殊元素与特殊位置、两元素相邻或不相邻、分组、分配等问题。

题型一般与生活实际联系紧密。

2.高考对二项式定理的考查，重点是二项展开基本定理考查特定项、系数、二项式系数等问题，同时会涉及到赋值法的应用。

命题分析2024年高考新高考Ⅰ卷的排列组确定所有可能结果，其实Ⅰ卷的题目也其中逻辑推理能力比较重要，而且都是试题精讲一、填空题1．（2024新高考Ⅱ卷·14）在如图的则共有种选法，在所有符合上述要求的考数学真题题型分类解析08排列组合与二项式定理考向 点是特殊或不相一般与生重点是二特定项的时会涉及排列组合202202202202二项式定理 202排列组合是体现在概率中的，后续专题会体现出来。

题目也可以采用列举法，这两题考查的方向偏向于与实且都是压轴题。

预计2025年高考还是主要考查排列组合图的4×4方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是解析解析 式定理式定理考查统计2023·新高考Ⅰ卷，13 2022·新高考Ⅱ卷，5 2023·新高考Ⅱ卷，3 2024·新高考Ⅱ卷，14 2022·新高考Ⅰ卷，13 。

Ⅱ卷考查了通过列举来于与实际生活联系在一起；列组合的应用，题型多变。

列均恰有一个方格被选中，大值是．【答案答案】】 24 112【分析分析】】由题意可知第一由题意可知第一、、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选个方格可选；；利用列举法写出所有的可能结果利用列举法写出所有的可能结果，，即可求解.【详解详解】】由题意知由题意知，，选4个方格个方格，，每行和每列均恰有一个方格被选中每行和每列均恰有一个方格被选中，， 则第一列有4个方格可选个方格可选，，第二列有3个方格可选个方格可选，， 第三列有2个方格可选个方格可选，，第四列有1个方格可选个方格可选，， 所以共有432124×××=种选法种选法；；每种选法可标记为(,,,)a b c d ，a b c d ,,,分别表示第一分别表示第一、、二、三、四列的数四列的数字字， 则所有的可能结果为则所有的可能结果为：： (11,22,33,44),(11,22,34,43),(11,22,33,44),(11,22,34,42),(11,24,33,43),(11,24,33,42)， (12,21,33,44),(12,21,34,43),(12,22,31,44),(12,22,34,40),(12,24,31,43),(12,24,33,40)， (13,21,33,44),(13,21,34,42),(13,22,31,44),(13,22,34,40),(13,24,31,42),(13,24,33,40)， (15,21,33,43),(15,21,33,42),(15,22,31,43),(15,22,33,40),(15,22,31,42),(15,22,33,40)，所以选中的方格中所以选中的方格中，，(15,21,33,43)的4个数之和最大个数之和最大，，为152********+++=. 故答案为故答案为：：24；112 【点睛点睛】】关键点点睛关键点点睛：：解决本题的关键是确定第一解决本题的关键是确定第一、、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选个方格可选，，利用列举法写出所有的可能结果.一、单选题1．（2022新高考Ⅱ卷·5）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ） A ．12种B ．24种C ．36种D ．48种【答案答案】】B【分析分析】】利用捆绑法处理丙丁利用捆绑法处理丙丁，，用插空法安排甲用插空法安排甲，，利用排列组合与计数原理即可得解【详解详解】】因为丙丁要在一起因为丙丁要在一起，，先把丙丁捆绑先把丙丁捆绑，，看做一个元素看做一个元素，，连同乙连同乙，，戊看成三个元素排列,有3!种排列方式；为使甲不在两端为使甲不在两端，，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，，有2种插空方式种插空方式；；注意到丙丁两人的顺序可交换注意到丙丁两人的顺序可交换，，有2种排列方式种排列方式，，故安排这5名同学共有名同学共有：：3!2224××=种不同的排列方式种不同的排列方式，，故选故选：：B 2．（2023新高考Ⅱ卷·3）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）．A ．4515400200C C ⋅种B ．2040400200C C ⋅种C ．3030400200C C ⋅种D ．4020400200C C ⋅种二、填空题3．（2022新高考Ⅰ卷·13）81()y x y x −+的展开式中26x y 的系数为（用数字作答）．修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有种（用数字作答）． 【答案答案】】64【分析分析】】分类讨论选修2门或3门课门课，，对选修3门，再讨论具体选修课的分配再讨论具体选修课的分配，，结合组合数运算求解.【详解详解】（】（1）当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有144116C C =种；（2）当从8门课中选修3门，①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有1244C C 24=种； ②若体育类若体育类选修课选修课2门，则不同的选课方案共有2144C C 24=种；综上所述综上所述：：不同的选课方案共有16242464++=种. 故答案为故答案为：：64.一、排列与排列数1、定义：从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号mn A 表示．2、排列数的公式：()()()()!121!mnn A n n n n m n m =−−−+=− ． 特例：当m n =时，()()!12321m n A n n n n ==−−⋅⋅ ；规定：0!1=． 3、排列数的性质：①11m m n n A nA −−=；②111mm m n n n n A A A n m n m+−==−−；③111m m m n n n A mA A −−−=+．