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激光束传输与变换第三讲

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c4.3激光束的变换

c4.3激光束的变换
0


0
R R

S
S
图（4-16）高斯光束通过薄透镜的变换 2 2 1 1 1 2 R s[1 ( 0 ) 2 ] 0 2 2 s R R f 1 ( ) R 02 2 R s[1 ( ) ] s 2 R s 1 ( 0 ) s 2 R 2 0 s 2 1 ( ) 2 0 1 ( 2 ) 0
0
图(4-20) 倒装望远镜系统压缩光束发散角
M’是高斯光束通过透镜系统后光 束发散角的压缩比。M是倒置望 远镜对普通光线的倾角压缩倍数。 由于f2＞f1，所以M＞1。 又由于 ＞0，因此有M’ M ＞1
f1 f2 2 f1 2 0 2 f 2 f1 0 f2 M M f 2 f1 0 0 2 0 M 0 2
2 0 2 2 1 ( ) R
2

f 0
1.高斯光束入射到短焦距透镜时的聚焦
0
f 即缩短 f 和加大 都可以缩小聚焦点光斑尺寸。
前一种方法就是要采用焦距小的透镜 后一种方法又有两种途径：一种是通过加大s来加大；另一种办法 就是加大入射光的发散角从而加大 ，加大入射光的发散角又可以有 两种做法 ，如图4-18和图4-19
图4-18 用凹透镜增大ω后获得微小的ω’0
图4-19 用两个凸透镜聚焦
2 2 0
1.高斯光束入射到短焦距透镜时的聚焦情形
f 0 1 ( s 2 ) 2 0 02 s
2 0 1 ( 0 ) 2 s s 2 ( 2 ) 1 0

第九十讲-光束的调制

第九十讲-光束的调制
Vm m 1rad V
(3.2-4)
------作为线性调制的判据。 此时 J1 m
1 m 代入（3.2-2)式得 2
I0 1 T (1 m sin mt ) Ii 2
（3.2-5）
调制的透过率
当sin(△m sinωmt) 的△m <<1时， 上式也变为：
(3.1-10)
将式 cos(m sin mt )和sin(m sin mt )
中两项按贝塞尔函数展开：

cos(m sin mt ) J 0 (m) 2 J 2n (m) cos(2nmt ) n1 sin(m sin mt ) 2 J 2n 1 (m) sin(2n 1)mt
I (t ) E (t ) A cos (c t c )
2 2 c 2
(3.1-12)
于是，强度调制的光强可表示为
Ac2 I (t ) [1 k p a (t )] cos2 ( c t c ) 2
(3.1-13)
调制信号是单频余弦波，则
Ac2 I (t ) [1 m p cos m t ] cos2 ( c t c ) 2
电光调制特性曲线
利用贝塞尔函数将上式中的
展开得：
1 T J 2 n1 m sin2n 1mt 2 n 0
(3.2-2)
可见，输出的调制光中含有高次谐波分量，使调制 光发生畸变。为获得线性调制，必须将高次谐波控 制在允许的范围内。 设基频波和高次波的幅值分别为I1和I2n+1，则高次谐 波与基频波成分的比值为:
(3.1-14)
强度调制
其频谱分布除了载频及对称分布的两边频之外， 还有低频 m 和直流分量。

第3讲 典型激光器介绍及光线传输矩阵

第3讲 典型激光器介绍及光线传输矩阵

能级
图
封离式CO2激 光器结构示意 图
12
3.1 典型激光器介绍
13
3.1 典型激光器介绍
▪ Ar+离子激光器
➢ Ar＋激光器一般由放电管、谐振腔、轴向磁场和回气管等几部分组 成。如下图所示为石墨放电管的分段结构 。
分段石墨结构Ar+激光器示意图
14
3.1 典型激光器介绍
15
3.1 典型激光器介绍
3、不同介质介面（平面）

ro ri 0

ro


0
1 2
ri

1

ro ro



0
0
1 2


ri ri

Байду номын сангаас
由近轴近似，折射定律可以写成
1 sin ri 2 sin ro 1 ri 2 ro
辐射不是基于原子分子或离子的束缚电子能级间的跃磁韧致辐射带电粒子在磁场中受到洛伦兹力的作用会作加速运动从而产生辐射当速度接近光速的电子作圆周运动时将会辐射出光子由于这种辐射1947年在同步加速器上被发现的因而被命名为同步辐射synchrotronradiation切伦科夫辐射当电子在介质中运动时如果它们的速度比光在介质中的相速度大电子也会产生光辐射其波长随着电子速度而变化虽然光很弱但却是单色性很好的辐射光
➢ 谱线范围宽 ---目前有数百种气体和蒸气可以产生激光，已经观测到 的激光谱线近万余条，谱线覆盖范围从亚毫米波到真空紫外波段， 甚至 X射线、射线波段。
➢ 光束质量优---工作物质均匀一致保证了气体激光束的优良光束质量， 在光束的相干性、单色性方面优于固体、半导体激光器，如He-Ne 激光的单色性很高，Δλ很容易达到10-9～10-11nm，其发散角只有l～ 2毫弧度。

