2019届广东省揭阳市高三第一次模拟考试数学(理)试卷(word版)

揭阳市2019年高考一模数学（理科）注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑.答案写在答题纸上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{|60}A x x x =+-<，(2,2)B =-，则A C B =A ．(3,2)--B ．(3,2]--C ．(2,3)D ．[2,3)2．已知向量(1,2),(2,1),(1,)a b c λ==-=，若()a b c +⊥，则λ的值为A ．3-B ．13-C ．13D ．33．已知z 是复数z 的共轭复数，(1)(1)z z +-是纯虚数，则||z =A ．2B ．32C ．1D ．124．若3sin(2)25πα-= ，则44sin cos αα-的值为A ．45B ．35C ．45-D ．35-5．某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动， 提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名 工人，将他们随机分成两组，每组20人， 第一组工人用第一种生产方式，第二组工人 用第二种生产方式．根据工人完成生产任务 的工作时间（单位：min ）绘制了如右茎叶图： 则下列结论中表述不正确．．．的是 A. 第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需要的时间至少80分钟 B. 第二种生产方式比第一种生产方式效率更高BC. 这40名工人完成任务所需时间的中位数为80D. 无论哪种生产方式的工人完成生产任务平均所需要的时间都是80分钟.6. 函数()f x 在[0,)+∞单调递减，且为偶函数．若(12)f =-，则满足3()1x f -≥-的x 的取值范围是A ．[1,5]B ．[1,3]C ．[3,5]D ．[2,2]-7. 如图，网格纸上虚线小正方形的边长为1，实线画出的是某几何体 的三视图，则该几何体的体积为A ．643B ．52C ．1533D ．56 8．某班星期一上午安排5节课，若数学2节，语文、物理、化学各1节， 且物理、化学不相邻，2节数学相邻，则星期一上午不同课程安排种数为 A ．6 B ．12 C ．24 D ．489. 过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>两焦点且与x 轴垂直的直线与双曲线的四个交点组成一个正方形，则该双曲线的离心率为A1BC ．32D ．210. 右图为中国古代刘徽的《九章算术注》中研究“勾股容方”问题的图形，图中△ABC 为直角三角形，四边形DEFC 为它的内接正方形，记正方 形为区域Ⅰ，图中阴影部分为区域Ⅱ，在△ABC 上任取一点，此点取 自区域Ⅰ、Ⅱ的概率分别记为1p 、2p ，则A ．12p p =B ．12p p <C ．12p p ≤D ．12p p ≥11．已知△ABC 中，AB=AC=3，sin 2sin ABC A ∠= ，延长AB 到D 使得BD=AB ，连结CD ，则CD 的长为A ．BCD．12．已知函数()c o s f x x π=，1()(0)2ax g x e a a =-+≠，若12[0,1]x x ∃∈、，使得12()()f x g x =，则实数a 的取值范围是A ．1[,0)2-B ．1[,)2+∞C ．1[,0)[,)2-∞+∞D ．11[,0)(0,]22-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．命题“对2[1,1],310x x x ∀∈-+->”的否定是 _______；14．在曲线()sin cos f x x x =-，(,)22x ππ∈-的所有切线中，斜率为1的切线方程为 .15．已知圆锥的顶点为S ，底面圆周上的两点A、B 满足SAB ∆为等边三角形，且面积为8，则圆锥的表面积为 .16. 已知点P 在直线210x y +-=上，点Q 在直线230x y ++=上，M 00(,)x y 为PQ 的中点，且0021y x >+，则y x 的取值范围是 . 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答．（一）必考题：共60分17.（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且23n n S p m =⋅+，（其中p m 、为常数），又123a a ==.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设3log n n b a =，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T ．18.（12分）如图，在四边形ABED 中，AB//DE ，AB ⊥BE ，点C 在AB 上， 且AB ⊥CD ，AC=BC=CD=2，现将△ACD 沿CD 折起，使点A 到达点P 的位置，且PE 与平面PBC 所成的角为45°.（1）求证：平面PBC ⊥平面DEBC ； （2）求二面角D-PE-B 的余弦值. 19.（12分）某地种植常规稻A 和杂交稻B ，常规稻A 的亩产稳定为500公斤，今年单价为3.50元／公斤，估计明年单价不变的可能性为10%，变为3.60元／公斤的可能性为60%，变为3.70元／公斤的可能性为30%．统计杂交稻B 的亩产数据，得到亩产的频率分布直方图如下；统计近10年来杂交稻B 的单价（单位：元/公斤）与种植亩数（单位：万亩）的关系，得到的10组数据记为(,)(1,2,10)i i x y i =，并得到散点图如下，参考数据见下．（1）估计明年常规稻A 的单价平均值；（2）在频率分布直方图中，各组的取值按中间值来计算，求杂交稻B 的亩产平均值；以频率作为概率，预计将来三年中至少有二年，杂交稻B 的亩产超过765公斤的概率； （3）判断杂交稻B 的单价y （单位：元/公斤）与种植亩数x （单位：万亩）是否线性相关？若相关，试根据以下的参考数据求出y 关于x 的线性回归方程；调查得知明年此地杂交稻B 的种植亩数预计为2万亩．若在常规稻A 和杂交稻B中选择，明年种植哪种水稻收入更高？统计参考数据： 1.60x =， 2.82y =，101()()0.52iii x x y y =--=-∑，1021()0.65ii x x =-=∑，附：线性回归方程ˆybx a =+，121()()()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑．20.（12分）已知点P 在椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>上，椭圆C 的焦距为2.（1）求椭圆C 的方程； （2）斜率为定值k 的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，且满足22||||OA OB +的值为常数，（其中O 为坐标原点）（i ）求k 的值以及这个常数；（ii ）写出一般性结论（不用证明）：斜率为定值k 的直线l 与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>交于A 、B 两点，且满足22||||OA OB +的值为常数，则k 的值以及这个常数是多少？ 21.（12分）设函数1()ln f x ax x b x=-++()a b R ∈、， （1）讨论()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有两个零点1x 、2x ，求证：121222x x ax x ++>．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22. [选修4-4：坐标系与参数方程] （10分）以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为22cos 2a ρθ=（a R ∈,a 为常数），过点(2,1)P 、倾斜角为30︒的直线l的参数方程满足2x =+，（t 为参数）． （1）求曲线C 的普通方程和直线l 的参数方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点（点P 在A 、B 之间），且||||2PA PB ⋅=，求a 和||||||PA PB -的值．23. [选修4-5：不等式选讲] (10分） 已知函数()|1||1|f x x x =+--， （1）求函数()f x 的值域；（2）若[2,1]x ∈-时，()3f x x a ≤+，求实数a 的取值范围．揭阳市2019高考一模数学（理科）参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．递增，由()(22)1f f =-=-，则23215x x -≤-≤⇒≤≤.故选D. 法二：由3()1x f -≥-得()2)3(f x f ≥-或3()(2)x f f ≥--，即303532x x x -≥⎧⇒≤≤⎨-≤⎩或301332x x x -<⎧⇒≤<⎨-≥-⎩，综合得15x ≤≤.7. 由三视图知该几何体为一长方体与一直三棱柱的组合体，其体积为2143414562⨯+⨯⨯⨯=.8. 第一步：将两节数学捆在一起与语文先进行排列有22A 种排法，第二步：将物理、化学在第一步排后的3个空隙中选两个插进去有23A 种方法，根据乘法原理得不同课程安排种数为222312=A A .9. 将x c =代入双曲线的方程得4222b b y y a a =⇒=±，则222b c ac c a a=⇒=-11e e ⇒-=，解得e =.10. 法一：设△ABC 两直角边的长分别为,a b ，其内接正方形的边长为x ，由x b xa b-=得abx a b =+，则122()ab p a b =+，222122211()()ab a b p p a b a b +=-=-=++22()ab a b ≥+（当且仅当a b =时取等号）．法二（特殊法）：设1,2,BC AC ==CD x =，则23x =，故12445,1999p p ==-=，从而排除A 、D ，当△ABC 为等腰直角三角形时12p p =，排除B ，故选C ． 11. 由sin 2sin ABC A ∠=结合正弦定理得1322BC AC ==，在等腰三角形ABC 中 311cos 434ABC ∠=⨯=，从而1cos 4DBC ∠=-，由余弦定理得：2222cos CD BD BC BD BC DBC =+-⋅⋅∠272=，故2CD =. 12. 设F 、G 分别为函数()f x 与()g x 定义在区间上[0,1]上的值域，则[1,1]F =-,当a >0时，1a e >，1()()2a x g x e a =-+单调递增，当a <0时，()g x 单调递减，31[,],(0);2213[,],(0).22a a a e a a G e a a a ⎧-+-+>⎪⎪=⎨⎪-+-+<⎪⎩12[0,1]x x ∃∈、使得12()()f x g x =FG φ⇔≠()()003111122131122a a a a a e a e a a ⎧⎧⎪⎪><⎪⎪⎪⎪⇔-+≤-+≤⎨⎨⎪⎪⎪⎪-+≥--+≥-⎪⎪⎩⎩或2，因为1()2ah a e a =-+在(0,)+∞上递增，在(,0)-∞上递减，所以3()(0)2h a h >=， 所以解得()1式12a ⇔≥，()2式⇔∅.解析：14.设切点为00(,)x y ，则由000'()cos sin 1f x x x =+=且0(,)22x ∈-，得00x =，01y =-，故所求的切线方程为10x y --=（或1y x =-）.15. 设圆锥母线长为l ,由SAB ∆为等边三角形，且面积为24l =⇒=，又设圆锥底面半径为r ，高为h ，则由轴截面的面积为8得8rh =，又2216r h +=，解得r =（或设轴截面顶角为S ，则由21sin 82l S =得90S =︒，可得圆锥底面直径2r =，）故2=1)S rl r πππ+=表. 16. 因直线210x y +-=与230x y ++=平行，故点M 的轨迹为与两直线距离相等且平行于两直线的直线，其方程为210x y ++=，即点M 00(,)x y 满足00210x y ++=，而满足不等式0021y x >+的点在直线21y x =+的上方，易得直线210x y ++=与21y x =+的交点为31(,)55--，故问题转化为求射线（不含端点）00210x y ++=（035x <-）上的点M 00(,)x y 与坐标原点(0,0)连线斜率、即00y x 的取值范围, 故0011(,)23OM y k x =∈-. 三、解答题17.解：（1）由123a a ==得36p m +=，122()912a a p m +=+=，解得1,3p m ==，-------------------------------------------------------------------------------2分即233n n S =+，-------------①当2n ≥时，11233n n S --=+-------------②①-②得1233n n n a -=-，即13(2)n n a n -=≥，--------------------------------------------4分∵ 13a =不满足上式，∴13,1;3, 2.n n n a n -=⎧=⎨≥⎩----------------------------------------------------------------------------------6分（2）依题意得31,1;log 1, 2.n n n b a n n =⎧==⎨-≥⎩-------------------------------------------------------7分当1n =时，1113T a b ==， 当2n ≥时，112233n n n T a b a b a b a b =++++213131323(1)n n -=⨯+⨯+⨯++⨯-223133131323(2)3(1)n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++⨯-+⨯-两式相减得：231233333(1)n n n T n --=-++++-⨯----------------------------------9分13(31)63(1)31n n n -⨯-=-+-⨯--3(32)152n n --=3(23)154n n n T -+=.-------------------------------------------------------------------------------11分显然当1n =时，13T =符合上式∴3(23)154n n n T -+=-------------------------------------------------------------------------------12分 18.解：（1）证明：∵AB ⊥CD ，AB ⊥BE ，∴CD//EB ，---------------------------------------------1分∵AC ⊥CD ，∴PC ⊥CD ，∴EB ⊥PC ，--------------------------------------------------------3分且PC∩BC=C ，∴EB ⊥平面PBC ，----------------------------------------------------------------------------------4分又∵EB ⊂平面DEBC ，∴平面PBC ⊥平面DEBC ； ---------------------------------------5分（2）由（1）知EB ⊥平面PBC ，∴EB ⊥PB ，由PE 与平面PBC 所成的角为45°得∠EPB=45°，--------------------------------6分 ∴△PBE 为等腰直角三角形，∴PB=EB ， ∵AB//DE ，结合CD//EB 得BE=CD=2，∴PB=2，故△PBC 为等边三角形，--------------------7分 取BC 的中点O ，连结PO ，∵ PO ⊥BC ，∴PO ⊥平面EBCD ，--------------------8分以O 为坐标原点，过点O 与BE 平行的直线为x 轴，CB 的直线为y 轴，OP 所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系如图， 则(010),(2,1,0),(2,1,0)B E D -，，，P ， 从而(0,2,0)DE =,(2,0,0)BE =,(2,1,PE = ，设平面PDE 的一个法向量为(,,)m x y z =，平面PEB 的一个法向量为(,,)n a b c =，则由00m DE m PE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得2020y x y =⎧⎪⎨+-=⎪⎩，令2z =-得(3,0,2)m =--，----------------9分由00n BE n PE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得2020a a b =⎧⎪⎨+=⎪⎩ ，令1c =得(0,3,1)n =，------------------------10分设二面角D-PE-B 的大小为θ，则cos 7||||7mn m n θ⋅===⋅⨯， 即二面角D-PE-B 的余弦值为分（其它解法请参照给分！）19.解：（1）设明年常规稻A 的单价为ξ，则ξ的分布列为3.62=，估计明年常规稻A 的单价平均值为3.62（元／公斤）；----------------------------------------3分（2）杂交稻B 的亩产平均值为：[(730790800)0.005(740780)0.01(750770)0.027600.025]10++⨯++⨯++⨯+⨯⨯116152304190762=+++=．--------------------------------------------------------------------5分依题意知杂交稻B 的亩产超过765公斤的概率为：0.2+0.1+0.52=0.4p =⨯，则将来三年中至少有二年，杂交稻B 的亩产超过765公斤的概率为：22330.4(10.4)0.40.352C ⨯⨯-+=．--------------------------------------------------------------7分（3）因为散点图中各点大致分布在一条直线附近，所以可以判断杂交稻B 的单价y 与种植亩数x线性相关，-------------------------------------------------------------------------------------------------8分 由题中提供的数据得：0.520.80.65b -==-，由y b x a=+ 2.820.8 1.60 4.10a y b x =-=+⨯=， 所以线性回归方程为ˆ0.8 4.10yx =-+，--------------------------------------------------------------10分估计明年杂交稻B 的单价ˆ0.82 4.10 2.50y=-⨯+=元／公斤； 估计明年杂交稻B 的每亩平均收入为762 2.501905⨯=元／亩，估计明年常规稻A 的每亩平均收入为500()500 3.621810E ξ⨯=⨯=元／亩，因1905>1875，所以明年选择种植杂交稻B 收入更高． -------------------------------------------12分20.解：（1）由点P 在椭圆上得223112a b+=，2c =2， --------------------------------------------1分2222322b a a b ∴+=，c =1，又222a b c =+，222232(1)2(1)b b b b ∴++=+，422320b b ∴--=，解得22b =，得23a =，∴椭圆C 的方程为22132x y +=；-------------------------------------------------------------------4分（2）（i ）设直线l 的方程为y kx t =+，联立22132x y +=，得222(32)6360k x k t x t +++-=，∴2121222636(1)(2)3232ktt x x x x k k -+=-=++------------------------------------------5分又22112(1)3x y =-，22222(1)3x y =-， 2222221122||||()()OA OB x y x y +=+++22121()43x x =++212121[()2]43x x x x =+-+ 22221636[()2]433232kt t k k -=-⨯+++ 222221(1812)362443(32)k t k k -++=⨯++----------------------------------------------------------------8分 要使22||||OA OB +为常数，只需218120k -=，得223k =，------------------------------9分∴22||||OA OB +212424453(22)+=⨯+=+，∴3k ==±，这个常数为5； ----------------------------------------------------------10分 （ii ）bk a=±，这个常数为22a b +．