2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编---三角函数(含答案)

广东省13市2015届高三上学期期末考试数学文试题分类汇编：三角函数一、选择题1、（潮州市2015届高三）已知函数()()sin f x x ωϕ=A +（0A >，0ω>，2πϕ<）的部分图象如图所示，则ϕ=（ ）A ．6π B ．3π C ．6π- D ．3π-2、（东莞市2015届高三）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知A ＝60º，C ＝45º，c ＝10，则a ＝（ ）A 、6B 、8C 、 D3、（广州市2015届高三）函数()()1cos f x x x =+的最小正周期为 A ．2π B ．32π C ．π D ．2π4、（江门市2015届高三）将正弦曲线x y sin =上所有的点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，所得曲线对应的函数的最小正周期=TA ．πB ．π2C ．π4D ．2π5、（汕头市2015届高三）设函数()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 的图象关于直线3x π=对称B ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．()f x 的最小正周期为π，且在0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数D ．把()f x 的图象向右平移12π个单位，得到一个偶函数的图象 6、（韶关市2015届高三）已知α为第二象限角，54sin =α，则sin(2)πα+=( ).A 2425- .B 2425 .C 1225.D 1225-7、（深圳市2015届高三）在ABC ∆中，A ，B ，C 所对的边分别为c b a ,,，若A ＝060，3=a ，3=+c b ，则ABC ∆的面积为（ ） A.43 B 。

23 C 、3 D 、2 8、（珠海市2015届高三）函数cos(2)4y x π=+的图象可由函数cos 2y x =的图象A 、向左平移8π个单位长度而得到 B 、向右平移8π个单位长度而得到 C 、向左平移4π个单位长度而得到 D 、向右平移4π个单位长度而得到二、填空题1、（佛山市2015届高三）如图1,为了测量河对岸A 、B 两点之间的距离,观察者找到一个点C ,从C 点可以观察到点A 、B ；找到一个点D ,从D 点可以观察到点A 、C ；找到一个点E ,从E 点可以观察到点B 、C ；并测量得到一些数据:2CD =,CE =45D ∠=︒,105ACD ∠=︒,48.19ACB ∠=︒,75BCE ∠=︒,E ∠=60︒,则A 、B 两点之间的距离为_________.(其中cos 48.19︒取近似值23)2、（惠州市2015届高三）在ABC △中，内角A B C ，，对边的边长分别是a b c ，，，若15a =，10b =，3A π=，则cos =B __________3、（江门市2015届高三）已知定义在区间) 0 , (π-上的函数x x x x f cos sin )(+=，则)(x f 的单调递减区间是4、（汕头市2015届高三）已知C ∆AB 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，60∠A =，2c =，且C ∆AB的面积为2a 边的长为 5、（汕尾市2015届高三）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为,,abc ，若1,45,a B A B C =∠=∆的面积2S =，则b 边长三、解答题1、（潮州市2015届高三）已知函数()2cos 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，R x ∈． ()1求()f π的值；()2若2635f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，求()2f α的值．2、（东莞市2015届高三）已知函数的最小正周期为，且是它的一个零点.（1）求函数 f (x )的解析式； （2）若的值.3、（佛山市2015届高三）已知函数()sin 4f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭(0ω>),x ∈R 的最小正周期为π.(Ⅰ) 求6f π⎛⎫⎪⎝⎭； (Ⅱ) 在图3给定的平面直角坐标系中,画出函数()y f x =在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图像,并根据图象写出其在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭4、（广州市2015届高三）已知函数()sin cos f x x a x =+(x ∈R )，4π是函数()f x 的一个零点. 图3（1）求a 的值，并求函数()f x 的单调递增区间；（2）若α,0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且4f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭34f πβ⎛⎫+=⎪⎝⎭()sin αβ+的值.5、（江门市2015届高三）已知函数)4sin()(π+=x A x f ，R x ∈，且1)0(=f ．⑴求A 的值；⑵若51)(-=αf ，α是第二象限角，求αcos ．6、（清远市2015届高三）)已知函数1()cos cos 2().2f x x x x x R =⋅-∈（1）求函数()f x 的最小值和最小正周期；（2）设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且︒=30B ,()1c f C =，判断△ABC 的形状，并求三角形ABC 的面积.7、（汕尾市2015届高三）已知函数()sin(),12f x x x R π=+∈(1) 求()4f π-的值(2) 若4cos ,(0,)52πθθ=∈，求(2)3f πθ-。

上海市各区县2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编三角函数一、填空题1、（宝山区2015届高三上期末）函数3tan y x =的周期是2、（虹口区2015届高三上期末）在ABC ∆中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，若75,60,A B b =︒=︒=，则c =3、（黄浦区2015届高三上期末）已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，角α的终边与圆心在原点的单位圆(半径为1的圆)交于第二象限内的点4(,)5A A x ，则sin 2α＝ ．(用数值表示)4、（嘉定区2015届高三上期末）△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知A c C a cos 2cos 3=，31tan =A ，则=B _________ 5、（金山区2015届高三上期末）方程：sin x +cos x =1在[0，π]上的解是 ▲6、（静安区2015届高三上期末）已知△ABC 的顶点)6,2(A 、)1,7(B 、)3,1(--C ，则△ABC 的内角BAC ∠的大小是 .（结果用反三角函数值表示）7、（静安区2015届高三上期末）已知αtan 、βtan 是方程04332=++x x 的两根，α、)2,2(ππβ-∈，则βα+= .8、（浦东区2015届高三上期末）函数sin y x x =的最大值为 9、（普陀区2015届高三上期末）函数⎪⎭⎫⎝⎛-π=x y 4tan 的单调递减区间是 10、（普陀区2015届高三上期末）在ABC ∆中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若32=a ，2=c ， 120=A ，则=∆ABC S11、（青浦区2015届高三上期末）已知函数2cos y x =与2sin(2)(0)y x ϕϕπ=+≤<，它们的图像有一个横坐标为3π的交点，则ϕ的值是 12、（松江区2015届高三上期末）已知函数()sin()3f x x πω=+（R x ∈，0>ω）的最小正周期为π，将)(x f y =图像向左平移ϕ个单位长度)20(πϕ<<所得图像关于y 轴对称，则=ϕ ▲13、（徐汇区2015届高三上期末）已知3sin 5θ=-，则cos 2θ=__ __14、（杨浦区2015届高三上期末）已知() , 0,1sin 2∈=απα，则α=_______________ 15、（长宁区2015届高三上期末）函数y ＝sin2x cos2x 的最小正周期是________________ 16、（长宁区2015届高三上期末）已知△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2226t a n 5bc a acB -+=， 则sin B 的值是二、选择题1、（宝山区2015届高三上期末）已知点(tan ,cos )P αα在第三象限，则角α的终边在（ ）（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 2、（崇明县2015届高三上期末）定义在R 上的函数()f x 既是偶函数又是周期函数．若()f x 的最小正周期是π，且当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()sin f x x =，则53f π⎛⎫⎪⎝⎭的值为…………………（ ）A ．12-B ．12C ．D 3、（奉贤区2015届高三上期末）下列函数是在(0,1)上为减函数的是 （ ）A ．cos y x =B ．2x y =C ．sin y x =D ．x y tan =三、解答题1、（崇明县2015届高三上期末）已知函数21()sin 22f x x x =+．（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．2、（奉贤区2015届高三上期末）已知函数2()sin cos 2f x x x x =+⋅+，求()f x 的最小正周期，并求()f x 在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．3、（虹口区2015届高三上期末）已知3cos ,424x x πππ⎛⎫⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求sin ,sin ,cos 24x x x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值4、（黄浦区2015届高三上期末）已知函数()cos cos2,R f x x x x x =-∈． (1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)在ABC ∆中，内角A B C 、、所对边的长分别是a b c 、、，若()2,C ,24f A c π===，求ABC ∆的面积ABC S ∆的值．5、（静安区2015届高三上期末）在锐角ABC ∆中，a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 所对的边长，且满足ba A 23sin =. （1）求∠B 的大小； （2）若b =ABC ∆的面积ABC S ∆=a c +的值. 6、（浦东区2015届高三上期末）某风景区有空中景点A 及平坦的地面上景点B ．已知AB 与地面所成角的大小为 60，点A 在地面上的射影为H ，如图.请在地面上选定点M ，使得A B B MAM+达到最大值.7、（普陀区2015届高三上期末）已知函数x x b x a x f cos sin sin )(2+=满足2)23(6(==ππf f（1）求实数b a ,的值以及函数)(x f 的最小正周期；（2）记)()(t x f x g +=，若函数)(x g 是偶函数，求实数t 的值.8、（青浦区2015届高三上期末）如图，摩天轮上一点P 在t 时刻距离地面高度满足sin()y A t b ωϕ=++，[],ϕππ∈-，已知某摩天轮的半径为50米，点O 距地面的高度为60米，摩天轮做匀速转动，每3分钟转一圈，点P 的起始位置在摩天轮的最低点处．（1）根据条件写出y （米）关于t （分钟）的解析式；（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P 距离地面超过85米?9、（松江区2015届高三上期末）在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 所对的边，且满足c b a <<,B a b sin 2=．（1）求A 的大小；（2）若2a =，32=b ，求ABC ∆的面积．OABCDMN10、（徐汇区2015届高三上期末）已知函数R x x A x f ∈+=),4sin()(π，且23)125(=πf ． （1）求A 的值；（2）若23)()(=-+θθf f ，)2,0(πθ∈，求)43(θπ-f ．11、（杨浦区2015届高三上期末）如图，有一块扇形草地OMN ，已知半径为R ，2MON π∠=，现要在其中圈出一块矩形场地ABCD 作为儿童乐园使用，其中点A 、B 在弧MN 上，且线段AB 平行于线段MN （1）若点A 为弧MN 的一个三等分点，求矩形ABCD 的面积S ； （2）当A 在何处时，矩形ABCD 的面积S 最大？最大值为多少？12、（闸北区2015届高三上期末）如图，在海岸线EF 一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段FGBC ，该曲线段是函数sin()(0,0,(0,))y A x A ωφωφπ=+>>∈，[4,0]x ∈-的图像，图像的最高点为(1,2)B -．边界的中间部分为长1千米的直线段CD ，且CD EF ∥．游乐场的后一部分边界是以O 为圆心的一段圆弧．（1）求曲线段FGBC 的函数表达式； （2）曲线段FGBC 上的入口G 距海岸线EF 最近距离为1千米，现准备从入口G 修一条笔直的景观路到O ，求景观路GO长；（3）如图，在扇形ODE 区域内建一个平行四边 形休闲区OMPQ ，平行四边形的一边在海岸线EF 上，一边在半径OD 上，另外一个顶点P 在圆弧上，且POE θ∠=，求平行四边形休闲区OMPQ 面积的最大值及此时θ的值．13、（长宁区2015届高三上期末）已知8,tan cot 23παπαα<<-=- （1）求tan α的值； （2）求sin 22πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值。

北京市各地2015届高三上学期考试数学理试题分类汇编三角函数一、选择题1、（朝阳区2015届高三上学期期末）设函数()sin(2)3f x x π=-的图象为C ，下面结论中正确的是 A ．函数()f x 的最小正周期是2π B ．图象C 关于点(,0)6π对称C ．图象C 可由函数()sin 2g x x =的图象向右平移3π个单位得到D ．函数()f x 在区间(,)2ππ-12上是增函数 2、（朝阳区2015届高三上学期期末）在ABC ∆中，π4B =，则sin sin A C ⋅的最大值是A ．14 B ．34 C ．2 D ．24+3、（大兴区2015届高三上学期期末）在ABC ∆中，a =，b π3B =，则A 等于 （A ） π6 （B ） π4（C ）3π4 （D ） π4或3π44、（丰台区2015届高三上学期期末）已知a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，b =c =6B π=，那么a 等于(A)l(B)2(C)4(D)l 或45、（西城区2015届高三上学期期末）在锐角∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若2a b =，sin B =，则（ ）（A ）3A π=（B ）6A π= （C ）sin A =（D ）2sin 3A =6、（北京四中2015届高三上学期期中）为了得到函数sin3cos3y x x =+的图象，可以将函数y x =的图象（A ）向右平移4π个单位 （B ）向左平移4π个单位 （C ）向右平移12π个单位 （D ）向左平移12π个单位 7、（北京四中2015届高三上学期期中）设()sin 2cos 2f x a x b x =+，其中,,0a b a b ∈≠R ，若()()6f x f π≤对一切x ∈R 恒成立，则下列结论正确的是 ① 11()012f π=； ② 既不是奇函数也不是偶函数；③ ()f x 的单调递增区间是2,()63k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ； ④ 存在经过点(,)a b 的直线与函数()f x 的图象不相交. （A ） ①② （B ）①③ （C ） ②③（D ）②④8、（朝阳区2015届高三上学期期中）如图，某地一天中6时至14时的温度变化曲线近似满足函数()b x A y ++=ϕωsin （其中 0ω>，2ϕπ<<π），则估计中午12时的温度近似为（ ）A. 30 ℃B. 27 ℃C.25 ℃D.24 ℃9、（海淀区2015届高三上学期期中）要得到函数πsin(2)3y x =+的图象，只需将函数sin 2y x =的图象（ ）（A ）向左平移3π个单位 （B ）向左平移6π个单位 （C ）向右平移3π个单位 （D ）向右平移6π个单位二、填空题1、（东城区2015届高三上学期期末）在△ABC 中，3a =，b =，60B =，则c = ；△ABC 的面积为_______2、（朝阳区2015届高三上学期期中）已知1tan()=47απ+， (,)2απ∈π，则tan α的值是_______;cos α的值是______三、解答题1、（昌平区2015届高三上学期期末）已知函数2()2sin cos 2cos f x x x x =+．( I ) 求函数)(x f 的最小正周期；(Ⅱ) 当[0,]2x π∈时，求函数)(x f 的最大值及取得最大值时的x 值．2、（大兴区2015届高三上学期期末）已知函数22()3sin cos cos ()f x x x x x x =++∈R .（Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期及单调减区间；（Ⅱ）若2)(0=x f ，0π[02x ∈，，求0x 的值.3、（东城区2015届高三上学期期末）已知函数()s i n ()(,0,0,||)2f x A x x Aωϕωπ=+∈>><R 部分图象如图所示． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期及解析式； （Ⅱ）将函数()y f x =的图象向右平移6π个单位长度得到函数()y g x =的图象，求函数()g x 在区间[0,]2π4、（丰台区2015届高三上学期期末）已知函数2())cos()2cos ()1,444f x x x x x R πππ=+++--∈.（I ）求函数()f x 的最小正周期；（II ）求函数()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值及相应的x 的值．5、（海淀区2015届高三上学期期末）函数π()cos(π)(0)2f x x ϕϕ=+<<的部分图象如图所示.（Ⅰ）写出ϕ及图中0x 的值；（Ⅱ）设1()()()3g x f x f x =++，求函数()g x 在区间11[,]23-上的最大值和最小值.6、（石景山区2015届高三上学期期末）如图所示，在四边形ABCD 中， AB DA ⊥，CE =23ADC π∠=；E 为AD 边上一点，1DE =，2EA =，3BEC π∠=.（Ⅰ）求sin ∠CED 的值； （Ⅱ）求BE 的长．D A C BE7、（西城区2015届高三上学期期末）已知函数()cos cos 442x x xf x =+, x ∈R 的部分图象如图所示.（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ） 设点B 是图象上的最高点，点A 是图象与x 轴的交点，求BAO ∠tan 的值.8、（北京四中2015届高三上学期期中）已知函数()sin )sin f x x x x =-,x ∈R .（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期与单调增区间；（Ⅱ）求函数()f x 在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值.9、（朝阳区2015届高三上学期期中）已知函数()cos f x x a x =-（x ∈R ）的图象经过点(,1)3π.（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间.10、（东城区示范校2015届高三上学期综合能力测试）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为c b a ,,，满足1=c ，且()()0cos sin sin cos =+-+B A B a C B 。