激光束传输与变换

激光束传输与变换

1. 单色平面波
可以证明方程(1.1.15)的一组特解为：
E
i (t kr0 ) E e 0
H
i (t kr0 ) H e0
(1.2.1)
(1.2.1)式满足波动方程的必要条件是
k2
200 r
2
c2
n2
(1.2.6)
1. 单色平面波
上式还可以写成
k
|
k |
n
(1.2.7)
k是波矢的大小，cp称为vp相速(p=c/n) , 可以
vp
drk dt
k
p正是(1.2.7)式中的相速。
(1.2.11)
3. 平面波的偏振态
假设平面波沿z轴方向传播，无论电场还 是磁场都与传播方向z轴垂直，即E和H在x-y 平面中。在一个平面中的矢量总可以用两个 独立的分量来表示，则沿z轴方向传播的波可 表示为:
Ex Ex0 cos(t kz 1 ) E y E y0 cos(t kz 2 ) (1.2.15)
S (E H)
(1.1.9)
4. 能量密度和能流密度
由(1.1.6)～(1.1.9)式可获得能量守恒
的微分形式
W
jE
S
t
在绝缘介质(=0)的情况下
W
S
t
(1.1.10) (1.1.11)
反映能量守恒的(1.1.6)式是直接从麦克
斯韦方程组导出的，无论物质方程(1.1.2)是
最简单的是静止或缓慢运动状态的各向同 性介质，在弱场作用的情况下，物质方程取 如下形式:
2. 物质方程
j
E
D E B H
(1.1.2)
式中 ――电导率 ――介电常数 ――磁导率 一般在光频情况下，各种介质的磁导率都 近似地等于真空的磁导率0。

第三章 高斯光束的传输与变换

第三章 高斯光束的传输与变换

2.9.4 高阶高斯光束 （1）厄米特—高斯光束 高阶高斯光束横截面内的场分布可由高斯函数与厄米多项式的 乘积来描述。 沿z方向传输的厄米卢高斯光束
mn(x ,y ,z ) C mn
C mn 1
1

H m(
2
2

x )H n(
2

y) e
r2 2
e
r2 z i k(z )( m n 1)arctg 2R f
激光物理
第三章
高斯光束的传输与变换
回顾
方形镜共焦腔的行波场
（厄米-高斯光束） 当镜面上的场分布能够用厄米-高斯函数来描述时，共焦 腔中的行波场可以表示为：
2 2 0 Emn( x, y, z ) AmnE 0 Hm x Hn y e ( z) ( z) ( z)
1 1 令q0=q(0)，则： Nhomakorabeai 2 q 0 R(0) (0)
20 R(0) , (0) 0 q 0 i if
通过这些公式，我们可以用高斯光束的q参数来描述高斯光束。
以上三组参数都可以用来确定高斯光束的具体结构，需要根据 实际问题来灵活选择使用哪种参数。
2 2 2 2
可见,光斑半径随坐标z按双曲线的规律而扩展,在z=0处,以 ω(z)=ω0,达到极小值（束腰）。
（2)基模高斯光束的相移特性由相位因子决定
r2 z 00(x ,y ,z ) k(z ) arctg 2R f
表明高斯光束的等相位面是以R为半径的球面
2 2 0 R(z ) z 1 z
式中ω0和ω(z)分别为基模光腰半径和z处光斑半径。在z方向和y 方向的远场发散角 2 ( z ) 2 m lim m 2m 1 2m 1 0 z z 0 2n ( z ) 2 n lim 2n 1 2n 1 0 z z 0

激光原理与激光束的传输

激光原理与激光束的传输

粒子数反转
一个诱发光子不仅能引起受激辐射，而且它也能 引起受激吸收，所以只有当处在高能级的原子数 目比处在低能级的还多时，受激辐射跃迁才能超 过受激吸收，而占优势。由此可见，为使光源发 射激光，而不是发出普通光的关键是发光原子处 在高能级的数目比低能级上的多，这种情况，称 为粒子数反转。但在热平衡条件下，原子几乎都 处于最低能级（基态）。因此，如何从技术上实 现粒子数反转则是产生激光的必要条件。
激光的产生及其基本性质

