北京市2021年第一次合格性考试数学模拟试题及答案

北京市普通高中学业水平考试合格性考试模拟（一）数 学 试 卷考生须知1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．本试卷共6页，分为两个部分，第一部分为选择题，25个小题(共75分)；第二部分为解答题，4个小题（共25分）。

3．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

4．考试结束后，考生应将试卷、答题卡放在桌面上，待监考员收回。

参考公式：柱体的体积公式V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高．第一部分 选择题（每小题3分，共75分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的． 1．已知集合{0,1,2}A =，{1,2,3}B =，那么A B I 等于A ．{0}B ．{1,2}C ．{0,1}D ．{0,1,3}2．已知向量{1,2}a =-r，{2,}b m =r ，且a b ⊥r r ，那么m 等于A ．4-B ． 1-C ．1D ．43．如果直线1y kx =-与直线2y x =-平行，那么实数k 的值为A ．2-B ．13-C ．13D ．3 4．如图，给出了偶函数()f x 的局部图像，那么(1)f 等于A ．4-B ．2-C ．2D ．45．如果函数()xf x a =（0a >，且1a ≠）的图像经过点（3，27），那么实数a 等于A ．13 B ．12C ．2D ．3 6．某中学现有学生1800人，其中初中学生1200人，高中学生600人．为了解学生在“阅读节”活动中的参与情况，决定采用分层抽样的方法从全校学生中抽取一个容量为180的样本，那么应从初中学生中抽取的人数为A ．60B ．90C ．100D ．1107．已知直线l 经过点P (1，1)，且与直线30x y --=垂直，那么直线l 的方程是A ．30x y +-=B ．30x y -+=C ．20x y +-=D ．0x y -=8．如图，在矩形ABCD 中，E 为CD 中点，那么向量12AB uu ur AD +uuu r 等于A ．AE uu u rB ．AC uuu r C ．DC uuu rD ．BC uu u r9．实数131()log 32-+的值等于A ．1B ．2C ．3D ．410．函数2y x =，3y x =，12l g y o x =，lg y x =中，在区间(0,)+∞上为减函数的是A ．2y x = B ．3y x = C ．12l g y o x = D ．lg y x =11．某次抽奖活动共设置一等奖、二等奖两类奖项．已知中一等奖的概率为0.1，中二等奖的概率为0.3，那么本次抽奖活动中，中奖的概率为A ．0.1B ．0.2C ．0.4D ．0.512．如果正ABC ∆的边长为2，那么AB uu u r AC ⋅uuu r等于A ．12-B ．12C ．1D ．2 13．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，如果=10a ，45A =︒，30B =︒，那么b 等于A ．522B ．52C ．102D ．202 14．已知圆C ：2220x y y +-=，那么圆心C 到坐标原点O 的距离是A ．12B ．2C ．1D ．215．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是正方形，1A A ⊥底面ABCD ，12A A =，2AB =，那么该四棱柱的体积为A ．1B ．2C ．4D ．816．函数3()6f x x =-的零点所在的区间是A ．（1，2）B ．（2，3）C ．（3，4）D ．（4，5）17．在sin50︒，sin50-︒，sin 40︒，sin 40-︒四个数中，与sin130︒相等的是A ．sin50︒B ．sin50-︒C ．sin 40︒D ．sin 40-︒ 18．把函数sin y x =的图像向右平移4π个单位得到()y g x =的图像，再把()y g x =图像上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），所得到图像的解析式为A ．3sin()4y x π=-B ．3sin(+)4y x π=C ．1sin()34y x π=-D ．1sin(+)34y x π=19．函数2,1(),1x x f x x x -≤-⎧=⎨>-⎩的最小值是A ．1-B ．0C ．1D ．220．给定函数：①()2f x x =；②()2x f x =；③2()f x x =；④2()log f x x =．对于()f x定义域中任意的1x ，2x ，满足等式“1212()()()f x x f x f x +=⋅”的函数的序号是 A ．① B ．② C ．③ D ．④21．在区间]4,0[内随机选一个实数x ，该实数恰好在区间]3,1[内的概率是A ．41 B.31 C.21 D. 43 22．已知5sin 13α=，(0,)2πα∈，那么sin()4πα+A ．26-B ．26-C ．26D ．2623．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，如果3a =，b =c =那么ABC ∆的最大内角的余弦值为A ．18B ．14C ．38D ．1224．在直角坐标平面内，与点(0,3)A 距离为2，且与点(4,0)B 距离为3的直线共有A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条25．建筑工程中，将房屋的窗户面积与地面面积之比称为“窗地面积比”．某办公室的窗户面积为n 平方米，地面面积为m 平方米，窗地面积比为1λ．将窗户面积和地面面积同时减少a 平方米后，窗地面积比为2λ．如果a n m <<，那么 A ．12λλ≤ B ．12λλ≥C ．12<λλD ．12>λλ第二部分 解答题（共25分）26．（本小题满分7分）已知函数()sin(2)6f x A x π=+，(0)2f =．（Ⅰ）A = ；（将结果直接填写在答题卡．．．的相应位置上） （Ⅱ）函数()f x 的最小正周期T = ；（将结果直接填写在答题卡．．．的相应位置上） （Ⅲ）求函数()f x 的单调递减区间.27．（本小题满分7分）如图，在四棱锥ABCD P -中，⊥PD 平面ABCD ，底面ABCD 为正方形， F 为对角线AC 与BD 的交点，E 为棱PD 的中点． （Ⅰ）证明：EF // 平面PBC ； （Ⅱ）证明：AC ⊥平面PBD ．28．（本小题满分6分）已知圆C ：222x y r +=（0r >）经过点A (0，2)，与x 轴正半轴交于点B ． （Ⅰ）r = ；（Ⅱ）经点P （4，2）向圆C 引切线，求切线的方程.29．（本小题满分5分）科学研究表明：人类对声音有不同的感觉，这与声音的强度I （单位：瓦/平方米）有关. 在实际测量时，常用L （单位：分贝）来表示声音强弱的等级，它与声音的强度I 满足关系式：0lgI L a I =⋅（a 是常数），其中120110I -=⨯瓦/平方米. 如风吹落叶沙沙声的强度11110I -=⨯瓦/平方米，它的强弱等级10L =分贝. （Ⅰ）a = ；（将结果直接填写在答题卡．．．的相应位置上） （Ⅱ）已知生活中几种声音的强度如下表：那么m = ；（将结果直接填写在答题卡．．．的相应位置上） （Ⅲ）为了不影响正常的休息和睡眠，声音的强弱等级一般不能超过50分贝，求此时声音强度I 的最大值.答题卡第一部分选择题(共75分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9答案题号10 11 12 13 14 15 16 17 18答案题号19 20 21 22 23 24 25------- 答案第二部分解答题(共25分)26.（Ⅰ）A=；f x的最小正周期T=；（Ⅱ）函数()（Ⅲ）27.（Ⅰ）（Ⅱ）．28.（Ⅰ）r=；（Ⅱ）29. （Ⅰ）a=；（Ⅱ）m=；（Ⅲ）（演算纸）附29题答案科学研究表明：人类对声音有不同的感觉，这与声音的强度I （单位：瓦/平方米）有关. 在实际测量时，常用L （单位：分贝）来表示声音强弱的等级，它与声音的强度I 满足关系式：0lgI L a I =⋅（a 是常数），其中120110I -=⨯瓦/平方米. 如风吹落叶沙沙声的强度11110I -=⨯瓦/平方米，它的强弱等级10L =分贝. （Ⅰ）a = ；（将结果直接填写在答题卡．．．的相应位置上） （Ⅱ）已知生活中几种声音的强度如下表：那么m = ；（将结果直接填写在答题卡．．．的相应位置上） （Ⅲ）为了不影响正常的休息和睡眠，声音的强弱等级一般不能超过50分贝，求此时声音强度I 的最大值.（Ⅰ）解：a =10. ……………………………………1分 （Ⅱ）解：m =20. ……………………………………3分 （Ⅲ）解：由题意，得 50L ≤.所以 1210lg50110I-⨯⨯≤.解不等式，得 70I -≤1.答：此时声音强度I 的最大值为70-1瓦/平方米. …………………………5分。

1 2021年北京市普通高中学业水平合格性考
试数学仿真模拟卷（五）
第一部分 选择题（每小题3分，共81分）
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项
1. 设集合{|28}x A x =≥，集合(){|lg 1}B x y x ==-，则A ∪B =（ ）
A.[1,3)
B. (1,3]
C.(1,+∞)
D. [3,+∞) 2. 若函数f （2x ）=x -3，则f （4）=（ ）
A. －1
B. 1
C. －5
D. 5 3. 已知函数()f x 的图象关于直线0x =对称，当210x x >≥时，
()()()21210f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，则满足1(21)3f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭
的x 的取值范围是（ ） A. 12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. 2,3⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭ C. 2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D. 12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭
4. 下列关于棱柱的说法中，错误的是( )
A. 三棱柱的底面为三角形
B. 一个棱柱至少有五个面
C. 若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面全等
D. 五棱柱有5条侧棱、5个侧面，侧面为平行四边形
5. 已知m ∈R ，过定点A 的动直线0mx y +=和过定点B 的动直线30x my m --+=交于点P
，则PA 的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D. 6. 若a 、b 、c 为实数，则下列命题错误的是( )
A. 若22ac bc >，则a b >。

