中考专题—猜想性专题

中考数学试题精选系列汇编《猜想、规律与探索》一 选择题1. （2011浙江省，10，3分）如图，下面是按照一定规律画出的“数形图”，经观察可以发现：图A 2比图A 1多出2个“树枝”， 图A 3比图A 2多出4个“树枝”， 图A 4比图A 3多出8个“树枝”，……，照此规律，图A 6比图A 2多出“树枝”（ ）A .28B .56C .60D . 124【答案】C3. （2011广东肇庆，15，3分）如图5所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n （n 是大于0的整数）个图形需要黑色棋子的个数是 ▲ ．【答案】)2(+n n4. （2011内蒙古乌兰察布，18，4分）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第 n 个图形 有 个小圆. （用含 n 的代数式表示）【答案】(1)4n n ++或24n n ++5. （2011湖南益阳，16，8分）观察下列算式：① 1 × 3 - 22 = 3 - 4 = -1② 2 × 4 - 32= 8 - 9 = -1 ③ 3 × 5 - 42 = 15 - 16 = -1 ④ ……（1）请你按以上规律写出第4个算式； （2）把这个规律用含字母的式子表示出来；（3）你认为（2）中所写出的式子一定成立吗？并说明理由．第1个图形第 2 个图形 第3个图形第 4 个图形第 18题图【答案】解：⑴246524251⨯-=-=-；⑵答案不唯一.如()()2211n n n +-+=-；⑶()()221n n n +-+ ()22221n n n n =+-++22221n n n n =+---1=-.6．（2011广东汕头，20，9分）如下数表是由从1 开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答.（1）表中第8行的最后一个数是 ，它是自然数 的平方，第8行共有 个数；（2）用含n 的代数式表示：第n 行的第一个数是 ，最后一个数是 ，第n 行共有 个数；（3）求第n 行各数之和． 【解】（1）64，8，15； （2）2(1)1n -+，2n ，21n -；（3）第2行各数之和等于3×3；第3行各数之和等于5×7；第4行各数之和等于7×7-13；类似的，第n 行各数之和等于2(21)(1)n n n --+=322331n n n -+-.二 填空题1. （2011四川绵阳18，4）观察上面的图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第_____个图形共有120 个。