1、 光的波粒二象性 光的波动性----光是横向电磁波。 光波的波长λ、长波速度v与振动频率v的关系 v=λv 光在真空中的速度为3×105km/s。在物质中的传 播速度是不相同的。光波真空中的传播速度与物 质中的传播速度比为物质的折射率 n=c/v （c为真空中的光速，v为物质图
激光的特点
激光与其他光源相比具有三大特点 1 方向性好 2 单色性好 3 相干性好
激光器谐振腔及其稳定条件
谐振腔：不但为激光振荡提供正反馈，还起到 限制激光振荡模式的作用，其作用不仅在于产 生激光，更重要的是决定输出光束的质量。 接下来分析谐振腔的结构。 定义结构参数：
光学谐振腔结构
谐振腔的作用
(1) 使激光具有极好的方向性( 沿轴线) (2) 增强光放大作用( 延长了工作物质 ) (3) 使激光具有极好的单色性( 选频 )
产生激光的第五个条件
这些晶体和谐振腔都会使光子产生损 耗。只有使光子在腔中振荡一次产生 的光子数比损耗掉的光子多得多时， 既要产生相长的振荡，才能有放大作 用，这是产生激光的第五个条件
产生激光的第三个条件：
前面分析了产生激光的必要条件是受激 辐射，而粒子数反转又是产生激光的一 个条件，激光的产生必须选择合适的工 作介质，可以是气体、液体、固体或半 导体。在这种介质中可以实现粒子数反 转，以制造获得激光的必要条件。显然 亚稳态能级的存在，对实现粒子数反转 是非常必须的。

激光束的传输规律

激光束的传输规律

激光束的传输规律王佳威北京工业大学 应用数理学院 000611班指导教师：俞宽新摘要 从激光器输出的光束称为高斯光束，它有许多与其它光束，如平面波、球面波不同的特点，研究其传输规律，特别是通过透镜时的变化规律，将为激光束的聚焦和准直技术打下良好基础。

关键词 激光束，传输，q 参数一、激光束的基本性质使用稳定的球面腔的激光器所发出的基模激光将以高斯光束的形式在空间传播。

本部分主要研究高斯光束的传输规律, 并研究简单透镜系统对高斯光束的变换。

这些都是激光原理与实际应用中经常遇到的具有实际意义的问题。

无论是方形镜共焦腔还是圆形镜共焦腔,他们所激发的基模行波场都是一样的,由于其横向振幅分布为高斯函数, 所以称之为基模高斯光束, 或简称为高斯光束。

射Z 坐标原点在光束的腰处, w0为高斯光束的腰斑半径,ƒ为产生高斯光束的共焦腔焦参数。

高斯光束的解析表达式如下:()22221202()()0,,()x y x x y i k z tg R z f w z w E x y z E e e w z −⎧⎫⎡⎤+⎪⎪+−+−⎢⎥⎨⎬−⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩=⎭ （1） 式中,R(z),w(z)分别表示z 坐标处高斯光束的等相位面曲率半径及等相位面上的光斑半径。

1、光斑半径高斯光束在任意z 坐标处,其横向振幅分布为高斯分布,光斑半径随z 坐标而变,在z=0处,w(0)=w0为腰斑半径。

2、等相位面分布沿高斯光束轴线每一点处的等相位面都可以视为球面,曲率半径也随z坐标而变,即:()w z w w == 在z = 0及z =∞处, R(0)与R(∞)都为∞,表明在高斯光束腰处及无穷远处的等相位面都是平面。