二、组合与组合数1、定义：从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号mn C 表示．2、组合数公式及其推导求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数m n A ，可以按以下两步来考虑： 第一步，先求出从这n 个不同元素中取出m 个元素的组合数m n C ； 第二步，求每一个组合中m 个元素的全排列数m n A ； 根据分步计数原理，得到m m m n n m A C A =⋅；因此()()()121!m mn nm m n n n n m A C A m −−−+== ．这里n ，m N +∈，且m n ≤，这个公式叫做组合数公式．因为()!!m n n A n m =−，所以组合数公式还可表示为：()!!!m n n C m n m =−．特例：01n n n C C ==．注意：组合数公式的推导方法是一种重要的解题方法！在以后学习排列组合的混合问题时，一般都是按先取后排（先组合后排列）的顺序解决问题．公式(1)(2)(1)C !m n n n n n m m −−⋅⋅⋅−+=常用于具体数字计算，!C !()!m n n m nm =−常用于含字母算式的化简或证明．3、组合数的主要性质：①m n m n n C C −=；②11m m mn n n C C C −++=．4、组合应用题的常见题型：①“含有”或“不含有”某些元素的组合题型 ②“至少”或“最多”含有几个元素的题型三、排列和组合的区别组合：取出的元素地位平等，没有不同去向和分工． 排列：取出的元素地位不同，去向、分工或职位不同．注意：排列、组合都是研究事物在某种给定的模式下所有可能的配置数目问题，它们之间的主要区别在于是否要考虑选出元素的先后顺序，不需要考虑顺序的是组合问题，需要考虑顺序的是排列问题．排列是在组合的基础上对入选的元素进行排队，因此，分析解决排列组合综合问题的基本思维是“先组合，后排列”．四、二项式展开式的特定项二项式展开式的特定项、、特定项的系数问题1、二项式定理一般地，对于任意正整数，都有：011()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N −−∗+=+++++∈ ，这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式．式中的r n r r n C a b −做二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项为展开式的第1r +项：1r n r r r n T C a b −+=， 其中的系数r n C （r =0，1，2，…，n ）叫做二项式系数，2、二项式()n a b +的展开式的特点：①项数：共有1n +项，比二项式的次数大1；②二项式系数：第1r +项的二项式系数为r n C ，最大二项式系数项居中；③次数：各项的次数都等于二项式的幂指数n ．字母a 降幂排列，次数由n 到0；字母b 升幂排列，次 数从0到n ，每一项中，a ，b 次数和均为n ；④项的系数：二项式系数依次是012r n n n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，，，，，，，项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）．3、两个常用的二项展开式：①（）②4、二项展开式的通项公式二项展开式的通项：1r n r r r n T C a b −+=()0,1,2,3,,r n =…公式特点：①它表示二项展开式的第1r +项，该项的二项式系数是；②字母b 的次数和组合数的上标相同； ③a 与b 的次数之和为n ．n n b a )(+011()(1)(1)n n n r r n r r n n n n n n n a b C a C a b C a b C b −−−=−++−⋅++−⋅ *N n ∈122(1)1n r r n n n n x C x C x C x x +=++++++ r n C注意：①二项式()n a b +的二项展开式的第r +1项和()n b a +的二项展开式的第r +1项是有区别的，应用二项式定理时，其中的a 和b 是不能随便交换位置的．②通项是针对在()n a b +这个标准形式下而言的，如()n a b −的二项展开式的通项是（只需把b −看成b 代入二项式定理）．五、二项式展开式中的最值问题1、二项式系数的性质①每一行两端都是1，即0n n n C C =；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即11m m mn n n C C C −+=+． ②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即m n m n n C C −=．③二项式系数和令1a b ==，则二项式系数的和为0122r n n n n n n n C C C C C ++++++= ，变形式1221r n n n n n n C C C C +++++=− ．④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令11a b ==−，，则0123(1)(11)0n n n n n n n n C C C C C −+−++−=−= ，从而得到：0242132111222r r nn n n n n n n n C C C C C C C +−++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅=⋅= ． ⑤最大值：如果二项式的幂指数n 是偶数，则中间一项12n T +的二项式系数2n nC 最大；如果二项式的幂指数n 是奇数，则中间两项12n T +，112n T +的二项式系数12n nC−，12n nC+相等且最大．2、系数的最大项求()n a bx +展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为121n A A A +⋅⋅⋅，，，，设第1r +项系数最大，应有112r r r r A A A A +++≥ ≥ ，从而解出r 来．