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灰数兰彻斯特方程
灰数兰彻斯特方程（Grey-Lanchester equations）是一组用于描述战争中部队之间战斗力关系的方程。
这些方程是由统计学家Frederick Lanchester在1916年提出的。
灰数兰彻斯特方程的主要思想是描述战争中部队之间的战斗力平衡关系，包括两个部队的总战斗力和战斗力之间的关系。
简单来说，灰数兰彻斯特方程表示两个部队之间战斗力的变化关系。
具体来说，灰数兰彻斯特方程分为两个部分：第一个部分是关于战斗力的平衡方程，第二部分是关于战斗力的消耗方程。
这种方程主要用于军事领域，对于战争预测和决策提供了有用的信息。
灰数兰彻斯特方程的具体形式可能因不同的应用而有所不同，但通常分为两个部分：
平衡方程：这个方程描述了两个部队之间的战斗力之间的关系。
通常表示为：AN1 = BN2
其中A, B是常数，N1, N2分别代表两个部队的战斗力。
消耗方程：这个方程描述了战争中部队战斗力的消耗情况。
通常表示为：dN1/dt = -CN1N2
dN2/dt = -DN1N2
其中C,D是常数，N1,N2分别代表两个部队的战斗力，t是时间。
灰数兰彻斯特方程的应用广泛，在军事领域中用于战争预测和决策，在商业领域中用于市场竞争分析等。
需要注意的是，灰数兰彻斯特方程是建立在一系列假设和约束条件之上的，因此可能不能完全准确地描述实际情况。
基于文献计量兰彻斯特方程的研究综述摘要本文运用文献计量法对1984-2022年间知网中收录的关于兰彻斯特方程的研究文献进行了统计分析，研究了发文数量与机构、关键词及研究主题的分布情况，根据对已有文献的梳理，了解到近40年来国内学者关于兰彻斯特方程的研究主要是在作战模型上，方法从常微分方程到随机微分方程，从理论研究到仿真模拟，对未来作战模型研究有待从内容的持续性、纵深程度及著者机构的合作上有所突破。
关键词兰彻斯特方程；文献计量法；文献综述兰彻斯特方程是由英国汽车工程师兰彻斯特（nchester）于1914年提出的，他是第一个对战斗过程中对抗双方的力量关系进行系统分析地数学分析的科学家。
兰彻斯特方程详细考虑了战斗过程中的各种可量化的因素，用反映连续变量特点的一组微分方程描述战场系统的变化，揭示双军交战过程中，战斗力损耗随时间变化的规律。
用这种方式建立起来的各种形式的微分方程统称为兰彻斯特方程。
兰彻斯特方程基本形式有兰彻斯特线性律、平方律和抛物律。
目前兰彻斯特方程相关的文献研究主要是构建作战模型，模型从常微分方程到随机微分方程。
应用领域也十分广泛，从解放军到武警部队，从无人化作战到信息化作战，如基于兰彻斯特方程离散化的现代海战效能研究、基于兰彻斯特方程的处置大规模群体性事件模型分析、无人机协同作战兰彻斯特方程设计与作战进程预测、基于兰彻斯特方程的信息战模型改进研究等。
1.数据来源与研究方法本文研究所选取的162篇文献数据来源为中国知网（CNKI）学术期刊，检索条件：主题为“兰彻斯特方程”，时间区间是1984-2022年，期刊来源类别是“CSSCI”，检索方式为“精确”，检索更新时间为2022 年4月5日。
文献计量学是以文献体系和文献计量特征为研究对象，采用数学、统计学等计量方法，研究文献情报的分布结构、数量关系、变化规律，并进而探讨其特征和规律的一门学科。
本文运用文献计量学对下载文献进行量化与质化分析，在描述外显特征的基础上，结合发展背景，对研究视角与热点等进行动态追踪，把握研究脉络，思考未来发展。
Vol. 42 No. 508 2020第42卷第5期2020年10月!"#制％&'Command Control & Simulation文章编号：1673-3819( 2020) 05-0013-06基于兰彻斯特方程的有人/无人协同作战毛炜豪，刘网定，卢洪涛(陆军指挥学院，江苏南京210045)摘要:使用无人化作战集群可显著增强部队整体战斗力，是未来作战的重要发展方向#针对“无人化作战集群如何协同使用”问题,提出了 “有人/无人协同作战”混合模型，推导了 “有人/无人相对独立作战”与“有人/无人密切协同作战”数学模型的表达式，并进行了仿真实例分析。
研究表明：在整体作战效能上，“有人/无人密切协同作战” $ “有人/无人相对独立作战”〉传统“有人作战”，且前者对后者均具有较大优势。
