高中数学三角函数w的取值问题

此时343x－π4∈2430π，318π，此时有 1 个极大值点，成立， 所以 ω 的最大值为343.
专题强化练
1.(2022·开封模拟)已知函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)ω>0，0<φ<π2的图象过点 P0，12，现将 y＝f(x)的图象向左平移π3个单位长度得到的函数图象也过 点 P，则
取 k＝0，可得－32ωπ≤x≤3πω. 若 f(x)在－π6，π4上单调递增，则－3πω32≥ωπ ≤π4，－π6， 若 x∈(0,2π)，则 ωx＋π6∈π6，2ωπ＋π6.
解得 0<ω≤43.
12345678
设 t＝ωx＋π6，则 t∈π6，2ωπ＋π6， 因为 2ωπ＋π6∈π6，176π， 所以函数 y＝sin t 在π6，2ωπ＋π6上的零点最多有 2 个. 所以f(x)在(0,2π)上的零点最多有2个.
即π1ω6 ＋π4≥π2＋2kπk∈Z， π8ω＋π4≤32π＋2kπk∈Z，
解得4＋32k≤ω≤10＋16k(k∈Z)， 因为 ω>0，则k3≥2k0＋，4≤16k＋10， 则 0≤k≤38且 k∈Z，故 k＝0，从而 4≤ω≤10，
因此，ω的最大值为10.
(2)(2022·柳州模拟)若直线 x＝π4是曲线 y＝sinωx－π4(ω>0)的一条对称 轴，且函数 y＝sinωx－π4在区间0，1π2上不单调，则 ω 的最小值为
√A.1π2，π6
B.1π2，π3
C.π6，π3
D.π6，π2
因为函数y＝f(x)的图象与直线y＝1的相邻两个交点的距离为π， 所以函数y＝f(x)的最小正周期为T＝π， 所以 ω＝2Tπ＝2， 所以f(x)＝sin(2x＋φ). 当 x∈2π4，3π时，1π2＋φ<2x＋φ<23π＋φ. 因为－π2<φ<π2， 所以－51π2<1π2＋φ<172π，π6<23π＋φ<76π.

专题13 三角函数中参数ω的取值范围问题
目录
①ω的取值范围与单调性结合 (1)
②ω的取值范围与对称性相结合 (4)
③ω的取值范围与三角函数的最值相结合 (6)
④ω的取值范围与三角函数的零点相结合 (9)
⑤ω的取值范围与三角函数的极值相结合 (15)
①ω的取值范围与单调性结合
②ω的取值范围与对称性相结合
要使()g x 的图像在区间(0,π)上有且仅有两条对称轴和两个对称中心，则π5π2ππ32ω<+
≤，解得51336
ω<≤，因为*ω∈N ，所以2ω=．
③ω的取值范围与三角函数的最值相结合
④ω的取值范围与三角函数的零点相结合
所以，由上图可知，
9π11ππ22ωω<≤，解得911
22
ω<≤ ，所以，当1k =-时145k ω=-=，故选：B
5．（2023春·高一单元测试）已知函数()4cos f x x =，将函数
所以
24 24
ω
ω
ππ
π
ωω
>
⎧
⎪
⇒≤<⎨
≤<
⎪⎩
.
故答案为：[2,4).
⑤ω的取值范围与三角函数的极值相结合
由余弦函数()cos h t t =的性质可得:π
3ππ3
ω<+≤解得:811
33
ω<≤.。

题型8新定义 (9)已知函数y =Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0)，在[x 1,x 2]上单调递增（或递减），求ω的取值范围第一步：根据题意可知区间[x 1,x 2]的长度不大于该函数最小正周期的一半，即x 2-x 1≤12T =πω，求得0<ω≤πx 2-x 1.第二步：以单调递增为例，利用[ωx 1+φ,ωx 2+φ]⊆[―π2+2kπ,π2+2kπ]，解得ω的范围；第三步：结合第一步求出的ω的范围对k 进行赋值，从而求出ω（不含参数）的取值范围.结合图象平移求ω的取值范围1、平移后与原图象重合思路1：平移长度即为原函数周期的整倍数；思路2：平移前的函数=平移后的函数.2、平移后与新图象重合：平移后的函数=新的函数.3、平移后的函数与原图象关于轴对称：平移后的函数为偶函数；4、平移后的函数与原函数关于轴对称：平移前的函数=平移后的函数-；5、平移后过定点：将定点坐标代入平移后的函数中。

()f x ()g x ()f x ()g x y x ()f x ()g x三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为T，相邻的对称轴和对2，也就是说，我们可以根据三角函数的对称性来研究其周期称中心之间的“水平间隔”为T4性，进而可以研究ω的取值。

三角函数的对称轴比经过图象的最高点或最低点，函数的对称中心就是其图象与x轴的交点（零点），也就是说我们可以利用函数的最值、零点之间的“差距”来确定其周期，进而可以确定ω的取值.已知三角函数的零点个数问题求ω的取值范围对于区间长度为定值的动区间，若区间上至少含有k个零点，需要确定含有k个零点的区间长度，一般和周期相关，若在在区间至多含有k个零点，需要确定包含k+1个零点的区间长度的最小值．三角函数的对称轴比经过图象的最高点或最低点，函数的对称中心就是其图象与x轴的交点（零点），也就是说我们可以利用函数的最值、零点之间的“差距”来确定其周期，进而可以确定ω的取值.ππ。

三角函数中w 的取值问题【解题方法】此类问题属于三角函数中的难题，可根据自身情况选择使用。

做此类问题主要是讨论端点的取值是否可取，最严谨的办法就是代入验证。

当遇到单调的问题时，可以讨论零点与零点、零点与对称轴、对称轴与对称轴之间的关系以缩小范围，当遇到选择题时此种办法可能会出奇制胜。

另外，当遇到几个零点之类的问题时数形结合也是特别重要的解题办法，同时也是容易理解的做法。

【对点训练】一、填空题1．已知函数()()2sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()f x 的图象关于直线3x π=对称，且在3,164ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的最大值是______．2．已知函数()()211(sin )sin 20,22f x x x R ωωωω=+->∈，若()f x 在区间(),2ππ内没有极值点，则ω的取值范围是___________.3．已知函数()()sin f x x ωφ=+（0>ω，02πφ<<），4x π=-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在2,189ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的最大值为______.4．若函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在50,18π⎛⎫ ⎪⎝⎭存在唯一极值点，且在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的取值范围为__________.5．已知函数()sin()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><≤⎪⎝⎭，4x π=-为()f x 的零点，4x π=为图象的对称轴，且()f x 在5,412ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的最大值为________.6．设函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭内有零点，无极值点，则ω的取值范围是_______．7．已知函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤⎪⎝⎭，,018π⎛⎫- ⎪⎝⎭为()f x 图象的一个对称中心，79x π=为()f x 图象的一条对称轴，且()f x 在710,99ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调，则符合条件的ω值之和为________.8．已知函数()sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，对任意的x ∈R ，都有(1)()f x f x +=-，且()f x 在区间,412ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调，则ω的值为___________.9．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|2π≤），x 4π=-为f （x ）的零点，x 4π=为y ＝f（x ）图象的对称轴，且f （x ）在（147ππ，）上单调，则ω的最大值为_____．10．已知函数()()()()sin 332sin cos 22f x x x x ϕϕϕ=+-++，其中ϕπ<，若()f x 在区间2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则ϕ的最大值为__________．参考答案：1．13【详解】由题意可得362k ωππππ+=+，Z k ∈，则31k ω=+，Z k ∈．因为()f x 在3,164ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，所以34162T ππ-≤，所以8T π≥，即28ππω≥，解得16ω≤，则3116k +≤，即5k ≤．当5k =时，()2sin 166f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在3,164ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调，所以5k =，即16ω=不符合题意；当4k =，即13ω=时，()2sin 136f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭在3,164ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，所以4k =，即13ω=符合题意，2．3370,,16816⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦ 【详解】()21111(sin )sin 2sin 2cos 2)22224f x x x x x x πωωωωω=+-=-=-， ∴(),2x ∈ππ上2(2,4)444x πππωωπωπ-∈--，()f x 没有极值点， ∴22422442k k πππππωπωππ-≤-<-≤+或322422442k k πππππωπωππ+≤-<-≤+， ∴183216k k ωω⎧≥-⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩或387216k k ωω⎧≥+⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩，而4(2)244x x ππωωωππ---=≤且0>ω得：102ω<≤，∴0k =，3016ω<≤或37816ω≤≤. 3．5 4．6453ω<≤ 【详解】50,18x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则5,66186x ππππωω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，故5321862ππππω<+≤，解得62455ω<≤， 222T πππ≥-=，故T π≥，2ω≤，即625ω<≤， ,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则,6266x ππππωωπω⎛⎫+∈++ ⎪⎝⎭，故237,26306ππππω⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦，则362πππω+≤，解得43ω≤；综上所述：6453ω<≤. 5．5【详解】由于()f x 在区间5,412ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，所以5ππππ,212463T T ≥-=≥，即2π2ππ,063ωωω=≥<≤.由于4x π=-为()f x 的零点，4x π=为图象的对称轴，所以12ππ4πππ42k k ωϕωϕ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=+⎪⎩，两式相减并化简得()()211221,k k k k Z ω=-+∈，所以ω为奇数，由于06ω<≤，当5ω=时，12π1,1,4k k ϕ=-==，符合题意.6．1145,,6333⎛⎫⎡⎤ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦【详解】解：()()sin 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭依题意得22πT π-≤T π∴≥2T πω=02ω∴<≤,2πx π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 2666x ππππωωπω∴-<-<-因为函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭内有零点，无极值点， 22662k k k k ππππωπππππωπ⎧-+≤-<⎪⎪∴⎨⎪<-≤+⎪⎩，()k Z ∈，解得2122331263k k k kωω⎧-+≤<+⎪⎪∴⎨⎪+<≤+⎪⎩，()k Z ∈，当0k =时，1163ω<<满足条件，当1k =时，4533ω≤≤满足条件，当2k ≥时，显然不满足条件， 7．275【详解】由题意可得791824nT T ππ⎛⎫--=+ ⎪⎝⎭，n ∈N ， 即521264n ππω+=⋅，n ∈N ，所以3(21)5n ω+=，n ∈N ，又因为()f x 在710,99ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调， 所以1071299322T πππππωω-=≤=⋅=，即3ω≤， 令3(21)3025n n +≤⇒≤≤，n ∈N ，所以当2n =时，3ω=，因为79x π=为()f x 图象的一条对称轴， 所以7392k ππϕπ⨯+=+，k ∈Z ，即116k πϕπ=-+，k ∈Z ， 又因为||2πϕ≤，所以6π=ϕ，此时()sin 36f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，易知()f x 在710,99ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，符合条件；当1n =时，95ω=，因为79x π=为()f x 图象的一条对称轴，所以97592k ππϕπ⨯+=+，k ∈Z ，即910k πϕπ=-+，k ∈Z ，又因为||2πϕ≤，所以10πϕ=，此时9sin 51)0(x f x π⎛=⎫+ ⎪⎝⎭，易知()f x 在74,93ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，符合条件； 当0n =时，35ω=，因为79x π=为()f x 图象的一条对称轴，所以37592k ππϕπ⨯+=+，k ∈Z ，即30k πϕπ=+，k ∈Z ，又因为||2πϕ≤，所以30πϕ=，此时3()sin 530f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，易知()f x 在722,99ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，符合条件.综上，符合条件的ω值之和为39273555++=. 8．23π【详解】因为(1)()f x f x +=-，所以函数()f x 的对称轴为12x =，所以1sin 1,26πω⎛⎫+=± ⎪⎝⎭即1,262k k Z ππωπ+=+∈，解得22,3k k Z πωπ=+∈，0,0,k k Z ω>∴≥∈,又()f x 在区间,412ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调（1）若()f x 在区间,412ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，则22,262k x k k Z ππππωπ-+≤+≤+∈ ∴0>ω ，∴12122,,33k x k k Z ππππωω⎛⎫⎛⎫-+≤≤+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴1224312,123k k πππωπππω⎧⎛⎫-≥-+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪≤+ ⎪⎪⎝⎭⎩，即1122431112123k k ωω⎧⎛⎫-≥-+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪≤+ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得88,3k k Z ω≤-∈，所以808,3k k Z ω<≤-∈，且22,3k k Z πωπ=+∈，所以当0k =时，23πω=满足题意；（2）若()f x 在区间,412ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，则322,262k x k k Z ππππωπ+≤+≤+∈ ∴0>ω ，∴11422,,33k x k k Z ππππωω⎛⎫⎛⎫+≤≤+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴1243142,123k k πππωπππω⎧⎛⎫-≥+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪≤+ ⎪⎪⎝⎭⎩，即1112431142123k k ωω⎧⎛⎫-≥+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪≤+ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得48,3k k Z ω≤--∈，所以408,3k k Z ω<≤--∈，且22,3k k Z πωπ=+∈，此时无解，综上可得23πω=满足题意； 9．11 10．56π【详解】()()()()()()sin 222sin cos 22sin f x x x x x x ϕϕϕϕϕ⎡⎤=+++-++=+⎣⎦，由π3π2π2π22k x k ϕ+≤+≤+，解得π3π2π2π22k x k ϕϕ+-≤≤+-， π2π63x <<是其子集，故ππ2π26{3π2π2π23k k ϕϕ+-≤+-≥，解得π2π3{5π2π6k k ϕϕ+≤+≥，由于πϕ<，故令0k =可求得ϕ的最大值为5π6.。

