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兰彻斯特方程法
兰彻斯特方程法是一种描述粒子在流体中运动的方程组，它是由英国物理学家弗雷德里克·兰彻斯特（Frederick Lanchester）于1910年提出的。
这种方程法在流体力学和颗粒物理学中有着广泛的应用。
兰彻斯特方程法的基本方程是由牛顿第二定律和斯托克斯定律组成的。
牛顿第二定律描述了粒子的加速度与受到的力之间的关系，而斯托克斯定律则描述了流体对粒子施加的阻力与粒子的速度、流体的密度和粘度之间的关系。
通过这些方程，可以描述粒子在流体中的运动轨迹、速度和加速度等物理量。
兰彻斯特方程法通常被用于计算粒子在流体中的扩散和输运过程。
在许多实际应用中，例如化学工程、环境科学和医学等领域，都需要了解这些过程。
例如，在化学工程中，兰彻斯特方程法可以用于计算反应器中粒子的混合和反应速率；在环境科学中，可以用于研究大气中污染物的扩散和传播；在医学中，可以用于研究药物在体内的输运和分布。
除了在流体力学和颗粒物理学中的应用，兰彻斯特方程法还可以用于描述其他领域中的粒子运动问题。
例如，在电磁学和量子力学中，也可以通过类似的方法来描述粒子的运动。
这使得兰彻斯特方程法成为了一个广泛应用于物理学各个领域的工具。
总之，兰彻斯特方程法是一种描述粒子在流体中运动的方程组，它通过牛顿第二定律和斯托克斯定律来描述粒子的加速度和阻力之间的关系。
这种方程法在流体力学、颗粒物理学以及其他领域的粒子运动问题中都有着广泛的应用。
Vol. 42 No. 508 2020第42卷第5期2020年10月!"#制％&'Command Control & Simulation文章编号：1673-3819( 2020) 05-0013-06基于兰彻斯特方程的有人/无人协同作战毛炜豪，刘网定，卢洪涛(陆军指挥学院，江苏南京210045)摘要:使用无人化作战集群可显著增强部队整体战斗力，是未来作战的重要发展方向#针对“无人化作战集群如何协同使用”问题,提出了 “有人/无人协同作战”混合模型，推导了 “有人/无人相对独立作战”与“有人/无人密切协同作战”数学模型的表达式，并进行了仿真实例分析。
研究表明：在整体作战效能上，“有人/无人密切协同作战” $ “有人/无人相对独立作战”〉传统“有人作战”，且前者对后者均具有较大优势。
在其他条件相同的情况下，前者即使兵力处于劣势，依然有可能击败对方。
/外，兵力仍然是“有人/无人协同作战”最重要的影响因子。
关键词：兰彻斯特方程；有人/无人协同作战；无人化作战集群中图分类号：E837 文献标志码：A D0I ：10.396^^j.issn.1673-3819.2020.05.003Manned/Unmanned Collaborative Combat Based on the Lanchesteo EquationMA0 Wei-hao , LIU Wang-ding , LU Hong-tao(Army Command College , Nanjing 210045, China )Abstract : Using unmanned combat cluster can sionificantla enhance overall combat effectiveness, and represents the futurotrend of warfare. Aiming at the problem of “ how to ccHaboratively use the unmanned combat cluster" , thio paper proposesthe mixed model of “ manned/unmanned ccllaborative combai" , derives the mathematical expressions of “ manned/unmannedrelatively independent combai" and “ manned/unmanned closely cooperative combai" , and makes analysis of the sirnuytion examples. Research shows ： in terms of overall combat eeectiveness , “manned/unmanned closely cooperative combat " >“ manned,/u nmanned