2016年春人教版九年级数学下册学练优教学参考教案27.2.1.4两角分别相等的两个三角形相似.doc

如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。

——高斯初中数学《探索相似三角形的条件》教案设计一、教案背景1、面向学生：初中学生2、教材版本：人教版九年上册3、学科：数学4、课时：2课时5、学生课前准备：预习课本，根据导学案初步掌握知识。

二、教学课题一、教学目标的确定（一）教学知识点1、经历三角形相似的条件“两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似”的探索过程。

2、掌握“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定方法。

3、能运用上述判定方法判定两个三角形相似。

（二）能力训练要求1.通过自己动手教师引导学生共同分享网络图片，以促进学生在交流中加深认识并总结推出相似三角形的判定方法，培养学生的动手操作能力，总结概括能力.2.利用相似三角形的判定方法进行判断，训练学生的灵活运用能力.（三）情感与价值观要求1.通过探索相似三角形的判定方法,体验数学活动充满着探索性和创造性.2.通过对判定方法的探索，发展学生思维的灵活性，进一步培养逻辑推理能力，体会分类与类比的思想.二、教材的重难点教学重点相似三角形判定方法的推导过程，掌握判定方法并能灵活运用.教学难点判定方法的推导及运用三、教材分析相似图形是现实生活中广泛存在的现象（全等图形是它的一个特例）。

本章是在学生已经研究过图形的全等，也研究了一些图形的变换，如平移、轴对称、旋转等的基础上，进一步研究一种变换──相似。

通过引导学生系统地研究线段的比、成比例线段、形状相同的图形，相似三角形，相似多边形，位似图形等，帮助学生体会图形相似在刻画现实世界中的重要作用，提高学生应用数学的意识和合作交流的能力。