------------------------------------------------------------12分21.解：（1）222111'()(0)ax x f x a x x x x--=--=>，---------------------------------------------1分设2()1(0)g x ax x x =-->，①当0a ≤时，()0g x <，'()0f x <；------------------------------------------------------------2分②当0a >时，由()0g x =得x =0x =<，记x =0x =则201()1()(),(0)2g x ax x a x x x x a =--=-->，∵102x a->∴当0(0,)x x ∈时，()0g x <，'()0f x <，当0(,)x x ∈+∞时，()0g x >，'()0f x >，--------------------------------------4分∴当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，()f x在(0,上单调递减，在)+∞上单调递增．---5分（2）不妨设12x x <，由已知得1()0f x =，2()0f x =， 即1111ln ax x b x =--，2221ln ax x b x =--，---------------------------------------------------6分 两式相减得21212111()ln ln ()a x x x x x x -=---， ∴212121ln ln 1x x a x x x x -=+-，---------------------------------------------------------------------------7分要证121222x x ax x ++>， 即要证2112122121ln ln 122()x x x x x x x x x x -++>+-， 只需证21121221ln ln 2x x x x x x x x -+>⋅⋅-， 只需证222121212ln x x x x x x ->，即要证2121212ln x x x x x x ->，---------------------------------------9分 设21x t x =，则1t >，只需证12ln t t t ->，------------------------------------------------------10分 设1()2ln (1)h t t t t t=-->，只需证()0h t >， 222221221(1)'()10t t t h t t t t t-+-=+-==>， ()h t ∴在(1,)+∞上单调递增，()(1)0h t h ∴>=，得证．---------------------------------------------------------------------------12分22.解：（1）由22cos 2a ρθ=得2222(cossin )a ρθθ-=， --------------------------------------1分又cos x ρθ=，sin y ρθ=，得222x y a -=，∴C 的普通方程为222x y a -=，-------------------------------------------------------------------2分∵过点(2,1)P 、倾斜角为30︒的直线l的普通方程为2)1y x =-+，--------------3分由22x =+得112y t =+ ∴直线l的参数方程为212x ty ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ （t 为参数）；-------------------------------------------5分（2）将2212x ty ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入222x y a -=，得221)2(3)0t t a ++-=，----------------------------------------------------------------6分依题意知221)]8(3)0a ∆=-->则上方程的根1t 、2t 就是交点A 、B 对应的参数，∵2122(3)t t a ⋅=-，由参数t 的几何意义知1212||||||||||PA PB t t t t ⋅=⋅=⋅，得12||2t t ⋅=，∵点P 在A 、B 之间，∴120t t ⋅<，∴122t t ⋅=-，即22(3)2a -=-，解得24a =（满足0∆>），∴2a =±，-------------8分∵1212||||||||||||||PA PB t t t t -=-=+，又121)t t +=-，∴||||||2PA PB -=．-------------------------------------------------------------------------10分23.解：（1）法一：|()|||1||1|||(1)(1)|2f x x x x x =+--≤+--=，∴ 2()2f x -≤≤， ()f x 的值域为[-2, 2]；----------------------------------------------------4分法二：2,1()2,112,1x f x x x x -<-⎧⎪=-≤<⎨⎪≥⎩，得2()2f x -≤≤，∴()f x 的值域为[-2, 2]；----------------------------------------------------------------------------4分（2）由()3f x x a ≤+得|1||1|3a x x x ≥+---，由[2,1]x ∈-得10x -≤，∴ |1|13|1|21a x x x x x ≥++--=+--，----------------------------------------------------5分设()|1|21g x x x =+-- (21)x -≤≤，① 当21x -≤≤-时，10x +≤，()(1)2132g x x x x =-+--=--，∴ max ()(2)4g x g =-=；--------------------------------------------------------------------------7分② 当11x -<≤时，10x +>，()121g x x x x =+--=-，∴ ()(1)1g x g <-=；-------------------------------------------------------------------------------9分综上知，max ()4g x =，由()a g x ≥恒成立，得4a ≥，即a 的取值范围是[4,)+∞．---------------------------------10分。

2019年广东省揭阳市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|x2+x﹣6＜0}，B＝（﹣2，2），则∁A B＝（）A．（﹣3，﹣2）B．（﹣3，﹣2]C．（2，3）D．[2，3）2．（5分）已知向量，若，则λ的值为（）A．﹣3B．C．D．33．（5分）已知是复数z的共轭复数，（z+1）（﹣1）是纯虚数，则|z|＝（）A．2B．C．1D．4．（5分）若，则sin4α﹣cos4α的值为（）A．B．C．D．5．（5分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如图茎叶图：则下列结论中表述不正确的是（）A．第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需要的时间至少80分钟B．第二种生产方式比第一种生产方式的效率更高C．这40名工人完成任务所需时间的中位数为80D．无论哪种生产方式的工人完成生产任务平均所需要的时间都是80分钟．6．（5分）函数f（x）在[0，+∞）单调递减，且为偶函数．若f（2）＝﹣1，则满足f（x﹣3）≥﹣1的x的取值范围是（）A．[1，5]B．[1，3]C．[3，5]D．[﹣2，2]7．（5分）如图，网格纸上虚线小正方形的边长为1，实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．52C．D．568．（5分）某班星期一上午安排5节课，若数学2节，语文、物理、化学各1节，且物理、化学不相邻，2节数学相邻，则星期一上午不同课程安排种数为（）A．6B．12C．24D．489．（5分）过双曲线两焦点且与x轴垂直的直线与双曲线的四个交点组成一个正方形，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．210．（5分）如图为中国古代刘徽的《九章算术注》中研究“勾股容方”问题的图形，图中△ABC为直角三角形，四边形DEFC为它的内接正方形，记正方形为区域Ⅰ，图中阴影部分为区域Ⅱ，在△ABC上任取一点，此点取自区域Ⅰ、Ⅱ的概率分别记为p1、p2，则（）A．p1＝p2B．p1＜p2C．p1≤p2D．p1≥p211．（5分）已知△ABC中，AB＝AC＝3，sin∠ABC＝2sin A，延长AB到D使得BD＝AB，连结CD，则CD的长为（）A．B．C．D．312．（5分）已知函数f（x）＝cosπx，，若∃x1、x2∈[0，1]，使得f （x1）＝g（x2），则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）命题“对∀x∈[﹣1，1]，x2+3x﹣1＞0”的否定是；14．（5分）在曲线f（x）＝sin x﹣cos x，的所有切线中，斜率为1的切线方程为．15．（5分）已知圆锥的顶点为S，底面圆周上的两点A、B满足△SAB为等边三角形，且面积为，又知圆锥轴截面的面积为8，则圆锥的表面积为．16．（5分）已知点P在直线x+2y﹣1＝0上，点Q在直线x+2y+3＝0上，M（x0，y0）为PQ 的中点，且y0＞2x0+1，则的取值范围是．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且，（其中p、m为常数），又a1＝a2＝3．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝log3a n，求数列{a n•b n}的前n项和T n．18．（12分）如图，在四边形ABED中，AB∥DE，AB⊥BE，点C在AB上，且AB⊥CD，AC＝BC＝CD＝2，现将△ACD沿CD折起，使点A到达点P的位置，且PE与平面PBC 所成的角为45°．（1）求证：平面PBC⊥平面DEBC；（2）求二面角D﹣PE﹣B的余弦值．19．（12分）某地种植常规稻A和杂交稻B，常规稻A的亩产稳定为500公斤，今年单价为3.50元/公斤，估计明年单价不变的可能性为10%，变为3.60元/公斤的可能性为60%，变为3.70元/公斤的可能性为30%．统计杂交稻B的亩产数据，得到亩产的频率分布直方图如下；统计近10年来杂交稻B的单价（单位：元/公斤）与种植亩数（单位：万亩）的关系，得到的10组数据记为（x i，y i）（i＝1，2，…10），并得到散点图如图，参考数据见下．（1）估计明年常规稻A的单价平均值；（2）在频率分布直方图中，各组的取值按中间值来计算，求杂交稻B的亩产平均值；以频率作为概率，预计将来三年中至少有二年，杂交稻B的亩产超过765公斤的概率；（3）判断杂交稻B的单价y（单位：元/公斤）与种植亩数x（单位：万亩）是否线性相关？若相关，试根据以下的参考数据求出y关于x的线性回归方程；调查得知明年此地杂交稻B的种植亩数预计为2万亩．若在常规稻A和杂交稻B中选择，明年种植哪种水稻收入更高？统计参考数据：＝1.60，＝2.82，（x i））y i）＝﹣0.52，（x i）2＝0.65，附：线性回归方程，b＝．20．（12分）已知点在椭圆C：上，椭圆C的焦距为2．（1）求椭圆C的方程；（2）斜率为定值k的直线l与椭圆C交于A、B两点，且满足|OA|2+|OB|2的值为常数，（其中O为坐标原点）（i）求k的值以及这个常数；（ii）写出一般性结论（不用证明）：斜率为定值k的直线l与椭圆交于A、B两点，且满足|OA|2+|OB|2的值为常数，则k的值以及这个常数是多少？21．（12分）设函数（a、b∈R），（1）讨论f（x）的单调性；（2）若函数f（x）有两个零点x1、x2，求证：x1+x2+2＞2ax1x2．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ＝a2（a∈R，a为常数），过点P（2，1）、倾斜角为30°的直线l的参数方程满足，（t为参数）．（1）求曲线C的普通方程和直线l的参数方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点（点P在A、B之间），且|P A|•|PB|＝2，求a和||P A|﹣|PB||的值．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数f（x）＝|x+1|﹣|x﹣1|，（1）求函数f（x）的值域；（2）若x∈[﹣2，1]时，f（x）≤3x+a，求实数a的取值范围．2019年广东省揭阳市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【解答】解：根据题意，集合A＝{x|x2+x﹣6＜0}＝（﹣3，2），又由B＝（﹣2，2），则∁A B＝（﹣3，﹣2]；故选：B．2．【解答】解：；∵；∴；∴λ＝﹣3．故选：A．3．【解答】解：设复数z＝a+bi，a、b∈R，则＝a﹣bi，∴（z+1）（﹣1）＝z•﹣z+﹣1＝a2+b2﹣2bi﹣1，且为纯虚数，∴a2+b2﹣1＝0，且﹣2b≠0，∴|z|＝＝1．故选：C．4．【解答】解：由，得cos2α＝，∴sin4α﹣cos4α＝（sin2α+cos2α）（sin2α﹣cos2α）＝﹣cos2α＝﹣．故选：D．5．【解答】解：由茎叶图的性质得：在A中，第一种生产方式的工人中，有：＝75%的工人完成生产任务所需要的时间至少80分钟，故A正确；在B中，第二种生产方式比第一种生产方式的效率更高，故B正确；在C中，这40名工人完成任务所需时间的中位数为：＝80，故C正确；在D中，第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需要的时间都是超过80分钟．第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需要的时间都是不到80分钟，故D错误．故选：D．6．【解答】解：法一：因函数f（x）在[0，+∞）单调递减，且为偶函数，则函数f（x）在（﹣∞，0）单调递增，由f（2）＝f（﹣2）＝﹣1，则﹣2≤x﹣3≤2⇒1≤x≤5．法二：由f（x﹣3）≥﹣1得f（x﹣3）≥f（2），即f（|x﹣3|）≥f（2），即﹣2≤x﹣3≤2，得1≤x≤5．即x的取值范围是[1，5]，故选：A．7．【解答】解：由三视图知该几何体为一长方体与一直三棱柱的组合体，几何体的直观图如图：其体积为．故选：D．8．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①：将两节数学捆在一起与语文先进行排列有种排法，②：将物理、化学在第一步排后的3个空隙中选两个插进去有种方法，根据乘法原理得不同课程安排种数为；故选：B．9．【解答】解：将x＝±c代入双曲线的方程得，则2c＝，即有ac＝b2＝c2﹣a2，由e＝，可得：e2﹣e﹣1＝0，解得．故选：B．10．【解答】解：设△ABC两直角边的长分别为a，b，其内接正方形的边长为x，因为DE∥BC，所以，解得：，由几何概型中的面积型可得：则，p2＝1﹣p1＝1﹣＝，p1﹣p2＝≤0，（当且仅当a＝b时取等号），即p1≤p2，故选：C．11．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝，∴sin∠ABC＝sin＝cos，又sin∠ABC＝2sin A＝4sin cos，∴cos＝4sin cos，∵0＜A＜π，∴0＜＜，∴cos≠0，∴sin＝，∴cos A＝1﹣2sin2＝．在△ACD中，由余弦定理可得CD2＝AC2+AD2﹣2AC•AD•cos A＝9+36﹣2×3×6×＝．∴CD＝＝．故选：C．12．【解答】解：设F、G分别为函数f（x）与g（x）定义在区间上[0，1]上的值域，则F＝[﹣1，1]，当a＞0时，e a＞1，单调递增，当a＜0时，g（x）单调递减，，∃x1、x2∈[0，1]使得f（x1）＝g（x2）⇔F∩G≠ϕ，因为在（0，+∞）上递增，在（﹣∞，0）上递减，所以，所以解得（1）式，（2）式⇔∅，综上a≥，故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定为∃x∈[﹣1，1]，x2+3x﹣1≤0．故答案为∃x∈[﹣1，1]，x2+3x﹣1≤014．【解答】解：由f（x）＝sin x﹣cos x，得f′（x）＝cos x+sin x＝，由，得sin（x+）＝，∵，∴x+∈（，），∴x+＝，即x＝0．∴切点为（0，﹣1），切线方程为y+1＝x，即x﹣y﹣1＝0．故答案为：x﹣y﹣1＝0．15．【解答】解：设圆锥母线长为l，由△SAB为等边三角形，且面积为，所以l2＝4，解得l＝4；又设圆锥底面半径为r，高为h，则由轴截面的面积为8，得rh＝8；又r2+h2＝16，解得，（或设轴截面顶角为S，则由，求得S＝90°，可得圆锥底面直径）所以圆锥的表面积为．故答案为：8（+1）π．16．【解答】解：点P所在的直线x+2y﹣1＝0与点Q所在直线x+2y+3＝0平行，因此可设PQ中点M（x0，y0）所在直线的方程为x+2y+m＝0，∴＝，解得m＝1；∴PQ中点M（x0，y0）所在直线的方程为x+2y+1＝0，联立，解得，其交点为N（﹣，﹣）；′∴k ON＝；令＝k，∵PQ中点为M（x0，y0）满足x0+2y0+1＝0，且y0＞2x0+1，如图所示；∴﹣＜k＜；即的取值范围是（﹣，）．故答案为：（﹣，）．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．【解答】解：（1）由a1＝a2＝3得3p+m＝6，2（a1+a2）＝9p+m＝12，解得p＝1，m＝3，即，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①当n≥2时，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②①﹣②得，即，∵a1＝3不满足上式，∴；（2）依题意得当n＝1时，T1＝a1b1＝3，当n≥2时，T n＝a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n＝3×1+3×1+32×2+…+3n﹣1×（n﹣1），，两式相减得：＝＝，．显然当n＝1时，T1＝3符合上式．∴．18．【解答】证明：（1）∵AB⊥CD，AB⊥BE，∴CD∥EB，∵AC⊥CD，∴PC⊥CD，∴EB⊥PC，且PC∩BC＝C，∴EB⊥平面PBC，又∵EB⊂平面DEBC，∴平面PBC⊥平面DEBC．解：（2）由（1）知EB⊥平面PBC，∴EB⊥PB，由PE与平面PBC所成的角为45°得∠EPB＝45°，∴△PBE为等腰直角三角形，∴PB＝EB，∵AB∥DE，结合CD∥EB得BE＝CD＝2，∴PB＝2，故△PBC为等边三角形，取BC的中点O，连结PO，∵PO⊥BC，∴PO⊥平面EBCD，以O为坐标原点，过点O与BE平行的直线为x轴，CB所在的直线为y轴，OP所在的直线为z轴建立空间直角坐标系如图，则B（0，1，0），E（2，1，0），D（2，﹣1，0），，从而，，，设平面PDE的一个法向量为，平面PEB的一个法向量为，则由得，令z＝﹣2得，由得，令c＝1得，设二面角D﹣PE﹣B的大小为θ，则，即二面角D﹣PE﹣B的余弦值为．19．【解答】解：（1）设明年常规稻A的单价为ξ，则ξ的分布列为：E（ξ）＝3.5×0.1+3.6×0.6+3.7×0.3＝3.62，估计明年常规稻A的单价平均值为3.62（元/公斤）；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）（2）杂交稻B的亩产平均值为：[（730+790+800）×0.005+（740+780）×0.01+（750+770）×0.02+760×0.025]×10＝116+152+304+190＝762．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）依题意知杂交稻B的亩产超过765公斤的概率为：p＝0.2+0.1+0.5×2＝0.4，则将来三年中至少有二年，杂交稻B的亩产超过765公斤的概率为：．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）（3）因为散点图中各点大致分布在一条直线附近，所以可以判断杂交稻B的单价y与种植亩数x线性相关，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）由题中提供的数据得：，由，所以线性回归方程为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）估计明年杂交稻B的单价元/公斤；估计明年杂交稻B的每亩平均收入为762×2.50＝1905元/亩，估计明年常规稻A的每亩平均收入为500×E（ξ）＝500×3.62＝1810元/亩，因1905＞1875，所以明年选择种植杂交稻B收入更高．