在其他条件相同的情况下，前者即使兵力处于劣势，依然有可能击败对方。
/外，兵力仍然是“有人/无人协同作战”最重要的影响因子。
关键词：兰彻斯特方程；有人/无人协同作战；无人化作战集群中图分类号：E837 文献标志码：A D0I ：10.396^^j.issn.1673-3819.2020.05.003Manned/Unmanned Collaborative Combat Based on the Lanchesteo EquationMA0 Wei-hao , LIU Wang-ding , LU Hong-tao(Army Command College , Nanjing 210045, China )Abstract : Using unmanned combat cluster can sionificantla enhance overall combat effectiveness, and represents the futurotrend of warfare. Aiming at the problem of “ how to ccHaboratively use the unmanned combat cluster" , thio paper proposesthe mixed model of “ manned/unmanned ccllaborative combai" , derives the mathematical expressions of “ manned/unmannedrelatively independent combai" and “ manned/unmanned closely cooperative combai" , and makes analysis of the sirnuytion examples. Research shows ： in terms of overall combat eeectiveness , “manned/unmanned closely cooperative combat " >“ manned,/u nmanned relatively independent combat" $ the traditional “ manned -combat " , and the formee model respectivelyhas greatee advantages over the latter one. Undee the same conditions , the formee can still defeat the opponent even if the strength is relatively less. In addition , the force is still the most irnportant iiduence factor of “ manned/unmanned collabora-iveecombai" .Key wordt : Lanchester equation ； manned/unmanned collaborative combat ； unmanned combat elustee现代战场上，战场无人机、机器人等无人化、智能 化武器的成建制使用，已经成为现实［1］o 2015年12月，叙利亚政府军在俄军战斗机器人的强力支援下，成 功攻占“伊斯兰国”武装分子控制的拉塔基亚754.5高 地［2］。
通信对抗仿真中改进的Lanchester作战损耗模型
高春蓉;贲可荣
【期刊名称】《合肥工业大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2010(033)002
【摘要】文章以分布交互式通信对抗仿真为背景,在传统作战损耗模型中加入了基本行为尺度,构建了作战行动和伤亡间的反馈,将基于Lanchester方程的传统作战损耗模型改进为自适应动态作战损耗模型,以分析动态损耗因素对对抗双方作战行动的影响.改进后的作战损耗模型根据所获取的局部信息决策行为,采用基于增量调整来控制参数结果的变化来反映通信对抗中不确定因素和不确定行为,预测未来战争中复杂电磁环境下,面对强敌时我军现有通信对抗设备的生存能力.
