人教A版数学选修2-1同步导练作业：第2章 圆锥曲线与方程 作业18

①
在△PF1F2 中,由余弦定理,得|F1F2|2=m2+n2-2mncos 60°=(2c)2,
即 m2+n2-mn=16.
②
由①-②,得 3mn=20.
������ 故
△
������������1������2
=
1
2·mn·sin
1
60°=2
×
20 3
×
3 2
=
53
3.
53
答案: 3
������2
������ = 1 ∴e=������ 5.故选 D.
答案:D
1
4 中心在原点,焦点坐标为(0,±5 2)的椭圆被直线 3x-y-2=0 截得的弦的中点的横坐标为2,则椭圆
的方程为( ) 2������2 + 2������2
A. 25 75 =1
2������2 + 2������2 B. 75 25 =1
AB
分为
100
等份,过每个分点作
AB
的垂线,分
别交椭圆的上半部分于点 P1,P2,…,P99,F1 为椭圆的左焦点,则|F1A|+|F1P1|+|F1P2|+…+|F1P99|+|F1B| 的值是( )
A.98a
B.99a
C.100a
解析:由椭圆的定义及其对称性可知
D.101a
|F1P1|+|F1P99|=|F1P2|+|F1P98|=…=|F1P49|+|F1P51|=|F1A|+|F1B|=2a,|F1P50|=a,故结果应为 50×2a+|F1P50|=101a. 答案:D
������2 + 故所求的椭圆方程为 3

选修2-1数学第2章圆锥曲线与方程单元练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 某几何体是由直三棱柱与圆锥的组合体，起直观图和三视图如图所示，正视图为正方形，其中俯视图中椭圆的离心率为（）A.√2B.12C.√24D.√222. 如图，已知双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，长方形ABCD的顶点A，B分别为双曲线E的左、右焦点，且点C，D在双曲线E上，若|AB|=6，|BC|=52，则此双曲线的离心率为（）A.√2B.32C.52D.√53. 设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B．若|BF2|=|F1F2|=2，则该椭圆的标准方程为（）A.x24+y23=1 B.x23+y2=1 C.x22+y2=1 D.x24+y2=14. 已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的顶点和焦点到C的同一条渐近线的距离之比为12，则双曲线C的离心率是()A.√2B.2C.√3D.35. 已知点A(0,1)，抛物线C:y2=ax(a>0)的焦点为F，射线FA与抛物线相交于M，与其准线相交于点N，若|FM|:|MN|=2:√5，则a=()A.2B.4C.6D.86. 焦点为(0,2)的抛物线的标准方程是()A.x2=8yB.x2=4yC.y2=4xD.y2=8x7. 椭圆x2+4y2=1的离心率为（）A.√32B.34C.√22D.238. 若双曲线x24−m +y2m−2=1的渐近线方程为y=±13x，则m的值为（）A.1B.74C.114D.59. 抛物线y=2x2的通径长为( )A.2B.1C.12D.1410. 已知双曲线C:x24−y2=1，则C的渐近线方程为 ( )A.y=±14x B.y=±13x C.y=±12x D.y=±x11. 椭圆x24+y25=1的离心率是（）A.3 5B.√55C.25D.1512. 已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，过F作直线l与两条渐近线交于A，B两点．若△OAB为等腰直角三角形（O为坐标原点）则△OAB的面积为( )A.a2B.2a3C.2a2或a2D.2a2或12a213. 已知椭圆x29+y25=1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方，若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是________.14. 若直线y=x+b与曲线x=√1−y2恰有一个公共点，则b的取值范围是________．15. 与椭圆x25+y23=1共焦点的等轴双曲线的方程为________．16. 已知双曲线x2−y28=1上有三个点A，B，C，且AB，BC，AC的中点分别为D，E，F，用字母k表示斜率，若k OD+k OE+k OF=−8（点O为坐标原点，且k OD，k OE，k OF均不为零），则1k AB +1k BC+1k AC=________.17. 设命题p：方程x2a+6+y2a−7=1表示中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线；命题q：存在x∈R，使得x2−4x+a<0.若“p∧(¬q)”为真，求实数a的取值范围.18. 回答下列问题：（1）求过点(2,−2)且与双曲线x 22−y2=1有公共渐近线的双曲线的方程；（2）求双曲线x 24−y25=1的焦点到其渐近线的距离．19. 如图，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，点A为椭圆C上任意一点，A关于原点O的对称点为B，有|AF1|+|BF1|=4，且∠F1AF2的最大值为π3.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若A′是A关于x轴的对称点，设点N(4,0)，连接NA与椭圆C相交于点E，问直线A′E与x轴是否交于一定点，如果是，求出该定点坐标；如果不是，说明理由.20. 已知椭圆的焦点在α轴上，一个顶点为(0,1)，离心率为e=√5，过椭圆的右焦点F的直线1与坐标轴不垂直，且交椭圆于A，B两点．(1)求椭圆的方程．(2)设点C是点A关于x轴的对称点，在α轴上是否存在一个定点N，使得C，B，N三点共线？若存在，求出定点N的坐标；若不存在，说明理由．21. 已知直线l：x−y+1=0与焦点为F的抛物线C：y2=2px(p>0)相切.(1)求抛物线C的方程；(2)过点F的直线m与抛物线C交于A，B两点，求A，B两点到直线l的距离之和的最小值.22. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，离心率为12，点P(1, 32)为椭圆上一点．(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；(Ⅱ)如图，过点C(0, 1)且斜率大于1的直线l与椭圆交于M，N两点，记直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，若k1＝2k2，求直线l斜率的值．参考答案与试题解析选修2-1数学第2章 圆锥曲线与方程单元练习题含答案一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ） 1.【答案】 D【考点】 椭圆的定义 【解析】根据三视图的性质得到俯视图中椭圆的短轴长和长周长，再根据椭圆的性质a 2−b 2=c 2，和离心率公式e =ca ，计算即可．【解答】解：设正视图正方形的边长为2，根据正视图与俯视图的长相等，得到俯视图中椭圆的短轴长2b =2，俯视图的宽就是圆锥底面圆的直径2√2，得到俯视图中椭圆的长轴长2a =2√2， 则椭圆的半焦距c =√a 2−b 2=1， 根据离心率公式得，e =c a =√2=√22； 故选D ． 2. 【答案】 B【考点】双曲线的标准方程 【解析】本题主要考查双曲线的几何性质． 【解答】解：因为2c =|AB|=6，所以c =3． 因为b 2a =|BC|=52，所以5a =2b 2． 又c 2=a 2+b 2，所以9=a 2+5a 2，解得a =2或a =−92（舍去），故该双曲线的离心率e =c a=32．故选B ． 3. 【答案】 A【考点】椭圆的标准方程 【解析】由|BF 2|=|F 1F 2|=2，可得a =2c =2，即可求出a ，b ，从而可得椭圆的方程． 【解答】解：∵ |BF 2|=|F 1F 2|=2，∴a=2c=2，∴a=2，c=1，∴b=√3，∴椭圆的方程为x24+y23=1．故选A．4.【答案】B【考点】双曲线的离心率【解析】【解答】解：∵双曲线C的顶点和焦点到同一条渐近线的距离之比为12，由三角形相似得ac =12，∴e=ca=2.故选B．5.【答案】D【考点】斜率的计算公式抛物线的性质【解析】无【解答】解：依题意F点的坐标为(a4,0)，作MK垂直于准线，垂足为K，由抛物线的定义知|MF|=|MK|，因为|FM|:|MN|=2:√5，则|KN|:|KM|=1:2.k FN =0−1a4−0=−4a ，k FN =−|KN||KM|=−12，所以−4a =−12，求得a =8. 故选D ． 6. 【答案】 A【考点】抛物线的标准方程 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由题意得，抛物线的焦点为(0,2)， 可得p =4.又抛物线的焦点在y 轴的正半轴， 所以抛物线的标准方程为x 2=8y . 故选A. 7. 【答案】 A【考点】 椭圆的离心率 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 8.【答案】 B【考点】 双曲线的定义 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 9.【答案】 C【考点】 抛物线的定义 抛物线的性质 【解析】抛物线y =−2x 2，即x 2=−12y ，可得2p .解：抛物线y=2x2，化为标准方程为x2=12y，可得2p=12，因此通径长为12.故选C．10.【答案】C【考点】双曲线的渐近线【解析】根据双曲线的方程求出双曲线的渐近线即可. 【解答】解：由题意可得，a=2，b=1，则双曲线的渐近线方程为y=±ba x=±12x.故选C.11.【答案】B【考点】椭圆的离心率椭圆的标准方程【解析】根据椭圆的标准方程求出a，b的值，根据椭圆中c2=a2−b2就可求出c，再利用离心率e=ca得到离心率．【解答】解：由椭圆方程为x 24+y25=1可知，a2=5，b2=4，∴c2=a2−b2=1，a=√5，∴c=1，∴椭圆的离心率e=ca =√55.故选B.12.【答案】D【考点】双曲线的简单几何性质双曲线中的平面几何问题本题主要考查双曲线的性质以及直线和双曲线的关系，联立方程组，求出点的坐标，再求出面积即可.【解答】解：①若∠AOB=90∘，则∠AOF=45∘，∴ba=1故c=√a2+b2=√2a，∴S△OAB=12⋅2c⋅c=c2=2a2；②若∠BAO=90∘，则l与y=bax垂直且过F点，垂足为A，∴ l的斜率为−ab，则直线l的方程为y=−ab(x−c)，联立{y=−ab⋅(x−c),y=bax,解得x=a 2c ，y=abc，则点A为(a 2c ,ab c)∴ △OAB为等腰直角三角形，OB为斜边，∴ OA=AB，OA2=(a2c )2+(abc)2=a2，∴S△OAB=12OA⋅AB=12OA2=12a2.综上所述S△OAB=2a2或12a2.故选D.二、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）13.【答案】√15【考点】与椭圆有关的中点弦及弦长问题【解析】此题暂无解析【解答】解：由椭圆方程可知a=3，c=2，∴F(−2, 0)，根据题意，画出图形：设线段PF中点为M，椭圆右焦点为F1，∵M在以O为圆心，|OF|为半径的圆上，∴F1也在圆上，连接OM, PF1, MF1，则∠FMF1=90∘，OM是△FPF1的中位线，∴|PF1|=2|OM|=2|OF|=2×2=4，由椭圆定义|PF|+|PF1|=2a=6，得|PF|=2，|MF|=|PF|2=1，又∵∠FMF1为直角，|MF1|2=|FF1|2−|MF|2=15，∴tan∠MFF1=|MF1||MF|=√151=√15，∴直线PF的斜率是√15.故答案为：√15.14.【答案】(−1,1]∪{−√2}【考点】曲线与方程直线与圆的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】x=√1−y2⇔x2+y2=1(x≥0)方程x2+y2=1(x≥0)所表示的曲线为半圆（如图）当直线与圆相切时或在l2与l3之间时，适合题意．此时−1<b≤1或b=−√2，所以b的取值范围是(−1,1]∪{−√2}．15.【答案】x2−y2=1【考点】双曲线的标准方程圆锥曲线的共同特征【解析】利用椭圆的三参数的关系求出双曲线的焦点坐标；利用等轴双曲线的定义设出双曲线的方程，据双曲线中三参数的关系求出双曲线的方程．【解答】解：对于x 25+y23=1知半焦距为c=√5−3=√2所以双曲线的焦点为(±√2,0)设等轴双曲线的方程为x 2a2−y2a2=1据双曲线的三参数的关系得到2a2=2所以a2=1所以双曲线的方程为x2−y2=1．故答案为：x2−y2=116.【答案】−1【考点】斜率的计算公式中点坐标公式与双曲线有关的中点弦及弦长问题【解析】【解答】解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，D(x0,y0)，则x1+x2=2x0，y1+y2=2y0，x12−y128=1，x22−y228=1,两式相减得(x1−x2)(x1+x2)=(y1+y2)(y1−y2)8，整理可得x1−x2y1−y2=y08x0，即1k AB=k OD8，同理得1k BC =k OE8，1k AC=k OF8.因为k OD+k OE+k OF=−8，所以1k AB +1k BC+1k AC=−1.故答案为：−1.三、解答题（本题共计 6 小题，每题 11 分，共计66分）17.【答案】解：命题p ：(a +6)(a −7)<0，解得−6<a <7； 命题q ：Δ=(−4)2−4a >0，解得a <4. ∴ ¬q ：a ≥4.∵ “p ∧(¬q)”为真， ∴ p 为真且¬q 为真， ∴ 4≤a <7. 【考点】逻辑联结词“或”“且”“非” 双曲线的标准方程 一元二次不等式的解法【解析】 此题暂无解析 【解答】解：命题p ：(a +6)(a −7)<0，解得−6<a <7； 命题q ：Δ=(−4)2−4a >0，解得a <4. ∴ ¬q ：a ≥4.∵ “p ∧(¬q)”为真， ∴ p 为真且¬q 为真， ∴ 4≤a <7. 18. 【答案】解：（1）因为所求双曲线与双曲线x 22−y 2=1有公共渐近线， 所以可设所求双曲线的方程为x 22−y 2=λ(λ≠0)．因为所求双曲线过点(2,−2)， 所以222−(−2)2=λ，得λ=−2，所以所求双曲线的方程为y 22−x 24=1． （2）因为双曲线的方程为x 24−y 25=1，所以双曲线的一条渐近线方程为y =√52x ， 即√5x −2y =0．因为双曲线的左、右焦点到渐近线的距离相等， 且(3,0)为双曲线的一个焦点， 所以双曲线x 24−y 25=1的焦点到其渐近线的距离为|3√5−0|3=√5．【考点】双曲线的离心率 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：（1）因为所求双曲线与双曲线x 22−y 2=1有公共渐近线，所以可设所求双曲线的方程为x 22−y 2=λ(λ≠0)．因为所求双曲线过点(2,−2)， 所以222−(−2)2=λ，得λ=−2， 所以所求双曲线的方程为y 22−x 24=1． （2）因为双曲线的方程为x 24−y 25=1，所以双曲线的一条渐近线方程为y =√52x ， 即√5x −2y =0．因为双曲线的左、右焦点到渐近线的距离相等， 且(3,0)为双曲线的一个焦点， 所以双曲线x 24−y 25=1的焦点到其渐近线的距离为|3√5−0|3=√5．19.【答案】解：(1)点A 为椭圆C 上任意一点， A 关于原点O 的对称点为B ， 由|AF 1|+|BF 1|=4知 2a =4， 得a =2.又∠F 1AF 2的最大值为π3，知当A 为上顶点时，∠F 1AF 2最大， 所以a =2c ， 得c =1，所以b 2=a 2−c 2=3. 所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1.(2)由题知NA 的斜率存在，设NA 方程为 y =k(x −4)，与椭圆联立，得(4k 2+3)x 2−32k 2x +64k 2−12=0.① 设点A (x 1,y 1),E (x 2,y 2)， 则A ′(x 1,−y 1).直线A ′E 方程为y −y 2=y 2+y1x 2−x 1(x −x 2).令y =0得x =x 2+y 2(x 1−x 2)y 1+y 2，将y1=k(x1−4),y2=k(x2−4)代入，整理得，x=2x1x2−4(x1+x2)x1+x2−8.②x1+x2=32k24k2+3，x1x2=64k2−124k2+3.代入②整理，得x=1.所以直线A′E与x轴交于定点Q(1,0). 【考点】圆锥曲线中的定点与定值问题与直线关于点、直线对称的直线方程直线与椭圆结合的最值问题椭圆的标准方程椭圆的定义【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)点A为椭圆C上任意一点，A关于原点O的对称点为B，由|AF1|+|BF1|=4知2a=4，得a=2.又∠F1AF2的最大值为π3，知当A为上顶点时，∠F1AF2最大，所以a=2c，得c=1，所以b2=a2−c2=3.所以椭圆C的标准方程为x 24+y23=1.(2)由题知NA的斜率存在，设NA方程为y=k(x−4)，与椭圆联立，得(4k2+3)x2−32k2x+64k2−12=0.①设点A(x1,y1),E(x2,y2)，则A′(x1,−y1).直线A′E方程为y−y2=y2+y1x2−x1(x−x2).令y =0得x =x 2+y 2(x 1−x 2)y 1+y 2，将y 1=k (x 1−4),y 2=k (x 2−4)代入， 整理得，x =2x 1x 2−4(x 1+x 2)x 1+x 2−8.②x 1+x 2=32k 24k 2+3， x 1x 2=64k 2−124k 2+3.代入②整理，得x =1.所以直线A ′E 与x 轴交于定点Q(1,0). 20. 【答案】（1）椭圆C 的标准方程为x 25+y 2=1．（2）存在定点N (52,0),使得C ．B ．N 三点共线． 【考点】直线与椭圆结合的最值问题 椭圆的标准方程【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：（1）由椭圆的焦点在x 轴上， 设椭圆C 的方程为x 2a2+y 2b 2=1(ab >0)，椭圆C 的一个顶点为(0,1)，即b =1， 由e =ac √1−b 2a 2=√5解得a 2=5，∴ 椭圆C 的标准方程为x 25+y 2=1．（2）由得F (2,0),设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)设直线l 的方程为y =k (x −2)(k ≠0),代入椭圆方程，消去y 可得 (5k 2+1)x 2−20k 2x +20k 2−5=0, 则x 1+x 2=20k 25k 2+1，x 1x 2=20k 2−55k 2+1．∵ 点C 与点A 关于x 轴对称， ∴ C (x 1,−y 1) ．假设存在N (t,0),使得C ，B ，N 三点共线， 则BN →=(t −x 2,−y 2),CN →=(t −x 1,y 1). ∵ C ，B ，N 三点共线，∴ BN →//CN →，∴ (t −x 2)y 1+(t −x 1)y 2=0， 即(y 1+y 2)t =x 2y 1+x 1y 2 ∴ t =k (x 1−2)x 2+k (x 2−2)x 1k (x 1−2)+k (x 2−2) =2⋅20k 2−55k 2+1−2⋅20k 25k 2+120k 25k 2+1−4=52∴ 存在定点N (52,0),使得C ．B ．N 三点共线．21.【答案】解：(1)∵ 直线l ：x −y +1=0与抛物线C 相切. 由{x −y +1=0，y 2=2px ，得y 2−2py +2p =0，从而Δ=4p 2−8p =0， 解得p =2.∴ 抛物线C 的方程为y 2=4x . (2)由于直线m 的斜率不为0，所以可设直线m 的方程为ty =x −1，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 由{ty =x −1，y 2=4x ，消去x 得y 2−4ty −4=0，∴ y 1+y 2=4t ，从而x 1+x 2=4t 2+2， ∴ 线段AB 的中点M 的坐标为(2t 2+1,2t). 设点A 到直线l 的距离为d A ， 点B 到直线l 的距离为d B ， 点M 到直线l 的距离为d ， 则d A +d B =2d =2⋅2√2=2√2|t 2−t +1| =2√2|(t −12)2+34|，∴ 当t =12时，A ，B 两点到直线l 的距离之和最小，最小值为3√22. 【考点】直线与抛物线结合的最值问题 二次函数在闭区间上的最值 抛物线的标准方程 直线与圆的位置关系【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)∵ 直线l ：x −y +1=0与抛物线C 相切. 由{x −y +1=0，y 2=2px ，得y 2−2py +2p =0，从而Δ=4p 2−8p =0， 解得p =2.∴ 抛物线C 的方程为y 2=4x . (2)由于直线m 的斜率不为0，所以可设直线m 的方程为ty =x −1，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 由{ty =x −1，y 2=4x ，消去x 得y 2−4ty −4=0，∴ y 1+y 2=4t ，从而x 1+x 2=4t 2+2， ∴ 线段AB 的中点M 的坐标为(2t 2+1,2t). 设点A 到直线l 的距离为d A ， 点B 到直线l 的距离为d B ， 点M 到直线l 的距离为d ， 则d A +d B =2d =2⋅2√2=2√2|t 2−t +1| =2√2|(t −12)2+34|，∴ 当t =12时，A ，B 两点到直线l 的距离之和最小，最小值为3√22. 22. 【答案】（1）根据题意，椭圆的离心率为12，即e =ca =2，则a ＝2c ． 又∵ a 2＝b 2+c 2，∴ b =√3c ． ∴ 椭圆的标准方程为：x 24c 2+y 23c 2=1． 又∵ 点P(1, 32)为椭圆上一点，∴ 14c 2+943c 2=1，解得：c ＝1．∴ 椭圆的标准方程为：x 24+y 23=1．（2）由椭圆的对称性可知直线l 的斜率一定存在，设其方程为y ＝kx +1． 设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)．联列方程组：{x 24+y 23=1y =kx +1 ，消去y 可得：(3+4k 2)x 2+8kx −8＝0． ∴ 由韦达定理可知：x 1+x 2=−8k 3+4k2，x 1x 2=−83+4k 2．∵ k 1=y 1x 1+2，k 2=y 2x 1−2，且k 1＝2k 2，∴y 1x 1+2=2y 2x 2−2，即y 12(x 1+2)2=4y 22(x 2−2)2．①又∵ M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)在椭圆上， ∴ y 12=34(4−x 12)，y 22=34(4−x 22)．② 将②代入①可得：2−x 12+x 1=4(2+x 2)2−x 2，即3x 1x 2+10(x 1+x 2)+12＝0．∴ 3(−83+4k 2)+10(−8k3+4k 2)+12=0，即12k 2−20k +3＝0． 解得：k =16或k =32． 又由k >1，则k =32． 【考点】 椭圆的离心率 【解析】（1）根据题意，由椭圆离心率可得a ＝2c ，进而可得b =√3c ，则椭圆的标准方程为x 24c 2+y 23c 2=1，将P 的坐标代入计算可得c 的值，即可得答案； （2）根据题意，设直线l 的方程为y ＝kx +1，设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，将直线的方程与椭圆联立，可得(3+4k 2)x 2+8kx −8＝0，由根与系数的关系分析，：x 1+x 2=−8k 3+4k 2，x 1x 2=−83+4k 2，结合椭圆的方程与直线的斜率公式可得3(−83+4k 2)+10(−8k3+4k 2)+12=0，即12k 2−20k +3＝0，解可得k 的值，即可得答案． 【解答】（1）根据题意，椭圆的离心率为12，即e =c a=2，则a ＝2c ．又∵ a 2＝b 2+c 2，∴ b =√3c ． ∴ 椭圆的标准方程为：x 24c 2+y 23c 2=1． 又∵ 点P(1, 32)为椭圆上一点，∴ 14c 2+943c 2=1，解得：c ＝1．∴ 椭圆的标准方程为：x 24+y 23=1．（2）由椭圆的对称性可知直线l 的斜率一定存在，设其方程为y ＝kx +1． 设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)．联列方程组：{x 24+y 23=1y =kx +1 ，消去y 可得：(3+4k 2)x 2+8kx −8＝0．∴ 由韦达定理可知：x 1+x 2=−8k 3+4k 2，x 1x 2=−83+4k 2．∵ k 1=y 1x1+2，k 2=y 2x 1−2，且k 1＝2k 2，∴ y 1x 1+2=2y 2x 2−2，即y 12(x 1+2)2=4y 22(x 2−2)2．①又∵ M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)在椭圆上， ∴ y 12=34(4−x 12)，y 22=34(4−x 22)．② 将②代入①可得：2−x12+x 1=4(2+x 2)2−x 2，即3x 1x 2+10(x 1+x 2)+12＝0．∴ 3(−83+4k 2)+10(−8k 3+4k 2)+12=0，即12k 2−20k +3＝0．解得：k =16或k =32． 又由k >1，则k =32．。

