江苏历届高考题分类汇编三角函数

十年高考数学分类汇编 _02 函数江苏高考数学 _函数 _十年汇编（ 2005-2017 ）一．基础题组1. 【 2005 江苏，理 2】函数y 1 x3( x R) 的反函数的解 析表达式为（）2+（ A ）ylog2 x2（ B ） ylog 2 x 332（ C ） y3 x （ D ） ylog 22 log 223 x2. 【 2005 江 苏 ， 理15 】 函 数 ylog 0.5 (4x 23x) 的 定 义 域为 .3. 【 2005 江苏，理 aa ∈ k, k 1 , k ∈ ，则 k = .16】若 3 =0.618, Z 4.【2005江 苏 ， 理17 】 已 知a b为 常 数 ， 若, f ( x) x 24x 3, f (ax b)x 2 10 x 24, 则 5a b.5.【 2007 江苏，理 6】设函数 f （x ）定义在实数集上，它的图像关于直线 x=1 对称，且当 x ≥1时， f （ x ）＝ 3x -1 ，则有（ ）A. f （ 1 ）＜ f （ 3 ）＜ f （ 2 ）B. f （ 2 ）＜ f （ 3 ）＜ f （ 1）32 3323C. f （ 2）＜ f （ 1）＜ f （ 3）D.f （ 3）＜ f （ 2）＜ f （ 1）3 3 2 2 3 36. 【 2007江苏，理 】设 f （ x ） =l g （ 2 a ）是奇函数，则使 f （ x ）＜ 0 8 1 x的 x 的取值范围是（） A. （-1 ， 0） B. （0，1）C.（ - ∞， 0）D.（ - ∞， 0）∪（ 1，+∞）7. 【 2007 江苏，理 16】某时钟的秒针端点 A 到中心点 O 的距离为 5 cm ，秒针均匀地绕点 O 旋转，当时间 t =0 时，点 A 与钟面上标 12 的点 B 重合 . 将 A 、B 两 点间的距离 d （cm ）表示成 t （s ）的函数，则 d= __________，其中 t ∈0， 60].8. 【 2009 江苏，理 10】. 已知 a5 1 ，函数 f ( x) a x ，若实数 m 、 n 满足2f (m)f ( n) ，则 m 、 n 的大小关系为 ▲ .9. 【 2010 江苏，理 5】设函数 f ( x) ＝x(e x＋ ae －x )( x ∈R) 是偶函数，则实数 a 的值为 __________．10. 【2011 江苏，理 2】函数 f ( x) log 5 (2x 1) 的单调增区间是.11. 【2011 江苏，理 8】在平面直角坐标系 xoy 中，过坐标原点的一条直线与函数 f x2的图象交于 P, Q 两点，则线段 PQ 长的最小值为.x12. 【 2011 江苏，理 11 】已知实数 a0 ，函数 2x a, x1f (x)2a, x，若x 1f (1 a) f (1 a) ，则 a 的值为.13. 【2012 江苏，理 5】函数 f (x)1 2log 6 x 的定义域为 __________．14. 【2012 江苏，理 10】设 f ( x) 是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间－ 1,1]上， f x ax 1, 1x0, a ， b ∈ 13 ＝其中 R. 若 ，则 ＋ 的值为bx2 ,0x1,22x 1__________．15. 【2014 江苏，理 10】已知函数 f ( x) x 2 mx 1，若对于任意的 xm,m 1都有 f ( x)0 ，则实数 m 的取值范围为.16. 【 2016 年高考江苏卷】函数 y= 3 - 2x - x 2 的定义域是.17.【2016 年高考江苏卷】设 f ( x) 是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间 1,1)x a, 1 x 0,R. 若 f ( 5) f ( 9) ，则 f (5a) 的值是上， f ( x)2其中 ax ,0 x 1,225▲ .二．能力题组1. 【2010 江苏，理 14】将边长为 1 的正三角形薄片沿一条平行于某边的直线剪2成两块，其中一块是梯形，记S ＝(梯形的周长)，则 S 的最小值是 __________．梯形的面积2. 【 2012 江苏，理 17】如图，建立平面直角坐标系 xOy ， x 轴在地平面上， y 轴垂直于地平面， 单位长度为 1 千米，某炮位于坐标原点． 已知炮弹发射后的轨 迹在方程 y ＝kx － 1(1 ＋k 2) x 2( k ＞0) 表示的曲线上，其中 k 与发射方向有关． 炮20的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1) 求炮的最大射程；(2) 设在第一象限有一飞行物 ( 忽略其大小 ) ，其飞行高度为 3.2 千米，试问它的横坐标 a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．3. 【2013 江苏，理 13】在平面直角坐标系xOy 中，设定点 A a ，a ，P 是函数1 ()y( xx＞ 0) 图象上一动点．若点 P ，A 之间的最短距离为 2 2 ，则满足条件的实数 a 的所有值为 __________．4. 【2014 江苏，理 13】已知 f ( x) 是定义在 R 上且周期为 3 的函数，当 x 0,3 时， f ( x) x22x1，若函数 y f (x)a 在区间 3,4 上有 10个零点（互不2相同），则实数 a 的取值范围是.5. 【 2015 高考江苏， 13】已知函数 f (x) | ln x |， g (x)0,0 x 14 | ，则方| x 22, x 1程 | f ( x) g (x) | 1实根的个数为三．拔高题组1. 【 2005 江苏，理 22】已知 a R, 函数 f (x) x 2 x a .a =2 时，求使 f （ x ）＝ x 成立的 x 的集合；（Ⅰ）当（Ⅱ）求函数 y ＝f ( x) 在区间 1,2] 上的最小值 .2. 【 2006 江苏，理 20】设 a 为实数，设函数f (x) a 1x 2 1x 1x 的最大值为 g( a).（Ⅰ）设 t ＝ 1x1 x ，求 t 的取值范围，并把 f ( x) 表示为 t 的函数m( t )（Ⅱ）求 g( a)（Ⅲ）试求满足 g( a) g ( 1) 的所有实数 aa3. 【2007 江苏，理 21】已知 a ，b ，c ，d 是不全为零的实数， 函数 f （x ）=bx 2 +cx+d ，g（x ）=ax 2+bx 2 +cx +d. 方程 f （ x ） =0 有实数根，且 f （x ）=0 的实数根都是 g （f（ x ））=0 的根；反之， g （ f （ x ））=0 的实数根都是 f （x ）=0 的根 . （ 1）求 d 的值；（3 分）（ 2）若 a=0，求 c 的取值范围；（ 6 分）（ 3）若 a=l ，f （1）=0，求 c 的取值范围 . （7 分）4. 【 2008 江苏，理 20】已知函数 f1( x) 3x p1， f2 (x) 2 3x p2（x R, p1, p2为常数）．函数 f (x)定义为：对每个给定的实数 x ，f 1 ( x ), 若 f 1 ( x ) f 2 ( x )f ( x )f 2 ( x )f 2 ( x ), 若 f1 ( x )（ 1）求f ( x) f1( x)对所有实数x成立的充分必要条件（用p1, p2表示）；（ 2）设a,b是两个实数，满足 a b ，且p1, p2(a,b) ．若f (a) f (b)，求证：函数f ( x) 在区间 [ a, b] 上的单调增区间的长度之和为b a（闭区间 [m, n] 的长度定义2为 n m ）5.【2009 江苏，理 19】按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a 元，如果他卖出该产品的单价为m元，则他的满意度为m；如果他买进该m a产品的单价为 n 元，则他的满意度为n. 如果一个人对两种交易( 卖出或买进 )n a的满意度分别为 h1和 h2，则他对这两种交易的综合满意度为h1h2.现假设甲生产 A、B 两种产品的单件成本分别为12 元和 5 元，乙生产 A、B 两种产品的单件成本分别为 3 元和 20 元，设产品 A、B 的单价分别为m A元和m B元，甲买进 A 与卖出 B 的综合满意度为h甲，乙卖出 A 与买进 B 的综合满意度为h乙(1)求 h甲和 h乙关于m A、m B的表达式；当m A5m B时，求证：h3甲 = h乙；(2)设 m 3m ，当m A、m B分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？A5 B最大的综合满意度为多少？(3)记 (2)中最大的综合满意度为 h0，试问能否适当选取 m A、 m B的值，使得h甲h0和 h乙 h0同时成立，但等号不同时成立？试说明理由.6.【2009江苏，理20】设a为实数，函数 f (x) 2x2( x a) | x a |.(1)若 f (0) 1，求a的取值范围；(2)求 f (x) 的最小值；(3) 设函数h(x) f (x), x (a,) ，直接写出(不需给出演算步骤)不等式．．．．h( x) 1的解集.7.【2016 年高考江苏卷】（本小题满分 16 分）已知函数 f (x) a x b x( a 0,b 0, a 1,b1) .a 2,b1（ 1）设 2 .①求方程f (x)=2 的根；②若对任意xR ，不等式f (2x)mf (x)6恒成立，求实数 m的最大值；（ 2）若 0 a1,b＞1，函数g x f x 2 有且只有1个零点，求ab的值.2017-14．（ 5 分）（2017?江苏）设 f（x）是定义在 R 上且周期为 1 的函数，在区间 [ 0，1）上， f（ x） =，其中集合D={ x| x=，n∈N*}，则方程f （ x）﹣ lgx=0 的解的个数是．2017-20．（ 16 分）（2017?江苏）已知函数 f（x） =x3+ax2+bx+1（ a＞0，b∈R）有极值，且导函数 f ′（ x）的极值点是 f （x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求 b 关于 a 的函数关系式，并写出定义域；（2）证明： b2＞3a；（ 3）若 f（ x），f （′x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a的取值范围．答案一．基础题组1. 【 2005 江苏，理 2】函数y 1 x3( x R) 的反函数的解析表达式为（ ）2+（ A ） y log 22（ B ） y x 33log 22x（ C ） y3 x （ ） y log 2 2log 22Dx32. 【 2005江 苏 ， 理15 】 函 数 ylog 0.5 (4x 23x) 的 定 义 域为.【答案】 [1,0) ( 3,1]44由题意得：log 0..5 (4x 23x) 0则由对数函数性质得：0 4x 23x10 4 x 2 3x[1,0) (3,1] 即 4x 23x1, 求得函数的定义域为：44 .3. 【2005 江苏，理】若 aa ∈k, k 1 ,k ∈ ，则 k=.163 =0.618,Z【答案】 k1.如图观察分析指数函数 y=3x 的图象，函数值为 0.168[ 1,0) 上，与 3a =0.168,a [ k, k 1)比较得 : k1.4.【 2005 江 苏 ， 理17 】 已 知 a, b为 常 数 ， 若f ( x)x 2 4x 3, f (axb) x 210 x 24, 则 5a b.【答案】 2由 f(x)=x 2+4x+3, f(ax+b)=x 2+10x+24,得：（ ax+b ）2+4(ax+b)+3=x 2+10x+24, 即： a 2x 2 +2abx+b 2+4ax+4b+3=x 2+10x+24,a 2 1比较系数得 ： 2ab 4a 10b 24b 3 24【 求得：a=-1,b=-7, 或 a=1,b=3 ，则 5a-b=2.x5. 2007 江苏，理 】设函数 f （x ）定义在实数集上，它的图像关于直线=16对称，且当 x ≥1时， f （ x ）＝ 3x -1 ，则有（ ）A. f （ 1 ）＜ f （ 3 ）＜ f （ 2 ）B. f （ 2 ）＜ f （ 3 ）＜ f （ 1）32 33 23C. f （ 2 ）＜ f （ 1）＜ f （ 3 ）D.f （ 3）＜ f （ 2）＜ f （ 1）3 3 2 2 3 3【答案】 B6. 【 2007 江苏，理8】设 f （ x ）=l g （2a ）是奇函数，则使 f （ x ）＜ 0的 x 的取值范围是（ 1 x）A. （-1 ， 0）B. （0，1）C.（ - ∞， 0）D.（ - ∞， 0）∪（ 1，+∞）【答案】 A7.【 2007 江苏，理 16】某时钟的秒针端点 A 到中心点 O的距离为 5 cm，秒针均匀地绕点 O旋转，当时间 t =0 时，点 A 与钟面上标 12 的点 B 重合 . 将 A、B 两点间的距离 d（cm）表示成 t （s）的函数，则 d= __________，其中 t ∈0， 60]. 【答案】 10sin t608.【2009江苏，理10】. 已知a 5 1，函数 f ( x) a x，若实数m、n满足2f (m) f ( n) ，则 m 、 n 的大小关系为▲.9.【 2010 江苏，理 5】设函数 f ( x) ＝x(e x＋ ae－x)( x∈R) 是偶函数，则实数 a 的值为 __________．【答案】－ 1∵函数 f ( x) ＝x(e x＋ae－x) ，x∈R 是偶函数，x－ x∴设 g( x) ＝ e ＋ ae，x∈R.由题意知g( x) 应为奇函数 ( 奇函数×奇函数＝偶函数) ，又∵ x∈R，∴ g(0) ＝0，则 1＋ a＝ 0，∴ a＝－ 1.10.【2011江苏，理2】函数f ( x)log 5 (2x 1) 的单调增区间是.1,【答案】211,由 2x 10 ，得x22，所以函数的单调增区间是.11.【2011 江苏，理 8】在平面直角坐标系 xoy 中，过坐标原点的一条直线与函数 f x2 的图象交于P, Q两点，则线段PQ长的最小值为.x12. 【 2011 江苏，理 11】已知实数 a2x a, x10 ，函数 f (x)2a, x，若x 1f (1 a) f (1a) ，则 a 的值为.3【答案】 4本题考查了函数的概念及函数和方程的关系，是 A 级要求， 中档题 . 由题意得，a3当 a 0 时，1 a 1,1a1 ， 2(1 a)a(1 a) 2a 2，不合，解之得3舍去；当a 0时，1 a1,1 a 1， 2(1 a) a (1 a) 2a ，解之得a4 .本题只要根据题意对 a分类，把问题化为方程问题求解即可，而无需画图，否则较易错 . 要分析各类问题的特点，恰当转化是解决问题的关键，要培养相关的意识 .13. 【2012 江苏，理 5】函数 f (x)1 2log 6 x 的定义域为 __________．【答案】 (0 ， 6]要使函数 f (x)1 2log 6 x有意义，则需1，2log 6 x 0x ，解得 0＜x ≤ 6 ，故 f(x) 的定义域为 (0 ， 6] . 014. 【2012 江苏，理 10】设 f ( x) 是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间－ 1,1]ax 1, 1x0,13上， f ( x) ＝其中 a ， b ∈R. 若＋ 3 的值为f ( ) f ( ) ，则bx2 ,0x1,2 2a bx 1__________．15. 【2014 江苏，理 10】已知函数f ( x)x2mx1，若对于任意的x m,m 1都有 f ( x)0 ，则实数 m 的取值范围为.【答案】 (2 ,0) 2f ( m) m2m2 10,解得2据题意(m 1)2m(m 1)1m 0 ．f ( m 1)0,216. 【 2016 年高考江苏卷】函数 y= 3 -2x - x2的定义域是.【答案】3,1试题分析：要使函数式有意义，必有 3 2x x20 ，即 x2 2 x 30 ，解得3 x 1．故答案应填：3,1【考点】函数定义域【名师点睛】函数定义域的考查，一般是多知识点综合考查，先“列”后“解”是常规思路 . 列式主要从分母不为零、偶次根式下被开方数非负、对数中真数大于零等出发，而解则与一元二次不等式、指（对）数不等式、三角不等式等联系在一起 .17.【2016 年高考江苏卷】设f ( x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间1,1)x a, 1 x 0,R. 若f (5) f (9) ，则 f (5a)的值是上， f ( x)2其中 ax ,0 x 1,22 5▲ .二．能力题组1. 【2010 江苏，理 14】将边长为 1 的正三角形薄片沿一条平行于某边的直线剪2成两块，其中一块是梯形，记S ＝(梯形的周长)，则 S 的最小值是 __________．梯形的面积32 3【答案】 3设剪成的上一块正三角形的边长为x.－ x) 243 － x) 2则 S ＝(3(3(0 ＜ x ＜ 1) ，3 － x 23 － 3 x 2144S ′＝43 － 6x 2 －－ 20x 63 2 ) 2(1 x ＝－ 4 3 － 6x 2 － 6 ，－ 20x3 x 2 ) 2(1令 S ′＝ ，得 x ＝ 1或 3(舍去 ．0 3 )x ＝ 1是 S 的极小值点且是最小值点 ．3tanC tan C sin C cos S sin C cos B sin C (sin B cos A cos B sin A)tan Atan B sin A cosCsin B cosCsin A sin B cosC∴ S min ＝4－123 . 3 (3 3)323 － 1 31 917】如图，建立平面直角坐标系 xOy ， x 轴在地平面上， y 2. 【 2012 江苏，理轴垂直于地平面， 单位长度为 1 千米，某炮位于坐标原点． 已知炮弹发射后的轨迹在方程 y ＝kx － 1(1 ＋k 2) x 2( k ＞0) 表示的曲线上，其中 k 与发射方向有关． 炮20的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1) 求炮的最大射程；(2) 设在第一象限有一飞行物 ( 忽略其大小 ) ，其飞行高度为 3.2 千米，试问它的横坐标 a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．3. 【2013 江苏，理 13】在平面直角坐标系 xOy 中，设定点 A( a ，a) ，P 是函数 y1( x ＞0) 图象上一动点．若点 P ，A 之间的最短距离为 2 2 ，则满足条件的x实数 a 的所有值为 __________．4. 【2014 江苏，理 13】已知 f ( x) 是定义在 R 上且周期为 3 的函数，当 x 0,3时， f ( x) x 22x1，若函数 yf (x) a 在区间 3,4 上有 10 个零点（互不2相同），则实数 a 的取值范围是. 【答案】 (0, 1)2作 出函 数 f (x)x22x1, x [0,3) 的 图象 ， 可 见 f (0)1 ，当 x 1 时，22f ( x)极大 1 ， f (3)7，方程 f (x)a0 在 x [ 3,4] 上有10 个零点，即函数22y f ( x) 和图象与直线 y a 在 [ 3,4] 上有 10 个交点，由于函数 f (x) 的周期为 3，因此直线 y a 与函数 f (x) x22x1, x [0,3) 的应该是4 个交点，则有21a (0, ) ．5. 【 2015 高考江苏， 13】已知函数 f (x) | ln x |， g (x)0,0 x 1 ，则方| x 2 4 | 2, x 1程 | f ( x) g (x) | 1实根的个数为十年高考数学分类汇编_02 函数三．拔高题组1. 【 2005 江苏，理 22】已知a R,函数 f (x)x2 x a .a时，求使 f （ x）＝ x 成立的 x 的集合；（Ⅰ）当=2（Ⅱ）求函数 y＝f( x) 在区间 1,2]上的最小值 .1a,当 a1时 ;0,当1 a2时; m4(a 2),当 2 a 7时 ; 3【答案】（Ⅰ）{0,12}. （Ⅱ）a1,当 a7时;3( Ⅰ) 由题意 ,f(x)=x2x 2.当 x<2 时 ,f(x)=x2(2-x)=x,解得 x=0, 或 x=1;当 x 2时 , f ( x) x2( x 2)x, 解得 x 1 2.综上所述 , 所求解集为{0,12}. .( Ⅱ) 设此最小值为 m.①当 a 1时，在区间 [1，2]上，f(x)x3ax2 .f / (x) 3x22ax3x( x 2a)0, x(1,2),因为 :3则 f(x)是区间 1,2]上的增函数 , 所以 m=f(1)=1-a..十年高考数学分类汇编_02 函数2. 【 2006 江苏，理 20】设 a 为实数，设函数f (x) a 1x 2 1x 1x 的最大值为 g( a).（Ⅰ）设 t ＝ 1x1 x ，求 t 的取值范围，并把 f ( x) 表示为 t 的函数m( t )（Ⅱ）求 g( a)（Ⅲ）试求满足 g( a) g ( 1) 的所有实数 aa【答案】（Ⅰ） m t )= 12t a, t [ 2,2](at2十年高考数学分类汇编_02 函数a 1a2,2（Ⅱ） g (a)a 1 ,2a 1 ,2a222,a2 2（Ⅲ）2a 2, 或a=1 2十年高考数学分类汇编_02 函数a12a2,2 a 1 ,g (a)a1 ,2 22a22,a综上有2g( 1)2 a1 2, 解得 a2,与 a2矛盾 .a2a221a 012g ( 1)2情形 5：当2时，a，此时 g(a)=a+2,aa2 2,与 a1由a22矛盾 .2解得11 )1 情形 6：当 a>0 时，ag (2，此时 g(a)=a+2,aaa21 12解得 a由a，由 a>0 得 a=1.g (a) g( 1)2 a2 ,综上知，满足a的所有实数 a 为2或 a=1.3. 【2007 江苏，理 21】已知 a ，b ，c ，d 是不全为零的实数， 函数 f （x ）=bx 2 +cx+d ，g （x ）=ax 2+bx 2 +cx +d. 方程 f （ x ） =0 有实数根，且 f （x ）=0 的实数根都是 g （f（ x ））=0 的根；反之， g （ f （ x ））=0 的实数根都是 f （x ）=0 的根 .（ 1）求 d 的值；（3 分）（ 2）若 a=0，求 c 的取值范围；（ 6 分）（ 3）若 a=l ，f （1）=0，求 c 的取值范围 . （7 分）16【答案】（1）d=0. （2）0，4）. （3）0，）（ 3）由 a=1，f （1）=0 得 b= - c ，f （x ）=bx 2+cx =cx （ - x+1），g （f （x ）） f （ x ）f 2（ x ） cf （x ） c ]. ③= - +由 f （x ）=0 可以推得 g （f （x ））=0，知方程 f （x ） =0 的根一定是方程 g （f （ x ））=0 的根 .当 c=0 时，符合题意 . 2（x ）当 c ≠0时， b ≠0，方程 f （x ）=0 的根不是方程 f cf （ x ） c ④- + =0 的根，因此，根据题意，方程④应无实数根，那么2 2当（ - c ） -4 c ＜0，即 0＜ c ＜ 4 时， f （ x ） - cf （x ）+c>0，符合题意 .f x ）=- cx 2 cxcc 2 4c ，即 cx 2 cx c c 2 4c⑤（ + =– +2 =0，2则方程⑤应无实数根，所以有（ - c ）2-4 ccc 24c＜0 且（ - c ）2-4 ccc 24c＜0.22当 c ＜0 时，只需 - c 2 -2c c 2 4c ＜ ，解得 ＜ ＜ 16 ，矛盾，舍去 .0 0 c 3当 c ≥ 4 时，只需 - c 2 c c 2 4c ＜ ，解得 ＜ ＜ 16 .+20 0 c 3因此，4≤ c ＜16.30， 16综上所述，所示 c 的取值范围为 ） .34. 【 2008 江苏，理 20】已知函数 f 1( x)3x p 1， f 2 (x) 2 3x p 2 （ x R, p 1, p 2 为常 数 ）． 函 数 f (x) 定 义 为 ： 对 每 个 给 定 的 实 数 x ，f 1 ( x ), 若 f 1 ( x )f 2 ( x )f ( x )f 2 ( x )f 2 ( x ), 若 f 1 ( x )（ 1）求 f ( x)f 1( x) 对所有实数 x 成立的充分必要条件（用 p 1, p 2 表示）；（ 2）设 a,b 是两个实数，满足 a b ，且 p 1, p 2 (a,b) ．若 f (a) f (b) ，求证：函数f ( x) 在区间 [ a, b] 上的单调增区间的长度之和为 ba（闭区间 [m, n] 的长度定义为 n m ）2b a【答案】（1）p 1p 2log 32；（2） 23p 1x, xp 1f 1 ( x)再由3x p 1, x p 1 的单调性可知，函数f ( x) 在区间[ a,b]上的单调增区间的长度abb ab221）为（参见示意图y (a,f(a)(b,f( b)O图 1x解得f 1( x)与 f 2(x)图象交点的横坐标为x 0p 1 p 21log 3 2⑴22p 1 x 0 p 21[( p 2 p 1 ) log 3 2]p 2显然2，这表明x 0在p 1与p 2之间 . 由⑴易知f 1( x) , p 1x x 0f (x)xp 2f 2 (x) , x 0f 1 ( x) , a xx 0f (x)综上可知，在区间[a,b] 上，f 2 ( x) , x 0 x b（参见示意图 2）y(a,f(a))(b,f(b))(x 0,y 0)(p 2,2)(p 1,1)Ox图 25. 【2009 江苏，理 19】按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a 元，如果他卖出该产品的单价为 m 元，则他的满意度为m；如果他买进该m a产品的单价为 n 元，则他的满意度为n. 如果一个人对两种交易 ( 卖出或买进 )na的满意度分别为1和 2 ，则他对这两种交易的综合满意度为h hh h1 2 .现假设甲生产 A 、B 两种产品的单件成本分别为 12 元和 5 元，乙生产 A 、B 两种产品的单件成本分别为 3 元和 20 元，设产品 A 、B 的单价分别为 m A 元和 m B 元，甲买进 A 与卖出 B 的综合满意度为 h 甲 ，乙卖出 A 与买进 B 的综合满意度为 h 乙(1) 求 h 甲 和 h 乙 关于 m A 、 m B 的表达式；当 m3m 时，求证： h 甲 = h 乙 ；A5B(2) 设 m3m ，当 m A 、m B 分别为多少时， 甲、乙两人的综合满意度均最大？A5B最大的综合满意度为多少？(3) 记 (2) 中最大的综合满意度为 h 0 ，试问能否适当选取 m A 、 m B 的值，使得h 甲 h 和 h 乙 h 同时成立，但等号不同时成立？试说明理由 .0 0【答案】 (1) 详见解 +析； (2)m B 20, m A12 时，甲乙两人同时取到最大的10综合满意度为 5(3) 不能本小题主要考查函数的概念、基本不等式等基础知识，考查数学建模能力、抽象概括能力以及数学阅读能力 . 满分 16 分.(1)3m Bm Bm B2h 甲533 m12 m B 5(m B20)( m B 5)m Am B时，5 B,当53m Bm B2 h 乙5m B3 m3mB20(m B 5)(m B 20)h 甲 = h 乙5 B ,（ 3）由（ 2）知：h 0= 105h 甲 =m A m Bh 010m A 12 m B 5 5m A 12 m B 55m Am B 2由得： ，35y,1 ,1](1 4x)(1y)5令 m Ax,x 、 y [2 .m B 则 4，即：h 乙 h 010(1 x)(1 54y)同理，由5 得：2x 、 y [ 1,1] 1 4x 、 1+4y[2,5], 1x 、 1+y [ 5,2],另一方面， 42(1 4x)(1 y)5 x)(1 5, xy1,(1 4y)4 ，即m A=mB时，取等号 .22 当且仅当所以不能否适当选取 m A甲h 0 和 h 乙 h、 m B的值，使得h同时成立，但等号不同时成立 .6. 【 2009 江苏，理 20】设 a 为实数，函数 f (x)2x 2( x a) | x a |.(1) 若 f (0) 1，求 a 的取值范围；(2) 求 f (x) 的最小值；(3) 设 函数 h(x) f (x), x (a,) ，直接 写出 ( 不 需给 出演算步 骤 ) 不 等式． ．． ．h( x) 1的解集 .a 0 1（ 1）若 f(0) 1，则a | a | 1aa 2 1f (a), a 02a 2, af ( x) mina), a 0 2a 2（ 2）当xa 时，f (x)3x 2 2ax a 2 ,f (, a 033f ( x) min f ( a), a 02a 2 , aa 时，f (x)f (a), a2a 2, a当xx 2 2axa 2 ,f ( x) min2a 2 , a 02a 2,a 0综上3（ 3）x(a,)时，h( x) 1得3x 22ax a 21 0 ，4a 2 12(a 2 1) 12 8a 2a6或 a6 0, x (a,) ；当22 时，a 3 2a 2 a3 2a 2 ) 066( x3)( x3a当22 时，△ >0, 得： x aa( 2, 6 )时，解集为 (a,) ;讨论得：当2 2a (6 , 2 )(a,a3 2a 2 ] [ a 3 2a 2 , )当22时，解集为33;a [2 , 2 ][a3 2a 2 , )当 22 时，解集为3.7. 【2016 年高考江苏卷】（本小题满分 16 分） 已知函数 f (x)a xb x ( a 0,b 0, a 1,b 1) .1a 2,b（ 1）设2 .①求方程f (x)=2 的根；②若对任意xR ，不等式f (2x)mf (x)6恒成立，求实数 m 的最大值；（ 2）若 0 a 1,b ＞1，函数 g x f x2 有且只有 1 个零点，求 ab 的值 .十年高考数学分类汇编_02 函数所以 m( f ( x))24对于 x R 恒成立 .f ( x)而 ( f ( x))24 f ( x)4 2 f ( x)44，且 ( f (0))24 4 ，f ( x) f (x) f ( x) f (0)所以 m4，故实数m 的最大值为 4.间断，所以在x0和 loga2 之间存在 g (x) 的零点，记为 x1.因为0 a1，所以2log a 20 ，又x00 ，所以x10与“0是函数g(x)的唯一零点”矛盾 . 2若 x00 ，同理可得，在x0和 loga 2 之间存在 g( x) 的非0的零点，矛盾. 2因此， x00 .于是ln a 1 ，故 ln a ln b0 ，所以 ab 1.ln b【考点】指数函数、基本不等式、利用导数研究函数单调性及零点【名师点睛】对于函数零点个数问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图等确定其中参数的范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．但需注意探求与论证之间区别，论证是充要关系，要充14．（ 5 分）（ 2017?江苏）设 f（x）是定义在 R 上且周期为 1 的函数，在区间 [ 0，1）上，f（x）=，其中集合D={ x| x=，n∈N*}，则方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是8．【分析】由已知中 f（ x）是定义在 R 上且周期为 1 的函数，在区间 [ 0，1）上， f（ x）=，其中集合D={ x| x=，n∈ N*}，分析f（x）的图象与y=lgx图象交点的个数，进而可得答案．【解答】解：∵在区间 [ 0，1）上， f（x）=，第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数，又 f（ x）是定义在 R 上且周期为 1 的函数，∴在区间 [ 1，2）上， f（x）=，此时f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；同理：区间 [ 2， 3）上， f（ x）的图象与 y=lgx 有且只有一个交点；区间 [ 3， 4）上， f（ x）的图象与 y=lgx 有且只有一个交点；区间 [ 4， 5）上， f（ x）的图象与 y=lgx 有且只有一个交点；区间 [ 5， 6）上， f（ x）的图象与 y=lgx 有且只有一个交点；区间 [ 6， 7）上， f（ x）的图象与 y=lgx 有且只有一个交点；区间 [ 7， 8）上， f（ x）的图象与 y=lgx 有且只有一个交点；区间 [ 8， 9）上， f（ x）的图象与 y=lgx 有且只有一个交点；在区间 [ 9，+∞）上， f（x）的图象与 y=lgx 无交点；故f（ x）的图象与 y=lgx 有 8 个交点；即方程 f（x）﹣ lgx=0 的解的个数是 8，故答案为： 8【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，函数的图象和性质，转化思想，难度中档．20．（16 分）（2017?江苏）已知函数 f（x） =x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，且导函数 f ′（x）的极值点是 f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求 b 关于 a 的函数关系式，并写出定义域；（2）证明： b2＞3a；（ 3）若 f（ x），f （′x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a的取值范围．【分析】（1）通过对 f（x）=x3+ax2+bx+1 求导可知 g（ x）=f ′（x）=3x2+2ax+b，进而再求导可知 g′（x） =6x+2a，通过令 g′（x）=0 进而可知 f ′（x）的极小值点为﹣，从而（﹣）=0，整理可知 b=+（＞），结合3+ax2+bx+1x=f a0f（ x）=x（ a＞ 0，b∈ R）有极值可知 f ′（x）=0 有两个不等的实根，进而可知 a＞3．（ 2）通过（ 1）构造函数 h（ a） =b2﹣ 3a=﹣+ =（4a3﹣27）（ a3﹣ 27），结合 a＞ 3 可知 h（ a）＞ 0，从而可得结论；（ 3）通过（ 1）可知 f ′（ x）的极小值为 f ′（﹣）=b﹣，利用韦达定理及完全平方关系可知y=f（ x）的两个极值之和为﹣+2，进而问题转化为解不等式 b﹣+﹣+2= ﹣≥﹣，因式分解即得结论．【解答】（1）解：因为 f（x）=x3+ax2+bx+1，所以 g（x）=f ′（ x） =3x2 +2ax+b，g′（x）=6x+2a，令 g′（x）=0，解得 x=﹣．由于当 x＞﹣时 g′（ x）＞ 0， g（ x） =f ′（x）单调递增；当 x＜﹣时 g′（x）＜0，g（x）=f （′x）单调递减；所以 f ′（x）的极小值点为 x=﹣，由于导函数 f ′（x）的极值点是原函数 f（ x）的零点，所以 f （﹣） =0，即﹣+ ﹣+1=0，所以 b=+（a＞0）．因为f （x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，所以 f ′（x）=3x2+2ax+b=0 有两个不等的实根，所以 4a2﹣12b＞ 0，即 a2﹣+＞0，解得a＞3，所以 b=+（a＞3）．（ 2）证明：由（ 1）可知 h（ a） =b2﹣ 3a=﹣+ =（4a3﹣27）（ a3﹣ 27），由于 a＞3，所以 h（a）＞ 0，即 b2＞3a；（ 3）解：由（ 1）可知 f ′（ x）的极小值为 f ′（﹣）=b﹣，设 x1， 2 是y=f （）的两个极值点，则12， 12，x x x +x =x x =所以 f （x1）+f （ 2）=（+）+b（ 12）+2 x+ +a x +x=（x1+x2）[ （x1+x2）2﹣3x1x2]+ a[ （ x1 +x2）2﹣2x1 x2]+ b（x1+x2）+2 =﹣+2，又因为 f（x）， f ′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，所以 b﹣+﹣+2= ﹣≥﹣，因为 a＞3，所以 2a3﹣63a﹣54≤0，所以 2a（a2﹣36）+9（ a﹣6）≤ 0，所以（ a﹣6）（ 2a2+12a+9）≤ 0，由于 a＞3 时 2a2+12a+9＞0，所以 a﹣6≤0，解得 a≤6，所以 a 的取值范围是（ 3，6] ．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值，考查运算求解能力，考查转化思想，注意解题方法的积累，属于难题．。

