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基于文献计量兰彻斯特方程的研究综述摘要本文运用文献计量法对1984-2022年间知网中收录的关于兰彻斯特方程的研究文献进行了统计分析，研究了发文数量与机构、关键词及研究主题的分布情况，根据对已有文献的梳理，了解到近40年来国内学者关于兰彻斯特方程的研究主要是在作战模型上，方法从常微分方程到随机微分方程，从理论研究到仿真模拟，对未来作战模型研究有待从内容的持续性、纵深程度及著者机构的合作上有所突破。
关键词兰彻斯特方程；文献计量法；文献综述兰彻斯特方程是由英国汽车工程师兰彻斯特（nchester）于1914年提出的，他是第一个对战斗过程中对抗双方的力量关系进行系统分析地数学分析的科学家。
兰彻斯特方程详细考虑了战斗过程中的各种可量化的因素，用反映连续变量特点的一组微分方程描述战场系统的变化，揭示双军交战过程中，战斗力损耗随时间变化的规律。
用这种方式建立起来的各种形式的微分方程统称为兰彻斯特方程。
兰彻斯特方程基本形式有兰彻斯特线性律、平方律和抛物律。
目前兰彻斯特方程相关的文献研究主要是构建作战模型，模型从常微分方程到随机微分方程。
应用领域也十分广泛，从解放军到武警部队，从无人化作战到信息化作战，如基于兰彻斯特方程离散化的现代海战效能研究、基于兰彻斯特方程的处置大规模群体性事件模型分析、无人机协同作战兰彻斯特方程设计与作战进程预测、基于兰彻斯特方程的信息战模型改进研究等。
1.数据来源与研究方法本文研究所选取的162篇文献数据来源为中国知网（CNKI）学术期刊，检索条件：主题为“兰彻斯特方程”，时间区间是1984-2022年，期刊来源类别是“CSSCI”，检索方式为“精确”，检索更新时间为2022 年4月5日。
文献计量学是以文献体系和文献计量特征为研究对象，采用数学、统计学等计量方法，研究文献情报的分布结构、数量关系、变化规律，并进而探讨其特征和规律的一门学科。
本文运用文献计量学对下载文献进行量化与质化分析，在描述外显特征的基础上，结合发展背景，对研究视角与热点等进行动态追踪，把握研究脉络，思考未来发展。
《数学实验》报告题目：兰彻斯特模型与战争的胜负学生姓名：XXX学号：**********专业班级：XXXX 0000班20XX年 XX月XX日一、问题背景与提出1915年，在第一次世界大战期间，英国工程师F.W.兰彻斯特在率先提出用常微分方程组描述敌对双方兵力消灭过程，定性地说明了集中兵力的原理，建立了兰彻斯特原理——通过应用数学方法研究敌对双方在战斗中的武器、兵力消灭过程的一门理论。
1945年，J.H.恩格尔撰文肯定了兰彻斯特定律的实践意义。
他根据在第二次世界大战中美军攻占日军防守的琉璜岛之役的作战数据,计算了各方的消灭率系数,且用这两个系数结合美军的兵力增补率构成一个特殊的兰彻斯特方程。
它的数值解相当准确地与该次作战中的实际兵力变化进程相吻合。
从此，这门理论得到不断发展。
它主要研究两类问题：一是作战对抗过程的描述，即根据典型的对抗态势和火力条件建立兵力消灭过程的微分方程组及其解法，借以预测作战进程和获胜条件；二是战术策略的优化，即寻找投入兵力、分配火力和支援保障行动等的最优策略序列。
本文的目的即借助兰彻斯特战斗模型来讨论在不同的对抗态势和火力条件下，分析方程解x（t）、y（t）的变化，进而探索双方在战争中胜利的条件。
二、实验目的1.利用高等数学知识建立数学模型求解实际问题。
2.利用Mathematica辅助求解问题，并能够利用Mathematica进行基本的数学模拟。
3.借助最基本的兰彻斯特战斗模型来讨论在不同的战斗力的投入和火力条件下，分析方程解x（t）、y（t）的变化，探索双方在战争中胜利的条件，并选出最佳的策略。