第二章圆锥曲线与方程()(时间：分钟满分：分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分)．椭圆＋＝的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值是()．．．设椭圆＋＝ (>，>)的右焦点与抛物线＝的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为()＋＝＋＝＋＝＋＝．已知双曲线－＝(>，>)的一条渐近线方程是＝，它的一个焦点在抛物线＝的准线上，则双曲线的方程为()－＝－＝－＝－＝．是长轴在轴上的椭圆＋＝上的点，、分别为椭圆的两个焦点，椭圆的半焦距为，则·的最大值与最小值之差一定是()．．．．．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为()，则双曲线的标准方程为()－＝－＝－＝－＝．设>，则双曲线－＝的离心率的取值范围是()．(，) ．(，)．() ．(，).如图所示，在正方体—中，是侧面内一动点，若到直线与到直线的距离相等，则动点的轨迹所在的曲线是()．直线．圆．双曲线．抛物线．设为抛物线＝的焦点，、、为该抛物线上三点，若＋＋＝，则＋＋等于()．．．．．已知双曲线－＝(>，>)的右焦点为，若过点且倾斜角为°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是()．(] ．()．[，＋∞) ．(，＋∞)．若动圆圆心在抛物线＝上，且动圆恒与直线＋＝相切，则动圆必过定点()．() ．()．() ．(，－)．抛物线＝上到直线－＝距离最近的点的坐标是()．()．()．已知椭圆α－α＝ (≤α<π)的焦点在轴上，则α的取值范围是()题号答案二、填空题(本大题共小题，每小题分，共分)．椭圆的两个焦点为、，短轴的一个端点为，且三角形是顶角为°的等腰三角形，则此椭圆的离心率为．．点()平分双曲线－＝的一条弦，则这条弦所在直线的方程是．．设椭圆＋＝(>>)的左、右焦点分别是、，线段被点分成∶的两段，则此椭圆的离心率为．．对于曲线：＋＝，给出下面四个命题：①曲线不可能表示椭圆；。

