近世代数试题库人教版
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近世代数试题库人教版
近世代数
一、单项选择题
1、若A={1，2，3，5}，B={2，3，6，7}，则B A ?=（ ）
A 、{1，2，3，4}
B 、{2，3，6，7}
C 、{2，3}
D 、{1，2，3，5，6，7} 答案：C
2、循环群与交换群关系正确的是（ ）
A 、循环群是交换群
B 、交换群是循环群
C 、循环群不一定是交换群
D 、以上都不对 答案：A
3、下列命题正确的是（ ）
A 、n 次对换群n S 的阶为!n
B 、整环一定是域
C 、交换环一定是域
D 、以上都不对 答案：A
4、关于陪集的命题中正确的是（ ）设H 是G 的子群，那么 A 、
对于,,bH aH ?有φ=?bH aH 或bH aH =
B 、 H a H aH ∈?=
C 、 H b a bH aH ∈?=-1
D 、
以上都对
答案：D
5、设A=R （实数域）， B=R+（正实数域） f :a →10a a ∈A
则 f 是从A 到B 的（ ）
A 、单射
B 、满射 C 、一一映射
D 、既非单射也非满射 答案：D
6、有限群中的每一个元素的阶都（ ） A 、有限 B 、无限 C 、为零 D 、为1 答案：A
7、整环（域）的特征为（ ）
A 、素数
B 、无限
C 、有限
D 、或素数或无限 答案：D
8、若S 是半群,则( )
A 、任意,,,S c b a ∈都有a(bc)=(ab)c
B 、任意,,S b a ∈都有ab=ba
C 、必有单位元
D 、任何元素必存在逆元 答案：A
9、在整环Z 中，6的真因子是（ ） A 、1,6±± B 、2,3±± C 、1,2±± D 、3,6±± 答案：B
10、偶数环的单位元个数为（ ） A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、无数个 答案：A
11、设n A A A ,,,21 和D 都是非空集合，而f 是n A A A 21到D 的一个映射，那么（ ）
A 、集合D A A A n ,,,,21 中两两都不相同；
B 、n A A A ,,,21 的次序不能调换；
C 、n A A A 21中不同的元对应的象必不相同；
D 、一个元()n a a a ,,,21 的象可以不唯一。
答案：B
12、指出下列那些运算是二元运算（ ） A 、在整数集Z 上，ab
b
a b a +=
； B 、在有理数集Q 上，ab b a = ；
C 、在正实数集+R 上，b a b a ln = ； D 、在集合{}0≥∈n Z n 上，b a b a -= 。 答案：D
13、设 是整数集Z 上的二元运算，其中{}b a b a ,max = （即取a 与b 中的最大者），那么 在Z 中（ ）
A 、不适合交换律；
B 、不适合结合律；
C 、存在单位元；
D 、每个元都有逆元。 答案：C
14、设() ,G 为群，其中G 是实数集，而乘法k b a b a ++= :，这里k 为G 中固定的常数。那么群() ,G 中的单位元e 和元x 的逆元分别是（ ）
A 、0和x -；
B 、1和0；
C 、k 和k x 2-；
D 、k -和)2(k x +-。 答案：D
15、设c b a ,,和x 都是群G 中的元素且xac acx bxc a x ==-,12，那么=x （ ） A 、11--a bc ； B 、11--a c ； C 、11--bc a ； D 、ca b 1-。 答案：A
16、设H 是群G 的子群，且G 有左陪集分类{}cH bH aH H ,,,。如果6，那么G 的阶=G （ ）
A 、6；
B 、24；
C 、10；
D 、12。 答案：B
17、设21:G G f →是一个群同态映射，那么下列错误的命题是（ ）
A 、f 的同态核是1G 的不变子群；
B 、2G 的不变子群的逆象是1G 的不变子群；
C 、1G 的子群的象是2G 的子群；
D 、1G 的不变子群的象是2G 的不变子群。 答案：D
18、设21:R R f →是环同态满射，b a f =)(，那么下列错误的结论为（ ） A 、若a 是零元，则b 是零元； B 、若a 是单位元，则b 是单位元； C 、若a 不是零因子，则b 不是零因子；D 、 若2R 是不交换的，则1R 不交换。 答案：C
19、下列正确的命题是（ ）
A 、欧氏环一定是唯一分解环；
B 、主理想环必是欧氏环；
C 、唯一分解环必是主理想环；
D 、唯一分解环必是欧氏环。 答案：A
20、若I 是域F 的有限扩域，E 是I 的有限扩域，那么（ ） A 、()()()F I I E I E :::=； B 、()()()I E F I E F :::=； C 、()()()I F F E F I :::=；