relatively independent combat" $ the traditional “ manned -combat " , and the formee model respectivelyhas greatee advantages over the latter one. Undee the same conditions , the formee can still defeat the opponent even if the strength is relatively less. In addition , the force is still the most irnportant iiduence factor of “ manned/unmanned collabora-iveecombai" .Key wordt : Lanchester equation ； manned/unmanned collaborative combat ； unmanned combat elustee现代战场上，战场无人机、机器人等无人化、智能 化武器的成建制使用，已经成为现实［1］o 2015年12月，叙利亚政府军在俄军战斗机器人的强力支援下，成 功攻占“伊斯兰国”武装分子控制的拉塔基亚754.5高 地［2］。
《数学实验》报告题目：兰彻斯特模型与战争的胜负学生姓名：XXX学号：**********专业班级：XXXX 0000班20XX年 XX月XX日一、问题背景与提出1915年，在第一次世界大战期间，英国工程师F.W.兰彻斯特在率先提出用常微分方程组描述敌对双方兵力消灭过程，定性地说明了集中兵力的原理，建立了兰彻斯特原理——通过应用数学方法研究敌对双方在战斗中的武器、兵力消灭过程的一门理论。
1945年，J.H.恩格尔撰文肯定了兰彻斯特定律的实践意义。
他根据在第二次世界大战中美军攻占日军防守的琉璜岛之役的作战数据,计算了各方的消灭率系数,且用这两个系数结合美军的兵力增补率构成一个特殊的兰彻斯特方程。
它的数值解相当准确地与该次作战中的实际兵力变化进程相吻合。
从此，这门理论得到不断发展。
它主要研究两类问题：一是作战对抗过程的描述，即根据典型的对抗态势和火力条件建立兵力消灭过程的微分方程组及其解法，借以预测作战进程和获胜条件；二是战术策略的优化，即寻找投入兵力、分配火力和支援保障行动等的最优策略序列。
本文的目的即借助兰彻斯特战斗模型来讨论在不同的对抗态势和火力条件下，分析方程解x（t）、y（t）的变化，进而探索双方在战争中胜利的条件。
二、实验目的1.利用高等数学知识建立数学模型求解实际问题。
2.利用Mathematica辅助求解问题，并能够利用Mathematica进行基本的数学模拟。
3.借助最基本的兰彻斯特战斗模型来讨论在不同的战斗力的投入和火力条件下，分析方程解x（t）、y（t）的变化，探索双方在战争中胜利的条件，并选出最佳的策略。
三、实验原理与数学模型实验原理：兰彻斯特战斗模型某方兵力的净变化率：dx(t)dt=−(自然损失率+作战损失率)+补充率一般来说三个兰彻斯特传统战争模型为以下三个微分方程组：常规战：dxdt=−ax−by+P(t)dydt=−cx−dy+Q(t)游击战：dxdt=−ax−gxy+P(t)dydt=−dy−hxy+Q(t)常规、游击战混合型：dxdt=−ax−gxy+P(t)dydt=−cx−−dy+Q(t)式中：a、b、c、d、e、f、g、h是非负损失率常数，其中b、c、g、h为战斗有效系数，P(t)、Q(t)为战时战斗（兵员）的补充率，x0、y0为交战双方的初始战斗力。
必胜的营销战略——兰彻斯特法则第一部分 兰彻斯特法则的形成与原理1、兰彻斯特法则的形成1.1兰氏法则的由来---从空战研究衍生的兰式法则在我们生活的社会中，时时刻刻受着一种非常大的限制，那就是竞争。
生存的竞争、考试、企业间的市场占有率争夺、选举、权势、战争……等，大小事情都脱离不了竞争的束缚。
既然我们无法挣脱竞争的束缚，那就必须接受物竞天择、优胜劣败的进化法则。
为了获取竞争的胜利，我们摸索、研究胜利之道，以求掌握胜利的要领。
在竞争中存在着胜利的法则，那也算是一种科学。
在未来的竞争中，我们究竟要拔胜者的头筹还是尝失败的苦果，那就系于对得胜之道的认识和运用了。
“兰彻斯特法则”（Lanchester's Law）不外是为了从竞争中获取胜利的一种科学。
兰彻斯特法则的的创始者是出生于英国的技术工程师 nchester。