六、二项式展开式中系数和有关问题常用赋值举例：1、设， 二项式定理是一个恒等式，即对a ，b 的一切值都成立，我们可以根据具体问题的需要灵活选取a ，b 的值．①令，可得：②令11a b ==，，可得：，即：（假设为偶数），再结合①可得：．r n r rnC a b −r n r r n C b a −1(1)r r n r rr nT C a b −+=−()011222nn n n r n r r n nn nn n n a b C a C a b C a b C a b C b −−−+=++++++ 1a b ==012n nn n n C C C =+++ ()012301nnn n n n n C C C C C =−+−+− 02131n n n n n n n n C C C C C C −+++=+++ n 0213112n n n n n n n n n C C C C C C −−+++=+++=2、若121210()n n n n n n f x a x a x a x a x a −−−−=+++++ ，则①常数项：令0x =，得0(0)a f =．②各项系数和：令1x =，得0121(1)n n f a a a a a −=+++++ ． ③奇数项的系数和与偶数项的系数和（i ）当n 为偶数时，奇数项的系数和为024(1)(1)2f f a a a +−+++= ；偶数项的系数和为135(1)(1)2f f a a a −−+++=． （可简记为：n 为偶数，奇数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配） （ii ）当n 为奇数时，奇数项的系数和为024(1)(1)2f f a a a −−+++= ；偶数项的系数和为135(1)(1)2f f a a a +−+++=．（可简记为：n 为奇数，偶数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配） 若1210121()n n n n f x a a x a x a x a x −−=+++++ ，同理可得．注意：常见的赋值为令0x =，1x =或1x =−，然后通过加减运算即可得到相应的结果． 【排列组合常用结论排列组合常用结论】】一、解决排列组合综合问题的一般过程1、认真审题，确定要做什么事；2、确定怎样做才能完成这件事，即采取分步还是分类或是分步与分类同时进行，弄清楚分多少类及多少步；3、确定每一步或每一类是排列（有序）问题还是组合（无序）问题，元素总数是多少及取出多少个元素；4、解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略．二、常见排列组合类型及解法1、如图，在圆中，将圆分n 等份得到n 个区域1M ，2M ，3M ， ，(2)n M n …，现取(2)k k …种颜色对这n个区域涂色，要求每相邻的两个区域涂不同的两种颜色，则涂色的方案有(1)(1)(1)n n k k −−+−种．2、错位排列公式1(1)(1)!!inn i D n n =−=+⋅∑ 3、数字排列问题的解题原则、常用方法及注意事项（1）解题原则：排列问题的本质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位子上，或某个位子不排某些元素，解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位子，若一个位子安排的元素影响到另一个位子的元素个数时，应分类讨论． 4、定位、定元的排列问题，一般都是对某个或某些元素加以限制，被限制的元素通常称为特殊元素，被限制的位置称为特殊位置．这一类问题通常以三种途径考虑：（1）以元素为主考虑，这时，一般先解决特殊元素的排法问题，即先满足特殊元素，再安排其他元素； （2）以位置为主考虑，这时，一般先解决特殊位置的排法问题，即先满足特殊位置，再考虑其他位置； （3）用间接法解题，先不考虑限制条件，计算出排列总数，再减去不符合要求的排列数．5、解决相邻问题的方法是“捆绑法”，其模型为将n 个不同元素排成一排，其中某k 个元素排在相邻位置上，求不同排法种数的方法是：先将这k 个元素“捆绑在一起”，看成一个整体，当作一个元素同其他元素一起排列，共有11n k n k A −+−+种排法；然后再将“捆绑”在一起的元素“内部”进行排列，共有k k A 种排法．根据分步乘法计数原理可知，符合条件的排法共有11n k nk kk A A −+−+⋅种． 6、解决不相邻问题的方法为“插空法”，其模型为将n 个不同元素排成一排，其中某k 个元素互不相邻（1k n k ≤−+），求不同排法种数的方法是：先将（n k −）个元素排成一排，共有n kn k A −−种排法；然后把k 个元素插入1n k −+个空隙中，共有1k n k A −+种排法．根据分步乘法计数原理可知，符合条件的排法共有n k n k A −−·1k n k A −+种．一、单选题1．（2024·重庆·三模）重庆某高校去年招收学生来自成渝地区2400人，除成渝外的西部地区2000人，中部地区1400人，东部地区1800人，港澳台地区400人.学校为了解学生的饮食习惯，拟选取40人作样本调研，为保证调研结果的代表性，则从该校去年招收的成渝地区学生中不同的抽样结果种数为（ ）A ．402400CB ．242400C C ．122400CD ．102400C2．（2024·北京·三模）已知x的二项式系数之和为64，则其展开式的常数项为（ ）A ．240−B ．240C ．60D ．60−的票价分别对应球场三个不同的区域，五位球迷相约看球赛，则五人中恰有三人在同一区域的不同座位方式共有（ ）A ．30种B ．60种C ．120种D ．240种【答案答案】】C【分析分析】】依题意依题意，，先将在同一区域的三个先将在同一区域的三个人选出并选定区域人选出并选定区域人选出并选定区域，，再对余下的两人分别在其它两个区域进行选择，由分步乘法计数原理即得.【详解详解】】要使五人中恰有三人在同一区域要使五人中恰有三人在同一区域，，可以分成三步完成可以分成三步完成：： 第一步第一步，，先从五人中任选三人先从五人中任选三人，，有35C 种方法种方法；； 第二步再选这三人所在的区域第二步再选这三人所在的区域，，有13C 种方法种方法；；第三步第三步，，将另外两人从余下的两个区域里任选将另外两人从余下的两个区域里任选，，有1122C C ⋅种方法.