17力学量平均值随时间的变化守恒定律

五大守恒定律解析五大守恒定律解析引言：在物理学领域，五大守恒定律是指守恒质量、守恒动量、守恒能量、守恒角动量和守恒电荷这五个基本的物理量不会随时间改变的定律。

这些定律的确立在物理学的发展过程中起到了重要的作用，对我们理解自然界的各种现象具有重要的意义。

本文将从深度和广度的角度对五大守恒定律进行解析，探讨其背后的原理和应用。

第一部分：守恒质量守恒质量定律是物理学中最基本的定律之一。

它表明在任何物理过程中，质量是不会产生或破坏的，只会从一种形式转化为另一种形式。

这一定律在宇宙中起到了至关重要的作用，保证了宇宙系统的稳定性。

我们将探讨守恒质量定律的原理以及一些实际应用，如核能反应和偏振光的传播等。

第二部分：守恒动量守恒动量定律是描述物体在相互作用过程中动量守恒的定律。

在一个封闭系统中，总动量不会改变，只会在物体之间相互转移。

通过深入研究和分析守恒动量定律，我们可以更好地理解碰撞、爆炸等过程，并应用于航天飞行、交通工具设计等领域。

第三部分：守恒能量守恒能量定律是描述能量转化和转移过程中能量守恒的定律。

能量是一个物理系统的核心，守恒能量定律使我们能够预测和解释各种自然现象。

通过深入研究守恒能量定律，我们可以更好地理解热力学、动力学等领域，并应用于可持续能源开发和能源管理等实际问题。

第四部分：守恒角动量守恒角动量定律是描述物体围绕某个轴心旋转时角动量守恒的定律。

在一个封闭系统中，总角动量不会改变，只会在物体之间相互转移。

通过深入研究守恒角动量定律，我们可以更好地理解自转和公转等运动形式，并应用于汽车制动系统和天体运动等领域。

第五部分：守恒电荷守恒电荷定律是描述带电粒子的电荷守恒的定律。

电荷是基本粒子的一个属性，这一定律保证了电荷的守恒性质。

通过研究守恒电荷定律，我们可以更好地理解电流和电磁场的行为，并应用于电路设计和电磁波传播等领域。

总结回顾：五大守恒定律的确立为我们理解自然界提供了重要的基础。

通过深入研究这些定律，我们可以更好地理解各种自然现象，并将其应用于实际问题的解决。

《量子力学》课程教学大纲课程编号: 11122616课程名称：量子力学英文名称： Quantum Mechanics课程类型: 专业核心课总学时： 72 讲课学时： 72 实验学时：0学分： 5适用对象: 物理专业本科学生先修课程：高等数学、线性代数、原子物理学、数学物理方法、理论力学、电动力学等课程执笔人：李淑红审定人：孙长勇一、课程性质、目的和任务量子力学是物理专业的一门重要的专业基础理论课。

该课程是研究微观粒子运动规律的基础理论。

该课程的主要目的和任务：1、使学生了解微观粒子的运动规律，初步掌握量子力学的基本原理和处理具体问题的一些重要基本方法，为进一步学习和今后从事教学和科学研究打下必要的基础；2、使学生适当地了解量子力学在现代物理学中的应用和新进展，深化和扩大学生在普通物理学(特别是原子物理学)中所学过的有关内容，以适应现代物理学发展的状况和今后教学及科研工作的需要。

二、课程教学和教改基本要求量子力学是20世纪二十年代人们在总结了大量实验事实和旧量子论的基础上，通过一代物理学家的共同努力而建立起来的；它的基本概念除了与经典力学不同之外，还视量子力学的各种表述形式的不同而各异。

根据本课程的特点和计划学时，编制了适合学生水平的PPT教学课件，采用多媒体教学，增加课时容量；同时，注意到学生的接受情况，把传统教学和多媒体教学的优点结合起来，利用启发式教学方法；教学过程中介绍一些相关的前沿科研内容和动向，扩大学生的知识面，从而激发学生的学习兴趣。