一、选择题：1.（福建6）若5sin 13α=-，且α为第四象限角，则tan α的值等于（ ） A ．125 B ．125- C ．512 D ．512-2.（重庆6）若1tan 3a =，1tan()2ab +=，则tan =b （ ）A ．17B ．16C ．57D ．563.（山东4）要得到函数sin 43y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 4y x =的图象（ ） A ．向左平移12π个单位 B ．向右平移12π个单位 C ．向左平移3π个单位 D ．向右平移3π个单位4.（上海17）已知点A 的坐标为)1,34(，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转3π至OB ，则点B 的纵坐标为（ ）.A.233 B. 235 C. 211 D. 2135.（新课标1，8）函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）A ．（14k π-，34k π+），k Z ∈ B ．（124k π-，324k π+），k Z ∈ C ．（14k -，34k +），k Z ∈D ．（124k -，324k +），k Z ∈6.（浙江8）设实数a ，b ，t 满足1sin a b t +==（ ）A ．若t 确定，则2b 唯一确定B ．若t 确定，则22a a +唯一确定C ．若t 确定，则sin2b唯一确定 D ．若t 确定，则2a a +唯一确定 7.（新课标2，11）如图，长方形ABCD 的边2=AB ，1=BC ，O 是AB 的中点，点P 沿着BC 、CD 与DA 运动，记x BOP =∠.将动点P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数)(x f ，则)(x f y =的图象大致为（ ）二、填空题：1.（江苏8）已知tan 2α=-，()1tan 7αβ+=，则tan β的值为_______. 2.（上海1）函数x x f 2sin 31)(-=的最小正周期为____________.3.（湖南15）已知0ω>，在函数2sin y x ω=与2cos y x ω=的图像的交点中，距离最短的两个交点的距离为ω=_____.4.（陕西14）如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数3sin()6y x k πϕ=++，据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为_______.5.（浙江11）函数()2sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是 ，最小值是 ．6.（天津14）已知函数()sin cos f x x x ωω=+（0ω>），x R ∈，若函数()f x 在区间(),ωω-内单调递增，且函数()f x 的图像关于直线x ω=对称，则ω的值为 ．7.（上海14）已知函数x x f sin )(=.若存在1x ，2x ，⋅⋅⋅，m x 满足π6021≤<⋅⋅⋅<<≤m x x x ，且12|)()(||)()(||)()(|13221=-+⋅⋅⋅+-+--m m x f x f x f x f x f x f ),12(*∈≥N m m ，则m 的最小值为三、解答题：1.（广东）已知tan 2α=． （1）求tan 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值； （2）求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值．2.（安徽）已知函数2()(sin cos )cos 2f x x x x =++ （1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值.3.（北京）已知函数()2sin 2x f x x =-． （1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 在区间20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值．4.（重庆）已知函数21()sin 22f x x x =-. （1）求()f x 的最小周期和最小值；（2）将函数()f x 的图像上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图像，当2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求()g x 的值域.5.（湖北）某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：（1）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置．．．．．．．．．．．，并直接写出函数()f x 的解析式； （2）将()y f x =图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到()y g x =图象，求()y g x =的图象离原点O 最近的对称中心.6.（福建）已知函数()2cos 10cos 222x x x f x =+． （1）求函数()f x 的最小正周期； （2）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，再向下平移a （0a >）个单位长度后得到函数()g x 的图象，且函数()g x 的最大值为2． ①求函数()g x 的解析式；②证明：存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >．答案：D A B D D ；B B 3，π，2πω=，8，π，81.（广东）（1）3-；（2）12.（安徽）（1）π ；（2）最大值为10 3.（北京）（1）2π；（2）4.（重庆）（1）p，-（2）5.（湖北）（1）π()5sin(2)6f x x =-；（2）π(,0)12-6.（福建）（1）2π；（2）①()10sin 8g x x =-；②详见解析。

山东省各市2015届高三第一次模拟数学理试题分类汇编三角函数一、选择题1、（菏泽市2015届高三）在ABC ∆中，若sin sin cos cos sin A A C A C -=，则ABC ∆的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．正三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形 2、（济宁市2015届高三）已知()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，若将它的图象向右平移6π个单位，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 图象的一条对称轴的方程为 A. 12x π=B. 4x π=C. 3x π=D. 2x π=3、（青岛市2015届高三）对于函数sin(2)6y x π=-，下列说法正确的是A ．函数图象关于点(,0)3π对称B ．函数图象关于直线56x π=对称 C ．将它的图象向左平移6π个单位，得到sin 2y x =的图象D ．将它的图象上各点的横坐标缩小为原来的12倍，得到sin()6y x π=-的图象 4、（潍坊市2015届高三）如图在△ABC 中，点D 在AC 上，AB ⊥BD ，BC=33，BD=5，sin ∠ABC=532，则CD 的长为A ．14B ．4C ．52D ．55、（烟台市2015届高三）已知α，()0,βπ∈，且()1tan 2αβ-=，1tan 7β=-，则2αβ-的值是（ ） A ．4π-B ．4πC ．34π-D ．34π 6、（淄博市2015届高三）将函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭学科网图象向左平移4π个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是 A. 3x π=B. 6x π=C. 12x π=D. 12x π-=7、（滨州市2015届高三）（8）若函数()3sin(2)cos(2)f x x x θθ=+++为奇函数，且在[,0]4π-上为减函数，则θ的一个值为 （A ）－3π （B ）－6π（C ）56π （D ）23π二、填空题1、（德州市2015届高三）将函数)(0)πωω>f(x)=2sin(x+3的图象向右平移3πω个单位，得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在[0,]4π上为增函数，则ω的最大值为＿＿＿＿2、（青岛市2015届高三）已知函数()tan sin 2015f x x x =++，若()2f m =， 则()f m -=3、（泰安市2015届高三）已知()sin cos 2,0,,tan αααπα-=∈=则 ▲三、解答题1、（菏泽市2015届高三）已知函数()22cos 23sin cos f x x x x a =++，且当[0,]2x π∈时，()f x 的最小值为2，（1）求a 的值，并求()f x 的单调递增区间；（2）先将函数()y f x =的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的12，再Ian 个所得的图象向右平移12π个单位，得到函数()y g x =的图象，求方程()4g x =在区间[0,]2π上所有根之和。