在z 的绝对值为ƒ处,R(ƒ)的绝对值为2ƒ,这是等相位面曲率半径数值的极小值。

当z >0时,R(z)>0,等相位面凸向z 轴正方向。

当z <0时,R(z)<0,等相位面凸向z 轴负方向。

图1中画出了五个位于z >0范围内的等相位面及其曲率中心的位置示意图。

激光原理与技术-山西大学课件 第三章

激光原理与技术-山西大学课件 第三章

数 q2 的高斯光束，于是有：
1 qi
1 Ri
i
i i2
X
iY
i 1, 2
（3.4.1）
n1
q1,1 RP1
RP2 q2 ,2
n2
a b
c
d
z
s1
s2
图3.4.1 高斯光束通过复杂光学系统的变换
由 q1 至 q2 的变换遵从ABCD定律：
1 C D / q1 q2 A B / q1
（3.4.2）
§3.1 高斯光束的基本性质
一、高斯光束是亥姆霍兹方程在 缓变振幅近似下的一个特解
二、高斯光束的基本性质
一、高斯光束是亥姆霍兹方程在缓变振幅近似下的一个特解
电磁场运动的普遍规律可用Maxwell方程组描写。稳态传输的光频 电磁场，只研究电矢量的波动方程，电矢量在光现象中起主要作用。在 标量近似下，波动方程可写为亥姆霍兹方程。高斯光束是亥姆霍兹方程 在缓变近似下的一个特解。
4.瑞利长度
瑞利长度的物理意义为：当 z z0 时，(z0 ) 20 。在实用中
常取 z z0 范围为高斯光束的准直范围，在这段长度内，高斯光束可以
近似认为是平行的。所以，瑞利长度越长，就意味着高斯光束的准直范围 越大，反之亦然。
5.远场发散角
lim 高斯光束的远场发散角可用下式定义：0
x
（3.3.8） （3.3.9）
将式（3.3.9）代入（3.3.8），利用方程式对任意r 成立条件，得到
s(z) 和q(z) 的微分方程组：
dq dz
1 2q2
1 ds 1
s dz q
（3.3.10） （3.3.11）
若传输常数 与z 无关，在边界条件 q(z) z0 s(z) z0 q1下，求得式

4.3激光束的变换

4.3激光束的变换

上式中,如果振幅、频率和相位都为常数，则 E(表t) 示一个未被调制的信号
如果振幅、频率和相位三个之一受到外加信号的控制而发生变化，则 E(t就) 成为一个被调制的振荡了。
4.激光调制按其调制的性质可以分为
调幅、调频、调相及强度调制等。
(1)振幅调制——振幅调制就是载波的振幅随着调制信号的规律而变化的振荡
1 f R
代入
s s
1
R'
(
R' '2
)
2
得
f [1 ( f )2 ]1 2
s
f
[1
( f
2
)
2
]1
利用 (1 x)1 1 x x2
且要求f 2 1
则
s
f
[1
(
f
2
)2
]
f
象方腰斑位于透 镜的焦面上
这与几何光学中的平行光通过透镜聚焦在焦点上的情况类似。
2.象方束腰半Hale Waihona Puke :图4-17 短焦距透镜的聚焦
号改变调制器的物理特性，当激光通过调制器时，就会使光波的某参量受到调制。
优 点：a.因为调制器和激光形成无关,不影 响激光器的输出功率。
b.调制器的带宽不受谐振腔通带的 限制，
缺 点：调制效率低。
激光的瞬时光场的表达式
E(t) E0 cos(0t )
瞬时光的强度为
I (t) E2 (t) E02 cos2 (0t )
4.3 激光束的变换
4.3.1 高斯光束通过薄透镜时的变换
一、普通球面波在通过薄透镜的传播规律
1. 透镜的成像公式： 1 1 （14-15）
s s f
图4-15 球面波通过薄透镜的变换

《激光原理》4.3激光束的变换(新)

《激光原理》4.3激光束的变换(新)

一、核心问题：改善光束的方向性，即压缩光束的发散角
二、方法：①用单透镜；② 用望远镜。
①用单透镜
高斯光束发散角:
2
2 0
Байду номын сангаас
通过透镜后，像高斯光束发散角：2 ' 2
'0
由此可见，对于有限大小的，0' 无法使 2 ' 。0因此，要用单个透镜将高
斯光束转换成平面波，从原理上说，是不可能实现的。
如何借助透镜改善高斯光束的方向性？
(
2 0
s
)2
]
s f
R
f
[1
(
f
2 0
)
2
]
1 11 R R f
R
f
[1
(
f
2 0
)
2
]
s
1
R
(
R 2
)2
0
1
(
s
2 0
)
2
象方腰斑位于透 镜的前焦面上
比较：
s f
几何光学： s'
高斯光束： s' f
2.象方束腰半径:
s f
0
1
(
s
2 0
)2
R
1
R (2
)2
1
2 (2
)2
R
经透镜变换后的束腰位置、腰斑大小由以上两式决定.
已知高斯光束的腰斑大小和位置，整条高斯光束传输规律就确定了。
4.3.2 高斯光束的聚焦 0' 0
实际应用中，为了提高激光的光功率密度， 需要对高斯光束进行聚焦。
图4-16 高斯光束通过薄透镜的变换
核心问题：由

