工程数学ch04

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工程数学

__ 1 3i 例2 : 设z = − − 求Re ( z )、I m ( z )、z z i 1− i
1 3i (−i ) 3i (1 + i ) 解: z = − − =− − i 1− i i (−i ) (1 − i )(1 + i )
3i − 3 =i− 2 3 1 = − i 2 2
— 3 1 3 2 1 2 5 Re ( z ) = 、I m ( z ) = − 、z z = ( ) + (− ) = 2 2 2 2 2
z1 = z2 ⇔ Re( z1 ) = Re( z2 ) Im( z1 ) = Im( z2 )
z = 0 ⇔ Re( z ) = Im( z ) = 0
一般来说，任意两个复数不能比较大小。
2．复数的代数运算
设z1 = x1 + iy1 , z2 = x2 + iy2为两个复数
定义：加、减法：
_____
z1 z1 求z1 ± z2、z1 z2、及）（ z2 z2
解 : z1 + z2 = (5 − 3) + (−5 + 4)i = 2 − i
z1 − z2 = [5 − (−3)] + (−5 − 4)i = 8 − 9
z1 z2 = (5 − 5i )(−3 + 4i ) = −15 + 20i + 15i − 20i 2 = 5 + 35i
π
π
4 4 π π 9π 9π 8 8 ω0 = 2 (cos + i sin ) ω1 = 2 (cos + i sin ) 16 16 16 16 17π 17π 25π 25π 8 8 ) ω3 = 2 (cos + i sin + i sin ) ω2 = 2 (cos 16 16 16 16

工程数学1

工程数学1
摘要：
1.工程数学的定义和重要性
2.工程数学的基本概念
3.工程数学的应用领域
4.工程数学的发展趋势
正文：
工程数学1
工程数学是一门应用数学的学科，主要应用于各种工程领域，如机械工程、电气工程、土木工程等。