他本来是个汽车工程师，由于天生具有强烈的好奇心，无法满足于狭隘的专门技术领域，因而，在他做为Benz汽车公司的顾问时，把兴趣的对象转移到飞机上，终于成为一个伟大的航空工程师。
他对螺旋桨的研究，在历史上也享有成名。
但是，这些还是无法满足兰彻斯特的好奇心。
在他研究螺旋桨的同时，又在酝酿着对其它事物的兴趣。
他开始对实际空战的数字发生兴趣，对于几架飞机对几架飞机的战斗结果将如何，这个问题触动他更进一步去收集各种地上战斗的资料，以探索兵力的比率和损害量之间是否具有某种法则的存在。
这即是兰彻斯特法则的由来。
1.2兰氏法则的发展过程兰彻斯特分析第一次世界大战中的德、英之战，发现到兵力与折损量间，具有某种关系存在，遂发展出“兰彻斯特法则(Lanchester's Law)”，他认为“在数量方面占有利的一方，必然获得胜利。
”因此，兰彻斯特法则亦被称为“物量法则”，是说明两者数量方面之差越大，强者的折损就减少。
后来，德国物理学家，“运筹学之父”库普曼(Bernard Koopman)将兰彻斯特法则发展成为兰彻斯特战略模式，第二次世界大战以后，被逐步引伸到营销战略管理中。
兰彻斯特方程总结
兰彻斯特方程，又称为兰彻斯特方程法则或兰彻斯特定律，是广告和销售领域中一种重要的营销规律。
该方程表达了广告投入和销售额之间的关系，是企业制定广告和销售策略的重要依据。
在兰彻斯特方程中，广告投入（A）被视为一种推动销售额（S）增长的重要因素。
方程表明，广告投入对销售额具有正向影响，即广告投入越大，销售额越高。
但是，兰彻斯特方程也指出，广告投入的增长并不是无限制的，超过一定程度后，广告对销售额的增长效果会递减。
兰彻斯特方程的数学表达式为S = kA^n，其中S表示销售额，A表示广告投入，k和n为常数。
在实际应用中，企业可以通过数据分析和实验来确定k和n的具体值，从而更准确地预测广告投入对销售额的影响。
兰彻斯特方程的核心思想是，广告投入是企业推动销售增长的一种重要手段，但并不是唯一的因素。
除了广告投入，产品质量、市场需求、竞争环境等因素也会对销售额产生影响。
因此，企业在制定广告和销售策略时，需要综合考虑各种因素的影响，以达到最佳的销售效果。
兰彻斯特方程的实际应用范围非常广泛，不仅适用于传统广告媒体，也适用于互联网和社交媒体等新兴渠道。
通过兰彻斯特方程，企业
可以对广告投入和销售额之间的关系进行量化分析，并根据分析结果来优化广告和销售策略，提高市场竞争力。
兰彻斯特方程是一种重要的营销规律，对企业制定广告和销售策略具有指导意义。
通过充分理解和应用兰彻斯特方程，企业可以更加科学地进行广告投入和销售额的决策，提高市场竞争力，实现可持续发展。
兰彻斯特方程书籍
（原创版）
目录
1.兰彻斯特方程的概述
2.兰彻斯特方程的应用领域
3.兰彻斯特方程的相关书籍推荐
正文
兰彻斯特方程是一种数学模型，用于描述在一定时间内，某物品的数量随着时间变化的规律。
它是英国数学家兰彻斯特于 19 世纪末提出的，被誉为“人口统计学之父”。
兰彻斯特方程在许多领域都有广泛的应用，如生物学、经济学、社会学等。
在生物学领域，兰彻斯特方程可以用于描述种群数量随时间的变化。
例如，某个生态系统中的兔子数量，可以用兰彻斯特方程来预测其未来数量的变化。
在经济学领域，兰彻斯特方程可以用于描述市场中商品的数量随时间的变化，帮助经济学家分析市场供需关系。
在社会学领域，兰彻斯特方程可以用于描述人口数量随时间的变化，帮助政府制定合理的人口政策。
对于对兰彻斯特方程感兴趣的读者，以下是一些相关书籍的推荐。
《兰彻斯特方程：模型与应用》一书详细介绍了兰彻斯特方程的数学模型和应用领域。
《兰彻斯特方程与生态学》一书则从生态学的角度出发，详细介绍了兰彻斯特方程在生态学中的应用。
此外，《兰彻斯特方程：从数学到现实》一书通过具体的案例，讲解了兰彻斯特方程在现实生活中的应用。
总的来说，兰彻斯特方程是一种重要的数学模型，在多个领域都有广泛的应用。
第1页共1页。
兰彻斯特方程的作战应用及展望
作者：吕游曹继锴
来源：《科技视界》2015年第29期
【摘要】兰彻斯特方程又称兰彻斯特战斗理论或战斗动态理论，是应用数学方法研究敌对双方战斗中兵力消耗过程的运筹学分支。
本文对兰彻斯特方程的基本理论和作战应用研究进行介绍和归纳，并对兰彻斯特方程在未来联合作战指挥决策中的应用做出展望。
【关键词】兰彻斯特方程；作战应用；展望
1914年，英国人兰彻斯特在英国《工程》杂志上发表的一系列文章，在进行了一定简化的前提下成功建立了能够揭示交战过程中双方兵力变化关系的微分方程组。
随着军事变革的不断深化，兰彻斯特方程必将在未来联合作战的指挥控制、消耗评估等领域发挥更大作用。