一、选择题16．（2021•怀化）观察等式：2+22＝23﹣2，2+22+23＝24﹣2，2+22+23+24＝25﹣2，…，已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，若2100＝m，用含m的代数式表示这组数的和是．m2﹣m【解析】由题意得2100+2101+2102+…+2199＝（2+22+23+…+2199）﹣（2+22+23+…+299）＝（2200﹣2）﹣（2100﹣2），＝（2100）2﹣2100＝m2﹣m.10．(2021·济宁) 按规律排列的一组数据：，，□，，，，…，其中□内应填的数是（）A．B．C．D．{答案}D{解析}观察这排数据发现：分子为连续的奇数，分母为序号的平方+1，∴第n个数据为：．当n＝3时，□的分子为5，分母＝32+1＝10，∴这个数为＝．11．(2021·玉林)观察下列树枝分杈的规律图，若第n个图树枝数用Y n表示，则Y9﹣Y4＝（）A．15×24B．31×24C．33×24D．63×24B {解析}由第1个图可知是Y1=1，第2个图可知Y2=1+2=3，第3个图Y3=1+2+22=7,第4个图Y4=1+2+22+23=15，可知Y n=2n-1.即Y9=29-1.因此Y9﹣Y4＝29-1-（24-1）=29-24=24（25-1）=31×24．10．（2021•绍兴）数学兴趣小组同学从“中国结”的图案（图1）中发现，用相同的菱形放置，可得到更多的菱形．如图2，用2个相同的菱形放置，得到3个菱形．下面说法正确的是（）A．用3个相同的菱形放置，最多能得到6个菱形B．用4个相同的菱形放置，最多能得到16个菱形C．用5个相同的菱形放置，最多能得到27个菱形D．用6个相同的菱形放置，最多能得到41个菱形B【解析】如图所示，用2个相同的菱形放置，最多能得到3个菱形；用3个相同的菱形放置，最多能得到8个菱形，用4个相同的菱形放置，最多能得到16个菱形．16．（2021•常德）如图中的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有1×1个小正方形，所有线段的和为4，第二个图形有2×2个小正方形，所有线段的和为12，第三个图形有3×3个小正方形，所有线段的和为24，按此规律，则第n个网格中所有线段的和为.（用含n的代数式表示）2n（n+1）【解析】∵第一个图形有1×1个小正方形，所有线段的和为4＝2×1×2，第二个图形有2×2个小正方形，所有线段的和为12＝2×2×3，第三个图形有3×3个小正方形，所有线段的和为24＝2×3×4，•，按此规律，则第n个网格中所有线段的和为2n（n+1）.6．（2021•云南）按一定规律排列的单项式：a2，4a3，9a4，16a5，25a6，…，第n个单项式是（）A．n2a n+l B．n2a n﹣1C．n n a n+1D．（n+1）2a nA【解析】∵第1个单项式a2＝12•a1+1，第2个单项式4a3＝22•a2+1，第3个单项式9a4＝32•a3+1，第4个单项式16a5＝42•a4+1，……∴第n（n为正整数）个单项式为n2a n+1．14．（2021•临沂）实验证实，放射性物质在放出射线后，质量将减少，减少的速度开始较快，后来较慢，实际上，物质所剩的质量与时间成某种函数关系．如图为表示镭的放射规律的函数图象，据此可计算32mg镭缩减为1mg所用的时间大约是（）A．4860年B．6480年C．8100年D．9720年C【解析】由图可知：1620年时，镭质量缩减为原来的12，再经过1620年，即当3240年时，镭质量缩减为原来的14=122，再经过1620×2＝3240年，即当4860年时，镭质量缩减为原来的18=123，...，∴再经过1620×4＝6480年，即当8100年时，镭质量缩减为原来的125=132，此时32×132=1mg．12．（2021•烟台）由12个有公共顶点O 的直角三角形拼成的图形如图所示，∠AOB ＝∠BOC ＝…＝∠LOM ＝30°．若OA ＝16，则OG 的长为（ ）A ．274B ．14C ．9√32D ．27√3812．A ． 解析：由图可知，∠ABO ＝∠BCO ＝…＝∠LMO ＝90°，∵AOB ＝∠BOC ＝…＝∠LOM ＝30°，∴∠A ＝∠OBA ＝∠BCD ＝…＝∠OLM ＝60°，∴AB =12OA ，OB =√3AB =√32OA ，同理可得，OC =√32OB ＝（√32）2OA ，OD =√32OC ＝（√32）3OA ，…OG =√32OF ＝（√32）6OA ＝（√32）6×16=274．故选：A ．9．（2021•达州）在平面直角坐标系中，等边△AOB 如图放置，点A 的坐标为（1，0），每一次将△AOB 绕着点O 逆时针方向旋转60°，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到△A 1OB 1，第二次旋转后得到△A 2OB 2，…，依次类推，则点A 2021的坐标为（ ）A ．（﹣22020，−√3×22020）B ．（22021，−√3×22021）C ．（22020，−√3×22020）D ．（﹣22021，−√3×22021）C 【解析】由已知可得：第一次旋转后，A 1在第一象限，OA 1＝2， 第二次旋转后，A 2在第二象限，OA 2＝22， 第三次旋转后，A 3在x 轴负半轴，OA 3＝23， 第四次旋转后，A 4在第三象限，OA 4＝24， 第五次旋转后，A 5在第四象限，OA 5＝25，第六次旋转后，A6在x轴正半轴，OA6＝26，.....．如此循环，每旋转6次，A的对应点又回到x轴正半轴，而2021＝6×336+5，∴A2021在第四象限，且OA2021＝22021，示意图如下：OH=12OA2021＝22020，A2021H=√3OH=√3×22020，∴A2021（（22020，−√3×22020）.9．（2021•十堰）将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是（）A．2025 B．2023 C．2021 D．2019B【解析】由题意可知：行数为1的方阵内包含“1”，共1个数；行数为2的方阵内包含“1、3、5、7”，共22个数；行数为3的方阵内包含“1、3、5、7、9、11、13、15、17”，共32个数；∴行数为32的方阵内包含“1、3、5、7、......”