它在工程设计和解决问题中扮演着至关重要的角色，因此掌握工程数学的基本概念和应用方法是必要的。

工程数学的基本概念包括数学模型、微积分、线性代数、概率论和统计学等。

数学模型是用数学方法描述现实世界中的问题，包括建立方程、求解方程和分析结果等。

微积分是工程数学的核心概念，用于计算变化率、最大值和最小值等。

线性代数是用于解决线性方程组和矩阵运算的问题。

概率论和统计学用于分析数据的分布和规律。

工程数学的应用领域非常广泛，如机械工程中的力学和运动学、电气工程中的电路分析和信号处理、土木工程中的结构分析和流体力学等。

在实际应用中，工程师需要使用工程数学来解决复杂的问题，如计算结构的强度和刚度、分析电路的稳定性和响应、预测系统的可靠性和性能等。

随着科技的不断发展，工程数学也在不断地更新和拓展。

当前的发展趋势
包括计算机辅助设计、人工智能、数据科学和大数据分析等。

这些新技术为工程数学的应用提供了更广阔的领域和更多的可能性。

工程数学是一门重要的学科，它在工程领域中扮演着至关重要的角色。

掌握工程数学的基本概念和应用方法可以帮助工程师解决复杂的问题，提高工程设计的效率和质量。

大二上学期末工程数学进阶知识点速查

大二上学期末工程数学进阶知识点速查在大二上学期末复习工程数学时，有很多进阶知识点需要我们重点掌握。

这些知识点对于我们的学习和应用都非常重要，因此在复习时需要有针对性地进行整理和归纳。

下面就是一些大二上学期末工程数学进阶知识点的速查，希望能够帮助大家更好地复习和掌握这些知识点。

1. 矩阵和行列式矩阵和行列式是工程数学中非常重要的一部分。

在大二上学期末复习时，需要重点掌握矩阵的定义、性质、运算法则以及矩阵的逆和转置等内容。

同时，对于行列式的求解方法和性质也需要进行深入理解和掌握。

2. 线性代数线性代数是工程数学中的基础知识，也是大二上学期末复习的重点内容之一。

在复习时，需要对向量、矩阵、线性方程组、特征值和特征向量等知识点进行系统地梳理和总结。

3. 概率论与数理统计概率论与数理统计是工程数学中的一门重要课程，也是大二上学期末复习的难点之一。

在复习时，需要对概率的基本概念、常见概率分布、随机变量的性质，以及统计推断的基本方法和原理等内容进行深入地学习和掌握。

4. 微分方程微分方程是工程数学中的核心内容之一，也是大二上学期末复习的难点和重点。

在复习时，需要对常微分方程和偏微分方程的基本理论、解法和应用进行系统地梳理和总结。

5. 多元函数多元函数是工程数学中的重要内容之一，也是大二上学期末复习的重点知识。

在复习时，需要对多元函数的概念、偏导数、全微分、方向导数、梯度、散度和旋度等知识点进行深入地学习和掌握。

以上就是一些大二上学期末工程数学进阶知识点的速查，希望能够帮助大家更好地复习和掌握这些知识点，取得更好的学习成绩。

希望大家在复习过程中有所收获，顺利通过工程数学的考试。

【第4次】2022年国家开放大学工程数学第4次作业及答案

工程数学（本）形成性考核作业4综合练习书面作业（线性代数部分）一、解答题（每小题10分，共80分）1. 设矩阵1213A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，123110B -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，已知XA B =，求X ．解：[]121012101032 130101110111A I -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 13211A --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦11232311110X BA --⎡⎤-⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦548532-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦2. 设矩阵012213114,356211A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥-⎣⎦，解矩阵方程AX B '= 解：[]012100114010114010,114 010012100012100211001211001037021A I ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦⎣⎦114010012100001321⎡⎤⎢⎥→⎢⎥⎢⎥--⎣⎦1101274010742001321-⎡⎤⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦100532010742001321-⎡⎤⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦ 1532742321A --⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦1532237421532136X A B ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥'==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦131********-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦3. 解矩阵方程AX X B -=，其中4559A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1234B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．解：AX IX B -=()A I X B -=[]3510,5801A I I ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦35101221⎡⎤→⎢⎥---⎣⎦12213510---⎡⎤→⎢⎥⎣⎦12210153---⎡⎤→⎢⎥--⎣⎦12210153-⎡⎤→⎢⎥-⎣⎦10850153-⎡⎤→⎢⎥-⎣⎦()18553A I --⎡⎤-=⎢⎥-⎣⎦()1X A I B -=-8553-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦1234⎡⎤⎢⎥⎣⎦7442⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦4. 求齐次线性方程组12341234134 30240 450x x x x x x x x x x x -+-=⎧⎪--+=⎨⎪-+=⎩的通解.解：113111312114017610450176A ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦104501760000-⎡⎤⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥⎣⎦134234450760x x x x x x -+=⎧⎨-+=⎩方程组的一般解为1342344576x x x x x x =-⎧⎨=-⎩（其中34,x x 是自由未知量）令341,0x x ==，得14710X ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦令330,1x x ==，得25601X -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦方程组的通解为1122k X k X +（其中12,k k 为任意常数） 5．