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）20．【解答】解：（1）由点P在椭圆上得，2c＝2，∴3b2+2a2＝2a2b2，c＝1，又a2＝b2+c2，∴3b2+2（b2+1）＝2（b2+1）b2，∴2b4﹣3b2﹣2＝0，得b2＝2，得a2＝3，∴椭圆C的方程为；（2）（i）设直线l的方程为y＝kx+t，联立，得（3k2+2）x2+6ktx+3t2﹣6＝0，∴x1+x2＝﹣，x1x2＝又，y22＝2（1﹣），∴＝＝＝＝，要使|OA|2+|OB|2为常数，只需18k2﹣12＝0，得，∴|OA|2+|OB|2＝，∴，这个常数为5；（ii），这个常数为a2+b2．21．【解答】解：（1），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）设g（x）＝ax2﹣x﹣1（x＞0），①当a≤0时，g（x）＜0，f'（x）＜0；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）②当a＞0时，由g（x）＝0得或，记＝x0则，∵∴当x∈（0，x0）时，g（x）＜0，f'（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，g（x）＞0，f'（x）＞0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）∴当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递减；当a＞0时，f（x）在上单调递减，在上单调递增．﹣﹣﹣（5分）（2）不妨设x1＜x2，由已知得f（x1）＝0，f（x2）＝0，即，，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）两式相减得，∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）要证x1+x2+2＞2ax1x2，即要证，只需证，只需证，即要证，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）设，则t＞1，只需证，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）设，只需证h（t）＞0，∵，∴h（t）在（1，+∞）上单调递增，∴h（t）＞h（1）＝0，得证．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．【解答】解：（1）由ρ2cos2θ＝a2得ρ2（cos2θ﹣sin2θ）＝a2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）又x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得x2﹣y2＝a2，∴C的普通方程为x2﹣y2＝a2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）∵过点P（2，1）、倾斜角为30°的直线l的普通方程为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）由得∴直线l的参数方程为（t为参数）；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（2）将代入x2﹣y2＝a2，得，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）依题意知则上方程的根t1、t2就是交点A、B对应的参数，∵，由参数t的几何意义知|P A|•|PB|＝|t1|•|t2|＝|t1•t2|，得|t1•t2|＝2，∵点P在A、B之间，∴t1•t2＜0，∴t1•t2＝﹣2，即2（3﹣a2）＝﹣2，解得a2＝4（满足△＞0），∴a＝±2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）∵||P A|﹣|PB||＝||t 1|﹣|t2||＝|t1+t2|，又，∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．【解答】解：（1）法一：|f（x）|＝||x+1|﹣|x﹣1||≤|（x+1）﹣（x﹣1）|＝2，∴﹣2≤f（x）≤2，f（x）的值域为[﹣2，2]；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）法二：，得﹣2≤f（x）≤2，∴f（x）的值域为[﹣2，2]；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）由f（x）≤3x+a得a≥|x+1|﹣|x﹣1|﹣3x，由x∈[﹣2，1]得x﹣1≤0，∴a≥|x+1|+x﹣1﹣3x＝|x+1|﹣2x﹣1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）设g（x）＝|x+1|﹣2x﹣1（﹣2≤x≤1），①当﹣2≤x≤﹣1时，x+1≤0，g（x）＝﹣（x+1）﹣2x﹣1＝﹣3x﹣2，∴g（x）max＝g（﹣2）＝4；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）②当﹣1＜x≤1时，x+1＞0，g（x）＝x+1﹣2x﹣1＝﹣x，∴g（x）＜g（﹣1）＝1；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）综上知，g（x）max＝4，由a≥g（x）恒成立，得a≥4，即a的取值范围是[4，+∞）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）。

2019届广东省揭阳市高三一模数学（理）试题一、单选题1．已知集合，，则A．B．C．D．【答案】B【解析】先解一元二次不等式得集合A，再根据补集定义求结果.【详解】因为，所以，选B.【点睛】求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．2．已知向量，若，则的值为A．B．C．D．【答案】A【解析】先求，再根据向量数量积得方程，解得的值.【详解】因为，所以由得，选A. 【点睛】求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式；二是坐标公式；三是利用数量积的几何意义.3．已知是复数z的共轭复数，是纯虚数，则A．2 B．C．1 D．【答案】C【解析】先根据纯虚数概念求得z，再根据复数的模的定义求结果.【详解】设，则因此因为是纯虚数，所以，选C.【点睛】熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为.4．若，则的值为A．B．C．D．【答案】D【解析】先根据诱导公式化简，再根据平方差公式以及二倍角余弦公式得结果.【详解】因为，所以,因此,选D.【点睛】本题考查诱导公式以及二倍角余弦公式，考查基本分析求解能力.属基本题.5．某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了茎叶图：则下列结论中表述不正确的是A．第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需要的时间至少80分钟B．第二种生产方式比第一种生产方式的效率更高C．这40名工人完成任务所需时间的中位数为80D．无论哪种生产方式的工人完成生产任务平均所需要的时间都是80分钟.【答案】D【解析】根据茎叶图统计数据、求平均数、求中位数，再根据结果作选择.【详解】第一种生产方式的工人中，完成生产任务所需要的时间至少80分钟有15人,占75%，第一种生产方式的中，完成生产任务所需要的平均时间为，第二种生产方式的中，完成生产任务所需要的平均时间为，所以第二种生产方式比第一种生产方式的效率更高，这40名工人完成任务所需时间从小到大排列得中间两数为，中位数为所以D错误.选D.【点睛】本题考查茎叶图，考查基本分析求解能力.属基本题.6．函数在单调递减，且为偶函数．若，则满足的的取值范围是A．B．C．D．【答案】A【解析】先根据函数奇偶性以及单调性转化不等式，再解含绝对值不等式得结果.【详解】因为函数为偶函数，所以等价于,因为函数在单调递减，所以,,,选A. 【点睛】解抽象函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内.7．如图，网格纸上虚线小正方形的边长为1，实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A．B．52 C．D．56【答案】D【解析】先还原几何体，再根据柱体体积公式求体积.【详解】几何体上部分为一个三棱柱（底面为高为1，底为4的等腰三角形，柱体高为4），下部分为一个长方体（长宽高分别为4，3，4），因此几何体的体积为，选D.【点睛】若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解体积.8．某班星期一上午安排5节课，若数学2节，语文、物理、化学各1节，且物理、化学不相邻，2节数学相邻，则星期一上午不同课程安排种数为A．6 B．12 C．24 D．48【答案】B【解析】先安排数学与语文，再插空安排物理化学，最后根据乘法原理求结果.【详解】先安排数学与语文有两种排法，产生三个空位，从中选两个安排物理化学，有种排法,所以星期一上午不同课程安排种数为，选B.【点睛】求解排列、组合问题常用的解题方法：分布计数原理与分类计数原理，具体问题可使用对应方法：如(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.9．过双曲线两焦点且与x轴垂直的直线与双曲线的四个交点组成一个正方形，则该双曲线的离心率为A．B．C．D．2【答案】B【解析】先求交点坐标，再根据题意列方程解得离心率.【详解】令得,由题意得,（负值舍去），选B.【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.10．右图为中国古代刘徽的《九章算术注》中研究“勾股容方”问题的图形，图中△ABC 为直角三角形，四边形DEFC为它的内接正方形，记正方形为区域Ⅰ，图中阴影部分为区域Ⅱ，在△ABC上任取一点，此点取自区域Ⅰ、Ⅱ的概率分别记为、，则A．B．C．D．【答案】C【解析】先用直角△ABC两直角边长表示正方形边长，再根据几何概型概率求、，最后利用作差法比较、大小，即得结果.【详解】设，则，所以，因此，选C.【点睛】当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．11．已知△ABC中，AB=AC=3，，延长AB到D使得BD=AB，连结CD，则CD的长为A．B．C．D．【答案】C【解析】先根据正弦定理化角为边，解得BC，再根据余弦定理列方程解得CD.【详解】因为，所以即，因为BD=AB，所以,选C.【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.12．已知函数，，若，使得，则实数的取值范围是A．B．C．D．【答案】B【解析】先求，在上值域，再根据两值域关系确定实数的取值范围. 【详解】当时,,当时,,,令,则，当时，当时，当时，即当时由题意得两函数值域交集非空，即解得，选B.【点睛】对于方程任意或存在性问题，一般转化为对应函数值域包含关系，即的值域包含于的值域；的值域与的值域交集非空。

广东省揭阳市高三第一次模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{|60}A x x x =+-<，(2,2)B =-，则A C B = （ ） A ．(3,2)--B ．(3,2]--C ．(2,3)D ．[2,3)2．已知向量(1,2),(2,1),(1,)a b c λ==-=，若()a b c +⊥，则λ的值为（ ） A ．3-B ．13-C ．13D ．33．已知z 是复数z 的共轭复数，(1)(1)z z +-是纯虚数，则||z =（ ） A ．2B ．32C ．1D ．124．若3sin(2)25πα-= ，则44sin cos αα-的值为（ ） A ．45 B ．35 C ．45-D ．35-5．某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产 方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人， 第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务 的工作时间（单位：min ）绘制了如右茎叶图：则下列结论中表述不正确．．．的是（ ） A. 第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需要的时间至少80分钟 B. 第二种生产方式比第一种生产方式效率更高 C. 这40名工人完成任务所需时间的中位数为80D. 无论哪种生产方式的工人完成生产任务平均所需要的时间都是80分钟.6. 函数()f x 在[0,)+∞单调递减，且为偶函数．若(12)f =-，则满足3()1x f -≥-的x 的 取值范围是（ ） A ．[1,5]B ．[1,3]C ．[3,5]D ．[2,2]-7. 如图，网格纸上虚线小正方形的边长为1，实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 （ ）A ．643B ．52C ．1533D ．56 8．某班星期一上午安排5节课，若数学2节，语文、物理、化学各1节，且物理、化学不 相邻，2节数学相邻，则星期一上午不同课程安排种数为（ ） A ．6 B ．12 C ．24 D ．489. 过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>两焦点且与x 轴垂直的直线与双曲线的四个交点组成一个正方形，则该双曲线的离心率为（ ） A1 BC ．32D ．210. 选图为中国古代刘徽的《九章算术注》中研究“勾股容方”问题的图形，图中△ABC 为直角三角形，四边形DEFC 为它的内接正方形，记正方形为区域Ⅰ，图中阴影部分为区域Ⅱ，在△ABC 上任取一点，此点取自区域Ⅰ、Ⅱ的概率分别记为1p 、2p ，则（ ）A ．12p p =B ．12p p <C ．12p p ≤D ．12p p ≥11．已知△ABC 中，AB =AC =3，sin 2sin ABC A ∠= ，延长AB 到D 使得BD =AB ，连结 CD ，则CD 的长为（ ） A ．BCD．12．已知函数()cos f x x π=，1()(0)2ax g x e a a =-+≠，若12[0,1]x x ∃∈、，使得 12()()f x g x =，则实数a 的取值范围是（ ）BA ．1[,0)2-B ．1[,)2+∞C ．1[,0)[,)2-∞+∞D ．11[,0)(0,]22- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．命题“对2[1,1],310x x x ∀∈-+->”的否定是 _______； 14．在曲线()sin cos f x x x =-，(,)22x ππ∈-的所有切线中，斜率为1的切线方程为 .15．已知圆锥的顶点为S ，底面圆周上的两点A 、B 满足SAB ∆为等边三角形，且面积为8，则圆锥的表面积为 .16. 已知点P 在直线210x y +-=上，点Q 在直线230x y ++=上，M 00(,)x y 为PQ 的 中点，且0021y x >+，则y x 的取值范围是 . 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答． （一）必考题：共60分 17.（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且23nn S p m =⋅+，（其中p m 、为常数），又123a a ==.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设3log n n b a =，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T ．18.（12分）如图，在四边形ABED中，AB//DE，AB⊥BE，点C在AB上，且AB⊥CD，AC=BC=CD=2，现将△ACD沿CD折起，使点A到达点P的位置，且PE与平面PBC所成的角为45°.（1）求证：平面PBC⊥平面DEBC；（2）求二面角D-PE-B的余弦值.19.（12分）某地种植常规稻A 和杂交稻B ，常规稻A 的亩产稳定为500公斤，今年单价为3.50元／公斤，估计明年单价不变的可能性为10%，变为3.60元／公斤的可能性为60%，变为3.70元／公斤的可能性为30%．统计杂交稻B 的亩产数据，得到亩产的频率分布直方图如下；统计近10年来杂交稻B 的单价（单位：元/公斤）与种植亩数（单位：万亩）的关系，得到的10组数据记为(,)(1,2,10)i i x y i =，并得到散点图如下，参考数据见下．（1）估计明年常规稻A 的单价平均值；（2）在频率分布直方图中，各组的取值按中间值来计算，求杂交稻B 的亩产平均值；以频率作为概率，预计将来三年中至少有二年，杂交稻B 的亩产超过765公斤的概率； （3）判断杂交稻B 的单价y （单位：元/公斤）与种植亩数x （单位：万亩）是否线性相关？若相关，试根据以下的参考数据求出y 关于x 的线性回归方程；调查得知明年此地杂交稻B 的种植亩数预计为2万亩．若在常规稻A 和杂交稻B 中选择，明年种植哪种水稻收入更高？ 统计参考数据： 1.60x =， 2.82y =，101()()0.52iii x x y y =--=-∑，1021()0.65ii x x =-=∑，附：线性回归方程ˆybx a =+，121()()()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑．20.（12分）已知点2P 在椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>上，椭圆C 的焦距为2. （1）求椭圆C 的方程；（2）斜率为定值k 的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，且满足22||||OA OB +的值为常数，（其中O 为坐标原点） （i ）求k 的值以及这个常数；（ii ）写出一般性结论（不用证明）：斜率为定值k 的直线l 与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>交于A 、B 两点，且满足22||||OA OB +的值为常数，则k 的值以及这个常数是多少？21.（12分）设函数1()ln f x ax x b x=-++()∈a b R 、， （1）讨论()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有两个零点1x 、2x ，求证：121222x x ax x ++>．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22. [选修4-4：坐标系与参数方程] （10分）以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为22cos 2a ρθ=（∈a R ,a 为常数），过点(2,1)P 、倾斜角为30︒的直线l的参数方程满足22x =+，（t 为参数）． （1）求曲线C 的普通方程和直线l 的参数方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点（点P 在A 、B 之间），且||||2PA PB ⋅=，求a 和||||||PA PB -的值．23. [选修4-5：不等式选讲] (10分） 已知函数()|1||1|f x x x =+--， （1）求函数()f x 的值域；（2）若[2,1]x ∈-时，()3f x x a ≤+，求实数a 的取值范围．【参考答案】一、选择题递增，由()(22)1f f =-=-，则23215x x -≤-≤⇒≤≤.故选D . 法二：由3()1x f -≥-得()2)3(f x f ≥-或3()(2)x f f ≥--，即303532x x x-≥⎧⇒≤≤⎨-≤⎩或301332x x x -<⎧⇒≤<⎨-≥-⎩，综合得15x ≤≤.7. 由三视图知该几何体为一长方体与一直三棱柱的组合体，其体积为2143414562⨯+⨯⨯⨯=.8. 第一步：将两节数学捆在一起与语文先进行排列有22A 种排法，第二步：将物理、化学在 第一步排后的3个空隙中选两个插进去有23A 种方法，根据乘法原理得不同课程安排种数为222312=A A .9. 将x c =代入双曲线的方程得4222b b y y a a =⇒=±，则222b c ac c a a=⇒=- 11e e⇒-=，解得e =. 10. 法一：设△ABC 两直角边的长分别为,a b ，其内接正方形的边长为x ，由x b xa b -=abx a b=+，则122()ab p a b =+，222122211()()ab a b p p a b a b +=-=-=++22()ab a b ≥+（当且仅当 a b =时取等号）． 法二（特殊法）：设1,2,BC AC ==CD x =，则23x =，故12445,1999p p ==-=，从而 排除A 、D ，当△ABC 为等腰直角三角形时12p p =，排除B ，故选C ． 11. 