.第二十六章 二次函数[本章知识要点]1． 探索具体问题中的数量关系和变化规律．2． 结合具体情境体会二次函数作为一种数学模型的意义, 并了解二次函数的有关概念． 3． 会用描点法画出二次函数的图象, 能通过图象和关系式认识二次函数的性质． 4． 会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴． 5． 会利用二次函数的图象求一元二次方程（组）的近似解．6． 会通过对现实情境的分析, 确定二次函数的表达式, 并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题．26．1 二次函数[本课知识要点]通过具体问题引入二次函数的概念, 在解决问题的过程中体会二次函数的意义． [MM 及创新思维]（1）正方形边长为a （cm ）, 它的面积s （cm 2）是多少？（2）矩形的长是4厘米, 宽是3厘米, 如果将其长与宽都增加x 厘米, 则面积增加y 平方厘米, 试写出y 与x 的关系式．请观察上面列出的两个式子, 它们是不是函数？为什么？如果是函数, 请你结合学习一次函数概念的经验, 给它下个定义． [实践与探索]例1． m 取哪些值时, 函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的二次函数？ 分析 若函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是二次函数, 须满足的条件是:02≠-m m ．解 若函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是二次函数, 则 02≠-m m ． 解得 0≠m , 且1≠m ．因此, 当0≠m , 且1≠m 时, 函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是二次函数． 回顾与反思 形如c bx ax y ++=2的函数只有在0≠a 的条件下才是二次函数． 探索 若函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的一次函数, 则m取哪些值？例2．写出下列各函数关系, 并判断它们是什么类型的函数．（1）写出正方体的表面积S （cm 2）与正方体棱长a （cm ）之间的函数关系； （2）写出圆的面积y （cm 2）与它的周长x （cm ）之间的函数关系；（3）某种储蓄的年利率是1.98%, 存入10000元本金, 若不计利息, 求本息和y （元）与所存年数x 之间的函数关系；（4）菱形的两条对角线的和为26cm, 求菱形的面积S （cm 2）与一对角线长x （cm ）之间的函数关系． 解 （1）由题意, 得 )0(62>=a a S , 其中S 是a 的二次函数；（2）由题意, 得 )0(42>=x x y π, 其中y 是x 的二次函数； （3）由题意, 得 10000%98.110000⋅+=x y （x ≥0且是正整数）,其中y 是x 的一次函数； （4）由题意, 得 )260(1321)26(212<<+-=-=x x x x x S , 其中S 是x 的二次函数．例3．正方形铁片边长为15cm, 在四个角上各剪去一个边长为x （cm ）的小正方形, 用余下的部分做成一个无盖的盒子．(1)求盒子的表面积S （cm 2）与小正方形边长x （cm ）之间的函数关系式； (2)当小正方形边长为3cm 时, 求盒子的表面积． 解 （1）)2150(4225415222<<-=-=x x x S ； （2）当x=3cm 时, 189342252=⨯-=S （cm 2）． [当堂课内练习]1．下列函数中, 哪些是二次函数？ （1）02=-x y （2）2)1()2)(2(---+=x x x y（3）xx y 12+= （4）322-+=x x y 2．当k 为何值时, 函数1)1(2+-=+kkx k y 为二次函数？3．已知正方形的面积为)(2cm y , 周长为x （cm ）． (1)请写出y 与x 的函数关系式； (2)判断y 是否为x 的二次函数． [本课课外作业]A 组1． 已知函数72)3(--=m xm y 是二次函数, 求m 的值．2． 已知二次函数2ax y =, 当x=3时, y= -5, 当x= -5时, 求y 的值．3． 已知一个圆柱的高为27, 底面半径为x, 求圆柱的体积y 与x 的函数关系式．