激光束传输与变换 第三讲

激光束传输与变换 第三讲

2
z const .
(1.4.29)
2 R( z )
2. 基模Gauss光束的场分布及传输特点
对于一个点波源(0,0,a)所发出的球 面波,其相位因子为
exp( ikR) exp{ik [( z a) ]
2 2 1/ 2
}
(1.4.30)
2. 基模Gauss光束的场分布及传输特点
式中p和q是光束的两个复参数，它们都是 z的函数。p表示复相移，q表示复曲率半 径。
1. 波动方程的基模解
将(1.4.4)式代入方程（1.4.3），可获得
z p i ln 1 q0
(1.4.10) (1.4.11) (1.4.12)
q z q0
q0 i

2 2
x


2 2
y
i 2k
z
0
(1.4.3)
1. Hermit－Gauss光束
• 利用
• 可获得
F
2
dq
i 1 1 1, , i 2 dz dz q q R dp
(1.5.2)
x
2

F
2
y
2
ik F ik F F 1 1 4 2 4 2 i 2k 0 x y 2 R x 2 R y z
2. 基模Gauss光束的场分布及传输特点
波面的曲率中心到束腰的距离是
R( z ) z z0 z
2
(1.4.33)
因此,Gauss光束等相位面的曲率中心并 不是一个固定点,它随着光束的传播而移 动.
2. 基模Gauss光束的场分布及传输特点

现代激光应用技术 激光束的变换

现代激光应用技术 激光束的变换

4.1.1 激光单纵模的选取
(2) 法布里-珀罗标准具法： ➢如图4-2所示，在外腔激光器的谐振腔内，沿几乎垂直于腔轴方向插入一个法 布里－珀罗标准具
➢由于多光束干涉的结果，对于满足下列
条件的光具有极高的透射率
νm 2d
mc
2 2 sin2
图(4-2) 法布里-珀罗标准具法示意图
➢产生激光振荡的频率不仅要满足谐振条件，还需要对标准具有最大的透射率
0
f 0
(3)根据高斯光束的渐 变性可以设想，只要 s 和 f 相差不大，高斯光
束的聚焦特性会与几何 光学的规律迥然不同。
3.8.3 高斯光束的准直
1.高斯光束的准直：改善光束的方向性，压缩光束的发散角。
2. 2 2 可以看出，增大出射光束的腰粗就可以缩小光束的发散角。
0
0
f 0
0 f s' 0 s s
3.8.1 高斯光束通过薄透镜时的变换
1.
透镜的成像公式：
1 s
1 s
1 f
，注意参数的正负。
2. 从光波的角度看，规定发散球面波的曲率半
径为正，会聚球面波的曲率半径为负，则如图
3-18所示，成像公式可改写为：
11 1 R R f
图3-18 球面波通过薄透镜的变换
从波动光学的角度讲，薄透镜的作用是改变光波波阵面的曲率半径。透 镜的变换（成像）特性推广至高斯光束中去。 注意： 1)由于薄透镜很薄，因此在透镜两边的入射光束和出射光束具有相同的光强 分布，即入射光的光场分布为高斯型，出射光束的光场分布也为高斯型； 2)出射光束在透镜处的截面半径与入射光束在透镜处的截面半径相等； 3)入射、出射的高斯光束在透镜处的波面曲率半径满足以上的成像公式。

选区激光熔化中激光束的传输变换及聚焦特性

选区激光熔化中激光束的传输变换及聚焦特性

第32卷　第3期2008年6月激 光 技 术L A S E RT E C H N O L O G YV o l .32,N o .3J u n e ,2008 文章编号:1001-3806(2008)03-0308-04选区激光熔化中激光束的传输变换及聚焦特性师文庆1,2,杨永强1＊(1.华南理工大学机械工程学院,广州510640;2.广东海洋大学理学院,湛江524088)摘要:为了获得光束质量较好、光斑尺寸较小、功率密度较高的、适合于在选区激光熔化快速成型技术中应用的激光束,对应用于选区激光熔化快速成型技术中的高斯光束进行传输与变换。