共322个数，即共1024个数，∴位于第32行第13列的数是连续奇数的第（1024﹣12）═1012个数，∴位于第32行第13列的数是：2×1012﹣1═2023．故选B．9．（2021•随州）根据图中数字的规律，若第n个图中的q＝143，则p的值为（）A．100 B．121 C．144 D．169B 【解析】通过观察可得规律：p ＝n 2，q ＝（n +1）2﹣1，∵q ＝143，∴（n +1）2﹣1＝143，解得：n ＝11， ∴p ＝n 2＝112＝121.6．(2021·鄂州) 已知1a 为实数﹐规定运算：2111a a =-，3211a a =-，4311a a =-，5411a a =-，……，111n n a a -=-．按上述方法计算：当13a =时，2021a 的值等于（ ） A ．23- B ．13 C ．12- D ．23D{解析}把13a =代入211121133a a =-=-=，把223a =代入321112a a =-=-，把312a =-代入43113a a =-=，把43a =代入得523a =，……，由此发现这几个结果是4个一循环，2021÷4=505……1， 2021a 的值与2a 的值相同，为23．二、填空题 22．(2021·绥化)下面各图形是由大小相同的三角形摆放而成的，图①中有1个三角形，图②中有5个三角形，图③中有11个三角形，图④中有19个三角形…依此规律，则第n 个图形中三角形个数是 ．22． n 2＋n －1解析：观察图中三角形的个数与图形的序号的关系，有如下规律: 第①个图形: 12＋0， 第②个图形: 22＋1， 第③个图形: 32＋2， 第④个图形: 42＋3， . ……第n 个图形: n 2＋n －1. 故答案为: n 2＋n －1.16．（2021·仙桃）如图，在平面直角坐标系中，动点P 从原点O 出发，水平向左平移1个单位长度，再竖直向下平移1个单位长度得点P 1（﹣1，﹣1）；接着水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移2个单位长度得到点P 2；接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移3个单位长度得到点P 3；接着水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得到点P 4，…，按此作法进行下去，则点P 2021的坐标为 ．①第n个图形(-1011,-1011)【解析】先根据点坐标的平移变换规律求出点P 2(1,1),P 3(-2,-2),P 4(2,2),P 5(-3,-3)，归纳类推得：点P 2n -1(-n ,-n )，其中n 为正整数， ∵2021=2×1011-1，∴点P 2021的（-1011，-1011）.13．（2021•嘉兴）观察下列等式：1＝12﹣02，3＝22﹣12，5＝32﹣22，…按此规律，则第n 个等式为2n ﹣1＝ ． n 2﹣（n ﹣1）218．（2021•泰安）如图，点B 1在直线l ：y =12x 上，点B 1的横坐标为2，过点B 1作B 1A 1⊥l ，交x 轴于点A 1，以A 1B 1为边，向右作正方形A 1B 1B 2C 1，延长B 2C 1交x 轴于点A 2；以A 2B 2为边，向右作正方形A 2B 2B 3C 2，延长B 3C 2交x 轴于点A 3；以A 3B 3为边，向右作正方形A 3B 3B 4C 3，延长B 4C 3交x 轴于点A 4；…；照这个规律进行下去，则第n 个正方形A n B n B n +1∁n 的边长为 （结果用含正整数n 的代数式表示）．√52×(32)n ﹣1【解析】设直线y =12x 与x 轴夹角为α，过B 1作B 1H ⊥x 轴于H ，如图：∵点B 1的横坐标为2，点B 1在直线l ：y =12x 上，令x ＝2得y ＝1,∴OH ＝2，B 1H ＝1，OB 1=√OH 2+B 1H 2=√5，∴tanα=B 1H OH=12,Rt △A 1B 1O 中，A 1B 1＝OB 1•tanα=√52，即第1个正方形边长是√52，∴OB 2＝OB 1+B 1B 2=√5+√52=√52×3，Rt △A 2B 2O 中，A 2B 2＝OB 2•tanα=√52×3×12=√52×32， 即第2个正方形边长是√52×32， ∴OB 3＝OB 2+B 2B 3=√52×3+√52×32=√52×92， Rt △A 3B 3O 中，A 3B 3＝OB 3•tanα=√52×92×12=√52×94，P 1 P 3P 2P 4即第3个正方形边长是√52×94=√52×（32）2， ∴OB 4＝OB 3+B 3B 4=√52×92+√52×94=√52×274，Rt △A 4B 4O 中，A 4B 4＝OB 4•tanα==√52×274×12=√52×278， 即第4个正方形边长是√52×278=√52×(32)3，.....． 观察规律可知：第n 个正方形边长是√52×(32)n ﹣1． 18．（2021•扬州）将黑色圆点按如图所示的规律进行排列：图中黑色圆点的个数依次为：1，3，6，10，…，将其中所有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第33个数为 ．1275【解析】第①个图形中的黑色圆点的个数为：1， 第②个图形中的黑色圆点的个数为：(1+2)×22=3， 第③个图形中的黑色圆点的个数为：(1+3)×32=6， 第④个图形中的黑色圆点的个数为：(1+4)×42=10，…第n 个图形中的黑色圆点的个数为n(n+1)2，则这列数为1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，…， 其中每3个数中，都有2个能被3整除， 33÷2＝16…1，16×3+2＝50， 则第33个被3整除的数为原数列中第50个数，即50×512=1275．16．(2021·铜仁)观察下列各项：112，124，138，1416，…，则第n 项是______________． 12nn +{解析}此题属于数字类规律问题。