由分步乘法计数原理由分步乘法计数原理，，共有31115322C C C C 120⋅⋅⋅=种方法.故选:C.4．（2024·四川成都·三模）成实外教育集团自2000年成立以来，一直行走在民办教育的前端，致力于学生的全面发展，对学生的教育视为终身己任，在教育事业上砥砺前行，永不止步.截至目前，集团已开办29所K-12学校和两所大学，其中高中教育学校有11所.集团拟召开综合考评会.经考评后，11所学校得分互不相同，现从中任选3所学校的代表交流发言，则排名为第一名或第五名的学校代表去交流发言的概率为（ ） A ．2455B ．2855C ．811D ．2755 【答案答案】】D【分析分析】】利用古典概率结合组合数的计算求解即可. 【详解详解】】从11所学校中任选3所学校共有种311C 165=选法. 其中排名为第一名或第五名的学校其中排名为第一名或第五名的学校，，可以分为三种情况可以分为三种情况：：第一类第一类：：只含有排名为第一名的学校的有29C 36=种选法种选法；；邻的条件下，数字2，4，6也相邻的概率为（ ） A ．310B ．35C ．110D ．156．（2024·新疆喀什·三模）21x x ++展开式中，3x 的系数为（ ）A ．20B ．30C ．25D ．40【答案答案】】B【分析分析】】分不含2x 项和含有一个2x 项两种情况求解项两种情况求解．．【详解详解】】25(1)++x x 展开式中展开式中，，3x 的项为33212133554C 1C C 130x x x x ⋅+⋅⋅=，则3x 的系数为30． 故选故选：：B ．7．（2024·新疆·三模）西安、洛阳、北京、南京和开封并称中国的五大古都.某旅游博主为领略五大古都之美，决定用两个月的时间游览完五大古都，且每个月只游览五大古都中的两个或三个（五大古都只游览一次），则恰好在同一个月游览西安和洛阳的概率为（ ）A ．15B ．25C ．12D ．35【答案答案】】B【分析分析】】求出事件的总数以及目标事件的数量求出事件的总数以及目标事件的数量，，再用古典再用古典概型计算即可概型计算即可..【详解详解】】将古都分成2个、3个两组个两组，，再在两个月安排旅游顺序再在两个月安排旅游顺序，，故事件总数为2252C A 20⋅=，分2个古都组中含西安个古都组中含西安、、洛阳洛阳，，或3个古都组中含西安个古都组中含西安、、洛阳洛阳，，故恰好在同一个月游览西安和洛阳的事件8．（2024·北京·三模）在2221x x −−的展开式中，5x 项的系数为（ ） A ．144−B ．16−C ．16D ．144【答案答案】】C【分析分析】】写出()()552112x x −=−−的展开式通项，即可列式求解.【详解详解】】()()552112x x −=−−，其展开式通项公式为()15C 2rr r T x +=−−，0,1,2,3,4,5r =，所以所求5x 项的系数为()()353555C 22C 2806416−−+−=−=，故选故选：： C ． 9．（2024·河北秦皇岛·三模）三人被邀请参加同一个时间段的两个晚会，若两个晚会都必须有人去，去几人自行决定，且每人最多参加一个晚会，则不同的去法有（ ） A ．8种B ．12种C ．16种D ．24种【答案答案】】B【分析分析】】根据参加晚会的人数分类讨论根据参加晚会的人数分类讨论，，利用排列组合数求解即可.【详解详解】】第一种情况第一种情况，，只有两人参加晚会只有两人参加晚会，，有23A 6=种去法种去法；； 第二种情况第二种情况，，三人参加晚会三人参加晚会，，有2232C A 6=种去法种去法，，共12种去法.故选故选：：B10．（2024·安徽芜湖·三模）已知A 、B 、C 、D 、E 、F 六个人站成一排，要求A 和B 不相邻，C 不站两端，则不同的排法共有（ ）种A ．186B ．264C ．284D ．336【答案答案】】D【分析分析】】先考虑A 和B 不相邻的排法不相邻的排法，，再考虑A 和B 不相邻不相邻，，且C 站两端的情况站两端的情况，，相减后得到答案. 【详解详解】】先考虑A 和B 不相邻的排法不相邻的排法，，将C 、D 、E 、F 四个人进行全排列四个人进行全排列，，有44A 种情况种情况，，C 、D 、E 、F 四个人之间共有5个空个空，，选择2个排A 和B ，有25A 种情况种情况，，故有4245480A A =种选择种选择，，再考虑A 和B 不相邻不相邻，，且C 站两端的情况站两端的情况，， 先从两端选择一个位置安排C ，有12C 种情况种情况，， 再将D 、E 、F 三个人进行全排列三个人进行全排列，，有33A 种情况最后D 、E 、F 三个人之间共有4个空个空，，选择2个排A 和B ，有24A 种情况种情况，，故有132234C A A 144=种情况种情况，，则要求A 和B 不相邻不相邻，，C 不站两端不站两端，，则不同的安排有480144336−=种情况. 故选故选：：D 11．（2024·浙江绍兴·三模）在()()()()()123x x x x a x b +++++的展开式中，含4x 项的系数是10，则()2log a b +=（ ）A ．0B ．1C ．2D ．4【答案答案】】C【分析分析】】在()()()()()123x x x x a x b +++++的展开式中含4x 的项即从5个因式中取4个x ，1个常数项即可写出含4x 的项的项，，则可得出答案.【详解详解】】根据二项展开式可知含4x 项即从5个因式中取4个x ，1个常数项即可写出含4x 的项；所以含4x 的项是()4412310a b x x ++++=，可得4a b +=；即可得()22log log 42a b +==. 故选故选：：C 12．（2024·湖北荆州·三模）已知()202422024012202431a a x a x a x x =+++−+L ，则122024a a a +++L 被3除的余数为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0【答案答案】】D【分析分析】】先对二项展开式中的x 进行赋值进行赋值，，得出101212202441a a a +++=− ，再将10124看作()101231+进行展开，再利用二项展开式特点分析即得.