通过课堂教学、自学、作业等环节使学生掌握所学内容，提高分析、归纳、推理的能力，为以后从事现代物理学研究打下坚实的理论基础。

三、课程各章重点与难点、教学要求与教学内容按照教育部颁布的量子力学教学大纲，本课程总学时为72学时，本大纲安排课堂讲授66学时，习题课6学时。

下面大纲中加带“*”号的为选讲内容，在教学过程中可视具体情况和总学时的多少，略讲或不讲，而以学生自学为主。

第五章 力学量随时间的演化与守恒量§1 力学量随时间的变化在经典力学中，处于一定状态下的体系的每一个力学量作为时间的函数，每一个时刻都有一个确定值；但是， 在量子力学中，只有力学量的平均值才可与实验相比较，力学量随时间的演化实质是平均值和测量值的几率分布随时间的演化。

一、守衡量力学量ˆA在任意态()t ψ上的平均值随时间演化的规律为 ˆˆ1ˆˆ,dA A A H dt t i ∂⎡⎤=+⎣⎦∂， 其中ˆH为体系的哈密顿量。

[证明] 力学量ˆA的平均值表示为()ˆ()(),()A t t A t ψψ=，()A t 对时间t 求导得 ()()ˆ()()()ˆˆ,()(),(),()ˆ11ˆˆˆˆ (),()(),()ˆ11ˆˆˆˆ (),()(),()1 d A t t t A A t t A t t dt t t t A H t A t t AH t i i t A t HA t t AH t i i tψψψψψψψψψψψψψ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭∂⎛⎫⎛⎫=++⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭∂=-+ψ+∂=ˆˆˆ,AA H i t∂⎡⎤+⎣⎦∂1ˆˆ,A H i ⎡⎤+⎣⎦1、 守恒量的定义若ˆA不显含t ， 即ˆ0A t ∂∂=， 当ˆˆ,0A H ⎡⎤=⎣⎦，那么力学量ˆA 称为守恒量。

2、守恒量的性质(1)、在任意态()t ψ上，守恒量的平均值都不随时间变化0dA dt =。

(2)、在任意态()t ψ上，守恒量的取值几率分布都不随时间变化。

[证明] 由于ˆˆ[,]0A H =知，存在正交归一的共同本征函数组{}nψ（n 是一组完备的量子数），即 ˆˆn n nn n nH E A A ψψψψ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 正交归一化条件(),n m mn ψψδ=对于体系的任意状态()t ψ可展开为： ()()n nnt a t ψψ=∑， 展开系数为()(),()n n a t t ψψ=在体系的任意态()t ψ上测量力学量ˆA 时，得到本征值nA 的几率为2|()|n a t ， 而 ()()()()()()*2*()()()()()()(),,()(),,1()1() ,,()(),,11ˆ (),,()n n n n n n n n n n n n n n n da t da t d a t a t a t dt dt dtt t t t t t t t i t t i i t i t H t t i i ψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψ=+∂∂⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭∂∂⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭=-+()()()()()()()()()()ˆ(),,()11ˆˆ (),,()(),,() (),,()(),,()0n n n n n n n n n n n n t H t t H t t H t i i E Et t t t i i ψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψ=-+=-+= 这表明2|()|n a t 是与时间无关的量。

