模型降阶之pade降阶法

互连延迟的分析方法刘 昆 [1] 郑 赟[2] 黄道君[3] 候劲松[4][2][4]北京中电华大电子设计有限责任公司，[1][3]西安电子科技大学机电工程学院 摘要：随着工艺技术到达深亚微米领域，互连线的延迟影响越来越大，已经超过门延迟，成为电路延迟的主要部分。

因此，互连线的延迟已成为集成电路设计中必须解决的问题。

目前人们已展开了全面、深入地研究，提出了许多方法。

本文将介绍各类互连延迟的评估分析方法，分析它们的原理，比较它们的优缺点，指出它们的适用范围。

1 介绍随着芯片加工工艺技术向深亚微米领域发展，互连线的延迟影响越来越大，已超过门延迟，成为电路延迟的主要部分。

高速互连线的影响，如环绕、反射、串扰和扭曲等，已严重退化系统的性能。

因此互连线的延迟分析已成为集成电路设计中必须解决的问题。

Spice 和AS/X 电路模拟器是非常好的延迟分析工具[1-2]。

它们能非常准确地计算互连延迟，但是计算效率非常低下，特别是对于线性电路。

而互连线就是线性电路，因此一类降阶模型技术[3-5]，如AWE[3]，已用来计算互连延迟。

它们与模拟方法有相同的精度，却有更高的效率。

但是它们有稳定性和保守性的问题，并且在设计早期使用它们来计算延迟还是很昂贵。

因此既有效率又容易实现的延迟度量已成为许多研究者研究的热点，只要它们的精度和可信度比较合理。

Elmore[6]于1948年提出了一个计算瞬态阶跃响应（step response ）到达它最终值的50%时的时间计算表达式。

它的原理是用冲激响应（impulse response ）的平均值(也就是一阶瞬态)来近似单调阶跃响应波形到达它最终值的50%时的时间。

Elmore 延迟是冲激响应的一阶瞬态1m 。

它有时相当不准确，因为它忽略了顺流电容的漏电阻（resistive shielding ）。

为了取得更高的精确性，需要利用高阶瞬态2m ，Λ,m 3 。

Kahng 和Muddu[7]提出了三个延迟度量（metric ），所有的延迟度量都是采用前三个电路瞬态1m ，2m ，3m 。

大规模动力系统的模型降阶方法
大规模动力系统的模型降阶方法是指将复杂的电力系统模型通
过一系列数学方法和技术手段，将其简化为较小规模的模型，以便更好地进行分析和计算。

这种方法可以大幅度降低模型的维度和计算量，提高计算效率和准确性，同时还可以更好地展现系统的特性和行为。

目前，大规模动力系统的模型降阶方法主要包括基于系统结构的方法、基于电力网络拓扑的方法、基于模态分析和特征值分解的方法、基于模型约简和投影方法的方法等。

其中，基于系统结构的方法主要关注电力系统的物理结构和运行特性，通过简化电力系统的结构和减少节点数来实现模型的降阶；基于电力网络拓扑的方法则侧重于电力系统的拓扑结构，通过划分电力系统的电网结构和合并节点等方式实现模型的降阶。

基于模态分析和特征值分解的方法则是通过对电力系统的特征
值和模态进行分析，筛选出对系统动态响应影响最大的模态，并将其保留在简化模型中，从而达到降阶的目的。

而基于模型约简和投影方法的方法则是通过对电力系统的数学模型进行约简和投影，将其转换成较小规模的模型，以实现降阶和提高计算效率。

综上所述，大规模动力系统的模型降阶方法是电力系统研究中非常重要的一部分，它可以大幅提高研究的效率和准确性，为电力系统的研究和运行提供了有力支持。

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模型降阶方法pdf近年来，随着机器学习、深度学习等技术的快速发展，人们对模型的准确性和复杂性要求越来越高。

但是，随着模型越来越复杂，模型也越来越难以解释，计算量也越来越大，不利于模型的应用和优化。

因此，模型降阶也成为了研究热点之一。

模型降阶，就是将高维度的复杂模型降低至更简单的低维度模型。

模型降阶的好处有很多。

首先，对于一些需要实时处理的数据，降阶可以大大减少计算量，提升模型的响应速度和效率。

其次，由于降阶后的模型更加简单，所以更容易解释和理解，方便我们对模型进行优化和改进。

常见的模型降阶方法包括主成分分析（PCA）、独立成分分析（ICA）、因子分析（FA）等。

这些方法的具体应用取决于模型降阶的目的和数据的情况。

以PCA为例，是一种常用的数据降阶方法。

它通过对原始数据进行线性变换，将高维度的数据降低到低维度，从而减少数据的冗余信息。

PCA在各种领域都有广泛的应用，如图像处理、金融领域的数据分析等。

在使用PCA进行数据处理时，我们首先需要对数据进行预处理，如中心化和标准化等操作。

接着，我们需要计算数据的协方差矩阵，并对其进行特征值分解。

通过计算特征值和特征向量，我们可以得到降低后的数据，保留了原始数据的主要信息，同时减少了数据的冗余。

通过模型降阶，我们可以更好地理解模型，提高模型的应用效果和计算效率。

然而，在使用模型降阶方法时，我们需要注意数据的特点和目的，在选择合适的方法时，要考虑计算效率、模型准确性等综合因素。

总之，模型降阶是一种非常实用的数据处理方法，可以帮助我们解决高维度数据带来的种种问题，同时也可以优化模型。

通过对各种降阶方法的研究和应用，我们可以更好地利用数据，为实际应用提供更好的支持和帮助。

摘 要在控制系统设计时，需要研究被控对象的特性，对其建立数学模型是主要工具。

然而利用各种建模方法建立的模型可能阶次很高，不适用于实际的控制应用，有必要对高阶模型进行降阶处理。

根据简便性和稳定性的原则，选择了skogestad折半规则方法、 Pade逼近法和连分式法对高阶模型进行简化。

具体利用上述三种方法分别对稳定系统和不稳定系统进行模型降阶的研究。

结果表明，三种方法都可实现模型降阶，并保证系统的稳定性不变。

其中采用Pade逼近法，误差最小，效果最好，连分式法误差最大，效果最差。

关键词：模型降阶，skogestad折半规则方法， Pade逼近法，连分式法AbstactIn the control system design, need to study the characteristics of controlled object, its mathematical model is the main tool. However, using a variety of modeling methods to establish the order of the model may be very high, does not apply to the actual control applications, it is necessary to deal with high-end model reduction. According to the principles of simplicity and stability, the rules selected skogestad half rule method, Pade approximation and continued fractions method to simplify the high-end model. The specific use of the above three methods to stabilize the system and the instability of the system model reduction. The results showed that three methods can be realized model reduction, and to ensure stability of the system unchanged. One use of Pade approximation method, the error is smallest, the effect is best, the continued fractions error is biggest, the effect is worst.Keywords: model reduction, skogestad half rule method, Pade approximation, continued fractions目录第一章 前 言 (1)1.1模型降阶的背景 (1)1.2模型降阶的意义 (1)1.3模型降阶遵循的原则 (2)1.4现有模型降阶的方法 (2)1.5 研究内容 (4)第二章 选用的模型降阶的方法 (5)2.1 Skogestad折半规则 (5)2.2 Pade逼近法 (5)2.3 用连分式法 (8)2.4利用阶跃响应建立模型 (9)第三章模型降阶方法的仿真与分析 (11)3.1 稳定系统的模型降阶研究 (11)3.1.1 稳定系统的模型 (11)3.1.2 skogestad 折半规则 (12)3.1.3 Pade逼近法 (14)3.1.4 连分式法 (17)3.1.5 小结 (20)3.2 不稳定系统 (22)3.2.1 不稳定系统的模型 (22)3.2.2 skogestad 折半规则 (23)3.2.3 逼近法 (25)3.2.3 连分式法 (26)3.3 利用阶跃响应建立模型 (28)III第四章 结论与展望 (30)参 考 文 献 (31)致 谢 (32)声 明 (33)IV第一章 前 言1.1模型降阶的背景【1】模型降阶，就是指将一个高阶模型转化为一个低阶模型，使得后者比前者更容易处理而又能够满足精度要求。

模型降阶方法综述大系统模型降阶是一个活跃的研究领域，比较成熟的经典降阶方法主要有：Pade逼近法，时间矩法，连分式法，Routh逼近法及棍合法等。

本文综述了这一领域的现有文献，介绍了每种降阶方法的基本思想、优缺点和适用范围，特别指出了一些新的经典模型降阶方法的进展。

文中最后提出了模型降阶方法的可能研究方向。

一、Pade逼近法Pade逼近法是大系统模型简化中最早出现的一种经典降阶方法。

到目前为止，人们仍然公认它是一种行之有效的传递函数降阶法。

Pade逼近法是泰勒级数展开理论的应用，适用于传递函数可表示成有理多项式分式(或传递函数阵为有理分式阵)的场合。

降阶方法简单，易于编制上机程序，低频(稳态)拟合性能好。

但是，Pade逼近法的高频(动态)拟合性能较差且不能保证降阶模型的稳定性。

因而在模型降阶方法中，很少单独使用Pade逼近法。

为了弥补Pade逼近法的不足，Brown等引入了使降阶模型稳定的补充性能准则，但却提高了降阶模型的阶次；Rossen等把造成降阶模型不稳定的极点隔离开来，并用任意稳定极点取代，可以防止降阶模型不稳定，但加大了计算量；Chuang和Shamash先后提出在和附近交替展成Pade近似式，可获得有较好动态拟合性能的降阶模型；Shih等采用线性变换方法将中不稳定的极点映射到另一平面，以扩大Pade展开式的收敛域，并由此选出稳定的降阶模型。

为了克服泰勒级数收敛慢的弱点，Calfe等提出了切比雪夫多项式模型降阶方法，可获得稳定的降阶模型；Bistritz等提出了广义切比雪夫一Pade逼近法，即Darlington多项式展开法。

这两种降阶方法均可使降阶模型在预定的区间上既稳定又具有最小相位，但计算量大，仅适用于单变量系统。

二、时间矩法时间矩法首先由Paynter提出，采用与Pade逼近法类似的方法，把高阶系统和降阶模型都展成多项式，再令时间矩对应项相等，可以求得降阶模型的各系数。

因此，时间矩法本质上仍是Pade遏近法，其优缺点也相似。

参数系统的模型降阶方法参数系统的模型降阶方法是一种通过减少系统的自由度来减小系统模型的复杂度的技术。

降阶方法可以将高维度的系统模型转化为低维度的简化模型，以提高系统分析和控制的效率。

在实际应用中，降阶方法可以用于电力系统、机械系统、流体系统等领域中对模型进行简化和近似处理。

常见的参数系统的模型降阶方法包括：1. 模态截断法（Modal truncation method）：该方法通过对系统的模态函数进行截断，仅保留部分重要的模态。

具体来说，首先通过模态分析得到系统的本征模态，然后根据模态频率和振幅的大小选择保留的模态，将被截断的模态去除，从而减少系统的自由度。

该方法适用于线性系统的降阶。

2. 局部模型投影方法（Local model projection method）：该方法通过将原始系统中的一些状态量进行投影来降低系统的维度。

具体来说，首先将原系统的状态向量分解为使用主分量分析（PCA）或奇异值分解（SVD）等方法得到的一组基函数的线性组合，然后根据模态频率和振幅的大小选择保留的基函数，将被投影的基函数去除，从而实现系统的降阶。

该方法适用于非线性系统的降阶。

3. 有限元法（Finite element method）：该方法将连续域系统分割为离散域，然后使用有限元方法对每个离散域进行建模，最后将各个离散域的模型组合起来得到整个系统的模型。

通过调整离散域的数量和形状，可以对系统的模型进行降阶。

有限元法适用于结构动力学和流体力学等领域中的系统降阶。

4. 幂迭代法（Power iteration method）：该方法通过迭代计算系统的特征值和特征向量，然后根据特征值的大小进行选择和截断，从而实现系统的降阶。

幂迭代法适用于大规模系统和稀疏矩阵的降阶。

5. 模型适应方法（Model fitting method）：该方法通过将原始系统的模型与一个较低阶的模型进行参数匹配，从而实现系统的降阶。

具体来说，可以使用系统辨识方法对原始系统进行建模，然后调整模型的参数，使得较低阶的模型能够与原始系统的输出尽可能地拟合。

大系统的模型降阶研究大系统是指由多个子系统所组成的系统，其复杂性较高。

大系统常常涉及到众多因素之间的互动和影响，因此其研究难度较大。

面对这样的复杂性，通常情况下人们不会用完整的方式来描述大系统。

相反，会将其分解成多个次级系统，然后对每个系统进行分析。

这种方法被称为分级分解分析。

然而，分级分解分析也存在一定的问题。

因为子系统之间的相互作用非常复杂，可能导致所得的结果不够准确。

而且，在进行系统分析时，通常需要考虑到较多的因素，因此研究对象会很大，计算难度会增大。

模型降阶研究就是为了解决系统分析中的这些问题而提出的。

它的基本思想是通过适当降低模型的级别和复杂度，来大幅度减少对对象的研究和计算难度，同时保证研究结果的准确性。

模型降阶的方法有很多，下面来介绍一些比较常见的方法。

1. 线性化方法线性化方法是一种将非线性系统转化为线性系统的方法。

前提是要求非线性函数在某个点附近的导数存在，而导数是线性的，因此可以将非线性函数线性化。

线性化后的模型比非线性模型简单，并且通常有很好的数学性质，易于分析和计算。

2. 组合方法组合方法是一种将多个互播影响的子系统组合成一个整体系统的方法。

组合后的系统可能比原来的系统简化，但通常需要考虑到子系统之间的相互作用和影响。

3. 模型简化方法模型简化方法是一种通过适当简化模型来减少计算难度的方法。

比如可以采用维数约束、参数约束、粗粒化等方法来简化模型。

简化后的模型可能会失去一些细节信息，但通常可以以较小的代价来获得相对准确的结果。

总之，模型降阶研究为解决大系统分析中的问题提供了一条新的途径。

不仅可以减小研究和计算难度，而且还可以保证研究结果的准确性，具有广泛的应用前景。

参数系统的模型降阶方法参数系统模型降阶方法是一种将高维度模型降为低维度模型的方法，可以帮助我们简化模型，提高建模效率。

在自然科学、工程技术和社会科学等领域，这种方法已经得到了广泛应用。

常见的参数系统建模方法有传递函数法、状态空间法、参数估计法、神经网络法等，这些方法可以得到高维参数系统的输出响应和状态响应，但是当系统的自由度较高或者数据处理不当时，系统的维度可能过高，出现“维度灾难”现象，给建模带来了很大的困难。

因此，需要将高维度模型进行降阶以得到更加简洁的模型。

传递函数法是将高维度系统看作由多个基本元件（元器件）连接而成，通过基本元件的幺正映射，可以将系统的传递函数表示成拉普拉斯变换的形式。

这种方法可以有效地描述系统的输入输出特性，但是对于非线性系统，传递函数法常常需要进行线性化处理，模型的准确性受到影响。

状态空间法是一种将高维度系统转化为状态变量和控制变量的组合方式。

这种方法可以描述系统的状态和控制变量之间的关系，并且可以灵活地添加和删除状态变量，适用于非线性系统的建模。

参数估计法是通过对观测数据进行分析和处理，确定系统的参数值。

该方法适用于数据量较大的情况，但是对于高维度系统，往往需要进行复杂的计算。

神经网络法是一种将高维度系统看作是多个神经元之间的连接，并通过学习算法来确定神经元之间的权重值。

这种方法可以适用于非线性系统，并且可以处理大量的观测数据。

参数系统模型降阶方法是一种将高维度系统建模简化成低维度系统的方法，使得模型具有更好的可解释性和更高的建模效率。

2.1 线性主成分分析（PCA）线性主成分分析是一种将高维度数据转化为低维度数据的方法，使得数据的方差最大化。

这种方法可以有效地识别系统中重要的特征，通过将其它不相关的特征删除，简化模型的复杂度。

2.2 特征选择法特征选择法是一种通过选择系统中最重要的特征来降低模型维度的方法。

这个方法的关键是如何选择最有意义的特征。

通过引入一些模型选择准则，例如嵌入式方法、过滤式方法和包装式方法，可以有助于得到最重要的特征。