专题03 命题形式变化及真假判定(解析版)

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考点1:不等关系与不等式 (2)考点2:等式性质与不等式性质 (7)专题03 不等关系与不等式 考点1:不等关系与不等式知识点一 基本事实两个实数a ,b ,其大小关系有三种可能,即a >b ,a ＝b ,a <b .思考 x 2＋1与2x 两式都随x 的变化而变化,其大小关系并不显而易见．你能想个办法,比较x 2＋1与2x 的大小吗?正确答案 作差:x 2＋1－2x ＝( x －1)2≥0,所以x 2＋1≥2x . 知识点二 重要不等式∀a ,b ∈R ,有a 2＋b 2≥2ab ,当且仅当a ＝b 时,等号成立．题型1:用不等式( 组)表示不等关系例1 《铁路旅行常识》规定:一、随同成人旅行,身高在1.2～1.5米的儿童享受半价客票( 以下称儿童票),超过1.5米的应买全价票,每一名成人旅客可免费带一名身高不足1.2米的儿童,超过一名时,超过的人数应买儿童票． ……十、旅客免费携带物品的体积和重量是每件物品的外部长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米,杆状物品不得超过200厘米,重量不得超过20千克……设身高为h ( 米),物品外部长、宽、高尺寸之和为P ( 厘米),请用不等式表示下表中的不等关系.解 由题意可获取以下主要信息:( 1)身高用h ( 米)表示,物体长、宽、高尺寸之和为P ( 厘米);( 2)题中要求用不等式表示不等关系．参考解答本题应先理解题中所提供的不等关系,再用不等式表示．身高在1.2～1.5米可表示为1.2≤h ≤1.5, 身高超过1.5米可表示为h >1.5, 身高不足1.2米可表示为h <1.2,物体长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米可表示为P ≤160.如下表所示:变式 某套试卷原以每本2.5元的价格销售,可以售出8万本．据市场调查,若单价每提高0.1元,销售量就可能相应减少2 000本．若把提价后试卷的定价设为x 元,怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢?解 提价后销售的总收入为⎝ ⎛⎭⎪⎫8－x －2.50.1×0.2x 万元,那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫8－x －2.50.1×0.2x ≥20( 2.5≤x <6.5)．题型2:作差法比较大小例2 已知a ,b 均为正实数．试利用作差法比较a 3＋b 3与a 2b ＋ab 2的大小． 解 ∵a 3＋b 3－( a 2b ＋ab 2)＝( a 3－a 2b )＋( b 3－ab 2) ＝a 2( a －b )＋b 2( b －a )＝( a －b )( a 2－b 2)＝( a －b )2( a ＋b )． 当a ＝b 时,a －b ＝0,a 3＋b 3＝a 2b ＋ab 2; 当a ≠b 时,( a －b )2>0,a ＋b >0,a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2. 综上所述,a 3＋b 3≥a 2b ＋ab 2.变式 已知x <1,试比较x 3－1与2x 2－2x 的大小． 解 ∵( x 3－1)－( 2x 2－2x )＝x 3－2x 2＋2x －1 ＝( x 3－x 2)－( x 2－2x ＋1)＝x 2( x －1)－( x －1)2 ＝( x －1)( x 2－x ＋1)＝( x －1)⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －122＋34, 又∵⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0,x －1<0, ∴( x －1)⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －122＋34<0,∴x 3－1<2x 2－2x .考点1:练习题1．下列说法正确的是( )A ．某人月收入x 元不高于2 000元可表示为“x <2 000”B ．小明的身高为x ,小华的身高为y ,则小明比小华矮可表示为“x >y ”C ．变量x 不小于a 可表示为“x ≥a ”D ．变量y 不超过a 可表示为“y ≥a ” 正确答案 C详细解析 对于A,x 应满足x ≤2 000,故A 错误;对于B,x ,y 应满足x <y ,故B 错误;C 正确;对于D,y 与a 的关系可表示为“y ≤a ”,故D 错误．2．在开山工程爆破时,已知导火索燃烧的速度是每秒0.5 cm,人跑开的速度为每秒4 m,为了使点燃导火索的人能够在爆破时跑到100 m 以外的安全区,导火索的长度x ( cm)应满足的不等式为( ) A ．4×x0.5≥100B ．4×x0.5≤100 C ．4×x0.5>100D ．4×x0.5<100正确答案 C详细解析 导火索燃烧的时间x 0.5秒,人在此时间内跑的路程为4×x0.5m ．由题意可得4×x0.5>100. 3．设M ＝x 2,N ＝－x －1,则M 与N 的大小关系是( ) A ．M >N B ．M ＝N C ．M <N D ．与x 有关正确答案 A详细解析 ∵M －N ＝x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34>0, ∴M >N .4．若y 1＝2x 2－2x ＋1,y 2＝x 2－4x －1,则y 1与y 2的大小关系是( ) A ．y 1>y 2 B ．y 1＝y 2C ．y 1<y 2D ．随x 值变化而变化 正确答案 A5．如图,在一个面积为200 m 2的矩形地基上建造一个仓库,四周是绿地,仓库的长a 大于宽b 的4倍,则表示上述的不等关系正确的是( )A ．a >4bB ．( a ＋4)( b ＋4)＝200C.⎩⎪⎨⎪⎧a >4b ，(a ＋4)(b ＋4)＝200 D.⎩⎪⎨⎪⎧a >4b ，4ab ＝200 正确答案 C详细解析 由题意知a >4b ,根据面积公式可以得到( a ＋4)( b ＋4)＝200,故选C.6．某次数学智力测验,共有20道题,答对一题得5分,答错一题得－2分,不答得零分．某同学有一道题未答,设这个学生至少答对x 题,成绩才能不低于80分,列出其中的不等关系:________.( 不用化简)正确答案 5x －2( 19－x )≥80,x ∈N *详细解析 这个学生至少答对x 题,成绩才能不低于80分,即5x －2( 19－x )≥80,x ∈N *. 7．某商品包装上标有重量500±1克,若用x 表示商品的重量,则可用含绝对值的不等式表示该商品的重量的不等式为________． 正确答案 |x －500|≤1详细解析 ∵某商品包装上标有重量500±1克, 若用x 表示商品的重量, 则－1≤x －500≤1, ∴|x －500|≤1.8．若x ∈R ,则x 1＋x 2与12的大小关系为________． 正确答案x 1＋x 2≤12详细解析 ∵x 1＋x 2－12＝2x －1－x 22(1＋x 2)＝－(x －1)22(1＋x 2)≤0.∴x 1＋x 2≤12. 9．已知a ,b ∈R ,x ＝a 3－b ,y ＝a 2b －a ,试比较x 与y 的大小． 解 因为x －y ＝a 3－b －a 2b ＋a ＝a 2( a －b )＋a －b ＝( a －b )( a 2＋1), 所以当a >b 时,x －y >0,所以x >y ; 当a ＝b 时,x －y ＝0,所以x ＝y ; 当a <b 时,x －y <0,所以x <y .10．已知甲、乙、丙三种食物的维生素A,B 含量及成本如下表:若用甲、乙、丙三种食物各x kg 、y kg 、z kg 配成100 kg 的混合食物,并使混合食物内至少含有56 000单位维生素A 和63 000单位维生素B.试用x ,y 表示混合食物成本c 元,并写出x ,y 所满足的不等关系． 解 依题意得c ＝11x ＋9y ＋4z , 又x ＋y ＋z ＝100,∴c ＝400＋7x ＋5y ,由⎩⎪⎨⎪⎧600x ＋700y ＋400z ≥56 000，800x ＋400y ＋500z ≥63 000及z ＝100－x －y ,得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≥160，3x －y ≥130.∴x ,y 所满足的不等关系为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≥160，3x －y ≥130，x ≥0，y ≥0.11．已知0<a 1<1,0<a 2<1,记M ＝a 1a 2,N ＝a 1＋a 2－1,则M 与N 的大小关系是( )A ．M <NB ．M >NC ．M ＝ND ．无法确定正确答案 B详细解析 ∵0<a 1<1,0<a 2<1,∴－1<a 1－1<0,－1<a 2－1<0,∴M －N ＝a 1a 2－( a 1＋a 2－1)＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝a 1( a 2－1)－( a 2－1)＝( a 1－1)( a 2－1)>0, ∴M >N ,故选B.12．若0<a 1<a 2,0<b 1<b 2,且a 1＋a 2＝b 1＋b 2＝1,则下列代数式中值最大的是( ) A ．a 1b 1＋a 2b 2 B ．a 1a 2＋b 1b 2 C ．a 1b 2＋a 2b 1 D.12正确答案 A详细解析 令a 1＝0.1,a 2＝0.9;b 1＝0.2,b 2＝0.8.则A 项a 1b 1＋a 2b 2＝0.74;B 项,a 1a 2＋b 1b 2＝0.25;C 项,a 1b 2＋a 2b 1＝0.26,故最大值为A.13．一个盒子中红、白、黑三种球分别为x 个、y 个、z 个,黑球个数至少是白球个数的一半,至多是红球个数的13,白球与黑球的个数之和至少为55,则用不等式( 组)将题中的不等关系表示为________．正确答案 ⎩⎪⎨⎪⎧y 2≤z ≤x 3，y ＋z ≥55( x ,y ,z ∈N *)详细解析 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧y 2≤z ≤x 3，y ＋z ≥55( x ,y ,z ∈N *)．14．若a 1<a 2,b 1<b 2,则a 1b 1＋a 2b 2________a 1b 2＋a 2b 1.( 填“>”“<”“＝”) 正确答案 >详细解析 a 1b 1＋a 2b 2－( a 1b 2＋a 2b 1) ＝a 1( b 1－b 2)＋a 2( b 2－b 1) ＝( b 1－b 2)( a 1－a 2), ∵a 1<a 2,b 1<b 2, ∴b 1－b 2<0,a 1－a 2<0, 即( b 1－b 2)( a 1－a 2)>0, ∴a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 1.考点2:等式性质与不等式性质知识点一 等式的基本性质 ( 1)如果a ＝b ,那么b ＝a . ( 2)如果a ＝b ,b ＝c ,那么a ＝c . ( 3)如果a ＝b ,那么a ±c ＝b ±c . ( 4)如果a ＝b ,那么ac ＝bc . ( 5)如果a ＝b ,c ≠0,那么a c ＝bc .知识点二 不等式的性质题型1:利用不等式的性质判断或证明例1 ( 1)给出下列命题: ①若ab >0,a >b ,则1a <1b ;②若a >b ,c >d ,则a －c >b －d ;③对于正数a ,b ,m ,若a <b ,则a b <a ＋mb ＋m .其中真命题的序号是________．正确答案 ①③详细解析 对于①,若ab >0,则1ab >0,又a >b ,所以a ab >b ab ,所以1a <1b ,所以①正确;对于②,若a ＝7,b ＝6,c ＝0,d ＝－10, 则7－0<6－( －10),②错误; 对于③,对于正数a ,b ,m , 若a <b ,则am <bm , 所以am ＋ab <bm ＋ab , 所以0<a ( b ＋m )<b ( a ＋m ), 又1b (b ＋m )>0,所以a b <a ＋m b ＋m ,③正确．综上,真命题的序号是①③.( 2)已知a >b >0,c <d <0.求证:3ad<3b c. 证明 因为c <d <0,所以－c >－d >0. 所以0<－1c <－1d.又因为a >b >0,所以－a d >－bc>0.所以3－a d>3－bc,即－3a d>－3b c, 两边同乘－1,得3a d<3b c.变式 若1a <1b <0,有下面四个不等式:①|a |>|b |,②a <b ,③a ＋b <ab ,④a 3>b 3. 则不正确的不等式的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 正确答案 C详细解析 由1a <1b <0可得b <a <0,从而|a |<|b |,①②均不正确;a ＋b <0,ab >0,则a ＋b <ab 成立,③正确;a 3>b 3,④正确．故不正确的不等式的个数为2.题型2:利用性质比较大小例2 若P ＝a ＋6＋a ＋7,Q ＝a ＋5＋a ＋8( a >－5),则P ,Q 的大小关系为( ) A ．P <Q B ．P ＝Q C ．P >Q D ．不能确定正确答案 C详细解析 P 2＝2a ＋13＋2(a ＋6)(a ＋7),Q 2＝2a ＋13＋2(a ＋5)(a ＋8),因为( a ＋6)( a ＋7)－( a ＋5)( a ＋8)＝a 2＋13a ＋42－( a 2＋13a ＋40)＝2>0, 所以(a ＋6)(a ＋7)>(a ＋5)(a ＋8),所以P 2>Q 2,所以P >Q .变式 下列命题中一定正确的是( ) A ．若a >b ,且1a >1b,则a >0,b <0B ．若a >b ,b ≠0,则a b>1 C ．若a >b ,且a ＋c >b ＋d ,则c >dD ．若a >b ,且ac >bd ,则c >d正确答案 A详细解析 对于A,∵1a >1b ,∴b －a ab>0, 又a >b ,∴b －a <0,∴ab <0,∴a >0,b <0,故A 正确;对于B,当a >0,b <0时,有a b<1,故B 错; 对于C,当a ＝10,b ＝2时,有10＋1>2＋3,但1<3,故C 错;对于D,当a ＝－1,b ＝－2时,有( －1)×( －1)>( －2)×3,但－1<3,故D 错．题型3:利用性质比较大小例3 已知12<a <60,15<b <36.求a －b 和a b的取值范围． 解 ∵15<b <36,∴－36<－b <－15,∴12－36<a －b <60－15,即－24<a －b <45.又136<1b <115,∴1236<a b <6015,即13<a b<4. 故－24<a －b <45,13<a b<4.变式 已知0<a ＋b <2,－1<b －a <1,则2a －b 的取值范围是____________．正确答案 －32<2a －b <52详细解析 因为0<a ＋b <2,－1<－a ＋b <1,且2a －b ＝12( a ＋b )－32( －a ＋b ), 结合不等式的性质可得,－32<2a －b <52.考点2:练习题1．如果a <0,b >0,那么下列不等式中正确的是( )A.1a <1bB.－a <bC ．a 2<b 2D ．|a |>|b |正确答案 A详细解析 ∵a <0,b >0,∴1a <0,1b >0,∴1a <1b ,故选A.2．若a ,b ,c ∈R ,且a >b ,则下列不等式一定成立的是() A ．a ＋c ≥b －c B ．ac >bcC.c 2a －b >0 D ．( a －b )c 2≥0正确答案 D详细解析 ∵a >b ,∴a －b >0,∴( a －b )c 2≥0,故选D.3．已知a >b >c ,则1b －c ＋1c －a 的值是( )A ．正数B ．负数C ．非正数D ．非负数正确答案 A详细解析 1b －c ＋1c －a ＝c －a ＋b －c (b －c )(c －a )＝b －a (b －c )(c －a ), ∵a >b >c ,∴b －c >0,c －a <0,b －a <0,∴1b －c ＋1c －a>0,故选A. 4．若x >1>y ,下列不等式不一定成立的是( )A ．x －y >1－yB ．x －1>y －1C ．x －1>1－yD ．1－x >y －x 正确答案 C详细解析 利用性质可得A,B,D 均正确,故选C.5．已知a <0,b <－1,则下列不等式成立的是( )A ．a >a b >a b 2 B.a b 2>a b >a C.a b >a >a b 2 D.a b >a b 2>a 正确答案 D详细解析 ∵a <0,b <－1,∴a b>0,b 2>1, ∴0<1b 2<1,∴0>a b 2>a 1, ∴a b >a b 2>a . 6．不等式a >b 和1a >1b同时成立的条件是________． 正确答案 a >0>b详细解析 若a ,b 同号,则a >b ⇒1a <1b. 7．给出下列命题:①a >b ⇒ac 2>bc 2;②a >|b |⇒a 2>b 2;③a >b ⇒a 3>b 3;④|a |>b ⇒a 2>b 2.其中正确命题的序号是________．正确答案 ②③详细解析 ①当c 2＝0时不成立;②一定成立;③当a >b 时,a 3－b 3＝( a －b )( a 2＋ab ＋b 2)＝( a －b )·⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＋34b 2>0成立; ④当b <0时,不一定成立．如:|2|>－3,但22<( －3)2.8．设a >b >c >0,x ＝a 2＋(b ＋c )2,y ＝b 2＋(c ＋a )2,z ＝c 2＋(a ＋b )2,则x ,y ,z 的大小顺序是________．正确答案 z >y >x详细解析 ∵a >b >c >0,y 2－x 2＝b 2＋( c ＋a )2－a 2－( b ＋c )2＝2ac －2bc＝2c ( a －b )>0,∴y 2>x 2,即y >x .同理可得z >y ,故z >y >x .9．判断下列各命题的真假,并说明理由．( 1)若a <b ,c <0,则c a <c b; ( 2)a c 3<b c 3,则a >b ; ( 3)若a >b ,且k ∈N *,则a k >b k ;( 4)若a >b ,b >c ,则a －b >b －c .解 ( 1)假命题．∵a <b ,不一定有ab >0,∴1a >1b不一定成立, ∴推不出c a <c b,∴是假命题． ( 2)假命题．当c >0时,c －3>0,则a <b ,∴是假命题．( 3)假命题．当a ＝1,b ＝－2,k ＝2时,显然命题不成立,∴是假命题．( 4)假命题．当a ＝2,b ＝0,c ＝－3时,满足a >b ,b >c 这两个条件,但是a －b ＝2<b －c ＝3,∴是假命题．10．若－1<a ＋b <3,2<a －b <4,求2a ＋3b 的取值范围．解 设2a ＋3b ＝x ( a ＋b )＋y ( a －b ),则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，x －y ＝3，解得⎩⎨⎧ x ＝52，y ＝－12.因为－52<52( a ＋b )<152,－2<－12( a －b )<－1,所以－92<52( a ＋b )－12( a －b )<132, 所以－92<2a ＋3b <132. 11．下列命题正确的是( )A ．若ac >bc ,则a >bB ．若a 2>b 2,则a >bC ．若1a >1b,则a <b D ．若a <b ,则a <b正确答案 D详细解析 对于A,若c <0,其不成立;对于B,若a ,b 均小于0或a <0,其不成立;对于C,若a >0,b <0,其不成立;对于D,其中a ≥0,b >0,平方后显然有a <b .12．已知x >y >z ,x ＋y ＋z ＝0,则下列不等式中一定成立的是( )A ．xy >yzB ．xz >yzC ．xy >xzD ．x |y |>z |y | 正确答案 C详细解析 因为x >y >z ,x ＋y ＋z ＝0,所以3x >x ＋y ＋z ＝0,3z <x ＋y ＋z ＝0,所以x >0,z <0. 所以由⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >z ，可得xy >xz . 13．若a ,b ,c ∈R ,a >b ,则下列不等式成立的是( )A.1a <1bB ．a 2>b 2 C.a c 2＋1>b c 2＋1D ．a |c |>b |c | 正确答案 C详细解析 对于A,若a >0>b ,则1a >0,1b<0, 此时1a >1b,∴A 不成立; 对于B,若a ＝1,b ＝－2,则a 2<b 2,∴B 不成立;对于C,∵c 2＋1≥1,且a >b ,∴a c 2＋1>b c 2＋1恒成立,∴C 成立;对于D,当c＝0时,a|c|＝b|c|,∴D不成立．14．有外表一样,重量不同的四个小球,它们的重量分别是a,b,c,d,已知a＋b＝c＋d,a＋d>b＋c,a＋c<b,则这四个小球由重到轻的排列顺序是( )A．d>b>a>c B．b>c>d>aC．d>b>c>a D．c>a>d>b正确答案A详细解析∵a＋b＝c＋d,a＋d>b＋c,∴a＋d＋( a＋b)>b＋c＋( c＋d),即a>c.∴b<d.又a＋c<b,∴a<b.综上可得,d>b>a>c.。