数 学C 单元 三角函数C1 角的概念及任意角的三角函数C2 同角三角函数的基本关系式与诱导公式12．B9、C2、C6[2015·湖北卷] 函数f (x )＝4cos 2x2·cos ⎝⎛⎭⎫π2－x －2sin x －|ln(x ＋1)|的零点个数为________．12．2 [解析] f (x )＝4cos 2x2sin x －2sin x －|ln(x ＋1)|＝2sin x ⎝⎛⎭⎫2cos 2x 2－1－|ln(x ＋1)|＝sin 2x －|ln(x ＋1)|.令f (x )＝0，得sin 2x ＝|ln(x ＋1)|.在同一坐标系中作出函数y ＝sin 2x 与函数y ＝|ln(x＋1)|的大致图像，如图所示．观察图像可知，两个函数的图像有2个交点，故函数f (x )有2个零点. 19．C2、C5、C8[2015·四川卷] 如图1-4所示，A ，B ，C ，D 为平面四边形ABCD 的四个内角．(1)证明：tan A 2＝1－cos Asin A；(2)若A ＋C ＝180°，AB ＝6，BC ＝3，CD ＝4，AD ＝5，求tan A 2＋tan B 2＋tan C 2＋tan D2的值．19．解：(1)证明：tan A2＝sinA 2cos A 2＝2sin 2A22sin A 2cos A 2＝1－cos A sin A.(2)由A ＋C ＝180°，得C ＝180°－A ，D ＝180°－B .由(1)知， tanA 2＋tanB 2＋tanC 2＋tan D2＝1－cos A sin A ＋1－cos B sin B ＋1－cos （180°－A ）sin （180°－A ）＋1－cos （180°－B ）sin （180°－B ）＝2sin A ＋2sin B . 连接BD ，在△ABD 中，有BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A ， 在△BCD 中，有BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C ， 所以AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A ＝BC 2＋CD 2＋2BC ·CD cos A ， 则cos A ＝AB 2＋AD 2－BC 2－CD 22（AB ·AD ＋BC ·CD ）＝62＋52－32－422×（6×5＋3×4）＝37.于是sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝⎛⎭⎫372＝2107.连接AC ，同理可得cos B ＝AB 2＋BC 2－AD 2－CD 22（AB ·BC ＋AD ·CD ）＝62＋32－52－422×（6×3＋5×4）＝119，于是sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫1192＝6 1019.所以tan A 2＋tan B 2＋tan C 2＋tan D2＝2sin A ＋2sin B＝2×7210＋2×19610＝4103.9．C2、C5、C7[2015·重庆卷] 若tan α＝2tan π5，则cos α－3π10sin α－π5＝( )A ．1B ．2C ．3D ．49．C [解析] cos α－3π10sin α－π5＝sin α－3π10＋π2sin α－π5＝sin α＋π5sin α－π5＝sin αcos π5＋cos αsinπ5sin αcos π5－cos αsinπ5＝sin αcos αcos π5＋sin π5sin αcos αcos π5－sin π5＝2·sinπ5cos π5cos π5＋sinπ52·sin π5cosπ5cos π5－sinπ5＝3sin π5sinπ5＝3.18．C2、C3、C5、C6[2015·重庆卷] 已知函数f (x )＝sin π2－x sin x －3cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期和最大值； (2)讨论f (x )在π6，2π3上的单调性．18．解：(1)f (x )＝sin π2－x sin x －3cos 2x ＝cos x sin x －32(1＋cos 2x )＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin2x －π3－32， 因此f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32.(2)当x ∈π6，2π3时，0≤2x －π3≤π，从而当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f (x )单调递增；当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π3时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在π6，5π12上单调递增；在5π12，2π3上单调递减．C3 三角函数的图象与性质17．C4、C3[2015·湖北卷] 某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置．．．．．．．．．．．，并直接写出函数f (x )的解析式； (2)将y ＝f (x )图像上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图像，若y ＝g (x )图像的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫5π12，0，求θ的最小值． 17．解：(1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表：且函数解析式为f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6.(2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，所以g (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2θ－π6.因为y ＝sin x 的图像的对称中心为(k π，0)，k ∈Z . 所以令2x ＋2θ－π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z .由于函数y ＝g (x )的图像关于点⎝⎛⎭⎫5π12，0成中心对称，所以令k π2＋π12－θ＝5π12，k ∈Z ，解得θ＝k π2－π3，k ∈Z .由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.15．C5，C3[2015·北京卷] 已知函数f (x )＝2sin x 2cos x 2－2sin 2x2.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[－π，0]上的最小值． 15．解：(1)因为f (x )＝22sin x －22(1－cos x ) ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－22，所以f (x )的最小正周期为2π.(2)因为－π≤x ≤0，所以－3π4≤x ＋π4≤π4.当x ＋π4＝－π2，即x ＝－3π4时，f (x )取得最小值．所以f (x )在区间[－π，0]上的最小值为 f ⎝⎛⎭⎫－3π4＝－1－22.12．A3、C3[2015·山东卷] 若“∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．12．1 [解析] ∵y ＝tan x 在区间⎣⎡⎦⎤0，π4上单调递增，∴y ＝tan x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4的最大值为tan π4＝1.又∵“∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，∴m ≥1.4．C3，C4[2015·四川卷] 下列函数中，最小正周期为π且图像关于原点对称的函数是( )A ．y ＝cos2x ＋π2B ．y ＝sin2x ＋π2C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos x4．A [解析] 选项A 中，y ＝－sin 2x ，最小正周期为π，且图像关于原点对称；选项B 中，y ＝cos 2x 是偶函数，图像不关于原点对称；选项C 中，y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，图像不关于原点对称；选项D 中，y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，最小正周期为2π.故选A.15．C3、C5、C6[2015·天津卷] 已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2x －π6，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间－π3，π4上的最大值和最小值．15．解：(1)由已知，有f (x )＝1－cos 2x2－1－cos2x －π32＝1212cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x ＝34sin 2x －14cos 2x ＝12sin2x －π6. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间－π3，－π6上是减函数，在区间－π6，π4上是增函数，f －π3＝－14，f －π6＝－12，f π4＝34，所以f (x )在区间－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12.18．C2、C3、C5、C6[2015·重庆卷] 已知函数f (x )＝sin π2－x sin x －3cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期和最大值； (2)讨论f (x )在π6，2π3上的单调性．18．解：(1)f (x )＝sin π2－x sin x －3cos 2x ＝cos x sin x －32(1＋cos 2x )＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin2x －π3－32， 因此f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32.(2)当x ∈π6，2π3时，0≤2x －π3≤π，从而当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f (x )单调递增；当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π3时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在π6，5π12上单调递增；在5π12，2π3上单调递减．C4 函数sin()y A x ωϕ=+的图象与性质10．C4[2015·安徽卷] 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x ＝2π3时，函数f (x )取得最小值，则下列结论正确的是( )A ．f (2)<f (－2)<f (0)B ．f (0)<f (2)<f (－2)C ．f (－2)<f (0)<f (2)D ．f (2)<f (0)<f (－2)10．A [解析] 依题意得f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，2π3上单调递减，且直线x ＝π6是f (x )的图像的一条对称轴．又f (－2)＝f (π－2)，f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫π3，且π6<π3<π－2<2<2π3，所以f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫π3>f (π－2)＝f (－2)>f (2)，故选A.17．C4、C3[2015·湖北卷] 某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置．．．．．．．．．．．，并直接写出函数f (x )的解析式； (2)将y ＝f (x )图像上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图像，若y ＝g (x )图像的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫5π12，0，求θ的最小值． 17．解：(1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表：且函数解析式为f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6.(2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，所以g (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2θ－π6.因为y ＝sin x 的图像的对称中心为(k π，0)，k ∈Z . 所以令2x ＋2θ－π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z .由于函数y ＝g (x )的图像关于点⎝⎛⎭⎫5π12，0成中心对称，所以令k π2＋π12－θ＝5π12，k ∈Z ，解得θ＝k π2－π3，k ∈Z .由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.8．C4[2015·全国卷Ⅰ] 函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图像如图1-2所示，则f (x )的单调递减区间为( )A.⎝⎛⎭⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈ZC.⎝⎛⎭⎫k －14，k ＋34，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 8．D [解析] 由图知T 2＝54－14＝1，所以T ＝2，即2π||ω＝2，所以ω＝±π.因为函数f (x )的图像过点⎝⎛⎭⎫14，0，所以当ω＝π时，ω4＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，解得φ＝π4＋2k π，k ∈Z ；当ω＝－π时，ω4＋φ＝－π2＋2k π，k ∈Z ，解得φ＝－π4＋2k π，k ∈Z .所以f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫πx ＋π4，由2k π<πx ＋π4<π＋2k π解得2k －14<x <2k ＋34，k ∈Z ，故选D.9．C4、C9[2015·湖南卷] 将函数f (x )＝sin 2x 的图像向右平移φ0<φ<π2个单位后得到函数g (x )的图像，若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π3，则φ＝( ) A.5π12 B.π3 C.π4 D.π69．D [解析] 由已知得g (x )＝sin(2x －2φ)，又|f (x 1)－g (x 2)|＝2，0<φ<π2，所以当|x 1－x 2|取最小值时，刚好是取两个函数相邻的最大值与最小值点．令2x 1＝π2，2x 2－2φ＝－π2，则|x 1－x 2|＝⎪⎪⎪⎪π2－φ＝π3，得φ＝π6.3．C4[2015·山东卷] 要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图像，只需将函数y ＝sin 4x 的图像( )A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位3．B [解析] 设将y ＝sin 4x 的图像向右平移φ个单位，得到y ＝sin 4(x －φ)＝sin(4x －4φ)＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3 ，则φ＝π12.3．C4[2015·陕西卷] 如图1-2，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )图1-2A ．5B ．6C ．8D ．103．C [解析] 据图可知，－3＋k ＝2，得k ＝5，所以y max ＝3＋5＝8. 4．C3，C4[2015·四川卷] 下列函数中，最小正周期为π且图像关于原点对称的函数是( )A ．y ＝cos2x ＋π2B ．y ＝sin2x ＋π2C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos x4．A [解析] 选项A 中，y ＝－sin 2x ，最小正周期为π，且图像关于原点对称；选项B 中，y ＝cos 2x 是偶函数，图像不关于原点对称；选项C 中，y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，图像不关于原点对称；选项D 中，y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，最小正周期为2π.故选A.11．C4、C5、C6 [2015·浙江卷] 函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是____________，单调递减区间是________．11．π ⎣⎡⎦⎤38π＋k π，78π＋k π(k ∈Z ) [解析] f (x )＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋1＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋32，则最小正周期是π.单调递减区间： 2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )⇒k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8(k ∈Z )．C5 两角和与差的正弦、余弦、正切16．F3、C5[2015·广东卷] 在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2.(1)若m ⊥n ，求tan x 的值；(2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．8．C5[2015·江苏卷] 已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为________．8．3 [解析] 因为β＝(α＋β)－α，所以tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan （α＋β）－tan α1＋tan （α＋β）tan α＝17＋21－27＝3.17．C5、C8[2015·全国卷Ⅱ] △ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍．(1)求sin ∠Bsin ∠C； (2)若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长． 17．解：(1)S △ABD ＝12AB ·AD sin ∠BAD ，S △ADC ＝12AC ·AD sin ∠CAD .因为S △ABD ＝2S △ADC ，∠BAD ＝∠CAD ， 所以AB ＝2AC . 由正弦定理可得 sin ∠B sin ∠C ＝AC AB ＝12. (2)因为S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC ，所以BD ＝ 2. 在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理知 AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠ADB ， AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos ∠ADC . 故AB 2＋2AC 2＝3AD 2＋BD 2＋2DC 2＝6. 由(1)知AB ＝2AC ，所以AC ＝1. 2．C5[2015·全国卷Ⅰ] sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( )A ．－32 B.32C ．－12 D.122．D [解析] sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝12.15．C5，C3[2015·北京卷] 已知函数f (x )＝2sin x 2cos x 2－2sin 2x2.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[－π，0]上的最小值． 15．解：(1)因为f (x )＝22sin x －22(1－cos x ) ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－22，所以f (x )的最小正周期为2π.(2)因为－π≤x ≤0，所以－3π4≤x ＋π4≤π4.当x ＋π4＝－π2，即x ＝－3π4时，f (x )取得最小值．所以f (x )在区间[－π，0]上的最小值为 f ⎝⎛⎭⎫－3π4＝－1－22.12．C5[2015·四川卷] sin 15°＋sin 75°的值是________．12.62[解析] sin 15°＋sin 75°＝sin 15°＋cos 15°＝2sin(15°＋45°)＝2sin 60°＝62. 19．C2、C5、C8[2015·四川卷] 如图1-4所示，A ，B ，C ，D 为平面四边形ABCD 的四个内角．(1)证明：tan A 2＝1－cos Asin A；(2)若A ＋C ＝180°，AB ＝6，BC ＝3，CD ＝4，AD ＝5，求tan A 2＋tan B 2＋tan C 2＋tan D2的值．19．解：(1)证明：tan A2＝sinA 2cos A 2＝2sin 2A22sin A 2cos A 2＝1－cos A sin A.(2)由A ＋C ＝180°，得C ＝180°－A ，D ＝180°－B .由(1)知， tanA 2＋tanB 2＋tanC 2＋tan D2＝1－cos A sin A ＋1－cos B sin B ＋1－cos （180°－A ）sin （180°－A ）＋1－cos （180°－B ）sin （180°－B ）＝2sin A ＋2sin B . 连接BD ，在△ABD 中，有BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A ， 在△BCD 中，有BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C ， 所以AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A ＝BC 2＋CD 2＋2BC ·CD cos A ， 则cos A ＝AB 2＋AD 2－BC 2－CD 22（AB ·AD ＋BC ·CD ）＝62＋52－32－422×（6×5＋3×4）＝37.于是sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝⎛⎭⎫372＝2107.连接AC ，同理可得cos B ＝AB 2＋BC 2－AD 2－CD 22（AB ·BC ＋AD ·CD ）＝62＋32－52－422×（6×3＋5×4）＝119，于是sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫1192＝6 1019.所以tan A 2＋tan B 2＋tan C 2＋tan D2＝2sin A ＋2sin B＝2×7210＋2×19610＝4103.15．C3、C5、C6[2015·天津卷] 已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2x －π6，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间－π3，π4上的最大值和最小值．15．解：(1)由已知，有f (x )＝1－cos 2x2－1－cos2x －π32＝1212cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x ＝ 34sin 2x －14cos 2x ＝12sin2x －π6. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间－π3，－π6上是减函数，在区间－π6，π4上是增函数，f －π3＝－14，f －π6＝－12，f π4＝34，所以f (x )在区间－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12.11．C4、C5、C6 [2015·浙江卷] 函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是____________，单调递减区间是________．11．π ⎣⎡⎦⎤38π＋k π，78π＋k π(k ∈Z ) [解析] f (x )＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋1＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋32，则最小正周期是π.单调递减区间： 2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )⇒k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8(k ∈Z )．9．C2、C5、C7[2015·重庆卷] 若tan α＝2tan π5，则cos α－3π10sin α－π5＝( )A ．1B ．2C ．3D ．49．C [解析] cos α－3π10sin α－π5＝sin α－3π10＋π2sin α－π5＝sin α＋π5sin α－π5＝sin αcos π5＋cos αsinπ5sin αcos π5－cos αsinπ5＝sin αcos αcos π5＋sin π5sin αcos αcos π5－sin π5＝2·sinπ5cos π5cos π5＋sinπ52·sin π5cosπ5cos π5－sinπ5＝3sin π5sinπ5＝3.18．C2、C3、C5、C6[2015·重庆卷] 已知函数f (x )＝sin π2－x sin x －3cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期和最大值； (2)讨论f (x )在π6，2π3上的单调性．18．解：(1)f (x )＝sin π2－x sin x －3cos 2x ＝cos x sin x －32(1＋cos 2x )＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin2x －π3－32， 因此f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32.(2)当x ∈π6，2π3时，0≤2x －π3≤π，从而当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f (x )单调递增；当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π3时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在π6，5π12上单调递增；在5π12，2π3上单调递减．C6 二倍角公式12．B9、C2、C6[2015·湖北卷] 函数f (x )＝4cos 2x2·cos ⎝⎛⎭⎫π2－x －2sin x －|ln(x ＋1)|的零点个数为________．12．2 [解析] f (x )＝4cos 2x2sin x －2sin x －|ln(x ＋1)|＝2sin x ⎝⎛⎭⎫2cos 2x 2－1－|ln(x ＋1)|＝sin 2x －|ln(x ＋1)|.令f (x )＝0，得sin 2x ＝|ln(x ＋1)|.在同一坐标系中作出函数y ＝sin 2x 与函数y ＝|ln(x＋1)|的大致图像，如图所示．观察图像可知，两个函数的图像有2个交点，故函数f (x )有2个零点.12．C6，C8[2015·北京卷] 在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2Asin C ＝________．12．1 [解析] 根据题意，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝52＋62－422×5×6＝34.因为0<A <π，所以sin A＝1－cos 2A ＝74.同理可求sin C ＝3 78，所以sin 2A sin C ＝2sin A cos Asin C＝1. 6．A2、C6[2015·陕西卷] “sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．A [解析] sin α＝cos α时，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝0，反之cos 2α＝0时，sin α＝±cos α，故“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的充分不必要条件．15．C3、C5、C6[2015·天津卷] 已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2x －π6，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间－π3，π4上的最大值和最小值．15．解：(1)由已知，有f (x )＝1－cos 2x2－1－cos2x －π32＝1212cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x ＝ 34sin 2x －14cos 2x ＝12sin2x －π6. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间－π3，－π6上是减函数，在区间－π6，π4上是增函数，f －π3＝－14，f －π6＝－12，f π4＝34，所以f (x )在区间－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12.11．C4、C5、C6 [2015·浙江卷] 函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是____________，单调递减区间是________．11．π ⎣⎡⎦⎤38π＋k π，78π＋k π(k ∈Z ) [解析] f (x )＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋1＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋32，则最小正周期是π.单调递减区间： 2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )⇒k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8(k ∈Z )．18．C2、C3、C5、C6[2015·重庆卷] 已知函数f (x )＝sin π2－x sin x －3cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期和最大值； (2)讨论f (x )在π6，2π3上的单调性．18．解：(1)f (x )＝sin π2－x sin x －3cos 2x ＝cos x sin x －32(1＋cos 2x )＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin2x －π3－32， 因此f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32.(2)当x ∈π6，2π3时，0≤2x －π3≤π，从而当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f (x )单调递增；当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π3时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在π6，5π12上单调递增；在5π12，2π3上单调递减．C7 三角函数的求值、化简与证明14．C7、F3[2015·江苏卷] 设向量a k ＝⎝⎛⎭⎫cos k π6，sin k π6＋cos k π6(k ＝0，1，2，…，12)，则k ＝011(a k ·a k ＋1)的值为________．14．93 [解析] 因为a k ·a k ＋1＝cosk π6cos （k ＋1）π6＋⎝⎛⎭⎫sin k π6＋cos k π6⎣⎡⎦⎤sin （k ＋1）π6＋cos （k ＋1）π6＝2cosk π6cos （k ＋1）π6＋sin k π6sin （k ＋1）π6＋sin k π6cos （k ＋1）π6＋cos k π6sin （k ＋1）π6＝cos k π6cos （k ＋1）π6＋cos π6＋sin （2k ＋1）π6＝12cos （2k ＋1）π6＋sin （2k ＋1）π6＋334，所以k ＝011(a k ·a k ＋1)＝12×334＋12k ＝011c os （2k ＋1）π6＋k ＝011s in （2k ＋1）π6＝9 3.16．C7、C8[2015·山东卷] 设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4.(1)求f (x )的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f ⎝⎛⎭⎫A 2＝0，a ＝1，求△ABC 面积的最大值．16．解：(1)由题意知f (x )＝sin 2x2－1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π22＝sin 2x 2－1－sin 2x 2＝sin 2x －12. 由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π，k ∈Z ，可得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π，k ∈Z ；由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z ，可得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z )；单调递减区间是⎣⎡⎦⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z )．(2)由f ⎝⎛⎭⎫A 2＝sin A －12＝0，得sin A ＝12. 由题意知A 为锐角，所以cos A ＝32. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得1＋3bc ＝b 2＋c 2≥2bc ，即bc ≤2＋3，当且仅当b ＝c 时等号成立，因此12bc sin A ≤2＋34，所以△ABC 面积的最大值为2＋34.图1-29．C2、C5、C7[2015·重庆卷] 若tan α＝2tan π5，则cos α－3π10sin α－π5＝( )A ．1B ．2C ．3D ．49．C [解析] cos α－3π10sin α－π5＝sin α－3π10＋π2sin α－π5＝sin α＋π5sin α－π5＝sin αcos π5＋cos αsinπ5sin αcos π5－cos αsinπ5＝sin αcos αcos π5＋sin π5sin αcos αcos π5－sin π5＝2·sinπ5cos π5cos π5＋sinπ52·sin π5cosπ5cos π5－sinπ5＝3sin π5sinπ5＝3.C8 解三角形16．C8[2015·安徽卷] 在△ABC 中，∠A ＝3π4，AB ＝6，AC ＝32，点D 在BC 边上，AD ＝BD ，求AD 的长．16．解：设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c .由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos ∠BAC ＝(32)2＋62－2×32×6×cos 3π4＝18＋36－(－36)＝90，所以a ＝310.又由正弦定理得sin B ＝b sin ∠BAC a ＝3310＝1010，且0<B <π4，所以cos B ＝1－sin 2B ＝1－110＝31010. 在△ABD 中，由正弦定理得AD ＝AB ·sin B sin （π－2B ）＝6sin B 2sin B cos B ＝3cos B＝10.11．C8[2015·广东卷] 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B＝12，C ＝π6，则b ＝________. 11．1 [解析] ∵sin B ＝12，∴B ＝π6或5π6.当B ＝5π6时，有B ＋C ＝π，不符合，∴B ＝π6＝C ，∴b cos π6＝a 2＝32，∴b ＝1. 13．C8[2015·湖北卷] 如图1-2，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________m.图1-213．1006 [解析] 依题意，在△ABC 中，AB ＝600，∠BAC ＝30°，∠ACB ＝75°－30°＝45°.由正弦定理得BC sin ∠BAC ＝AB sin ∠ACB ，即BC sin 30°＝600sin 45°，所以BC ＝300 2.在△BCD 中，∠CBD ＝30°，CD ＝BC tan ∠CBD ＝3002·tan 30°＝100 6.15．C8[2015·江苏卷] 在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝3，A ＝60°. (1)求BC 的长； (2)求sin 2C 的值．15．解：(1)由余弦定理知，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝4＋9－2×2×3×12＝7，所以BC ＝7.(2)由正弦定理知，AB sin C ＝BC sin A ，所以sin C ＝AB BC ·sin A ＝2sin 60°7＝217. 因为AB <BC ，所以C 为锐角，则cos C ＝1－sin 2C ＝1－37＝277. 因此sin 2C ＝2sin C ·cos C ＝2×217×277＝437. 17．C5、C8[2015·全国卷Ⅱ] △ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍．(1)求sin ∠Bsin ∠C； (2)若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长． 17．解：(1)S △ABD ＝12AB ·AD sin ∠BAD ，S △ADC ＝12AC ·AD sin ∠CAD .因为S △ABD ＝2S △ADC ，∠BAD ＝∠CAD ，所以AB ＝2AC . 由正弦定理可得 sin ∠B sin ∠C ＝AC AB ＝12. (2)因为S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC ，所以BD ＝ 2. 在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理知 AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠ADB ， AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos ∠ADC . 故AB 2＋2AC 2＝3AD 2＋BD 2＋2DC 2＝6. 由(1)知AB ＝2AC ，所以AC ＝1. 16．C8[2015·全国卷Ⅰ] 在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是________．16．(6－2，6＋2) [解析]MB <AB <EB ，在△BMC 中，CB ＝＝30°，由余弦定理知MB 2＝22＋22－2×2×2cos 30°＝8－43＝(6－2)2，所以MB ＝6－ 2.在△EBC 中，设EB ＝x ，由余弦定理知4＝x 2＋x 2－2×x ×x cos 30°，得x 2＝8＋43＝(6＋2)2，所以x ＝6＋2，即EB ＝6＋2，所以6－2<AB <6＋ 2.12．C6，C8[2015·北京卷] 在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2Asin C＝________．12．1 [解析] 根据题意，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝52＋62－422×5×6＝34.因为0<A <π，所以sin A＝1－cos 2A ＝74.同理可求sin C ＝3 78，所以sin 2A sin C ＝2sin A cos Asin C＝1. 12．C8[2015·福建卷] 若锐角△ABC 的面积为103，且AB ＝5，AC ＝8，则BC 等于________．12．7 [解析] 由S △ABC ＝12×5×8sin A ＝103，得sin A ＝32.又A 为锐角，∴A ＝π3，∴由余弦定理得BC ＝25＋64－2×5×8cosπ3＝49＝7. 17．C8[2015·湖南卷] 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝b tan A ，且B 为钝角．(1)证明：B －A ＝π2；(2)求sin A ＋sin C 的取值范围．17．解：(1)证明：由a ＝b tan A 及正弦定理，得sin A cos A ＝a b ＝sin Asin B ，所以sin B ＝cos A ，即sin B ＝sin π2＋A .又B 为钝角，因此π2＋A ∈π2，π，故B ＝π2＋A ，即B －A ＝π2.(2)由(1)知，C ＝π－(A ＋B )＝π－2A ＋π2＝π2－2A >0，所以A ∈0，π4.于是sin A ＋sin C ＝sin A ＋sinπ2－2A ＝ sin A ＋cos 2A ＝－2sin 2A ＋sin A ＋1＝ －2sin A －142＋98.因为0<A <π4，所以0<sin A <22，因此22<－2sin A －142＋98≤98. 由此可知，sin A ＋sin C 的取值范围是22，98. 16．C7、C8[2015·山东卷] 设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4.(1)求f (x )的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f ⎝⎛⎭⎫A 2＝0，a ＝1，求△ABC 面积的最大值．16．解：(1)由题意知f (x )＝sin 2x2－1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π22＝sin 2x 2－1－sin 2x 2＝sin 2x －12. 由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π，k ∈Z ，可得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π，k ∈Z ；由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z ，可得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z )；单调递减区间是⎣⎡⎦⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z )．(2)由f ⎝⎛⎭⎫A 2＝sin A －12＝0，得sin A ＝12. 由题意知A 为锐角，所以cos A ＝32. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得1＋3bc ＝b 2＋c 2≥2bc ，即bc ≤2＋3，当且仅当b ＝c 时等号成立， 因此12bc sin A ≤2＋34，所以△ABC 面积的最大值为2＋34.17．C8[2015·陕西卷] △ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .向量m ＝(a ，3b )与n ＝(cos A ，sin B )平行．(1)求A ；(2)若a ＝7，b ＝2，求△ABC 的面积．17．解：(1)因为m ∥n ，所以a sin B －3b cos A ＝0， 由正弦定理得sin A sin B －3sin B cos A ＝0， 又sin B ≠0，从而tan A ＝3， 由于0<A <π，所以A ＝π3.(2)方法一：由余弦定理得 a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 而a ＝7，b ＝2，A ＝π3，得7＝4＋c 2－2c ，即c 2－2c －3＝0， 因为c >0，所以c ＝3.故△ABC 的面积为12bc sin A ＝332.方法二：由正弦定理得7sin π3＝2sin B ，从而sin B ＝217， 又由a >b ，知A >B ，所以cos B ＝277.故sin C ＝sin(A ＋B )＝sin B ＋π3＝ sin B cos π3＋cos B sin π3＝32114.所以△ABC 的面积为12ab sin C ＝332.19．C2、C5、C8[2015·四川卷] 如图1-4所示，A ，B ，C ，D 为平面四边形ABCD 的四个内角．(1)证明：tan A 2＝1－cos Asin A；(2)若A ＋C ＝180°，AB ＝6，BC ＝3，CD ＝4，AD ＝5，求tan A 2＋tan B 2＋tan C 2＋tan D2的值．19．解：(1)证明：tan A2＝sinA 2cos A 2＝2sin 2A22sin A 2cos A 2＝1－cos A sin A.(2)由A ＋C ＝180°，得C ＝180°－A ，D ＝180°－B . 由(1)知， tanA 2＋tanB 2＋tanC 2＋tan D2＝1－cos A sin A ＋1－cos B sin B ＋1－cos （180°－A ）sin （180°－A ）＋1－cos （180°－B ）sin （180°－B ）＝2sin A ＋2sin B . 连接BD ，在△ABD 中，有BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A ， 在△BCD 中，有BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C ， 所以AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A ＝BC 2＋CD 2＋2BC ·CD cos A ， 则cos A ＝AB 2＋AD 2－BC 2－CD 22（AB ·AD ＋BC ·CD ）＝62＋52－32－422×（6×5＋3×4）＝37.于是sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝⎛⎭⎫372＝2107.连接AC ，同理可得cos B ＝AB 2＋BC 2－AD 2－CD 22（AB ·BC ＋AD ·CD ）＝62＋32－52－422×（6×3＋5×4）＝119，于是sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫1192＝6 1019.所以tan A 2＋tan B 2＋tan C 2＋tan D2＝2sin A ＋2sin B＝2×7210＋2×19610＝4103.13．C8[2015·天津卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知△ABC的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为________．13．8 [解析] 在△ABC 中，cos A ＝－14，则sin A ＝154，又由△ABC 的面积为315 ，可得12bc sin A ＝315，求得bc ＝24，所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b －c )2＋2bc －2bc －14＝64，解得a ＝8.16．C8[2015·浙江卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知A ＝π4，b 2－a 2＝12c 2.(1)求tan C 的值；(2)若△ABC 的面积为3，求b 的值．16．解：(1)由b 2－a 2＝12c 2及正弦定理得sin 2B －12＝12sin 2C ，所以－cos 2B ＝sin 2C .又由A ＝π4，即B ＋C ＝34π，得－cos 2B ＝sin 2C ＝2sin C cos C ＝sin 2C ， 解得tan C ＝2.(2)由tan C ＝2，C ∈(0，π)得sin C ＝2 55，cos C ＝55.又因为sin B ＝sin(A ＋C )＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C ，所以sin B ＝31010.由正弦定理得c ＝2 23b .又因为A ＝π4，12bc sin A ＝3，所以bc ＝6 2，故b ＝3.13．C8[2015·重庆卷] 在△ABC 中，B ＝120°，AB ＝2，A 的角平分线AD ＝3，则AC ＝________．13.6 [解析] 在△ABD 中，由正弦定理，得sin ∠ADB ＝AB ·sin BAD＝2×323＝22.由题意知0°<∠ADB <60°，所以∠ADB ＝45°，则∠BAD ＝15°，所以∠BAC ＝2∠BAD ＝30°，所以C ＝30°，所以BC ＝AB ＝ 2.由余弦定理，得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝（2）2＋（2）2－22×2cos 120°＝ 6.C9 单元综合19．C9[2015·福建卷] 已知函数f (x )的图像是由函数g (x )＝cos x 的图像经如下变换得到：先将g (x )图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，再将所得到的图像向右平移π2个单位长度． (1)求函数f (x )的解析式，并求其图像的对称轴方程．(2)已知关于x 的方程f (x )＋g (x )＝m 在[0，2π)内有两个不同的解α，β. (i)求实数m 的取值范围； (ii)证明：cos(α－β)＝2m 25－1.19．解：方法一：(1)将g (x )＝cos x 的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到y ＝2cos x 的图像，再将y ＝2cos x 的图像向右平移π2个单位长度后得到y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π2的图像，故f (x )＝2sin x .从而函数f (x )＝2sin x 图像的对称轴方程为x ＝k π＋π2(k ∈Z )．(2)(i)f (x )＋g (x )＝2sin x ＋cos x＝5⎝⎛⎭⎫25sin x ＋15cos x＝5sin(x ＋φ)⎝⎛⎭⎫其中sin φ＝15，cos φ＝25.依题意，sin(x ＋φ)＝m5在[0，2π)内有两个不同的解α，β当且仅当⎪⎪⎪⎪m 5＜1，故m 的取值范围是(－5，5)．(ii)证明：因为α，β是方程5sin(x ＋φ)＝m 在[0，2π)内的两个不同的解，所以sin(α＋φ)＝m 5，sin(β＋φ)＝m5.当1≤m ＜5时，α＋β＝2⎝⎛⎭⎫π2－φ，即α－β＝π－2(β＋φ)； 当－5＜m ＜1时，α＋β＝2⎝⎛⎭⎫3π2－φ，即α－β＝3π－2(β＋φ)． 所以cos(α－β)＝－cos 2(β＋φ)＝2sin 2(β＋φ)－1＝2⎝⎛⎭⎫m 52－1 ＝2m 25－1.方法二：(1)同方法一． (2)(i)同方法一．(ii)因为α，β是方程5sin(x ＋φ)＝m 在[0，2π)内的两个不同的解，所以sin(α＋φ)＝m 5，sin(β＋φ)＝m5.当1≤m ＜5时，α＋β＝2⎝⎛⎭⎫π2－φ，即α＋φ＝π－(β＋φ)； 当－5＜m ＜1时，α＋β＝2⎝⎛⎭⎫3π2－φ，即α＋φ＝3π－(β＋φ)． 所以cos(α＋φ)＝－cos(β＋φ)．于是cos(α－β)＝cos[(α＋φ)－(β＋φ)]＝cos(α＋φ)cos(β＋φ)＋sin(α＋φ)sin(β＋φ) ＝－cos 2(β＋φ)＋sin(α＋φ)sin(β＋φ)＝－⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫m 52＋⎝⎛⎭⎫m 52＝2m 25－1.9．C4、C9[2015·湖南卷] 将函数f (x )＝sin 2x 的图像向右平移φ0<φ<π2个单位后得到函数g (x )的图像，若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π3，则φ＝( ) A.5π12 B.π3 C.π4 D.π69．D [解析] 由已知得g (x )＝sin(2x －2φ)，又|f (x 1)－g (x 2)|＝2，0<φ<π2，所以当|x 1－x 2|取最小值时，刚好是取两个函数相邻的最大值与最小值点．令2x 1＝π2，2x 2－2φ＝－π2，则|x 1－x 2|＝⎪⎪⎪⎪π2－φ＝π3，得φ＝π6.7．[2015·杭州质检] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知cos 2A ＋32＝2cos A. (1)求角A 的大小；(2)若a ＝1，求△ABC 的周长l 的取值范围．7．解：(1)根据倍角公式，得2cos 2A ＋12＝2cos A ，即4cos 2A －4cos A ＋1＝0，所以(2cosA －1)2＝0，所以cos A ＝12.因为0<A <π，所以A ＝π3.(2)由a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，得b ＝23sin B ，c ＝23sin C ， 所以l ＝1＋b ＋c ＝1＋23(sin B ＋sin C )． 因为A ＝π3，所以B ＋C ＝2π3，所以l ＝1＋23⎣⎡⎦⎤sin B ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6.因为0<B <2π3，所以l ∈(2，3]．8．[2015·咸阳一模] 已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且△ABC 的面积S ＝32ac cos B . (1)若c ＝2a ，求角A ，B ，C 的大小； (2)若a ＝2，且π4≤A ≤π3，求c 的取值范围．8. 解：由题意可知，12ac sin B ＝32ac cos B ，化简，得sin B ＝3cos B ，即tan B ＝3，又0<B <π，所以B ＝π3.(1)由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋4a 2－2a 2＝3a 2， ∴b ＝3a ，∴a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，易求得A ＝π6，C ＝π2.(2)由a sin A ＝c sin C ，得c ＝a sin C sin A ＝2sin Csin A .由C ＝2π3－A ，得c ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2π3－A sin A＝2⎝⎛⎭⎫sin 2π3cos A －cos 2π3sin A sin A ＝3tan A＋1.又由π4≤A ≤π3知1≤tan A ≤3，故c ∈[2，3＋1]．10．[2015·福州期末] 已知函数f (x )＝3sin ωx －cos ωx (ω>0)的图像与直线y ＝2的相邻两个交点之间的距离为π.(1)求函数f (x )的单调递增区间； (2)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若f (A )＝2，a ＝3b ，求角B 的大小．10．解：(1)因为f (x )＝3sin ωx －cos ωx (ω>0，x ∈R )，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6，所以函数f (x )的最大值为2.因为函数f (x )的图像与直线y ＝2的相邻两个交点之间的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，所以2πω＝π，解得ω＝2，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6.令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3，k ∈Z .(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6.在△ABC 中，因为f (A )＝2，所以2sin ⎝⎛⎭⎫2A －π6＝2，所以sin ⎝⎛⎭⎫2A －π6＝1.因为0<A <π，所以A ＝π3.因为a ＝3b ，所以sin A ＝3sin B ，所以sinπ3＝3sin B ，所以sin B ＝12.因为a >b ，所以A >B ，所以0<B <π3，所以B ＝π6.7．[2015·开封二模] 函数f (x )＝sin(ωx ＋ φ)x ∈R ，ω>0, |φ | <π2的部分图像如图K16­2所示，如果x 1，x 2 ∈⎝⎛⎭⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( )A.12B.22C.32D ．1 7．C [解析] 由图像知，函数的最小正周期T ＝2⎝⎛⎭⎫π3＋π6＝π，则ω＝2ππ＝2.由函数f (x )的图像过点⎝⎛⎭⎫－π6，0，得sin ⎝⎛⎭⎫－π3＋φ＝0，又|φ|<π2，所以φ＝π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.由x 1，x 2 ∈⎝⎛⎭⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，易得点(x 1，f (x 1))与点(x 2，f (x 2))关于直线x ＝π12对称，即x 1 ＋ x 2＝π6，所以f (x 1＋x 2)＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋π3＝32.。