若圆柱的底面半径x 为3, 求此时的y ．4． 用一根长为40 cm 的铁丝围成一个半径为r 的扇形, 求扇形的面积y 与它的半径x 之间的函数关系式．这个函数是二次函数吗？请写出半径r 的取值范围．B 组5．对于任意实数m, 下列函数一定是二次函数的是 （ ） A ．22)1(x m y -= B ．22)1(x m y += C ．22)1(x m y += D ．22)1(x m y -= 6．下列函数关系中, 可以看作二次函数c bx ax y ++=2（0≠a ）模型的是 （ ） A ． 在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系B ． 我国人口年自然增长率为1%, 这样我国人口总数随年份的变化关系C ． 竖直向上发射的信号弹, 从发射到落回地面, 信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）D ． 圆的周长与圆的半径之间的关系 [本课学习体会]§26.2 用函数观点看一元二次方程（第一课时）教学目标(一)知识与技能1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程, 体会方程与函数之间的联系． 2．理解二次函数与x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系, 理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根．3．理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h 是实数)交点的横坐标． (二)过程与方法1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程, 培养学生的探索能力和创新精神．2．通过观察二次函数图象与x 轴的交点个数, 讨论一元二次方程的根的情况, 进一步培养学生的数形结合思想．3．通过学生共同观察和讨论．培养大家的合作交流意识． (三)情感态度与价值观1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程, 体验数学活动充满着探索与创造．感受数学的严谨性以及数学结论的确定性,2．具有初步的创新精神和实践能力．教学重点1．体会方程与函数之间的联系．2．理解何时方程有两个不等的实根, 两个相等的实数和没有实根．3.理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h是实数)交点的横坐标．教学难点1．探索方程与函数之间的联系的过程．2．理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系．教学过程Ⅰ.创设问题情境, 引入新课1.我们学习了一元一次方程kx+b=0(k≠0)和一次函数y＝kx+b(k≠0)后, 讨论了它们之间的关系．当一次函数中的函数值y=0时, 一次函数y=kx+b就转化成了一元一次方程kx+b=0, 且一次函数)y=kx+b(k≠0)的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx+b＝0的解．现在我们学习了一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)和二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0), 它们之间是否也存在一定的关系呢?2.选教材提出的问题, 直接引入新课Ⅱ．合作交流解读探究1.二次函数与一元二次方程之间的关系探究:教材问题师生同步完成.观察:教材22页, 学生小组交流.归纳:先由学生完成, 然后师生评价, 最后教师归纳.Ⅲ.应用迁移巩固提高1 .根据二次函数图像看一元二次方程的根同期声2 .抛物线与x轴的交点情况求待定系数的范围.3 .根据一元二次方程根的情况来判断抛物线与x轴的交点情况Ⅳ．总结反思拓展升华本节课学了如下内容:1．经历了探索二次函数与一元:二次方程的关系的过程, 体会了方程与函数之间的联系．2．理解了二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系, 理解了何时方程有两个不等的实根,两个相等的实根和没有实根.3.数学方法:分类讨论和数形结合.