02第二章圆锥曲线与方程2.1　曲线与方程课时过关·能力提升基础巩固1已知0≤α<2π,点P (cos α,sin α)在曲线(x-2)2+y 2=3上,则α的值为( ) A. B.π35π3C. D.π3或5π3π3或π6(cos α-2)2+sin 2α=3,得cos α=.12∵0≤α<2π,∴α=.π3或5π32方程(x-2)2+(y+2)2=0表示的图形是( )A.圆B.两条直线C.一个点D.两个点3已知等腰三角形ABC 底边两端点是A (-,0),B (,0),则顶点C 的轨迹是( )33A.一条直线B.一条直线去掉一点C.一个点D.两个点4已知动点P 在曲线2x 2-y=0上,则点A (0,-1)与点P 连线的中点的轨迹方程是( )A.y=2x 2B.y=8x 2C.y=8x 2-1D.2y=8x 2-1AP 的中点为M (x ,y ),点P (x 1,y 1),由中点坐标公式,得{x =x 12,y =y 1-12⇒{x 1=2x ,y 1=2y +1.由于P (x 1,y 1)在曲线2x2-y=0上,代入化简,得2y=8x 2-1.5在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知两点A (3,1),B (-1,3),若点C 满足=α+β,其中OC OA OB α,β∈R ,且α+β=1,则点C 的轨迹方程为( )A.3x+2y-11=0B.(x-1)2+(y-2)2=5C.2x-y=0D.x+2y-5=6方程x 2+y 2=1(xy<0)表示的曲线是( ).由xy<0,当x>0时,y<0,曲线应在第四象限;当x<0时,y>0,曲线应在第二象限,且与坐标轴均无交点.7若点A在方程x 2+(y+1)2=5表示的曲线上,则m= . (m 3,m )3或658已知两点M (-2,0),N (2,0),点P 满足=0,则点P 的轨迹方程为 .PM ·PNP 的坐标为(x ,y ),由=(-2-x ,-y )·(2-x ,-y )=x 2-4+y 2=0,得x 2+y 2=4,PM ·PN 则点P 的轨迹方程为x 2+y 2=4.2+y 2=49已知点P (x 0,y 0)在曲线f (x ,y )=0上,也在曲线g (x ,y )=0上,求证:点P 在曲线f (x ,y )+λg (x ,y )=0(λ∈R )上.P (x 0,y 0)在曲线f (x ,y )=0上,∴f (x 0,y 0)=0.同理g (x 0,y 0)=0,∴f (x 0,y 0)+λg (x 0,y 0)=0+λ·0=0(λ∈R ),即点P (x 0,y 0)在曲线f (x ,y )+λg (x ,y )=0(λ∈R )上.10已知A ,B 两点的坐标分别为A (0,-4),B (0,4),直线MA 与MB 的斜率之积为-1,求点M 的轨迹方程.M 的坐标为(x ,y ).∵直线MA 与MB 的斜率之积为-1,∴直线MA ,MB 都存在斜率,∴x ≠0.由A (0,-4),B (0,4),得k MA =,k MB =.y +4x y -4x 又k MA ·k MB =-1,∴=-1,化简得x 2+y 2=16.y +4x ·y -4x 故点M 的轨迹方程为x 2+y 2=16(x ≠0).能力提升1如图所示的曲线方程是( )A.|x|-y=0B.x-|y|=0C.-1=0x|y |D.-1=0|x |y选项中应是函数y=|x|,y ≥0,C,D 项中y ≠0,故选B .2已知点A (1,0),直线l :y=2x-4,点R 是直线l 上的一点,若,则点P 的轨迹方程为( )RA =APA.y=-2xB.y=2xC.y=2x-8 D.y=2x+4,知R ,A ,P 三点共线,且A 为RP 的中点.设P (x ,y ),R (x 1,y 1),R A =AP 则由,得(1-x 1,-y 1)=(x-1,y ),RA =AP 则即x 1=2-x ,y 1=-y ,将其代入直线y=2x-4中,得y=2x.故选B.{1-x 1=x -1,-y 1=y ,3已知O 是平面上的一个定点,A ,B ,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足+λOP =OA ,λ∈(0,+∞),则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )(AB|AB |AC|AC |)A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心由与∠BAC 的平分线共线,AB |AB |AC |AC |又λ>0,设λ(P'为∠BAC 的平分线上的点),则,(AB|AB |AC|AC |)=AP OP=OA +AP =OP 故,即点P'与点P 重合.于是点P 在∠BAC 的平分线上,即点P 的轨迹过△ABC 的内心.OP =OP '4已知两定点A (-2,0),B (1,0),若动点P 满足|PA|=2|PB|,则点P 的轨迹所围的面积等于( )A.9πB.8πC.4πD.πP (x ,y ),则=2,化简得x 2-4x+y 2=0.(x +2)2+y2(x -1)2+y 2即(x-2)2+y 2=4,点P 轨迹是以(2,0)为圆心,以2为半径的圆,S=π×22=4π.5已知由动点P 向圆O :x 2+y 2=1引两条切线PA ,PB ,切点分别为A ,B ,且∠APB=60°,则动点P 的轨迹方程为 . ,得OP=2,为定长,于是点P 的轨迹是以定点O 为圆心,以2为半径的圆.故点P 的轨迹方程为x 2+y 2=4.2+y 2=46已知过点A (4,1)的圆C 与直线x-y-1=0相切于点B (2,1),则圆C 的方程为 .C 的方程为(x-a )2+(y-b )2=r 2,圆心(a ,b )到直线x-y-1=0的距离d==r.①|a -b -1|2又圆C 过A (4,1),B (2,1),故(4-a )2+(1-b )2=r 2,②(2-a )2+(1-b )2=r 2.③由①②③,得a=3,b=0,r=.2因此,圆C 的方程为(x-3)2+y 2=2.x-3)2+y 2=27在平面直角坐标系xOy 中,点B 与点A (-1,1)关于原点O 对称,P 是动点,且直线AP 与BP 的斜率之积等于,则动点P 的轨迹方程为　.132-3y 2=-2(x ≠±1)8一个动点到直线x=8的距离是它到点A (2,0)的距离的2倍,求动点的轨迹方程.(x ,y ),则动点到直线x=8的距离为|x-8|,到点A 的距离为.(x -2)2+y 2由已知,得|x-8|=2,(x -2)2+y 2化简得3x 2+4y 2=48.故动点的轨迹方程为3x 2+4y 2=48.★9如图所示,已知A (-3,0),B ,C 两点分别在y 轴和x 轴上运动,点P 为BC 延长线上一点,并且满足,试求动点P 的轨迹方程.AB ⊥BP ,BC =12CPP (x ,y ),B (0,y'),C (x',0),则=(x',-y'),=(x-x',y ).BC CP 由,得(x',-y')=(x-x',y ),BC =12CP 12即x'=,y'=-,x 3y 2故B ,C .(0,-y2)(x 3,0)又A (-3,0),∴.AB =(3,-y 2),BP =(x ,32y )由,得=0,AB ⊥BP AB ·BP故3x-y 2=0,得y 2=4x ,34即为动点P 的轨迹方程.。

2.3.2　双曲线的简单几何性质课时过关·能力提升基础巩固1若等轴双曲线的一个焦点是F 1(-6,0),则其标准方程为( )A.=1B.=1x 29‒y 29y 29‒x 29 C.=1D.=1y 218‒x 218x 218‒y 218等轴双曲线的焦点在x 轴上,∴可设标准方程为=1(n>0),x 2n ‒y 2n ∴2n=36,∴n=18.故选D .2若中心在坐标原点,离心率为的双曲线的焦点在y 轴上,则它的渐近线方程为( )53A.y=±x B.y=±x 5445C.y=±xD.y=±x 4334=1(a>0,b>0),得e=.y 2a2‒x 2b2c a =53设a=3k ,c=5k (k ∈R ,且k>0),则b 2=c 2-a 2=25k 2-9k 2=16k 2,则b=4k.故其渐近线方程为y=±x.343已知双曲线=1的右焦点为(3,0),则该双曲线的离心率等于( )x 2a2‒y 25A. B. C. D.314143243243a 2+5=32⇒a=2⇒e=,选项C 正确.c a =324若直线过点(,0)且与双曲线x 2-y 2=2仅有一个公共点,则这样的直线有( )2A.1条B.2条C.3条D.4条5设双曲线=1(a>0)的渐近线方程为3x ±2y=0,则a 的值为( )x 2a 2‒y 29A.4 B.3C.2D.16点A (x 0,y 0)在双曲线=1的右支上,若点A 到右焦点的距离等于2x 0,则x 0= .x 24‒y 232(6,0),由题意,得解得x 0=2.{x 0≥2,(x 0-6)2+y 20=4x 20,x 204-y 2032=1,7设椭圆C 1的离心率为,焦点在x 轴上且长轴长为26.若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点513的距离的差的绝对值等于8,则曲线C 2的标准方程为 .=1y 298直线2x-y-10=0与双曲线=1的交点坐标是 .x 220‒y25或(143,-23)9设F 1,F 2分别是双曲线=1的左、右焦点,若双曲线上存在点A ,使∠F 1AF 2=90°,且x 2a2‒y 2b 2|AF 1|=3|AF 2|,求双曲线的离心率.AF 1⊥AF 2,所以|AF 1|2+|AF 2|2=|F 1F 2|2=4c 2.①因为|AF 1|=3|AF 2|,所以点A 在双曲线的右支上.则|AF 1|-|AF 2|=2a ,所以|AF 2|=a ,|AF 1|=3a ,代入到①式得(3a )2+a 2=4c 2,.c 2a 2=104所以e=.c a=10210求满足下列条件的双曲线方程:(1)以2x ±3y=0为渐近线,且经过点(1,2);(2)离心率为,虚半轴长为2;54(3)与椭圆x 2+5y 2=5共焦点且一条渐近线方程为y-x=0.3设所求双曲线方程为4x 2-9y 2=λ(λ≠0),将点(1,2)代入方程可得λ=-32,则所求双曲线方程为4x 2-9y 2=-32,即=1.9y 232‒x 28(2)由题意,得b=2,e=.c a =54令c=5k ,a=4k (k ∈R ,且k>0),则由b 2=c 2-a 2=9k 2=4,得k 2=.49则a 2=16k 2=,故所求的双曲线方程为649=1或=1.9x 264‒y 249y 264‒x 24(3)由已知得椭圆x 2+5y 2=5的焦点为(±2,0),又双曲线的一条渐近线方程为y-x=0,3则另一条渐近线方程为y+x=0.3设所求的双曲线方程为3x 2-y 2=λ(λ>0),则a 2=,b 2=λ.λ3所以c 2=a 2+b 2==4,所以λ=3.4λ3故所求的双曲线方程为x 2-=1.y 23能力提升1若双曲线mx 2+y 2=1的焦距是实轴长的倍,则m 的值为( )5A.- B.-4C.4D.1414mx 2+y 2=1是双曲线,∴m<0,且其标准方程为y 2-=1.x 21-m ∵焦距是实轴长的倍,∴虚轴长是实轴长的2倍.5∴-=4,即m=-.1m 142若双曲线=1的渐近线与圆(x-3)2+y 2=r 2(r>0)相切,则r=( )x 26‒y 23A. B.2C.3D.63y=±x ,圆心坐标为(3,0),由点到直线的距离公式和渐近线与圆相切,可22得圆心到渐近线的距离等于r ,即r=.|±32|2+4=326=33若0<k<a 2,则双曲线=1与=1有( )x 2a 2-k‒y 2b 2+k x 2a2‒y 2b 2A.相同的虚轴 B.相同的实轴C.相同的渐近线D.相同的焦点0<k<a 2,且a 2-k+b 2+k=a 2+b 2,∴有相同的焦点.★4设F 1,F 2分别是双曲线x 2-=1的左、右焦点.若P 在双曲线上,且=0,则||=y 29PF 1·PF 2PF 1+PF 2( )A.2B.C.2D.551010,知双曲线两个焦点的坐标分别为F 1(-,0),F 2(,0).1010设点P (x ,y ),则=(--x ,-y ),=(-x ,-y ).PF 110PF 210∵=0,∴x 2+y 2-10=0,即x 2+y 2=10.PF 1·PF 2∴||PF 1+PF 2=|PF 1|2+|PF 2|2+2PF 1·PF 2==2.2(x 2+y 2)+20105已知双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,P 是双曲线上一点,且x 2a2‒y 2b 2PF 1⊥PF 2,|PF 1|·|PF 2|=4ab ,则双曲线的离心率是 . PF 1⊥PF 2,所以由{|PF 1|2+|PF 2|2=4c 2,|PF 1|·|PF 2|=4ab ,||PF 1|-|PF 2||=2a ,得4c 2-4a 2=8ab ,所以b=2a ,c 2=5a 2,所以e=.5★6已知双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F 1(-c ,0),F 2(c ,0).若双曲线上存在一点P ,x 2a2‒y 2b 2使,则该双曲线的离心率的取值范围是 .sin∠PF 1F 2sin∠PF 2F 1=ac|PF 1|=|PF 2|.ca 由双曲线的定义,知|PF 1|-|PF 2|=2a ,则|PF 2|-|PF 2|=2a ,即|PF 2|=.ca 2a 2c -a 由双曲线的几何性质,知|PF 2|>c-a ,则>c-a ,即c 2-2ac-a 2<0,2a 2c -a 故e 2-2e-1<0,解得-+1<e<+1.22又e ∈(1,+∞),故双曲线的离心率e ∈(1,+1).2(1,+1)27设双曲线=1的右顶点为A ,右焦点为F ,过点F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲x 29‒y 216线交于点B ,求△AFB 的面积.双曲线方程为=1,x 29‒y 216∴渐近线方程为y=±x.43∵A (3,0),F (5,0),不妨令直线BF 的方程为y=(x-5),43代入双曲线方程,得(x 2-10x+25)=1.x 29‒116×169解得x=,∴y=-,∴B .1753215(175,-3215)∴S △AFB =(5-3)×.123215=32158已知双曲线的中心在原点,焦点F 1,F 2在坐标轴上,离心率为,且过点(4,-).210(1)求此双曲线的方程;(2)若点M (3,m )在此双曲线上,求证:=0.F 1M ·F 2Me=,所以a=b.c a=2设双曲线方程为x 2-y 2=n (n ≠0),因为点(4,-)在双曲线上,10所以n=42-(-)2=6.10所以双曲线方程为x 2-y 2=6.M (3,m )在双曲线上,所以m 2=3.又点F 1(-2,0),点F 2(2,0),33所以=-=-1.k MF 1·k MF 2=m 3+23·m 3-23m 23所以=0.F 1M ·F 2M ★9已知双曲线C :=1(a>0,b>0)的一个焦点是F (2,0),离心率e=2.x 2a2‒y 2b 2(1)求双曲线C 的方程;(2)若以k (k ≠0)为斜率的直线l 与双曲线C 相交于两个不同的点M ,N ,线段MN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为4,求实数k 的取值范围.由已知,得c=2.又e=2,则a=1,b=.3故所求的双曲线方程为x 2-=1.y 23(2)设直线l 的方程为y=kx+m (k ≠0),点M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)的坐标满足方程组{y =kx +m ,x 2-y 23=1,① ②将①式代入②式,整理,得(3-k 2)x 2-2kmx-m 2-3=0.此方程有两个不等实根,于是3-k 2≠0,且Δ=(-2km )2+4(3-k 2)(m 2+3)>0.整理,得m 2+3-k 2>0.③由根与系数的关系,可知线段MN 的中点坐标(x 0,y 0)满足x 0=,y 0=kx 0+m=.x 1+x 22=km 3-k23m3-k 2从而线段MN 的垂直平分线方程为y-=-.3m3-k21k(x -km 3-k 2)此直线与x 轴、y 轴的交点坐标分别为.(4km 3-k2,0),(0,4m 3-k 2)由题设可得=4.12|4km3-k2|·|4m 3-k 2|整理,得m 2=(k ≠0).(3-k 2)22|k |将上式代入③式,得+3-k 2>0,(3-k 2)22|k |整理,得(k 2-3)(k 2-2|k|-3)>0(k ≠0).解得0<|k|<或|k|>3.3故k 的取值范围是(-∞,-3)∪(-,0)∪(0,)∪(3,+∞).33。