由sin 2sin ABC A ∠=结合正弦定理得1322BC AC ==，在等腰三角形ABC 中311cos 434ABC ∠=⨯=，从而1cos 4DBC ∠=-，由余弦定理得：2222cos CD BD BC BD BC DBC =+-⋅⋅∠272=，故CD =.12. 设F 、G 分别为函数()f x 与()g x 定义在区间上[0,1]上的值域，则[1,1]F =-,当a >0时1a e >，1()()2a x g x e a =-+单调递增，当a <0时，()g x 单调递减， 31[,],(0);2213[,],(0).22a a a e a a G e a a a ⎧-+-+>⎪⎪=⎨⎪-+-+<⎪⎩12[0,1]x x ∃∈、使得12()()f x g x =FG φ⇔≠()()003111122131122a a a a a e a e a a ⎧⎧⎪⎪><⎪⎪⎪⎪⇔-+≤-+≤⎨⎨⎪⎪⎪⎪-+≥--+≥-⎪⎪⎩⎩或2，因为1()2a h a e a =-+在(0,)+∞上递增，在(,0)-∞上递减，所以3()(0)2h a h >=， 所以解得()1式12a ⇔≥，()2式⇔∅. 二、填空题【解析】14.设切点为00(,)x y ，则由000'()cos sin 1f x x x =+=且0(,)22x ππ∈-，得00x =， 01y =-，故所求的切线方程为10x y --=（或1y x =-）.15. 设圆锥母线长为l ,由SAB ∆为等边三角形，且面积为24l =⇒=，又 设圆锥底面半径为r ，高为h ，则由轴截面的面积为8得8rh =，又2216r h +=，解得r =（或设轴截面顶角为S ，则由21sin 82l S =得90S =︒，可得圆锥底面直径2r =，）故2=1)S rl r πππ+=表.16. 因直线210x y +-=与230x y ++=平行，故点M 的轨迹为与两直线距离相等且平行 于两直线的直线，其方程为210x y ++=，即点M 00(,)x y 满足00210x y ++=，而满足 不等式0021y x >+的点在直线21y x =+的上方，易得直线210x y ++=与21y x =+的交点为31(,)55--，故问题转化为求射线（不含端点）00210x y ++=（035x <-）上的点 M 00(,)x y 与坐标原点(0,0)连线斜率、即00y x 的取值范围, 故0011(,)23OM y k x =∈-.三、解答题17.解：（1）由123a a ==得36p m +=，122()912a a p m +=+=，解得1,3p m ==，-------------------------------------------------------------------------------2分即233nn S =+，-------------①当2n ≥时，11233n n S --=+-------------②①-②得1233n n n a -=-，即13(2)n n a n -=≥，--------------------------------------------4分∵ 13a =不满足上式， ∴13,1;3, 2.n n n a n -=⎧=⎨≥⎩----------------------------------------------------------------------------------6分（2）依题意得31,1;log 1, 2.n n n b a n n =⎧==⎨-≥⎩-------------------------------------------------------7分当1n =时，1113T a b ==， 当2n ≥时，112233n n n T a b a b a b a b =++++213131323(1)n n -=⨯+⨯+⨯++⨯-223133131323(2)3(1)n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++⨯-+⨯-两式相减得：231233333(1)n n n T n --=-++++-⨯----------------------------------9分13(31)63(1)31n n n -⨯-=-+-⨯--3(32)152n n --=3(23)154n n n T -+=.-------------------------------------------------------------------------------11分 显然当1n =时，13T =符合上式 ∴3(23)154n n n T -+=-------------------------------------------------------------------------------12分 18.（1）证明：∵AB ⊥CD ，AB ⊥BE ，∴CD //EB ，--------------------------1分∵AC ⊥CD ，∴PC ⊥CD ，∴EB ⊥PC ，--------------------------------------------------------3分 且PC ∩BC =C ，∴EB ⊥平面PBC ，----------------------------------------------------------------------------------4分 又∵EB ⊂平面DEBC ，∴平面PBC ⊥平面DEBC ； ---------------------------------------5分（2）解：由（1）知EB ⊥平面PBC ，∴EB ⊥PB ，由PE 与平面PBC 所成的角为45°得∠EPB =45°，--------------------------------6分∴△PBE 为等腰直角三角形，∴PB =EB ，∵AB //DE ，结合CD //EB 得BE =CD =2，∴PB =2，故△PBC 为等边三角形，--------------------7分取BC 的中点O ，连结PO ，∵ PO ⊥BC ，∴PO ⊥平面EBCD ，--------------------8分以O 为坐标原点，过点O 与BE 平行的直线为x 轴，CB 所在的直线为y 轴，OP 所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系如图，则(010),(2,1,0),(2,1,0)B E D -，，，P ，从而(0,2,0)DE =,(2,0,0)BE =, (2,1,PE = ，设平面PDE 的一个法向量为(,,)m x y z =，平面PEB 的一个法向量为(,,)n a b c =，则由00m DE m PE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得2020y x y =⎧⎪⎨+-=⎪⎩，令2z =-得(3,0,2)m =--，----------------9分由00n BE n PE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得2020a a b =⎧⎪⎨+=⎪⎩ ，令1c =得(0,3,1)n =，------------------------10分 设二面角D -PE -B 的大小为θ，则cos ||||7m n m n θ⋅===⋅⨯， 即二面角D -PE -B 的余弦值为-.----------------------------------------------------------------12分 （其它解法请参照给分！） 19.解：（1）设明年常规稻A 的单价为ξ，则ξ的分布列为3.62，估计明年常规稻A 的单价平均值为3.62（元／公斤）；----------------------------------------3分（2）杂交稻B 的亩产平均值为：[(730790800)0.005(740780)0.01(750770)0.027600.025]10++⨯++⨯++⨯+⨯⨯ 116152304190762=+++=．--------------------------------------------------------------------5分 依题意知杂交稻B 的亩产超过765公斤的概率为：0.2+0.1+0.52=0.4p =⨯，则将来三年中至少有二年，杂交稻B 的亩产超过765公斤的概率为： 22330.4(10.4)0.40.352C ⨯⨯-+=．--------------------------------------------------------------7分（3）因为散点图中各点大致分布在一条直线附近，所以可以判断杂交稻B 的单价y 与种植亩数x 线性相关， ----------------------------------------------------8分由题中提供的数据得：0.520.80.65b -==-，由y bx a =+ 2.820.8 1.60 4.10a y bx =-=+⨯=，所以线性回归方程为ˆ0.8 4.10yx =-+，------------------------------------10分 估计明年杂交稻B 的单价ˆ0.82 4.10 2.50y=-⨯+=元／公斤； 估计明年杂交稻B 的每亩平均收入为762 2.501905⨯=元／亩，估计明年常规稻A 的每亩平均收入为500()500 3.621810E ξ⨯=⨯=元／亩，因1905>1875，所以明年选择种植杂交稻B 收入更高． -----------------------------12分20.解：（1）由点P 在椭圆上得223112a b +=，2c =2， -------------------------------1分 2222322b a a b ∴+=，c =1，又222a b c =+，222232(1)2(1)b b b b ∴++=+，422320b b ∴--=，解得22b =，得23a =，∴椭圆C 的方程为22132x y +=；----------------------------------------4分 （2）（i ）设直线l 的方程为y kx t =+，联立22132x y +=，得222(32)6360k x ktx t +++-=， ∴2121222636(1)(2)3232kt t x x x x k k -+=-=++------------------------------------------5分 又22112(1)3x y =-，22222(1)3x y =-， 2222221122||||()()OA OB x y x y +=+++ 22121()43x x =++212121[()2]43x x x x =+-+ 22221636[()2]433232kt t k k -=-⨯+++ 222221(1812)362443(32)k t k k -++=⨯++----------------------------------------------------------------8分 要使22||||OA OB +为常数，只需218120k -=，得223k =，------------------------------9分 ∴22||||OA OB+212424453(22)+=⨯+=+， ∴k ==，这个常数为5； ----------------------------------------------------------10分 （ii ）b k a =±，这个常数为22a b +．------------------------------------------------------------12分 21.解：（1）222111'()(0)ax x f x a x x x x--=--=>，--------------------------------1分 设2()1(0)g x ax x x =-->，①当0a ≤时，()0g x <，'()0f x <；------------------------------------------------------------2分 ②当0a >时，由()0gx =得x =0x =<， 记x =0x =则201()1()(),(0)2g x ax x a x x x x a =--=-->，∵102x a-> ∴当0(0,)x x ∈时，()0g x <，'()0f x <，当0(,)x x ∈+∞时，()0g x >，'()0f x >，--------------------------------------4分∴当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，()f x在(0,上单调递减，在)+∞上单调递增．---5分 （2）不妨设12x x <，由已知得1()0f x =，2()0f x =， 即1111ln ax x b x =--，2221ln ax x b x =--，---------------------------------------------------6分 两式相减得21212111()ln ln ()a x x x x x x -=---， ∴212121ln ln 1x x a x x x x -=+-，---------------------------------------------------------------------------7分 要证121222x x ax x ++>， 即要证2112122121ln ln 122()x x x x x x x x x x -++>+-， 只需证21121221ln ln 2x x x x x x x x -+>⋅⋅-， 只需证222121212ln x x x x x x ->，即要证2121212ln x x x x x x ->，---------------------------------------9分 设21x t x =，则1t >，只需证12ln t t t->，------------------------------------------------------10分 设1()2ln (1)h t t t t t=-->，只需证()0h t >， 222221221(1)'()10t t t h t t t t t -+-=+-==>， ()h t ∴在(1,)+∞上单调递增，()(1)0h t h ∴>=，得证．---------------------------------------------------------------------------12分22.解：（1）由22cos 2a ρθ=得2222(cos sin )a ρθθ-=， -------------------------1分 又cos x ρθ=，sin y ρθ=，得222x y a -=，∴C 的普通方程为222x y a -=，-------------------------------------------------------------------2分 ∵过点(2,1)P 、倾斜角为30︒的直线l的普通方程为2)13y x =-+，--------------3分由22x t =+得112y t =+ ∴直线l的参数方程为212x ty ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ （t 为参数）；-------------------------------------------5分（2）将212x ty ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入222x y a -=，得221)2(3)0t t a ++-=，----------------------------------------------------------------6分依题意知221)]8(3)0a ∆=-->则上方程的根1t 、2t 就是交点A 、B 对应的参数，∵2122(3)t t a ⋅=-，由参数t 的几何意义知1212||||||||||PA PB t t t t ⋅=⋅=⋅，得12||2t t ⋅=，∵点P 在A 、B 之间，∴120t t ⋅<，∴122t t ⋅=-，即22(3)2a -=-，解得24a =（满足0∆>），∴2a =±，-------------8分 ∵1212||||||||||||||PA PB t t t t -=-=+，又121)t t +=-，∴||||||2PA PB -=．-------------------------------------------------------------------------10分 23.解：（1）法一：|()|||1||1|||(1)(1)|2f x x x x x =+--≤+--=，∴ 2()2f x -≤≤， ()f x 的值域为[-2, 2]；----------------------------------------------------4分 法二：2,1()2,112,1x f x x x x -<-⎧⎪=-≤<⎨⎪≥⎩，得2()2f x -≤≤，∴()f x 的值域为[-2, 2]；----------------------------------------------------------------------------4分 （2）由()3f x x a ≤+得|1||1|3a x x x ≥+---，由[2,1]x ∈-得10x -≤，∴ |1|13|1|21a x x x x x ≥++--=+--，----------------------------------------------------5分 设()|1|21g x x x =+-- (21)x -≤≤，①当21x -≤≤-时，10x +≤，()(1)2132g x x x x =-+--=--，∴ max ()(2)4g x g =-=；--------------------------------------------------------------------------7分 ②当11x -<≤时，10x +>，()121g x x x x =+--=-，∴ ()(1)1g x g <-=；-------------------------------------------------------------------------------9分 综上知，max ()4g x =，由()a g x ≥恒成立，得4a ≥，即a 的取值范围是[4,)+∞．---------------------------------10分。

揭阳市 2019 年高考一模数学（理科）一、选择题： 本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合 Ax x2x 60 ，B=（－ 2，2），则 C A B=（ ）A ．（－ 3，－ 2）B ．（－ 3，－ 2]C ．（ 2， 3）D ．（2，3）2．已知向量 a (1,2), b(2, 1), c (1, ) ，若 (a b)c ，则的值为（） A ．－ 3B ．1C ．1D ．333．已知z 是复数 z 的共轭复数， ( z 1)(z 1) 是纯虚数，则 z = （）3A ．2B ．3C ．1D ．1224．若 sin(2)3，则 sin 4cos4的值为（）25A ．4B ．3C ．4D ．355555．某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式，为比较两种生产方式的效率， 选取 40 名工人，将他们随机分成 两组，每组 20 人，第一组工人用 第一种生产方式，第二组工人用 第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间 （单位：min ）绘制了如右茎叶图：则下列结论中表述不正确 的是（ ）．．．A ．第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需要的时间至少80 分钟B ．第二种生产方式比第一种生产方式效率更高C ．这 40 名工人完成任务所需要的时间的中位数为80D ．无论哪种生产方式的工人完成生产任务平均所需要的时间都是6．函数 f (x)在 [0，+∞）单调递减，且为偶函数．若f (2)=－ 1，则满足80 分钟f (x －3) －1 的x 的取值范围是（）A ．[1 ， 5]B ．[1 ，3]7．如图，网格纸上虚线小正方形的边长为C ． [3，5]D ．[ －2，2]1，实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A ． 64B ． 52C ． 53 1D ．56338．某班星期一上午安排 5 节课，若数学 2 节，语文、物理、化学各 1 节，且物理、化学不相邻， 2 节数学相邻，则星期一上午不同课程安排种数为（）A ．6B ．12C ．24D ． 489．过双曲线x 2 y 21(a 0, b 0) 两焦点且与 x 轴垂直的直线与双曲线的四a2b2个交点组成一个正方形，则该双曲线的率心率为（）A ． 5 1B ． 5+1C ．3D ．22210．右图为中国古代刘徽的《九章算术》中研究“勾股容方”问题的图形，图中 ABC 为直角三角形，四边形 DEFC 为它的内接正方形，记正方形为区域I ，图中阴影部分为区域 II ，在 ABC 上任取一点，此点取自区域I 、II 的概率分别记为 p 1 、 p 2 ，则（ ）A ． p 1p 2B ． p 1 p 2C ． p 1p 2D ． p 1p 211．已知 ABC 中， AB=AC=3 ， sinABC2sin A ，延长 AB 到 D 使 BD=AB ，连结 CD ，则CD 的长为（）A ．3 3B ． 3 10C ．3 6D ． 3 622212．