北京市西城区2021届高三数学第一次模拟考试试题（含解析）第Ⅰ卷(选择题 共40分)一、选择题:本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.设集合{|3}{|02}A x x B x x x =<=，或，则A B ⋂=（ ） A. ()0-∞，B. ()23，C. ()()023-∞⋃，，D. ()3-∞，【答案】C 【解析】 【分析】直接求交集得到答案.【详解】集合{|3}{|02}A x x B x x x =<=，或，则()()023A B ⋂=-∞⋃，，. 故选：C .【点睛】本题考查了交集运算，属于简单题. 2.若复数()()31z i i =-+，则z =（ ）A. B.D. 20【答案】B 【解析】 【分析】 化简得到()()3142z i i i =-+=+，再计算模长得到答案.【详解】()()3142z i i i =-+=+，故z ==故选：B .【点睛】本题考查了复数的运算，复数的模，意在考查学生的计算能力. 3.下列函数中，值域为R 且为奇函数的是（ ） A. 2y x =+ B. y sinx = C. 3y x x =-D. 2xy =【答案】C 【解析】 【分析】依次判断函数的值域和奇偶性得到答案.【详解】A. 2y x =+，值域为R ，非奇非偶函数，排除； B. y sinx =，值域为[]1,1-，奇函数，排除； C. 3y x x =-，值域为R ，奇函数，满足； D. 2xy =，值域为()0,∞+，非奇非偶函数，排除；故选：C .【点睛】本题考查了函数的值域和奇偶性，意在考查学生对于函数知识的综合应用. 4.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若31425a a a =+=，，则6S =（ ） A. 10 B. 9C. 8D. 7【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意3141152223a a a a d a d =+=+=+=，，解得14a =，1d =-，得到答案. 【详解】3141152223a a a a d a d =+=+=+=，，解得14a =，1d =-，故616159S a d =+=.故选：B .【点睛】本题考查了等差数列的求和，意在考查学生的计算能力.5.设()()2141A B -，，，，则以线段AB 为直径的圆的方程是（ ）A. 22(3)2x y -+= B. 22(3)8x y -+= C. 22(3)2x y ++= D. 22(3)8x y ++=【答案】A 【解析】 【分析】计算AB 的中点坐标为()3,0，圆半径为r =.【详解】AB 的中点坐标为：()3,0，圆半径为22ABr ===，圆方程为22(3)2x y -+=. 故选：A .【点睛】本题考查了圆的标准方程，意在考查学生的计算能力. 6.设a b c ，，为非零实数，且a c b c >>，，则（ ） A. a b c +>B. 2ab c >C.a b2c +> D.112a b c+> 【答案】C 【解析】 【分析】取1,1,2a b c =-=-=-，计算知ABD 错误，根据不等式性质知C 正确，得到答案. 【详解】,a c b c >>，故2a b c +>，2a bc +>，故C 正确； 取1,1,2a b c =-=-=-，计算知ABD 错误； 故选：C .【点睛】本题考查了不等式性质，意在考查学生对于不等式性质的灵活运用. 7.某四棱锥的三视图如图所示，记S 为此棱锥所有棱的长度的集合，则（ ）A. 2223S S ，且B. 2223S S ，且C. 2223S S ，且D. 2223S S ，且 【答案】D 【解析】【分析】如图所示：在边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，四棱锥1C ABCD -满足条件，故{}2,22,23S =，得到答案.【详解】如图所示：在边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，四棱锥1C ABCD -满足条件. 故12AB BCCD AD CC =====，1122BC DC ==，123AC =.故{}2,22,23S =，故22S ∈，23S ∈.故选：D .【点睛】本题考查了三视图，元素和集合的关系，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 8.设,a b 为非零向量，则“a b a b +=+”是“a 与b 共线”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据向量共线的性质依次判断充分性和必要性得到答案.【详解】若a b a b +=+，则a 与b 共线，且方向相同，充分性； 当a 与b 共线，方向相反时，a b a b ≠++，故不必要. 故选：A .【点睛】本题考查了向量共线，充分不必要条件，意在考查学生的推断能力. 9.已知函数()sinx12sinxf x =+的部分图象如图所示，将此图象分别作以下变换，那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有（ ）①绕着x 轴上一点旋转180︒; ②沿x 轴正方向平移; ③以x 轴为轴作轴对称;④以x 轴的某一条垂线为轴作轴对称. A. ①③ B. ③④C. ②③D. ②④【答案】D 【解析】 【分析】计算得到()()2f x k f x π+=，22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故函数是周期函数，轴对称图形，故②④正确，根据图像知①③错误，得到答案. 【详解】()sin 12sin xf x x=+，()()()()sin 2sin 212sin 212sin x k x f x k f x x k x πππ++===+++，k Z ∈，当沿x 轴正方向平移2,k k Z π∈个单位时，重合，故②正确；co sin 2212co s s s 12in2x f x x x x πππ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭-== ⎪+⎛⎫⎝⎭+- ⎪⎝⎭，co sin 2212co s s s 12in2x f x x x x πππ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭+== ⎪+⎛⎫⎝⎭++ ⎪⎝⎭，故22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数关于2x π=对称，故④正确；根据图像知：①③不正确；故选：D .【点睛】本题考查了根据函数图像判断函数性质，意在考查学生对于三角函数知识和图像的综合应用.10.设函数()210100x x x f x lgx x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩，，若关于x 的方程()()f x a a R =∈有四个实数解()1234i x i =，，，，其中1234x x x x <<<，则()()1234x x x x +-的取值范围是（ ） A. (]0101， B. (]099， C. (]0100， D. ()0+∞，【答案】B 【解析】 【分析】画出函数图像，根据图像知：1210x x +=-，341x x =，31110x ≤<，计算得到答案. 【详解】()21010lg 0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩，，，画出函数图像，如图所示：根据图像知：1210x x +=-，34lg lg x x =-，故341x x =，且31110x ≤<. 故()()(]1234330110,99x x x x x x ⎛⎫∈ ⎪⎭-⎝+-=-. 故选：B .【点睛】本题考查了函数零点问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，画出图像是解题的关键.第Ⅱ卷(非选择题共110分)二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11.在61()x x+的展开式中，常数项为________.(用数字作答) 【答案】20 【解析】 【分析】61()x x+的展开式的通项为6216-+=r r r T C x ，取3r =计算得到答案.【详解】61()x x +的展开式的通项为：6621661rr r r rr T C x C xx --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，取3r =得到常数项3620C =.故答案为：20.【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力.12.若向量()()221a x b x ==，，，满足3a b ⋅<，则实数x 的取值范围是____________. 【答案】()3,1- 【解析】 【分析】根据题意计算223a b x x ⋅=+<，解得答案.【详解】()()221a x b x ==，，，，故223a b x x ⋅=+<，解得31x -<<. 故答案为：()3,1-.【点睛】本题考查了向量的数量积，意在考查学生的计算能力.13.设双曲线2221(0)4x y b b -=>的一条渐近线方程为2y x =，则该双曲线的离心率为____________.【解析】 【分析】根据渐近线得到b =c =.【详解】2221(0)4x y b b -=>，一条渐近线方程为：y x =，故b =c =6c e a.故答案为：2【点睛】本题考查了双曲线的渐近线和离心率，意在考查学生的计算能力. 14.函数()24f x sin x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期为________;若函数()f x 在区间()0α，上单调递增，则α的最大值为________.【答案】 (1). π (2). 8π 【解析】 【分析】直接计算得到答案，根据题意得到2,2444x πππα⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，242ππα+≤，解得答案.【详解】()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故22T ππ==，当()0,x α∈时，2,2444x πππα⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭， 故242ππα+≤，解得8πα≤.故答案为：π；8π. 【点睛】本题考查了三角函数的周期和单调性，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用. 15.在一次体育水平测试中，甲、乙两校均有100名学生参加，其中:甲校男生成绩的优秀率为70%，女生成绩的优秀率为50%;乙校男生成绩的优秀率为60%，女生成绩的优秀率为40%.对于此次测试，给出下列三个结论:①甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率;②甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率;③甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定.其中，所有正确结论的序号是____________. 【答案】②③ 【解析】 【分析】根据局部频率和整体频率的关系，依次判断每个选项得到答案. 【详解】不能确定甲乙两校的男女比例，故①不正确；因为甲乙两校的男生的优秀率均大于女生成绩的优秀率，故甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率，故②正确；因为不能确定甲乙两校的男女比例，故不能确定甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系，故③正确. 故答案为：②③.【点睛】本题考查局部频率和整体频率的关系，意在考查学生的理解能力和应用能力. 三、解答题:本大题共6小题，共85分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 满足AD ∥BC ，且1222.AB AD AA BD DC =====，(Ⅰ)求证:AB ⊥平面11ADD A ;(Ⅱ)求直线AB 与平面11B CD 所成角的正弦值.【答案】(Ⅰ) 证明见解析；(Ⅱ)66【解析】 【分析】(Ⅰ)证明1AA AB ⊥，根据222AB AD BD +=得到AB AD ⊥，得到证明.(Ⅱ) 如图所示，分别以1,,AB AD AA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，平面11B CD 的法向量()1,1,2n =，()2,0,0AB =，计算向量夹角得到答案.【详解】(Ⅰ) 1AA ⊥平面ABCD ，AB平面ABCD ，故1AA AB ⊥.2AB AD ==，22BD =，故222AB AD BD +=，故AB AD ⊥.1AD AA A ⋂=，故AB ⊥平面11ADD A .(Ⅱ)如图所示：分别以1,,AB AD AA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系， 则()0,0,0A ，()2,0,0B ，()12,0,2B ，()2,4,0C ，()10,2,2D .设平面11B CD 的法向量(),,n x y z =，则11100n B C n B D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即420220y z x y -=⎧⎨-+=⎩，取1x =得到()1,1,2n =，()2,0,0AB =，设直线AB 与平面11B CD 所成角为θ故6sin cos ,626n AB n AB n ABθ⋅====⋅.【点睛】本题考查了线面垂直，线面夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 17.已知ABC 满足 ，且263b A π==，，求sinC 的值及ABC 的面积.（从①4B π=，②3a =32a sinB =这三个条件中选一个，补充到上面问题中，并完成解答.）【答案】见解析 【解析】 【分析】 选择①时：4B π=,23A π=，计算62sin 4C =3a =，计算面积得到答案；选择②时，3a =6b ，故B A >，A 为钝角，故无解；选择③时，32a B =，根据正弦定理解得2sin B 62sin 4C =，根据正弦定理得到3a =，计算面积得到答案.详解】选择①时：4B π=,23A π=，故()62sin sin sin cos cos sin C A B A B A B -=+=+=根据正弦定理：sin sin a b A B =，故3a =，故1933sin 2S ab C -==. 选择②时，3a =，6b =，故B A >，A 为钝角，故无解.选择③时，32sin a B =，根据正弦定理：sin sin a bA B=，故6sin 332sin B B =， 解得2sin B =，()62sin sin sin cos cos sin 4C A B A B A B -=+=+=. 根据正弦定理：sin sin a b A B =，故3a =，故1933sin 2S ab C -==. 【点睛】本题考查了三角恒等变换，正弦定理，面积公式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.18.2021年底，北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破60万，其中青年学生约有50万人.现从这50万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试，所得成绩(单位:分)统计结果用茎叶图记录如下:(Ⅰ)试估计在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数;(Ⅱ)从选出的8名男生中随机抽取2人，记其中测试成绩在70分以上的人数为X ，求X 的分布列和数学期望;(Ⅲ)为便于联络，现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组(每组人数不少于5000)，并在每组中随机选取m 个人作为联络员，要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%.根据图表中数据，以频率作为概率，给出m 的最小值.(结论不要求证明) 【答案】(Ⅰ)5万；(Ⅱ)分布列见解析，()34E X = ；(Ⅲ)4 【解析】【分析】(Ⅰ)根据比例关系直接计算得到答案.(Ⅱ) X 的可能取值为0,1,2，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.(Ⅲ) 英语测试成绩在70分以上的概率为101202p == ，故1190%2m⎛⎫<- ⎪⎝⎭，解得答案. 【详解】(Ⅰ)样本中女生英语成绩在80分以上的有2人，故人数为：250520⨯=万人. (Ⅱ) 8名男生中，测试成绩在70分以上的有3人，X 的可能取值为：0,1,2.()25285014C p X C ===，()11532815128C C p X C ===，()23283328C p X C ===.故分布列为：()515330121428284E X =⨯+⨯+⨯=. (Ⅲ) 英语测试成绩在70分以上的概率为101202p == ，故1190%2m⎛⎫<- ⎪⎝⎭，故4m ≥. 故m 的最小值为4.【点睛】本题考查了样本估计总体，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.19.设函数()()22f x alnx x a x =+-+，其中.a R ∈(Ⅰ)若曲线()y f x =在点()()22f ，处切线的倾斜角为4π，求a 的值; (Ⅱ)已知导函数()'f x 在区间()1e ，上存在零点，证明:当()1x e ∈，时，()2f x e >-. 【答案】(Ⅰ)2a =；(Ⅱ)证明见解析 【解析】 【分析】(Ⅰ)求导得到()()'22a f x x a x =+-+，()'ta 12n 4f π==，解得答案. (Ⅱ) ()()()12'0x x a f x x--==，故02a x=，()f x 在()01,x 上单调递减，在()0,x e 上单调递增，()20000min 2ln 2f x x x x x =--，设()22ln 2g x x x x x =--，证明函数单调递减，故()()2min g x g e e >=-，得到证明.【详解】(Ⅰ)()()2ln 2f x a x x a x =+-+，故()()'22af x x a x=+-+， ()()'42tan 1242a f a π=+-+==，故2a =. (Ⅱ) ()()()()12'220x x a af x x a x x--=+-+==，即()22,a x e =∈，存在唯一零点， 设零点为0x ，故()()000'220af x x a x =+-+=，即02a x =， ()f x 在()01,x 上单调递减，在()0,x e 上单调递增，故()()()()0220000i 0000m n ln 22ln 22a x x a x x x f x f x x x x +-+=+-+==200002ln 2x x x x =--，设()22ln 2g x x x x x =--，则()'2ln 2g x x x =-，设()()'2ln 2h x g x x x ==-，则()2'20h x x=-<，()h x 单调递减， ()()1'12h g ==-，故()'2ln 20g x x x =-<恒成立，故()g x 单调递减. ()()2min g x g e e >=-，故当()1x e ∈，时，()2f x e >-.【点睛】本题考查了函数切线问题，利用导数证明不等式，转化为函数的最值是解题的关键.20.设椭圆22:12x E y +=，直线1l 经过点()0M m ，，直线2l 经过点()0N n ，，直线1l 直线2l ，且直线12l l ，分别与椭圆E 相交于A B ，两点和C D ，两点.(Ⅰ)若M N ，分别为椭圆E 的左、右焦点，且直线1l x ⊥轴，求四边形ABCD 的面积; (Ⅱ)若直线1l 的斜率存在且不为0，四边形ABCD 为平行四边形，求证:0m n +=;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，判断四边形ABCD 能否为矩形，说明理由. 【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)不能，证明见解析 【解析】 【分析】(Ⅰ)计算得到故2A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，1,2B ⎛-- ⎝⎭，1,2C ⎛ ⎝⎭，1,2D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，计算得到面积. (Ⅱ) 设1l 为()y k x m =-，联立方程得到2122221224212221k mx x k k m x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，计算AB =，同理CD =AB CD =得到22m n =，得到证明.(Ⅲ) 设AB 中点为(),P a b ，根据点差法得到20a kb +=，同理20c kd +=，故112PQ k k k=-≠-，得到结论. 【详解】(Ⅰ)()1,0M -，()1,0N ，故A ⎛- ⎝⎭，1,2B ⎛-- ⎝⎭，C ⎛ ⎝⎭，1,D ⎛ ⎝⎭. 故四边形ABCD的面积为S =(Ⅱ)设1l 为()y k x m =-，则()2212x y y k x m ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，故()22222214220k x k mx m k +-+-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，故2122221224212221k m x x k k m x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，12AB x =-==同理可得CD =，AB CD ==， 即22m n =，m n ≠，故0m n +=.(Ⅲ)设AB 中点为(),P a b ，则221112x y +=，222212x y +=，相减得到()()()()1212121202x x x x y y y y +-++-=，即20a kb +=，同理可得：CD 的中点(),Q c d ，满足20c kd +=， 故11222PQ d b d b k c a kd kb k k--===-≠---+，故四边形ABCD 不能为矩形. 【点睛】本题考查了椭圆内四边形的面积，形状，根据四边形形状求参数，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 21.对于正整数n ，如果()*k k N∈个整数12ka a a ⋯，，，满足121k a a a n ≤≤≤⋯≤≤，且12k a a a n ++⋯+=，则称数组()12k a a a ⋯，，，为n 的一个“正整数分拆”.记12k a a a ⋯，，，均为偶数的“正整数分拆”的个数为12n k f a a a ⋯，，，，均为奇数的“正整数分拆”的个数为n g .(Ⅰ)写出整数4的所有“正整数分拆”;(Ⅱ)对于给定的整数()4n n ≥，设()12k a a a ⋯，，，是n 的一个“正整数分拆”，且12a =，求k 的最大值;(Ⅲ)对所有的正整数n ，证明:n n f g ≤;并求出使得等号成立的n 的值.(注:对于n 的两个“正整数分拆”()12k a a a ⋯，，，与()12m b b b ⋯，，，，当且仅当k m =且1122k m a b a b a b ==⋯=，，，时，称这两个“正整数分拆”是相同的.)【答案】(Ⅰ) ()1,1,1,1，()1,1,2，()1,3，()2,2，()4；(Ⅱ) n 为偶数时，2nk =，n 为奇数时，12n k -=；(Ⅲ)证明见解析，2n =，4n = 【解析】 【分析】(Ⅰ)根据题意直接写出答案.(Ⅱ)讨论当n 为偶数时，k 最大为2n k =，当n 为奇数时，k 最大为12n k -=，得到答案.(Ⅲ) 讨论当n 为奇数时，0n f =，至少存在一个全为1的拆分，故n n f g <，当n 为偶数时， 根据对应关系得到n n f g ≤，再计算221f g ==，442f g ==，得到答案.【详解】(Ⅰ)整数4的所有“正整数分拆”为：()1,1,1,1，()1,1,2，()1,3，()2,2，()4.(Ⅱ)当n 为偶数时，123...2k a a a a =====时，k 最大为2n k =； 当n 为奇数时，1231...2,3k k a a a a a -======时，k 最大为12n k -=；综上所述：n 为偶数，k 最大为2n k =，n 为奇数时，k 最大为12n k -=.(Ⅲ)当n 为奇数时，0n f =，至少存在一个全为1的拆分，故n n f g <； 当n 为偶数时，设()12,,...,k a a a 是每个数均为偶数的“正整数分拆”，则它至少对应了()1,1,...,1和()121,1,...,1,1,...,1k a a a ---的均为奇数的“正整数分拆”， 故n n f g ≤. 综上所述：n n f g ≤.当2n =时，偶数“正整数分拆”为()2，奇数“正整数分拆”为()1,1，221f g ==； 当4n =时，偶数“正整数分拆”为()2,2，()4，奇数“正整数分拆”为()1,1,1,1，()1,3 故442f g ==；当6n ≥时，对于偶数“正整数分拆”，除了各项不全为1的奇数拆分外，至少多出一项各项均为1的“正整数分拆”，故n n f g <.综上所述：使n n f g =成立的n 为：2n =或4n =.【点睛】本土考查了数列的新定义问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.。