求齐次线性方程组x x x x x x x x x x x x x x x 1234123412341243205230112503540-+-=-+-+=--+-=++=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪的通解．解：13125123111253504A --⎡⎤⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥---⎢⎥⎣⎦13120143701437014310--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥→⎢⎥--⎢⎥-⎣⎦13120143700000003--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎣⎦1312310114200010000--⎡⎤⎢⎥⎢⎥-→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦131030101400010000-⎡⎤⎢⎥⎢⎥-→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦5101430101400010000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦13234501430140x x x x x ⎧+=⎪⎪⎪-=⎨⎪=⎪⎪⎩，一般解为132345143140x x x x x ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩（其中3x 为自由未知量）令314x =，得1245,3,0x x x =-==基础解系为153140X -⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦通解为1X kX =（k 为任意常数） 6. 当λ取何值时，齐次线性方程组123123123204503720x x x x x x x x x λ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解？在有非零解的情况下求方程组的通解. 解：将齐次线性方程组的系数矩阵化为阶梯形12112145034372011A λλ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦103011034λ⎡⎤⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦ 103011007λ⎡⎤⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦故当7λ=时，方程组有非零解方程组的一般解为13233x x x x =-⎧⎨=⎩（其中3x 是自由未知量）令31x =，得方程组的一个基础解系1312X -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦方程组的通解为1kX （其中k 为任意常数） 7. 当λ取何值时，非齐次线性方程组123123123124225x x x x x x x x x λ++=⎧⎪-+-=⎨⎪+-=⎩ 有解？在有解的情况下求方程组的通解.解：11111242251A λ⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦111103330332λ⎡⎤⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦111103330005λ⎡⎤⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦当5λ=时，方程组有解111103330000A ⎡⎤⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥⎣⎦111101110000⎡⎤⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥⎣⎦102001110000⎡⎤⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥⎣⎦一般解为132321x x x x =-⎧⎨=+⎩（其中3x 是自由未知量）令30x =，得到方程组的一个特解为0010X ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦不计最后一列，令31x =，得到相应的齐次线性方程组的一个基础解系1211X -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦于是，方程组的通解为01X X kX =+（其中k 为任意常数）8. 求线性方程组12312312312324523438213496x x x x x x x x x x x x -+=-⎧⎪++=⎪⎨+-=⎪⎪-+=-⎩的通解.解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形矩阵12452314382134196A --⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥--⎣⎦124507714014142807714--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥→⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦1245011200000000--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎣⎦1021011200000000-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 方程组的一般解为1323212x x x x =--⎧⎨=+⎩（其中3x 是自由未知量）令30x =，得到方程组的一个特解为0120X -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦不计最后一列，令31x =，得到相应的齐次线性方程组的一个基础解系1211X -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦于是，方程组的通解为01X X kX =+（其中k 为任意常数）二、证明题（每题10分，共20分） 1. 对任意方阵A ，试证A A +'是对称矩阵．证明：()()A A A A A A ''''''+=+=+ 故A A '+是对称矩阵2. 设n 阶方阵A 满足2A A I O +-=，试证矩阵A 可逆. 证明：2A A I += A A A I I ⋅+⋅= ()A A I I += 所以矩阵A 可逆。