【总页数】4页(P193-196)
【作者】高春蓉;贲可荣
【作者单位】海军工程大学计算机系,湖北,武汉,430033;总参第六十一研究所,北京,100039;海军工程大学计算机系,湖北,武汉,430033
【正文语种】中文
【中图分类】TP391.9
【相关文献】
1.基于改进WSEIAC模型的便携式通信对抗装备作战效能评估 [J], 胡军军;高俊光;郭杰;王肖洋;肖野
2.基于改进ADC模型的通信对抗装备作战效能评估 [J], 史军涛;朱敬莉;周铭;张振
坤
3.通信对抗试验外场超短波传播损耗模型修正方法 [J], 韩健;黄文晶;郝二伟
4.基于改进型Lanchester的C4ISR体系作战能力评估研究 [J], 石志强; 田相轩; 赵萌; 王璇; 毕建权
5.基于改进ADC模型的通信对抗系统作战效能评估 [J], 汪慧阳;刘松涛;赵帅因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
兰彻斯特方程与集中兵力优化问题
莱特兰彻斯特方程描述了费雪研究中一类重要问题，它可以用来求
解最优化问题，广泛应用于决策、经济、工程和计算机科学等领域。
在政府管理中，当需要考虑到军事战略及缩小军力的范围考虑集中兵
力优化问题，用莱特兰彻斯特方程来分析周边地理位置和兵力在做决
定时，有助于更快取得决策成果。
莱特兰彻斯特方程可以从最佳利用
资源的组合中寻找最优解，比如可以分析选择最佳防御兵力位置，以
及有效地分配资源，降低军方花费，而提高实力和防御效果。
资源紧
张的情况下，通过莱特兰彻斯特方程所得到的解也可以用于节约资源，从而获取最优的战略实施结果。
兰彻斯特方程又称兰彻斯特战斗理论或战斗动态理论，是应用数学方法研究敌对双方在战斗中的武器、兵力消灭过程的运筹学分支。
1915年，英国工程师F.W.兰彻斯特在《战斗中的飞机》一文中，首先提出用常微分方程组描述敌对双方兵力消灭过程，定性地说明了集中兵力的原理。
1945年，J.H.恩格尔撰文肯定了兰彻斯特定律的实践意义。
他曾经根据在第二次世界大战中美军攻占日军防守的琉璜岛之役的作战数据，计算了各方的消灭率系数，且用这两个系数结合美军的兵力增补率构成一个特殊的兰彻斯特方程。
它的数值解相当准确地与该次作战中的实际兵力变化进程相吻合。
从此，这门理论得到不断发展。
它主要研究两类问题：一是作战对抗过程的描述，即根据典型的对抗态势和火力条件建立兵力消灭过程的微分方程组及其解法，借以预测作战进程和获胜条件；二是战术策略的优化，即寻找投入兵力、分配火力和支援保障行动等的最优策略序列。
兰彻斯特方程假设甲、乙两方在t时拥有的现存实力（或者比率，即现存的与初始的实力之比）分别为x、y，且在单位时间内被对方一个实力单位所消灭的实力单位分别为α、b，称作消灭率。
双方实力单位不能同时被消灭，而且从已被消灭的实力单位向现存实力单位转移火力的时间为零。
于是，假设单位时间内火力对抗次数为G(t)，则双方的实力变化可表述为：初始条件为x(0)=x0，y(0)=y0。
这就是兰彻斯特方程。
在引入甲方对乙方的损失比E=α/b后，由，立刻解得。
这个等式称为兰彻斯特平方律。
显然，x≥0，y=0表示甲方获胜，且由平方律可知，甲方获胜条件为：。
类似的，可写出乙方获胜条件。
1940年，B.O.库普曼求得上述微分方程的显式表示式：，，式中；chτ，shτ是τ的双曲函数。
推广型兰彻斯特方程为适应其他形式的对抗态势和火力条件，又发展了兰彻斯特方程的几种推广型式(初始条件一般不变)。
含自然损失与兵力补充率的兰彻斯特方程它可表述为式中α、β分别表示由于自然环境(包括敌方破坏的)条件引起甲、乙方每一实力单位的损失率，p，q分别表示各方实力的补充率。
基于天基信息支援的兰彻斯特精确作战方程宁朝军;乔熔岩;王志【摘要】In order to effectively estimate the influence of space information support on precise strike process,the typical Lanchester combat equation was improved by adding the parameter of space information support ability. The simulation verifica-tion of 3 hypotheses was carried out according to the ability of spatial systems in both sides. The results of simulation illustrate that the model can reflect the influence of the space information support on improving the strike accuracy of weapens and em-body the thought using the math models to describe the gradual progress of battle.