已知函数 f ( x) cosx ， g( x)e axa1(a 0) ，若 x , x[0,1] ，使得 f (x ) g (x ) ，则21 212实数 a 的取值范围是（）A ． [ 1 ,0)B ． [ 1, )C ． ( ,0) [ 1,)[1 ,0)(0, 1]222D ．2 2二、填空题： 本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．13．命题“ x [ 1,1], x 23x 1 0 ”的否定是．14．在曲线f ( x) sin x cos x ，(,)的所有切线中，斜率为 1 的切线方程为．x2 215．已经圆锥的顶点为 S ，底面圆周上的两点 A 、 B 满足 SAB 为等边三角形，且面积为 4 3 ，又圆锥轴截面的面积为 8，则圆锥的表面积为 ．．已经点 P 在直线 x 2 y 1 0上，点 Q 在直线x 2 y 3 0上， M( x 0 , y 0 ) 为 PQ 的中点，且16y 0 2x 0 1，则 y 0的取值范围是．x 0三、解答题： 共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ．第 17 题~第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22 题 ~第 23 题为选考题，考生根据要求做答．（一）必考题：共60 分17．（12分）已知数列{ a n}的前n项和为S n，且2S n3n p m ，其中（p、m为常数），又a1a2 3 ．（1）求数列 { a n} 的通项公式；（2）设 b n log3 a n，求数列 { a n b n } 的前 n 项和 T n．18．（12分）如图，在四边形ABED中，AB∥DE，AB BE，点C在AB 上，且AB CD，AC=BC=CD=2 ，现将ACD沿 CD 折起，使点 A到达点 P 的位置，且 PE 与平面 PBC 所成的角为 45°．（1）求证：平面 PBC平面DEBC；（2）求二面角 D-PE-B 的余弦值．19．（12 分）某地种植常规稻 A 和杂交稻 B，常规稻 A 的亩产稳定为 500 公斤，今年单价为 3.50 元 /公斤，估计明年单价不变的可能为10%，变为3.60元 /公斤的可能为60%，变为3.70元/公斤的可能为 30%．统计杂交稻 B 的亩产数据，得到亩产的频率分布直方图如下：统计近 10 年来杂交水稻 B 的单价（单位：元/公斤）与种植亩数（单位：万亩）的关系，得到的 10 组数据记为 ( x i , y i )(i1,2,,10) ，并得到散点图如下，参考数据见下．（1）估计明年常规稻 A 的单价平均值；（2）在频率分布直方图中，各组的取值按中间值来计算，求杂交稻 B 的亩产平均值；以频率作为概率，预计将来三年中至少有二年，杂交稻 B 的亩产超过 765 公斤的概率；（3）判断杂交稻 B 的单价 y（单位：元/公斤）与种植亩数（单位：万亩）是否线性相关？若相关，试根据以下的参考数据求出y 关于 x 的线性回归方程；调查得知明年此地杂交水稻 B的种植亩数预计为 2 万亩．若在常规稻 A 和杂交稻 B 中选择，明年种植哪种水稻收入更高？1010统计参考数据： x 1.60， y 2.82 ，(x i x)( y i y)0.52 ，(x i x)20.65 ，i1i110附：线性回归方程 y bx a ，b( x i x)( y i y)i 1．10(x i x) 2i 120．（12分）已知点(6,1) 在椭圆C：x2y21(a0, b 0)上，椭圆C的焦距为2．Pa2b22（1）求椭圆 C 的方程；（2）斜率为定值 k 的直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点，且满足 | OA |2| OB |2的值为常数（其中 O 为坐标原点）（i ）求 k 的值以及这个常数；（ii ）写出一般性结论（不用证明）：斜率为为定值 k 的直线 l与椭圆 x 2y2 1(a 0, b 0)a2b2交于 A、B 两点，且满足 | OA |2| OB |2的值为常数，则 k 的值以及这个常数是多少？21．（12分）设函数f ( x)ax1b(a、 b R) ．ln x（1）讨论 f (x)的单调性；x（2）若函数 f (x)有两个零点 x1、 x2，求证： x1 x2 2 2ax1x2．（二）选考题：共10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（ 10 分）以原点O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已经曲线22cos2 a （a R ，a为常数），过点P(2， 1)、倾斜角为30°的直线C 的极坐标方程为l 的参数方程满足x 23 t（t 为参数）．2（1）求曲线 C 的普通方程和直线l 的参数方程；（2）若直线l 与曲线 C 相交于A、B 两点（点P 在A、B 之间），且| PA | | PB | 2，求a 和 | PA || PB |的值．23．[选修4-5：不等式选讲]（ 10 分）已经函数 f ( x)| x1|| x1| ．（1）求函数 f (x)的值域；（2）若x[ 2,1] 时， f (x) 3x a ，求实数a的取值范围．。

揭阳市2019年高考一模数学(理科)试题 第1页（共12页）揭阳市2019高考一模数学 (理科)参考答案及评分说一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．一、选择题三、解答题17.解：（1）由123a a ==得36p m +=，122()912a a p m +=+=，解得1,3p m ==，-------------------------------------------------------------------------------2分即233n n S =+，-------------①当2n ≥时，11233n n S --=+-------------②①-②得1233n n n a -=-，即13(2)n n a n -=≥，-----------------------------4分∵ 13a =不满足上式，∴13,1;3, 2.n n n a n -=⎧=⎨≥⎩-------------------------------------------------------6分（2）依题意得31,1;log 1, 2.n n n b a n n =⎧==⎨-≥⎩-------------------------------------------------------7分当1n =时，1113T a b ==， 当2n ≥时，112233n n n T a b a b a b a b =++++213131323(1)n n -=⨯+⨯+⨯++⨯-223133131323(2)3(1)n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++⨯-+⨯-两式相减得：231233333(1)n n n T n --=-++++-⨯-------------------------9分13(31)63(1)31n n n -⨯-=-+-⨯--3(32)152n n --=揭阳市2019年高考一模数学(理科)试题 第2页（共12页）3(23)154nn n T -+=.----------------------------------------------11分显然当1n =时，13T =符合上式∴3(23)154n n n T -+=-------------------------------------------12分18.解：（1）证明：∵AB ⊥CD ，AB ⊥BE ，∴CD//EB ，------------------1分∵AC ⊥CD ，∴PC ⊥CD ，∴EB ⊥PC ，-----------------------3分 且PC∩BC=C ，∴EB ⊥平面PBC ，------------------------------------------4分又∵EB ⊂平面DEBC ，∴平面PBC ⊥平面DEBC ；-------------------------5分 （2）由（1）知EB ⊥平面PBC ，∴EB ⊥PB ，由PE 与平面PBC 所成的角为45°得∠EPB=45°，-----------------------6分 ∴△PBE 为等腰直角三角形，∴PB=EB ， ∵AB//DE ，结合CD//EB 得BE=CD=2，∴PB=2，故△PBC 为等边三角形，--------------------7分 取BC 的中点O ，连结PO ，∵ PO ⊥BC ，∴PO ⊥平面EBCD ，--------------------8分以O 为坐标原点，过点O 与BE 平行的直线为x 轴，CB 的直线为y 轴，OP 所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系如图， 则(010),(2,1,0),(2,1,0)B E D -，，，P ， 从而(0,2,0)DE =,(2,0,0)BE =,(2,1,PE = ，设平面PDE 的一个法向量为(,,)m x y z =，平面PEB 的一个法向量为(,,)n a b c =，则由00m DE m PE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得2020y x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，令2z =-得(3,0,2)m =--，-------------9分由00n BE n PE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得2020a a b =⎧⎪⎨+-=⎪⎩ ，令1c =得(0,3,1)n =，----------------------10分 设二面角D-PE-B 的大小为θ，则cos ||||7mn m n θ⋅===⋅⨯， 即二面角D-PE-B 的余弦值为分 (其它解法请参照给分！)19.解：（1）设明年常规稻A 的单价为ξ，则ξ的分布列为揭阳市2019年高考一模数学(理科)试题 第3页（共12页）() 3.5E ξ=⨯估计明年常规稻A 的单价平均值为3.62（元／公斤）；-----------------------------3分 （2）杂交稻B 的亩产平均值为：[(730790800)0.005(740780)0.01(750770)0.027600.025]10++⨯++⨯++⨯+⨯⨯116152304190762=+++=．------------------------------------------------------5分 依题意知杂交稻B 的亩产超过765公斤的概率为：0.2+0.1+0.52=0.4p =⨯，则将来三年中至少二年，杂交稻B 的亩产超过765公斤的概率为：22330.4(10.4)0.40.352C ⨯⨯-+=．------------------------------------------------7分（3）因为散点图中各点大致分布在一条直线附近，所以可以判断杂交稻B 的单价y 与种植亩数x 线性相关，------------------------8分由题中提供的数据得：0.520.80.65b -==-，由y bx a =+得 2.820.8 1.60 4.10a y bx =-=+⨯=， 所以线性回归方程为ˆ0.8 4.10yx =-+，--------------------------------------------10分 估计明年杂交稻B 的单价ˆ0.82 4.10 2.50y=-⨯+=元／公斤； 估计明年杂交稻B 的每亩平均收入为762 2.501905⨯=元／亩，估计明年常规稻A 的每亩平均收入为500()500 3.621810E ξ⨯=⨯=元／亩，因1905>1875，所以明年选择种杂交稻B 收入更高．------------------------------------------------------12分 20.解：（1）由点P 在椭圆上得223112a b+=，2c =2，-----------------------------1分 2222322b a a b ∴+=，c =1，又222a b c =+， 222232(1)2(1)b b b b ∴++=+，422320b b ∴--=，解得22b =，得23a =，∴椭圆C 的方程为22132x y +=；----------------------------------------------4分 （2）（i ）设直线l 的方程为y kx t =+，联立22132x y +=， 得222(32)6360k x ktx t +++-=，∴2121222636(1)(2)3232ktt x x x x k k -+=-=++----------------------5分又22112(1)3x y =-，22222(1)3x y =-， 2222221122||||()()OA OB x y x y +=+++22121()43x x =++212121[()2]43x x x x =+-+揭阳市2019年高考一模数学(理科)试题 第4页（共12页）22221636[()2]433232kt t k k -=-⨯+++ 222221(1812)362443(32)k t k k -++=⨯++--------------------------------8分 要使22||||OA OB +为常数，只需218120k -=，得223k =，---------------9分∴22||||OA OB +212424453(22)+=⨯+=+，∴k ==，这个常数为5；-------------------------------10分（ii ）b k a=±，这个常数为22a b +．----------------------------------------12分 21.解：（1）222111'()(0)ax x f x a x x x x--=--=>，----------------------------------1分 设2()1(0)g x ax x x =-->，①当0a ≤时，()0g x <，'()0f x <；----------------------------------------------2分 ②当0a >时，由()0g x =得x =0x =<，记x =0x =则201()1()(),(0)2g x ax x a x x x x a =--=-->，∵102x a->∴当0(0,)x x ∈时，()0g x <，'()0f x <，当0(,)x x ∈+∞时，()0g x >，'()0f x >，--------------------------------------4分 ∴当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递减； 当0a >时，()f x在(0,上单调递减，在)+∞上单调递增．-----5分（2）不妨设12x x <，由已知得1()0f x =，2()0f x =， 即1111ln ax x b x =--，2221ln ax x b x =--，---------------------------------------6分 两式相减得21212111()ln ln ()a x x x x x x -=---， ∴212121ln ln 1x x a x x x x -=+-，----------------------------------------------7分揭阳市2019年高考一模数学(理科)试题 第5页（共12页）要证121222x x ax x ++>， 即要证2112122121ln ln 122()x x x x x x x x x x -++>+-，只需证21121221ln ln 2x x x x x x x x -+>⋅⋅-，只需证222121212ln x x xx x x ->，即要证2121212ln x x x x x x ->，---------------------------9分设21x t x =，则1t >，只需证12ln t t t->，-------------------------------------------10分 设1()2ln (1)h t t t t t=-->，只需证()0h t >，222221221(1)'()10t t t h t t t t t -+-=+-==>，()h t ∴在(1,)+∞上单调递增，()(1)0h t h ∴>=，得证．-------------------------------------------------------------------12分22.解：（1）由22cos 2a ρθ=得2222(cos sin )a ρθθ-=，--------------------------1分又cos x ρθ=，sin y ρθ=，得222x y a -=，∴C 的普通方程为222x y a -=，-----------------------------------------------------2分 ∵过点(2,1)P 、倾斜角为30︒的直线l的普通方程为2)1y x =-+，------3分由2x =+得112y t =+ ∴直线l的参数方程为212x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ （t 为参数）；-----------------------------------5分 （2）将212x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入222x y a -=，得221)2(3)0t t a ++-=，----------------------------------------------------6分依题意知221)]8(3)0a ∆=-->则上方程的根1t 、2t 就是交点A 、B 对应的参数，∵2122(3)t t a ⋅=-，揭阳市2019年高考一模数学(理科)试题 第6页（共12页）由参数t 的几何意义知1212||||||||||PA PB t t t t ⋅=⋅=⋅，得12||2t t ⋅=， ∵点P 在A 、B 之间，∴120t t ⋅<，∴122t t ⋅=-，即22(3)2a -=-，解得24a =（满足0∆>），∴2a =±，----------------------8分∵1212||||||||||||||PA PB t t t t -=-=+，又121)t t +=-，∴||||||2PA PB -=．--------------------------------------------------------------------------10分 23.解：（1）法一：|()|||1||1|||(1)(1)|2f x x x x x =+--≤+--=，∴ 2()2f x -≤≤， ()f x 的值域为[-2, 2]；-----------------------------------------4分法二：2,1()2,112,1x f x x x x -<-⎧⎪=-≤<⎨⎪≥⎩，得2()2f x -≤≤，∴()f x 的值域为[-2, 2]；-----------------------------------------------------------------4分 （2）由()3f x x a ≤+得|1||1|3a x x x ≥+---， 由[2,1]x ∈-得10x -≤，∴ |1|13|1|21a x x x x x ≥++--=+--，----------------------------------------5分 设()|1|21g x x x =+-- (21)x -≤≤，① 当21x -≤≤-时，10x +≤，()(1)2132g x x x x =-+--=--， ∴ max ()(2)4g x g =-=；-------------------------------------------------------------7分 ② 当11x -<≤时，10x +>，()121g x x x x =+--=-，∴ ()(1)1g x g <-=；-------------------------------------------------------------------9分 综上知，max ()4g x =，由()a g x ≥恒成立，得4a ≥，即a 的取值范围是[4,)+∞．----------------------10分。

试卷类型：A2019年揭阳市高中毕业班高考第一次模拟考试数学科试题本套试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡密封线内。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试题卷上。