2015届广东省13市高三上学期期末考试数学理试题分类汇编三角函数整理：李炳璋一、选择、填空题1、（潮州市2015届高三）已知函数()()sin f x x ωϕ=A +（0A >，0ω>，2πϕ<）的部分图象如图所示，则ϕ=（ ）A ．6π-B ．6π C ．3π- D ．3π2、（佛山市2015届高三）如图1,为了测量河对岸A 、B 两点之间的距离,观察者找到一个点C ,从C 点可以观察到点A 、B ；找到一个点D ,从D 点可以观察到点A 、C ；找到一个点E ,从E 点可以观察到点B 、C ；并测量得到一些数据:2CD =,23CE =,45D ∠=︒,105ACD ∠=︒, 48.19ACB ∠=︒,75BCE ∠=︒,E ∠=60︒,则A 、B 两点之间的距离为_________.(其中c o s 48.19︒取近似值23)3、（广州市2015届高三）将函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位，再向上 平移1个单位，所得图象的函数解析式是BADCE图1A ．22cos y x =B ．22sin y x =C ．1sin 23y x π⎛⎫=++⎪⎝⎭D ．cos 2y x =4、（江门市2015届高三）在ABC ∆中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，若075=∠A 、060=∠B 、10=c ，则=bA ．35B ．65C ．310D ．6105、（汕尾市2015届高三）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c ，若1,45,a B A B C =∠=∆的面积2S =，则b 边长6、（韶关市2015届高三）已知α为第二象限角，54sin =α，则sin(2)πα+= .A 2425- .B 2425 .C 1225.D 1225-二、解答题1、（潮州市2015届高三）已知函数()2cos 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，R x ∈． ()1求()f π的值； ()2若2635f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，求()2f α的值．2、（佛山市2015届高三）已知函数()sin 4f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭(0ω>,x ∈R )的最小正周期为π.（Ⅰ）求6f π⎛⎫⎪⎝⎭； （Ⅱ）在图3给定的平面直角坐标系中,画出函数()y f x =在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图像,并根据图象写出其在,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上的单调递减区间．3、（广州市2015届高三）已知函数()sin cos f x x a x =+(x ∈R )，4π是函数()f x 的一个零点. （1）求a 的值，并求函数()f x 的单调递增区间； （2）若α,0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且1045f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，33545f πβ⎛⎫+=⎪⎝⎭，求()sin αβ+的值.4、（惠州市2015届高三）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+，x ∈R （其中ππ0,0,22A ωϕ>>-<<），其部分图像如图2所示．（1）求函数()f x 的解析式；（2）已知横坐标分别为1-、1、5的三点,,M N P 都在函数()f x 的图像上，求sin MNP ∠的值．5、（江门市2015届高三）已知函数)cos (sin sin 2)(x x x x f +=，R x ∈．（1）求)(x f 的最小正周期T 和最大值M ； （2）若31)82(-=+παf ，求αcos 的值．6、（揭阳市2015届高三）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c 且a c >，已知ABC ∆的面积32S =，4cos 5B =，32b =． （1）求a 和c 的值； （2）求cos()BC -的值．7、（清远市2015届高三）已知函数1()3sin cos cos 2().2f x x x x x R =⋅-∈（1）求函数()f x 的最小值和最小正周期；（2）设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且︒=30B ,3,()1c f C ==，判断△ABC 的形状，并求△ABC 的面积．8、（汕头市2015届高三）已知函数)32sin(2)(π+=x x f ，R x ∈．（1）在给定的直角坐标系中，运用“五点法”画出该函数在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈65,6ππx 的图像； 图2y x2-1-01-1123456（2）若θ为锐角，且满足1)()(=--θθf f ，求θ的值．9、（汕尾市2015届高三）已知函数()sin(),12f x x x R π=+∈．(1) 求()4f π-的值； (2) 若4cos ,(0,)52πθθ=∈，求(2)3f πθ-．10、（韶关市2015届高三）已知函数2()2cos(2)3sin 23f x x x π=++ （1）求函数)(x f 的最小正周期和最大值； （2）设ABC ∆的三内角分别是A 、B 、C. 若1()22C f =-，且3,1==BC AC ,求sin A 的值．11、（深圳市2015届高三）函数π()2sin()3f x x ω=+（0ω>）的最小正周期是π． （1）求5π()12f 的值； （2）若03sin 3x =，且0π(0,)2x ∈，求0()f x 的值．12、（珠海市2015届高三）某同学用“五点法”画函数()sin()(0,0,)2f x A x B A πωϕωϕ=++>><在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表：x 1x12π2x712π 3xx ωϕ+2π π32π 2πsin()A x B ωϕ++ 042-11 1（1）求函数()f x 的解析式； （2）若2παπ<<，17()2125f απ-=，求()2f πα+的值．参考答案一、选择题1、D2、103、A4、B5、56、B二、解答题1、解：（1）由已知得3()2cos()2cos23662f ππππ=-=-=-⨯=-．………4分 （2）因为22()2cos()2cos()2sin 3362f ππππαααα+=+-=+=-， 又26()35f πα+=，故62sin 5α-=，即3sin 5α=-．. …………………6分又(,0)2πα∈-，故2234cos 1sin 1()55αα=-=--=．.……..……8分所以3424sin 22sin cos 2()5525ααα==⨯-⨯=-， 2247cos 22cos 12()1525α=-=⨯-=．.……………….………….…10分 所以(2)2cos(2)2cos 2cos2sin 2sin666f πππαααα=-=+73241732422()25225225-=⨯⨯+⨯-⨯=． . ……....……12分 2、（Ⅰ）依题意得2ππω=,解得2ω=,所以()sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,………………2分 所以s i63f ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭32-⨯.………4分 （Ⅱ）因为22x ππ-≤≤,所以532444x πππ-≤-≤,列表如下:……………………6分 x2π- 38π- 8π- 8π 38π 2π 24x π-54π- π- 2π- 02π 34π y220 1- 0 122画出函数()y f x =在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图像如图所示! ………8分由图象可知函数()y f x =在,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上的单调递减区间为,28ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,3,82ππ⎛⎫⎪⎝⎭.……12分 3、（1）解：∵4π是函数()f x 的一个零点，∴ sin cos 0444f a πππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭. …………………………………………1分 ∴ 1a =-. ………………………………………………2分 ∴ ()sin cos f x x x =-222sin cos 22x x ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭………………………………………………3分2sin 4x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. ………………………………………………4分由22242k x k πππππ-≤-≤+，k ∈Z ，得32244k x k ππππ-≤≤+，k ∈Z ， ………………………………………………5分 ∴ 函数()f x 的单调递增区间是32,244k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(k ∈Z ). …………………6分 （2）解：∵1045f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∴102sin 5α=. ∴ 5sin 5α=. ………………………………………………7分 ∵0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，………10分∴ 225cos 1sin5αα=-=. ………………………………………………8分 ∵33545f πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∴352sin 25πβ⎛⎫+=⎪⎝⎭. ∴ 310cos 10β=. ………………………………………………9分 ∵0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴ 210sin 1cos 10ββ=-=. ……………………………………………10分 ∴()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+ …………………………………………11分 53102510510510=⨯+⨯22=. ………………………………………………12分 4、解：（1）由图可知，1A = ， ……………………………………………1分最小正周期428,T =⨯=所以2ππ8,.4T ωω===…………………………………3分又π(1)sin()14f ϕ=+= ，且ππ22ϕ-<<所以ππ3π444ϕ-<+<，πππ,.424ϕϕ+== …………………5分所以()sin()44f x x ππ=+． ……………………6分（1）解法一: 因为ππ(1)sin (11)0,(1)sin (11)1,44f f -=-+==+=π(5)sin (51)14f =+=-，所以(1,0),(1,1),(5,1)M N P --， ………………………………8分5,37,20MN MP PN ===，从而520373cos 52520MNP +-∠==-⨯， ……………………………10分由()0,MNP π∠∈，得24sin 1cos 5MNP MNP ∠=-∠=. ………12分 解法二: 因为ππ(1)sin(11)0,(1)sin (11)1,44f f -=-+==+= π(5)sin (51)14f =+=-，所以(1,0),(1,1),(5,1)M N P --， ………………………………8分(2,1),(4,2)NM NP =--=-,6NM NP ⋅=-,5,2025NM NP ===,则63cos 5525NM NP MNP NM NP⋅-∠===-⨯⋅. ……………10分由()0,MNP π∠∈，得24sin 1cos 5MNP MNP ∠=-∠=. ……12分 5、解：（1）x x x f 2cos 12sin )(-+=……2分，1)42sin(2+-=πx ……4分最小正周期ππ==22T ……5分，最大值12+=M ……6分 （2）依题意，311]4)82(2sin[2-=+-+ππα……7分即311sin 2-=+α……8分，322sin -=α……10分31sin 1cos 2±=-±=αα……12分6、解：（1）∵4cos 5B =>0 ∴02B π<< ∴23sin 1cos 5B B =-=--------------1分 由13sin 22S ac B ==,得5ac =-------------------①-------------------------------3分由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-,∴2226a c +=---------------②-------------5分 由①②结合a c >，解得5,1a c ==.-----------------------------------------------7分 （2）由正弦定理知sin sin b c B C =，∴sin sin c B C b =210=，---------------------------9分 ∵a c >，∴02C π<<,∴272cos 1sin 10C C =-=,---------------------------------------------------10分 ∴cos()B C -cos cos sin sin B C B C =+47232510510=⨯+⨯31250=.-------------------------12分7、解：（1）x x x x f 2cos 21cos sin 3)(-⋅=＝x x 2cos 212sin 23- ………1分=sin(2)6x π-………2分1sin(2)16x R x π∈∴-≤-≤………3分 ()f x ∴的最小值是-1 ……4分22T ππ∴==，故其最小正周期是π ………5分（2）∵1)(=C f 1)62sin(=-∴πC …………7分又∵0<2C <2π，∴6116-26πππ<<-C ……8分∴26-2ππ=C ，3C π∴= ………9分∵B=6π，∴A=2π，∴△ABC 是直角三角形………10分由正弦定理得到：B bsin =3232sin c C ==，∴1=b ………11分 设三角形ABC 的面积为S, ∴S=23………12分 8、解：（1）列表 （2）描点 （3）连线32π+x 02π π23π π2x6π-12π 3π 127π 65π y2-2……………….3分………………6分（2）由题意可知道：1)32sin(2)32sin(2=+--+πθπθ，)2,0(πθ∈………………7分所以：3sin 2cos 3cos 2sin πθπθ+3sin )2cos(3cos )2sin(πθπθ----21= (8)所以213cos 2sin 2=πθ，即212sin =θ ……………………………9分xyo 12 -1 -2π因为)2,0(πθ∈，所以),0(2πθ∈ ……………………………10分 所以62πθ=或652πθ= ……………………………….11分 所以12πθ=或125πθ= ……………………………….12分 9、10、11、解：（1）()f x 的周期πT =，即2ππω=， …………………………………………1分2ω∴=±， 由0ω>，得2ω=，即π()2sin(2)3f x x =+． ……………………………3分5π7πππ()2sin 2sin(π)2sin 112666f ∴==+=-=-． ………………………………5分 （2）由03sin 3x =得2001cos 212sin 3x x =-=， ………………………………7分 又0π(0,)2x ∈，∴02(0,π)x ∈， ……………………………………………8分 ∴ 20022sin 21cos 23x x =-=， …………………………………………9分 000πππ2sin(2)2sin 2cos 2cos 2sin 333x x x +=+ 221132232232323+=⨯⨯+⨯⨯=． 00π223()2sin(2)33f x x +∴=+=． …………………………………………12分 【说明】 本小题主要考查了三角函数)sin()(ϕω+=x A x f 的图象与性质，同角三角函数的关系式，诱导公式，两角和与差和二倍角的三角函数公式，考查了简单的数学运算能力．12、解：（1）由题意可得12273122ππωϕππωϕ⎧⋅+=⎪⎪⎨⎪⋅+=⎪⎩，即23ωπϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩………………………………………2分 由题意可得42A B A B +=⎧⎨-+=-⎩，即31A B =⎧⎨=⎩…………………………………4分 ∴ 函数()f x 的解析式为：()3sin(2)13f x x π=++…………………………………5分 （2）由17()2125f απ-=可得)212173sin[2(]135παπ++=-， 化简得4sin()65πα+=…………………7分 3sin[2(]13sin(2)133())22f ππαααπππ++++=+=++ 3sin(2)13πα-+=+……………………………………………………9分6sin()cos()166ππαα=-⋅+++……………………………………………10分 又(,)2παπ∈，∴27(,)636πππα+∈，∴3cos()65πα+=-…………………………11分 1)53(5461)6cos()6sin(6)6(+-⨯⨯-=+++-=+παπαπαf 2597=…………………12分。