三、三角函数（一）填空题1、（2008江苏卷1）()cos 6f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为5π，其中0ω>，则ω= ． 【解析】本小题考查三角函数的周期公式.2105T ππωω==⇒=2、（2009江苏卷4）函数sin()y A x ωϕ=+（,,A ωϕ为常数，0,0A ω>>）在闭区间[,0]π-上的图象如图所示，则ω= . 【解析】 考查三角函数的周期知识。

32T π=，23T π=，所以3ω=3、（2010江苏卷10）定义在区间⎪⎭⎫⎝⎛20π,上的函数y=6cosx 的图像与y=5tanx 的图像的交点为P ，过点P 作PP 1⊥x 轴于点P 1，直线PP 1与y=sinx 的图像交于点P 2,则线段P 1P 2的长为____________。

【解析】考查三角函数的图象、数形结合思想。

线段P 1P 2的长即为sinx 的值， 且其中的x 满足6cosx=5tanx ，解得sinx=23。

线段P 1P 2的长为234、（2010江苏卷13）在锐角三角形ABC ，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，6cos baC ab+=，则tan tan tan tan C CA B+=_________。

【解析】考查三角形中的正、余弦定理三角函数知识的应用，等价转化思想。

一题多解。

（方法一）考虑已知条件和所求结论对于角A 、B 和边a 、b 具有轮换性。

当A=B 或a=b 时满足题意，此时有：1cos 3C =，21cos 1tan 21cos 2C C C -==+，2tan 2C =， 1tan tan 2tan 2A B C===，tan tan tan tan C CA B+= 4。

（方法二）226cos 6cos b a C ab C a b a b +=⇒=+，2222222236,22a b c c ab a b a b ab +-⋅=++=2tan tan sin cos sin sin cos sin sin()1sin tan tan cos sin sin cos sin sin cos sin sin C C C B A B A C A B CA B C A B C A B C A B+++=⋅=⋅=⋅5、（2011江苏卷7）已知,2)4tan(=+πx 则xx2tan tan 的值为__________.解析】221tan 1tan tan 1tan 4tan()2,tan ,2tan 41tan 3tan 2291tan x x x x x x x x x xπ++==∴=∴=-（－）＝＝－. 本题主要考查三角函数的概念，同角三角函数的基本关系式，正弦余弦函数的诱导公式，两角和与差的正弦余弦正切，二倍角的正弦余弦正切及其运用，中档题.6、（2011江苏卷9）函数()sin(),(,,f x A x A ωϕωϕ=+是常数，0,0)A ω>>的部分图象如图所示，则____)0(=f 【解析】由图可知：72,,2,41234T A πππω==-== 7322,2,1223k k πππϕπϕπ⨯+=+=+ 6(0)2sin(2)3f k ππ=+= 由图知：6(0)f =本题主要考查正弦余弦正切函数的图像与性质，sin()y A x ωϕ=+的图像与性质以及诱导公式，数形结合思想,中档题. 7（2013江苏卷1）函数)42sin(3π+=x y 的最小正周期为 。

一、填空题:7．（江苏省苏锡常镇四市2013年3月高三教学情况调研—）已知01cos(75)3α+=，则0cos(302)α-的值为 ▲ ．【答案】7911. （江苏省南通市2013届高三第二次调研） 设()αβ∈0π，，，且5sin()13αβ+=, 1tan 22α=．则cos β的值为 ▲ ．【答案】1665- 7. (江苏省无锡市2013年2月高三质量检测)函数f (x )＝sinx +sin (x －p3)的单调递增区间为 ▲ ．【答案】[2k －p 3，2k ＋2p3]，k ∈Z1、（常州市2013届高三期末）函数(1)()cos cos22x x f x -=的最小正周期为 ▲ ． 答案：22、（连云港市2013届高三期末）如果函数y ＝3sin(2x +ϕ)(0<ϕ<π)的图象关于点(π3，0)中心对称，则ϕ＝ ▲ .答案：π3;5、（苏州市2013届高三期末）（苏州市2013届高三期末）已知θ为锐角，4sin(15)5θ+=，则cos(215)θ-= ．6、（无锡市2013届高三期末）在△ABC 中，∠A=45o，∠C=105o，BC=2，则AC 的长度为 ． 答案：17、（扬州市2013届高三期末）在ABC ∆中，角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ，且5,3,sin 2sin a b C A ===，则sin A = ▲ ．58、（镇江市2013届高三期末）5. 已知0ω>,函数3sin()4y x πωπ=+的周期比振幅小1,则ω= ▲ ．答案：19、（镇江市2013届高三期末） 在△ABC 中，sin :sin :sin 2:3:4A B C =，则cos C = ▲ ．41-10、（南京市、盐城市2013届高三期末）在ABC ∆中, 若9cos 24cos 25A B -=, 则BCAC的值为 ▲ ．2311、（南京市、盐城市2013届高三期末）若x ,y 满足22221log [4cos ()]ln ln 4cos ()22y e xy y xy +=-+, 则cos 4y x 的值为 ▲ ． 答案：－1二、解答题:⒖（江苏省盐城市2013年3月高三第二次模拟）（本小题满分14分）已知函数（Ⅱ）因为46x ππ-≤≤，所以22633x πππ-≤+≤……………………………………9分 所以1sin 2123x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，所以()12f x -≤≤，当2,36x ππ+=-即4x π=-时，()min 1f x =-，当2,32x ππ+=即12x π=时，()min 2f x =，………………………………………14分⒘（江苏省盐城市2013年3月高三第二次模拟）（本小题满分14分）如图，在海岸线l 一侧C 处有一个美丽的小岛，某旅游公司为方便游客，在l 上设立了A 、B 两个报名点，满足A 、B 、C 中任意两点间的距离为10千米。