备战2024年中考语文精选题集（天津专用）专题03 病句的辨识1．（2023·天津·统考中考真题）下面一段文字中有语病的一项是（）①人工智能引领技术创新。

②从人脸识别到自动驾驶，人工智能在越来越多的领域发挥着作用。

③随着我国数字基础设施建设的提速，使更多潜在应用场景不断涌现。

④智能制造、智能供应链等为人工智能的应用提供了广阔的舞台。

A．第①句B．第②句C．第③句D．第④句【答案】C【详解】考查病句修改。

C．第③句既有“随着”又有“使”，导致句子没有主语，去掉任意一个即可。

故选C。

2．（2023·天津·统考模拟预测）下面语段标序号的句子中，有语病的一项是（）①继承和弘扬中华优秀传统文化的精华，②吸收人类其他文明的优秀成果，③确立文化自主的意识与文化创新的精神，④自觉地创造我们自己的、具有时代性和前瞻性的文化，是中华文明能否复兴的关键所在。

A．第①句B．第②句C．第③句D．第④句【答案】D【详解】本题考查病句的辨析与修改。

第④句“自觉地创造我们自己的、具有时代性和前瞻性的文化，是中华文明能否复兴的关键所在”一面对两面，应将“能否”去掉；故选D。

3．（2023·天津南开·统考三模）下面画线句子中，有语病的一项是（）①一枚贝壳，遗落在海里是那么平淡无奇，可一旦遇到懂它的人，就会焕发出意想不到的光彩。

②中国出土的第一条“龙”——仰韶文化的蚌龙，就是用贝壳堆起来的。

贝雕，是自然的鬼斧神工与人类的奇思妙想完美结合之作。

③大连贝雕历史悠久。

2019年，大连贝雕入选辽宁省省级非物质文化遗产目录。

④随着科学技术的发展，使大连贝雕必将迎来新的辉煌。

A．第①句B．第②句C．第③句D．第④句【答案】DD.④句“随着科学技术的发展，使大连贝雕必将迎来新的辉煌”成分残缺，缺少主语，可将“随着”或“使”删去；故选D。

4．（2023·天津红桥·统考三模）下面一段文字中有语病的一项是（）①国产科幻电影《流浪地球》高居当年春节档电影票房排行榜首位。

【基础回顾】一．命题的概念在数学中把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题,判断为假的语句叫假命题．二．四种命题及其关系1．四种命题命题表述形式原命题若p，则q逆命题若q，则p否命题若p⌝,则q⌝逆否命题若q⌝，则p⌝即：如果第一个命题的条件是第二个命题的结论,且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互为逆命题;如果一个命题的条件和结论分别是原命题的条件和结论的否定,那么这两个命题叫做互否命题，这个命题叫做原命题的否命题;如果一个命题的条件和结论分别是原命题的结论和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题，这个命题叫做原命题的逆否命题。

2．四种命题间的逆否关系3．四种命题的真假关系(1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．【典型例题】例1．已知p q、是两个命题，若“()p q⌝∨”是假命题，则（)A．p q、都是假命题B．p q、都是真命题C ．p 是假命题，q 是真命题D ．p 是真命题，q 是假命题【答案】D【解析】例2．给出下列命题：其中正确命题的序号是( ) ①已知)2,3(),1,1(),2,1(-==--=c b a ,若b q a p c +=,则p =1， q =4②不存在实数α,使1cos sin =αα③ ⎪⎭⎫ ⎝⎛0,8π是函数)452sin(π+=x y 的一个对称轴中心 ④已知函数()f x ()中，上为减函数，在锐角在ABC ∆1,0)(cos )(sin C f A f <有. A ．①② B ．②④ C ．①③D ． ④【答案】B【解析】试题分析：。

1【2017山东，理3】已知命题p:()x x ∀+＞0,ln 1＞0；命题q ：若a ＞b ，则a b 22＞，下列命题为真命题的是（ ）（A ） ∧p q （B ）⌝∧p q （C ） ⌝∧p q （D ）⌝⌝∧p q 【答案】B【名师点睛】解答简易逻辑联结词相关问题，关键是要首先明确各命题的真假，利用或、且、非真值表，进一步作出判断.2【2017北京，理13】能够说明“设a ，b ，c 是任意实数．若a ＞b ＞c ，则a+b ＞c”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为______________________________． 【答案】-1，-2，-3（答案不唯一）【名师点睛】对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反排除法．解答本题时利用赋值的方式举反进行验证，答案不唯一． 3.命题“若2πα=，则sin 1α=”的逆否命题是（ ）A. 若2πα≠，则sin 1α≠ B. 若2πα=，则sin 1α≠C. 若sin 1α≠，则 2πα≠ D. 若sin 1α=，则 2πα=【答案】B【解析】命题“若p ，则q ”的逆否命题是“若q ⌝，则p ⌝，”故命题“若2πα=，则sin 1α=”的逆否命题是若sin 1α≠，则 2πα≠，故选C.4【2018届新疆乌鲁木齐市高三第二次监测】命题:p 若0x <，则()ln 10x +<； q 是p 的逆命题，则（ ） A. p 真， q 真 B. p 真， q 假 C. p 假， q 真 D. p 假， q 假 【答案】C【解析】由题意， ()ln 10x +<，所以011x <+<，得10x -<<， 所以命题p 为假命题，又因为q 是p 的逆命题，所以命题q ：若()ln 10x +<，则0x <为真命题，故选C. 5.有下列命题:①面积相等的三角形是全等三角形; ②“若,则”的逆命题; ③“若,则”的否命题;④“矩形的对角线互相垂直”的逆否命题.其中真命题为 A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ②④ 【答案】B【解析】逐一考查所给的命题：①面积相等的三角形不一定是全等三角形，该命题错误; ②“若,则”的逆命题为“若,则”，该命题正确; ③“若,则”的否命题为“若,则”，该命题正确;④“矩形的对角线互相垂直”为假命题，则其逆否命题为假命题，原命题错误. 综上可得：真命题为②③. 本题选择B 选项. 6.已知命题,使;命题,都有.给出下列结论:A. 命题是真命题B. 命题“”是真命题C. 命题“”是真命题D. 命题“”是假命题【答案】B本题选择B 选项.7.命题“2,1x R x ∃∈=-使得”的否定是（ ）A. 2,1x R x ∀∉=-都有B. 2,1x R x ∃∉=-使得 C. 2,1x R x ∃∈≠-使得 D. 2,1x R x ∀∈≠-都有 【答案】D【解析】特称命题的否定为全称命题，将存在量词变为全称量词，同时将结论进行否定，故命题“x R ∃∈，使得21x =-”的否定是“x R ∀∈，都有21x ≠-”，故选D.8【2018届湖南省张家界市高三三模】命题p ： 2x ∀>， 230x->的否定是（ ） A. 2x ∀>， 230x-≤ B. 2x ∀≤， 230x->C. 02x ∃>， 230x -≤D. 02x ∃>， 230x->【答案】C【解析】由题意可知，命题p 为全称命题，其否定须由全称命题来完成，并否定其结果，所以命题p 的否定是02x ∃>， 230x-≤.故选C.9【2018届北京市首师大附高三十月月考】已知命题“2,210x R x ax ∃∈++<”是真命题,则实数a 的取值范围是（ ）A. (),1-∞-B. ()1,+∞C. ()(),11,-∞-⋃+∞D. ()1,1- 【答案】C【解析】因为命题“2,210x R x ax ∃∈++<”是真命题, 所以244011a a a ∆=->∴><-或，选C.x w10【2018届江西省八所重点中 高三下 期联考】已知命题:p 对任意0x >，总有sin x x <；命题:q 直线1:210l ax y ++=， ()2:110l x a y +--=，若12//l l ，则2a =或1a =-；则下列命题中是真命题的是（ ）A. p q ∧B. ()()p q ⌝∧⌝C. ()p q ⌝∨D. p q ∨ 【答案】D【精选精练】1．【2017山东，文5】已知命题p ：,x ∃∈R 210x x -+≥;命题q ：若22a b <,则a <b .下列命题为真命题的是（ ）A ．p q ∧ B.p q ∧⌝ C.p q ⌝∧ D.p q ⌝∧⌝ 【答案】B【解析】由0x =时210x x -+≥成立知p 是真命题,由221(2),12<->-可知q 是假命题,所以p q ∧⌝是真命题,故选B.【名师点睛】判断一个命题为真命题,要给出推理证明；判断一个命题是假命题,只需举出反．根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假．2．【2018届安徽省江淮十校高三第三次（4月）联考】下列命题中，真命题是（ ） A. x R ∀∈，有()ln 10x +> B. 22sin 3sin x x+≥ (),x k k Z π≠∈ C. 函数()22xf x x =-有两个零点 D. 1a >， 1b >是1ab >的充分不必要条件 【答案】D【解析】x=0时lnx=0,A 错误；当sinx=-1时， 22sin 1sin x x+=-，B 错误； ()22x f x x =-有三个零点，x=2,4,还有一个小于0，C 错误；当1a >， 1b >时，一定有1ab >，但当2a =-， 3b =-时， 61ab =>也成立，故D 正确,选D.3．【2018届山西省榆社中 高三诊断性模拟】设集合2{|670}A x x x =--<， {|}B x x a =≥，现有下面四个命题：1:,p a R A B ∃∈⋂=∅； 2:p 若0a =，则()7,A B ⋃=-+∞； 3p ：若(),2R C B =-∞，则a A ∈； 4p ：若1a ≤-，则A B ⊆.其中所有的真命题为（ ）A. 14,p pB. 134,,p p pC. 23,p pD. 124,,p p p 【答案】B【名师点睛】此题主要考查集合的补集、交集、并集、包含等基本关系与运算，以及二次不等式、命题的真假判断等运算与技能，属于中低档题型，也是常考题型.在二次不等式的求解过程中，首先要算出其相应二次方程的根()1212,x x x x <，当0a >时，则有“大于号取两边，即()()12,x x -∞⋃+∞，，小于号取中间，即()12,x x ”.4．【2018届河南省南阳市第一中 高三第十二次】设有下面四个命题： ①“若，则与的夹角为锐角”及它的逆命题均为真命题②若,则③“”是“或”的充分不必要条件 ④命题“中，若，则”的逆命题为真命题其中正确命题的个数是( ) A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】B5．命题:p 函数()2(0xf x a a =->且1)a ≠图像恒过点()0,2;-命题()():lg 0q f x x x =≠有两个零点，则下列结论中成立的是A. p q ∨为真B. p q ∧为真C. p ⌝为假D. q ⌝为真 【答案】A【解析】:p 函数图像恒过点()0,1- 所以命题不正确；根据偶函数()lg f x x =可知q 命题正确，所以根据复合命题的判断方法可知p q ∨正确，故选A.6．【2018届河南省高三4月测试】下列说法中，正确的是（ ） A. 命题“若，则”的逆命题是真命题B. 命题“，”的否定是“，”C. 命题“或”为真命题，则命题“”和命题“”均为真命题D. 已知，则“”是“”的充分不必要条件【答案】B【解析】对于选项A,逆命题为“若”，当m=0时，不成立，所以是假命题；对于选项B ，特称命题的否定是正确的；对于选项C ，命题“或”为真命题，则命题“”和命题“”至少有一个是真命题，不是全都是真命题，所以是假命题；对于选项D ，“”是“”的必要不充分条件,所以是假命题.故选B.7．【2018届湖南省（长郡中 、衡阳八中）、江西省（南昌二中）等十四校高三第二次联考】已知命题p ：x R ∀∈， ()22log 231x x ++>；命题q ： 0x R ∃∈， 0sin 1x >，则下列命题中为真命题的是（ ）A. p q ⌝∧⌝B. p q ∧⌝C. p q ⌝∧D. p q ∧ 【答案】A 【解析】()2223122x x x ++=++≥， ()22log 231x x ∴++≥，故p 为假命题， p ⌝为真命题，因为x R ∀∈， sin 1x ≤，所以命题q ： 0x R ∃∈， 0sin 1x >，为假命题，所以q ⌝为真命题， p q ⌝∧⌝为真命题，故选A. 8．若“,,tan 144x m x ππ⎡⎤∀∈-≤+⎢⎥⎣⎦”为真命题，则实数m 的最大值为________. 【答案】09．【2018届山东省桓台第二中 高三4月月考】若命题“0x R ∃∈，使得2+20x x a +≤”是假命题，则实数a 的取值范围是________．【答案】()1+∞，【解析】因为命题“0x R ∃∈，使得2+20x x a +≤”是假命题，所以“x R ∀∈，使得2+20x x a +>”为真命题，因此=440 1.a a ∆-∴ 10．下列命题： ①若，则；②已知，，且与的夹角为锐角，则实数 的取值范围是；③已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则的轨迹一定通过的重心；④在中，，边长分别为，则只有一解；⑤如果△ABC 内接于半径为的圆，且则△ABC 的面积的最大值；其中正确的序号为_______________________。