反思:在判断抛物线与x轴的交点情况时, 和抛物线中的二次项系数的正负有无关系？拓展:教案Ⅴ．课后作业P231.3.526．2 二次函数的图象与性质（1）[本课知识要点]会用描点法画出二次函数2ax y =的图象, 概括出图象的特点及函数的性质． [MM 及创新思维]我们已经知道, 一次函数12+=x y , 反比例函数xy 3=的图象分别是 、 , 那么二次函数2x y =的图象是什么呢？（1）描点法画函数2x y =的图象前, 想一想, 列表时如何合理选值？以什么数为中心？当x 取互为相反数的值时, y 的值如何？（2）观察函数2x y =的图象, 你能得出什么结论？[实践与探索]例1．在同一直角坐标系中, 画出下列函数的图象, 并指出它们有何共同点？有何不同点？（1）22x y = （2）22x y -=解 列表x… -3 -2 -1 0 1 2 3 … 22x y =…18 8 2 0 2 8 18 … 22x y -= …-18-8-2-2-8-18…分别描点、连线, 画出这两个函数的图象, 这两个函数的图象都是抛物线, 如图26．2．1．共同点:都以y 轴为对称轴, 顶点都在坐标原点．不同点:22x y =的图象开口向上, 顶点是抛物线的最低点, 在对称轴的左边, 曲线自左向右下降；在对称轴的右边, 曲线自左向右上升．22x y -=的图象开口向下, 顶点是抛物线的最高点, 在对称轴的左边, 曲线自左向右上升；在对称轴的右边, 曲线自左向右下降．回顾与反思 在列表、描点时, 要注意合理灵活地取值以及图形的对称性, 因为图象是抛物线, 因此, 要用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接．例2．已知42)2(-++=k kx k y 是二次函数, 且当0>x 时, y 随x 的增大而增大．（1）求k 的值；（2）求顶点坐标和对称轴．解 （1）由题意, 得⎩⎨⎧>+=-+02242k k k , 解得k=2．（2）二次函数为24x y =, 则顶点坐标为（0, 0）, 对称轴为y 轴．例3．已知正方形周长为Ccm, 面积为S cm 2． （1）求S 和C 之间的函数关系式, 并画出图象； （2）根据图象, 求出S=1 cm 2时, 正方形的周长； （3）根据图象, 求出C 取何值时, S ≥4 cm 2．分析 此题是二次函数实际应用问题, 解这类问题时要注意自变量的取值范围；画图象时, 自变量C 的取值应在取值范围内． 解 （1）由题意, 得)0(1612>=C C S ． 列表:C24 68 (2)161C S =41 149 4…描点、连线, 图象如图26．2．2．（2）根据图象得S=1 cm 2时, 正方形的周长是4cm ． （3）根据图象得, 当C ≥8cm 时, S ≥4 cm 2． 回顾与反思（1）此图象原点处为空心点．（2）横轴、纵轴字母应为题中的字母C 、S, 不要习惯地写成x 、y ． （3）在自变量取值范围内, 图象为抛物线的一部分． [当堂课内练习]1．在同一直角坐标系中, 画出下列函数的图象, 并分别写出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．（1）23x y = （2）23x y -= （3）231x y = 2．（1）函数232x y =的开口 , 对称轴是 , 顶点坐标是 ； （2）函数241x y -=的开口 , 对称轴是 , 顶点坐标是 ．3．已知等边三角形的边长为2x, 请将此三角形的面积S 表示成x 的函数, 并画出图象的草图．[本课课外作业]A 组1．在同一直角坐标系中, 画出下列函数的图象． （1）24x y -= （2）241x y = 2．填空:（1）抛物线25x y -=, 当x= 时, y 有最 值, 是 ． （2）当m= 时, 抛物线mm x m y --=2)1(开口向下．（3）已知函数1222)(--+=k k x k k y 是二次函数, 它的图象开口 , 当x 时, y 随x 的增大而增大． 3．已知抛物线102-+=k kkx y 中, 当0>x 时, y 随x 的增大而增大．（1）求k 的值； （2）作出函数的图象（草图）． 4．已知抛物线2ax y =经过点（1, 3）, 求当y=9时, x 的值．B 组5．底面是边长为x 的正方形, 高为0．5cm 的长方体的体积为ycm 3．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）画出函数的图象；（3）根据图象, 求出y=8 cm 3时底面边长x 的值；（4）根据图象, 求出x 取何值时, y ≥4．