三角函数w范围
三角函数中的w，即角频率，是一个描述信号周期性特征的参数。

在三角函数零点问题中，w的范围可以根据实际情况来确定。

一般来说，三角函数零点处的w可以由正弦、余弦函数公式求出，如sin(w)+cos(w)=0。

由此可以推出w的范围在(0,π/2)和(3π/2,2π)之间。

然而，在实际应用中，w的范围可能需要根据具体需求进行定义。

例如，如果要求w能够产生指定的直流信号，那么w需要与实际信号范围相匹配。

如果要求在一定的强度下产生指定的信号，则需要考虑幅度、相位对应关系等因素，以得到合适的w范围。

专题二 三角函数中一类求w 的最值问题三角函数的性质是高考必考内容，也是高考中的热点内容。

本文筛选了一部分高考题和模考题，就三角函数中一类求w 的取值范围问题做了整理，希望对大家有所帮助。

类型一 已知周期求w 的范围【例1】（2010.辽宁）设>0,函数y=sin(x+)+2的图像向右平移个单位后与原图像重合，则的最小值是（A ） (B) (C) (D)3 【答案】C 【解析】将2)3sin(++=πωx y 的图像向右平移个单位后为 ， 所以有=2k ,即， 又因为，所以k ≥1,故≥，所以选C 【题后反思】该题的突破点在于平移后与原图像重合，因此和函数的周期性有关。

借助平移和诱导公式的相关知识点可以解决问题。

类型二 已知值域求w 的范围【例2】已知函数],0[),0)(6sin()(πωπω∈>-=x x x f ，)(x f 的值域为]1,21[-，则ω的最小值为（ ）A. 32B.43C.34D.23 【答案】A【解析】由于],0[π∈x ，所以666πωππωπ-≤-≤-xωω3π34πω23433234π4sin[()]233y x ππω=-++4sin()233x πωπω=+-+43ωππ32k ω=0ω>32k ω=32又因为)(x f 的值域为]1,21[-，且21)6sin(-=-π，2167sin -=π 结合图象可得6762ππωππ≤-≤，解之得3432≤≤ω，故选A 【题后反思】该题在处理时运用整体的思想，将值域问题转化在基本函数y=sinx 上结合图象处理更为简单明了。

类型三 已知零点情况求w 的范围【例3】（2016.天津）已知函数R x x x x f ∈>-+=),0(21sin 212sin )(2ωωω，若)(x f 在区间)2,(ππ内没有零点，则ω的取值范围是A. ]81,0(B.)1,85[]41,0(⋃C.]85,0(D.)85,41[]81,0(⋃ 【答案】D 【解析】化简得)0)(4sin(22)(>-=ωπωx x f ，由于0),2,(>∈ωππx ， 所以4244πωππωπωπ-<-<-x ，)(x f 在区间)2,(ππ内没有零点包含以 下情况： ①ππωπk 24≥-且πππωπ+≤-k 242，其中Z k ∈ 解得Z k k k ∈++∈]85,412[ω，取0=k ，则]85,41[∈ω ②πππωπ+≥-k 24且πππωπ2242+≤-k ，其中Z k ∈ 解得Z k k k ∈++∈]89,452[ω，取1-=k ，则]81,43[-∈ω 综上，结合0>ω得]85,41[]81,0(⋃∈ω，故选D 【相关例题1】已知函数]3,4[),0)(sin()(ππϕωϕω∈>+=x x f ，已知)(x f 在]2,0[π上有且仅有4个零点，则下列ω的值中满足条件的是（ ）A. 613=ωB.611=ωC.47=ωD.43=ω 【答案】A【相关例题2】已知函数),0)(6sin(cos )(>++=ωπωωx x x f 在],0[π上恰有一个最大值和两个零点，则ω的取值范围是________.【答案】)613,35[ 【题后反思】几个题目类型相同，处理时同样体现整体换元的思想，结合基本函数y=sinx 的图象，更易求解。