2015届广东省13市高三上学期期末考试数学理试题分类汇编---函数整理：李炳璋一、选择题 1、（潮州市2015届高三）设0.14a =，3log 0.1b =，0.10.5c =，则A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >> 2、（佛山市2015届高三）下列函数中,可以是奇函数的为A ．()()=-f x x a x ,a ∈RB ．2()1=++f x x ax ,a ∈RC ．()2()log 1=-f x ax ,a ∈RD ．()cos =+f x ax x ,a ∈R 3、（潮州市2015届高三）若函数()y f x =（R x ∈）满足()()1f x f x +=-，且[]1,1x ∈-时，()21f x x =-，已知函数()lg ,01,0x x g x x x>⎧⎪=⎨-<⎪⎩，则函数()()()h x f x g x =-在区间[]5,5-内的零点的个数为A ．7B ．8C ．9D ．104、（惠州市2015届高三）下列函数中，既是偶函数又在区间()0,1上单调递减的函数为A.xy 1=B.x y lg =C.x y cos =D.2x y = 5、（江门市2015届高三）已知函数13)(23+-=x ax x f ，若)(x f 存在唯一的零点0x ，且00>x ，则常数a 的取值范围是A ．)2 , (--∞B ．)1 , (--∞C ．) , 1(∞+D ．) , 2(∞+ 6、（揭阳市2015届高三）已知函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +、(1)f x -都是奇函数，则A. ()f x 是奇函数B. ()f x 是偶函数C. (5)f x +是偶函数D.(7)f x +是奇函数7、（清远市2015届高三）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为A 、y ＝x ＋1B 、y ＝－x 2C 、y ＝1x D 、y ＝x ｜x ｜8、（汕头市2015届高三）下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是A ．ln(1)y x =-B ．|1|y x =-C ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．sin 2y x x =+9、（汕尾市2015届高三）以下四个函数213,,1,2sin x y y y x y x x===+=中，奇函数的个数是 A ．4 B ．3 C ．2 D ．110、（韶关市2015届高三）记[]x 表示不超过x 的最大整数，函数1()12x xa f x a =-+(>01)a a ≠且，在0x > 时恒有[]()0f x = ，则实数a 的取值范围是 A ．1a > B ．01a << C ．12a >D ．102a << 11、（深圳市2015届高三）若函数b a y x +=的部分图象如图1所示，则 A.01,10<<-<<b a B 、10,10<<<<b a C.01,1<<->b a D 、>a 1,0< b<112、（珠海市2015届高三）下列函数为偶函数的是A ． 21()f x x x =+ B ．2()log f x x =C ．()44x x f x -=-D ．()22f x x x =-++ 13、（清远市2015届高三）设定义在（0，＋∞）上的函数212.012(),()()32,12x x xf xg x f x a x x x ⎧--<≤⎪⎪==+⎨⎪-->⎪⎩，则当实数a 满足522a <<时，函数y ＝g （x ）的零点个数为 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4二、填空题1、（佛山市2015届高三）如果,11,sin ,1)(>≤⎩⎨⎧=x x x x f 那么()2f f =⎡⎤⎣⎦ . 2、（广州市2015届高三）已知函数()sin 3f x x x π=+-,则12340292015201520152015f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为 .3、（江门市2015届高三）若⎩⎨⎧>-≤-=0, 20 , )(2x x x x x x f ，则)(x f 的最小值是 .参考答案一、选择题1、B2、A3、B4、C5、A6、D由(1)f x +、(1)f x -都是奇函数得(1)(1)f x f x -+=-+，(1)(1)f x f x --=--，从而有()(2)f x f x =--，()(2)f x f x =---，故有(2)(2)f x f x -=--(2)(2)f x f x ⇒+=- (4)()f x f x ⇒+=，即()f x 是以4为周期的周期函数，因(1)f x -为奇函数，8也是函数()f x 的周期，所以(7)f x +也是奇函数.选D.7、D 8、D 9、C 10、11、A 12、D 13、C二、填空题1、12、8058-3、－1。