5 cm 3．6．二次函数2ax y =与直线32-=x y 交于点P （1, b ）．（1）求a 、b 的值；（2）写出二次函数的关系式, 并指出x 取何值时, 该函数的y 随x 的增大而减小． 7． 一个函数的图象是以原点为顶点, y 轴为对称轴的抛物线, 且过M （-2, 2）． （1）求出这个函数的关系式并画出函数图象；（2）写出抛物线上与点M 关于y 轴对称的点N 的坐标, 并求出⊿MON 的面积． [本课学习体会]26．2 二次函数的图象与性质（2）[本课知识要点]会画出k ax y +=2这类函数的图象, 通过比较, 了解这类函数的性质． [MM 及创新思维]同学们还记得一次函数x y 2=与12+=x y 的图象的关系吗？, 你能由此推测二次函数2x y =与12+=x y 的图象之间的关系吗？, 那么2x y =与22-=x y 的图象之间又有何关系？ ． [实践与探索]例1．在同一直角坐标系中, 画出函数22x y =与222+=x y 的图象． 解 列表．描点、连线, 画出这两个函数的图象, 如图26．2．3所示．回顾与反思 当自变量x 取同一数值时, 这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图象上, 相应的两个点之间的位置又有什么关系？探索 观察这两个函数, 它们的开口方向、对称轴和顶点坐标有那些是相同的？又有哪些不同？你能由此说出函数22x y =与222-=x y 的图象之间的关系吗？例2．在同一直角坐标系中, 画出函数12+-=x y 与12--=x y 的图象, 并说明, 通过怎样的平移, 可以由抛物线12+-=x y 得到抛物线12--=x y ． 解 列表．x… -3 -2 -1 0 1 2 3 … 22x y = … 18 8 2 0 2 8 18 … 222+=x y…20104241020…x…-3-2-1123…描点、连线, 画出这两个函数的图象, 如图26．2．4所示．可以看出, 抛物线12--=x y 是由抛物线12+-=x y 向下平移两个单位得到的． 回顾与反思 抛物线12+-=x y 和抛物线12--=x y 分别是由抛物线2x y -=向上、向下平移一个单位得到的．探索 如果要得到抛物线42+-=x y , 应将抛物线12--=x y 作怎样的平移？例3．一条抛物线的开口方向、对称轴与221x y =相同, 顶点纵坐标是-2, 且抛物线经过点（1, 1）, 求这条抛物线的函数关系式．解 由题意可得, 所求函数开口向上, 对称轴是y 轴, 顶点坐标为（0, -2）, 因此所求函数关系式可看作)0(22>-=a ax y , 又抛物线经过点（1, 1）, 所以, 2112-⋅=a , 解得3=a ． 故所求函数关系式为232-=x y ．回顾与反思 k ax y +=2（a 、k 是常数, a ≠0）的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标归纳如下:k ax y +=2开口方向对称轴顶点坐标0>a0<a12+-=x y … -8 -3 0 1 0 -3 -8 … 12--=x y…-10-5-2-1-2-5-10…[当堂课内练习]1． 在同一直角坐标系中, 画出下列二次函数的图象:221x y =, 2212+=x y , 2212-=x y ． 观察三条抛物线的相互关系, 并分别指出它们的开口方向及对称轴、顶点的位置．你能说出抛物线k x y +=221的开口方向及对称轴、顶点的位置吗？ 2．抛物线9412-=x y 的开口 , 对称轴是 , 顶点坐标是 , 它可以看作是由抛物线241x y =向 平移 个单位得到的．3．函数332+-=x y , 当x 时, 函数值y 随x 的增大而减小．当x 时, 函数取得最 值, 最 值y= ． [本课课外作业]A 组1．已知函数231x y =, 3312+=x y , 2312-=x y ． （1）分别画出它们的图象；（2）说出各个图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；（3）试说出函数5312+=x y 的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标． 2． 