四、教学方法就学生状况来说，本班学生存在个体差异，喜欢老师用点拨式的教学方式，喜欢思考和讨论；所以对于本节课中的难点理解突破应该不是大问题。

但是由理论总结归纳规律的能力不强，所以要注意引导。

用所学知识解决实际问题对学生来说也有一定的难度，要调动学生相互交流。

小结学习目标1.复习本章的重点内容,整理本章知识,形成知识体系;2.熟练掌握直角三角形的解法,并用相关知识解决一些简单的实际问题,进一步加深对锐角三角函数的认识.学习过程第一层学习:知识回顾一、锐角三角函数定义1.当锐角大小确定后,它所在的直角三角形每两边所构成的比都是确定的值.2.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,如图所示.我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,记作sin A,即sin A=;我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,记作cos A,即cos A=;我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tan A,即tan A=.3.锐角A的都叫做∠A的锐角三角函数.三角函数的实质是一些比,这些比只与角的大小有关,当角的大小确定时,它的三角函数值就确定了,也就是说三角函数值随的变化而变化.二、特殊角的三角函数值三、解直角三角形1.一般地,直角三角形中,除直角外,共有五个元素,即三条边和两个锐角,由直角三角形中的,求出的过程,叫做解直角三角形.2.直角三角形中的边角关系:(1)三边之间关系:;(2)两锐角之间关系:;(3)边角之间关系:.3.解直角三角形的类型及步骤:图形已知类型已知条件解法步骤四、解直角三角形的应用举例解决步骤:1.将实际问题抽象成数学问题(画出,将其转化为解直角三角形的问题);2.根据问题中的条件,适当选用解直角三角形;3.得到问题的答案;4.得到实际问题的.第二层学习:典例剖析1.锐角三角函数的概念【例1】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,D为AC上的一点,CD=3,AD=BD=5.求∠A的三个三角函数值.【思路点拨】在Rt△BCD中由勾股定理求得BC=4,在Rt△ABC中求得AB=45,再根据三角函数的定义求解可得.解:2.锐角三角函数的性质【例2】当A为锐角,且<cos∠A<3时,∠A的范围是()A.0°<∠A<30°B.30°<∠A<60°C.60°<∠A<90°D.30°<∠A<45°【思路点拨】根据锐角的余弦值随着角度的增大而减小进行解答.解析:【例3】在△ABC中,∠C=90°,sin A=4,则tan B=.【思路点拨】先根据互余两角三角函数关系得到cos B,再根据同角三角函数之间的关系得到sin B,最后根据tan B=sins求出结果.解析:3.特殊角的三角函数值【例4】计算:-- t n 45°+4sin 60°-.【思路点拨】根据特殊角的三角函数值和负整数指数的意义求出每项的值,再进行加减运算得到结果.解:4.解直角三角形【例5】如图,在△ABC中,AD是边BC上的高,AC=BD,已知sin C=3,B C=12,求AD的长.【思路点拨】根据直角三角形中的边角关系,确定线段AD、AC之间的数量关系;根据勾股定理列出关于线段AC、AD、DC的方程,即可解决问题.解:5.解直角三角形的实际应用【例6】如图,点A、B为地球仪的南、北极点,直线AB与放置地球仪的平面交于点D,所成的角度约为67°,半径OC所在的直线与放置平面垂直,垂足为点E.DE=15 cm,AD=14 cm.求半径OA的长.(精确到0.1 cm)(参考数据:sin 67°≈0.9 , s 67°≈0.39,tan67°≈2.36)【思路点拨】在Rt△ODE中,DE=15,∠ODE=67°,根据∠ODE的余弦值,即可求得OD长,减去AD即为OA.解:【例7】如图,长沙九龙仓国际金融中心主楼BC高达452 m,是目前湖南省第一高楼,和它处于同一水平面上的第二高楼DE高340 m,为了测量高楼BC上发射塔AB的高度,在楼DE底端D点测得A的仰角为α,sin α= 45,在顶端E点测得A的仰角为45°,求发射塔AB的高度.【思路点拨】作EH⊥AC于H,设AC=24x,根据正弦的定义求出AD,根据勾股定理求出CD,根据题意列出方程求出x,结合图形计算即可.解:评价作业(满分100分)1.(6分)如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3,则cos A的值是()A.34B.43C.35D.452.(6分)如图所示,已知Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,tan A=,则BC的长是()A.2B.8C.25D.453.(6分)如图所示,网格中,小正方形的边长均为1,△ABC的顶点是正方形网格的格点,则sin A的值为()A.B.55C. 0D.554.(6分)如图所示的是以△ABC的边AB为直径的半圆O,点C恰好在半圆上,过C作CD ⊥AB交AB于D.已知cos∠ACD=3,BC=4,则AC的长为()5A.1B. 03C.3D. 635.(6分)如图所示,在塔AB前的平地上选择一点C,测出看塔顶的仰角为30°,从C点向塔底B走100米到达D点,测出看塔顶的仰角为45°,则塔AB的高为()A.503米B.1003米米C.3米D.3-6.