三、实验原理与数学模型实验原理：兰彻斯特战斗模型某方兵力的净变化率：dx(t)dt=−(自然损失率+作战损失率)+补充率一般来说三个兰彻斯特传统战争模型为以下三个微分方程组：常规战：dxdt=−ax−by+P(t)dydt=−cx−dy+Q(t)游击战：dxdt=−ax−gxy+P(t)dydt=−dy−hxy+Q(t)常规、游击战混合型：dxdt=−ax−gxy+P(t)dydt=−cx−−dy+Q(t)式中：a、b、c、d、e、f、g、h是非负损失率常数，其中b、c、g、h为战斗有效系数，P(t)、Q(t)为战时战斗（兵员）的补充率，x0、y0为交战双方的初始战斗力。
基于天基信息支援的兰彻斯特精确作战方程作者：宁朝军乔熔岩王志来源：《现代电子技术》2014年第11期摘要：为评估天基信息支援对精确作战过程的影响，对经典兰彻斯特方程进行了改进，增加了天基信息支援的能力参数，并根据参战双方天基系统的强弱，分三种情况进行了仿真验证。
结果表明，该模型在一定程度上反映了天基信息支援对提高武器打击精度的作用，体现了用模拟、兵棋等数学模型描述作战演进的思想。
关键字：天基信息；信息支援；兰彻斯特方程；精确打击中图分类号： TN971⁃34 文献标识码： A 文章编号： 1004⁃373X（2014）11⁃0034⁃03Abstract： In order to effectively estimate the influence of space information support on precise strike process， the typical Lanchester combat equation was improved by adding the parameter of space information support ability. The simulation verification of 3 hypotheses was carried out according to the ability of spatial systems in both sides. The results of simulation illustrate that the model can reflect the influence of the space information support on improving the strike accuracy of weapens and embody the thought using the math models to describe the gradual progress of battle.Keywords： space information； information support； Lanchester combat equation； precise strike0 引言现代化战争已发展为信息化条件下的联合作战，交作战双方的对抗是体系与体系间的对抗[1]。
一类时滞兰彻斯特方程的奇异摄动方法周津;程燕;谢英超【期刊名称】《兵工自动化》【年(卷),期】2013(000)008【摘要】Considering the important role of Lanchester equation of reaction time factor in combat elements, time delay Lanchester combat model is established under the condition of informationization. Each approximate solution of Lanchester equation using singular perturbation theory was constructed by constructing boundary layer function method, then comparing the accuracies for the solutions verifies the asymptotic expansion possesses a better accuracy and this kind of approximate solution is analyzing, thus further qualitative and quantitative research on the Lanchester equation can be done on this basic research.%考虑兰彻斯特方程反应时间因素在战斗要素中的重要作用，建立信息化条件下的时滞兰彻斯特战斗模型。