不画图象, 说出函数3412+-=x y 的开口方向、对称轴和顶点坐标, 并说明它是由函数241x y -=通过怎样的平移得到的．3．若二次函数22+=ax y 的图象经过点（-2, 10）, 求a 的值．这个函数有最大还是最小值？是多少？B 组4．在同一直角坐标系中b ax y +=2与)0,0(≠≠+=b a b ax y 的图象的大致位置是( )5．已知二次函数7)1(82-+--=k x k x y , 当k 为何值时, 此二次函数以y 轴为对称轴？写出其函数关系式． [本课学习体会]26．2 二次函数的图象与性质（3）[本课知识要点]会画出2)(h x a y -=这类函数的图象, 通过比较, 了解这类函数的性质． [MM 及创新思维]我们已经了解到, 函数k ax y +=2的图象, 可以由函数2ax y =的图象上下平移所得, 那么函数2)2(21-=x y 的图象, 是否也可以由函数221x y =平移而得呢？画图试一试, 你能从中发现什么规律吗？[实践与探索]例1．在同一直角坐标系中, 画出下列函数的图象．221x y =, 2)2(21+=x y , 2)2(21-=x y , 并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．描点、连线, 画出这三个函数的图象, 如图26．2．5所示． 它们的开口方向都向上；对称轴分别是y 轴、直线x= -2和直线x=2；顶点坐标分别是 （0, 0）, （-2, 0）, （2, 0）． 回顾与反思 对于抛物线2)2(21+=x y , 当x 时, 函数值y 随x 的增大而减小；当x 时, 函数值y 随x 的增大而增大；当x 时, 函数取得最 值, 最 值y= ．探索 抛物线2)2(21+=x y 和抛物线2)2(21-=x y 分别是由抛物线221x y =向左、向右平移两个单位得到的．如果要得到抛物线2)4(21-=x y , 应将抛物线221x y =作怎样的平移？例2．不画出图象, 你能说明抛物线23x y -=与2)2(3+-=x y 之间的关系吗?解 抛物线23x y -=的顶点坐标为（0, 0）；抛物线2)2(3+-=x y 的顶点坐标为（-2, 0）． 因此, 抛物线23x y -=与2)2(3+-=x y 形状相同, 开口方向都向下, 对称轴分别是y 轴和直线2-=x ．抛物线2)2(3+-=x y 是由23x y -=向左平移2个单位而得的．回顾与反思 2)(h x a y -=（a 、h 是常数, a ≠0）的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标[当堂课内练习]1．画图填空:抛物线2)1(-=x y 的开口 , 对称轴是 , 顶点坐标是 , 它可以看作是由抛物线2x y =向 平移 个单位得到的． 2．在同一直角坐标系中, 画出下列函数的图象．22x y -=, 2)3(2--=x y , 2)3(2+-=x y , 并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．[本课课外作业]A 组1．已知函数221x y -=, 2)1(21+-=x y , 2)1(21--=x y ． （1）在同一直角坐标系中画出它们的图象；（2）分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； （3）分别讨论各个函数的性质．2．根据上题的结果, 试说明:分别通过怎样的平移, 可以由抛物线221x y -=得到抛物线2)1(21+-=x y 和2)1(21--=x y ？3．函数2)1(3+-=x y , 当x 时, 函数值y 随x 的增大而减小．当x 时, 函数取得最 值, 最 值y= ．4．不画出图象, 请你说明抛物线25x y =与2)4(5-=x y 之间的关系．B 组5．将抛物线2ax y =向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为 -2, 且新抛物线经过点 （1, 3）, 求a 的值． [本课学习体会]26．2 二次函数的图象与性质（4）[本课知识要点]1．掌握把抛物线2ax y =平移至2)(h x a y -=+k 的规律；2．会画出2)(h x a y -=+k 这类函数的图象, 通过比较, 了解这类函数的性质． [MM 及创新思维]由前面的知识, 我们知道, 函数22x y =的图象, 向上平移2个单位, 可以得到函数222+=x y 的图象；函数22x y =的图象, 向右平移3个单位, 可以得到函数2)3(2-=x y 的图象, 那么函数22x y =的图象, 如何平移, 才能得到函数2)3(22+-=x y 的图象呢？