均值不等式求最值的方法

均值不等式求最值的方法

均值不等式是求函数最值的一个重要工具，同时也是高考常考的一个重要知识点。下面谈谈运用均值不等式求解一些函数的最值问题的方法和技巧。

一、几个重要的均值不等式

①，、)(222222Rbabaababba当且仅当a = b时，“=”号成立；

②，、)(222Rbabaababba当且仅当a = b时，“=”号成立；

③，、、)(33333333Rcbacbaabcabccba当且仅当a = b = c时,“=”号成立；

④)(3333Rcbacbaabcabccba、、 ,当且仅当a = b = c时,“=”号成立.

注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；

②

熟悉一个重要的不等式链：ba1122abab222ba。

二、用均值不等式求最值的常见的方法和技巧

1、求几个正数和的最小值。

例1、求函数21(1)2(1)yxxx的最小值。

解析：

21(1)2(1)yxxx21(1)1(1)2(1)xxx21111(1)222(1)xxxx

3211131222(1)xxx31252，当且仅当211(1)22(1)xxx即2x时，“=”号成立，故此函数最小值是52。

评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。

2、求几个正数积的最大值。

例2、求下列函数的最大值：

①23(32)(0)2yxxx ②2sincos(0)2yxxx

解析：

①30,3202xx∴，∴23(32)(0)(32)2yxxxxxx

3(32)[]13xxx，当且仅当32xx即1x时，“=”号成立，故此函数最大值是1。②0,sin0,cos02xxx∴，则0y，欲求y的最大值，可先求y2的最大值。

242sincosyxx222sinsincosxxx2221(sinsin2cos)2xxx

22231sinsin2cos4()2327xxx,当且仅当22sin2cosxx(0)2xtan2x，即tan2xarc时，不等式中的“=”号成立，故此函数最大值是239。

评析：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。通常要通过乘以或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式进行构造。

3、用均值不等式求最值等号不成立。

例3、若x、yR，求4()fxxx)10(x的最小值。

解法一：（单调性法）由函数()(0)bfxaxabx、图象及性质知，当(0,1]x时，函数4()fxxx是减函数。

证明：

任取12,(0,1]xx且1201xx，则12121244()()()()fxfxxxxx

211212()4xxxxxx1212124()xxxxxx，

∵1201xx，∴12121240,0xxxxxx，

则1212()()0()()fxfxfxfx，即4()fxxx在(0,1]上是减函数。

故当1x时，4()fxxx在(0,1]上有最小值5。

解法二：（配方法）因01x，则有4()fxxx22()4xx，易知当01x时，

20xx且单调递减，则22()()4fxxx在(0,1]上也是减函数，即4()fxxx在(0,1]上是减函数，当1x时，4()fxxx在(0,1]上有最小值5。

解法三：（导数法）由4()fxxx得24()1fxx，当(0,1]x时，24()10fxx，则函数4()fxxx在(0,1]上是减函数。故当1x时，4()fxxx在(0,1]上有最小值5。

解法四：（拆分法）4()fxxx)10(x13()xxx1321xx5，当且仅当1x

时“=”号成立，故此函数最小值是5。

评析：求解此类问题，要注意灵活选取方法，特别是单调性法、导数法具有一般性，配方法及拆分法也是较为简洁实用得方法。

4、条件最值问题。

例4、已知正数x、y满足811xy，求2xy的最小值。

解法一：（利用均值不等式）

2xy8116()(2)10xyxyxyyx1610218xyyx,当且仅当81116xyxyyx即12,3xy时“=”号成立，故此函数最小值是18。

解法二：（消元法）

由811xy得8xyx，由00088xyxxx又则2xy22(8)1616162(8)108888xxxxxxxxxx162(8)10188xx。当且仅当1688xx即12,3xy此时时“=”号成立，故此函数最小值是18。