2.3.2双曲线的简单几何性质课时目标 1.掌握双曲线的简单几何性质.2.了解双曲线的渐近性及渐近线的概念.3.掌握直线与双曲线的位置关系．1．双曲线的几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)图形性质焦点焦距范围对称性顶点轴长实轴长＝____，虚轴长＝____离心率渐近线一般地，设直线l：y＝kx＋m (m≠0)①双曲线C：x2a2－y2b2＝1 (a>0，b>0)②把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.(1)当b2－a2k2＝0，即k＝±ba时，直线l与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线C相交于________．(2)当b2－a2k2≠0，即k≠±ba时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)．Δ>0⇒直线与双曲线有________公共点，此时称直线与双曲线相交；Δ＝0⇒直线与双曲线有________公共点，此时称直线与双曲线相切；Δ<0⇒直线与双曲线________公共点，此时称直线与双曲线相离．一、选择题1．下列曲线中离心率为62的是()A.x22－y24＝1 B.x24－y22＝1C.x24－y26＝1 D.x24－y210＝12．双曲线x225－y24＝1的渐近线方程是()A ．y ＝±25xB ．y ＝±52xC ．y ＝±425xD ．y ＝±254x3．双曲线与椭圆4x 2＋y 2＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y ＝2x ，则双曲线的方程为( )A ．2x 2－4y 2＝1B ．2x 2－4y 2＝2C ．2y 2－4x 2＝1D ．2y 2－4x 2＝34．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±22xD ．y ＝±12x5．直线l 过点(2，0)且与双曲线x 2－y 2＝2仅有一个公共点，则这样的直线有( ) A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条6．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a>0，b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为( ) A .43B 53C . 2 D .73二、填空题7．两个正数a 、b 的等差中项是52，一个等比中项是6，且a>b ，则双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的离心率e ＝______.8．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，且a ＝10，c －b ＝6，则顶点A 运动的轨迹方程是________________．9．与双曲线x 29－y 216＝1有共同的渐近线，并且经过点(－3，23)的双曲线方程为__________． 三、解答题10．根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)经过点⎝⎛⎭⎫154，3，且一条渐近线为4x ＋3y ＝0；(2)P(0,6)与两个焦点连线互相垂直，与两个顶点连线的夹角为π3.11．设双曲线x 2－y 22＝1上两点A 、B ，AB 中点M(1,2)，求直线AB 的方程．能力提升12．设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( ) A .2B . 3C .3＋12D .5＋1213．设双曲线C ：x 2a2－y 2＝1 (a>0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点A 、B.(1)求双曲线C 的离心率e 的取值范围；1．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a>0，b>0)既关于坐标轴对称，又关于坐标原点对称；其顶点为(±a ，0)，实轴长为2a ，虚轴长为2b ；其上任一点P(x ，y)的横坐标均满足|x|≥a.2．双曲线的离心率e ＝c a 的取值范围是(1，＋∞)，其中c 2＝a 2＋b 2，且ba＝e 2－1，离心率e 越大，双曲线的开口越大．可以通过a 、b 、c 的关系，列方程或不等式求离心率的值或范围．3．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a>0，b>0)的渐近线方程为y ＝±b a x ，也可记为x 2a 2－y 2b 2＝0；与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1具有相同渐近线的双曲线的方程可表示为x 2a 2－y2b2＝λ (λ≠0)． 2.3.2 双曲线的简单几何性质知识梳理 1. 标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0) 图形性质 焦点 F 1(－c,0)，F 2(c,0)F 1(0，－c )，F 2(0，c )焦距 |F 1F 2|＝2c范围 x ≥a 或x ≤－a ，y ∈R y ≥a 或y ≤－a ，x ∈R对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称顶点 (－a,0)，(a,0) (0，－a )，(0，a ) 轴长实轴长＝2a ，虚轴长＝2b离心率 e ＝ca(e >1)渐近线 y ＝±b a x y ＝±abx作业设计1．B [∵e ＝62，∴e 2＝c 2a 2＝32，∴b 2a 2＝12，故选B.]2．A3．C [由于椭圆4x 2＋y 2＝1的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，±32，则双曲线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，±32，又由渐近线方程为y ＝2x ，得a b ＝2，即a 2＝2b 2，又由⎝⎛⎭⎫322＝a 2＋b 2，得a 2＝12，b 2＝14，又由于焦点在y 轴上，因此双曲线的方程为2y 2－4x 2＝1.故选C.]4．C [由题意知，2b ＝2,2c ＝23，则b ＝1，c ＝3，a ＝2；双曲线的渐近线方程为y＝±22x .]5．C [点(2，0)即为双曲线的右顶点，过该点有两条与双曲线渐近线平行的直线与双曲线仅有一个公共点，另过该点且与x 轴垂直的直线也与双曲线只有一个公共点．]6．B [||PF 1|－|PF 2||＝2a ，即3|PF 2|＝2a ，所以|PF 2|＝2a3≥c －a ，即2a ≥3c －3a ，即5a ≥3c ，则c a ≤53.] 7.133解析 a ＋b ＝5，ab ＝6，解得a ，b 的值为2或3.又a >b ，∴a ＝3，b ＝2.∴c ＝13，从而e ＝c a ＝133.8.x 29－y 216＝1(x >3) 解析 以BC 所在直线为x 轴，BC 的中点为原点建立直角坐标系，则B (－5,0)，C (5,0)，而|AB |－|AC |＝6<10.故A 点的轨迹是双曲线的右支，其方程为x 29－y 216＝1(x >3)．9.x 294－y24＝1 解析 ∵所求双曲线与双曲线x 29－y 216＝1有相同的渐近线，∴可设所求双曲线的方程为x 29－y216＝λ (λ≠0)．∵点(－3,23)在双曲线上， ∴λ＝(－3)29－(23)216＝14.∴所求双曲线的方程为x 294－y 24＝1.10．解 (1)因直线x ＝154与渐近线4x ＋3y ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫154，－5，而3<|－5|，故双曲线的焦点在x 轴上，设其方程为x 2a 2－y 2b2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫1542a 2－32b2＝1，b 2a 2＝⎝⎛⎭⎫432，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝16.故所求的双曲线方程为x 29－y 216＝1.(2)设F 1、F 2为双曲线的两个焦点．依题意，它的焦点在x 轴上．因为PF 1⊥PF 2，且|OP |＝6，所以2c ＝|F 1F 2|＝2|OP |＝12，所以c ＝6.又P 与两顶点连线夹角为π3，所以a ＝|OP |·tan π6＝23，所以b 2＝c 2－a 2＝24.故所求的双曲线方程为x 212－y 224＝1.11．解 方法一 (用韦达定理解决) 显然直线AB 的斜率存在．设直线AB 的方程为y －2＝k (x －1)， 即y ＝kx ＋2－k ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2－k x 2－y 22＝1得(2－k 2)x 2－2k (2－k )x －k 2＋4k －6＝0， 当Δ>0时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则1＝x 1＋x 22＝k (2－k )2－k 2，∴k ＝1，满足Δ>0，∴直线AB 的方程为y ＝x ＋1. 方法二 (用点差法解决)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 21－y 212＝1x 22－y 222＝1， 两式相减得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝12(y 1－y 2)(y 1＋y 2)．∵x 1≠x 2，∴y 1－y 2x 1－x 2＝2(x 1＋x 2)y 1＋y 2，∴k AB ＝2×1×22×2＝1，∴直线AB 的方程为y ＝x ＋1，代入x 2－y 22＝1满足Δ>0.∴直线AB 的方程为y ＝x ＋1. 12.D [设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，如图所示，双曲线的一条渐近线方程为y ＝bax ，而k BF ＝－b c ，∴b a ·(－bc)＝－1，整理得b 2＝ac .∴c 2－a 2－ac ＝0，两边同除以a 2，得e 2－e －1＝0，解得e ＝1＋52或e ＝1－52(舍去)，故选D.]13．解 (1)由双曲线C 与直线l 相交于两个不同的点得⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2＝1，x ＋y ＝1有两个不同的解，消去y 并整理得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0，①∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠0，Δ＝4a 4＋8a 2(1－a 2)>0， 解得－2<a <2且a ≠±1. 又∵a >0，∴0<a <2且a ≠1.∵双曲线的离心率e ＝1＋a 2a ＝1a 2＋1，∴0<a <2，且a ≠1，∴e >62且e ≠ 2.∴双曲线C 的离心率e 的取值范围是 ⎝⎛⎭⎫62，2∪(2，＋∞)． (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (0,1)．∴(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1)， 由此可得x 1＝512x 2.∵x 1，x 2都是方程①的根，且1－a 2≠0，∴x 1＋x 2＝1712x 2＝－2a 21－a 2，x 1x 2＝512x 22＝－2a 21－a 2，消去x 2得－2a 21－a 2＝28960，即a 2＝289169.又∵a >0，∴a ＝1713.。

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．准线与x轴垂直，且经过点(1，－2)的抛物线的标准方程是()A．y2＝－2x B．y2＝2xC．x2＝2y D．x2＝－2y【解析】由题意可设抛物线的标准方程为y2＝ax，则(－2)2＝a，解得a＝2，因此抛物线的标准方程为y2＝2x，故选B.【答案】 B2．以双曲线x216－y29＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为()A．y2＝16x B．y2＝－16x C．y2＝8x D．y2＝－8x【解析】因为双曲线x216－y29＝1的右顶点为(4，0)，即抛物线的焦点坐标为(4，0)，所以抛物线的标准方程为y2＝16x.【答案】 A3．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的斜率为2，且右焦点与抛物线y2＝43x的焦点重合，则该双曲线的离心率等于()A. 2B. 3C ．2D ．2 3【解析】 抛物线的焦点为(3，0)，即c ＝ 3.双曲线的渐近线方程为y ＝b a x ，由ba ＝2，即b ＝2a ，所以b 2＝2a 2＝c 2－a 2，所以c 2＝3a 2，即e 2＝3，e ＝3，即离心率为 3.【答案】 B4．抛物线y 2＝12x 的准线与双曲线y 23－x 29＝－1的两条渐近线所围成的三角形的面积为( )A ．3 3B ．2 3C ．2D. 3【解析】 抛物线y 2＝12x 的准线为x ＝－3，双曲线的两条渐近线为y ＝±33x ，它们所围成的三角形为边长等于23的正三角形，所以面积为33，故选A.【答案】 A5．抛物线y 2＝8x 的焦点到准线的距离是( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．8【解析】 由y 2＝2px ＝8x 知p ＝4，又焦点到准线的距离就是p .故选C.【答案】 C 二、填空题6．抛物线y 2＝2x 上的两点A ，B 到焦点的距离之和是5，则线段AB 的中点到y 轴的距离是________．【解析】 抛物线y 2＝2x 的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，准线方程为x ＝－12，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AF |＋|BF |＝x 1＋12＋x 2＋12＝5，解得x 1＋x 2＝4，故线段AB 的中点横坐标为2.故线段AB 的中点到y 轴的距离是2.【答案】 27．对标准形式的抛物线，给出下列条件：①焦点在y 轴上；②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2，1)．其中满足抛物线方程为y 2＝10x 的是________．(要求填写适合条件的序号)【解析】 抛物线y 2＝10x 的焦点在x 轴上，②满足，①不满足；设M (1，y 0)是y 2＝10x 上的一点，则|MF |＝1＋p 2＝1＋52＝72≠6，所以③不满足；由于抛物线y 2＝10x 的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，过该焦点的直线方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －52，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2，1)时，则k ＝－2，此时存在，所以④满足．【答案】 ②④8．抛物线y ＝2x 2的准线方程为________．【解析】 化方程为标准方程为x 2＝12y ，故p 2＝18，开口向上， ∴准线方程为y ＝－18. 【答案】 y ＝－18 三、解答题9．求焦点在x 轴上，且焦点在双曲线x 24－y 22＝1上的抛物线的标准方程．【解】 由题意可设抛物线方程为y 2＝2mx (m ≠0)，则焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，0. ∵焦点在双曲线x 24－y 22＝1上， ∴m 24×4＝1，求得m ＝±4， ∴所求抛物线方程为y 2＝8x 或y 2＝－8x .10．已知平面上动点P 到定点F (1，0)的距离比点P 到y 轴的距离大1，求动点P 的轨迹方程. 【导学号：18490069】【解】 法一 设点P 的坐标为(x ，y )， 则有（x －1）2＋y 2＝|x |＋1. 两边平方并化简，得y 2＝2x ＋2|x |.∴y 2＝⎩⎪⎨⎪⎧4x （x ≥0），0（x ＜0），即点P 的轨迹方程为y 2＝4x (x ≥0)或y ＝0(x ＜0)．法二 由题意知，动点P 到定点F (1，0)的距离比到y 轴的距离大1，由于点F (1，0)到y 轴的距离为1，故当x ＜0时，直线y ＝0上的点符合条件；当x ≥0时，原命题等价于点P 到点F (1，0)与到直线x ＝－1的距离相等，故点P 的轨迹是以F 为焦点，x ＝－1为准线的抛物线，方程为y 2＝4x .故所求动点P 的轨迹方程为y 2＝4x (x ≥0)或y ＝0(x ＜0)．[能力提升]1．已知P 为抛物线y 2＝4x 上的一个动点，直线l 1：x ＝－1，l 2：x ＋y ＋3＝0，则P 到直线l 1，l 2的距离之和的最小值为( )A ．2 2B ．4 C. 2D.322＋1【解析】 将P 点到直线l 1：x ＝－1的距离转化为点P 到焦点F (1，0)的距离，过点F 作直线l 2的垂线，交抛物线于点P ，此即为所求最小值点，∴P 到两直线的距离之和的最小值为|1＋0＋3|12＋12＝22，故选A. 【答案】 A2．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点O 为原点，若|AF |＝3，则△AOB 的面积为( )A.22 B. 2 C.322D ．2 2【解析】 根据题意画出简图(图略)，设∠AFO ＝θ(0<θ<π)，|BF |＝m ，则点A 到准线l ：x ＝－1的距离为3，得3＝2＋3cos θ，得cosθ＝13，又m ＝2＋m cos(π－θ)，得m ＝21＋cos θ＝32，△AOB 的面积为S ＝12·|OF |·|AB |·sin θ＝12×1×⎝⎛⎭⎪⎫3＋32×223＝322，故选C.【答案】 C3．如图2-4-1是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2 m ，水面宽4 m ．水位下降1 m 后，水面宽________m.图2-4-1【解析】 以拱顶为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．设抛物线的标准方程为x 2＝－2py (p >0)． 则A (2，－2)，代入方程得p ＝1， ∴抛物线的方程为x 2＝－2y ，设B (x 0，－3)(x 0<0)代入方程得x 0＝－ 6. ∴此时的水面宽度为2 6 m. 【答案】 2 64．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 1，点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－263是两条曲线的一个公共点. 【导学号：18490070】(1)求抛物线的方程； (2)求双曲线的方程．【解】 (1)把M ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－263代入方程y 2＝2px ， 得p ＝2，因此抛物线的方程为y 2＝4x .(2)抛物线的准线方程为x ＝－1，所以F 1(－1，0)，设双曲线的右焦点为F ，则F (1，0)，于是2a ＝||MF 1|－|MF ||＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪73－53＝23，因此a ＝13.又因为c ＝1，所以b 2＝c 2－a 2＝89，于是，双曲线的方程为x 219－y 289＝1.。