1 两种基本形式的兰彻斯特方程
兰彻斯特方程按照变量取值连续与否可以分为确定型兰彻斯特方程和随机型兰彻斯特方程。
1.1 确定型兰彻斯特方程
确定型兰彻斯特方程是一组常微分方程（ODE）所组成的数学模型。
兰彻斯特方程最早用来模拟空战，令状态变量和分别表示在时刻时，蓝方和红方剩余飞机的数量，比例常数和表示在单位时间内，每架剩余飞机击落的对方飞机的数量。
1.2 随机型兰彻斯特方程
采用欧拉方法求解确定型兰彻斯特方程时，时间增量Δ为一个理想的小数。
计算结果未必是整数，而实际伤亡必然是整数，这就导致随机型兰彻斯特方程的产生。
2 兰彻斯特方程作战应用研究现状
兰彻斯特方程主要用于解决两类问题：一是作战对抗过程的描述，二是作战策略的评估优化。
2.1 作战对抗过程中的描述
一是，兵力、装备战损量预测。
兵力、装备战损量预计是作战中必须考虑的问题，运用兰彻斯特方程是一个很好的解决途径。
兰彻斯特方程被广泛应用于飞机对抗、舰船对抗、炮兵对抗等作战中的战损预测，并出现了很多改进模型。
针对不同类型的战损问题，由于不同军兵种
的作战影响因素各不相同，产生了很多对兰彻斯特方程的改进模型。
如：基于指数多元兰彻斯特方程的装备战损量预计模型、基于兰彻斯特方程的聚合级实体损耗模型等。
二是，分析特定因素对作战的影响。
特定因素往往在战争中起到十分重要甚至是颠覆性的作用，在近代战争的兰彻斯特方程的基础上，研究人员将各种影响作战的因素考虑到兰彻斯特方程之中，并加以推导验证。
如：考虑信息、时间、气象、电磁环境等因素的影响研究人员先后分别建立了信息支援背景下的空战兰彻斯特方程、时滞奇异摄动理论的滞兰彻斯特方程、考虑气象条件的兰彻斯特方程等。
2.2 作战效能评估和作战策略优化
一是，作战效能评估。
科学、准确地对作战计划进行效能评估有利于指挥员做出正确指挥调控。
研究人员从不同角度尝试合理描述交战过程，并而建立相应兰彻斯特方程，研究探索出很多作战效能评估的新方法。
如按防护能力、机动能力、打击能力、信息能力和保障能力对武器装备的作战能力进行量化，建立基于“联合指数”法的兰彻斯特方程研究武器系统整体合力；利用“协同系数”方法建立兰彻斯特方程，对联合作战编组整体作战能力进行效能评估等。
二是，作战策略优化。
运用兰彻斯特方程可以对火力分配、打击重点、增援方案等进行优化，以提高部队作战效能。
广大研究人员做了大量深入细致的研究，如基于兰彻斯特方程建立最优控制模型并研究作战中多战场的最优增援问题；引入协同因子概念，建立基于联合作战的兰彻斯特方程，研究联合作战火力优化问题；建立非对称情况下军械装备战斗损伤的兰彻斯特方程，对非对称作战攻击策略进行研究等。
3 兰彻斯特方程在未来联合作战中的应用展望
未来的一体化联合作战中兰彻斯特方程在相关领域的应用必将得到深入发展，在研究对象、研究内容、研究方法等问题上必将产生新的转变。
一是，研究对象上，从单兵种局部对抗向诸军兵种联合打击转变。
当今世界战争形式已经发展成为信息化条件下的联合作战，其制胜条件复杂、各作战单元相互影响加大，对应用兰彻斯特研究联合作战产生了更高的要求和挑战。
相信随着更多研究人员的不断深入探索，兰彻斯特方程必将在联合作战方案评估、火力分配、指挥控制、兵力支援、战损预测等多方面发挥更大的作用。
二是，研究内容上，从战前或战后模拟向作战实时指挥调控转变。
在研究内容上，研究人员往往更多致力于研究战前方案评估、装备损伤评估或战后应用模型对作战进行模拟，对于交战过程中战场兵力实时指挥调控问题研究较少。
通过建立合理的兰彻斯特方程，依托战场信息系统，实时掌握各个作战单元作战进展情况，根据各作战单元战损数据及时预测其胜利概率并对胜率较低单元及时进行合理的兵力、火力支援。
三是，研究方法上，从单独应用数学方法向多学科交叉融合转变。
兰彻斯特本身是数学科学中的微分方程问题，而作战指挥体系的设置、作战决心的确定、作战过程的指挥控制、战斗损失和目标毁伤程度的判定涉及到图论、概率论、计算数学、神经网络、计算机软件、系统工程等很多学科的相关知识。
只有充分做到学科内部和学科之间的交叉融合，才能建立更合理、有效的兰彻斯特方程，并在联合作战中发挥更大作用。
【参考文献】
[1]沙基昌.Lanchester方程与火力指数的内在联系[J].国防科技大学学报，1990（03）.
[2]阎文丽，郝佳新.指数方法在武器装备体系效能评估中的应用[J].计算机仿真，2010（04）.
[3]彭建雄，辛登松.海战场态势分析作战想定生成技术研究[J].指挥控制与仿真，2011（03）.
[责任编辑：侯天宇]。