中考专题复习 ----------- 猜想、规律与探索一、设计类【例1】在数学活动中，小明为了求的值（结果用n表示），设计如图a所示的图形。

（1）请你利用这个几何图形求的值为。

（2）请你利用图b，再设计一个能求的值的几何图形。

【例2】(2005年河北省中考题)观察下面的图形（每一个正方形的边长均为1）和相应的等式，探究其中的规律：（1）写出第五个等式，并在下边给出的五个正方形上画出与之对应的图示；（2）猜想并写出与第n个图形相对应的等式。

二、动态类【例3】右图是一回形图，其回形通道的宽与OB的长均为1，回形线与射线OA交于点A1，A 2，A3，…。

若从O点到A1点的回形线为第1圈（长为7），从A1点到A2点的回形线为第2圈，……，依此类推。

则第10圈的长为。

【例4】)已知甲运动方式为：先竖直向上运动1个单位长度后，再水平向右运动2个单位长度；乙运动方式为：先竖直向下运动2个单位长度后，再水平向左运动3个单位长度。

在平面直角坐标系内，现有一动点P 第1次从原点O 出发按甲方式运动到点P 1，第2次从点P 1出发按乙方式运动到点P 2，第3次从点P 2出发再按甲方式运动到点P 3，第4次从点P 3出发再按乙方式运动到点P 4,……。

依此运动规律，则经过第11次运动后，动点P 所在位置P 11的坐标是 。

三、数字类【例5】瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据，，，，……，中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥妙的大门。

