九年级数学上册第23章图形的相似知识归纳华东师大版.doc

第23章图形的相似23.5位似图形教学目标教学反思1.理解位似图形、位似中心的概念，理解位似变换是特殊的相似变换.2.会画位似图形，能根据相似比的大小把一个图形放大或缩小.3.理解位似图形上任意一组对应点到位似中心的距离之比等于位似比.教学重难点重点：理解位似图形、位似中心的概念.难点：位似多边形的判断，从位似中心的不同方向绘制位似多边形.教学过程复习巩固1.什么叫相似多边形呢？两个边数相同的多边形，如果各边对应成比例，各角对应相等，那么这两个多边形叫做相似多边形.2.什么叫相似比？相似多边形对应边的比叫做相似比.导入新课【问题1】活动1（学生交流，教师点评）【思考】1.前面我们已经学习了图形的哪些变换？平移：平移的方向，平移的距离.轴对称：对称轴.旋转：（中心对称）旋转中心，旋转方向，旋转角度.2.下列图形中，每个图中的四边形ABCD和四边形A′B′C′D′都是相似图形.分别观察这五个图，你发现每个图中的两个四边形各对应点的连线有什么特征？对应边有何位置关系？（2）教师：这就是本节要学习的内容. 教师引出课题：23.5 位似图形探究新知探究点一 位似图形 【问题2】活动2（学生交流，教师点评）如图，下面两个多边形相似，将两个图形的对应顶点相连，观察发现连结的直线相交于点O .,,,,OA OB OC OD OE OA OB OC OD OE'''''有什么关系？【答案】OA OB OC OD OE OA OB OC OD OE'''''＝＝＝＝【总结】教学反思.OA A A B B C C O OA OB OC k O OB OC''''=''===两个图形的对应点与、与、与的连线都交于一点，并且，这两个图形叫做位似图形，点叫做位似中心即两个相似多边形，如果它们对应顶点的连线相交于一点，并且这点与对应顶点所连线段成比例，我们就把这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心.探究点二 位似图形的性质 活动3（学生交流，教师点评）从图（1）中我们可以看到，△OAB ∽△OA ′B ′， 则OA OB AB OA OB A B==''''，AB ∥A ′B ′. 图（2）呢？你得到了什么？（1） （2）【总结】位似图形的性质：（1）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比. （2）位似图形上对应点的连线或延长线交于一点.（3）位似图形中的对应线段平行（或在一条直线上）.（4）位似图形是特殊的相似图形，因此位似图形具有相似图形的一切性质. 典例讲解（师生互动）例1 如图所示，四边形ABCD 和四边形A ′ B ′ C ′ D ′位似，相似比k 1 ＝ 2，四边形A ′ B ′ C ′D ′和四边形A″ B″ C″D″位似，相似比k 2＝1. 则四边形A″ B″ C″ D″和四边形ABCD 是位似图形吗？如果是，请说明理由并求出相似比.【解】∵ 四边形ABCD 和四边形A ′ B ′ C ′ D ′位似， ∴ 四边形ABCD ∽四边形A ′ B ′ C ′ D ′ .∵ 四边形A ′ B ′ C ′ D ′和四边形A″ B″ C″ D″位似， ∴ 四边形A ′ B ′ C ′ D ′∽四边形A″ B″ C″ D″ . ∴ 四边形A″ B″ C″ D″∽四边形ABCD.又∵ 四边形A ″B ″C ″D ″和四边形ABCD 的对应顶点的连线经过同一点O ， ∴ 四边形A″ B″ C″ D″和四边形ABCD 是位似图形.∵ 四边形ABCD 和四边形A ′ B ′ C ′ D ′位似，相似比k 1＝2，教学反思四边形A′ B′ C′ D′和四边形A″ B″ C″ D″位似，相似比k2＝1，∴四边形A″ B″ C″ D″和四边形ABCD 的相似比为1 2 .探究点三位似图形的画法【问题3】活动4（学生交流，教师点评）例2如图，已知△ABC，以点O为位似中心画△DEF，使其与△ABC位似，且位似比为2.【解】作法：画射线OA、OB、OC；在射线OA、OB、OC上分别取点D、E、F，使OD ＝2OA，OE＝2OB，OF＝2OC；顺次连结D、E、F，这样就得到与△ABC位似，相似比为2的△DEF.想一想：你还有其他的画法吗？思考：如果点O在两个三角形之间呢？能不能画出这时的图形?作法：画射线OA、OB、OC;沿着射线OA、OB、OC反方向上分别取点D、E、F，OD ＝2OA，OE ＝2OB，OF ＝2OC;顺次连结D、E、F，这样就得到与△ABC位似，相似比为2的△DEF.【归纳】画位似图形的一般步骤：（1）确定位似中心；（2）分别连结位似中心和能代表原图的关键点并延长；（3）根据相似比，确定能代表所画的位似图形的关键点；（4）按照原图的形状，顺次连结上述各点，得到放大或缩小后的图形.【即学即练】教学反思如图，已知四边形ABCD，把四边形ABCD 缩小到原来的12.（画出一种情形）【解】作法：（1）在四边形ABCD外任选一点O（如图）；（2）分别在射线OA、OB、OC、OD上取点A′、B′、C′、D′，使得OAOA'＝OBOB'＝OCOC'＝ODOD'＝12；（3）顺次连结点A′、B′、C′、D′，则四边形A′B′C′D′就是所要画的图形.【题后总结】利用位似，可以将一个图形放大或缩小.课堂练习1.下列关于位似图形的表述错误的是（）A.