(8分)如图所示,Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,BC=6,则AB的长为.7.(8分)在△ABC中,如果∠A,∠B满足|tan A-1|+ s-=0,那么∠C=.8.(8分)如图所示,点A(t,3)在第一象限,OA与x轴所夹的锐角为α,tan α=3,则t的值是.A.1B.1.5C.2D.39.(8分)如图所示,一渔船由西往东航行,在A点测得海岛C位于北偏东60°的方向,前进20海里到达B点,此时,测得海岛C位于北偏东30°的方向,则海岛C到航线AB的距离CD 等于海里.10.(10分)计算.(1)-(2 015-π)0-4 s 45°+(-3)2;(2)(-1)2 015+sin 30°+(2-3)(2+3).11.(8分)如图所示,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,点D在BC边上,且△ABD是等边三角形.若AB=2,求△ABC的周长.(结果保留根号)12.(8分)如图所示,某河堤的横断面是梯形ABCD,BC∥AD,迎水坡AB长13米,且tan∠BAE=,求河堤的高BE是多少.513.(12分)如图所示,☉O的直径AB垂直于弦CD,过点C的切线与直径AB的延长线相交于点P,连接PD.(1)求证:PD是☉O的切线.(2)求证:PD2=PB·PA.(3)若PD=4,tan∠CDB=,求直径AB的长.参考答案学习过程第一层学习:知识回顾一、1.唯一2.3.正弦、余弦、正切角度二、特殊角的三角函数值三、解直角三角形1.已知元素其余元素2.(1)a2+b2=c2(勾股定理)(2)∠A+∠B=90°;(3)sin A=,cos A=,tan A=.3.解直角三角形的类型及步骤:∠A 90°-∠A ∠A ∠A c·cos At n sin四、解直角三角形的应用举例1.示意图2.锐角三角函数3.数学4.答案第二层学习:典例剖析1.锐角三角函数的概念【例1】解:在Rt△BCD中,∵CD=3、BD=5, ∴BC=-5-3=4,又AC=AD+CD=8,∴AB=4=45,则sin A=55,cos A=55,tan A=4.2.锐角三角函数的性质【例2】解析:∵ s 60°=, s 30°=3, ∴30°<∠A<60°.故选:B.【例3】解析:∵sin A=4,∴cos B=sin A=4,∴sin B=- s-4 54,∴tan B=sins5.故答案为: 5.3.特殊角的三角函数值【例4】解:原式=2-2×1+4×3-23=2-2+23-23=0.4.解直角三角形【例5】解:∵AD⊥BC,∴△ADC为直角三角形;故sin C=3,设AD=12k,则AC=13k;∵AC=BD,∴DC=BC-BD=12-13k;由勾股定理得:(13k)2=(12k)2+(12-13k)2,或3;整理得:6k2-13k+6=0,解得k=3∴AD=8,或AD=18(不合题意,舍去),故AD=8.5.解直角三角形的实际应用【例6】解:在Rt△ODE中,DE=15,∠ODE=67°,∵cos∠ODE=,∴OD≈ 5≈38.46(cm),0 39∴OA=OD-AD≈38.46-14≈24.5(cm).答:半径OA的长约为24.5 cm.【例7】解:作EH⊥AC于H,则四边形EDCH为矩形,∴EH=CD,设AC=24x,,在Rt△ADC中,sin α= 45∴AD=25x,由勾股定理得,CD=-=7x,∴EH=7x,在Rt△AEH中,∠AEH=45°,∴AH=EH=7x,由题意得,24x=7x+340,解得,x=20,则AC=24x=480,∴AB=AC-BC=480-452=28,答:发射塔AB的高度为28 m.评价作业1.D2.A3.B4.D5.D6.47.75°8.29.103 10.解:(1)原式=2-1-2+9=8.(2)原式=-1++1=.11.解:∵△ABD是等边三角形,∴∠B=60°,∵∠BAC=90°,∴∠C= 0°-90°-60°=30°,∵AB=2,∴BC=2AB=4,在Rt△ABC中,由勾股定理得AC=-4-=23,∴△ABC的周长是AC+BC+AB=23+4+2=6+23.,所以设BE=12x,则AE=5x.在Rt△ABE中,由勾股定理知12.解:因为tan∠BAE=5AB2=BE2+AE2,即132=(12x)2+(5x)2,所以169=169x2,解得x=1(负值舍去).所以BE=12x=12(米).即河堤的高BE是12米.13.(1)证明:如图所示,连接OD,OC,∵PC是☉O的切线,∴∠PCO=90°,∵AB⊥CD,AB是直径,∴,∴∠DOP=∠COP,又∵DO=CO,OP=OP,∴△DOP≌△COP(SAS),∴∠ODP=∠PCO=90°,∵D在☉O上,∴PD是☉O的切线.(2)证明:∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°,∵∠PDO=90°,∴∠ADO=∠PDB=90°-∠BDO,∵OA=OD,∴∠A=∠ADO,∴∠A=∠PDB,又∵∠DPB=∠APD,∴△PDB∽△PAD,∴,∴PD2=PA·PB.(3)解:∵DC⊥AB,∴∠ADB=∠DMB=90°,∴∠A+∠DBM=90°,∠BDC+∠DBM=90°,∴∠A=∠BDC,∵tan∠BDC=,∴tan A=,∵△PDB∽△PAD,∴,∵PD=4,∴PB=2,PA=8,∴AB=8-2=6.。