请你按这种规律写出第七个数据是 。

【例6】观察下列算式：122=，224=，328=，4216=，…．根据上述算式中的规【例7】按下列规律排列的一列数对（1，2）（4，5）（7，8），…，第5个数对是 。

【例8】一组按规律排列的数：，，，，，…请你推断第9个数是【例9】把数字按如图所示排列起来，从上开始，依次为第一行、第二行、第三行……，中间用虚线围的一列，从上至下依次为1、5、13、25、…，则第10个数为 。

中考数学复习：猜想证明综合题1．（1）如图1，若ABC 是直角三角形，90BAC ∠=︒，点D 是BC 的中点，延长AD 到点E ，使DE AD =，连接CE ，可以得到ABD △≌ECD ，求证：ACE 是直角三角形；（2）如图2，ABC 是直角三角形，90BAC ∠=︒，D 是斜边BC 的中点，E 、F 分别是AB 、AC 边上的点，且DE DF ⊥．试说明222BE CF EF +=；（3）如图3，在正方形ABCD 中，E 为AB 边的中点，G 、P 分别为AD ，BC 边上的点，若3AG =，4BF =，90GEF ∠=︒，求GF 的长．2．在矩形ABCD 中，AB=3， BC=4，点O 为矩形ABCD 对角线的交点，点P 为AD 边上任意一点．（1）如图1，连接PO 并延长，与BC 边交于点Q ．求证: AP=CQ ；（2）如图2，连接BP 、DQ ，将△ABP 与△CDQ 分别沿BP 与DQ 翻折，点A 与点C 分别落在矩形ABCD 内的点A′、C′处，连接PA′、QC′，试求证:四边形PA ′QC′是平行四边形；（3）在（2）的条件下，请直接写出:当点A′、C′同时落在矩形ABCD 的对角线上时A′C′的长．3．如图1，在平面直角坐标系中，线段AB 的两个端点分别为(0,2)A ，(1,0)B -，将线段AB 向右平移3个单位长度，得到线段CD ，连接AD(1)直接写出点C 、点D 的坐标(2)如图2，延长DC 交y 轴于点E ，点P 是线段OE 上的一动点，连接BP 、CP ，猜想ABP ∠、BPC ∠、ECP ∠之间的数量关系，并说明理由(3)在x 轴上是否存在点Q ，使QBD ∆的面积与四边形ABCD 的面积相等，若存在，求出Q 的坐标，若不存在，请说明理由4．如图所示，在四边形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是线段DE 上一点（不与点D 重合），AB ∥DE ，AE ∥DC ．（1）如图1，当点F 与E 重合时，求证：四边形AFCD 是平行四边形； （2）如图2，当点F 不与E 重合时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．（3）如图3，当∠BCD =90°，且CD =CE ，F 恰好运动到DE 的中点时，直接写出AB 与DC 的数量关系．5．现有一副三角板，如图①中，∠B＝90°，∠A＝30°；图②中，∠D＝90°，∠F＝45°；图③中，将△DEF的直角边DE与ABC的斜边AC重合在一起，并将DEF沿AC方向移动（移动开始时点D与点A重合）．（1）DEF在移动的过程中，若D、E两点始终在AC边上，①F、C两点间的距离逐渐；连接FC，∠FCE的度数逐渐．（填“不变”、“变大”或“变小”）②∠FCE与∠CFE度数之和是否为定值，请加以说明；（2）DEF在移动的过程中，如果D、E两点在AC的延长线上，那么∠FCE与∠CFE之间又有怎样的数量关系，请直接写出结论；（3）能否将DEF移动至某位置，使F、C的连线与BC垂直？求出∠CFE的度数．6．如图，四边形ABCD是边长为10的菱形，BE⊥AD于点E，AE=6，且BE交对角线AC于F，连接DF，点P是DC上一点，BP交AC于M．（1）求证：△ABF≌△ADF；（2）如图1，若P为CD中点,求CMMF的值；（3）如图2，若S△BFM＝S△CPM，求PC，并直接判断BP与CD是否垂直（不必说明理由）．7．如图1，ABC ∆为等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，F 是AC 边上的一个动点（点F 与A 、C 不重合），以CF 为一边在等腰直角三角形外作正方形CDEF ，连接BF 、AD ．（1）①猜想图1中线段BF 、AD 的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论； ②将图1中的正方形CDEF ，绕着点C 按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度α，得到如图2、图3的情形．图2中BF 交AC 于点H ，交AD 于点O ，请你判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断．（2）将原题中的等腰直角三角形ABC 改为直角三角形ABC ，90ACB ∠=︒，正方形CDEF 改为矩形CDEF ，如图4，且4AC =，3BC =，34CD =，1CF =，BF 交AC 于点H ，交AD 于点O ，连接BD 、AF ，求22BD AF +的值．8．如图，在菱形ABCD 中，∠ABC＝120°，AB ＝3E 为对角线AC 上的动点（点E 不与A ，C 重合），连接BE ，将射线EB 绕点E 逆时针旋转120°后交射线AD 于点F ． （1）如图1，当AE ＝AF 时，求∠AEB 的度数；（2）如图2，分别过点B ，F 作EF ，BE 的平行线，且两直线相交于点G ． ①试探究四边形BGFE 的形状，并求出四边形BGFE 的周长的最小值；②连接AG ，设CE ＝x ，AG ＝y ，请直接写出y 与x 之间满足的关系式，不必写出求解过程．9．如图，在ABC中，∠ABC＝60°，点D，E分别为AB，BC上一点，BD＝BE，连接DE，DC，AC＝CD．（1）如图1，若AC＝10，DE＝3EC的长；（2）如图2，连接AE交DC于点F，点M为EC上一点，连接AM交DC于点N，若AE＝AM，求证：2DE＝MC；（3）在（2）的条件下，若∠ACB＝45°，直接写出线段AD，MC，AC的等量关系．10．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠BDC=∠BCD，DE⊥DC交AB于E．（1）求证：DE平分∠ADB；（2）若∠ABD的平分线与CD的延长线交于F，设∠F=α．①若α＝50°，求∠A的值；②若∠F＜12ABC，试确定α的取值范围．11．