[实践与探索]例1．在同一直角坐标系中, 画出下列函数的图象．221x y =, 2)1(21-=x y , 2)1(212--=x y , 并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．解 列表．描点、连线, 画出这三个函数的图象, 如图26．2．6所示．x… -3-2 -10 12 3…221x y = (2)9 221 021 229… 2)1(21-=x y … 8 29 2 21 0 21 2 … 2)1(212--=x y …625 023- -223- 0…它们的开口方向都向 , 对称轴分别为 、 、 , 顶点坐标分别为 、 、 ．请同学们完成填空, 并观察三个图象之间的关系．回顾与反思 二次函数的图象的上下平移, 只影响二次函数2)(h x a y -=+k 中k 的值；左右平移, 只影响h 的值, 抛物线的形状不变, 所以平移时, 可根据顶点坐标的改变, 确定平移前、后的函数关系式及平移的路径．此外, 图象的平移与平移的顺序无关． 探索 你能说出函数2)(h x a y -=+k （a 、h 、k 是常数, a ≠0）的图象的开口方向、对称例2．把抛物线c bx x y ++=2向上平移2个单位, 再向左平移4个单位, 得到抛物线2x y =, 求b 、c 的值．分析 抛物线2x y =的顶点为（0, 0）, 只要求出抛物线c bx x y ++=2的顶点, 根据顶点坐标的改变, 确定平移后的函数关系式, 从而求出b 、c 的值．解 c bx x y ++=2c b b bx x +-++=442224)2(22b c b x -++=． 向上平移2个单位, 得到24)2(22+-++=b c b x y , 再向左平移4个单位, 得到24)42(22+-+++=b c b x y , 其顶点坐标是)24,42(2+---b c b , 而抛物线2x y =的顶点为（0, 0）, 则 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=--0240422b c b解得 ⎩⎨⎧=-=148c b探索 把抛物线c bx x y ++=2向上平移2个单位, 再向左平移4个单位, 得到抛物线2x y =, 也就意味着把抛物线2x y =向下平移2个单位, 再向右平移4个单位, 得到抛物线c bx x y ++=2．那么, 本题还可以用更简洁的方法来解, 请你试一试． [当堂课内练习]1．将抛物线1)4(22--=x y 如何平移可得到抛物线22x y = （ ）A ．向左平移4个单位, 再向上平移1个单位B ．向左平移4个单位, 再向下平移1个单位C ．向右平移4个单位, 再向上平移1个单位D ．向右平移4个单位, 再向下平移1个单位 2．把抛物线223x y -=向左平移3个单位, 再向下平移4个单位, 所得的抛物线的函数关系式为 ． 3．抛物线22121x x y -+=可由抛物线221x y -=向 平移 个单位, 再向 平移 个单位而得到．[本课课外作业]A 组1．在同一直角坐标系中, 画出下列函数的图象．23x y -=, 2)2(3+-=x y , 1)2(32-+-=x y , 并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．2．将抛物线522++-=x x y 先向下平移1个单位, 再向左平移4个单位, 求平移后的抛物线的函数关系式． 3．将抛物线23212++-=x x y 如何平移, 可得到抛物线32212++-=x x y ？ B 组4．把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位, 再向下平移2个单位, 得到抛物线532+-=x x y , 则有 （ ）A ．b =3, c=7B ．b= -9, c= -15C ．b=3, c=3D ．b= -9, c=215．抛物线c bx x y ++-=23是由抛物线132+--=bx x y 向上平移3个单位, 再向左平移2个单位得到的, 求b 、c 的值．6．将抛物线)0(2≠=a ax y 向左平移h 个单位, 再向上平移k 个单位, 其中h ＞0, k ＜0, 求所得的抛物线的函数关系式． [本课学习体会]26．