物理学中的基本力学定律与守恒定律在自然界中，物质和能量的转移和变化是按照一定规律进行的。

这些规律被总结为力学定律和守恒定律。

本文将从物理学中的基本力学定律和守恒定律两个方面进行探讨。

一、基本力学定律1. 牛顿第一定律——惯性定律物体在没有外力作用时，保持静止或匀速直线运动的状态。

这个定律也可以表述为：“任何物体都有惯性，它们在没有外力作用时会保持不变。

”2. 牛顿第二定律——运动定律物体受到的合力与质量的乘积等于物体的加速度。

该定律也可以表述为：当一个质点受到一个合力时，它的加速度与该合力成正比，与质点的质量成反比。

3. 牛顿第三定律——作用与反作用定律相互作用的两个物体之间，彼此作用力大小相等、方向相反。

这个定律可以表述为：“物体之间的相互作用力都是相等的，方向相反的。

”这三条定律是牛顿力学的基础，涵盖了所有物体受力运动的规律。

这些定律可以应用到天体物理学、地球物理学和微观粒子物理学等多个领域中。

二、守恒定律1. 能量守恒定律能量不能被创造或者消失，只能从一种形式转换为另一种形式。

在封闭系统内，能量的总和是不变的。

2. 动量守恒定律在一个封闭的系统中，宏观物体组成的总体系动量，维持不变的。

这个定律可以用下面的表达式进行表示：对于任何封闭的系统，总的动量等于每个物体动量和的代数和。

3. 质量守恒定律质量是守恒的，意思是一个系统中的质量总是不变的，无论是一个封闭的系统还是一个开放的系统。

这些守恒定律是基本物理定律，它们的适用范围非常广泛。

例如，在工程中我们需要遵循动量守恒定律来确定机械设备的最终状态。

结论以上介绍了物理学中的基本力学定律和守恒定律，这些定律涵盖了物质和能量的转化和变化。

它们是理解自然界运动和物质变化基础的重要工具，为我们了解自然现象提供了框架和指导。

§3.8 力学量平均值随时间的变化 守恒定律在经典力学中，运动体系在每一时刻多个力学量都有确定的值，因为所研究的是力学量的值随时间的变化（根据哈密顿理论：},{H F tF dt dF +∂∂=，式中},{H F 为泊松括号，],[1},{H F i H F=，H 为哈密顿量，如果F 不显含时间，且},{H F =0，则F=C 是一个守恒量。

找出一个守恒量，往往使研究物体的运动大大简化） 然而，在量子力学中，对任何体系，在每一时刻，不是所有力学量都具有确定的纸，一般说来，只有确定的平均值以及几率分布。

因此，研究力学量的值随是的变化没有意义，仅讨论力学量的平均值及几率分布随时间的变化。

一、力学量平均值随时间的变化在波函数),(t x ψ所描写的态中，力学量∧F 的平均值为：⎰=),(ˆ*),(t x F t x d F ψτψ （1） 因为),(t x ψ是时间的函数，∧F 也可能显含时间，所以F 通常是时间t 的函数。

dx tF dx F t dx t F dt F d ∂∂+∂∂+∂∂=⎰⎰⎰ψψψψψψˆ*ˆ*ˆ* （2） 由sch-eg ：ψψ∧=∂∂H i t1 *)(1*ψψ∧-=∂∂H i t 代入（2）式得dx F H i dx H F i dx t F dt F d ψψψψψψˆ*)(1ˆ*1ˆ*⎰⎰⎰∧∧-+∂∂=（3） ∵ ∧H 是厄密算符。

∴ dx F H dx F H ⎰⎰∧∧=ψψψψˆ*ˆ*)( 代入（3）式得：dx F H H F i dx t F dt F d ψψψψ)ˆˆ(*1ˆ*∧∧-+∂∂=⎰⎰即：],ˆ[1∧=H F i dt F d（4） 如果∧F 既不显含时间，则0=∂∂tF 则（4）可简化为： ],ˆ[1∧=H F i dt F d（5） 如果∧F 既不显含时间，又与∧H 对易，那么就有0=dt F d （6） 即∧F 的平均值不随时间变化。

第五章 力学量随时间的演化与守恒量§1 力学量随时间的变化在经典力学中，处于一定状态下的体系的每一个力学量作为时间的函数，每一个时刻都有一个确定值；但是， 在量子力学中，只有力学量的平均值才可与实验相比较，力学量随时间的演化实质是平均值和测量值的几率分布随时间的演化。

一、守衡量力学量ˆA在任意态()t ψ上的平均值随时间演化的规律为 ˆˆ1ˆˆ,dA A A H dt t i ∂⎡⎤=+⎣⎦∂， 其中ˆH为体系的哈密顿量。

[证明] 力学量ˆA的平均值表示为()ˆ()(),()A t t A t ψψ=，()A t 对时间t 求导得 ()()ˆ()()()ˆˆ,()(),(),()ˆ11ˆˆˆˆ (),()(),()ˆ11ˆˆˆˆ (),()(),()1 d A t t t A A t t A t t dt t t t A H t A t t AH t i i t A t HA t t AH t i i tψψψψψψψψψψψψψ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭∂⎛⎫⎛⎫=++⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭∂=-+ψ+∂=ˆˆˆ,AA H i t∂⎡⎤+⎣⎦∂ˆˆ,A H i ⎡⎤+⎣⎦1、 守恒量的定义若ˆA不显含t ， 即ˆ0A t ∂∂=， 当ˆˆ,0A H ⎡⎤=⎣⎦，那么力学量ˆA 称为守恒量。

2、守恒量的性质(1)、在任意态()t ψ上，守恒量的平均值都不随时间变化0dA dt =。

(2)、在任意态()t ψ上，守恒量的取值几率分布都不随时间变化。

[证明] 由于ˆˆ[,]0A H =知，存在正交归一的共同本征函数组{}nψ（n 是一组完备的量子数），即 ˆˆn n nn n nH E A A ψψψψ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 正交归一化条件(),n m mn ψψδ=对于体系的任意状态()t ψ可展开为： ()()n nnt a t ψψ=∑， 展开系数为()(),()n n a t t ψψ=在体系的任意态()t ψ上测量力学量ˆA 时，得到本征值nA 的几率为2|()|n a t ， 而 ()()()()()()*2*()()()()()()(),,()(),,1()1() ,,()(),,11ˆ (),,()n n n n n n n n n n n n n n n da t da t d a t a t a t dt dt dtt t t t t t t t i t t i i t i t H t t i i ψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψ=+∂∂⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭∂∂⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭=-+()()()()()()()()()()ˆ(),,()11ˆˆ (),,()(),,() (),,()(),,()0n n n n n n n n n n n n t H t t H t t H t i i E Et t t t i i ψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψ=-+=-+= 这表明2|()|n a t 是与时间无关的量。

§3.8力学量期望值随时间的变化 守恒定律一. 力学量的平均值随时间的变化关系力学量A 在ψ(x ,t)中的平均值为:*ˆ()(,)(,)A t x t Ax t dx ψψ=⎰ (3。

8.1) 因为ψ是时间的函数Â也可能显含时间，所以Ā通常是时间t 的函数。

为了求出Ā随时间的变化，(1)式两边对t 求导dA dt =***ˆˆˆA dx A dx A dx t t tψψψψψψ∂∂∂++∂∂∂⎰⎰⎰ (3.8.2) 由薛定谔方程ψψH t i ˆ=∂∂ ，⇒ ψψH i t ˆ1=∂∂ **)ˆ(1ψψH i t-=∂∂∴ ***ˆ11ˆˆˆˆ()()dA A dx H A dx A H dx dt t i i ψψψψψψ∂∴=-+∂⎰⎰⎰(3.8.3) ***ˆ1ˆˆˆˆ[]A dx AH dx HA dx t i ψψψψψψ∂=+-∂⎰⎰⎰ 因为Ĥ是厄密算符**ˆ1ˆˆˆˆ()A dx AH HA dx t i ψψψψ∂=+-∂⎰⎰ ˆ1ˆˆ[,]dA A A H dt t i ∂∴=+∂(3.8.6) 这就是力学量平均值随时间变化的公式。

若Â不显含t ，即ˆ0A t∂=∂，则有 1ˆˆ[,]dA A H dt i =(4) 如果Â既不显含时间，又与Ĥ对易（[Â, Ĥ]=0），则由上式有0d A dt= (5) 即这种力学量在任何态ψ之下的平均值都不随时间改变。

证明：在任意态ψ下A 的概率分布也不随时间改变。

概括起来讲，对于Hamilton 量Ĥ不含时的量子体系，如果力学量A 与Ĥ对易，则无论体系处于什么状态（定态或非定态），A 的平均值及其测量的概率分布均不随时间改变。

所以把A 称为量子体系的一个守恒量。

即A 的平均值不随时间改变，我们称满足(5)式的力学量A 为运动恒量或守恒量。

守恒量有两个特点：(1). 在任何态ψ(t )之下的平均值都不随时间改变；(2). 在任意态ψ(t )下A 的概率分布不随时间改变。