对其传输变换及聚焦特性进行了理论分析与实验验证,实验结果与理论分析的结果相符。

取得了功率密度达106W /c m 2以上的、光斑尺寸较小的、满足于在选取激光熔化技术中应用的光斑。

将其应用于镍基合金(N i 25)和铜磷合金粉末的三维选区激光熔化快速成型。

结果表明,这种传输变换及聚焦特性是可行有效的,得到了满足要求的光斑尺寸和功率密度。

关键词:激光技术;选区激光熔化;传输与变换;高斯光束;聚焦特性中图分类号:T N 012;T G 495 文献标识码:AL a s e r b e a m 's f o c u s e d p r o p e r t i e s a n di t s t r a n s m i s s i o n a n d t r a n s f o r m a t i o ni n s e l e c t i v e l a s e r m e l t i n gS H I W e n -q i n g 1,2,Y A N GY o n g -q i a n g1(1.S c h o o l o f M e c h a n i c a l E n g i n e e r i n g ,S o u t hC h i n a U n i v e r s i t y o f T e c h n o l o g y ,G u a n g z h o u 510640,C h i n a ;2.C o l l e g eo f S c i e n c e ,G u a n g d o n g O c e a n U n i v e r s i t y ,Z h a n j i a n g 524088,C h i n a )A b s t r a c t :I n o r d e r t oo b t a i nt h el a s e r b e a m w i t hb e t t e r b e a m q u a l i t y ,s m a l l e r s p o t d i a m e t e r a n dh i g h e r p o w e r d e n s i t y i nr a p i d p r o t o t y p i n g f o r s e l e c t i v e l a s e r m e l t i n g (S L M ),G a u s s i a n b e a m u s e d i nS L M w a s t r a n s m i t t e da n d t r a n s f o r m e d .T h e t h e o r e t i c a n d e x p e r i m e n t a l t r a n s m i s s i o n ,t r a n s f o r m a t i o na n df o c u s e dc h a r a c t e r i s t i cp r o p e r t i e s w e r ea n a l y z e d .T h ee x p e r i m e n t a l r e s u l t sa r ec o n s i s t e n t w i t ht h et h e o r e t i co n e s .T h es m a l l e r s p o t w i t h p o w e rde n s i t ya b o v e 106W/c m 2w h i c hi sa p p l i c a b l ei nS L M ,w a s o b t a i n e d .W h e n u s e d i n 3-D r a p i dp r o t o t y p i n gf o r S L M o f N i -b a s e da l l o y a n dC u -Pa l l o yp o w d e r ,i t a l s oi n d i c a t e df e a s i b l ea n d e f f e c t u a l ,a n d m e t t h e d e m a n d s o f s p o t d i a m e t e r a n dp o w e r d e n s i t y .K e yw o r d s :l a s e r t e c h n i q u e ;s e l e c t i v e l a s e r m e l t i n g ;t r a n s m i s s i o na n d t r a n s f o r m a t i o n ;G a u s s i a n b e a m ;f o c u s e dp r o p e r t i e s 作者简介:师文庆(1971-),男,讲师,博士研究生,主要从事物理电子及激光技术的教学与研究。

激光传输的基本理论

激光传输的基本理论

G G 通过对 P 与 E 作 Fourier 变换，得到：
∞
−∞
0
χ (1) (ω ) = ∫ χ (1) (τ )e iωτ dτ
0
χ (ω ) 是 依 赖 频 率 的 电 极 化 率 。 严 格 地 讲 (6) 式 是 不 正 确 的 。 介 电 常 数
(1)
ε = 1 + χ (1) 的实部和虚部分别代表折射率 n 和损耗系数 α ：
是十分关键的一步，对简化问题具有重要作用。在物理上，被分离的快变部分 是一个均匀平面波（共性部分） ，需要具体研究的对象只是余下的时空包络部 ；在数学上，提供了近似处理的条件，可以很大地简 分 A(r , t ) （特殊性部分） 化方程和有关的运算。 概念：<单色、相干、稳态>：数学上严格的单频震荡波是从无穷长的，因此是 相干的、稳态的。物理上的单色光是有限长度的，其频谱必然是有一定宽度， 我们常称为 CW 连续波(Continuous Wave)，以区别于脉冲波(Pulse)。他是稳态 的，在一定范围内（相干长度）是相干的。光脉冲的持续时间越短，其频谱越 宽，相干性也越差。
αc ⎞ nαc ⎛ 2 ε (ω ) = ⎜ n + i ⎟ ≈ n +i 2ω ⎠ ω ⎝ 1 n(ω ) = 1 + Re χ (1) (ω ) 2
2
[
]
(7)
nc 这里我们平常所讲的极化率、介电常数、折射率和损耗系数等概念都是特定频
α (ω ) =
ω
Im χ (1) (ω )
[
]
率的，而不是在时间域。 概念： <色散>： 介质的折射率 n 和损耗系数 α 均是频率的函数， 称为频率色散。 G 近似 3： 我们以下只讨论各向同性介质， 这样(i) χ (1) 和 ε 是标量数值， (ii) P 与 G E 之间的方向相同，光场可以保持规定的偏振方向。对于非各向同性介质中的 双折射等效应我们不考虑。 近似 4：我们将假定介质是均匀的，即 χ (1) 和 ε 不随空间坐标变化。 近似 5： 我们暂时忽略介质的损耗，即 ε = n 2 G G 由 ∇ ⋅ D = ε∇ ⋅ E = 0 所以： G G 1 ∂ 2 E 1 ∂ 2 t (1) G 2 ∇ E − 2 2 − 2 2 ∫ χ (t − τ ) E (τ )dτ = 0 c ∂t c ∂t −∞ G G 作 Fourier 变换， E (ω ) = ∫ E (t ) Exp(iωt )dt 在频率域中：