相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形B.位似图形一定有位似中心C.如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形是位似图形D.位似图形上任意一对对应点与位似中心的距离之比等于相似比2.如图所示的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（）A.点PB.点OC.点MD.点N3.如图所示，将平行四边形AEFG变换成平行四边形ABCD，其中E，G分别是AB，AD的中点，下列叙述不正确的是（）教学反思A.这种变换是相似变换B.对应边扩大到原来的2倍C.各对应角度数不变D.面积扩大到原来的2倍 4.下列4个图中的两个相似三角形是位似三角形的是（ ）（1）（2）（3）（4）A.图（3）、图（4）B.图（2）、图（3）、图（4）C.图（2）、图（3）D.图（1）、图（2）5.如图所示，线段AB 两个端点的坐标分别为A （6，6），B （8，2），以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 缩小为原来的12后得到线段CD ，则端点C 的坐标为（ ）A.（3，3）B.（4，3）C.（3，1）D.（4，1）6.如图，△ABC 和△111A B C 是以点O 为位似中心的位似三角形，若C 1为OC 的中点，AB ＝4，则11A B 的长为（）A.1B.2C.4D.8教学反思7.如图，五边形ABCDE 是由五边形FGHMN 经过相似变换得到的，点O 是位似中心，F 、G 、H 、M 、N 分别是OA 、OB 、OC 、OD 、OE 的中点，求五边形ABCDE 与五边形FGHMN 的面积比.8.已知边长为1的正方形ABCD ，以它的两条对角线的交点为位似中心，画一个边长为2且与它位似的正方形.参考答案1.A 【解析】相似图形不一定是位似图形.2.A 【解析】利用位似图形的概念找出每组对应点所在直线的交点，显然交点为点P .3.D 【解析】面积比等于相似比的平方，所以面积应扩大到原来的4倍.4.B 【解析】利用“每组对应点的连线所在的直线都经过同一点（位似中心）”检验.5.A 【解析】分别过点A ，C 作两坐标轴的垂线，利用相似三角形的性质可求解.6.B 【解析】∵ C 1为OC 的中点，∴ 112OC ＝OC .∵ △ABC 和△111A B C 是以点O 为位似中心的位似三角形， ∴ A 1B 1∥AB ，1OC OC ＝1OBOB， ∴ △OA 1B 1∽△ OAB ，11OB OC OB OC ＝＝11A BAB， ∴11142A B ＝， ∴11A B ＝2，故选B.7.【解】∵ 五边形ABCDE 是由五边形FGHMN 经过相似变换得到的， ∴ 五边形ABCDE ∽五边形FGHMN . ∵ F 为OA 的中点，∴ OF ＝12AO ，∴ OA ∶OF ＝2∶1，∴ 五边形ABCDE 与五边形FGHMN 的面积比为4∶1.教学反思8.【解】如图，画射线OA 、OB 、OC 、OD ;在射线OA 、OB 、OC 、OD 上分别取点G 、H 、E 、F ，使OE ＝2OA ，OF ＝2OB ，OG ＝2OC ，OH ＝2OD ;顺次连结E 、F 、G 、H ，与便到与正方形ABCD 位似，位似比为1∶2的正方形EFGH.课堂小结（学生总结，老师点评）→⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩→定义两个相似多边形，如果它们对应顶点 所在的直线相交于一点，并且这点与 对应顶点所连线段成比例.我们就把这 样的两个图形叫做位似图形，这个交点 叫做位似中心.①两个图形相似.位似图形②对应点的连线相交于一点，对应边互相性质平行或在同一直线上.③任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.画法作位似图形：关键是确定位似中心、 ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩ 相似比和关键点的对应点.布置作业教材第81页练习题，第82页习题23.5第1，2题.板书设计课题 23.5 位似图形【问题1】 探究点一 位似图形的定义【问题2】 例1 位似图形的性质【问题3】 例2 位似图形的画法教学反思。

《相似图形》典型例题例题1 在如图所示的相似四边形中，求未知边x 、y 的长度和角α的大小．例题2 所有的正方形都相似吗？为什么？所有的矩形都相似吗？为什么？例题3 所有的正方形都相似吗？为什么？所有的矩形都相似吗？为什么？例题4 已知下图中的两个四边形相似，找出图中的成比例线段，并用比例式表示．例题5 图中的两个多边形相似吗？说说你的理由．例题6 下面给出的两个四边形是相似的，请写出它们的对应角和对应边．例题7 已知图中的两个梯形相似，求出未知边x 、y 、z 的长度和βα∠∠、的度数．例题8在如图所示的相似四边形中，求未知边x、y的长度和角 的大小．参考答案例题1 解答 ∵两个四边形相似，它们的对应边成比例，对应角相等． ∴67418y x ==， ∴27,5.31==y x ．︒=︒+︒+︒-︒=83)1178377(360α．例题2 解答：所有的正方形都相似，因为正方形的每个角都是90°，因此对应角都相等，而每一个正方形的边长都相等，因此对应边成比例．