2015年全国各地高考数学试题及解答分类大全 （三角函数 三角恒等变换）一、选择题：1.（2015安徽理）已知函数()()sin f x x ωϕ=A +（A ，ω，ϕ均为正的常数）的最小正周期为π，当23x π=时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（ ） （A ）()()()220f f f <-< （B ）()()()022f f f <<-（C ）()()()202f f f -<< （D ）()()()202f f f <<-2．（2015福建文）若5sin 13α=-，且α为第四象限角，则tan α的值等于（ ） A ．125 B ．125- C ．512 D ．512-【答案】D【解析】试题分析：由5sin 13α=-，且α为第四象限角，则212cos 1sin 13αα=-=，则sin tan cos ααα=512=-，故选D．考点：同角三角函数基本关系式．3. (2015湖南理)将函数()sin2f x x=的图像向右平移(0)2πϕϕ<<个单位后得到函数()g x的图像，若对满足12()()2f xg x-=的1x，2x，有12min3x xπ-=，则ϕ=（）A.512πB.3πC.4πD.6π【答案】D.【考点定位】三角函数的图象和性质.【名师点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题，高考题对于三角函数的考查，多以)sin()(ϕω+=xAxf为背景来考查其性质，解决此类问题的关键：一是会化简，熟悉三角恒等变形，对三角函数进行化简；二是会用性质，熟悉正弦函数的单调性，周期性，对称性，奇偶性等.4、(2015全国新课标Ⅰ卷文、理)函数()cos()f x xωϕ=+的部分图像如图所示，则()f x的单调递减区间为（）（A）13(,),44k k k Zππ-+∈（B）13(2,2),44k k k Zππ-+∈（C）13(,),44k k k Z-+∈（D）13(2,2),44k k k Z-+∈【答案】D【解析】试题分析：由五点作图知，1+4253+42πωϕπωϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得=ωπ，=4πϕ，所以()cos()4f x xππ=+，令22,4k x k k Zπππππ<+<+∈，解得124k-＜x＜324k+，k Z∈，故单调减区间为（124k-，324k+），k Z∈，故选D.考点：三角函数图像与性质5.(2015全国新课标Ⅰ卷理)sin20°cos10°-con160°sin10°=（ ）（A ）32- （B ）32 （C ）12- （D ）12【答案】D 【解析】试题分析：原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=12，故选D.考点：诱导公式；两角和与差的正余弦公式18．(2015全国新课标Ⅱ卷文、理)如图，长方形ABCD 的边2AB =，1BC =，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记BOP x ∠=．将动P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ，则()y f x =的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B考点：函数图像7. (2015重庆文)若11tan,tan()32,则tan =（ ） (A) 17 (B) 16 (C) 57 (D) 56【答案】A 【解析】试题分析：71312113121tan)tan(1tan)tan(])tan[(tan=⨯+-=++-+=-+=abaabaabab；故选A.考点：正切差角公式.8．(2015重庆理)若tan2tan5πα=，则3cos()10sin()5παπα-=-（）A、1B、2C、3D、4【答案】C【解析】【考点定位】两角和与差的正弦（余弦）公式，同角间的三角函数关系，三角函数的恒等变换.9.(2015山东文、理)要得到函数sin43y xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，只需要将函数sin4y x=的图象（）（A）向左平移12π个单位（B）向右平移12π个单位（C）向左平移3π个单位（D）向右平移3π个单位【答案】B【考点定位】三角函数的图象变换.【名师点睛】本题考查了三角函数的图象，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.10. (2015陕西理)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数3sin()6y x k πϕ=++，据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为（ ）A ．5B ．6C ．8D ．10【答案】C 【解析】试题分析：由图象知：min 2y =，因为min 3y k =-+，所以32k -+=，解得：5k =，所以这段时间水深的最大值是max 3358y k =+=+=，故选C ． 考点：三角函数的图象与性质．11. (2015上海文)已知点 A 的坐标为)1,34(，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转3π至OB ，则点B 的纵坐标为（ ）.A.233 B. 235C. 211D. 213【答案】D因为491)34(2222=+=+n m ，所以491692722=+n n ，所以213=n 或213-=n （舍去），所以点B 的纵坐标为213. 【考点定位】三角函数的定义，和角的正切公式，两点间距离公式.12、(2015四川文)下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( )(A )y ＝sin (2x ＋2π) (B )y ＝cos (2x ＋2π) (C )y ＝sin 2x ＋cos 2x (D )y ＝sinx ＋cosx【答案】B【考点定位】本题考查三角函数的基本概念和性质，考查函数的周期性和奇偶性，考查简单的三角函数恒等变形能力.【名师点睛】讨论函数性质时，应该先注意定义域，在不改变定义域的前提下，将函数化简整理为标准形式，然后结合图象进行判断.本题中，C 、D 两个选项需要先利用辅助角公式整理，再结合三角函数的周期性和奇偶性(对称性)进行判断即可.属于中档题.13.(2015四川理)下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（ ）()cos(2)2A y x π=+ ()sin(2)2B y x π=+ ()sin 2cos 2C y x x =+()sin cos D y x x =+【答案】A【考点定位】三角函数的性质.【名师点睛】本题不是直接据条件求结果，而是从4个选项中找出符合条件的一项，故一般是逐项检验，但这类题常常可采用排除法.很明显，C 、D 选项中的函数既不是奇函数也不是偶函数，而B 选项中的函数是偶函数，故均可排除，所以选A.二、填空题：1. （2015湖北文）函数2π()2sin sin()2f x x x x =+-的零点个数为_________.【答案】2.【考点定位】本题考查函数与方程，涉及常见函数图像绘画问题，属中档题.【名师点睛】将函数的零点问题和方程根的问题、函数的交点问题联系在一起，凸显了数学学科内知识间的内在联系，充分体现了转化化归的数学思想在实际问题中的应用，能较好的考查学生准确绘制函数图像的能力和灵活运用基础知识解决实际问题的能力.2．（2015湖北理）函数2π()4cos cos()2sin |ln(1)|22x f x x x x =---+的零点个数为．【答案】2考点：1.二倍角的正弦、余弦公式，2.诱导公式，3.函数的零点.3、(2015湖南文)已知ω>0,在函数y=2sin ωx 与y=2cos ωx 的图像的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则ω =_____. 【答案】2πω=考点：三角函数图像与性质4. (2015江苏)已知tan 2α=-，()1tan 7αβ+=，则tan β的值为_______. 【答案】3【解析】试题分析：12tan()tan 7tan tan() 3.21tan()tan 17αβαβαβααβα++-=+-===++- 考点：两角差正切公式5、(2015陕西文)如图，某港口一天6时到18时的谁深变化曲线近似满足函数y ＝3sin (6πx ＋Φ)＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m )的最大值为____________.【答案】8 【解析】试题分析：由图像得，当sin()16x π+Φ=-时min 2y =，求得5k =，当sin()16x π+Φ=时，max 3158y =⨯+=，故答案为8.考点：三角函数的图像和性质.6. (2015上海文)函数x x f 2sin 31)(-=的最小正周期为 . 【答案】π7. (2015上海文)已知函数x x f sin )(=.若存在1x ，2x ，⋅⋅⋅，m x 满足π6021≤<⋅⋅⋅<<≤m x x x ，且12|)()(||)()(||)()(|13221=-+⋅⋅⋅+-+--m m x f x f x f x f x f x f ),2(*∈≥N m m ，则m 的最小值为 .【答案】88.(2015上海理)已知函数()sin f x x =．若存在1x ，2x ，⋅⋅⋅，m x 满足1206m x x x π≤<<⋅⋅⋅<≤，且()()()()()()1223112n n f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-=（2m ≥，m *∈N ），则m 的最小值为 ．【答案】8【解析】因为()sin f x x =，所以()()max min ()()2m n f x f x f x f x -≤-=，因此要使得满足条件()()()()()()1223112n n f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-=的m 最小，须取123456783579110,,,,,,,6,222222x x x x x x x x πππππππ========即8.m =【考点定位】三角函数性质9. (2015四川理)=+75sin 15sin . 6【考点定位】三角恒等变换及特殊角的三角函数值. 【名师点睛】这是一个来自于课本的题，这告诉我们一定要立足于课本.首先将两个角统一为一个角，然后再化为一个三角函数一般地，有22sin cos sin()a b a b αααϕ+=++.第二种方法是直接凑为特殊角，利用特殊角的三角函数值求解.10、(2015四川文)已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是______________.【答案】－1【考点定位】本意考查同角三角函数关系式、三角函数恒等变形等基础知识，考查综合处理问题的能力.【名师点睛】同角三角函数(特别是正余弦函数)求值问题的通常解法是：结合sin 2α＋cos 2α＝1，解出sin α与cos α的值，然后代入计算，但这种方法往往比较麻烦，而且涉及符号的讨论.利用整体代换思想，先求出tan α的值，对所求式除以sin 2α＋cos 2α(＝1)是此类题的常见变换技巧，通常称为“齐次式方法”，转化为tan α的一元表达式，可以避免诸多繁琐的运算.属于中档题.11. (2015天津文) 已知函数()()sin cos 0,,f x x x x ωωω=+>∈R 若函数()f x 在区间(),ωω-内单调递增,且函数()f x 的图像关于直线x ω=对称,则ω的值为 ．【答案】π2【解析】由()f x 在区间(),ωω-内单调递增,且()f x 的图像关于直线x ω=对称,可得π2ωω≤,且()222πsin cos 2sin 14f ωωωω⎛⎫=+=⇒+= ⎪⎝⎭,所以2πππ422ωω+=⇒=考点：三角函数的性质.12、(2015浙江文)函数()2sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是 ，最小值是 ． 【答案】32,2π【解析】()211cos 2113sin sin cos 1sin 21sin 2cos 222222x f x x x x x x x -=++=++=-+ 23sin(2)242x π=-+，所以22T ππ==；min 32()22f x =-. 考点：1.三角函数的图象与性质；2.三角恒等变换.13. (2015浙江理) 函数2()sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是 ，单调递减区间是 ．三、解答题：1. （2015安徽文）已知函数2()(sin cos )cos 2f x x x x =++（Ⅰ）求()f x 最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值.2、（2015北京文）已知函数()2sin 23sin 2xf x x =-． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值． 【答案】（1）2π；（2）3-.考点：倍角公式、两角和的正弦公式、三角函数的周期、三角函数的最值.3．（2015北京理）已知函数2()2sin cos 2sin 222x x xf x =-．(Ⅰ) 求()f x 的最小正周期； (Ⅱ) 求()f x 在区间[π0]-，上的最小值．【答案】（1）2π，（2）212--【解析】试题分析：先用降幂公式和辅助角公式进行三角恒等变形，把函数化为()sin()f x A x m ωϕ=++形式，再利用周期公式2T πω=求出周期，第二步由于0,x π-≤≤则可求出3444x πππ-≤+≤，借助正弦函数图象 找出在这个范围内当42x ππ+=-，即34x π=-时，()f x 取得最小值为：21--.试题解析：(Ⅰ)211cos ()2sincos2sin 2sin 222222xxxxf x x -=-=⋅-⋅=222sin cos x x =+-2sin()4x π=+- (1)()f x 的最小正周期为221T ππ==； (2)30,444x x ππππ-≤≤∴-≤+≤，当3,424x x πππ+=-=-时，()f x 取得最小值为：212-- 考点： 1.三角函数式的恒等变形；2.三角函数图像与性质.4．（2015福建文）已知函数()2103sin cos 10cos 222x x x f x =+． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，再向下平移a （0a >）个单位长度后得到函数()g x 的图象，且函数()g x 的最大值为2． （ⅰ）求函数()g x 的解析式；（ⅱ）证明：存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >． 【答案】（Ⅰ）2π；（Ⅱ）（ⅰ）()10sin 8g x x =-；（ⅱ）详见解析． 【解析】试题分析：（Ⅰ）首先利用证明二倍角公式和余弦降幂公式将()f x 化为()10sin 56f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，然后利用2T πω=求周期；（Ⅱ）由函数()f x 的解析式中给x 减6π，再将所得解析式整体减去a 得()g x 的解析式为()10sin 5g x x a =+-，当sin x 取1的时，()g x 取最大值105a +-，列方程求得13a =，从而()g x 的解析式可求；欲证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >，可解不等式()00g x >，只需解集的长度大于1，此时解集中一定含有整数，由周期性可得，必存在无穷多个互不相同的正整数0x ．试题解析：（I ）因为()2103cos 10cos 222x x x f x =+ 535cos 5x x =++10sin 56x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．所以函数()f x 的最小正周期2πT =．（II ）（i ）将()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得到10sin 5y x =+的图象，再向下平移a （0a >）个单位长度后得到()10sin 5g x x a =+-的图象．又已知函数()g x 的最大值为2，所以1052a +-=，解得13a =． 所以()10sin 8g x x =-．（ii ）要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得010sin 80x ->，即04sin 5x >．由45<知，存在003πα<<，使得04sin 5α=． 由正弦函数的性质可知，当()00,x απα∈-时，均有4sin 5x >． 因为sin y x =的周期为2π，所以当()002,2x k k παππα∈++-（k ∈Z ）时，均有4sin 5x >． 因为对任意的整数k ，()()00022213k k πππαπαπα+--+=->>，所以对任意的正整数k ，都存在正整数()002,2k x k k παππα∈++-，使得4sin 5k x >． 亦即存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >．考点：1、三角函数的图像与性质；2、三角不等式． 5．（2015福建理）已知函数f()x 的图像是由函数()cos g x x 的图像经如下变换得到：先将()g x 图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图像向右平移2个单位长度.(Ⅰ)求函数f()x 的解析式，并求其图像的对称轴方程；(Ⅱ)已知关于x 的方程f()g()x x m 在[0,2)内有两个不同的解,．（1)求实数m 的取值范围； （2)证明：22cos )1.5m ( 【答案】(Ⅰ) f()2sin x x ，(k Z).2x k；(Ⅱ)（1）(5,5)；（2）详见解析．【解析】试题分析：(Ⅰ)纵向伸缩或平移： ()()g x kg x →或()()g x g x k →+；横向伸缩或平移：()()g x g x ω→（纵坐标不变，横坐标变为原来的1ω倍），()()g x g x a →+(0a >时，向左平移a 个单位；0a <时，向右平移a 个单位)；(Ⅱ) （1)由(Ⅰ)得f()2sin x x ，则f()g()2sin cos x x x x ，利用辅助角公式变形为f()g()x x 5sin()x （其中sin ,cos 55），方程f()g()x x m 在[0,2)内有两个不同的解,，等价于直线y m =和函数5sin()yx 有两个不同交点，数形结合求实数m 的取值范围；（2)结合图像可得+=2()2和3+=2()2，进而利用诱导公式结合已知条件求解．试题解析：解法一：(1)将()cos g x x 的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到y2cos x 的图像，再将y 2cos x 的图像向右平移2个单位长度后得到y 2cos()2x的图像，故f()2sin x x ，从而函数f()2sin x x 图像的对称轴方程为(k Z).2x k(2)1) f()g()2sin cos 5(sin cos )55x x x xx x 5sin()x（其中sin ,cos55） 依题意，sin()=5x 在区间[0,2)内有两个不同的解,当且仅当1，故m 的取值范围是(5,5).2)因为,)=m x在区间[0,2)内有两个不同的解，所以sin()=5，sin()=5.当1m<5时，+=2(),2();2 当5<m<1时, 3+=2(),32();2所以2222cos )cos 2()2sin ()12()1 1.55m (解法二：(1)同解法一.(2)1) 同解法一.2) 因为,)=m x在区间[0,2)内有两个不同的解，所以sin()=5，sin()=5.当1m<5时，+=2(),+();2即 当5<m<1时, 3+=2(),+3();2即 所以cos +)cos()( 于是cos )cos[()()]cos()cos()sin()sin()(22222cos ()sin()sin()[1()]() 1.555m 考点：1、三角函数图像变换和性质；2、辅助角公式和诱导公式．6、（2015广东文）已知tan 2α=．()1求tan 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值； ()2求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值．【答案】（1）3-；（2）1．考点：1、两角和的正切公式；2、特殊角的三角函数值；3、二倍角的正、余弦公式；4、同角三角函数的基本关系.7．（2015广东理）在平面直角坐标系xoy 中，已知向量22,m ⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭，()sin ,cos n x x =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭。

专题四 三角函数与三角形1.【2015高考新课标1，理2】o o o o sin 20cos10cos160sin10- =( )（A ）（B （C ）12- （D ）12【答案】D【解析】原式=o o o o sin 20cos10cos 20sin10+ =o sin 30=12，故选D. 【考点定位】三角函数求值.【名师点睛】本题解题的关键在于观察到20°与160°之间的联系，会用诱导公式将不同角化为同角，再用两角和与差的三角公式化为一个角的三角函数，利用特殊角的三角函数值即可求出值，注意要准确记忆公式和灵活运用公式. 2.【2015高考山东，理3】要得到函数sin 43y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需要将函数sin 4y x =的图象（ ） （A ）向左平移12π个单位 （B ）向右平移12π个单位（C ）向左平移3π个单位 （D ）向右平移3π个单位 【答案】B【解析】因为sin 4sin 4312y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以要得到函数sin 43y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 的图象，只需将函数sin 4y x = 的图象向右平移12π个单位.故选B.【考点定位】三角函数的图象变换.【名师点睛】本题考查了三角函数的图象，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.3.【2015高考新课标1，理8】函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为( )(A)13(,),44k k k Z ππ-+∈ (B)13(2,2),44k k k Z ππ-+∈(C)13 (,),44kk k Z-+∈(D)13(2,2),44k k k Z-+∈【答案】D【考点定位】三角函数图像与性质【名师点睛】本题考查函数cos()y A xωϕ=+的图像与性质，先利用五点作图法列出关于ωϕ，方程，求出ωϕ，，或利用利用图像先求出周期，用周期公式求出ω，利用特殊点求出ϕ，再利用复合函数单调性求其单调递减区间，是中档题，正确求ωϕ，使解题的关键.4.【2015高考四川，理4】下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是（）()cos(2)2A y xπ=+()sin(2)2B y xπ=+()sin2cos2C y x x=+()sin cosD y x x=+【答案】A【解析】对于选项A，因为2sin2,2y x Tππ=-==，且图象关于原点对称，故选A.【考点定位】三角函数的性质.【名师点睛】本题不是直接据条件求结果，而是从4个选项中找出符合条件的一项，故一般是逐项检验，但这类题常常可采用排除法.很明显，C、D选项中的函数既不是奇函数也不是偶函数，而B选项中的函数是偶函数，故均可排除，所以选A.5.【2015高考重庆，理9】若tan2tan5πα=，则3cos()10sin()5παπα-=-（）A、1B、2C、3D、4【答案】C 【解析】 由已知，3cos()10sin()5παπα-=-33cos cos sin sin 1010sin cos cos sin55ππααππαα+-33cos tan sin 1010tan cossin55ππαππα+=-33cos 2tan sin105102tan cossin555ππππππ+=- 33cos cos2sin sin 510510sincos55ππππππ+=＝155(cos cos )(cos cos )21010101012sin 25πππππ++-3cos 103cos 10ππ==，选C .【考点定位】两角和与差的正弦（余弦）公式，同角间的三角函数关系，三角函数的恒等变换.【名师点晴】三角恒等变换的主要题目类型是求值，在求值时只要根据求解目标的需要，结合已知条件选用合适的公式计算即可．本例应用两角和与差的正弦（余弦）公式化解所求式子，利用同角关系式使得已知条件可代入后再化简，求解过程中注意公式的顺用和逆用． 6.【2015高考陕西，理3】如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数3sin()6y x k πϕ=++，据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为（ ）A ．5B ．6C ．8D ．10【答案】C【解析】由图象知：min 2y =，因为min 3y k =-+，所以32k -+=，解得：5k =，所以这段时间水深的最大值是max 3358y k =+=+=，故选C ． 【考点定位】三角函数的图象与性质．【名师点晴】本题主要考查的是三角函数的图象与性质，属于容易题．解题时一定要抓住重要字眼“最大值”，否则很容易出现错误．解三角函数求最值的试题时，我们经常使用的是整体法．本题从图象中可知sin 16x πϕ⎛⎫+=-⎪⎝⎭时，y 取得最小值，进而求出k 的值，当sin 16x πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，y 取得最大值． 7.【2015高考安徽，理10】已知函数()()sin f x x ωϕ=A +（A ，ω，ϕ均为正的常数）的最小正周期为π，当23x π=时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（ ） （A ）()()()220f f f <-< （B ）()()()022f f f <<- （C ）()()()202f f f -<< （D ）()()()202f f f <<- 【答案】A【考点定位】1.三角函数的图象与应用；2.函数值的大小比较.【名师点睛】对于三角函数中比较大小的问题，一般的步骤是：第一步，根据题中所给的条件写出三角函数解析式，如本题通过周期判断出ω，通过最值判断出ϕ，从而得出三角函数解析式；第二步，需要比较大小的函数值代入解析式或者通过函数图象进行判断，本题中代入函数值计算不太方便，故可以根据函数图象的特征进行判断即可. 【2015高考湖南，理9】将函数()sin 2f x x =的图像向右平移(0)2πϕϕ<<个单位后得到函数()g x 的图像，若对满足12()()2f x g x -=的1x ，2x ，有12min3x x π-=，则ϕ=（ ）A.512π B.3π C.4π D.6π【答案】D. 【解析】试题分析：向右平移ϕ个单位后，得到)22sin()(ϕ-=x x g ，又∵2|)()(|21=-x g x f ，∴不妨ππk x 2221+=，ππϕm x 22222+-=-，∴πϕπ)(221m k x x -+-=-，又∵12min 3x x π-=，∴632πϕπϕπ=⇒=-，故选D.【考点定位】三角函数的图象和性质.【名师点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题，高考题对于三角函数的考查，多以)sin()(ϕω+=x A x f 为背景来考查其性质，解决此类问题的关键：一是会化简，熟悉三角恒等变形，对三角函数进行化简；二是会用性质，熟悉正弦函数的单调性，周期性，对称性，奇偶性等. 【2015高考上海，理13】已知函数()sin f x x =．若存在1x ，2x ，⋅⋅⋅，m x 满足1206m x x x π≤<<⋅⋅⋅<≤，且()()()()()()1223112n n f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-=（2m ≥，m *∈N ），则m 的最小值 为 ． 【答案】8【解析】因为()sin f x x =，所以()()max min ()()2m n f x f x f x f x -≤-=，因此要使得满足条件()()()()()()1223112n n f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-=的m 最小，须取123456783579110,,,,,,,6,222222x x x x x x x x πππππππ========即8.m = 【考点定位】三角函数性质【名师点睛】三角函数最值与绝对值的综合，可结合数形结合解决.极端位置的考虑方法是解决非常规题的一个行之有效的方法.8.【2015高考天津，理13】在ABC ∆ 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ∆的面积为315 ，12,cos ,4b c A -==- 则a 的值为 . 【答案】8【解析】因为0A π<<，所以215sin 1cos 4A A =-=， 又115sin 315,2428ABC S bc A bc bc ∆===∴=，解方程组224b c bc -=⎧⎨=⎩得6,4b c ==，由余弦定理得2222212cos 64264644a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以8a =.【考点定位】同角三角函数关系、三角形面积公式、余弦定理.【名师点睛】本题主要考查同角三角函数关系、三角形面积公式、余弦定理.解三角形是实际应用问题之一，先根据同角三角关系求角A 的正弦值，再由三角形面积公式求出24bc =，解方程组求出,b c 的值，用余弦定理可求边a 有值.体现了综合运用三角知识、正余弦定理的能力与运算能力，是数学重要思想方法的体现.【2015高考上海，理14】在锐角三角形C AB 中，1tan 2A =，D 为边C B 上的点，D ∆AB 与CD ∆A 的面积分别为2和4．过D 作D E ⊥AB 于E ，DF C ⊥A 于F ，则D DFE ⋅=u u u r u u u r．【答案】1615-【考点定位】向量数量积，解三角形【名师点睛】向量数量积的两种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a ·b ＝|a ||b |cos<a ，b>．(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.向量夹角与三角形内角的关系，可利用三角形解决；向量的模与三角形的边的关系，可利用面积解决.9.【2015高考广东，理11】设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3a =1sin 2B =，6C =π，则b = . 【答案】1． 【解析】因为1sin 2B =且()0,B π∈，所以6B π=或56B π=，又6C π=，所以6B π=，23A B C ππ=--=，又3a =由正弦定理得sin sin a b A B =3sin sin 36b ππ=解得1b =，故应填入1．【考点定位】三角形的内角和定理，正弦定理应用．【名师点睛】本题主要考查三角形的内角和定理、运用正弦定理解三角形，属于容易题，解答此题要注意由1sin 2B =得出6B π=或56B π=时，结合三角形内角和定理舍去56B π=． 10.【2015高考北京，理12】在ABC △中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC= ．【答案】1【解析】222sin 22sin cos 2sin sin 2A A A a b c a C C c bc+-==⋅2425361616256⨯+-=⋅=⨯⨯ 考点定位：本题考点为正弦定理、余弦定理的应用及二倍角公式，灵活使用正弦定理、余弦定理进行边化角、角化边.【名师点睛】本题考查二倍角公式及正弦定理和余弦定理，本题属于基础题，题目所求分式的分子为二倍角正弦，应用二倍角的正弦公式进行恒等变形，变形后为角的正弦、余弦式，灵活运用正弦定理和余弦定理进行角化边，再把边长代入求值.11.【2015高考湖北，理12】函数2π()4cos cos()2sin |ln(1)|22x f x x x x =---+的零点个数为 ． 【答案】2【解析】因为2π()4cos cos()2sin |ln(1)|22x f x x x x =---+|)1ln(|sin 2sin )cos 1(2+--+=x x x x |)1ln(|2sin +-=x x所以函数)(x f 的零点个数为函数x y 2sin =与|)1ln(|+=x y 图象的交点的个数， 函数x y 2sin =与|)1ln(|+=x y 图象如图，由图知，两函数图象有2个交点， 所以函数)(x f 有2个零点.【考点定位】二倍角的正弦、余弦公式，诱导公式，函数的零点.【名师点睛】数形结合思想方法是高考考查的重点. 已知函数的零点个数，一般利用数形结合转化为两个图象的交点个数，这时图形一定要准确。