%为评估天基信息支援对精确作战过程的影响，对经典兰彻斯特方程进行了改进，增加了天基信息支援的能力参数，并根据参战双方天基系统的强弱，分三种情况进行了仿真验证。
结果表明，该模型在一定程度上反映了天基信息支援对提高武器打击精度的作用，体现了用模拟、兵棋等数学模型描述作战演进的思想。
【期刊名称】《现代电子技术》【年(卷),期】2014(000)011【总页数】3页(P34-36)【关键词】天基信息;信息支援;兰彻斯特方程;精确打击【作者】宁朝军;乔熔岩;王志【作者单位】中国人民解放军装备学院研究生管理大队，北京 101416;中国人民解放军装备学院研究生管理大队，北京 101416;中国人民解放军装备学院研究生管理大队，北京 101416【正文语种】中文【中图分类】TN971-34现代化战争已发展为信息化条件下的联合作战，交作战双方的对抗是体系与体系间的对抗[1]。
1914年,英国人兰彻斯特在英国《工程》杂志上发表的一系列文章,在进行了一定简化的前提下成功建立了能够揭示交战过程中双方兵力变化关系的微分方程组。
随着军事变革的不断深化,兰彻斯特方程必将在未来联合作战的指挥控制、消耗评估等领域发挥更大作用。
1两种基本形式的兰彻斯特方程兰彻斯特方程按照变量取值连续与否可以分为确定型兰彻斯特方程和随机型兰彻斯特方程。
1.1确定型兰彻斯特方程确定型兰彻斯特方程是一组常微分方程(ODE)所组成的数学模型。
兰彻斯特方程最早用来模拟空战,令状态变量和分别表示在时刻时,蓝方和红方剩余飞机的数量,比例常数和表示在单位时间内,每架剩余飞机击落的对方飞机的数量。
⎧⎩⎨(1)将时间离散化,令时间增量为Δ,用差分方程取代微分方程,则与式(1)相对应的差分方程为:{(2)将给定和的初始值并代入式(2),即可确定和),继而求出和,以此类推直至达到终止条件。
当ODE 只涉及两个状态变量时,可通过取导数的比来消去时间变量,对式(1)的情形,结果为:(3)分离变量后可得到,其中C 为常数。
若和初始值已知,分别为和时,则有:(4)将和定义为双方的“战斗力”,那么拥有更强战斗力的一方将赢得战斗胜利,同时用式(4)可以预测任意时刻双方剩余兵力的数量。
因为战斗力取决于战斗单位数量的平方,故将式(1)称为兰彻斯特“平方律”。
平方律也称为“直瞄射击”律,因为双方损失战斗单位的速率跟各自战斗单位的数量没有任何关系。
如果双方目标很难发现,只是向某个区域射击,可以预料各自的损失,既跟也跟成正比,将这种情况称为“间瞄射击”,其ODE 为:⎧⎩⎨(5)通过取导数的比消去中的时间,得到方程,其求解结果为:(6)现在蓝方战斗力为,红方战斗力为,即每一方的初始战斗人员数和杀伤力系数的乘积。
由于只涉及初始兵力数的一次方,因此间瞄模型也称为“线性律”。
1.2随机型兰彻斯特方程采用欧拉方法求解确定型兰彻斯特方程时,时间增量Δ为一个理想的小数。
第18卷 第3期运 筹 与 管 理V o l .18,N o .32009年6月O P E R A T I O N S R E S E A R C H A N DM A N A G E M E N TS C I E N C EJ u n .2009收稿日期:2008-05-26作者简介:彭文成(1966-),男,湖北荆门人,博士,副教授,硕士生导师,主要研究为装备训练与评估,周电杰(1984-),男,湖北丹江口人,硕士研究生,主要研究为军事运筹,张文(1981-),男,湖南醴陵人,硕士研究生,主要研究领域为装备训练与评估。
基于协同作战的兵力损耗兰彻斯特方程彭文成, 周电杰, 张文(装甲兵工程学院装备指挥与管理系,北京100072)摘 要:为探讨兰彻斯特方程在协同作战条件下的新形式,加强对现代作战的定量分析,对协同作战概念、增效原理和协同作战基本要素进行了分析,引入协同影响因子的概念,并利用加和形式量化协同影响项,建立了基于协同作战的兰彻斯特作战方程。
并对作战方程进行了求解,得出作战体系内部的协同能弥补战斗力的不足,对战斗结果具有重要影响。
