21.因式分解法

于是得
x1
1 2
，x2
1 2
.
（3）3x2 6x 3；
解：化为一般式为 x2－2x+1 = 0. 因式分解，得 (x－1)(x－1) = 0. 有 x － 1 = 0 或 x － 1 = 0， x1=x2=1.
（4）x2 2 3x 0.
解：因式分解，得
x(x 2 3) 0
有x=0或x2 3 0， x1 0, x2 2 3.
b b2 4ac 4
x
.
2a
2
即 x1 1, x2 1.
(3) x2 - 12x = 4
配方法： 解： x2 - 12x + 62 = 4 + 62, 即 (x - 6)2 = 40. 开平方，得
解得 x1=
，
x2=
(3) x2 - 12x = 4 配方法最优
公式法：
解：方程化为x2 - 12x-4＝0.
方程有两个不等的实数根
b b2 4ac 2 7
x
.
2a
3

即
x1
2 3
7 , x2
2 3
7
(4) 3x2 = 4x + 1 公式法最优
直接开平方法 配方法
③ax²-bx-c = 0
b b2 4ac
b b2 4ac
x1
2a
, x2
2a
公式法
是否还有其他 解一元二次方 程的方法？
新知学习 一 因式分解法解一元二次方程
问题 根据物理学规律，如果把一个物体从地面 以10 m/s的速度竖直上抛，那么经过 x s物体离地 面的高度(单位：m)为10x-4.9x2.
(2x 1)(3x 2) 0

《一元二次方程》教案5教学内容用因式分解法解一元二次方程．教学目标(1)了解用因式分解法解一元二次方程的概念；会用因式分解法解一元二次方程；(2)学会观察方程特征，选用适当方法解决一元二次方程．教学难点学会观察方程特征，选用适当方法解决一元二次方程．教学过程设计1．创设情景，引出问题问题一根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么物体经过x s离地面的高度(单位：m)为．根据上述规律，物体经过多少秒落回地面(结果保留小数点后两位)？师生活动：学生积极思考并尝试列方程，可有学生解释如何理解“落回地面”．【设计意图】学生首先要理解实际问题背景下代数式的意义，理解落回地面的意义就是高度为零，就是表示高度的代数式的值为零，从而列出方程．在阅读并尝试回答的过程中让他们感受在生活、生产中需要用到方程，从而激发学生的求知欲．2．观察感知，理解方法问题二如何求出方程的解呢？师生活动：学生从已有的知识出发，考虑用配方法和公式法解决问题，教师再一步引导学生观察方程的结构，学生进行深入的思考，努力发现因式分解法方法解方程．【设计意图】通过配方法和公式法的选择，更好地让学生对比感受因式分解法的简便，为本节课的教学内容做好知识上的铺垫和准备．问题三如果，则有什么结论？对于你解方程有什么启发吗？师生活动：学生很容易回答有或的结论．由此进一步思考如何将一元二次方程化为两个一次式的乘积．【设计意图】通过观察，引导学生进一步思考，发现用因式分解中提取公因式法解方程更加简便，从而学生会对方法的选择有一定的理解．问题四上述方法是是如何将一元二次方程降为一次的？师生活动：学生通过对解决问题过程的反思，体会到通过提取公因式将一元二次方程化为了两个一次式的乘积的形式，得到两个一元一次方程，教师注重引导学生观察方程在因式分解过程中的变化，在学生总结发言的过程中适当引导．【设计意图】让学生对比不同解法，不是用开平方降次，而是先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种节一元二次方程的方法叫做因式分解法．在反思小结的过程中，理解因式分解法的意义，从而引出本节课的教学内容．3．例题示范，灵活运用例解下列方程(1)；(2)．师生活动：提问：(1)如何求出方程(1)的解呢？说说你的方法．(2)对比解法，说说各种解法的特点．学生积极思考，积极回答问题，对比解法的不同．【设计意图】问题(1)的提出是开放式的，学生可能会回答将括号打开，然后利用配方法或公式法，也有些学生会观察到如果将当作一个整体，利用提取公因式的方法直接就化为两个一次式乘积为零的形式．通过问题(2)的思考讨论，让学生体会解法的利弊，注重观察方程自身的结构．师生活动：提问：(1)方程(2)与方程(1)对比，在结构上有什么不同？(2)谈谈方程(2)的解法．学生观察方程(2)与方程(1)的区别，用类比划归的思想解决问题．【设计意图】问题(2)的方程需要先进行移项，将方程化为右侧等于零的结构，然后得到一个平方差的结构，利用平方差公式将一元二次方程化为两个一次式的乘积为零的结构．4．巩固练习，学以致用完成教材P14练习1，2．【设计意图】巩固性练习，同时检验一元二次方程解法掌握情况．5．小结提升，深化理解问题五(1)因式分解法的一般步骤是什么？(2)请大家总结三种解法的联系与区别．师生活动：学生积极思考，归纳因式分解法的一般步骤．总结各种解题方法的特点，体会各种方法的利弊，在交流的过程中加深对解一元二次方程方法的理解，教师对学生的发言给予鼓励和肯定，对于小结交流中的出现的问题及时进行引导纠正，帮助学生深入理解问题．【设计意图】学生通过小结反思，深化对问题的理解，体会到配方法需要将方程进行配方降次，公式法需要将方程化为一般形式后利用求根公式求解；而因式分解法需要将一元二次方程化为两个一次项乘积为零的形式；另在还让学生体会到配方法和公式法适用于所有方程，但有时计算量比较大，因式分解法适用于一部分一元二次方程，但是三种方法都体现了降次的基本思想．五、目标检测设计解下列方程1．．【设计意图】利用提取公因式法解方程．2．．【设计意图】利用平方差公式解方程．3．．【设计意图】利用因式分解法不适合的方程可选择用公式法或配方法解决．4．．【设计意图】选用适当的方法解方程．《解一元二次方程》同步试题北京市海淀区中关村中学谢琳一、选择题1．方程的解是( )．A．B．C．D．考查目的：考查直接利用因式分解法的求解．答案：B．解析：两项一次项乘积为0，两个一次项分别为零．2．方程的正确解法是( )．A ．化为B．C．化为D．化为考查目的：考查提取公因式法的求解．答案：C．解析：以为整体提取公因式．3．方程正确解法是( )．A．直接开方得B．化为一般形式C．分解因式得D ．直接得或考查目的：考查平方差公式求解．答案：C．解析：将9和4分别看作3和2的平方，利用平方差公式进行因式分解求方程解二、填空题4．方程的解是____________________．考查目的：考查提取公因式法的求解．答案：或．解析：以为整体提取公因式．5．方程的解是___________________．考查目的：考查平方差公式求解．答案：或．解析：将256看作16的平方，利用平方差进行因式分解求方程解．三、解答题用适当的方法解下列方程．6．．考查目的：考查提取公因式法的求解．答案：或．解析：以为整体提取公因式．7．把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增加了4倍，求小圆形场地的半径．考查目的：考查平方差公式求解的实际问题．答案：或(舍)．解析：能根据实际问题列方程，利用平方差进行因式分解求方程解，会对解进行取舍．。