福建省各地2015届高三上最新数学理试题分类汇编三角函数一、选择题1、（福州市2015届高三上学期教学质量检查）已知πtan()34+=α，则tan α的值是（ ）．A ．2B ．12C ．1-D ．3-2、（福州市2015届高三上学期教学质量检查）ABC △的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c . 若cos 2cos A bB a ==，则角C 的大小为（ ）． A ．60︒B ． 75︒C ．90︒D ．120︒3、（宁德市2015届高三上学期期末单科质检）已知函数2()23sin()cos 12cos f x x x x =π-⋅-+，其中x ∈R ，则下列结论中正确的是A ．()f x 的一条对称轴是2x π=B ．()f x 在[,]36ππ-上单调递增C ．()f x 是最小正周期为π的奇函数D ．将函数2sin 2y x =的图象左移6π个单位得到函数()f x 的图象 4、（泉州市2015届高三上学期单科质检）在梯形ＡＢＣＤ中，//AB CD ． 如果分别以下列各选项所给的内容作为已知条件，那么其中不能确定BD 长度的选项是（ ） Ａ．4,45,30AC ABD ACD =∠=︒∠=︒Ｂ．2,23,45,30AB CD ABD ACD ==∠=︒∠=︒ Ｃ．2,23,4,30AB CD AC ACD ===∠=︒ Ｄ．23,45,30CD ABD ACD =∠=︒∠=︒5、（三明市B 片区高中联盟校2015届高三上学期期末）函数R x x x f ∈-=),32sin(2)(π的最小正周期为A ．2πB ．πC ．π2D ．π46、（福建省四地六校2015届高三上学期第三次月考）将函数x x y sin cos 3-=的图像向右平移n个单位后所得图像关于y 轴对称，则n 的最小正值是（ ）A ．6πB ．2πC ．67πD ．3π7、（漳州市八校2015届高三第二次联考）已知53)2sin(=-απ，则)2cos(απ-=（ ）A ．725 B ．725- C ．925 D ．925- 8、（德化一中2015届高三第三次月考）已知函数2sin()cos()22y x x ππ=+-与直线12y =相交，若在y 轴右侧的交点自左向右依次记为1M ，2M ，3M ，，则113M M 等于 【★★】．A ．π6B ．π7C ．π12D ．π139、（龙海二中2015届高三上学期期末）函数()sin()(0)6f x x πωω=+>的图像与x 轴的交点的横坐标构成一个公差为2π的等差数列，要得到函数()sin g x x ω=的图像，只需将()f x 的图像( ) A.向左平移6π个单位 B.向右平移6π个单位C.向左平移12π个单位D.向右平移12π个单位10、（莆田一中、泉州五中、漳州一中2015届高三上学期联考）已知函数()sin(2)()4f x x x R π=+∈的最小正周期为π，为了得到函数()sin 2g x x =的图象，只要将()y f x =的图象( )A.向左平移8π个单位长度 B. 向右平移8π个单位长度 C.向左平移4π个单位长度 D. 向右平移4π个单位长度二、填空题1、（龙岩市一级达标校2015届高三上学期期末）在C ∆AB 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足2cos cos a b c B +A =，则sin sin C y =A +的最大值为2、（泉州市2015届高三上学期单科质检）已知3sin()25πθ+=，3(,2)2θππ∈ 则sin 2θ=_________ 3、（厦门市2015届高三上学期质检检）已知)4tan(,cos 2sin πααα+=则=4、（福建省四地六校2015届高三上学期第三次月考）= 600tan5、（德化一中2015届高三第三次月考）已知α是第二象限角，且3sin 5α=，则1cos21cos2αα-=+★★★★.6、（福州市第八中学2015届高三第四次质检）已知,31)3cos(-=+πα则=-)6sin(πα_______三、解答题1、（福州市2015届高三上学期教学质量检查）已知函数()23sin 4f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭在同一半周期内的图象过点,,O P Q ，其中O 为坐标原点，P 为函数()f x 图象的最高点，Q为函数()f x 的图象与x 轴的正半轴的交点．（Ⅰ）试判断OPQ ∆的形状，并说明理由．（Ⅱ）若将OPQ ∆绕原点O 按逆时针方向旋转角02ααπ⎛⎫<< ⎪⎝⎭时，顶点,P Q ''恰好同时落在曲线ky x=()0x >上（如图所示），求实数k 的值．2、（龙岩市一级达标校2015届高三上学期期末）某同学用“五点法”画函数()()sin f x x ωϕ=A +在某一个周期的图象时，列表并填入的部分数据如下表：()I 求1x ，2x ，3x 的值及函数()f x 的表达式；()II 将函数()f x 的图象向左平移π个单位，可得到函数()g x 的图象，求函数()()y f x g x =⋅在区间50,3π⎛⎫⎪⎝⎭的最小值．3、（宁德市2015届高三上学期期末单科质检）某供货商拟从码头A 发货至其对岸l 的两个商场B ，C 处，通常货物先由A 处船运至BC 之间的中转站D ，再利用车辆转运．如图，码头A 与两商场B ，C 的距离相等，两商场间的距离为20千米，且2BAC π∠=．若一批货物从码头A 至D 处的运费为100元/千米，这批货到D 后需分别发车2辆、4辆转运至B 、C 处，每辆汽车运费为25元/千米．设,ADB α∠=该批货总运费为S 元．（Ⅰ）写出S 关于α的函数关系式，并指出α的取值范围； （Ⅱ）当α为何值时，总运费S 最小？并求出S 的最小值．xyP'Q'QPO4、（泉州市2015届高三上学期单科质检）已知函数()sin()3cos ,3f x x x π=-+x R ∈（1） 求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；（2）在ABC ∆中，设内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若3()2f A =且32a b =试求角B 的大小.5、（厦门市2015届高三上学期质检检）已知函数)20,0)(sin()(πφωϕω<<>+=x x f 的图像经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0，且相邻两条对称轴的距离为2π. （1）求函数)(x f 的解析式及其单调递增区间；（2）在ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，若21cos )2(=-A Af ，且1=bc ，3=+c b ，求a 的值.6、（福建省四地六校2015届高三上学期第三次月考）已知函数2()sin cos 3cos 333x x xf x =+－32 （1）求()f x 的最小正周期及其对称中心；（2）如果三角形ABC 的三边a 、b 、c 满足b 2=ac ，且边b 所对角为x ，试求x 的范围及此时函数(3)f x 的值域。

2015年高考数学—三角函数（解答+答案）1.(2015新课标Ⅰ文数（17）（本小题满分12分）)已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin 2B=2sinAsinC （Ⅰ）若a=b ，求cosB ；（Ⅱ）设B=90°，且a=2，求△ABC 的面积2.（2015新课标II 文数17．（本小题满分12分））ΔABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，BD=2DC 。

（1）求sin sin BC∠∠；（2）若60BAC ∠=o，求B ∠。

3.（2015安徽文数16.（本小题满分12分）） 已知函数2()(sin cos )cos 2f x x x x =++（Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值.4.（2015北京文数（15）（本小题13分））已知函数2()sin 2f x x π=-（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值。

5.（2015重庆文数18）已知函数21()sin 22f x x x =. （Ⅰ）求()f x 的最小周期和最小值；（Ⅱ）将函数()f x 的图像上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图像.当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()g x 的值域.6.(2015福建文数21.（本小题满分12分）)已知函数()2cos 10cos 222x x x f x =+． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，再向下平移a （0a >）个单位长度后得到函数()g x 的图象，且函数()g x 的最大值为2． （ⅰ）求函数()g x 的解析式；（ⅱ）证明：存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >．7.（2015广东文数16、（本小题满分12分）） 已知tan 2α=．()1求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；()2求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值．8.（2015湖北文数18.（本小题满分12分））某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置．．．．．．．．．．．，并直接写出函数()f x 的解析式；（Ⅱ）将()y f x =图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到()y g x =图象，求()y g x =的图象离原点O 最近的对称中心.9.（2015湖南文数17. （本小题满分12分））设△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,,tan a b c a b A =. （Ⅰ）证明：sin cos B A =； （Ⅱ）若3sin sin cos 4C A B -=，且B 为钝角，求,,A B C .10.（2015山东文数17．（本小题满分12分））AB C ∆中，角C B,A,所对的边分别为c b a ,,，已知33cos =B ，sin()A B +=ac =，求A sin 和c 的值.11.（2015陕西文数17．）ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量(,3)m a b =u r 与(cos ,sin )n A B =r平行.（Ⅰ）求A ； （Ⅱ）若7,2a b ==求ABC ∆的面积.12.（2015上海文数21. （本题满分14分））如图，,,O P Q 三地有直道相通，3OP =千米，4PQ =千米，5OQ =千米，现甲、乙两警员同时从O 地出发匀速前往Q 地，经过t 小时，他们之间的距离为()f t （单位：千米）.甲的路线是OQ ，速度为5千米/小时，乙的路线是OPQ ，速度为8千米/小时，乙到达Q 地后在原地等待.设1t t =时，乙到达P 地，2t t =时，乙到达Q 地.（1）求1t 与1()f t 的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米，当12t t t ≤≤时，求()f t 的表达式，并判断()f t 在12[,]t t 上的最大值是否超过3？说明理由.13.（2015四川文数19、(本小题满分12分)）已知A 、B 、C 为ABC ∆的内角，tan ,tan A B 是关于方程2310()x px p p R +-+=∈的两个实根.（Ⅰ）求C 的大小； （Ⅱ）若3,6AB AC ==，求p 的值14.（2015天津文数16.（13分））△ABC 中，内角A,B,C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为315，12,cos ,4b c A -==-（Ⅰ）求a 和sin C 的值； （Ⅱ）求cos 26A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值。