2 二次函数的图象与性质（5）[本课知识要点]1．能通过配方把二次函数c bx ax y ++=2化成2)(h x a y -=+k 的形式, 从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标；2．会利用对称性画出二次函数的图象． [MM 及创新思维]我们已经发现, 二次函数1)3(22+-=x y 的图象, 可以由函数22x y =的图象先向平移 个单位, 再向 平移 个单位得到, 因此, 可以直接得出:函数1)3(22+-=x y 的开口 , 对称轴是 , 顶点坐标是 ．那么, 对于任意一个二次函数, 如232-+-=x x y , 你能很容易地说出它的开口方向、对称轴和顶点坐标, 并画出图象吗？[实践与探索]例1．通过配方, 确定抛物线6422++-=x x y 的开口方向、对称轴和顶点坐标, 再描点画图．解 6422++-=x x y[]8)1(261)1(26)112(26)2(22222+--=+---=+-+--=+--=x x x x x x因此, 抛物线开口向下, 对称轴是直线x=1, 顶点坐标为（1, 8）． 由对称性列表:x…-2-1 01234…描点、连线, 如图26．2．7所示．回顾与反思 （1）列表时选值, 应以对称轴x=1为中心, 函数值可由对称性得到, ． （2）描点画图时, 要根据已知抛物线的特点, 一般先找出顶点, 并用虚线画对称轴, 然后再对称描点, 最后用平滑曲线顺次连结各点．探索 对于二次函数c bx ax y ++=2, 你能用配方法求出它的对称轴和顶点坐标吗？请你完成填空:对称轴 , 顶点坐标 ． 例2．已知抛物线9)2(2++-=x a x y 的顶点在坐标轴上, 求a 的值．分析 顶点在坐标轴上有两种可能:（1）顶点在x 轴上, 则顶点的纵坐标等于0；（2）顶点在y 轴上, 则顶点的横坐标等于0．解 9)2(2++-=x a x y 4)2(9)22(22+-++-=a a x , 则抛物线的顶点坐标是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+4)2(9,222a a ．当顶点在x 轴上时, 有 022=+-a , 解得 2-=a ．当顶点在y 轴上时, 有 04)2(92=+-a , 解得 4=a 或8-=a ．所以, 当抛物线9)2(2++-=x a x y 的顶点在坐标轴上时, a 有三个值, 分别是 –2, 4,8．[当堂课内练习]1．（1）二次函数x x y 22--=的对称轴是 ．（2）二次函数1222--=x x y 的图象的顶点是 , 当x 时, y 随x 的增大而减小．（3）抛物线642--=x ax y 的顶点横坐标是-2, 则a = ．2．抛物线c x ax y ++=22的顶点是)1,31(-, 则a 、c 的值是多少？ [本课课外作业]A 组1．已知抛物线253212+-=x x y , 求出它的对称轴和顶点坐标, 并画出函数的图象． 2．利用配方法, 把下列函数写成2)(h x a y -=+k 的形式, 并写出它们的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． （1）162++-=x x y（2）4322+-=x x y（3）nx x y +-=2 （4）q px x y ++=23．已知622)2(-++=k kx k y 是二次函数, 且当0>x 时, y 随x 的增大而增大．（1）求k 的值；（2）求开口方向、顶点坐标和对称轴．B 组4．当0<a 时, 求抛物线22212a ax x y +++=的顶点所在的象限．5. 已知抛物线h x x y +-=42的顶点A 在直线14--=x y 上, 求抛物线的顶点坐标． [本课学习体会]26．2 二次函数的图象与性质（6）[本课知识要点]1．会通过配方求出二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的最大或最小值；2．在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用, 会利用二次函数的性质求实际问题中的最大或最小值． [MM 及创新思维]在实际生活中, 我们常常会碰到一些带有“最”字的问题, 如问题:某商店将每件进价为80元的某种商品按每件100元出售, 一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润．