次方程并求解
(4)两个一元一次方程的根就是原方程的根. 3、因式分解的方法,突出了转化的思想方法——
“降次”, 显示了“二次”转化为“一次”的过程.
配方法和公式法是解一元二次方程 重要方法,要作为一种基本技能来 掌握.而某些方程可以用分解因式 法简便快捷地求解
在实数范围内因式分解 ：
(1) x2 2x 2 (2) 2 y2 8 y 1
小结
1、当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解 成两个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因 式的方法求解.这种用分解因式解一元二次方程 的方法称为因式分解法.
2、因式分解法解一元二次方程的步骤是: (1)令方程右边为0; (2)将方程左边因式分解; (3)根据“至少有一个因式为零”,化为两个一元一
但对于一般的二次三项式ax2+bx+c(a≠o),怎么把它分解因式呢?
4x2 13 x 9 ? 3x2 8x 4 ?.
观察下列各式,也许你能发现些什么
解x 2 7 x 6 0得x1 1, x2 6; 而x 2 7 x 6 ( x 1)( x 6)
解x 2 2 x 3 0得x1 3, x2 1; 而x 2 2 x 3 ( x 3)( x 1)
解4x2
12 x
9
0得x1
3 2
,
x2
3 2
;而4 x 2
12 x
9
4( x
3 )( x 2
3) 2
解3x2
7x
4

0得x1
4 3
,
x2
1;
而3 x2 7 x 4 3( x 4 )( x 1) 3
看 出 了 点 什 么? 有 没 有 规 律?
二次三项式 ax2+bx+c的因式分解

还
10x - 4.9x 2 = 0
有
其
降 配方法
它
更
次 公式法
简 便
？
的 方
x1=
0
，x2 =
100 49
2.04
法 吗 ？
探究新知
观察方程 10x - 4.9x2 = 0，它有什么特点？你能根据 它的特点找到更简便的方法吗？
10x - 4.9x2 = 0
左边因式分解
x（10 - 4.9x）= 0
用降次法中的因式分解法解一元二次方程．
复习引入
1、解一元二次方程的基本思路是什么？ 把二次方程转化为一次方程即降次
2、我们学过了用降次法中的哪几种方法来 解一元二次方程？
配方法和公式法
复习引入
3、什么叫因式分解？因式分解有哪几种方 法？
把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式 分解或分解因式；
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。21.8.2421.8.2422:38:5422:38:54August 24, 2021
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14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年8月24日星期二下午10时38分54秒22:38:5421.8.24
应用新知
1、用因式分解法解下列方程
（1）3x2+6x=0
（2）y(y-1)=2y-2
解 （1）3x(x+2)=0
：
∴3x=0或x+2=0
∴x1=0,x2=-2
(2)y(y-1)-2(y-1)=0 (y-1)(y-2)=0
∴y-1=0或y-2=0