专题三 三角函数1.（15北京理科）已知函数2()cos 222x x xf x ．(Ⅰ) 求()f x 的最小正周期；(Ⅱ) 求()f x 在区间[π0]-，上的最小值．【答案】（1）2π，（2）12-- 【解析】试题分析：先用降幂公式和辅助角公式进行三角恒等变形，把函数化为()sin()f x A x m ωϕ=++形式，再利用周期公式2T πω=求出周期，第二步由于0,x π-≤≤则可求出3444x πππ-≤+≤，借助正弦函数图象 找出在这个范围内当42x ππ+=-，即34x π=-时，()f x 取得最小值为：12--. 试题解析：(Ⅰ)211cos ()sincossin sin 22222xxxxf x x -=-=⋅-⋅=sin cos x x =+-sin()4x π=+-(1)()f x 的最小正周期为221T ππ==； (2)30,444x x ππππ-≤≤∴-≤+≤，当3,424x x πππ+=-=-时，()f x 取得最小值为：12--考点： 1.三角函数式的恒等变形；2.三角函数图像与性质.2.（15北京文科）已知函数()2sin 2x f x x =-．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值．【答案】（1）2π；（2）考点：倍角公式、两角和的正弦公式、三角函数的周期、三角函数的最值. 3.（15年广东文科）已知tan 2α=．()1求tan 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值；()2求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值．【答案】（1）3-；（2）1．考点：1、两角和的正切公式；2、特殊角的三角函数值；3、二倍角的正、余弦公式；4、同角三角函数的基本关系.4.（15年安徽文科）已知函数2()(sin cos )cos2f x x x x =++ （1）求()f x 最小正周期； （2）求()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值.【答案】（1）π ；（2）最大值为10考点：1.三角函数的性质；2.三角函数的最值.5.（15年福建理科）已知函数f()x 的图像是由函数()cos g x x =的图像经如下变换得到：先将()g x 图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图像向右平移2p个单位长度. (Ⅰ)求函数f()x 的解析式，并求其图像的对称轴方程；(Ⅱ)已知关于x 的方程f()g()x x m +=在[0,2)p 内有两个不同的解,a b ． （1)求实数m 的取值范围；（2)证明：22cos ) 1.5m a b -=-(【答案】(Ⅰ) f()2sin x x =，(k Z).2x k pp =+?；(Ⅱ)（1）(-；（2）详见解析． 【解析】试题分析：(Ⅰ)纵向伸缩或平移： ()()g x kg x →或()()g x g x k →+；横向伸缩或平移：()()g x g x ω→（纵坐标不变，横坐标变为原来的1ω倍），()()g x g x a →+(0a >时，向左平移a 个单位；0a <时，向右平移a 个单位)；(Ⅱ) （1)由(Ⅰ)得f()2sin x x =，则f()g()2sin cos x x x x +=+，利用辅助角公式变形为f()g()x x +)x j +（其中sinj j ==），方程f()g()x x m +=在[0,2)p 内有两个不同的解,a b ，等价于直线y m =和函数)y x j +有两个不同交点，数形结合求实数m 的取值范围；（2)结合图像可得+=2()2p a b j -和3+=2()2pa b j -，进而利用诱导公式结合已知条件求解．试题解析：解法一：(1)将()cos g x x =的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到y 2cos x =的图像，再将y 2cos x =的图像向右平移2p个单位长度后得到y 2cos()2x p=-的图像，故f()2sin x x =，从而函数f()2sin x x =图像的对称轴方程为(k Z).2x k pp =+?(2)1) f()g()2sin cos )x x x x x x +=+)x j +（其中sinj j =） 依题意，sin(x j +在区间[0,2)p 内有两个不同的解,a b 当且仅当|1<，故m 的取值范围是(.2)因为,a b )=m x j +在区间[0,2)p 内有两个不同的解， 所以sin(a j +，sin(b j +.当1£+=2(),2();2pa b j a b p b j --=-+当-时, 3+=2(),32();2pa b j a b p b j --=-+所以2222cos )cos 2()2sin ()11 1.5m a b b j b j -=-+=+-=-=-(解法二：(1)同解法一. (2)1) 同解法一.2) 因为,a b )=m x j +在区间[0,2)p 内有两个不同的解， 所以sin(a j +，sin(b j +.当1£+=2(),+();2pa b j a j p b j -=-+即当-时, 3+=2(),+3();2pa b j a j p b j -=-+即 所以cos +)cos()a j b j =-+(于是cos )cos[()()]cos()cos()sin()sin()a b a j b j a j b j a j b j -=+-+=+++++(22222cos ()sin()sin()[1] 1.5m b j a j b j =-++++=--+=-考点：1、三角函数图像变换和性质；2、辅助角公式和诱导公式． 6.（15年福建文科）若5sin 13α=-，且α为第四象限角，则tan α的值等于（ ） A ．125 B ．125- C ．512 D ．512-【答案】D 【解析】试题分析：由5sin 13α=-，且α为第四象限角，则12cos 13α==，则sin tan cos ααα= 512=-，故选D ． 考点：同角三角函数基本关系式．7.（15年福建文科）已知函数()2cos 10cos 222x x x f x =+． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，再向下平移a （0a >）个单位长度后得到函数()g x 的图象，且函数()g x 的最大值为2． （ⅰ）求函数()g x 的解析式；（ⅱ）证明：存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >． 【答案】（Ⅰ）2π；（Ⅱ）（ⅰ）()10sin 8g x x =-；（ⅱ）详见解析． 【解析】试题分析：（Ⅰ）首先利用证明二倍角公式和余弦降幂公式将()f x 化为()10s i n 56f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，然后利用2T πω=求周期；（Ⅱ）由函数()f x 的解析式中给x 减6π，再将所得解析式整体减去a 得()g x 的解析式为()10sin 5g x x a =+-，当sin x 取1的时，()g x 取最大值105a +-，列方程求得13a =，从而()g x 的解析式可求；欲证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >，可解不等式()00g x >，只需解集的长度大于1，此时解集中一定含有整数，由周期性可得，必存在无穷多个互不相同的正整数0x ．试题解析：（I ）因为()2cos 10cos 222x x xf x =+5cos 5x x =++10sin 56x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．所以函数()f x 的最小正周期2πT =． （II ）（i ）将()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得到10sin 5y x =+的图象，再向下平移a （0a >）个单位长度后得到()10sin 5g x x a =+-的图象． 又已知函数()g x 的最大值为2，所以1052a +-=，解得13a =． 所以()10sin 8g x x =-．（ii ）要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得010sin 80x ->，即04sin 5x >．由452<知，存在003πα<<，使得04sin 5α=． 由正弦函数的性质可知，当()00,x απα∈-时，均有4sin 5x >． 因为sin y x =的周期为2π，所以当()002,2x k k παππα∈++-（k ∈Z ）时，均有4sin 5x >． 因为对任意的整数k ，()()00022213k k πππαπαπα+--+=->>，所以对任意的正整数k ，都存在正整数()002,2k x k k παππα∈++-，使得4sin 5k x >． 亦即存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >． 考点：1、三角函数的图像与性质；2、三角不等式．8.（15年新课标1理科）sin20°cos10°-con160°sin10°=（A ） （B （C ）12- （D ）12【答案】D【解析】原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=12，故选D.9.(15年新课标1理科) 函数f(x)=的部分图像如图所示，则f （x ）的单调递减区间为 (A)（）,k(b)（）,k(C)（）,k (D)（）,k【答案】B10.（15年陕西理科）如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数3sin()6y x k πϕ=++，据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为（ ）A ．5B ．6C ．8D ．10【答案】C 【解析】试题分析：由图象知：min 2y =，因为min 3y k =-+，所以32k -+=，解得：5k =，所以这段时间水深的最大值是max 3358y k =+=+=，故选C ． 考点：三角函数的图象与性质．11.（15年陕西文科）如图，某港口一天6时到18时的谁深变化曲线近似满足函数y ＝3sin (6πx ＋Φ)＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m )的最大值为____________.【答案】8 【解析】试题分析：由图像得，当sin()16x π+Φ=-时min 2y =，求得5k =，当sin()16x π+Φ=时，max 3158y =⨯+=，故答案为8.考点：三角函数的图像和性质.12.（15年天津理科）已知函数()22sin sin 6f x x x π⎛⎫=--⎪⎝⎭，R x ∈ (I)求()f x 最小正周期； (II)求()f x 在区间[,]34p p-上的最大值和最小值.【答案】(I)π; (II) max ()f x =,min 1()2f x =-.考点：1.两角和与差的正余弦公式；2.二倍角的正余弦公式；3.三角函数的图象与性质. 13.（15年天津文科）已知函数()()sin cos 0,,f x x x x ωωω=+>∈R 若函数()f x 在区间(),ωω-内单调递增,且函数()f x 的图像关于直线x ω=对称,则ω的值为 ．【答案】2【解析】试题分析：由()f x 在区间(),ωω-内单调递增,且()f x 的图像关于直线x ω=对称,可得π2ωω≤,且()222πsin cos sin 14f ωωωω⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭,所以2ππ42ωω+=⇒= 考点：三角函数的性质.14.（15年湖南理科）A.512π B.3π C.4π D.6π 【答案】D. 【解析】试题分析：向右平移ϕ个单位后，得到)22sin()(ϕ-=x x g ，又∵2|)()(|21=-x g x f ，∴不妨ππk x 2221+=，ππϕm x 22222+-=-，∴πϕπ)(221m k x x -+-=-，又∵12min3x x π-=，∴632πϕπϕπ=⇒=-，故选D.考点：三角函数的图象和性质.10.（15年江苏）已知tan 2α=-，()1tan 7αβ+=，则tan β的值为_______. 【答案】3 【解析】试题分析：12tan()tan 7tan tan() 3.21tan()tan 17αβαβαβααβα++-=+-===++- 考点：两角差正切公式11.（15年江苏）在ABC ∆中，已知 60,3,2===A AC AB . （1）求BC 的长； （2）求C 2sin 的值.【答案】（12 【解析】考点：余弦定理，二倍角公式专题四 解三角形1.（15北京理科）在ABC △中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC= ．【答案】1 【解析】 试题分析：222sin 22sin cos 2sin sin 2A A A a b c a C C c bc+-==⋅2425361616256⨯+-=⋅=⨯⨯ 考点：正弦定理、余弦定理2.（15北京文科）在C ∆AB 中，3a =，b =23π∠A =，则∠B = ． 【答案】4π【解析】试题分析：由正弦定理，得sin sin a b A B =，=所以sin B =所以4B π∠=. 考点：正弦定理.3.（15年广东理科）设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a =1sin 2B =，6C =π，则b = 【答案】1．【考点定位】本题考查正弦定理解三角形，属于容易题．4.（15年广东文科）设C ∆AB 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2a =，c =，cos A =b c <，则b =（ ）A ．B ．2C ．D ．3 【答案】B 【解析】试题分析：由余弦定理得：2222cos a b c bc =+-A ，所以(22222b b =+-⨯⨯，即2680b b -+=，解得：2b =或4b =，因为b c <，所以2b =，故选B ． 考点：余弦定理．5.(15年安徽理科) 在ABC ∆中，,6,4A AB AC π===点D 在BC 边上，AD BD =，求AD 的长。

2015年北京高三理科数学试题分类汇编----三角函数2015一模试题（理科）3.（15年朝阳一模理）在ABC ∆中，若，cos B =6BC =,则AC =A. B.4C.3.（15年延庆一模理） 设sin393,cos55,tan50a b c =︒=︒=︒，则,,a b c 的大小关系为（ ）A. a b c << B ．c b a << C ．b a c << D ．a c b << 7．（15年丰台一模理）将函数1cos()26y x π=-图象向左平移3π个长度单位，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是 (A) cos(+)6y x π=(B) 1cos4y x = (C) cos y x =(D) 1cos()43y x π=-（12）（15年海淀一模理）在ABC ∆中，若π4a c A =∠=，则B ∠的大小为 .11．（15年西城一模理）在∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若π3A =，cos B =2b =，则a =____. 14.（15年顺义一模理）已知函数()cos (0),.f x x x x R ωωω=+>∈又12()2,()0f x f x =-=且12||x x -的最小值等于π.则ω的值为_________________. （15）（15年海淀一模理）（本小题满分13分）已知函数2π()sin ()4f x x =+. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期及其图象的对称轴方程； （Ⅱ）求π()3f x -的单调递减区间.π3A =15．（15年西城一模理）（本小题满分13分）设函数π()4cos sin()3f x x x =-，x ∈R . （Ⅰ）当π[0,]2x ∈时，求函数()f x 的值域；（Ⅱ）已知函数()y f x =的图象与直线1=y 有交点，求相邻两个交点间的最短距离.（15）（15年东城一模理）（本小题共13分）在△ABC 中，2b =，3cos 4C =，△ABC 的面积为4． （Ⅰ）求a 的值； （Ⅱ）求sin 2A 值．15.（15年丰台一模理）（本小题共13分）已知函数21()coscos2222xxxf x ωωω=-(0)ω>的最小正周期为π． （Ⅰ）求ω的值及函数()f x 的最大值和最小值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调递增区间．15．（15年石景山一模理）（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy 中，设锐角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点11(,)P x y ，将射线OP 绕坐标原点O 按逆时针方向旋转2π后与单位圆交于点22(,)Q x y . 记12()f y y α=+. (Ⅰ)求函数()f α的值域；(Ⅱ)设ABC ∆的角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若()f C，且a =1c =，求b .15.（15年顺义一模理）（本小题满分13分）在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知b B ==, 2B A π-=.(I)求a 的值;(II)求cos C 的值.15．（15年房山一模理）（本小题共13分）已知函数2()sin(2)2cos 1()6f x x x x π=--∈+R .（Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC 中，三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()12f A =，且△ABCa 的值.ABC ∆中，2=BC ,θ=∠ABC . （Ⅰ）若5522cos=θ，5=AB ,求AC 的长度； （Ⅱ）若6π=∠BAC ，)(θf AB =，求)(θf 的最大值.2015二模试题（理科） （1）（15年东城二模理）23sin()6π-=（ ）（A ）2-（B ）12-（C ）12（D ）25．（15年朝阳二模理）已知函数，若对任意的实数x ，总有，则的最小值是（ ）． A ．2 B ．4 C ． D ．2（5）（15年海淀二模理）已知函数()cos(2)f x x ϕ=+（ϕ为常数）为奇函数，那么cos ϕ=（ ）（A ）（B ）0（C （D ）111．（15年西城二模理）已知角α的终边经过点(3,4)-，则cos α=_________；cos 2α=_________.11. （15年昌平二模理）在ABC ∆中，若a =b =5π6B ∠=，则边c =__________.11．（15年丰台二模理）已知函数21()sin 22f x x x =+，则()f x 的最小正周期是 ；如果()f x 的导函数是()f x '，则()6f π'= ．在ABC ∆中，5c =，b =，cos 2a A =. （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求证：2B A ∠=∠.15．（15年西城二模理）（本小题满分13分）在锐角ABC ∆中, 角A ，B ，C 所对的边分别为a ,b ，c ， 已知a =，3b =，sin B A +=（Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）求ABC ∆的面积.（15）（15年东城二模理）（本小题共13分）已知函数2sin22sin ()sinx xf xx-=．（Ⅰ）求()f x的定义域及其最大值；（Ⅱ）求()f x在(0,π)上的单调递增区间．15．（15年朝阳二模理）（本小题共13分）在梯形ABCD中，（Ⅰ）求AC的长；（Ⅱ）求梯形ABCD的高．15.（15年丰台二模理）（本小题共13分）在△ABC 中，30A ︒=，52=BC ，点D 在AB 边上，且BCD ∠为锐角，2CD =，△BCD 的面积为4．（Ⅰ）求cos BCD ∠的值； （Ⅱ）求边AC 的长．15. （15年昌平二模理）(本小题满分13分) 已知函数()sin()(0,0,||,)2f x A x A x ωϕωϕπ=+>><∈R 的部分图象如图所示. （I ）求函数()f x 的解析式； （II ）求函数()()()123g x f x f x ππ=+-+ 的单调递增区间.。

XX 省各地2015届高三上最新考试数学理试题分类汇编三角函数一、选择题1、（蚌埠市2015届高三第一次质量检测）设tan130a =，()cos cos0b =，0212c x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．c a b >>B ．c b a >>C ．a b c >>D ．b c a >>2、（合肥市2015届高三第一次教学质量检测）函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的部分图像如图所示，则()f x 的解析式可以为A 、()3sin(2)4f x x π=-B 、()3sin(2)4f x x π=+C 、13()3sin()24f x x π=-D 、13()3sin()24f x x π=+3、（淮北市、亳州市2015届高三第一次模拟）下列命题正确的是（ ） A.函数)32sin(π+=x y 在区间)6,3(ππ-内单调递增 B.函数x x y 44sin cos -=的最小正周期为π2C.函数)3cos(π+=x y 的图像是关于点)0,6(π成中心对称的图形 D.函数)3tan(π+=x y 的图像是关于直线6π=x 成轴对称的图形4、（淮南市2015届高三第一次模拟）将函数y= cosx 的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移4π个单位，所得函数图象的一条对称轴方程是 A ．x π= B ．2x π= C ．3π=x D ．4π=x5、（宿州市2015届高三第一次教学质量检测）在ABC ∆中，120=A ，5=AB ，7=BC ，则CB sin sin 的值为 （A ）53（B ）35（C ）85（D ）586、（宣城市2015届高三上学期期末考试）在△ABC 中，已知AB ＝3AC ＝4，∠B ＝30º，则△ABC 的面积是A 、43B 、83 D 、43或83 D 、37、（宣城市2015届高三上学期期末考试）若sin()(0,0,||)2y A x A πωϕωϕ=+>><的最小值为－2，其图像相邻最高点与最低点横坐标之差为2π，且图像过点（0,1），则其解析式是 A 、2sin()26x y π=+ B 、2sin()23x y π=+ C 、2sin()6y x π=+D 、2sin()3y x π=+8、（滁州市高级中学联谊会2015届高三上学期期末联考）函数()()sin f x x ωϕ=+（0ω>，2πϕ<）的部分图象如图所示，则()1f =（ ）A ．32-B ．12-C ．12D ．32 9、（合肥八中2015届高三第四次段考）函数()cos()(,0)3f x x x R πωω=+∈>的最小正周期为π,为了得到函数()y f x =的图象,只需将函数()sin()3g x x πω=+的图象A.向左平移2π个单位长度B.向右平移2π个单位长度C.向左平移4π个单位长度D.向右平移4π个单位长度10、（江淮名校2015届高三第二次联考）已知函数()sin (,0)f x x x R ωω=∈>的最小正周期为π，为了得到函数()sin()4g x x πω=+的图象，只要将()y f x =的图象（ ）A ．向左平移8π个单位长度 B ．向右平移8π个单位长度 C ． 向左平移4π个单位长度 D ．向右平移4π个单位长度11、（江淮十校2015届高三11月联考）若(,),2παπ∈且cos 2sin()4παα=-，则sin 2α的值为( )A.12-B.12 C.1 D.1-12、（皖江名校2015届高三1月联考）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是,,a b c ，若a C Bb ==，则tan A ＝A B 、1 C D二、填空题1、（合肥市2015届高三第一次教学质量检测）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ， 若,23B A b a π=+=，则B =_____2、（江南十校2015届高三上学期期末大联考）已知函数f （x ）＝｜sinx ｜＋｜cosx ｜－sin2x －1（x ∈R ），则下列命题正确的是＿＿＿＿（写出所有正确命题的序号）。