2021年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试数学试卷参考公式：锥体的体积公式13VSh =，其中S 为锥体的表面积，h 为锥体的高。

第一部分（选择题共60分）一、选择题共20小题，每小题3分，共60分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合{}{}1,0,2,0,1,2A B =-=，则A B =（A ）{}1,0,2-（B ）{}0,1,2（C ）{}1,0,1-（D ）{}1,0,1,2-【答案】D .【考点】集合运算。

【解析】∵A B 是集合A 与集合B 的所有元素构成的集合，故A B = {}1,0,1,2-。

（2）已知复数1234,23z i z i =-=-+，则12z z +=（A ）1i -（B ）5i -（C ）17i -（D ）5i+【答案】A .【考点】复数的四则运算。

【解析】由已知可得12z z +=()()()342332431i i i i -+-+=-+-+=-。

（3）函数()2log f x x =的定义域是（A ）()1,-+∞（B ）()0,+∞（C ）()1,+∞（D ）()2,+∞【答案】B .【考点】对数函数的定义域。

【解析】由对数函数的真数部分大于0可得()2log f x x =的定义域是()0,+∞.（4）下列函数中，在区间()0,+∞上单调递减的是（A ）2y x=（B ）y =（C ）2xy =（D ）12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】D .【考点】函数的单调性。

【解析】幂函数y x α=在0α>时为增函数，由此易知2y x =和y =在()0,+∞单调递增。

指数函数x y a =，当1a >时为定义域上的增函数，当01a <<时为定义域上的减函数，由此可知2xy =在()0,+∞单调递增，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在()0,+∞单调递减。

（5）下列给点中，在函数()21x f x =-的图象上的点是（A ）()0,0（B ）()0,1（C ）()1,0（D ）()1,2【答案】A .【考点】函数图象与函数方程的关系。

