极点与极线背景下的高考考试
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极点与极线背景下的高考试题
王文彬
(江西省抚州市第一中学 344000)
极点与极线是高等几何中的重要概念，当然不是《高中数学课程标准》规定的学习内容，也不属于高考考查的范围，但由于极点与极线是圆锥曲线的一种基本特征，因此在高考试题中必然会有所反映，自然也会成为高考试题的命题背景.
作为一名中学数学教师，应当了解极点与极线的概念，掌握有关极点与极线的基本性质，只有这样，才能“识破”试题中蕴含的有关极点与极线的知识背景，进而把握命题规律.
1.从几何角度看极点与极线
定义1 如图1，设P 是不在圆锥曲线上的一点，过P 点引 两条割线依次交圆锥曲线于四点,,,E F G H ，连接,EH FG
交于N ，连接,EG FH 交于M ，则直线MN 为点P 对应的极线. 若P 为圆锥曲线上的点，则过P 点的切线即为极线.
由图1同理可知， PM 为点N 对应的极线，PN 为点M 所 对应的极线.因而将MNP 称为自极三点形.设直线MN 交圆锥曲线 于点,A B 两点，则,PA PB 恰为圆锥曲线的两条切线.
定理1 (1)当P 在圆锥曲线Γ上时，则点P 的极线是曲线 Γ在P 点处的切线；
(2)当P 在Γ外时，过点P 作Γ的两条切线，设其切点分别为,A B ，则点P 的极线是直线AB (即切点弦所在的直线)；
(3) 当P 在Γ内时，过点P 任作一割线交Γ于,A B ，设Γ在,A B 处的切线交于点Q ，则点P 的极线是动点Q 的轨迹.
定理2 如图2，设点P 关于圆锥曲线Γ的极线为l ，过点P 任作一割线交Γ于,A B ，
交l 于Q ，则PA PB
AQ BQ
= ①；反之，若有①成立，则称点,P Q 调和分割线段AB ，或称点P 与Q 关于Γ调和共轭，或称点P (或点Q )关于圆锥曲线 Γ的调和共轭点为点Q (或点P ).点P 关于圆锥曲线Γ的调 和共轭点是一条直线，这条直线就是点P 的极线.
推论1 如图2，设点P 关于圆锥曲线Γ的调和共轭
点为点Q ，则有211PQ PA PB
=+ ②；反之，若有②成立， 则点P 与Q 关于Γ调和共轭.
可以证明①与②是等价的.事实上，由①有
11AQ BQ PQ PA PB PQ PQ PQ
PA PB PA PB PA PB --=⇒=⇒-=-11
()2PQ PA PB ⇒⋅+=
211PQ PA PB
⇒=+.
特别地，我们还有
P
E
F
G H M
A N
B 图
P Q A 图2
B
l
推论2 如图3，设点P 关于有心圆锥曲线Γ(设其中心为O )的调和共轭点为点Q ，PQ 连线经过圆锥曲线的中心，则有2OR OP OQ =⋅ ，反之若有此式成立，则点P 与Q 关于Γ调和共轭.
证明：设直线PQ 与Γ的另一交点为R '，则 PR PR OP OR OP OR
RQ R Q OR OQ OR OQ
'-+=⇒='-+，化简 即可得2
OR OP OQ =⋅.反之由此式可推出 PR PR RQ R Q
'
='，即点P 与Q 关于Γ调和共轭. 推论3 如图4，,A B 圆锥曲线Γ的一条
对称轴l 上的两点(不在Γ上)，若,A B 关于Γ调 和共轭，过B 任作Γ的一条割线，交Γ于,P Q 两点，则PAB QAB ∠=∠.
证明：因Γ关于直线l 对称，故在Γ上存在
,P Q 的对称点,P Q ''.若P '与Q 重合，则Q '与P
也重合，此时,P Q 关于l 对称，有PAB QAB ∠=∠； 若P '与Q 不重合，则Q '与P 也不重合，由于,A B 关于Γ调和共轭，故,A B 为Γ上完全四点形PQ QP ''
的对边交点，即Q '在PA 上，故,AP AQ 关于直线l 对称，也有PAB QAB ∠=∠.
定理3 (配极原则)点P 关于圆锥曲线Γ
的极线p 经过点Q ⇔点Q 关于Γ的极线q 经过点P ；直线p 关于Γ的极点P 在直线q 上⇔直线q 关于Γ的极点Q 在直线p 上.
由此可知，共线点的极线必共点；共点线的极点必共线.
以上未加证明的定理，可参阅有关高等几何教材，如【1】，其中定理1的初等证法可参阅文【2】.
2.从代数角度看极点与极线
定义2 已知圆锥曲线22:220Ax Cy Dx Ey F Γ++++=，则称点00(,)P x y 和直线0000:()()0l Ax x Cy y D x x E y y F ++++++=是圆锥曲线Γ的一对极点和极线.
事实上，在圆锥曲线方程中，以0x x 替换2
x ，以02
x x +替换x ，以0y y 替换2y ，以
02
y y
+替换y 即可得到点00(,)P x y 的极线方程. 特别地：
(1)对于椭圆22221x y a b +=，与点00(,)P x y 对应的极线方程为00221x x y y
a b +=；
(2)对于双曲线22221x y a b -=，与点00(,)P x y 对应的极线方程为00221x x y y
a b -=；
(3)对于抛物线2
2y px =，与点00(,)P x y 对应的极线方程为00()y y p x x =+. (4)如果圆锥曲线是椭圆22
221x y a b
+=，当00(,)P x y 为其焦点(,0)F c 时，极线恰为椭圆
P Q R 图3
R 'R
O
P
l
A 图
4 P '
R B
Q
Q 'R