【了解概念】有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线．【理解运用】（1）如图①，对余四边形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝6，CD ＝4，连接AC ．若AC ＝AB ，求sin∠CAD 的值；（2）如图②，凸四边形ABCD 中，AD ＝BD ，AD ⊥BD ，当2CD 2+CB 2＝CA 2时，判断四边形ABCD 是否为对余四边形．证明你的结论； 【拓展提升】（3）在平面直角坐标系中，点A （﹣1，0），B （3，0），C （1，2），四边形ABCD 是对余四边形，点E 在对余线BD 上，且位于△ABC 内部，∠AEC ＝90°+∠ABC ．设AEBE＝u ，点D 的纵坐标为t ，请直接写出u 关于t 的函数解析式．12．如图，矩形OABC 的顶点A C 、分别在x 轴、y 轴的正半轴上，点B 的坐标为(1521)，，一次函数3155y x =-+的图象与边OC AB 、分别交于D E 、两点，点M 是线段DE 上的一个动点．（1）求证：OD BE =；（2）连结OM ，若三角形ODM 的面积为752，求点M 的坐标； （3）在第（2）问的基础上，设点P 是x 轴上一动点，点Q 是平面内的一点，以O M P Q 、、、为顶点的四边形是菱形，直接写出点Q 的坐标．13．在平面直角坐标系中，A （6，a ），B （b ，0），M （0，c ），P 点为y 轴上一动点，且()22660b a c -+--=．（1）求点A 、B 、M 的坐标；（2）当P 点在线段OM 上运动时，试问是否存在一个点P 使S △PAB ＝13，若存在，请求出P 点的坐标与AB 的长度；若不存在，请说明理由．（3）不论P 点运动到直线OM 上的任何位置（不包括点O 、M ），∠PAM、∠APB、∠PBO 三者之间是否都存在某种固定的数量关系，如果有，请利用所学知识找出并证明；如果没有，请说明理由．14．在ABC 中，,AB AC BAC α=∠=，点P 为线段CA 延长线上一动点，连接PB ，将线段PB 绕点P 逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD ，连接,DB DC ． （1）如图，当60α=︒时， ①求证：PA DC =； ②求DCP ∠的度数：（2）如图2，当120α=︒时，请直接写出PA 和DC 的数量关系为__________；（3）当120α=︒时，若631AB BP =，D 到CP 的距离为__________．15．如图1，在等腰三角形ABC 中，120,,A AB AC ∠==点D E 、分别在边AB AC 、上，,AD AE =连接,BE 点M N P 、、分别为DE BE BC 、、的中点．（1）观察猜想图1中，线段NM NP 、的数量关系是____，MNP ∠的大小为_____； （2）探究证明把ADE 绕点A 顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接,MP BD CE 、、判断MNP △的形状，并说明理由； （3）拓展延伸把ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若1,3AD AB ==，请求出MNP △面积的最大值．16．在平面直角坐标系中，点()5,0A -，()0,5B ，点C 为x 轴正半轴上一动点，过点A 作AD BC ⊥交y 轴于点E ．（1）如图①，若点C 的坐标为（3，0），试求点E 的坐标；（2）如图②，若点C 在x 轴正半轴上运动，且5OC <，其它条件不变，连接DO ，求证：OD 平分ADC ∠（3）若点C 在x 轴正半轴上运动，当2OCB DAO ∠=∠时，试探索线段AD 、OC 、DC 的数量关系，并证明．17．已知：在ABC 中AB AC =，点D 为BC 边的中点，点F 是AB 边上一点，点E 在线段DF 的延长线上，BAE BDF ∠=∠ ，点M 在线段DF 上，ABE DBM ∠=∠．（1）如图1，当45ABC ∠=︒时，求证：2AE MD =；（2）如图2，当60ABC ∠=︒时，则线段AE 、MD 之间的数量关系为：__________. （3）在（2）的条件下延长BM 到P ，使MP BM =，连接CP ，若7,27AB AE ==BP 值．18．综合与实践：问题情境：在数学课上，以“等腰直角三角形为主体，以点的对称为基础，探究线段间的变化关系”．如图1，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点E 为ACB ∠的角平分线CD 上一动点但不与点C 重合，作点E 关于直线BC 的对称点为F ，连接AE 并延长交CB 延长线于点H ，连接FB 并延长交直线AH 于点G ． 探究实践：（1）勤奋小组的同学发现AE BF =，请写出证明； 探究发现：（2）智慧小组在勤奋小组的基础上继续探究，发现线段FG ，EG 与CE 存在数量关系，请写出他们的发现并证明； 探究拓展：（3）如图2，奇异小组的同学在前两个小组探究的基础上，连接GC ，得到三条线段GE ，GC 与GF 存在一定的数量关系，请直接写出．9．如图1，已知ABC EBD △≌△，90ACB EDB ∠=∠=︒，点D 在AB 上，连接CD 并延长交AE 于点F ，（1）猜想：线段AF 与EF 的数量关系为_____；（2）探究：若将图1的EBD △绕点B 顺时针方向旋转，当CBE ∠小于180︒时，得到图2，连接CD 并延长交AE 于点F ，则（1）中的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）拓展：图1中，过点E 作EG CB ⊥，垂足为点G ．当ABC ∠的大小发生变化，其它条件不变时，若EBG BAE ∠=∠，6BC =，直接写出AB 的长．20．(1)问题发现：如图1，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，点A 、D 、E 在同一直线上，连接BE ．①请直接写出∠AEB 的度数为_____；②试猜想线段AD 与线段BE 有怎样的数量关系，并证明；(2)拓展探究：图2， △ACB 和△DCE 均为等腰三角形，∠ACB ＝∠DCE ＝90°，点A 、D 、E 在同－直线上， CM 为△DCE 中DE 边上的高，连接BE ，请判断∠AEB 的度数线段CM 、AE 、BE 之间的数量关系，并说明理由．。