专题03 整式与因式分解考向1 整式的相关概念【母题来源】（2021·浙江温州）【母题题文】某地居民生活用水收费标准：每月用水量不超过17立方米，每立方米a元；超过部分每立方米（a+1.2）元．该地区某用户上月用水量为20立方米，则应缴水费为（）A．20a元B．（20a+24）元C．（17a+3.6）元D．（20a+3.6）元【分析】应缴水费＝17立方米的水费+（20﹣17）立方米的水费。

【解答】解：根据题意知：17a+（20﹣17）（a+1.2）＝（20a+3.6）（元）。

故选：D．【试题分析】此题考察了根据语境列代数式的方法，分段计算是这题的易错点；【命题意图】此类题的出现，一是为了让考生熟悉代数式的概念并加以应用到实际问题中，二是为了考察实际问题中学生对分段计算的理解能力；目的是让考生学以致用，把数学和生活联系起来；【命题方向】有关整式或者代数式的概念部分的考察，在浙江中考中占的分值一直很小，或者很多城市的中考中基本不考，考到的时候难点也不在对应概念上，而是在与之结合的其他代数考点上，所以，掌握好基本概念，这类题完全就不需要担心了；【得分要点】整式的概念及注意事项：名称识别次数系数与项整式单项式①数与字母或字母与字母相乘组成的代数式；②单独的一个数或一个字母所有字母的指数的和系数：单项式中的数字因数多项式几个单项式的和次数最高项的次数项：多项式中的每个单项式☆：由定义可知，单项式中只含有乘法运算；分数是一个完整的数，不拆开来算；单独的一个数或字母也叫单项式；单独的字母的系数为1，次数也是1；☆：由定义可知，多项式中可以含有乘法——加法——减法运算；多项式有统一的次数，但是没有统一的系数，多项式中的每一项有自己的系数；考向2 整式的运算【母题来源】（2021·浙江杭州）【母题题文】计算：2a+3a＝．【分析】根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变求解．【解答】解：2a+3a＝5a，故答案为5a．【母题来源】（2021·浙江丽水）【母题题文】计算（﹣a）2•a4的结果是（）A．a6B．﹣a6C．a8D．﹣a8【分析】先化简为同底数幂的乘法，然后根据同底数幂的乘法法则计算即可．【解答】解：原式＝a2•a4＝a6，故选：A．【母题来源】（2021·浙江宁波）【母题题文】计算a3•（﹣a）的结果是（）A．a2B．﹣a2C．a4D．﹣a4【分析】先化为同底数幂的乘法，然后根据同底数幂的乘法法则计算．【解答】解：a3•（﹣a）＝﹣a3•a＝﹣a4．故选：D．【母题来源】（2021·浙江衢州）【母题题文】下列计算正确的是（）A．（x2）3＝x5B．x2+x2＝x4C．x2•x3＝x5D．x6÷x3＝x2【分析】A：根据幂的乘方法则进行计算即可得出答案；B：根据合并同类项法则进行计算即可得出答案；C：根据同底数幂的乘法法则进行计算即可得出答案；D：根据同底数幂的除法法则进行计算即可得出答案．【解答】解：A：因为（x2）3＝x6，所以A选项错误；B：因为x2+x2＝2x2，所以B选项错误；C：因为x2•x3＝x2+3＝x5，所以C选项正确；D：因为x6÷x3＝x6﹣3＝x3，所以D选项错误．故选：C．【母题来源】（2021·浙江台州）【母题题文】下列运算中，正确的是（）A．a2+a＝a3B．（﹣ab）2＝﹣ab2C．a5÷a2＝a3D．a5・a2＝a10【分析】根据整式的加减运算法则以及乘法运算法则即可求出答案．【解答】解：A、a2与a不是同类项，不能合并，故A不符合题意，B、原式＝a2b2，故B不符合题意．C、原式＝a3，故C符合题意．D、原式＝a7，故D不符合题意．故选：C．【母题来源】（2021·浙江温州）【母题题文】化简：（a﹣5）2+a（2a+8）．【分析】结合完全平方公式，运用整式的运算法则可以得到结果．【解答】解：原式＝a2﹣10a+25+a2+4a＝2a2﹣6a+25．【母题来源】（2021·浙江宁波）【母题题文】计算：（1+a）（1﹣a）+（a+3）2．【分析】直接利用乘法公式化简，再合并同类项得出答案；【解答】解：原式＝1﹣a2+a2+6a+9＝6a+10；【母题来源】（2021·浙江金华）【母题题文】已知x＝，求（3x﹣1）2+（1+3x）（1﹣3x）的值．【分析】根据完全平方公式、平方差公式可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：（3x﹣1）2+（1+3x）（1﹣3x）＝9x2﹣6x+1+1﹣9x2＝﹣6x+2，当x ＝时，原式＝﹣6×+2＝﹣1+2＝1．【母题来源】（2021·浙江湖州）【母题题文】计算：x（x+2）+（1+x）（1﹣x）．【分析】根据单项式乘多项式和平方差公式化简即可．【解答】解：原式＝x2+2x+1﹣x2＝2x+1．【试题分析】这些题主要考了整式运算中的合并同类项、整式的加减、同底数幂的乘法以及利用乘法公式进行化简计算；【命题意图】整式的运算为初中数学后续的解方程的学生奠定了基础，重要性不言而喻。

第2题 命题真假的判断I ．题源探究·黄金母题【例1】将下列命题改成“若p ，则q ”的形式，并判断真假 （1）垂直于同一条直线的两条直线平行； （2）负数的立方是负数； （3）对顶角相等．【解析】（1）若两条直线垂直于同一条直线，则这两条直线平行．它是假命题．（2）若一个数是负数，则这个数的立方是负数．它是真命题． （3）若两个角是对顶角，则这两个角相等．它是真命题．精彩解读【试题来源】人教版A 版选修1-1． 【母题评析】本题考查了假言命题的形式及其真假的判定．作为基础题，命题的四种形式及其真假的判定，是历年来高考的一个常考点． 【思路方法】可以借助相关的基础知识判定一个命题是真命题，而判断假命题只要举一个反例即可！II ．考场精彩·真题回放【例2】 【2018高考北京文11】能说明“若a b >，则11a b<”为假命题的一组,a b 的值依次为_________． 【答案】11-（答案不唯一）【解析】试题分析：根据原命题与命题的否定的真假关系，可将问题转化为找到使“若a b >，则11a b ≥”成立的,a b ，根据不等式的性质，去特值即可．试题解析：使“若a b >，则11a b<”为假命题，则使“若a b >，则11a b≥”为真命题即可，只需取1,1a b ==-即可满足，所以满足条件的一组,a b 的值为1,1-（答案不唯一）．【名师点睛】本题考查不等式的运算，解决本题的核心关键在于对原命题与命题的否定真假关系的灵活转换，对不等式性质及其等价变形的充分理解，只要多取几组数值，解决本题并不困难．【命题意图】本题主要考查不等式的性质．本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、逻辑推理能力等．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中等偏易，考查基础知识的识记与理解． 【难点中心】解答此类问题，关键在于灵活选择方法，如结合题意，通过举反例应用“排除法”解题．III ．理论基础·解题原理考点一 四种命题及其真假的判断 （1）命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判定真假的陈述句叫做命题．其中，判定为真的命题叫真命题，判定为假的命题叫假命题．常用小写的拉丁字母p ，q ，r ，s ，……表示命题．（2）四种命题及其关系 ①四种命题及其关系②四种命题的真假关系同一个命题的逆命题与它的否命题互为逆否命题，互为逆否命题的两个命题同真假；互逆或互否的两个命题，它们的真假没有关系．因此任何一个命题的原命题、否命题、逆命题和逆否命题这四个命题中，真命题与假命题的个数总是偶数．考点二 含有逻辑联结词命题真假的判断逻辑联结词：“或”“且”“非”这些词就叫做逻辑联结词； 简单命题：不含逻辑联结词的命题；复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题．（1）复合命题有三种形式：p 或q （p q ∨）；p 且q （p q ∧）；非p （p ⌝）．（2）复合命题的真假判断：“p 或q ”形式复合命题的真假判断方法：一真必真；“p 且q ”形式复合命题的真假判断方法：一假必假；“非p ”形式复合命题的真假判断方法：真假相对．（3）含逻辑联结词命题真假的等价关系：①p q ∨真,p q ⇔至少一个真()()p q ⇔⌝∧⌝假； ②p q ∨假,p q ⇔都假()()p q ⇔⌝∧⌝真； ③p q ∧真,p q ⇔都真()()p q ⇔⌝∧⌝假； ④p q ∧假,p q ⇔至少一个假()()p q ⇔⌝∨⌝真； ⑤p ⌝真p ⇔假；p ⌝假p ⇔真．IV ．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，一般难度较小，往往考查对基础知识的识记与理解．若为新定义题，则难度加大．【技能方法】（1）写出命题的四种形式中的某种时，要注意分清原命题的条件和结论，再比较每个命题的条件和结论与原命题之间的关系．判断命题真假的关键：一是识别命题的构成形式；二是将命题等价简化，再进行判断．判断命题真假的方法：一是联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断；二是利用原命题和其逆否命题的等价关系进行判断．要判断一个命题是假命题只需举出反例．（2）从集合的角度认识“或、且、非”：“或”是具有“选择性”的逻辑联结词，“或”的符号是“∨”，与集合的并集符号“”含义一致；“且”是具有“兼有性”的逻辑联结词，“且”的符号是“∧”，与集合的交集符号“”含义一致；“非”是具有“否定性”的逻辑联结词，“非”的符号是“⌝”，与集合的补集符号“C ”含义一致．因此常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个逻辑联结词构成的命题问题．【易错指导】（1）在四种命题的构造中，否命题和逆否命题都涉及对一些词语的否定，要特别注意下表中常见词语的否定．它的命题,p q 的真假的判断对，但是对含有逻辑联结词的命题的真值表中的“且”与“或”搞混，应注意“p q ∧”是两真才真，一假必假；“p q ∨”是一真必真，两假才假，应注意区别．（3）否命题与命题的否定是两个不同的概念，它们的区别如下表： V ．举一反三·触类旁通考向1 四种命题及其真假的判断【例3】【2018河南豫南九校期末考】下列说法正确的是（ ） A ．“函数()f x 为奇函数”是“()00f =”的充分不必要条件B ．在ABC ∆中，“A B <”是“sin sin A B <”的既不充分也不必要条件 C ．若命题p q ∧为假命题，则,p q 都是假命题D ．命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+≠” 【答案】D【例4】【2018吉林长春五校1月联考】以下有关命题的说法错误．．的是（ ） A ．命题“若220x x --=，则1x =-”的逆否命题为“若1x ≠-，则220x x --≠” B ．“220x x +-=”是“1x =”成立的必要不充分条件C ．对于命题0p x R ∃∈：，使得20010x x -+<，则:p x R ⌝∀∈，均有210x x -+≥D ．若p q ∨为真命题，则p ⌝与q 至少有一个为真命题 【答案】D【解析】对于A ．命题“若220x x --=，则1x =-”的逆否命题为“若1x ≠-，则220x x --≠”正确；对于B ．“220x x +-=”则“12x x ==-或”，故“220x x +-=”是“1x =”成立的必要不充分条件，正确；对于C ．对于命题0p x R ∃∈：，使得20010x x -+<，则:p x R ⌝∀∈，均有210x x -+≥，正确；对于D ．若p q ∨为真命题，则p 与q 至少有一个为真命题，故D 错误，故选D【例5】【2018超级全能生9月联考】下列说法正确的是（ ）A ．命题“若2340x x --=，则4x =．”的否命题是“若2340x x --=，则4x ≠．”B ．0a >是函数ay x =在定义域上单调递增的充分不必要条件C ．()000,0,34xxx ∃∈-∞<D ．若命题:,3500nP n N ∀∈>，则00:,3500n p n N ⌝∃∈≤ 【答案】D【解析】“若p 则q”的否命题是“若P ⌝则q ⌝”，所以A 错．23y x =在定义上并不是单调递增函数，所以B 错．不存在()000,0,34xxx ∈-∞<，C 错．全称性命题的否定是特称性命题，D 对，选D ．【跟踪练习】1．【2018河南郑州一模】下列说法正确的是（ ） A ．“若1a >，则21a >”的否命题是“若1a >，则21a ≤” B ．“若22am bm <，则a b <”的逆命题为真命题 C ．()00,x ∃∈+∞，使0034xx>成立D ．“若1sin 2α≠，则6πα≠”是真命题 【答案】D2．【2018湖南十四校联考二】下列有关命题的说法中错误的是（ ） A ．设,a b R ∈，则“a b >”是“a a b b >”的充要条件 B ．若p q ∨为真命题，则p ，q 中至少有一个为真命题C ．命题：“若()y f x =是幂函数，则()y f x =的图象不经过第四象限”的否命题是假命题D ．命题“*n N ∀∈，()*f n N ∈且()f n n ≤”的否定形式是“*0n N ∃∈，()*0f n N ∉且()00f n n >”【答案】D【解析】A ．设f x x x=（） ，则220{x x f x x x ≥=-，（），＜，则当0x ≥时，函数f x （）为增函数，当0x ＜ 时，函数f x （）为增函数，00f =∴（）， 函数f x （））在-∞+∞（，） 上是增函数，则若a b ＞，则f a f b （）＞（），即|a a b b ＞|成立，则“a b >”是“a a b b >”的充要条件，故A 正确；B 若p q ∨为真命题，则p ，q 中至少有一个为真命题，正确；C 命题的逆命题是若()y f x =的图象不经过第四象限，则()y f x =是幂函数，错误比如函数2x y = 的函数图象不经过第四象限，满足条件，但函数f x （）是指数函数，故命题的逆命题是假命题，则命题的否命题也是假命题，故C 正确，D ．命题“*n N ∀∈，()*f n N ∈且()f n n ≤”的否定形式是**0000“”n N f n N f n n ∃∈∉，（）或（）＞ ，故d 错误，故选D ．【名师点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及四种命题，含有量词的命题的否定，复合命题以及充分条件和必要条件的判断，知识点较多综合性较强，但难度不大．3．【2018江西八校4月联考】给出下列四个命题：①“若0x 为()=y f x 的极值点，则()0'0f x =”的逆命题为真命题； ②“平面向量a ，b 的夹角是钝角”的充分不必要条件是•0a b < ③若命题1:01p x >-，则1:01p x ⌝≤-； ④命题“x R ∃∈，使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈均有210x x ++≥”． 其中不正确．．．的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】C考向2 含有逻辑联结词命题真假的判断【例6】【2018湖北八校12月联考】已知命题:,p a b R ∃∈，a b >且11a b>，命题:q x R ∀∈，3sin cos 2x x +<．下列命题是真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．p q ⌝∧ C ．p q ∧⌝ D ．p q ⌝∧⌝【答案】A【解析】对于命题p ，当1,1a b ==-时，a b >且11a b>成立，故命题p 为真命题；对于命题q ，∵sin cos 4x x x π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，故x R ∀∈，3sin cos 2x x +<为真命题，由以上可得p q ∧为真，故选A ．【例7】【2018豫南九校联考二】已知命题p ： 0x R ∃∈，使得0sin x =；命题q ：在ABC ∆中，若A B >，则sin sin A B >，下列判断正确的是（ ）A ．q 为假B ．p q ∨为假C ．p q ∧为假D ．p 为真 【答案】C【例8】【2018福建漳州1月调研】已知命题p ：椭圆25x 2＋9y 2＝225与双曲线x 2－3y 2＝12有相同的焦点；命题q ：函数()2f x =52，下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．(p ⌝)∧q C ．⌝ (p ∨q) D ．p ∧(⌝q) 【答案】B 【解析】p 中椭圆为＝1，双曲线为＝1，焦点坐标分别为(0，±4)和(±4，0)，故p 为假命题；q 中f(x)＝，设t ＝≥2(当且仅当x ＝0时，等号成立)，则f(t)＝t＋在区间[2，＋∞)上单调递增，故f(x)min ＝52，故q 为真命题．所以(⌝p)∧q 为真命题，故选B ． 【跟踪练习】1．【2018福建闽侯四中期末考】已知命题:p “a b >”是“22a b >”的充要条件； :,ln xq x R e x ∃∈<，则（ ）A ．p q ⌝∨为真命题B ．p q ∧⌝为假命题C ．p q ∧为真命题D ．p q ∨为真命题 【答案】D【解析】函数2xy =是增函数，所以22a b a b >⇔>，所以是充要条件，所以命题p 使正确的，为真命题，由图像可知xy e =和ln y x =关于直线y x =对称，没有交点，所以不存在x R ∈，使ln x e x <，所以命题q 使错误的，为假命题，根据复合命题的真假可知p q ∨是真命题，故选D ．2．【2018广西防城港市1月模拟】已知命题:p “若20x x ->，则1x >”；命题:q “若,x y R ∈，220x y +=，则0xy =”，则下列命题是真命题的是（ ）A ．()p q ∨⌝B ．p q ∨C ．p q ∧D ．()()p q ⌝∧⌝ 【答案】B3．【2018华大新高考联盟1月考】设命题:p 向量()()1,1,0,2a b ==，则a 在b 方向上的投影为1，命题2:1q x <是1x <的必要非充分条件，则下列说法正确的是（ ）A ．命题p q ∨是假命题B ．命题p q ∧是真命题C ．命题()p q ⌝∨是真命题D ．命题()p q ∧⌝是真命题 【答案】D【解析】由题意可得： 022,2,2a b a b ⋅=+===，则cos ,2a b ==，则两向量,a b 的夹角为4π，a 在b 方向上的投影为2cos 214a π⨯=⨯=，命题p 为真命题，很明显命题q 为假命题， 逐一考查所给的选项：A ．命题p q ∨是真命题；B ．命题p q ∧是假命题；C ．命题()p q ⌝∨是假命题；D ．命题()p q ∨⌝是真命题，故选D ．【名师点睛】p q ∧为真，即p 与q 同时为真．p q ∧为假，即p 与q 中至少有一个为假；p ∨ q 为真，即p 与q 至少有一个为真．pq 为假，即p 与q 同时为假．。