三角函数w的取值范围解题方法
三角函数是数学中的基本概念，而w作为三角函数的一个重要参数，其取值范围对于理解函数性质和解决问题至关重要。

以下介绍几种求解三角函数w的取值范围的方法。

一、观察函数形式
首先，需要仔细观察函数的形式，明确其是否具有周期性、振幅变化和相位偏移等特点。

对于三角函数，这些特点往往会影响w的取值范围。

二、确定基本周期
周期性是三角函数的一个重要特性。

通过确定基本周期，可以更好地理解函数的规律性变化，从而推断出w的可能取值范围。

三、分析振幅和相位偏移
振幅和相位偏移会影响三角函数的形状和位置。

分析这些因素，可以帮助确定w 的取值范围。

例如，当振幅增大时，w的取值范围可能会相应扩大。

四、确定边界条件
边界条件是指函数在某些特定点上的取值或变化趋势。

通过确定边界条件，可以进一步限制w的取值范围。

五、利用三角恒等式
三角恒等式是处理三角函数的重要工具。

通过使用三角恒等式，可以化简函数形式，从而更容易地推断出w的取值范围。

六、求解不等式
当需要确定w的精确取值范围时，可以使用不等式进行求解。

例如，通过解不等式可以找到满足特定条件的w的范围。

综上所述，求解三角函数w的取值范围需要综合考虑多种因素。

通过观察函数形式、确定基本周期、分析振幅和相位偏移、确定边界条件、利用三角恒等式以及求解不等式等方法，可以逐步缩小w的取值范围，最终得到准确的结果。

这些方法不仅适用于处理三角函数的w取值问题，也适用于其他类型的数学问题。

在具体应用中，需要根据问题的具体情况选择合适的方法进行处理。

三角函数ω的取值范围及解三角形中的范围与最值问题命题预测三角函数与解三角形是每年高考常考内容，在选择、填空题中考查较多，有时会出现在选择题、填空题的压轴小题位置，综合考查以解答题为主，中等难度．高频考法(1)ω取值与范围问题(2)面积与周长的最值与范围问题(3)长度的范围与最值问题01ω取值与范围问题1、f (x )=A sin (ωx +φ)在f (x )=A sin (ωx +φ)区间(a ，b )内没有零点⇒b -a ≤T2k π≤aω+ϕ<π+k πk π<bω+ϕ≤π+k π⇒b -a ≤T2a ≥k π-ϕωb ≤π+k π-ϕω同理，f (x )=A sin (ωx +φ)在区间[a ，b ]内没有零点⇒b -a ≤T2k π<aω+ϕ<π+k πk π<bω+ϕ<π+k π ⇒b -a <T2a >k π-ϕωb <π+k π-ϕω2、f (x )=A sin (ωx +φ)在区间(a ，b )内有3个零点⇒T <b -a ≤2T k π≤aω+ϕ<π+k π3π+k π<bω+ϕ≤4π+k π⇒T <b -a ≤2T k π-φω≤a <(k +1)π-φω(k +3)π-φω<b ≤(k +4)π-φω同理f (x )=A sin (ωx +φ)在区间[a ，b ]内有2个零点⇒T2≤b -a <3T2k π<aω+ϕ≤π+k π2π+k π≤bω+ϕ<3π+k π ⇒T 2≤b -a <3T2k π-φω<a ≤k π+π-φω(k +2)π-φω≤b <(k +3)π-φω 3、f (x )=A sin (ωx +φ)在区间(a ，b )内有n 个零点⇒(n-1)T2≤b-a<(n+1)T2kπ-φω≤a<kπ+π-φω(k+n)π-φω<b≤(k+n+1)π-φω同理f(x)=A sin(ωx+φ)在区间[a，b]内有n个零点⇒(n-1)T2≤b-a<(n+1)T2kπ-φω<a≤kπ+π-φω(k+n)π-φω≤b<(k+n+1)π-φω4、已知一条对称轴和一个对称中心，由于对称轴和对称中心的水平距离为2n+14T，则2n+14T=(2n+1)π2ω=b-a ．5、已知单调区间(a,b)，则a-b≤T 2.1(2024·江苏南通·二模)已知函数y=3sinωx+cosωx(ω>0)在区间-π4,2π3上单调递增，则ω的最大值为()A.14B.12C.1211D.83【答案】B【解析】因为y=3sinωx+cosωx=2sinωx+π6，又ω>0，由-π2+2kπ≤ωx+π6≤π2+2kπ,k∈Z，得到-2π3+2kπω≤x≤π3+2kπω,k∈Z，所以函数y=3sinωx+cosωx的单调增区间为-2π3+2kπω,π3+2kπω(k∈Z)，依题有-π4,2π3⊆-2π3+2kπω,π3+2kπω(k∈Z)，则2π3≤π3ω-2π3ω≤-π4，得到0<ω≤12，故选：B.2(2024·四川泸州·三模)已知函数f x =sinωx-2π3(ω>0)在0,π 有且仅有三个零点，则ω的取值范围是()A.83,11 3B.83,113C.53,83D.53,83【答案】B【解析】因为0≤x≤π，所以-2π3≤ωx-2π3≤ωπ-2π3，因为函数f x =sinωx-2π3(ω>0)在0,π 有且仅有三个零点，结合正弦函数的图象可知2π≤ωπ-2π3<3π，解得83≤ω<113，故选：B.3(2024·四川德阳·二模)已知函数f x =sinωx+φ(ω>0,φ∈R)在区间7π12,5π6上单调，且满足f7π12=-f3π4 ．给出下列结论，其中正确结论的个数是()①f2π3=0；②若f5π6-x=f x ，则函数f x 的最小正周期为π；③关于x的方程f x =1在区间0,2π上最多有3个不相等的实数解；④若函数f x 在区间2π3,13π6上恰有5个零点，则ω的取值范围为83,103．A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】①因为f7π12=-f3π4 且7π12+3π42=2π3，所以f2π3=0.①正确.②因为f5π6-x=f(x)所以f(x)的对称轴为x=5π62=5π12,2π3-5π12=π4=T4⇒T=π.②正确.③在一个周期内f x =1只有一个实数解，函数f x 在区间7π12,5π6上单调且f2π3 =0，T≥45π6-2π3=2π3.当T=2π3时，f x =sin3x，f x =1在区间0,2π上实数解最多为π6,5π6,3π2共3个.③正确.④函数f x 在区间2π3,13π6上恰有5个零点，2T<13π6-2π3≤5T2⇒2⋅2πω<13π6-2π3≤52⋅2πω，解得83<ω≤103；又因为函数f x 在区间7π12,5π6上单调且f2π3 =0，T≥45π6-2π3=2π3，即2πω≥2π3⇒ω≤3，所以ω∈83,3.④错误故选：C4(2024·江苏泰州·模拟预测)设函数f x =2sinωx-π6-1ω>0在π,2π上至少有两个不同零点，则实数ω的取值范围是()A.32,+∞ B.32,73 ∪52,+∞ C.136,3 ∪196,+∞ D.12,+∞ 【答案】A【解析】令2sin ωx -π6 -1=0得sin ωx -π6 =12，因为ω>0，所以ωx -π6>-π6，令sin z =12，解得z =π6+2k π,k ∈Z 或z =5π6+2k 1π,k 1∈Z ，从小到大将sin z =12的正根写出如下：π6，5π6，13π6，17π6，25π6，29π6⋯⋯，因为x ∈π,2π ，所以ωx -π6∈ωπ-π6,2ωπ-π6，当ωπ-π6∈0,π6 ，即ω∈16,13 时，2ωπ-π6≥5π6，解得ω≥12，此时无解，当ωπ-π6∈π6,5π6 ，即ω∈13,1 时，2ωπ-π6≥13π6，解得ω≥76，此时无解，当ωπ-π6∈5π6,13π6 ，即ω∈1,73 时，2ωπ-π6≥17π6，解得ω≥32，故ω∈32,73，当ωπ-π6∈13π6,17π6 ，即ω∈73,3 时，2ωπ-π6≥25π6，解得ω≥136，故ω∈73,3，当ω≥3时，2ωπ-π6-ωπ-π6=ωπ≥3π，此时f x 在π,2π 上至少有两个不同零点，综上，ω的取值范围是32,+∞ .故选：A02面积与周长的最值与范围问题正弦定理和余弦定理是求解三角形周长或面积最值问题的杀手锏，要牢牢掌握并灵活运用．利用三角公式化简三角恒等式，并结合正弦定理和余弦定理实现边角互化，再结合角的范围、辅助角公式、基本不等式等求其最值．1(2024·青海·模拟预测)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2a cos 2B +2b cos A cos B =c ．(1)求B ；(2)若b =4，△ABC 的面积为S ．周长为L ，求SL的最大值．【解析】(1)由正弦定理可得，2sin A cos 2B +2sin B cos A cos B =sin C ，所以2sin A cos 2B +2sin B cos A cos B =sin A cos B +cos A sin B ,所以sin A cos B (2cos B -1)+cos A sin B (2cos B -1)=0，即(2cos B -1)sin (A +B )=0，由0<A +B <π，可知sin (A +B )≠0，所以2cos B -1=0，即cos B =12，由0<B <π，知B =π3.(2)由余弦定理，得b 2=a 2+c 2-2ac cos B ，即16=a 2+c 2-ac ，所以16=a +c 2-3ac ，即ac =13a +c 2-16 ，因为S =12ac sin B =34ac ，L =a +b +c ，所以S L =3ac 4a +c +4=3a +c 2-1612a +c +4，所以S L=312a +c -4 ，又ac ≤a +c 24(当且仅当a =c 时取等号)，所以16=a +c 2-3ac ≥a +c24(当且仅当a =c =4时取等号)，所以a +c ≤8(当且仅当a =c =4时取等号)，所以S L=312a +c -4 ≤312×8-4 =33(当且仅当a =c =4时取等号)，即S L的最大值为33.2(2024·陕西汉中·二模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，请从下列条件中选择一个条件作答：(注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分．)①记△ABC 的面积为S ，且3AB ⋅AC =2S ；②已知a sin B =b cos A -π6 ．(1)求角A 的大小；(2)若△ABC 为锐角三角形，且a =6，求△ABC 周长的取值范围．【解析】(1)选条件①，由3AB ⋅AC =2S ，得3bc cos A =2×12bc sin A ，整理得tan A =3，而0<A <π，所以A =π3.选条件②，由a sin B =b cos A -π6 及正弦定理，得sin A sin B =sin B cos A -π6，而sin B >0，则sin A =cos A -π6 =32cos A +12sin A ，整理得tan A =3，而0<A <π，所以A =π3.(2)由(1)知A =π3，由正弦定理得b sin B =c sin C =a sin A =6sin π3=22，因此b +c =22sin B +22sin C =22sin B +sin π3+B =2232sin B +32cos B=26sin B +π6由△ABC 为锐角三角形，得0<B <π20<2π3-B <π2 ，解得π6<B <π2，因此π3<B +π6<2π3，则32<sin B +π6≤1，于是32<b +c ≤26，32+6<a +b +c ≤36，所以△ABC 周长的取值范围是(32+6,36].3(2024·宁夏银川·二模)已知平面四边形ABCD 中，∠A +∠C =180°,BC =3.(1)若AB =6,AD =3,CD =4，求BD ；(2)若∠ABC =120°,△ABC 的面积为932，求四边形ABCD 周长的取值范围.【解析】(1)在△ABD 中，由余弦定理得cos ∠A =32+62-BD 22×3×6，在△BCD 中，由余弦定理得cos ∠C =32+42-BD 22×3×4，因为∠A +∠C =180°，所以cos ∠A +cos ∠C =0，即32+62-BD 22×3×6+32+42-BD 22×3×4=0，解得BD =33.