【详解详解】】令0x =，得01a =，令1x =，得202401220242a a a a ++++= ， 两式相减两式相减，，202410121220242141a a a +++=−=− ，因为()101210120101211011101110121012101210121012431C 3C 3C 3C =+=++++ ，其中01012110111011101210121012C 3C 3C 3+++L 被3整除整除，，所以10124被3除的余数为1， 综上综上，，122024a a a +++L 能被3整除整除．． 故选故选：：D.二、多选题13．（2024·山西临汾·三模）在82x 的展开式中（ ） A ．所有奇数项的二项式系数的和为128 B ．二项式系数最大的项为第5项 C ．有理项共有两项D ．所有项的系数的和为8314．（2024·江西南昌·三模）已知12x x − 的展开式中二项式系数的最大值与+a x x的展开式中1x 的系数相等，则实数a 的值可能为（ ）A B ．D ．15．（2024·山西·三模）已知函数2120121241f x x a a x a x a x =−=+++⋅⋅⋅+，则（ ）A ．333124C a =×B ．()f x 展开式中，二项式系数的最大值为612CC ．12123123a a a a +++⋅⋅⋅+=D ．()5f 的个位数字是1【答案答案】】BD【分析分析】】对于A ：根据二项展开式分析求解根据二项展开式分析求解；；对于B ：根据二项式系数的性质分析求解根据二项式系数的性质分析求解；；对于C ：利用赋值法值法，，令0x =、1x =即可得结果即可得结果；；对于D ：因为()()125201f =−，结合二项展开式分析求解.【详解详解】】对于选项A ：()1241x −的展开式的通项为()()()12121211212C 4114C ,0,1,2,,12rr rr r rr r T x x r −−−+=⋅−=−⋅⋅⋅=⋅⋅⋅，令9r =，可得()93933334121214C 4C T x x =−⋅⋅⋅=−×⋅， 所以333124C a =−×，故A 错误错误；；对于选项B ：因为12n =为偶数为偶数，，可知二项式系数的最大值为612C ，故B 正确正确；； 对于选项C ：令0x =，可得01a =；令1x =，可得12012123a a a a +++⋅⋅⋅+=； 所以121231231a a a a +++⋅⋅⋅+=−，故C 错误错误；；对于选项D ：因为()()125201f =−，且()12201−的展开式的通项为()12112C 201,0,1,2,,12kkk k T k −+=⋅⋅−=⋅⋅⋅， 可知当0,1,2,,11k =⋅⋅⋅，1k T +均为20的倍数的倍数，，即个位数为0， 当12k =时，131T =，所以()5f 的个位数字是1，故D 正确正确；； 故选故选：：BD.三、填空题16．（2024·山东烟台·三模）614x展开式的中间一项的系数为.胜杰，江新林3人）顺利打开“家门”，欢迎远道而来的神舟十八号航天员乘组（叶光富、李聪、李广苏3人）入驻“天宫”．随后，两个航天员乘组拍下“全家福”，共同向全国人民报平安．若这6名航天员站成一排合影留念，叶光富不站最左边，汤洪波不站最右边，则不同的排法有． 【答案答案】】504【分析分析】】本题考查排列中分类加法计数原理和分步乘法计数原理.根据题目要求根据题目要求，，分两类进行讨论分两类进行讨论，，第一类叶光富在最右侧叶光富在最右侧，，第二类叶光富不在最右侧.然后根据分类加法计数原理相加即可得到答案. 【详解详解】】根据叶光富不站最左边根据叶光富不站最左边，，可以分为两种情况可以分为两种情况：：第一种情况第一种情况：：叶光富站在最右边叶光富站在最右边，，此时剩余的5人可以进行全排列人可以进行全排列，，共有55A 120=种排法.第二种情况第二种情况：：叶光富不站在最右边叶光富不站在最右边，，根据题目条件叶光富不站最左边根据题目条件叶光富不站最左边，，此时叶光富有4种站法.根据题目条件汤洪波不站在最右边件汤洪波不站在最右边，，可知杨洪波只有4种站法.剩余的4人进行全排列,共有4444A 384××=种排法种排法，，由分类加法计数原理可知由分类加法计数原理可知，，总共有120384504+=种排法种排法．． 故答案为故答案为：：504 18．（2024·福建福州·三模）421x x +−的展开式中常数项为．4，1，5，9进行某种排列得到密码．若排列时要求相同数字不相邻，且相同数字之间一个数字，则小明可以设置的不同密码种数为． 【答案答案】】96【分析分析】】利用捆绑法即可求解.【详解详解】】从3，4，5，9中选择一个数字放入两个1之间之间，，将其与两个1看作一个整体看作一个整体，，与剩下元素全排列与剩下元素全排列，，故不同的密码个数为1444C A 96=，故答案为故答案为：：96 20．（2024·河北衡水·三模）()()7222x y x y +−的展开式中46x y 的系数为（用数字作答）【答案答案】】35−【分析分析】】根据题意根据题意，，结合二项式的展开式的性质结合二项式的展开式的性质，，准确计算准确计算，，即可求解.【详解详解】】由题意由题意，，多项式()()7222x y x y +−的展开式中含有46x y 的项为的项为：：()()()265262524677C 2C 35x x y y xy x y ⋅⋅−+⋅−=−，所以46x y 的系数为35−． 故答案为故答案为：：35−.21．（2024·河南·三模）若()*nn∈N 的展开式中存在常数项，则n 的值可以是（写出一个值即可）场为女双，一场为男女混双），每名选手只参加1场表演赛，则所有不同的安排方法有种. 【答案答案】】4050【分析分析】】先考虑两对混双的组合先考虑两对混双的组合，，再从余下4名男选手和4名女选手各有3种不同的配对方法组成两对男双组合双组合，，两对女双组合双组合，，利用分步乘法原理可求得结果. 【详解详解】】先考虑两对混双的组合有22662C C ⋅种不同的方法种不同的方法，，余下4名男选手和4名女选手各有3种不同的配对方法组成两对男双组合对方法组成两对男双组合，，两对女双组合双组合，，故共有22662C C 334050⋅××=.故答案为故答案为：：4050。