通过构造边界层函数，用时滞奇异摄动理论研究时滞兰彻斯特方程的各次近似解，并对解进行精度比较。
结果表明：该奇异摄动方法简单、有效，具有较高的精度，能得到解的表达式以及解析运算，可进一步对兰彻斯特方程进行定性及定量的研究。
必胜的营销战略——兰彻斯特法则第一部分 兰彻斯特法则的形成与原理1、兰彻斯特法则的形成1.1兰氏法则的由来---从空战研究衍生的兰式法则在我们生活的社会中，时时刻刻受着一种非常大的限制，那就是竞争。
生存的竞争、考试、企业间的市场占有率争夺、选举、权势、战争……等，大小事情都脱离不了竞争的束缚。
既然我们无法挣脱竞争的束缚，那就必须接受物竞天择、优胜劣败的进化法则。
为了获取竞争的胜利，我们摸索、研究胜利之道，以求掌握胜利的要领。
在竞争中存在着胜利的法则，那也算是一种科学。
在未来的竞争中，我们究竟要拔胜者的头筹还是尝失败的苦果，那就系于对得胜之道的认识和运用了。
“兰彻斯特法则”（Lanchester's Law）不外是为了从竞争中获取胜利的一种科学。
兰彻斯特法则的的创始者是出生于英国的技术工程师 nchester。
他本来是个汽车工程师，由于天生具有强烈的好奇心，无法满足于狭隘的专门技术领域，因而，在他做为Benz汽车公司的顾问时，把兴趣的对象转移到飞机上，终于成为一个伟大的航空工程师。
他对螺旋桨的研究，在历史上也享有成名。
但是，这些还是无法满足兰彻斯特的好奇心。
在他研究螺旋桨的同时，又在酝酿着对其它事物的兴趣。
他开始对实际空战的数字发生兴趣，对于几架飞机对几架飞机的战斗结果将如何，这个问题触动他更进一步去收集各种地上战斗的资料，以探索兵力的比率和损害量之间是否具有某种法则的存在。
这即是兰彻斯特法则的由来。
1.2兰氏法则的发展过程兰彻斯特分析第一次世界大战中的德、英之战，发现到兵力与折损量间，具有某种关系存在，遂发展出“兰彻斯特法则(Lanchester's Law)”，他认为“在数量方面占有利的一方，必然获得胜利。
”因此，兰彻斯特法则亦被称为“物量法则”，是说明两者数量方面之差越大，强者的折损就减少。
后来，德国物理学家，“运筹学之父”库普曼(Bernard Koopman)将兰彻斯特法则发展成为兰彻斯特战略模式，第二次世界大战以后，被逐步引伸到营销战略管理中。
从兰彻斯特方程说起——论职教数学中的几点“新”想法摘要：本文中，笔者通过教学实践观察、分析新生在“传统课堂”下出现的问题，以兰彻斯特方程为切入点，并在此基础上探索性地采用了“新导入”、“例题新讲”、“类比学习”三种方法，并且分析了探索这些新方法后取得的成效及存在的问题。
关键词：职教数学课堂创新近几年来，职教作为专业性人才培养基地，也逐渐得到了社会各层面的关注，而数学作为一门基础学科，其教学质量和效果将直接影响到专业课和其他学科的学习进程。
因此，我们必须根据职高学生的实际和职高数学教学本身的专业特点，优化职高数学课堂教学。
本文中，笔者从与数学有关的兰彻斯特方程说起，谈谈实施三个“新”措施以后的体会。
一、兰彻斯特方程什么是兰彻斯特方程？简单地说，假如我有10个兵，你有8个兵，双方的战斗力都差不多，如果我们两个在一个狭窄的路口交战，每次都只有一个兵能参与战斗，这个时候满足兰彻斯特线性律——我所剩下的兵为我的兵力总数减去你的兵力总数，即（10-8=2）。