(2)由已知S △ABC =12×3×AB ×32=932，得AB =6，在△ABC 中，∠ABC =120°，由余弦定理得AC 2=32+62-2×3×6×cos120°=63，则AC =37，设AD=x,CD=y,(x,>0,y>0)，在△ACD中，由余弦定理得372=x2+y2-2xy⋅cos60°=x+y2-3xy，则x+y2=63+3xy≤63+3×x+y22，得x+y24≤63，所以x+y≤67，当且仅当x=y=37时取等号，又x+y>AC=37，所以四边形ABCD周长的取值范围为37+9,67+9.4(2024·四川德阳·二模)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知sin B=23cos2A+C 2.(1)求B；(2)若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围.【解析】(1)因为△ABC中，sin B=23cos2A+C2，即2sinB2cos B2=23cos2π-B2=23sin2B2，而0<B<π,∴sin B2>0，故cos B2=3sin B2，故tan B2=33，又0<B<π,∴0<B2<π2，则B2=π6,∴B=π3；(2)由(1)以及题设可得S△ABC=12ac sin B=34a；由正弦定理得a=c sin Asin C=c sin2π3-Csin C=c sin2π3cos C-cos2π3sin Csin C=32cos C+12sin Csin C=32tan C+12，因为△ABC为锐角三角形，0<A<π2，0<C<π2，则0<2π3-C<π2,∴π6<C<π2，则tan C>33,∴0<1tan C<3，则12<32tan C+12<2，即12<a<2，则38<S△ABC<32，即△ABC面积的取值范围为38,32 .03长度的范围与最值问题对于利用正、余弦定理解三角形中的最值与范围问题，主要有两种解决方法：一是利用基本不等式，求得最大值或最小值；二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围，确定所求式的范围．1(2024·贵州遵义·一模)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3b-a sin C= 3a cos C．(1)求A；(2)若△ABC为锐角三角形，c=2，求b的取值范围．【解析】(1)在△ABC中，由3b-a sin C=3a cos C及正弦定理，得3sin B-sin A sin C=3sin A cos C，则3sin A cos C+sin A sin C=3sin(A+C)=3sin A cos C+3cos A sin C，即sin A sin C=3cos A sin C，而sin C>0，于是tan A=3，又0<A<π，所以A=π3.(2)由(1)知，A=π3，由正弦定理得b=c sin Bsin C=2sin2π3-Csin C=3cos C+sin Csin C=3tan C+1，由△ABC为锐角三角形，得0<C<π20<2π3-C<π2，解得π6<C<π2，则tan C>13，∴1tan C<3,则1<b<4，所以b的取值范围是1<b<4.2(2024·宁夏固原·一模)在锐角△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，且2sin B sin C+cos2C= 1+cos2A-cos2B．(1)求证：B+C=2A；(2)求c-ba的取值范围．【解析】(1)因为2sin B sin C+cos2C=1+cos2A-cos2B，所以2sin B sin C+1-2sin2C=1+1-2sin2A-1+2sin2B，则sin B sin C-sin2C=-sin2A+sin2B，由正弦定理可得bc-c2=-a2+b2，即bc=b2+c2-a2，所以cos A=b2+c2-a22bc=bc2bc=12，又A∈0,π2，故A=π3，由A+B+C=π，故B+C=π-A=2π3=2A；(2)由(1)得sin A=32,cos A=12，因为sin B=sin A+C=sin A cos C+cos A sin C=32cos C+12sin C，所以由正弦定理得c-ba=sin C-sin Bsin A=23sin C-32cos C-12sin C=2312sin C-32cos C=23sin C-π3，又锐角△ABC中，有0<C<π20<π-π3-B<π2，解得π6<C<π2，所以-π6<C-π3<π6，则-12<sin C-π3<12，所以-33<23sin C-π3<33，即-33<23sin C-π3<33，故c-ba的取值范围为-33,33.3(2024·河北衡水·一模)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c，三角形面积为S，若D为AC边上一点，满足AB⊥BD,BD=2，且a2=-233S+ab cos C.(1)求角B；(2)求2AD +1CD的取值范围.【解析】(1)∵a2=-233S+ab cos C，∴a2=-33ab sin C+ab cos C，即a=-33b sin C+b cos C，由正弦定理得，sin A=-33sin B sin C+sin B cos C，∴sin B+C=-33sin B sin C+sin B cos C，∴cos B sin C=-33sin B sin C，∵sin C≠0，∴tan B=-3，由0<B<π，得B=2π3.(2)由(1)知，B=2π3，因为AB⊥BD，所以∠ABD=π2，∠DBC=π6，在△BCD中，由正弦定理得DCsin∠DBC=BDsin C，即DC=2sinπ6sin C=1sin C，在Rt△ABD中，AD=BDsin A=2sin A，∴2 AD +1CD=22sin A+11sin C=sin A+sin C，∵∠ABC=2π3，∴A+C=π3,∴2 AD +1CD=sin A+sin C=sinπ3-C+sin C=sinπ3cos C-cosπ3sin C+sin C=sin C+π3，∵0<C<π3，∴C+π3∈π3,2π3，∴sin C+π3∈32,1，所以2AD+1CD的取值范围为32,1.4(2024·陕西安康·模拟预测)已知锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a=8，ac=1+sin2A-sin2Csin2B，且a≠c．(1)求证：B=2C；(2)已知点M在线段AC上，且∠ABM=∠CBM，求BM的取值范围．【解析】(1)因为ac=1+sin2A-sin2Csin2B，即a-cc=sin2A-sin2Csin2B，由正弦定理可得a-cc=a2-c2b2=a+ca-cb2，又a≠c，即a-c≠0，所以1c=a+cb2，整理得b2=c2+ac，由余弦定理得b2=a2+c2-2ac cos B，整理得c=a-2c cos B，由正弦定理得sin C=sin A-2sin C cos B，故sin C=sin B+C-2sin C cos B，即sin C=sin B cos C+sin C cos B-2sin C cos B，整理得sin C=sin B-C，又因为△ABC为锐角三角形，则C∈0,π2,B∈0,π2，可得B-C∈-π2,π2，所以C=B-C，即B=2C.(2)因为点M在线段AC上，且∠ABM=∠CBM，即BM平分∠ABC，又B=2C，所以∠C=∠CBM，则∠BMC=π-C-∠CBM=π-2C，在△MCB中，由正弦定理得BCsin∠BMC=BMsin C，所以BM=BC sin Csin∠BMC=8sin Csin2C=8sin C2sin C cos C=4cos C，因为△ABC为锐角三角形，且B=2C，所以0<C<π20<2C<π20<π-3C<π2，解得π6<C<π4.故22<cos C<32，所以833<BM<42.因此线段BM 长度的取值范围833,42.1在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a =3，A =60°，则b 的取值范围是()A.0,6B.0,23C.3,23D.3,6【答案】C【解析】由正弦定理得a sin A =b sin B ，即b =a sin B sin A =3sin B sin60°=23sin B ，又△ABC 为锐角三角形，C =180°-A -B =120°-B ，又0°<B ,C <90°，则0°<120°-B <90°，解得30°<B <90°，而当30°<x <90°时，y =sin x 单调递增，故sin B ∈12,1，所以b =23sin B ∈3,23 .故选：C2已知函数f (x )=sin (ωx +φ)(ω>0)，现有如下说法：①若φ=π3，函数f (x )在π6,π3 上有最小值，无最大值，且f π6 =f π3，则ω=5；②若直线x =π4为函数f (x )图象的一条对称轴，5π3,0 为函数f (x )图象的一个对称中心，且f (x )在π4,5π6 上单调递减，则ω的最大值为1817；③若f (x )=12在x ∈π4,3π4 上至少有2个解，至多有3个解，则ω∈4,163；则正确的个数为()A.0 B.1C.2D.3【答案】C【解析】对于①，因为x =π6+π32=π4时，f x 有最小值，所以sin ωπ4+π3=-1，所以ωπ4+π3=2kπ+3π2k∈Z，得到ω=8k+143k∈Z，因为f x 在区间π6,π3上有最小值，无最大值，所以π3-π4≤πω，即ω≤12，令k=0，得ω=143，故①错误；对于②，根据题意，有ωπ4+φ=2k1π+π2k1∈Z5ωπ3+φ=k2πk2∈ZT2=πω≥5π6-π4=7π12，得出ω=-12(2k1-k2)+617,k1,k2∈Z0<ω≤127，即ω=-12k+617,k∈Z0<ω≤127，得到ω=617或1817，故②正确；对于③，令ωx+φ=2kπ+π6k∈Z或ωx+φ=2kπ+5π6k∈Z，则x=-φ+2kπω+π6ωk∈Z或x=-φ+2kπω+5π6ωk∈Z，故需要上述相邻三个根的距离不超过π2，相邻四个根(距离较小的四个)的距离超过π2，即2πω≤π2,8π3ω>π2,，解得ω∈4,16 3，故③正确，故选：C．3设函数f x =sin2ωx-cos2ωx+23sinωx cosωxω>0，当x∈0,π2时，方程f x =2有且只有两个不相等的实数解，则ω的取值范围是()A.73,13 3B.73,133C.83,143D.83,143【答案】C【解析】由已知易知f x =3sin2ωx-cos2ωx=2sin2ωx-π6，当x∈0,π2时2ωx-π6∈-π6,πω-π6，所以要满足题意有5π2≤πω-π6<9π2⇒ω∈83,143.故选：C4将函数f x =sinωx-cosωx(ω>0)的图象向左平移π4个单位长度后，再把横坐标缩短为原来的一半，得到函数g x 的图象．若点π2,0是g x 图象的一个对称中心，则ω的最小值是()A.45B.12C.15D.56【答案】C【解析】由题意可得f x =222sinωx-22cosωx=2sinωx-π4，所以将f x 的图象向左平移π4个单位长度后，得到函数h x =2sin ωx +π4 -π4=2sin ωx +ωπ4-π4的图象，再把所得图象上点的横坐标缩短为原来的一半，得到函数g x =2sin 2ωx +ωπ4-π4的图象，因为点π2,0 是g x 图象的一个对称中心，所以πω+ωπ4-π4=k π,k ∈Z ，解得ω=45k +15,k ∈Z ，又ω>0，所以ω的最小值为15．