专题三角函数1(新课标全国Ⅰ卷)已知cos (α+β)=m ,tan αtan β=2，则cos (α-β)=()A.-3mB.-m3C.m 3D.3m【答案】A【分析】根据两角和的余弦可求cos αcos β,sin αsin β的关系，结合tan αtan β的值可求前者，故可求cos α-β 的值.【详解】因为cos α+β =m ，所以cos αcos β-sin αsin β=m ，而tan αtan β=2，所以=12×2b ×kb ×sin A 2+12×kb ×b ×sin A2，故cos αcos β-2cos αcos β=m 即cos αcos β=-m ，从而sin αsin β=-2m ，故cos α-β =-3m ，故选：A .2(新课标全国Ⅰ卷)当x ∈[0,2π]时，曲线y =sin x 与y =2sin 3x -π6 的交点个数为()A.3B.4C.6D.8【答案】C【分析】画出两函数在0,2π 上的图象，根据图象即可求解【详解】因为函数y =sin x 的的最小正周期为T =2π，函数y =2sin 3x -π6 的最小正周期为T =2π3，所以在x ∈0,2π 上函数y =2sin 3x -π6有三个周期的图象，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：由图可知，两函数图象有6个交点.故选：C3(新课标全国Ⅱ卷)设函数f (x )=a (x +1)2-1，g (x )=cos x +2ax ，当x ∈(-1,1)时，曲线y =f (x )与y =g (x )恰有一个交点，则a =()A.-1B.12C.1D.22024年高考数学真题分类汇编——三角函数篇【分析】解法一：令F x =ax 2+a -1,G x =cos x ，分析可知曲线y =F (x )与y =G (x )恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y 轴上，即可得a =2，并代入检验即可；解法二：令h x =f (x )-g x ,x ∈-1,1 ，可知h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知h x 的零点只能为0，即可得a =2，并代入检验即可.【详解】解法一：令f (x )=g x ，即a (x +1)2-1=cos x +2ax ，可得ax 2+a -1=cos x ，令F x =ax 2+a -1,G x =cos x ，原题意等价于当x ∈(-1,1)时，曲线y =F (x )与y =G (x )恰有一个交点，注意到F x ,G x 均为偶函数，可知该交点只能在y 轴上，可得F 0 =G 0 ，即a -1=1，解得a =2，若a =2，令F x =G x ，可得2x 2+1-cos x =0因为x ∈-1,1 ，则2x 2≥0,1-cos x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，可得2x 2+1-cos x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，则方程2x 2+1-cos x =0有且仅有一个实根0，即曲线y =F (x )与y =G (x )恰有一个交点，所以a =2符合题意；综上所述：a =2.解法二：令h x =f (x )-g x =ax 2+a -1-cos x ,x ∈-1,1 ，原题意等价于h x 有且仅有一个零点，因为h -x =a -x 2+a -1-cos -x =ax 2+a -1-cos x =h x ，则h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知h x 的零点只能为0，即h 0 =a -2=0，解得a =2，若a =2，则h x =2x 2+1-cos x ,x ∈-1,1 ，又因为2x 2≥0,1-cos x ≥0当且仅当x =0时，等号成立，可得h x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，即h x 有且仅有一个零点0，所以a =2符合题意；故选：D .4(全国甲卷数学(理)(文))已知cos αcos α-sin α=3，则tan α+π4=()A.23+1 B.23-1C.32D.1-3【答案】B【分析】先将cos αcos α-sin α弦化切求得tan α，再根据两角和的正切公式即可求解.【详解】因为cos αcos α-sin α=3，所以11-tan α=3，⇒tan α=1-33，所以tan α+π4 =tan α+11-tan α=23-1，故选：B .5(新高考北京卷)已知f x =sin ωx ω>0 ，f x 1 =-1，f x 2 =1，|x 1-x 2|min =π2，则ω=()A.1B.2C.3D.4【分析】根据三角函数最值分析周期性，结合三角函数最小正周期公式运算求解.【详解】由题意可知：x 1为f x 的最小值点，x 2为f x 的最大值点，则x 1-x 2 min =T 2=π2，即T =π，且ω>0，所以ω=2πT=2.故选：B .6(新高考天津卷)已知函数f x =sin3ωx +π3ω>0 的最小正周期为π．则函数在-π12,π6 的最小值是()A.-32B.-32C.0D.32【答案】A【分析】先由诱导公式化简，结合周期公式求出ω，得f x =-sin2x ，再整体求出x ∈-π12,π6时，2x 的范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解.【详解】f x =sin3ωx +π3 =sin 3ωx +π =-sin3ωx ，由T =2π3ω=π得ω=23，即f x =-sin2x ，当x ∈-π12,π6 时，2x ∈-π6,π3，画出f x =-sin2x 图象，如下图，由图可知，f x =-sin2x 在-π12,π6上递减，所以，当x =π6时，f x min =-sin π3=-32故选：A7(新高考上海卷)下列函数f x 的最小正周期是2π的是()A.sin x +cos xB.sin x cos xC.sin 2x +cos 2xD.sin 2x -cos 2x【答案】A【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可 .【详解】对A ，sin x +cos x =2sin x +π4，周期T =2π，故A 正确；对B ，sin x cos x =12sin2x ，周期T =2π2=π，故B 错误；对于选项C ，sin 2x +cos 2x =1，是常值函数，不存在最小正周期，故C 错误；对于选项D ，sin 2x -cos 2x =-cos2x ，周期T =2π2=π，故D 错误，故选：A ．8(新课标全国Ⅱ卷)对于函数f(x)=sin2x和g(x)=sin2x-π4，下列说法正确的有() A.f(x)与g(x)有相同的零点 B.f(x)与g(x)有相同的最大值C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期D.f(x)与g(x)的图像有相同的对称轴【答案】BC【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.【详解】A选项，令f(x)=sin2x=0，解得x=kπ2,k∈Z，即为f(x)零点，令g(x)=sin2x-π4=0，解得x=kπ2+π8,k∈Z，即为g(x)零点，显然f(x),g(x)零点不同，A选项错误；B选项，显然f(x)max=g(x)max=1，B选项正确；C选项，根据周期公式，f(x),g(x)的周期均为2π2=π，C选项正确；D选项，根据正弦函数的性质f(x)的对称轴满足2x=kπ+π2⇔x=kπ2+π4,k∈Z，g(x)的对称轴满足2x-π4=kπ+π2⇔x=kπ2+3π8,k∈Z，显然f(x),g(x)图像的对称轴不同，D选项错误.故选：BC9(新课标全国Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tanα+tanβ=4，tanαtanβ=2+1，则sin(α+β)=.【答案】-22 3【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得tanα+β=-22，再缩小α+β的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.【详解】法一：由题意得tanα+β=tanα+tanβ1-tanαtanβ=41-2+1=-22，因为α∈2kπ,2kπ+π2,β∈2mπ+π,2mπ+3π2，k,m∈Z，则α+β∈2m+2kπ+π,2m+2kπ+2π，k,m∈Z，又因为tanα+β=-22<0，则α+β∈2m+2kπ+3π2,2m+2kπ+2π，k,m∈Z，则sinα+β<0，则sinα+βcosα+β=-22，联立sin2α+β+cos2α+β=1，解得sinα+β=-223.法二：因为α为第一象限角，β为第三象限角，则cosα>0,cosβ<0,cosα=cosαsin2α+cos2α=11+tan2α，cosβ=cosβsin2β+cos2β=-11+tan2β，则sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=cosαcosβ(tanα+tanβ)=4cosαcosβ=-41+tan2α1+tan2β=-4(tanα+tanβ)2+(tanαtanβ-1)2=-442+2=-223故答案为：-22 3.10(全国甲卷数学(文))函数f x =sin x-3cos x在0,π上的最大值是．【答案】2【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可.【详解】f x =sin x -3cos x =2sin x -π3 ，当x ∈0,π 时，x -π3∈-π3,2π3，当x -π3=π2时，即x =5π6时，f x max =2.故答案为：2一、单选题1(2024·宁夏石嘴山·三模)在平面直角坐标系中，角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P 1,2 ，则7cos 2θ-2sin2θ=()A.-15B.15C.-2D.2【答案】A【分析】由题意可知：tan θ=2，根据倍角公式结合齐次化问题分析求解.【详解】由题意可知：tan θ=2，所以7cos 2θ-2sin2θ=7cos 2θ-4sin θcos θsin 2θ+cos 2θ=7-4tan θtan 2θ+1=7-4×222+1=-15.故选：A .2(2024·广东茂名·一模)已知cos α+π =-2sin α，则sin 2α-3cos α+π2cos αcos2α+1=()A.-1B.-25C.45D.78【答案】D【分析】根据给定条件，求出tan α，再结合诱导公式及二倍角的余弦公式，利用正余弦齐次式法计算得解.【详解】由cos α+π =-2sin α，得cos α=2sin α，则tan α=12，所以sin 2α-3cos α+π2 cos αcos2α+1=sin 2α+3sin αcos α2cos 2α=12tan 2α+32tan α=18+34=78.故选：D3(2024·河北保定·二模)函数f (x )=1-e x1+e xcos2x 的部分图象大致为()A. B.C. D.【答案】A【分析】根据函数的奇偶性判断即可.【详解】设g x =1-e x1+e x，则g-x=1-e-x1+e-x=e x-11+e x=-g x ，所以g x 为奇函数，设h x =cos2x，可知h x 为偶函数，所以f x =1-e x1+e xcos2x为奇函数，则B，C错误，易知f0 =0，所以A正确，D错误．故选：A.4(2024·山东济宁·三模)已知函数f(x)=(3sin x+cos x)cos x-12，若f(x)在区间-π4,m上的值域为-3 2,1，则实数m的取值范围是()A.π6,π2B.π6,π2C.π6,7π12D.π6,7π12【答案】D【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数f(x)，再借助正弦函数的图象与性质求解即得.【详解】依题意，函数f(x)=3sin x cos x+cos2x-12=32sin2x+12cos2x=sin2x+π6，当x∈-π4,m时，2x+π6∈-π3,2m+π6，显然sin-π3=sin4π3=-32,sinπ2=1，且正弦函数y=sin x在π2,4π3上单调递减，由f(x)在区间-π4,m上的值域为-32,1，得π2≤2m+π6≤4π3，解得π6≤m≤7π12，所以实数m的取值范围是π6,7π12.故选：D5(2024·江西景德镇·三模)函数f x =cosωx x∈R在0,π内恰有两个对称中心，fπ=1，将函数f x 的图象向右平移π3个单位得到函数g x 的图象.若fα +gα =35，则cos4α+π3=()A.725B.1625C.-925D.-1925【答案】A【分析】根据y轴右边第二个对称中心在0,π内，第三个对称中心不在0,π内可求得32≤ω<52，结合fπ=1可得ω=2，再利用平移变换求出g x ，根据三角变换化简fα +gα =35可得sin2α+π6=35，然后由二倍角公式可解.【详解】由x∈0,π得ωx∈0,ωπ，因为函数f x 在0,π内恰有两个对称中心，所以3π2≤ωπ5π2>ωπ，解得32≤ω<52，又fπ=cosωπ=1，所以ωπ=kπ,k∈Z，即ω=k,k∈Z，所以ω=2，将函数f x 的图象向右平移π3个单位得到函数y=cos2x-π3=cos2x-2π3，即g x =cos2x-2π3，因为fα +gα =cos2α+cos2α-2π3=32sin2α+12cos2α=sin2α+π6=35，所以cos4α+π3=1-2sin22α+π6=1-2×35 2=725.故选：A6(2024·安徽马鞍山·三模)已知函数f(x)=sin2ωx+cos2ωx(ω>1)的一个零点是π2，且f(x)在-π6,π16上单调，则ω=()A.54B.74C.94D.114【答案】B【分析】整理可得f(x)=2sin2ωx+π4，以2ωx+π4为整体，根据单调性分析可得1<ω≤2，再结合零点分析求解.【详解】因为f(x)=sin2ωx+cos2ωx=2sin2ωx+π4，x∈-π6,π16，且ω>1时，可得2ωx+π4∈-π3ω+π4,π8ω+π4，且-π3ω+π4<0<π8ω+π4，若f(x)在-π6,π16上单调，则-π3ω+π4≥-π2π8ω+π4≤π2，解得1<ω≤2，又因为f(x)的一个零点是π2，则πω+π4=kπ,k∈Z，解得ω=k-14,k∈Z，所以k=2,ω=7 4 .故选：B.7(2024·山东临沂·二模)已知函数f x =sin2x+φϕ <π2图象的一个对称中心为π6,0，则()A.f x 在区间-π8,π3上单调递增B.x=5π6是f x 图象的一条对称轴C.f x 在-π6,π4上的值域为-1,32D.将f x 图象上的所有点向左平移5π12个长度单位后，得到的函数图象关于y轴对称【答案】D【分析】借助整体代入法结合正弦函数的性质可得A、B；结合正弦函数最值可得C；得到平移后的函数解析式后借助诱导公式即可得D.【详解】由题意可得2×π6+φ=kπk∈Z，解得φ=-π3+kπk∈Z，又ϕ <π2，故φ=-π3，即f x =sin2x-π3；对A ：当x ∈-π8,π3 时，2x -π3∈-7π12,π3，由函数y =sin x 在-7π12,π3上不为单调递增，故f x 在区间-π8,π3上不为单调递增，故A 错误；对B ：当x =5π6时，2x -π3=4π3，由x =4π3不是函数y =sin x 的对称轴，故x =5π6不是f x 图象的对称轴，故B 错误；对C ：当x ∈-π6,π4 时，2x -π3∈-2π3,π6，则f x ∈-1,12，故C 错误；对D ：将f x 图象上的所有点向左平移5π12个长度单位后，可得y =sin 2x +2×5π12-π3 =sin 2x +π2=cos2x ，该函数关于y 轴对称，故D 正确.故选：D .8(2024·广东广州·二模)已知函数f (x )=2sin (ωx +φ)ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示，若将函数f (x )的图象向右平移θ(θ>0)个单位后所得曲线关于y 轴对称，则θ的最小值为()A.π8B.π4C.3π8D.π2【答案】A【分析】根据给定的图象特征，结合五点法作图列式求出ω和φ，再根据图象的平移变换，以及图象的对称性即可得解.【详解】由f π4=1，得sin π4ω+φ =22，又点π4,1 及附近点从左到右是上升的，则π4ω+φ=π4+2k π,k ∈Z ，由f 5π8 =0，点5π8,0 及附近点从左到右是下降的，且上升、下降的两段图象相邻，得5π8ω+φ=π+2k π,k ∈Z ，联立解得ω=2，φ=-π4+2k π,k ∈Z ，而|φ|<π2，于是φ=-π4，f (x )=2sin 2x -π4，若将函数f (x )的图像向右平移θ(θ>0)个单位后，得到y =sin 2x -2θ-π4，则-2θ-π4=π2-k π,k ∈Z ，而θ>0，因此θ=-3π8+k π2,k ∈N ，所以当k =1时，θ取得最小值为π8.故选：A9(2024·四川雅安·三模)已知函数f x =sin ωx +3cos ωx (ω>0)，则下列说法中正确的个数是()①当ω=2时，函数y =f x -2log πx 有且只有一个零点；②当ω=2时，函数y =f x +φ 为奇函数，则正数φ的最小值为π3；③若函数y =f x 在0,π3 上单调递增，则ω的最小值为12；④若函数y =f x 在0,π 上恰有两个极值点，则ω的取值范围为136,256.A.1 B.2C.3D.4【答案】B【分析】利用辅助角公式化简函数，由图象分析判断①；由正弦函数的性质判断②③；由极大值的意义结合正弦函数的性质判断④.【详解】依题意，ω>0，函数f (x )=212sin ωx +32cos ωx =2sin ωx +π3，对于①：f (x )=2sin 2x +π3，令y =f x -2log πx =0，即f x =2log πx ，作出函数y =f (x )和函数y =2log πx 的图象，如图，观察图象知，两个函数在0,7π12 上只有一个零点，f 13π12 =2sin 5π2=2，当x =13π12时，y =2log π13π12=2log π1312+2log ππ=2+2log π1312>2，当x >13π12时，2log πx >2≥f (x )，因此函数y =f x 与函数y =2log πx 的图象有且只有一个交点，①正确；对于②：f (x +φ)=2sin 2x +2φ+π3 为奇函数，则2φ+π3=k π,k ∈Z ，φ=-π6+k π2,k ∈Z ，即正数φ的最小值为π3，②正确；对于③：当x ∈0,π3 时，ωx +π3∈π3,π(ω+1)3，由y =f x 在0,π3 上单调递增，得π(ω+1)3≤π2ω>0，解得0<ω≤12，正数ω有最大值12，③错误；对于④：当x ∈(0,π)时，ωx +π3∈π3,ωπ+π3，而y =f x 在(0,π)上恰有两个极值点，由正弦函数的性质得3π2<ωπ+π3≤5π2，解得76<ω≤136，因此ω的取值范围是76,136，④错误.综上，共2个正确，故选：B .10(2024·河北保定·二模)已知tan α=3cos αsin α+11，则cos2α=()A.-78B.78C.79D.-79【答案】B【分析】利用切化弦和同角三角函数的关系，解出sin α，再结合二倍角公式即可求解.【详解】因为sin αcos α=3cos αsin α+11，所以4sin 2α+11sin α-3=0，解得sin α=14或sin α=-3(舍去)，所以cos2α=1-2sin 2α=78．故选：B .11(2024·河北衡水·三模)已知sin (3α-β)=m sin (α-β)，tan (2α-β)=n tan α，则m ，n 的关系为()A.m =2nB.n =m +1mC.n =m m -1D.n =m +1m -1【答案】D【分析】利用和差角的正弦公式化简，结合已知列出方程即可求解.【详解】依题意，sin (3α-β)=sin [(2α-β)+α]=sin (2α-β)cos α+cos (2α-β)sin α，sin (α-β)=sin [(2α-β)-α]=sin (2α-β)cos α-cos (2α-β)sin α，则sin (2α-β)cos α+cos (2α-β)sin α=m sin (2α-β)cos α-m cos (2α-β)sin α，即sin (2α-β)cos αcos (2α-β)sin α=m +1m -1，即tan (2α-β)tan α=m +1m -1=n .故选：D12(2024·辽宁沈阳·三模)已知tan α2=2，则sin 2α2+sin α的值是()A.25B.45C.65D.85【答案】D【分析】利用二倍角公式和同角之间的转化，进行求解判断选项【详解】当tan α2=2，则sin 2α2+sin α=sin 2α2+2sin α2cos α2sin 2α2+cos 2α2=tan 2α2+2tan α2tan 2α2+1=22+2×222+1=85故选：D13(2024·贵州黔东南·二模)已知0<α<β<π，且sin α+β =2cos α+β ，sin αsin β-3cos αcos β=0，则tan α-β =()A.-1 B.-32C.-12D.12【答案】C【分析】找出tan α和tan β的关系，求出tan α和tan β即可求解.【详解】∵sin αsin β-3cos αcos β=0，∴sin αsin β=3cos αcos β，∴tan αtan β=3①，∵sin α+β =2cos α+β ，∴tan α+β =2⇒tan α+tan β1-tan αtan β=2⇒tan α+tan β1-3=2，∴tan α+tan β=-4②，由①②解得tan α=-1tan β=-3或tan α=-3tan β=-1 ，∵0<α<β<π，∴tan α<tan β，∴tan α=-3tan β=-1 ，∴tan α-β =tan α-tan β1+tan αtan β=-12.故选：C .二、多选题14(2024·河北张家口·三模)已知函数f (x )=23cos 2x +2sin x cos x ，则下列说法正确的是()A.函数f (x )的一个周期为2πB.函数f (x )的图象关于点π3,0 对称C.将函数f (x )的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数g (x )的图象，若函数g (x )为偶函数，则φ的最小值为5π12D.若f 12α-5π24 -3=12，其中α为锐角，则sin α-cos α的值为6-308【答案】ACD【分析】利用三角恒等变换公式化简，由周期公式可判断A ；代入验证可判断B ；根据平移变化求g (x )，由奇偶性可求出φ，可判断C ；根据已知化简可得sin α-π12 =14，将目标式化为2sin α-π12 -π6 ，由和差角公式求解可判断D .【详解】对于A ，因为f (x )=31+cos2x +sin2x =2sin 2x +π3+3，所以f (x )的最小值周期T =2π2=π，所以2π是函数f (x )的一个周期，A 正确；对于B ，因为f π3 =2sin 2×π3+π3 +3=3，所以，点π3,0 不是函数f (x )的对称中心，B 错误；对于C ，由题知，g x =f (x -φ)=2sin 2(x -φ)+π3 +3=2sin 2x +π3-2φ +3，若函数g (x )为偶函数，则π3-2φ=π2+k π,k ∈Z ，得φ=-π12-k π2,k ∈Z ，因为φ>0，所以φ的最小值为5π12，C 正确；对于D ，若f 12α-5π24-3=2sin 212α-5π24 +π3 =2sin α-π12 =12，则sin α-π12 =14，因为α为锐角，-π12<α-π12<5π12，所以cos α-π12 =154，所以sin α-cos α=2sin α-π4 =2sin α-π12 -π6=232sin α-π12 -12cos α-π12=232×14-12×154=6-308，D 正确.故选：ACD 15(2024·辽宁鞍山·模拟预测)已知函数f x =sin x ⋅cos x ，则()A.f x 是奇函数B.f x 的最小正周期为2πC.f x 的最小值为-12D.f x 在0,π2上单调递增【答案】AC【分析】首先化简函数f x =12sin2x ，再根据函数的性质判断各选项.【详解】f x =sin x ⋅cos x =12sin2x ，函数的定义域为R ，对A ，f -x =-12sin2x =-f x ，所以函数f x 是奇函数，故A 正确；对B ，函数f x 的最小正周期为2π2=π，故B 错误；对C ，函数f x 的最小值为-12，故C 正确；对D ，x ∈0,π2 ，2x ∈0,π ，函数f x 不单调，f x 在0,π4 上单调递增，在π4,π2上单调递减，故D 错误.故选：AC16(2024·安徽·三模)已知函数f x =sin x -3cos x ，则()A.f x 是偶函数B.f x 的最小正周期是πC.f x 的值域为-3,2D.f x 在-π,-π2上单调递增【答案】AC【分析】对于A ，直接用偶函数的定义即可验证；对于B ，直接说明f 0 ≠f π 即可否定；对于C ，先证明-3≤f x ≤2，再说明对-3≤u ≤2总有f x =u 有解即可验证；对于D ，直接说明f -5π6>f -2π3 即可否定.【详解】对于A ，由于f x 的定义域为R ，且f -x =sin -x -3cos -x =-sin x -3cos x =sin x -3cos x =f x ，故f x 是偶函数，A 正确；对于B ，由于f 0 =sin0 -3cos0=-3，f π =sinπ -3cosπ=3，故f 0 ≠f π ，这说明π不是f x 的周期，B 错误；对于C ，由于f x =sin x -3cos x ≤sin x +3cos x =sin x +3cos x 2≤sin x +3cos x 2+3sin x -cos x 2=sin 2x +3cos 2x +23sin x cos x +3sin 2x +cos 2x -23sin x cos x =4sin 2x +4cos 2x =4=2，且f x =sin x -3cos x ≥-3cos x ≥-3，故-3≤f x ≤2.而对-3≤u ≤2，有f 0 =-3≤u ，f 5π6 =2≥u ，故由零点存在定理知一定存在x ∈0,5π6使得f x =u .所以f x 的值域为-3,2 ，C 正确；对于D ，由于-π<-5π6<-2π3<-π2，f -5π6 =2>3=f -2π3 ，故f x 在-π,-π2上并不是单调递增的，D 错误.故选：AC .17(2024·山西太原·模拟预测)已知函数f x =sin 2x +φ 0<φ<π2 的图象关于直线x =π12对称，且h x =sin2x -f x ，则()A.φ=π12B.h x 的图象关于点π6,0中心对称C.f x 与h x 的图象关于直线x =π4对称 D.h x 在区间π6,5π12内单调递增【答案】BCD【分析】根据正弦函数的对称性求解φ判断A ，先求出h x =sin 2x -π3，然后利用正弦函数的对称性求解判断B ，根据对称函数的性质判断C ，结合正弦函数的单调性代入验证判断D .【详解】由题意得2×π12+φ=π2+k π，k ∈Z ，解得φ=π3+k π，k ∈Z ，又因为0<φ<π2，所以φ=π3，A 错误；由φ=π3可知f x =sin 2x +π3，则h x =sin2x -sin 2x +π3 =12sin2x -32cos2x =sin 2x -π3，令2x -π3=k π，k ∈Z ，解得x =π6+k π2，k ∈Z ，令k =0，得x =π6，所以点π6,0 是曲线y =h x 的对称中心，B 正确；因为f π2-x =sin 2π2-x +π3 =sin 4π3-2x =sin 2x -π3=h x ，所以f x 与h x 的图象关于直线x =π4对称，C 正确；当x ∈π6,5π12 时，2x -π3∈0,π2 ，故h x 在区间π6,5π12内单调递增，D 正确.故选：BCD 18(2024·浙江金华·三模)已知函数f x =sin2ωx cos φ+cos2ωx sin φω>0,0<φ<π2的部分图象如图所示，则()A.φ=π6B.ω=2C.f x +π6为偶函数 D.f x 在区间0,π2的最小值为-12【答案】ACD【分析】先由正弦展开式，五点法结合图象求出f x =sin 2x +π6，可得A 正确，B 错误；由诱导公式可得C 正确；整体代入由正弦函数的值域可得D 正确.【详解】由题意得f x =sin 2ω+φ ，由图象可得f 0 =12⇒sin φ=12，又0<φ<π2，所以φ=π6，由五点法可得ω×4π3+π6=3π2⇒ω=1，所以f x =sin 2x +π6 .A ：由以上解析可得φ=π6，故A 正确；B ：由以上解析可得ω=1，故B 错误；C ：f x +π6 =sin 2x +π6 +π6=cos2x ，故C 正确；D ：当x ∈0,π2 ⇒2x +π6∈π6,7π6 时，sin 2x +π6 ∈-12,1，所以最小值为-12，故D 正确；故选：ACD .19(2024·浙江温州·二模)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，P -3,4 为其终边上一点，若角β的终边与角2α的终边关于直线y =-x 对称，则()A.cos π+α =35B.β=2k π+π2+2αk ∈Z C.tan β=724D.角β的终边在第一象限【答案】ACD【分析】根据三角函数的定义，可求角α的三角函数，结合诱导公式判断A 的真假；利用二倍角公式，求出2α的三角函数值，结合三角函数的概念指出角2α的终边与单位圆的交点，由对称性确定角β终边与单位圆交点，从而判断BCD 的真假.【详解】因为角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P -3,4 ，所以：OP =5，所以sin α=45，cos α=-35，所以cos π+α =-cos α=35，故A 对；又sin2α=2sin α⋅cos α=2×45×-35 =-2425，cos2α=cos 2α-sin 2α=-35 2-45 2=-725，所以2α的终边与单位圆的交点坐标为：-725,-2425 ，因为角β的终边与角2α的终边关于直线y =-x 对称，所以角β的终边与单位圆的交点为2425,725，所以tan β=724，且β的终边在第一象限，故CD 正确；又因为终边在直线y =-x 的角为：k π-π4,k ∈Z ，角2α的终边与角β的终边关于y =-x 对称，所以2α+β2=k π-π4⇒β=2k π-π2-2αk ∈Z ，故B 错误.故选：ACD20(2024·广东佛山·二模)已知函数f x =sin x +cos2x 与g x =sin2x +cos x ，记h x =λf x +μg x ，其中λ，μ∈R 且λ2+μ2≠0．下列说法正确的是()A.h x 一定为周期函数B.若λ⋅μ>0，则h x 在0,π2上总有零点C.h x 可能为偶函数 D.h x 在区间0,2π 上的图象过3个定点【答案】ABD【分析】对于A ：计算h x +2π ，化简即可；对于B ：求出h x ，然后计算h 0 h π2的正负即可；对于C ：计算h x ,h -x 是否恒相等即可；对于D ：令f x =0g x =0，求解x 即可.【详解】对于A ，∀x ∈R ，h x +2π =λf x +2π +μg x +2π =λf x +μg x =h x ，A 正确；对于B ，h x =λcos x -2sin2x +μ2cos2x -sin x ，则h 0 =λ+2μ，h π2=-3μ，因为λμ>0，即λ，μ同号，所以h 0 h π2<0，由零点存在定理知h x 在0,π2上总有零点，故B 正确；对于C ，h x =λsin x +λcos2x +μsin2x +μcos x ，h -x =-λsin x +λcos2x -μsin2x +μcos x ，由h x =h -x 得2λsin x +2μsin2x =2λsin x +2μ⋅2sin x cos x =2sin x λ+2μcos x =0对x ∈R 恒成立，则λ=μ=0与题意不符，故C 错误；对于D ，令f x =0g x =0 ，则sin x +cos2x =1-2sin 2x +sin x =-sin x -1 2sin x +1 =0sin2x +cos x =cos x 2sin x +1 =0 ⇒sin x =1或sin x =-12cos x =0或sin x =-12，即x ∈-π6+2k π,π2+2k π,7π6+2k π ，k ∈Z ，故所有定点坐标为-π6+2k π,0 ，π2+2k π,0 ，7π6+2k π,0 ，k ∈Z ，又因为x ∈0,2π ，所以函数h x 的图象过定点π2,0 ，7π6,0 ，11π6,0 ，故D 正确；故选：ABD ．21(2024·湖南·二模)已知函数f x =12cos 2x -π3 ，把y =f x 的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y =g x 的图象，以下说法正确的是()A.x =π6是y =f x 图象的一条对称轴B.f x 的单调递减区间为k π+π6,k π+2π3k ∈Z C.y =g x 的图象关于原点对称D.f x +g x 的最大值为12【答案】ABD【分析】根据题意，求得g x =-12cos2x 的图象，结合三角函数的图象与性质，以及两角差的正弦公式，逐项判定，即可求解.【详解】将函数f x =12cos 2x -π3 的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y =g x =12cos 2x -π =-12cos2x 的图象，对于A 中，令x =π6，求得f x =12，即为函数y =f x 最大值，所以直线x =π6是函数f x 图象的一条对称轴，所以A 正确；对于B 中，令2k π≤2x -π3≤2k π+π,k ∈Z ，解得k π+π6≤x ≤k π+2π3,k ∈Z ，可得f x 的单调减区间为k π+π6,k π+2π3,k ∈Z ，所以B 正确.对于C 中，由于g x =-12cos2x 是偶函数，可得函数g x 的图象关于y 轴对称，所以C 错误.对于D 中，由f x +g x =12cos 2x -π3 +-12cos2x =1212cos2x +32sin2x -12cos2x =34sin2x -14cos2x =12sin 2x -π6 ≤12，即f x +g x 的最大值为12，所以D 正确.故选：ABD .22(2024·广东江门·一模)已知函数f (x )=sin 2ωx +π3 +sin 2ωx -π3+23cos 2ωx -3(ω>0)，则下列结论正确的是()A.若f x 相邻两条对称轴的距离为π2，则ω=2B.当ω=1，x ∈0,π2时，f x 的值域为-3,2 C.当ω=1时，f x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数解析式为y =2cos 2x +π6D.若f x 在区间0,π6上有且仅有两个零点，则5≤ω<8【答案】BCD【分析】根据三角恒等变换化简f x =2sin 2ωx +π3，进而根据周期可判断A ，根据整体法求解函数的值域判断B ，根据函数图象的平移可判断C ，根据零点个数确定不等式满足的条件可判断D .【详解】f (x )=sin 2ωx +π3 +sin 2ωx -π3+23cos 2ωx -3=sin2ωx cos π3+cos2ωx sin π3+sin2ωx cos π3-cos2ωx sin π3+3cos2ωx=sin2ωx +3cos2ωx =2sin 2ωx +π3，对于A ，若f x 相邻两条对称轴的距离为π2，则T =2×π2=π=2π2ω,故ω=1，A 错误，对于B ，当ω=1，f x =2sin 2x +π3 ，当x ∈0,π2 时，2x +π3∈π3,4π3，则f x 的值域为-3,2 ，B 正确，对于C ，当ω=1，f x =2sin 2x +π3，f x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数解析式为f x +π6 =2sin 2x +π6 +π3 =2sin 2x +2π3 =2cos 2x +π6，C 正确，对于D ，当x ∈0,π6 时，2ωx +π3∈π3,2ωπ6+π3，若f x 在区间0,π6 上有且仅有两个零点，则2π≤2ωπ6+π3<3π，解得5≤ω<8，故D 正确，故选：BCD 三、填空题23(2024·北京·三模)已知函数f (x )=sin x cos ωx ,x ∈R ．①若ω=1，则f (x )的最小正周期是；，②若ω=2，则f (x )的值域是．【答案】π[-1,1]【分析】把ω=1代入，t 明智二倍角的正弦，结合正弦函数的周期求出f (x )的最小正周期；把ω=2代入，利用二倍角的余弦公式，借助换元法，利用导数求出f (x )的值域.【详解】当ω=1时，f (x )=sin x cos x =12sin2x ，函数f (x )的最小正周期为2π2=π；当ω=2时，f (x )=sin x cos2x =sin x (1-2sin 2x )，令sin x =t ∈[-1,1]，g (t )=t (1-2t 2)=-2t 3+t ，求导得g (t )=-6t 2+1，当-1≤t <-66或66<t ≤1时，g (t )<0，当-66<t <66时，g (t )>0，函数g (t )在-1,-66 ，66,1 上单调递减，在-66,66上单调递增，g (-1)=1,g 66 =69，g (1)=-1,g -66 =-69，所以g (t )min =-1,g (t )max =1，f (x )的值域是[-1,1].故答案为：π；[-1,1]24(2024·北京·模拟预测)已知函数f (x )=sin ωx -2cos ωx (ω>0)，且f α+x =f α-x .若两个不等的实数x 1,x 2满足f x 1 f x 2 =5且x 1-x 2 min =π，则sin4α=.【答案】-45/-0.8【分析】利用辅助角公式化简f (x )的解析式，再由题意可得函数关于x =α对称，且最小正周期T =π，即可求出ω的值，从而得到2α=φ+π2+k π,k ∈Z ，再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系计算可得．【详解】因为f (x )=sin ωx -2cos ωx =5sin ωx -φ ，其中tan φ=2，由f α+x =f α-x ，可得f x 关于x =α对称，又两个不等的实数x 1,x 2满足f x 1 f x 2 =5且x 1-x 2 min =π，所以f x 的最小正周期T =π，又ω>0，所以2πω=π，解得ω=2，所以f x =5sin 2x -φ ，所以2α-φ=π2+k π,k ∈Z ，则2α=φ+π2+k π,k ∈Z ，所以sin4α=sin2φ+π2+k π =sin 2φ+π+2k π =-sin2φ=-2sin φcos φsin 2φ+cos 2φ=-2tan φtan 2φ+1=-2×222+1=-45.故答案为：-4525(2024·湖北荆州·三模)设0<α<β<π2，tan α=m tan β，cos α-β =35，若满足条件的α与β存在且唯一，则m =，tan αtan β=.【答案】191【分析】由tan α=m tan β得到sin αcos β=m cos αsin β，再结合cos α-β =35，利用sin α-β =-45，得到cos αsin β=-45m -1 ，sin αcos β=-4m5m -1 ，从而sin α+β =-4m +1 5m -1，再由满足条件的α与β存在且唯一，得到α+β唯一，从而sin α+β =-4m +15m -1=1，求得m 即可.【详解】解：由tan α=m tan β，得sin αcos α=m sin βcos β，即sin αcos β=m cos αsin β，因为0<α<β<π2，tan α=m tan β，所以-π2<α-β<0，0<m <1，又cos α-β =35，所以sin α-β <0，从而sin α-β =sin αcos β-cos αsin β=m -1 cos αsin β=-45，所以cos αsin β=-45m -1，所以sin αcos β=m cos αsin β=-4m5m -1，所以sin α+β =sin αcos β+cos αsin β=-4m +15m -1，因为α,β∈0,π2，所以α+β∈0,π ，因为满足条件的α与β存在且唯一，所以α+β唯一，所以sin α+β =-4m +1 5m -1=1，所以m =19，经检验符合题意，所以tan α=19tan β，则tan α-β =-43=tan α-tan β1+tan αtan β=tan α-9tan α1+9tan 2α，解得tan α=13，所以tan αtan β=9tan 2α=1.故答案为：19，1【点睛】关键点点睛：关键是结合已知得出sin α+β =-4m +15m -1 =1，求出m ，由此即可顺利得解.。