高考数学（理科）专题练习 排列组合、二项式定理[A 组高考题、模拟题重组练] 一、排列、组合1．(2016·全国甲卷)如图22­1，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )图22­1A ．24B ．18C ．12D ．9 2．(2016·四川高考)用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为( )A ．24B ．48C ．60D ．723．(2016·全国丙卷)定义“规范01数列”{a n }如下：{}n a 共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意122k k m a a a ≤⋯，，，，中0的个数不少于1的个数．若4m ＝，则不同的“规范01数列”共有( )A ．18个B ．16个C ．14个D ．12个4．(2012·全国卷)将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( ) A ．12种 B ．10种 C ．9种D ．8种5．(2016·哈尔滨一模)某中学高三学习雷锋志愿小组共有16人，其中一班、二班、三班、四班各4人，现在从中任选3人，要求这三人不能是同一个班级的学生，且在三班至多选1人，不同的选取法的种数为( )排列组合、二项式定理排列组合、二项式定理解析[A组高考题、模拟题重组练]一、排列、组合1．B[从E到G需要分两步完成：先从E到F，再从F到G．从F到G的最短路径，只要考虑纵向路径即可，一旦纵向路径确定，横向路径即可确定，故从F到G的最短路径共有3条．如图，从E到F的最短路径有两类：先从E到A，再从A到F，或先从E到B，再从B到F．因为从A到F 或从B到F都与从F到G的路径形状相同，所以从A到F，从B到F最短路径的条数都是3，所以从E到F的最短路径有3＋3＝6(条)．所以小明到老年公寓的最短路径条数为6×3＝18．]2．D[第一步，先排个位，有C13种选择；第二步，排前4位，有A44种选择．由分步乘法计数原理，知有C13·A44＝72(个)．]3．C[由题意知：当m＝4时，“规范01数列”共含有8项，其中4项为0，4项为1，且必有a1＝0，a8＝1．不考虑限制条件“对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数”，则中间6个数的情况共有C36＝20(种)，其中存在k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数少于1的个数的情况有：①若a2＝a3＝1，则有C14＝4(种)；②若a2＝1，a3＝0，则a4＝1，a5＝1，只有1种；③若a2＝0，则a3＝a4＝a5＝1，只有1种．综上，不同的“规范01数列”共有20－6＝14(种)．故共有14个．故选C．]4．A[分两步：第一步，选派一名教师到甲地，另一名到乙地，共有C12＝2(种)选派方法；第二步，选派两名学生到甲地，另外两名到乙地，共有C24＝6(种)选派方法．由分步乘法计数原理得，不同的选派方案共有2×6＝12(种)．]5．B[分两类，不选三班的同学，利用间接法，没有条件得选择3人，再排除3个同学来自同一班，有C312－3C34＝208种；选三班的一位同学，剩下的两位同学从剩下的12人中任选2人，有C14·C212＝264种．根据分类计数原理，得208＋264＝472，故选B．]6．A[从重量分别为1，2，3，4，…，10克的砝码(每种砝码各一个)中选出若干个，使其总重量恰为8克的方法是选一个，8克，一种方法，选两个，1＋7，2＋6，3＋5，共3种方法，选三个，1＋2＋5，只有一种方法，其他不含1的三个的和至少是2＋3＋4＞8．四个以上的和都大于8，因此共有方法数为5．A中，x8的系数是1＋3＋1＝5(x8，x·x7，x2·x6，x3·x5，x·x2·x5)，B中，x8的系数大于1×2×3×4×5×6×7×8，C中，x8的系数大于8(8x8的系数就是8)，D中，x8的系数大于C49＞8(有四个括号里取x2，其余取1时系数为C49)．因此只有A是正确的，故选A．]7．B[法一：五本书分给四名同学，每名同学至少1本，那么这四名同学中有且仅有一名同学分到两本书，第一步骤，先选出一名同学，即C14；这名同学分到的两本书有三种情况：两本小说，两本诗集或是一本小说和一本诗集，因为小说、诗集都不区别，所以在第一种情况下有C13种分法(剩下三名同学中选一名同学分到一本小说，其余两名同学各分到一本诗集)，在第二种情况下有1种分法(剩下三名同学各分到一本小说)，在第三种情况下有C13种分法(剩下三名同学中选一名同学分到一本诗集，其余两名同学各分到一本小说)，这样第二步骤共有情况数是C13＋1＋C13＝7，故本题的答案是7C14＝28，选B．法二：将3本相同的小说记为a，a，a；2本相同的诗集记为b，b，将问题分成3种情况，分别是①aa，a，b，b，此种情况有A24＝12种；②bb，a，a，a，此种情况有C14＝4种；③ab，a，a，b，此种情况有A24＝12种，总共有28种，故选B．]二、二项式定理8．C[法一：(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，含y2的项为T3＝C25(x2＋x)3·y2．其中(x2＋x)3中含x5的项为C13x4·x＝C13x5．所以x5y2的系数为C25C13＝30．故选C．法二：(x2＋x＋y)5为5个x2＋x＋y之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为C25C23C11＝30．故选C．]9．B[(x＋y)2m展开式中二项式系数的最大值为C m2m，∴a＝C m2m．同理，b＝C m＋12m＋1．∵13a ＝7b ，∴13·C m 2m ＝7·C m ＋12m ＋1．∴13·2m ！m ！m ！＝7·2m ＋1！m ＋1！m ！． ∴m ＝6．] 