但是假如我们在一个开阔的场地交战，双方每个士兵都可以选择性地攻击到对方任意一个士兵，那么这个时候满足兰彻斯特平方律——我所剩下的兵力总数为我方战斗力的平方减去你的战斗力的平方再开方，即（102-82=6）。
由于兰彻斯特方程是一个微分方程，具体不展开了，笔者只是想从兰彻斯特方程带给学生对数学的一点启发，让学生有对数学有个“新”认识。
二、新生“传统教育”下的初况及问题1.新生初况。
笔者分析了高一学生第一次期中考试的数学成绩，发现他们的平均分数只有42.75分，20分到60分区间的比例占了近七成，而80分以上的没有，所以从总体情况来看新生数学基础知识掌握的情况并不乐观。
2.传统课堂教学的问题。
传统课堂教学过程如下：新知识讲解——重点例题讲解——学生练习——课后小结，其中三个环节由教师主导完成，学生学习的效果较差，一是教师“教不好”，笔者尽可能地与学生沟通、问答，但是得到的互动较少，使得教师觉得“烦”；二是学生“学不好”，学生会用大量的时间去完成数学作业，却得不到相应的“回报”，数学对于学生只能用一个字形容——“难”。
EINSTein兰彻斯特方程验证论文摘要：本文运用EINSTein作战仿真实验平台的两次作战仿真实验，验证了兰彻斯特方程模型，通过实验我们可以得出结论：计算机作战仿真软件与传统的作战仿真数学模型，在作战仿真过程中以及作战结果上保持了较好的一致性。
0 引言未来战争的战场上，多军兵种的联合作战是一种必然趋势，随着战争的复杂性越来越高，影响战争的因素也越来越多，如何更好地了解影响战争的各方面因素以及各因素之间如何相互作用，就必须要找到相应的办法和手段。
以往传统的学习战争的方法主要有采用实兵实装对抗演习，或者通过实际战争的检验，这不仅会浪费大量的人力、物力以及时间，而且不易达到预期的效果。
作战仿真的方法不仅可以在实验室里学习战争，仿真人员还可以根据设置的各类场景来设计战争，而且不会受到外界条件的影响。
能够在较短的时间里进行大量的仿真实验，积累比较充分的作战实验数据，可以为下步的实战打下比较坚实的理论基础。
1 仿真实验方法分析1.1 兰彻斯特方程兰彻斯特方程作为一种传统的作战仿真的方法，是第一个用来描述和预测作战进程和发展趋势的数学方程。
兰彻斯特方程模型实质上是一个微分方程模型。
在有大量成员参加的作战过程中，每一个作战单位被毁或不被毁的随机性，对作战双方整体状态的影响很小，不会引起战斗力总量的剧烈变化。
每个作战阶段的实际总兵力，处于一种统计平衡状态，接近当时的兵力平均值，并且参战兵力的损耗可以被看成是连续变化的，可以用反映连续变量特点的微分方程形式予以描述。
运用兰彻斯特方程的线性率和平方率可对作战过程进行各种预测，例如，预测交战双方哪一方获胜，预测作战过程的大致持续时间，预测战斗结束时胜方战斗力损失大小等。
在不同条件下进行的作战过程，需要采用不同形式的兰彻斯特方程予以描述[1]。
兰彻斯特方程第一线性率：方程基本形式。
设x0、y0为t=0时刻的初始兵力，x，y为交战双方在t时刻的瞬时兵力（或剩余兵力），即x■=x■=x（0），x=x■=x（t）y■=y■=y（0），y=y■=y（t）设α为红方兵力损耗概率系数，β为蓝方的兵力损耗概率系数，t 为时间变量，则下式称为兰彻斯特第一线性率：■=-α■=-β兰彻斯特方程第二线性率：■=-αxy■=-βxy式中符号、字母的含义同第一线性率。
登陆作战的多维战斗力指数—兰彻斯特方程
杨鹏;倪小清
【期刊名称】《舰船电子工程》
【年(卷),期】2016(036)005
【摘要】为探讨兰彻斯特方程在登陆作战中的应用,加强对现代作战的定量分析,针对武器装备作战能力向多维作战空间扩展的实际,引人多维战斗力指数的概念,建立了多维战斗力指数—兰彻斯特方程.结合登陆作战中的两个主要阶段,分析了海上突击时对双方战斗力的影响,实现了登陆作战的多维战斗力指数—兰彻斯特方程,并通过算例对作战方程进行了求解.分析结果表明,该方程能够描述登陆作战中的主要战斗行动,按照作战单位类别进行分析,可以作为作战运筹分析的参考依据,适用于登陆作战仿真系统.