解法三：（三角换元法）

令228sin1cosxxxy则有228sin1cosxxyx

则22822sincosxyxx2222228csc2sec8(1cot)2(1tan)108cot2tanxxxxxx

22102(8cot)(2tan)xx18，易求得12,3xy此时时“=”号成立，故最小值是18。

评析：此类问题是学生求解易错得一类题目，解法一学生普遍有这样一种错误的求解方法： 81812()(2)228xyxyxyxyxy。原因就是等号成立的条件不一致。

5、利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题。

例5、已知正数xy、满足3xyxy，试求xy、xy的范围。

解法一：

由0,0xy，则3xyxy32xyxyxy，即2()230xyxy解得13xyxy(舍)或，当且仅当3xyxyxy且即3xy时取“=”号，故xy的取值范围是[9,)。

又23()2xyxyxy2()4()120xyxy2()6xyxy舍或，当且仅当3xyxyxy且即3xy时取“=”号，故xy的取值范围是[6,)

解法二：

由0,0xy，3(1)3xyxyxyx知1x，

则31xyx，由30011xyxx，则：

2233(1)5(1)44(1)51111xxxxxxyxxxxxx42(1)591xx，当且仅当41(0)31xxxx即，并求得3y时取“=”号，故xy的取值范围是[9,)。

3144441(1)22(1)2611111xxxyxxxxxxxxxx，当且仅当41(0)31xxxx即，并求得3y时取“=”号，故xy的取值范围是[9,)。

三、用均值不等式求最值的常见的技巧

1、 添、减项（配常数项）

例1 求函数221632yxx的最小值.

分析：221632xx是二项“和”的形式，但其“积”的形式不为定值.而212x可与22x相约，即其积为定积1，因此可以先添、减项6，即22163662yxx，再用均值不等式.

22222221620,32163(2)621623(2)62836xyxxxxxx解：

当且仅当22163(2)2xx，即24323x时,等号成立. 所以y的最小值是836.

评注 为了创造条件利用均值不等式，添项是常用的一种变形技巧;为了保证式子的值不变，添项后一定要再减去同一项.

2、 配系数（乘、除项）

例2 已知0,0xy，且满足3212xy，求lglgxy的最大值.

分析 lglglg()xyxy, xy是二项“积”的形式，但不知其“和”的形式xy是否定值，

而已知是3x与2y的和为定值12，故应先配系数，即将xy变形为326xy，再用均值不等式.

220,032lglglg()lg6132112lglg6262lg6xyxyxyxyxy解：

当且仅当32xy，即2,3xy时，等号成立. 所以lglgxy的最大值是lg6.

评注 本题是已知和为定值，要求积的最大值，可逆用均值不等式，即利用22abab来解决.

3、 裂项

例3 已知1x，求函数521xxyx的最小值.

分析 在分子的各因式中分别凑出1x，借助于裂项解决问题.

141110,144(1)52(1)5119xxxyxxxxx解：

当且仅当411xx，即1x时，取等号. 所以min9y.

4、 取倒数

例4 已知102x，求函数2(1)(12)xyxx的最小值.

分析 分母是x与(12)x的积，可通过配系数，使它们的和为定值；也可通过配系数，使它们的和为(1)x (这是解本题时真正需要的).于是通过取倒数即可解决问题.

解 由102x，得10x，120x.

取倒数，得 221(12)1312(1)31131211113212xxxxyxxxxxxx

当且仅当31211xxxx，即15x时，取等号.

故y的最小值是12.

5、 平方

例5 已知0,0xy且22283yx求262xy的最大值.

分析 条件式中的x与y都是平方式，而所求式中的x是一次式，y是平方式但带根号.初看似乎无从下手，但若把所求式262xy平方，则解题思路豁然开朗，即可利用均值不等式来解决.

2222222222(62)(62)32(1)32(1)9333()22yxyxyxyx解：

当且仅当222(1)3yx，即32x，422y时，等号成立.