计算机在材料科学及工程中的应用ch04 非线性方程的解法

x
——高阶代数方程 ——超越方程
不易用解析的方法求解，通常可用图解法获得近似解，在精确的场合则需要用数值方法

一般情况下，上述方程可写成f(x)=0的形式
求根步骤
1.确定根的初始近似值。（粗略判断有根范围） 2.根的精确化（几种方法：二分法、迭代法、牛顿迭代法、弦截法等等）第一步骤——粗略判断有根范围
b, 优点：与普通迭代法相比，收敛速度较快。
c, 缺点：需要预先计算 f ( x)的导数f ' ( x)。如果f ( x)形式较复杂，则不易写出迭代式。
— —下面介绍的弦截法避免了这个缺点。

弦截法
开始
§基本思想
用差商
2 1
x2,x1,x0,eps
f ( xk ) f ( xk 1 ) x =x -f(x )(x -x )/(f(x )-f(x )) 代替牛顿迭代公式中的 f '(x )， xk xk 1
本章小结

1/4、引言

2/4、二分法 3/4、迭代法
二分法思路简单，编程稍难，计算速度慢；迭代法种类多，编程简单，速度较快，但存在收敛性问题。本思想
a, 平分含根的区间，判断根的位置在哪个区间 b,舍去无根的区间，再进行a的判断
c, 重复 a，b 过程，直到达到事先要求的精度为止

计算过程
a, 平分区间 [a, b]，计算 f (a ), f (
b, 如f ( a ) f (
ab ), f (b) 2
ab ab ) 0，则新区间 [ , b]， 2 2 ab 否则新区间 [ a, ]，记为 [ a1 , b1 ] 2
第四章非线性方程的解法
主要内容