中考专题十：猜想、动点问题一、选择题1．(2009年四川省内江市)如图，小陈从O点出发，前进5米后向右转20O，再前进5米后又向右转20O，……，这样一直走下去，他第一次回到出发点O时一共走了（）A．60米B．100米C．90米D．120米2．（2009年贵州黔东南州）某校生物教师李老师在生物实验室做试验时，将水稻种子分组进行发芽试验；第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒……即每组所取种子数目比该组前一组增加2粒，按此规律，那么请你推测第n组应该有种子数（）粒。

A、12+n B、12-n C、n2D、2+n3．（2009年长春）如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，点P在运动过程中速度大小不变，则以点A为圆心，线段AP长为半径的圆的面积S与点P 的运动时间t之间的函数图象大致为（）4．（2009年重庆）观察下列图形，则第n个图形中三角形的个数是（）A．22n+B．44n+C．44n-D．4n5.（2009年莆田）如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，MNR△的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则当9x=时，点R应运动到（）A．N处B．P处C．Q处D．M处6．（2009年湖北十堰市）如图，已知RtΔABC中，∠ACB=90°，AC= 4，BC=3，以AB边所在的直线为轴，将ΔABC旋转一周，则所得几何体的表面积是（）．（图1）……第1个第2个第3个O20o20oA ．π5168 B ．π24 C ．π584 D ．π127．(2009年河北)古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10 … 这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16 … 这样的数称为“正方形数”． 从图7中可以发现，任何一个大于1 的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是（ ）A ．13 = 3+10B ．25 = 9+16C ．36 = 15+21D ．49 = 18+318．（2009 年佛山市）将两枚同样大小的硬币放在桌上，固定其中一枚，而另一枚则沿着其边缘滚动一周，这时滚动的硬币滚动了( )A ．1圈B ．1.5圈C ．2圈D ．2.5圈二、填空题1．（2009仙桃）如图所示，直线y ＝x ＋1与y 轴相交于点A 1，以OA 1为边作正方形OA 1B 1C 1，记作第一个正方形；然后延长C 1B 1与直线y ＝x ＋1相交于点A 2，再以C 1A 2为边作正方形C 1A 2B 2C 2，记作第二个正方形；同样延长C 2B 2与直线y ＝x ＋1相交于点A 3，再以C 2A 3为边作正方形C 2A 3B 3C 3，记作第三个正方形；…依此类推，则第n 个正方形的边长为________________．2.（2009年包头）如图，已知ACB △与DFE △是两个全等的直角三角形，量得它们的斜边长为10cm ，较小锐角为30°，将这两个三角形摆成如图（1）所示的形状，使点B C F D 、、、在同一条直线上，且点C 与点F 重合，将图（1）中的ACB △绕点C 顺时4=1+3 9=3+616=6+10图7…针方向旋转到图（2）的位置，点E 在AB 边上，AC 交DE 于点G ，则线段FG 的长为 cm （保留根号）．3．（2009年桂林市、百色市）如图，在△ABC 中，∠A ＝α．∠ABC 与∠ACD 的平分线交于点A 1，得∠A 1；∠A 1BC 与∠A 1CD 的平分线相交于点A 2，得∠A 2； ……；∠A 2008BC 与∠A 2008CD 的平分线相交于点A 2009，得∠A 2009 ．则∠A 2009＝ ．4．（2009重庆綦江）观察下列等式：221.4135-=⨯；222.5237-=⨯；223.6339-=⨯224.74311-=⨯；…………则第n （n 是正整数）个等式为________.5．（2009年益阳市）图6是一组有规律的图案，第1个 图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，……，第n (n 是正整数)个图案中由 个基础图形组成．-6．（2009年广西梧州）图（3）是用火柴棍摆成的边长分别是1，2，3 根火柴棍时的正方形．当边长为n 根火柴棍时，设摆出的正方形所用的火柴棍的根数为s ，则s ＝ ★ ． （用n 的代数式表示s ）……n =1 n =2 n =3B AC D第18题图 A 1A 2AEC (F )B 图（1） E A G BC (F )D 图（2） 图6(1)(2) (3) ……7．(2009年咸宁市)如图所示的运算程序中，若开始输入的x 值为48，我们发现第1次输出的结果为24，第2次输出的结果为12，……第2009次输出的结果为___________．【答案】3三、 解答题1.（2009年崇左）在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点(02)A ，，点(10)C -，，如图所示：抛物线22y ax ax =+-经过点B ．（1）求点B 的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P （点B 除外），使ACP △仍然是以AC 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2．（2009仙桃）如图所示，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，DE ∥BC ，如图①，然后将△ADE 绕A 点顺时针旋转一定角度，得到图②，然后将BD 、CE 分别延长至M 、N ，使DM ＝21BD ，EN ＝21CE ，得到图③，请解答下列问题： (1)若AB ＝AC ，请探究下列数量关系：①在图②中，BD 与CE 的数量关系是________________；②在图③中，猜想AM 与AN 的数量关系、∠MAN 与∠BAC 的数量关系，并证明你的猜想；(2)若AB ＝k ·AC(k ＞1)，按上述操作方法，得到图④，请继续探究：AM 与AN 的数量关系、∠MAN 与∠BAC 的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明．（第1４题）3．(2009年黄冈市)如图,在平面直角坐标系xoy 中,抛物线21410189y x x =--与x 轴的交点为点A,与y 轴的交点为点B . 过点B 作x 轴的平行线BC ,交抛物线于点C ,连结AC ．现有两动点P,Q 分别从A,C 两点同时出发,点P 以每秒4个单位的速度沿OA 向终点A 移动,点Q 以每秒1个单位的速度沿CB 向点B 移动,点P 停止运动时,点Q 也同时停止运动,线段OC ,PQ 相交于点D ,过点D 作DE ∥OA ,交CA 于点E ,射线QE 交x 轴于点F ．设动点P,Q 移动的时间为t (单位:秒)(1)求A,B,C 三点的坐标和抛物线的顶点的坐标;(2)当t 为何值时,四边形PQCA 为平行四边形?请写出计算过程;(3)当0＜t ＜92时,△P Q F 的面积是否总为定值?若是,求出此定值,若不是,请说明理由; (4)当t 为何值时,△P QF 为等腰三角形?请写出解答过程．4.（2009重庆綦江）如图，已知抛物线(1)20)y a x a=-+≠经过点(2)A-，0，抛物线的顶点为D，过O作射线OM AD∥．过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C，B在x轴正半轴上，连结BC．（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为()t s．问当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？（3）若OC OB=，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t()s，连接PQ，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长．。

①1×12＝1－12 ②2×23＝2－23 ③3×34＝3－34④4×45＝4－45 ……专题复习 归纳与猜想归纳与猜想问题指的是给出一定条件（可以是有规律的算式、图形或图表），让学生认真分析，仔细观察，综合归纳，大胆猜想，得出结论，进而加以验证的数学探索题。

其解题思维过程是：从特殊情况入手→探索发现规律→综合归纳→猜想得出结论→验证结论，这类问题有利于培养学生思维的深刻性和创造性。

一、知识网络图二、基础知识整理猜想规律型的问题难度相对较小，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律。

其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程。

相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到。

由于猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的又一热点。

★ 范例精讲【归纳与猜想】例1【河北实验区05】观察右面的图形（每个正方形的边长均为1）和相应等式，探究其中的规律：⑴写出第五个等式，并在右边给出的五个正方形上画出与之对应的图示：⑵猜想并写出与第n 个图形相对应的等式。

解：⑴5×56＝5－56⑵11+-=+⨯n nn n n n 。

例2〖归纳猜想型〗将一张正方形纸片剪成四个大小形状一样的小正方形，然后将其中的一片又按同样的方法剪成四小片，再将其中的一小片正方形纸片剪成四片，⑵如果剪n 次共有A n 个正方形，试用含n 、A n 的等式表示这个规律； ⑶利用上面得到的规律，要剪得22个正方形，共需剪几次？ ⑷能否将正方形剪成2004个小正方形？为什么？ ⑸若原正方形的边长为1，设a n 表示第n 次所剪的正方形的边长，试用含n 的式子表示a n ；⑹试猜想a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n 与原正方形边长的关系，并画图示意这种关系．解：⑴100×3＋1＝301，规律是：本次剪完后得到的小正方形的个数比上次剪完后得到的小正方形的个数多3个；⑵A n ＝3n ＋1；⑶若A n ＝22，则3n ＋1＝22，∴n ＝7，故需剪7次； ⑷若A n ＝2004，则3n ＋1＝2004，此方程无自然数解， ∴不能将原正方形剪成2004个小正方形；⑸a n ＝12n ；⑹a 1＝12＜1，a 1＋a 2＝12＋14＝34＜1，a 1＋a 2＋a 3＝12＋14＋18＝78＜1，……从而猜想到：a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＜1.直观的几何意义如图所示。