故选：C5已知函数f (x )=sin ωx +π6 (ω>0)，若将f (x )的图象向左平移π3个单位后所得的函数图象与曲线y =f (x )关于x =π3对称，则ω的最小值为()A.23B.13C.1D.12【答案】A【解析】函数f (x )=sin ωx +π6 ，f (x )的图象向左平移π3个单位后所得函数g (x )=sin ωx +π3 +π6=sin ωx +πω3+π6，函数y =g (x )的图象与y =f (x )的图象关于直线x =π3对称，则f (x )=g 2π3-x ，于是sin ωx +π6=sin ω2π3-x +πω3+π6 对任意实数x 恒成立，即sin ωx +π6 =sin -ωx +πω+π6 =sin π-ωx -πω+5π6 =sin ωx -πω+5π6对任意实数x 恒成立，因此-πω+5π6=π6+2k π,k ∈Z ，解得ω=-2k +23,k ∈Z ，而ω>0，则k ∈Z ,k ≤0，所以当k =0时，ω取得最小值23.故选：A6(多选题)△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为△ABC 的面积，且a =2，AB ⋅AC=23S ，下列选项正确的是()A.A =π6B.若b =2，则△ABC 只有一解C.若△ABC 为锐角三角形，则b 取值范围是23,4D.若D 为BC 边上的中点，则AD 的最大值为2+3【答案】ABD【解析】对于A ，因为AB ⋅AC =23S ，所以bc cos A =23×12bc sin A ，则tan A =33，因为A ∈0,π ，所以A =π6，故A 正确；对于B ，因为b =2=a ，则B =A =π6，C =2π3，故△ABC 只有一解，故B 正确；对于C ，若△ABC 为锐角三角形，则B ∈0,π2 ，C ∈0,π2，则0<B <π20<π-π6-B <π2，则π3<B <π2，即sin B ∈32,1，由正弦定理可知：b =a sin Bsin A=4sin B ∈23,4 ，故C 错误；对于D ，若D 为BC 边上的中点，则AD =12AB +AC，所以AD 2=14AB 2+2AB ⋅AC +AC 2=14b 2+c 2+3bc由余弦定理知a 2=b 2+c 2-2bc cos A =b 2+c 2-3bc =4，得b 2+c 2=3bc +4，又b 2+c 2=3bc +4≥2bc ，所以bc ≤42-3=43+8，当且仅当b =c =2+6时取得等号，所以AD 2=14b 2+c 2+3bc =144+23bc ≤144+23×43+8 =7+43，即AD ≤7+43=2+3，故D 正确.故选：ABD .7已知函数f x =12+3sin ωx cos ωx -cos 2ωx ω>0 ，若f x 的图象在0,π 上有且仅有两条对称轴，则ω的取值范围是．【答案】56,43【解析】因为f x =12+3sin ωx cos ωx -cos 2ωx =32sin2ωx -12cos2ωx =sin 2ωx -π6，因为f x 的图象在0,π 上有且仅有两条对称轴，所以3π2≤2ωπ-π6<5π2，解得56≤ω<43，所以ω的取值范围是56,43 ．故答案为：56,43.8已知函数f x =sin ωx ω>0 ，若∃x 1,x 2∈π3,π，f x 1 =-1，f x 2 =1，则实数ω的取值范围是.【答案】ω=32或ω≥52【解析】设θ=ωx，x∈π3,π，则θ∈π3ω,πω，所以问题转化为y=sinθ在θ∈π3ω,πω上存在最大值和最小值，由正弦函数图象可得，π3ω≤kπ+π2kπ+π2+π≤πω，解得k+32≤ω≤3k+32，所以k≥0,k∈Z，当k=0时，32≤ω≤32，∴ω=32；当k=1时，52≤k≤92，当k=2时，72≤ω≤152，当k=3时，92≤ω≤212，当k=n，n∈N*时，n+32≤ω≤3n+32，当k=n+1时，n+52≤ω≤3n+92，而n+52-3n+32=-2n+1<0，即n+52<3n+32，所以k∈N*时，所有情况的ω范围的并集为ω≥52；综上，实数ω的取值范围是ω=32或ω≥52.故答案为：ω=32或ω≥52.9已知函数f x =sinωx+φω>0满足f x ≥fπ12，且f x 在区间-π3,π3上恰有两个最值，则实数ω的取值范围为．【答案】125,4【解析】因为f x ≥fπ12，所以fπ12 =sinπ12ω+φ=-1，所以π12ω+φ=2kπ+3π2，k∈Z，即φ=2kπ-π12ω+3π2，k∈Z，所以f x =sinωx+2kπ-π12ω+3π2 =-cosωx-π12．当-π3≤x≤π3时，-5πω12≤ωx-π12≤πω4ω>0．因为f x 在区间-π3,π3上恰有两个最值，且-5πω12>πω4 ，所以ω>0-2π<-5πω12≤-π0<πω4<π，解得125≤ω<4．故答案为：125,4．10已知函数f (x )=-sin ωx -π4 (ω>0)在区间π3,π 上单调递减，则ω的取值范围是.【答案】0,34【解析】当x ∈π3,π时， ωπ3-π4<ωx -π4<ωπ-π4，又y =-sin x 的单调递减区间为2k π-π2,2k π+π2(k ∈Z )，所以ωπ3-π4≥2k π-π2ωπ-π4≤2k π+π2(k ∈Z )，解得6k -34≤ω≤2k +34(k ∈Z )，且2k +34≥6k -34(k ∈Z )，解得k ≤38，又ω>0，所以k =0，所以ω的取值范围为0,34.故答案为：0,3411若函数f x =cos ωx -π6ω>0 在区间π3,2π3内单调递减，则ω的最大值为．【答案】74【解析】由题得：12T ≥2π3-π3⇒0<ω≤3，令t =ωx -π6⇒t ∈πω3-π6,2πω3-π6，则y =cos t 在t ∈πω3-π6,2πω3-π6单调递减，故πω3-π6≥2k π2πω3-π6≤2k π+π⇒6k +12≤ω≤3k +74，由0<ω≤3，故ω∈12,74，所以ω的最大值为74，故答案为：74.12已知函数f (x )=4sin ωx ,g (x )=4cos ωx -π3+b (ω>0)，且∀x 1,x 2∈R ,|f (x 1)-g (x 2)|≤8，将f (x )=4sin ωx 的图象向右平移π3ω个单位长度后，与函数g (x )的图象相邻的三个交点依次为A ，B ，C ，且BA ⋅BC<0，则ω的取值范围是．【答案】0,2π8【解析】依题意，函数f (x )的值域为[-4,4]，g (x )的值域为[b -4,b +4]，由∀x 1,x 2∈R ,f (x 1)-g (x 2) ≤8，得|(b -4)-4|≤8，且|(b +4)-(-4)|≤8，解得b =0，g (x )=4cos ωx -π3 =4sin ωx +π6 ，将f (x )=4sin ωx 的图象向右平移π3ω个单位长度后，得h (x )=4sin ωx -π3ω =4sin ωx -π3，在同一坐标系内作出函数y =g (x ),y =h (x )的图象，观察图象知，|AC |=2πω，取AC 中点D ，连接BD ，由对称性知|AB |=|BC |，BD ⊥AC ，由BA ⋅BC <0，得∠ABC >π2，即∠ABD >π4，|AD |>|BD |，由h (x )=g (x )，得sin ωx -π3 =sin ωx +π6 ，则ωx -π3+ωx+π6=π+2k π,k ∈Z ，解得ωx =712π+k π,k ∈Z ，于是y =4sin 712π+k π-π3=±22，则|BD |=42，因此πω>42，解得0<ω<2π8，所以ω的取值范围是0,2π8.故答案为：0,2π813在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，∠ABC =2π3，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD =2，则a +4c 的最小值为．【答案】18【解析】如图所示，则△ABC 的面积为12ac sin 2π3=12a ⋅2sin π3+12c ⋅2sin π3，则ac =2a +2c ，所以1a +1c =12，显然a ,c >0，故a +4c =(a +4c )1a +1c ×2=2×5+4c a +a c ≥25+24c a ⋅a c=18，当且仅当4ca =a c 1a +1c =12，即a =6c =3时取等号.所以a +4c 的最小值为18.故答案为：18.14在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 所对边的边长分别为a 、b 、c ，且2b sin A -3a =0.(1)求角B；(2)求sin A+sin C的取值范围.【解析】(1)∵2b sin A-3a=0，∴2sin A sin B-3sin A=0，又∵A∈0,π2,∴sin A≠0，∴sin B=32,B∈0,π2，∴B=π3.(2)由(1)可知，B=π3，且△ABC为锐角三角形，所以0<A<π20<C=2π3-A<π2，∴A∈π6,π2，则sin A+sin C=sin A+sin2π3-A=32sin A+32cos A=3sin A+π6，因为π3<A+π6<2π3，∴sin A+sin C∈32,3.15在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且2b sin A-3a=0．(1)求角B的大小；(2)求cos A+cos C的取值范围．【解析】(1)因为2b sin A-3a=0，由正弦定理边化角得：2sin B sin A-3sin A=0，所以2sin B-3sin A=0，由于在△ABC中，sin A≠0，所以2sin B-3=0，即sin B=32，又0<B<π2，所以B=π3.(2)由(1)可知B=π3，所以A+C=2π3，所以cos A+cos C=cos A+cos2π3-A=cos A+cos2π3cos A+sin2π3sin A=cos A-12cos A+32sin A=12cos A+32sin A=sin A+π6由于在锐角△ABC中，0<2π3-A<π2 0<A<π2，所以π6<A<π2，所以π3<A+π6<2π3，所以sinπ3<sin A+π6≤sinπ2，所以32<sin A+π6≤1，所以cos A+cos C的取值范围为32,1.16已知锐角△ABC的三内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且b2+c2-(b⋅cos C+c⋅cos B)2=bc，(1)求角A的大小；(2)如果该三角形外接圆的半径为3，求bc的取值范围．【解析】(1)∵b2+c2-b cos C+c cos B2=bc，由余弦定理可得b2+c2-b⋅a2+b2-c22ab+c⋅a2+c2-b22ac2=bc，化简整理得b2+c2-a2=bc，又b2+c2-a2=2bc cos A，∴cos A=12，又0<A<π2，所以A=π3.(2)因为三角形外接圆半径为R=3，所以b=23sin B，c=23sin C，∴bc=12sin B sin C，由(1)得B+C=2π3，所以bc=12sin B sin C=12sin B sin2π3-B=12sin B32cos B+12sin B=63sin B cos B+6sin2B=33sin2B+31-cos2B=632sin2B-12cos2B+3 =6sin2B-π6+3，因为△ABC是锐角三角形，且B+C=2π3，所以π6<B<π2，∴π6<2B-π6<5π6，∴12<sin2B-π6≤1，∴6<6sin2B-π6+3≤9，即6<bc≤9.所以bc的取值范围为6,9.17在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，cos2B-sin2B=-1 2．