工程数学线性代数第五版

行列式的性质
总结词
行列式具有交换律、结合律、代数余子式等性质。
详细描述
行列式具有一系列重要的性质，这些性质使得行列式在数学和工程领域中具有广泛的应用。其中，交换律、结合律和代数余子式等性质是行列式的基本属性，它们在计算行列式值和简化计算中起着关键作用。
行列式的计算方法
总结词
行列式的计算方法包括展开法、递推法、化简法等。
特征值和特征向量的计算方法
计算特征值的方法
通过求解线性方程组得到特征多项式，然后解特征多项式得到特征值。
计算特征向量的方法
将特征值代入线性方程组中求解，得到对应的特征向量。
特征值和特征向量的应用
在振动分析中的应用
通过求解系统的特征值和特征向量，可以分析系统的振动行为。
在控制理论中的应用
通过分析系统的特征值和特征向量，可以判断系统的稳定性以及响应特性。
解的稳定性
在数值计算中，解的稳定性是一个重要的问题，不稳定的解可能导致计算误差的累积，影响计算结果的精度。
解的敏感性
解对系数矩阵中元素变化的敏感程度，也称为条件数，用于衡量解的稳定性。
线性方程组的数值解法
迭代法的收敛性
迭代法是否收敛以及收敛速度的快慢是数值解法中需要考虑的问题，需要选择合适的迭代方法和参数。
线性变换的矩阵表示
矩阵表示的定义
对于一个线性变换，如果存在一个矩阵，使得该线性变换可以用这个矩阵乘以向量来表示，那么这个矩阵就称为该线性变换的矩阵表示。
矩阵表示的性质
线性变换的矩阵表示具有一些重要的性质，如矩阵的加法性质、数乘性质、乘法性质等。这些性质使得线性变换可以用矩阵来进行计算和表示。
向量空间的基和维数

四川大学版工程数学课后习题答案

1
证明：
1 2 ei x 1 x 2 d dx

2 d 1 x ei x dx

2 d 1 ei d
工程数学习题答案付里叶变换的推导
f ( x)定义在 , 上, 在 l, l 上可展开成付里叶级数。
即f x a0 n n a cos x b sin n n 2 n 1 l l x

1
1 l n 其中a f ( ) cos d ; n l l l 1 l n b f ( )sin d ; 3 n l l l 1 l a0 f ( )d ; l l b0 0;
1 2 1 4
u x, t

cos atei x d
i x at e i x at e d

由逆变换公式得，
1 x at x at 。 2 例题 2.求解热传导方程的哥西问题。
①'和②' 是带参数的常微分方程的哥西问题，它的解是 u , t e a t 。
2 2
u x, t 1 u , t
于是定解问题 ①和② 的解应为：
1 e a t 2 2 1 x 1 e a t
f x f x ig x 1 2 1 2 1 2

d

f ( )ei x d

e i x d

高等工程数学-04

高等工程数学Advanced Engineering Mathematics矩阵理论在自然科学、工程技术、控制理论和社会经济学等领域的应用日趋深广，应用矩阵的理论和方法来解决工程技术和社会经济领域中的实际问题也越来越普遍。

线性空间与线性变换内积空间矩阵的标准形矩阵函数及其应用•线性空间•欧氏空间•矩阵的相似对角形•向量范数•矩阵范数第四章：矩阵函数及其应用1向量范数2矩阵范数3向量和矩阵的极限4矩阵幂级数5矩阵函数6矩阵的微分与积分7常用矩阵函数的性质3向量和矩阵的极限4矩阵幂级数5矩阵函数6矩阵的微分与积分7常用矩阵函数的性质定义4.1 向量范数例4.1例4.2证明：定理4.1思考题（10分）1向量范数2矩阵范数3向量和矩阵的极限4矩阵幂级数5矩阵函数6矩阵的微分与积分7常用矩阵函数的性质定义4.2 矩阵范数定义4.3 矩阵范数与向量范数的相容证明：思考题（10分）1向量范数2矩阵范数3向量和矩阵的极限4矩阵幂级数5矩阵函数6矩阵的微分与积分7常用矩阵函数的性质定义4.4 向量序列的极限定理4.2证明：命题得证定理4.3证明：证明：命题得证思考题证明：（10分）命题得证证明：定理4.4⏹证明：定理4.6证明：一定存在吗？向量范数1矩阵范数2向量和矩阵的极限3矩阵幂级数4矩阵函数5矩阵的微分与积分6常用矩阵函数的性质7矩阵幂级数定义4.6 矩阵级数命题得证命题得证注意：定义方阵幂级数⏹定义方阵谱半径⏹定理4.7⏹推论1 ⏹1向量范数2矩阵范数3向量和矩阵的极限4矩阵幂级数5矩阵函数6矩阵的微分与积分7常用矩阵函数的性质思考题（10分）定理4.9证明：命题得证定理4.10。