【总页数】4页(P27-30)
【作者】杨鹏;倪小清
【作者单位】海军陆战学院模拟训练中心广州 510430;海军陆战学院模拟训练中心广州 510430
【正文语种】中文
【中图分类】TP391.9
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3.多维战争中兰彻斯特方程探讨 [J], 张啸天;李志猛;邓红艳
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基于SD的信息化防御作战中兰彻斯特方程卞立新;罗兴柏;刘国庆;甄建伟【摘要】On the basis of analysis defensive combat processes under conditions of information, information factors and the forces speed to improve classical lanchester equation are added. Make up the defensive combat processes system dynamics model under conditions of information,according the method of system dynamics,the improved lanchester equation is solved by using system dynamics method. From the example,the advantage of computing complex lanchester equations with system dynamics can be found.%在对信息化条件下的防御作战进程分析的基础上,增加信息因素和兵力补充速度对经典的兰彻斯特方程进行改进.通过引入系统动力学方法,构建了信息化条件下的防御作战进程的系统动力学模型,利用系统动力学方法来对改进的兰彻斯特方程进行求解.仿真结果证明了系统动力学在解决复杂兰彻斯特方程中的优越性.【期刊名称】《火力与指挥控制》【年(卷),期】2016(041)012【总页数】4页(P105-107,112)【关键词】系统动力学;兰彻斯特方程;信息化作战【作者】卞立新;罗兴柏;刘国庆;甄建伟【作者单位】军械工程学院,石家庄 050003;军械工程学院,石家庄 050003;军械工程学院,石家庄 050003;军械工程学院,石家庄 050003【正文语种】中文【中图分类】E91随着科学技术的不断发展，以及信息化技术在现代战争中的广泛使用，现代战争形势发生了巨大变化，信息成了决定战争胜败的关键因素。
精品文档 精品文档 在1916年，英国人兰切斯特研究空战最佳编队，发现了兰切斯特方程。远距离交战的时候，任一方实力与本身数量成正比，即兰切斯特线性律。在近距离交战的时候，任一方实力与本身数量的平方成正比，即兰切斯特平方律。兰彻斯特的战斗力方程是：战斗力=参战单位总数×单位战斗效率。它表明：在数量达到最大饱和的条件下，提高质量才可以增强部队的战斗力，而且是倍增战斗力的最有效方法。在高新科学技术的影响下，军队的数量、质量与战斗力之间的关系已经发生了根本性变化：质量居于主导地位，数量退居次要地位，质量的优劣举足轻重，质量占绝对优势的军队将取得战争的主动权。一般说来，高技术应用在战场上形成的信息差、空间差、时间差和精度差，是无法以增加普通兵器和军队数量来弥补的；相反，作战部队数量的相对不足，却可以高技术武器装备为基础的质量优势来弥补，即通过提高单位战斗效率来提升战斗力。战争实践表明，提高质量是部队建设的基本要求，在部队数量相差不大的情况下，质量高者获胜，质量差者失败；倘若不能形成同一质量层次的对抗，处于劣势的一方纵有再多的飞机、坦克、大炮，也可能失去还手之力。
假定A的单位战斗力是B的一半，但是数量是B的三倍。假定B有1000人，A有3000人。如果是面对面的战斗，A方损失264人即可消灭掉B方的1000人。现在A需要先接近B在进行面对面的战斗，按兰切斯特线性律，A付出1000人的代价歼灭B方500人以后接近，在2000对500的近战中，付出187人的代价歼灭B方500人，