2022年6月北京市普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟卷02 第一部分 （选择题 共60分）一．选择题（共20小题，每小题3分，共60分）1．若全集U R =，{|1}A x x =<，{|1}B x x =>-，则( ) A ．A B ⊆ B ．B A ⊆ C ．UB A ⊆D ．UA B ⊆【答案】D 【详解】{|1}RA x x =，{|1}RB x x =-，R A B ∴⊆，故选：D ． 2．若复数2a ii+的实部与虚部相等，则实数(a = ) A ．1- B ．1 C ．2- D ．2【答案】A 【详解】复数2()1122222a i i a i ai ai i i +-+-===--的实部与虚部相等， ∴122a=-，解得1a =-． 故选：A ．3．22log 8log 4-等于( ) A ．1 B ．2 C ．5 D ．6【答案】A【详解】22228log 8log 4log 214log -===． 故选：A ．4．下列函数中既是奇函数，又在区间(0,1)上单调递减的是( ) A ．3()2f x x =-+ B ．12()log ||f x x =C ．3()3f x x x =-D ．()sin f x x =【答案】C【详解】3:()2A f x x =-+为非奇非偶函数，不符合题意； 12:()log ||B f x x =为偶函数，不符合题意；3:()3()C f x x x f x -=-+=-即()f x 为奇函数，2()330f x x '=-<在(0,1)上恒成立，故()f x 在(0,1)上单调递减，符合题意，:sin D y x =在(1,1)-上单调递增，不符合题意．故选：C ．5．已知角α以x 轴正半轴为始边，其终边在射线4(0)3y x x =-上，则sin cos (αα+= )A ．75-B ．15-C ．15D ．75【答案】C【详解】角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，其终边在射线4(0)3y x x =-上，取点(3,4)P -，则||9165r OP ==+=， 所以4sin 5y r α==，3cos 5x r α==-， 所以1sin cos 5αα+=．故选：C ．6．在ABC ∆中，若9a =，6b =，4A π=，则cos (B = )A ．73B ．73±C ．223±D ．223【答案】A【详解】由正弦定理得sin sin a bA B=，得26sin 22sin 93b B B a ⨯===， a b >，A B ∴>，即4B π<，则22277cos 1()13993B =-=-==， 故选：A ．7．如图所示的时钟显示的时刻为3:30，此时时针与分针的夹角为(0)2παα<．若一个扇形的圆心角为α，弧长为10，则该扇形的面积为( )A ．256πB ．2512πC ．240πD ．120π【答案】D【详解】时钟显示的时刻为3:30，此时时针与分针的夹角为(0)2παα<，15226612πππα∴=⨯+⨯=， 一个扇形的圆心角为α，弧长为10l =，设其半径为r ， 则51012r r πα==⋅， 24r π∴=，∴该扇形的面积11241201022S lr ππ==⨯⋅=， 故选：D ．8．在平面直角坐标系xOy 中，角θ以Ox 为始边，终边与单位圆交于点3(5，4)5，则tan()πθ+的值为( ) A ．43B ．34 C ．43-D ．34-【答案】A【详解】角θ以Ox 为始边，终边与单位圆交于点3(5，4)5，445tan 335θ∴==，4tan()tan 3πθθ∴+==． 故选：A ．9．sin69cos9sin 21sin9(︒︒-︒︒= ) A．B ．12-C D ．12【答案】C【详解】sin 69cos9sin 21sin9cos21cos9sin 21sin9cos30︒︒-︒︒=︒︒-︒︒=︒=． 故选：C ．10．若0b a <<，则下列不等式正确的是( )A ．11a b> B ．2ab a < C ．||||a b > D ．2b aa b+> 【答案】D【详解】根据题意可令2b =-、1a =-， 则11a b<，2ab a >，||||a b <，ABC ∴ 错； 0b a <<，∴0a b >，0b a >且a b b a≠， ∴22b a b aa b a b+>⋅=，D ∴对． 故选：D ．11．“||1x <”是“2230x x --<”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】A【详解】||1x <，11x ∴-<<， 2230x x --<，13x ∴-<<， (1-，1)(1-，3)，||1x ∴<是2230x x --<的充分不必要条件，故选：A ．12．某学校组建了演讲、舞蹈、航模、合唱、机器人五个社团，全校3000名学生每人都参加且只参加其中一个社团，校团委从这3000名学生中随机选取部分学生进行调查，并将调查结果绘制了如下不完整的两个统计图：则选取的学生中参加机器人社团的学生数为( ) A ．50 B ．75C ．100D ．125【答案】B【详解】由条形统计图得抽到50名同学演讲， 由扇形统计图片得抽到的学生中演讲同学占10%，∴一共抽取的学生数为：5050010%n ==（人)， ∴抽到的学生中合唱学生占：200100%40%500⨯=， ∴选取的学生中参加机器人社团的学生数为：500(140%10%15%20%)75----=（人)．故选：B ．13．函数()23f x lnx x =+-的零点所在的大致区间是( ) A ．(1,2) B ．(2,3) C ．(3,4) D ．(4,5)【答案】A 【详解】()23f x lnx x =+-在(0,)+∞上是增函数，f （1）20=-<，f （2）210ln =+>，f ∴（2）f ⋅（1）0<，根据零点存在性定理，可得函数()23f x lnx x =+-的零点所在区间为(1,2)． 故选：A ．14．已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是( ) A ．若m α⊂，则m β⊥ B ．若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ C ．若m α⊂/，m β⊥，则//m α D ．若m αβ=，n m ⊥，则n α⊥【答案】C 【详解】不妨设l αβ=，对于A ，若m α⊂且//m l ，则//m β，故A 错误；对于B ，若m ，n 与l 相交且不垂直，交点分别为M ，N ，显然m 与n 不一定垂直，故B 错误；对于C ，若m β⊥，则m α⊂或//m α，又m α⊂/，故//m α，故C 正确； 对于D ，由面面垂直的性质可知当n β⊂时才有n α⊥，故D 错误． 故选：C ．15．已知不等式240x ax ++的解集为R ，则a 的取值范围是( ) A ．[4-，4]B ．(4,4)-C ．(-∞，4][4-，)+∞D ．(-∞，4)(4-⋃，)+∞【答案】见解析【详解】不等式240x ax ++的解集为R ， 所以△24140a =-⨯⨯，解得44a -；所以a 的取值范围是[4-，4]． 故选：A ．16．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，S 是棱11A B 上任意一点，四棱锥S ABCD - 的体积与正方体1111ABCD A B C D -的体积之比为( )A ．12B ．13C ．14D ．不确定【答案】B【详解】由题意可得，1//AA 平面11BDD B ，所以点P 到平面11BDD B 的距离为点A 到平面11BDD B 的距离， 因为AC BD ⊥，1AC BB ⊥，1BD BD B =，BD ，1BB ⊂平面11BDD B ，所以AC ⊥平面11BDD B ，设正方体的棱长为a ，则正方体的体积3V a =，四棱锥11P BB D D -的体积为11231111223263BB D D V S AC a a a '=⋅=⨯⨯=，所以1:3V V '=．故四棱锥S ABCD -的体积与正方体1111ABCD A B C D -的体积之比为13．故选：B ．17．一个袋中装有大小、质地相同的3个红球和3个黑球，从中随机摸出3个球，设事件A =“至少有2个黑球”，下列事件中，与事件A 互斥而不互为对立的是( ) A ．都是黑球 B ．恰好有1个黑球 C ．恰好有1个红球 D ．至少有2个红球【答案】B【详解】从装有大小和质地完全相同的3个红球和3个黑球的口袋内任取3个球， 在A 中，至少有2个黑球和都是黑球能同时发生，不是互斥事件，故A 错误，在B 中，至少有2个黑球和恰有1个黑球不能同时发生，是互斥而不对立事件，故B 正确， 在C 中，至少有2个黑球和恰有1个红球能同时发生，不是互斥事件，故C 错误， 在D 中，至少有2个黑球和至少有2个红球事件不能同时发生，是对立事件，故D 错误． 故选：B ．18．某学校高二年级选择“史政地”、“史政生”和“史地生”这三种组合的学生人数分别为210、90和60．若采用分层抽样的方法从中随机抽取12名学生，则从“史政生”组合中抽取的学生人数为( ) A ．7 B ．6 C ．3 D ．2【答案】C【详解】由题意可知，“史政地”、“电政生”和“史地生”这三种组合的学生人数分别为210，90和60，故“史政生”所占的比例为90121090604=++，由分层抽样是按比例抽取可得，“史政生”组合中抽取的学生人数为11234⨯=． 故选：C ．19．如图，正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若AD AC AE λμ=+，则λμ-的值为()A ．3B ．2C ．1D ．3-【答案】D【详解】由题意，因为E 为DC 的中点，所以1()2AE AD AC =+，所以2AD AE AC =-，即2AD AC AE =-+，所以1λ=-，2μ=， 所以3λμ-=-；故选：D ． 20．大气压强p =压力受力面积，它的单位是“帕斯卡” 2(,11/)Pa Pa N m =，大气压强()p Pa 随海拔高度()h m 的变化规律是10(0.000126)kh p p e k m --==，0p 是海平面大气压强．已知在某高山1A ，2A 两处测得的大气压强分别为1p ，2p ，1212p p =，那么1A ，2A 两处的海拔高度的差约为( )（参考数据：20.693)ln ≈ A ．550m B ．1818m C ．5500m D ．8732m【答案】C【详解】设1A ，2A 两处的海拔高度分别为1h ，2h ， 则12120.0001260.000126()010.0001262012h h h h p e p e p p e---===， 2110.000126()20.6932h h ln ln ∴-==-≈-，得210.69355000.000126h h m -=-=-．1A ∴，2A 两处的海拔高度的差约为5500m ．故选：C ．第二部分 （非选择题 共40分）二．填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 21．函数()2f x x lgx =-+的定义域是 ． 【答案】(0，2] 【详解】由题意得： 200x x -⎧⎨>⎩，解得：02x <， 故函数的定义域是(0，2]， 故答案为：(0，2]．22．已知向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置，如图所示，则()a b c +⋅= ．【答案】6【详解】由题意向量(2,1)a =-，(2,2)b =，(1,2)c =，(4,1)a b +=，则()426a b c +⋅=+=． 故答案为：6．23．甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名，但具体名次未知.3人作出如下预测：甲说：我不是第三名；乙说：我是第三名；丙说：我不是第一名．若甲、乙、丙3人的预测结果有且只有一个正确，由此判断获得第三名的是 【答案】甲【详解】若甲正确，则乙、丙均错误，故丙是第一名，乙是第二名，甲是第三名，与“甲说：我不是第三名”正确相矛盾， 故甲错误，因此，甲为第三名； 于是乙、丙中必有一人正确，一人错误．若丙错误（则乙正确），即丙是第一名，而甲是第三名，故乙是第二名，与乙正确“我是第三名”矛盾，故丙正确，即丙不是第一名，为第二名； 故答案为：甲．24．设棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -，E 是AD 中点，点M 、N 分别是棱AB 、11C D 上的动点，给出以下四个结论： ①存在1//EN MC ； ②存在MN ⊥平面1ECC ； ③存在无数个等腰三角形EMN ；④三棱锥C MNE -的体积的取值范围是2[3，4]3．则所有结论正确的序号是 ． 【答案】③④【详解】对于①：取BC 中点P ，当点N 在11D C 上移动时，直线EN ⊂平面11EPC D ， 同时当点M 在直线AB 上移动时1MC ⊂平面11ABC D ， 因为111111EPC D ABC D C D =，故EN 与1MC 不可能平行，①错误．对于②：如图，以D 为原点建立空间直角坐标系，所以(1E ，0，0)，(0C ，2，0)，1(0C ，2，2)， 设(0N ，a ，2)(02)a <<，(2M ，b ，0)(02)b <<， 所以1(1,2,0),(0,0,2),(2,,2)EC CC NM b a =-==--， 设平面1ECC 的法向量为(n x =，y ，)z ，则100n EC n CC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即2020x y z -+=⎧⎨=⎩，令1y =，得2x =，0z =，所以(2,1,0)n =，所以40NM n a b ⋅=+-≠，故MN 与平面1ECC 不垂直，②错误．对于③：令||||NE NM =，即222222(10)(0)(02)(20)()(02)a b a -+-+--+-+-，化简得2230b ab -+=，即332,2(0,4),23a b a b b b=+∈+，因为234，所以该式在02a <<，02b <<的范围中存在无数组解， 故说明有无数组a 与b 可使||||NE NM =，故③正确． 对于④：根据等体积性质可知C NME N CME V V --=， 所以该三棱锥高可以看作1CC ，所以体积的取值范围即底面积CME S ∆ 的取值范围， 根据点M 位置的变化可知，当点M 在A 点时CME S ∆最小， 当点M 在B 点时CME S ∆最大，计算得[1CME S ∆∈，2]，11233N CME CME CME V CC S S -∆∆=⋅=，所以24[,]33N CME V -∈，故④正确．故答案为：③④．三．解答题（共4小题，每小题7分，共28分） 25．已知函数1()f x x x=-． （Ⅰ）用函数单调性的定义证明()f x 在区间(0,)+∞上是增函数； （Ⅱ）解不等式1()2f t >． 【答案】见解析【详解】（Ⅰ）证明：任取1x ，2(0,)x ∈+∞，令12x x <， 则1212121212111()()()()()(1)f x f x x x x x x x x x -=---=-+， 因为1x ，2(0,)x ∈+∞，且12x x <， 所以120x x -<，12110x x +>， 所以12()()0f x f x -<， 即12()()f x f x <，所以()f x 在区间(0,)+∞上是增函数； （Ⅱ）因为1()f x x x=-， 所以1()2f t >， 即112t t ->，整理得2220t t t-->，等价于2(22)0t t t -->，0t <<或t >，所以不等式的解集为，0)⋃，)+∞．26．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为平行四边形，BD DC ⊥，PCD ∆为正三角形，平面PCD ⊥平面ABCD ，E 为PC 的中点．（1）证明：//AP 平面EBD ； （2）证明：BE PC ⊥．【答案】见解析【详解】证明：（1）连接AC ，交BD 于点O ，连接EO ， 四边形ABCD 为平行四边形，且ACBD O =，O ∴为AC 的中点，又在PAC ∆中，E 为PC 的中点，//AP EO ∴． EO ⊂平面EBD ，AP ⊂/平面EBD ， //AP ∴平面EBD ；（2）平面PCD ⊥平面ABCD ，且平面PCD ⋂平面ABCD DC =， BD DC ⊥，BD ⊂平面ABCD ，BD ∴⊥平面PCD ，PC ⊂平面PCD ，BD PC ∴⊥，PCD ∆为等边三角形，且E 为PC 的中点，DE PC ∴⊥，又BD DE D =，BD ，DE ⊂平面BDE ，PC ∴⊥平面BDE ，BE ⊂平面BDE ，BE PC ∴⊥．27．已知函数()sin()12f x x π=+．（Ⅰ）求3()4f π，()3f π；（Ⅱ）求()f x 在区间[4π-，2]3π上的最大值和零点． 解：（Ⅰ）335()sin()sin 44126f ππππ=+== ① ；()sin()sin()331264f πππππ=+=+= ； （Ⅱ）因为[4x π∈-，2]3π，所以[126x ππ+∈-，3]4π， 所以当12x π+= ；即x = 时，()f x 取得最大值，为 ；由()0f x =和[126x ππ+∈-，3]4π得012x π+=，12x π=-， 所以()f x 在区间[4π-，2]3π上的零点为 ．【详解】函数()sin()12f x x π=+．（Ⅰ）3351()sin()sin 441262f ππππ=+==；()sin()sin()sin cos cos sin 3312646664f πππππππππ=+=+=+=． （Ⅱ）()sin()12f x x π=+．因为[4x π∈-，2]3π，所以[126x ππ+∈-，3]4π， 所以当122x ππ+=；即512x π=时，()f x 取得最大值，为1； 由()0f x =和[126x ππ+∈-，3]4π得012x π+=，12x π=-，所以()f x 在区间[4π-，2]3π上的零点为12π-． 故答案为：①A ；②B ；③B ；④A ；⑤B ．28．科学研究表明：人类对声音有不同的感觉，这与声音的强度I （单位：瓦/平方米）有关．在实际测量时，常用L （单位：分贝）来表示声音强弱的等级，它与声音的强度I 满足关系式：0(IL a lga I =⋅是常数），其中120110I -=⨯瓦/平方米．如风吹落叶沙沙声的强度11110I -=⨯瓦/平方米，它的强弱等级10L =分贝．（Ⅰ）a = 10 ；（Ⅱ）已知生活中几种声音的强度如表：；（Ⅲ）为了不影响正常的休息和睡眠，声音的强弱等级一般不能超过50分贝，求此时声音强度I 的最大值． 【答案】见解析【详解】（Ⅰ）将120110I -=⨯ 瓦/平方米，11110I -=⨯ 瓦/平方米代入0IL a lgI =⋅， 得111211010,10110a lg a a --⨯=⋅==⨯；（Ⅱ）由10121101020110L lg --⨯=⋅=⨯，则20m =；（Ⅲ）由题意知，121050110I L lg-=⋅⨯，解得710I -， 所以I 的最大值为710-瓦/平方米．。