第三章 高斯光束的光学变换

第三章 高斯光束的光学变换

求z=d1时的R1（d1）和W1（d1）
1 1 1 （2）由公式 R2 ( z ) R1 ( z ) f
求通过透镜后的R2（z）， （3）令：W1 ( z) WA WB W2 ( z)
1 2 2 W 2 ( z ) W0 W ( z ) 1 R ( z ) 1 R( z ) 2 z R( z ) 1 W 2 ( z )
x2 x1 ；
又
x2 2 1 1 ， ( 2 1 ) f x1 2 1 f
x2 x1 即有： 1 2 f x1 1 0 1, x1 x2 即： 1 , 1 1 2 f
1 1 1 l l f
（3 10 ）
符号法则：从z=+∝处看波阵面：
凸形（发散）R（z）为“+”， 凹形（会聚）R（z）为“一”。
图3-9
二、高斯光束q参数的透镜（薄透镜）变换规律 1．高斯光束的q参数变换 设q1（z）为透镜变换前的q参数，q2（z）为变换后的q参数。 1 1 i （3 11 ） 由q参数表达式： 2 q( z ) R( z ) W ( z )
n1 n1 n1 n1 则有： 2 1 (1 ) 1 n2 n2 n2 n2
n1 n 1 1 1 n n2 2
（3 7）
x1 以 （近轴条件）代入式（3-7） R (n2 n1 ) x1 n1 则有： 2 1 n2 R n2 x2 x1 n n n 2 2 1 x1 1 1 n2 R n2
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激光束传输与变换第三讲
2. 基模Gauss光束的场分布及传输特点
在中心轴上，振幅达到极大值；在轴 外，振幅随离中心距离的平方指数衰减。
激光束传输与变换第三讲
2. 基模Gauss光束的场分布及传输特点
Gauss光束的半径的定义方法： 1) 当振幅减小到极大值的e-1时，用=(z)
的来确基模Gauss光束光斑的大小。 2) 取振幅分布函数的拐点到中心轴的距离
当一束平行光经直径为20的小孔衍射 时,其衍射极限角为:
D 1.22 /(20 )
(1.4.26)
激光束传输与变换第三讲
2. 基模Gauss光束的场分布及传输特点
Gauss光束的等相位面及其曲率半径
由于
k
2
2R(z)
z
(
z)
const.
2
2R(z
)
z
(
z)Leabharlann /k(1.4.27) (1.4.28)
可以略去(z)项,等相位面方程为:
激光束传输与变换第三讲
2. 基模Gauss光束的场分布及传输特点
实际上(1.4.18)式是(z)关于z的双曲 线方程
2(z) z2
2 0
z02 1
(1.4.23)
双曲线的对称轴为z轴。在远场情况 下(z)，双曲线的渐近线为直线，其方 程为:
(z) = z/z0
激光束传输与变换第三讲
(1.4.24)
=(1/2)1/2(z)作为光斑半径。 3) 取半功率（功率或光强为中心值的一
半）点到中心轴的距离0.589(z)为光 斑半径。
激光束传输与变换第三讲
2. 基模Gauss光束的场分布及传输特点
从(1.4.15)式可 以看出，最小光斑 (z)=0，位置在 z=0点。最小光斑 所在位置对应光束 最细部分，通常称 这个位置为束腰。
激光束传输与变换第三讲
本讲内容
1.4 基模Gauss光束 1.5 Hermit-Gauss光束
激光束传输与变换第三讲
§1.4 基模Gauss光束
基模Gauss光束是波动方程的一个基模， 属于一种非均匀波，在许多方面它有点类 似于平面波。但是它的强度分布是不均匀 的，主要集中在传播轴附近，它的等相面 也不是平面，而略有弯曲。
2. 基模Gauss光束的场分布及传输特点
Gauss光束的发散角定义为：
lim b
z
arctg (z) z 0
(1.4.25)
在波长给定的情况下，基模Gauss光 束的发散角只与腰斑半径有关，因此可通