工程数学形考4

工程数学形考4概述工程数学是工程专业中重要的一门基础课程，通过数学方法来解决工程实际问题。

形考是对学生在一定时间内所学知识进行综合评价的考试形式之一。

本文将介绍工程数学形考4的内容和要求。

考试内容工程数学形考4主要涵盖以下内容：1.偏微分方程：包括一阶和二阶偏微分方程的求解方法，如分离变量法、特征线法等。

2.无穷级数：包括数项级数的概念与性质，收敛判别法等。

3.泰勒级数：包括泰勒级数的定义、常用函数的泰勒展开等。

4.矩阵与线性方程组：包括矩阵的基本概念、矩阵的运算、矩阵的秩等。

5.多元函数极值与条件极值：包括多元函数的极值判定条件、条件极值求解等。

考试要求工程数学形考4对学生有以下要求：1.理解和掌握偏微分方程的求解方法，能够运用分离变量法、特征线法等解决简单的偏微分方程问题。

2.理解和掌握无穷级数的概念与性质，能够应用收敛判别法判断级数的收敛性。

3.理解和掌握泰勒级数的定义及常用函数的泰勒展开，能够计算泰勒级数的收敛域。

4.理解和掌握矩阵的基本概念、矩阵的运算、矩阵的秩等，能够求解线性方程组。

5.理解和掌握多元函数极值与条件极值的判定条件，能够求解多元函数的极值问题。

学习建议为了顺利通过工程数学形考4，学生可以采取以下学习建议：1.阅读教材和课堂笔记，理解课程中的知识点并牢固掌握。

2.完成课后习题，加深对知识点的理解和应用能力。

3.多做一些练习题和模拟题，积累解题经验和技巧。

4.注重理论与实际应用的结合，能够将数学方法应用到实际工程问题中。

考试准备为了更好地准备工程数学形考4，建议学生采取以下步骤：1.复习前几次形考的知识点，确保基础知识掌握扎实。

2.针对本次形考的内容，进行系统的复习和总结。

3.制定学习计划，合理安排学习时间，保证每个知识点都能进行深入理解。

4.找一些相关的练习题进行答题，检查自己的理解程度和解题能力。

5.参加形考前的模拟考试，模拟真实考试环境，提高应试能力。

结语工程数学形考4涵盖了偏微分方程、无穷级数、泰勒级数、矩阵与线性方程组以及多元函数极值与条件极值等内容。

现代工程数学第4章

{x3, x2} {x3, x2, x0} {x3, x2, x1} {x3, x2, x1, x0}
在组合的压缩序中，一个组合的下一个组合与该组合可能区别很大，{x2, x1, x0}的下一个组合是{x3}。下面考虑这样生成组合，使得每个组合的后继由该组合增加一个元素或删除一个元素得到，而不同时增删。例令 S ={xn−1,…, x1, x0}，考虑 n = 1, 2, 3 的情况。 n=1 ∅ {x0} 0 1 ∅ {x0} {x1, x0} {x1} n=2 00 01 11 10
只要存在所指的相邻数， n 总是活动的。
生成 {1, 2, …, n} 的排列的算法
ss s 从 1 2 L n 开始。
当存在活动整数时，做 1. 求出最大活动整数 m。 2. 交换 m 与其所指向的相邻数。 3. 改变所有大于 m 的整数的方向。下面以 n = 4 为例执行该算法。
ssss 1234 rsss 4132 ssss 31 2 4 rrss 4321 srss 2 31 4 rssr 4 213
4.1 生成排列
集合 {1, 2, …, n} 的排列有 n! 个，当 n 增大时，n! 的值增加得很快。根据 Stirling 公式，
n! ~
本节讨论枚举{1, 2, …, n} 的所有排列的算法。该算法基于以下事实：的一个排列中删除，若将 n 从{1, 2, …, n} 的一个排列中删除，则得到 {1, 2, …, n − 1} 的一个排列。的一个排列。
例确定逆序列是 5, 3, 4, 0, 2, 1, 1, 0 的排列。解执行算法Ⅰ产生所求序列。 8： 7： 6： 5： 4： 3： 2： 1： 8 87（因为 b7 = 1） 867（因为 b6 = 1） 8657（因为 b5 = 2） 48657（因为 b4 = 0） 486537（因为 b3 = 4） 4862537（因为 b2 = 3） 48625137（因为 b1 = 5）