2024年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试数学试卷（答案在最后）考生须知：1.考生要认真填写考场号和座位序号.2.本试卷共6页，分为两部分：第一部分为选择题，共60分；第二部分为非选择题，共40分.3.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效，第一部分必须用2B 铅笔作答，第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答.4.考试结束后，考生应将试卷、答题卡放在桌面上，待监考员收回.第一部分（选择题共60分）一、选择题共20小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}{}1,0,1,1,2A B =-=，则A B = （）A.{}1 B.{}2 C.{}1,2 D.{}1,0,1,2-2.复数2i =（）A.iB.i- C.1D.1-3.函数()()21f x x x =+的零点为（）A.1-B.0C.1D.24.已知向量()()0,1,2,1a b == ，则a b -=（）A.()0,2- B.()2,0 C.()2,0- D.()2,25.不等式21x >的解集为（）A.{}10x x -<< B.{}01x x << C.{}11x x -<< D.{1x x <-或}1x >6.在空间中，若两条直线a 与b 没有公共点，则a 与b （）A.相交B.平行C.是异面直线D.可能平行，也可能是异面直线7.在同一坐标系中，函数()y f x =与()y f x =-的图象（）A.关于原点对称B.关于x 轴对称C .关于y 轴对称D.关于直线y x =对称8.已知,a b 挝R R ，则“a b =”是“22a b =”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9.故宫文创店推出了紫禁城系列名为“春”、“夏”、“秋”、“冬”的四款书签，并随机选择一款作为纪念品赠送给游客甲，则游客甲得到“春”或“冬”款书签的概率为（）A.12B.13C.14D.1610.已知函数(),01,0x x f x x x ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，若()02f x =，则0x =（）A.12B.12-C.2D.2-11.在ABC 中，7,3,5a b c ===，则A ∠=（）A.30︒ B.60︒C.90︒D.120︒12.下列函数中，存在最小值的是（）A.()1f x x =-+ B.()22f x x x =- C.()exf x = D.()ln f x x=13.贸易投资合作是共建“一带一路”的重要内容.2013—2022年中国与共建国家进出口总额占中国外贸总值比重（简称占比）的数据如下：年份2013201420152016201720182019202020212022占比()%39.240.338.938.639.640.642.441.442.245.4则这10年占比数据的中位数为（）A.40.3%B.40.45%C.40.6%D.41.4%14.若tan 1α=-，则角α可以为（）A.π4B.π6C.3π4D.5π615.66log 2log 3+=（）A.0B.1C.2D.316.函数()f x =的定义域为（）A.[)3,∞-+ B.[)2,-+∞ C.[)2,+∞ D.[)4,+∞17.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为BC 的中点.若1AB =，则三棱锥1D ADP -的体积为（）A.2B.1C.12D.1618.()2sin15cos15︒+︒=（）A.12B.1C.32D.219.已知0,0a b ≥≥，且1a b +=，则a b -的取值范围是（）A.[]1,0- B.[]0,1 C.[]1,1- D.[]22-,20.某校组织全校1850名学生赴山东曲阜、陕西西安和河南洛阳三地开展研究性学习活动，每位学生选择其中一个研学地点，且每地最少有100名学生前往，则研学人数最多的地点（）A.最多有1651名学生B.最多有1649名学生C.最少有618名学生D.最少有617名学生第二部分（非选择题共40分）二、填空题共4小题，每小题3分，共12分.21.已知幂函数()f x x α=的图象经过点(2,4)，则α=_______．22.已知,a b 挝R R ，且a b >，则2a -________3b -（填“>”或“<”）.23.已知向量,,a b c ，其中()1,0a = .命题p ：若a b a c ⋅=⋅r r r r，则b c = ，能说明p 为假命题的一组b 和c 的坐标为b = ________，c =________.24.已知的()11f x x =+，给出下列三个结论：①()f x 的定义域为R ；②()(),0x f x f ∀∈≤R ；③k ∃∈R ，使曲线()y f x =与y kx =恰有两个交点.其中所有正确结论的序号是________.三、解答题共4小题，共28分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.25.已知函数()2cos2f x x =.（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.26.阅读下面题目及其解答过程.已知函数()22xxf x -=+.（1）证明：()f x 是偶函数；（2）证明：()f x 在区间()0,∞+上单调递增.解：（1）()f x 的定义域为D =①________.因为对任意x D ∈，都有x D -∈，且()22xx f x --=+=②________，所以()f x 是偶函数.（2）③________()12,0,x x ∈+∞，且12x x <，()()()()1122122222x x x x f x f x ---=+-+1212112222x x x x =-+-21121222222x x x x x x +-=-+()()12121222212x x x x x x ++--=因为120x x <<，所以1222x x -④________0，1221x x +-⑤________0，1221x x +>.所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <.所以()f x 在区间()0,∞+上单调递增.以上题目的解答过程中，设置了①～⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个正确，请选出你认为正确的选项，并填写在答题卡的指定位置（只需填写“A ”或“B ”），空格序号选项① A.R B.()(),00,∞-+∞U ② A.()fx - B.()f x ③ A.任取 B.存在④ A.> B.<⑤A.>B.<27.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点.（1）求证：BD ⊥平面PAC ；（2）求证：//PB 平面AEC .28.已知()00000,,,a b c d α=和数表111122223333a b c d A a b c d a b c d ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，其中()*,,,N 0,1,2,3i i i i a b c d i ∈=.若数表A 满足如下两个性质，则称数表A 由0α生成.①任意{}11110,1,2,,,,i i i i i i i i i a a b b c c d d ++++∈----中有三个1-，一个3；②存在{}1,2,3k ∈，使,,,k k k k a b c d 中恰有三个数相等.（1）判断数表566645593848A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是否由()06,7,7,3α=生成；（结论无需证明）（2）是否存在数表A 由()06,7,7,4α=生成？说明理由；（3）若存在数表A 由()007,12,3,d α=生成，写出0d 所有可能的值.2024年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试数学试卷考生须知：1.考生要认真填写考场号和座位序号.2.本试卷共6页，分为两部分：第一部分为选择题，共60分；第二部分为非选择题，共40分.3.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效，第一部分必须用2B 铅笔作答，第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答.4.考试结束后，考生应将试卷、答题卡放在桌面上，待监考员收回.第一部分（选择题共60分）一、选择题共20小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}{}1,0,1,1,2A B =-=，则A B = （）A.{}1 B.{}2 C.{}1,2 D.{}1,0,1,2-【答案】A 【解析】【分析】根据集合交集的概念与运算，即可求解.【详解】集合{}{}1,0,1,1,2A B =-=，根据集合交集的运算，可得{}1A B ⋂=.故选：A.2.复数2i =（）A.iB.i- C.1D.1-【答案】D 【解析】【分析】直接根据复数的运算得答案.【详解】2i 1=-.故选：D.3.函数()()21f x x x =+的零点为（）A.1-B.0C.1D.2【答案】B 【解析】【分析】解方程求得方程的根，即可得相应函数的零点.【详解】令()()210f x x x =+=，则0x =，即函数()()21f x x x =+的零点为0，故选：B4.已知向量()()0,1,2,1a b == ，则a b -=（）A.()0,2- B.()2,0 C.()2,0- D.()2,2【答案】C 【解析】【分析】直接利用向量的坐标运算计算即可.【详解】()()0,1,2,1a b ==,()2,0a b ∴-=-.故选：C.5.不等式21x >的解集为（）A.{}10x x -<< B.{}01x x << C.{}11x x -<< D.{1x x <-或}1x >【答案】D 【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可.【详解】由题意知，211x x >⇒<-或1x >，所以原不等式的解集为{1x x <-或1}x >.故选：D6.在空间中，若两条直线a 与b 没有公共点，则a 与b （）A.相交B.平行C.是异面直线D.可能平行，也可能是异面直线【答案】D 【解析】【分析】根据空间直线的位置关系判断，即可得答案.【详解】由题意知在空间中，两条直线a 与b 没有公共点，即a 与b 不相交，则a 与b 可能平行，也可能是异面直线，故选：D7.在同一坐标系中，函数()y f x =与()y f x =-的图象（）A.关于原点对称B.关于x 轴对称C.关于y 轴对称D.关于直线y x =对称【答案】B 【解析】【分析】根据函数上点的关系即可得函数图象的关系.【详解】当x a =时，()y f a =与()y f a =-互为相反数，即函数()y f x =与()y f x =-的图象关于x 轴对称.故选：B.8.已知,a b 挝R R ，则“a b =”是“22a b =”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】直接根据充分性和必要的定义判断求解.【详解】当a b =时，22a b =，当22a b =时，a b =±，则“a b =”是“22a b =”的充分而不必要条件.故选：A .9.故宫文创店推出了紫禁城系列名为“春”、“夏”、“秋”、“冬”的四款书签，并随机选择一款作为纪念品赠送给游客甲，则游客甲得到“春”或“冬”款书签的概率为（）A.12B.13C.14D.16【答案】A 【解析】【分析】直接根据古典概型的计算公式求解即可.【详解】由已知得随机选择一款作为纪念品赠送给游客甲有4种赠法，其中游客甲得到“春”或“冬”款书签的有2种赠法，则游客甲得到“春”或“冬”款书签的概率为2142=.故选：A.10.已知函数(),01,0x x f x x x≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，若()02f x =，则0x =（）A.12B.12-C.2D.2-【答案】A 【解析】【分析】根据分段函数的解析式，代入求值，即可得答案.【详解】当0x ≤时，()0f x x =≤，当0x >时，1()0f x x=>，故由()02f x =，得001122,x x =∴=，故选：A11.在ABC 中，7,3,5a b c ===，则A ∠=（）A.30︒ B.60︒C.90︒D.120︒【答案】D 【解析】【分析】根据余弦定理求角，即可得答案.【详解】在ABC 中，7,3,5a b c ===，由余弦定理得222925491cos 22352b c a A bc +-+-===-⨯⨯,而A 为三角形内角，故120A =︒，故选：D12.下列函数中，存在最小值的是（）A.()1f x x =-+B.()22f x x x =- C.()exf x = D.()ln f x x=【答案】B 【解析】【分析】根据函数的单调性及值域分别判断最小值即可.【详解】()1f x x =-+单调递减值域为R ,无最小值，A 选项错误；()22f x x x =-在(),1-∞单调递减，在()1,+∞单调递增，当1x =取得最小值，B 选项正确；()e x f x =单调递增，值域为()0,+∞，无最小值，C 选项错误；()ln f x x =单调递增，值域为R ,无最小值，D 选项错误.故选:B.13.贸易投资合作是共建“一带一路”的重要内容.2013—2022年中国与共建国家进出口总额占中国外贸总值比重（简称占比）的数据如下：年份2013201420152016201720182019202020212022占比()%39.240.338.938.639.640.642.441.442.245.4则这10年占比数据的中位数为（）A.40.3%B.40.45%C.40.6%D.41.4%【答案】B 【解析】【分析】将数据从小到大排列，然后求中位数即可.【详解】把这10年占比数据从小到大排列得38.6%,38.9%,39.2%,39.6%,40.3%,40.6%,41.4%,42.2%,42.4%,45.4%，中位数为40.3%40.6%40.45%2+=.故选：B14.若tan 1α=-，则角α可以为（）A.π4B.π6 C.3π4D.5π6【答案】C 【解析】【分析】直接根据正切值求角即可.【详解】tan 1α=- ,3ππ,4k k α∴=+∈Z ，观察选项可得角α可以为3π4.故选：C.15.66log 2log 3+=（）A.0B.1C.2D.3【答案】B 【解析】【分析】直接利用对数的运算性质计算即可.【详解】()66661l o 2og 2log 3l g l g 36o ==+⨯=.故选：B.16.函数()f x =的定义域为（）A.[)3,∞-+ B.[)2,-+∞ C.[)2,+∞ D.[)4,+∞【答案】C 【解析】【分析】根据函数()f x 的解析式有意义，列出不等式，即可求解.【详解】由函数()f x =有意义，则满足390x -≥，即2393x ≥=，解得2x ≥，所以函数()f x 的定义域为[)2,+∞.故选：C.17.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为BC 的中点.