关键词:协同作战;兰彻斯特方程;加和形式;平方律中图分类号:E 911 文章标识码:A 文章编号:1007-3221(2009)03-0128-04F o r c e L o s s L a n c h e s t e r E q u a t i o n B a s e d o n C o o p e r a t i v e E n g a g e m e n tP E N GW e n -c h e n g ,Z H O UD i a n -j i e ,Z H A N GW e n(D e p a r t m e n t o f E q u i p m e n t C o m m a n d i n ga n dA d m i n i s t r a t i o no f t h eA c a d e m yo f A r m o r e dF o r c eE n g i n e e r i n g ,B e i j i n g 100072,C h i n a )A b s t r a c t :F o r t h e s a k e o f d i s c u s s i n g t h e n e wf o r mo f L a n c h e s t e r e q u a t i o n i n c o o p e r a t i v e e n g a g e m e n t ,a n d s t r e n g -t h e i n g t h e q u a n t i t a t i v e a n a l y s i s f o r m o d e r n e n g a g e m e n t ,t h i s p a p e r a n a l y s e s t h e c o n c e p t o f c o o p e r a t i v e e n g a g e -m e n t ,e f f e c t -r a i s i n g t h e o r y a n dt h e b a s i c f a c t o r s o f c o o p e r a t i v e e n g a g e m e n t ,i n t r o d u c e s t h ec o o p e r a t i o ne f f e c t g e n e ,q u a n t i z e s c o o p e r a t i o n e f f e c t i t e mb y a d d i n g f o r m a t ,a n db u i l d s L a n c h e s t e r e q u a t i o n b a s e do nc o o p e r a t i v e e n g a g e m e n t .T h e n i t g i v e s a n e x a m p l e w i t h a n a l y s i s ,w h i c h i n d i c a t e s t h a t c o o p e r a t i o n c a n o f f s e t b a t t l e e f f e c t i v e -n e s s a n d a f f e c t t h e c o m b a t r e s u l t a c t i v e l y .K e y w o r d s :c o o p e r a t i v e e n g a g e m e n t ;L a n c h e s t e r e q u a t i o n ;a d d i n g f o r m a t ;s q u a r e t h e o r e m0 引言步入21世纪,新军事革命的浪潮席卷全球,作战形式也因此发生了深刻变化。
协同作战逐渐成为一种普遍的作战形式,成为各国军队努力的方向。
这使得兰彻斯特方程不能再仅仅通过数量与质量来考察战争胜负,也需要考虑协同对作战的影响。
1 协同作战浅析1.1 协同作战概念有关专家将协同作战定义表述为:是指各种作战力量为形成整体作战能力,按照统一的协同计划,在行动上所进行的协调配合[1]。
从中可以看出,在协同作战中,体系与体系的对抗成为重要特征,作为系统组成要素的作战单位在作战中的联系愈来愈紧密。
1.2 协同作战增效原理协同作战通过各作战单位在行动上的协调配合,形成整体作战能力。
协同作战的作战效能不是系统各组成单位作战效能的线性叠加,而是遵从整体大于部分之和原理。
即在一个由多个分系统组成的完整体系中,其单个分系统的功效加起来的和,小于整体所产生的功效。