.
解析:抛物线的焦点为(1,0),准线方程为 x=-1,p=2.
由抛物线的定义,知|AB|=|AF|+|BF|=x1++x2+=x1+x2+p,即 x1+x2+p=7,
故 x1+x2=5.
于是弦 AB 的中点 M 的横坐标为,
因此点 M 到抛物线准线的距离为+1=.
答案:
9 若双曲线=1(p>0)的左焦点在抛物线 y2=2px 的准线上,则
A.y=x-1 或 y=-x+1
B.y=(x-1)或 y=-(x-1)
C.y=(x-1)或 y=-(x-1)
D.y=(x-1)或 y=-(x-1)
答案:C
8 过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,
若|AB|=7,则 AB 的中点 M 到抛物线准线的距离为
设 A(x1,y2),B(x2,y2),则|AB|=x1+x2+=4,即 x1+x2=,
则弦 AB 的中点的横坐标是,故弦 AB 的中点到直线 x+=0 的距离是.
答案:C
3 已知抛物线 C:y2=8x 的焦点为 F,准线与 x 轴的交点为 K,点 A 在 C 上,
且|AK|=|AF|,则△AFK 的面积为
()
A.4
B.8
C.16
D.32
解析:∵抛物线 C:y2=8x 的焦点为 F(2,0),准线为 x=-2,∴K(-2,0).
设 A(x0,y0),如图所示,过点 A 向准线作垂线,垂足为 B,
则 B(-2,y0).
∵|AK|=|AF|,
且|AF|=|AB|=x0-(-2)=x0+2,

1
9 16
x2 y2
B．
1
25 16
x2
C．
y 2 1 或 x2
y2 1
25 16
16 25
D ．以上都不对
3．动点 P 到点 M (1,0) 及点 N (3,0) 的距离之差为 2 ，则点 P 的轨迹是（
）
A ．双曲线
B．双曲线的一支
C．两条射线 D．一条射线
4．设双曲线的半焦距为 c ，两条准线间的距离为 d ，且 c d ，
k8 9
2
2．双曲线 8kx2 ky2 8 的一个焦点为 (0,3) ，则 k 的值为 ______________ 。
3．若直线 x y 2 与抛物线 y 2 4 x 交于 A 、 B 两点，则线段 AB 的中点坐标是 ______。 4．对于抛物线 y2 4x 上任意一点 Q ，点 P(a,0) 都满足 PQ a ，则 a 的取值范围是 ____。离心率为
3
，则它的长半轴长为 _______________.
2
2．双曲线的渐近线方程为 x 2 y 0 ，焦距为 10，这双曲线的方程为 _______________。
2
2
x
3．若曲线
y
1 表示双曲线，则 k 的取值范围是
。
4 k 1k
4．抛物线 y 2 6 x 的准线方程为＿＿＿＿＿ .
49 24
则△ PF1F2 的面积为（
）
A． 20 B． 22 C． 28 D． 24
3．若点 A 的坐标为 (3,2) ， F 是抛物线 y 2 2x 的焦点，点 M 在
抛物线上移动时，使 MF MA 取得最小值的 M 的坐标为（
）
A． 0,0

2.2椭圆2.2.1椭圆及其标准方程课时过关·能力提升基础巩固1a=6,c=1的椭圆的标准方程是()A.x 236+y235=1B.y 236+x235=1C.x 236+y21=1D.x 236+y235=1或y236+x235=12椭圆x 225+y2=1上的一个点P到一个焦点的距离为2,则点P到另一个焦点的距离为() A.5 B.6 C.7 D.8a2=25,∴a=5,2a=10.设P到另一个焦点的距离为d,由椭圆的定义知,d+2=2a=10,故d=8.3如果方程x 2a2+y2a+6=1表示焦点在x轴上的椭圆,那么实数a的取值范围是()A.a>3B.a<-2C.a>3或a<-2D.a>3或-6<a<-24已知椭圆x 225+y29=1上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为2,N是MF的中点,O为坐标原点,那么线段ON的长是()A.2B.4C.8D.325若椭圆的对称轴在坐标轴上,短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形,焦点到椭圆上点的最短距离为 3,则这个椭圆的方程为( ) A.x 212+y 29=1B.x 29+y 212=1 C.x 212+y 29=1或x 29+y 212=1 D.以上都不对6椭圆x 29+y 22=1的焦点为F 1,F 2,点P 在椭圆上.若|PF 1|=4,则|PF 2|=,∠F 1PF 2的大小为 .|PF 1|+|PF 2|=6,且|PF 1|=4,知|PF 2|=2.在△PF 1F 2中,cos ∠F 1PF 2=|PF 1|2+|PF 2|2-|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|=-12. 故∠F 1PF 2=120°.120°7已知F 1,F 2是椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C 上一点,且PF 1 ⊥PF 2 .若△PF 1F 2的面积为9,则b= .,有 |PF 1|+|PF 2|=2a ,|PF 1|·|PF 2|=18,|PF 1|2+|PF 2|2=4c 2,解得4c 2+36=4a 2, 即a 2-c 2=9,故b=3.8已知椭圆的两焦点坐标分别是(-2,0),(2,0),并且经过点 52,-32 ,求它的标准方程.椭圆的焦点在x 轴上,∴可设标准方程为x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0).∵2a= 5+2 2+ -3 2+ 5-2 2+ -32=2 10,∴a= 10,a 2=10.∵c=2,∴c 2=4,∴b 2=a 2-c 2=6.故椭圆方程为x 210+y 26=1.9已知椭圆x 24+y 2=1的左、右焦点分别为F 1,F 2,过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交,一个交点为P ,求|PF 2|的长.F 1的坐标为(- ,0).设P (- 3,y ),把P (- 3,y )代入椭圆的方程中, 得|y|=12,即|PF 1|=12.根据椭圆的定义,得|PF 1|+|PF 2|=4, 故|PF 2|=4-|PF 1|=4-12=72.能力提升1已知两椭圆ax 2+y 2=8与9x 2+25y 2=100的焦距相等,则a 的值为( ) A.9或917 B.34或32 C.9或34D.917或32椭圆9x 2+25y2=100的标准方程为x 21009+y 2=1,∴焦点在x 轴上,且c 2=1009-4=649, ∴c=83.又∵椭圆ax 2+y 2=8的标准方程为x 28a+y 2=1,∴8a -8=649或8-8a =649, 解得a=917或a=9.2已知椭圆x 24+y 2=1的焦点为F 1,F 2,点M 在该椭圆上,且MF 1 ·MF 2 =0,则点M 到x 轴的距离为( ) A.2 3B.2 6C. 3D. 33若点O 和点F 分别为椭圆x 24+y 23=1的中心和左焦点,点P 为椭圆上的任意一点,则OP·FP 的最大值为 ( )A.2B.3C.6D.8,得F (-1,0),设点P (x 0,y 0),则y 02=3 1-x 02,OP ·FP =x 0(x 0+1)+y 02=x 02+x 0+y 02=x 02+x 0+3 1-x 02=1(x 0+2)2+2,当x 0=2时,OP ·FP 取得最大值为6.4已知F 1,F 2是椭圆x 224+y 249=1的两个焦点,P 是椭圆上一点,且|PF 1|∶|PF 2|=4∶3,则△PF 1F 2的面积等于 ( )A.24B.26C.22 2D.24 2a 2=49,a=7,所以|PF 1|+|PF 2|=2a=14. 又因为|PF 1|∶|PF 2|=4∶3, 所以|PF 1|=8,|PF 2|=6.又因为|F 1F 2|=2c=2 49-24=10, 所以|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2, 所以PF 1⊥PF 2.故△PF 1F 2的面积S=12|PF 1|·|PF 2|=12×8×6=24.5已知F 1,F 2为椭圆x 225+y 29=1的两个焦点,过F 1的直线交椭圆于A ,B 两点,若|F 2A|+|F 2B|=12,则|AB|= .,知|F 2A|+|F 1A|+|F 2B|+|F 1B|=4a=20,则|F 1A|+|F 1B|=|AB|=20-12=8.6若方程x 2a +ay 2=1表示椭圆,则实数a 满足的条件是 .将x 2+ay 2=1化为x 2+y 21a=1.由题意,得a>0,且a ≠1a,解得a>0,且a ≠1.0,且a ≠1 7F 1,F 2分别是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,M ,N 分别为其短轴的两个端点,且四边形MF 1NF 2的周长为4,设过F 1的直线l 与椭圆相交于A ,B 两点,且|AB|=43,则|AF 2|·|BF 2|的最大值为 . 8求符合下列条件的椭圆的标准方程: (1)过点A 6, 3 和B 2 2,1 的椭圆;(2)过点(-3,2),且与x 29+y 24=1有相同焦点的椭圆.设所求椭圆方程为mx 2+ny 2=1(m>0,n>0,m ≠n ).∵椭圆过点A 6, 3 和B2 2,1 , ∴ m · 63 2+n ·( 3)2=1,m · 2 23 2+n ·12=1, 解得m=1,n=19.∴所求椭圆的标准方程为x 2+y 2=1.(2)∵已知椭圆x 2+y 2=1中a=3,b=2,且焦点在x 轴上,∴c 2=9-4=5.∴设所求椭圆方程为x 2a '2+y 2a '2-5=1.∵点(-3,2)在所求椭圆上,∴9a '2+4a '2-5=1.∴a'2=15.∴所求椭圆方程为x 2+y 2=1.★9已知点M 在椭圆x 236+y 29=1上,MP'垂直于椭圆焦点所在的直线,垂足为P',并且M 为线段PP'的中点,求点P 的轨迹方程.人教A版2018-2019学年高中数学选修2-1习题P(x,y),点M坐标为(x0,y0).∵点M在椭圆x 236+y29=1上,∴x0236+y029=1.∵M是线段PP'的中点,∴x0=x, y0=y.把x0=x,y0=y代入x02+y02=1,得x2+y2=1,即x2+y2=36.故点P的轨迹方程为x2+y2=36.。

又������23=8x3,即[2 2(2λ-1)]2=8(4λ+1),
可得(2λ-1)2=4λ+1,解得 λ=0 或 λ=2.
★ 9 学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验,设计方案如右图.航天器运行(按顺时针
������2 + ������2 方向)的轨迹方程为100 25=1,变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以 y 轴为
为
m.
解析:建立如图所示的平面直角坐标系.
设抛物线的方程为 x2=-2py(p>0),由点(2,-2)在抛物线上,可得 p=1,则抛物线方程为 x2=-2y.当 y=3 时,x=± 6,故水面宽为 2 6 m. 答案:2 6
7 已知抛物线 C 的顶点在原点,焦点 F 在 x 轴的正半轴上,设 A,B 是抛物线 C 上的两个动点(AB 不
( ) 对称轴、M 0,674 为顶点的抛物线的实线部分,降落点为 D(8,0).观测点 A(4,0),B(6,0)同时跟踪航天器.
(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程. (2)试问:当航天器在 x 轴上方时,观测点 A,B 测得离航天器的距离分别为多少时,应向航天器发出变轨 指令?
64
解:(1)设曲线方程为 y=ax2+ 7 (a<0),
( ) 解:(1)直线 AB 的方程是 y=2
2
������
-
������ 2
,与
y2=2px
联立,从而有
4x2-5px+p2=0,
5������
故 x1+x2= 4 .
由抛物线定义,得|AB|=x1+x2+p=9,即 p=4. 故抛物线的方程为 y2=8x. (2)由(1),得 p=4,代入 4x2-5px+p2=0,得 x2-5x+4=0,解得 x1=1,x2=4, 则 y1=-2 2,y2=4 2. 故 A(1,-2 2),B(4,4 2). 设������������=(x3,y3)=(1,-2 2)+λ(4,4 2)=(1+4λ,-2 2+4 2λ),