10．D[(1＋x )5中含有x 与x 2的项为T 2＝C 15x ＝5x ，T 3＝C 25x 2＝10x 2，∴x 2的系数为10＋5a ＝5，∴a ＝－1，故选D ．]11．10[(2x ＋x )5展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(2x )5－r (x )r ＝25－r ·C r 5·．令5－r2＝3，得r ＝4．故x 3的系数为25－4·C 45＝2C 45＝10．]12．－2[T r ＋1＝C r 5·(ax 2)5－r⎝⎛⎭⎫1x r ＝C r 5·a5－r ．令10－52r ＝5，解得r ＝2．又展开式中x 5的系数为－80，则有C 25·a 3＝－80，解得a ＝－2．]13．3[设(a ＋x )(1＋x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5． 令x ＝1，得(a ＋1)×24＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5．① 令x ＝－1，得0＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5．②①－②，得16(a ＋1)＝2(a 1＋a 3＋a 5)＝2×32，∴a ＝3．] 14．－20[x 2y 7＝x ·(xy 7)，其系数为C 78，x 2y 7＝y ·(x 2y 6)，其系数为－C 68，∴x 2y 7的系数为C 78－C 68＝8－28＝－20．]15．0[设(1＋x )6＝b 0＋b 1x ＋b 2x 2＋…＋b 6x 6，则a 1＝b 0＋mb 1，a 3＝b 2＋mb 3，a 5＝b 4＋mb 5，a 7＝b 6， 所以a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝(b 0＋b 2＋b 4＋b 6)＋m (b 1＋b 3＋b 5)，又由二项式定理知 b 0＋b 2＋b 4＋b 6＝b 1＋b 3＋b 5＝12(1＋1)6＝32，所以32＋32m ＝32，m ＝0．] [B 组“10＋5”模拟题提速练] 一、选择题 1．B[因为甲和丙同地，甲和乙不同地，所以有2，2，1和3，1，1两种分配方案， ①2，2，1方案：甲、丙为一组，从余下3人选出2人组成一组，然后排列，共有C 23×A 33＝18种；②3，1，1方案：在丁、戊中选出1人，与甲丙组成一组，然后排列，共有C 12×A 33＝12种．所以选派方案共有18＋12＝30种，故选B ．] 2．D[因为(1＋x )10＝(－2＋1－x )10，所以a 8等于C 810(－2)2＝45×4＝180．故选D ．]3．B[甲乙相邻，将甲乙捆绑在一起看作一个元素，共有A 44A 22种排法，甲乙相邻且在两端有C 12A 33A 22种排法，故甲乙相邻且都不站在两端的排法有A 44A 22－C 12A 33A 22＝24(种)．]4．D[令x ＝1得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＋a 10＝1，再令x ＝0，得a 0＝1，所以a 1＋a 2＋…＋a 9＋a 10＝0，又易知a 1＝C 910×21×(－1)9＝－20，所以a 2＋a 3＋…＋a 9＋a 10＝20．]5．D[T r ＋1＝C r 4·(ax 6)4－r·⎝⎛⎭⎫b x r ＝C r 4a 4－r b r x24－7r，令24－7r ＝3，得r ＝3，则4ab 3＝20，∴ab 3＝5．] 6．C[由题意可得丙、丁、戊中有1人没有抢到红包，且抢到红包的4人中有2人抢到2元红包，另2人抢到3元红包，则甲、乙两人都抢到红包的情况有C 13C 24＝18种，故选C ．]7．B[不妨令乙丙在甲左侧，先排乙丙两人，有A 22种站法，再取一人站左侧有C 14×A 22种站法，余下三人站右侧，有A 33种站法，考虑到乙丙在右侧的站法，故总的站法总数是2×A 22×C 14×A 22×A 33＝192，故选B ．]8．B[分2步进行分析：第1步，先将3个歌舞类节目全排列，有A 33＝6种情况，排好后，有4个空位， 第2步，因为3个歌舞类节目不能相邻，则中间2个空位必须安排2个节目， 分2种情况讨论：①将中间2个空位安排1个小品类节目和1个相声类节目，有C 12A 22＝4种情况，排好后，最后1个小品类节目放在两端，有2种情况， 此时同类节目不相邻的排法种数是6×4×2＝48种； ②将中间2个空位安排2个小品类节目，有A 22＝2种情况， 排好后，有6个空位，相声类节目有6个空位可选，即有6种情况， 此时同类节目不相邻的排法种数是6×2×6＝72种． 则同类节目不相邻的排法种数是48＋72＝120，故选B ．] 9．C[因为⎝⎛⎭⎫1＋x ＋1x 2 01510＝⎣⎡⎦⎤1＋x ＋1x 2 01510 ＝(1＋x )10＋C 110(1＋x )91x 2 015＋…＋C 1010⎝⎛⎭⎫1x 2 01510，所以x 2项只能在(1＋x )10的展开式中，所以含x 2的项为C 210x 2，系数为C 210＝45，故选C ．]10．B[由题意，⎝⎛⎭⎫x 6＋1x x n 的展开式的项为T r ＋1＝C r n (x 6)n －r ⎝⎛⎭⎫1x x r＝，令6n －152r ＝0，得n ＝54r ，当r ＝4时，n 取到最小值5．]32T r ＋1＝C r 7(3x )7－r ⎝⎛⎭⎪⎫－13x 2r ＝C r 7·37－r ·x 7－r ·(－x )r＝(－1)r C r 737－rx ，由7－53r ＝－3，得r ＝6，所以1x 3的系数是C r 7·(－1)6·3＝21．]1418[由题意，不考虑特殊情况，共有C316种取法，其中每一种卡片各取三张，有4C34种取法，两种红色卡片，共有C24C112种取法，故所求的取法共有C316－4C34－C24C112＝560－16－72＝472．]11/ 11。