2010~2018高考三角函数汇编1、考纲要求：三角函数的概念B同角的三角函数的基本关系式B正弦函数、余弦函数的诱导公式B三角函数图像与性质B函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质A 两角和与差的正弦、余弦及正切C二倍角的正弦、余弦及正切B正弦定理、余弦定理及应用B2、高考解读：高考中，对三角计算题的考查始终围绕着求角、求值问题，以和、差角公式的运用为主，可见三角式的恒等变换比三角函数的图象与性质更为重要.三角变换的基本解题规律是：寻找联系、消除差异.常有角变换、函数名称变换、次数变换等简称为：变角、变名、变次.备考中要注意积累各种变换的方法与技巧，不断提高分析与解决问题的能力.三角考题的花样翻新在于条件变化，大致有三类：第一类是给出三角式值见2014年三角解答题，第二类是给出在三角形中见2011年、2015年、2016年三角解答题，第三类是给出向量见2013年、2017年三角解答题.而2012年三角解答题则是二、三类的混合.通常一大一小也会出现两小一大情况，还有可能出现应用题，主要考察三角公式、三角函数的图像与性质、解三角形知识，一般都是容易题或中档题。

一、三角公式★7．（5分）（2011•江苏）已知，则的值为．★★11．（5分）（2012•江苏）设α为锐角，若cos（α+）=，则sin（2α+）的值为．（2015•江苏）已知tanα=﹣2，tan（α+β）=，则tanβ的值为．★8．（5分）★5．（5分）（2017•江苏）若tan（α﹣）=．则tanα=．★★★15．（14分）（2013•江苏）已知=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），0＜β＜α＜π．（1）若|﹣|=，求证：⊥；（2）设=（0，1），若+=，求α，β的值．★★★15．（14分）（2014•江苏）已知α∈（，π），sinα=．（1）求sin（+α）的值；（2）求cos（﹣2α）的值．★★★16．（14分）（2018•江苏）已知α，β为锐角，tanα=，cos（α+β）=﹣．（1）求cos2α的值；（2）求tan（α﹣β）的值．二、三角函数图像与性质★★★10．（5分）（2010•江苏）定义在区间上的函数y=6cosx的图象与y=5tanx的图象的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与y=sinx 的图象交于点P2，则线段P1P2的长为．★★9．（5分）（2011•江苏）函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（0）=．★1．（5分）（2013•江苏）函数y=3sin（2x+）的最小正周期为．★5．（5分）（2014•江苏）已知函数y=cosx与y=sin（2x+φ）（0≤φ＜π），它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ的值是．★★★9．（5分）（2016•江苏）定义在区间[0，3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是．★★7．（5分）（2018•江苏）已知函数y=sin（2x+φ）（﹣φ＜）的图象关于直线x=对称，则φ的值为．★★★16．（14分）（2017•江苏）已知向量=（cosx，sinx），=（3，﹣），x∈[0，π]．（1）若，求x的值；（2）记f（x）=，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．三、解三角形★★★13．（5分）（2010•江苏）在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若+=6cosC，则+的值是．★★★★14．（5分）（2014•江苏）若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC，则cosC的最小值是．★★★★14．（5分）（2016•江苏）在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是．★★★13．（5分）（2018•江苏）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为．★★★15．（14分）（2011•江苏）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．（1）若sin（A+）=2cosA，求A的值．（2）若cosA=，b=3c，求sinC的值．★★★15．（14分）（2012•江苏）在△ABC中，已知．（1）求证：tanB=3tanA；（2）若cosC=，求A的值．★★★15．（14分）（2015•江苏）在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．（1）求BC的长；（2）求sin2C的值．★★★15．（14分）（2016•江苏）在△ABC中，AC=6，cosB=，C=．（1）求AB的长；（2）求cos（A﹣）的值．★★★17．（14分）（2010•江苏）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H（单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β．（1）该小组已经测得一组α、β的值，tanα=1.24，tanβ=1.20，请据此算出H 的值；（2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使α与β之差较大，可以提高测量精确度．若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，α﹣β最大？★★★18．（16分）（2013•江苏）如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C 处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min．在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA=，cosC=（1）求索道AB的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？★★★17．（14分）（2018•江苏）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧（P为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP，要求A，B均在线段MN上，C，D均在圆弧上．设OC与MN所成的角为θ．（1）用θ分别表示矩形ABCD和△CDP的面积，并确定sinθ的取值范围；（2）若大棚I内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4：3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．。

专题二 三角函数、解三角形、平面向量第1讲 三角函数高考考试说明：三角函数的概念（B 级）；同角三角函数的基本关系式（B 级）；正弦函数、余弦函数的诱导公式（B 级）；函数y ＝A sin （ωx ＋φ）的图像与性质（A 级）；正弦、余弦、正切的图像与性质（B 级），两角和（差）的正弦、余弦及正切（C 级）；二倍角的正弦、余弦及正切（B 级）. 一、填空题：1.（2008.江苏.1）若函数y ＝cos （ωx －π6）（ω＞0）最小正周期为π5，则ω＝ .2.（2009.江苏.4）函数y ＝ y ＝A sin （ωx ＋φ）（A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0）在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝ .3.（2010.江苏.10）定义在区间（0，π2）上的函数y ＝6cos x 的图像与y ＝5tan x 的图像的交点为P ，过点P作PP 1⊥x 轴于点P 1，直线PP 1与y ＝sin x 的图像交于点P 2，则线段P 1P 2的长为 .4.（2011.江苏.7）已知tan （x ＋π4）＝2，则tan xtan 2x 的值为 .5.（2011.江苏.9）函数f （x ）＝A sin （ωx ＋φ）（A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f （0）的值为 .6.（2012.江苏.11）设α为锐角，若cos （α＋π6）＝45，则sin （2α＋π12）的值为 .7.（2013.江苏.1）函数y ＝3sin （2x ＋π4）的最小正周期为 .8.（2014江苏5）已知函数y ＝cos x 与y ＝sin （2x ＋φ）（0≤φ＜π），它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是 .9.（2015.江苏.8）已知tan α＝－2，tan （α＋β）＝17，则tan β的值为_______.10.（2015.江苏.14）设向量a k ＝（cos k π6，sin k π6＋cos k π6）（k ＝0，1，2，...，12），则11k =∑（a k →˙a k ＋１→）的值为 .11.（2016.江苏.9）定义在区间 [0，3π] 上的函数y ＝sin 2x 的图象与y ＝cos x 的图象的交点个数是______.12.（2017.江苏.5）若tan （α－π4）＝16，则 tan α＝ .13.（2018.江苏.7）已知函数f （x ）＝sin （2x ＋φ）（－π2＜φ＜π2）的图象关于直线x ＝π3对称，则φ的值是 .二、解答题：1.（2008.江苏.15）如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别交单位圆于A ，B 两点.已知A ，B 两点的横坐标分别是210，255. （1）求tan （α＋β）的值； （2）求α＋2β的值.2.（2010.江苏.17）某兴趣小组测量电视塔AE 的高度H （单位：m ），如示意图，垂直放置的标杆BC 高度h ＝4m ，仰角∠ABE ＝α，∠ADE ＝β.（1）该小组已经测得一组α，β的值，tan α＝1.24，tan β＝1.20，请据此算出H 的值；（2）该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d （单位：m ），使α与β之差较大，可以提高测量精确度，若电视塔实际高度为125m ，问d 为多少时，α－β最大.3.（2014.江苏.15）已知α∈（π2，π），sin α＝55.（1）求sin （π4＋α）的值；（2）求cos （5π6－2α）的值.4.（2017.江苏.16）已知向量a ＝（cos x ，sin x ），b ＝（3，－3），x ∈[0，π] . （1）若a ∥b ，求x 的值；（2）记f （x ）＝a ∙b ，求f （x ）的最大值和最小值以及对应的x 的值.5.（2018.江苏.16）已知α，β为锐角，tan α＝43，cos （α＋β）＝－55.（1）求cos2α的值； （2）求tan （α－β）的值.6.（2018.江苏.17）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧MPN（P为此圆弧的中点）和线段MN构成.已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米.先规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ 内的地块形状为△CDP，要求A，B均在线段MN上，C，D均在圆弧上.设OC与MN所成的角为θ.（1）用θ分别表示矩形ABCD和△CDP的面积，并确定sinθ的取值范围；（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4：3.求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.第2讲 解三角形高考考试说明：正弦定理、余弦定理及其应用（B 级） 一、填空题：1.（2008.江苏.13）满足条件AB ＝2，AC ＝2BC 的三角形ABC 的面积的最大值是 .2.（2010.江苏.13）在锐角三角形ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，b a ＋a b ＝6cos C ，则 tan C tan A ＋tan Ctan B ＝ .3.（2014.江苏.14）若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是 .4.（2016.江苏.14）在锐角三角形ABC 中，若sin A ＝2sin B sin C ，则tan A tan B tan C 的最小值是________.5.（江苏.2018.13）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 与点D ，且BD ＝1，则4a ＋c 的最小值为 .二、解答题：1.（2011.江苏.15）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . （1）若sin （A ＋π6）＝2cos A ，求A 的值；（2）若cos A ＝13，b ＝3c ，求sin C 的值.2.（2012.江苏.15）在△ABC 中，已知AB →·AC →＝3BA →·BC →. （1）求证：tan B ＝3tan A ； （2）若cos C ＝55，求A 的值.3.（2013.江苏.18）如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径.一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50m /min .在甲出发2min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1min 后，再以匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为130m /min ，山路AC 长为1260m ，经测量，cos A ＝1213，cos C ＝35. （1）求索道AB 的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？4.（2015.江苏.15）在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝3，A ＝60°. （1）求BC 的长； （2）求sin2C 的值.5.（2016.江苏.15）在△ABC 中，AC ＝6，cos B ＝45，C ＝π4.（1）求AB 的长；（2）cos （A －π6）的值.第3讲 平面向量高考考试说明：平面向量的概念（B 级），平面向量的加法、减法及数乘运算（B 级），平面向量的坐标表示（B 级），平面向量的概平行与垂直（B 级），平面向量的数量积（C 级），平面向量的应用（A 级） 一、填空题：1.（2008.江苏.5）已知向量a 和b 的夹角为120°，|a |＝1，|b |＝3，则 |5a －b |＝ .2.（2009.江苏.2）已知向量a 和向量b 的夹角为30°，|a |＝2，|b |＝3，则向量a 和向量b 的数量积a·b ＝ .3.（2011.江苏.10）已知e 1，e 2是夹角为2π3的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2，若a·b ＝0，则实数k 的值为 .4.（2012.江苏.9）如图，在矩形ABCD 中，AB，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB →·AF →＝2，则 AE →·BF → 的值是 .第4题5.（2013.江苏.10）设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ，若DE →＝λ1AB →＋λ2AC→（λ1，λ2为实数），则λ1＋λ2的值为 .6.（2014.江苏.12）如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是 .7.（2015.江苏.6）已知向量a ＝（2，1），b ＝（1，－2），若m a ＋n b ＝（9，－8）（m ，n R ），m －n 的的值为______.P（第6题）8.（2015.江苏.14.）（见第1讲第10题）设向量a k ＝（cos k π6，sin k π6＋cos k π6）（k ＝0，1，2，...，12），则11k =∑（a k →˙a k ＋１→）的值为 .9.（2016.江苏.13）如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BA →·CA →＝4，BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →的值是________.第9题 第10题10.（2017.江苏. 12）如图，在同一个平面内，向量OA →，OB →，OC →的模分别为1，1，2，OA →与OC →的夹角为α，且tan α＝7，OB →与OC →的夹角为45°.若OC →＝mOA →＋nOB →（m ，n ∈R ），则m ＋n ＝ .11.（2017.江苏.13）在平面直角坐标系xOy 中，A （－12，0），B （0，6），点P 在圆O ：x 2＋y 2＝50上，若P A →·PB →≤20，则点P 的横坐标的取值范围是 .12.（江苏.2018.12）在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，B （5，0），以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若AB →·CD →＝0，则点A 的横坐标为 . 二、解答题：1.（2009.江苏.15）设向量a ＝（4cos α，sin α），b ＝（sin β，4cos β），c ＝（cos β，4sin β-）. （1）若a 与b －2c 垂直，求tan()αβ+的值； （2）求 |b ＋c | 的最大值；（3）若tan tan 16αβ=，求证：a ∥b .2.（2010.江苏.15）在平面直角坐标系xOy 中，点A （－1，－2），B （2，3），C （－2，－1）.（1）求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长；（2）设实数t 满足（AB →－t OC →）·OC →＝0，求t 的值.3.（2012.江苏.15）在△ABC 中，已知AB →·AC →＝3BA →·BC →.（1）求证：tan B ＝3tan A ；（2）若cos C ＝55，求A 的值.A4.（2013.江苏.15）已知向量a＝（cos α，sin α），b＝（cos β，sin β），0＜β＜α＜π.（1）若| a－b | ＝2，求证：a⊥b；（2）设c＝（0，1），若a＋b＝c，求α，β的值.5.（2017.江苏.16）已知向量a＝（cos x，sin x），b＝（3，－3），x∈[0，π].（1）若a∥b，求x的值；（2）记f（x）＝a∙b，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值.。

江苏省泰州市高考数学真题分类汇编专题 15：三角函数（综合题）姓名:________班级:________成绩:________一、 三角函数 (共 7 题；共 50 分)1. （10 分） (2019 高二上·蛟河期中) 在△ ．中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且（1） 求角 的大小；（2） 若，△的面积是，求三角形边 ， 的长．由，得，∴，2. （5 分） (2017 高二下·正定期末) 在，，.中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若（1） 求 的值；（2） 求的面积.3. （5 分） (2016 高一下·河源期中) 已知函数 f（x）=2sinxcosx﹣2cos2x．（Ⅰ）求 f（ ） ； （Ⅱ）求 f（x）的最大值和单调递增区间．4. （5 分） (2017 高一下·庐江期末) △ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知△ABC 的面积为．（1） 求 sinBsinC；（2） 若 6cosBcosC=1，a=3，求△ABC 的周长．5. （10 分） (2019 高三上·平遥月考) 已知向量（1） 若，求角 的大小；（2） 若，求的值.第1页共5页，其中.6. （5 分） 已知 α，β∈（ ， π），sin（α+β）=﹣ ， sin（β﹣ ）= ．（1）求 cos（β+ ）的值；（2）求 cos（α+ ）的值； （3）求 cos（α﹣β）的值． 7. （10 分） (2018 高一下·桂林期中) 已知，求（1） （2）第2页共5页一、 三角函数 (共 7 题；共 50 分)参考答案1-1、1-2、2-1、 2-2、3-1、第3页共5页4-1、4-2、5-1、5-2、第4页共5页6-1、 7-1、 7-2、第5页共5页。

江苏省12市2015届高三上学期期末考试数学试题分类汇编三角函数一、填空题1、（常州市2015届高三）函数()cos sin 222x x x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的最小正周期为 ▲ 2、（连云港、徐州、淮安、宿迁四市2015届高三）将函数π2sin()(0)4y x ωω=->的图象分别向左、向右各平移π4个单位长度后，所得的两个图象对称轴重合，则ω的最小值为 ▲3、（南京市、盐城市2015届高三）若函数()sin()(0)6f x x πωω=+>图象的两条相邻的对称轴之间的距离为2π，且该函数图象关于点0(,0)x 成中心对称，0[0,]2x π∈，则0x =▲ .4、（南通市2015届高三）已知函数()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.若()(0)2y f x πϕϕ=-<<是偶函数，则ϕ=5、（苏州市2015届高三上期末）已知函数()sin()5f x kx π=+的最小正周期是3π，则正数k的值为6、（泰州市2015届高三上期末）函数()sin(3)6f x x π=+ 的最小正周期为 ▲ 7、（无锡市2015届高三上期末）已知角a 的终边经过点(),6P x -,且3tan 5a =-,则x 的值为8、（扬州市2015届高三上期末）已知4(0,),cos 5απα∈=-，则tan()4πα+＝＿＿＿＿9、（泰州市2015届高三上期末）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若B C ∠=∠且2227a b c ++=，则ABC ∆面积的最大值为 ▲10、（无锡市2015届高三上期末）将函数()cos sin y x x x =+?¡的图像向左平移个()0m m >单位长度后，所得的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是二、解答题1、（常州市2015届高三）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c．已知b c =，3A C p +=．（1）求cos C 的值；（2）求sin B 的值；（3）若b =，求△ABC 的面积．2、（南京市、盐城市2015届高三）在平面直角坐标系xOy 中，设锐角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点11(,)P x y ，将射线OP 绕坐标原点Oπ后与单位圆交于点22(,)Q x y . 记12()f y y α=+.（1）求函数()f α的值域；（2）设ABC ∆的角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ， 若()f C =a =1c =，求b .3、（南通市2015届高三）在∆ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,.a b c 已知cos cos 2cos .b C c B a A +=()1求角A 的大小； ()2若AB AC ⋅=u u u r u u u r，求∆ABC 的面积.4、（泰州市2015届高三上期末）在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边经过点(3,4)P ．第15题图（１）求sin() 4πα+的值；（２）若P关于x轴的对称点为Q，求OP OQ⋅u u u r u u u r的值．5、（扬州市2015届高三上期末）已知函数()sin()(0,0,0)2f x A x Aπωϕωϕ=+>><<部分图象如图所示。

江苏历届高考试题分类汇编（三角函数2）（2014江苏高考第5题）5. 已知函数x y cos =与)2sin(ϕ+=x y (0≤πϕ<),它们的图象有一个横坐标为3π的交点,则ϕ的值是.（2014江苏高考第14题）14. 若△ABC 的内角满足C B A sin 2sin 2sin =+,则C cos 的最小值是.（2014江苏高考第15题） 15.(本小题满分14分)已知),2(ππα∈,55sin =α.(1)求)4sin(απ+的值；(2)求)265cos(απ-的值.（2015江苏高考第14题）14.设向量)12,,2,1,0)(6cos 6sin ,6(cos =+=k k k k a k πππ，则1110()k k k a a +=⋅∑ 的值为（2015江苏高考第15题）15.（本小题满分14分）在ABC ∆中，已知 60,3,2===A AC AB . （1）求BC 的长； （2）求C 2sin 的值.（2016江苏高考第9题）9、 定义在区间[0,3]π上的函数sin 2y x =的图像与cos y x =的图像的交点个数是__▲__（2016江苏高考第13题） 13、在锐角三角形ABC 中，若sin 2sinBsinC,A =则tan tan tan A B C 的最小值是__▲____（2016江苏高考第15题） 15、（本小题满分14分） 在ABC ∆中，6AC =，4cos 5B =，4C π= （1） 求AB 的长；（2） 求cos()6A π-的值（2017江苏高考第12题）12.如图,在同一个平面内，向量OA ,OB ,OC 的模分别为OA 与OC的夹角为α,且tanα=7,OB 与OC 的夹角为45°.若OC mOA nOB =+(,)m n ∈R ,则m n +=.（2017江苏高考第16题） 16.（本小题满分14分）已知向量(cos ,sin ),(3,[0,π].x x x ==∈a b （1）若a ⊥b ,求x 的值；（2）记()f x =⋅a b ,求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值.(第12题)【答案】（2014江苏高考第5题）5. 已知函数x y cos =与)2sin(ϕ+=x y (0≤πϕ<),它们的图象有一个横坐标为3π的交点,则ϕ的值是▲.（2014江苏高考第14题）14. 若△ABC 的内角满足C B A sin 2sin 2sin =+,则C cos 的最小值是▲.（2014江苏高考第15题） 15.(本小题满分14分)已知),2(ππα∈,55sin =α.(1)求)4sin(απ+的值；(2)求)265cos(απ-的值.（2015江苏高考第14题）14.设向量)12,,2,1,0)(6cos 6sin ,6(cos =+=k k k k a k πππ，则1110()k k k a a +=⋅∑ 的值为【答案】【解析】试题分析：20111(1)(1)(1)(cos ,sin cos )(cos ,sin cos )666666k k k k k k k k a a ππππππ++++⋅=+⋅+2(1)21(21)cossincos cos sin cos 6666626k k k k k ππππππππ++++=++=++因此111012k k k a a +=⋅==∑ 考点：向量数量积，三角函数性质（2015江苏高考第15题） 15.（本小题满分14分）在ABC ∆中，已知 60,3,2===A AC AB . （1）求BC 的长； （2）求C 2sin 的值.【答案】（12【解析】（2016江苏高考第9题） 10、定义在区间[0,3]π上的函数sin 2y x =的图像与cos y x =的图像的交点个数是__▲__（2016江苏高考第13题） 14、在锐角三角形ABC 中，若sin 2sinBsinC,A 则tan tan tan A B C 的最小值是__▲____（2016江苏高考第15题） 15、（本小题满分14分）在ABC ∆中，6AC =，4cos 5B =，4C π= （3） 求AB 的长； （4） 求cos()6A π-的值（2017江苏高考第12题）12.如图,在同一个平面内，向量OA ,OB ,OC 的模分别为OA 与OC的夹角为α,且tanα=7,OB 与OC 的夹角为45°.若OC mOA nOB =+(,)m n ∈R ,则m n +=.【答案】3(第12题)（2017江苏高考第16题）16.（本小题满分14分）已知向量(cos,sin),(3,[0,π].a b==∈x x x（1）若a⊥b,求x的值；（2）记()f x=⋅a b,求()f x的最大值和最小值以及对应的x的值.。