(1)求角B，并计算sin B+π6的值；(2)若b=3，且△ABC是锐角三角形，求a+2c的最大值．【解析】(1)由cos2B+sin2B=1cos2B-sin2B=-12，得cos2B=14，则cos B=±12，又0<B<π，所以B=π3或2π3.当B=π3时，sin B+π6=sinπ2=1；当B=2π3时，sin B+π6=sin5π6=12.(2)若△ABC为锐角三角形，则B=π3，有0<C<π20<A=2π3-C<π2，解得π6<C<π2.由正弦定理，得asin A=csin C=bsin B=332=2，则a=2sin A,c=2sin C，所以a+2c=2sin A+4sin C=2sin2π3-C+4sin C=232cos C+12sin C+4sin C=5sin C+3cos C=27sin(C+φ)，其中tanφ=35，又tanφ=35<33=tanπ6，所以0<φ<π6，则π3<C+φ<2π3，故当C+φ=π2时，sin(C+φ)取到最大值1，所以a+2c的最大值为27.18在△ABC中，D为BC边上一点，DC=CA=1，且△ACD面积是△ABD面积的2倍．(1)若AB=2AD，求AB的长；(2)求sin∠ADBsin B的取值范围．【解析】(1)设BC边上的高为AE，垂足为E，因为△ACD面积是△ABD面积的2倍，所以有S△ACDS△ABD=12CD⋅AE12BD⋅AE=2⇒BD=12⇒BC=32，设AB=2AD=x⇒AD=22x，由余弦定理可知：cos C=AC2+BC2-AB22AC⋅BC =AC2+DC2-AD22AC⋅DC⇒1+94-x22×1×32=1+1-12x22×1×1，解得x=1或x=-1舍去，即AB=1；(2)由(1)可知BD=12,BC=32，设∠ADC=θ，由DC=CA⇒∠DAC=∠ADC=θ⇒C=π-2θ且θ∈0,π2，由余弦定理可得：AD=12+12-2×1×1⋅cosπ-2θ=2+2cos2θ=2+22cos2θ-1=2cosθ，AB=12+32 2-2×1×32⋅cosπ-2θ=134+3cos2θ=134+32cos2θ-1=6cos2θ+1 4，在△ABD中，因为θ∈0,π2，所以由正弦定理可知：ABsin∠ADB =ADsin B⇒sin∠ADBsin B=ABAD=6cos2θ+142cosθ=14×24cos2θ+1cos2θ=14×24+1cos2θ，因为θ∈0,π2，所以cos θ∈0,1 ⇒cos 2θ∈0,1 ⇒1cos 2θ>1⇒24+1cos 2θ>25⇒24+1cos 2θ>5，于是有sin ∠ADB sin B >54，因此sin ∠ADB sin B 的取值范围为54,+∞ ..19记锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin B sin C +cos2C =1+cos2A -cos2B .(1)证明：B +C =2A ；(2)求c b的取值范围.【解析】(1)证明：由2sin B sin C +cos2C =1+cos2A -cos2B ，得2sin B sin C +1-2sin 2C =1+1-2sin 2A -1+2sin 2B ，即sin B sin C -sin 2C =-sin 2A +sin 2B ，由正弦定理可得bc -c 2=-a 2+b 2，即a 2=b 2+c 2-bc ，由余弦定理可得a 2=b 2+c 2-2bc cos A ，故cos A =12，又A ∈0,π2 ，故A =π3，由A +B +C =π，故B +C =π-A =2π3=2A ；(2)由正弦定理可得：c b=sin C sin B =sin π-A -B sin B =sin π3+B sin B =12sin B +32cos B sin B =12+32tan B ，又锐角△ABC 中，有0<B <π2，0<π-π3-B <π2，解得π6<B <π2，即tan B ∈33,+∞，即1tan B ∈0,3 ，故c b=12+32tan B ∈12,2 .20记△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，若a +b +c a +b -c =3，且△ABC 的面积为334.(1)求角C ；(2)若AD =2DB ，求CD 的最小值.【解析】(1)∵a +b +c a +b -c =3，∴3=(a +b )2-c 2=a 2+b 2-c 2+2ab 结合余弦定理得3=2ab cos C +2ab =2ab 1+cos C ，∴ab =321+cos C ，∵S △ABC =12ab sin C =334，∴sin C 1+cos C =3，即2sin C 2cos C 2cos 2C 2=tan C 2=3，又∵C 2∈0,π2 ，∴C 2=π3，故C =2π3；(2)由(1)知：C =2π3,ab =321+cos C=3，∵AD =2DB ，∴CD =13CA +23CB ，∴CD 2=13CA +23CB 2=19b 2+49a 2+49ab cos C =19b 2+49a 2-23，又19b 2+49a 2-23≥219b 2⋅49a 2-23=2×23-23=23，当且仅当b =2a =6时，CD 长取最小值，此时CD =23=63，∴CD 长的最小值为63.21已知函数f x =12-sin 2ωx +32sin2ωx ω>0 的最小正周期为4π.(1)求f x 在0,π 上的单调递增区间；(2)在锐角三角形ABC 中，内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且2a -c cos B =b ⋅cos C ,求f A 的取值范围.【解析】(1)f x =12-sin 2ωx +32sin2ωx =12-1-cos2ωx 2+32sin2ωx =32sin2ωx +12cos2ωx =sin 2ωx +π6.因为T =2π2ω=4π,所以ω=14,故f x =sin 12x +π6.由-π2+2k π≤12x +π6≤π2+2k π,k ∈Z ,解得4k π-4π3≤x ≤4k π+2π3,k ∈Z ,当k =0时,-4π3≤x ≤2π3,又x ∈0,π ,所以f x 在0,π 上的单调递增区间为0,2π3.(2)由2a -c cos B =b ⋅cos C ,得(2sin A -sin C )cos B =sin B cos C ,所以2sin A cos B =sin B cos C +cos B sin C =sin B +C =sin A .因为sin A ≠0,所以cos B =12,又B ∈0,π ,所以B =π3,又三角形为锐角三角形，则0<A <π20<2π3-A <π2，则π6<A <π2，所以π4<A 2+π6<5π12，又f A =sin A 2+π6，sin 5π12=sin π4+π6 =sin π4cos π6+cos π4sin π6=2+64，则22<sin A 2+π6 <2+64，所以f A 的取值范围为22,2+64.22已知在△ABC 中，1-cos A 2-sin A =0，(1)求A ；(2)若点D 是边BC 上一点，BD =2DC ，△ABC 的面积为3，求AD 的最小值.【解析】(1)因为1-cos A 2-sin A =0，所以sin 2A 2=sin A ， 因为0<A 2<π2，sin A 2>0，则sin A 2=2sin A 2cos A 2，故cos A 2=12， 所以A 2=π3，A =2π3，(2)因为BD =2DC ，则BD =2DC ，所以AD -AB =2AC -AD ，故AD =13AB +23AC ， 因为△ABC 的面积为3，所以12bc sin A =3，所以bc =4|AD |2=13AB +23AC 2=19c 2+49b 2+49AB ⋅AC =19c 2+49b 2-29bc ≥49bc -29bc =89上式当且仅当c =2b ，即c =22，b =2时取得“=”号，所以AD 的最小值是223.23在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，且满足2sin A +C cos A -sin C cos A =sin A cos C ．(1)求角A ；(2)若点D 在线段BC 上，且满足BD =3DC ,AD =3，求△ABC 面积的最大值．【解析】(1)由题意得2sin B cos A -sin C cos A =sin A cos C ，即2sin B cos A =sin A cos C +sin C cos A =sin B ，∵sin B ≠0，∴2cos A =1，∴cos A =12，又0<A <π,∴A =π3；(2)解法一：令DC =t ，则BD =3t ，∵cos ∠ADC =-cos ∠ADB ，∴AD 2+DC 2-AC 22AD ⋅DC =-AD 2+BD 2-AB 22AD ⋅BD ，即9+t 2-b 26t =-9+9t 2-c 218t ，∴12t 2=-36+3b 2+c 2①，又∵cos ∠BAC =12=b 2+c 2-16t 22bc ，∴16t 2=b 2+c 2-bc ②，∵联立①②，得144-3bc =9b 2+c 2≥6bc (当且仅当c =3b 时取等号)，即bc ≤16，∴S △ABC =12bc sin ∠BAC =34bc ≤43，∴△ABC 面积的最大值为43.解法二：依题意AD =14AB+34AC，∴AD 2=14AB+34AC 2=116AB 2+9AC 2+6AB ⋅AC，即9=116AB 2+9AC 2+6AB AC cos π3=116AB 2+9AC 2+3AB AC，∵AB 2+9AC 2≥6AB AC (当且仅当AB =3AC 时取等号)，∴AB AC ≤16，∴S △ABC =12AB ACsin ∠BAC ≤34×16=43，∴△ABC 面积的最大值为43．24已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，向量m =a +b ,c ,n =sin A -sin C ,sin A -sin B ，且m ⎳n ．(1)求B ；(2)求b 2a 2+c 2的最小值．【解析】(1)因为m ⎳n ，所以a +b sin A -sin B =c sin A -sin C ，由正弦定理可得a +b a -b =c a -c 即a 2-b 2=ac -c 2，故a 2+c 2-b 2=ac ，所以cos B =a 2+c 2-b 22ac =12，而B 为三角形内角，故B =π3.(2)结合(1)可得：b2a2+c2=a2+c2-aca2+c2=1-aca2+c2,1-aca2+c2≥1-ac2ac=1-12=12，当且仅当a=c时等号成立，故b2a2+c2的最小值为12.25已知△ABC为钝角三角形，它的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且sin2C=sin2B+sinπ3+Bcosπ6+B，a<c，b<c．(1)求tan(A+B)的值；(2)若△ABC的面积为123，求c的最小值．【解析】(1)因为sin2C=sin2B+sinπ3+Bcosπ6+B=sin2B+12sinπ2+2B+sinπ6=sin2B+12cos2B+12=sin2B+121-2sin2B+14=34，因为sin C>0，所以sin C=3 2，由△ABC为钝角三角形且a<c，b<c知，C为钝角，所以cos C=-12，即tan C=-3，所以tan(A+B)=tanπ-C=-tan C=3.(2)因为S△ABC=12ab sin C=34ab=123，所以ab=48，由余弦定理，c2=a2+b2-2ab cos C=a2+b2+ab≥3ab=144，当且仅当a=b=43时，等号成立，此时c2的最小值为144，所以c的最小值为12.。