过改变0达到压缩光束发散角的目的。
激光束传输与变换第三讲
2. 基模Gauss光束的场分布及传输特点
激光束传输与变换第三讲
本节内容
1. 波动方程的基模解 2. 基模Gauss光束的场分布与传输特点 3. 基模Gauss光束的有效Fresnel数
激光束传输与变换第三讲
1. 波动方程的基模解
求解时间简谐电磁波可直接从下列Helmholtz 方程开始：
2U (x, y, z) k 2U (x, y, z) 0 (1.4.1)
A
A0
0 (z)
exp
x2
y2 2 (z)
该式表明基模Gauss光束振幅的变化对于x
轴和y轴是对称的。
激光束传输与变换第三讲
2. 基模Gauss光束的场分布及传输特点
如采用柱坐标，2=x2+y2，则上式变为
A
A0
0 (z)
exp
2
2
(
z)
在任意一个确定的截面上(z为常数)，振 幅的分布是Gauss型的。如图1.7所示， Gauss光束即由此而得名。
A z
kA,
忽略2/z2项,可得:
k 2
A
z 2
z
2 x 2
2 y 2
i2k
z
0
(1.4.3)
激光束传输与变换第三讲
1. 波动方程的基模解
上式属于抛物型微分方程，它具有下 面形式的解
exp i p
k 2q
(x2
y
2
)
(1.4.4)
式中p和q是光束的两个复参数，它们都是 z的函数。p表示复相移，q表示复曲率半 径。
假设U(x,y,z)是沿z轴方向传播的非均匀光波， 则它可被表示为
U (x, y, z) (x, y, z) exp(ikz) (1.4.2)
式中(x,y,z)可看成是振幅函数，一般是一个沿z
轴缓慢变化的复函数。
激光束传输与变换第三讲
1. 波动方程的基模解
把上式代入方程(1.4.1)，利用慢变化振 幅近似
R(z)
z0
z z0
z0 z
No Image (1.4.17)
2
(z)
2 0
1
z z0
2
(1.4.18)
tg1 z
z0
(1.4.19)
式中 z0 02 称为瑞利长度或共焦参数.
激光束传输与变换第三讲
2. 基模Gauss光束的场分布及传输特点
Gauss光束的场分布指的是场在垂直 于光束截面上的横向分布。如果用A表示 基模Gauss光束的振幅，则从(1.4.13)式可 得
激光束传输与变换第三讲
1. 波动方程的基模解
将(1.4.4)式代入方程（1.4.3），可获得
p
i
ln
1
z q0
q z q0
q0
i 02
式中是波长，0是常数。
(1.4.10) (1.4.11) (1.4.12)
激光束传输与变换第三讲
1. 波动方程的基模解
因此，波动方程的解为
U
(x,
y,
z)
A0(0z)
exp
x2 y2
2(z)
exp i
kz
k 2R(z)
(x2
y2)
(z)
(1.4.13)
激光束传输与变换第三讲
1. 波动方程的基模解
式中参数R(z)、(z)和(z)分别为
R(
z)
z
1
02 z
2
2
(
z)
02
1
z 02
2
(z)
arctg
z 02
(1.4.14) (1.4.15) (1.4.16)
2
z const. 2R(z)
激光束传输与变换第三讲
(1.4.29)
2. 基模Gauss光束的场分布及传输特点
对于一个点波源(0,0,a)所发出的球 面波,其相位因子为
exp(ikR) exp{ik[(z a)2 2 ]1/ 2}
(1.4.30)
激光束传输与变换第三讲
2. 基模Gauss光束的场分布及传输特点
激光束传输与变换第三讲
1. 波动方程的基模解
(1.4.13)式是波动方程（1.4.1）的一个 特解，叫做基模Gauss光束。
R(z)表示等相面的曲率半径 (z)表示光斑半径 (z)表示附加位相 基模Gauss光束的性质主要由这三个参 数决定。
激光束传输与变换第三讲
1. 波动方程的基模解
(1.4.14)~(1.4.16)式还可以写成如下形式: