考点5 函数与方程、函数模型及其应用

高三数学函数模型及其应用试题答案及解析1.定义在上的函数满足，则=（）A．-1B．0C．1D．2【答案】C【解析】因为2015＝6×336－1，所以f（2015）＝f（－1）＝log（1＋1）＝1.选C2【考点】分段函数求值2.牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同，假定保鲜时间与储藏温度的关系为指数型函数y＝ka x，若牛奶在0℃的冰箱中，保鲜时间约为100 h，在5℃的冰箱中，保鲜时间约为80 h，那么在10℃时保鲜时间约为()A．49 h B．56 h C．64 h D．72 h【答案】C【解析】由得k＝100，a5＝，所以当10℃时，保鲜时间为100·a10＝100·()2＝64，故选C.3.（2011•湖北）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（1）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；（2）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．【答案】（1）（2）3333辆/小时【解析】（1）由题意：当0≤x≤20时，v（x）=60；当20＜x≤200时，设v（x）=ax+b再由已知得，解得故函数v（x）的表达式为（2）依题并由（1）可得当0≤x＜20时，f（x）为增函数，故当x=20时，其最大值为60×20=1200当20≤x≤200时，当且仅当x=200﹣x，即x=100时，等号成立．所以，当x=100时，f（x）在区间（20，200]上取得最大值．综上所述，当x=100时，f（x）在区间[0，200]上取得最大值为，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．答：（1）函数v（x）的表达式（2）当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．4.某食品公司为了解某种新品种食品的市场需求,进行了20天的测试,人为地调控每天产品的单价P(元/件)：前10天每天单价呈直线下降趋势(第10天免费赠送品尝),后10天呈直线上升,其中4天的单价记录如表：时间(将第x天记为x)x1101118而这20天相应的销售量Q(百件/天)与x对应的点(x,Q)在如图所示的半圆上.(1)写出每天销售收入y(元)与时间x(天)的函数关系式y=f(x).(2)在这20天中哪一天销售收入最高?为使每天销售收入最高,按此次测试结果应将单价P定为多少元为好?(结果精确到1元)【答案】（1）y=100QP=100,x∈[1,20],x∈N*（2）7【解析】(1)P=x∈N*,Q=,x∈[1,20],x∈N*,所以y=100QP=100,x∈[1,20],x∈N*.(2)因为(x-10)2[100-(x-10)2]≤=2500,所以当且仅当(x-10)2=100-(x-10)2,即x=10±5时,y有最大值.因为x∈N*,所以取x=3或17时,y=700max≈4999(元),此时,P=7元.答：第3天或第17天销售收入最高,按此次测试结果应将单价P定为7元为好.5.某造纸厂拟建一座底面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/平方米，水池所有墙的厚度忽略不计．(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．【答案】（1）当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，总造价最低为38 880元（2）当长为16米，宽为10米时总造价最低，总造价最低为38 882元．【解析】(1)设污水处理池的宽为x米，则长为米．则总造价f(x)＝400×(2x＋)＋248×2x＋80×162＝1 296x＋＋12 960＝1 296(x＋)＋12 960≥1 296×2 ＋12 960＝38 880(元)，当且仅当x＝(x>0)，即x＝10时取等号．∴当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，总造价最低为38 880元．(2)由限制条件知，∴10≤x≤16，设g(x)＝x＋(10≤x≤16)，g(x)在上是增函数，∴当x＝10时（此时），g(x)有最小值，即f(x)有最小值，即为1 296×＋12 960＝38 882元．∴当长为16米，宽为10米时总造价最低，总造价最低为38 882元．6.农业技术员进行某种作物的种植密度试验，把一块试验田划分为8块面积相等的区域（除了种植密度，其它影响作物生长的因素都保持一致），种植密度和单株产量统计如下：根据上表所提供信息，第_____号区域的总产量最大，该区域种植密度为_____株/.{第13，14题的第一空3分，第二空2分}【答案】5，3.6【解析】由图中数据可得，，总产量，故时取得最大值，即第５号区域的总产量最大，该区域种植密度为．【考点】二次函数．7.某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为立方米，且. 假设该容器的建造费用仅与其表面积有关. 已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为22千元. 设该容器的建造费用为y千元. 当该容器建造费用最小时，r的值为（）A．B．1C．D．2【答案】B【解析】设容器的容积为,由题意知：，又,故由于,因此.所以建造费用,因此，,此时易知,故选B.【考点】1.几何体的体积；2.基本不等式.8.设函数，.（1）解方程：；（2）令，求证：；（3）若是实数集上的奇函数，且对任意实数恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）参考解析；（3）【解析】（1）由于函数，，所以解方程.通过换元即可转化为解二次方程.即可求得结论.（2）由于即得到.所以.所以两个一组的和为1，还剩中间一个.即可求得结论.（3）由是实数集上的奇函数，可求得.又由于对任意实数恒成立.该式的理解较困难，所以研究函数的单调性可得.函数在实数集上是递增.集合奇函数，由函数值大小即可得到变量的大小，再利用基本不等式，从而得到结论.试题解析：（1）即：，解得，（2）.因为，所以，，（3）因为是实数集上的奇函数，所以.，在实数集上单调递增.由得，又因为是实数集上的奇函数，所以，，又因为在实数集上单调递增，所以即对任意的都成立，即对任意的都成立，.【考点】1.解方程的思想.2.函数的单调性.3.归纳推理的思想.4.基本不等式.9.为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y（单位：毫克/立方米）随着时间(单位：天)变化的函数关系式近似为若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知,当空气中净化剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到净化空气的作用．（1）若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天?（2）若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a（）个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求的最小值（精确到0.1，参考数据：取1.4）．【答案】（1）可达8天;（2）a的最小值为．【解析】（1）根据题中条件每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y（单位：毫克/立方米）随着时间(单位：天)变化的函数关系已经给出，则易得一次喷洒4个单位的净化剂时的函数关系式：，这样就得到一个分段函数，对分段函数的处理常用的原则：先分开，现合并，解两个不等式即可求解; （2）中若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a（）个单位的药剂，根据题意从第6天开始浓度来源与两方面，这是题中的难点，前面留下的为：，后面新增的为：，所得化简即可得到：，结合基本不等式知识求出最小值，最后解一个不等式：，即可求解．试题解析：（1）因为一次喷洒4个单位的净化剂，所以浓度则当时，由，解得，所以此时． 3分当时，由解得，所以此时．综合得，若一次投放4个单位的制剂，则有效净化时间可达8天． 7分（2）设从第一次喷洒起，经x（）天，浓度． 10分因为，而，所以，故当且仅当时，y有最小值为.令，解得，所以a的最小值为． 14分【考点】1.实际应用问题;2.分段函数;3.基本不等式．10.设函数f（x）的定义域为D,若存在非零实数l使得对于任意x∈M（M⊆D）有x+l∈D，且f （x＋l）≥f(x)，则称f(x)为M上的l高调函数，如果定义域为R的函数f(x)是奇函数，当x≥0时，f（x）＝｜x－a2｜－a2，且f(x)为R上的8高调函数，那么实数a的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】当时，，则，即为上的8高调函数；当时，函数的图象如图所示，若为上的8高调函数，则，解得且.综上.【考点】1.新定义题；2.函数图像.11.要在墙上开一个上半部为半圆形、下部为矩形的窗户(如图所示)，在窗框为定长的条件下，要使窗户能够透过最多的光线，窗户应设计成怎样的尺寸？【答案】半圆直径与矩形的高的比为2∶1【解析】设半圆直径为2R,矩形的高为a，则2a＋2R＋πR＝L(定值)，S＝2Ra＋πR2＝－R2＋LR，当R＝时S最大，此时＝1，即半圆直径与矩形的高的比为2∶1时，窗户能够透过最多的光线．12.我国辽东半岛普兰附近的泥炭层中，发掘出的古莲子，至今大部分还能发芽开花，这些古莲子是多少年以前的遗物呢？要测定古物的年代，可用放射性碳法．在动植物的体内都含有微量的放射性14C，动植物死亡后，停止了新陈代谢，14C不再产生，且原有的14C会自动衰变，经过5570年(叫做14C的半衰期)，它的残余量只有原始量的一半，经过科学家测定知道，若14C的原始含量为a，则经过t年后的残余量a′(与a之间满足a′＝a·e－kt)．现测得出土的古莲子中14C残余量占原量的87.9%，试推算古莲子的生活年代．【答案】1036年前【解析】因a′＝a·e－kt，即＝e－kt.两边取对数，得lg＝－ktlge.①又知14C的半衰期是5570年，即t＝5570时，＝.故lg＝－5570klge，即klge＝.代入①式，并整理，得t＝－.这就是利用放射性碳法计算古生物年代的公式．现测得古莲子的是0.879，代入公式，得t＝－≈1036.即古莲子约是1036年前的遗物．13.用长为90cm、宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻折90°角，再焊接而成，则该容器的高为________cm时，容器的容积最大．【答案】10【解析】设容器的高为xcm，即小正方形的边长为xcm，该容器的容积为V，则V＝(90－2x)(48－2x)x＝4(x3－69x2＋1080x)，0<x<12，V′＝12(x2－46x＋360)＝12(x－10)(x－36)，当0<x<10时，V′>0；当10<x<12时，V′<0.所以V在(0，10]上是增函数，在[10，12)上是减函数，故当x ＝10时，V最大．14.某客运部门规定甲、乙两地之间旅客托运行李的费用为:不超过25kg按0.5元/kg收费,超过25kg的部分按0.8元/kg收费,计算收费的程序框图如图所示,则①②处应填()A．y=0.8xy=0.5xB．y=0.5xy=0.8xC．y=0.8x-7.5y=0.5xD．y=0.8x+12.5y=0.8x【答案】C【解析】设行李的质量为xkg,则所需费用为:y=即y=15.定义在R上的函数及二次函数满足：且。

精品资料欢迎下载§函数题型方法总结第一部分：必考内容与要求函数概念与基本初等函数Ⅰ（指数函数、对数函数、幂函数）（1）函数①了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.②在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数.③了解简单的分段函数，并能简单应用.④理解函数单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.⑤会运用函数图像理解和研究函数的性质.（2）指数函数①了解指数函数模型的实际背景.②理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.③理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点.④知道指数函数是一类重要的函数模型.（3）对数函数①理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.②理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性，掌握函数图像通过的特殊点.③知道对数函数是一类重要的函数模型；④了解指数函数与对数函数互为反函数（）.（4）幂函数①了解幂函数的概念.②结合函数的图像，了解它们的变化情况.（5）函数与方程①结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.②根据具体函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似解.（6）函数模型及其应用①了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征.知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.②了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用.。

高考数学初等函数知识点函数模型及其应用导语：常见的函数模型有一次函数模型、二次函数模型、指数函数模型、对数函数模型、分段函数模型等，下面就由为大家带来高考数学初等函数知识点：函数模型及其应用，大家一起去看看怎么做吧！1.我们目前已学习了以下几种函数：一次函数y=kx+b(k≠0)，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，指数函数y=ax(a>0且a≠1)，对数函数y=logax(a>0且a≠1)，幂函数y=xa(a为常数)2.用函数模型解决实际问题的根本步骤：第一步，审清题意，设立变量 ;第二步，根据所给模型，列出函数关系式;第三步，利用函数关系求解;第四步，再将所得结论转译成具体问题的解答.3.在处理曲线拟合与预测的问题时，通常需要以下几个步骤：(1)能够根据原始数据、表格、绘出散点图;(2)通过考查散点图，画出“最贴近”的曲线，即拟合曲线;(3)根据所学函数知识，求出拟合曲线的函数解析式;(4)利用函数关系，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据.4.解疑释惑(1)怎样理解“数学建模”和实际问题的关系?一般来说，对问题进行修改和简化，形成一种比拟精确和简洁的表述，这时可称之为“实际模型”，它和“实际原形”不同，因为它被简化了，不是实际问题所有方面都得到了表达.而是在得到一个“实际模型”之后，再用数学符号和表达式来代替实际问题中的变量和关系，得到的结果是一个“数学模型”. (2)怎样才能搞好“数学建模”?在“数学建模”中要把握好以下几个问题：1理解问题：阅读理解，读懂文字表达，认真审题，理解实际背景.弄清楚问题的实际背景和意义，设法用数学语言来描述问题.2数学建模：把握新信息，勇于探索，善于联想，灵活化归，根据题意建立变量或参数间的数学关系，实现实际问题数学化，引进数学符号，构建数学模型，常用的数学模型有方程、不等式、函数.3求解模型：以所学的数学性质为工具对建立的数学模型进行求解. ○4检验模型：将所求的结果代回模型中检验，对模拟的结果与实际情形比拟，以确定模型的有效性，如果不满意，要考虑重新建模.5评价与应用：如果模型与实际情形比拟吻合，要对计算的结果作出解释并给出其实际意义，最后对所建立的模型给出运用范围.如果模型与实际问题有较大出入，那么要对模型改良，并重复上述步骤.(3)“数学建模”中要注意什么问题?1有的应用题文字表达冗长，或者选择的知识背景较为陌生，处理时，要注意认真、耐心地阅读和理解题意.2解决函数应用题时要注意用变化的观点分析和探求具体问题中的数量关系，寻找量与量之间的内在联系，然后将这些内在联系与数学知识联想，建立函数关系式或列出方程，利用函数性质或方程观点来求解，那么可使应用题化生为熟，尽快得到解决. 5.规律总结(1)如果实际问题中的规律很难用一个统一的关系式表示，可考虑用分段函数来表示它.另外，在实际问题的计算中应注意统一单位.(2)分类讨论建立函数模型在实际问题中较为常见，应引起充分注意. (3)建立“数学模型”常用的分析方法：(1)关系分析法：即通过寻找关键词和关键量之间的数量关系的方法来建立问题的数学模型的方法.(2)列表分析法：即通过列表的方式探索问题的数学模型的方法.(3)图象分析法：即通过对图象中的数量关系分析来建立问题的数学模型的方法.。

函数模型及其应用一、基础知识1．常见的8种函数模型(1)正比例函数模型：f(x)＝kx(k为常数，k≠0)；(2)反比例函数模型：f(x)＝kx(k为常数，k≠0)；(3)一次函数模型：f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)；(4)二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)；(5)指数函数模型：f(x)＝ab x＋c(a，b，c为常数，a≠0，b>0，b≠1)；(6)对数函数模型：f(x)＝m log a x＋n(m，n，a为常数，m≠0，a>0，a≠1)；(7)幂函数模型：f(x)＝ax n＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠1)；(8)“对勾”函数模型：y＝x＋ax(a>0)．(1)形如f(x)＝x＋ax(a>0)的函数模型称为“对勾”函数模型，“对勾”函数的性质：①该函数在(－∞，－a]和[a，＋∞)上单调递增，在[－a，0)和(0，a]上单调递减．②当x>0时，x＝a时取最小值2a，当x<0时，x＝－a时取最大值－2a.(2)函数f(x)＝xa＋bx(a>0，b>0，x>0)在区间(0，ab]内单调递减，在区间[ab，＋∞)内单调递增．2．三种函数模型的性质函数性质y＝a x(a>1)y＝log a x(a>1)y＝x n(n>0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大，逐渐表现为与y轴平行随x的增大，逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当x>x0时，有log a x<x n<a x幂函数模型y＝x n(n>0)可以描述增长幅度不同的变化，当n,值较小(n≤1)时，增长较慢；当n值较大(n>1)时，增长较快.考点一二次函数、分段函数模型[典例]国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30或30以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15000元．(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；(2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？[解](1)设每团人数为x，由题意得0<x≤75(x∈N*)，飞机票价格为y元，则y ，0<x≤30，－10(x－30)，30<x≤75，即y，0<x≤30，200－10x，30<x≤75.(2)设旅行社获利S元，则Sx－15000，0<x≤30，200x－10x2－15000，30<x≤75，即Sx－15000，0<x≤30，10(x－60)2＋21000，30<x≤75.因为S＝900x－15000在区间(0,30]上为增函数，故当x＝30时，S取最大值12000.又S＝－10(x－60)2＋21000，x∈(30,75]，所以当x＝60时，S取得最大值21000.故当x＝60时，旅行社可获得最大利润．[解题技法]二次函数、分段函数模型解决实际问题的策略(1)在建立二次函数模型解决实际问题中的最值问题时，一定要注意自变量的取值范围，需根据函数图象的对称轴与函数定义域在坐标系中对应区间之间的位置关系讨论求解．(2)对于分段函数模型的最值问题，应该先求出每一段上的最值，然后比较大小．(3)在利用基本不等式求解最值时，一定要检验等号成立的条件，也可以利用函数单调性求解最值．[题组训练]1．某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元)满足关系f(x)，0<x≤A，＋B(x－A)，x>A.已知某家庭2018年前三个月的煤气费如表：月份用气量煤气费一月份4m34元二月份25m314元三月份35m 319元若四月份该家庭使用了20m 3的煤气，则其煤气费为()A ．11.5元B ．11元C ．10.5元D ．10元解析：选A根据题意可知f (4)＝C ＝4，f (25)＝C ＋B (25－A )＝14，f (35)＝C ＋B (35－A )＝19，解得A ＝5，B ＝12，C ＝4，所以f (x )，0<x ≤5，＋12(x －5)，x >5，所以f (20)＝4＋12×(20－5)＝11.5.2．A ，B 两城相距100km ，在两城之间距A 城x (km)处建一核电站给A ，B 两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍，若A 城供电量为每月20亿度，B 城供电量为每月10亿度．(1)求x 的取值范围；(2)把月供电总费用y 表示成x 的函数；(3)核电站建在距A 城多远，才能使月供电总费用y 最少？解：(1)由题意知x 的取值范围为[10,90]．(2)y ＝5x 2＋52(100－x )2(10≤x ≤90)．(3)因为y ＝5x 2＋52(100－x )2＝152x 2－500x ＋25000＋500003，所以当x ＝1003y min ＝500003.故核电站建在距A 城1003km 处，能使月供电总费用y 最少．考点二指数函数、对数函数模型[典例]某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y (微克)与时间t (小时)之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出第一次服药后y 与t 之间的函数关系式y ＝f (t )；(2)据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时间．[解](1)由题图，设y 0≤t ≤1，a，t >1，当t ＝1时，由y ＝4，得k ＝4，由－a ＝4，得a ＝3.所以y 0≤t ≤1，－3，t >1.(2)由y ≥0.25≤t ≤1，t ≥0.253≥0.25，解得116≤t ≤5.故服药一次后治疗疾病有效的时间是5－116＝7916(小时)．[解题技法]1．掌握2种函数模型的应用技巧(1)与指数函数、对数函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在三类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数．2．建立函数模型解应用问题的4步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型．(2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型．(3)求模：求解数学模型，得出数学结论．(4)还原：将利用数学知识和方法得出的结论，还原到实际问题中．[题组训练]1．某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n 次涨停(每次上涨10%)，又经历了n 次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为()A．略有盈利B．略有亏损C．没有盈利也没有亏损D．无法判断盈亏情况解析：选B设该股民购进这支股票的价格为a元，则经历n次涨停后的价格为a(1＋10%)n＝a×1.1n元，经历n次跌停后的价格为a×1.1n×(1－10%)n＝a×1.1n×0.9n＝a×(1.1×0.9)n＝0.99n·a<a，故该股民这支股票略有亏损．2．声强级Y(单位：分贝)由公式Y＝10lg I为声强(单位：W/m2)．(1)平常人交谈时的声强约为10－6W/m2，求其声强级．(2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝，求能听到的最低声强为多少？解：(1)当声强为10－6W/m2时，由公式Y＝得Y＝10lg106＝60(分贝)．(2)当Y＝0时，由公式Y＝得0.∴I10－12＝1，即I＝10－12W/m2，则最低声强为10－12W/m2.[课时跟踪检测]1．(2018·福州期末)某商场销售A型商品．已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如下表所示：销售单价/元45678910日均销售量/件400360320280240200160请根据以上数据分析，要使该商品的日均销售利润最大，则此商品的定价(单位：元/件)应为()A．4B．5.5C．8.5D．10解析：选C由数据分析可知，当单价为4元时销售量为400件，单价每增加1元，销售量就减少40件．设定价为x 元/件时，日均销售利润为y 元，则y ＝(x －3)·[400－(x －4)·40]＝－＋1210，故当x ＝172＝8.5时，该商品的日均销售利润最大，故选C.2．(2019·绵阳诊断)某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元收费；用水超过10立方米的，超过的部分按每立方米5元收费．某职工某月的水费为55元，则该职工这个月实际用水为()A ．13立方米B ．14立方米C ．15立方米D ．16立方米解析：选C 设该职工某月的实际用水为x 立方米时，水费为y 元，由题意得y ＝x ，0≤x ≤10，＋5(x －10)，x >10，即y x ，0≤x ≤10，x －20，x >10.易知该职工这个月的实际用水量超过10立方米，所以5x －20＝55，解得x ＝15.3．利民工厂某产品的年产量在150吨至250吨之间，年生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的关系可近似地表示为y ＝x 210－30x ＋4000，则每吨的成本最低时的年产量为()A ．240吨B ．200吨C ．180吨D ．160吨解析：选B 依题意，得每吨的成本为y x ＝x 10＋4000x －30，则yx≥2x 10·4000x－30＝10，当且仅当x 10＝4000x，即x ＝200时取等号，因此，当每吨成本最低时，年产量为200吨．4．某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过1%.已知在过滤过程中废气中的污染物数量P (单位：毫克/升)与过滤时间t (单位：时)之间的函数关系为P ＝P 0e －kt (k ，P 0均为正常数)．如果在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%，那么排放前至少还需要过滤的时间是()A.12小时 B.59小时C ．5小时D ．10小时解析：选C 由题意，前5个小时消除了90%的污染物．∵P ＝P 0e －kt ，∴(1－90%)P 0＝P 0e －5k，∴0.1＝e－5k，即－5k ＝ln 0.1，∴k ＝－15ln 0.1.由1%P 0＝P 0e －kt ，即0.01＝e －kt ，得－kt ＝ln 0.01，＝ln 0.01，∴t ＝10.∴排放前至少还需要过滤的时间为t －5＝5(时)．5．(2019·蚌埠模拟)某种动物的繁殖数量y (单位：只)与时间x (单位：年)的关系式为y ＝a log 2(x ＋1)，若这种动物第1年有100只，则到第7年它们发展到________只．解析：由题意，得100＝a log 2(1＋1)，解得a ＝100，所以y ＝100log 2(x ＋1)，当x ＝7时，y ＝100log 2(7＋1)＝300，故到第7年它们发展到300只．答案：3006.某人根据经验绘制了从12月21日至1月8日自己种植的西红柿的销售量y (千克)随时间x (天)变化的函数图象如图所示，则此人在12月26日大约卖出了西红柿________千克．解析：前10天满足一次函数关系，设为y ＝kx ＋b ，将点(1,10)和点(10,30)代入函数解析＝k ＋b ，＝10k ＋b ，解得k ＝209，b ＝709，所以y ＝209x ＋709，则当x ＝6时，y ＝1909.答案：19097．候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为：v ＝a ＋b log 3Q10(其中a ，b 是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1m/s.(1)求出a ，b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s ，求其耗氧量至少要多少个单位？解：(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0m/s ，此时耗氧量为30个单位，故有a ＋b log 33010＝0，即a ＋b ＝0.当耗氧量为90个单位时，速度为1m/s ，故a ＋b log 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1.＋b ＝0，＋2b ＝1，＝－1，＝1.(2)由(1)知，v ＝a ＋b log 3Q 10＝－1＋log 3Q10.所以要使飞行速度不低于2m/s ，则有v ≥2，所以－1＋log 3Q10≥2，即log 3Q 10≥3，解得Q10≥27，即Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s ，则其耗氧量至少要270个单位．8.据气象中心观察和预测：发生于沿海M 地的台风一直向正南方向移动，其移动速度v (单位：km/h)与时间t (单位：h)的函数图象如图所示，过线段OC 上一点T (t,0)作横轴的垂线l ，梯形OABC 在直线l 左侧部分的面积为时间t 内台风所经过的路程s (单位：km)．(1)当t ＝4时，求s 的值；(2)将s 随t 变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N 城位于M 地正南方向，且距M 地650km ，试判断这场台风是否会侵袭到N 城，如果会，在台风发生后多长时间它将侵袭到N 城？如果不会，请说明理由．解：(1)由图象可知，直线OA 的方程是v ＝3t (0≤t ≤10)，直线BC 的方程是v ＝－2t ＋70(20<t ≤35)．当t ＝4时，v ＝12，所以s ＝12×4×12＝24.(2)当0≤t ≤10时，s ＝12×t ×3t ＝32t 2；当10<t ≤20时，s ＝12×10×30＋(t －10)×30＝30t －150；当20<t ≤35时，s ＝150＋300＋12×(t －20)×(－2t ＋70＋30)＝－t 2＋70t －550.综上可知，s 随t 变化的规律是s2，t ∈[0，10]，t －150，t ∈(10，20]，t 2＋70t －550，t ∈(20，35].(3)当t ∈[0,10]时，s max ＝32×102＝150<650，当t ∈(10,20]时，s max ＝30×20－150＝450<650，当t ∈(20,35]时，令－t 2＋70t －550＝650，解得t ＝30或t ＝40(舍去)，即在台风发生30小时后将侵袭到N 城．。