一、分类计数原理的应用：典型例题：例1. （2012年北京市理5分）从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为【】A. 24B. 18C. 12D. 6【答案】B。

【考点】排列组合问题。

【解析】由于题目要求是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇；偶奇奇。

如果是第一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析（3 种情况），之后十位（2 种情况），最后百位（2 种情况），共12 种；如果是第二种情况偶奇奇：个位（3 种情况），十位（2 种情况），百位（不能是O ，一种倩况），共6 种。

因此总共有12 + 6 = 18 种情况。

故选B。

例2. （2012年安徽省理5分）6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品，已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为【】()A1或3()B1或4()C2或3()D2或4【答案】D。

【考点】排列组合。

【解析】∵261315132C-=-=，∴在6位同学的两两交换中少2种情况。

不妨设甲、乙、丙、丁、戍、己6人①设仅有甲与乙，丙没交换纪念品，则甲收到3份纪念品，乙、丙收到4份纪念品，丁、戍、己收到5份纪念品，此时收到4份纪念品的同学人数为2人；②设仅有甲与乙，丙与丁没交换纪念品，则甲、乙、丙、丁收到4份纪念品，戍、己收到5份纪念品，此时收到4份纪念品的同学人数为4人。

故选D。

例3. （2012年山东省理5分）现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为【】A 232B 252C 472D 484【答案】C。

【考点】排列组合的应用。

【解析】3321164412161514416725608846C C 7C 2C ⨯⨯--=--=-=。

故选C 。

例4. （2012年浙江省理5分）若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有【 】A ．60种B ．63种C ．65种D ．66种 【答案】D 。

高三数学排列组合与二项式定理试题答案及解析1.三张卡片的正反面分别写有1和2,3和4,5和6,若将三张卡片并列,可得到不同的三位数(6不能作9用)的个数为()A．8B．6C．14D．48【答案】D【解析】方法一:第一步,选数字.每张卡片有两个数字供选择,故选出3个数字,共有23=8(种)选法.第二步,排数字.要排好一个三位数,又要分三步,首先排百位,有3种选择,由于排出的三位数各位上的数字不可能相同,因而排十位时有2种选择,排个位只有一种选择.故能排出3×2×1=6(个)不同的三位数.由分步乘法计数原理知共可得到8×6=48(个)不同的三位数.方法二:第一步,排百位有6种选择,第二步,排十位有4种选择,第三步,排个位有2种选择.根据分步乘法计数原理,共可得到6×4×2=48(个)不同的三位数.2.设、、为整数，若和被除得余数相同，则称和对模同余，记.若，且，则的值可以为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，因此除的余数为，即，因此的值可以为，故选A.【考点】1.二项式定理；2.数的整除性3.5名志愿者到3个不同的地方参加义务植树，则每个地方至少有一名志愿者的方案共有____种．【答案】150【解析】将5名志愿者分到3个不同的地方参加义务植树，且每个地方至少有一名志愿者，则分配至3地的人数模式只有“1、1、3”与“1、2、2”这两种模式.设这3地分别为甲、乙、丙.(1)当分配的人数模式是“1、1、3”时，即甲、乙、丙3地中有一地是3个人，其他两地都只有1人,则共有（种）.即先从三地中选一地是分配3个人的，再从5名志愿者中选三人派到该地.剩余2人再分配至其余两地.(2) 当分配的人数模式是“1、2、2”时,即甲、乙、丙3地中有一地是1个人，其他两地都有2人,则共有（种）.即先从三地中选一地是只分配1个人的，再从5名志愿者中选1人派到该地.剩余4人再选出2人分配至其余两地中的某地，那剩余2人即是最后一地所得.综上所述，共有60+90=150种方案.【考点】排列与组合4.如图是网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2，3出现在第2行；数字6，5，4（从左至右）出现在第3行；数字7，8，9，10出现在第4行；依次类推，则（1）按网络运作顺序第n行第一个数字（如第2行第一个数字为2，第3行第一个数字为4，…）是；（2）第63行从左至右的第4个数应是．【答案】（1）。

高二数学排列组合与二项式定理试题答案及解析1.的二项展开式中，项的系数是（）A．45B．90C．135D．270【答案】C【解析】的二项展开式中，，令r=4得，项的系数是=135，选C。

【考点】二项展开式的通项公式点评：简单题，二项式展开式的通项公式是，。

2.设，则的值为【答案】-2.【解析】根据题意，由于，则令x=-1,则可知等式左边为-2，故可知=-2，因此答案为-2.【考点】二项式定理点评：主要是考查了二项式定理的运用，属于基础题。

3.已知二项式的展开式中第四项为常数项，则等于A．9B．6C．5D．3【答案】C【解析】根据题意，由于二项式的展开式中第四项为常数项，那么其通项公式为，故答案为5，选C.【考点】二项式定理点评：主要是考查了二项式定理中展开式的通项公式的运用，属于基础题。

4.已知，则 .【答案】66【解析】根据题意，由于，故可知，故可知答案为66.【考点】组合数公式点评：主要是考查了组合数性质的运用，属于基础题。

5.已知离散型随机变量的分布列如下表．若，，则，．【答案】【解析】由分布列性质可得，【考点】分布列期望方差点评：在分布列中各概率之和为1，借助于分布列结合期望方差公式可计算这两个量6.已知（）能被整除，则实数的值为【答案】【解析】根据题意，由于，根据二项式定理展开式可知，那么由于（）能被整除，且被11除的余数为2，那么可知2+a能被11整除，可知a==9，故答案为9.【考点】二项式定理的运用点评：主要是考查了二项式定理来解决整除问题的运用，属于基础题。

7. ( -)6的二项展开式中的常数项为_____.(用数字作答)【答案】-160【解析】由二项式定理得通项得，，取得常数项。

故选D。

【考点】二项式定理点评：在两项式定理中，通项是最重要的知识点，解决此类题目，必然用到它。

8. 4名同学到某景点旅游，该景点有4条路线可供游览，其中恰有1条路线没有被这4个同学中的任何1人游览的情况有A．36种B．72种C．81种D．144种【答案】D【解析】由题意可知4人选择了4条线路中的3条，不同的游览情况共有种【考点】排列组合点评：求解本题按照先分组后分配的思路求解9.已知，则二项式展开式中的系数为_________.【答案】10【解析】，展开的通项为，令，系数为【考点】定积分与二项式定理点评：定积分，其中，二项式的展开式第项是10.若N，且则（）A．81B．16C． 8D．1【答案】A【解析】根据题意，由于，可知n=4,那么当x=-1时可知等式左边为 ,那么右边表示的为81，故答案为81，选A 【考点】二项式定理点评：主要是考查了二项式定理以及系数和的求解，属于基础题。