历年(2020-2024)全国高考数学真题分类(解三角形大题)汇编考点01 求面积的值及范围或最值1．（2024∙北京∙高考真题）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，A ∠为钝角，7a =，sin 2cos B B =．(1)求A ∠；(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得ABC 存在，求ABC 的面积．条件①：7b =；条件②：13cos 14B =；条件③：sin c A =注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．2．（2023∙全国甲卷∙高考真题）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2222cos b c aA+-=．(1)求bc ； (2)若cos cos 1cos cos a B b A ba Bb A c--=+，求ABC 面积．3．（2023∙全国乙卷∙高考真题）在ABC 中，已知120BAC ∠=︒，2AB =，1AC =. (1)求sin ABC ∠；(2)若D 为BC 上一点，且90BAD ∠=︒，求ADC △的面积.4．（2022∙浙江∙高考真题）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知34,cos 5a C ==． (1)求sin A 的值；(2)若11b =，求ABC 的面积．考点02 求边长、周长的值及范围或最值1．（2024∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 2A A =． (1)求A ．(2)若2a =sin sin 2C c B =，求ABC 的周长．2．（2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）记ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin C B =，222a b c +-=(1)求B ；(2)若ABC 的面积为3c ．3．（2023∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知ABCD 为BC 中点，且1AD =．(1)若π3ADC ∠=，求tan B ； (2)若228b c +=，求,b c ．4．（2022∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为123,,S S S ，已知123123S S S B -+==． (1)求ABC 的面积；(2)若sin sin 3A C =，求b ． 5．（2022∙全国乙卷∙高考真题）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin()sin sin()C A B B C A -=-．(1)证明：2222a b c =+； (2)若255,cos 31a A ==，求ABC 的周长．6．（2022∙北京∙高考真题）在ABC 中，sin 2C C =． (1)求C ∠；(2)若6b =，且ABC 的面积为ABC 的周长．7．（2022∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos2A BA B=++．(1)若23C π=，求B ； (2)求222a b c +的最小值．8．（2020∙全国∙高考真题）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B =150°.（1）若a，b ，求ABC 的面积；（2）若sin AC C . 9．（2020∙全国∙高考真题）ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin ．C（1）求A ；（2）若BC =3，求ABC 周长的最大值.考点03 求角和三角函数的值及范围或最值1．（2024∙天津∙高考真题）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知92cos 5163a Bbc ===，，． (1)求a ； (2)求sin A ；(3)求()cos 2B A -的值．2．（2023∙天津∙高考真题）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ．已知2,120a b A ==∠= ． (1)求sin B 的值； (2)求c 的值； (3)求()sin B C -的值．3．（2022∙天津∙高考真题）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c.已知12,cos 4a b c A ===-.(1)求c 的值； (2)求sin B 的值； (3)求sin(2)A B -的值.4．（2021∙天津∙高考真题）在ABC ，角 ,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin :sin :sin 2A B C =b =． （I ）求a 的值； （II ）求cos C 的值；（III ）求sin 26C π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．5．（2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）记ABC 是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C ∠=. （1）证明：BD b =；（2）若2AD DC =，求cos ABC ∠.6．（2020∙天津∙高考真题）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知 5,a b c === （Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）求sin A 的值；（Ⅲ）求sin 24A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．7．（2020∙浙江∙高考真题）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin 0b A =． （I ）求角B 的大小；（II ）求cos A +cos B +cos C 的取值范围．8．（2020∙江苏∙高考真题）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,45a c B ==︒．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值．考点04 求三角形的高、中线、角平分线及其他线段长1．（2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知在ABC 中，()3,2sin sin A B C A C B +=-=． (1)求sin A ；(2)设5AB =，求AB 边上的高．考点05 三角形中的证明问题1．（2022∙全国乙卷∙高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ﹐已知()()sin sin sin sin C A B B C A -=-．(1)若2A B =，求C ； (2)证明：2222a b c =+2．（2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）记ABC 是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C ∠=. （1）证明：BD b =；（2）若2AD DC =，求cos ABC ∠.参考答案考点01 求面积的值及范围或最值1．（2024∙北京∙高考真题）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，A ∠为钝角，7a =，sin 2cos B B =．(1)求A ∠；(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得ABC 存在，求ABC 的面积． 条件①：7b =；条件②：13cos 14B =；条件③：sin c A =注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)2π3A =； (2)选择①无解；选择②和③△ABC【详细分析】（1）利用正弦定理即可求出答案； （2）选择①，利用正弦定理得3B π=，结合（1）问答案即可排除；选择②，首先求出sin 14B =，再代入式子得3b =，再利用两角和的正弦公式即可求出sin C ，最后利用三角形面积公式即可；选择③，首先得到5c =，再利用正弦定理得到sin 14C =，再利用两角和的正弦公式即可求出sin B ，最后利用三角形面积公式即可；【答案详解】（1）由题意得2sin cos cos B B B =，因为A 为钝角， 则cos 0B ≠，则2sin 7B b =，则7sin sin sin b a BA A ===，解得sin 2A =， 因为A 为钝角，则2π3A =. （2）选择①7b =，则sin 7B ===2π3A =，则B 为锐角，则3B π=， 此时πA B +=，不合题意，舍弃；选择②13cos 14B =，因为B为三角形内角，则sin 14B ==，则代入2sin 7B =得2147⨯=，解得3b =，()2π2π2πsin sin sin sin cos cos sin 333C A B B B B ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭131********⎛⎫=+-⨯= ⎪⎝⎭,则11sin 7322ABC S ab C ==⨯⨯=选择③sin c A =2c ⨯=5c =，则由正弦定理得sin sin a c A C =5sin C ，解得sin C =，因为C 为三角形内角，则11cos 14C ==， 则()2π2π2πsin sin sin sin cos cos sin 333B A C C C C ⎛⎫=+=+=+⎪⎝⎭11121421414⎛⎫=+-⨯= ⎪⎝⎭，则11sin 7522144ABC S ac B ==⨯⨯⨯=△ 2．（2023∙全国甲卷∙高考真题）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2222cos b c a A+-=．(1)求bc ； (2)若cos cos 1cos cos a B b A ba Bb A c--=+，求ABC 面积．【答案】(1)1(2)4【详细分析】（1）根据余弦定理即可解出；（2）由（1）可知，只需求出sin A 即可得到三角形面积，对等式恒等变换，即可解出．【答案详解】（1）因为2222cos a b c bc A =+-，所以2222cos 22cos cos b c a bc Abc A A+-===，解得：1bc =．（2）由正弦定理可得cos cos sin cos sin cos sin cos cos sin cos sin cos sin a B b A b A B B A Ba Bb Ac A B B A C---=-++()()()()()sin sin sin sin 1sin sin sin A B A B B BA B A B A B ---=-==+++，变形可得：()()sin sin sin A B A B B --+=，即2cos sin sin A B B -=，而0sin 1B <≤，所以1cos 2A =-，又0πA <<，所以sin 2A =，故ABC的面积为11sin 122ABC S bc A ==⨯△．3．（2023∙全国乙卷∙高考真题）在ABC 中，已知120BAC ∠=︒，2AB =，1AC =. (1)求sin ABC ∠；(2)若D 为BC 上一点，且90BAD ∠=︒，求ADC △的面积. 【答案】(1)14；【详细分析】(1)首先由余弦定理求得边长BC的值为BCcos 14B =，最后由同角三角函数基本关系可得sin 14B =； (2)由题意可得4ABDACD S S =△△，则15ACD ABC S S =△△，据此即可求得ADC △的面积. 【答案详解】（1）由余弦定理可得：22222cos BC a b c bc A ==+-41221cos1207=+-⨯⨯⨯= ，则BC =222cos 214a c b B ac +-===，sin ABC ∠==（2）由三角形面积公式可得1sin 90241sin 302ABD ACDAB AD S S AC AD ⨯⨯⨯==⨯⨯⨯ △△，则11121sin12055210ACD ABC S S ⎛⎫==⨯⨯⨯⨯=⎪⎝⎭△△. 4．（2022∙浙江∙高考真题）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c．已知34,cos 5a C ==． (1)求sin A 的值；(2)若11b =，求ABC 的面积． 【答案】；(2)22．【详细分析】（1）先由平方关系求出sin C ，再根据正弦定理即可解出；（2）根据余弦定理的推论222cos 2a b c C ab +-=以及4a =可解出a ，即可由三角形面积公式in 12s S ab C =求出面积．【答案详解】（1）由于3cos 5C =， 0πC <<，则4sin 5C =．因为4a =，由正弦定理知4sin A C =，则sin 45A C ==． （2）因为4a ，由余弦定理，得2222221612111355cos 22225a a aa b c C ab a a +--+-====， 即26550a a +-=，解得5a =，而4sin 5C =，11b =， 所以ABC 的面积114sin 51122225S ab C ==⨯⨯⨯=．5．（2019∙全国∙高考真题）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围． 【答案】(1) 3B π=;(2). 【详细分析】(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于B 的三角方程，最后根据A,B,C 均为三角形内角解得3B π=.(2)根据三角形面积公式1sin 2ABC S ac B =⋅ ，又根据正弦定理和1c =得到ABC S 关于C 的函数，由于ABC 是锐角三角形，所以利用三个内角都小于2π来计算C 的定义域，最后求解()ABC S C 的值域.【答案详解】(1)[方法一]【最优解：利用三角形内角和为π结合正弦定理求角度】 由三角形的内角和定理得222A C Bπ+=-， 此时sinsin 2A C a b A +=就变为sin sin 22B a b A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 由诱导公式得sin cos 222B B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以cos sin 2B a b A =．在ABC 中，由正弦定理知2sin ,2sin a R A b R B ==， 此时就有sin cossin sin 2BA AB =，即cos sin 2B B =，再由二倍角的正弦公式得cos2sin cos 222B B B=，解得3B π=． [方法二]【利用正弦定理解方程求得cos B 的值可得B ∠的值】 由解法1得sin sin 2A CB +=， 两边平方得22sinsin 2A CB +=，即21cos()sin 2A CB -+=． 又180A BC ++=︒，即cos()cos A C B +=-，所以21cos 2sin B B +=， 进一步整理得22cos cos 10B B +-=， 解得1cos 2B =，因此3B π=． [方法三]【利用正弦定理结合三角形内角和为π求得,,A BC 的比例关系】 根据题意sinsin 2A Ca b A +=，由正弦定理得sin sin sin sin 2A C A B A +=， 因为0A π<<，故sin 0A >， 消去sin A 得sin sin 2A CB +=． 0<B π<，02A C π+<<，因为故2A C B +=或者2A CB π++=， 而根据题意A BC π++=，故2A C B π++=不成立，所以2A CB +=， 又因为A BC π++=，代入得3B π=，所以3B π=.(2)[方法一]【最优解：利用锐角三角形求得C 的范围，然后由面积函数求面积的取值范围】 因为ABC 是锐角三角形，又3B π=，所以,6262A C ππππ<<<<， 则1sin 2ABCS ac B ==V 22sin 1sin 3sin 24sin 4sin C a A c B c C Cπ⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅⋅=⋅=⋅=22sincos cos sin 333sin 8tan C CC C ππ-=． 因为,62C ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以tan C ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭，则1tan C ∈，从而ABC S ⎝⎭∈ ，故ABC面积的取值范围是82⎫⎪⎪⎝⎭． [方法二]【由题意求得边a 的取值范围，然后结合面积公式求面积的取值范围】 由题设及（1）知ABC的面积4ABC S a =△． 因为ABC 为锐角三角形，且1,3c B π==，所以22221cos 0,21cos 0,2b a A bb a C ab ⎧+-=>⎪⎪⎨+-⎪=>⎪⎩即22221010.b a b a ⎧+->⎨+->⎩， 又由余弦定理得221b a a =+-，所以220,20,a a a ->⎧⎨->⎩即122a <<，所以82ABC S << ，故ABC面积的取值范围是⎝⎭． [方法三]【数形结合，利用极限的思想求解三角形面积的取值范围】如图，在ABC 中，过点A 作1AC BC ⊥，垂足为1C ，作2AC AB ⊥与BC 交于点2C ． 由题设及（1）知ABC的面积ABC S =△，因为ABC 为锐角三角形，且1,3c B π==，所以点C 位于在线段12C C 上且不含端点，从而cos cos cc B a B⋅<<， 即1cos3cos 3a ππ<<，即122a <<，所以82ABC S << ， 故ABC面积的取值范围是82⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．【整体点评】(1)方法一：正弦定理是解三角形的核心定理，与三角形内角和相结合是常用的方法； 方法二：方程思想是解题的关键，解三角形的问题可以利用余弦值确定角度值； 方法三：由正弦定理结合角度关系可得内角的比例关系，从而确定角的大小. (2)方法一：由题意结合角度的范围求解面积的范围是常规的做法；方法二：将面积问题转化为边长的问题，然后求解边长的范围可得面积的范围；方法三：极限思想和数形结合体现了思维的灵活性，要求学生对几何有深刻的认识和灵活的应用.6．（2017∙全国∙高考真题）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c已知sin 0,2A A a b +===.（1）求角A 和边长c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥,求ABD ∆的面积. 【答案】（1）23π，4；（2【答案详解】试题详细分析：（1）先根据同角的三角函数的关系求出tan A = 从而可得A 的值，再根据余弦定理列方程即可求出边长c 的值；（2）先根据余弦定理求出cos C ，求出CD 的长，可得12CD BC =，从而得到12ABD ABC S S ∆∆=，进而可得结果. 试题解析：（1）sin 0,tan A A A =∴= 20,3A A ππ<<∴=，由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，即21284222c c ⎛⎫=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭，即22240c c +-=，解得6c =-（舍去）或4c =，故4c =. (2)2222cos c b a ab C =+-Q，1628422cos C ∴=+-⨯⨯，2cos 2cos AC C CD C ∴=∴===12CD BC ∴=，1142222ABC S AB AC sin BAC ∆∴=⋅⋅∠=⨯⨯⨯=12ABD ABC S S ∆∆∴==7．（2016∙全国∙高考真题）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2cos (cos cos )C a B b A c +=. （1）求角C ；（2）若c =2ABC S ∆=，求ABC ∆的周长. 【答案】（1）3C π=（2）5【答案详解】试题详细分析：（1）根据正弦定理把2cos (cos cos )C a B b A c +=化成2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=，利用和角公式可得1cos ,2C =从而求得角C ；（2）根据三角形的面积和角C 的值求得6ab =，由余弦定理求得边a 得到ABC ∆的周长. 试题解析：（1）由已知可得2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C += 12cos sin()sin cos 23π∴+=⇒=⇒=C A B C C C （2）11sin 6222∆=⇒=⇒=ABC S ab C ab ab又2222cos +-= a b ab C c2213a b ∴+=，2()255∴+=⇒+=a b a bABC ∆∴的周长为5考点：正余弦定理解三角形.8．（2015∙浙江∙高考真题）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c .已知tan()24A π+=.（1）求2sin 2sin 2cos AA A+的值；（2）若,34B a π==，求ABC ∆的面积. 【答案】（1）25；（2）9 【答案详解】（1）利用两角和与差的正切公式，得到1tan 3A =，利用同角三角函数基本函数关系式得到结论；（2）利用正弦定理得到边b 的值，根据三角形，两边一夹角的面积公式计算得到三角形的面积.试题解析：（1）由tan()24A π+=，得1tan 3A =，所以22sin 22sin cos 2tan 2sin 2cos 2sin cos cos 2tan 15A A A A A A A A A A ===+++.（2）由1tan 3A =可得，sin A A ==3,4a B π==，由正弦定理知：b =又sin sin()sin cos cos sin 5C A B A B A B =+=+=，所以11sin 3922ABC S ab C ∆==⨯⨯=. 考点：1.同角三角函数基本关系式；2.正弦定理；3.三角形面积公式.9．（2015∙全国∙高考真题）已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边， 2sin 2sin sin B A C =． （1）若a b =，求cos ;B（2）若90B = ，且a =求ABC ∆的面积． 【答案】（1）14；（2）1 【答案详解】试题详细分析：（1）由2sin 2sin sin B A C =，结合正弦定理可得：22b ac =，再利用余弦定理即可得出cos ;B（2）利用（1）及勾股定理可得c ，再利用三角形面积计算公式即可得出 试题解析：（1）由题设及正弦定理可得22b ac = 又a b =，可得2,2b c a c ==由余弦定理可得2221cos 24a c b B ac +-==（2）由（1）知22b ac =因为90B = ，由勾股定理得222a c b += 故222a c ac +=，得c a == 所以的面积为1考点：正弦定理，余弦定理解三角形10．（2015∙山东∙高考真题）设()2sin cos cos 4f x x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若0,12A f a ⎛⎫== ⎪⎝⎭,求ABC ∆面积的最大值.【答案】（Ⅰ）单调递增区间是(),44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；单调递减区间是()3,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（Ⅱ）ABC ∆【答案详解】试题详细分析：（Ⅰ）首先利用二倍角公式化简函数()f x 的解析式，再利用正弦函数的单调性求其单调区间；（Ⅱ）首先由02A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭结合（Ⅰ）的结果，确定角A 的值，然后结合余弦定理求出三角形ABC ∆面积的最大值. 试题解析：解：（Ⅰ）由题意知()1cos 2sin 2222x x f x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭=-sin 21sin 21sin 2222x x x -=-=- 由222,22k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ 可得,44k x k k Z ππππ-+≤≤+∈由3222,22k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 可得3,44k x k k Z ππππ+≤≤+∈所以函数()f x 的单调递增区间是(),44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；单调递减区间是()3,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ （Ⅱ）由1sin 0,22A f A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭得1sin 2A =由题意知A 为锐角，所以cos 2A =由余弦定理：2222cos a b c bc A =+-可得：2212b c bc =+≥即：2bc ≤ 当且仅当b c =时等号成立.因此1sin 2bc A ≤所以ABC ∆面积的最大值为24考点：1、诱导公式；2、三角函数的二倍角公式；3、余弦定理；4、基本不等式.考点02 求边长、周长的值及范围或最值1．（2024∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 2A A =． (1)求A ．(2)若2a =sin sin 2C c B =，求ABC 的周长． 【答案】(1)π6A =(2)2+【详细分析】（1）根据辅助角公式对条件sin 2A A =进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决； （2）先根据正弦定理边角互化算出B ，然后根据正弦定理算出,b c 即可得出周长. 【答案详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式）由sin 2A A =可得1sin 12A A =，即sin()1π3A +=，由于ππ4π(0,π)(,333A A ∈⇒+∈，故ππ32A +=，解得π6A = 方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）由sin 2A A =，又22sin cos 1A A +=，消去sin A 得到：224cos 30(2cos 0A A A -+=⇔=，解得cos A = 又(0,π)A ∈，故π6A =方法三：利用极值点求解设()sin (0π)f x x x x =<<，则π()2sin (0π)3f x x x ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭，显然π6x =时，max ()2f x =，注意到π()sin 22sin(3f A A A A =+==+，max ()()f x f A =，在开区间(0,π)上取到最大值，于是x A =必定是极值点，即()0cos f A A A '==，即tan A = 又(0,π)A ∈，故π6A =方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）设(sin ,cos )a b A A == ，由题意，sin 2a b A A ⋅==，根据向量的数量积公式，cos ,2cos ,a b a b a b a b ⋅==， 则2cos ,2cos ,1a b a b =⇔= ，此时,0a b =，即,a b 同向共线，根据向量共线条件，1cos sin tan 3A A A ⋅=⇔=， 又(0,π)A ∈，故π6A =方法五：利用万能公式求解设tan 2A t =，根据万能公式，22sin 21t A A t ==+整理可得，2222(2(20((2t t t -+==-，解得tan22A t ==22tan 13t A t ==-， 又(0,π)A ∈，故π6A =（2）由题设条件和正弦定理sin sin 2sin 2sin sin cos C c B B C C B B =⇔=，又,(0,π)B C ∈，则sin sin 0B C ≠，进而cos B =π4B =，于是7ππ12C A B =--=，sin sin(π)sin()sin cos sin cos 4C A B A B A B B A =--=+=+=， 由正弦定理可得，sin sin sin a b cA B C ==，即2ππ7πsin sin sin6412b c==，解得b c == 故ABC的周长为2+2．（2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）记ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c，已知sin C B =，222a b c +-=(1)求B ；(2)若ABC的面积为3c ． 【答案】(1)π3B =(2)【详细分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出cos ,sin C C，最后结合已知sin C B =得cos B 的值即可；（2）首先求出,,A B C ，然后由正弦定理可将,a b 均用含有c 的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解.【答案详解】（1）由余弦定理有2222cos a b c ab C +-=，对比已知222a b c +-=，可得222cos 222a b c C ab ab +-===， 因为()0,πC ∈，所以sin 0C >，从而sin 2C ===，又因为sin C B =，即1cos 2B =， 注意到()0,πB ∈， 所以π3B =. （2）由（1）可得π3B =，cos 2C =，()0,πC ∈，从而π4C =，ππ5ππ3412A =--=，而5πππ1sin sin sin 124622224A ⎛⎫⎛⎫==+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由正弦定理有5πππsin sin sin 1234a b c==，从而1,4222a cbc +====， 由三角形面积公式可知，ABC 的面积可表示为21113sin 222228ABC S ab C c c ==⋅⋅= ， 由已知ABC的面积为323=所以c =3．（2023∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知ABCD 为BC 中点，且1AD =． (1)若π3ADC ∠=，求tan B ； (2)若228b c +=，求,b c ． 【答案】(2)2b c ==.【详细分析】（1）方法1，利用三角形面积公式求出a ，再利用余弦定理求解作答；方法2，利用三角形面积公式求出a ，作出BC 边上的高，利用直角三角形求解作答.（2）方法1，利用余弦定理求出a ，再利用三角形面积公式求出ADC ∠即可求解作答；方法2，利用向量运算律建立关系求出a ，再利用三角形面积公式求出ADC ∠即可求解作答. 【答案详解】（1）方法1：在ABC 中，因为D 为BC 中点，π3ADC ∠=，1AD =，则1111sin 12222ADC ABC S AD DC ADC a S =⋅∠=⨯⨯===，解得4a =， 在ABD △中，2π3ADB ∠=，由余弦定理得2222cos c BD AD BD AD ADB =+-⋅∠， 即2141221()72c =+-⨯⨯⨯-=，解得c =cos 14B ==，sin B ===，所以sin tan cos 5B B B ==. 方法2：在ABC 中，因为D 为BC 中点，π3ADC ∠=，1AD =，则1111sin 12222ADC ABC S AD DC ADC a S =⋅∠=⨯⨯===，解得4a =， 在ACD 中，由余弦定理得2222cos b CD AD CD AD ADC =+-⋅∠，即214122132b =+-⨯⨯⨯=，解得b =，有2224AC AD CD +==，则π2CAD ∠=，π6C =，过A 作AE BC ⊥于E，于是3cos ,sin 2CE AC C AE AC C ====，52BE =，所以tan 5AE B BE ==. （2）方法1：在ABD △与ACD 中，由余弦定理得222211121cos(π)4211121cos 42c a a ADC b a a ADC ⎧=+-⨯⨯⨯-∠⎪⎪⎨⎪=+-⨯⨯⨯∠⎪⎩，整理得222122a b c +=+，而228b c +=，则a =，又11sin 22ADC S ADC =⨯∠=，解得sin 1ADC ∠=，而0πADC <∠<，于是π2ADC ∠=，所以2b c ===.方法2：在ABC 中，因为D 为BC 中点，则2AD AB AC =+ ，又CB AB AC =-，于是2222224()()2()16AD CB AB AC AB AC b c +=++-=+= ，即2416a +=，解得a =，又11sin 2ADC S ADC =⨯∠ sin 1ADC ∠=，而0πADC <∠<，于是π2ADC ∠=，所以2b c ===.4．（2022∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为123,,S S S，已知123123S S S B -+==． (1)求ABC 的面积； (2)若sin sin 3A C =，求b ． 【答案】(2)12【详细分析】（1）先表示出123,,S S S，再由1232S S S -+=求得2222a c b +-=，结合余弦定理及平方关系求得ac ，再由面积公式求解即可；（2）由正弦定理得22sin sin sin b acB AC =，即可求解.【答案详解】（1）由题意得22221231,,22444S a a S b S c =⋅⋅===，则222123S S S -+==， 即2222a c b +-=，由余弦定理得222cos 2a c b B ac +-=，整理得cos 1ac B =，则cos 0B >，又1sin 3B =，则cos 3B ==，1cos 4ac B ==，则1sin 28ABC S ac B == ； （2）由正弦定理得：sin sin sin b a c B A C ==，则229sin sin sin sin sin 43b ac ac B A C A C =⋅==，则3sin 2b B =，31sin 22b B ==. 5．（2022∙全国乙卷∙高考真题）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin()sin sin()C A B B C A -=-．(1)证明：2222a b c =+； (2)若255,cos 31a A ==，求ABC 的周长． 【答案】(1)见解析 (2)14【详细分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证； （2）根据（1）的结论结合余弦定理求出bc ，从而可求得b c +，即可得解. 【答案详解】（1）证明：因为()()sin sin sin sin C A B B C A -=-， 所以sin sin cos sin sin cos sin sin cos sin sin cos C A B C B A B C A B A C -=-，所以2222222222222a c b b c a a b c ac bc ab ac bc ab +-+-+-⋅-⋅=-⋅， 即()22222222222a cb a bc b c a +-+--+-=-， 所以2222a b c =+；（2）解：因为255,cos 31a A ==， 由（1）得2250bc +=，由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-， 则50502531bc -=， 所以312bc =， 故()2222503181b c b c bc +=++=+=， 所以9b c +=，所以ABC 的周长为14a b c ++=.6．（2022∙北京∙高考真题）在ABC 中，sin 2C C =． (1)求C ∠；(2)若6b =，且ABC 的面积为ABC 的周长． 【答案】(1)6π(2)6+【详细分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得cos C 的值，结合角C 的取值范围可求得角C 的值； （2）利用三角形的面积公式可求得a 的值，由余弦定理可求得c 的值，即可求得ABC 的周长.【答案详解】（1）解：因为()0,C π∈，则sin 0C >2sin cos C C C =，可得cos 2C =，因此，6C π=.（2）解：由三角形的面积公式可得13sin 22ABC S ab C a === ，解得a =.由余弦定理可得2222cos 48362612c a b ab C =+-=+-⨯=，c ∴=所以，ABC 的周长为6a b c ++=.7．（2022∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos2A BA B=++．(1)若23C π=，求B ； (2)求222a b c +的最小值．【答案】(1)π6；(2)5．【详细分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将cos sin 21sin 1cos2A BA B=++化成()cos sin A B B +=，再结合π02B <<，即可求出； （2）由（1）知，π2C B =+，π22A B =-，再利用正弦定理以及二倍角公式将222a b c +化成2224cos 5cos B B +-，然后利用基本不等式即可解出． 【答案详解】（1）因为2cos sin 22sin cos sin 1sin 1cos 22cos cos A B B B BA B B B===++，即()1sin cos cos sin sin cos cos 2B A B A B A BC =-=+=-=， 而π02B <<，所以π6B =；（2）由（1）知，sin cos 0B C =->，所以πππ,022C B <<<<， 而πsin cos sin 2B C C ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以π2C B =+，即有π22A B =-，所以30,,,424B C πππ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以222222222sin sin cos 21cos sin cos a b A B B Bc C B +++-==()2222222cos 11cos 24cos 555cos cos B BB BB-+-==+-≥=．当且仅当2cos B =222a b c +的最小值为5． 8．（2020∙全国∙高考真题）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B =150°.（1）若a，b ，求ABC 的面积；（2）若sin AC =2，求C . 【答案】（1（2）15︒.【详细分析】（1）已知角B 和b 边，结合,a c 关系，由余弦定理建立c 的方程，求解得出,a c ，利用面积公式，即可得出结论；（2）方法一 ：将30A C =︒-代入已知等式，由两角差的正弦和辅助角公式，化简得出有关C 角的三角函数值，结合C 的范围，即可求解.【答案详解】（1）由余弦定理可得2222282cos1507b a c ac c ==+-⋅︒=，2,c a ABC ∴==∴△的面积1sin 2S ac B == （2）[方法一]：多角换一角 30A C +=︒ ，sin sin(30)A C C C ∴=︒-1cos sin(30)22C C C ==+︒=， 030,303060C C ︒<<︒∴︒<+︒<︒ ，3045,15C C ∴+︒=︒∴=︒. [方法二]：正弦角化边由正弦定理及150B =︒得22sin sin sin ====a c bR b A C B．故sin ,sin 22==a c A C b b ．由sin 2A C =，得a +=．又由余弦定理得22222cos =+-⋅=+b a c ac B a 2+c ，所以()222()2=++a a c ，解得a c =．所以15=︒C ．【整体点评】本题考查余弦定理、三角恒等变换解三角形，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.其中第二问法一主要考查三角恒等变换解三角形，法二则是通过余弦定理找到三边的关系，进而求角.9．（2020∙全国∙高考真题）ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin ．C（1）求A ；（2）若BC =3，求ABC 周长的最大值.【答案】（1）23π；（2）3+【详细分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出cos A 的形式，进而求得A ；（2）方法一：利用余弦定理可得到()29AC AB AC AB +-⋅=，利用基本不等式可求得AC AB +的最大值，进而得到结果.【答案详解】（1）由正弦定理可得：222BC AC AB AC AB --=⋅，2221cos 22AC AB BC A AC AB +-∴==-⋅，()0,A π∈ ，23A π∴=. （2）[方法一]【最优解】：余弦+不等式由余弦定理得：2222cos BC AC AB AC AB A =+-⋅229AC AB AC AB =++⋅=， 即()29AC AB AC AB +-⋅=.22AC AB AC AB +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭（当且仅当AC AB =时取等号）， ()()()22223924AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB +⎛⎫∴=+-⋅≥+-=+ ⎪⎝⎭，解得：AC AB +≤AC AB =时取等号），ABC ∴周长3L AC AB BC =++≤+ABC ∴周长的最大值为3+[方法二]：正弦化角（通性通法）设,66ππαα=+=-B C ，则66ππα-<<，根据正弦定理可知sin sin sin a b cA B C===，所以sin )b c B C +=+sin sin 66ππαα⎤⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦α=≤，当且仅当0α=，即6B C π==时，等号成立．此时ABC周长的最大值为3+ [方法三]：余弦与三角换元结合在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．由余弦定理得229b c bc =++，即2213924⎛⎫++= ⎪⎝⎭b c c ．令13sin ,20,2b c c θπθθ⎧+=⎪⎛⎫∈⎨ ⎪⎝⎭⎪=⎩，得3sin b c θθ+=6πθ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，易知当6C π=时，max ()b c +=所以ABC周长的最大值为3+【整体点评】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；方法一：求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值. 方法二采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围进行求解最值，如果三角形是锐角三角形或有限制条件的，则采用此法解决.方法三巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦函数求最值问题.10．（2018∙全国∙高考真题）在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠= ，45A ∠= ，2AB =，5BD =.（1）求cos ADB ∠； （2）若DC =，求BC . 【答案】（1）5；（2）5. 【详细分析】（1）方法一：根据正弦定理得到sin sin BD AB A ADB =∠∠，求得sin 5ADB ∠=，结合角的范围，利用同角三角函数关系式，求得cos 5ADB ∠==；（2）方法一：根据第一问的结论可以求得cos sin 5BDC ADB ∠=∠=，在BCD △中，根据余弦定理即可求出．【答案详解】（1）［方法1］：正弦定理＋平方关系在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD AB A ADB =∠∠，代入数值并解得sin 5ADB ∠=．又因为BD AB >，所以A ADB ∠>∠，即ADB ∠为锐角，所以cos 5ADB ∠=． ［方法2］：余弦定理在ABD △中，2222cos 45BD AB AD AB AD =+-⋅ ，即2254222AD AD =+-⨯⨯⨯，解得：AD =所以，2254cos5ADB +-∠==． ［方法3］：【最优解】利用平面几何知识如图，过B 点作BE AD ⊥，垂足为E ，BF CD ⊥，垂足为F ．在Rt AEB 中，因为45A ∠=︒，=2AB ，所以AE BE ==．在Rt BED △中，因为5BD =，则DE ===．所以cos ADB ∠=［方法4］：坐标法以D 为坐标原点，DC 为x 轴，DA为y 轴正方向，建立平面直角坐标系（图略）．设BDC α∠=，则(5cos ,5sin )B αα．因为45A ∠=︒，所以(0,5sin A α．从而2AB ==，又α是锐角，所以cos 5α=，cos sin ADB α∠===（2）［方法1］：【通性通法】余弦定理在BCD △，由（1）得，cos 5ADB ∠=，()2222cos 90BC BD DC BD DC ADB︒=+-⋅-∠2252525ADB =+-⨯⨯∠=，所以=5BC ．［方法2］：【最优解】利用平面几何知识作BF DC ⊥，垂足为F ，易求，BF =FC =，由勾股定理得=5BC ．【整体点评】（1）方法一：根据题目条件已知两边和一边对角，利用正弦定理和平方关系解三角形，属于通性通法；方法二：根据题目条件已知两边和一边对角，利用余弦定理解三角形，也属于通性通法； 方法三：根据题意利用几何知识，解直角三角形，简单易算．方法四：建立坐标系，通过两点间的距离公式，将几何问题转化为代数问题，这是解析思想的体现． （2）方法一：已知两边及夹角，利用余弦定理解三角形，是通性通法． 方法二：利用几何知识，解直角三角形，简单易算．11．（2017∙全国∙高考真题）△ABC 的内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、,已知△ABC 的面积为23sin a A(1)求sin sin B C ;(2)若6cos cos 1,3,B C a ==求△ABC 的周长.【答案】(1)2sin sin 3B C =(2) 3【答案详解】试题详细分析：（1）由三角形面积公式建立等式21sin 23sin a ac B A=，再利用正弦定理将边化成角，从而得出sin sin B C 的值；（2）由1cos cos 6B C =和2sin sin 3B C =计算出1cos()2B C +=-，从而求出角A ，根据题设和余弦定理可以求出bc 和b c +的值，从而求出ABC 的周长为3+试题解析：（1）由题设得21sin 23sin a ac B A=，即1sin 23sin a c B A =.由正弦定理得1sin sin sin 23sin A C B A =. 故2sin sin 3B C =. （2）由题设及（1）得1cos cos sin sin ,2B C B C -=-，即()1cos 2B C +=-.所以23B C π+=，故3A π=. 由题设得21sin 23sin a bc A A=，即8bc =.由余弦定理得229b c bc +-=，即()239b c bc +-=，得b c +故ABC 的周长为3+点睛:在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如sin()y A x b ωϕ=++，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.12．（2017∙山东∙高考真题）在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知b =3,6AB AC ⋅=-,S △ABC =3,求A 和a .【答案】34A π=，a =【答案详解】试题详细分析：先由数量积公式及三角形面积公式得3cos 613sin 32c A c A =-⎧⎪⎨⨯=⎪⎩,由此求A ,再利用余弦定理求a .试题解析：因为6AB AC ⋅=-， 所以cos 6bc A =-， 又3ABC S =△， 所以sin 6bc A =，因此tan 1A =-，又0πA <<， 所以3π4A =， 又3b =，所以c =由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得29823(a =+-⨯⨯，所以a = 【考点】解三角形【名师点评】正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理,它将三角形的边和角有机地联系起来,从而使三角与几何产生联系,为求与三角形有关的量(如面积、外接圆、内切圆半径和面积等)提供了理论依据,也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据．其主要方法有：化角法,化边法,面积法,运用初等几何法．注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想．13．（2017∙全国∙高考真题）△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2sin()8sin2B AC +=．（1）求cos B ；（2）若6a c +=，△ABC 的面积为2，求b ． 【答案】（1）1517；（2）2． 【答案详解】试题详细分析：（1）利用三角形的内角和定理可知A C B π+=-，再利用诱导公式化简()sin A C +，利用降幂公式化简28sin 2B，结合22sin cos 1B B +=，求出cos B ；（2）由（1）可知8sin 17B =，利用三角形面积公式求出ac ，再利用余弦定理即可求出b . 试题解析：（1）()2sin 8sin2BA C +=，∴()sin 41cosB B =-，∵22sin cos 1B B +=， ∴()22161cos cos 1B B -+=，∴()()17cos 15cos 10B B --=，∴15cos 17B =； （2）由（1）可知8sin 17B =， ∵1sin 22ABC S ac B =⋅=，∴172ac =， ∴()2222222217152cos 2152153617154217b ac ac B a c a c a c ac =+-=+-⨯⨯=+-=+--=--=， ∴2b =．14．（2016∙全国∙高考真题）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2cos (cos cos )C a B b A c +=.（1）求角C ；（2）若c =ABC S ∆=ABC ∆的周长.【答案】（1）3C π=（2）5【答案详解】试题详细分析：（1）根据正弦定理把2cos (cos cos )C a B b A c +=化成2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=，利用和角公式可得1cos ,2C =从而求得角C ；（2）根据三角形的面积和角C 的值求得6ab =，由余弦定理求得边a 得到ABC ∆的周长. 试题解析：（1）由已知可得2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C += 12cos sin()sin cos 23π∴+=⇒=⇒=C A B C C C（2）11sin 622∆=⇒=⇒=ABC S ab C ab ab 又2222cos +-= a b ab C c2213a b ∴+=，2()255∴+=⇒+=a b a bABC ∆∴的周长为5考点：正余弦定理解三角形.15．（2015∙浙江∙高考真题）在ABC ∆中，内角 A ，B ， C 所对的边分别为a ， b ，c ，已知 4A π=，22b a -=122c .（1）求tan C 的值；（2）若ABC ∆的面积为3，求 b 的值. 【答案】（1）2；（2）3b =.【答案详解】（1）根据正弦定理可将条件中的边之间的关系转化为角之间满足的关系，再将式 子作三角恒等变形即可求解；（2）根据条件首先求得sin B 的值，再结合正弦定理以及三角 形面积的计算公式即可求解.试题解析：（1）由22212b a c -=及正弦定理得2211sin sin 22B C -=， ∴2cos 2sin B C -=，又由4A π=，即34B C π+=，得cos 2sin 22sin cos B C C C -==，解得tan 2C =；（2）由tan 2C =，(0,)C π∈得sin 5C =，cos 5C =，又∵sin sin()sin()4B A C C π=+=+，∴sin B =3c b =，又∵4A π=，1sin 32bc A =，∴bc =3b =. 考点：1.三角恒等变形；2.正弦定理.16．（2015∙山东∙高考真题）ABC 中，角A B C ，，所对的边分别为,,a b c .已知cos ()39B A B ac =+==求sin A 和c 的值.【答案】,1.3【详细分析】由条件先求得sin sin C A ，，再由正弦定理即可求解.【答案详解】在ABC 中，由cos 3B =，得sin 3B =.因为A B C π++=，所以sin sin()9C A B =+=，因为sin sin C B <，所以C B <，C 为锐角，cos 9C =，因此sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+39393=⨯+⨯=.由sin sin a c A C =，可得sin sin 9cc A a C ===，又ac =1c =.考点03 求角和三角函数的值及范围或最值1．（2024∙天津∙高考真题）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知92cos 5163a Bbc ===，，． (1)求a ； (2)求sin A ；(3)求()cos 2B A -的值．【答案】(1)4(2)4 (3)5764【详细分析】（1）2,3a t c t ==，利用余弦定理即可得到方程，解出即可；（2）法一：求出sin B ，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出cos A ，则得到sin A ；（3）法一：根据大边对大角确定A 为锐角，则得到cos A ，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可；法二：直接利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可.【答案详解】（1）设2,3a t c t ==，0t >，则根据余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即229254922316t t t t =+-⨯⨯⨯，解得2t =（负舍）； 则4,6a c ==.（2）法一：因为B为三角形内角，所以sin B ===再根据正弦定理得sin sin a b A B =，即4sin A =sin A =法二：由余弦定理得2222225643cos 22564b c a A bc +-+-===⨯⨯，因为()0,πA ∈，则sin A ==（3）法一：因为9cos 016B =>，且()0,πB ∈，所以π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 由（2）法一知sin 16B =，。