热点2 命题真假的判断【热点考法】本热点主要以选择题和填空题的形式出现,以集合、函数、数列、三角函数、不等式及立体几何中的线面关系为载体，考查命题的真假判断等，难度一般不大，分值5分. 【热点考向】考向一简单命题真假的判断【解决法宝】判定简单命题真假的方法：一般命题p的真假由涉及的相关知识辨别真假．例1【黑龙江省哈尔滨六中2016届高三上学期期末数学（理）试题】下列命题中正确命题的个数是（）（1）cosα≠0是的充分必要条件（2）f（x）=|sinx|+|cosx|，则f（x）最小正周期是π（3）若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，则样本的方差不变（4）设随机变量ζ服从正态分布N（0，1），若P（ζ＞1）=p，则．A．4 B．3 C．2 D．1【分析】（1）cosα≠0，根据图象可得α≠kπ；（2）根据诱导公式可知f（x）最小正周期是；（3）根据方差的计算公式可得结论；（4）利用正态分布的性质可解．考向二四种命题真假的判断【解决法宝】判定四种命题真假的方法：四种命题真假的判断依据：一个命题和它的逆否命题同真假．注意p或q的否定：¬p且¬q；p且q的否定：¬p或¬q.注意区分命题的否定和否命题的不同，否命题是对命题的条件和结论都否定，而命题的否定仅对命题的结论否定．例2【吉林省长春外国语学校2016届高三上学期期末】下列命题中正确的个数是（）①命题“任意x∈（0，+∞），2x＞1”的否定是“任意x∉（0，+∞），2x≤1；②命题“若cosx=cosy，则x=y”的逆否命题是真命题；③若命题p为真，命题￢q为真，则命题p且q为真；④命题“若x=3，则x2﹣2x﹣3=0”的否命题是“若x≠3，则x2﹣2x﹣3≠0”．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】①根据含有量词的命题的否定进行判断．②根据逆否命题的等价性进行判断．③根据复合命题真假之间的关系进行判断．④根据否命题的定义进行判断．考向三复合命题真假的判断【解决法宝】判定复合命题真假的方法：形如p∨q、p∧q、¬p命题真假根据真值表判定．例3【山东省临沂市2016届高三上学期期中】下列说法正确的是（）A．命题“∀x∈R，2x＞0”的否定是“∃x0∈R，2＜0”B．命题“若sinx=siny，则x=y”的逆否命题为真命题C．若命题p，￢q都是真命题，则命题“p∧q”为真命题D．命题“若△ABC为锐角三角形，则有sinA＞cosB”是真命题【分析】写出原命题的否定，可判断A；判断原命题的真假，进而根据互为逆否的两个命题真假性相同，可判断B；根据复合命题真假判断的真值表，可判断C；根据正弦函数的单调性，结合诱导公式，可判断D．【解析】命题“∀x ∈R ，2x ＞0”的否定是“∃x 0∈R ，2≤0”，故错误；命题“若sinx=siny ，则x=y”为假命题，故其逆否命题也为假命题，故错误；若命题p ，￢q 都是真命题，则命题q 为假命题，则命题“p∧q”为假命题，故错误；若△ABC 为锐角三角形，则A+B，则A ﹣B ，则sinA ＞sin （）=cosB ，故正确；故选：D ．考向四 全称命题与特称命题真假的判断【解决法宝】判定全称命题与特称命题真假的方法：判定全称命题为真命题，必须考察所有情形，判断全称命题为假命题，只需举一反例；判断特称命题(存在性命题)真假，只要在限定集合中找到一个特例，使命题成立，则为真，否则为假．要善于举出反例：如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时，可以通过举出恰当的反例来说明． 例4【北京市朝阳区2016届高三第一学期期中】给出下列命题：①若给定命题p ：x ∃∈R ，使得210x x +-<，则p ⌝：,x ∀∈R 均有012≥-+x x ； ②若q p ∧为假命题，则q p ,均为假命题；③命题“若0232=+-x x ，则2=x ”的否命题为“若 ,0232=+-x x 则2≠x 其中正确的命题序号是（ ）A ．① B. ①② C. ①③ D. ②③【分析】对每一个命题逐一判断，即可作出选择.考向五 命题真假的判断与充要条件【解决法宝】命题p 与q 的真假都与m 的取值范围有关，使命题p 成立的m 的取值范围是A ，使命题q 成立的m 的取值范围是B ，则“p ⇒q ”⇔“A ⊆B ”．要注意转化：如果p 是q 的充分不必要条件，那么¬p 是¬q 的必要不充分条件．同理，如果p 是q 的必要不充分条件，那么¬p 是¬q 的充分不必要条件；如果p 是q 的充要条件，那么¬p 是¬q 的充要条件．注意：“A 的充分不必要条件是B ”是指B 能推出A ，且A 不能推出B ；而“A 是B 的充分不必要条件”则是指A 能推出B ，且B 不能推出A .例5北京市西城区2016届高三第一学期期末数学理4) “212*,n n n n N a a a ++∀∈=”是“数列{a n }为等比数列”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【分析】利用充要条件的定义，结合等比数列的性质，分别加以考查.【热点集训】1. 甘肃省河西五市部分普通高中2016年1月高三第一次联考数学（理）试题）已知:p m R ∀∈，210x mx --=有解，0:q x N ∃∈，200210x x --≤则下列选项中是假命题的为（）A ．p q ∧B ．()p q ⌝∧C ． p q ∨D ．()p q ⌝∨ 【答案】B.【解析】试题分析：∵240m ∆=+>，∴p 是真命题，取00x N =∈，满足200210x x --≤，∴q 也是真命题，∴()p q ∧⌝是假命题，故选B ．2.【山东省临沂市2016届高三上学期期中】若a=log 2x ， b=，则“a＞b”是“x＞1”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：当x=2时：a=b ，而a=在（0，+∞）递增，b=在（0，+∞）递减，∴a＞b 是x ＞2的充要条件，故a ＞b 是x ＞1的充分不必要条件，故选：A ．3.【贵州省黔南州2016届高三（上）期末】已知命题p ：“将函数y=sin （2x+θ）的图象沿x 轴向右平移个单位后，得到一个关于y 轴对称的图象”，命题q“θ=k π+（k ∈Z ）“，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C4.【广东省肇庆市 2015届高中毕业班第一次统一检测题数学】设c b a ,,是非零向量，已知命题p ：若0=⋅b a ，0=⋅c b ，则0=⋅c a ；命题q ：若b a //，c b //，则c a //. 则下列命题中真命题是A ．q p ∧B ．q p ∨C ．)()(q p ⌝∧⌝D ．)(q p ⌝∨【答案】B 【解析】若0=⋅b a ，0=⋅c b ，则c b b a ⋅=⋅，即()0=⋅-b c a ，则0=⋅c a 不一定成立，故p 是假命题；若c b b a //,//，则c a //，成立，q 是真命题，q p ∨∴是真命题，故答案为B.5.【贵州省贵阳市第一中学2015届高考适应性月考卷(一)数学】已知条件:1P x ≤，条件1:0x q x-<，则q 是p ⌝成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件【答案】B【解析】∵1p x ：≤，∴1p x ⌝>：；∵10x x -<，∴(1)0x x -<，∴0x <或1x >，∴q 是p ⌝成立的必要不充分条件．6.【北京市石景山区2016届高三第一学期期末】“4ab =”是直线210x ay +-=与直线220bx y +-=平行的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】7. 【山东省泰安市高三年级期末考试数学试题】已知命题4:0,4p x x x∀>+≥：命题001:,22x q x R +∃∈=.则下列判断正确的是 A.p 是假命题B.q 是真命题C.()p q ∧⌝是真命题D.()p q ⌝∧是真命题 【答案】C【解析】当0>x 时，4424=⋅≥+x x x x （当且仅当x x 4=，即2=x 时取等号），故p 为真命题； 令2120=x ，得10-=x ，故q 为假命题，q ⌝为真命题；所以()p q ∧⌝是真命题. 8. 【华中师大一附中2014-2015学年度上学期高三期中检测数学试题】下列命题错误的是（ ）A ．命题“若220x y +=，则0x y ==”的逆否命题为“若,x y 中至少有一个不为0，则220x y +≠”B ．若命题p ：2000,10x x x ∃∈-+≤R ，则p ⌝：2,10x x x ∀∈-+>RC ．ABC ∆中，sin sin A B >是A B >的充要条件D ．若p q ∧为假命题，则p 、q 均为假命题【答案】D【解析】由逆否命题的定义知A 正确；特称命题“,()x M p x ∃∈”的否定为,()x M p x ∀∈⌝，故B 正确；ABC ∆中，sin sin A B a b A B >⇔>⇔>，故C 正确，错误的命题是D ．9. 【2015上进教育名校学术联盟▪高三调研考试（三）数学】已知命题02,:1>∈∀-x R x p ，则命题p ⌝为（ ）A. 02,1≤∈∀-x R x B. 02,1≤∈∃-x R x C. 02,1<∈∃-x R x D. 02,1<∈∀-x R x 【答案】B.【解析】写含有全称量词的命题的否定方法为：把全称量词写成存在量词，同时把结论 否定,故选B.10.【新疆乌鲁木齐地区2016年高三年级第一次诊断性测试】设αβγ，，为平面，,m n 为直线，则m β⊥的一个充分条件是（ ）A. =,n m n αβαβ⊥⊥，B. =,,m αγαγβγ⊥⊥C. m αγβγα⊥⊥⊥，，D. n ,,n m αβα⊥⊥⊥【答案】D.【解析】试题解析：∵,n m αα⊥⊥,∴m ∥n ,又n β⊥,∴m β⊥，故选D.11.【甘肃省白银市会宁四中2016届高三（上）期末】设a ∈R ，则“a=1”是直线“l 1：ax+2y ﹣1=0与直线l 2：（a+1）x ﹣y+4=0垂直”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】A12. 【河北省保定市重点中学2015届第一学期高三12月份联考数学试题】已知命题x x R x p lg 2,:>-∈∃，命题0,:2>∈∀x R x q ，则( )A.命题q p ∨是假命题B.命题q p ∧是真命题C.命题)(q p ⌝∧是真命题D.命题)(q p ⌝∨是假命题【答案】C【解析】命题p 是真命题，当100=x 时，100lg 2100>-成立；命题q 是假命题，因此02≥x ，则q ⌝是真命题，所以命题()q p ⌝∧是真命题，故答案为C.13. 【湖北省襄阳市第五中学2015届高三第一学期11月质检数学试题】下列说法中，正确的是（ ）A ．命题“若22am bm <，则a b <”的逆命题是真命题B ．命题“存在R x ∈，02>-x x ”的否定是：“任意R x ∈，02≤-x x ”C ．命题“p 或q ”为真命题，则命题“p ”和命题“q ”均为真命题D ．已知R x ∈，则“1x >”是“2x >”的充分不必要条件【答案】B【解析】14.【黑龙江省哈尔滨三十二中2016届高三上学期期末】下列命题中的假命题是（ ）A ．∀x ∈R ，2x ﹣1＞0B ．∀x ∈N *，（x ﹣1）2＞0C ．∃x ∈R ，lgx ＜1D ．∃x ∈R ，tanx=2【答案】C【解析】∵指数函数y=2t 的值域为（0，+∞）∴任意x ∈R ，均可得到2x ﹣1＞0成立，故A 项正确；∵当x ∈N *时，x ﹣1∈N ，可得（x ﹣1）2≥0，当且仅当x=1时等号∴存在x ∈N *，使（x ﹣1）2＞0不成立，故B 项不正确；∵当x=1时，lgx=0＜1∴存在x ∈R ，使得lgx ＜1成立，故C 项正确；∵正切函数y=tanx 的值域为R∴存在锐角x ，使得tanx=2成立，故D 项正确综上所述，只有B 项是假命题故选：B15.【四川省遂宁市2016届高三（上）期末】已知命题 p ：∀x ∈R ，x ＞2，那么命题￢p 为（ ）A ．∀x ∈R ，x ＜2B ．∃x ∈R ，x≤2C ．∀x ∈R ，x≤2D ．∃x ∈R ，x ＜2【答案】B【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以：命题 p ：∀x ∈R ，x ＞2，那么命题￢p 为：∃x ∈R ，x≤2．故选B ．16. 【黑龙江省双鸭山一中2015届高三上学期期末考试数学试题】下列共有四个命题:（1）命题“020031,x x R x >+∈∃”的否定是“x x R x 31,2≤+∈∀”；（2）“函数ax ax x f 22sin cos )(-=的最小正周期为π”是1=a 的必要不充分条件；（3）“ax x x ≥+22在]2,1[∈x 上恒成立”⇔“max min 2)()2(ax x x ≥+在]2,1[∈x 上恒成立”；（4）“平面向量a 与b 的夹角是钝角”的充分必要条件是“0<⋅b a ”其中命题正确的个数为 （ ）A. 1B. 2 C . 3 D. 4【答案】B17.【2014—2015学年度上学期期末考试高三年级数学科试卷】下列选项中，说法正确的是（ ）（A ）命题“2,0x x x ∃∈-≤R ”的否定是“0,2>-∈∃x x x R ”（B ）命题“p q ∨为真”是命题“q p ∧为真”的充分不必要条件（C ）命题“若22am bm ≤，则a b ≤”是假命题（D ）命题“在△ABC 中，若1sin 2A <，则6A π<”的逆否命题为真命题 【答案】C18.【贵州省贵阳市第一中学2015届高考适应性月考卷(一)数学】下列命题正确的是（ ）A ．命题“x R ∃∈，使得240x -<”的否定是“x R ∀∈，均有240x ->”B ．命题“若1x ≠，则21x ≠”的否命题是：“若1x =，则21x =”C ．命题“存在四边相等的四边形不是正方形”是假命题D ．命题“若cos cos x y =，则x y =”的逆否命题是真命题【答案】B【解析】A. 命题“x ∃∈R ，使得240x -<”的否定应该是“x ∀∈R ，均有240x -≥”，∴A 错；B. 一个命题的否命题是同时否定条件与结论，那么命题“若1x ≠，则21x ≠”的否命题是：“若1x =，则21x =”，∴B 正确；C. 命题“存在四边相等的四边形不是正方形”是真命题．如：内角不含直角的菱形，∴C 错；D. 命题“若cos cos x y =，则x y =”的逆否命题是“若x y ≠，则cos cos x y ≠”．∵02π≠，但cos0cos 2π=，∴“若cos cos x y =，则x y =”的逆否命题是假命题，∴D 错，综上故选B ．19.【2015届新高考单科综合调研卷（浙江卷）数学（二）】下列命题为真命题的是 ．（用序号表示即可）① cos1>cos2>cos3；② 若n a =3+n a 且n a =n+3（n=1、2、3），则201520142013a a a <<；③ 若1e 、2e 、3e 分别为双曲线322y x -=1、3422y x -=1、224y x -=1的离心率，则1e >2e >3e ；④ 若321x x x >>,则321lg lg lg x x x >>【答案】①③20.【江苏省南通第一中学2014—2015学年度第一学期期中考试】给出下列四个命题（1）命题“x R ∀∈，cos 0x >”的否定是“x R ∃∈，cos 0x …”；（2）若2()21f x ax x =++只有一个零点，则1a =；（3）命题“若2x ≥且3y ≥，则5x y +≥”的否命题为“若2x <且3y <，则5x y +<”；（4）对于任意实数x ，有()()f x f x -=，()()g x g x -=-，且当0x >时，()0f x '>，()0g x '>， 则当0x <时，()()f x g x ''>；（5）在ABC ∆中，“45A >”是“sin A > 其中正确的命题有 ．填所有正确的序号）【答案】（1）【解析】命题“,x p ∀”的否定是“,x p ∃⌝”，所以（1）对；若2()21f x ax x =++只有一个零点，则0a =或0440a a ≠⎧⎨∆=-=⎩，即0a =或1a =，所以（2）不对；命题“若2x ≥且3y ≥，则5x y +≥”的否命题为“若2x <或3y <，则5x y +<” ，所以（3）不对；当0x <时，()(())()0f x f x f x '''=-=--<，()(())()0g x g x g x '''=--=->，因此（4）不对；45A >推不出sin A >135,sin A A ==所以（5）不对 21.【济宁市育才中学2014－2015学年度高三第一学期期中】设命题21:01x p x -<-. 命题2:(21)(1)0q x a x a a -+++≤. 若p 是q 的充分不必要条件.则实数a 的取值范围是____________________________. 【答案】1[0,]2【解析】由p 可得112x <<，由q 可得1a x a ≤≤+.又p 是q 的充分不必要条件，所以11,[0,]2211a a a ⎧≥⎪∴∈⎨⎪≤+⎩. 22. 【哈尔滨市第六中学2014—2015学年度上学期期末考试高三数学试题】已知命题2:121x p x ->-，命题2:210(0)q x x m m ++-≤>，若非p 是非q 的必要不充分条件，那么实数m 的取值范围是 .【答案】4m ≥23.【四川省遂宁市2016届高三（上）期末】已知命题P ：函数y=log a （1﹣2x ）在定义域上单调递增；命题Q ：不等式（a ﹣2）x 2+2（a ﹣2）x ﹣4＜0对任意实数x 恒成立．若P∨Q 是真命题，求实数a 的取值范围．【答案】0＜a≤2，且a≠1．【解析】∵命题P函数y=log a（1﹣2x）在定义域上单调递增；∴0＜a＜1又∵命题Q不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对任意实数x恒成立；∴a=2或，即﹣2＜a≤2∵P∨Q是真命题，∴a的取值范围是0＜a≤2，且a≠1。

专题三：曲线类［题型待点］曲线类型试题命题目的：通过经济数据的变化对相关经济数据产生影响，即通过对自变量变化分析，明确因变量的变化趋势：特点，直观性强、信息量大、新颖灵活：考查能力：获取和解读信息、调动和运用知识【解原技巧】经济曲线尽管形式新颖、灵活，但其考查的基本观点却有着深刻的理论渊源。

基本理论知识是解读经济学曲线的基本支撑元素，基础知识愈深厚，对信息的感受愈敏锐，对信息的理解和分析愈深刻，判断事物则愈准确，所以，要特别重视对理论知识和观点的理解和把握。

同时，经济学曲线试题的另一个特点是对教材中的基础知识进行“变通"、"整合"、“创新"，因此，在学习过程中要加强对基础知识的拓展、延伸，在“旧知"的基础上形成“新知解答曲线类试题一般按照“三步走"的方法：第一专，解读题干文字信息，准确把握题意。

结合文字背景，明确曲线呈现的原因，以及曲线表达的主旨。

第二步，将曲线信息转化为文字信息，复合型曲线可以拆分为单曲线，明确曲线表达的经济信息。

第三专，对比文字信息、曲线信息和题肢选项，找出正确答案。

【专题训练】1.随着快递业的迅猛发展，大量的塑料包装让“限塑令''遭遇尴尬。

有网友建议：通过降低已有成熟替代品（如布袋、纸质包装、可降解材料等）的价格，推进治理“白色污染下列供求曲线图示能正确反映该网友观点的是（注：P为价格，Q为数量，dl为可降解材料类包装的曲线，d2为塑料类包装的曲线）A.①—④B.①t③C.D.②一④【答案】A【解析】通过降低己有相关产品（如布袋、纸基包装、可降解材料等）的价格，价格影响需求，因此可降解材料类包装需求增加。

①：图示表示随若价格的下降，可降解材料类包装需求增加，①符合题意。

②：图示表示价格不变，可降解材料类包装需求增加，②不符合题意。

③：一般来说，价格与需求成反向变动关系，而图示表示价格与需求成正向变动关系，③错误。

专题03 《实数》选择、填空重点题型分类专题简介：本份资料专攻《实数》中“实数的分类”、“求方根”、“平方根有意义题型”、“三姐妹型与易混型”、“估算数值、比较大小”选择、填空重点题型；适用于老师给学生作复习培训时使用或者考前刷题时使用。

考点1：实数的分类方法点拨：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．（2等；②有特殊意义的数，如π；③有特定结构的数，如0.1010010001…（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.（4）实数和数轴上点是一一对应的.1、0.2、﹣π、2270.101001中有理数的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【分析】有理数是整数与分数的统称，或者说有限小数与无限循环小数都是有理数，据此求解．=3=，∴0.2、-π、227、0.101001中，有理数有0.2、2270.101001，共有4个．故选：D ．【点睛】本题考查有理数的意义，掌握有理数的意义是正确判断的前提．2．下列各数中，3.1415127，0.321，π，2.32232223…（相邻两个3之间的2的个数逐次增加1），无理数有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】D【分析】理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【详解】3.1415，0.321是有限小数，属于有理数；127是分数，属于有理数；π，2.32232223…（相邻两个3之间的2的个数逐次增加1），共3个．故选：D ．【点睛】此题考查了无理数．解题的关键是掌握实数的分类．3．下列说法中正确的是（ ）A ．小数都是有理数B ．有理数是实数C ．无限小数都是无理数D ．实数是无理数【答案】B【详解】解：A 、有限小数和无限循环小数都是有理数，则此项错误；B 、有理数是实数，则此项正确；C 、无限不循环小数都是无理数，则此项错误；D 、实数包括有理数和无理数，则此项错误；故选：B ．【点睛】本题考查了实数、有理数和无理数，熟记实数的定义（有理数和无理数统称为实数）、有理数的定义（整数和分数统称为有理数，有限小数和无限循环小数都是有理数）和无理数的定义（无限不循环小数叫做无理数）是解题关键．4．将下列各数填入相应的横线上：251 3.030030003,311p -&L 整数：{ …}有理数： { …}无理数： { …}负实数： {…}．【答案】251311&-3.030030003…，π；-3.030030003…【分析】有理数与无理数统称实数，整数与分数统称有理数，按照无理数、有理数的定义及实数的分类标准进行分类即可.【详解】整数：{K }有理数：{251311&L }无理数：-3.030 030 003…，π…}；负实数：{-3.030 030 003……}；【点睛】本题考查的是实数的概念与分类，掌握“实数的分类与概念”是解本题的关键.5．把下列各数填入相应的大括号中：220.3,1,,27p -L ,-&&L 自然数集合{ …}；负数集合{ …}；整数集合{ …}；有理数集合{ …}；实数集合{ …}；无理数集合{ …}．--220.3,,7-&&L ；220.3,1,,27p -L ,-&&L ；,0.10100100012p L ，|1【分析】根据实数的分类先找出相对应数集的数再填入相应的集合．【详解】解：根据实数的分类，自然数集合…}；负数集合{-…}；整数集合{ -…}；有理数集合{220.3,,7-&&L …}；实数集合{220.3,1,,27p-L +,-&&L …}；无理数集合{,0.10100100012pL，|1…}．【点睛】本题考查实数的分类．主要考查学生对实数含义的深刻理解.考点2：求方根方法点拨：1.平方根：一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根为零；负数没有平方根；2.立方根：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零；1．10的算术平方根是（）A．10B C．D．【答案】B【分析】直接利用算术平方根的求法即可求解．【详解】解：10故选：B．【点睛】本题主要考查了算术平方根，解题的关键是掌握求解的运算法则．2．3的算术平方根是（）A．±3B C．－3D．3【答案】B【分析】根据算术平方根的定义求解即可，平方根：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫a的平方根，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根．【详解】解：3故选B【点睛】本题考查了算术平方根的定义，掌握定义是解题的关键．3．若一个数的算术平方根与它的立方根的值相同，则这个数是（ ）A．1B．0和1C．0D．非负数【答案】B【分析】根据立方根和算术平方根的性质可知，立方根等于它本身的实数0、1或-1，算术平方根等于它本身的实数是0或1，由此即可解决问题．【详解】解：∵立方根等于它本身的实数0、1或−1，算术平方根等于它本身的数是0和1，∴一个数的算术平方根与它的立方根的值相同的是0和1，故选B．【点睛】主要考查了立方根，算术平方根的性质．牢牢掌握立方根和算术平方根等于它本身的实数是解答本题的关键点．4．下列说法：①-27的立方根是3；②36的算数平方根是6±；③18的立方根是12；的平方根是3±．其中正确说法的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【分析】分别进行立方根运算、算术平方根运算、平方根运算逐个判断即可．【详解】解：①－27的立方根是－3，错误；②36的算数平方根是6，错误；③18的立方根是12，正确；∴正确的说法有1个，故选：A ．【点睛】本题考查立方根、算术平方根、平方根，熟练掌握算术平方根和平方根的区别是解答的关键．5．已知x 2=36，那么x =___________；如果(-a )2=(7)2，那么a =_____________【答案】±6##6或-6±7【分析】根据平方根的定义求解即可．【详解】解：∵(±6)2=36，∴当x 2=36时，则x =±6；∵(-a )2=(7)2，∴a 2=49，∵(±7)2=49，∴a =±7；故答案为：±6；±7．【点睛】本题考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解答本题的关键，如果一个数的平方等于a ，则这个数叫做a 的平方根，即x 2=a ，那么x 叫做a 的平方根．0的平方根是0；正数有两个不同的平方根，它们是互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根．6．已知x ，y y －3）2＝0，则xy 的立方根是__________．【答案】【分析】根据二次根式和平方的非负性，可得4,33x y =-= ，即可求解．【详解】解：根据题意得：340,30x y +=-= ，解得：4,33x y =-= ，===．故答案为：【点睛】本题主要考查了二次根式和平方的非负性，立方根的性质，熟练掌握二次根式和平方的非负性，立方根的性质是解题的关键．7_____；﹣64的立方根是_____．﹣4【分析】根据立方根、算术平方根的概念求解．5，5﹣64的立方根是﹣4．﹣4．【点睛】本题考查了立方根、算术平方根的知识，掌握各知识点的概念是解答本题的关键．8．如图，正方形ABCD是由四个长都为a，宽都为b（a＞b）的小长方形拼接围成的．已知每个小长方形的周长为18，面积为454，我们可以通过计算正方形ABCD面积的方法求出代数式a﹣b的值，则这个值为_____．【答案】6【分析】先求出小正方形面积=大正方形的面积减去4个长方形的面积，然后进行计算即可．【详解】解：由题意得：2（a+b）＝18，ab＝454，∴a+b＝9，∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab ＝81﹣45＝36，又∵a＞b，∴a﹣b＝6，故答案为：6．【点睛】本题考查乘法公式的变形计算，平方根计算，掌握公式变形的方法用面积法，利用数形结合思想将问题简单化是解题关键考点3：平方根有意义题型().1．下列说法中错误的是 （ ）A．正实数都有两个平方根B．任何实数都有立方根C．负实数只有立方数根，没有平方根D．只有正实数才有算术平方根【答案】D【分析】A、根据平方根的定义即可判定；B、根据立方根的定义即可判定；C、根据平方根、立方根的性质即可判定；D、根据非负数才有平方根即可判定．【详解】解：A、正实数都有两个平方根，故选项正确；B、任何实数都有立方根，故选项正确；C、负实数只有立方根，没有平方根，故选项正确；D、0也有算术平方根，不是只有正实数才有算术平方根，故选项错误；故选：D．【点睛】本题主要考查了平方根和立方根的性质，并利用此性质解题．平方根的被开数不能是负数，开方的结果必须是非负数；立方根的符号与被开立方的数的符号相同．要注意一个正数的平方根有两个，它们互为相反数．2．如果m有算术平方根，那么m一定是（）A．正数B．0C．非负数D．非正数【答案】C【分析】根据负数没有平方根求解即可．【详解】解：∵负数没有平方根，∴如果m有算术平方根，那么m一定是0或正数，即非负数，故选：C．【点睛】本题考查平方根，掌握负数没有平方根是解题的关键．3a=-成立，那么a为（）A．正数B．负数C．非正数D．非负数【答案】C³0a³【分析】根据算术平方根的非负性可得0a -³，以此判断即可．【详解】a =-成立∴a 为非正数故答案为：C ．【点睛】本题考查了算术平方根的运算问题，掌握算术平方根的非负性是解题的关键．4．如果代数式有算术平方根，那么x 应满足（ ）A ．x 为任意实数B ．C ．D ．【答案】D【分析】非负数才有算术平方根，而负数则没有，所以根据有算术平方根，可得≥0，解不等式即得答案.【详解】解：由题意可得，∴. 故选D.【点睛】由算术平方根的定义可知非负数才有算术平方根，而负数则没有，所以根据有算术平方根，得到≥0，由此可见，掌握算术平方根的定义是解题的关键.5在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是______．【答案】3x ³【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，再求解即可．【详解】解：∵在实数范围内有意义，∴30x -³．∴3x ³．故答案为：3x ³．【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握该知识点是解题关键．6．若实数 x ，y 满足等式：2y =，则xy=_________【答案】-4【分析】根据二次根式有意义的条件即可得到2020x x -³ìí-³î则2x =，由此即可求出2y =-，然后代值计算即可．【详解】解：∵2y =有意义，∴2020x x -³ìí-³î，∴22x ££即2x =，∴22y ==-，∴()224xy =´-=-，故答案为：-4．【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，解题的关键在于能够熟练掌握二次根式有意义的条件为被开方数大于等于0．7．若实数x ，y 满足|x ﹣3|0，则（x ＋y ）2的平方根为_______．【答案】±4【分析】利用绝对值和二次根式的性质求出x ，y 的值，再利用平方根的定义解答即可．【详解】解：根据题意得x ﹣3＝0，y ﹣1＝0，解得：x ＝3，y ＝1，则（x +y ）2＝（3+1）2＝16，所以（x +y ）2的平方根为±4．故填：±4．【点睛】本题主要考查了绝对值和二次根式的性质以及平方根的定义，根据绝对值和二次根式的性质求出x ，y 的值成为解答本题的关键．8（2﹣b ）2＝0＝___．【答案】1【分析】根据二次根式的性质和平方的非负性，可得1,2a b ==求解．【详解】解：（2﹣b ）2＝0，∴10,20a b -=-= ，解得：1,2a b == ，111==+．故答案为：1【点睛】本题主要考查了二次根式的化简和二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．考点4：三姐妹题型与易混题型方法点拨：（1）任何一个实数的绝对值是非负数，即||≥0； （2）任何一个实数的平方是非负数，即≥0；（3().a a a 2a 0³0a ³ 非负数具有以下性质： （1）非负数有最小值零； （2）有限个非负数之和仍是非负数； （3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.1）A．4B．﹣4C．10D．﹣10【答案】B【分析】根据算术平方根、立方根的定义计算即可．=+-239=-．4故选：B．【点睛】本题考查了实数的运算，正确的计算算术平方根、立方根是解题的关键．2．已知x＝0，则x2＋x﹣3的算术平方根为（）A．3B．2C．3和﹣3D．2和﹣2【答案】A【分析】根据立方根的性质，可得x﹣3＝2x+1，解出x，再由算术平方根的性质，即可求解．【详解】解：＝0，=．∴x﹣3＝2x+1．∴x＝﹣4．∴x2+x﹣3＝16﹣4﹣3＝9．∴x2+x﹣33=．故选：A．【点睛】本题主要考查了立方根和算术平方根的性质，熟练掌握立方根和算术平方根的性质是解题的关键．34=的值为____________．【答案】3x+=【分析】根据算术平方根的定义可得316求解【详解】解：4=∴316x+=即13x=\3==故答案为：3【点睛】本题考查了算术平方根和立方根的定义，求得x的值是解题的关键．平方根：如果x2=a，则x叫做a的平方根，记作a称为被开方数), 其中属于非负数的平方根称之为算术平方根；立方根：如果x3=a，则x叫做a的立方根，记作a称为被开方数)．4．若a3＝8＝2，则a＋b＝___．【答案】6【分析】根据立方根的概念得a的值，根据算术平方根的概念得b的值，然后代入计算可得答案．【详解】解：∵a3＝82，∴a＝2，b＝4，∴a＋b＝2＋4＝6．故答案为：6．【点睛】此题主要考查代数式求值，解题的关键是熟知立方根与算术平方根的概念5．已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b+10的立方根是3，求a+b的算术平方根___．【分析】先根据2a−1的平方根是±3，3a＋b＋10的立方根是3得出21931027aa b-=ìí++=î，解之求出a、b的值，再利用算术平方根定义得出答案．【详解】解：∵2a−1的平方根是±3，3a＋b＋10的立方根是3，∴21931027aa b-=ìí++=î，解得a＝5，b＝2，∴a＋b＝7，则a＋b．【点睛】本题主要考查立方根、平方根、算术平方根，解题的关键是掌握立方根、平方根、算术平方根的定义．6．已知，a、b互为倒数，c、d互为相反数，1-是e的平方根，则e+=________．【答案】0【分析】直接利用倒数、相反数、平方根的定义分析得出答案．【详解】解：∵a 、b 互为倒数，c 、d 互为相反数，1-是e 的平方根，∴ab ＝1，c ＋d ＝0，e ＝1，1+1=0e =-．故答案为：0．【点睛】此题主要考查了实数的性质，正确求解各数是解题关键．7．如果一个正数a 的两个平方根是22x -和63x -，则173a +的立方根为_______．【答案】5【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数列出方程，求解即可得出x 的值，再求得两个平方根中的一个，然后平方可得a 的值，将a 的值代入计算得出173a +的值，再求其立方根即可．【详解】解：Q 一个正数a 的两个平方根是22x -和63x -，22630x x \-+-=，4x \=．222426x \-=´-=，36a \=．173********a \+=+´=，125Q 的立方根为5，173a \+的立方根为5，故答案是：5．【点睛】本题考查了实数中的平方根和立方根等基础知识点，解题的关键是掌握相关的计算能力．8．若一个正数的两个不同的平方根分别是3x ﹣1和4﹣4x ，则这个数的立方根是___．【答案】4【分析】根据一个正数的平方根有两个，且互为相反数求出x 的值，进而确定出这个数，求出这个数的立方根即可．【详解】解：Q 一个正数的两个平方根互为相反数，31440x x \-+-=，解得3x =，318x \-=，448x -=-，\这个数为64，\4=．故答案为：4．【点睛】此题考查了平方根和立方根，熟练掌握平方根和立方根的定义是解本题的关键．9．己知甲数是719的算术平方根，乙数是338的立方根，则甲、乙两个数的积是__．【答案】2【分析】分别根据算术平方根、立方根的定义可以求出甲数、乙数，进而即可求得题目结果．【详解】解：∵甲数是719的算术平方根∴甲数等于43；∵乙数是338的立方根，∴乙数等于32．∴甲、乙两个数的积是43×32=2．故答案为：2．【点睛】此题主要考查了算术立方根、平方根的定义，其中求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．10．已知：2a+1的算术平方根是3，3a﹣b﹣1的立方根是2_____．【答案】4【分析】利用算术平方根，立方根的定义求出a与b的值，代入原式计算即可求出值．【详解】解：由题意，有219318aa b+=ìí--=î，解得43ab=ìí=î，4===．故答案为：4．【点睛】本题考查了算术平方根、立方根的定义．解题的关键是掌握算术平方根、立方根的定义．如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．如果一个数x的立方等于a，那么这个数x就叫做a的立方根．考点5：估算数值、比较大小题型方法点拨：确定无理数的范围、比较无理数的大小，利用夹逼法解决问题是一种非常重要的解题方法。

热点专题03求极限 无穷等比数列（选填题）每个模块详细全面的知识点讲解+专题练习，可以在本人的作品的一轮复习找到对应资料一、填空题 1．若{}n a 是无穷等比数列，且12lim()2n n a a a →∞+++⋅⋅⋅=，则1a 的取值范围为___________. 【答案】(0,2)(2,4)【解析】先设无穷等比数列的公比为q ，根据无穷等比数列各项和的性质，由题中条件，得到121a q=-，1q <且0q ≠，即可求出结果.设无穷等比数列的公比为q ，因为12lim()2n n a a a →∞+++⋅⋅⋅=，即()11lim 21n n a q q→∞-=-，即11lim 211n n q a q q →∞⎛⎫-= ⎪--⎝⎭， 所以只需121a q=-，1q <且0q ≠， 所以122a q =-，因为1q <且0q ≠，即10q -<<或01q <<，则022q <-<或220q -<-<， 因此2224q <-<或0222q <-<，即122(0,2)(2,4)=-∈⋃a q . 故答案为：(0,2)(2,4).【点睛】 关键点点睛：求解本题的关键在于掌握无穷等比数列各项和的性质，为使无穷等比数列各项和为常数，公比q 必然满足1q <且0q ≠，进而即可求解.2．无穷等比数列{}n a 中，23342,1a a a a +=+=，则此数列的各项和S =________________【答案】163【解析】先利用已知条件求出等比数列的首项和公比，再求{}n a 的前n 项和，取极限即可求解.设等比数列{}n a 公比为q ，则()342323a a a q a q q a a +=+=+，所以12q =，解得：12q =， 由()22312a a a q q+=+=可得111224a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得183a=， 所以18132n n a -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，其前n 项和为81132161113212nnnS ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-， 1611616116lim lim 1lim 323323nn n x x x S →∞→∞→∞⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故答案为：1633．2225lim 410n n n n →∞+=++__________________．【答案】2【解析】分子分母同时除以2n ，再求极限即可.2222522520lim lim 24104101100n n n n n n n n→∞→∞+++===++++++， 故答案为：24．已知无穷等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，所有项的和为S ，且lim(2)1n n S S →∞-=，则其首项1a 的取值范围________ 【答案】(2,1)(1,0)---【解析】无穷等比数列{}n a 的公比q 满足0||1q <<,而lim(2)21n n S S S S S →∞-=-=-=,再结合11a S q=-,可求得1||110a +<<,解不等式即可.设无穷等比数列{}n a 的公比为q ,11a S q=-,则0||1q <<, 因为lim n n S S →∞=,所以lim(2)lim lim221n n n n n S S S S S S S →∞→∞→∞-=-=-=-=,则111a q=--,11q a =+, 因为0||1q <<,所以1||110a +<<,解得1(2,1)(1,0)a ∈---.故答案为:(2,1)(1,0)---.【点睛】本题考查了数列极限的应用,考查了学生对极限知识的掌握,要注意公式11a S q=-中0||1q <<,属于中档题. 5．在数列{}n a 中，已知13a =.若对于任意大于1的正整数n，点在直线0x y --=，则2lim(1)nn a n →∞=+______.【答案】3 【解析】==，公差d ==即23n a n =，再由数列的极限运算即可得解.由题意0===，所以数列=d =()1n d -=，所以23n a n =，所以22223lim lim 3lim 3(1)132121100n n n n n n n n na n →∞→∞→∞=++++===+++. 故答案为：3. 【点睛】本题考查了等差数列的判定及通项公式的应用，考查了数列极限的求解与运算求解能力，属于中档题.6．如果函数()log a f x x =的图像经过点1,22P ⎛⎫⎪⎝⎭，则()2lim n n a a a →∞+++=______.1【解析】先根据题意求出a 的值，再有等比数列前n 项和公式列出2n a a a +++的和，再用极限的方法即可求解.将点1,22P ⎛⎫⎪⎝⎭代入()log a f x x =，可得1log 22a =，即a =所以212⎫⎪-⎪⎝⎭+++=nna a a 所以()21221limim l →∞→∞⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+++==⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪=⎝⎭n n n n a aa .1【点睛】本题主要考查用极限的方法求无穷等比数列各项的和，涉及到对数函数的应用，属于中档题.7．设数列{}n a 的前n 项和为221(*)n S n n N =+∈，则2lim nn nS a →∞=__________. 【答案】18【解析】先算出n a ，从而可求2lim n n nS a →∞，因为221(*)nS n n N =+∈，故3,142,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩， 故()22222122121lim lim lim 1684224n n n n n S n n a n n →∞→∞→∞++====-⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故答案为：18. 【点睛】方法点睛：求数列极限时，要注意利用常见的数列极限来求解，如11lim0,lim 02n n n n →∞→∞==，还要注意合理变形，从而可以利用常见极限.8．等差数列{}n a 中，公差为d ，设n S 是{}n a 的前n 项之和，且1d >，计算()1lim +1n n n n S n a d →∞⎛⎫= ⎪ ⎪+⎝⎭__________. 【答案】12【解析】下利用等差数列的通项公式和前n 项和公式将()1nn S n a +用1a ，d和n 表示，再结合1d >求极限即可.因为{}n a 是等差数列，所以()11na a n d +-= ，()112n n n S na d -=+， 所以()()()()21121111222111n n d d n n n a n na d S n a dn a n a dn a n d ⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭==+++-++-⎡⎤⎣⎦， 因为1d>，所以1lim0n n d→∞=， 所以()1lim +1n n n n S n a d →∞⎛⎫= ⎪ ⎪+⎝⎭()212111222lim lim 12n n n n d d d n a n S n a dn a n a d d →∞→∞⎛⎫+- ⎪⎝⎭===+++-， 故答案为：129．1,1100001,100012n n n n n a n +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，则lim n n a →∞=___________ 【答案】0 【解析】由题意可得1lim lim 2n n n n a →∞→∞⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，即可得答案.由题意可得10lim lim 2n n nn a →∞→∞⎛⎫== ⎪⎝⎭，故答案为：010．设(),n n n P x y 是直线()*21+=∈+n x y n N n 与圆222x y +=在第四象限的交点，则极限1lim 1→∞+=-n n ny x _____. 【答案】1 【解析】当n →∞时，直线方程无限趋近于直线21x y +=，直线21x y +=与圆222x y +=在第四象限的交点坐标为()1,1P -，11+-n n y x 表示点(),n n n P x y 与点()1,1P -连线的斜率，故11lim 1n n n OP y x k →∞+=--，代入计算即可得结果.因为lim11n nn →∞=+，所以当n →∞时，直线方程无限趋近于直线21x y +=，又直线21x y +=与圆222x y +=在第四象限的交点坐标为()1,1P -，11+-n n y x 表示点(),n n n P x y 与点()1,1P -连线的斜率， 当n →∞时，(),n n x y 无限趋近于点(1,1)-，因此，极限11lim11n n n OPy x k →∞+=-=-. 故答案为：1 【点睛】本题考查极限的计算，考查两点斜率公式，考查了转化与化归的思想.11．1111lim 11113452n n n →∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----= ⎪⎪⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦__________. 【答案】2 【解析】先化简原式为22lim()lim()221n n n n n→∞→∞=++，即得解.由题得1111lim 11113452n n n →∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦234122lim lim()lim()22345221n n n n n n n n n→∞→∞→∞+⎡⎤⋅⋅⋅⋅===⎢⎥++=+⎣⎦. 故答案为：2 【点睛】本题主要考查数列的极限的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.12．已知2231lim 45n n cn n an bn →∞⎛⎫++-= ⎪+⎝⎭，则a b c ++=__________. 【答案】92【解析】先对所求的极限通分化简，再分析分子分母项的系数求解.因为()3222322224341313144lim 4lim lim →∞→∞→∞⎛⎫-+-++⎛⎫⎛⎫++++---== ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭n n n an b n cn n cn n cn an bn n an bn an bn an bn ， 若0a ≠则极限不可能是常数，所以0a = ，所以()3224341lim →∞⎛⎫-+-++= ⎪+⎝⎭n an b n cn an bn ()2341lim →∞⎛⎫-++ ⎪⎝⎭n b n cn bn ， 同理340-=b ，解得 34b =，所以 ()2134114lim lim lim 533344→∞→∞→∞⎛⎫⎛⎫+ ⎪⎛⎫ ⎪-+++==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n n n c b n cn cn c n bn n ， 解得154c =，所以a b c ++=92故答案为：92【点睛】本题主要考查数列极限的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.13．2222212342lim ...11111n n n n n n n →∞⎛⎫+++++=⎪+++++⎝⎭____________ 【答案】2 【解析】先求出和，再由极限定理求极限．2222222222(21)1234212222lim ...lim lim lim 11111111n n n n n n n n n n n n n n n n n n →∞→∞→∞→∞+++++⎛⎫+++++=== ⎪++++++++⎝⎭212lim211n n n→∞+==+， 故答案为：2 【点睛】本题考查求数列的极限，对于和的极限需先求出和，然后再求极限，不可先极限再求和．14．数列{}n a 满足*142()1n n n a a n N a +-=∈+． ①存在1a 可以生成的数列{}n a 是常数数列；①“数列{}n a 中存在某一项4965ka =”是“数列{}n a 为有穷数列”的充要条件； ①若{}n a 为单调递增数列，则1a 的取值范围是()(),11,2-∞-；①只要113232k k k ka +-≠-，其中*k N ∈，则lim n n a →∞一定存在； 其中正确命题的序号为__________. 【答案】①① 【解析】根据已知中数列{}n a 满足*142()1n n n a a n N a +-=∈+．举出正例11a =或12a =，可判断①；举出反例115a =，可判断①；举出反例12a =-，可判断①；构造数列12n n n ab a -=-，结合已知可证得数列{}n b 是以32为公比的等比数列，进而可判断①．解：当11a =时，1n a =恒成立，当12a =时，2n a =恒成立，故①正确；当115a =时，则21a =-，由递推公式*142()1n n n a a n N a +-=∈+，可知数列{}n a 只有这两项，数列{}n a 为有穷数列，但不存在某一项4965k a =，故①错误；当12a =-时，()()1,11,2a ∈-∞-，此时210a =，33811a =，数列不存在单调递增性，故①错误；1421n n n a a a +-=+∴142331111n n n n n a a a a a +---=-=⋯++① 且142242211n n n n n a a a a a +---=-=⋯++①①÷①得：11113222n n n n a a a a ++--=--令12n n n a b a -=-，则数列{}n b 是以32为公比的等比数列 则113()2n n b b -=11111132()112233()1()122n n n n b a b b ----∴==+--当113232k k k k a +-≠-时，11123()12n b -+-的极限为2，否则式子无意义，故①正确 故答案为：①① 【点睛】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了数列的定义及性质，运算强度大，变形复杂，属于难题15．如果等差数列{}{},n n a b 的公差都为()0d d ≠，若满足对于任意*n N ∈，都有n n b a kd -=，其中k 为常数，*k N ∈，则称它们互为“同宗”数列.已知等差数列{}n a 中，首项11a =，公差2d =，数列{}n b 为数列{}n a 的“同宗”数列，若11221111lim 3n n n a b a b a b →∞⎛⎫+++=⎪⎝⎭，则k =__________ 【答案】2 【解析】由等差数列通项公式得21n a n =-，由新定义可得212n n b a kd n k =+=-+，11111()(21)(212)221212n n a b n n k k n n k==---+--+，分别讨论1k =，2，3，⋯，m ，求得的极限，由数列的单调性可得2k=．由等差数列{}n a 中，首项11a =，公差2d =，可得12(1)21n a n n =+-=-，数列{}n b 为数列{}n a 的“同宗”数列，可得212n n b a kd n k =+=-+，由11111()(21)(212)221212n n a b n n k k n n k ==---+--+， 则1122111111111(1)21233221212n n a b a b a b k k kn n k++⋯+=-+-++-++--+， 当1k =时，若1122111111111lim()lim (1)23352121n n n n a b a b a b n n →∞→∞++⋯+=-+-++--+ 111lim (1)2212n n →∞=-=+，不成立； 当2k=时，112211111111111lim()lim (1)4537592123n n n n a b a b a b n n →∞→∞++⋯+=-+-+-++--+ 1111141lim (1)432123433n n n →∞=+--=⨯=++，成立； 当3k=时，112211111111111lim()lim (1)67395112125n n n n a b a b a b n n →∞→∞++⋯+=-+-+-++--+ 11111112323lim (1)63521232561590n n n n →∞=++---=⨯=+++，不成立； 同理可得km =时，1122111111lim()(1)2321n n n a b a b a b m m →∞+++=+++-，由1111(1)23213m m +++=-，即11213213m m +++=-，可设11213213m mc m =+++--，1120213m m c c m +-=-<+，可得{}m c 递减，20c =，可得仅有2k=时，11221111lim()3n n n a b a b a b →∞+++=， 故答案为2． 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和数列的裂项相消法求和，以及数列极限的求法，考查分类讨论思想方法和运算能力、推理能力，属于中档题．二、单选题 16．下列关于极限的计算，错误的是（ ）A ．2227lim 57n n n n →∞++=+221722lim 755n n n n→∞++=+ B ．222242lim n n n n n →∞⎛⎫+++⎪⎝⎭222242lim lim limn n n nn n n →∞→∞→∞=+++0000=+++=C ．)lim limnn n →∞=12n == D ．已知2,3,n n n n a n --⎧=⎨⎩为奇数为偶数，则()12lim n n a a a →∞+++= 12222319121324----+=-- 【答案】B 【解析】先计算每个极限，再判断，如果是数列和的极限还需先求和，再求极限．2227lim 57n n n n →∞++=+221722lim 755n n n n→∞++=+，A 正确；①222222422211(1+2++)(1)12n n n n n n n n n n+++==⋅+=+， ①22224211lim lim(1)1lim 1n n n n n nn n n→∞→∞→∞⎛⎫+++=+=+=⎪⎝⎭，B 错；)limlimn n n →∞→∞=12n ==，C 正确； 若2,3,n n n n a n --⎧=⎨⎩为奇数为偶数，()12lim n n a a a →∞+++需按奇数项和偶数项分别求和后再极限，即()12lim n n a a a →∞+++= 12222319121324----+=--，D 正确． 故选：B ． 【点睛】本题考查数列的极限，掌握极限运算法则是解题基础．在求数列前n 项和的极限时，需先求出数列的前n 项和，再对和求极限，不能对每一项求极限再相加．17．已知数列{}n a 满足12n n a pa +=+(0)p ≠，1a R ∈，则下列命题中的真命题是（ ）A ．2p =-，则数列{2}n a +一定是等比数列B ．1p >，10a ≠，数列{}n a 不存在极限C ．1p ≠，数列2{}1n a p +-一定是等比数列D ．0||1p <<，则数列{}n a 的极限为21p- 【答案】D 【解析】把递推式12n n a pa +=+变形为122()11n n a p a p p ++=+--，然后根据数列的概念进行判断．①12n n a pa +=+，①122()11n n a p a p p ++=+--， 当2p =-时，若12a =-，则120a +=，数列{2}n a +一定不是等比数列，A 错；当1p >，10a ≠，当12=01a p +-时，201n a p +=-，即2=1n a p --，此时2lim 1nn a p →∞=--，B 错； 1p ≠，12=01a p +-时，数列2{}1n a p +-不是等比数列，C 错； 0||1p <<，若12=01a p +-，则2=1n a p --，此时22lim 11n n a p p →∞=-=--，若1201a p +≠-，2{}1n a p +-是等比数列，122()11n n a a p p p +=+--，122()11n n a a p p p =+---， 1122222lim lim[()]lim[()]11111n n n n n n a a p a p p p p p p→∞→∞→∞=+-=+-=-----，D 正确． 故选：D ． 【点睛】本题考查数列的递推公式，考查数列的极限，解题时由递推公式变形构造出数列后，根据等比数列的定义判断新数列是否是等比数列，是等比数列的情况下求出数列的通项公式，再由数列的极限的定义确定是否存在极限，极限是什么．18．若数列{}n a 的通项公式1,1,211,3,3n nn n a n n N *⎧=⎪⎪+=⎨⎪≥∈⎪⎩前n 项和为n S ，则下列结论中正确的是（ ）A ．lim n n a →∞不存在 B ．8lim 9n n S →∞=C ．lim 0n n a →∞=或1lim 3n n a →∞=D ．1lim 18n n S →∞=【答案】B 【解析】先利用等比数列求和公式求和，再求极限得结果.1lim lim03nnn n a →∞→∞==3234211(1)11111551133+++(1)1233336618313n n n n S ---=++=+=+--因此2511518lim lim[(1)]61836189n n n n S -→∞→∞=+-=+= 故选：B 【点睛】本题考查数列解析以及等比数列求和公式，考查基本分析求解能力，属中档题. 19．下列命题正确的是（ ）A ．若lim ,lim n n n n a A bB →∞→∞==，则limn n na Ab B →∞=B ．若lim n n a A →∞=，则22lim n n a A →∞=C ．若22lim nn a A →∞=，则lim n n a A →∞=D ．若0n a ≠，则lim 0n n a →∞≠ 【答案】B 【解析】利用举反例的方法排除A 、C 、D,并利用极限的运算法则判定B 对于选项A,当0B =时,lim n n na Ab B →∞=无意义,故A 错误；对于选项C,当()1nn a =-时,()22lim lim 11nn n n a →∞→∞=-=,此时lim n n a →∞不存在,故C 错误；、 对于选项D,当1n a n=时,0n a ≠,但1lim 0n n →∞=,故D 错误；对于选项B,根据极限的运算法则,当lim n n a A →∞=时,()lim n n n a a A A →∞⋅=⋅,即22lim n n a A →∞=,故B 正确；故选：B 【点睛】本题考查举反例法处理选择题,考查极限的运算法则的应用20．已知两点 O (0,0)、 Q (a , b ) ，点 P 1是线段 OQ 的中点，点 P 2是线段 QP 1的中点， P 3 是线段 P 1P 2的中点，……，P n + 2是线段 P n P n +1的中点，则点 P n 的极限位置应是（ ）A ．(,)22a bB ．(,)33a bC ．22(,)33a b D ．33(,)44a b 【答案】C 【解析】由中点坐标公式求得部分中点的坐标，再寻求规律，求极限得之．解：两点 O (0,0)、 Q (a , b ) ，点1p 是线段 OQ的中点，点2p 是线段 QP 1 的中点，3p 是线段 P 1P 2 的中点，……1,22a P b ⎛⎫⎪⎝⎭∴ 2,2424a a P b b ⎛⎫++⎪⎝⎭∴ 3,248248a a a b b b P ⎛⎫+-+-⎪⎝⎭∴ 4,2481624816a a a a b b b b P ⎛⎫+-++-+ ⎪⎝⎭∴5,24816322481632a a a b P aa b b b b ⎛⎫+-+-+-+- ⎪⎝⎭∴……∴点n P 的位置应是()()()()()()()()234234,2222222222n n a a a ab b b abb⎛⎫⎪++++++++++ ⎪-----⎝---⎭其中()()()()()121234112211122262222122n n naa aaaa a aa --⎡⎥=-⎤⎛⎫⋅--⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭-⎢⎥⎛⎫⎣⎦++++++=+⋅--⎢⎥ ⎪⎛⎫⎝⎭---⎢⎣⎦-- ⎪⎝⎭故()()()()1234312l lim 2im 1226226222n n n n a a a a a a a a a a-∞→∞→⎡⎤⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎛⎫++++++⋅--=+=⎢⎥⎢⎥⎨⎬ ⎪⎝⎭---⎢⎥⎢⎥⎪⎣=-⎪⎣⎦⎩⎭⎦ 同理()()()()1234312l lim 2im 1226226222n n n n b bb b b bb b b b-∞→∞→⎡⎤⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎛⎫++++++⋅--=+=⎢⎥⎢⎥⎨⎬ ⎪⎝⎭---⎢⎥⎢⎥⎪⎣=-⎪⎣⎦⎩⎭⎦ ∴点n P 的极限位置应是22(,)33a b． 故选：C． 【点睛】本题主要考查中点坐标公式和数列求和以及推理思想的应用．21．数列{}n a 满足1110,1810(*)n n a a a n n N +==++∈，记[]x 表示不超过实数x 的最大整数，则)n →∞=( ) A ．1B ．12C ．13D ．16【答案】D 【解析】由已知变形，利用累加法求得数列通项公式，然后代入)n →∞求得答案.解：由已知1110,1810n n a a a n +==++，2118110a a ∴-=⨯+，3218210a a -=⨯+，118(1)10n n a a n --=-+，累加得：21(1)18[12(1)]10(1)101892nn n a a n n n n n -=+++⋯+-+-=+⨯=+， ()()22223996+1=31n n n n n n <+<++，331n n ∴+，3n ∴=，223n ====，则16n n →∞==. 故选：D. 【点睛】本题考查数列的极限，训练了累加法求数列的通项公式，是中档题.22．若,,||||a b R a b ∈>且11lim lim n n n nn n n n a b a b a a-+→∞→∞++>，则a 的取值范围为（ ） A ．1a >或1a <- B ．11a -<< C ．1a >或10a -<< D ．1a <-或01a <<【答案】D 【解析】根据数列极限运算法则化简11lim lim n n n nn n n n a b a b a a -+→∞→∞++>，求出关于a 的不等式，即可求解.11lim lim n n n nn n n n a b a b a a -+→∞→∞++>化为 1lim ))li ()(m(()n n n n b ba aa a →∞→∞>++， ||||,li 1(1)(1)(,m )0,0n nb a b a a a a a a →∞>∴=-+∴><，∴1a <-或01a <<.故选:D 【点睛】本题考查数列极限，考查分式不等式，属于中档题.23．若1lim 12n n r r +→∞⎛⎫ ⎪+⎝⎭存在，则r 的取值范围是（ ）A ．13r -≥或1r -≤ B ．13r >-或1r <- C ．13r >-或1r -≤ D ．113r --≤≤ 【答案】C 【解析】根据极限存在得到1112r r -<≤+，计算得到答案.1lim 12n n r r +→∞⎛⎫⎪+⎝⎭存在，则1112r r -<≤+，解得13r >-或1r -≤故选：C 【点睛】本题考查了根据极限求参数的范围，忽略掉等号是容易发生的错误.24．若lim()n n n a b →∞+存在，则有（ ） A ．lim n n a →∞与lim n n b →∞一定都存在 B ．lim n n a →∞与lim n n b →∞只能有一个存在 C ．lim n n a →∞与lim n n b →∞不可能都不存在 D ．lim n n a →∞与lim n n b →∞或者都存在，或者都不存在 【答案】D 【解析】逐个选项判断在lim()n n n a b →∞+的极限存在的条件下，各个命题是否成立。