[0,1]上恰好有两个最值,则ω的取值范围是( C )
A.
7π 13π
,
6
6
B.
2π 5π
,
3 3
解析 由 f(x)= 3sin ωx+cos ωx=2sin
C.
4π 7π
,
3 3
π
ωx+6
D.
5π 11π
,
6
6
π
π
π
,当 0≤x≤1 时,6 ≤ωx+6 ≤ω+6 ,函数
3π
π
f(x)在区间[0,1]上恰好有两个最值,由正弦函数的图象知 ≤ω+
π
,若将函数
6
到的图象关于 y 轴对称,且函数
5π 4π
值范围为 ( 6 , 3 ]
.
π
3(ω>0,|φ|<2 )的
π
f(x)的图象向左平移 个单位长度后得
3
π
f(x)在(6 ,θ)内恰有
2 个最值点,则实数 θ 的取
解析 由 f(x)=2sin(ωx+φ)- 3=0 可得
π
ωx+φ= +2kπ,k∈Z 或
所以 f
2π

=sin(2π+φ)=sin
所以 f(x)=sin
g(x)=sin
π
ωx+ 3
π
π
ωx-6 ω+ 3
3
f(T)= 2 ,
π
π
3
φ= ,因为-2 <φ<2 ,可得
2
π
φ=3 ,
π
的图象向右平移6 个单位长度后得到
的图象,
因为所得函数 g(x)的图象关于

三角函数中w 的求值及范围研究——从一道高考题引起的思考在三角函数图象中， w 对整个图象的性质影响巨大，因此，对 w 的取值范围的考察就是高考的热门考点之一，这部分考题呈现出综合性较强，对学生的逻辑推理，直观想象素养要求较高，比如2022全国甲卷理11，2021全国甲卷理16，2020年新高考10题，2020年全国Ⅰ卷理7，2019 年一卷 11 题、三卷 12 题，2018全国新课标Ⅱ理10等等，所以，对 w 的取值范围的系统研究，找到解题的通性通法对提高学生的整体数学素养有巨大的帮助.例（2020年新高考10）（多选）下图是函数y = sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)=（ ）A ．πsin(3x +）B ．πsin(2)3x -C ．πcos(26x +）D ．5πcos(2)6x -变式1：（2020年全国Ⅰ卷理7）设函数π()cos()6f x x ω=+在[−π，π]的图像大致如下图，则f （x ）的最小正周期为（ ）A ．10π9B ．7π6 C ．4π3 D ．3π2变式2：已知函数()sin()(0)4f x x πωω=+>的图象向右平移23π个单位长度后，所得图象与原函数图象重合，则ω的最小值为__________：已知函数()sin()(0)4f x x πωω=+>的图象向右平移3π个单位长度后，与函数sin()6y x πω=+的图象重合，则ω的最小值为__________变式2.2：已知函数()sin()(0)4f x x πωω=+>的图象向右平移6π个单位长度后，与函数cos()4y x πω=+ 的图象重合，则ω的最小值为__________变式3：若函数)0(1sin 2)(>+=ωωx x f 在区间]32,2[ππ-上是增函数，求ω的取值范围。

变式3.1：已知函数)0(cos sin 3)(>+=ωωωx x x f 在)4,0(π上不单调，在)32,3(ππ上单调，则实数ω的取值范围为（ ）A.]2,1(B.]2,53( C.]2,1[ D.]2,34(变式4：（多选）函数)0(sin 2)(>=ωωx x f 在]4,3[ππ-∈x 上的最小值为2-，则实数ω的值可以取（ ）A.32 B.23C.2D.3 变式4.1：函数x x f ωsin 2)(=在]4,3[ππ-∈x 上的最小值为2-，则实数ω的取值范围为（ ）A.]23,(--∞B.),23[+∞C.),23[]2,(+∞⋃--∞D.),2[]23,(+∞⋃-∞变式4.2：若函数)0(sin 2)(>=ωωx x f 在]2,3[ππ-∈x 内有且仅有一个最大值2，则实数ω的取值范围为（ ）A.)5,43[ B.)5,1[ C.)291[， D.]43,0(：为了使函数)0(sin 2)(>=ωωx x f 在区间[0,1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值为( )A ．98πB ．1972πC ．1992π D ．100π变式5：若函数*sin()()6y x N πωω=+∈图像的一条对称轴是直线6x π=，则ω的最小值是______变式5.1：若函数())(0)3f x x πωω=+>相邻两对称轴之间的距离为2，则ω=_____变式5.2：已知函数sin()(0)6y x πωω=+>的图象在 (0,π )上有且仅有两条对称轴，求w 的取值范围.变式 5.3：已知函数()f x cos x ω=(其中x R ∈，0ω>)的图象在[0]2π，上恰有四个对称中心点，求ω的取值范围。

三角函数之w 的取值范围解析一、单选题1．（2023·湖北·二模）已知0w >，函数()π3sin 24f x wx ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在区间π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则w 的取值范围是（）A ．10,2⎛⎤B ．(]0,2C．13,24⎡⎤⎢⎥D ．15,24⎡⎤⎢⎥2．（2017·山西太原·三模）已知函数()(0)f x sinwx w =->在()0,π上有且只有两个零点，则实数w 的取值范围为A ．40,3⎛⎤ B ．47,33⎛⎤ ⎥C ．710,33⎛⎤ ⎥D ．1013,33⎛⎤ ⎥3．（2019·安徽·三模）已知奇函数()sin())f x x x ωϕωϕ=+-+，（其中0ω>，ϕ∈R ）在[1,1]x ∈-有7个零点，则实数w 的取值范围是A ．(3,4]B ．(3,4]ππC ．[3,4)D ．[3,4)ππ4．（19-20高三下·湖南·阶段练习）已知函数()()222sin cos sin 024f x x x ωωω⎛⎫=⋅-> ⎪⎝⎭在区间2π5π,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，且在区间[]0,π上恰好取得一次最大值1，则w 的取值范围是A ．30,5⎛⎤ ⎥B ．13,25⎡⎤⎢⎥C ．13,24⎡⎤⎢⎥D ．15,22⎡⎫⎪⎢5．（17-18高三·河南南阳·阶段练习）已知函数()21cos sin (0,)222wx f x wx w x R =+->∈，若()f x 在区间(,2)ππ内没有零点，则w 的取值范围是A ．5(0,)12πB ．5(0,]12πC ．5(0,6D ．5511(0,[,]126126．（2018·安徽合肥·一模）已知0w >，函数()cos()3f x wx π=+在(,)32ππ上单调递增，则w 的取值范围是（）A ．210(,33B ．210[,]33C ．10[2,]3D ．5[2,3二、多选题7．（2024·贵州黔西·一模）已知()cos (0)f x wx wx w =+>，则下列说法正确的是（）A ．若()f x 的最小正周期为π，则()f x 的对称中心为ππ,0,62k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭ZB ．若()f x 在区间π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则w 的取值范围为40,3⎤⎛ ⎥⎝⎦C ．若()01f x =，则02π1cos 32wx ⎛⎫+=⎝⎭D ．若()f x 在区间[]0,π上恰好有三个极值点，则w 的取值范围为710,33⎡⎫⎪⎢三、填空题8．（21-22高一下·安徽池州·阶段练习）已知函数()2sin f x wx =在区间ππ,43⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为2-，则w 的取值范围是．9．（18-19高三上·天津武清·期中）已知函数()()sin (0,02f x wx w πϕϕ=+><<，若()f x 的图象的一条对称轴是3x π=，且在区间,64ππ⎛⎫- ⎪上单调递增，则w 的取值范围是10．（20-21高三上·江西抚州·期末）若函数()cos()(0)4f x wx w π=+>在[]0,π的值域为1⎡-⎢⎣⎦，则w 的取值范围是。

2
2
4

k

x
4

k
k Z

而

3 2
,
2

是

4

k
, 4

k


k

Z

的
一个单调区间，且对于某个特定的 k 成立，则必有 k 0 ，
故：
2
4
4
3 2
即： 0
2

3

4
2k 2 2k
2

3




3 6k 2 2 4k
k Z
由于取值两个不等式的交集，故 k 只能是唯一的结果， k 0 即： 0 3 2
解法二：由题可知，将 x 看成一个整体，则 x
4 2k k Z 3 k k Z ，即当 k 1 时， 有最小值为 3 .
3
2
2
4
另解法二：当然我们也可以换一种思维向右平移 个单位以后，与原图重合，那么平移的
3
4
距离一定是一个周期的整数倍：则
3
kT
k
2
k Z
1 39.5
基本题型四：与单调性零点对称性最值有关的综合问题
例
1：已知函数
f
(x)