若1AB =，则三棱锥1D ADP -的体积为（）A.2B.1C.12D.16【答案】D 【解析】【分析】直接利用棱锥的体积公式计算.【详解】因为1DD ⊥面ADP 所以1111111113326D ADP ADP V DD S -=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯= .故选：D.18.()2sin15cos15︒+︒=（）A.12B.1C.32D.2【答案】C 【解析】【分析】按完全平方公式展开后，结合同角的三角函数关系以及二倍角正弦公式，即可求得答案.【详解】()2223sin15cos15sin 152sin15cos15cos 151sin 302︒+︒=︒+︒︒+︒=+︒=，故选：C19.已知0,0a b ≥≥，且1a b +=，则a b -的取值范围是（）A.[]1,0- B.[]0,1 C.[]1,1- D.[]22-,【答案】C 【解析】【分析】先通过条件求出a 的范围，再消去b 求范围即可.【详解】由1a b +=得1b a =-，所以10a -≥，得01a ≤≤，所以()[]1211,1a b a a a -=--=-∈-.故选：C.20.某校组织全校1850名学生赴山东曲阜、陕西西安和河南洛阳三地开展研究性学习活动，每位学生选择其中一个研学地点，且每地最少有100名学生前往，则研学人数最多的地点（）A.最多有1651名学生B.最多有1649名学生C.最少有618名学生D.最少有617名学生【答案】D 【解析】【分析】根据题意求出最多和最少的人数即可.【详解】185036162÷= ,6161617+=，即研学人数最多的地点最少有617名学生，18501001001650--=，即研学人数最多的地点最多有1650名学生.故选：D第二部分（非选择题共40分）二、填空题共4小题，每小题3分，共12分.21.已知幂函数()f x x α=的图象经过点(2,4)，则α=_______．【答案】2【解析】【分析】由幂函数所过的点可得24α=，即可求α.【详解】由题设，(2)24f α==，可得2α=.故答案为：222.已知,a b 挝R R ，且a b >，则2a -________3b -（填“>”或“<”）.【答案】<【解析】【分析】根据不等式的基本性质即可求解.【详解】由题意知，a b >，则a b -<-，所以23a b -+<-+，即23a b -<-.故答案为：<23.已知向量,,a b c ，其中()1,0a = .命题p ：若a b a c ⋅=⋅r r r r，则b c = ，能说明p 为假命题的一组b 和c 的坐标为b = ________，c =________.【答案】①.()0,1（答案不唯一）②.()0,2（答案不唯一）【解析】【分析】直接根据0a b a c ⋅=⋅=r r r r可得答案.【详解】让0a b a c ⋅=⋅=r r r r即可，如()()0,1,0,2b c ==r r ，此时b c≠r r 故答案为：()()0,1,0,2（答案不唯一）.24.已知的()11f x x =+，给出下列三个结论：①()f x 的定义域为R ；②()(),0x f x f ∀∈≤R ；③k ∃∈R ，使曲线()y f x =与y kx =恰有两个交点.其中所有正确结论的序号是________.【答案】①②【解析】【分析】①直接观察函数可得答案；②通过0x ≥求出()f x 的最值即可；③将问题转化为1y k=与()()1y g x x x ==+的交点个数即可.【详解】对于①：由10x +≠恒成立得()f x 的定义域为R ，①正确；对于②：()1011101x x f x ≥⇒+≥⇒≤=+，②正确；对于③：令11kx x =+，变形得()11x x k+=，作出函数()()22,01,0x x x g x x x x x x ⎧+≥=+=⎨-+<⎩的图象如下图：根据图象可得()g x 在R 上单调递增，故1y k=与()y g x =只有一个交点，即不存在k ∈R ，使曲线()y f x =与y kx =恰有两个交点，③错误.故答案为：①②.三、解答题共4小题，共28分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.25.已知函数()2cos2f x x =.（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【答案】25.π26.最大值为2，最小值为-2【解析】【分析】（1）结合公式2πT ω=计算直接得出结果；（2）由题意求得02πx ≤≤，根据余弦函数的单调性即可求解.【小问1详解】由2π2ππ2T ω===，知函数()f x 的最小正周期为π；【小问2详解】由π02x ≤≤，得02πx ≤≤，令2x θ=，则0πθ≤≤，函数cos y θ=在[0,π]上单调递减，所以1cos θ1-＃，所以2()2f x -≤≤，即函数()f x 在π[0,2上的最大值为2，最小值为-2.26.阅读下面题目及其解答过程.已知函数()22xxf x -=+.（1）证明：()f x 是偶函数；（2）证明：()f x 在区间()0,∞+上单调递增.解：（1）()f x 的定义域为D =①________.因为对任意x D ∈，都有x D -∈，且()22xx f x --=+=②________，所以()f x 是偶函数.（2）③________()12,0,x x ∈+∞，且12x x <，()()()()1122122222x x x x f x f x ---=+-+1212112222x x x x =-+-21121222222x x x x x x +-=-+()()12121222212x x x x x x ++--=因为120x x <<，所以1222x x -④________0，1221x x +-⑤________0，1221x x +>.所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <.所以()f x 在区间()0,∞+上单调递增.以上题目的解答过程中，设置了①～⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个正确，请选出你认为正确的选项，并填写在答题卡的指定位置（只需填写“A ”或“B ”），空格序号选项①A.RB.()(),00,∞-+∞U ② A.()f x - B.()f x ③ A.任取 B.存在④ A.> B.<⑤A.>B.<【答案】ABABA 【解析】【分析】根据()f x 的定义域以及函数奇偶性的定义可解答①②；根据函数单调性的定义，结合用单调性定义证明函数单调性的步骤方法，可解答③④⑤.【详解】①由于()22xxf x -=+的定义域为R ，故A 正确；②由于()2()2xx x x f f --=+=，故B 正确；③根据函数单调性定义可知任取()12,0,x x ∈+∞，故A 正确；④因为120x x <<，所以1222x x <，故12220x x -<，故B 正确；⑤因为120x x <<，故120x x +>，故121221,210x x x x ++>∴->，故A 正确.27.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点.（1）求证：BD ⊥平面PAC ；（2）求证：//PB 平面AEC .【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据线面垂直的性质可得BD PA ⊥，结合线面垂直判定定理即可证明；（2）设AC 与BD 交于点O ，连接OE ，则//OE PB ，结合线面平行的判定定理即可证明.【小问1详解】因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以BD PA ⊥，又平面ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥，又,PA AC A PA AC 、=Ì平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC ；【小问2详解】E 为PD 的中点，设AC 与BD 交于点O ，连接OE，则//OE PB ，又OE ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，所以//PB 平面AEC .28.已知()00000,,,a b c d α=和数表111122223333a b c d A a b c d a b c d ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，其中()*,,,N 0,1,2,3i i i i a b c d i ∈=.若数表A满足如下两个性质，则称数表A 由0α生成.①任意{}11110,1,2,,,,i i i i i i i i i a a b b c c d d ++++∈----中有三个1-，一个3；②存在{}1,2,3k ∈，使,,,k k k k a b c d 中恰有三个数相等.（1）判断数表566645593848A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是否由()06,7,7,3α=生成；（结论无需证明）（2）是否存在数表A 由()06,7,7,4α=生成？说明理由；（3）若存在数表A 由()007,12,3,d α=生成，写出0d 所有可能的值.【答案】（1）是（2）不存在，理由见解析（3）3，7，11.【解析】【分析】（1）根据数表A 满足的两个性质进行检验，即可得结论；（2）采用反证的方法，即若存在这样的数表A ，由性质①推出对任意的{}1,2,3k ∈，,,,k k k k a b c d 中均有2个奇数，2个偶数，则推出不满足性质②，即得结论；（3）判断出0d 的所有可能的值为3，7，11，一方面说明0d 取这些值时可以由()007,12,3,d α=生成数表A ，另一方面，分类证明0d 的取值只能为3，7，11，由此可得0d 所有可能的值.【小问1详解】数表566645593848A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是由()06,7,7,3α=生成；检验性质①：当0i =时，561,671,671,633-=--=--=--=，共三个1-，一个3；当1i =时，451,561,561,963-=--=--=--=，共三个1-，一个3；当2i =时，341,853,451,891-=--=-=--=-，共三个1-，一个3；任意{}11110,1,2,,,,i i i i i i i i i a a b b c c d d ++++∈----中有三个1-，一个3；检验性质②：当1k =时，11115,6,6,6a b c d ====，恰有3个数相等.【小问2详解】不存在数表A 由()06,7,7,4α=生成,理由如下:若存在这样的数表A ，由性质①任意{}11110,1,2,,,,i i i i i i i i i a a b b c c d d ++++∈----中有三个1-，一个3，则13i i a a +-=或-1，总有1i a +与i a 的奇偶性相反，类似的，1i b +与i b 的奇偶性相反，1i c +与i c 的奇偶性相反，1i d +与i d 的奇偶性相反；因为00006,7,7,4a b c d ====中恰有2个奇数，2个偶数，所以对任意的{}1,2,3k ∈，,,,k k k k a b c d 中均有2个奇数，2个偶数，此时,,,k k k k a b c d 中至多有2个数相等，不满足性质②；综上，不存在数表A 由()06,7,7,4α=生成；【小问3详解】0d 的所有可能的值为3，7，11.一方面，当03d =时，(71233),,,可以生成数表611265105541344A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭；当07d =时，(71237),,,可以生成数表611665145541744A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭；当011d =时，(712311),,,可以生成数表611610510998988A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭；另一方面，若存在数表A 由()007,12,3,d α=生成，首先证明：0d 除以4余3；证明：对任意的0,1,2,3i =，令i i i a b ∆=-，则()()()()11111ΔΔi i t i i i i i i i a b a b a a b b +++++-=---=---，分三种情况：（i ）若11i i a a +-=-，且11i i b b +-=-，则10i i +∆∆=-；（ii ）若11i i a a +-=-，且13i i b b +=-，则14i i +∆-=-∆；（iii ）若13i i a a +-=，且11i i b b +-=-，则14i i +∆∆=-；均有1i +∆与i ∆除以4的余数相同.特别的，“存在{}1,2,3k ∈，使得k k a b =”的一个必要不充分条件为“00,a b 除以4的余数相同”；类似的，“存在{}1,2,3k ∈，使得k k a c =”的一个必要不充分条件为“00,a c 除以4的余数相同”；“存在{}1,2,3k ∈，使得k k a d =”的一个必要不充分条件为“00,a d 除以4的余数相同”；“存在{}1,2,3k ∈，使得k k b c =”的一个必要不充分条件为“00,b c 除以4的余数相同”；“存在{}1,2,3k ∈，使得k k b d =”的一个必要不充分条件为“00,b d 除以4的余数相同”；“存在{}1,2,3k ∈，使得k k c d =”的一个必要不充分条件为“00,c d 除以4的余数相同”；所以，存在{}1,2,3k ∈，使得,,,k k k k a b c d 中恰有3个数相等的一个必要不充分条件是,,,k k k k a b c d 中至少有3个数除以4的余数相同.注意到07a =与03c =除以4余3，012b =除以4余0，故0d 除以4余3.其次证明：0{3,7,11,15}d ∈；证明：只需证明015d ≤；由上述证明知若()007,12,3,d α=可以生成数表A ，则必存在{}1,2,3k ∈，使得k k k a c d ==；若015d >，则0015312d c ->-=，()()1100221148,44d c d c d c d c -≥-->-≥-->，()332240d c d c -≥-->，所以，对任意{}1,2,3k ∈，均有0k k d c ->，矛盾；最后证明：015d ≠；证明：由上述证明可得若()007,12,3,d α=可以生成数表A ，则必存在{}1,2,3k ∈，使得k k k a c d ==，0015312d c =--=，()()1100221148,44d c d c d c d c -≥--=-≥--≥，()332240d c d c -≥--≥，欲使上述等号成立，对任意的{}1,2,3k ∈，113,1k k k k c c d d ++-=-=-，则111,1k k k k a a b b ++-=--=-，611614510913491212A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，经检验，不符合题意；综上，0d 所有可能的取值为3，7，11.【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于第3问中确定0d 所有可能的取值，解答时要根据数表A 满足的性质分类讨论求解，并进行证明，证明过程比较复杂，需要有清晰的思路.。