D 、()()()F I I E F E :::= 答案：D
二、填空题
1、集合A 的一个等价关系需满足自反性、对称性和（ ） 。 答案：传递性
2、设A,B 都为有限集，且,,n B m A ==则=?B A （ ）. 答：mn
3．设R 是集合A ＝｛平面上所有直线｝上的关系：
121l Rl l ?∥2l 或21l l = （A l l ∈21,），则R （ ）等价关系。
答：是
4、设群G 中的元素a 的阶为m ，则e a n
=的充要条件是（ ）。
答：n m
5、群G 的非空子集H 作成G 的一个子群的充要条件是（ ）。
答：,,H b a ∈?有H ab ∈-1
6、n 次对称群n S 的阶是（ ）。 答：!n
7、设G 是有限群，H 是G 的子群，且H 在G 中的指数为n ，则=G （ ）。
答：H n
8、设G 是一个群,e 是G 的单位元，若,G a ∈且a=a,则（ ） 答：a=e
9、最小的数域是（ ）。 答：有理数域
10、设集合A=｛1,2｝,则A ×A=（ ）,2A ＝（ ）。 答：｛（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）｝，｛Φ，｛1｝，｛2｝，｛1，2｝｝
11、设f 是A 的一个变换，A S ?，则()[]S f f 1
-（ ）()[]S f
f
1
-。
答：?
12、设21,R R 是集合A 上的等价关系，21R R （ ）等价关系。
答：是
13、若群G 中每一个元素x 都适合方程e x n
=，则G 是（ ）群。
答：交换群
14、n 阶群G 是循环群的充要条件是（ ）。 答：G 中存在n 阶的元素
15、设1,G G 是有限循环群，,,1n G m G ==则1G 是G 的同态象的充要条件是
（ m n ）。 答：m n
16、如果环R 的乘法满足交换律，即,a b R ?∈，有ab ba =，则称R 为（）环 答：交换环
17、数集关于数的加法和乘法作成的环叫做（ ）环。 答：数环
18、设有限域F 的阶为81，则的特征=p （ ）。 答：3
19、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于（ ）。
答：25
20、一个有单位元的无零因子（ ）称为整环。 答：交换环
21、如果710002601a 是一个国际标准书号，那么=a （ ）。 答：6
22.剩余类加群Z 12有 （ ）个生成元. 答：6
23、设群G 的元a 的阶是n ，则a k 的阶是（ ） 答：n/(k,n)（(k,n)表示k 和n 的最大公约数） 24、6阶循环群有 （ ）个子群. 答：3
26、模8的剩余类环Z 8的子环有（ ） 个. 答：6
27、设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ，则有=?A B （ ）。 答：()()()()()(){}1,2,0,2,1,21,1,0,1,1,1--
28、如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，则()[]=-a
f f 1（ ）。 答：a
29、设集合A 有一个分类，其中i A 与j A 是A 的两个类，如果j
i A A ≠，那么=j i A A （ ）。 答：φ
31、凯莱定理说：任一个子群都同一个（ ）同构。 答：变换群
32、给出一个5-循环置换)31425(=π，那么=-1π（ ）。 答：()13524
33、若I 是有单位元的环R 的由a 生成的主理想，那么I 中的元素可以表达为（ ）。
答：R y x ay x i i i i ∈∑,,
34、若R 是一个有单位元的交换环，I 是R 的一个理想，那么I R
是一个域当且
仅当I 是（ ）。 答：一个最大理想
35、整环I 的一个元p 叫做一个素元，如果（ ）。 答：p 既不是零元，也不是单位，且q 只有平凡因子
36、若域F 的一个扩域E 叫做F 的一个代数扩域，如果（ ）。
答：E 的每一个元都是F 上的一个代数元
三、判断题
1、设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=?x 且。
（ × ）
2、设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ?到D 的每个映射都叫作二元运算。（ × ）
3、只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1
-f 。
（ √ ）
4、如果循环群()a G =中生成元a 的阶是无限的，则G 与整数加