1.3 协同作战基本要素构成协同作战必不可少的条件称为协同作战的基本要素。
协同作战的基本要素包括协同组织者、协同对象、协同手段和协同信息[1]。
这四个基本要素共处于同一个作战体系当中,相互依赖、不可分割。
协同组织者的主要功能就是建立有效的协调机构,指挥协同对象在协同作战中的行动;协同手段是协同的媒介,起着沟通、传递信息的作用,协同手段先进与否,直接影响着协同水平的高低;协同信息是协同的基础,起着保障作用,协同信息的有效性也是决定协同水平的一个关键因素。
协同对象是协同作战的执行者和落实者。
协同组织者、协同手段和协同信息的最终目的都是建立有效通畅的协调机制,确保协同作战高水平进行。
在协同水平确定的情况下,协同对象作为执行协同任务的主体,它的数量是影响协同结果的重要因素。
2 基于协同作战的兰彻斯特作战方程2.1 协同作战要素量化通过对协同作战基本要素的分析,可以引入协同影响因子ω(0≤ω≤1)这一概念来实现对协同组织者、协同手段和协同信息所反映的协同水平的量化。
协同组织者建立的协调机构越科学、协同手段越先进、协同信息越有效,则协同水平越高,协同影响因子就越大。
反之,协同影响因子就越小。
当ω=0时,同一作战体系中两个作战单位之间在作战时互不相干;当ω=1时,同一作战体系中相关的两个作战单位实际上已经整合为一个作战单位。
协同对象的数量作为影响协同作战结果的重要因素,也是建立反映协同作战的作战方程模型的关键要素。
由协同学观点可以知道,协同作战中的作战体系作为一个开放的系统,反映协同作战的作战方程应该是非线性的[2]。
同时,由概率论相关知识可以知道,系统中不同单位X 与Y 之间的关系主要由三项指标决定:X ,Y 以及X Y 。
其中:X ,Y 反映各自作用,而X Y 反映的是相关性[3]。
考虑在现代协同作战过程中,作战单位的自然损耗以及由于友邻牵制造成的敌方效能下降并不是作战单位在单位时间兵力变化的主要影响因素,而作战单位之间的协同使得系统作战效能增加,其影响要远大于前两项因素,故在现有兰彻斯特方程的基础上建立反映协同作战的兵力损耗模型时可以加入相关性指标X Y 的影响而忽略前两项因素X 和Y 的影响。
2.2 作战模型的建立从协同作战的效果分析,协同作战增强了己方作战体系的作战效能而使得敌方损耗增加,己方作战单位也因敌方火力的减弱而减少损耗,这相当于在己方原有损耗基础上加入了兵力补充。
基于以上分析,在反应近代作战的兰彻斯特平方律[4]基础上,采取加和的形式,即在己方损耗项的基础上加上协同影响项来反映协同作战的效果,建立反映协同作战的作战方程模型。
假设红蓝双方为两个相互对立的作战体系,各有两个作战单位参战,红方作战单位分别为R 1、R 2,对应作战效能为α1、α2;蓝方作战单位分别为B 1、B 2,对应作战效能为β1、β2。
红方第i 作战单位对蓝方第j 作战单位的火力分配系数为φi j ;蓝方第j 作战单位对红方第i 作战单位的火力分配系数为 j i 。
考虑红蓝双方内部作战单位协同,红方第k 作战单位对第i 作战单位的协同影响因子为a k i ,蓝方第z 作战单位对第j 作战单位的协同影响因子为b z j,建立如下作战方程模型129第3期 彭文成,等:基于协同作战的兵力损耗兰彻斯特方程d R 1d t=- 11β1B 1- 21β2B 2+a 21R 2R 1d R 2d t=- 12β1B 1- 22β2B 2+a 12R 1R 2d B 1d t=-φ11α1R 1-φ21α2R 2+b 21B 2B 1d B 2d t=-φ12α1R 1-φ22α2R 2+b 12B 1B 2以R 1在战斗中的兵力损耗情况为例,方程中的各项因素意义说明如下:- 11β1B 1- 21β2B 2为兰彻斯特平方律中的兵力变化影响项,a 21R 2R 1为R 1与R 2的相关性对R 1在单位时间内兵力变化的影响项。
a 21即为R 1与R 2相互协同对R 1的协同影响因子ω。
依此类推,假设红蓝双方分别有m 与n 个作战单位,红方作战单位R 1,R 2ΛR m 对应作战效能为α1,α2Λαm ;蓝方作战单位B 1,B 2ΛB n 对应作战效能为β1,β2Λβn 。
只考虑作战单位之间的两两协同,那么可以建立以下作战方程模型d R id t =-∑nj =1 j i βj B j +∑mk =1+a k i R k R i d B jd t =-∑m k =1-φi j αi R i +∑nz =1b z j B z B j 当k=i 时,a k i =0;当z =j时,b z j =0该模型中作战协同影响系数a k i 与b z j可由长期训练历史数据中运用统计方法得到。