总损失1187人对1000人。
兰切斯特方程没有考虑战场上的许多要素，并不完全，对局部的战役有参考价值，对整个战争的结局无能为力。兰切斯特方程在战争摸拟的时候会被经常使用，恩格尔曾经使用兰切斯特方程摸拟硫磺岛战役，计算结果与事实非常接近.
兰彻斯特平方率 描述交战过程中双方兵力变化关系的微分方程 组。 因系F.W.兰彻斯特所创，故有其名。 简史 1914年，英国工程师 兰彻斯特在英国《工 程》杂志上发表的一系列论文中，首次从古代使 用冷兵器进行战斗和近代运用枪炮进行战斗的不同特点出发，在一些 简化假设的前提下，建立了相应的微分方程组,深刻地揭示了交战过程 中双方战斗单位数(亦称兵力)变化的数量关系。第二次世界大战后， 各国军事运筹学工作者根据实际作战的情况，从不同角度对兰彻斯特 方程进行了研究与扩展，使兰彻斯特型方程成为军事运筹学的重要基 本理论之一。有些学者也将兰彻斯特型方程称为兰彻斯特战斗理论或 战斗动态理论。兰彻斯特型方程与计算机作战模拟结合以后所构成的 各种形式、各种规模的作战模型，在军事决策的各有关领域中得到了 广泛的应用。 主要形式 兰彻斯特方程的主要形式有： 平 方律 设在近代战斗条件下,红、蓝两军交战, 双方各自装备同类武 器，相互通视，并在武器射程范围内进行直接瞄准射击；双方每一 斗单位射击对方每一战斗单位的机会大致相同。将双方在战斗中尚存 的战斗单位数作为连续的状态变量，以m(t)、n(t)表示在战斗开始后 t时刻蓝方、红方在战斗中尚存的作战单位数，可用下列微分方程组 来描述战斗过程中双方兵力随时间的损耗关系： 式中α、β分别为蓝方、红方在单位时间内每一战斗单位毁伤对方战斗单位的数目，简称为蓝方、红方的毁伤率系数。在双方使用步兵武器进行直瞄射击的情况下，毁伤率系数等于武器的射速乘以单发射弹命中目标的概率与命中目标的条件下毁伤目标概率的乘积。假设交战开始时刻蓝方、红方的初始战斗单位数为m(0)=M,n(0)=N，从上述微分方程组可知，在交战过程中双方战斗单位数符合下列状态方程： --当交战双方的初始战 斗单位数与毁伤率系数之间 满足时,m(t)与n(t)同时趋于零，战斗不分胜负。当时,蓝方将首先被消灭。兰彻斯特将上述关系概括为“在直 接瞄准射击条件下，交战一方的有效战斗力，正比于其战斗单位数的平方与每一战 斗单位平均战斗力(平均毁伤率系数)的乘积”,并称之为“平方律”。按照这一定，如果蓝方武器系统的单个战斗单位的平均效能为红方的4倍,则红方在数量上集中2 倍于蓝方的兵力就可抵消蓝方武器在质量上的优势。兰彻斯特采用下述例子说明平 方律符合集中优势兵力的作战原则：“如果蓝方1000人与红方1000人交战,双方单个 战斗单位的平均战斗力相同,红方被蓝方分割成各500人的两半。假定蓝方以1000人 先攻击红方的 500人，则蓝方将以损失134人的代价全歼红方的一半,接着蓝方以剩下 的866精品文档 精品文档 人再全歼红方的另一半，蓝方在这两次战斗中总共损失293人。” 直 接求解上述微分方程组可以得到蓝、红双方兵 力随时间变化的关系：
式中ch(·)、sh(·)为双曲余弦函数与双曲正弦函数。 线性律 假定红、蓝两军各自使用武器(如火炮) 对对方实施远距离间接瞄准射击，火力集中在已知对方战斗单位的集结地区，该区域的大小与对方部队的数量 无关。此时一方的损伤率与对方向其开火的战斗单位数量成正比，同时也与己方部队在该防区内的数量成正比。这时，可用下列微分方程组来描述双方战斗单位数量随时间的变化：(t)、n(t)的含义同平方律。经简单推导可知交战过程中双方兵力符合下列状态方程： α[M-m(t)]=β[N-n(t)] 式中M、N的意义同平方律。交战双方不分胜负的条件为αM=βN,如果αM特将上述关系概括为“在向面目标间接瞄准射击的条件下，交战一方的有效战斗力正比于其战斗单位数与该方每一战斗单位的平均战斗力的乘积”，并 称之为线性律。 冷兵器时代，战斗形式通常是单兵之间一对一地进行格斗，战斗的结局取决于双方的格斗水平，蓝、红双方的平均毁伤率取常数值，分别用α、β表示，交战过程中双方兵力的变化可用下列微分方程组来描述： 式中m(t)、n(t)的含义同平方律。此时交战过程中双方兵力之间符合的状态方程与向面 目标进行间瞄射击时的线性律所描述的状态方程完全相同。