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7
Mingsian R. Bai
* Alternative form:
∞ 1 f (t ) = a0 + ∑ ( an cos ωnt + bn sin ωnt ) (synthesis equation) 2 n =1 2 T an = ∫ f (t ) cos ωnt dt , (analysis equations) 0 T 2 T bn = ∫ f (t ) sin ωnt dt T 0 2π nπ ωn = n = = nω1 , T = 2 P, n = 0,1, 2,K T P FS *Plot Time-domain: f (t ) ←⎯→ Frequency-domain: an , bn
10
Mingsian R. Bai
Thus, f (t ) =
1
π
+
sin t 2 ⎛ cos 2t cos 4t cos 6t cos8t ⎞ − ⎜ + + + + L⎟ 2 π⎝ 3 15 35 63 ⎠
* The "smoother' the function, the fewer terms the F.S. takes to converge. → Low-frequency components prevail. Thm 4 term-by-term integration The integral of any periodic function f (t ) which satisfies the Dirichlet condition can be found by term-by-term integration of the F.S. of the function. Thm 5 term-by-term differentiation If f (t ) is a periodic function which satisfies the Dirichlet condition, and is everywhere continuous, and if f ′(t ) also satisfies the Dirichlet condition, then f ′(t ) can be found by term-by-term differentiation of the F.S. of f (t ). Ex. Square wave is a counter-example.
*Parameters : sin t → sin ωt , ω (rad/sec) = 2π f (cycle/sec, CPS, Hz)
8
Mingsian R. Bai
Ex. Half-wave rectifier Find the Fourier series of a 2π -periodic function −π ≤ t ≤ 0 ⎧0 f (t ) = ⎨ 0≤t ≤π ⎩sin t
π∫
1
π
0
− cos 2t sin t cos t dt = 4π
π
=0
0
9
Mingsian R. Bai
bn =
1
π
∫π
−
π
f (t ) sin
nπ t
π
dt =
1
π
∫
π
0
sin t sin nt dt
π
1 ⎡ 1 ⎧ sin(1 − n)t sin(1 + n)t ⎫⎤ = ⎢ ⎨ − ⎬ = 0, π ⎣ 2 ⎩ 1− n 1 + n ⎭⎥ 0 ⎦
n ≠1
1 ⎛ ⎞ Q sin α sin β = ⎡cos (α − β ) − cos (α + β ) ⎤ ⎟ ⎜ ⎦⎠ 2⎣ ⎝
n = 1:பைடு நூலகம்b1 = 1
π
∫
π
0
1 ⎡ t sin 2t ⎤ 1 sin t dt = ⎢ − = π ⎣2 4 ⎥0 2 ⎦
2
π
(or By l'Hospital rule)
11
Mingsian R. Bai
Half-Range Expansions
∞ 1 nπ t nπ t f (t ) = a0 + ∑ an cos + bn sin 2 P P n =1
even
odd
f (t ) is an even function, i.e., f (−t ) = f (t ) L et d = − P 1 P nπ t 1 0 nπ t 1 P nπ t an = ∫ f (t ) cos dt = ∫ f (t ) cos dt + ∫ f (t ) cos dt 0 −P −P P P P P P P (t ← −t ) 1 0 nπ (−t ) 1 P nπ t = ∫ f (−t ) cos d (−t ) + ∫ f (t ) cos dt P 0 P P P P +1 P nπ t 1 P nπ t 2 P nπ t dt + ∫ f (t ) cos dt = ∫ f (t ) cos dt = ∫ f (t ) cos P 0 P P 0 P P 0 P
3
Mingsian R. Bai
Note :
d +2 P nπ t nπ t 1. ∫ cos sin dt = 0 , ∫ dt = 0 , n ≠ 0 d d P P 2. Orthogonality (正交性) cf. linear algebra d +2 P mπ t nπ t cos cos dt = Pδ mn , m, n ≠ 0 ∫d P P d +2 P mπ t nπ t sin sin dt = Pδ mn , m, n ≠ 0 ∫d P P d +2 P nπ t mπ t sin dt = 0 cos ∫d (cos,sin are orthogonal functions, P P d +2 P
f (t)
−π
0 2π
π
2π
3π
t
Sol: P = 2π / 2 = π Let d = −π an =
∫ π f (t ) cos π
−
1
π
nπ t
π
dt =
π∫
1
π
0
sin t cos nt dt
π
1 ⎡ 1 ⎧ cos(1 − n)t cos(1 + n)t ⎫⎤ 1 + cos nπ 1 + (−1) n , n ≠1 = ⎢− ⎨ + = ⎬⎥ = 2 2 1 + n ⎭⎦ 0 π (1 − n ) π (1 − n ) π ⎣ 2 ⎩ 1− n n = 1: a1 =
f (t )
a0 2
DC
5
Mingsian R. Bai
To find an ,
∫
d +2 P
d
∞ d +2 P d +2 P nπ t 1 nπ t mπ t nπ t ⎧ f (t ) cos dt = a0 ∫ cos dt + ∑ ⎨am ∫ dt + cos cos d d P 2 P P P m =1 ⎩
∫
d +2 P
d
∞ d +2 P d +2 P ⎧ mπ t nπ t nπ t 1 nπ t dt + ∑ ⎨am ∫ f (t ) sin dt = a0 ∫ sin cos sin d P P P 2 d P m =1 ⎩ d +2 P d +2 P mπ t nπ t ⎫ nπ t dt ⎬ = bn ∫ dt = bn P sin sin sin 2 d P P P ⎭
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Mingsian R. Bai
∞ nπ t 1 f (t ) is an even function, f (−t ) = f (t ) ⇒ f (t ) = a0 + ∑ an cos P 2 n =1 nπ t 2 P dt , an = ∫ f (t ) cos 0 P P nπ t 1 P bn = ∫ f (t )sin dt ≡ 0 (Fourier cosine series) −P P P even odd ∞ nπ t If f (t ) is an odd function, f (−t ) = − f (t ) ⇒ f (t ) = ∑ bn sin P n =1 1 P nπ t an = ∫ f (t ) cos dt ≡ 0, −P P P odd even nπ t 2 P bn = ∫ f (t ) sin dt (Fourier sine series) 0 P P
Fourier Series and Fourier Transforms
機械工程學系白明憲教授
a0 y′′ + a1 y′ + a2 y = k cos ωt → particular solution of the form Y = A cos ωt + B sin ωt How about an arbitrary periodic input? → Fourier series * f (t ) is periodic ↔ f (t + 2 Pn) = f (t ) , n: integer, 2 P is called the period of f (t )
If f (t ) is a bounded periodic function which, in any one period, has at most a finite number of local maxima and minima and a finite number of points of discontinuity, then