2021年北京市普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟卷（一）第一部分 选择题（每小题3分，共81分）在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1.已知全集U =R ，集合2{|340}A x x x =-->，{|0}5x B x x =<-，那么集合()U C A B ⋂=（ ） A. {}14x x -≤≤ B. {}04x x <≤ C. {}05x x << D. {}15x x -≤< 2.在等腰梯形ABCD 中，2AB CD =-.M 为BC 的中点，则AM =（ ） A. 1122AB AD + B.3142AB AD + C. 3144AB AD + D. 1324AB AD + 3.已知直线1l ：40x y --=和直线2l ：280mx y -+=平行，则实数m 的值为（ ）A. -2B. -1C. 1D. 24.已知幂函数()y f x =的图象过点1(3，则3log (81)f 的值为（ ） A. 12 B. 12- C. 2 D. 2-5.已知幂函数图像经过点(2,8)，则该幂函数的解析式是（ ）A. 3x y =B. x y =C. 3y x =D. y x = 6.若平面α与β的法向量分别是(2,4,3),(1,2,2,)a b =-=-，则平面α与β的位置关系是（ ）A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.无法确定7.掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（ ） A. 118 B. 19 C. 16 D. 1128.某全日制大学共有学生5600人，其中专科生有1300人，本科生有3000人，研究生有1300人，现采用分层抽样的方法调查学生利用因特网查找学习资料的情况，抽取的样本为280人，则应在专科生、本科生与研究生这三类学生中分别抽取( )人.A. 65,150,65B. 30，150，100C. 93,94,93D. 80,120,809.已知sin -2πα⎛⎫⎪⎝⎭＝35 ，则cos (π＋α)的值为( ) A. 45 B. －45 C. 35 D. －3510.点(,)P x y 在直线20x y +-=上，O 是坐标原点，则||OP 的最小值是（ ）A. 1B.C. 2D. 11.已知向量a ，b 不共线，且c a b λ=+，()21d a b λ=+-，若c 与d 反向共线，则实数λ的值为（ ）A. 1B. 12-C. 1或12-D. －1或12-12.已知直线l 经过()()1,1,2,3A B 两点，则l 的斜率为（）A. 2B. 23C. 43D. 1213.已知直线41x y a b +=()0,0a b >>过点(1,1)，则a b +的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 7 D. 9 14.函数()2ln f x x x =-的零点所在的区间为（ ） A. (1,2)B. (2,3)C. (3,4)D. (4,5)15.下列函数中是偶函数，且在(－∞,0)上单调递增的是（ ）A. ()23f x x = B. ()2x f x =C. ()21log 1f x x =+D. ()1f x x x=- 16.广场上有一盏路灯挂在高9米的电线杆顶上，记电线杆的底部为A ，把路灯看作一个点光源，身高1.5米的女孩站在离A 点5米的点B 处，女孩以5米为半径绕着电线杆走一个圆圈，人影扫过的面积约是（π取3.14）（ ）A. 230.166mB. 231.4mC. 234.54mD. 235.56m 17.如果角α的终边过点(2sin30,2cos30)︒-︒，则sin α的值等于（ ）A. 12B. 12-C. 3-D. 3-18.若将函数()sin 2f x x x =图象向右平移ϕ个单位，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小值是（ ）A. 6πB. 3πC. 512πD. 56π 19.俗话说：“水滴石穿”，水滴不断的落在一块石头的同一个位置，经过若干年后，石头上形成了一个深度为0.000000039cm 的小洞，则0.000000039用科学记数法可表示为（ ）A. 3.9×10﹣8B. ﹣3.9×10﹣8C. 0.39×10﹣7D. 39×10﹣9 20.设α，β表示平面，l 表示直线，A ，B ，C 表示三个不同的点，给出下列命题：①若∈A l ，A α∈，B l ∈，B α∈，则l α⊂；②若A α∈，A β∈，B α∈，B β∈，则AB αβ=；③若l α⊄，∈A l ，则A α∉；④若,,A B C α∈，,,A B C β∈，则α与β重合.其中，正确的有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个21.圆的方程为222100x y x y +++-=，则圆心坐标为（ ）A. (1,－1)B. 1(,1)2-C. (－1,2)D. 1(,1)2-- 22.已知函数21,0()1,0x x x f x a x ->⎧=⎨+≤⎩，若(1)3f -=，则不等式()5f x ≤的解集为（ ）． A.[－2,1] B.[－3,3] C. [－2,2] D. [－2,3]23.已知函数f(x)为奇函数，且当0x >时，()22f x x x=+，则()1f -=（ ） A. －2 B. 2 C. －3D. 324.在△ABC 中，60A ︒=，4AC =，BC =△ABC 的面积为（）A. B. 4 C. D.25.在四棱锥P ﹣ABCD 中，2,2PA PB PC PD AB AD BC CD ========，则四棱锥P ﹣ABCD 的体积为（ ）A. B. C. D. 326.在△ABC 中，90A ∠=，()2,2AB k →=-，()2,3AC →=，则k 的值是（ ）A. 5B. 5-C. 32D. 32- 27.若函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对一切实数都有f (2＋x ) ＝ f (2－x )则( ) A. f (2)<f (1)< f (4) B. f (1)<f (2)< f (4)C. f (2)<f (4)< f (1)D. f (4)<f (2)< f (1) 第二部分 解答题（共19分）28.（本小题满分5分）函数()()ππsin 0022ωϕωϕ⎛⎫=+>>-<< ⎪⎝⎭，，f x A x A 的部分图象如图所示.（1）求函数f (x )的解析式；（2）若()f x =324x ππ<<，求cos2x . 29.（本小题满分5分） 如图，矩形ACMN 所在平面与菱形ABCD 所在平面互相垂直，交线为AC ，AC BD O =，E 是MN 的中点.（1）求证：//CE 平面NBD ；（2）若点F 在线段CM 上，且OF NO ⊥，求证：NO ⊥平面FBD .30.（本小题满分5分）已知圆C 经过()1,5A -，()5,5B ，()6,2D -三点．（1）求圆C 的标准方程；（2）求经过点()3,2E -且和圆C 相切的直线l 的方程．31.（本小题满分4分）已知函数()log a f x x =（0a >，且1a ≠），且()31f =.（1）求a 的值，并写出函数f (x )的定义域；（2）若不等式()()42x x f t f t ⋅≥-对任意[]1,2x ∈恒成立，求实数t 的取值范围.。