所有的矩形不一定相似，虽然所有的矩形的角都相等，但对应的边不一定成比例，因此，矩形不一定相似．例题3 解答：所有的正方形都相似，因为正方形的每个角都是90°，因此对应角都相等，而每一个正方形的边长都相等，因此对应边成比例．所有的矩形不一定相似，虽然所有的矩形的角都相等，但对应的边不一定成比例，因此，矩形不一定相似．例题4 解答 HEDA GH CD FG BC EF AB === 例题5 解答 不相似．︒=︒-︒-︒-︒=∠587295135360D ，而︒=︒-︒-︒-︒=∠715995135360E ，不可能有“对应角相等”．例题6 解答 F A ∠→∠ E B ∠→∠ H C ∠→∠ G D ∠→∠FE AB → EH BC → HG CD → GF DA →例题7 分析 解题中要充分利用相似多边形的特征和梯形的性质．解答 由于对应边成比例，所以232.38.45.442====z y x ． 所以3,6,3===z y x ．由于对应角相等，所以 ︒=∠-︒=∠=∠118180A D α，︒='∠-︒='∠=∠70180C B β．例题8 解答 ∵两个四边形相似，它们的对应边成比例，对应角相等． ∴67418y x ==，∴27,5.31==y x ．︒=︒+︒+︒-︒=83)1178377(360α．。

华东师大版九上数学第23章 图形的相似1． 比例线段的有关概念==在比例式::中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a c(a b c d )a d b c a c b db 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b =c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项． 2． 比例性质①基本性质：a b cdad bc =⇔= ②更比性质(交换比例的内项或外项)： ()()()()⎧=⎪⎪⎪=⎪=⇒⎨⎪=⎪⎪⎪=⎩交换内项交换外项同时交换内外项同时交换比的前项和后项a bc d d c a cb a d b b dc a b da c②合比性质：±±a b c d a b b c d d =⇒= ③等比性质：……≠……a b c d m n b d n a c m b d n ab===+++⇒++++++=()03． 黄金分割在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），如果ACBCAB AC =，即AC 2=AB ×BC ，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比．其中AB AC 215-=≈0.618AB ． 4． 平行线分线段成比例定理①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3．则，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EFDF===②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例．③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． 5． 相似三角形的判定①两角对应相等，两个三角形相似；②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；③三边对应成比例，两三角形相似． 6． 相似三角形的性质①相似三角形的对应角相等,对应边成比例；②相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；③相似三角形周长的比等于相似比；面积的比等于相似比的平方． 7． 六种相似基本模型：C ABDCABDE E D BACDE ∥BC∠B =∠AED∠B =∠ACDABCDO B ACO DC BAX 型 母子型AC ∥BD∠B =∠C AD 是Rt △ABC 斜边上的高8． 射影定理由_____________，得______________，即_______________； 由_____________，得______________，即_______________； 由_____________，得______________，即_______________．9． 中位线1) 三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段． 三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半．三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的线段的长是对应中线长的31．2) 梯形的中位线：连结梯形两腰中点的线段．梯形的中位线平行于两底边，并且等于两底边和的一半． 10. 位似①如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比．②位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．ADBC。