3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 P （A +B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么 P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P .那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率k n k k n n P P C k P --=)1()( . 球的表面积公式：S =4πR 2 ，其中R 表示球的半径第Ⅰ卷（选择题，共50分）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若条件P ：x AB ∈则P ⌝是A.x A ∉或x B ∉B. x A ∉且x B ∉C.x A B ∈D. x A ∉或x B ∈2．函数()f x =的定义域为A.{|33}x x -≤≤B.{|311113}x x x x -≤<--<<<≤或或C.{|31}x x x ≤≠±且D.{|3113}x x x -≤<-<≤或 3. 已知sin(4x π-)＝13，则sin 2x 的值为 A. 79 B. 59 C. 49 D. 294． 不等式(1)(21)0x y x y -++-≤在坐标平面内表示的区域（用阴影部分表示）应是下图中的 A B C D5．某气象站天气预报准确率是80%，6次预报中至少有5次准确的概率是A. 556(80%)20%C ⋅ B.56(80%)20%(80%)⋅+C. 56(80%)(80%)+ D. 5566(80%)20%(80%)C ⋅+6.已知函数()()()()1112,3,xf x y fx f a f b ---==+=的反函数为若则22a b +的最小值为A.4B.8C.16D.7．设函数()224sin tan 2cos log 2x x x x f x k x ππ⎧⎛⎫-≠ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩在点2x π=处连续，则实数k 的值为A.116B. 12C. 1D.2 8．在正三棱锥S —ABC 中，侧棱SC ⊥侧面SAB ，侧棱，则此正三棱锥的外接球的表面积是A. 2πB. 4πC. 6πD. 8π9．若方程[]cos 2|cos |,0,2x x k x π+∈＝有4个不同的根，则k 的取值范围是A. 01k ≤≤B. 0<k<1C. 1<k<3D.k>310．若对任意实数x 都有()0,f x >且()()224log 31log f x f x +=++，已知()12,f =则()10f 的值为A ．128 B.256 C.512 D.1024第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答案卡中的相应横线上.11．从6个教室中至少安排3个教室供学生上选修课, 则可能安排的情况共有 种.（用数字作答）12．已知定点A 、B 且|AB|=6，动点P 满足|PB|－|PA|=4，则|PA|的最小值是 . 13.设曲线C 的方程为()y f x =，若lim x yk x→∞=，且lim()x y kx b →∞-=，则y kx b =+是曲线C 的渐近线.根据以上定义可得曲线121y x x=+-的一条渐近线方程为 . 14.如图，在一个正方体的表面涂上颜色，若将它的棱（1）都3等分； （2）都n （n ≥3）等分。

2019届广东省揭阳市高三第一次模拟考试数学（理科）本试卷共23题，共150分，共4页，考试结束后将本试卷和答题卡一并收回．注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚.2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题目的顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{|60}A x x x =+-<，(2,2)B =-，则A C B =A ．(3,2)--B ．(3,2]--C ．(2,3)D ．[2,3)2．已知向量(1,2),(2,1),(1,)a b c λ==-=，若()a b c +⊥，则λ的值为A ．3-B ．13-C ．13D ．3 3．已知z 是复数z 的共轭复数，(1)(1)z z +-是纯虚数，则||z =A ．2B ．32C ．1D ．12 4．若3sin(2)25πα-= ，则44sin cos αα-的值为 A ．45 B ．35 C ．45- D ．35- 5．某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min ）绘制了如右茎叶图：则下列结论中表述不正确．．．的是 A. 第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需要的时间至少80分钟B. 第二种生产方式比第一种生产方式效率更高C. 这40名工人完成任务所需时间的中位数为80BD. 无论哪种生产方式的工人完成生产任务平均所需要的时间都是80分钟.6. 函数()f x 在[0,)+∞单调递减，且为偶函数．若(12)f =-，则满足3()1x f -≥-的x 的取值范围是A ．[1,5]B ．[1,3]C ．[3,5]D ．[2,2]- 7. 如图，网格纸上虚线小正方形的边长为1，实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A ．643B ．52C ．1533D ．56 8．某班星期一上午安排5节课，若数学2节，语文、物理、化学各1节，且物理、化学不相邻，2节数学相邻，则星期一上午不同课程安排种数为A ．6B ．12C ．24D ．489. 过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>两焦点且与x形，则该双曲线的离心率为A 1BC ．32D ．2 10. 右图为中国古代刘徽的《九章算术注》中研究“勾股容方”问题的图形，图中△ABC 为直角三角形，四边形DEFC 为它的内接正方形，记正方形为区域Ⅰ，图中阴影部分为区域Ⅱ，在△ABC 上任取一点，此点取自区域Ⅰ、Ⅱ的概率分别记为1p 、2p ，则A ．12p p =B ．12p p <C ．12p p ≤D ．12p p ≥ 11．已知△ABC 中，AB=AC=3，sin 2sin ABC A ∠= ，延长AB 到D 使得BD=AB ，连结CD ，则CD 的长为A ．BCD ．12．已知函数()cos f x x π=，1()(0)2ax g x e a a =-+≠，若12[0,1]x x ∃∈、，使得12()()f x g x =，则实数a 的取值范围是 A ．1[,0)2- B ．1[,)2+∞ C ．1[,0)[,)2-∞+∞ D ．11[,0)(0,]22- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．命题“对2[1,1],310x x x ∀∈-+->”的否定是 _______； 14．在曲线()sin cos f x x x =-，(,)22x ππ∈-的所有切线中，斜率为1的切线方程为 . 15．已知圆锥的顶点为S ，底面圆周上的两点A 、B 满足SAB ∆为等边三角形，且面积为知圆锥轴截面的面积为8，则圆锥的表面积为 .16. 已知点P 在直线210x y +-=上，点Q 在直线230x y ++=上，M 00(,)x y 为PQ 的中点，且0021y x >+，则00y x 的取值范围是 .。

广东省揭阳市2019届高三数学第一次模拟考试试题 理本试卷共23题，共150分，共4页，考试结束后将本试卷和答题卡一并收回． 注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚.2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题目的顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{|60}A x x x =+-<，(2,2)B =-，则A C B =A ．(3,2)--B ．(3,2]--C ．(2,3)D ．[2,3)2．已知向量(1,2),(2,1),(1,)a b c λ==-=，若()a b c +⊥，则λ的值为A ．3-B ．13-C ．13D ．33．已知z 是复数z 的共轭复数，(1)(1)z z +-是纯虚数，则||z =A ．2B ．32C ．1D ．124．若3sin(2)25πα-= ，则44sin cos αα-的值为 A ．45 B ．35 C ．45-D ．35-5．某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方 式．为比较两种生产方式的效率，选取40名 工人，将他们随机分成两组，每组20人， 第一组工人用第一种生产方式，第二组工人 用第二种生产方式．根据工人完成生产任务 的工作时间（单位：min ）绘制了如右茎叶图：B则下列结论中表述不正确．．．的是 A. 第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需要的时间至少80分钟 B. 第二种生产方式比第一种生产方式效率更高 C. 这40名工人完成任务所需时间的中位数为80D. 无论哪种生产方式的工人完成生产任务平均所需要的时间都是80分钟.6. 函数()f x 在[0,)+∞单调递减，且为偶函数．若(12)f =-，则满足3()1x f -≥-的x 的取值范围是 A ．[1,5]B ．[1,3]C ．[3,5]D ．[2,2]-7. 如图，网格纸上虚线小正方形的边长为1，实线画出的是某几何体 的三视图，则该几何体的体积为 A ．643B ．52C ．1533D ．56 8．某班星期一上午安排5节课，若数学2节，语文、物理、化学各1节， 且物理、化学不相邻，2节数学相邻，则星期一上午不同课程安排种数为 A ．6 B ．12 C ．24 D ．489. 过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>两焦点且与x 轴垂直的直线与双曲线的四个交点组成一个正方形，则该双曲线的离心率为 A1B．12 C ．32D ．210. 右图为中国古代刘徽的《九章算术注》中研究“勾股容方”问题的图形，图中△ABC 为直角三角形，四边形DEFC 为它的内接正方形，记正方 形为区域Ⅰ，图中阴影部分为区域Ⅱ，在△ABC 上任取一点，此点取 自区域Ⅰ、Ⅱ的概率分别记为1p 、2p ，则A ．12p p =B ．12p p <C ．12p p ≤D ．12p p ≥11．已知△ABC 中，AB=AC=3，sin 2sin ABC A ∠= ，延长AB 到D 使得BD=AB ，连结CD ，则CD 的长为 A ．BCD．12．已知函数()c o s f x x π=，1()(0)2ax g x e a a =-+≠，若12[0,1]x x ∃∈、，使得12()()f x g x =，则实数a 的取值范围是A ．1[,0)2-B ．1[,)2+∞C ．1[,0)[,)2-∞+∞D ．11[,0)(0,]22- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．命题“对2[1,1],310x x x ∀∈-+->”的否定是 _______； 14．在曲线()sin cos f x x x =-，(,)22x ππ∈-的所有切线中，斜率为1的切线方程为 .15．已知圆锥的顶点为S ，底面圆周上的两点A、B 满足SAB ∆为等边三角形，且面积为又知圆锥轴截面的面积为8，则圆锥的表面积为 .16. 已知点P 在直线210x y +-=上，点Q 在直线230x y ++=上，M 00(,)x y 为PQ 的中点，且0021y x >+，则y x 的取值范围是 . 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答． （一）必考题：共60分 17.（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且23nn S p m =⋅+，（其中p m 、为常数），又123a a ==.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设3log n n b a =，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T ． 18.（12分）如图，在四边形ABED 中，AB//DE ，AB ⊥BE ，点C 在AB 上， 且AB ⊥CD ，AC=BC=CD=2，现将△ACD 沿CD 折起，使点A 到达点P 的位置，且PE 与平面PBC 所成的角为45°.（1）求证：平面PBC ⊥平面DEBC ； （2）求二面角D-PE-B 的余弦值. 19.（12分）某地种植常规稻A 和杂交稻B ，常规稻A 的亩产稳定为500公斤，今年单价为3.50元／公斤，估计明年单价不变的可能性为10%，变为3.60元／公斤的可能性为60%，变为3.70元／公斤的可能性为30%．统计杂交稻B 的亩产数据，得到亩产的频率分布直方图如下；统计近10年来杂交稻B 的单价（单位：元/公斤）与种植亩数（单位：万亩）的关系，得到的10组数据记为(,)(1,2,10)i i x y i =，并得到散点图如下，参考数据见下．（1）估计明年常规稻A 的单价平均值；（2）在频率分布直方图中，各组的取值按中间值来计算，求杂交稻B 的亩产平均值；以频率作为概率，预计将来三年中至少有二年，杂交稻B 的亩产超过765公斤的概率； （3）判断杂交稻B 的单价y （单位：元/公斤）与种植亩数x （单位：万亩）是否线性相关？若相关，试根据以下的参考数据求出y 关于x 的线性回归方程；调查得知明年此地杂交稻B 的种植亩数预计为2万亩．若在常规稻A 和杂交稻B 中选择，明年种植哪种水稻收入更高？统计参考数据： 1.60x =， 2.82y =，101()()0.52iii x x yy =--=-∑，1021()0.65i i x x =-=∑，附：线性回归方程ˆybx a =+，121()()()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑．20.（12分）已知点P 在椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>上，椭圆C 的焦距为2. （1）求椭圆C 的方程；（2）斜率为定值k 的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，且满足22||||OA OB +的值为常数，（其中O 为坐标原点）（i ）求k 的值以及这个常数；（ii ）写出一般性结论（不用证明）：斜率为定值k 的直线l 与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>交于A 、B 两点，且满足22||||OA OB +的值为常数，则k 的值以及这个常数是多少？ 21.（12分）设函数1()ln f x ax x b x=-++()a b R ∈、， （1）讨论()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有两个零点1x 、2x ，求证：121222x x ax x ++>．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22. [选修4-4：坐标系与参数方程] （10分）以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为22cos 2a ρθ=（a R ∈,a 为常数），过点(2,1)P 、倾斜角为30︒的直线l 的参数方程满足2x =+，（t 为参数）． （1）求曲线C 的普通方程和直线l 的参数方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点（点P 在A 、B 之间），且||||2PA PB ⋅=，求a 和||||||PA PB -的值．23. [选修4-5：不等式选讲] (10分） 已知函数()|1||1|f x x x =+--， （1）求函数()f x 的值域；（2）若[2,1]x ∈-时，()3f x x a ≤+，求实数a 的取值范围．揭阳市2019高考一模数学 （理科）参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数． 一、选择题递增，由()(22)1f f =-=-，则23215x x -≤-≤⇒≤≤.故选D. 法二：由3()1x f -≥-得()2)3(f x f ≥-或3()(2)x f f ≥--，即303532x x x -≥⎧⇒≤≤⎨-≤⎩或301332x x x -<⎧⇒≤<⎨-≥-⎩，综合得15x ≤≤. 7. 由三视图知该几何体为一长方体与一直三棱柱的组合体，其体积为2143414562⨯+⨯⨯⨯=.8. 第一步：将两节数学捆在一起与语文先进行排列有22A 种排法，第二步：将物理、化学在第一步排后的3个空隙中选两个插进去有23A 种方法，根据乘法原理得不同课程安排种数为222312=A A .9. 将x c =代入双曲线的方程得4222b b y y a a =⇒=±，则222b c ac c a a=⇒=-11e e⇒-=，解得12e =. 10. 法一：设△ABC 两直角边的长分别为,a b ，其内接正方形的边长为x ，由x b xa b-=得abx a b=+，则122()ab p a b =+，222122211()()ab a b p p a b a b +=-=-=++22()ab a b ≥+（当且仅当a b =时取等号）．法二（特殊法）：设1,2,BC AC ==CD x =，则23x =，故12445,1999p p ==-=，从而排除A 、D ，当△ABC 为等腰直角三角形时12p p =，排除B ，故选C ． 11. 由sin 2sin ABC A ∠=结合正弦定理得1322BC AC ==，在等腰三角形ABC 中 311cos 434ABC ∠=⨯=，从而1cos 4DBC ∠=-，由余弦定理得：2222cos CD BD BC BD BC DBC =+-⋅⋅∠272=，故2CD =.12. 设F 、G 分别为函数()f x 与()g x 定义在区间上[0,1]上的值域，则[1,1]F =-,当a >0时，1a e >，1()()2a x g x e a =-+单调递增，当a <0时，()g x 单调递减， 31[,],(0);2213[,],(0).22a a a e a a G e a a a ⎧-+-+>⎪⎪=⎨⎪-+-+<⎪⎩12[0,1]x x ∃∈、使得12()()f x g x =F G φ⇔≠()()003111122131122a a a a a e a e a a ⎧⎧⎪⎪><⎪⎪⎪⎪⇔-+≤-+≤⎨⎨⎪⎪⎪⎪-+≥--+≥-⎪⎪⎩⎩或2，因为1()2a h a e a =-+在(0,)+∞上递增，在(,0)-∞上递减，所以3()(0)2h a h >=， 所以解得()1式12a ⇔≥，()2式⇔∅. 二、填空题解析：14.设切点为00(,)x y ，则由000'()cos sin 1f x x x =+=且0(,)22x ∈-，得00x =，01y =-，故所求的切线方程为10x y --=（或1y x =-）.15. 设圆锥母线长为l ,由SAB ∆为等边三角形，且面积为24l =⇒=，又设圆锥底面半径为r ，高为h ，则由轴截面的面积为8得8rh =，又2216r h +=，解得r =（或设轴截面顶角为S ，则由21sin 82l S =得90S =︒，可得圆锥底面直径2r =，）故2=1)S rl r πππ+=表.16. 因直线210x y +-=与230x y ++=平行，故点M 的轨迹为与两直线距离相等且平行于两直线的直线，其方程为210x y ++=，即点M 00(,)x y 满足00210x y ++=，而满足不等式0021y x >+的点在直线21y x =+的上方，易得直线210x y ++=与21y x =+的交点为31(,)55--，故问题转化为求射线（不含端点）00210x y ++=（035x <-）上的点M 00(,)x y 与坐标原点(0,0)连线斜率、即00y x 的取值范围, 故0011(,)23OM y k x =∈-.三、解答题17.解：（1）由123a a ==得36p m +=，122()912a a p m +=+=，解得1p m ==，-------------------------------------------------------------------------------2分即233nn S =+，-------------①当2n ≥时，11233n n S --=+-------------②①-②得1233n n n a -=-，即13(2)n n a n -=≥，--------------------------------------------4分 ∵ 13a =不满足上式，∴13,1;3, 2.n n n a n -=⎧=⎨≥⎩----------------------------------------------------------------------------------6分（2）依题意得31,1;log 1, 2.n n n b a n n =⎧==⎨-≥⎩-------------------------------------------------------7分当1n =时，1113T a b ==， 当2n ≥时，112233n n n T a b a b a b a b =++++213131323(1)n n -=⨯+⨯+⨯++⨯-223133131323(2)3(1)n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++⨯-+⨯-两式相减得：231233333(1)n n n T n --=-++++-⨯----------------------------------9分13(31)63(1)31n n n -⨯-=-+-⨯--3(32)152n n --=3(23)154n n n T -+=.-------------------------------------------------------------------------------11分显然当1n =时，13T =符合上式∴3(23)154n n n T -+=-------------------------------------------------------------------------------12分18.解：（1）证明：∵AB⊥CD ，AB ⊥BE ，∴CD//EB ，---------------------------------------------1分∵AC⊥CD，∴PC⊥CD，∴EB⊥PC，--------------------------------------------------------3分且PC∩BC=C， ∴EB⊥平面PBC，----------------------------------------------------------------------------------4分又∵EB⊂平面DEBC ，∴平面PBC ⊥平面DEBC ；---------------------------------------5分 （2）由（1）知EB⊥平面PBC ，∴EB⊥PB，由PE 与平面PBC 所成的角为45°得∠EPB=45°，分∴△PBE 为等腰直角三角形，∴PB=EB， ∵AB//DE，结合CD//EB 得BE=CD=2，∴PB=2，故△PBC 为等边三角形，--------------------7取BC 的中点O ，连结PO ，∵ PO⊥BC，∴PO⊥平面EBCD ，--------------------8分 以O 为坐标原点，过点O 与BE 平行的直线为x 轴，CB 所在 的直线为y 轴，OP 所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系如图， 则(010),(2,1,0),(2,1,0)B E D -，，，P ， 从而(0,2,0)DE =,(2,0,0)BE =,(2,1,PE = ，设平面PDE 的一个法向量为(,,)m x y z =，平面PEB 的一个法向量为(,,)n a b c =，则由00m D E m P E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得2020y x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，令2z =-得(3,0,2)m =--，----------------9分由00n BE n PE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得2020a a b =⎧⎪⎨+=⎪⎩ ，令1c =得(0,3,1)n =，------------------------10分设二面角D-PE-B 的大小为θ，则cos ||||7m n m n θ⋅===⋅⨯， 即二面角D-PE-B的余弦值为7-.----------------------------------------------------------------12分 （其它解法请参照给分！）19.解：（1）设明年常规稻A 的单价为ξ，则ξ的分布列为3.62=，估计明年常规稻A的单价平均值为3.62（元／公斤）；----------------------------------------3分 （2）杂交稻B 的亩产平均值为：[(730790800)0.005(740780)0.01(750770)0.027600.025]10++⨯++⨯++⨯+⨯⨯116152304190762=+++=．--------------------------------------------------------------------5分依题意知杂交稻B 的亩产超过765公斤的概率为：0.2+0.1+0.52=0.4p =⨯，则将来三年中至少有二年，杂交稻B 的亩产超过765公斤的概率为：22330.4(10.4)0.40.352C ⨯⨯-+=．--------------------------------------------------------------7分（3）因为散点图中各点大致分布在一条直线附近，所以可以判断杂交稻B 的单价y 与种植亩数x 线性相关，-------------------------------------------------------------------------------------------------8分 由题中提供的数据得：0.520.80.65b -==-，由y b x a=+ 2.820.8 1.60 4.10a y bx =-=+⨯=，所以线性回归方程为ˆ0.8 4.10yx =-+，--------------------------------------------------------------10分估计明年杂交稻B 的单价ˆ0.82 4.10 2.50y=-⨯+=元／公斤； 估计明年杂交稻B 的每亩平均收入为762 2.501905⨯=元／亩，估计明年常规稻A 的每亩平均收入为500()500 3.621810E ξ⨯=⨯=元／亩， 因1905>1875，所以明年选择种植杂交稻B收入更高． -------------------------------------------12分 20.解：（1）由点P 在椭圆上得223112a b+=，2c =2， --------------------------------------------1分2222322b a a b ∴+=，c =1，又222a b c =+，222232(1)2(1)b b b b ∴++=+，422320b b ∴--=，解得22b =，得23a =，∴椭圆C的方程为22132x y +=；-------------------------------------------------------------------4分（2）（i ）设直线l 的方程为y kx t =+，联立22132x y +=，得222(32)6360k x k t x t +++-=，∴2121222636(1)(2)3232ktt x x x x k k -+=-=++------------------------------------------5分又22112(1)3x y =-，22222(1)3x y =-， 2222221122||||()()OA OB x y x y +=+++22121()43x x =++212121[()2]43x x x x =+-+ 22221636[()2]433232kt t k k -=-⨯+++ 222221(1812)362443(32)k t k k -++=⨯++----------------------------------------------------------------8分要使22||||OA OB +为常数，只需218120k -=，得223k =，------------------------------9分∴22||||OA OB +212424453(22)+=⨯+=+，∴k ==，这个常数为5；----------------------------------------------------------10分（ii）bk a=±，这个常数为22a b +．------------------------------------------------------------12分21.解：（1）222111'()(0)ax x f x a x x x x--=--=>，---------------------------------------------1分设2()1(0)g x ax x x =-->， ①当a ≤时，()g x <，'()0f x <；------------------------------------------------------------2分②当0a >时，由()0g x =得x =或0x =<，记12x a=0x =则20()1()(0)g x ax x a x x x x =--=->，∵0x >∴当0(0,)x x ∈时，()0g x <，'()0f x <，当0(,)x x ∈+∞时，()0g x >，'()0f x >，--------------------------------------4分∴当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，()f x在(0,上单调递减，在)+∞上单调递增．---5分（2）不妨设12x x <，由已知得1()0f x =，2()0f x =，即1111ln ax x b x =--，2221ln ax x b x =--，---------------------------------------------------6分两式相减得21212111()ln ln ()a x x x x x x -=---， ∴212121ln ln 1x x a x x x x -=+-，---------------------------------------------------------------------------7分要证121222x x ax x ++>， 即要证2112122121ln ln 122()x x x x x x x x x x -++>+-，只需证21121221ln ln 2x x x x x x x x -+>⋅⋅-，只需证222121212ln x x xx x x ->，即要证2121212ln x x x x x x ->，---------------------------------------9分设21x t x =，则1t >，只需证12ln t t t->，------------------------------------------------------10分设1()2ln (1)h t t t t t=-->，只需证()0h t >，222221221(1)'()10t t t h t t t t t -+-=+-==>， ()h t ∴在(1,)+∞上单调递增， ()(1)0h t h ∴>=，得证．---------------------------------------------------------------------------12分 22.解：（1）由22cos 2a ρθ=得2222(cos sin )a ρθθ-=，--------------------------------------1分又cos x ρθ=，sin y ρθ=，得222x y a -=， ∴C的普通方程为222x y a -=，-------------------------------------------------------------------2分∵过点(2,1)P 、倾斜角为30︒的直线l 的普通方程为2)1y x =-+，--------------3分由22x =+得112y t =+ ∴直线l的参数方程为212x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ （t 为参数）；-------------------------------------------5分（2）将2212x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入222x y a -=，得221)2(3)0t t a ++-=，----------------------------------------------------------------6分依题意知221)]8(3)0a ∆=-->则上方程的根1t 、2t 就是交点A 、B 对应的参数，∵2122(3)t t a ⋅=-， 由参数t 的几何意义知1212||||||||||PA PB t t t t ⋅=⋅=⋅，得12||2t t ⋅=， ∵点P 在A 、B 之间，∴120t t ⋅<，∴122t t ⋅=-，即22(3)2a -=-，解得24a =（满足0∆>），∴2a =±，-------------8分∵1212||||||||||||||PA PB t t t t -=-=+，又121)t t +=-，∴||||||2PA PB -=．-------------------------------------------------------------------------10分23.解：（1）法一：|()|||1||1|||(1)(1)|2f x x x x x =+--≤+--=，∴2()2f x -≤≤，()f x 的值域为[-2, 2]；----------------------------------------------------4分法二：2,1()2,112,1x f x x x x -<-⎧⎪=-≤<⎨⎪≥⎩，得2()2f x -≤≤，∴()f x 的值域为[-2, 2]；----------------------------------------------------------------------------4分（2）由()3f x x a ≤+得|1||1|3a x x x ≥+---， 由[2,1]x ∈-得10x -≤， ∴|1|13|1|21a x x x x x ≥++--=+--，----------------------------------------------------5分设()|1|21g x x x =+-- (21)x -≤≤，① 当21x -≤≤-时，10x +≤，()(1)2132g x x x x =-+--=--， ∴max ()(2)4g x g =-=；--------------------------------------------------------------------------7分② 当11x -<≤时，10x +>，()121g x x x x =+--=-， ∴()(1)1g x g <-=；-------------------------------------------------------------------------------9分综上知，max ()4g x =， 由()a g x ≥恒成立，得4a ≥，即a 的取值范围是[4,)+∞．---------------------------------10分。

2019届广东省揭阳市高三第一次模拟考试数学（理科）本试卷共23题，共150分，共4页，考试结束后将本试卷和答题卡一并收回． 注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚.2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题目的顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{|60}A x x x =+-<，(2,2)B =-，则A C B =A ．(3,2)--B ．(3,2]--C ．(2,3)D ．[2,3)2．已知向量(1,2),(2,1),(1,)a b c λ==-=，若()a b c +⊥，则λ的值为A ．3-B ．13-C ．13D ．33．已知z 是复数z 的共轭复数，(1)(1)z z +-是纯虚数，则||z =A ．2B ．32C ．1D ．124．若3sin(2)25πα-= ，则44sin cos αα-的值为A ．45B ．35C ．45-D ．35-5．某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动， 提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名 工人，将他们随机分成两组，每组20人， 第一组工人用第一种生产方式，第二组工人 用第二种生产方式．根据工人完成生产任务 的工作时间（单位：min ）绘制了如右茎叶图： 则下列结论中表述不正确．．．的是 A. 第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需要的时间至少80分钟 B. 第二种生产方式比第一种生产方式效率更高C. 这40名工人完成任务所需时间的中位数为80D. 无论哪种生产方式的工人完成生产任务平均所需要的时间都是80分钟.B6. 函数()f x 在[0,)+∞单调递减，且为偶函数．若(12)f =-，则满足3()1x f -≥-的x 的取值范围是 A ．[1,5] B ．[1,3] C ．[3,5] D ．[2,2]-7. 如图，网格纸上虚线小正方形的边长为1，实线画出的是某几何体 的三视图，则该几何体的体积为A ．643B ．52C ．1533D ．56 8．某班星期一上午安排5节课，若数学2节，语文、物理、化学各1节， 且物理、化学不相邻，2节数学相邻，则星期一上午不同课程安排种数为 A ．6 B ．12 C ．24 D ．489. 过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>两焦点且与x方形，则该双曲线的离心率为A 1B ．12C ．32D ．210. 右图为中国古代刘徽的《九章算术注》中研究“勾股容方”问题的图形，图中△ABC 为直角三角形，四边形DEFC 为它的内接正方形，记正方 形为区域Ⅰ，图中阴影部分为区域Ⅱ，在△ABC 上任取一点，此点取 自区域Ⅰ、Ⅱ的概率分别记为1p 、2p ，则A ．12p p =B ．12p p <C ．12p p ≤D ．12p p ≥11．已知△ABC 中，AB=AC=3，sin 2sin ABC A ∠= ，延长AB 到D 使得BD=AB ，连结CD ，则CD 的长为A ．B C D ． 12．已知函数()cos f x x π=，1()(0)2ax g x e a a =-+≠，若12[0,1]x x ∃∈、，使得12()()f x g x =，则实数a 的取值范围是A ．1[,0)2-B ．1[,)2+∞C ．1[,0)[,)2-∞+∞D ．11[,0)(0,]22-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．命题“对2[1,1],310x x x ∀∈-+->”的否定是 _______；14．在曲线()sin cos f x x x =-，(,)22x ππ∈-的所有切线中，斜率为1的切线方程为 . 15．已知圆锥的顶点为S ，底面圆周上的两点A 、B 满足SAB ∆为等边三角形，且面积为又知圆锥轴截面的面积为8，则圆锥的表面积为 .16. 已知点P 在直线210x y +-=上，点Q 在直线230x y ++=上，M 00(,)x y 为PQ 的中点，且0021y x >+，则y x 的取值范围是 . 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答．（一）必考题：共60分17.（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且23nn S p m =⋅+，（其中p m 、为常数），又123a a ==.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设3log n n b a =，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T ． 18.（12分）如图，在四边形ABED 中，AB//DE ，AB ⊥BE ，点C在AB 上，且AB ⊥CD ，AC=BC=CD=2，现将△ACD 沿CD 折起，使点A 到达点P 的位置，且PE 与平面PBC 所成的角为45°.（1）求证：平面PBC ⊥平面DEBC ； （2）求二面角D-PE-B 的余弦值. 19.（12分）某地种植常规稻A 和杂交稻B ，常规稻A 的亩产稳定为500公斤，今年单价为3.50元／公斤，估计明年单价不变的可能性为10%，变为3.60元／公斤的可能性为60%，变为3.70元／公斤的可能性为30%．统计杂交稻B 的亩产数据，得到亩产的频率分布直方图如下；统计近10年来杂交稻B 的单价（单位：元/公斤）与种植亩数（单位：万亩）的关系，得到的10组数据记为(,)(1,2,10)i i x y i =，并得到散点图如下，参考数据见下．（1）估计明年常规稻A 的单价平均值；（2）在频率分布直方图中，各组的取值按中间值来计算，求杂交稻B 的亩产平均值；以频率作为概率，预计将来三年中至少有二年，杂交稻B 的亩产超过765公斤的概率；（3）判断杂交稻B 的单价y （单位：元/公斤）与种植亩数x （单位：万亩）是否线性相关？若相关，试根据以下的参考数据求出y 关于x 的线性回归方程；调查得知明年此地杂交稻B 的种植亩数预计为2万亩．若在常规稻A 和杂交稻B 中选择，明年种植哪种水稻收入更高？统计参考数据： 1.60x =， 2.82y =，101()()0.52iii x x y y =--=-∑，1021()0.65ii x x =-=∑，附：线性回归方程ˆybx a =+，121()()()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑．20.（12分）已知点在椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>上，椭圆C （1）求椭圆C 的方程；（2）斜率为定值k 的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，且满足22||||OA OB +的值为常数，（其中O 为坐标原点）（i ）求k 的值以及这个常数；（ii ）写出一般性结论（不用证明）：斜率为定值k 的直线l 与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>交于A 、B 两点，且满足22||||OA OB +的值为常数，则k 的值以及这个常数是多少？