1合格考模拟试卷解析版-2021北京市普通高中学业水平合格性考试仿真模拟卷2021北京市普通高中学业水平合格性考试仿真模拟卷 01英语一、听力理解（共25小题，25分。

每小题1分）略二、完形填空（共15小题，15分。

每小题1分）阅读下面短文，从各题A、B、C、D四个选项中，选出可以填入空白处的最佳答案。

The little boy with big brown eyes was waiting for us on the other side of the world. Ever since our adoption agency had ____1____ us, I’d been hurriedly competing all the necessary paperwork. I made it a personal goal to never delay the process. On one late afternoon in June. I rushed toward the closest FedEx office. I had some ____2____ to send overnight, and I wanted them to go out that day.I thought I knew where the FedEx office was. I drove there as the minutes slipped away, only to find that the office was no longer ____3____ where I remembered it. Tears came to my eyes. This was ____4___ we all had a smartphone in our pockets. I had no way of ____5____ the correct location. ___6____ , I started driving toward home. I felt like a failure, as though I’d just _____7_____ my new son to more days in an orphanage waiting for us.Suddenly, I was _____8_____ at a stoplight by an oversized box truck My anger turned to _____9_____ when I saw the sign. It was a FedEx truck I _____10_____ closely behind the truck. What were the _____11_____ the truck would lead me straight to the FedEx office I was seeking?It broke out the chances were good. Less than five minuteslater, I saw a FedEx sign, and the truck made a turn into the parking lot. I had _____12_____ in my eyes again.Our documents went out that night. The truck driver _____13_____ knew he was an angel for me that day. Three months later, we flew halfway around the world to _____14_____ our son for the first time. We have been with him every day since.Miracles are always around us _____15_____ we are open to them. Sometimes, it’s a smile at the right time or a kind word. And every n ow and then, it’s even a big truck that cuts us off in traffic.1. A. debated B. challenged C. matched D. scanned2. A. gifts B. letters C. documents D. postcards3. A. locked B. located C. ranked D. repaired4. A. before B. after C. since D. when5.A. finding B. choosing C. describing D. showing6. A. Bored B. Delighted C. Disappointed D. Surprised7. A. compared B. sentenced C. appointed D. accompanied8. A. kept up B. put down C. taken in D. cut off9. A. guilt B. panic C. shock D. terror10. A. ran B. arose C. walked D. followed11. A. chances B. wonders C. doubts D. promises12. A. dust B. dirt C. tears D. sands13. A. just B. never C. exactly D. immediately14. A. free B. meet C. beat D. spoil15. A. if B. although C. unless D. until这是一篇夹叙夹议文。

2021年北京市普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟卷（四）第一部分 选择题（每小题3分，共81分）在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1. 设集合{}2|1P x x ==，则集合P 的非空真子集的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 7 D. 8【答案】A【解析】集合{}2|1P x x ==,即{}1,1P =-，集合P 的非空真子集有{}{}1,1-， 共2个. 故选：A .2. 函数的定义域是( ) A.(－∞,－1) B.(1,+∞) C. (－1,1)∪(1,+∞) D. (－∞, +∞) 【答案】C【解析】由分式的分母不为0，对数函数的真数非负即可得。

故选C ．3. 已知ln 2a =，ln3b =，那么3log 2用含a 、b 的代数式表示为（ ）． A.-a bB.abC. abD.+a b【答案】B【解析】由换底公式可得：32log 23ln aln b==. 故选B.4. 如图，在△ABC 中，D ，E ，F 分别为线段BC ，AD ，BE 的中点，则AF =（ ）1()lg(1)1f x x x=++-A. 1588AB AC + B.5188AB AC - C. 1588AB AC -D. 5188AB AC +【答案】D【解析】解：∵()12AF AB AE =+ 111222AB AD =+⨯ ()111242AB AB AC =+⨯+ 5188AB AC =+， 故选D ．5. 直线310x ++=的倾斜角是（ ） A. 30° B. 60°C. 120°D. 150°【答案】C【解析】直线310x +=的斜率为直线的倾斜角为：θ，tan θ=可得：120θ=︒ 故选C6. 把函数y ＝sin(x ＋π6)图象上各点的横坐标缩短到原来的12 (纵坐标不变)，再将图象向右平移π3个单位长度，那么所得图象的一条对称轴方程为( ) A. x ＝－π2 B. x ＝－π4C. x ＝π8 D. x ＝π4【答案】A【解析】把函数y ＝sin(x ＋π6)图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)得πsin(2)6y x =+ ，再将图象向右平移π3个单位长度得πππsin(2())sin(2)cos 2362y x x x =-+=-=-，一条对称轴方程为x ＝－π2故选A.7. 已知角a 的终边经过点(4,3)(0)P m m m -≠，则2sin cos a a +的值是（ ） A. 1或－1B.25或25- C. 1或25-D. －1或25- 【答案】B【解析】由题意得点P 与原点间的距离5||r m ==． ①当0m >时，5r m =，∴33sin 55m a m ==，44cos 55m a m -==-， ∴3422sin cos 2555a a +=⨯-=．②当0m <时，5r m =-， ∴33sin 55m a m ==--，44cos 55m a m -==-， ∴3422sin cos 2555a a ⎛⎫+=⨯-+=- ⎪⎝⎭． 综上，2sin cos a a +的值是25或25-． 故选：B8. 下列关于棱柱的说法中，错误的是（ ） A. 三棱柱的底面为三角形 B. 一个棱柱至少有五个面C. 五棱柱有5条侧棱、5个侧面，侧面为平行四边形D. 若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面全等 【答案】D【解析】三棱柱的底面为三角形，所以A 正确； 因为三棱柱有五个面，所以棱柱至少有五个面，B 正确； 五棱柱有5条侧棱、5个侧面，侧面为平行四边形，所以C 正确；若棱柱的底面边长相等，它的各个侧面为平行四边形，即边长对应相等，但夹角不一定相等，所以D 错误； 故选：D9. 如果两直线330x y +-=与610x my ++=互相平行，那么它们之间的距离为（ ）． A ．4 BCD【答案】D【解析】两直线平行， ∴316m=， ∴2m =，直线6210x y ++=变为1302x y ++=， 两直线分别为330x y +-=和13202x y ++=，距离7d ==． 故选D ．10. 已知圆221:(4)25C x y -+=，圆222:(4)1C x y ++=，动圆M 与C 1，C 2都外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为（ ）A. 221(0)412x y x -=<B. 221(0)412x y x -=>C. 221(0)35x y x -=<D. 221(0)35x y x -=>【答案】A【解析】设动圆M 的半径为r ，由题意知，15MC r =+，21MC r =+，则121248MC MC C C -=<=，所以M 点的轨迹是以1C ，2C 为焦点的双曲线的左支， 且2a =，4c =，则212b =，则动圆圆心M 的轨迹方程为221(0)412x y x -=<.故选：A .11.如图，正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E 、F ，且12EF =，则下列结论中正确的是（ ）A. 线段B 1D 1上存在点E 、F 使得//AE BFB. //EF 平面ABCDC. AEF ∆的面积与BEF ∆的面积相等D. 三棱锥A -BEF 的体积不为定值【答案】B【解析】如图所示，AB 与11B D 为异面直线，故AE 与BF 也为异面直线，A 错误；11//B D BD ，故//EF 平面ABCD ，故B 正确；由图可知，点A 和点B 到EF 的距离是不相等的，C 错误； 连结BD 交AC 于O ，则AO 为三棱锥A -BEF 的高，1111224BEF S =⨯⨯=△，三棱锥A -BEF 的体积为1134224⨯⨯=为定值，D 不正确； 故选：B.12. 已知平面α与β互相垂直，α与β交于l ，m 和n 分别是平面α，β上的直线.若m ，n 均与l 既不平行.也不垂直，则m 与n 的位置关系是（ ） A. 可能垂直，但不可能平行B. 可能平行，但不可能垂直C. 可能垂直，也可能平行D. 既不可能垂直，也不可能平行【答案】D【解析】①假设m n ⊥，n 与l 既不垂直，也不平行，n l O ∴⋂=，过O 在β内作直线c l ⊥，αβ⊥，c α∴⊥，m α⊂，c m ∴⊥，又m n ⊥，c n O ⋂=，m β∴⊥，l β⊂，m l∴⊥这与m 与l 既不垂直，也不平行矛盾，m ∴不可能垂直于n ， 同理：n 也不可能垂直于m ； ②假设//m n ，则//m β，m α⊂，l αβ=，//m l ∴这与m 和n 与l 既不垂直，也不平行矛盾，故m 、n 不平行． 故选：D ． 13. sin300°=（ ）A. B. 12-C.12D.【答案】A【解析】由三角函数的定义即可得到答案。

市通州区2021届高三数学第一次模拟考试试题（含解析）一、选择题（共10小题）.1．已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1}，B＝{x|x＞﹣1}，则A∩B＝（）A．{﹣2，﹣1}B．{0，1} C．{﹣1，0，1} D．{﹣2，﹣1，0，1}2．已知（2+x）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a3＝（）A．10B．20C．40D．803．下列函数中，是偶函数且值域为[0，+∞）的是（）A．f（x）＝x2﹣1B．f（x）＝C．f（x）＝log2x D．f（x）＝|x|4．某三棱柱的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱柱的体积为（）A．B．C．4D．85．已知等比数列{a n}的公比q＝﹣2，前6项和S6＝21，则a6＝（）A．﹣32B．﹣16C．16D．326．已知在圆（x﹣1）2+y2＝r2上到直线x﹣y+3＝0的距离为的点恰有一个，则r＝（）A．B．C．2D．7．已知a，b，c∈R，则“a＞b”的一个充分而不必要条件是（）A．a2＞b2B．a3＞b3C．2a＞2b D．ac2＞bc28．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，）的图象如图所示，则（）A．函数f（x）的最小正周期是2πB．函数f（x）在区间上单调递减C．函数f（x）在区间上的最小值是﹣1D．曲线关于直线对称9．已知点P是抛物线y2＝2px（p＞0）上一点，且点P到点A（0，﹣2）的距离与到y轴的距离之和的最小值为，则p＝（）A．B．4C．D．10．著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为θ1℃，空气温度为θ0℃，则tmin后物体的温度θ（单位：℃）满足：θ＝θ0+（θ1﹣θ0）e﹣kt（其中k为常数，e⋯）．现有某物体放在20℃的空气中冷却，2min后测得物体的温度为52℃，再经过6min后物体的温度冷却到24℃，则该物体初始温度是（）A．80℃B．82℃C．84℃D．86℃二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。