三角函数--高考真题汇编第一节三角函数概念、同角三角函数关系式和诱导公式1.（2023全国甲卷理科7）“22sin sin 1αβ+=”是“sin cos 0αβ+=”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件、必要条件概念及同角三角函数的基本关系得解.【解析】当2απ=，0β=时，有22sin sin 1αβ+=，但sin cos 0αβ+≠，即22sin sin 1αβ+=推不出sin cos 0αβ+=；当sin cos 0αβ+=时，()2222sin sin cos sin 1αβββ+=-+=，即sin cos 0αβ+=能推出22sin sin 1αβ+=.综上可知，22sin sin 1αβ+=是sin cos 0αβ+=成立的必要不充分条件.故选B.2.（2023北京卷13）已知命题:p 若,αβ为第一象限角，且αβ>，则tan tan αβ>.能说明p 为假命题的一组,αβ的值为α=；β=.【分析】根据正切函数单调性以及任意角的定义分析求解.【解析】因为()tan f x x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，若00π02αβ<<<，则00tan tan αβ<，取1020122π,2π,,k k k k ααββ=+=+∈Z ，则()()100200tan tan 2πtan ,tan tan 2πtan k k αααβββ=+==+=，即tan tan αβ<，令12k k >，则()()()()102012002π2π2πk k k k αβαβαβ-=+-+=-+-，因为()1200π2π2π,02k k αβ-≥-<-<，则()()12003π2π02k k αβαβ-=-+->>，即12k k >，则αβ>.不妨取1200ππ1,0,,43k k αβ====，即9ππ,43αβ==满足题意.故答案为：9ππ;43.第二节三角恒等变换1.（2023新高考I 卷6）过点()0,2-与圆22410x y x +--=相切的两条直线的夹角为α，则sin α=（）A.1B.154C.104D.64【解析】()222241025x y x x y +--=⇒-+=，所以圆心为()2,0B ，记()0,2A -，设切点为,M N ，如图所示.因为AB =，BM =，故AM =cos cos2AM MAB AB α=∠==，sin 2α=，15sin 2sincos 2224ααα==⨯.故选B.2.（2023新高考I 卷8）已知()1sin 3αβ-=，1cos sin 6αβ=，则()cos 22αβ+=（）A.79B.19 C.19-D.79-【解析】()1sin sin cos cos sin 3αβαβαβ-=-=，1cos sin 6αβ=，所以1sin cos 2αβ=，所以()112sin sin cos cos sin 263αβαβαβ+=+=+=，()()()2221cos 22cos 212sin 1239αβαβαβ⎛⎫+=+=-+=-⨯= ⎪⎝⎭.故选B.3.（2023新高考II 卷7）已知α为锐角，1cos 4α+=，则sin 2α=（）A.38- B.18-+ C.34- D.14-+【解析】21cos 12sin 24αα+=-=，所以2231sin 284α⎫-==⎪⎪⎝⎭，则1sin24α-=或1sin 24α=.因为α为锐角，所以sin02α>，15sin24α-=舍去，得51sin 24α-=.故选D.第三节三角函数的图像与性质1.（2023新高考II 卷16）已知函数()()sin f x x ωϕ=+，如图所示，A ，B 是直线12y =与曲线()y f x =的两个交点，若π=6AB ，则()πf =_______.【解析】sin y x =的图象与直线12y =两个相邻交点的最近距离为2π3，占周期2π的13，所以12ππ36ω⋅=，解得4ω=，所以()()sin 4f x x ϕ=+.再将2π,03⎛⎫⎪⎝⎭代入()()sin 4f x x ϕ=+得ϕ的一个值为2π3-，即()2πsin 43f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.所以()2π3πsin 4π32f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.2.（2023全国甲卷理科10，文科12）已知()f x 为函数cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向左平移6π个单位所得函数，则()y f x =与1122y x =-交点个数为（）A.1B.2C.3D.4【解析】因为函数πcos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向左平移π6个单位可得()sin 2.f x x =-而1122y x =-过10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭与()1,0两点，分别作出()f x 与1122y x =-的图像如图所示，考虑3π3π7π2,2,2222x x x =-==，即3π3π7π,,444x x x =-==处()f x 与1122y x =-的大小关系，结合图像可知有3个交点.故选C.3.（2023全国乙卷理科6，文科10）已知函数()()sin f x x ωϕ=+在区间2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，直线6x π=和23x π=为函数()y f x =的图像的两条对称轴，则512f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A. B.12-C.12【解析】2222362T T ωωππππ=-=⇒=π=⇒=，所以()()sin 2.f x x ϕ=+又222,32k k ϕππ⋅+=+π∈Z ，则52,6k k ϕπ=-+π∈Z .所以5555sin 22sin 121263f k π⎡ππ⎤π⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⋅--+π=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选D.【评注】本题考查了三角函数图像与性质，当然此题也可以通过画图快速来做，读者可以自行体会.4.（2023全国乙卷理科10）已知等差数列{}n a 的公差为23π，集合{}*cos n S a n =∈N ，若{},S a b =，则ab =（）A.1- B.12-C.0D.12【解析】解法一（利用三角函数图像与性质）因为公差为23π，所以只考虑123,,a a a ，即一个周期内的情形即可.依题意，{}{}cos ,n S a a b ==，即S 中只有2个元素，则123cos ,cos ,cos a a a 中必有且仅有2个相等.如图所示，设横坐标为123,,a a a 的点对应图像中123,,A A A 点.①当12cos cos a a =时，且2123a a π-=，所以图像上点的位置必为如图1所示，12,A A 关于x =π对称，且1223A A π=，则1233a ππ=π-=，2433a ππ=π+=，32a =π.所以11122ab ⎛⎫=-⨯=- ⎪⎝⎭.②当13cos cos a a =时，3143a a π-=，所以图像上点的位置必为如图2所示，13,A A 关于x =π对称，且1343A A π=，则133a 2ππ=π-=，3533a 2ππ=π+=，2a =π.所以()11122ab =⨯-=-.综上所述，12ab =-.故选B.解法二（代数法）()()11113n a a n d a n 2π=+-=+-，21cos cos 3a a 2π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，31cos cos 3a a 4π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由于{}{}*cos ,n S a n a b =∈=N ，故123cos ,cos ,cos a a a 中必有2个相等.①若121111cos cos cos cos 322a a a a a 2π⎛⎫==+=-- ⎪⎝⎭，即113cos 22a a =-，解得11cos 2a =或11cos 2a =-.若11cos 2a =，则1sin a =，3111113cos cos cos 132244a a a a 4π⎛⎫=+=-+=--=- ⎪⎝⎭，若11cos 2a =-，则1sin a =，3111113cos cos cos 13244a a a a 4π⎛⎫=+=-=+= ⎪⎝⎭，故131cos cos 2a a ab ==-.②若131111cos cos cos cos sin 322a a a a a 4π⎛⎫==+=-+ ⎪⎝⎭，得113cos 2a a =，解得11cos 2a =或11cos 2a =-.当11cos 2a =时，1sin a =，21111313cos cos cos 132244a a a a 2π⎛⎫=+=--=--=- ⎪⎝⎭，当11cos 2a =-时，1sin a =213cos 144a =+=，故121cos cos 2a a ab ==-.③若23cos cos a a =，与①类似有121cos cos 2a a ab ==-.综上，故选B.5.（2023北京卷17）已知函数()sin cos cos sin ,0,2f x x x ωϕωϕωϕπ=+><.（1）若()0f =，求ϕ的值；（2）若()f x 在区间2,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，且213f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数()f x 存在，求,ωϕ的值.条件①：3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭；条件②：13f π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；条件③：()f x 在,23ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.【分析】（1）把0x =代入()f x 的解析式求出sin ϕ，再由π||2ϕ<即可求出ϕ的值；（2）若选条件①不合题意；若选条件②，先把()f x 的解析式化简，根据() f x 在π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦-上的单调性及函数的最值可求出T ，从而求出ω的值；把ω的值代入()f x 的解析式，由π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭和π||2ϕ<即可求出ϕ的值；若选条件③：由() f x 的单调性可知() f x 在π3x =-处取得最小值1-，则与条件②所给的条件一样，解法与条件②相同．【解析】（1）因为π()sin cos cos sin ,0,||2f x x x ωϕωϕωϕ=+><所以()()3(0)sin 0cos cos 0sin sin 2f ωϕωϕϕ=⋅+⋅==-，因为π||2ϕ<，所以π3ϕ=-.（2）因为π()sin cos cos sin ,0,||2f x x x ωϕωϕωϕ=+><，所以()π()sin ,0,||2f x x ωϕωϕ=+><，所以() f x 的最大值为1，最小值为1-.若选条件①：因为()()sin f x x ωϕ=+的最大值为1，最小值为1-，所以π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭无解，故条件①不能使函数()f x 存在；若选条件②：因为() f x 在π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦-上单调递增，且2π13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以2πππ233T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭,所以2πT =,2π1Tω==,所以()()sin f x x ϕ=+，又因为π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以πsin 13ϕ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，所以ππ2π,32k k ϕ-+=-+∈Z ，所以π2π,6k k ϕ=-+∈Z ，因为||2ϕπ<，所以π6ϕ=-.所以1ω=，π6ϕ=-；若选条件③：因为() f x 在π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦-上单调递增，在ππ,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以() f x 在π3x =-处取得最小值1-，即π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.以下与条件②相同．第四节解三角形1.（2023全国甲卷理科16）在ABC △中，2AB =，60BAC ∠=︒，BC =D 为BC 上一点，AD 平分BAC ∠，则AD =.【解析】如图所示，记,,,AB c AC b BC a ===由余弦定理可得22222cos606b b +-⨯⨯⨯︒=，解得1b =（负值舍去）.由ABC ABD ACD S S S =+△△△可得，1112sin602sin30sin30222b AD AD b ⨯⨯⨯︒=⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒，解得1212bAD b +===+.2.（2023全国甲卷文科17）记ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2222cos b c a A+-=.（1）求bc .（2）若cos cos 1cos cos a B b A ba Bb A c--=，求ABC △面积.3.（2023全国乙卷理科18）在ABC △中，120BAC ∠=︒，2AB =，1AC =.（1）求sin ABC ∠；（2）若D 为BC 上一点，且90BAD ∠=︒，求ADC △的面积.【解析】（1）利用余弦定理可得2222cos 14212cos120527BC AC AB AC AB BAC =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯︒=+=.故BC =.又由正弦定理可知sin sin BC ACBAC ABC=∠∠.故sin sin14AC BAC ABC BC ⋅∠∠====.（2）由（1）可知tan ABC ∠=在Rt BAD △中，tan 2AD AB ABC =⋅∠=⨯=故1122255ABD S AB AD =⨯⨯=⨯⨯=△，又11sin 21sin120222ABC S AB AC BAC =⨯⨯⨯∠=⨯⨯⨯︒=△，所以2510ADC ABC ABD S S S =-=-=△△△.5.（2023新高考I 卷17）已知在ABC △中，3A B C +=，()2sin sin A C B -=.（1）求sin A ；（2）设=5AB ，求AB 边上的高.【解析】（1）解法一因为3A B C +=，所以4A B C C ++==π，所以4C π=，2sin()sin()A C A C -=+2sin cos 2cos sin sin cos cos sin A C A C A C A C⇒-=+sin cos 3cos sin A C A C ⇒=tan 3tan 3sin A C A ⇒==⇒=解法二因为3A B C +=，所以4A B C C ++==π，所以4C π=，所以4A B 3π+=，所以4B A 3π=-，故2sin()sin()4AC A 3π-=-，即2sin cos 2cos sin sin cos cos sin 4444A A A A ππ3π3π-=-，得sin 3cos A A =.又22sin cos 1A A +=，()0,A ∈π，得310sin 10A =.（2）若||5AB =.如图所示，设AC 边上的高为BG ，AB 边上的高为CH ，||CH h =，由（1）可得10cos 10A =，||||cos ||102AG AB A AB =⋅==，||||2BG CG ===，所以||AC =，||||2||6||5AC BG CH AB ===.6.（2023新高考II 卷17）记ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知ABC △的面，D 为BC 的中点，且1AD =.（1）若π3ADC ∠=，求tan B ；（2）若228b c +=，求,b c .【解析】（1）依题意，122ADC ABC S S ==△△，133sin 242ADC S AD DC ADC =⋅⋅∠==△，解得2DC =，2BD =.如图所示，过点A 作AE BC ⊥于点E .因为60ADC ∠= ，所以12DE =,32AE =,则15222BE =+=，所以3tan 5AE B BE ==.（2）设AB = c ，AC = b ，由极化恒等式得2214AB AC AD BC ⋅- =，即2114⋅--b c =b c ，化简得()22244⋅-+=-b c =b c ，即cos cos 2BAC bc BAC ⋅⋅∠=∠=-b c =b c ①，又1sin 2ABC S bc BAC =∠=△，即sin bc BAC ∠=.②①得tan BAC ∠=0πBAC <∠<得2π3BAC ∠=，代入①得4bc =，与228b c +=联立可得2b c ==.7.（2023北京卷7）在ABC △中，()()()sin sin sin sin a c A C b A B +-=-，则C ∠=（）A.6π B.3π C.32π D.65π【分析】利用正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解.【解析】因为()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B +-=-，所以由正弦定理得()()()a c a c b a b +-=-，即222a c ab b -=-，则222a b c ab +-=，故2221cos 222a b c ab C ab ab +-===，又0πC <<，所以π3C =.故选B.。