Asinx( A
0,

0) ，在区间 [
,
] 上是增函数，且在区间
43
0, 2 上恰好两次取得最大值 A ，则 的取值范围是__________．

三角函数中求w范围问题在学习三角函数时，我们经常会遇到求解三角函数范围的问题。

特别是当涉及到求解变量w的范围时，我们需要掌握一些基本的原理和方法。

三角函数包括正弦函数(sin)、余弦函数(cos)、正切函数(tan)以及它们的倒数函数。

这些函数在不同的角度区间内的取值范围会有所不同。

首先，我们来看正弦函数(sin)。

正弦函数的值介于-1和1之间，即-1 ≤ sin(w) ≤ 1。

我们可以得出以下结论：当sin(w) = -1时，对应的角度是w = -π/2 + 2πn，其中n为整数。

当sin(w) = 1时，对应的角度是w = π/2 + 2πn，其中n为整数。

接下来，我们探讨余弦函数(cos)。

余弦函数的值同样也介于-1和1之间，即-1 ≤ cos(w) ≤ 1。

根据余弦函数的定义，我们可以得出以下结论：当cos(w) = -1时，对应的角度是w = π + 2πn，其中n为整数。

当cos(w) = 1时，对应的角度是w = 2πn，其中n为整数。

最后，我们来讨论正切函数(tan)。

正切函数的值可以取任意实数，即tan(w)的范围为负无穷至正无穷。

但是我们需要注意，正切函数在一些特定的角度上是不连续的。

当tan(w)不存在时，即w等于π/2 + πn，其中n为整数。

综上所述，我们可以得出三角函数中求w的范围问题的总结如下：-π/2 + 2πn ≤ w ≤ π/2 + 2πn (sin(w) 的范围)0 + 2πn ≤ w ≤ π + 2πn (cos(w) 的范围)π/2 + πn ≤ w ≤ π/2 + πn (tan(w) 的范围，其中tan(w) 存在)需要注意的是，当我们求解w的范围时，其中n为整数，表示了无限个解。

这是因为三角函数是周期性函数，它们的值在一个周期内是重复的。

当我们解决具体的问题中，需要考虑到限定条件，例如给定的角度范围或者其他等式或不等式的限制。

根据具体情况，我们可以利用这些范围来解决问题。

三角函数中w的范围问题的求解策略
三角函数中w的范围问题涉及到三角函数的定义域和值域，需要根据不同的三角函数来分别讨论。

1. 正弦函数sin(w)的范围问题：
正弦函数的定义域是实数集，值域是[-1, 1]。

所以w的取值范围是实数集。

2. 余弦函数cos(w)的范围问题：
余弦函数的定义域是实数集，值域也是[-1, 1]。

所以w的取值范围是实数集。

3. 正切函数tan(w)的范围问题：
正切函数的定义域是所有不等于$\frac{(2n+1)\pi}{2}$的实数，其中n为整数。

其值域为实数集。

所以w的取值范围是除了$\frac{(2n+1)\pi}{2}$的实数集。

4. 余切函数cot(w)的范围问题：
余切函数的定义域是所有不等于nπ的实数，其中n为整数。

其值域也是实数集。

所以w的取值范围是除了nπ的实数集。

5. 正割函数sec(w)和余割函数csc(w)的范围问题：
正割函数和余割函数的定义域都是所有不等于$\frac{n\pi}{2}$的实数，其中n 为整数。

正割函数的值域是[1, +∞)，余割函数的值域是(-∞, -1]∪[1, +∞)。

所以w的取值范围是除了$\frac{n\pi}{2}$的实数集。

以上是关于三角函数中w的范围问题的求解策略。

需要注意的是，在具体计算中，根据不同的题目和要求，可能会有一些限制条件和特殊情况需要考虑。

因此，需要在具体问题中灵活运用所学知识来解决。

2
象，若对满足
f (x1) g(x2 )
4 的 x1、x2 ，有
x1 x2
的最小值为
6
.则
（
）
A． 6
B．
4
C．
3
D． 5π 12
25．将函数
y
sin
2x
的图象向右平移
0
2
个单位长度得到
f
x
的图象，若函
数
f
x
在区间
0,
3
上单调递增，且
f
x
的最大负零点在区间
5 12
, 6
3
cos
x
的图像向左平移
2
个单位长度，得函数
g
x
的图
像，若
g
x
在
0,
2
内只有两个最值（即最大值和最小值），则
的最大正整数值为（
）
A．6
B．5
C．4
D．3
13．将函数 f x cos 2x 图象向左平移 ( 0 )个单位后得到函数 g x 的图象，若
2
函数
g
x
在区间
6
,
6
上单调递减，且函数
2 的 x1 ， x2 ，有
x1 x2 min
3
，则 （
）
5
A．
12
B．
3
C．
4
D．
6
6．将函数
f (x)
cos 4x 的图象向左平移
个单位长度后，得到
g x 的图象，若函数
8
y
g ( x)
在
12
,
4
上单调递减，则正数

专题二 三角函数中一类求w 的最值问题三角函数的性质是高考必考内容，也是高考中的热点内容。

本文筛选了一部分高考题和模考题，就三角函数中一类求w 的取值范围问题做了整理，希望对大家有所帮助。

类型一 已知周期求w 的范围【例1】（2010.辽宁）设>0,函数y=sin(x+)+2的图像向右平移个单位后与原图像重合，则的最小值是（A ） (B) (C) (D)3 【答案】C 【解析】将2)3sin(++=πωx y 的图像向右平移个单位后为 ， 所以有=2k ,即， 又因为，所以k ≥1,故≥，所以选C 【题后反思】该题的突破点在于平移后与原图像重合，因此和函数的周期性有关。

借助平移和诱导公式的相关知识点可以解决问题。

类型二 已知值域求w 的范围【例2】已知函数],0[),0)(6sin()(πωπω∈>-=x x x f ，)(x f 的值域为]1,21[-，则ω的最小值为（ ）A. 32B.43C.34D.23 【答案】A【解析】由于],0[π∈x ，所以666πωππωπ-≤-≤-xωω3π34πω23433234π4sin[()]233y x ππω=-++4sin()233x πωπω=+-+43ωππ32k ω=0ω>32k ω=32又因为)(x f 的值域为]1,21[-，且21)6sin(-=-π，2167sin -=π 结合图象可得6762ππωππ≤-≤，解之得3432≤≤ω，故选A 【题后反思】该题在处理时运用整体的思想，将值域问题转化在基本函数y=sinx 上结合图象处理更为简单明了。

类型三 已知零点情况求w 的范围【例3】（2016.天津）已知函数R x x x x f ∈>-+=),0(21sin 212sin )(2ωωω，若)(x f 在区间)2,(ππ内没有零点，则ω的取值范围是A. ]81,0(B.)1,85[]41,0(⋃C.]85,0(D.)85,41[]81,0(⋃ 【答案】D 【解析】化简得)0)(4sin(22)(>-=ωπωx x f ，由于0),2,(>∈ωππx ， 所以4244πωππωπωπ-<-<-x ，)(x f 在区间)2,(ππ内没有零点包含以 下情况： ①ππωπk 24≥-且πππωπ+≤-k 242，其中Z k ∈ 解得Z k k k ∈++∈]85,412[ω，取0=k ，则]85,41[∈ω ②πππωπ+≥-k 24且πππωπ2242+≤-k ，其中Z k ∈ 解得Z k k k ∈++∈]89,452[ω，取1-=k ，则]81,43[-∈ω 综上，结合0>ω得]85,41[]81,0(⋃∈ω，故选D 【相关例题1】已知函数]3,4[),0)(sin()(ππϕωϕω∈>+=x x f ，已知)(x f 在]2,0[π上有且仅有4个零点，则下列ω的值中满足条件的是（ ）A. 613=ωB.611=ωC.47=ωD.43=ω 【答案】A【相关例题2】已知函数),0)(6sin(cos )(>++=ωπωωx x x f 在],0[π上恰有一个最大值和两个零点，则ω的取值范围是________.【答案】)613,35[ 【题后反思】几个题目类型相同，处理时同样体现整体换元的思想，结合基本函数y=sinx 的图象，更易求解。

三角函数专题：三角函数中ω的取值范围问题一、求ω取值范围的常用解题思路 1、依托于三角函数的周期性因为f(x)=Asin(ωx +φ)的最小正周期是T =2π|ω|，所以ω=2πT，也就是说只要确定了周期T ，就可以确定ω的取值. 2、利用三角函数的对称性（1）三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为T2，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为T4，也就是说，我们可以根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究ω的取值。

（2）三角函数的对称轴比经过图象的最高点或最低点，函数的对称中心就是其图象与x 轴的交点（零点），也就是说我们可以利用函数的最值、零点之间的“差距”来确定其周期，进而可以确定ω的取值.3、结合三角函数的单调性函数f (x )=Asin(ωx +φ)的每一“完整”单调区间的长度（即两相邻对称轴的间距）恰好等于T 2，据此可用来求ω的值或范围。

反之，从函数变换的角度来看ω的大小变化决定了函数图象的横向伸缩，要使函数f (x )=Asin(ωx +φ)在指定区间上具有单调性，我们忘完可以通过调整周期长度来实现，犹如通过弹簧的伸缩来抬举三角函数在区间上的单调性和最值等。

二、已知函数y =Asin(ωx +φ)在给定区间上的单调性，求ω的取值范围已知函数y =Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0)，在[x 1,x 2]上单调递增（或递减），求ω的取值范围 第一步：根据题意可知区间[x 1,x 2]的长度不大于该函数最小正周期的一半，即x 2−x 1≤12T =πω，求得0<ω≤πx2−x 1.第二步：以单调递增为例，利用[ωx 1+φ,ωx 2+φ]⊆[−π2+2kπ,π2+2kπ]，解得ω的范围； 第三步：结合第一步求出的ω的范围对k 进行赋值，从而求出ω（不含参数）的取值范围. 三、结合图象平移求ω的取值范围 1、平移后与原图象重合思路1：平移长度即为原函数周期的整倍数；思路2：平移前的函数()f x =平移后的函数()g x .2、平移后与新图象重合：平移后的函数()f x =新的函数()g x .3、平移后的函数与原图象关于y 轴对称：平移后的函数为偶函数；4、平移后的函数与原函数关于x 轴对称：平移前的函数()f x =平移后的函数()g x ；5、平移后过定点：将定点坐标代入平移后的函数中。