第二章 2.2.2考点 对应题号基础训练能力提升 1.证明线线垂直 1,9 6,7,13 2.证明线面垂直 4 5,10,12 3.证明面面垂直2,38,11一、选择题1．设l 1的方向向量为a ＝(1,2，－2)，l 2的方向向量为b ＝(－2,3，m )，若l 1⊥l 2，则m ＝( )A ．1B ．2C ．12D ．3 B 解析 由题意可得a ⊥b ，所以a·b ＝0，所以1×(－2)＋2×3＋(－2)×m ＝0，所以m ＝2.2．若平面α与β的法向量分别是a ＝(4,0，－2)，b ＝(1,0,2)，则平面α与β的位置关系是( )A ．平行B ．垂直C ．相交不垂直D ．无法判断B 解析 因为a·b ＝0，所以a ⊥b ，所以α⊥β.3．若平面α，β的法向量分别为a ＝(－1,2,4)，b ＝(x ，－1，－2)，并且α⊥β，则x 的值为( )A ．10B ．－10C ．12D ．－12B 解析 因为α⊥β，所以平面α，β的两个法向量垂直．所以a·b ＝(－1)×x ＋2×(－1)＋4×(－2)＝0，所以x ＝－10.4．若直线l 的方向向量为v ＝(2,2,2)，向量m ＝(1，－1,0)及n ＝(0,1，－1)都与平面α平行，则( )A ．l ⊥αB ．l ∥αC ．l ⊂αD ．l 与α相交但不垂直A 解析 因为v ·m ＝2－2＋0＝0，v ·n ＝0＋2－2＝0，所以v ⊥m ，且v ⊥n .又m 与n 不平行，所以v ⊥α，即l ⊥α.5．已知平面α内有一个点A (2，－1,2)，它的一个法向量为n ＝(3,1,2)，则下列点P 中，在平面α内的是( )A ．P (1，－1,1)B ．P ⎝⎛⎭⎫1，3，32 C ．P ⎝⎛⎭⎫1，－3，32 D ．P ⎝⎛⎭⎫－1，3，－32 B 解析 要判断点P 是否在平面内，只需判断向量P A →与平面的法向量n 是否垂直，即P A →·n 是否为0即可．因此，要对各个选项进行逐个检验．对于选项A ，P A →＝(1,0,1)，则P A →·n ＝(1,0,1)·(3,1,2)＝5≠0，故排除A 选项；同理可排除C ，D 选项；对于选项B ，P A →＝⎝⎛⎭⎫1，－4，12，则P A →·n ＝⎝⎛⎭⎫1，－4，12·(3,1,2)＝0. 6．在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，若E 为A 1C 1的中点，则直线CE 垂直于直线( ) A ．AC B ．BD C ．A 1DD ．A 1AB 解析 建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为1. 则A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，C 1(0,1,1)，E ⎝⎛⎭⎫12，12，1，所以CE →＝⎝⎛⎭⎫12，－12，1，AC →＝(－1,1,0)，BD →＝(－1，－1,0)，A 1D →＝(－1,0，－1)，A 1A →＝(0,0，－1)．因为CE →·BD →＝(－1)×⎝⎛⎭⎫12＋(－1)×⎝⎛⎭⎫－12＋0×1＝0，所以CE ⊥BD . 二、填空题7．已知点A ，B ，C 的坐标分别为(0,1,0)，(－1,0,1)，(2,1,1)，点P 的坐标为(x,0，z )，若P A →⊥AB →，P A →⊥AC →，则点P 的坐标为________.解析 P A →＝(－x,1，－z )，AB →＝(－1，－1,1)，AC →＝(2,0,1)，因为P A →·AB →＝0，P A →·AC →＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －1－z ＝0，－2x －z ＝0，所以x ＝13，z ＝－23.答案 ⎝⎛⎭⎫13，0，－23 8．已知a ＝(0,1,1)，b ＝(1,1,0)，c ＝(1,0,1)分别是平面α，β，γ的法向量，则α，β，γ三个平面中互相垂直的有________对．解析 因为a·b ＝(0,1,1)·(1,1,0)＝1≠0，a·c ＝(0,1,1)·(1,0,1)＝1≠0，b·c ＝(1,1,0)·(1,0,1)＝1≠0.所以a ，b ，c 中任意两个都不垂直，即α，β，γ中任意两个都不垂直．答案 09．在空间直角坐标系中，已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，AP →＝(－1，2，－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的一个法向量；④AP →∥BD →.其中正确的是________.解析 因为AB →·AP →＝－2－2＋4＝0，所以AP ⊥AB ，①正确；AP →·AD →＝－4＋4＝0，所以AP ⊥AD ，②正确；由①②且AB ∩AD ＝A ，知AP →是平面ABCD 的一个法向量，③正确；④错误．答案 ①②③ 三、解答题10．如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥平面ABCD ，AP ＝AB ＝2，BC ＝22，E ，F 分别是AD ，PC 的中点．求证：PC ⊥平面BEF .证明 如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．因为AP ＝AB ＝2，BC ＝AD ＝22，四边形ABCD 是矩形． 所以A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (2,22，0)，D (0,22，0)，P (0,0,2)． 又E ，F 分别是AD ，PC 的中点， 所以E (0，2，0)，F (1，2，1)．所以PC →＝(2,22，－2)，BF →＝(－1，2，1)，EF →＝(1,0,1)． 所以PC →·BF →＝－2＋4－2＝0，PC →·EF →＝2＋0－2＝0. 所以PC →⊥BF →，PC →⊥EF →.所以PC ⊥BF ，PC ⊥EF .又BF ∩EF ＝F ， 所以PC ⊥平面BEF .11．如图，在三棱锥P －ABC 中，三条侧棱P A ，PB ，PC 两两垂直，且P A ＝PB ＝PC ＝3，G 是△P AB 的重心，E ，F 分别为BC ，PB 上的点，且BE ∶EC ＝PF ∶FB ＝1∶2.(1)求证：平面GEF ⊥平面PBC ； (2)求证：EG 与直线PG 和BC 都垂直．证明 (1)如图，以三棱锥的顶点P 为原点，以P A ，PB ，PC 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系Pxyz .则A (3,0,0)，B (0,3,0)，C (0,0,3)，E (0,2,1)，F (0,1,0)，G (1,1,0)，P (0,0,0)．于是EF →＝(0，－1，－1)，EG →＝(1，－1，－1)．设平面GEF 的法向量是n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·EG →＝0，n ·EF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －y －z ＝0，y ＋z ＝0，可取n ＝(0,1，－1)．显然P A →＝(3,0,0)是平面PBC 的一个法向量．又n ·P A →＝0，所以n ⊥P A →，即平面PBC 的法向量与平面GEF 的法向量垂直，所以平面GEF ⊥平面PBC ．(2)由(1)知EG →＝(1，－1，－1)，PG →＝(1,1,0)，BC →＝(0，－3，3)，又EG →·PG →＝0，EG →·BC →＝0，所以EG ⊥PG ，EG ⊥BC ，于是EG 与直线PG 和BC 都垂直．12．如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，EF ∥AB ，EF ⊥FB ，AB ＝2EF ，∠BFC ＝90°，BF ＝FC ，H 为BC 的中点．(1)求证：FH ∥平面EDB ； (2)求证：AC ⊥平面EDB ．证明 因为四边形ABCD 为正方形，所以AB ⊥BC ． 又EF ∥AB ，所以EF ⊥BC ． 又EF ⊥FB ，所以EF ⊥平面BFC ． 所以EF ⊥FH ，所以AB ⊥FH . 又BF ＝FC ，H 为BC 的中点， 所以FH ⊥BC ，而AB ∩BC ＝B ， 所以FH ⊥平面ABCD .以H 为坐标原点，HB →为x 轴正向，HF →为z 轴正向建立如图所示的空间直角坐标系． 设BH ＝1，则H (0,0,0)，A (1，－2,0)，B (1,0,0)，C (－1,0,0)，D (－1，－2,0)，E (0，－1,1)，F (0,0,1)．(1)设AC 与BD 的交点为G ，连接GE ，GH ， 则G (0，－1,0)，所以GE →＝(0,0,1)． 又HF →＝(0,0,1)，所以HF →∥GE →.因为GE ⊂平面EDB ，HF 不在平面EDB 内， 所以FH ∥平面EDB ．(2)因为AC →＝(－2,2,0)，GE →＝(0,0,1)，AC →·GE →＝0， 所以AC ⊥GE .又AC ⊥BD ，EG ∩BD ＝G ， 所以AC ⊥平面EDB ． 四、选做题13．如图，在四棱锥P ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD ＝DC ，E ，F 分别是AB ，PB 的中点．(1)求证：EF ⊥CD ；(2)在平面P AD 内求一点G ，使GF ⊥平面PCB ，并证明你的结论．解析 (1)证明：以DA ，DC ，DP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．设AD ＝a ，则D (0,0,0)，B (a ，a,0)，C (0，a,0)，E ⎝⎛⎭⎫a ，a 2，0，P (0,0，a )，F ⎝⎛⎭⎫a 2，a 2，a 2，所以EF →＝⎝⎛⎭⎫－a 2，0，a 2，DC →＝(0，a,0)， 因为EF →·DC →＝⎝⎛⎭⎫－a 2，0，a 2·(0，a,0)＝0， 所以EF ⊥CD .(2)因为G ∈平面P AD ，设G (x,0，z )， 所以FG →＝⎝⎛⎭⎫x －a 2，－a 2，z －a 2. 由(1)知，CB →＝(a,0,0)，CP →＝(0，－a ，a )． 由题意，要使GF ⊥平面PCB ， 只需FG →·CB →＝⎝⎛⎭⎫x －a2，－a 2，z －a 2·(a,0,0) ＝a ⎝⎛⎭⎫x －a2＝0， FG →·CP →＝⎝⎛⎭⎫x －a 2，－a 2，z －a 2·(0，－a ，a ) ＝a 22＋a ⎝⎛⎭⎫z －a 2＝0，所以x ＝a2，z ＝0. 所以点G 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2，0，0，即点G 为AD 的中点．由Ruize收集整理。

第二章 2.1.1、2.1.2考点 对应题号基础训练 能力提升1.空间向量的概念1,3 2.空间向量的加法、减法和数乘运算2,4,5 7,10,11 3.共线向量定理的应用 8 12 4.共面向量定理的应用6,9131．已知正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的中心为O ，则在下列各结论中正确的有( ) ①OA →＋OD →与OB 1→＋OC 1→是一对相反向量；②OB →－OC →与OA 1→－OD 1→是一对相反向量；③OA →＋OB →＋OC →＋OD →与OA 1→＋OB 1→＋OC 1→＋OD 1→是一对相反向量；④OA 1→－OA →与OC →－OC 1→是一对相反向量．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个C 解析 画图，利用向量的运算可知②是相等向量，①③④是相反向量．2．设有四边形ABCD ，O 为空间任意一点，且AO →＋OB →＝DO →＋OC →，则四边形ABCD 是( )A ．平行四边形B ．空间四边形C ．等腰梯形D ．矩形A 解析 因为AO →＋OB →＝DO →＋OC →，所以AB →＝DC →.所以AB →∥DC →且|AB →|＝|DC →|.所以四边形ABCD 为平行四边形． 3．已知向量AB →，AC →，BC →满足|AB →|＝|A C →|＋|B C →|，则( ) A ．AB →＝AC →＋BC → B ．AB →＝－AC →－BC → C ．AC →与BC →同向D ．AC →与CB →同向D 解析 由条件可知C 在线段AB 上，故 D 项正确． 4．在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，下列各式：①(AB →＋BC →)＋CC 1→； ②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→； ③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→；④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→，运算结果为向量AC 1→的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个D 解析 ①(AB →＋BC →)＋CC 1→＝AC →＋CC 1→＝AC 1→； ②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→＝AD 1→＋D 1C 1→＝AC 1→； ③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→； ④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→.5．在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面A 1C 1的中心，若AE →＝xAA 1→＋yAB →＋zAD →，则x ，y ，z 的值分别是( )A ．x ＝12，y ＝12，z ＝1B ．x ＝1，y ＝12，z ＝12C ．x ＝12，y ＝1，z ＝12D ．x ＝12，y ＝12，z ＝12B 解析 如图，AE →＝AA 1→＋A 1E →＝AA 1→＋12A 1C 1→＝AA 1→＋12(AB →＋AD →)＝AA 1→＋12AB →＋12AD →. 所以x ＝1，y ＝z ＝12.故选B 项．6．如图，P 为空间中任意一点，动点Q 在△ABC 所在平面内运动，且PQ →＝2P A →－3PB →＋mCP →，则实数m ＝( )A ．0B ．2C ．－2D ．1C 解析 因为PQ →＝2P A →－3PB →＋mCP →， 所以PQ →＝2P A →－3PB →－mPC →.又动点Q 在△ABC 所在平面内运动， 所以2－3－m ＝1，解得m ＝－2.故选C 项． 二、填空题7．在平行六面体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AB →＋CB →＋AA 1→化简的结果可表示为________.解析 AB →＋CB →＋AA 1→＝DC →＋CB →＋BB 1→＝DB →＋BB 1→＝DB 1→. 答案 DB 1→8．如图所示，在四面体ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，AC 的中点，则12(AB →＋BC →＋CD →)化简的结果为________. 答案 HG →9．已知O 是空间任一点，A ，B ，C ，D 四点满足任三点均不共线，但四点共面，且OA →＝ 2xBO →＋3yCO →＋4zDO →，则2x ＋3y ＋4z ＝______.解析 因为A ，B ，C ，D 共面， 所以OA →＝OB →＋λBC →＋μBD → ＝OB →＋λ(OC →－OB →)＋μ(OD →－OB →) ＝(1－λ－μ)OB →＋λOC →＋μOD →＝(λ＋μ－1)BO →－λCO →－μDO →＝2xBO →＋3yCO →＋4zDO →，所以2x ＋3y ＋4z ＝(λ＋μ－1)＋(－λ)＋(－μ)＝－1. 答案 －1 三、解答题10．如图所示，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，M 是BB 1的中点．化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量．(1)CB →＋BA 1→； (2)AC →＋CB →＋12AA 1→；(3)AA 1→－AC →－CB →.解析 (1)CB →＋BA 1→＝CA 1→.(2)因为M 是BB 1的中点，所以BM →＝12BB 1→.又AA 1→＝BB 1→，所以AC →＋CB →＋12AA 1→＝AB →＋BM →＝AM →.(3)AA 1→－AC →－CB →＝CA 1→－CB →＝BA 1→. 图略．11．如图，在空间四边形SABC 中，AC ，BS 为其对角线，O 为△ABC 的重心． (1)求证：OA →＋OB →＋OC →＝0； (2)化简SA →＋12AB →－32CO →－SC →.解析 (1)证明：OA →＝－13(AB →＋AC →)，① OB →＝－13(BA →＋BC →)，② OC →＝－13(CA →＋CB →)，③①＋②＋③得OA →＋OB →＋OC →＝0. (2)因为CO →＝－OC →＝13(CA →＋CB →)，所以SA →＋12AB →－32CO →－SC →＝(SA →－SC →)＋12(CB →－CA →)－32×13(CA →＋CB →)＝CA →＋12(CB →－CA →)－12(CA →＋CB →)＝0.12．已知长方体ABCDA ′B ′C ′D ′中，点E ，F 分别是上底面A ′B ′C ′D ′和平面CC ′D ′D 的中心，求下列各题中x ，y ，z 的值．(1)AC ′→＝xAB →＋yBC →＋zCC ′→； (2)AE →＝xAB →＋yBC →＋zCC ′→； (3)AF →＝xBA →＋yBC →＋zCC ′→.解析 (1)因为AC ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→，又由题知AC ′→＝xAB →＋yBC →＋zCC ′→， 所以x ＝1，y ＝1，z ＝1.(2)因为AE →＝AA ′→＋A ′E →＝AA ′→＋12(A ′B ′→＋A ′D ′→)＝12AB →＋12BC →＋CC ′→， 又由题知AE →＝xAB →＋yBC →＋zCC ′→， 所以x ＝12，y ＝12，z ＝1.(3)因为AF →＝AD →＋DF →＝BC →＋12(DC →＋DD ′→)＝－12BA →＋BC →＋12CC ′→，又由题知AF →＝xBA →＋yBC →＋zCC ′→， 所以x ＝－12，y ＝1，z ＝12.四、选做题13．如图，平行六面体ABCDA 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在B 1B 和D 1D 上，且BE ＝13BB 1，DF ＝23DD 1.(1)证明：A ，E ，C 1，F 四点共面；(2)若EF →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，求x ＋y ＋z 的值．解析 (1)证明：因为ABCDA 1B 1C 1D 1是平行六面体，所以AA 1→＝BB 1→＝CC 1→＝DD 1→，所以BE →＝13AA 1→，DF →＝23AA 1→，所以AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→＝AB →＋AD →＋13AA 1→＋23AA 1→＝AB →＋13AA 1→＋AD →＋23AA 1→＝AB →＋BE →＋AD →＋DF →＝AE →＋AF →，由向量共面的充要条件知A ，E ，C 1，F 四点共面．(2)因为EF →＝AF →－AE →＝AD →＋DF →－(AB →＋BE →)＝AD →＋23DD 1→－AB →－13BB 1→＝－AB →＋AD →＋13AA 1→，又EF →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，所以x ＝－1，y ＝1，z ＝13，所以x ＋y ＋z ＝13.由Ruize收集整理。