21.（12分）设函数1()ln f x ax x b x=-++()a b R ∈、， （1）讨论()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有两个零点1x 、2x ，求证：121222x x ax x ++>．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22. [选修4-4：坐标系与参数方程] （10分）以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为22cos 2a ρθ=（a R ∈,a 为常数），过点(2,1)P 、倾斜角为30︒的直线l 的参数方程满足22x =+，（t 为参数）． （1）求曲线C 的普通方程和直线l 的参数方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点（点P 在A 、B 之间），且||||2PA PB ⋅=，求a 和||||||PA PB -的值．23. [选修45：不等式选讲] (10分） 已知函数()|1||1|f x x x =+--， （1）求函数()f x 的值域；（2）若[2,1]x ∈-时，()3f x x a ≤+，求实数a 的取值范围．揭阳市2019高考一模数学（理科）参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．由()(22)1f f =-=-，则23215x x -≤-≤⇒≤≤.故选D. 法二：由3()1x f -≥-得()2)3(f x f ≥-或3()(2)x f f ≥--，即303532x x x -≥⎧⇒≤≤⎨-≤⎩或301332x x x -<⎧⇒≤<⎨-≥-⎩，综合得15x ≤≤. 7. 由三视图知该几何体为一长方体与一直三棱柱的组合体，其体积为2143414562⨯+⨯⨯⨯=. 8. 第一步：将两节数学捆在一起与语文先进行排列有22A 种排法，第二步：将物理、化学在第一步排后的3个空隙中选两个插进去有23A 种方法，根据乘法原理得不同课程安排种数为222312=A A .9. 将x c =代入双曲线的方程得4222b b y y a a =⇒=±，则222b c ac c a a=⇒=-11e e⇒-=，解得e =. 10. 法一：设△ABC 两直角边的长分别为,a b ，其内接正方形的边长为x ，由x b xa b-=得abx a b=+，则122()ab p a b =+，222122211()()ab a b p p a b a b +=-=-=++22()ab a b ≥+（当且仅当a b =时取等号）． 法二（特殊法）：设1,2,BC AC ==CD x =，则23x =，故12445,1999p p ==-=，从而排除A 、D ，当△ABC 为等腰直角三角形时12p p =，排除B ，故选C ． 11. 由sin 2sin ABC A ∠=结合正弦定理得1322BC AC ==，在等腰三角形ABC 中 311cos 434ABC ∠=⨯=，从而1cos 4DBC ∠=-，由余弦定理得：2222cos CD BD BC BD BC DBC =+-⋅⋅∠272=，故2CD =.12. 设F 、G 分别为函数()f x 与()g x 定义在区间上[0,1]上的值域，则[1,1]F =-,当a >0时，1a e >，1()()2a x g x e a =-+单调递增，当a <0时，()g x 单调递减， 31[,],(0);2213[,],(0).22a a a e a a G e a a a ⎧-+-+>⎪⎪=⎨⎪-+-+<⎪⎩12[0,1]x x ∃∈、使得12()()f x g x =FG φ⇔≠()()003111122131122a a a a a e a e a a ⎧⎧⎪⎪><⎪⎪⎪⎪⇔-+≤-+≤⎨⎨⎪⎪⎪⎪-+≥--+≥-⎪⎪⎩⎩或2，因为1()2a h a e a =-+在(0,)+∞上递增，在(,0)-∞上递减，所以3()(0)2h a h >=， 所以解得()1式12a ⇔≥，()2式⇔∅.解析：14.设切点为00(,)x y ，则由000'()cos sin 1f x x x =+=且0(,)22x ππ∈-，得00x =，01y =-，故所求的切线方程为10x y --=（或1y x =-）.15. 设圆锥母线长为l ,由SAB ∆为等边三角形，且面积为24l =⇒=，又设圆锥底面半径为r ，高为h ，则由轴截面的面积为8得8rh =，又2216r h +=，解得r =（或设轴截面顶角为S ，则由21sin 82l S =得90S =︒，可得圆锥底面直径2r =，）故2=1)S rl r πππ+=表.16. 因直线210x y +-=与230x y ++=平行，故点M 的轨迹为与两直线距离相等且平行于两直线的直线，其方程为210x y ++=，即点M 00(,)x y 满足00210x y ++=，而满足不等式0021y x >+的点在直线21y x =+的上方，易得直线210x y ++=与21y x =+的交点为31(,)55--，故问题转化为求射线（不含端点）00210x y ++=（035x <-）上的点M 00(,)x y 与坐标原点(0,0)连线斜率、即00y x 的取值范围, 故0011(,)23OM y k x =∈-.三、解答题17.解：（1）由123a a ==得36p m +=，122()912a a p m +=+=，解得1,3p m ==，-------------------------------------------------------------------------------2分即233nn S =+，-------------①当2n ≥时，11233n n S --=+-------------②①-②得1233n n n a -=-，即13(2)n n a n -=≥，--------------------------------------------4分∵ 13a =不满足上式，∴13,1;3, 2.n n n a n -=⎧=⎨≥⎩----------------------------------------------------------------------------------6分（2）依题意得31,1;log 1, 2.n n n b a n n =⎧==⎨-≥⎩-------------------------------------------------------7分当1n =时，1113T a b ==， 当2n ≥时，112233n n n T a b a b a b a b =++++213131323(1)n n -=⨯+⨯+⨯++⨯-223133131323(2)3(1)n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++⨯-+⨯-两式相减得：231233333(1)n n n T n --=-++++-⨯----------------------------------9分13(31)63(1)31n n n -⨯-=-+-⨯--3(32)152n n --=3(23)154n n n T -+=.-------------------------------------------------------------------------------11分显然当1n =时，13T =符合上式∴3(23)154n n n T -+=-------------------------------------------------------------------------------12分18.解：（1）证明：∵AB ⊥CD ，AB ⊥BE ，∴CD//EB ，---------------------------------------------1分∵AC ⊥CD ，∴PC ⊥CD ，∴EB ⊥PC ，--------------------------------------------------------3分且PC∩BC=C ，∴EB ⊥平面PBC ，----------------------------------------------------------------------------------4分 又∵EB ⊂平面DEBC ，∴平面PBC ⊥平面DEBC ； ---------------------------------------5分 （2）由（1）知EB ⊥平面PBC ，∴EB ⊥PB ，由PE 与平面PBC 所成的角为45°得∠EPB=45°，--------------------------------6分 ∴△PBE 为等腰直角三角形，∴PB=EB ， ∵AB//DE ，结合CD//EB 得BE=CD=2，∴PB=2，故△PBC 为等边三角形，--------------------7分 取BC 的中点O ，连结PO ，∵ PO ⊥BC ，∴PO ⊥平面EBCD ，--------------------8分以O 为坐标原点，过点O 与BE 平行的直线为x 轴，CB 的直线为y 轴，OP 所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系如图， 则(010),(2,1,0),(2,1,0)B E D -，，，P ， 从而(0,2,0)DE =,(2,0,0)BE =,(2,1,PE = ，设平面PDE 的一个法向量为(,,)m x y z =，平面PEB 的一个法向量为(,,)n a b c =， 则由00m DE m PE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得2020y x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，令2z =-得(3,0,2)m =--，----------------9分由00n BE n PE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得2020a a b =⎧⎪⎨+=⎪⎩ ，令1c =得(0,3,1)n =，------------------------10分 设二面角D-PE-B 的大小为θ，则cos 7||||7m nm n θ⋅===-⋅⨯， 即二面角D-PE-B 的余弦值为分 （其它解法请参照给分！）19.解：（1）设明年常规稻A 的单价为ξ，则ξ的分布列为3.62=，估计明年常规稻A 的单价平均值为3.62（元／公斤）；----------------------------------------3分 （2）杂交稻B 的亩产平均值为：[(730790800)0.005(740780)0.01(750770)0.027600.025]10++⨯++⨯++⨯+⨯⨯116152304190762=+++=．--------------------------------------------------------------------5分 依题意知杂交稻B 的亩产超过765公斤的概率为：0.2+0.1+0.52=0.4p =⨯，则将来三年中至少有二年，杂交稻B 的亩产超过765公斤的概率为：22330.4(10.4)0.40.352C ⨯⨯-+=．--------------------------------------------------------------7分（3）因为散点图中各点大致分布在一条直线附近，所以可以判断杂交稻B 的单价y 与种植亩数x 线性相关， -------------------------------------------------------------------------------------------------8分由题中提供的数据得：0.520.80.65b -==-，由y b x a =+ 2.820.8 1.60 4.10a y b x =-=+⨯=， 所以线性回归方程为ˆ0.8 4.10yx =-+，--------------------------------------------------------------10分 估计明年杂交稻B 的单价ˆ0.82 4.10 2.50y=-⨯+=元／公斤； 估计明年杂交稻B 的每亩平均收入为762 2.501905⨯=元／亩，估计明年常规稻A 的每亩平均收入为500()500 3.621810E ξ⨯=⨯=元／亩，因1905>1875，所以明年选择种植杂交稻B 收入更高． -------------------------------------------12分 20.解：（1）由点P 在椭圆上得223112a b +=，2c =2， --------------------------------------------1分 2222322b a a b ∴+=，c =1，又222a b c =+， 222232(1)2(1)b b b b ∴++=+，422320b b ∴--=，解得22b =，得23a =，∴椭圆C 的方程为22132x y +=；-------------------------------------------------------------------4分 （2）（i ）设直线l 的方程为y kx t =+，联立22132x y +=，得222(32)6360k x ktx t +++-=， ∴2121222636(1)(2)3232ktt x x x x k k -+=-=++------------------------------------------5分又22112(1)3x y =-，22222(1)3x y =-， 2222221122||||()()OA OB x y x y +=+++ 22121()43x x =++212121[()2]43x x x x =+-+ 22221636[()2]433232kt t k k -=-⨯+++ 222221(1812)362443(32)k t k k -++=⨯++----------------------------------------------------------------8分要使22||||OA OB +为常数，只需218120k -=，得223k =，------------------------------9分∴22||||OA OB +212424453(22)+=⨯+=+，∴k ==，这个常数为5； ----------------------------------------------------------10分 （ii ）bk a=±，这个常数为22a b +．------------------------------------------------------------12分21.解：（1）222111'()(0)ax x f x a x x x x--=--=>，---------------------------------------------1分 设2()1(0)g x ax x x =-->，①当0a ≤时，()0g x <，'()0f x <；------------------------------------------------------------2分 ②当0a >时，由()0g x =得x =或0x =<，记12x a+=0x =则20()1()(0)g x ax x a x x x x =--=-->，∵0x >∴当0(0,)x x ∈时，()0g x <，'()0f x <，当0(,)x x ∈+∞时，()0g x >，'()0f x >，--------------------------------------4分 ∴当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递减； 当0a >时，()f x在1(0,2a+上单调递减，在1()2a ++∞上单调递增．---5分 （2）不妨设12x x <，由已知得1()0f x =，2()0f x =，即1111ln ax x b x =--，2221ln ax x b x =--，---------------------------------------------------6分 两式相减得21212111()ln ln ()a x x x x x x -=---， ∴212121ln ln 1x x a x x x x -=+-，---------------------------------------------------------------------------7分要证121222x x ax x ++>， 即要证2112122121ln ln 122()x x x x x x x x x x -++>+-，只需证21121221ln ln 2x x x x x x x x -+>⋅⋅-， 只需证222121212ln x x x x x x ->，即要证2121212ln x x x x x x ->，---------------------------------------9分 设21x t x =，则1t >，只需证12ln t t t->，------------------------------------------------------10分 设1()2ln (1)h t t t t t=-->，只需证()0h t >， 222221221(1)'()10t t t h t t t t t -+-=+-==>， ()h t ∴在(1,)+∞上单调递增，()(1)0h t h ∴>=，得证．---------------------------------------------------------------------------12分22.解：（1）由22cos 2a ρθ=得2222(cos sin )a ρθθ-=， --------------------------------------1分又cos x ρθ=，sin y ρθ=，得222x y a -=，∴C 的普通方程为222x y a -=，-------------------------------------------------------------------2分∵过点(2,1)P 、倾斜角为30︒的直线l的普通方程为2)13y x =-+，--------------3分由2x =+得112y t =+ ∴直线l的参数方程为212x ty ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ （t 为参数）；-------------------------------------------5分（2）将2212x ty ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入222x y a -=，得221)2(3)0t t a ++-=，----------------------------------------------------------------6分依题意知221)]8(3)0a ∆=-->则上方程的根1t 、2t 就是交点A 、B 对应的参数，∵2122(3)t t a ⋅=-，由参数t 的几何意义知1212||||||||||PA PB t t t t ⋅=⋅=⋅，得12||2t t ⋅=，∵点P 在A 、B 之间，∴120t t ⋅<，∴122t t ⋅=-，即22(3)2a -=-，解得24a =（满足0∆>），∴2a =±，-------------8分∵1212||||||||||||||PA PB t t t t -=-=+，又121)t t +=-，∴||||||2PA PB -=．-------------------------------------------------------------------------10分 23.解：（1）法一：|()|||1||1|||(1)(1)|2f x x x x x =+--≤+--=，∴ 2()2f x -≤≤， ()f x 的值域为[-2, 2]；----------------------------------------------------4分法二：2,1()2,112,1x f x x x x -<-⎧⎪=-≤<⎨⎪≥⎩，得2()2f x -≤≤，∴()f x 的值域为[-2, 2]；----------------------------------------------------------------------------4分 （2）由()3f x x a ≤+得|1||1|3a x x x ≥+---，由[2,1]x ∈-得10x -≤，∴ |1|13|1|21a x x x x x ≥++--=+--，----------------------------------------------------5分 设()|1|21g x x x =+-- (21)x -≤≤，① 当21x -≤≤-时，10x +≤，()(1)2132g x x x x =-+--=--，∴ max ()(2)4g x g =-=；--------------------------------------------------------------------------7分 ② 当11x -<≤时，10x +>，()121g x x x x =+--=-，∴ ()(1)1g x g <-=；-------------------------------------------------------------------------------9分 综上知，max ()4g x =，由()a g x ≥恒成立，得4a ≥，即a 的取值范围是[4,)+∞．---------------------------------10分。