三角函数(江苏高考真题)1.(2019)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．(1)若a =3c ，b ，cos B =23，求c 的值；(2)若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值．2.(2018)已知,αβ为锐角，4tan 3α=，cos()αβ+=．（1）求cos 2α的值；（2）求tan()αβ-的值．3.（2017）已知向量=（cosx ，sinx ），=（3，﹣），x ∈[0，π]．(1)若∥，求x 的值；(2)记f （x ）=，求f （x ）的最大值和最小值以及对应的x 的值．4.(2016)在ABC △中，AC =6，4πcos .54B C ==（1）求AB 的长；（2）求πcos(6A -)的值.5.（2015•江苏）在△ABC 中，已知AB=2，AC=3，A=60°．（1）求BC 的长；（2）求sin2C 的值．6.(2014)已知),2(ππα∈,55sin =α.(1)求)4sin(απ+的值；(2)求)265cos(απ-的值.7.(2013)已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π.(1)若|a －b |＝，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a+b ＝c ，求α，β的值．8.(2012)在ABC ∆中，已知3AB AC BA BC = ．（1）求证：tan 3tan B A =；（2）若cos C =求A 的值．9.(2011)在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为c b a ,,．（1）若sin(2cos 6A A π+=，求A 的值；（2）若1cos 3A =，3b c =，求C sin 的值．10.(2019)已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是.11.(2018)已知函数sin(2)()22y x ϕϕππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，则ϕ的值是12.（2017）若tan （α﹣）=．则tanα=．13.(2016)定义在区间[0,3]π上的函数sin 2y x =的图象与cos y x =的图象的交点个数是14.(2016)在锐角三角形ABC 中，若sin 2sin sin A B C =，则tan tan tan A B C 的最小值是15.（2015）已知tanα=﹣2，tan （α+β）=，则tanβ的值为．16.（2015）设向量=（cos ，sin +cos ）（k=0，1，2，…，12），则（a k •a k+1）的值为．17.(2014)已知函数x y cos =与)2sin(ϕ+=x y (0≤πϕ<),它们的图象有一个横坐标为3π的交点,则ϕ的值是.18.(2014)若△ABC 的内角满足C B A sin 2sin 2sin =+,则C cos 的最小值是.19.(2013)函数π3sin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为__________．20.(2012)设α为锐角，若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 212απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为21.(2011)已知tan()24x π+=，则xx 2tan tan 的值为22.(2011)函数()sin()f x A x ωϕ=+（A ，ω，ϕ是常数，0A >，0ω>）的部分图象如图所示，则(0)f 的值是23.(2010)定义在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛20π,上的函数x y cos 6=的图像与x y tan 5=的图像的交点为P ，过点P 作PP 1⊥x 轴于点P 1，直线PP 1与x sin =的图像交于点P 2,则线段P 1P 2的长为.24.(2010)在锐角三角形ABC ，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，6cos b a C a b+=，则tan tan tan tan C C A B +=25.(2009)函数sin()(,,y A x A ωϕωϕ=+为常数，0,0)A ω>>在闭区间[,0]π-上的图象如图所示，则ω=。

十年高考分类江苏高考数学试卷精校版含详解4三角函数解三角形部分一、选择题（共7小题；共35分）1. 已知a∈R，函数f(x)=sinx−∣a∣(x∈R)为奇函数，则a=( )A. 0B. 1C. −1D. ±12. 若sin(π6−α)=13，则cos(2π3+2α)=( )A. −79B. −13C. 13D. 793. 下列函数中，周期为π2的是( )A. y=sin x2B. y=sin2x C. y=cos x4D. y=cos4x4. 为了得到函数y=2sin(x3+π6),x∈R的图象，只需把函数y=2sinx,x∈R的图象上的所有点( )A. 向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍（纵坐标不变）B. 向右平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍（纵坐标不变）C. 向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）D. 向右平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）5. 已知x∈(−π2,0)，cosx=45，则tan2x=( )A. 724B. −724C. 247D. −2476. 函数f(x)=sinx−√3cosx(x∈[−π,0])的单调递增区间是( )A. [−π,−5π6] B. [−5π6,−π6]C. [−π3,0] D. [−π6,0]7. △ABC中，A=π3，BC=3，则△ABC的周长为( )A. 4√3sin(B+π3)+3 B. 4√3sin(B+π6)+3C. 6sin(B+π3)+3 D. 6sin(B+π6)+3二、填空题（共23小题；共115分）8. 如图，函数y=Asin(ωx+φ)（A,ω,φ为常数，A>0，ω>0）在闭区间[−π,0]上的图象如图所示，则ω=．9. 函数 y =3sin (2x +π4) 的最小正周期为 .10. 已知函数 y =cosx 与 y =sin (2x +φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为 π3 的交点，则 φ的值是 ．11. 若函数 f (x )=cos (ωx −π6)(ω>0) 最小正周期为 π5，则 ω= ． 12. 在 △ABC 中，已知 BC =12 ， A =60∘ ， B =45∘ ，则 AC = ．13. 定义在区间 [0,3π] 上的函数 y =sin2x 的图象与 y =cosx 的图象的交点个数是 ． 14. 若 tan (α−π4)=16，则 tanα= ．15. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知 △ABC 顶点 A (−4,0) 和 C (4,0) ，顶点 B 在椭圆x 225+y 29=1 上，则sinA+sinC sinB= ．16. 函数 f (x )=Asin (ωx +φ)，（A,ω,φ 是常数，A >0,ω>0）的部分图象如图所示，则f (0)= ．17. 已知 tan (x +π4)=2, 则 tanxtan2x的值为 ．18. 若 △ABC 的内角满足 sinA +√2sinB =2sinC ，则 cosC 的最小值是 ． 19. 若 cos (α+β)=15，cos (α−β)=35，则 tanαtanβ= ． 20. 设 α 为锐角，若 cos (α+π6)=45，则 sin (2α+π12) 的值为 ．21. 如图，在同一个平面内，向量 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的模分别为 1，1，√2，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与 OC⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为 α，且 tanα=7，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与 OC⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为 45∘．若 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =mOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +nOB ⃗⃗⃗⃗⃗ (m,n ∈R )，则 m +n = ．22. 已知 tanα=−2，tan (α+β)=17，则 tanβ 的值为 ．23. 定义在区间 (0,π2) 上的函数 y =6cosx 的图象与 y =5tanx 的图象的交点为 P ，过点 P 作 PP 1⊥x 轴于点 P 1，直线 PP 1 与 y =sinx 的图象交于点 P 2，则线段 P 1P 2 的长为 ． 24. cot20∘cos10∘+√3sin10∘tan70∘−2cos40∘= ．25. 在锐角 △ABC 中，sinA =2sinBsinC ，则 tanAtanBtanC 的最小值是 ． 26. 设向量 a k ⃗⃗⃗⃗ =(coskπ6,sin kπ6+coskπ6)（k =0,1,2,⋯,12），则 ∑(a k ⃗⃗⃗⃗ ⋅a k+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )11k=0 的值为 ．27. 在锐角△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，ba +ab=6cosC，则tanCtanA+tanCtanB=．28. 某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t=0时，点A与钟面上标12的点B重合，将A，B两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d=，其中t∈[0,60]．29. 在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是．30. 满足条件AB=2，AC=√2BC的三角形ABC的面积的最大值是．三、解答题（共17小题；共221分）31. 在△ABC中，AC=6，cosB=45，C=π4．（1）求AB的长；（2）求cos(A−π6)的值．32. 已知α∈(π2,π)，sinα=√55．（1）求sin(π4+α)的值；（2）求cos(5π6−2α)的值．33. 已知a=(cosα,sinα)，b⃗=(cosβ,sinβ)，0<β<α<π．（1）若∣∣a−b⃗∣∣=√2，求证：a⊥b⃗；（2）设c=(0,1)，若a+b⃗=c，求α,β的值．34. 如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10√7cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，E1G1的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm．现有一根玻璃棒l，其长度为40cm．（容器厚度，玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC1上，求l没入水中部分的长度；（2）将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，求l没入水中部分的长度．35. 已知a，b，c，d为实数，且a2+b2=4，c2+d2=16，证明ac+bd≤8．36. 在 △ABC 中，已知 AB =2，AC =3，A =60∘．（1）求 BC 的长； （2）求 sin2C 的值．37. 设向量 a =(4cosα,sinα)，b ⃗ =(sinβ,4cosβ)，c =(cosβ,−4sinβ)．（1）若 a 与 b ⃗ −2c 垂直，求 tan (α+β) 的值； （2）求 ∣∣b ⃗ +c ∣∣ 的最大值；（3）若 tanαtanβ=16，求证：a ∥b⃗ ．38. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，以 Ox 轴为始边作两个锐角 α，β，它们的终边分别与单位圆相交于 A ，B 两点，已知 A ，B 的横坐标分别为 √210，2√55．求：（1）tan (α+β) 的值； （2）α+2β 的值．39. 已知函数 f (x )=sin (ωx +φ)(ω>0,0≤φ≤π) 是 R 上的偶函数，其图象关于点 M (3π4,0) 对称，且在区间 [0,π2] 上是单调函数，求 φ 和 ω 的值．40. 在 △ABC 中，已知 AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ． （1）求证：tanB =3tanA ； （2）若 cosC =√55，求 A 的值．41. 如图，游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径．一种是从 A 沿直线步行到 C ，另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B ，然后从 B 沿直线步行到 C ．现有甲、乙两位游客从 A 处下山，甲沿 AC 匀速步行，速度为 50m/min ．在甲出发 2min 后，乙从 A 乘缆车到 B ，在 B 处停留 1min 后，再从 B 匀速步行到 C ．假设缆车匀速直线运动的速度为 130m/min ，山路 AC 长为 1260m ，经测量，cosA =1213,cosC =35．（1）求索道 AB 的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短? （3）为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内? 42. 在平面直角坐标系 xOy 中，设 P (x,y ) 是椭圆 x 23+y 2=1 上的一个动点，求 S =x +y 的最大值．43. 在△ABC中，角A，B，C所对应的边为a，b，c．)=2cosA，求A的值；（1）若sin(A+π6，b=3c，求sinC的值．（2）若cosA=1344. 某兴趣小组测量电视塔AE的高度H（单位：m），示意图如图所示，垂直放置的标杆BC高度ℎ=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β．（1）该小组已经测得一组α、β的值，tanα=1.24，tanβ=1.20，请据此算出H的值；（2）该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使α与β之差较大，可以提高测量精确度，若电视塔实际高度为125m，问d为多少时，α−β最大．45. 已知△ABC的三边长为有理数．（1）求证：cosA是有理数；（2）求证：对任意正整数n，cosnA是有理数．46. 如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90∘，侧棱AA1=2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G．（1）求A1B与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）求点A1到平面AED的距离．47. 在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE:EB=CF:FA=CP:PB=1:2（如图1）．将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使二面角A1−EF−B成直二面角，连结A1B、A1P（如图2）．（1）求证：A1E⊥平面BEP；（2）求直线A1E与平面A1BP所成角的大小；（3）求二面角B−A1P−F的大小．（用反三角函数表示）答案第一部分 1. A2. A【解析】cos (2π3+2α)=cos [π−(π3−2α)]=−cos [2(π6−α)]=2sin 2(π6−α)−1=−79.3. D4. C5. D6. D7. D【解析】在 △ABC 中，由正弦定理得：ACsinB =√32，化简得 AC =2√3sinB ，AB sin(π−B−π3)=√32，化简得 AB =2√3sin (2π3−B)， 所以三角形的周长为：3+AC +AB=3+2√3sinB +2√3sin (2π3−B)=3+3√3sinB +3cosB=6sin (B +π6)+3.第二部分 8. 3 9. π 【解析】T =2π2=π10. π6【解析】由题意，得 sin (2×π3+φ)=cos π3，则 φ=π6适合题意．11. 10【解析】因为 f (x )=cos (ωx −π6) 的最小正周期为 2πω=π5．所以 ω=10． 12. 4√6 13. 7【解析】画出两个函数的图象，经观察共有 7 个交点．14. 75 15. 54 16. √62【解析】由图可知，A =√2，T4=7π12−π3=π4，所以 T =2πω=π，ω=2．从而 2×7π12+φ=2kπ+3π2，φ=2kπ+π3，其中 k ∈Z ．则 f (0)=√2sin (2kπ+π3)=√62． 17. 49【解析】tanx=tan (x +π4−π4)=tan (x +π4)−11+tan (x +π4)=13．tanx tan2x=tanx 2tanx 1−tan 2x =(1−tan 2x )2=49. 18.√6−√24【解析】因为 sinA +√2sinB =2sinC ，由正弦定理得 a +√2b =2c ． 所以cosC =a 2+b 2−c 22ab =4a 2+4b 2−(a+√2b)28ab=3a 2+2b 28ab −√24≥2√3a 2⋅2b 28ab−√24=√64−√24,当且仅当 3a 2=2b 2 即 √3a =√2b 时取等号． 19. 12【解析】cos (α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ=15, ⋯⋯①cos (α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ=35. ⋯⋯②由 ①②，得 cosαcosβ=25，sinαsinβ=15， 故 tanαtanβ=sinαsinβcosαcosβ=12．20.17√250【解析】因为 cos (α+π6)=45，所以 α+π6∈(0,π2)．所以 sin (α+π6)=35．所以 sin (2α+π3)=2sin (α+π6)cos (α+π6)=2×35×45=2425， cos (2α+π3)=2cos 2(α+π6)−1=725． 所以sin (2α+π12)=sin [(2α+π3)−π4]=sin (2α+π3)cos π4−cos (2α+π3)sin π4=17√250.21. 3 22. 3 23. 23【解析】由题意知线段 P 1P 2 长即为垂线 PP 1 与 y =sinx 图象交点的纵坐标．因为 {y =6cosx,y =5tanx, 所以6cosx =5tanx ．即 6(cosx )2=5sinx ．即 6(sinx )2+5sinx −6=0．因为 x ∈(0,π2)．所以 sinx =23，即 P 1P 2=23． 24. 2【解析】cot20∘cos10∘+√3sin10∘tan70∘−2cos40∘=tan70∘(cos10∘+√3sin10∘)−2cos40∘=2tan70∘sin40∘−2cos40∘=−2(cos70∘cos40∘−sin40∘sin70∘)cos70∘=−2cos110∘cos70∘=2.25. 8【解析】因为 sinA =sin (B +C )=sinBcosC +cosBsinC ， 所以由已知得 sinBcosC +cosBsinC =2sinBsinC (∗)． 由三角形 ABC 为锐角三角形，得 cosB >0，cosC >0．在 (∗) 式两端同时除以 cosBcosC ，得 tanB +tanC =2tanBtanC ， 又 tanA =−tan (B +C )=−tanB+tanC 1−tanBtanC(#)，则 tanAtanBtanC =−tanB+tanC 1−tanBtanC×tanBtanC =−2(tanBtanC )21−tanBtanC．令 tanBtanC =t ．由 (#) 及 tanA >0，tanB >0，tanC >0，得 1−tanBtanC <0，即 t >1． tanAtanBtanC =−2t 21−t =−21t 2−1t=21t(1−1t)．因为 1t (1−1t )≤(1t +1−1t2)2=14，所以当且仅当 t =2 时，tanAtanBtanC 的最小值为 8．当 t =2，即 {tanB +tanC =4,tanBtanC =2,，亦即 {tanB =2+√2,tanC =2−√2,tanA =4 或 {tanB =2−√2,tanC =2+√2,tanA =4时，tanAtanBtanC 的最小值为 8． 26. 9√3【解析】提示：a k ⃗⃗⃗⃗ ⋅a k+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3√34+sin 2k+16π+12cos 2k+16π．27. 4【解析】由已知 ba+ab =6cosC 及余弦定理 cosC =a 2+b 2−c 22ab，可得2a 2+2b 2=3c 2. ⋯⋯①而tanC tanA +tanC tanB =sin 2C cosCsinAsinB =6c 2a 2+b 2, 将①代入可得结果为 4． 28. 10sin πt60【解析】如图，设 ∠AOB =θ,θ∈[0,π]，由垂径定理，得 d =2×5sin θ2=10sin θ2．因为θ={πt 30,t ∈[0,30],2π−πt30,t ∈(30,60],所以d ={10sinπt 60,t ∈[0,30],10sin (π−πt60),t ∈(30,60],化简即得d =10sin πt60,t ∈[0,60].29. 8【解析】由 sinA =sin (B +C )=2sinBsinC ， 得 sinBcosC +cosBsinC =2sinBsinC ． 两边同时除以 cosBcosC ， 得 tanB +tanC =2tanBtanC ． 令 tanB +tanC =2tanBtanC =m ， 又 △ABC 是锐角三角形，所以 2tanBtanC =tanB +tanC >2√tanB ⋅tanC ， 则 tanBtanC >1，所以 m >2．又在三角形 ABC 中，有tanAtanBtanC=−tan (B +C )tanBtanC =−m1−12m ⋅12m=m 2m−2=(m −2)+4m−2+4≥2√(m −2)⋅4m−2+4=8,当且仅当 m −2=4m−2， 即 m =4 时取等号，故 tanAtanBtanC 的最小值为 8． 30. 2√2【解析】设 BC =x ，则 AC =√2x ，根据面积公式，得 S △ABC =12AB ⋅BCsinB =x√1−cos 2B ． 根据余弦定理，得 cosB =AB 2+BC 2−AC 22AB⋅BC=4+x 2−2x 24x=4−x 24x，于是 S △ABC =x √1−(4−x 24x)2=√128−(x 2−12)216．由三角形三边关系有 {√2x +x >2,x +2>√2x,解得 2√2−2<x <2√2+2，故当 x =2√3 时，S △ABC 取到最大值 2√2． 第三部分31. （1） 由 cosB =45，得 sinB =35． 由 ABsinC =ACsinB ，得 AB =ACsinC sinB=6×√22×53=5√2．（2） cosA =−cos (C +B )=sinBsinC −cosBcosC=35×√22−45×√22=−√210.由 A 为三角形的内角，得 sinA =7√210．cos (A −π6)=cosAcos π6+sinAsin π6=−√210×√32+7√210×12=7√2−√620.32. （1） 因为 α∈(π2,π),sinα=√55， 所以 cosα=−√1−sin 2α=−2√55． 故sin (π4+α)=sin π4cosα+cos π4sinα=√22×(−2√55)+√22×√55=−√1010.（2） 由（1）知 sin2α=2sinαcosα=2×√55×(−2√55)=−45，cos2α=1−2sin 2α=1−2×(√55)2=35，所以cos (5π6−2α)=cos5π6cos2α+sin 5π6sin2α=(−√32)×35+12×(−45)=−4+3√310.33. （1） 由题意得 ∣∣a −b ⃗ ∣∣2=2，即(a −b ⃗ )2=a 2−2a ⋅b⃗ +b ⃗ 2=2. 又因为 a 2=b ⃗ 2=∣a ∣2=∣∣b ⃗ ∣∣2=1，所以2−2a ⋅b⃗ =2, 即 a ⋅b ⃗ =0，故 a ⊥b⃗ ． （2） 因为 a +b ⃗ =(cosα+cosβ,sinα+sinβ)=(0,1)， 所以 {cosα+cosβ=0,sinα+sinβ=1,由此得cosα=cos (π−β),由 0<β<π，得0<π−β<π.又 0<α<π，故 α=π−β．代入 sinα+sinβ=1，得sinα=sinβ=12,而 α>β，所以α=5π6,β=π6.34. （1） 设玻璃棒在 CC 1 上的点 M ，玻璃棒与水面的交点为 N ， 如图 1，在平面 ACM 中，过 N 作 NP ∥MC ，交 AC 于点 P ，因为ABCD−A1B1C1D1为正四棱柱，所以CC1⊥平面ABCD，又因为AC⊂平面ABCD，所以CC1⊥AC，所以NP⊥AC，所以NP=12cm，且AM2=AC2+MC2，解得MC=30cm，因为NP∥MC，所以△ANP∽△AMC，所以ANAM =NPMC，AN40=1230，得AN=16cm．所以玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm．（2）设玻璃棒在GG1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，如图2，在平面E1EGG1中，过点N作NP⊥EG，交EG于点P，过点E作EQ⊥E1G1，交E1G1于点Q，因为EFGH−E1F1G1H1为正四棱台，所以EE1=GG1，EG∥E1G1，EG≠E1G1，所以EE1G1G为等腰梯形，画出截面E1EGG1，因为E1G1=62cm，EG=14cm，EQ=32cm，NP=12cm，所以E1Q=24cm，由勾股定理得：E1E=40cm，所以sin∠EE1G1=45，sin∠EGM=sin∠EE1G1=45，cos∠EGM=−35，根据正弦定理得：EMsin∠EGM =EGsin∠EMG，所以sin∠EMG=725，cos∠EMG=2425，所以sin∠GEM=sin(∠EGM+∠EMG)=sin∠EGMcos∠EMG+cos∠EGMsin∠EMG=35,所以EN=NPsin∠GEM =1235=20cm．所以玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm．35. 因为a2+b2=4，c2+d2=16，令a=2cosα，b=2sinα，c=4cosβ，d=4sinβ．所以ac+bd=8(cosαcosβ+sinαsinβ)=8cos(α−β)≤8．当且仅当cos(α−β)=1时取等号．因此ac+bd≤8．另解：由柯西不等式可得：(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)=4×16=64，当且仅当ac =bd时取等号．所以−8≤ac+bd≤8．36. （1）由余弦定理知，BC2=AB2+AC2−2AB⋅AC⋅cosA=4+9−2×2×3×12=7，所以BC=√7．（2）由正弦定理知，ABsinC =BCsinA，所以sinC=ABBC ⋅sinA=∘√7=√217．因为AB<BC，所以C为锐角，则cosC=√1−sin2C=√1−37=2√77．因此sin2C=2sinC⋅cosC=2×√217×2√77=4√37．37. （1）因为a与b⃗−2c垂直，所以a⋅(b⃗−2c)=4cosαsinβ−8cosαcosβ+4sinαcosβ+8sinαsinβ=4sin(α+β)−8cos(α+β)=0,因此tan(α+β)=2.（2）由b⃗+c=(sinβ+cosβ,4cosβ−4sinβ),得∣∣b⃗+c∣∣=√(sinβ+cosβ)2+(4cosβ−4sinβ)2=√17−15sin2β≤4√2,又当β=kπ−π4,k∈Z时，等号成立，所以∣∣b⃗+c∣∣的最大值为4√2．（3）由tanαtanβ=16,得4cosαsinβ=sinα4cosβ,所以a∥b⃗.38. （1）由已知，点A，B的坐标分别为(cosα,sinα)，(cosβ,sinβ)．因为α、β都是锐角，且cosα=√210,cosβ=2√55,所以sinα=7√210,sinβ=√55, 则tanα=7,tanβ=12,tan (α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=−3.（2） 由 tanβ=12 得tan2β=2tanβ1−tan 2β=43,所以tan (α+2β)=tanα+tan2β1−tanαtan2β=−1.又 α，β∈(0,π2)，所以 α+2β∈(0,3π2)，故α+2β=3π4.39. 由 f (x )=sinωxcosφ+cosωxsinφ 是偶函数，得 cosφ=0． 依题设 0≤φ≤π，所以解得 φ=π2．由 f (x ) 的图象关于点 M 对称，得 f (3π4)=0．所以3ωπ4+π2=π+kπ,k =0,1,2⋯ ∴ω=23(2k +1),k =0,1,2,⋯当 k =0 时，ω=23，f (x )=sin (23x +π2) 在 [0,π2] 上是减函数； 当 k =1 时，ω=2，f (x )=sin (2x +π2) 在 [0,π2] 上是减函数； 当 k ≥2 时，ω≥103，f (x )=sin (ωx +π2) 在 [0,π2] 上不是单调函数． 综上得 ω=23 或 ω=2．40. （1） 因为 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以AB ⋅AC ⋅cosA =3BA ⋅BC ⋅cosB,即AC ⋅cosA =3BC ⋅cosB,由正弦定理知AC sinB =BCsinA, 从而sinBcosA =3sinAcosB,又因为 0<A +B <π，所以cosA >0,cosB >0,所以 tanB =3tanA ． （2） 因为 cosC =√55,0<C <π，所以sinC =√1−cos 2C =2√55, 从而 tanC =2，于是 tan [π−(A +B )]=2．即tan (A +B )=−2,亦即tanA +tanB1−tanAtanB=−2,由（1）得4tanA1−3tan 2A=−2,解得tanA =1或−13,因为 cosA >0，故 tanA =1．所以 A =π4．41. （1） 在 △ABC 中，因为 cosA =1213,cosC =35，所以sinA =513,sinC =45, 从而sinB=sin [π−(A +C )]=sin (A +C )=sinAcosC +cosAsinC =513×35+1213×45=6365. 由正弦定理ABsinC=AC sinB，得AB=ACsinB⋅sinC =12606365×45=1040(m ),所以索道 AB 的长为 1040m ．（2） 设乙出发 tmin 后，甲、乙两游客距离为 d ， 此时，甲行走了 (100+50t )m ，乙距离 A 处 130tm ， 所以，由余弦定理得d 2=(100+50t )2+(130t )2−2×130t ×(100+50t )×1213=200(37t 2−70t +50).由于 0≤t ≤1040130，即0≤t ≤8,故当 t =3537(min ) 时，甲、乙两游客距离最短．（3） 由正弦定理 BC sinA=AC sinB，得BC=ACsinB ⋅sinA =12606365×513=500(m ).乙从 B 出发时，甲已走了50×(2+8+1)=550(m ),还需走 710m 才能到达 C ．设乙步行的速度为 vm/min ，由题意得−3≤500v −71050≤3,解得125043≤v ≤62514, 所以为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3min ， 乙步行的速度应控制在 [125043,62514]（单位：m/min ）范围内．42. 由已知可设 P(√3cosφ,sinφ)(0≤φ<2π)，则S =x +y=√3cosφ+sinφ=2sin (φ+π3),所以当 φ=π6 时，S 取最大值 2． 43. （1） 因为sin (A +π6)=√32sinA +12cosA =2cosA,所以 sinA =√3cosA ，所以 A =π3． （2） 因为 cosA =13，b =3c ，所以a 2=b 2+c 2−2bccosA =8c 2,a =2√2c.由正弦定理得：2√2c sinA =csinC, 而 sinA =√1−cos 2A =2√23，所以 sinC =13．44. （1） 因为tanα=AE AB ,tanβ=AE AD, 所以tanαtanβ=AD AB =3130. 又tanα=HAB,tanβ=4AD−AB,所以H AB ⋅AD−AB4=ADAB,把ADAB =3130代入得H=124m．（2）由题设知d=AB，从而tanα=Hd．由AB=AD−BD=Htanβ−ℎtanβ,得tanβ=H−ℎd.所以tan(α−β)=tanα−tanβ1+tanαtanβ=ℎd+H(H−ℎ)d≤ℎ2√H(H−ℎ),当且仅当d=H(H−ℎ)d，即d=√H(H−ℎ)=√125×(125−4)=55√5时，上式取等号．所以当d=55√5时，tan(α−β)最大．因为0<β<α<π2，则0<α−β<π2，所以当d=55√5时，α−β最大．故所求的d是55√5m．45. （1）由AB，BC，AC为有理数及余弦定理知cosA=AB2+AC2−BC22AB⋅AC是有理数．（2）用数学归纳法证明cosnA和sinA⋅sinnA都是有理数．①当n=1时，由（1）知cosA是有理数，从而有sinA⋅sinA=1−cos2A也是有理数．②假设当n=k(k≥1)时，coskA和sinA⋅sinkA都是有理数．当n=k+1时，由cos(k+1)A=cosA⋅coskA−sinA⋅sinkA,sinA⋅sin(k+1)A=sinA⋅(sinA⋅coskA+cosA⋅sinkA)=(sinA⋅sinA)⋅coskA+(sinA⋅sinkA)⋅cosA,由①和归纳假设，知cos(k+1)A与sinA⋅sin(k+1)A都是有理数，即当n=k+1时，结论成立．综合①、②可知，对任意正整数n，cosnA是有理数．46. （1）连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，从而∠EBG是A1B与平面ABD所成的角．设F为AB中点，连结EF、FC，因为E是A1B的中点，所以EF∥AA1，且EF=12AA1，又D是CC1的中点，所以CD∥AA1，且CD=12AA1，从而EF∥CD，且EF=CD，所以EFCD为平行四边形．又DC⊥平面ABC，所以EFCD为矩形．连结DF，G是△ADB的重心，则G∈DF．在Rt△EFD中，EF2=FG⋅FD=13FD2.由EF=1，解得FD=√3，从而ED=√2,EG=1×√2√3=√63.在Rt△ABC中，因为FC=ED=√2，所以AB=2√2,A1B=2√3,EB=√3.在Rt△EBG中，sin∠EBG=EGEB=√23.因此，A1B与平面ABD所成的角是arcsin√23．（2）因为ED⊥AB，ED⊥EF，EF∩AB=F，所以ED⊥平面A1AB．设A1到平面AED的距离为ℎ，由V A1−AED =V D−AA1E，得S△AED⋅ℎ=S△A1AE⋅ED,因为S △A 1AE =12S △A 1AB =√2,S △AED =12AE ⋅ED =√62.所以ℎ=√2×√2√62=2√63. 因此，A 1 到平面 AED 的距离为 2√63． 47. （1） 不妨设正三角形 ABC 的边长为 3，则在图 1 中，取 BE 的中点 D ，连结 DF ． ∵ AE ∶EB =CF ∶FA =1∶2，∴ AF =AD =2，而 ∠A =60∘， ∴ △ADF 为正三角形． 又 AE =DE =1，∴ EF ⊥AE ． 从而在图 2 中，EF ⊥A 1E ． ∵ 二面角 A 1−EF −B 为直二面角， ∴ A 1E ⊥平面 BEP ．（2） 在图 2 中，∵ A 1E ⊥平面 BEP ， ∴ A 1E ⊥BP ，由线面垂直的判定与性质，得 BP 垂直于 A 1E 在面 A 1BP 内的射影． 设 A 1E 在平面 A 1BP 内的射影为 A 1Q ，且 A 1Q 交 BP 于 Q ．则 ∠EA 1Q 就是 A 1E 与平面 A 1BP 所成的角，且 BP ⊥A 1Q ． 在 △EBP 中，∵ BE =BP =2，∠EBP =60∘， ∴ △EBP 为正三角形，∴ BE =EP ． 又 ∵ A 1E ⊥平面 BEP ，∴ A 1B =A 1P ， ∴ Q 为 BP 的中点，且 EQ =√3，而 A 1E =1， ∴ 在 Rt △A 1EQ 中，tan∠EA 1Q =EQA 1E=√3. 因此，直线 A 1E与面 A 1BP 所成角为 60∘．（3）在图2中，过F作FM⊥A1P于M，连结QM、QF．∵CF=CP=1，∠C=60∘，∴△FCP为正三角形，从而PF=1．又∵PQ=12BP=1，∴PF=PQ．⋯⋯①∵A1E⊥平面BEP，EQ=EF=√3，∴A1F=A1Q，∴△A1FP≌△A1QP，从而∠A1PF=∠A1PQ．⋯⋯②由①、②及MP为公共边，得△FMP≌△QMP，∴∠QMP=∠FMP=90∘，且MF=MQ，从而∠FMQ为二面角B−A1P−F的平面角．在Rt△A1QP中，A1Q=A1F=2，PQ=1，∴A1P=√5．由MQ⊥A1P，得MF=MQ=A1Q⋅PQA1P=2√55.在△FCQ中，FC=1，QC=2，∠C=60∘．由余弦定理，得QF=√3，在△FMQ中，cos∠FMQ=MF2+MQ2−QF22MF⋅MQ=−78.因此，二面角B−A1P−F的大小为π−arccos78．第21页（共21 页）。