第二章 2.1.5考点对应题号基础训练能力提升 1.空间向量的坐标运算 2 10,13 2.坐标形式下的向量平行与垂直问题 1,3,7 8 3.利用坐标运算求夹角和距离4,5,96,11,121．与向量a ＝(1，－3,2)平行的一个向量的坐标为( ) A ．(1,3,2) B ．(－1，－3,2) C ．(－1,3，－2)D ．(1，－3，－2)C 解析 与向量a 平行的向量需满足a ＝λb .经检验，只有(－1,3，－2)＝－(1，－3,2)符合a ＝λb .故选C 项．2．若a 是与b ＝(1,1,0)平行的单位向量，则其坐标为( ) A ．(1,1,0) B ．(0,1,0) C ．⎝⎛⎭⎫22，22，0或⎝⎛⎭⎫－22，－22，0D ．(0,0,1)C 解析 A 项中(1,1,0)不是单位向量；B ，D 项中(0,1,0)和(0,0,1)都不与(1,1,0)平行．故选C 项．3．已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 值为( ) A ．1 B ．15C ．35D ．75D 解析 k a ＋b ＝k (1,1,0)＋(－1,0,2)＝(k －1，k,2)，2a －b ＝2(1,1,0)－(－1,0,2)＝(3,2，－2)．因为两向量垂直，所以3(k －1)＋2k －2×2＝0. 故k ＝75.4．已知点A (x,5－x,2x －1)，点B (1，x ＋2,2－x )，则当|AB →|取最小值时，x ＝( ) A ．19 B ．－87C ．87D ．1914C 解析 因为AB →＝(1－x,2x －3,3－3x )， 所以|AB →|＝(1－x )2＋(2x －3)2＋(3－3x )2 ＝14⎝⎛⎭⎫x －872＋57.故当x ＝87时，|AB →|有最小值． 5．若四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，－1)，则P A 与底面ABCD 的关系是( )A ．相交B ．垂直C ．平行D ．成60°角B 解析 AP →·AB →＝－2－2＋4＝0，AP →·AD →＝－4＋4＋0＝0，即AP ⊥AB ，AP ⊥AD ，且AB ∩AD ＝A ，则P A ⊥平面ABCD .故选B 项．6．如图，在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BC ＝1，DD 1＝3，则AC 与BD 1所成角的余弦值是( )A ．0B ．37070C ．－37070D ．7070B 解析 分别以直线DA ，DC ，DD 1为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则A (1,0,0)，B (1,2,0)，C (0,2,0)，D 1(0,0,3)，所以AC →＝(－1,2,0)，BD 1→＝(－1，－2,3)，所以cos 〈AC →，BD 1→〉＝AC →·BD 1→|AC →||BD 1→|＝－1×(－1)＋2×(－2)＋0×3(－1)2＋22＋02 ×(－1)2＋(－2)2＋32＝－37070，故AC 与BD 1所成角的余弦值为37070.二、填空题7．已知空间三个向量a ＝(1，－2，z )，b ＝(x,2，－4)，c ＝(－1，y,3)，若它们分别两两垂直，则x ＝______，y ＝______，z ＝______.解析 因为a ⊥b ，所以x －4－4z ＝0. 因为a ⊥c ，所以－1－2y ＋3z ＝0. 因为b ⊥c ，所以－x ＋2y －12＝0.所以x ＝－64，y ＝－26，z ＝－17. 答案 －64 －26 －178．已知向量a ＝(0，－1,1)，b ＝(4,1,0)，|λa ＋b |＝29且λ＞0，则λ＝________. 解析 因为a ＝(0，－1,1)，b ＝(4,1,0)， 所以λa ＋b ＝(4,1－λ，λ)．因为|λa ＋b |＝29，所以16＋(1－λ)2＋λ2＝29， 即λ2－λ－6＝0，解得λ＝3或λ＝－2. 因为λ＞0，所以λ＝3. 答案 39．已知空间三点A (1,1,1)，B (－1,0,4)，C (2，－2,3)，则AB →与CA →的夹角的大小是________. 解析 因为AB →＝(－2，－1,3)，CA →＝(－1,3，－2)， cos 〈AB →，CA →〉＝(－2)×(－1)＋(－1)×3＋3×(－2)14×14＝－714＝－12，所以〈AB →，CA →〉＝120°. 答案 120° 三、解答题10．在空间直角坐标系中，已知△ABC 的点A (2，－5,3)，AB →＝(4,1,2)，BC →＝(3，－2,5)，求顶点B ，C 的坐标，向量CA →及∠A 的余弦值．解析 设B (x ，y ，z )，C (x 1，y 1，z 1)． 因为AB →＝(4,1,2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝4，y ＋5＝1，z －3＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝－4，z ＝5，所以B (6，－4,5)．因为BC →＝(3，－2,5)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1－6＝3，y 1＋4＝－2，z 1－5＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝9，y 1＝－6，z 1＝10，所以C (9，－6,10)．所以AC →＝(7，－1,7)，CA →＝(－7,1，－7)． 因为AB →＝(4,1,2)，所以cos A ＝AC →·AB →|AC →||AB →|＝28－1＋1499×21＝41231693.11．如图，直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M ，N 分别是A 1B 1，A 1A 的中点．(1)求BN →的长；(2)求cos 〈BA 1→，CB 1→〉的值； (3)求证：A 1B ⊥C 1M .解析 如图，建立空间直角坐标系Oxyz .(1)依题意，B (0,1,0)，N (1,0,1)，所以|B N →|＝(1－0)2＋(0－1)2＋(1－0)2＝ 3. (2)依题意得A 1(1,0,2)，B (0,1,0)， C (0,0,0)，B 1(0,1,2)，所以BA 1→＝(1，－1,2)，CB 1→＝(0,1,2)， 则BA 1→·CB 1→＝3，|BA 1→|＝6，|CB 1→|＝5， 所以cos 〈BA 1→，CB 1→〉＝BA 1→·CB 1→|BA 1→||CB 1→|＝3010.(3)证明：依题意得M ⎝⎛⎭⎫12，12，2，C 1(0,0,2)， 则C 1M →＝⎝⎛⎭⎫12，12，0，又A 1B →＝(－1,1，－2)， 所以C 1M →·A 1B →＝12×(－1)＋12×1＝0，所以C 1M →⊥A 1B →，即A 1B ⊥C 1M .12．如图，在空间直角坐标系中，BC ＝2，原点O 是BC 的中点，点A 的坐标是⎝⎛⎭⎫32，12，0，点D 在平面yOz 上，且∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°.(1)求向量OD →的坐标；(2)设向量AD →和BC →的夹角为θ，求cos θ的值．解析 (1)如图所示，过D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，在Rt △BDC 中，由∠BDC ＝ 90°， ∠DCB ＝30°，BC ＝2，得 BD ＝1，CD ＝ 3.所以DE ＝CD ·sin 30°＝32， OE ＝OB －BD ·cos 60°＝1－12＝12.所以点D 坐标为⎝⎛⎭⎫0，－12，32，即向量OD →的坐标为⎝⎛⎭⎫0，－12，32.(2)依题意，OA →＝⎝⎛⎭⎫32，12，0，OB →＝(0，－1,0)，OC →＝(0,1,0)．所以AD →＝ OD →－OA →＝⎝⎛⎭⎫－32，－1，32，BC →＝OC →－OB →＝ (0,2,0)． 所以cos θ＝AD →·BC→|AD →|·|BC →|＝⎝⎛⎭⎫－32×0＋(－1)×2＋32×0⎝⎛⎭⎫－322＋(－1)2＋⎝⎛⎭⎫322·02＋22＋02＝－210＝－105.所以cos θ＝－105. 四、选做题13．已知a ，b ，c 为正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：13a ＋1＋13b ＋1＋13c ＋1≤4 3. 证明 设m ＝(13a ＋1，13b ＋1，13c ＋1)，n ＝(1,1,1)，则|m|＝4，|n|＝3，由题意知m·n ＝|m||n|cos 〈m ，n 〉≤|m||n|，即13a ＋1＋13b ＋1＋13c ＋1≤4 3.当且仅当113a ＋1＝113b ＋1＝113c ＋1，即a ＝b ＝c ＝13时，等号成立．由Ruize收集整理。

2.3.2双曲线的简单几何性质一、非标准1.双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m的值为()A.-B.-4C.4D.解析:∵mx2+y2=1是双曲线,∴m<0,且其标准方程为y2-=1.∵虚轴长是实轴长的2倍,∴-=4,即m=-.答案:A2.双曲线=1的渐近线方程为()A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±x解析:双曲线方程为=1,则令=0,得渐近线方程为y=±x.答案:B3.双曲线=1的渐近线与圆(x-3)2+y2=r2(r>0)相切,则r等于()A. B.2 C.3 D.6解析:双曲线的渐近线方程为y=±x,圆心坐标为(3,0),由点到直线的距离公式和渐近线与圆相切,可得圆心到渐近线的距离等于r,即r=.答案:A4.若0<k<a2,则双曲线=1与=1有()A.相同的虚轴B.相同的实轴C.相同的渐近线D.相同的焦点答案:D5.设F1,F2分别是双曲线x2-=1的左、右焦点.若P在双曲线上,且=0,则||等于()A.2B.C.2D.解析:由题意,知双曲线两个焦点的坐标分别为F1(-,0),F2(,0).设点P(x,y),则=(--x,-y),=(-x,-y).∵·=0,∴x2+y2-10=0,即x2+y2=10.∴||===2.答案:C6.已知双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是双曲线上一点,且PF1⊥PF2,|PF1|·|PF2|=4ab,则双曲线的离心率是.解析:因为PF1⊥PF2,所以由得4c2-4a2=8ab,所以b=2a,c2=5a2,所以e=.答案:7.已知双曲线=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=x,它的一个焦点为(4,0),则双曲线的方程为.解析:由条件知双曲线的右焦点为(4,0),所以解得a=2,b=2,故双曲线方程为=1.答案:=18.已知双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0).若双曲线上存在一点P,使,则该双曲线的离心率的取值范围是.解析:由题意知|PF1|=|PF2|.由双曲线的定义,知|PF1|-|PF2|=2a,则|PF2|-|PF2|=2a,即|PF2|=.由双曲线的几何性质,知|PF2|>c-a,则>c-a,即c2-2ac-a2<0,所以e2-2e-1<0,解得-+1<e<+1.又e∈(1,+∞),故双曲线的离心率e∈(1,+1).答案:(1,+1)9.已知双曲线关于两坐标轴对称,且与圆x2+y2=10相交于点P(3,-1),若过点P且与圆相切的直线与双曲线的渐近线平行,求此双曲线的方程.解:切点为P(3,-1)的圆的切线方程为3x-y=10.∵双曲线的一条渐近线与此切线平行,且双曲线关于两条坐标轴对称,∴双曲线的两条渐近线方程为3x±y=0.设所求的双曲线方程为9x2-y2=λ(λ≠0).∵点P(3,-1)在所求的双曲线上,∴λ=80.故所求双曲线的方程为=1.10.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的一个焦点是F(2,0),离心率e=2.(1)求双曲线C的方程;(2)若以k(k≠0)为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M,N,线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为4,求实数k的取值范围.解:(1)由已知,得c=2.又e=2,则a=1,b=.故所求的双曲线方程为x2-=1.(2)设直线l的方程为y=kx+m(k≠0),点M(x1,y1),N(x2,y2)的坐标满足方程组将①式代入②式,整理,得(3-k2)x2-2kmx-m2-3=0.此方程有两个不等实根,于是3-k2≠0,且Δ=(-2km)2+4(3-k2)(m2+3)>0.整理,得m2+3-k2>0.③由根与系数的关系,可知线段MN的中点坐标(x0,y0)满足x0=,y0=kx0+m=. 从而线段MN的垂直平分线方程为y-=-.此直线与x轴、y轴的交点坐标分别为.由题设可得·=4.整理,得m2=(k≠0).将上式代入③式,得+3-k2>0,整理,得(k2-3)(k2-2|k|-3)>0(k≠0).解得0<|k|<或|k|>3.故k的取值范围是(-∞,-3)∪(-,0)∪(0,)∪(3,+∞).。