这种关系可概括为“在 兵一对一格斗的条件下，交战一方的有效战斗力正比于其战斗单位数与该方每一战 斗单位的平均战斗力的乘积。”这便是描述冷兵器时代战斗的线性律。为加以区别，有时将描述使用冷兵器战斗的线性律称为“第一线性律”，而将描述使用火器向面目标进行间瞄射击时的线性律称为“第二线性律”。扩充与推广现代战斗中所包含的各种复杂因素, 远远超出了上述兰彻斯特方程赖以建立的简化了的假设条件。B.O.库普曼等将双方作战单位数作为随机变量，并运用马尔可夫过程理论来描述交战过程中出现的毁伤情况，从而得出随机型兰彻斯特方程。S.J.梯曲曼等从平方律、第二线性律的微分方程组中各取一式，以描述游击战中正规军与游击队毁伤的情况，并由此得出“混合律”。S.邦德等研究了兰彻斯特方程中毁伤率系数与敌对双方的射击状态、武器战术技术性能参数间的关系，从而建立了描述合成军交战并包含部队增援与非战斗毁伤等方面的广义兰彻斯特方程组。H.K.威斯等将战术决策者所采用的策略作为决策参数纳入兰彻斯特方程，并运用最优化理论研究了“最佳战术决策”等方面的问题。J.H.恩格尔等曾运用历史上一些著名战斗中双方伤亡的数据验证过兰彻斯特方程的正确性。 正文
又称兰彻斯特战斗理论或战斗动态理论，是应用数学方法研究敌对双方在战斗中的武器、兵力消灭过程的运筹学分支。1915年，英国工程师F.W.兰彻斯特在《战斗中的飞机》一文中，首先提出用常微分方程组描述敌对双方兵力消灭过程，定性地说明了集中兵力的原理。1945年，J.H.恩格尔撰文肯定了兰彻斯特定律的实践意义。他曾经根据在第二次世界大战中美军攻占日军防守的琉璜岛之役的作战数据,计算了各方的消灭率系数,且用这两个系数结合美军的兵力增补率构成一个特殊的兰彻斯特方程。它的数值解相当准确地与该次作战中的实际兵力变化进程相吻合。从此，这门理论得到不断发展。它主要研究两类问题：一是作战对抗过程的描述，即根据典型的对抗态势和火力条件建立兵力消灭过程的微分方程组及其解法，借以预测作战进程和获胜条件；二是战术策略的优化，即寻找投入兵力、分配火力和支援保障行动等的最优策略序列。 精品文档 精品文档 兰彻斯特方程 假设甲、乙两方在 t时拥有的现存实力（或者比率，即现存的与初始的实力之比）分别
为x、y，且在单位时间内被对方一个实力单位所消灭的实力单位分别为α、b，称作消灭率。双方实力单位不能同时被消灭，而且从已被消灭的实力单位向现存实力单位转移火力的时间为零。于是，假设单位时间内火力对抗次数为G(t)，则双方的实力变化可表述为：
初始条件为 x(0)=x0,y(0)=y0。这就是兰彻斯特方程。在引入甲方对乙方的损失比E=α/b后,由 ，立刻解得。这个等式称为兰彻斯特平方律。显然，x≥0，y=0表示甲方获胜,且由平方律可知，甲方获胜条件为： 。类似的,可写出乙方获胜条件。1940年，B.O.库普曼求得上述微分方程的显式表示式：
， ，
式中；chτ，shτ是τ的双曲函数。 推广型兰彻斯特方程 为适应其他形式的对抗态势和火力条件,又发展了兰彻斯特方程的几种推广型式
(初始条件一般不变)。 含自然损失与兵力补充率的兰彻斯特方程 它可表述为 精品文档
精品文档 式中 α、β 分别表示由于自然环境(包括敌方破坏的)条件引起甲、乙方每一实力单位的损失率，p，q分别表示各方实力的补充率。P.M.莫尔斯在《运筹学方法》一书中给出了常系数时的方程的解。 大威力消灭率的兰彻斯特方程 现代武器不但杀伤力大，而且它给对方造成的实力递减率既和投入的武器数量成正比，也和对方现存实力成正比（如化学武器）。这种方程可表述为
这里x、y是现存实力比率,从而初始条件为x(0)=y(0)=1，其解为
如果在方程的右端增添自然损失、补充实力和消灭率诸项，就得到了更一般的推广。 这三类方程都是确定型的，或者说是平均性质的。 概率型兰彻斯特方程 它是为分析作战进程的状态概率而建立的一类方程。一般形式是：假设甲方实力为x，乙方实力为y时,甲方获胜的概率为p(x,y),从而,乙方获胜的概率为1-p(x,y);又实力单位损失属于甲、乙方
的概率分别为α(x,y),b(x,y)，且双方不可能同时损失,即α(x,y)+b(x,y)=1。于是,可建立递推式
p(x,y)=α(x,y)p(x-1,y)+b(x,y)p(x,y-1)，