第二部分三角函数与解三角形一．填空题（共20小题）1．（2013•江苏）函数y=3sin（2x+）的最小正周期为．2．（2013•新课标Ⅰ）设当x=θ时，函数f（x）=sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ= ．3．（2011•江苏）函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（0）= ．4．（2016•江苏）定义在区间[0，3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是．5．（2010•江苏）定义在区间上的函数y=6cosx的图象与y=5tanx的图象的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与y=sinx的图象交于点P2，则线段P1P2的长为．6．（2016•新课标Ⅲ）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=sinx+cosx的图象至少向右平移个单位长度得到．7．（2008•北京）若角α的终边经过点P（1，﹣2），则tan2α的值为．8．（2012•江苏）设α为锐角，若cos（α+）=，则sin（2α+）的值为．9．（2015•江苏）已知tanα=﹣2，tan（α+β）=，则tanβ的值为．10．（2017•江苏）若tan（α﹣）=．则tanα= ．11．（2013•上海）若cosxcosy+sinxsiny=，sin2x+sin2y=，则sin（x+y）= ．12．（2016•江苏）在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是．13．（2014•江苏）若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC，则cosC的最小值是．14．（2014•新课标Ⅰ）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为．15．（2014•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b﹣c=a，2sinB=3sinC，则cosA的值为．16．（2011•新课标）在△ABC中，B=60°，AC=，则AB+2BC的最大值为．17．（2010•江苏）在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若+=6cosC，则+的值是．18．（2009•湖南）在锐角△ABC中，BC=1，B=2A，则的值等于，AC的取值范围为．19．（2008•江苏）满足条件AB=2，AC=BC的三角形ABC的面积的最大值是．20．（2017•新课标Ⅱ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosB=acosC+ccosA，则B= ．二．解答题（共10小题）21．（2017•江苏）已知向量=（cosx，sinx），=（3，﹣），x∈[0，π]．（1）若，求x的值；（2）记f（x）=，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．22．（2012•江苏）在△ABC中，已知．（1）求证：tanB=3tanA；（2）若cosC=，求A的值．23．（2015•湖南）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．（1）证明：B﹣A=；（2）求sinA+sinC的取值范围．24．（2015•江苏）在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．（1）求BC的长；（2）求sin2C的值．25．（2016•江苏）在△ABC中，AC=6，cosB=，C=．（1）求AB的长；（2）求cos（A﹣）的值．26．（2014•江苏）已知α∈（，π），sinα=．（1）求sin（+α）的值；（2）求cos（﹣2α）的值．27．（2016•四川）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=．（1）证明：sinAsinB=sinC；（2）若b2+c2﹣a2=bc，求tanB．28．（2016•新课标Ⅰ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．（1）求C；（2）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．29．（2015•山东）设f（x）=sinxcosx﹣cos2（x+）．（1）求f（x）的单调区间；（2）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=0，a=1，求△ABC面积的最大值．第二讲三角函数与解三角形参考答案与试题解析一．填空题（共20小题）1．（2013•江苏）函数y=3sin（2x+）的最小正周期为π．【解答】解：∵函数表达式为y=3sin（2x+），∴ω=2，可得最小正周期T=||=||=π故答案为：π2．（2013•新课标Ⅰ）设当x=θ时，函数f（x）=sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ= ﹣．【解答】解：f（x）=sinx﹣2cosx=（sinx﹣cosx）=sin（x﹣α）（其中cosα=，sinα=），∵x=θ时，函数f（x）取得最大值，∴sin（θ﹣α）=1，即sinθ﹣2cosθ=，又sin2θ+cos2θ=1，联立得（2cosθ+）2+cos2θ=1，解得cosθ=﹣．故答案为：﹣3．（2011•江苏）函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（0）= ．【解答】解：由的图象可得函数的周期T满足=解得T=π=又∵ω＞0，故ω=2又∵函数图象的最低点为（，﹣）故A=且sin（2×+φ）=﹣即+φ=故φ=∴f（x）=sin（2x+）∴f（0）=sin=故答案为：4．（2016•江苏）定义在区间[0，3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是7 ．【解答】解：法1：画出函数y=sin2x与y=cosx在区间[0，3π]上的图象如下：由图可知，共7个交点．法2：依题意，sin2x=cosx ，即cosx （2sinx ﹣1）=0，故cosx=0或sinx=， 因为x ∈[0，3π]，故x=，，，，，，，共7个，故答案为：7．5．（2010•江苏）定义在区间上的函数y=6cosx 的图象与y=5tanx 的图象的交点为P ，过点P 作PP 1⊥x 轴于点P 1，直线PP 1与y=sinx 的图象交于点P 2，则线段P 1P 2的长为 ．【解答】解：线段P 1P 2的长即为sinx 的值， 且其中的x 满足6cosx=5tanx ，即6cosx=，化为6sin 2x+5sinx ﹣6=0，解得sinx=．线段P 1P 2的长为故答案为．6．（2016•新课标Ⅲ）函数y=sinx ﹣cosx 的图象可由函数y=sinx+cosx 的图象至少向右平移个单位长度得到．【解答】解：∵y=f （x ）=sinx+cosx=2sin （x+），y=sinx ﹣cosx=2sin （x ﹣），∴f （x ﹣φ）=2sin （x+﹣φ）（φ＞0），令2sin（x+﹣φ）=2sin（x﹣），则﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），即φ=﹣2kπ（k∈Z），=，当k=0时，正数φmin故答案为：．7．（2008•北京）若角α的终边经过点P（1，﹣2），则tan2α的值为．【解答】解：∵角α的终边经过点P（1，﹣2），∴故答案为：．8．（2012•江苏）设α为锐角，若cos（α+）=，则sin（2α+）的值为．【解答】解：设β=α+，∴sinβ=，sin2β=2sinβcosβ=，cos2β=2cos2β﹣1=，∴sin（2α+）=sin（2α+﹣）=sin（2β﹣）=sin2βcos﹣cos2βsin=．故答案为：．9．（2015•江苏）已知tanα=﹣2，tan（α+β）=，则tanβ的值为 3 ．【解答】解：tanα=﹣2，tan（α+β）=，可知tan（α+β）==，即=，解得tanβ=3．故答案为：3．10．（2017•江苏）若tan（α﹣）=．则tanα= ．【解答】解：∵tan（α﹣）===∴6tanα﹣6=tanα+1，解得tanα=，故答案为：．11．（2013•上海）若cosxcosy+sinxsiny=，sin2x+sin2y=，则sin（x+y）= ．【解答】解：∵cosxcosy+sinxsiny=，∴cos（x﹣y）=．∵sin2x+sin2y=，∴sin[（x+y）+（x﹣y）]+sin[（x+y）﹣（x﹣y）]=，∴2sin（x+y）cos（x﹣y）=，∴，∴sin（x+y）=．故答案为．12．（2016•江苏）在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是8 ．【解答】解：由sinA=sin（π﹣A）=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，sinA=2sinBsinC，可得sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，①由三角形ABC为锐角三角形，则cosB＞0，cosC＞0，在①式两侧同时除以cosBcosC可得tanB+tanC=2tanBtanC，又tanA=﹣tan（π﹣A）=﹣tan（B+C）=﹣②，则tanAtanBtanC=﹣•tanBtanC，由tanB+tanC=2tanBtanC可得tanAtanBtanC=﹣，令tanBtanC=t，由A，B，C为锐角可得tanA＞0，tanB＞0，tanC＞0，由②式得1﹣tanBtanC＜0，解得t＞1，tanAtanBtanC=﹣=﹣，=（）2﹣，由t＞1得，﹣≤＜0，因此tanAtanBtanC的最小值为8，另解：由已知条件sinA=2sinBsinc，sin（B十C）=2sinBsinC，sinBcosC十cosBsinC=2sinBcosC，两边同除以cosBcosC，tanB十tanC=2tanBtanC，∵﹣tanA=tan（B十C）=，∴tanAtanBtanC=tanA十tanB十tanC，∴tanAtanBtanC=tanA十2tanBtanC≥2，令tanAtanBtanC=x＞0，即x≥2，即x≥8，或x≤0（舍去），所以x的最小值为8．当且仅当t=2时取到等号，此时tanB+tanC=4，tanBtanC=2，解得tanB=2+，tanC=2﹣，tanA=4，（或tanB，tanC互换），此时A，B，C均为锐角．13．（2014•江苏）若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC，则cosC的最小值是．【解答】解：由正弦定理得a+b=2c，得c=（a+b），由余弦定理得cosC====≥=，当且仅当时，取等号，故≤cosC＜1，故cosC的最小值是．故答案为：．14．（2014•新课标Ⅰ）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为．【解答】解：因为：（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC⇒（2+b）（a﹣b）=（c﹣b）c⇒2a﹣b2=c2﹣bc，又因为：a=2，所以：，△ABC面积，而b2+c2﹣a2=bc⇒b2+c2﹣bc=a2⇒b2+c2﹣bc=4⇒bc≤4所以：，即△ABC面积的最大值为．故答案为：．15．（2014•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b﹣c=a，2sinB=3sinC，则cosA的值为﹣．【解答】解：在△ABC中，∵b﹣c= a ①，2sinB=3sinC，∴2b=3c ②，∴由①②可得a=2c，b=．再由余弦定理可得 cosA===﹣，故答案为：﹣．16．（2011•新课标）在△ABC中，B=60°，AC=，则AB+2BC的最大值为2．【解答】解：设AB=c AC=b BC=a由余弦定理cosB=所以a2+c2﹣ac=b2=3设c+2a=m代入上式得7a2﹣5am+m2﹣3=0△=84﹣3m2≥0 故m≤2当m=2时，此时a=，c=符合题意因此最大值为2另解：因为B=60°，A+B+C=180°，所以A+C=120°，由正弦定理，有====2，所以AB=2sinC，BC=2sinA．所以AB+2BC=2sinC+4sinA=2sin（120°﹣A）+4sinA=2（sin120°cosA﹣cos120°sinA）+4sinA=cosA+5sinA=2sin（A+φ），（其中sinφ=，cosφ=）所以AB+2BC的最大值为2．故答案为：2（2010•江苏）在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若+=6cosC，则+ 17．的值是 4 ．【解答】解：∵+=6cosC，由余弦定理可得，∴则+=======故答案为：418．（2009•湖南）在锐角△ABC中，BC=1，B=2A，则的值等于 2 ，AC的取值范围为（）．【解答】解：（1）根据正弦定理得：=，因为B=2A，化简得=即=2；（2）因为△ABC是锐角三角形，C为锐角，所以，由B=2A得到A+2A＞且2A=，从而解得：，于是，由（1）的结论得2cosA=AC，故．故答案为：2，（，）19．（2008•江苏）满足条件AB=2，AC=BC的三角形ABC的面积的最大值是2．【解答】解：设BC=x，则AC=x，=AB•BCsinB根据面积公式得S△ABC=×2x，根据余弦定理得cosB===，代入上式得S=x=，△ABC由三角形三边关系有，解得2﹣2＜x＜2+2．故当x=2时，S取得最大值2．△ABC20．（2017•新课标Ⅱ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosB=acosC+ccosA，则B= ．【解答】解：∵2bcosB=acosC+ccosA，由正弦定理可得，2cosBsinB=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB，∵sinB≠0，∴cosB=，∵0＜B＜π，∴B=，故答案为：二．解答题（共10小题）21．（2017•江苏）已知向量=（cosx，sinx），=（3，﹣），x∈[0，π]．（1）若，求x的值；（2）记f（x）=，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．【解答】解：（1）∵=（cosx，sinx），=（3，﹣），∥，∴﹣cosx=3sinx，∴tanx=﹣，∵x∈[0，π]，∴x=，（2）f（x）==3cosx﹣sinx=2（cosx﹣sinx）=2cos（x+），∵x∈[0，π]，∴x+∈[，]，∴﹣1≤cos（x+）≤，当x=0时，f（x）有最大值，最大值3，当x=时，f（x）有最小值，最小值﹣2．22．（2012•江苏）在△ABC中，已知．（1）求证：tanB=3tanA；（2）若cosC=，求A的值．【解答】解：（1）∵•=3•，∴cbcosA=3cacosB，即bcosA=3acosB，由正弦定理=得：sinBcosA=3sinAcosB，又0＜A+B＜π，∴cosA＞0，cosB＞0，在等式两边同时除以cosAcosB，可得tanB=3tanA；（2）∵cosC=，0＜C＜π，sinC==，∴tanC=2，则tan[π﹣（A+B）]=2，即tan（A+B）=﹣2，∴=﹣2，将tanB=3tanA代入得：=﹣2，整理得：3tan2A﹣2tanA﹣1=0，即（tanA﹣1）（3tanA+1）=0，解得：tanA=1或tanA=﹣，又cosA＞0，∴tanA=1，又A为三角形的内角，则A=．23．（2015•湖南）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．（Ⅰ）证明：B﹣A=；（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由a=btanA和正弦定理可得==，∴sinB=cosA，即sinB=sin（+A）又B为钝角，∴+A∈（，π），∴B=+A，∴B﹣A=；（Ⅱ）由（Ⅰ）知C=π﹣（A+B）=π﹣（A++A）=﹣2A＞0，∴A∈（0，），∴sinA+sinC=sinA+sin（﹣2A）=sinA+cos2A=sinA+1﹣2sin2A=﹣2（sinA﹣）2+，∵A∈（0，），∴0＜sinA＜，∴由二次函数可知＜﹣2（sinA﹣）2+≤∴sinA+sinC的取值范围为（，]24．（2015•江苏）在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．（1）求BC的长；（2）求sin2C的值．【解答】解：（1）由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcosA=4+9﹣2×2×3×=7，所以BC=．（2）由正弦定理可得：，则sinC===，∵AB＜BC，BC=，AB=2，角A=60°，在三角形ABC中，大角对大边，大边对大角，＞2，∴角C＜角A，角C为锐角．sinC＞0，cosC＞0则cosC===．因此sin2C=2sinCcosC=2×=．25．（2016•江苏）在△ABC中，AC=6，cosB=，C=．（1）求AB的长；（2）求cos（A﹣）的值．【解答】解：（1）∵△ABC中，cosB=，∴sinB=，∵，∴AB==5；（2）cosA=﹣cos（C+B）=sinBsinC﹣cosBcosC=﹣．∵A为三角形的内角，∴sinA=，∴cos（A﹣）=cosA+sinA=．26．（2014•江苏）已知α∈（，π），sinα=．（1）求sin（+α）的值；（2）求cos（﹣2α）的值．【解答】解：α∈（，π），sinα=．∴cosα=﹣=（1）sin（+α）=sin cosα+cos sinα==﹣；∴sin（+α）的值为：﹣．（2）∵α∈（，π），sinα=．∴cos2α=1﹣2sin2α=，sin2α=2sinαcosα=﹣∴cos（﹣2α）=cos cos2α+sin sin2α==﹣．cos（﹣2α）的值为：﹣．27．（2016•四川）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=．（Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC；（Ⅱ）若b2+c2﹣a2=bc，求tanB．【解答】（Ⅰ）证明：在△ABC中，∵+=，∴由正弦定理得：，∴=，∵sin（A+B）=sinC．∴整理可得：sinAsinB=sinC，（Ⅱ）解：b2+c2﹣a2=bc，由余弦定理可得cosA=．sinA=，=+==1，=，tanB=4．28．（2016•新课标Ⅰ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sinC≠0已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，整理得：2cosCsin（A+B）=sinC，即2cosCsin（π﹣（A+B））=sinC2cosCsinC=sinC∴cosC=，∴C=；（Ⅱ）由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab•，∴（a+b）2﹣3ab=7，∵S=absinC=ab=，∴ab=6，∴（a+b）2﹣18=7，∴a+b=5，∴△ABC的周长为5+．29．（2015•山东）设f（x）=sinxcosx﹣cos2（x+）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=0，a=1，求△ABC面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，f（x）=sin2x﹣=sin2x﹣=sin2x﹣由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得：k≤x≤k，k∈Z；由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得：k≤x≤k，k∈Z；所以f（x）的单调递增区间是[k，k]，（k∈Z）；单调递减区间是：[k，k]，（k∈Z）；（Ⅱ）由f（）=sinA﹣=0，可得sinA=，由题意知A为锐角，所以cosA=，由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：1+bc=b2+c2≥2bc，即bc，且当b=c时等号成立．因此S=bcsinA≤，所以△ABC面积的最大值为．30．（2013•江苏）如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min．在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA=，cosC=（1）求索道AB的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？【解答】解：（1）在△ABC中，因为cosA=，cosC=，所以sinA=，sinC=，从而sinB=sin[π﹣（A+C）]=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC==由正弦定理，得AB===1040m．所以索道AB的长为1040m．（2）假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了（100+50t）m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理得d2=（100+50t）2+（130t）2﹣2×130t×（100+50t）×=200（37t2﹣70t+50）=200[37（t﹣）2+]，因0≤t≤，即0≤t≤8，故当t=min时，甲、乙两游客距离最短．（3）由正弦定理，得BC===500m，乙从B出发时，甲已经走了50×（2+8+1）=550m，还需走710m才能到达C．设乙步行的速度为 v m/min，由题意得﹣3≤≤3，解得，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在[]范围内．。

例1 【2013江苏高考】函数3sin(2)4y x π
=+的最小正周期为 ▲
例2 【2012江苏高考】设α为锐角，若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝
⎭，则)122sin(π+a 的值为 ▲ ． 例3 【2011江苏高考】函数)sin()(ϕω+=x A x f （ϕω,,A 为常数，0,0>>ωA ）的部分图象如图所示,则)0(f 的值为 ▲ ．
三角函数的性质及解三角形在高考的填空题和解答题中均有考查，涉及数形结合思想和等价转化思想，着重考查学生运算求解能力和推理论证能力. 三角函数的性质及解三角形在解答题中常和平面向量的知识结合考查.
1.预计14年考查重点仍为同角三角函数的基本关系式、诱导公式、两角和与差的三角函数、二倍角公式以及正余弦定理.
2.三角函数中涉及到的公式很多，在复习的过程中，一方面要对公式进行有意义的理解和记忆，另一方面要根据实际情况选择恰当的公式，根据问题的条件和结论多角度思考问题，从而选择恰当的方法解决问题.
3.三角函数知识在高考中的总体难度中等，在复习过程中注意加强对同角三角函数的关系式、诱导公式、两角和与差的三角函数、二倍角公式以及正余弦定理的训练.。

江苏省宿迁市高考数学真题分类汇编专题15：三角函数（综合题）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、三角函数 (共7题；共50分)1. （10分）(2018·中原模拟) 如图所示，中，．（1）求证：是等腰三角形；（2）求的值以及的面积．2. （5分）(2017·湘潭模拟) 在△ABC中，2cos2A+3=4cosA．（1）求角A的大小；（2）若a=2，求△ABC的周长l的取值范围．3. （5分） (2018高一下·苏州期末) 如图，长方形材料中，已知， .点为材料内部一点，于，于，且， . 现要在长方形材料中裁剪出四边形材料，满足，点、分别在边，上.（1）设，试将四边形材料的面积表示为的函数，并指明的取值范围；（2）试确定点在上的位置，使得四边形材料的面积最小，并求出其最小值.4. （5分） (2017高三上·九江开学考) 在△ABC中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，且a=5，b2+c2﹣ bc=25．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）设cosB= ，求边c的大小．5. （10分） (2016高二上·蕉岭开学考) 已知向量 =（sinθ，﹣2）与 =（1，cosθ）互相垂直，其中θ∈（0，）．（Ⅰ）求sinθ和cosθ的值；（Ⅱ）若sin（θ﹣φ）= ，0＜φ＜，求cosφ的值．6. （5分） (2018高一下·珠海期末) 已知第二象限的角，并且 .（1）化简式子并求值；（2）若，请判断实数的符号，计算的值.（用字母表示即可）7. （10分）(2017·江苏) 已知向量 =（cosx，sinx）， =（3，﹣），x∈[0，π]．（Ⅰ）若∥ ，求x的值；（Ⅱ）记f（x）= ，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．参考答案一、三角函数 (共7题；共50分)1-1、1-2、2-1、2-2、3-1、3-2、4-1、5-1、6-1、6-2、7-1、。