2.3双曲线2.3.1双曲线及其标准方程一、非标准1.已知F1(-5,0),F2(5,0)为定点,动点P满足|PF1|-|PF2|=2a,当a=3和a=5时,点P的轨迹分别为()A.双曲线和一条直线B.双曲线的一支和一条直线C.双曲线和一条射线D.双曲线的一支和一条射线解析:∵|F1F2|=10,|PF1|-|PF2|=2a,∴当a=3时,2a=6<|F1F2|,此时轨迹为双曲线的一支;当a=5时,2a=10=|F1F2|,此时轨迹为一条射线. 答案:D2.双曲线方程为x2-2y2=2,则它的左焦点坐标为()A. B.C. D.(-,0)解析:双曲线标准方程为-y2=1,则c2=2+1=3.故左焦点坐标为(-,0).答案:D3.k>3是方程=1表示双曲线的()A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析:当k>3时,3-k<0,k-1>0,此时方程=1表示双曲线;反之,若方程=1表示双曲线,则有(3-k)(k-1)<0,即k>3或k<1.故k>3是方程=1表示双曲线的充分不必要条件.答案:A4.已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|,则cos∠F1PF2=()A. B. C. D.解析:由题意可知,a==b,则c=2.设|PF1|=2x,|PF2|=x,则|PF1|-|PF2|=x=2a=2,故|PF1|=4,|PF2|=2,|F1F2|=4.利用余弦定理,得cos∠F1PF2=.答案:C5.已知双曲线的两个焦点分别为F1(-,0),F2(,0),P是双曲线上的一点,且PF1⊥PF2,|PF1|·|PF2|=2,则双曲线的标准方程是()A.=1B.=1C.x2-=1D.-y2=1解析:设|PF1|=m,|PF2|=n(m>0,n>0),在Rt△PF1F2中,m2+n2=(2c)2=20,m·n=2.由双曲线的定义,知|m-n|2=m2+n2-2mn=16=4a2.∴a2=4,∴b2=c2-a2=1.∴双曲线的标准方程为-y2=1.答案:D6.若点P到点(0,-3)与到点(0,3)的距离之差为2,则点P的轨迹方程为.解析:由题意并结合双曲线的定义,可知点P的轨迹方程为双曲线的上支,且c=3,2a=2,∴a=1,∴b2=9-1=8,所以点P的轨迹方程为y2-=1(y≥1).答案:y2-=1(y≥1)7.已知点F1,F2分别是双曲线=1(a>0)的左、右焦点,P是该双曲线上的一点,且|PF1|=2|PF2|=16,则△PF1F2的周长是.解析:∵|PF1|=2|PF2|=16,∴|PF1|-|PF2|=16-8=8=2a,∴a=4.又∵b2=9,∴c2=25,∴2c=10.∴△PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=16+8+10=34.答案:348.已知F是双曲线=1的左焦点,A(1,4),P是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值为.解析:如图所示,已知F(-4,0),设F'为双曲线的右焦点,则F'(4,0),点A(1,4)在双曲线两支之间.由双曲线的定义,得|PF|-|PF'|=2a=4,所以|PF|+|PA|=4+|PF'|+|PA|≥4+|AF'|=4+5=9.当且仅当A,P,F'三点共线时,取等号.答案:99.已知点P为双曲线x2-=1上的点,F1,F2是该双曲线的两个焦点,且|PF1|·|PF2|=24,求△PF1F2的周长.解:由双曲线的定义,得||PF1|-|PF2||=2a=2.又|PF1|·|PF2|=24,所以|PF1|+|PF2|==10.又因为|F1F2|=2c=2,所以△PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=10+2.10.某部队进行军事演习,一方指挥中心接到其正西、正东、正北方向三个观测点A,B,C的报告:正西、正北两个观测点同时听到了炮弹的爆炸声,正东观测点听到爆炸声的时间比其他两观测点晚4 s,已知各观测点到该中心的距离都是1020 m,试确定该枚炮弹的袭击位置.(声音的传播速度为340 m/s,相关各点均在同一平面内)解:如图,以指挥中心为原点,正东、正北方向分别为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系,则A(-1 020,0),B(1 020,0),C(0,1 020).设P(x,y)为炮弹的袭击位置,则|PB|-|PA|=340×4<|AB|.由双曲线定义,知点P在以A,B为焦点的双曲线的左支上,且a=680,c=1 020,所以b2=1 0202-6802=5×3402.所以双曲线方程为=1(x≤-680).①又|PA|=|PC|,因此P在直线y=-x上,把y=-x代入①式,得x=-680.所以P (-680,680),|OP|=680(m).故该枚炮弹的袭击位置在北偏西45°,距指挥中心680m处.。

第二章 2.1.4考点对应题号基础训练 能力提升 1.与基底有关的问题 1,2,5 10 2.利用基底表示向量 3,6,7,10 8,9,11,13 3.用坐标表示空间向量4121．如果向量a ，b 与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有( ) A ．a 与b 共线 B ．a 与b 同向C ．a 与b 反向D ．a 与b 共面但不共线A 解析 a ，b 与任何向量都不能构成空间的一个基底，说明a 与b 一定共线．故选A 项．2．O ，A ，B ，C 为空间的四个点，{OA →，OB →，OC →}为空间的一个基底，则( ) A ．O ，A ，B ，C 四点不共线 B ．O ，A ，B ，C 四点共面，但不共线 C ．O ，A ，B ，C 四点中任意三点不共线 D ．O ，A ，B ，C 四点不共面D 解析 由于{OA →，OB →，OC →}为空间的一个基底，所以OA →，OB →，OC →不共面，所以O ，A ，B ，C 四点一定不共面．故选D 项．3．如图所示，空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA →上，且OM →＝2MA →，N 为BC 的中点，MN →＝x a ＋y b ＋z c ，则x ，y ，z 分别为( )A ．12，－23，12B ．－23，12，12C ．12，12，－23D ．23，23，－12B 解析 MN →＝MA →＋AB →＋BN →＝13OA →＋(OB →－OA →)＋12BC → ＝13OA →＋(OB →－OA →)＋12(OC →－OB →) ＝－23OA →＋12OB →＋12OC →，所以x ＝－23，y ＝12，z ＝12.故选B 项．4．点M (－1,3，－4)在坐标平面xOy ，xOz ，yOz 内的射影的坐标分别是( ) A ．(－1,3,0)，(－1,0，－4)，(0,3，－4) B ．(0,3，－4)，(－1,0，－4)，(0,3，－4) C ．(－1,3,0)，(－1,3，－4)，(0,3，－4) D ．(0,0,0)，(－1,0,0)，(0,3,0) A 解析 略5．若向量MA →，MB →，MC →的起点与终点互不重合且无三点共线，则下列关系(O 是空间任一点)中，能使向量MA →，MB →，MC →成为空间的一个基底的条件是( )A ．OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →B ．MA →≠MB →＋MC →C ．OM →＝OA →＋OB →＋OC → D.MA →＝2MB →－MC →C 解析 A ，D 项中点M ，A ，B ，C 四点共面；B 项中MA →，MB →，MC →可能共面．故选C 项．6．已知向量p 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(8,6,4)，其中a ＝i ＋j ，b ＝j ＋k ，c ＝k ＋i ，则向量p 在基底{i ，j ，k }下的坐标是( )A ．(12,14,10)B ．(10,12,14)C ．(14,12,10)D ．(4,3,2)A 解析 依题意知p ＝8a ＋6b ＋4c ＝8(i ＋j )＋6(j ＋k )＋4(k ＋i )＝12i ＋14j ＋10k ，故向量p 在基底{i ，j ，k }下的坐标是(12,14,10)．二、填空题7．设{e 1，e 2，e 3}是空间向量的一个单位正交基底，a ＝4e 1－8e 2＋3e 3，b ＝－2e 1－3e 2＋7e 3，则a ，b 的坐标分别为________.解析 由于{e 1，e 2，e 3}是空间向量的一个单位正交基底， 所以a ＝(4，－8,3)，b ＝(－2，－3,7)． 答案 (4，－8,3)，(－2，－3,7)8．如图，在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，用AC →，AB 1→，AD 1→作为基向量，则AC 1→＝________.解析 2AC 1→＝2AA 1→＋2AD →＋2AB →＝(AA 1→＋AD →)＋(AA 1→＋AB →)＋(AD →＋AB →) ＝AD 1→＋AB 1→＋AC →，所以AC 1→＝12(AD 1→＋AB 1→＋AC →)．答案 12(AD 1→＋AB 1→＋AC →)9．在空间中平移△ABC 到△A 1B 1C 1(使△A 1B 1C 1与△ABC 不共面)，连接对应顶点．设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AC →＝c ，M 是BC 1的中点，N 是B 1C 1的中点，用基底{a ，b ，c }表示向量AM →＋AN →的结果是________.解析 如图，AM →＋AN →＝12(AB →＋AC 1→)＋12(AB 1→＋AC 1→) ＝12AB →＋12AB 1→＋AC 1→ ＝12b ＋12(a ＋b )＋(a ＋c ) ＝32a ＋b ＋c . 答案 32a ＋b ＋c三、解答题10．已知{i ，j ，k }是空间的一个基底，设a 1＝2i －j ＋k ，a 2＝i ＋3j －2k ，a 3＝－2i ＋j －3k ，a 4＝3i ＋2j ＋5k.试问是否存在实数λ，μ，υ，使a 4＝λa 1＋μa 2＋υa 3成立？如果存在，求出λ，μ，υ的值，如果不存在，请给出证明．解析 假设存在实数λ，μ，υ使a 4＝λa 1＋μa 2＋υa 3成立，则有3i ＋2j ＋5k ＝λ(2i －j ＋k )＋μ(i ＋3j －2k )＋υ(－2i ＋j －3k )＝(2λ＋μ－2υ)i ＋(－λ＋3μ＋υ)j ＋(λ－2μ－3υ)k .因为{i ，k ，j }是一组基底，所以i ，j ，k 不共面．所以可得⎩⎪⎨⎪⎧2λ＋μ－2υ＝3，－λ＋3μ＋υ＝2，λ－2μ－3υ＝5.解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，μ＝1，υ＝－3故存在λ＝－2，μ＝1，υ＝－3使结论成立．11．如图，四棱锥POABC 的底面为一矩形，PO ⊥平面OABC ，设OA →＝a ，OC →＝b ，OP →＝c ，E ，F 分别是PC 和PB 的中点，用a ，b ，c 表示BF →，BE →，AE →，EF →.解析 BF →＝12BP →＝12OP →－12OB →＝12OP →－12(OA →＋OC →)＝－12a －12b ＋12c ；BE →＝OE →－OB →＝12(OP →＋OC →)－(OA →＋OC →)＝－OA →－12OC →＋12OP →＝－a －12b ＋12c ；AE →＝OE →－OA →＝12(OP →＋OC →)－OA →＝－a ＋12b ＋12c ；EF →＝12CB →＝12OA →＝12a .12．已知P A 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是AB ，PC 的三等分点，且|PN |＝2|NC |，|AM |＝2|MB |，P A ＝AB ＝1，求MN →的长度．解析 因为P A ＝AB ＝AD ＝1，且P A ⊥平面ABCD ，AD ⊥AB ，所以可设DA →＝i ，AB →＝j ，AP →＝k ，以i ，j ，k 为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系．因为MN →＝MA →＋AP →＋PN →＝－23AB →＋AP →＋23PC →＝－23AB →＋AP →＋23(－AP →＋AD →＋AB →)＝13AP →＋23AD →＝13k ＋23(－DA →) ＝－23i ＋13k ，所以在{i ，j ，k }坐标系下，MN →＝⎝⎛⎭⎫－23，0，13， 所以|MN →|＝49＋19＝53. 四、选做题13．如图，在平行六面体ABCDA ′B ′C ′D ′中，AB →＝a ，AD →＝b ，AA ′→＝c ，P 是CA ′的中点，M 是CD ′的中点，N 是C ′D ′的中点，点Q 是CA ′上的点，且|CQ |∶|QA ′|＝4∶1，用基底{a ，b ，c }表示以下向量．(1)AP →；(2)AM →；(3)AN →；(4)AQ →.解析 连接AC ，AD ′.(1)AP →＝12(AC →＋AA ′→)＝12(AB →＋AD →＋AA ′→)＝12(a ＋b ＋c )． (2)AM →＝12(AC →＋AD ′→)＝12(AB →＋2AD →＋AA ′→)＝12a ＋b ＋12c .(3)AN →＝12(AC ′→＋AD ′→)＝12[(AB →＋AD →＋AA ′→)＋(AD →＋AA ′→)] ＝12(AB →＋2AD →＋2AA ′→)＝12a ＋b ＋c . (4)AQ →＝AC →＋CQ →＝AC →＋45(AA ′→－AC →)＝15AB →＋15AD →＋45AA ′→＝15a ＋15b ＋45c .。