专题一规律探索猜想类规律探索与猜想是中考中常见题型之一,它主要用于考查学生观察、分析、归纳、猜想等方面的能力,既可以命基础题，也可命中高档题，题型不限,方法灵活,主要有数式规律、图形规律、坐标规律等,解这类问题要善于发现其过程中的特点，抓住其周期是解决此类问题的关键.纵观遵义近五年中考,每年都会涉及一道规律探索问题，一般难度不大，预计20１８年遵义中考也有可能命一道中基础（选择或填空)规律探索题．,中考重难点突破）数字规律【例1】（临夏中考)古希腊数学家把数1，3，6,１0,15,２1,…叫做三角形数,它有一定的规律性，若把第一个三角形数记为x1，第二个三角形数记为ｘ2,…第n个三角形数记为x n，则x n＋x n+1＝____＿_＿_．【解析】根据三角形数得到ｘ1＝1，x2＝3=1+2，x3＝6=１＋２＋３,x4=10＝1＋２＋３＋4,ｘ5＝１5=1+2＋3+4+5，即三角形数为从1到它的顺号数之间所有整数的和,即ｘｎ＝１＋2+3+…+n=错误!未定义书签。

，xｎ＋1=错误!,然后计算ｘn＋ｘｎ＋1可得.【答案】(n＋1)2◆模拟题区1．（２017遵义二中二模)计算下列各式的值:92+１9;错误!;错误!；错误!.观察所得结果，总结存在的规律，应用得到的规律可得错误!未定义书签。

+１99…9,２０15个9））＝_＿102__0１5＿_.2．（2017遵义六中三模)将自然数按以下规律排列：第一列第二列第三列第一行１４ 5…第二行 2 3 ６…第三行98７………表中数2在第二行第一列，与有序数对（2，1)对应;数5与(１,3)对应；数１4与（3,4)对应；根据这一规律,数2 014对应的有序数对为＿_(４５，１2)_＿.3．（2０17遵义十一中三模)已知：错误!未定义书签。

＝＼ｆ（1，3)；错误!=错误!;计算:错误!未定义书签。

=__错误!__；猜想：错误!未定义书签。

＝__错误!未定义书签。

_＿.4．（天水中考)观察下列运算过程:S=1＋3＋32＋33+…＋3２ 012+32 01３①，①×3得3S=3+32＋33+…+32 ０１3+32 014 ②,②－①得2S＝32014－1,S＝错误!未定义书签。

猜想、探索型专项训练A总分120分：时间90分钟一、细心填一填（每题3分：共30分）1．（2006年海南）用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按下图方式铺地板：则第（3）个图形中有黑色瓷砖 块：第n 个图形中需要黑色瓷砖 块（用含n 的代数式表示）.2．（2006年南昌）用黑白两种颜色正方形的纸片按黑色纸片数逐渐加l 的规律拼成一列图案：（1）第4个图案中有白色纸片 张 （2）第n 个图案中有白色纸片 张3．（2006年浙江）如图：点B 在AE 上：∠CAB =∠DAB ：要使△ABC ≌△ABD ：可补充的一个条件是： (写出一个即可）．4．（2006年泰州）如图：每个正方形点阵均被一直线分成两个三角形点阵：根据图中提供的信息：用含n 的等式表示第n 个正方形点阵中的规律 ．ABCD E …… ……（1）（2）（3）……211＝ 213＋＝2 23＋6＝3 29＋10＝45．（2006年邵阳）图中的螺旋形由一系列等腰直角三角形组成：其序号依次为①、②、③、④、⑤……：则第n 个等腰直角三角形的斜边长为_____________。

6．（2005年山东枣庄）100个数排成一行：其中任意三个相邻数中：中间一个数都等于它前后两个数的和：如果这100个数的前两个数依次为1：0：那么这100个数中“0”的个数为 ____________个．7．（2006年湖北荆门）如图,是用火柴棒摆出的一系列三角形图案,按这种方案摆下去,当每边上摆2006根火柴棒时,共需要摆________根火柴棒.8．（2005年连云港）右图是一回形图：其回形通道的宽和OB 的长均为1： 回形线与射线OA 交于,,,321A A A …．若从O 点到1A 点的回形线为第1圈（长为7）：从1A 点到2A 点的回形线为第2圈：…：依此类推．则第10圈的长为 ．BA 3A 2A 1AO9．（2006年广西贵港）观察下列各等式：111111111121223233434=-=-=-⨯⨯⨯，，，根据你发现的规律：计算：2222122334(1)n n ++++=⨯⨯⨯⨯+ （n 为正整数）10．（2006年芜湖）请你仔细观察图中等边三角形图形的变换规律：写出你发现关于等边三角形内一点到三边距离的数学事实： 。