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云南大学2012至2013学年下学期物理科学技术学院物理系 2010级《量子力学（1）》期末考试试卷A （闭卷）参考答案 满分100分 考试时间：120分钟 任课教师：戴本忠一、回答下列问题：（共4题、每题5分，共20分）1、比较经典力学和量子力学中粒子和波的相同点和不同点 粒子：共同点：颗粒性，即是具有一定质量、电荷等属性的客体不同点：经典粒子具有确定轨道；微观粒子不遵循经典决定论，无确定轨道运动；波：共同点：遵循波动规律，具有相干迭加性不同点：经典波是与某个客观存在的物理量的周期性变化在空间中的传播相联系的；量子力学中的物质波不存在这样的物理量，它只是一种几率波。
2、波函数ψ与ψk 、ψαi e 是否描述同一态？为什么？解：（1）ψ与ψk 、ψαi e 描述的相对概率分布完全相同，如对空间1x 和2x 两点的相对概率=2221)()(x x ψψ=2221)()(x k x k ψψ2221)()(x e x e i i ψψαα，故ψ与ψk 、ψαi e 均描述同一态。
3、写出Pauli 矩阵；4、全同费米子的波函数有什么特点？写出两个费米子组成的全同粒子体系的波函数。
全同费米子的波函数是反对称波函数。
两个费米子组成的全同粒子体系的⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=00;0110;1001ii y y z σσσ波函数为：。
二、判断题：（共5题，每题2分，共10分）1、一维粒子的能量本征函数无简并。
（ × ）2、中心力场中的粒子，如果体系处于定态，则角动量具有确定值。
（ × ）3、设体系处于定态，则不含时力学量的测量值的概率分布不随时间变化。
（ √ ）4、若Aˆ与B ˆ对易，且B ˆ与C ˆ对易，则A ˆ与C ˆ对易。
（ × ） 5、若两个算符不对易，则它们不可能同时有确定值。
（ × ）三、证明推导题：（共3题、每题10分，共30分）1、试根据力学量平均值表达式⎰ψψ=dx t x Ft x F ),(ˆ),(*，证明力学量平均值随时间的变化为]ˆ,ˆ[1ˆH F i t F dt F d +∂∂=，其中H ˆ为体系的哈密顿量。
§3—11 力学量平均值随时间的变化 守恒定律一、力学量的平均值随t 的变化规律（量子力学运动方程或Heisenberg 运动方程） 设),(t x ψ为归一化的波函数,则 F dx t x Ft x ),(ˆ),(*ψψ=⎰ （x 代表所有自变量） 考虑到F ˆ可能显含t （比如),(ˆˆˆt x U T H +=），则上式两边对t 的微商可表述为dtF d dx t F dx t F dx F t ∂ψ∂ψ+ψ∂∂ψ+ψ∂ψ∂=⎰⎰⎰ˆˆˆ*** 由薛定谔方程得ψ=∂ψ∂H i t ˆ1 **)ˆ(1ψ-=∂ψ∂H i t考虑到Hˆ为厄米算符，于是 *****ˆ11ˆˆˆˆ()ˆ1ˆˆˆˆ()d F F H F dx dx FH dx dt i t i F dx FH HF dx t i∂=-ψψ+ψψ+ψψ∂∂=ψψ+ψ-ψ∂⎰⎰⎰⎰⎰ 即ˆ1ˆˆ[,]d F F F H dt t i∂=+∂ 此即为海森伯运动方程.其中右边第一项是由于Fˆ显含时间而引起的，即使ψ不随t 变化这一项也存在；第二项是由于ψ随t 变化而引起的，即使F 不随t 变化这一项也存在。
如果F ˆ不显含时间t ,即0ˆ=∂∂tF ，则1ˆˆ[,]d F F H dt i =。
二、守恒定律在运动方程（1）中，如果F ˆ不显含时间t ,即0/ˆ=∂∂t F ，并且0]ˆ,ˆ[=H F (即对易），则有0/=dt F d ,即力学量Fˆ平均值不随时间变化。
这时称F 为运动积分，即守恒量.此即为量子力学中的守恒定律。
1．自由粒子的动量（动量守恒定律）当粒子不受外力，即μ2ˆˆ2p H =。
因为ˆ0p t ∂=∂，且 [,][,][,][,]0x y z p H i p H j p H k p H =++=所以0dp dt=，即为量子力学中的动量守恒定律。
2．粒子在中心力场中运动的角动量(角动量守恒定律）中心力场中粒子的哈密顿量)(2ˆ2ˆ22222r U r L r r r r H ++⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-=μμ 因为zy x L L L L ˆ,ˆ,ˆ,ˆ2只和ϕθ,有关，与r 和t 无关,则 222222222ˆˆˆˆˆˆ[,],,[,()]022L L H L r L L U r r r r r μμ⎡⎤⎡⎤∂∂⎛⎫=-++=⎢⎥ ⎪⎢⎥∂∂⎝⎭⎣⎦⎣⎦ 因为2ˆˆ[,]0L L α=，所以 ˆˆˆˆˆˆ[,][,][,]0x y zL H L H L H === 所以 02=dtL d 0=dt L d x 0=dt L d y 0=dt L d z 此即为量子力学的角动量守恒定律.3．哈密顿不显含时间的体系能量（能量守恒定律）若哈密顿不显含时间，即0/ˆ=∂∂t H，而0]ˆ,ˆ[=H H ,则有 0=dtH d 此即为能量守恒定律。