专题3两角和与差的三角函数（一）两角和与差的余弦C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ；C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ；【点拨】①简记为：“同名相乘，符号反”．②公式本身的变用，如cos(α－β)－cosαcosβ＝sinαsinβ．③公式中的α，β不仅可以是任意具体的角.角的变用，也称为角的变换，如cosα＝cos[(α＋β)－β]，cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]．（二）两角和与差的正弦S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ；S(α－β)：sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ；【点拨】①简记为：“异名相乘，符号同”．②公式中的α，β不仅可以是任意具体的角，还可以是任意形式的“整体”.（三）两角和与差的正切T(α＋β)：tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ；.T(α－β)：tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ【点拨】1公式T α±β只有在α≠2π＋k π，β≠2π＋k π，α±β≠2π＋k π(k ∈Z )时才成立，否则就不成立.②当tan α或tan β或tan(α±β)的值不存在时，不能使用T α±β处理有关问题，但可改用诱导公式或其他方法．③变形公式：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)，如tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β)，tan(α＋β)－tan α－tan β＝tan αtan βtan(α＋β)，1－tan αtan β＝tan tan tan()αβαβ++．1＋tan αtan β＝tan tan tan()αβαβ--．（四）辅助角公式函数f(α)＝acos α＋bsin α(a ，b 为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定．4sin(2cos sin πααα±=±.题型一公式的正用【典例1】【多选题】（2022春·江苏徐州·高一统考阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α、β的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于A 、B 两点，若点A 、B 的坐标分别为34,55⎛⎫ ⎪⎝⎭和43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，则以下结论正确的是（）A ．3cos 5α=B ．3cos 5β=C ．()cos 0αβ+=D ．()cos 0αβ-=【答案】AD(0,π)β∈，则tan()αβ+的值为______．【典例3】（2023·江苏·高一专题练习）已知tan ,4αα=-是第四象限角．(1)求cos sin αα-的值；(2)求ππcos ,tan 44αα⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值．正用公式问题，一般属于“给角求值”、“给值求值”问题，应该通过应用公式，转化成“特殊角”的三角函数值计算问题．给角求值问题的策略：一般先要用诱导公式把角化整化小，化“切”为“弦”，统一函数名称，然后观察角的关系以及式子的结构特点，选择合适的公式进行求值．题型二公式的变用、逆用【典例4】（2022春·江苏泰州·高一江苏省姜堰第二中学校联考阶段练习）已知sin100cos100M =︒-︒，44cos 78cos 46cos12)N =︒︒+︒︒，1tan101tan10P -︒=+︒，那么M ，N ，P 之间的大小顺序是（）A ．M N P <<B ．N M P<<C ．P M N<<D ．P N M<<A cos15︒︒B ．2cos 15sin15cos75︒︒︒-C ．2tan 301tan 30︒︒-D ．1tan151tan15︒︒+-【答案】AD【分析】运用辅助角公式、诱导公式、和差角公式的逆用、特殊角的三角函数值、三角恒等变换中“1”的代换化简即可.(1)1－tan75°1＋tan75°；(2)(1＋tan1°)(1＋tan2°)…(1＋tan44°)；(3)tan25°＋tan35°＋3tan25°tan35°．【答案】（1）3-；（2）222；（3【解析】尝试使用两角和与差的正切公式及其变形式对原式进行变形求值．详解：(1)原式＝tan45°－tan75°1＋tan45°tan75°tan(45°－75°)＝33-．(2)因为(1＋tan1°)(1＋tan44°)＝1＋tan1°＋tan44°＋tan1°×tan44°＝2，同理(1＋tan2°)(1＋tan43°)＝2，…，所以原式＝222．(3)∵tan60°＝tan(25°＋35°)＝tan25°＋tan35°1－tan25°tan35°＝，∴tan25°＋tan35°＝3(1－tan25°tan35°)∴tan25°＋tan35°．【规律方法】1.“1”的代换：在T α±β中如果分子中出现“1”常利用1＝tan45°来代换，以达到化简求值的目的．2．若α＋β＝4π＋k π，k ∈Z ，则有(1＋tan α)(1＋tan β)＝2．3．若化简的式子里出现了“tan α±tan β”及“tan αtan β”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式．题型三给值求值【典例7】（2023·江苏·高一专题练习）已知34sin sin ,cos cos 55+=+=αβαβ，则cos()αβ-=（）A ．12-B ．13-C ．12D ．34取得最大值，则πcos 24θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．B ．12-C D【典例9】（2021春·江苏南京·高一校考阶段练习）已知cos 27βα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，1sin 22αβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2απ<<π，02βπ<<，求：(1)cos2αβ+的值；tanαβ+的值.(2)()给值求值问题的解题策略．(1)从角的关系中找解题思路：已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．(2)常见角的变换．①α＝(α－β)＋β；②α＝α＋β2＋α－β2；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)．题型四给值求角【典例10】（2022春·江苏南通·高一金沙中学校考期末）已知()0παβ∈，，，1tan()2αβ-=，1tan 7β=-，则2αβ-=（）A ．5π4B ．π4C ．π4-D ．3π4-1,0,,cos 222π2a a βαββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，求αβ+的值．解题的一般步骤是：(1)先确定角α的范围，且使这个范围尽量小（极易由于角的范围过大致误）；(2)根据(1)所得范围来确定求tan α、sin α、cos α中哪一个的值，尽量使所选函数在(1)得到的范围内是单调函数；(3)求α的一个三角函数值；(4)写出α的大小．题型五三角函数式化简问题【典例12】（2022春·江苏镇江·高一统考期末）计算：70cos10︒︒=︒（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据两角差的正弦公式化简求解即可.【详解】【典例13】（2022春·江苏泰州·高一校考阶段练习）已知，且()(),22k k k k ππαβπα+≠+∈≠∈Z Z ，则()tan tan αβα+=___________.1.三角公式化简求值的策略(1)使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．(2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．(3)使用公式求值，应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．2.注意三角函数公式逆用、变形用及“变角、变名、变号”的“三变”问题(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．(2)注意特殊角的应用，当式子中出现12，1，33,23入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．题型六三角恒等式证明问题【典例14】（2023春·上海浦东新·高一校考阶段练习）求证：(1)22sin cos 1sin cos 1cot 1tan αααααα+=-++；(2)在非直角三角形ABC 中，tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=【典例15】（2023·高一课时练习）求证：(1)当18045()k k αβ+=⋅︒+︒∈Z 时，(1tan )(1tan )2αβ++=；(2)当180()k k αβγ++=⋅︒∈Z 时，tan tan tan tan tan tan αβγαβγ++=⋅⋅．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据正切两角和公式求解即可.（2）根据正切两角和公式求解即可.【详解】（1）因为18045()k k αβ+=⋅︒+︒∈Z 所以(1tan )(1tan )αβ++1tan tan tan tan αβαβ=+++()()1tan 1tan tan tan tan αβαβαβ=++-+()()1tan 451801tan tan tan tan k αβαβ=++⋅-+ ()1tan 451tan tan tan tan αβαβ=+-+ 11tan tan tan tan αβαβ=+-+2=.即证：(1tan )(1tan )2αβ++=.（2）因为180()k k αβγ++=⋅︒∈Z 所以tan tan tan αβγ++()()tan 1tan tan tan αβαβγ=+-+()()tan 1801tan tan tan k γαβγ=⋅--+ ()tan 1tan tan tan γαβγ=--+tan tan tan αβγ=⋅⋅.即证：tan tan tan tan tan tan αβγαβγ++=⋅⋅.【总结提升】三角恒等式的证明方法(1)从等式的比较复杂的一边化简变形到另一边，相当于解决化简题目．(2)等式两边同时变形，变形后的结果为同一个式子．(3)先将要证明的式子进行等价变形，再证明变形后的式子成立．提醒：开平方时正负号的选取易出现错误，所以要根据已知和未知的角之间的关系，恰当地把角拆分，根据角的范围确定三角函数的符号．一、单选题1．（2023秋·江苏连云港·高一江苏省海头高级中学校考期末）5cos 12π=（）A B C D2．（2023·江苏·高一专题练习）化简tan tan 44A A ⎛⎫⎛⎫+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（）A ．2tan AB ．2tan A-C ．2tan 2AD ．2tan 2A-，，1,2b =，且a b ⊥，则()tan 45θ-︒的值是（）A ．1B ．3-C．3D ．134．（2023·江苏·高一专题练习）若1tan θ-=+，则cot 4θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（）．A ．12B C D ．1【答案】C5．（2023·江苏·高一专题练习）在ABC 中，若cos 5A =，cos 13B =-，则cos()A B +等于（）A ．1665-B ．3365C ．5665D ．6365-6．（2023·江苏·高一专题练习）若cos 5θ=-且(,π)2θ∈，则πsin 3θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（）A B．410+-C D 7．（2022春·江苏苏州·高一统考期中）已知02α<<，02β<<，且()sin 5αβ-=-，12sin 13β=，则sin α=（）A ．6365B ．5665C ．3365D ．1665-合，将角α的终边绕O 点顺时针旋转π3后，经过点()3,4-，则sin α=（）A B C D ．9．（2022春·江苏泰州·高一校考阶段练习）对任意的锐角αβ､，下列不等关系恒成立的是（）A ．()sin cos cos αβαβ+<+B ．()cos sin sin αβαβ+<+C ．()sin cos cos αβαβ-<+D ．()cos sin sin αβαβ-<+【答案】ACA ．1sin15222-=-B ．sin20cos10cos160sin102-C ．sin1212ππ=D ．sin105=11．（2023·江苏·高一专题练习）化简：πtan 3π13αα⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭______．12．（2023秋·陕西西安·高一西安市第六中学校考期末）已知α，β满足04α<<，44β<<，3cos 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π12sin 413β⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()sin αβ-=______．13．（2023春·湖北黄冈·高一校考阶段练习）求sin 36sin15sin 39cos36cos15sin 39︒︒︒-︒︒+︒的值．()cos ,sin b ααβ=- ，且a b ⊥ ．(1)求()cos αβ+的值；(2)若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且tan 3α=-，求2αβ+的值．︒︒+︒︒+︒︒=，tan10tan20tan20tan60tan60tan101tan20tan30tan30tan40tan40tan201︒︒+︒︒+︒︒=，tan33tan44tan44tan13tan33tan131︒︒+︒︒+︒︒=．(1)尝试再写出一个相同规律的式子；(2)写出能反映以上式子一般规律的恒等式，并对你写出的恒等式进行证明．。

专题03 动词时态及其语态、情态动词和虚拟语气【2020年高考命题预测】动词的时态和语态是历年高考的重点，是高考的必考点。

应特别注意以下几点：要把握各种时态的特点，注意易混淆时态间的差异；准确理解具体语境下时态的正确意义，捕捉句子中所隐含的时间信息；要克服汉语式的惯性思维，排除误导，培养发散性思维。

高考中常考的时态有一般现在时、一般过去时、一般将来时、现在进行时、过去进行时、过去将来时、现在完成时、过去完成时、将来进行时、现在完成进行时、过去完成进行时等等。

学习时要注意总结规律，灵活使用，特别要注意一些时态的特殊用法。

高考主要以单项填空、语法填空、短文改错等形式考查，动词的时态和语态在语法填空和短文改错中是必考点。

2020年时态和语态还将是高考中的重点和难点所在。

在这个考点上一定多下工夫，不管花费多大的精力，让学生掌握这个考点都不为过，因为，打开2020年的高考试卷，不然会有动词的时态和语态。

高考中的情态动词和虚拟语气考点是高考中的次重点内容，对学生要求掌握的程度要适可而止，尤其是全国卷。

英语中常用的情态动词主要有can，could，may，might，must，will，would，shall，should，ought to，dare，need，used to，had better等。

在学习情态动词时应注意以下几点：同一情态动词表示不同的意义的情况；情态动词后跟各种形式的用法；特别是注意“情态动词+完成式”是高考中的重点所在。

高考中的虚拟语气一般与情态动词结合进行考查。

每年高考试题中都会出现一定的题目。

【学科网考点定位】2020考纲解读和近三年考点分布课程标准要求中学生掌握常见的十种时态用法。

近三年来各地试题考查最多的是一般过去时、过去完成时、过去进行时、现在完成进行时和现在完成时。

高考中动词时态命题，每年每份试卷中都有2～3个小题，每小题均设置明确的语境。

一般来说，命题人总是把易混淆或相近的时态放在一起，增加考题的难度。