经过市场调查, 发现这种商品单价每降低1元, 其销售量可增加约10件．将这种商品的售价降低多少时, 能使销售利润最大？ 在这个问题中, 设每件商品降价x 元, 该商品每天的利润为y 元, 则可得函数关系式为二次函数2000100102++-=x x y ．那么, 此问题可归结为:自变量x 为何值时函数y 取得最大值？你能解决吗?[实践与探索]例1．求下列函数的最大值或最小值．（1）5322--=x x y ； （2）432+--=x x y ．分析 由于函数5322--=x x y 和432+--=x x y 的自变量x 的取值范围是全体实数, 所以只要确定它们的图象有最高点或最低点, 就可以确定函数有最大值或最小值． 解 （1）二次函数5322--=x x y 中的二次项系数2＞0, 因此抛物线5322--=x x y 有最低点, 即函数有最小值．因为5322--=x x y =849)43(22--x , 所以当43=x 时, 函数5322--=x x y 有最小值是849-． （2）二次函数432+--=x x y 中的二次项系数-1＜0, 因此抛物线432+--=x x y 有最高点, 即函数有最大值．因为432+--=x x y =425)23(2++-x , 所以当23-=x 时, 函数432+--=x x y 有最大值是425． 回顾与反思 最大值或最小值的求法, 第一步确定a 的符号, a ＞0有最小值, a ＜0有最大值；第二步配方求顶点, 顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值．探索 试一试, 当2．5≤x ≤3．5时, 求二次函数322--=x x y 的最大值或最小值． 例2．某产品每件成本是120元, 试销阶段每件产品的销售价x （元）与产品的日销售量y若日销售量y 是销售价x 的一次函数, 要获得最大销售利润, 每件产品的销售价定为多少元？此时每日销售利润是多少？分析 日销售利润=日销售量×每件产品的利润, 因此主要是正确表示出这两个量． 解 由表可知x+y=200,因此, 所求的一次函数的关系式为200+-=x y ． 设每日销售利润为s 元, 则有1600)160()120(2+--=-=x x y s ．因为0120,0200≥-≥+-x x , 所以200120≤≤x ．所以, 当每件产品的销售价定为160元时, 销售利润最大, 最大销售利润为1600元． 回顾与反思 解决实际问题时, 应先分析问题中的数量关系, 列出函数关系式, 再研究所得的函数, 得出结果．例3．如图26．2．8, 在Rt ⊿ABC 中, ∠C=90°, BC=4, AC=8, 点D 在斜边AB 上, 分别作DE ⊥AC, DF ⊥BC, 垂足分别为E 、F, 得四边形DECF, 设DE=x, DF=y ．（1）用含y 的代数式表示AE ；（2）求y 与x 之间的函数关系式, 并求出x 的取值范围；（3）设四边形DECF 的面积为S, 求S 与x 之间的函数关系, 并求出S 的最大值．解 （1）由题意可知, 四边形DECF 为矩形, 因此y DF AC AE -=-=8．（2）由DE ∥BC , 得AC AE BC DE =, 即884y x -=, 所以, x y 28-=, x 的取值范围是40<<x ．（3）8)2(282)28(22+--=+-=-==x x x x x xy S ,所以, 当x=2时, S 有最大值8．[当堂课内练习]1．对于二次函数m x x y +-=22, 当x= 时, y 有最小值．2．已知二次函数b x a y +-=2)1(有最小值 –1, 则a 与b 之间的大小关系是 （ ）A ．a ＜bB ．a=bC ．a ＞bD ．不能确定3．某商场销售一批衬衫, 平均每天可售出20件, 每件盈利40件, 为了扩大销售, 增加盈利, 尽快减少库存, 商场决定采取适当的降价措施, 经过市场调查发现, 如果每件衬衫每降价1元, 商场平均每天可多售出2件．（1）若商场平均每天要盈利1200元, 每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时, 商场平均每天盈利最多？[本课课外作业]A 组1．求下列函数的最大值或最小值．（1）x x y 22--=； （2）1222+-=x x y ．2．已知二次函数m x x y +-=62的最小值为1, 求m 的值．,。
